Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie

12 Technik
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
Berechnung
Ortsvektor
Vektor mit Anfangspunkt im Koordinatenursprung:
Addition zweier Vektoren

Die Komponentenwerte der Vektoren a

und b werden einzeln addiert, das Er-
æa ö
æb ö
 çç 1 ÷÷  çç 1 ÷÷
÷
ç
OA = ça 2 ÷÷ ; OB = ççb 2 ÷÷÷
çç ÷÷
çç ÷÷
çèb 3 ø÷
èça 3 ÷ø
 a1   b 1   a1  b 1  
    

a  b   a2    b2    a2  b2   c
a  b  a  b 
 3  3  3
3



gebnis ist ein Vektor c .
Verbindungsvektor zwischen den
Punkten A und B
Spitze Minus Fuß
b
a
b  a1 
    1   1   1

AB  OB  OA   b 2    a 2    b 2  a 2 
b  a  b  a 
 3  3  3
3
Betrag eines Vektors

Die Quadrate der Komponentenwerte
werden addiert und dann wird die Wurzel
gezogen.
(Dreidimensionaler Pythagoras)

2
2
2
AB = (b1 - a1) + (b 2 - a 2 ) + (b 3 - a 3 )
Einheitsvektor

a0
Vektor mit der Länge 1.
S- Multiplikation

a12
1
 a2 2  a3 2
 a1 
 
  a2 
a 
 3
   a1 


  a     a2 
 a 

3

Multiplikation eines Vektors mit einem
Skalar λ :
Die Koordinatenwerte des Vektors werden einzeln multipliziert, das Ergebnis ist
ein Vektor.

a  a12  a 2 2  a 3 2

Es gilt:   a  a (kollineare Vektoren)


b a 
abhängig


ab



a und b linear
Mittelpunkt einer Strecke [AB]
 1  
OM   OA  OB
2
Schwerpunkt eines Dreiecks ABC
 1   
OS   OA  OB  OC
3


1/8


12 Technik
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
Berechnung
Skalarprodukt
 a1   b1 
   
a  b   a2    b2   a1 b1  a2 b2  a3 b3
a  b 
 3  3

Summe aus dem Produkt der einzelnen
Komponentenwerte, das Ergebnis ist eine skalare Größe.




  
a  b  a  b  cos    a , b  

 

Winkel zwischen zwei Vektoren
Anwendung des Skalarproduktes

Senkrechte Vektoren

ab

Winkelhalbierender Vektor
Diagonale Vektoren in der Raute, die von


  
a b
  arccos   

 a  b











a  b 0




w1  b a und w 2  b a

a und b aufgespannt wird.


Projektion Vektor b auf Vektor a

 

ba 
Vektor in Richtung von a mit Länge der
Projektion
Vektorprodukt oder Kreuzprodukt
Berechnung bestimmter Unterdeterminanten, das Ergebnis ist ein Vektor.

a b
  
 a 


2
a
 a1 
 
a  b   a2  
a 
 3





   
a  b  a  b  sin    a , b  

 

Betrag des Vektorproduktes:
Fläche eines Parallelogramms
Die linear unabhängigen Vektoren



F  a  b

Vektoren a und b erzeugen ein
Parallelogramm.
Fläche eines Dreiecks
Die linear unabhängigen Vektoren

 b1   a2 b3  a3 b2 
  

 b2    a3 b1  a1 b3 
b   a b  a b 
2 1 
 3  1 2
F 

a und b erzeugen ein Dreieck.
2/8
1  
 ab
2
12 Technik
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
Berechnung
Spatprodukt


Die linear unabhängigen Vektoren a , b

 a2 b3  a3 b2   c1 
   
P   a  b   c   a 3 b1  a1 b 3    c 2 


 a b  a b  c 
 1 2
 3
2 1 
und c erzeugen einen Spat.
Das Ergebnis ist eine skalare Größe.


 (a 2 b 3  a 3 b 2 )  c 1  (a 3 b1  a1 b 3 )  c 2

 (a1 b 2  a 2 b1 )  c 3
P  0  a , b und c bilden in dieser
Reihenfolge ein Rechtssystem.
Determinante  Spatprodukt
a1
b1
c1
a2
b2
c 2 = (-1)1+3 ⋅ c 1 ⋅
a3
b3
c3
+(-1) 2+3 ⋅ c 2 ⋅
Volumen eines Spats (Parallelepiped)


a1
b1
a3
b3
1   
⋅ a´b  c
3
Volumen einer Pyramide mit Dreieck
als Grundfläche
VTetraeder =
1   
⋅ a´b  c
6


Sind die zwei Vektoren a und b
a  b
linear abhängig?

linear abhängig?

a  b


a1
b1
a2
b2
1   
⋅ a´b  c
2
VP yramide =

b3

Volumen einer Pyramide mit Viereck
als Grundfläche
Sind die drei Vektoren a , b und c
a3
VSpat  a  b  c
VPr isma =

b2
+ (-1)3+3 ⋅ c 3 ⋅
Volumen eines Prismas mit Dreieck
als Grundfläche

a2

linear unabhängig

linear abhängig
  
a  b  c  0 


linear unabhängig
  
a  b  c  0 


linear abhängig
3/8
12 Technik
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Begriff
Eintrag der Vektoren in eine Matrix:
Linearkombination



Berechnung

v  1  a   2  b   3  c
 a1 b1

 a2 b 2
a b
3
 3
c1
c2
c3
v1 

v2 
v 3 
Lösen mit Gauß
Stellen drei Vektoren eine Basis des
IR3 dar?
Ja, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.
Basis-Dreibein des geometrischen
Anschauungsraumes:
 1
 
e1   0  ;
0
 
Lösungen eines linearen (nxn)Gleichungssystems
Gleichungssystem auf Dreiecksform bringen:

genau eine Lösung




unendlich viele Lösungen mit einem freien Parameter
unendlich viele Lösungen mit zwei
freien Parametern
keine Lösung

a23
a33
b1 

b2 
b3 
a13
a23
0
b1 

b2 
0 
Rg(A)  Rg(A erw )  n  2  1
 a11 a12

0
 0
 0
0


a13
Rg(A)  Rg(A erw )  n  1  2
 a11 a12

 0 a22
 0
0


0
 
e3   0 
 1
 

Rg(A)  Rg(A erw )  n  3
 a11 a12

 0 a22
 0
0


0
 
e2   1  ;
0
 

a13
0
0
b1 

0
0 
Rg(A)  Rg(A erw )
 a11 a12

 0 a22
 0
0

4/8
a13
a23
0
b1 

b2 
b3 
12 Technik
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Frage
Geradengleichungen
Lösung
Punkt und Richtung



g : x  OA    u
Zwei Punkte A und B



g : x  OA    AB
Ebenengleichungen




E : x  OA    u    v

Parameterform

Normalenform




   
E : n   x  OA   0 mit n  u  v


Koordinatenform
a
 
E : a x1  b x 2  c x 3  d  0 mit n   b 
c 
 


Spurpunkte von Geraden
 x1   a1 
 u1 
   
 
g :  x 2    a 2      u2 
 x  a 
u 
 3  3
 3
Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene:
x1  0  a1    u1  0  1  
Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene:
x 2  0  a 2    u2  0   2  
a2
u2
Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene:
x 3  0  a3    u3  0   3  
a3
u3
Lage von Geraden zueinander
 parallel

Richtungsvektoren sind linear abhängig und keine
gemeinsamen Punkte.


identisch

a1
u1

u    v mit   IR und A  g  A  h
Richtungsvektoren sind linear abhängig und der
Aufpunkt der einen Geraden liegt in der anderen
Geraden.


ug    v h mit   IR und A  g  A  h

schneiden sich

Gleichsetzen und Schnittpunkt bestimmen


ug    v h und g  h  

windschief


Nicht parallel und schneiden sich nicht


ug    v h und g  h  

    
oder direkter Nachweis:  u  v   AB  0


5/8
12 Technik
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Frage
Lösung
Besondere Lage von Ebenen
 parallel zur x1-Achse
 es fehlt die x1-Koordinate
E : b x2  c x3  d  0
 parallel zur x2-Achse
 es fehlt die x2-Koordinate
E : a x1  c x 3  d  0
 parallel zur x3-Achse
 es fehlt die x3-Koordinate
E : a x1  b x 2  d  0

parallel zur x1-Achse und zur

es fehlen die x1- und die x2-Koordinate
E : c x3  d  0

es fehlen die x1- und die x3-Koordinate
x2-Achse, also

parallel zur x1x2-Ebene

parallel zur x1-Achse und zur
E : b x2  d  0
x3-Achse, also

parallel zur x1x3-Ebene

parallel zur x2-Achse und zur

E : a x1  d  0
x3-Achse

es fehlen die x2- und die x3-Koordinate
parallel zur x2x3-Ebene
Spurpunkte einer Ebene
(Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen)
S(s / 0 / 0) ; T(0 / t / 0) ; U(0 / 0 / u)
Schnittpunkt mit der x1-Achse:
x 2  0  x 3  0  a x1  d  0  x1  
d
a
Schnittpunkt mit der x2-Achse:
x1  0  x 3  0  b x 2  d  0  x 2  
d
b
Schnittpunkt mit der x3-Achse:
x1  0  x 2  0  c x 3  d  0  x 3  
d
c
Achsenabschnittsform
E:
x1 x 2 x3


1
s
t
u
6/8
12 Technik
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Frage
Winkelberechungen
zwischen zwei Vektoren
Lösung
 
u v
cos()   
u  v
auch stumpfer Winkel möglich
zwischen zwei Geraden
spitzer Winkel zwischen den Richtungsvektoren
 
u v
cos()   
u  v
zwischen zwei Ebenen
spitzer Winkel zwischen den Normalenvektoren
cos( ) 




nE  nF
nE  nF
zwischen Ebene und Gerade
spitzer Winkel  zwischen dem Normalenvektor und
dem Richtungsvektor der Geraden wird berechnet, gesucht ist der Gegenwinkel   90   , also:
sin    




ug  nE
ug  nE
Schnittpunkt Gerade mit Ebene
 

g: x  a    u
E : n1 x1  n2 x 2  n3 x 3  c  0
Allgemeinen Geradenpunkt in Koordinatengleichung
der Ebene einsetzen, die entstehende Gleichung nach
dem Parameter S auflösen, in Geradengleichung einsetzen:

 
Schnittpunkt OS  OA   S  u , S(s1 / s2 / s3 ) ;
Bestimmung des Lotfußpunktes
L( l1 / l2 / l3 ) eines Punktes
P  p1 / p2 / p3  auf eine Gerade g:



g: x  OA    u
Allgemeiner Lotfußpunkt auf der Geraden g:
 a    u1 
 a1    u1   p1 
  1
  
  
OL   a2    u2  ; PL   a2    u2    p2 
a   u 
a    u  p 
3
3
 3
 3
 3

PL seht senkrecht auf g
 
PL  u  0    ...  L( l1 / l2 / l3 )
Bestimmung des Lotfußpunktes
L( l1 / l2 / l3 ) eines Punktes
Aufstellen der Lotgeraden h durch P senkrecht E:



h : x  OP    nE
E : a x1  b x 2  c x 3  d  0
Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene bestimmen.
P  p1 / p2 / p3  auf eine Ebene E:
7/8
12 Technik
Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Frage
Abstand Punkt – Ebene
Lösung
Lotfußpunkt L berechnen, Abstand = Länge des Verbindungsvektors der Punkte P und L.

d  PL
siehe Abstand Punkt – Ebene
Abstand Gerade – Ebene
 Ebene und Gerade sind parallel (am besten den Aufpunkt verwenden)
zueinander
Abstand Punkt – Gerade
Über die Dreiecksfläche:
Wähle zwei Punkt A und B auf g und berechne
 
PA  PA
d

AB
Oder: Berechnung des Lotfußpunktes auf g

d  PL
Spiegelpunkte
Spiegelpunkt P* eines Punktes P zu Berechnung des Lotfußpunktes L
 
einer Geraden g.

OP  OP  2  PL
Spiegelpunkt P* eines Punktes P zu Berechnung des Lotfußpunktes L
 
einer Ebene E.

OP  OP  2  PL
Bestimmung der Spiegelgeraden gs: Bestimmung des Schnittpunktes S der Geraden mit der
Ebene E.
Bestimmung des Spiegelpunktes P* eines beliebigen
Punktes P auf der Geraden.



gs : x  OS    PS
Projektion einer Geraden g in eine
Ebene E:
Schnittpunkt S der Geraden g mit der Ebene E bestimmen, Lotfußpunkt L eines Geradenpunktes bestimmen:



Projektionsgerade gp : x  OS    LS
Schnittgerade zweier Ebenen

Beide Ebenen in Koordinatenform gegeben
 Eine Ebene in Koordinatenform,
eine Ebene in Parameterform
Beide Ebenen in ein Gaußsystem eintragen, eine Nullzeile hinzufügen und lösen.
Die Ebenen in einander einsetzen, ein Parameter in
Abhängigkeit des anderen ausdrücken und in die Ebene in Parameterform einsetzen, zusammenfassen,
Geradengleichung.
8/8