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pruefungstrainer stroemungsmechanik

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Valentin Schröder
Prüfungstrainer Strömungsmechanik
Valentin Schröder
Prüfungstrainer
Strömungsmechanik
Klausur- und Übungsaufgaben
mit vollständigen Musterlösungen
2., aktualisierte und erweiterte Auflage
Mit 130 Abbildungen
STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
1. Auflage 2011
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann
Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien.
Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.
www.viewegteubner.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für
Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und
Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: AZ Druck und Datentechnik, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0988-9
Vorwort
Die Idee dieses Buches beruht auf zwei Erfahrungen, die ich zum einen als Student und zum
anderen später als Lehrender gemacht habe. Mir ist noch sehr gut in Erinnerung, dass in meiner eigenen Ausbildungszeit in den sechziger Jahren die vorlesungsbegleitende Literatur fast
ausnahmslos an den Bedürfnissen der Fachwelt orientiert war und weniger die studentischen
Interessen und Erfordernisse ansprach. Der bisweilen abstrakte Hintergrund in der Strömungsmechanik wird jedoch von den meisten Lernenden dann besser oder überhaupt erst verstanden, wenn mittels geeigneter Anwendungsbeispiele die Theorie erprobt werden kann
(„Learning by doing“). Diesen „Hilfestellungen“ wurde in der damaligen Literatur zu wenig
Beachtung geschenkt. Die wenigen Beispiele, die zur Verfügung standen, zeichneten sich oft
dadurch aus, dass die einzelnen Lösungsschritte gar nicht oder nur fragmentarisch vorlagen
und somit die Erarbeitung der Aufgabenlösungen nur schwer möglich war und oft auch erfolglos blieb.
Um diese Mängel nicht in meinen eigenen Vorlesungen „Strömungsmechanik“ und „Strömungsmaschinen“, die ich während der Lehrtätigkeit von 1982 bis 2007 an der Fachhochschule Augsburg gehalten habe, zu wiederholen, wurden die Vorlesungen auf zwei Schwerpunkten aufgebaut. Neben der Vermittlung des theoretischen Hintergrunds wichtiger Grundlagen kam der Erprobung des Erlernten durch die anschließende Bearbeitung zahlreicher
Übungsbeispiele besondere Bedeutung zu. Das genannte Konzept fand bei den Studierenden
eine hohe Akzeptanz, was u.a. in den positiven Aussagen im Rahmen der „Evaluationen“ zum
Ausdruck kam.
Diese positiven Erfahrungen gaben dann auch den Ausschlag, vorliegendes Buch zu konzipieren. Da die heute verfügbare Literatur zur Strömungsmechanik neben den Fachbüchern auch
sehr gute Lehrbücher anbietet, die den oft abstrakten, nicht immer sofort verständlichen Stoff
sowohl inhaltlich als auch pädagogisch gut aufbereitet vermitteln, bestand keine Notwendigkeit, ein weiteres Lehrbuch hinzuzufügen. Es sollte dagegen eine Lücke geschlossen werden,
die im Bedarf nach einem vorlesungsergänzenden Übungsbuch bestand. Dessen besonderer
Schwerpunkt wurde auf die detaillierte Vorgehensweise bei der Aufgabenlösung gelegt, um
das Nachvollziehen auch von komplexeren Aufgaben zu ermöglichen. Durch die Punktevergabe zu den jeweiligen Beispielen sollte das Buch insbesondere auch bei Prüfungsvorbereitungen verwendet werden können.
Die diversen Gebiete der Strömungsmechanik werden von Hochschule zu Hochschule und
von Fachgebiet zu Fachgebiet unterschiedlich akzentuiert. Dies hat folglich eine Fülle verschiedenartiger Schwerpunkte der Themenbereiche zur Folge, die mit einem einzigen
Übungsbuch allein nicht abgedeckt werden können. Vorliegendes Buch spricht vorzugsweise
Hörer des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik an Fachhochschulen aber auch Studierende der Umwelttechnik an. Voraussetzung ist bei der Handhabung des Buchs, dass die
Grundlagen des Fachs Strömungsmechanik bekannt sind, was im Allgemeinen erst nach dem
3. oder auch höheren Semestern der Fall ist. Das erforderliche mathematische Rüstzeug wird
mit den diesbezüglichen Vorlesungsinhalten an Fachhochschulen abgedeckt.
Ich wünsche allen, die sich eine Verbesserung ihres Verständnisses strömungsmechanischer
Vorgänge durch die Erprobung der Theorie an konkreten Aufgaben erhoffen, dass ihnen vorliegendes Buch hierbei hilfreich ist und im Fall bevorstehender Prüfungen zum gewünschten
Erfolg beiträgt.
Nicht zuletzt möchte ich mich bei meiner Frau für ihren bewundernswerten Einsatz beim Niederschreiben der zahllosen Gleichungen, für die kritischen Anmerkungen bei der Textgestaltung und für die Erduldung einer nahezu zweijährigen Einschränkung ihrer Freizeit von ganzem Herzen bedanken.
Ebenfalls Dank sagen möchte ich dem Vieweg + Teubner Verlag und hier insbesondere Frau
Kerstin Hoffmann vom Lektorat „Naturwissenschaften – Informatik – Energie&Umwelt“ und
dem Cheflektor, Herrn Ulrich Sandten, die alle meine Fragen in sehr freundlicher und zuvorkommender Art beantworten konnten.
Königsbrunn, im Juni 2011
Valentin Schröder
Hinweise zur Anwendung
Jedem der 16 Kapitel dieses Buchs ist eine kurze Einführung in die betreffende Thematik vorangestellt. Hier werden auch die wichtigsten diesbezüglichen Gleichungen, die bei der Lösung der nachfolgenden Beispiele benötigt werden, aufgelistet. Da man damit oft nicht allein
zum Ziel kommt, werden weitere Gesetze anderer Kapitel benötigt. In den Aufgabenerläuterungen finden sich hierzu entsprechende Hinweise.
Die Übungsaufgaben selbst sind im Allgemeinen wie folgt strukturiert. Zunächst führt die
Aufgabenstellung mit einer detaillierten Skizze in die Aufgabe ein. Die anschließende Aufgabenerläuterung mit Hinweisen auf die hier angesprochenen Themenbereiche soll den einzuschlagenden Lösungsweg erkennen lassen. Besonderheiten, Annahmen, z.T. nicht geläufige
mathematische Zusammenhänge usw. werden unter Anmerkungen (grau hinterlegt) genannt.
Danach erfolgt unter Lösungsschritte der, oftmals vielleicht trivial anmutende, bis ins Detail
aufgelöste Weg zum gesuchten Ergebnis. Hintergrund dieser engmaschigen Vorgehensweise
ist der Wunsch, dem Studierenden Hürden bei der Aufgabenbearbeitung beiseite zu räumen,
die eventuell durch ausgelassene Hinweise entstehen könnten.
Schwerpunktsmäßig ist das Aufgabenkonzept so gewählt, dass vorrangig funktionale Zusammenhänge erarbeitet werden müssen. Erst in zweiter Linie folgt die Auswertung mit konkreten Zahlen. Hierbei ist dann auf eine konsequente Beachtung dimensionsgerechter Größen zu
achten.
Die einzuschlagende Lösungsstrategie hat Turtur [18] in unten stehendem Ablaufplan übersichtlich zusammengestellt. Aufgrund der Ausführlichkeit und Vollständigkeit bedarf sie keiner weiteren Erläuterungen bzw. Ergänzungen. Sie sollte bei der Bearbeitung der einzelnen
Aufgaben konsequent eingehalten werden, um den größtmöglichen Nutzen zu erzielen.
Abb. 1 Vorgehensweise bei der Bearbeitung der Aufgaben nach Turtur [18]
Hinweise zur Anwendung
VI
Viele der Beispiele sind in verschiedene Teilaufgaben gegliedert. Diese weisen unterschiedliche Schwierigkeitsgrade auf und beanspruchen demgemäß auch verschiedene Lösungszeiten.
Beides ist in den Kopfzeilen einer jeden Aufgabe vermerkt, wobei der jeweilige Schwierigkeitsgrad mit folgenden Symbolen belegt ist:
hhhh
sehr schwer
hhh
hh
h
schwer
mittel
leicht
Dies ist, wie man heute sagt, ein „gefühlter Schwierigkeitsgrad“, der sich leider nicht quantifizieren lässt. Er dient ausschließlich dazu, eine qualitative Einschätzung über den zu erwartenden gedanklichen und zeitlichen Aufwand abzugeben. Als einzige messbare Größe, die den
jeweiligen Lösungsaufwand beschreibt, kann die benötigte Zeit zugrunde gelegt werden.
Aufgabe 4.4
¥ 1.
¥ 2.
¥ 3.
Verschlussklappe zwischen zwei Wasserkanälen
9
min
11
min
4
min
hh
hhh
h
9
Punkte
11
Punkte
4
Punkte
Abb. 2 Kopfzeilen einer Beispielaufgabe mit Lösungszeiten, Schwierigkeitsgrad und Punkten
¥
Diese in Minuten festgestellten Bearbeitungszeiten finden sich hinter dem Symbol
und
der anschließenden Teilaufgabennumerierung. Sie entsprechen den jeweils zu vergebenden
Punkten, die ebenfalls in den Kopfzeilen gemäß Abb. 2 angegeben sind. Für diese Aufgabe
sind bei vollständiger und korrekter Lösung 24 Punkte erreichbar. Einer 90-minütigen Prüfung liegen folglich maximal 90 Punkte zugrunde. Erzielt man ca. 40 % der maximal möglichen Punkte, in diesem Fall also 36, so sollte eine Prüfung bestanden sein. Dies ist ein Erfahrungswert, der sich im Rahmen der eigenen Lehrtätigkeit und der von Kollegen als praktikabel herausgestellt haben. Aufgrund der breit gestreuten Hochschullandschaft mit den unterschiedlichen Lehrinhalten, Ansprüchen der Hochschullehrer, Zusammensetzung der Semester
usw. kann o. g. Bewertungsvorschlag jedoch keine allgemeingültige Bedeutung haben.
Trotz dieser Einschränkung bietet sich die Möglichkeit, eine eigene „fiktive“ Übungs- oder
Prüfungsklausur zusammenzustellen. Hierbei sollten sich die ausgesuchten Prüfungsaufgaben
über verschiedene Themenbereiche erstrecken und sowohl leichtere als auch schwerere Aufgaben enthalten. Die Addition der jeweiligen vorgeschlagenen Lösungszeiten sollte in etwa
die Gesamtdauer einer Prüfung (häufig 60 Minuten; 90 Minuten; 120 Minuten) erreichen.
Neben den „Prüfungsaufgaben“ gibt es noch „Übungsaufgaben“, die entsprechend gekennzeichnet sind. Hier ist der Umfang zu groß oder die Aufgabe für eine Klausur zu schwierig.
Inhaltsverzeichnis
1.
2.
3.
4.
Seite
Viskose Fluideigenschaften .............................................................................................. 1
Aufgabe 1.1
Viskosität in zwei dünnen Flüssigkeitsschichten.................................... 4
Aufgabe 1.2
Rotationsviskosimeter ............................................................................. 7
Aufgabe 1.3
Rotierender Hohlzylinder ..................................................................... 12
Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme ........................................ 15
Aufgabe 2.1
Wasserbehälter auf LKW...................................................................... 18
Aufgabe 2.2
Beschleunigtes Winkelrohr ................................................................... 21
Aufgabe 2.3
Rotierendes Winkelrohr ........................................................................ 23
Aufgabe 2.4
Rotierendes T-Stück ............................................................................. 25
Aufgabe 2.5
Rotierender geschlossener Zylinder...................................................... 27
Aufgabe 2.6
Rotierender Behälter mit Steigrohr ....................................................... 30
Aufgabe 2.7
Rotierender Behälter mit offenem Deckel (Ü) ..................................... 33
Aufgabe 2.8
Messfühler auf rotierender Flüssigkeitsoberfläche ............................... 38
Aufgabe 2.9
Schrägaufzug (Ü)........... ....................................................................... 40
Fluiddruck ....................................................................................................................... 47
Aufgabe 3.1
Kolben in Ölzylinder ............................................................................ 51
Aufgabe 3.2
Kugelbehälter ........................................................................................ 53
Aufgabe 3.3
U-Rohr mit zwei verschiedenen Flüssigkeiten ..................................... 55
Aufgabe 3.4
Behälter mit kommunizierenden Zylindern .......................................... 57
Aufgabe 3.5
Doppeltes Zylindersystem .................................................................... 59
Aufgabe 3.6
Behälter mit verschiedenen Flüssigkeiten (Ü) ...................................... 62
Aufgabe 3.7
Wasserglas ............................................................................................ 66
Aufgabe 3.8
Ballon .................................................................................................... 69
Aufgabe 3.9
Behälter mit Rohrleitungen (Ü).. .......................................................... 73
Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände .......................................... 77
Aufgabe 4.1
Rechteckige Staumauer......................................................................... 81
Aufgabe 4.2
Schräge Absperrklappe ......................................................................... 85
Aufgabe 4.3
Platte auf Wasser .................................................................................. 89
Aufgabe 4.4
Verschlussklappe zwischen zwei Wasserkanälen................................. 92
Inhaltsverzeichnis
VIII
5.
6.
7.
Aufgabe 4.5
Zylinder auf Rechteckabfluss ............................................................... 97
Aufgabe 4.6
Kugel auf Abflussrohr (Ü).. ................................................................ 101
Aufgabe 4.7
Segmentschütz .................................................................................... 105
Aufgabe 4.8
Zylinder zwischen zwei Flüssigkeiten ................................................ 108
Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern ................................................................ 115
Aufgabe 5.1
Boje ..................................................................................................... 117
Aufgabe 5.2
Dichtebestimmung eines Holzbalkens ................................................ 120
Aufgabe 5.3
Eingetauchter Holzstab ....................................................................... 123
Aufgabe 5.4.
Schwimmender Hohlzylinder ............................................................. 127
Aufgabe 5.5
Schwimmender Quader....................................................................... 130
Aufgabe 5.6
Stahlklotz in Quecksilber .................................................................... 133
Aufgabe 5.7
TV-Quiz .............................................................................................. 135
Aufgabe 5.8
Tauchbehälter (Ü) ............................................................................... 138
Aufgabe 5.9
Schwimmender Vollzylinder (Ü)........................................................ 144
Aufgabe 5.10
Verschlusskegel (Ü) ............................................................................ 148
Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung .............................................................. 155
Aufgabe 6.1
Kontinuitätsnachweis .......................................................................... 157
Aufgabe 6.2
Durchflussgesetz ................................................................................. 159
Aufgabe 6.3
Laminare Rohreinlaufströmung .......................................................... 161
Aufgabe 6.4
Ebener Konfusor ................................................................................. 163
Aufgabe 6.5
Verteilersystem .............................................................................. ….166
Aufgabe 6.6
Messstelle der mittleren Geschwindigkeit .......................................... 168
Aufgabe 6.7
Beregnetes Stadion ............................................................................. 172
Bernoullische Energiegleichungen für ruhende Systeme .......................................... 175
Aufgabe 7.1
Wasserbecken mit zwei parallelen Ausflussrohren ............................ 178
Aufgabe 7.2
Vertikale Rohrerweiterung mit U-Rohr .............................................. 181
Aufgabe 7.3
Trichter................................................................................................ 184
Aufgabe 7.4
Vertikaler Rohrausfluss ...................................................................... 188
Aufgabe 7.5
Hakenrohr ........................................................................................... 192
Aufgabe 7.6
Venturimeter ....................................................................................... 194
Aufgabe 7.7
Rohrleitung ohne und mit Diffusor ..................................................... 197
Inhaltsverzeichnis
8.
9.
IX
Aufgabe 7.8
Druckbehälter mit einem Zulauf und zwei Abflüssen ........................ 200
Aufgabe 7.9
Behälter mit Kreisscheibendiffusor .................................................... 203
Aufgabe 7.10
Wasseruhr ........................................................................................... 206
Aufgabe 7.11
Ausfluss aus zylindrischem Behälter .................................................. 208
Bernoullische Energiegleichungen für rotierende Systeme....................................... 211
Aufgabe 8.1
Rohrpumpe.......................................................................................... 213
Aufgabe 8.2
Rotierendes gerades Rohr ................................................................... 217
Aufgabe 8.3
Rasensprenger (Ü) .............................................................................. 222
Aufgabe 8.4
Pumpenlaufrad .................................................................................... 227
Bernoullische Energiegleichung instationärer Strömung ......................................... 231
Aufgabe 9.1
Turbinenfallleitung ............................................................................. 232
Aufgabe 9.2
Instationär durchströmte Heberleitung ............................................... 236
Aufgabe 9.3
Flüssigkeitsschwingung (Ü) ............................................................... 242
Aufgabe 9.4
Leitung mit Verlusten (Ü)................................................................... 247
Aufgabe 9.5
Abgestufte Rohrleitung (Ü) ................................................................ 253
10. Impulssatz strömender Fluide ..................................................................................... 261
Aufgabe 10.1
Wandkraft im Krümmer...................................................................... 263
Aufgabe 10.2
Frei ausblasender Krümmer ................................................................ 266
Aufgabe 10.3
Wandkraft in einer Düse ..................................................................... 269
Aufgabe 10.4
Kolben in Düse ................................................................................... 273
Aufgabe 10.5
T-Stück................................................................................................ 277
Aufgabe 10.6
Offener Behälter mit Stützfeder .......................................................... 281
Aufgabe 10.7
Mischer ............................................................................................... 285
Aufgabe 10.8
Wasserstrahlvolumen .......................................................................... 289
Aufgabe 10.9
Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl............................................................ 292
Aufgabe 10.10 Schwebender Kegel ............................................................................ 296
Aufgabe 10.11 Körper im Rechteckkanal ................................................................... 300
Aufgabe 10.12 Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss (Ü) ................ 304
Aufgabe 10.13 Rotierendes abgewinkeltes Rohr ........................................................ 309
Inhaltsverzeichnis
X
11. Rohr-, Kanalströmungen .............................................................................................. 313
Aufgabe 11.1
Abflussleitungen ................................................................................. 320
Aufgabe 11.2
Luftleitung .......................................................................................... 324
Aufgabe 11.3
Vertikale Rohrleitung ......................................................................... 327
Aufgabe 11.4
Graugussrohre ..................................................................................... 332
Aufgabe 11.5
Benzinleitung ...................................................................................... 335
Aufgabe 11.6
Abgestufte Rohrleitung ....................................................................... 340
Aufgabe 11.7
Grundablassleitung ............................................................................. 344
Aufgabe 11.8
Unstetige Querschnittserweiterung .................................................... 350
Aufgabe 11.9
Wärmetauscher ................................................................................... 354
Aufgabe 11.10 Rohrverzweigung ................................................................................ 357
Aufgabe 11.11 Horizontales Kapillarviskosimeter ..................................................... 361
Aufgabe 11.12 Injektionsspritze .................................................................................. 365
Aufgabe 11.13 Wasserkanal ........................................................................................ 370
Aufgabe 11.14 Abwasserrohr (Ü) ............................................................................... 374
12. Grenzschichtströmungen .............................................................................................. 381
Aufgabe 12.1
Laminare Plattengrenzschicht ............................................................. 385
Aufgabe 12.2
Laminare und turbulente Plattengrenzschicht..................................... 388
Aufgabe 12.3
Laminare Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht ............... 392
Aufgabe 12.4
Turbulente Plattengrenzschicht........................................................... 394
Aufgabe 12.5
Papierfahne ......................................................................................... 397
Aufgabe 12.6
Flussschiff ........................................................................................... 400
Aufgabe 12.7
Luftschiff ............................................................................................ 404
13. Umströmung von Profilen und Körpern..................................................................... 407
Aufgabe 13.1
Sinkende Kugeln ................................................................................. 414
Aufgabe 13.2
Quecksilberbehälter ............................................................................ 419
Aufgabe 13.3
Nebeltröpfchen.................................................................................... 424
Aufgabe 13.4
Tragflügelboot .................................................................................... 427
Aufgabe 13.5
Airbus A380 ........................................................................................ 432
Aufgabe 13.6
Spielzeugdrachen ................................................................................ 435
Aufgabe 13.7
Tragflächenschiff ................................................................................ 438
Aufgabe 13.8
Angeströmte Platte .............................................................................. 441
Inhaltsverzeichnis
Aufgabe 13.9
XI
Sprungturm (Ü) ................................................................................... 445
Aufgabe 13.10 Fallschirmspringer im freien Fall ....................................................... 449
Aufgabe 13.11 Kugel im Windkanal ........................................................................... 452
Aufgabe 13.12 Sandkörner im vertikalen Luftstrom ................................................... 455
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen .................................................................... 459
Aufgabe 14.1
Umströmter Körper ............................................................................. 460
Aufgabe 14.2
Machzahl am Tragflügel ..................................................................... 463
Aufgabe 14.3
Isentrope Stromfadenströmung ........................................................... 465
Aufgabe 14.4
Isotherme Rohrströmung .................................................................... 468
Aufgabe 14.5
Geschoss ............................................................................................. 472
Aufgabe 14.6
Gasbehälter mit Kolben ...................................................................... 475
Aufgabe 14.7
Rohrleitung mit Kegeldiffusor ............................................................ 479
Aufgabe 14.8
Luftstrahl mit Pitot-Rohr .................................................................... 484
Aufgabe 14.9
Druckbehälter mit Düse (und Diffusor ............................................... 487
Aufgabe 14.10 Druckluftbehälter mit Lavaldüse ........................................................ 490
Aufgabe 14.11 Ringförmige Lavaldüse (Ü) ................................................................ 495
15. Strömungsmaschinen .................................................................................................... 503
Aufgabe 15.1
Wasserförderung in einen Druckbehälter ........................................... 504
Aufgabe 15.2
Pumpe zwischen Druckkesseln ........................................................... 509
Aufgabe 15.3
Axialventilator .................................................................................... 512
Aufgabe 15.4
Pelton-Turbine .................................................................................... 515
Aufgabe 15.5
Horizontaler Axialspalt ....................................................................... 519
Aufgabe 15.6
Leitring................................................................................................ 524
16. Navier-Stokes-Gleichungen .......................................................................................... 529
Aufgabe 16.1
Strömung entlang geneigter Wand ..................................................... 530
Aufgabe 16.2
Ebener Spalt ........................................................................................ 534
Aufgabe 16.3
Senkrechter Kanal (Ü) ........................................................................ 539
Aufgabe 16.4
Bewegte Platte über ruhender Wand .................................................. 546
Aufgabe 16.5
Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten ............................... 551
17. Anhang: Diagramme und Tabellen ............................................................................ 557
Nomenklatur
a
>m @
> m/s @
a
> m/s @
Schallgeschwindigkeit
A UR
>m @
Tatsächlicher durchströmter Querschnitt
A
B, b
c
c
cf
cW
cA
cM
cp
cL
cm
cu
2
2
d hyd
Beschleunigung
2
>m @
> m/s @
> m/s @
> m/s @
>/ @
>/ @
>/ @
>J / kg
Breite
Absolutgeschwindigkeit
Mittlere Geschwindigkeit
Ungestörte Geschwindigkeit des Absolutsystems
Widerstandsbeiwert
Auftriebsbeiwert
Momentenbeiwert
K
> m/s @
> m/s @
> m/s @
d
D
Fläche, Querschnittsfläche
@
Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
Lavalgeschwindigkeit
Meridiankomponente von c
Umfangskomponente von c
Differential
> 1/ s @
>m @
Verformungsgeschwindigkeit
Hydraulischer Durchmesser, (Gleichwertigkeitsdurchmesser)
F
>m @
>m @
>[email protected]
f
> m/s @
Bezogene Massenkraft (z.B. FG/m)
I { FI
>[email protected]
Impulsstrom { Impulskraft
g
> m/s @
Fallbeschleunigung
H, h
>m @
Höhe
D, d
e
Durchmesser
Exzentrizität
Kraft
2
2
IS
>m @
>m @
k
>m @
I
4
Flächenmoment 2. Grades
4
Flächenmoment 2. Grades um den Schwerpunkt
Rauhigkeit
Nomenklatur
XIV
kS
L, l
m
m
m
Ma
n
p
P
pV
pf
pB
pDa
R, r
Re
Ri
s
T
t
T
T*
T, t
u
U UR
>m @
Äquivalente Sandrauhigkeit
>m @
> kg @
> kg / s @
>/ @
>/ @
> 1/ s @
> Pa @
>W @
> Pa @
Länge
Masse
Massenstrom
Exponent
Machzahl
Drehzahl
Druck
Leistung
Druckverlust
> Pa @
> Pa @
> Pa @
>m @
>/ @
>J / kg K @
>m @
>K @
>s @
>N [email protected]
>K @
>m @
> m/s @
>m @
Druck in ungestörter Außenströmung
Barometrischer Druck
Dampfdruck
Radius
Reynoldszahl
Spezifische Gaskonstante
Spaltweite, Wandstärke, Weg
Absoluttemperatur
Zeit
Moment
Totaltemperatur
Tiefe vom Flüssigkeitsspiegel aus gezählt
Umfangsgeschwindigkeit, Systemgeschwindigkeit
Gesamter fluidbenetzter Umfang
3
Volumen
3
Volumenstrom
v
>m @
> m /s @
> m / kg @
3
Spezifisches Volumen
w
> m/s @
Relativgeschwindigkeit
V
V
x, y, z
Y
Karthesische Koordinaten
>
N m / kg
@
Spezifische Pumpenförderenergie
Nomenklatur
Y Anl
Y Sch
f
>
>
XV
@
/ kg @
N m / kg
Spezifischer Energiebedarf einer Anlage
N m
Spezifische Schaufelarbeit bei schaufelkongruenter, verlustfreier
Strömung
Y Sp
f
>
N m / kg
@
Spezifische Spaltdruckarbeit bei schaufelkongruenter, verlustfreier Strömung
YV
>
Z
>m @
N m / kg
@
Spezifische Verlustenergie
Ortshöhe
G
>q @
>/ @
>q @
>q @
> [email protected]
'
H
P0 >/ @
>q @
>q @
>Pa s @
>/ @
>/ @
>/ @
>/ @
Q
>m
-
> qC @
U
>kg / m @
D
D
E
G
M J
K
K
N O
VZ W
W0 Z
]
Winkel
Kontraktionszahl
Winkel
Anstellwinkel
Grenzschichtdicke
2
/s
@
Differenz
Gleitzahl
Winkel
Gleitwinkel
Dynamische Viskosität
Wirkungsgrad
Isentropenexponent
Rohrreibungszahl
Haftreibungsbeiwert
Kinematische Viskosität
Temperatur
3
Dichte
>Pa @
>Pa @
>Pa @
Zugspannung
>1 / s @
>/ @
Winkelgeschwindigkeit
Schub-, Scherspannung
Wandschubspannung
Verlustziffer
1. Viskose Fluideigenschaften
Viskosität
Die Stoffgröße „Viskosität“ ist als Resultat der inneren Reibung, die bei der Verschiebung von
Fluidteilchen gegeneinander entsteht, zu verstehen. Sie ist definiert als Eigenschaft eines fließfähigen Stoffsystems (flüssig oder gasförmig), bei Verformungen Spannungen aufzunehmen.
Umgekehrt kann ebenso durch eine aufgebrachte Spannung (Schub-) eine Verformung hervorgerufen werden, die sich in der Änderung der Geschwindigkeit senkrecht zu ihrer Richtung äußert. Diese Geschwindigkeitsänderung wird als Verformungsgeschwindigkeit D bezeichnet.
Man muss hierbei zwischen zwei Fällen unterscheiden (Abb. 1.0.1 und Abb. 1.0.2):
1. Handelt es sich um sehr dünne Fluidschichten, so ist ein linearer Geschwindigkeitsverlauf
cx = f(z) feststellbar. Die Verformungsgeschwindigkeit D innerhalb dieser Schicht ändert
'c
sich folglich nicht, d.h. D { x = konstant. Diesen Fall bezeichnet man auch als
'z
Couette-Strömung.
2. Abweichend hiervon, wenn also die Fluidschichten nicht mehr als sehr dünn einzustufen
sind, verändert sich die Geschwindigkeit cx nicht mehr proportional mit z. Hier ist ein
nichtlinearer Geschwindigkeitsverlauf zu erkennen. Folglich wird auch die Verformungsdc
geschwindigkeit D { x z konstant.
dz
Newton hat für den Fall dünner Fluidschichten festgestellt, dass die Reibungskraft F zwischen
den Schichten abhängig ist von dem Geschwindigkeitsunterschied 'c x , nicht aber vom
Druck. Dies steht im Gegensatz zu Reibungskräften bei Festkörpern, die bekanntlich von
Normalkräften abhängen. Des Weiteren konnte Newton aufgrund von Versuchen ermitteln,
dass sich diese Kraft proportional zur Fläche A und der Fluiddichte U sowie umgekehrt proportional zum Abstand 'z verhält.
Abb. 1.0.1 Über Flüssigkeit gezogene Platte bei zwei verschiedenen Schichtdicken
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_1,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
2
1. Viskose Fluideigenschaften
Lineare Geschwindigkeitsverteilung bei
kleiner Schichtdicke
Nichtlineare Geschwindigkeitsverteilung
bei größerer Schichtdicke
Abb. 1.0.2. Geschwindigkeitsverteilungen bei zwei verschiedenen Schichtdicken
1. Unter Voraussetzung dünner Fluidschichten lässt sich die Reibungskraft F ermitteln aus
'c
F K* A * x .
'z
Bezieht man diese Kraft auf die benetzte Fläche A, so erhält man als Schubspannung
F
.
W
A
Das Newtonsches Fluidreibungsgesetz der Couette-Strömung lautet somit
W
K*
'c x
,
'z
wobei
K
dynamische Viskosität
'c x
Verformungsgeschwindigkeit.
'z
K ist eine Stoffkonstante und hängt in vielen Fällen ausgeprägt von der Temperatur ab, vom
Druck dagegen weniger. Wegen der konstanten Verformungsgeschwindigkeit D bei CouetteStrömungen und mit K als Stoffgröße (unabhängig von D angenommen) ist die Schubspannung W in diesem Fall über z konstant.
D
2. Bei nichtlinearer cx -Verteilung lautet das Newtonsches Fluidreibungsgesetz analog zu 1.
W
K*
dc x
dz
K
D
K D1
dynamische Viskosität
dcx
dz
Verformungsgeschwindigkeit.
Die Schubspannung W ändert sich hierbei linear mit der Verformungsgeschwindigkeit
dc x
, wenn K als dynamische Viskosität wiederum unabhängig von D vorausgesetzt
D
dz
wird. Die Fluide mit diesen Eigenschaften bezeichnet man auch als Newtonsche Fluide.
1. Viskose Fluideigenschaften
3
Dynamische Viskosität K :
Zur Dimension der dynamischen Viskosität gelangt man wie folgt:
K
W
§ dc x ·
¨
¸
© dz ¹
dc x ª m º
ªNº
ªN *sº
mit W « 2 » und
ergibt K « 2 »
«
»
m
dz
s
m
¬ ¼
¬
¼
¬ m ¼
oder
K >Pa * [email protected] .
Kinematische Viskosität Q :
Bezieht man die dynamische Viskosität K auf die Fluiddichte U, so führt dies zu einer spezifischen Viskosität, die als kinematische Viskosität Q bekannt ist.
Q
K
.
U
Die Dimension der kinematischen Viskosität lässt sich folgendermaßen angeben:
Q
ª N * s m3 º
ª kg * m * s * m 3 º
K
ªN *sº
ª kg º
mit K « 2 » und U « 3 » ergibt Q « 2 *
» oder Q « 2
».
2
U
kg ¼
¬ m ¼
¬m ¼
¬ m
¬ s * m * kg ¼
ª m2 º
Q « »
¬ s ¼
Für Wasser und Luft als sehr häufig verwendete Fluide sind die beiden Viskositäten bei atmosphärischer Umgebung ( p = 1 bar und - = 20 q C ) in gerundeten Werten zusammengestellt.
ª kg º
U « 3»
¬m ¼
Wasser
Luft
1000
1,2
K [Pa * s]
1000 * 10 6
18 * 10 6
ª m2 º
Q«
»
¬ s ¼
1 * 10 6
15 * 10 6
4
1. Viskose Fluideigenschaften
Aufgabe 1.1 Viskosität in zwei dünnen Flüssigkeitsschichten
¥1.
¥2.
h
h
9 min
2 min
9 Punkte
2 Punkte
In Abb. 1.1.1 ist ein Flüssigkeitssystem zu erkennen, das aus zwei übereinander geschichteten, sich nicht miteinander vermischenden Flüssigkeiten verschiedener Viskositäten K1 und K2
besteht. Die jeweiligen Schichthöhen h1 und h2 sind dabei als sehr klein einzustufen. Auf der
oberen Schicht wird eine nicht eintauchende Platte über die Fläche gezogen, wobei von der
Platte die Fläche A und die Geschwindigkeit c bekannt sind. Welche Kraft F wird für den Vorgang benötigt?
Abb. 1.1.1 Viskosität in zwei dünnen Flüssigkeitsschichten
Lösung zu 1.1
Aufgabenerläuterung
Der Aufgabe liegt das Newtonsche Reibungsgesetz
W
K
dc
dz
zugrunde. Bei kleinen
Schichtdicken liegt ein konstanter Geschwindigkeitsgradient vor, sodass man
dc
'c
=
set'z
dz
'c
über z nicht ändert.
'z
In der Trennfläche beider Flüssigkeiten ist die örtliche Geschwindigkeit c1 gleich groß.
zen kann. Dies bedeutet, dass sich auch die Schubspannung W
Gegeben:
c ; A ; h1 ; h2 ; K1 ; K2
Gesucht:
1.
2.
F
F, wenn: K1
1 103 Pa s ;
K2 15 103 Pa s ;
m
; A = 0,50 m2
c 1
s
K
h1 = 1 mm
h2 = 2 mm
1. Viskose Fluideigenschaften
Anmerkungen:
5
- Haftbedingung an Platte und Boden.
- Flüssigkeiten vermischen sich nicht.
- Couetteströmung in beiden Schichten.
- In Ebene 1 dieselbe Geschwindigkeit c1 bei beiden Schichten
Lösungsschritte
Aufgrund des Haftens der Flüssigkeit 2 an der Platte und der Flüssigkeit 1 am Boden sowie
der vorausgesetzten kleinen Schichtdicken stellt sich die in der Abb. 1.1.1 erkennbare Geschwindigkeitsverteilung ein. Zwischen Plattengeschwindigkeit c und der Geschwindigkeit c1
in der Trennschicht ist die Geschwindigkeitsdifferenz cDi. zu erkennen, also c c1 cDi.
Die gesuchte Zugkraft F an der Platte weist an der flüssigkeitsbenetzten Fläche die ReaktiFR
onskraft FR auf. Nach dem Kräftegleichgewicht F = FR erhält man mittels W
, wobei
A
Wdie konstante Schubspannung in der Flüssigkeit ist, FR W A und somit die gesuchte
Kraft F W A . Die erforderliche Schubspannung Wals noch unbekannte Größe ermittelt
man in folgenden Schritten:
Das Newtonsche Gesetz für die Schicht 1 lautet W
K1
'c1
. Hierin sind
'z1
'c1 = c1 - 0
der Geschwindigkeitsunterschied in der Schicht 1 und folglich
'c1 = c1
sowie
'z1 = h1.
Dies führt zu
W
c1
K1
c1
.
h1
Die hierin unbekannte Geschwindigkeit c1 in der Trennschicht lautet
c cDi. .
Eingesetzt in die Gleichung für W führt dies zu
W
K1
c c Di.
.
h1
W
K1
c
K1
h1
c Di.
h1
W
K1
h1
c
K1
h1
c Di. .
Nach Ausmultiplizieren der Klammer erhält man
oder auch
Die unbekannte Differenzgeschwindigkeit c Di. kann nun aus der Schubspannung in der oberen Schicht wie folgt hergeleitet werden.
'c 2
Das Newtonsche Gesetz für die Schicht 2 lautet W K2
. Hierin sind
'z 2
'c2 = cDi.
der Geschwindigkeitsunterschied in der Schicht 2 und
'z 2
h2 .
Dies führt dann zu
6
W
1. Viskose Fluideigenschaften
K2
oder nach c Di. umgeformt
W h2
.
K2
c Di.
W
c Di.
h2
K1
h1
c
Eingesetzt in die Gleichung für W führt dies zu
K1
h1
W
K1
h1
h2
K2
c
K1
K2
h2
h1
W.
Wird jetzt noch die Gleichung nach Gliedern mit W umgestellt
W
K1
K2
h2
h1
W
K1
h1
§
K h2 ·
¸
W ¨¨1 1
K
h1 ¸¹
2
©
§h
K h1
W ¨¨ 1 1
K
K
K1
2
© 1
c,
K1
h1
h2 ·
¸
h1 ¸¹
§h
h ·
W ¨¨ 1 2 ¸¸ c .
© K1 K2 ¹
c
W
.
§ h1 h 2 ·
¸¸
¨¨ © K1 K2 ¹
c
dann W ausgeklammert
und schließlich mit
c , so entsteht
Nach Division durch den Klammerausdruck lautet W:
Das Ergebnis für F ist dann wie folgt bekannt:
F
2. F, wenn:
h1
multipliziert
K1
A
c
1
§ h1 h 2 ·
¸¸
¨¨ © K1 K2 ¹
Flüssigkeit 1 (Wasser) mit
Flüssigkeit 2 (Öl)
mit
K1
K2
c
1 103 Pa s ; h1 = 1 mm ;
15 103 Pa s ; h2 = 2 mm
m
; A = 0,50 m2
1
s
Unter Beachtung dimensionsgerechter Größen lässt sich die Kraft F wie folgt ermitteln:
F
0,50 1
1
§ 0,001 0,002 ·
¨
¸
© 0,001 0,015 ¹
F = 0,441 N
1. Viskose Fluideigenschaften
7
Aufgabe 1.2 Rotationsviskosimeter
¥1.
¥2.
15 min
3 min
hhh
h
15 Punkte
3 Punkte
In Abb. 1.2.1 ist in vereinfachter Darstellung ein Rotationsviskosimeter zu erkennen, bei dem
sich ein zylindrischer Rotor in einem mit der Prüfflüssigkeit gefüllten Hohlzylinder dreht.
Zwischen Rotormantelfläche und Gehäuse erkennt man den Spalt s und zwischen Rotorbodenfläche und Gehäuse den Spalt h. Beide Spaltweiten sind so klein bemessen, dass man jeweils von einer Couette-Strömung ausgehen kann. Zur Dimensionierung des Antriebs wird
von einer bekannten Viskosität K der Prüfflüssigkeit ausgegangen, ebenso wie von den Viskosimeterabmessungen ra, ri, H und h sowie der Rotordrehzahl n. Mit welchem Drehmoment T
muss der Rotor angetrieben werden, wenn seine Mantelfläche und die untere Stirnfläche flüssigkeitsbenetzt sind?
Abb. 1.2.1 Rotationsviskosimeter
Lösung zu 1.2
Aufgabenerläuterung
Couette-Strömungen in ebenen Schichten oder kreisringförmigen Systemen mit sehr kleinen
Schichthöhen bzw. Spaltweiten weisen sich durch lineare Geschwindigkeitsverteilungen aus.
dc
für diese Fälle formuliert lautet dann
Das Newtonsche Reibungsgesetz W K
dz
'c
'u
bzw. W K
. Dies bedeutet, dass auch die Schubspannungen über der Höhe
W K
'z
'r
'z bzw. 'r konstant sind. Die Anwendung dieses Gesetzes für den Spalt zwischen Rotormantel und Gehäuse und für den Spalt zwischen Rotorstirnfläche und Gehäuseboden ist die
Grundlage bei der Lösung vorliegender Aufgabe. Da an der Rotorstirnfläche die Schubspannung sich jedoch über dem Radius r ändert, muss dies durch eine geeignete Integration berücksichtigt werden. Die aus den Schubspannungen mittels der Bezugsflächen resultierenden
Scherkräfte führen in Verbindung mit den Wirkradien zum gesuchten Antriebsmoment.
8
1. Viskose Fluideigenschaften
Gegeben:
H ; ra ; r i ; h; K ; n
Gesucht:
1. T
2. T, wenn: ra
1
n= 2
.
s
Anmerkungen:
50,1 mm ; ri = 50,0 mm ; H = 100 mm ; h = 0,20 mm;
Die Couetteströmung über der Spalthöhe h am Boden des Viskosimeters
trifft nur bei h << r zu. In unmittelbarer Umgebung der Drehachse ist
dies jedoch nicht mehr der Fall, was aber hier nicht weiter berücksichtigt
werden soll. Auch der Einfluss der Rotorlagerung soll von untergeordneter Bedeutung sein.
Lösungsschritte
1. T :
Das gesamte Antriebsmoment T setzt sich aus der Summe der Momente an der Manteloberfläche TM und dem an der bodenseitigen Stirnfläche TB zusammen, also
T = TM TB .
TM :
Das Moment am Rotormantel ist das Produkt der dortigen Scherkraft FWi mit dem Rotor-
radius ri .
TM
FWi
ri
Die Scherkraft FWi wiederum kann als Produkt der auch an der Manteloberfläche wirkenden,
über der Spaltweite konstanten Schubspannung W mit der Fläche selbst formuliert werden
FWi = W A i ,
Ai
2 S ri H
Fw i = W 2 S ri H .
wobei
die Rotormanteloberfläche darstellt. Somit erhält man FWi zu:
Das Moment TM
FWi
ri lautet dann
2
TM = W 2 S ri H .
Zu der in dieser Gleichung noch benötigten Schubspannung W gelangt man mittels Newton'u
schem Reibungsgesetz im Fall kleiner Spaltweiten W K
, also linearer Geschwindig'r
keitsverteilungen (Abb. 1.2.2). Da im vorliegenden Fall die Umfangsgeschwindigkeit mit
wachsendem Radius ra > ri abnimmt, muss dies durch das negative Vorzeichen im
Newtonschen Gesetz berücksichtigt werden, also
1. Viskose Fluideigenschaften
9
Abb. 1.2.2 Ausschnitt aus dem Ringspalt an der Rotormanteloberfläche
'u
'r
W
K
ua
0
ui
ri
Z
2 S n
'u
mit
u a u i und
'r
(ra ri ) = s .
Umfangsgeschwindigkeit des Gehäuses gleich Null, da Z = 0.
Z
Umfangsgeschwindigkeit des Rotors
Winkelgeschwindigkeit des Rotors
Diese Zusammenhänge in o.g. Gleichung für W eingesetzt liefert zunächst
W
K
ri
1
2 S n
s
am Rotormantel zu TM
oder
W
2 S K n
ri
. Damit erhält man das Moment
s
ri
2 S ri2 H und weiter zusammengefasst
s
3
r
4 S2 K n i H .
s
2 S K n
TM
TB :
Dem Moment TB an der bodenseitigen Stirnfläche des Rotors (Abb. 1.2.3) liegt eine Schubspannung W r zugrunde, die zwar über der Spalthöhe h (quasi-)konstant ist, mit veränderlichen Radien r und demzufolge auch Umfangsgeschwindigkeiten u(r) eine diesbezügliche Abhängigkeit aufweist. Die Lösung TB kann über eine Integration des infinitesimalen Moments
dTB herbeigeführt werden, also:
ri
TB
³ dT
B
.
0
dTB
dFB
r
Infinitesimales Moment am Radius r
dFB
Wr
dA B
Infinitesimale Scherkraft an Rotorstirnfläche bei r
dA B
2
Wr
K
'z = h
S
r
'u r
'z
dr
Infinitesimale Kreisringfläche
Schubspannung bei r über 'z = h konstant, wenn h << r.
Spalthöhe zwischen Gehäuseboden und Rotorstirnfläche
10
1. Viskose Fluideigenschaften
'u r
= u r 0
ur
r
Z
ur
Geschwindigkeitsunterschied über 'z = h
ur
Z
Umfangsgeschwindigkeit des Rotors bei r
2 S n
2
S
Winkelgeschwindigkeit des Rotors
r
n
Abb. 1.2.3 Bodenseitige Stirnfläche des Rotors
Als Schubspannung erhält man mit diesen Zusammenhängen
Wr
K
2 S n
h
oder auch
r
Wr
infinitesimale Scherkraft dFB
dFB
2 S K n
dFB
4
S2
K n
dTB
4
S2
K n
TB
TB
4 S2
4 S2
K n
K n
1
h
1
h
1
h
1
h
2 S K n
Wr
dA B
2 S r
r
Wr
2 S
r
r . Eingefügt in die
dr liefert dies zunächst
dr oder die betreffenden Größen zusammengefasst
r2
dr .
Das infinitesimale Moment dTB lautet dann
r3
dr .
Die anschließende Integration von dTB
dr
führt zu
ri
1
h
³r
3
1
h
r4
4
ri
0
und schließlich
0
4
TB
S2
K n
ri
.
h
1. Viskose Fluideigenschaften
11
Das Gesamtmoment durch Addition beider Teilmomente
3
4
r
H
r
S2 K n i
T 4 S2 K n i
s
h
lässt sich nach Ausklammern von S2 K n r13 wie folgt angeben:
T
2. T, wenn:
ra
K
S2
K n
r13
ª
«¬4
H ri º
»
s
h¼
50,1 mm ; ri = 50,0 mm ; H = 100 mm ; h = 0,20 mm
1
30 103 Pa s ; n = 2
.
s
Werden die gegebenen Größen dimensionsgerecht in o.g. Gleichung eingesetzt,
T = S2
30 10 3
2 0,0503
ª
«4
¬
100
50,0 º
50,1 50,0
0,2 »¼
so benötigt man ein Antriebsmoment von
T = 0,3146 Nm.
Hinweis: Man kann natürlich auch o.g. Gleichung im Sinne der Aufgabe des Viskosimeters
nach der zu bestimmenden Viskosität K umformen und erhält:
K
S
2
T
ª
n r «4
¬
3
1
H ri º
s h »¼
Hierin sind T und n Messgrößen, die in Verbindung mit den anderen Werten zur jeweiligen
dynamischen Zähigkeit führen.
12
1. Viskose Fluideigenschaften
Aufgabe 1.3 Rotierender Hohlzylinder
¥1.
¥2.
hh
h
11 min
3 min
11 Punkte
3 Punkte
Ein Hohlzylinder rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Z um einen Vollzylinder, der
die Länge L und den Radius R aufweist. Der Raum zwischen beiden Körpern ist vollständig
mit einer Flüssigkeit ausgefüllt, von der die dynamische Zähigkeit K bekannt ist. Welche
Spaltweite s muss vorliegen, wenn an der Einspannstelle A des ruhenden Vollzylinders ein
Grenzmoment T nicht überschritten werden soll?
Abb. 1.3.1 Rotierender Hohlzylinder
Lösung zu 1.3
Aufgabenerläuterung
Die Aufgabe befasst sich mit der Anwendung des Newtonschen Schubspannungsgesetzes
'c
, das wie im vorliegenden Fall kleiner Schichtdicken bzw. Spaltweiten (CouetteW K
'z
'c
Strömung) einen konstanten Geschwindigkeitsgradienten
aufweist. Demzufolge stellt
'z
sich in dieser Schicht auch eine konstante Schubspannung Wein. Das Grenzmoment T muss
weiter verknüpft werden mit der aus der Schubspannung resultierenden Scherkraft an der
Oberfläche des Vollzylinders, um die Spaltweite s ermitteln zu können.
Gegeben
R; T ; L ; K ; Z ;
Gesucht:
1.
s
2.
s , wenn:
K
R = 10 cm ; T = 0,045 Nm ; L = 60 cm ;
1
0,0010 Pa * s ; Z 12,57
s
1. Viskose Fluideigenschaften
Anmerkungen:
13
- Couette-Strömung im Spalt wegen s/R <<, d.h. lineare Geschwindigkeitsverteilung.
- Schubspannungen an den Stirnflächen des Vollzylinders bleiben
unberücksichtigt.
- Reibungsmomente in den Dichtungen bleiben unberücksichtigt.
Lösungsschritte
1. s :
'c
enthalten, das, auf die Ge'z
gebenheiten des vorliegenden Falls bezogen (Abb. 1.3.1), wie folgt lautet:
Die gesuchte Spaltweite s ist im Newtonsche Gesetz W
W
'u
K
'u
= konstant. Hierin bedeuten unter Verwendung von u
'R
K
u Rs u R
u Rs
Rs
u R = 0; Z
'u
Rs
'R
s
r
Z
die Differenz der Umfangsgeschwindigkeiten,
Z
0
die Umfangsgeschwindigkeit innen am Hohlzylinder und
die Umfangsgeschwindigkeit des ruhenden Vollzylinders. Es folgt
Z.
Die Differenz der Radien ist gleich die Spaltweite s selbst.
Rs Z
.
s
Es muss nun s herausgetrennt werden. Dies erreicht man in nachstehenden Schritten.
In o.g. Gleichung eingesetzt erhält man zunächst W
§R
·
K ¨ 1¸ Z .
©s
¹
W
§R
·
¨ 1¸ ,
K Z ©s
¹
W
R
s
s
R
§ W
·
1¸¸
¨¨
©K Z
¹
1
§ W
·
1¸¸
¨¨
K
Z
©
¹
K
Durch K Z dividiert
R
auf eine Gleichungsseite gebracht
s
und dann den Kehrwert gebildet führt zu
oder
s
R
K Z
.
WK Z
In diesem Ausdruck muss jetzt noch die Schubspannung Win Verbindung gebracht werden
mit dem vorgegebenen Grenzmoment T. Dies erreicht man in nachstehenden Schritten. Die
Schubspannung an der Oberfläche des Vollzylinders lässt sich ersetzen durch die auf die
FWi
wirksame Fläche bezogene Scherkraft FWi , also W
konstant. Hierin ist als BezugsAi
fläche A i 2 ˜ S R L die Mantelfläche des Vollzylinders zu verwenden. Die Scherkraft
14
1. Viskose Fluideigenschaften
FWi ersetzt man gemäß FWi
R
T nach Umstellen durch FW =
i
T
. Auf diese Weise können
R
wir die noch zu bestimmende Schubspannung darstellen mit
W
T
R
1
2
S
R
L
oder W =
T
2 S R2
L
. In die Ausgangsgleichung eingesetzt
lautet dann das Ergebnis der gesuchten Spaltweite s:
s
R
K
§
¨
©2
S
T
R2
L
Z
·
K¸
¹
2. s , wenn: R = 10 cm ; T = 0,045 Nm ; L = 60 cm ; K
0,0010 Pa * s ; Z
12,57
1
s
Werden die gegebenen Größen dimensionsgerecht verwendet, so errechnet sich die Spaltweite
wie folgt:
s
0,10
§
¨
©2
S
0,001
0,045
·
0,001¸
0,10 2 0,60 12,57
¹
s = 0,00106 m = 1,06
mm
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Freie Oberflächen
Die Ausbildung freier Oberflächen als Grenzflächen zwischen Flüssigkeitsspiegeln und Gasen (oft Wasser und Luft) erfolgt aufgrund folgender Beobachtungen und Feststellungen:
- Die Fluidteilchen sind leicht verschiebbar. Sie passen sich jeder Körperform an.
- Die Fluidteilchen bewegen sich unter Einwirkung von Tangentialkräften (-komponenten)
solange, bis diese verschwunden sind.
- Die Fluidteilchen kommen also dann zur Ruhe, wenn nur noch Normalkräfte zwischen
ihnen wirken. Im Beharrungszustand ist keine Bewegung der Fluidteilchen relativ zueinander und zu den Wänden vorhanden.
- Freie Oberflächen stellen sich in jedem Punkt senkrecht zur Kraftresultierenden ein.
1. Flüssigkeitsoberfläche bei beschleunigter Translationsbewegung
Abb. 2.0.1. Fluid bei beschleunigter Translationsbewegung
Der Neigungswinkel D einer Flüssigkeitsoberfläche bei einer am System wirksamen Beschleunigung a lässt sich gemäß Abb. 2.0.1. wie folgt bestimmen:
tan D
dm * a
dm * g
tan D
a
g
D
oder
§a·
arctan ¨¨ ¸¸
©g¹
2. Flüssigkeitsoberfläche im Fall rotierender Systeme
Im Bereich des freien Spiegels einer rotierenden Flüssigkeit kann für jeden Punkt der Oberfläche der Neigungswinkel D r und die Kontur des Spiegels hergeleitet (Abb. 2.0.2) werden.
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_2,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
16
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Abb. 2.0 2. Flüssigkeitsoberfläche in einem rotierenden Behälter
Neigungswinkel D
tan D r
Ortskoordinate
zr
r * Z2
g
Z2
* r 2 ZS
2*g
Folglich bildet die freie Oberfläche ein Rotationsparaboloid. Dieses ist unabhängig vom
Fluid, da kein Stoffwert in der Gleichung Einfluss nimmt. Weitere Abmessungen lauten:
Einfüllhöhe
H0
Spiegelabsenkung
h1
Z2 R 2
*
2*g 2
Spiegelanstieg
h2
Z2 R 2
*
2*g 2
Scheitelhöhe
ZS
H 0 h1
Randhöhe
ZR
H0 h 2
d.h.
h1 = h2
Druckverteilungen in bewegten Flüssigkeitssystemen
1. Druckverteilung bei beschleunigter Translationsbewegung
Im Fall gleichmäßig translatorisch beschleunigter Flüssigkeitssysteme lässt sich die Druckverteilung p( x; z ) im Flüssigkeitsraum herleiten zu:
p( x; z )
p 0 U (a x g z )
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
p0
U
a
g
x, z
17
Druck im Koordinatenursprung
Flüssigkeitsdichte
Beschleunigung des Systems
Fallbeschleunigung
Ortskoordinaten
2. Druckverteilung im Fall rotierender Systeme
Der statische Druck p z, r im gleichmäßig rotierenden Flüssigkeitsraum wird mit folgender
Funktion beschrieben:
ª
Z2 2 º
p z, r p 0 U « g z r »
2
¬
¼
p0
U
g
Z
z
r
Druck im Koordinatenursprung
Flüssigkeitsdichte
Fallbeschleunigung
Winkelgeschwindigkeit
Höhenkoordinate
Radius
18
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Aufgabe 2.1 Wasserbehälter auf LKW
¥1.
¥2.
hh
h
11 min
2 min
11 Punkte
2 Punkte
Auf einem LKW wird ein offener, mit Wasser befüllter Behälter transportiert. Im ruhenden
Zustand lässt sich das Wasservolumen V im quaderförmigen Behälter mit der Füllhöhe h, der
Länge L und der Breite B (senkrecht zur Bildebene) feststellen. Der LKW soll aus der Ruhe
heraus mit einer konstanten Beschleunigung a angefahren werden, bis er eine Endgeschwindigkeit c0 erreicht hat. Wie lange dauert die Beschleunigungsphase t0, wenn gerade kein Wasser aus dem Behälter verloren gehen soll?
Abb. 2.1.1 Wasserbehälter auf LKW
Lösung zu 2.1
Aufgabenerläuterung
Die Grundlage bei der Lösung dieser Aufgabe liegt in der Erkenntnis, dass sich die Oberflächen von Flüssigkeiten immer senkrecht zur Kraftresultierenden an den Fluidelementen der
Oberfläche anordnen. Bei der vorliegenden translatorischen Bewegung mit zunächst konstanter Beschleunigung a bewirken die Gewichtskraft vertikal nach unten sowie die Trägheitskraft
entgegen Beschleunigungsrichtung diese resultierende Kraft. Als Richtung der Wasseroberfläche zur Horizontalebene lässt sich dann der Winkel Dermitteln. Gegeben:
h; h1 ; L ; c0
Gesucht:
1.
t0
2. Pkt. 1, wenn: h = 1,8 m ; h1 = 3,0 m ; L = 4,0 m ; c0 = 10
Anmerkungen:
- Flüssigkeitsschwingungen sollen nicht entstehen.
Da die Einfüllhöhe h das Ergebnis beeinflusst, soll wie in
h
Abb. 2.1.1. dargestellt der Fall h > 1 zugrunde liegen.
2
m
s
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
19
Lösungsschritte
1. t 0 :
dc
, bzw. bei kondt
'c
'c
stanter Beschleunigung a
durch Umformung nach 't zunächst ermitteln zu 't
.
a
't
c0
Hierin sind 'c c0 0 und 't t 0 0 . Dies führt zum Ausdruck t 0
. Mit der noch zu
a
bestimmenden Beschleunigung a erhält man die Zeit t0.
Die gesuchte Zeit t0 lässt sich aus der Definition der Beschleunigung a
a:
Für ein Masseelement dm an der Flüssigkeitsoberfläche wird gemäß Abb. 2.1.2 bei senkrechter Anordnung der Oberfläche zur Kraftresultierenden
Abb. 2.1.2 Kräfte am Masseelement dm
tan D
dFa
dFG
wobei
dFa
dm * a
die Trägheitskraft am Element und
dFG
dm * g
die Gewichtskraft des Elements sind. Dies liefert
tan D
dm * a
dm * g
a
.
g
Einen weiteren Zusammenhang des Winkels D mit jetzt nur geometrischen Größen kann
Abb. 2.1.1 entnommen werden. Hierbei wird berücksichtigt, dass das Wasser im Fall der gesuchten Beschleunigung gerade die obere Kante des Behälters erreicht und keine Flüssigkeitsverluste entstehen. tan D lässt sich wie folgt formulieren:
tan D
( h1 y )
.
L
20
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
y:
Die noch unbekannte Größe y ist aus der Volumengleichheit
V=h*L*B
im ruhenden Zustand und im
1
V= y*L*B +
gleichmäßig beschleunigten Fall
* B * ( h1 y ) L
2
1
h * L * B = y * L * B + * B * L ( h1 y )
durch das Gleichsetzen der Gleichungen
2
und Zusammenfassen und Kürzen betreffender Größen wie folgt bestimmbar:
1
1
h * L * B = y * L * B + * B * L h1 * B * L y
2
2
1
1
1
1
h = y+
*y+
h1 y oder h =
h1 . Multipliziert mit 2 und nach y umge2
2
2
2
stellt folgt y = 2 * h – h1. y in oben stehende Gleichung für tan D eingesetzt liefert
2 h1 h
h1 2 h h1
oder tan D
.
L
L
Die zwei voneinander unabhängig ermittelten Zusammenhänge für tan Dgleichgesetzt
tan D
a = g*
t0
a
h1 h
=
g
L
h1 h
.
L
2
tan D
co
g
2
2
führen zur Beschleunigung a
Diese in der Zeit t 0 verwendet
L
h1 h
führen wie folgt zum Ergebnis
t0
1
2
co
g
§L·
¨¨ ¸¸
© h1 ¹ .
§
h·
¨¨1 ¸¸
h1 ¹
©
2. t 0 , wenn h = 1,8 m ; h1 = 3 m ; L = 4,0 m ; c0 = 10
m
:
s
Bei dimensionsgerechtem Gebrauch der gegebenen Größen erhält man
4
1 10
3
t0
1,8 ·
2 9,81 §
¨1 ¸
3 ¹
©
t 0 1,70 s .
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
21
Aufgabe 2.2 Beschleunigtes Winkelrohr
¥1.
h
5 min
5 Punkte
Ein hakenförmiges dünnes Röhrchen ist mit Flüssigkeit gefüllt. Der horizontale Teil ist an der
Stelle 3 verschlossen und weist die Länge L auf. Im vertikalen, oben offenen Abschnitt steht
das Fluid bis zur Höhe H. Das Röhrchen soll in horizontaler Richtung derart beschleunigt
werden, dass an der Stelle 3 gerade der Dampfdruck pDa. der Flüssigkeit erreicht wird. Wie
groß muss bei den gegebenen Größen die Maximalbeschleunigung werden?
Abb. 2.2.1 Beschleunigtes Winkelrohr
Lösung zu 2.2
Aufgabenerläuterung
Die Aufgabe beschäftigt sich mit der Anwendung der Druckverteilung in translatorisch beschleunigten Flüssigkeitssystemen.
Gegeben:
L; H; U ; pDa ; pB ;
Gesucht:
amax
Anmerkungen:
- Das Röhrchen wird als sehr dünn angesehen. Diese Vereinfachung
führt dazu, dass die Druckverteilung jeweils nur in x- bzw. z-Richtung
betrachtet werden muss.
- Zur Anwendung kommt die Druckverteilungsgleichung
p ( x; z ) p 0 U (a x g z ) .
22
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Lösungsschritte
amax , wenn p3 = pDa :
Die Druckverteilung in beschleunigten, translatorisch bewegten Systemen lautet (s.o.):
p( x; z) p 0 U (a x g z) . p0 ist hierin der Druck im gewählten Koordinatenursprung.
Demnach wird im vorliegenden Fall der Druck an der Stelle 3 zuerst den Dampfdruck erreichen, da x = L, wenn auch z = 0 ist. Folglich lautet der Druck p3 = p ( x L; z 0) :
p3 p0 U a L .
Es muss zur Lösung der gestellten Aufgabe weiterhin p0 festgestellt werden. Dies lässt sich
mit der Druckverteilung p( x; z) p 0 U (a x g z) jetzt an der Stelle 1 mit x = 0 und
z = H bewerkstelligen. Hier ist p (x
p0 U g
p1
pB
p0
pB U g H .
p3
pB U g H U a
U a
L
pB U g
H.
0; z
H)
p1
pB . Dies führt zu
Stellt man nach p0 um, so kann man schreiben
Der Druck p3 nimmt mit diesem Ergebnis die Form an
L.
H p3
Den Beschleunigungsterm auf die linke Gleichungsseite
gebracht und dann durch U L dividiert liefert
p B p3
H
g
.
Beachtet man jetzt noch, dass bei p3 = pDa die maximale
L
U L
Beschleunigung amax. erreicht wird, so lautet das Ergebnis:
a
a max
p B p Da
g
U L
H
L
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
23
Aufgabe 2.3 Rotierendes Winkelrohr
¥1.
¥2.
hh
h
7 min
2 min
7 Punkte
2 Punkte
Ein U-förmig ausgebildetes Winkelrohr ist am kürzeren vertikalen Schenkel verschlossen, der
längere dagegen am oberen Ende gegen Atmosphäre offen. Das mit Flüssigkeit der Dichte U
befüllte Rohr rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit Z um die Vertikalachse des kurzen
Schenkels. Dort liegt eine Flüssigkeitshöhe h1 über der Horizontalebene vor, wogegen h2 die
Höhe im offenen, längeren Schenkel ist. Dieser weist einen Abstand R von der Drehachse auf.
Wie groß darf die maximale Winkelgeschwindigkeit Zmax höchstens werden, wenn an der
Stelle 1 der dortige statische Druck gerade den Dampfdruck der Flüssigkeit erreicht, also
p1 = pDa. wird?
Abb. 2.3.1 Rotierendes Winkelrohr
Lösung zu 2.3
Aufgabenerläuterung
Es wird bei der Bestimmung von Zdie Druckgleichung rotierender, nicht strömender Flüssigkeiten Gebrauch zu machen sein. Die Besonderheiten vorliegenden Systems sind dabei zu
verwenden.
Gegeben:
R ; h1 ; h 2 ; p B ; p Da ; U
Gesucht:
1.
Zmax
2. Zmax , wenn R = 200 mm; h 2 500 mm ; h 1 = 200 mm; pB
kg
p Da = 0,0234 bar ; U 1000 3 .
m
Anmerkungen:
- Es wird von einem sehr dünnen Rohr ausgegangen.
§
Z2
- Die Druckgleichung lautet: p r, z = p 0 U ¨¨ g z 2
©
1 bar;
·
r 2 ¸¸ .
¹
24
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Lösungsschritte
1. Zmax :
§
·
Z2
r 2 ¸¸ lautet
Die Druckverteilung in rotierenden Flüssigkeiten p r, z = p 0 U ¨¨ g z 2
©
¹
mit p 0 p1 U g h1 als Druck im Koordinatenursprung des vorliegenden Falls
Z2
2
p r, z = p1 U g h1 U g z U
r2 .
An der Stelle r = R und z = h2 liegt atmosphärischer Druck pB vor. Also wird dann mit diesen
Koordinaten in o.g. Gleichung
pr
R; z
h2 = pB
p1 U g
Z2
R 2 . Umgeformt nach Z
2
2
h 2 h1 . Mit
multipliziert entsteht
U R2
h1 U g
h2 U
Z2
R2
p B p1 U g
2
2 1
> p B p1 U g h 2 h1 @. Wird jetzt noch die Wurzel gezogen, so liegt
Z2
U R2
die Winkelgeschwindigkeit Z vorliegender Aufgabe ohne Einschränkung von p1 vor :
folgt
U
Z
2
U
1
R2
> p B p1
U g
h 2 h1
@
Da die Frage nach der maximalen Winkelgeschwindigkeit Zmax beim Erreichen von
p1
Zmax
p Da gestellt ist, werden diese Größen oben eingesetzt, und man gelangt zum Ergebnis
1
R
2
U
> p B p Da
U g
Zmax
h 2 h1
1
R
2
@
oder
ª p B p Da
g
«
U
¬
2. Zmax , wenn R = 200 mm; h 2
p Da
500 mm ; h 1 = 200 mm; pB
kg
= 0,0234 bar ; U 1000 3 :
m
º
h 2 h1 » .
¼
1 bar;
Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Daten folgt
Zmax
1
0,20
ª 100000 2340
2 «
9,81
1000
¬
Zmax
nmax.
º
0,50 0,20 »
¼
1
oder als Drehzahlwert mit n max
s
1
1
.
11,29 { 677
s
min
70,9
Zmax
2 S
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
25
Aufgabe 2.4 Rotierendes T-Stück
¥1.
¥2.
h
h
2 min
1 min
2 Punkte
1 Punkte
In Abb. 2.4.1 ist ein T-Stück zu erkennen, das aus einem senkrechten und einem horizontalen
Kreisrohr besteht. Oben ist das vertikale Rohr gegen Atmosphäre offen, die seitlichen Enden
sind dagegen verschlossen. Das in der Höhe h mit Flüssigkeit befüllte T-Stück rotiert mit der
konstanten Winkelgeschwindigkeit Zum die vertikale z-Achse. Gesucht wird eine Gleichung, mit der es möglich ist, an jeder beliebigen Stelle des Flüssigkeitsraums den dort vorliegenden statischen Druck p (r, z) zu ermitteln.
Abb. 2.4.1 Rotierendes T-Stück
Lösung zu 2.4
Aufgabenerläuterung
Da bei konstanter Winkelgeschwindigkeit Zdes rotierenden Systems jedes Flüssigkeitselement sich gegenüber seiner Nachbarschaft in Ruhe befindet, handelt es sich um ein statisches
Problem. Zur Aufgabenlösung setzt man sinnvollerweise die Gleichung an, welche die
Druckverteilung in rotierenden Fluiden beschreibt.
ro , pB ,
Gegeben:
h,
Gesucht:
1. p = f (z ; r )
2. pmax.
U,
Z,
g
26
Anmerkungen:
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
- Die Flüssigkeitsdichte U ist konstant.
- Die Krümmung der Flüssigkeitsoberfläche ist ohne Einfluss.
Lösungsschritte
1. p = f (z ; r ) :
Die Druckgleichung in rotierenden Flüssigkeiten lautet:
ª
º
Z2
p 0 U «g z r 2 » . Hierin ist p0 der Druck im Koordinatenursprung. Im vor2
¬
¼
liegenden Fall lautet er gemäß Abb. 2.4.1 p 0 p B U g h . In oben genannte Gleichung
eingesetzt folgt
ª
º
Z2
p z, r
p B U g h U «g z r 2 » . Die Gleichung umgestellt führt zu:
2
¬
¼
p z, r
p(r,z) = pB U g
h z + U Z2
r2
.
2
Hiermit ist also die Frage zur Größe des statischen Drucks an jeder beliebigen Stelle im Flüssigkeitsraum lösbar.
2. pmax.:
Der Maximaldruck wird bei z
0
und r
ro erreicht werden. Das Ergebnis lautet dann:
2
p max
p B U g h U Z2
r0
.
2
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
27
Aufgabe 2.5 Rotierender geschlossener Zylinder
¥1.
¥2.
¥3.
hh
hh
h
5 min
6 min
3 min
5 Punkte
6 Punkte
3 Punkte
In Abb. 2.5.1 erkennt man einen rotierenden, vollständig mit Flüssigkeit gefüllten zylindrischen Behälter. Dem mit einem Deckel verschlossenen Zylinder wird ein Druck pSys. aufgeprägt. Die Füllhöhe H, der Behälterradius R und die Wandstärke s sind bekannt. Ebenso können die zulässige Spannung V Z zul. des Zylinders und die Flüssigkeitsdichte U als gegebene
Größen verstanden werden. An welcher Stelle entsteht der Maximaldruck pmax. und wie groß
wird er? Mit welcher Maximaldrehzahl nmax. darf der Behälter rotieren?
Abb. 2.5.1 Rotierender geschlossener Zylinder
Lösung zu 2.5
Aufgabenerläuterung
Die Frage nach dem Maximaldruck pmax muss in zwei Schritten beantwortet werden. Einerseits wird er durch die Flüssigkeitsrotation in Verbindung mit dem Systemdruck pSys. und dem
hydrostatischen Druck bestimmt. Andererseits steht über die Festigkeitseigenschaften des
Behälters eine zweite Möglichkeit zur Verfügung, den Druck pmax zu beschreiben. Aus der
Verknüpfung beider Zusammenhänge wird dann die Ermittlung der zulässigen Maximaldrehzahl nmax. bestimmbar.
Gegeben:
Gesucht:
R; H; pSys ; V Z zul. ; s ; Z ; U
1. Stelle und Gleichungen des maximalen Drucks p max .
2.
Zmax
3.
Zmax bei: D = 1,5 m; H = 2,0 m ; U
s = 8 mm ;
V Z zul
kg
; pSys
m3
N
9,5 * 107 2
m
1260
3,0 bar ;
28
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Anmerkungen:
- Die Druckverteilung in rotierenden, nicht strömenden Flüssigkeiten
folgt dem Gesetz:
ª
º
Z2
p z, r
p 0 U «g z r2 » .
2
¬
¼
Hierin ist p0 der Druck im Koordinatenursprung.
- Die Gleichung zur Wandstärkenberechnung dünnwandiger Rohre und
p max d
.
Behälter lautet: s
2 V z zul
Lösungsschritte
1. p max :
Unter Verwendung o.g. Gleichung der Druckverteilung in rotierenden Flüssigkeiten
ª
º
Z2
p z, r
p 0 U «g z r 2 » sowie dem Druck im Koordinatenursprung p0, der sich
2
¬
¼
aus dem Systemdruck pSys und dem hydrostatischen Anteil U g
H zusammensetzt
p0 = pSys + U g H erhält man im vorliegenden Fall die Druckverteilung im Behälter
Z2
r2 .
2
Der maximale Druck pmax liegt vor, wenn z = 0 und r = R. Hieraus erhält man für pmax:
U
p max pSys * Z2 * R 2 U g H .
2
Ist die zulässige Zugspannung in der Zylinderwand V z zul gegeben, so berechnet sich die zweite Gleichung für den maximalen Innendruck pmax wie folgt. Hierzu wird die Wandstärkenberechnung von dünnwandigen Rohren und Kesseln („Kesselformel“) herangezogen.
pSys U g
p z, r
s
p max
p max
d
p max 2 R
2 V z zul
2 V z zul
V Z Zul
Hz U
oder umgeformt nach pmax:
s
R
Aus beiden Gleichungen für pmax entsteht an der Stelle r = R und z = 0:
pmax = psys U
* Z2 * R 2 U g
2
H
Zmax :
Oben stehende Gleichung nach Z = Zmax umgeformt führt zunächst zu
s
U
* Z2max * R 2 V Z Zul * pSys U g H .
2
R
V Z Zul *
s
.
R
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
U
* R 2 erhält man
2
s
2
ª
Z2max
* V Z * pSys U g
U R 2 «¬ Zul R
suchte Ergebnis:
29
Dividiert durch
Zmax
3. Zmax , wenn :
º
H » , und nach dem Wurzelziehen lautet das ge¼
1
2 ª
s
*
* «V ZZul * pSys U g
R
U ¬
R
D = 1,5 m; H = 2,0 m ; U
V z zul
9,5 * 107
1260
kg
; pSys
m3
3,0 bar ; s = 8 mm
N
.
m2
Bei dimensionsgerechtem Gebrauch der gegebenen Größen folgt:
Zmax
1
2
*
0,75
1260
Zmax
44,08
1
s
ª
7
«¬9,5 * 10
oder mit
8
º
300000 1260 * 9,81 * 2»
750
¼
Z= 2 S n
n max
7,016
erhält man dann
1
1
.
{ 421
s
min
º
H»
¼
30
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Aufgabe 2.6 Rotierender Behälter mit Steigrohr
¥1.
¥2.
¥3.
hh
h
hh
9 min
2 min
PLQ
9 Punkte
2 Punkte
5 Punkte
Ein zylindrischer, gegen Atmosphäre offener Behälter ist am Boden mit einem sehr dünnen
Steigrohr verbunden. Nach der Befüllung mit Flüssigkeit steht der Spiegel im Behälter und im
Steigrohr auf gleicher Höhe h0 über der Bezugsebene. Nachdem der Behälter mit Steigrohr in
Rotation Z versetzt wird stellt sich im stationären Zustand eine paraboloidförmige Oberflächenkontur ein, die sich auch im Steigrohr (kommunizierendes System) fortsetzt. Ermitteln
Sie den Flüssigkeitsanstieg hx im Steigrohr, wenn neben der Winkelgeschwindigkeit Z die
Radien r1 und r0 bekannt sind. Des Weiteren sollen die statischen Drücke an den Stellen C und
D am Boden des Steigrohrs im Fall der Rotation des Systems angegeben werden.
Abb. 2.6.1 Rotierender Behälter mit Steigrohr
Lösung zu 2.6
Aufgabenerläuterung
Im rotierenden System liegt ein statischer Zustand vor; die Fluidteilchen bewegen sich nicht
relativ zueinander. Durch die Voraussetzung, dass im Steigrohr 'V sein soll, ist von einem unveränderten Volumen im rotierenden Behälter auszugehen. Im Behälter und im Steigrohr gelten die Gesetzmäßigkeiten in rotierenden Flüssigkeiten.
Gegeben:
Z ; h 0 ; r0 ; r1 ; pB ; U
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Gesucht:
31
1. h x
2. p C
3. p D
- Annahme 'V Anmerkungen:
- Folgende Gleichungen sollen Verwendung finden:
ª
º
Z2
p z, r
p 0 U «g z r 2 » und h1 h 2
2
¬
¼
Z2
2*g
r02
.
2
Lösungsschritte
1. hx :
ª
Z2
p 0 U «g z 2
¬
Mit p z, r
p0
p B U g ZS sowie Z S
p z, r
pB U g h 0 U g
p z, r
pB U g
h0 z U
º
r2 »
¼
und
h 0 h1 und h1
Z2
2*g
Z2
2
Z2
2*g
r02
U g zU
2
r02
2
Z2
2
folgt
r2
oder
§ 2 r02 ·
¨¨ r ¸¸ .
2¹
©
An der Stelle z = (hx + h0) und r = r1 wird p z
hender Gleichung eingesetzt führt dies zu
h0 h x ; r
r1 = pB. Hiermit in oben ste-
Z2 § 2 r02 ·
¨ r1 ¸¸ .
2¹
2 ¨©
Nach der gesuchten Höhe hx umgeformt liefert dies zunächst
Z2 § 2 r02 ·
¨ r1 ¸¸
U g hx U
2 ¨©
2¹
p z, r
pB
pB U g
und schließlich
h0 hx h0 U
hx
Z2 * r12
2*g
ª
1 r02 º
«1 2 * r 2 » .
1 ¼
¬
2. p C :
Der Druck an der Stelle C lautet
pC
p0
pB U g
ZS . Setzen wir Z S
§
Z2 r02 ·
¸.
p C = p B U g ¨¨ h 0 2 * g 2 ¸¹
©
h 0 h1 mit h1
Z2
2*g
r02
ein, so folgt
2
32
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Der Druck an der Stelle C wird somit beschrieben durch
pC
pB U g h 0 1
*U
4
Z2
r02 .
3. p D :
Den Druck an der Stelle D erhalten wir unter Verwendung von
p z, r
pz
ZS
p0 U
0, r
r1
ª
«g
¬
pD
h 0 h1 mit h1
º
r 2 » an der Stelle z = 0 und r = r1. Dies führt zunächst zu
¼
Z2
p0 U
r12 . Setzt man noch p 0 p B U g ZS und
2
r02
Z2
ein, so folgt
2*g 2
z
Z2
2
pD
§
Z2
p B U g ¨¨ h 0 2*g
©
r02 ·
¸U
2 ¸¹
pD
pB U g
Z2
2*g
h0 U g
pD
Z2
2
r02
U
2
pB U g
r12
Z2
2
r12 , oder umgeformt
h0 ª
r2 º
1
* U Z 2 r12 * «2 02 » .
r1 ¼
4
¬
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Aufgabe 2.7 Rotierender Behälter mit offenem Deckel
hhhh
hhh
h
1.
2.
3.
33
Übungsbeispiel
Ein mit Flüssigkeit befüllter zylindrischer Behälter ist mit einem Deckel ausgestattet. Aufgrund einer Öffnung im Deckel stellt sich über der Flüssigkeit atmosphärischer Zustand ein.
Bei Rotation des Behälters und der mitdrehenden Flüssigkeit wird die Fluidoberfläche in
Form eines Rotationsparaboloids ausgebildet. An der Unterseite des Deckels erreicht die Flüssigkeit dabei den Radius r1. Ermitteln Sie die Kraft FD auf der Deckelunterseite und diejenige
auf dem Behälterboden FBo., wenn die Behälterabmessungen H und R sowie der Radius r1
gegeben sind. Die Flüssigkeitsdichte Uder atmosphärische Druck p% und die Winkelgeschwindigkeit Z sollen ebenso bekannt sein. Weiterhin wird der Abstand ZS des tiefsten
Punktes der Flüssigkeit über dem Behälterboden gesucht.
Abb. 2.7.1 Rotierender Behälter mit offenem Deckel
Lösung zu 2.7
Aufgabenerläuterung
Grundlage bei der Frage nach den Kräften auf die Deckelunter- und die Behälterbodenseite ist
die jeweilige Druckverteilung auf den beiden flüssigkeitsbenetzten Oberflächen. Die Integration der infinitesimalen Kraft dF = p(r, z) * dA über der betreffenden Fläche liefert die gesuchten Größen. Auch im vorliegenden Fall kann die Druckverteilungsgleichung von rotierenden Flüssigkeiten uneingeschränkt angewendet werden, wobei auf die hier vorliegenden
Randbedingungen genau zu achten ist.
Gegeben:
R; r1 ; H ; U; Z ; pB
34
Gesucht:
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
1. FD
2. FBo.
3. Zs
Anmerkungen:
- Die Druckverteilung in rotierenden, nicht strömenden Flüssigkeiten
lautet:
§
·
Z2
p(r ; z ) = p 0 U ¨¨ g z * r 2 ¸¸
2
©
¹
- Aus Abb. 2.7.2 sind die wichtigsten Größen zur Herleitung von FD und
FBo. zu entnehmen.
Abb. 2.7.2 Größen zur Herleitung von FD und FBo.
Lösungsschritte
1. FD :
Gemäß Abb. 2.7.2 bestimmt man die infinitesimale Kraft dFD auf dem kreisringförmigen
Flächenelement dA aus d FD = p (r ; z = H)
dA mit dA = 2 S r dr . Folglich wird
d FD = 2 S p (r ; z = H) r dr . Den noch unbekannten Druck p(r ; z = H ) erhält man aus
§
·
Z2
* r 2 ¸¸ , wobei zunächst p 0 als Druck im Koordinatenursprung
p(r ;z) = p 0 U ¨¨ g z 2
©
¹
des vorliegenden Systems ermittelt werden muss. An der Stelle r
r1 und z = H kennt man
den Druck p(r = r 1 ; z = H ) = p B . Die Koordinaten in o.g. Druckgleichung eingesetzt hat
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Z2
* r12 zur Folge. Umgeformt nach p 0 führt
2
p0 U * g * H U
p(r = r 1 ; z = H ) = p B
35
Z2
* r12 .
2
p 0 wiederum in p (r ; z) eingesetzt liefert dann
dies zu p 0
pB + U * g * H U
Z2
Z2
* r12 U * g * z U
* r2 .
2
2
Fasst man jetzt noch geeignete Glieder der Gleichung zusammen, so entsteht die allgemeine
p( r ; z ) = p B U * g * H U
Druckgleichung des vorliegenden Systems wie folgt:
p( r ; z ) = p B U * g * (H z) U
2
Z2 * (r 2 r12 ).
Da zur Bestimmung von dFD der Druck p( r ; z = H ) benötigt wird, setzt man oben z = H und
erhält
p( r ; z = H ) = p B U
2
Z2 * ( r 2 r12 ).
Die infinitesimale Kraft dFD lautet dann
d FD = 2 S
U
U
ª
2
2
2
2º
«¬p B 2 * Z * r 2 * Z * r1 »¼ * r * dr .
Multipliziert man den Radius r in die Klammer, so gelangt man zur integrierbaren Kraft
d FD = 2 S
ª
«p B
¬
r * dr U
2
* Z2 * r 3 * dr º
U
* Z2 * r12 * r * dr » .
2
¼
Die Gesamtkraft auf der Deckelunterseite entsteht durch Integration von dFD zwischen r 1 und
R:
ª
FD = 2 S «p B
¬«
R
³r
r1
dr U
2
R
Z2 * ³ r 3
r1
dr R
º
U
* Z2 * r12 * ³ r * dr »
2
r1
¼»
R
R
ª
r
1
r2 º
U
U
FD = 2 S «p B
r4 Z2
Z2 r12
»
2r
2
4
2
2r»
«¬
r1
1
1 ¼
U
U
ª
FD = S * «p B * R 2 r12 * Z2 * R 4 r14 * Z2 * r12 * R 2 r12
4
2
¬
2 R
Mit R 4 r14 = R 2 r12 * R 2 r12
und R 2 r12
º
»¼ .
ausgeklammert führt dies zu
U
U
ª
º
FD = S * R 2 r12 * «p B * Z2 * R 2 r12 * Z2 * r12 »
4
2
¬
¼
U
ª
U
U
2
*
2
2º
FD = S * R 2 r12 * «p B * Z2 * R 2 * Z2 * r1 * Z2 * r1 »
4
4
4
¬
¼
36
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
U
U
ª
º
FD = S * R 2 r12 * «p B * Z2 * R 2 * Z2 * r12 » . Als Ergebnis entsteht
4
4
¬
¼
nach Umformung in der Klammer:
ª
§
r 2 ·º
U
FD = S * R 2 r12 * «p B * Z2 * R 2 * ¨¨1 1 2 ¸¸»
4
R ¹¼
©
¬
2. FBo :
Gemäß Abb. 2.7.2 bestimmt man die infinitesimale Kraft dFBo auf dem kreisringförmigen
Flächenelement dA aus
dFBo = p (r ; z = 0)
dFBo = 2 S
dA
mit
p (r ; z = 0)
dA = 2 S r dr
und somit
r dr .
Den Druck p (r ; z = 0) erhält man mit der allgemeine Druckgleichung des vorliegenden Systems (s.o.):
U
p( r ; z ) = p B U * g * (H z) Z2 * (r 2 r12 ) an der Stelle r und z = 0
2
U
p( r ; z = 0 ) = p B U * g * H Z2 * (r 2 r12 ) .
2
Die infinitesimale Kraft dFBo lautet dann:
U
U
ª
2
2
2
2º
«¬p B U g * H 2 * Z * r 2 * Z * r1 »¼ * r * dr .
Den Radius r in die Klammer multipliziert
dFBo = 2 S
U
U
ª
2
3
2
2
«¬p B r dr U g * H r dr 2 * Z * r dr 2 * Z * r1
liefert die Kraft FBo nach Integration zwischen r = 0 und r = R
dFBo = 2 S
ª
«p B
«
¬
R
FBo =
³
dFBo
= 2 S
o
ª
r
FBo. = 2 * S* «p B *
2
«¬
2 R
R
³
R
³
r * dr U g * H * r * dr 0
U g*H*
0
0
2 R
r
2
0
R
U
U
* Z2 * r 3 * dr * Z2 * r12
2
2
³
0
4 R
U
r
* Z2 *
4
2
0
U
r º
2
»
* Z2 * r1 *
2 0»
2
¼
2 R
ª
R2 º
R2
R2 U
R4 U
2
FBo. = 2 * S* «p B *
U g*H*
* Z2 *
* Z2 * r1 *
2
2
2
4
2
2 »¼
¬
und nach Ausklammern von R 2
FBo. = S* R 2
º
r dr »
¼
U
U
ª
2º
2
2
2
«¬p B U g * H 4 * Z * R 2 * Z * r1 »¼ .
R
º
0
¼
³ r * dr »»
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
37
Eine Umformung in der Klammer führt dann zum gesuchten Ergebnis:
FBo. = S* R 2
ª
U
2
2
«p B U g * H * Z * R
4
¬
§
¨¨1 2
©
r12 ·º
¸»
R 2 ¸¹¼
3. ZS:
Den tiefsten Punk ZS der Flüssigkeitsoberfläche erhält man aus der Druckgleichung vorliegenden Systems (s.o.)
p( r ; z ) = p B U * g * (H z) U
2
Z2 * (r 2 r12 ) ,
indem man die Koordinaten an dieser Stelle r
p( r
0;z
0 und z
ZS ebenso wie den Druck
ZS ) = pB einsetzt.
p( r = 0 ; z = ZS ) = pB = p B U * g * H ZS U
Z2 * r12 = 0.
2
1
= g*H Z2 * r12
2
U
2
Z2 * (0 r12 )
oder
U * g * H ZS Nach ZS umgeformt erhält man zunächst
g * ZS
und nach Division durch g lautet das Ergebnis:
ZS = H 1
2 g
Z2 * r12
38
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Aufgabe 2.8 Messfühler auf rotierender Flüssigkeitsoberfläche
¥1.
6 min
hh
6 Punkte
Abb. 2.8.1 zeigt einen mit Flüssigkeit befüllten, rotierenden zylindrischen Behälter im Fall
zweier unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeiten Z. Es bilden sich in Abhängigkeit von Z
jeweils Oberflächenprofile in Form von Rotationsparaboloiden aus, bei denen die Vertikalschnitte demgemäß Parabeln sind. Ermitteln Sie die Stelle 1 dieser Parabeln, an der man mittels Messfühler am Radius r1 durch Abtasten der dortigen Höhe Z1 das eingefüllte Volumen V
bestimmen kann. Hierbei wird der Innenradius r0 des Zylinders als bekannt vorausgesetzt.
Abb. 2.8.1 Messfühler auf rotierender Flüssigkeitsoberfläche
Lösung zu 2.8
Aufgabenerläuterung
Bei Volumengleichheit V = konst. lässt sich nachweisen, dass die Stelle 1 ein fester Punkt
r1 ; Z1 aller Parabeln ist, die bei den verschiedenen Drehzahlen n (bzw. Winkelgeschwindigkeiten Z) entstehen. Die Verwendung unten stehender Gesetze bei zwei verschiedenen
Z-Werten führt zur gesuchten Lösung der Fragen.
Gegeben:
r0
Gesucht:
r1
Anmerkungen:
- Es darf kein Volumen verloren gehen, d.h. 'V = 0.
Z2
r 2 ZS .
- Die Schnittparabel folgt dem Gesetz z =
2*g
- Die Absenkhöhe h1 bzw. Anstiegshöhe h2 ermittelt sich mit
r02
Z2
.
h1; 2 =
2*g 2
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
39
Lösungsschritte
1. r1:
Z2
r 2 ZS als Gleichung (Parabel) zur Beschreibung der Oberflächenkontur
2*g
kann man bei z.B. zwei verschiedenen Winkelgeschwindigkeiten Z1 und Z2 an der Stelle
Mit z =
z = Z1 formulieren:
Z12
2 g
Z1
Z12
2 g
r12 ZS1
Z22
2 g
r12 r12
2 g
Z12
2 g
Z22 Z12
Z22
2 g
r12
2
1
r
2 g
r12
2 g
H 0 h1 1
r12 ZS2 .
Also wird
r12 ZS 2 .
Umgeformt
ZS1 ZS2
und
r12
2 g
ausgeklammert liefert
ZS1 ZS 2 .
H 0 h1 oder im vorliegenden Fall
Mit der Scheitelhöhe ZS
Z S1
Z22
2 g
r12 ZS1 sowie Z1
und
H 0 h1 2
Z S2
Z22 Z12
( H 0 h 1 1 ) – ( H 0 h1 2 )
Z22 Z12
h12 h11 .
folgt
Die Absenkhöhe h1 lautet allgemein
h1 =
Z2
r2
* 0
2*g 2
r2
Z1
* 0
2*g 2
2
oder im vorliegenden Fall h11 =
r2
Z2
* 0 .
2*g 2
2
und h 12 =
Oben eingesetzt führt dies zu
r12
2 g
r12
2 g
* Z22 Z12
r2
r2
Z2
Z1
* 0 * 0 .
2*g 2
2*g 2
Rechts
* Z22 Z12
r02
* Z22 Z12 .
4*g
Dann wird r12
2
2
Hieraus erhält man das gesuchte Ergebnis
r1
1
* r0 .
2
r02
4 g
ausgeklammert liefert
2 2
* r0 oder r12
4
1 2
* r0 .
2
40
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Aufgabe 2.9 Schrägaufzug
1.
2.
3.
4.
hhh
hh
hhh
hh
Übungsbeispiel
Im Hochgebirge und auch an anderen Orten sind bisweilen so genannte „Schrägaufzüge“ installiert, mit denen Lasten und Personen z.T. über beachtliche Höhenunterschiede transportiert
werden. In Abb. 2.9.1 ist die schematische Darstellung eines solchen Aufzugs zu erkennen,
der im vorliegenden Fall zum Flüssigkeitstransport in einem offenen Behälter eingesetzt wird.
Über das Zugseil greift die Kraft F am Behälter an, um ihn und das eingefüllte Wasser aus der
Ruhe heraus mit gleich bleibender Beschleunigung a in Bewegung zu setzen. Hierbei darf gerade kein Wasser verloren gehen. Unter dieser Voraussetzung soll zunächst die Beschleunigung a ermittelt werden. Neben der Behältermasse mB, der Bodenlänge L, der Behälterbreite
B sind die wirksamen Kraft F, die Höhe H1 der Wasserbefüllung und der Steigungswinkel D
bekannt. Nach Feststellung der Beschleunigung a ist der Winkel ß zwischen Wasseroberfläche
und Horizontalebene (Abb. 2.9.2) unter Einwirkung von a zu bestimmen. Des Weiteren wird
unter der genannten Vorgabe nach der Mindesthöhe H der hinteren Behälterwand gefragt.
Abb. 2.9.1 Kräfte am Schrägaufzug
Lösung zu 2.9
Aufgabenerläuterung
Die Frage nach der Beschleunigung a lässt sich mit der Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes am Behälter unter Berücksichtigung aller äußeren Kräfte lösen. Bei der
Ermittlung des Winkels ß werden die Kräfte an einem Element dm der Flüssigkeitsoberfläche
benötigt mit der Feststellung, dass sich diese Oberflächen immer normal zur Kraftresultierenden orientieren. Die Höhe H hängt von den geometrischen Abmessungen in Abb. 2.9.2 ab.
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
Gegeben:
F ; U ; mB ; L ; D ; B = L ; H1 =
Gesucht:
1. a
2. ß
3. H
4.
1
*L;
4
Pkte. 1 y 3 , wenn: F = 25000 N; mB = 400 kg ; U
D
Anmerkungen:
41
1000
kg
; L = 2 m;
m3
300 ;
- Das Flüssigkeitsvolumen ist bei allen Überlegungen eine konstante Größe.
Lösungsschritte
1. a:
Das Newtonsche Gesetz am gleichmäßig beschleunigten Schrägaufzug in Bewegungsrichtung
angewendet führt zu:
o
o
¦ Fi m * a mit m { mGes mB m F als Gesamtmasse und ¦ Fi F FGges sin D
als resultierende äußere Kraft. Somit wird
( mB mF )* a = F FG ges * sin D oder nach der gesuchten Beschleunigung umgeformt
a
F FG ges * sin D
mB mF
.
Hierin bedeuten
FG ges = FG B FG F
Gesamtgewichtskraft
FG B
g * mB
Behältergewichtskraft
FG F
g * mF
Flüssigkeitsgewichtskraft
mF
VF
U VF
Flüssigkeitsmasse
Flüssigkeitsvolumen
VF:
Das Flüssigkeitsvolumen setzt sich gemäß Abb. 2.9.1 aus dem Produkt der Rechteckfläche
ACMNH und der Dreiecksfläche AACH multipliziert mit der Breite B = L zusammen.
Hierbei sind:
ACMNH = CH * CM
1
A ACH
* CA * CH
2
mit
CH = L cos D
mit
CA = L * sin D
und
Das Flüssigkeitsvolumen lautet folglich
1
VF H1 * L * cos D * B * L * cos D * L * sin D * B .
2
CM
H1
42
Mit
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
B=L
und
H1
1
*L
4
wird
1
1
* L3 cos D * L3 * sin D * cos D oder schließlich
4
2
1
3
VF
* L >1 2 * sin D @ cos D .
4
Die Zusammenhänge in die Gleichung für a eingesetzt liefert die gesuchte Beschleunigung:
VF
a
a
ª
«F «¬
>
ª
º
1
«g * m B g * U * * L3 * 1 2 * sin D cos D »
«¬
»¼
4
ª
º
1
«m B U * * L3 * 1 2 * sin D cos D »
»¼
4
¬«
>
º
sin D »
»¼
@
1
* 4 * F 4 * g * m B g * U * L3 * 1 2 * sin D * cos D * sin D
4
1
* 4 * m B U * L3 * 1 2 * sin D * cos D
4
>
@
@
^ 4 * F g * >4 * m U * L * 1 2 * sin D * cos [email protected] * sin D`
> 4 * m U * L * 1 2 * sin D * cos [email protected]
3
a
B
3
B
2. ß:
Der Flüssigkeitsspiegel stellt sich immer senkrecht zur Kraftresultierenden am Masseelement
dm an der Oberfläche ein. Im vorliegenden Fall erhält man aus dem Kräfteparallelogramm
folgenden Zusammenhang zwischen dem gesuchten Winkel ß sowie D und den Beschleunigungen a und g:
Abb. 2.9.2 Kräfte an einem Oberflächenelement dm
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
tan ß =
dFa * cos D
dFG dFa * sin D
dFG = dm*g
dFa = dm* a
dm * a * cos D
dm * g dm * a * sin D
cos D
tan ß =
º
ªg
«¬ a sin Da »¼
tan ß =
º
ª
« cos D »
»
ß = arctan «
« §¨ g sin D ·¸ »
«¬ © a
¹ »¼
3. H:
Gemäß Abb. 2.9.2 setzt sich H wie folgt zusammen:
H
AC H* DE
Hierbei sind
AC = L * sin D
DE = DF * tan ß und
DF
L cos D .
CH
Zunächst erhält man somit
H
L sin D H* L * cos D * tan ß .
H*:
Aus dem Volumen VF in Ruhe und bei der beschleunigten Bewegung lässt sich H* in nachstehenden Schritten ermitteln:
Flüssigkeitsvolumen im Ruhestand (s.o.):
VF
1
4
L3
1 2 * sin D
cos D
Flüssigkeitsvolumen ( ohne Verluste) bei der beschleunigten Bewegung (Abb. 2.9.2):
VF
A EDF
B * A EDF A DFHC A ACH
1
2
DE
DF
Dreieckfläche
43
44
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
DE
DF * tan ß
DF
und
CH
L * cos D
1
* L * cos D * tan ß * L * cos D
2
A EDF
A DFHC
Rechteckfläche
B * DC * CH
DC = H * ;
CH
A DFHC
B H*
A ACH
1
2
DF (s.o.)
L * cos D
Dreieckfläche
AC CH
L sin D
AC
1
* L2 * cos 2 D * tan ß
2
und
CH
DF (s.o.)
1
* L * sin D * L * cos D
2
A ACH
Man erhält zunächst aus den drei Einzelflächen A EDF , A DFHC und A ACH das Volumen
VF
ª1
B * « * L2
¬2
cos 2 D * tan ß H * * L * cos D 1
º
* L2 * sin D * cos D » .
2
¼
Mit B = L führt dies zu
1
1
* L3 cos 2 D * tan ß H* * L2 * cos D * L3 * sin D * cos D
2
2
1
3
und mit * L * cos D ausgeklammert erhält man das zweite Ergebnis für VF:
2
VF
VF
*
º
ª
H
1
sin D »
* L3 * cos D * «cos D * tan ß 2 *
L
2
¼
¬
Beide Gleichungen für VF gleichgesetzt und entsprechende Größen gekürzt liefert
*
ª
º
H
1
1
sin D »
* L3 * cos D * 1 2 * sin D =
* L3 * cos D * «cos D * tan ß 2 *
4
2
L
¬
¼
*
oder mit 2 multipliziert:
H
1
* 1 2 * sin D = cos D * tan ß 2 *
sin D .
2
L
Weiteres Umstellen liefert
2*
H*
L
1
sin D cos D * tan ß sin D
2
und nach Division durch 2
2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme
45
H*
L
1 1
* cos D * tan ß . Das Ergebnis für H * nimmt dann folgende Form an:
4 2
H* =
L
* 1 2 cos D * tan ß
4
Mit H * lässt sich die gesuchte Höhe H ermitteln zu
H = L sin D 1
4
L L cos D
H
tan ß 1
2
L cos D * tan ß
1 1
ª
º
L * «sin D * cos D * tan ß » .
4
2
¬
¼
4. Pkte. 1 y 3 , wenn: F = 25000 N; mB = 400 kg ; U
1000
kg
; L = 2 m;
m3
D
Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält man
a:
^4 * 25000 9,81 * >4 * 400 1000 * 2 * 1 2 sin 30 * cos 30 @ * sin 30 `
>4 * 400 1000 * 2 * 1 2 sin 30 * cos 30 @
3
a=
3
0
a = 1,565
m
s2
ß:
º
ª
»
«
0
cos
30
»
ß = arctan «
« § 9,81
0 ·»
« ¨ 1,565 sin 30 ¸ »
¹¼
©
ß = 7,29 0
H:
H
2
1 1
ª
0
«¬sin 30 4 2
cos 300
0
º
tan 7,290 »
¼
H = 1,61 m
0
0
0
300 ;
3. Fluiddruck
Druckdefinition
In einem in Ruhe befindlichen Newtonschen Fluid können nur Normalkräfte auftreten.
Schubspannungen sind in Ruhe nicht vorhanden (W = 0). Zugkräfte (-spannungen) können von
Fluiden nicht oder nur sehr geringfügig übertragen werden. Bezieht man die Normalkraft auf
die belastete Fläche, so wird damit der Druck p formuliert. Die allgemeine Druckdefinition
lautet:
dF
.
p
dA
In dieser Form kann der Druck auch bei ungleichmäßigen Verteilungen auf Begrenzungswänden von z.B. hohen Flüssigkeitsbehältern, Absperrmauern usw. oder auch bei
ungleichförmigen Verteilungen als statischer Druck an umströmten Profilen angewendet
werden, um z.B. resultierende Kräfte zu ermitteln. Die jeweilige Druckverteilung muss
hierbei bekannt sein. Bei einer homogenen Verteilung der Normalkraft F über der Fläche A
lautet der Druck:
F
p=
A
Dimensionen des Drucks
[
N
]; [Pa]; [bar]
m2
1 [bar] = 105 [Pa]
Druckentstehung
Äußere Kräfte:
InnereKräfte:
Pressung durch Kolben o.Ä.
Gewichtskräfte, Fliehkräfte …
Richtungseinfluss auf den Druck
Es kann festgestellt werden, dass der Druck p in irgendeinem Punkt des im Gleichgewicht
befindlichen Fluids eine skalare Größe ist und nur von den Koordinaten des Punktes abhängt.
Druckfortpflanzung
Durch z.B. eine äußere Kraft (Presskraft), die mittels eines Kolbens auf die Fläche A ausgeübt
wird, entsteht ein als Pressung bezeichneter Druck, der sich im geschlossenen Raum überall,
auch an den Wänden, gleichmäßig fortsetzt.
Druck durch Gewichtskräfte
Flüssigkeiten:
In diesem Zusammenhang sollen Druckkräfte aufgrund von Gewichtskräften erfasst werden,
die sich über der Höhe z oder Tiefe t ändern. Die Flüssigkeitsdichte sei dabei konstant. Das
Kräftegleichgewicht an dem in Abb. 3.0.1 dargestellten Flüssigkeitsvolumen in z-Richtung
führt zu dem Ergebnis:
p Z0 g U Z0 p Z1 g U Z1 .
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_3,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
48
3. Fluiddruck
Abb. 3.0.1 Vertikale Kräfte an einem Flüssigkeitsvolumen
Wählt man das Koordinatensystem so, dass Z0
p Z0 die Bezeichnung p Z0 p0 , so wird:
pz
p0
U
g
z
0 und Z1 { z (also beliebig) ist, und gibt
p0 U g z
Druck in der Horizontalebene des Koordinatenursprungs
Flüssigkeitsdichte
Fallbeschleunigung
Ortskoordinate vom Koordinatenursprung nach oben zählend
Abb. 3.0.2 Druckverteilung in vertikaler t-Richtung
In zahlreichen Fällen ist es angebracht, die Horizontalebene des Koordinatenursprungs auf die
Flüssigkeitsoberfläche anzuordnen (Abb. 3.0.2), da dort der Druck i.A. bekannt ist. Hiervon
3. Fluiddruck
49
ausgehend lässt sich dann an jeder Stelle der Druck unterhalb der Oberfläche ermitteln, wenn
in o.g. Gleichung z t gesetzt wird:
pt
p0 U g t
Bei atmosphärischen Bedingungen ist p0 = pB und man erhält in diesem Fall
pt
pB U g t .
Gase:
Da die Dichte von Gasen i.A. nicht konstant ist, erfolgt die Herleitung der Druckverteilung
p(z) aufgrund der Gewichtskraft anhand eines infinitesimalen Volumenelements gemäß
Abb. 3.0.3. Als Resultat für dieses Element gelangt man zu:
v dp
g dz
Abb. 3.0.3 Vertikale Kräfte an einem Gasvolumen
Die Auswertung dieses o.g. Zusammenhangs kann auf zweierlei Weise vorgenommen
werden. In beiden Fällen wird eine Integration von einem definierten Anfangszustand bis zu
dem in einer betreffenden Höhe z vorliegenden Zustand vorgenommen.
Isotherme Schichtung:
In nicht zu dicken Schichten geht man davon aus, dass die Temperatur konstant ist. Man
benutzt innerhalb der jeweiligen Schicht eine mittlere Temperatur Tm und legt eine isotherme
Zustandsänderung zugrunde. Aus der thermischen Zustandsgleichung folgt:
p*v
pbo * vbo
R * Tm
konst .
U bo
Gasdichte (Luftdichte) auf Bezugsniveau (hier
pbo
Erdoberfläche) festgelegt
Atmosphärendruck auf Bezugsniveau (hier
Erdoberfläche) festgelegt
50
3. Fluiddruck
Als Ergebnis der Integration erhält man eine Gleichung in der Form:
p( z )
pbo * e
§ Ub
·
¨ o g z ¸
¨ pb
¸
© o
¹
Nach ICAO-Norm sind hierin:
kg
m3
Ub o
1,225
Tb o
288,15 K 15 qC
pbo
1,01325 bar 1013,25 mbar
Isentrope Schichtung:
Bei größeren Luft- (Gas-)schichten kann man die Annahme konstanter Temperatur (in jeweiliger Schicht) nicht mehr aufrechterhalten. Hier benutzt man die Vorgabe einer isentropen
Zustandsänderung, das heißt
- keine Wärmezufuhr oder -abfuhr und
- keine Verluste.
Bei isentroper Zustandsänderung gilt mit N als Isentropenexponent des Gases:
Die Integration von
p * vN
p b 0 * v bN0
v dp
g dz unter Verwendung von p v N
p( z )
konst.
ª Ub
N 1
p b 0 «1 0 *
p
N
b0
¬«
N
º N 1
g z» ,
¼»
wobei wiederum
kg
m3
Ub o
1,225
Tb o
288,15 K 15 qC
pbo
1,01325 bar 1013,25 mbar .
konst. liefert
3. Fluiddruck
51
Aufgabe 3.1 Kolben in Ölzylinder
¥1.
h
3 min
3 Punkte
Auf der Flüssigkeitsoberfläche eines ölgefüllten Zylinders liegt ein Kolben mit dem
Durchmesser D auf. Der Zylinder ist über eine Messleitung mit einem Druckmessgerät verbunden, welches sich in einer Höhe H über dem Kolbenboden befindet. Das Druckmessgerät
zeigt einen Absolutdruck pH an. Gesucht wird die Kolbengewichtskraft FG K .
Abb. 3.1.1. Kolben in Ölzylinder
Lösung zu 3.1.
Aufgabenerläuterung
Neben dem von Flüssigkeiten verursachten hydrostatischen Druck kommt hier eine weitere
Druckerzeugung zur Wirkung, die von der Gewichtskraft des Kolbens auf die belastete
Flüssigkeitsoberfläche verursacht wird.
Gegeben:
H ; D; pB; pH ; UÖI ;
Gesucht:
FG K
Anmerkungen:
- Es soll keine Reibungskraft zwischen Kolben und Zylinderwand wirken.
52
3. Fluiddruck
Lösungsschritte
In der vorgegebenen Bezugsebene 0 y 0 in Abb. 3.1.1 ist der Druck p0 links im Behälter
gleich groß wie der Druck p0 rechts in der ölgefüllten Messleitung, also:
FG
p0 = pB K
Links:
AK
Rechts:
p0 p H UÖL g H .
Somit erhält man aus der Verknüpfung beider Gleichungen
pB FG K
AK
FG K
p H UÖL
AK
=
FG K = A K
g
p H p B UÖL
>
H.
Nach FG K aufgelöst
g H
und der Multiplikation mit A =
p H p B UÖL
S
4
g H @ lautet das Ergebnis der gesuchten
Kolbengewichtskraft:
FG K =
S
4
D2
>
p H p B UÖL
g [email protected]
D2
3. Fluiddruck
53
Aufgabe 3.2 Kugelbehälter
¥1.
¥2.
h
h
5 min
3 min
5
Punkte
3 Punkte
In Abb. 3.2.1 sind zwei Behälter mit einem zwischengeschalteten U-Rohrmanometer zu
erkennen. Der linke Behälter ist mit Wasser gefüllt, im rechten befindet sich Luft. Als
Sperrflüssigkeit im U-Rohrmanometer dient Quecksilber. Der obere Teil des rechten
Manometerschenkels muss aus Platzgründen schräg angeordnet werden. Aufgrund des
Druckunterschieds (p1 – p2) wird die Sperrflüssigkeit um die Länge l3 in den Schrägabschnitt
verschoben. Wie groß wird der Druckunterschied 'p = (p1 – p2), wenn neben den Höhen h1,
h2, der Länge l3 und dem Winkel D noch die Dichte von Wasser UW und Quecksilber UHg
bekannt sind?
Abb. 3.2.1 Kugelbehälter
Lösung zu 3.2
Gegeben:
h l , h 2 , l3 , D, U W , U Hg
Gesucht:
1.
'p
2.
'p, wenn: h l
p1 p 2
D
Anmerkungen:
800 mm, h 2
45q, U Hg
1000 mm, l3 400 mm,
kg
kg
13550 3 , U W 1000 3
m
m
- Die Luftdichte im Manometer ist vernachlässigbar.
- Die Ebene 0 – 0 durch das Manometer dient als Bezugsebene.
54
3. Fluiddruck
Lösungsschritte
1. 'p:
Der Druck p 0 im Schnitt der Ebene 0 – 0 mit dem linken und rechten Manometerschenkel ist
gleich groß, also:
Linker Schenkel:
Rechter Schenkel:
p1 U W g ˜ h1
p 2 U Hg g h 2 h 3
p0
p0
Der Anteil aus der Luftdichte wird vereinbarungsgemäß vernachlässigt. Die Gleichheit von p0
hat somit zur Folge:
p1 U W
g ˜ h1
p2 h 2 h3
g U Hg .
Verwendet man noch gemäß Abb. 3.2.1 den Zusammenhang h 3
l3
sin D (rechtwinkliges
Dreieck) und sortiert nach p1 p 2 um, so entsteht
p1 p 2
h 2 l3
sin D
g
U Hg h1
UW .
g
Nach Ausklammern von g U W steht das Ergebnis wie folgt fest :
'p
2. 'p, wenn: h l
UW
p1 p 2
800 mm, h 2
1000
ª
« h 2 l3
¬
g UW
1000 mm, l3
sin D
400 mm, D
kg
m3
Der dimensionsgerechte Gebrauch des gegebenen Zahlenmaterials
'p
9,81 1000
ª
0
«¬ 1,000 0,400 sin 45
13550
º
0,80»
1000
¼
liefert den gesuchten Druckunterschied zu
'p
162675 Pa .
UHg
UW
º
h1 »
¼
45q, U Hg
13550
kg
,
m3
3. Fluiddruck
55
Aufgabe 3.3 U-Rohr mit zwei verschiedenen Flüssigkeiten
¥1.
4 min
h
4 Punkte
Über einer Flüssigkeit 2 der Dichte Ub steht im rechten Schenkel eines U-Rohrs eine Flüssigkeit 1 der Dichte Ua mit einer Höhe h1. Dieselbe Flüssigkeit 1 steht im linken Schenkel mit
einer Höhe h2 über dem Spiegel von Flüssigkeit 2. Ermitteln Sie bei gegebenen Dichten Ua
und Ub sowie den Höhen h1 und h2 die Meniskenhöhenunterschiede 'ha von Flüssigkeit 1 und
'hb von Flüssigkeit 2.
Abb. 3.3.1 U-Rohr mit zwei verschiedenen Flüssigkeiten
Lösung zu 3.3
Aufgabenerläuterung
Bei dieser Aufgabe müssen die hydrostatischen Druckgleichungen für Flüssigkeiten verschiedener Dichte z.B. im Schnitt 0 – 0 des U-Rohrs angewendet werden. In Verbindung mit
den gegebenen Größen resultieren hieraus die gesuchten Höhen 'ha und 'hb.
Gegeben:
h 1 ; h2 ; U a ; U b ;
Gesucht:
'h a ; 'h b
Anmerkungen:
- Die Flüssigkeiten vermischen sich nicht.
- Die Höhe x in Abb. 3.3.1 ist als Hilfsgröße bei der Lösungsfindung zu
sehen.
56
3. Fluiddruck
Lösungsschritte
'h b :
Im Schnitt 0 – 0 des U-Rohrs gemäß Abb. 3.3.1 sind die Drücke auf der linken und rechten
Seite des Schnitts gleich groß, also:
Rechte Seite: p 0
p B Ua
g
Linke Seite:
p B Ua
g h 2 Ub * g * 'h b x .
p0
h1 U b * g * x
Folglich wird durch das Gleichsetzen beider Gleichungen
p B Ua
g h1 U b * g * x
p B Ua
g h 2 Ub * g * 'h b Ub * g * x .
Aufgelöst nach der gesuchten Größe 'hb bleibt zunächst
U b * 'h b
Ua
h1 Ua
U a * h1 h 2
h2
das Ergebnis für 'hb :
'h b
h1 h 2 *
und nach der Division durch U b erhält man
Ua
Ub
'h a :
Aus den Abmessungen am U-Rohr stellt man fest:
h1 'h a
h 2 'h b .
Der gesuchte Meniskenunterschied 'h a lautet folglich
'h a
h1 h 2 'h b .
Unter Verwendung des Ergebnisses für 'h b führt dies zu
'h a
h1 h 2 h1 h 2 *
Ua
. Nach Ausklammern von h1 h 2 gelangt man zu:
Ub
'h a
§
U ·
h1 h 2 * ¨¨1 a ¸¸
U
b ¹
©
3. Fluiddruck
57
Aufgabe 3.4 Behälter mit kommunizierenden Zylindern
¥1.
¥2.
4 min
2 min
h
h
4 Punkte
2 Punkte
Zwei Rohre und ein in der Mitte befindlicher, nach unten offener zylindrischer Behälter sind
gemäß Abb. 3.4.1 in einem flüssigkeitsgefüllten Gefäß fest installiert. In den drei Bauteilen
steht in unterschiedlichen Höhen die im Gefäß eingefüllte Flüssigkeit. Dies wird bewirkt
durch zwei Kräfte F1 und F2, die über Kolben auf die Flüssigkeitsoberflächen in den Rohren
übertragen werden. Des Weiteren wird der Druck pK im mittleren Behälter wirksam. Ermitteln
Sie die Höhen h1 und h2, wenn von bekannten Kräften, Rohrdurchmessern, Drücken und der
Flüssigkeitsdichte ausgegangen werden kann.
Abb. 3.4.1 Behälter mit kommunizierenden Zylindern
Schnitt durch Ebene 0 – 0
Lösung zu 3.4
Aufgabenerläuterung
Im vorliegenden Fall kommunizierender Rohre sind zur Lösung der Fragen die hydrostatischen Druckgleichungen nebst den von außen eingeleiteten Kräften anzusetzen. Zur
Vereinfachung wird die Bezugsebene 0 – 0 vorgegeben.
Gegeben:
F1 ; F2 ; D1 ; D2 ; pB ; pK ; U ; g
Gesucht:
1. h1
2. h2
Anmerkungen:
- Die Kolbenmassen sind vernachlässigbar.
- Die Wandstärke des mittleren Behälters ist vernachlässigbar.
- Die Ebene 0 – 0 in Abb. 3.4.1 ist zur Lösungsfindung zu verwenden.
- Die Kolben dichten vollständig ab und es sind keine Reibungskräfte
wirksam.
58
3. Fluiddruck
Lösungsschritte
In der Bezugsebene 0 – 0 ist der Druck p0 in den drei Bauteilen jeweils gleich groß, also:
F1
U g
A1
Linkes Rohr:
p0
pB Mittlerer Behälter:
p0
Rechtes Rohr:
p0
pK U g h 2
F
pB 2
A2
h1 h 2
1. h2 :
Es sollten zunächst die beiden Gleichungen des rechten Rohrs und des mittleren Behälters für
p0 zusammengefügt werden, da hier h2 als einzige unbekannte Größe vorliegt:
pK U g h 2
pB F2
.
A2
Nach h2 umgeformt liefert dies zunächst
F2
pK pB .
A2
F2
p pB
K
A2 U g
U g
4 F2
p pB
.
K
S D 22 U g
U g
U g h2
Danach durch U g dividiert
h2
und die Fläche A 2
h2
h2
S
D 22 eingesetzt führt zu
4
1
Klammern wir noch
aus, so lautet das Ergebnis:
U g
1
U g
ª 4 F2
º
pK pB »
«
2
S
D
2
¬
¼
2. h1 :
Die Druckgleichungen p0 jetzt für das linke Rohr und den mittleren Behälter gleichgesetzt
F
p B 1 U g h1 U g h 2 p K U g h 2 ergibt nach Wegstreichen von U g h 2
A1
und Umstellung nach h1 zunächst nachstehenden Ausdruck:
F
U g h1 = p K p B - 1 .
A1
1
Nach Division durch U g sowie danach Ausklammern von
erhält man h1 zu
U g
1
> p K p B F1/A1 @ . Die Fläche A1 S D12 noch eingesetzt legt das
h1
U g
4
Ergebnis von h1 wie folgt fest:
h1
1
U g
ª
4 F1 º
« pK pB S D2 »
1 ¼
¬
3. Fluiddruck
59
Aufgabe 3.5 Doppeltes Zylindersystem
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
hh
h
h
h
8 min
1 min
1 min
PLQ
8 Punkte
1 Punkte
1 Punkte
3
Punkte
In Abb. 3.5.1 erkennt man ein zweifaches Zylinder-Kolbensystem. Die zwei Kolben verbindet
dabei eine Stange. Beide Zylinder sind jeweils mit einer gegen Atmosphäre offenen
Steigleitung versehen. Ermitteln Sie den Druck p2 in Zylinder 2 sowie die Höhen h1 und h2,
wenn die Drücke p1 und pB, die Zylinderdurchmesser d1 und d2 sowie die Wasserdichte U
gegeben sind.
Abb. 3.5.1 Doppeltes Zylindersystem
Lösung zu 3.5
Aufgabenerläuterung
Im vorliegenden Kolben-Zylindersystem ist es bei der Lösungsfindung zunächst wichtig, die
an den beiden Kolben wirksamen Kräfte einzutragen. Hierbei ist darauf zu achten, dass auf
beiden Seiten der jeweiligen Kolben Kräfte zu berücksichtigen sind. Zu den Kräften aus den
hydrostatischen Druckverteilungen ist der Hinweis unter „Anmerkungen“ zu beachten.
Gegeben:
p1 ; pB ; d1 ; d2 ; U
Gesucht:
1. p2
2.
h1
3.
h2
60
3. Fluiddruck
4. Pkte. 1 y 3, wenn p1 = 110000 Pa ; pB = 100000 Pa ; d1 = 0,03 m ;
kg
d2 = 0,01 m ; U = 1000 3 .
m
Anmerkungen:
- Der Stangenquerschnitt kann vernachlässigt werden.
- Wegen der linearen Verteilung des statischen Drucks in der
Vertikalebene wird derjenige in Kolbenmitte als gleichmäßig über der
Kolbenfläche wirkend benutzt.
- Reibungskräfte sind vernachlässigbar.
Lösungsschritte
1. p2:
Ansatz ist das Kräftegleichgewicht am Kolbensystem, wobei der gesuchte Druck p2 in der
Kraft Fp 2 enthalten ist sowie alle anderen Kräfte bekannt sind.
&
6 Fi
0
Fp1
p1
A1
Druckkraft auf der Flüssigkeitsseite von Kolben 1
'
p1
pB
A1
Druckkraft auf der Luftseite von Kolben 1
Fp 2
p2
A2
Druckkraft auf der Flüssigkeitsseite von Kolben 2
Fp' 2
pB
A2
Druckkraft auf der Luftseite von Kolben 2
F
Fp1 Fp' 2 Fp 2 Fp' 1
Unter Verwendung dieser Zusammenhänge und umsortiert nach dem gesuchten Druck p2 folgt:
p2
A2
p2
p2
p1
A1 p B
A2 pB
A1 .
A1
zusammengefasst
A2
S
sowie die Kreisflächen A1
d12
4
S
und A 2
d 22 verwendet liefert:
4
A1
A1
pB pB
A2
A2
A1
p B p1 p B
A2
und Glieder mit
p1
p2
Dividiert durch A2
p B p1 p B
d12
d 22
2. h1:
Die Höhe h1 lässt sich leicht bestimmen aus
p1
p B U g h1 oder umgeformt U g
h1
p1 p B
.
U g
h1
p1 p B . Dividiert durch U g wird
3. Fluiddruck
61
3. h2:
Analog zu Pkt. 2 bestimmt man h2 zu
h2
4. p2 ; h1 ; h2 ; wenn:
p2 pB
.
U g
p1 = 110000 Pa ; pB = 100000 Pa ;
d1 = 0,03 m ; d2 = 0,01 m ; U = 1000
kg
.
m3
Bei dimensionsgerechtem Gebrauch der vorliegenden Zahlenwerte gelangt man zu folgenden
Ergebnissen.
p2 :
p2 = 100 000 + 110000 100000
§ 0,03 ·
¨
¸
© 0,01 ¹
2
p2 = 190 000 Pa
h1 :
h1 =
110000 100000
1000 9,81
h1 1,019 m
h2 :
h2 =
190000 100000
1000 9,81
h2
9,17 m
62
3. Fluiddruck
Aufgabe 3.6 Behälter mit verschiedenen Flüssigkeiten
hhhh
hh
1.
2.
Übungsbeispiel
In Abb. 3.6.1 sind zwei querschnittsgleiche (A), gegen Atmosphäre offene Behälter zu
erkennen, die durch einen engen Kanal miteinander verbunden sind. Im rechten Behälter und
z.T. auch auf der linken Seite ist eine Flüssigkeit der Dichte U1 und dem Volumen V1
eingefüllt. Die linke Oberfläche der Flüssigkeit V1 wird überlagert von einer zweiten
Flüssigkeit der Dichte U2 < U1 und dem Volumen V2. Dieses Volumen soll der n-te Teil von V1
sein. Die Dichten U1 und U2 , die Querschnittsfläche A sowie das Gesamtflüssigkeitsvolumen
V und n sind bekannt. Ermitteln Sie die Füllhöhen h1 und h2.
Abb. 3.6.1 Zwei Behälter mit verschiedenen Flüssigkeiten
Lösung zu 3.6
Aufgabenerläuterung
Bei der Aufgabenlösung müssen die hydrostatischen Druckgleichungen für Flüssigkeiten
verschiedener Dichte z.B. im Schnitt 0 – 0 des Verbindungskanals angewendet werden. In
Verbindung mit den gegebenen Größen resultieren hieraus die gesuchten Höhen h1 und h2.
Gegeben:
A ; V ; U1 ; U 2 ; n
Gesucht:
1.
h1
2.
h2
Anmerkungen:
- Das Volumen im Verbindungskanal ist vernachlässigbar.
- Die Flüssigkeiten vermischen sich nicht.
- Die Höhe x in Abb. 3.6.1 ist als Hilfsgröße bei der Lösungsfindung zu
sehen.
3. Fluiddruck
63
Lösungsschritte
1. h1 :
Die gesuchten Höhen sind zunächst bei gegebenem Behälterquerschnitt A mit dem
Gesamtvolumen V wie folgt verknüpft:
V
h1 h 2 .
A
Weiterhin gilt V = V1 + V2 , und mit der Vorgabe V2 =
1
V1 = V1
n
A h1 x
V = V1 +
V1
V
A
h1 x
V
A
h1 h 2 .
A
h1 h 2
1
n
V1 wird dann
1º
ª
«¬1 n »¼ . Da gemäß Abb. 3.6.1 auch gleichzeitig das Teilvolumen V1
ist, erhält man einmal für das Gesamtvolumen V
1º
ª
«¬1 n »¼
und zweitens laut o.g. Zusammenhang
Beide Gleichungen für V führen zu
1·
§
¨1 ¸ und folglich
n¹
©
h1 x
A
1·
§
¨1 ¸ .
n¹
©
Dies ist eine Gleichung mit drei Unbekannten h1, h2 und x, die mit entsprechenden weiteren
Zusammenhängen zu einer Gleichung mit nur noch einer Unbekannten reduziert werden
muss. Im ersten Schritt wenden wir uns der Höhe x zu. Im Schnitt 0 – 0 der Verbindungsleitung ist der Druck links und rechts gleich groß, also
h1 h 2
h1 x
Rechts:
p0
p B U1
g h1
Links:
p0
p B U2
g
h 2 x U1 g x .
Somit gelangt man zu
p B U1 g h1
p B U2
U1
g
g
h1
U2
U2
h 2 U2
U1
h1
x
U1 U2 U2
x
U1 U2
x
U1
h1 U 2
U1 U2
h 2 x U1 g x oder
h 2 x U1
U1 h1
U1
g
x U1
h1 U 2
h2
.
x
g
x . Nach Kürzen von g, Ausmultiplizieren
und Zusammenfassen der Größen mit x liefert dies
U1 U2 auf die linke Gleichungsseite
h2 .
Stellen wir x
h2
und dividieren durch U1 U2 , so führt dies zu
64
3. Fluiddruck
Hiermit stellt man jetzt eine Gleichung mit nur noch zwei Unbekannten wie folgt auf:
1·
§
h1 h 2
und die Gleichung für x eingesetzt liefert:
h 1 x ¨1 ¸
n¹
©
ª
U h U h º § 1·
h 1 h 2 « h1 1 1 2 2 » ¨ 1 ¸
U1 U2
¬
¼ © n¹
Ersetzt man nun links h1 h 2
V
A
V
A
V
A
V
A
V
A
ª
U1
« h1 ¬
1
1·
§
¨1 ¸
n¹
©
V
,
A
so erhält man zunächst
h2 º §
1·
» ¨1 n ¸ .
©
¹
¼
ª
U1 h1 U2 h 2 º
« h1 »
U1 U2
¬
¼
h1 U 2
U1 U2
ª
1
U
U1 U2
h
1
1 · «¬ 1 U1 U2
§
¨1 ¸
n¹
©
ª h1 U1 U2 U1
1
1· «
U1 U2
§
¨1 ¸ ¬
n¹
©
U1 U2
h1 * U1 U2 U1
1·
§
¨1 ¸
n¹
©
1·
§
Nach Division durch ¨1 ¸
n¹
©
und einer Erweiterung von h1 mit U1 U 2
h1 U 2
U1 U2
h2 º
»
¼
h1 U 2
h2 º
».
¼
h1 U 2
h2 .
entsteht durch Umformen
Mit U1 U 2 multipliziert führt zu
Die Gleichung mit nur noch einer Unbekannten lässt sich aufstellen, indem h2 aus
V
V A h1 h 2 mit h 2
h1 ersetzt wird. Oben eingefügt folgt
A
V
A
V
A
V
A
U1 U2
1·
§
¨1 ¸
n
©
¹
U1 U2
§ 1·
¨1 ¸
© n¹
U1 U2
1·
§
¨1 ¸
n¹
©
h1 * U1 U2 U1
h1 U 2
h1 * U1 h1 * U2 U1 h1 U2
2 h1 * U1
V
A
2 h1 * U1
V
A
§V
·
¨ h1 ¸ oder
©A
¹
V
h1 U 2 .
A
Hieraus entsteht
2 h1 * U1 U 2
V
.
A
Umgestellt nach h1
U1 U2
U2
1·
§
¨1 ¸
n¹
©
V
A
oder
ª
«
«
«
«¬
V
ausgeklammert liefert
A
º
»
U1 U2
U2 » . Die Erweiterung von U2 in der Klammer mit
1·
§
»
¨1 ¸
»¼
n
©
¹
1·
§
¨1 ¸
n
©
¹
3. Fluiddruck
2 h1 * U1
65
V
A
ª
«
«
«
«¬
U1 U2
U2
1·
§
¨1 ¸
n¹
©
§
¨1 ©
§
¨1 ©
1 ·º
¸
n ¹»
»
1 ·»
¸»
n ¹¼
V
A
ª
« U1 U2
«
«
«¬
1· º
§
¨1 ¸ »
n¹
©
» und
1·
§
»
¨1 ¸
»¼
n¹
©
U2
weiter vereinfacht ergibt
2 h1 * U1
V
A
ª
1
U2
« U1 n
«
« §¨1 1 ·¸
«¬ ©
n¹
º
» V
» =
» A
»¼
ª1
« n U1 n U2
«
1
«
n 1
n
¬
º
»
V
» =
A
»
¼
ª U1 n U2 º
».
«
n 1
¼
¬
Nach Division durch 2 U1 erhalten wir als Ergebnis:
U2 º
ª
«n U »
V
1
»
*«
2*A « n 1 »
«¬
»¼
h1
2. h 2 :
Die Verwendung von V
h2
h2
h2
h2
V
h1
A
A
h1 h 2 nach h2 umgestellt sowie
V
mit 2 erweitert führt zu
A
V
Setzt man jetzt noch das gefundene Ergebnis für h1 ein
h1 .
2*A
U2 º
ª
«n U »
V
V
V
1
» und klammert
2*
*«
aus, so entsteht
2*A 2*A « n 1 »
2*A
«¬
»¼
2*
ª
U ·º
§
¨ n 2 ¸»
«
V
U1 ¸
».
Eine Erweiterung in der Klammer mit n 1 führt zu
* «2 ¨
¨ n 1 ¸»
2*A «
¨
¸
«
©
¹»¼
¬
U2 º
U2 º
ª
ª
«2 * n 2 n U »
«2 * n 1 n U »
V
V
1
1
».
» oder h 2
*«
*«
2*A «
n 1
2*A «
n 1
»
»
«¬
»¼
«¬
»¼
Das Ergebnis für h2 lautet folglich:
h2
U2 º
ª
«2 n U »
V
1
»
*«
2*A « n 1 »
«¬
»¼
66
3. Fluiddruck
Aufgabe 3.7 Wasserglas
¥1.
¥2.
¥3.
3 min
7 min
3 min
h
hh
h
3 Punkte
7 Punkte
3 Punkte
Ein zylindrisches Glas wird in einem Wasserbehälter (z.B. Eimer) untergetaucht, bis es
vollkommen mit Wasser gefüllt ist. Dann dreht man das Glas im Wasser mit der Öffnung nach
unten in die vertikale Position und zieht es (im Bild beispielhaft an einer Aufhängung) nach
oben, bis sich der Glasboden im Abstand h1 über der Wasseroberfläche befindet. Wie groß
wird in diesem Fall der Druck p1 am höchsten Punkt im Glas, und mit welcher Kraft FH wird
das Glas in dieser Lage gehalten. Die Masse des leeren Glases mz, der Glasdurchmesser d,
die Wasserdichte U und der atmosphärische Druck pB sind dabei bekannt.
Abb. 3.7.1 Wasserglas
Lösung zu 3.7
Aufgabenerläuterung
Die Aufgabe beinhaltet die Anwendung der hydrostatischen Druckgleichung sowie der
Kräftebilanzen an gegebenen Systemen.
Gegeben:
d ; h1 ; pB ; mz ; U
Gesucht:
1.
p1
2.
FH
3. Pkte. 1 y 2, wenn: h1 = 8,5 cm ; d = 6 cm ; m Z = 280 g ; U
1000
kg
m3
3. Fluiddruck
67
Anmerkungen:
- Die in Abb. 3.7.1 eingetragenen Höhen h2 und hx sind Hilfsgrößen bei
der Lösungsfindung.
Lösungsschritte
1. p1:
In der Ebene am Behälterboden lässt sich der Druck p0 sowohl unterhalb des Glases als auch
unterhalb der freien Wasseroberfläche formulieren.
Unterhalb des Glases:
Unterhalb der Wasseroberfläche:
p0
p0
p1 U g (h1 h 2 )
pB U g h 2
Wegen der Gleichheit von p0 folgt:
pB U g
h2
p1 U g (h1 h 2 ) oder nach dem gesuchten Druck p1 aufgelöst
p1
pB U g
h1 .
2. FH :
Die Systemgrenze wird bei der Bestimmung der Haltekraft FH außen um die Kontur des
Wasserglases gelegt. Die Kräfte in vertikaler Richtung an diesem System lauten gemäß
Abb. 3.7.2 wie folgt.
Abb. 3.7.2 Wasserglas mit wirksamen Kräften
¦F
i
0
FH FG W FG Z Fp x Fp y .
Nach der Haltekraft FH aufgelöst folgt
FH
FG W FG Z Fp x Fp y .
FG W = g m W
mW
U VW
Wassergewichtskraft im Behälter
Wassermasse im Behälter
68
3. Fluiddruck
A h1 h 2 h x
g mZ
Wasservolumen im Behälter
Behältergewichtskraft
mz
Fp
y
py
A
Behältermasse
Druckkraft auf obere Systemfläche
Fp x
px
A
Druckkraft auf untere Systemfläche
py
pB
px
pB U g
VW
FG Z
Druck auf obere Systemfläche
h2 hx
Druck auf untere Systemfläche
Setzt man diese Zusammenhänge in die Gleichung für FH ein und berücksichtigt gleiche
Größen mit umgekehrten Vorzeichen, so führt dies zu
h 2 h x pB @
S
FH g U A g m Z . Mit der Kreisquerschnittsfläche A =
d 2 lautet das gesuchte
4
Ergebnis der Haltekraft FH:
FH
g U A
h1 h 2 h x g m Z A
FH
S
4
d2
g
>pB U
U
g
h1 g
3. Pkte. 1 y 2, wenn: h1 = 8,5 cm ; d = 6 cm ; m Z = 280 g ; U
mZ
1000
kg
m3
Mit der dimensionsgerechten Verwendung der gegebenen Größen erhält man:
p1:
p1
FH :
FH
100000 1000 9,81 0,085
S
4
0,06 2
p1
99166 Pa
9,81 1000 0,085 9,81 0,28
FH
5,1 N
Es sei erwähnt, dass man zur selben Lösung der Haltekraft FH gelangt, wenn man die Systemgrenzen unmittelbar außen und innen um die Glaskontur anordnet. Es entfällt dann allerdings
die Wassergewichtskraft FG W . Dafür muss eine veränderte Druckkraft Fp x verwendet werden.
3. Fluiddruck
69
Aufgabe 3.8 Ballon
¥1.
¥2.
19 min
3 min
hhh
h
19 Punkte
3 Punkte
Ein mit Gas (Helium) befüllter Ballon steigt von der Erdoberfläche auf und erreicht seine
maximale Steighöhe bei Zmax, wo er in den Schwebezustand übergeht. Die Ballonhülle ist
nicht verformbar und weist ein Volumen V auf. Der Ballon wird am Boden mit der Gasmasse
mG befüllt, die danach unverändert bleibt. Die Masse m des Ballons (ohne die zusätzliche
Gasmasse mG) ist bekannt, ebenso wie die Zustandsgrößen der Luft an der Erdoberfläche
(Stelle 0) sowie die Gaskonstanten Ri und Adiabatenexponenten N der Luft und des
verwendeten Gases. Ermitteln Sie die maximale Steighöhe Zmax bei „Isentroper Schichtung“
und der Voraussetzung eines gasdichten Ballons.
Abb. 3.8.1 Ballon im Schwebezustand
Lösung zu 3.8.
Aufgabenerläuterung
Um Zmax zu bestimmen, muss man von der Druckgleichung isentroper Schichtung ausgehen
und diese zunächst nach z auflösen. Die Variable p(z) in der neuen Gleichung lässt sich
p( z )
p0
in Zusammenhang mit der Dichte U(z) bringen. Diese Dichte U(z) ist
mittels
N
U0N
Uz
wiederum über die Auftriebskraft mit der Gesamtgewichtskraft verknüpft, die sich aus den
gegebenen Größen herleiten lässt.
70
3. Fluiddruck
Gegeben:
p 0 ; U0 ; T0 ; R i ; N ; R i G ; m; V
Gesucht:
1. Zmax
2. Pkt. 1, wenn:
p0
1,013 bar ;
Ri
287
U0
N m
; N
kg K
1,225
kg
;
m3
1,4 ; R i G
T0
288 K ;
2078
N m
;
kg K
m = 500 kg ; V = 700 m 3
Anmerkungen:
- Bei isentroper Schichtung gilt:
N
ª
º N 1
N 1 U0
p( z )
und
pz
p 0 «1 g z»
N
N
p
U
z
0
¬
¼
- Die Gasbefüllung findet bei p 0 ; T0 mit R iG statt.
p0
.
U0N
Lösungsschritte
1. Zmax :
Die Druckgleichung bei isentroper Schichtung
pz
p0
ª
N 1
«1 N
¬
pz
p0
§ U(z) ·
¨¨
¸¸
© U0 ¹
§ U(z) ·
¨¨
¸¸
© U0 ¹
§ U( z ) ·
¨¨
¸¸
© U0 ¹
N 1
N
N
U0
p0
N
N 1
sowie des Weiteren
º
U0
g z»
p0
¼
N
N 1
.
N 1
N
U0
g z .
p0
g z =
§ U( z ) ·
¸¸
1 ¨¨
© U0 ¹
1
p0
U0
1
g
Mit
N 1
potenziert führt dies zunächst zu
N
Umgestellt nach z
N 1
Ergebnis zunächst:
z =
p0
nach
U0N
umgestellt und miteinander verknüpft liefert
N 1
N
N 1
p( z )
N
Uz
N
ª
N 1
«1 N
¬
U0
p0
º
g z»
¼
ª § U(z) · N 1 º
¸¸ »
«1 ¨¨
«¬ © U0 ¹ »¼
und mit
N
N 1
p0
U0
1
multipliziert lautet das
g
3. Fluiddruck
71
Auf die gesuchte maximale Steighöhe Z max übertragen folgt:
Zmax =
N
N 1
p0
U0
1
g
ª § U( Z ) · N 1 º
max
¸¸
«1 ¨¨
»
«¬ © U0 ¹
»¼
Die noch unbekannte Dichte U( Z max ) in dieser Gleichung lässt sich in nachstehenden
Schritten feststellen. Im Fall der maximalen Steighöhe schwebt der Ballon, d.h. es entfällt die
beim Steigen oder Sinken wirkende Widerstandskraft FW. Das Kräftegleichgewicht lautet:
¦F
Fa FG FG G (-FW)
0
i
Fa
FG FG G
Fa
g U Zmax
V
Auftriebskraft in der Höhe Z max
FG
g*m
Gewichtskraft des Ballons ohne die Gasmasse mG
FG G
g
Gewichtskraft der Gasmasse mG
g
mG
U Z max
V
g
mg
mG
Nach Division durch (g * V) führt dies zu
m mG
.
Zur noch unbekannten Gasmasse m G UG V
V
gelangt man, wenn mG an der Erdoberfläche im Zustand 0 eingefüllt wird. Unter Verwen1
wird
dung der thermischen Zustandsgleichung p v R i T mit v
U
p
und somit für das einzufüllende Gas
U
Ri T
U Z max
UG
pG
R iG
TG
Beim Befüllen an der Stelle 0 gilt TG
.
und p G
UG
p0
RiG
T0
T0
p 0 . Die Gasdichte lautet dann
.
Damit gelangt man zur benötigten Gasmasse mG aus den gegebenen Größen wie folgt:
mG
p0 V
R i G T0
Die Dichte an der Stelle Zmax lässt sich nun ermitteln aus U Zmax
oder
U Zmax
§m
p 0 ·¸
¨ .
¨ V Ri
T0 ¸¹
G
©
§m
p0 V ·¸
¨ ¨ V V Ri
T0 ¸¹
G
©
72
3. Fluiddruck
Die hiermit bestimmbare Dichte U Z max liefert dann in o.g. Gleichung für Zmax die gesuchte
maximale Steighöhe.
kg
2. Pkt. 1, wenn: p 0 1,013 bar ; U0 1,225 3 ; T0 288 K ;
m
N m
N m
R i 287
; N 1,4 ; R i G 2078
;
kg K
kg K
m = 500 kg ; V = 700 m 3
Die dimensionsgerechte Verwendung der gegebenen Größen führt zu folgenden Resultaten.
Zunächst benötigt man die Dichte U Z max :
U Z max
101300 ·
§ 500
¨
¸
© 700 2078 288 ¹
0,8836
kg
m3
Z max erhält man damit dann zu:
Zmax =
1,4
1,4 1
101300 1
1,225 9,81
ª § 0,8836) · 1, 4 1 º
¸
«1 ¨
»
«¬ © 1,225 ¹
»¼
Zmax = 3615 m
3. Fluiddruck
73
Aufgabe 3.9 Behälter mit Rohrleitungen
1.
2.
3.
hh
hhhh
h
Übungsbeispiel
In Abb. 3.9.1 ist ein Behälter zu erkennen, an dem drei Rohrleitungen installiert sind.
Behälterquerschnittsfläche A, Behälterhöhe H sowie Abstand h von Leitung B zum
Behälterboden und die Flüssigkeitsdichte U sind bekannt. Auf der linken Seite in Abb. 3.9.1
ist die Flüssigkeit bis zur Höhe h0 eingefüllt. Leitung A ist geöffnet und Leitung C abgesperrt.
Im Raum oberhalb der Flüssigkeit und auch im oberen Teil der beidseitig offenen Leitung B
herrscht somit Atmosphärendruck pB. Es liegt überall die gleiche Einfüllhöhe h0 vor. Auf der
rechten Seite in Abb. 3.9.1 wird die Leitung A verschlossen und dem Behälter entnimmt man
Flüssigkeit über die geöffnete Leitung C, bis im Behälter der Flüssigkeitsstand z erreicht ist.
Hierbei verschiebt sich der Flüssigkeitsspiegel in der offenen Leitung B um 'h gegenüber z.
Der luftgefüllte Raum oberhalb des Flüssigkeitsspiegels im Behälter wird vom Zustand 0 auf
den Zustand 1 expandiert.
Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen 'h und z her und ermitteln Sie die kleinstmögliche Höhe z min , bis zu der gerade noch keine Luft über Leitung B in den Behälter
gelangt.
Abb. 3.9.1 Behälter mit Rohrleitungen
Lösung zu 3.9
Aufgabenerläuterung
Neben den hydrostatischen Druckgleichungen ist bei der Aufgabenlösung von der thermischen Zustandsgleichung Gebrauch zu machen, da man über sie zur neuen Füllhöhe z gelangt.
74
3. Fluiddruck
Gegeben:
H; h0 , h , pB, U ,
Gesucht:
1. 'h
2. z min , wenn gerade noch keine Luft über Leitung B eindringt
3. Pkte. 1 y 2 , wenn H = 2,0 m; h 0 1,0 m ; H = 0,20 m ;
kg
p B 105 Pa ; U 1000 3
m
Anmerkungen:
- Rohrquerschnitt von Leitung B ist gegenüber dem Behälterquerschnitt
vernachlässigbar.
- Isotherme Zustandsänderung vom Zustand 0 auf den Zustand 1.
Lösungsschritte
1. 'h :
'h ist im statischen Druck an der Stelle x enthalten:
px
pB g U
px
p1 g U
z h 'h
zh
p B U g z U g h U g 'h
U g 'h
'h
p1 U g z U g h
p B U1
1
U g
p B p1
p1:
Aus isothermer Zustandsänderung von Zustand 0 auf Zustand 1 erhält man mit der thermischen Zustandsgleichung p V m R i T = konstant: p 0 V0 p1 V1 .
Hierin sind gemäß Abb. 3.9.1: p 0
Somit folgt
p1
'h
'h
pB
pB
A
H h0
p1 A
A
Hz
H h 0 ; V1
A
Hz .
oder umgeformt
H h0
. Diesen Ausdruck für p1 in oben gefundene Gleichung 'h eingesetzt
Hz
ª
H h0 º
,
pB pB
«
U g ¬
H z »¼
pB ª
H h0 º
pB
1
U g «¬
H z »¼ U g
1
p B ; V0
dann pB ausgeklammert und weiter umgeformt
ª Hz
H h0 º
« Hz Hz »
¼
¬
pB ª H z H h 0 º
» führt zu
U g «¬
Hz
¼
3. Fluiddruck
'h
'h
75
pB ª h 0 z º
. Jetzt sollte noch im Zähler und Nenner z ausgeklammert werden:
U g «¬ H z »¼
§ h0
·
¨ 1¸
pB z © z
¹ . Damit liegt das Ergebnis für 'h wie folgt vor:
U g z §H ·
¨ 1¸
©z
¹
§ h0
·
¨ 1¸
pB
z
©
¹
'h
U g §H ·
¨ 1¸
©z
¹
2. z min , wenn gemäß Abb. 3.9.1 gerade noch keine Luft an der Stelle x in den Behälter
gelangt. Dies ist der Fall, wenn:
z min
'h h .
Hierin ist nun noch 'h aus dem o.g. Ergebnis bei kleinstmöglichem z min einzusetzen:
p
h 0 z min
'h = B
U g H z min
pB
h 0 z min
Dies führt zu z min
+ h.
U g H z min
H z min
, so wird
Erweitert man jetzt den zweiten Term der rechten Seite mit
H z min
pB
h 0 z min
H z min
z min
+ h
.
U g H z min
H z min
H z min
z min
mit der gesamten Gleichung multipliziert
H z min
pB
U g
h 0 z min
+ h
H z min
und danach alles ausmultipliziert führt zu
z min H z 2min
pB
U g
h0 pB
z min h H h z min .
U g
Alle Glieder mit z min auf die linke Gleichungsseite gebracht sowie die restlichen auf die
rechte Seite hat zur Folge:
z min H z 2min pB
U g
z min h z min
pB
h0 h H
U g
Vertauscht werden jetzt noch sämtliche Vorzeichen und Glieder mit z min zusammengefasst:
§
p ·
z 2min z min ¨¨ H h B ¸¸
U g¹
©
·
§
p
¨¨ H h B * h 0 ¸¸
U g
¹
©
76
3. Fluiddruck
Um eine binomische Formel der Art (a 2 2 a
b b2 )
ab
2
zu entwickeln, muss der
2
ª1 §
p ·º
Term « * ¨¨ H h B ¸¸» auf beiden Gleichungsseiten hinzuaddiert werden:
U g ¹¼
¬2 ©
§
p · ª1 §
p ·º
z 2min z min ¨¨ H h B ¸¸ « * ¨¨ H h B ¸¸»
U g ¹ ¬2 ©
U g ¹¼
©
2
2
·
§
p
p ·
1 §
* ¨ H h B ¸¸ ¨¨ H h B * h 0 ¸¸
U g
U g¹
4 ¨©
¹
©
Die binomische Formel des vorliegenden Falls lautet dann auch:
ª
p B ·º
1 §
¸»
«z min * ¨¨ H h U
g ¸¹¼
2
©
¬
2
2
·
p
1 §
p · §
* ¨ H h B ¸¸ - ¨¨ H h B * h 0 ¸¸
4 ¨©
U g
U g¹ ©
¹
Nach dem Wurzelziehen erhalten wir das gesuchte Ergebnis wie folgt:
z min
1 §
p ·
* ¨¨ H h B ¸¸ 2 ©
U g¹
2
§
1 §
p ·
* ¨¨ H h B ¸¸ ¨¨ H
U g¹
4 ©
©
h
·
pB
* h 0 ¸¸
U g
¹
Das positive Vorzeichen vor der Wurzel entfällt, da es keinen Sinn macht.
3. Pkte. 1 y 2 , wenn:
H = 2,0 m; h 0
U 1000
1,0 m ; H = 0,20 m ; p B
105 Pa ;
kg
m3
Bei dimensionsgerechter Benutzung der gegebenen Größen wird
'h :
'h
§ 1, 0
·
1¸
¨
100000
z
©
¹
*
9 ,81 1000 § 2 , 0
·
1¸
¨
z
©
¹
§1 ·
¨ 1¸
z ¹
'h 10,19 * ©
§2 ·
¨ 1¸
©z ¹
z min :
2
z min
1 §
100000 ·
1 §
100000 · §
100000
·
* ¨ 2 0,2 *1¸
¸
¨ 2 0,2 ¸ ¨ 2 * 0,2 2 ©
9,81 1000 ¹
4 ©
9,81 1000 ¹ ©
9,81 1000 ¹
z min = 0,924 m
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Die korrekte Dimensionierung von Strukturen, die statischen Belastungen durch Flüssigkeiten
ausgesetzt sind, setzt die Kenntnis der wirksamen Kräfte voraus ebenso wie die Angriffsrichtung und die Angriffspunkte. Die geometrischen Formen der betreffenden Bauteile können
ebener oder auch gekrümmter Art sein. Die im Folgenden angegebenen Zusammenhänge beziehen sich auf Flüssigkeitssysteme, die gegen Atmosphäre offen sind. Gegebenenfalls müssen andersartige Systemdrücke zusätzlich berücksichtigt werden.
Ebene Wände
Abb. 4.0.1 Flüssigkeitskraft gegen ebene Wand
Flüssigkeitskraft F:
Bei der Ermittlung der resultierenden Kraft F als Folge des Flüssigkeitsdrucks auf die Fläche
A wird der Druck in der Tiefe t p t U g t in seiner Auswirkung auf die infinitesimale
Fläche dA herangezogen. Es sei erwähnt, dass der atmosphärische Druck pB, der auf beiden
Seiten der Fläche A bzw. dA wirkt, bei der Herleitung von F entfällt. Die Integration der auf
dA wirksamen Kraft dF U g t dA mit t y cos D über der Fläche A liefert
F
³ dF
U g
A
³ y ˜ cos D
dA U g cos D
A
³y
dA
A
Aus der Mechanik kennt man das Flächenmoment 1. Grades bezüglich der x-Achse:
³y
dA
yS A
A
Somit folgt
F U g cos D yS A
Das Ergebnis lautet
F U g tS A .
oder mit
tS = yS cos D
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_4,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
78
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
U
tS
A
Flüssigkeitsdichte
Schwerpunktsabstand der Fläche A vom Flüssigkeitsspiegel
Belastete Fläche
Angriffspunkt D ( x D , y D ) der Kraft F:
Es sollen hier nur Flächen betrachtet werden, die symmetrisch zur y-Achse ausgebildet sind.
Dies hat zur Folge, dass xD = 0 ist und nur yD ermittelt werden muss. Mit der Definition, dass
die resultierende Kraft F im Druckmittelpunkt D angreift, folgt aus dem Momentensatz bezüglich der x-Achse:
³ dF * y F * y D
A
Unter Verwendung von dF und F (s.o.) gelangt man zunächst zu
³y
³U
dF
A
³y
oder
2
* dA
g y cos D dA y
y D U g yS cos D A
A
y D * yS * A .
A
Mit dem Flächenmoment 2. Grades bezüglich der x-Achse I x
yD
³y
2
dA erhält man
Ix
.
yS * A
Unter Verwendung des „Steinerschen Satzes“ I x
yS yD
I S A * y S2 folgt für y D auch:
IS
yS * A
IS
Flächenmoment 2. Grades um Schwerpunkt S
yS
Schwerpunktsabstand von der x-Achse
Exzentrizität e:
e
y D yS
Im Fall senkrechter Wände, wenn also D
yD
IS
yS * A
90 0 und folglich cos D = 1, wird yS
t S und
tD .
Gekrümmte Wände
Es ist zu beachten, dass die folgenden Angaben von einem Koordinatensystem ausgehen, welches gegenüber dem vorangegangenen Fall ebener Wände z.T. verändert wurde.
Bei der Herleitung der auf einer gekrümmten Fläche wirksamen Kraft F wird von einer infinitesimalen Fläche dA und der auf ihr angreifenden Kraft dF ausgegangen. Die Fläche dA und
die Kraft dF müssen hierbei in ihre x- und t-Komponenten zerlegt werden. Durch Integration
von dFt und dFx erhält man die gesuchten Lösungen Ft und Fx .Gemäß Abb. 4.0.2 lauten die
Komponenten dA t dA * sin D , dA x dA * cos D , dFt dF * cos D und dFx dF * sin D .
Weiterhin gilt dF p t * dA , p t
U * g * t und folglich dF
U * g * t * dA .
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
79
Vertikalkomponente Ft :
Unter Verwendung der o.g. Zusammenhänge lässt sich mittels Integration
Ft
³ dF
t
oder Ft
U * g * ³ t dA x mit dV
t dA x die gesuchte Komponente Ft herlei-
V
ten zu
Ft
U
V
U*g*V .
Flüssigkeitsdichte
Volumen über der gekrümmten Fläche *)
Abb. 4.0.2 Flüssigkeitskraft gegen gekrümmte Wand
Horizontalkomponente Fx:
Wiederum unter Verwendung der o.g. Zusammenhänge wird mittels Integration die gesuchte
Komponente Fx hergeleitet zu Fx ³ dFx bzw.
Fx
U * g * ³ t dA t .
At
³ t * dA
t
Flächenmoment 1. Grades der Projektionsfläche At bezüglich der y-Achse.
Mit t S t als Abstand des Schwerpunktes S t der Projektionsfläche A t von der y-Achse erhält
man
³ t * dA
A
t
t St * A t .
80
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Somit lautet das Ergebnis für Fx :
Fx
U * g * t St * A t
U
t St
Flüssigkeitsdichte
Schwerpunktsabstand der Flächenprojektion At von der y-Achse
At
Projektion der Fläche A in die t-y-Ebene
Kraftangriffspunkt D:
Analog zur ebenen Fläche erhält man für die t D t -Koordinate des Kraftangriffspunktes im Fall
der gekrümmten Fläche:
tDt
Iy t
Iyt
tSt * A t
Flächenmoment 2. Grades der Projektionsfläche A t um die
y-Achse
Mit dem Steinerschen Satz
ISt
Iyt
IS t t S2 t * A t erhält man:
tDt
tSt IS t
tSt * A t
Flächenmoment 2. Grades der Projektionsfläche At um die
horizontale Schwerpunktsachse
Exzentrizität
et
t D t tSt
IS t
tSt * A t
Die horizontale Kraftkomponente Fx verläuft immer durch den Kraftangriffspunkt Dt der Projektionsfläche At, die Wirkungslinie von Ft durch den Schwerpunkt SF des Volumens über
der gekrümmten Fläche. Der Kraftangriffspunkt D ist der Schnittpunkt der Wirkungslinien
von F´x und Ft .
Die Gesamtkraft F lautet:
*)
F
Fx2 Ft2
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
81
Aufgabe 4.1 Rechteckige Staumauer
¥1.
¥2.
¥3.
5 min
11
min
3
min
hh
hh
h
5 Punkte
11 Punkte
3 Punkte
Eine Staumauer (Abb. 4.1.1) mit rechteckigem Querschnitt steht auf einem ebenen Fundament und wird von links im Kraftangriffspunkt D mit der hydraulischen Kraft F belastet. Die
Gewichtskraft FG der Mauer greift bekanntermaßen im Schwerpunkt SM an. Zwischen Mauerboden und Fundament wirkt die Haftreibungskraft FR o . Die Flüssigkeitshöhe T über dem
Fundament ist neben der Mauerhöhe H und der Mauerlänge L bekannt. Ebenso gegeben sind
die Dichten UW der Flüssigkeit (Wasser) und des Mauerwerkstoffs UM. Ermittelt werden soll
die erforderliche Mauerbreite B, die vorgesehen werden muss, um die gegen das Verrutschen
notwendige Mauergewichtskraft sicherzustellen. Aufgrund dieser dann bekannten Breite ist
danach zu überprüfen, ob die Mauer um den Punkt G kippen kann oder nicht.
Abb. 4.1.1 Rechteckige Staumauer
Lösung zu 4.1
Aufgabenerläuterung
Diese Aufgabe stellt einen klassischen Fall der Kräfte- und Momentenbilanz an einem System
dar. Als primär wirksame Kräfte sind hier in horizontaler Richtung die aufgrund des Flüssigkeitsdrucks an der Mauer angreifende hydraulische Kraft F und in vertikaler Richtung die
82
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Mauergewichtskraft FG zu nennen. Letztere, multipliziert mit dem Haftreibungskoeffizient P0,
bewirkt in der Maueraufstandsfläche die entgegen F gerichtete Haftreibungskraft FR o .
Gegeben:
U M ; U W ; g; T; H; L; P o ; k
Gesucht:
1. B
B
Bmin
2. Kippsicherheit um Punkt G
3. Pkt. 1 und Pkt. 2, wenn:
UM
H
Anmerkungen:
kg
kg
;
; U W 1000
m3
m3
6 m ; T 5 m ; k 1,5 ; P 0 0,42
2406
- Das Verrutschen der Mauer wird durch Vergrößern der Mindestbreite
Bmin auf die tatsächliche Breite B mit dem Sicherheitsfaktor k
vermieden.
Lösungsschritte
1. B :
Die Bedingung, dass die Mauer gerade noch nicht verrutscht, erhält man aus dem Kräftegleichgewicht in x-Richtung:
o
FR 0 min = F.
¦ Fi x 0 F FR 0 min . Hieraus folgt
Mit
FR 0 min
Po
FG min
g
VM min
Bmin
Haftreibungskraft
FG min
UM
H
bei Bmin
Mauergewichtskraft bei Bmin
VM min
L
Mauervolumen
bei Bmin
lautet die Haftreibungskraft:
FR 0 min
Po
g
UM
Bmin
H
L.
Die Kraft F aus der Druckverteilung in der Flüssigkeit wird bestimmt mit
F = g UW t S A .
T
tS
2
A=T L
Flächenschwerpunktsabstand vom Flüssigkeitsspiegel,
vom Fluid benetzte Fläche.
Die Kraft F aus der Druckverteilung in der Flüssigkeit ermittelt man hier also aus:
F=
1
g UW T 2 L
2
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
83
Somit lässt sich die o.g. Kräftebilanz in x-Richtung auch ersetzen mit:
Po
Bmin
g UM
1 UW
2 UM
Bmin
1
P0
H L
T2
H
1
g U W T 2 L oder nach Bmin umgeformt
2
.
Um die Sicherheit gegen das Verrutschen zu gewährleisten, muss die Haftreibungskraft
FR 0 > FR 0 min gewählt werden. Dies erreicht man im vorliegenden Fall durch eine Vergrößerung der tatsächlichen Breite B gegenüber der berechneten Größe Bmin . Mit dem Faktor
B
k=
erhält man die tatsächliche Breite zu:
B min
B
1 UW
2 UM
k
P0
T2
H
2. Kippsicherheit um G:
Die Frage, ob die Mauer bei den an ihr wirkenden Kräften Gefahr läuft, um den Punkt G zu
B
aus der Gewichtskraft
kippen, lässt sich mit der Gegenüberstellung des Momentes FG
2
§T
·
und des Momentes F ¨ e ¸ aus der hydraulischen Kraft um den Punkt G beantworten.
©2
¹
Die Mauer ist immer dann kippsicher, wenn
B
§T
·
> F ¨ e¸ .
2
©2
¹
F §T
·
B>2
¨ e¸
FG © 2
¹
F
B!
T2 e .
FG
IS
IS
=
e
A yS
A tS
FG
Nach der Mauerbreite aufgelöst erhält man
oder
Mit der Exzentrizität
(bei D = 0°, also senkrechte Wand),
dem Flächenmoment 2. Grades der Rechteckfläche um den Schwerpunkt S
IS
tS
e
B!
L T3
,
12
T
2
L T3 2
12 L T T
F §
2
·
T¸
¨T FG ©
6
¹
dem Schwerpunktabstand
und der Fläche A = T * L wird
oder e
1
6
oder B !
T . Damit wird
F §
1
2 F
·
T ¸ bzw. B !
T.
¨T FG ©
3
3 FG
¹
84
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
g UM
FG
B!
B L H
und
F=
1
g U W T 2 L oben eingesetzt liefert:
2
2
g UW T 2 L
T
3 2 g UM B L H
Durch das Kürzen betreffender Größen sowie der Multiplikation mit B kommt man zu
B2 !
1 UW
3 UM
T3
.
H
Nach dem Wurzelziehen lautet das Ergebnis schließlich:
B!T
1 UW
3 UM
T
H
Ein Umkippen der Staumauer wird immer dann vermieden, wenn diese Bedingung eingehalten wird.
3. Pkt. 1 und Pkt. 2, wenn:
kg
; UW
m3
k 1,5; P 0 0,42
UM
2406
1000
kg
; H
m3
6 m; T
5 m;
B:
B
1 1000 1,5 52
2 2406 0,42 6
B
B!5
1 1000 5
3 2406 6
3,09 m
1,70
3,09 > 1,70, d.h. die Kippsicherheit ist gewährleistet
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
85
Aufgabe 4.2 Schräge Absperrklappe
¥1.
¥2.
19 min
2 min
hhh
h
19 Punkte
2 Punkte
Eine Absperrklappe liegt gemäß Abb. 4.2.1 auf einer Flüssigkeit auf und dichtet den Flüssigkeitsraum gegenüber der Umgebung ab. Die Klappe ist um den Punkt G drehbar gelagert. Der
vertikale Abstand h ihres höchsten Punktes A vom Gelenk G sowie der des Flüssigkeitsspiegels vom Punkt A sind gleich groß. Die Klappensteigung wird durch den Winkel D festgelegt.
Die Gewichtskraft der Klappe FG ist bekannt. Zu ermitteln ist diejenige im Klappenschwerpunkt angreifende, vertikale Haltekraft Ft , mit der am Punkt A gerade noch abgedichtet wird.
Abb. 4.2.1 Schräge Absperrklappe
Lösung zu 4.2
Aufgabenerläuterung
Zur Lösung der Frage nach der Vertikalkraft Ft sind sämtliche an der Klappe wirksamen Kräfte im Gleichgewichtszustand zu berücksichtigen. Die o.g. Formulierung „… gerade noch abgedichtet …“ soll darauf hinweisen, dass an der Stelle A keine Kraft mehr zwischen Klappe
und Fundament wirkt. Neben der bekannten Klappengewichtskraft FG und der gesuchten Haltekraft Ft muss die aufgrund der hydrostatischen Druckverteilung an der Klappenunterseite
angreifende Kraft F ermittelt werden. Kraftangriffspunkt für FG und Ft ist jeweils der
Schwerpunkt der Klappe; dagegen ist derjenige von F um die Exzentrizität e vom Schwerpunkt aus nach unten versetzt.
Gegeben:
U ; D ; g ; h ; FG ; B ;
Gesucht:
1. F t
86
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
2.
F t , wenn:
kg
; D 30 0 ; g
m3
2m; B 3m;
U 1000
h
9,81
m
; FG
s2
300 kN ;
Lösungsschritte
1. F t :
Einen schnellen Weg zur Bestimmung der Kraft Ft stellt die Anwendung des Momentensatzes
um das Gelenk G dar. Hierzu ist es zunächst erforderlich, alle Kräfte und notwendigen geometrischen Größen in Abb. 4.2.2 einzutragen. Es wird davon ausgegangen, dass im Gelenk
kein mechanisches Reibmoment wirkt.
Die Kräfte FG und Ft greifen im Schwerpunkt S dieser Rechteckplatte mittig, vertikal nach unten gerichtet an. Die hydraulische Kraft F steht senkrecht am Angriffspunkt D auf der Klappenfläche.
Abb. 4.2.2 Abmessungen und Kräfte
Der Momentensatz liefert mit den Abmessungen in Abb. 4.2.2.:
¦T
G
0
ª1
F «
¬2
h
º
e» Ft
sin D
¼
cos D
1
2
h
FG
sin D
cos D
Da Ft gesucht wird, erfolgt eine Umstellung gemäß
Ft
cos D
1
2
h
sin D
F
ª1
«¬ 2
h
º
e» FG
sin D
¼
cos D
1
2
h
sin D
1
2
h
sin D
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
87
2 sin D
liefert die gesuchte Kraft Ft alleine auf der linken Seite:
h cos D
1
h
2 sin D
2 sin D 1 ª 1
h
º
e» FG cos D
cos
D h
cos D
h «¬ 2 sin D
2
sin
D
¼
Multipliziert mit
Ft
F
Das Kürzen geeigneter Größen und Ausmultiplizieren auf der rechten Seite
Ft
F
ª 2 sin D
«¬ cos D h
1
2
h
e
sin D h
2 sin D º
FG
cos D »¼
führt zum vorläufigen Zwischenergebnis:
e sin D º
ª 1
Ft F «
2
FG
h cos D »¼
¬ cos D
Es sind also noch die hydraulische Kraft F und die Exzentrizität e unbekannt.
U g A tS
h
A= B
sin D
1
3
tS h h
h
2
2
F=
Durch den Flüssigkeitsdruck bewirkte hydraulische Kraft
Benetzte Fläche
Schwerpunktsabstand der Fläche A von der Oberfläche
Die hydraulische Kraft F lässt sich dann beschreiben mit
U
F
g
B
3
2
h2
.
sin D
Die Exzentrizität e als Abstand des Punktes D von S auf der Rechteckklappe lautet :
e=
IS
A yS
IS
Flächenmoment 2. Grades
B H3
12
B h3
,
sin 3 D 12
IS
IS
A
Im vorliegenden Fall einer Rechteckfläche
da H {
h
.
sin D
(s.o.)
yS =
h
1
h
sin D 2 sin D
yS
3
h .
2 sin D
Koordinate durch die geneigte Klappe vom Flüssigkeitsspiegel bis
zum Schwerpunkt S. Für yS erhält man somit
e
Die Exzentrizität bestimmt man mit diesen Zusammenhängen zu
B h 3 sin D 2 sin D
sin 3 D 12 B h 3 h
oder
e
1
h
.
18 sin D
88
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Die gesuchte Kraft Ft lässt sich nun durch Verwendung von e in der Ausgangsgleichung herleiten zu
2
h
sin D º
ª 1
Ft F «
FG oder die Klammer zusammengefasst
¬ cos D 18 sin D h cos D »¼
8
F
1
1 º
ª 1
Ft F «
FG .
FG und folglich Ft
»
D
D
9
cos
cos
9
cos
D
¬
¼
Unter Verwendung von F
Ft
8
9
U g B
3
2
U
h2
sin D
g
U 1000
3
2
h
gelangt man zunächst zu
sin D
1
FG . Durch Kürzen lautet dann das Ergebnis
cos D
Ft
2. F t , wenn:
B
4
U g
B h 2 FG .
3 sin D cos D
kg
; D
m3
30 0 ; g
9,81
m
; FG
s2
300 kN ; h
2m; B
3m;
Unter Beachtung der dimensionsgerechten Benutzung der gegebenen Größen berechnet man
die erforderliche Vertikalkraft Ft zu
Ft
4
3
1
sin 30 0
cos 300
1000 9,81 3 2 2 300000
Ft
62,48 kN .
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
89
Aufgabe 4.3 Platte auf Wasser
¥1.
hhh
20 min
20 Punkte
Bei der folgenden Aufgabe stelle man sich gemäß Abb. 4.3.1 vor, dass eine schwere massive
Stahlplatte als Abdichtelement den Austritt von Wasser aus einem Becken verhindern soll. Die
Platte ist drehbar im Beckenfundament gelagert und liegt auf dem Wasser auf. Die seitlichen
Abdichtungen sind in Abb. 4.3.1 nicht erkennbar. Im Fall von Holz als Plattenwerkstoff hat
man keine Vorstellungsschwierigkeiten dieses Vorgangs; bei einer z.B. 20 Tonnen schweren
Stahlplatte dagegen könnte man meinen, dass ein Untergehen im Wasser aufgrund der enormen Plattenmasse unvermeidlich ist. Die hydrostatische Druckverteilung im Wasser sorgt jedoch dafür, dass auch die Stahlplatte bei korrekter Dimensionierung die Aufgabe erfüllt.
Da die Flüssigkeitstiefe t1 über dem Drehgelenk variabel angenommen wird (z.B. Ebbe und
Flut), soll der Zusammenhang zwischen t1 und dem Plattenneigungswinkel Ihergeleitet werden.
Abb. 4.3.1 Platte auf Wasser
Lösung zu 4.3
Aufgabenerläuterung
Die variable Wassertiefe t1 bewirkt, dass die flüssigkeitsbenetzte Plattenfläche A1, auf welcher
der hydrostatische Druck wirkt, sich ebenfalls verändert (A1 = B * L1 mit B = konstant und
L1 z konstant). Aufgrund der Verschiebung des Bezugsschwerpunktes S1 der Fläche A1 liegen auch unterschiedliche Schwerpunktsabstände tS1 vor. Direkte Auswirkungen auf die vom
Flüssigkeitsdruck erzeugte Plattenkraft F U W g t S1 A1 sind die Folge. Weiterhin wird
auch der Angriffspunkt D1 der Kraft F durch die variable Wassertiefe t1 beeinflusst. Dies äußert sich in veränderlichen Werten der Exzentrizität e1 .
Gegeben:
Gesucht:
U W , UP , g, B, L, d
t1 = f (I)
90
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Anmerkungen:
- Der Plattenschwerpunkt S darf nicht mit dem Flächenschwerpunkt S1
verwechselt werden.
Lösungsschritte
Zunächst müssen alle bekannten bzw. benötigten geometrischen Größen in Abb. 4.3.2 eingetragen werden, ebenso wie die beiden Kräfte FG und F in ihren Wirkungspunkten S bzw. D1.
Abb. 4.3.2 Abmessungen und Kräfte
Den einfachsten Ansatz zur Ermittlung der gesuchten Funktion liefert der Momentensumme
um das Drehgelenk, wobei davon ausgegangen wird, dass im Gelenk Reibungsfreiheit vorliegt:
L
¦ T 0 FG cos M 2 F L1 yS1 e1 . Umgeformt folgt
L
.
Multipliziert mit 2 liefert
F L1 yS1 e1
FG cos M
2
2 F L1 yS1 e1
FG cos M L .
F
g U W A1 t S1
Hydraulische Kraft in D1
A1
B L1
Benetzte Fläche
t S1
yS1 sin M
Schwerpunktsabstand der Fläche A1
yS1
FG
L1
2
g mP
Schwerpunktskoordinate in der Flächenrichtung
Gewichtskraft der Platte
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
91
mP
UP VP
Plattenmasse
VP
B L d
Plattenvolumen
Diese Zusammenhänge in der Ausgangsgleichung verwendet führt zu:
1
g U W B L21 sin M L1 yS1 e1 = g U P B L d cos M L
2
L1
§L
·
da yS1
.
U W L21 sin M ¨ 1 e1 ¸ = UP L2 d cos M ,
2
© 2
¹
2
oder
Die Exzentrizität e1 als Abstand des Kraftangriffpunktes D1 vom Flächenschwerpunkt S1 erhält man mit den vorliegenden Größen wie folgt:
IS1
Exzentrizität
e1
A1 yS1
IS1
A1
yS1
e1
B L31
12
L1 B
L1
2
3
1 B L1
12
Flächenmoment 2. Grades der Rechteckfläche A1
(s.o.)
(s.o.)
2
L1
B L1
oder
e1
1
L1 .
6
§L L ·
U W L21 sin M ¨ 1 1 ¸ = UP L2 d cos M
6¹
© 2
1
3
UW
L31 =
t13
sin M = UP L2 d cos M . Nach L31 zunächst umgeformt folgt
L31
3 UU
UP
3
UW
L2
Uw
L2
d cos M
.
sin M
Ersetzt man jetzt L1
d cos M sin 2 M
und als gesuchtes Ergebnis:
t1
3
3
UP
L2 d cos M sin 2 M
UW
t1
, so erhält man
sin M
92
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Aufgabe 4.4 Verschlussklappe zwischen zwei Wasserkanälen
¥1.
¥2.
¥3.
9 min
11 min
4
min
hh
hhh
h
9 Punkte
11 Punkte
4 Punkte
Wie in Abb. 4.4.1 erkennbar werden zwei Kanäle durch eine Wand voneinander getrennt. In
der Wand ist eine kreisförmige Verschlussklappe in der Weise installiert, dass sie den Kanalboden gerade berührt und am höchsten Punkt in einem Drehgelenk gelagert ist. An diesem
angeschweißt erkennt man einen Hebel, der am hinteren Ende mit einer Masse m belastet
wird mit der Aufgabe, die Abdichtung zwischen beiden Kanälen herzustellen. Die Frage, die
sich im vorliegenden Fall stellt, ist zweigeteilt und behandelt den Abdichtvorgang unter verschiedenen Aspekten:
1. Mit welcher Masse m muss der Hebel belastet werden, damit bei gegebener Füllhöhe t1 im
linken Kanal (Abb. 4.4.1) die Verschlussklappe gegenüber dem rechten leeren Kanal „gerade noch“ abdichtet?
2. Bei unterschiedlichen Wasserständen in beiden Kanälen (Abb. 4.4.2) soll festgestellt werden, wie groß die linke Füllhöhe t2 werden darf, dass bei eingetauchter Masse m und fester Höhe t im rechten Kanal die Abdichtung ebenfalls „gerade noch“ funktioniert?
Abb. 4.4.1 Verschlussklappe zwischen zwei Wasserkanälen
Lösung zu 4.4
Aufgabenerläuterung
Die Aufgabe behandelt das Zusammenwirken verschiedener an der Verschlussklappe angreifender Kräfte unter jeweils dem Aspekt des „Gerade noch“-Abdichtens an der Dichtfläche.
Dies bedeutet, dass die Kraft zwischen Dichtung und Klappe in diesem Grenzfall gleich Null
ist und folglich nicht berücksichtigt wird. Als Kräfte kommen neben der Gewichtskraft der
Masse m noch diejenigen aus den hydrostatischen Druckverteilungen an der Verschlussklappe
und im zweiten Fall auch die Auftriebskraft der eingetauchten Masse zur Wirkung.
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Anmerkungen:
93
d
ist in Abb. 4.4.1 nicht eindeutig erkennbar.
2
- Reibungsfreiheit im Drehgelenk.
- a!
- Die Volumina des Hebels und des Versteifungswinkels sind vernachlässig bar.
S
- IS
d 4 Flächenmoment 2. Grades um Schwerpunkt einer Kreisflä64
che.
Teil 1:
Gegeben:
U W , d, a, l, t1
Gesucht:
m
Lösungsschritte
Bildet man mit den wirksamen Kräften die um das Drehgelenk wirkenden Momente, so folgt
entgegen dem Uhrzeigersinn
¦T
D
0
F
a e FG
l oder umgestellt FG
l
F
ae .
Mit FG = m * g und F U W g t S A wird
m g l UW g t S A
m
m
UW
tS
l
ae
S
d2
UW
4
l
S
4
a e . Nach m aufgelöst sowie mit A =
d2
S
d4
64
S
A=
d2
4
d·
§
t S ¨ t1 ¸
2¹
©
d2
t S in die Klammer multipliziert und umgestellt
tS a tS e .
Die Exzentrizität lautet allgemein e
IS =
S
4
IS
und im Fall der Kreisplatte:
tS A
Flächenmoment 2. Grades um den Schwerpunkt S
Fläche
Schwerpunktsabstand von der Flüssigkeitsoberfläche
Somit lässt sich e unter Verwendung dieser Zusammenhänge ermitteln zu:
S
d4
d2 l
64
e
S 2 16 t S
tS
d
4
94
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Wird e in die Gleichung für die gesuchte Masse eingesetzt, so führt dies zum Ergebnis:
S
d2 §
d2 ·
d
¨¨ t S a ¸¸ oder mit t S §¨ t1 ·¸
m
UW
2¹
4
l ©
16 ¹
©
m
S
4
UW
d2
l
§§
d·
d2 ·
¨¨ ¨ t1 ¸ a ¸¸ .
2¹
16 ¹
©©
Teil 2:
Gegeben:
m, l, a, d, t, U W , UG
Gesucht:
t2
Lösungsschritte
Auch hier ist der Ansatz der von allen Kräften um das Drehgelenk erzeugten Momente der
einfachste Weg, die gesuchte, maximal zulässige Flüssigkeitshöhe t 2 zu ermitteln. Im Unterschied zu Teil 1 wirken jetzt aber zwei durch den Flüssigkeitsdruck an der Verschlussklappe
hervorgerufene Kräfte F1 und F2. Die verschiedenen Füllhöhen in den Kanälen verursachen
des Weiteren unterschiedliche Kraftangriffspunkte von F1 und F2. Dies äußert sich in voneinander abweichenden Exzentrizitäten e1 und e2. Weiterhin wird eine Kraft wirksam, die immer dann entsteht, wenn ein Körper mit seinem Volumen in einem Fluid das gleiche Fluidvolumen verdrängt: die Archimedische Auftriebskraft. Im vorliegenden Fall entsteht sie an der
in Teil 1 bestimmten, jetzt aber vollkommen eingetauchten Masse m und greift wie die Gewichtskraft FG im Massenschwerpunkt an.
Abb. 4.4.2 Abmessungen und Kräfte
Bildet man mit den wirksamen Kräften die um das Drehgelenk wirkenden Momente, so folgt
im Uhrzeigersinn:
¦T
0 FG
e 2 a F1
D
F2
l Fa
e1 a
l F1 e1 a F2
FG Fa l .
e2 a
0 oder umgestellt
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
FG
Fa
VG
F2
g
m
Gewichtskraft
U W g VG
m
UG
e 2 a - F1
Auftriebskraft
95
Volumen der Masse. Oben eingesetzt
e1 a = l
>g
m U W g VG @ führt zu
ª U g VG º
e1 a = l g m «1 W
.
g m »¼
¬
m
m g ausgeklammert und UG
eingesetzt liefert:
VG
F2
e 2 a - F1
F2
e 2 a - F1
ª U º
e1 a = l m g «1 W »
¬ UG ¼
Die hydraulischen Kräfte F2 und F1 an der Klappe unterscheiden sich nur durch die verschiedenen Schwerpunktsabstände t S2 und t S1 und lauten :
F2
U W g t S 2 A und
F1
U W g t S1 A
Die Schwerpunksabständen t S2 und t S1 lassen sich aus Abb. 4.4.2 wie folgt ablesen:
d·
§
¨ t 2 ¸ und t S1
2¹
©
tS2
d·
§
¨t ¸
2¹
©
Die beiden noch benötigten Exzentrizitäten folgen allgemein dem Ansatz e =
Is
yS
A
.
Im Fall der senkrechten Fläche (D = 0°) wird gemäß tS = yS * cos Doder tS = yS.
Man erhält folglich:
e1
Is
tS
A
und e 2
1
Is
t S2
A
F2 und F1 sowie e 1 und e 1 mit den neuen Zusammenhängen in das Ergebnis der Momentengleichung eingesetzt und vereinfacht UW g A t S2
UW
A a
>I
S
A t S2
>t
t S 2 t S1
S2
t S1
@
ª IS
º
ª I
º
ª U º
a » U W g A t S1 « S a » = l m g «1 W »
«
t
A
t
A
»¼
¬ UG ¼
¬« S 2
¬« S1
¼»
ª U º
a IS A t S1 a = l m «1 W » führt zu:
¬ UG ¼
ª U º
m
l «1 W » . Dividiert man noch durch (A * a), so bleibt stehen:
UW
¬ UG ¼
m l 1
A a UW
@
ª UW º
».
«1 ¬ UG ¼
Mit den o.g. Schwerpunktsabständen erhält man
96
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
d· §
d·
§
¨ t2 ¸ ¨ t ¸
2¹ ©
2¹
©
m l 1
A a UW
t2
ª UW º
«1 » und mit A
¬ UG ¼
t
4 m l
S d2 a
1
UW
S
4
d 2 das Endergebnis
ª UW º
«1 ».
¬ UG ¼
3. m und t2 bei folgenden Größen:
m:
m
t1 = 1 m, d = 0,90 m, a = 0,53 m, l = 0,95 m, UW = 1000
S
1000
4
0,92
0,95
kg
,
m3
§§
0,9 ·
0,92 ·
¨¨ ¨1 ¸
¸ 0,53 2 ¹
16 ¸¹
©©
m = 229 kg
t2: t = 1 m, d = 0,90 m, a = 0,53 m, l = 0,95 m, UW = 1000
t2
1
4 229 0,95
S 0,9 2 0,53
1
1000
t2 =
1000 º
ª
«¬1 7850 »¼
1,56
m
kg
kg
,UG = 7850
m3
m3
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
97
Aufgabe 4.5 Zylinder auf Rechteckabfluss
¥1.
¥2.
hhh
h
20 min
2 min
20 Punkte
2 Punkte
In Abb. 4.5.1 ist der Querschnitt durch ein flüssigkeitsgefülltes Becken mit einem rechteckigen Abfluss zu erkennen. Eine zylindrische Walze mit dem Radius R und der Länge L (senkrecht zur Bildebene) liegt auf diesem Rechteckabfluss gleicher Länge auf und verhindert das
Ausströmen der Flüssigkeit. An der oberen und unteren flüssigkeitsbenetzten Zylinderoberfläche wirken unterschiedliche, durch die hydrostatische Druckverteilung hervorgerufene Kräfte.
Zu ermitteln ist die resultierende hydrostatische Kraft, die an der Walze zur Wirkung kommt.
Abb. 4.5.1 Querschnitt durch flüssigkeitsgefülltes Becken
Lösung zu 4.5
Aufgabenerläuterung
Im vorliegenden Fall der im unteren Segment nicht vollständig in Flüssigkeit eingetauchten
Walze stellt sich die Frage nach Kräften, die an Körpern mit gekrümmten Oberflächen aufgrund der hydrostatischen Druckverteilung in Flüssigkeiten wirken. Da Symmetrie zur tAchse vorliegt, heben sich die Horizontalkomponenten der Kräfte bei gleicher Größe, aber
entgegengesetzter Wirkrichtung vollständig auf. Somit sind nur die Kraftkomponenten Ft von
Bedeutung. Bei deren Bestimmung ist es erforderlich, zu unterscheiden, ob die Kraftkomponente „von oben“, also in t-Richtung oder „von unten“, also entgegen t-Richtung wirkt. Hiernach richtet sich das Volumen V, welches bei der Ermittlung von Ft g U V benötigt
wird.
U,
M,
Gegeben:
h 1,
R,
L
Gesucht :
1.
Ft 1 , Ft 2 , Ft res .
2.
Ft res . wenn: h1 = 7 m, U kg
, M q, R = 4 m, L = 3 m.
m3
98
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Lösungsschritte
1. Ft res . :
Zunächst müssen in Abb. 4.5.2 die beiden Kraftkomponenten Ft 1 und Ft 2 sowie die benötigten
Volumina V1 und V2 eingetragen werden. Zweckmäßigerweise ist es ratsam (aber nicht zwingend erforderlich), die Kräfte und Volumina pro Walzenhälfte einzuzeichnen und zu ermitteln. Das Volumen V1 und auch Ft 1 , eigentlich in der linken Hälfte vorhanden, sind wegen
der besseren Erkennbarkeit auf der rechten Seite eingezeichnet.
Abb. 4.5.2 Abmessungen und hydraulische Kräfte
Die resultierende hydraulische Kraftkomponente wird wie folgt festgelegt:
Ft res
Ft 1 Ft 2
2
(pro Hälfte des Zylinders).
Zur Vertikalkraft Ft1 , welche eine Zylinderhälfte von oben belastet, führen nachstehende
Herleitungsschritte:
Ft 1
U g V1
Von oben wirkende hydraulische Kraft
V1
VQuader VViertelkreis
Wirksames Flüssigkeitsvolumen gemäß Abb. 4.5.2
VQuader
A FMJG L
VViertelkreis
A MKJ L
Quadervolumen
Volumen aus Viertelkreis und Länge
A FMJG
h1 * R
Querschnittsfläche des Quaders
A MKJ
1
S R2
4
Querschnittsfläche des Viertelkreises
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Diese Zusammenhänge liefern zunächst V1
S
§
·
R L ¨ h1 R ¸ und dann die gesuchte
4
©
¹
Kraft Ft1 in nachstehender Funktion:
Ft 1
S
§
·
R¸
U g R L ¨ h1 4
©
¹
Zur Vertikalkraft Ft 2 , welche eine Zylinderhälfte von unten belastet, führen nachstehende
Herleitungsschritte:
Ft 2
U g V2
Von unten wirkende hydraulische Kraft
V2
VQuader VKreissektor VPr isma
Wirksames Flüssigkeitsvolumen gemäß Abb. 4.5.2
VQuader
A BCDE L
Volumen des Quaders
A BCDE
h1 BE
Querschnittsfläche des Quaders
BE
R R cos M
BE
R
VQuader
VKreissektor
gemäß Abb. 4.5.2 oder R ausgeklammert
1 cos M
h1 L R
1 cos M
A ABM L
Ergebnis für VQuader
Volumen aus Kreissektorfläche und Länge
M
S R2
360o
Mo
VKreissektor
S R2 L
360o
o
A ABM
VPr isma
A AEM
EM
Querschnittsfläche des Kreissektors
Ergebnis für VKreissektor
A AEM L
1
EM EA
2
R cos M
Volumen des Prismas
Querschnittsfläche des Prismas
gemäß Abb. 4.5.2
R sin M
1
A AEM
R 2 sin M cos M
2
1
VPr isma
R 2 L sin M cos M
2
EA
gemäß Abb. 4.5.2
Ergebnis für VPr isma
Die drei Teilvolumina in V2 eingesetzt liefern zunächst
V2
h1 R L 1 cos M 99
Mo
1
S R2 L R 2 L sin M cos M .
360o
2
100
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Das Ausklammern von R L führt zu
V2
ª
R L « h1
¬
1 cos M º
sin M cos M» .
¼
Mo
1
S R R
360o
2
1
sowie cos 30o
2
Unter Verwendung von M 30o und sin 30o
V2
ª
§ 1
R L « h1 ¨1 © 2
¬
o
1
1 1
· 30
3¸ R
S R
o
360
2
2 2
¹
V2
ª
§ 1
R L « h1 ¨1 © 2
¬
3
· R §
3¸ ¨S 12
2
¹
©
1
2
3 gelangt man zu
º
3»
¼
oder umgeformt
·º
3 ¸» .
¹¼
Die Kraftkomponente Ft 2 lautet folglich:
Ft 2
ª
§ 1
U g R L « h 1 ¨1 © 2
¬
Die resultierende hydraulische Kraftkomponente
Ft res
2
Ft res
2
Ft res
2
3
· R §
3¸ ¨S 12
2
¹
©
erhält man mit:
­§
S
· ª
§ 1
U g R L ®¨ h1 R ¸ « h 1 ¨1 4
¹
© 2
©
¬
¯
3
· R §
3¸ ¨S 2
¹ 12 ©
S
1
§
U g R L ¨ h1 R h1 4
2
©
S
1
R
12
8
3 h1 ·º
3 ¸»
¹¼
·º ½
3 ¸» ¾
¹¼ ¿
·
3 R¸
¹
oder die Gesamtkraft nach Multiplikation mit 2:
Ft res
2. Ft res . , wenn:
·
§
3
2
R
U g R L ¨¨ 3 h1 S R ¸¸
4
3
¹
©
h1 = 7 m, U kg
, M q, R = 4 m, L = 3 m.
m3
Die dimensionsgerechte Benutzung der gegebenen Zahlen vorausgesetzt ermittelt man die
Kraft Ft res zu
Ft res
·
§
3
2
1000 9,81 4 3 ¨¨ 3 7 4
S 4 ¸¸ oder
4
3
¹
©
Ft res . = 644967 N | 645 kN.
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Aufgabe 4.6 Kugel auf Abflussrohr
hhh
h
1.
2.
101
Übungsbeispiel
Am Boden eines offenen Wasserbeckens befindet sich ein kreisförmiges Abflussrohr. Das Becken ist bis zur Höhe h mit Wasser befüllt. Den Eintrittsquerschnitt des Abflussrohrs versperrt
eine Kugel mit der Gewichtskraft FG und dem Radius r0. Der obere Kugelscheitelpunkt weist
einen Abstand h0 vom Beckenboden auf. Das Abflussrohr mündet ins Freie. Zu ermitteln ist
diejenige Kantenkraft FK, die zwischen Kugel und Eintrittskante der Abflussleitung wirkt.
Abb. 4.6.1 Kugel auf Abflussrohr
Lösung zu 4.6
Aufgabenerläuterung
Die gesuchte Kantenkraft FK lässt sich aus den verschiedenen an der Kugel wirkenden Kräften herleiten. Hierbei handelt es sich neben dem bekannten Gewichtsanteil FG um Kräfte, die
an Körpern mit gekrümmten Oberflächen aufgrund der hydrostatischen Druckverteilung in
Flüssigkeiten wirken. Da Symmetrie zur t-Achse vorliegt, heben sich die Horizontalkomponenten Fx der Kräfte bei gleicher Größe, aber entgegengesetzter Wirkrichtung vollständig auf.
Somit sind nur die Kraftkomponenten Ft von Bedeutung. Bei deren Bestimmung ist es erforderlich, zu unterscheiden, ob die Kraftkomponente „von oben“ (hier Ft 2 ) oder „von unten“
(hier Ft 1 ) wirkt. Hiernach richtet sich das jeweilige Volumen V, welches bei der Ermittlung
von Ft
g U V benötigt wird.
102
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Anmerkungen:
- Das Volumen der mit zu verwendenden Kugelkalotte V3 lautet im vorS 2
liegenden Fall (Abb. 4.6.1 ): VKalotte
h 0 3 r0 h 0 .
3
Gegeben:
g, h, r0, h0,
Gesucht:
1. FK
U FG
m
, h = 200 mm, r0 = 50 mm, h0 = 90 mm,
s2
kg
U 3 FG = 3,924 N
m
2. FK ,wenn: g = 9,81
Lösungsschritte
Alle gegebenen Größen h, r0, h0, FG sowie die Kräfte Ft 1 , Ft 2 und die gesuchte Kantenkraft FK
müssen zunächst in Abb. 4.6.2 eingezeichnet werden. Die Wirkrichtungen der Kräfte sind alle
bis auf diejenige von FK bekannt. Diese kann man willkürlich wählen, da das Vorzeichen des
Ergebnisses die Lösung liefert. Die Kraftangriffspunkte von FG und Ft 2 entsprechen den tatsächlichen Gegebenheiten. Aus Darstellungsgründen erkennt man die Kräfte Ft 1 und FK an
frei gewählten Stellen, was aber auf das Ergebnis keinen Einfluss hat. Weiterhin benötigte
geometrische Größen wie der Radius rx und der Abstand der Kugelmittelebene vom Beckenboden (h0 – r0) sind ebenfalls zur Lösungsfindung erforderlich.
Abb. 4.6.2 Abmessungen und Kräfte
1. FK:
Als Ansatz wird die Kräftebilanz in t-Richtung wie folgt benutzt:
p
¦F
ti
0
FG Ft z Ft1 FK
oder
FK
Ft 2 Ft 1 FG
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
103
Die Kräfte Ft 1 und Ft 2 nach dem allgemeinen Ansatz Ft
F t1
U g V1
FK
U g
bzw.
F t2
U g
V2 .
g U V lauten demgemäß:
Oben eingesetzt erhält man folglich
V2 V1 FG .
Somit ist in diesem Fall die gesuchte Kantenkraft FK nur noch abhängig von den Volumina
V 2 „oberhalb“ der flüssigkeitsbenetzten Kugelkonturkrümmung bis zur Scheitelebene und
V 1 „unterhalb“ der flüssigkeitsbenetzten Kugelkonturkrümmung bis zur Scheitelebene mit
jeweils der Flüssigkeitsoberfläche als Bezugsebene.
V1 :
V1
VKalotte V2 VZylinder
VKalotte
S 2
h0
3
Flüssigkeitsvolumen „von unten“
3 r0 h 0
Kalottenvolumen
V2
siehe Abb. 4.6.2
VZylinder
rx2
S r
2
x
r02 h 0 r0
Zylindervolumen mit
h
2
oder rx2
h0
2 r0 h 0 .
Ohne V1 und V2 jetzt detailliert bestimmen zu müssen, gelangt man zur Volumendifferenz
V2 V1
wie folgt:
V2 V1
V2 VKalotte V2 VZylinder
oder
V2 V1
VZylinder VKalotte .
Mit den oben angegebenen Gleichungen erhält
man Kürzen und Ausmultiplizieren der Klammerausdrücke:
V2 V1
V2 V1
S 2
§
·
h 0 3 r0 h 0 ¸
¨ S h 0 h 2 r0 h 0 3
©
¹
S 3·
§
2
2
h0 ¸
¨ 2 S h 0 h r0 S h 0 h S h 0 r0 3
©
¹
Zur Vereinfachung wird nun noch S h 02 r0 vor die Klammer gebracht und es resultiert
V2 V1
§ 2 h 0 h r0 h 02 h h 02 r0
·
h 30
¸
S h 02 r0 ¨¨
2
2
2
2
h 0 r0
h 0 r0 h 0 r0 3 h 0 r0 ¸¹
©
oder
V2 V1
§
h h
h ·
S h 02 r0 ¨¨ 2
1 0 ¸¸
h
r
3
r0 ¹
0
0
©
oder
V2 V1
ªh
S h 02 r0 «
¬ h0
§
h · §
h ·º
¨¨ 2 0 ¸¸ ¨¨1 0 ¸¸» .
r0 ¹ © 3 r0 ¹¼
©
104
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Die gesuchte Kantenkraft FK lautet dann mit den genannten Zusammenhängen:
FK
2. FK , wenn: g = 9,81
U g S r0
ªh
h 02 «
¬ h0
§
h · §
1
¨¨ 2 0 ¸¸ ¨¨ 1 r
3
0 ¹
©
©
h0
r0
·º
¸¸ » FG
¹¼
m
kg
, h = 200 mm, r0 = 50 mm, h0 = 90 mm, U 3 s2
m
FG = 3,924 N
Die dimensionsgerechte Verwendung der genannten Größen vorausgesetzt führt zu folgendem Ergebnis der Kantenkraft:
FK
ª 0, 2 §
0,09 · §
1 0,09 · º
1000 9,81 S 0,05 0,09 2 «
¨2 ¸ ¨1 ¸ » 3,924
0
,
09
0
,
05
3 0,05 ¹ ¼
©
¹ ©
¬
FK = 4,478 N
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
105
Aufgabe 4.7 Segmentschütz
¥1.
¥2.
hh
h
14 min
3
min
14 Punkte
3 Punkte
Ein Kreissegmentschütz (Radius R) ist gemäß Abb. 4.7.1 im Gelenk G drehbar angebracht
und liegt mit der Unterkante abdichtend auf einem Fundament auf. Der Wasserspiegel erreicht
mit der Höhe H über dem Fundament den Scheitelpunkt des Segments. Die aufgrund der hydrostatischen Druckverteilung auf die flüssigkeitsbenetzte Oberfläche wirkenden Kraft weist
die beiden Komponenten Fx und Ft auf. Diese, bezogen auf die Segmentlänge L, sollen neben
dem Winkel M im vorliegenden Fall ermittelt werden.
Abb. 4.7.1 Kreissegmentschütz
Lösung zu 4.7
Aufgabenerläuterung
Die Fragestellung ist in diesem Fall relativ einfach. Die Kraftkomponenten der auf die gekrümmte Kontur einwirkenden Gesamtkraft leiten sich bekanntermaßen wie folgt her:
x-Richtung: Fx U g t S A t und t-Richtung: Ft U g V . Hierin bedeuten:
tS
Schwerpunktsabstand der Projektionsfläche At von der Flüssigkeitsoberfläche
At
Projektion der benetzten Krümmungsfläche in die t-y-Ebene
V
Bei Wirkung der Komponente Ft „von unten“ auf die Krümmungsfläche wird das Volumen über dieser Fläche im hier nicht fluidgefüllten Raum verwendet.
Somit ist die Aufgabe gelöst, wenn tS, At und V mittels der gegebenen Größen bekannt sind.
Gegeben:
Gesucht:
U; g; R ; H
F F
1. M , t , x
L L
2.
Pkt. 1, wenn: R = 6,1 m ; H = 3,05 m ; U
1000
kg
m
; g = 9,81 2
m3
s
106
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Lösungsschritte
Zunächst werden die betreffenden Größen Fx, Ft, tS, At und V in Abb. 4.7.2 eingetragen, um
sie leichter in Verbindung mit den Vorgaben zu formulieren.
Abb. 4.7.2 Abmessungen und Kräfte
Fx
F
, t:
L
L
1. M ,
M:
M
§M·
Der Winkel ¨ ¸ ist mit sin ( )
2
©2¹
M
H
§M·
gegeben oder auch ¨ ¸
R
©2¹
§H·
2 arcsin¨ ¸
©R¹
Fx
:
L
Die horizontal wirkende Kraftkomponente berechnet sich aus Fx
At
H
2
H L
Fx
U g
tS
U g
tS
A t , wobei
Schwerpunktsabstand der Flächenprojektion At und
die Flächenprojektion sind. Fx lautet dann
H
2
H
und bezogen auf L
L
Fx
L
1
U g H2 .
2
Ft
:
L
Die vertikal wirkende Kraftkomponente berechnet sich aus Ft
V = VKreissektor - VPr isma
VKreissektor A Kreissektor L
VPr isma
§H·
arcsin¨ ¸ . Hieraus folgt:
©R¹
A Pr isma L
U g V , wobei V aus
zu ermitteln ist.
Volumen aus Kreissektorfläche und Länge
Volumen aus Prismenquerschnittsfläche und Länge
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
A Kreissektor
A Pr isma
A Pr isma
A Pr isma
M0
S R2
2 360o
§M·
§M·
R sin ¨ ¸ R cos¨ ¸
©2¹
©2¹
M
M
§
·
§
·
R 2 sin ¨ ¸ cos¨ ¸
©2¹
©2¹
1
2
1
2
1
R 2 sin M
4
107
Kreissektorfläche
Prismenquerschnittsfläche oder
oder mit sin D cos D
2 sin 2 D
Das Volumen erhält man somit zu:
ª M0
º
1
S R2 R 2 sin M»
V = «
o
4
¬ 2 360
¼
V =
1
R2
4
ª M0
º
«180o S sin M»
¬
¼
L , oder, wenn
1
R 2 ausgeklammert wird,
4
L.
Die Kraftkomponente Ft lässt sich dann beschreiben mit
Ft
1
U g R2
4
L
ª M0
º
«180o S sin M»
¬
¼
Ft
L
2. M ;
bzw. durch L dividiert:
ª M0
º
1
S sin M»
U g R2 «
o
4
¬180
¼
Ft Fx
kg
;
; wenn: R = 6,1 m ; H = 3,05 m ; U 1000 3 ;
L L
m
g = 9,81
m
s2
Unter Beachtung dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen folgt:
M
Fx
L
§ 3,05 ·
2 arcsin¨
¸
© 6,1 ¹
M = 60°
1
1000 9,81 3,052
2
Fx
L
Ft
L
45629
N
m
ª 600
º
1
S sin 60o » .
1000 9,81 6,12 «
o
180
4
¬
¼
Ft
L
16533
N
m
108
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Aufgabe 4.8 Zylinder zwischen zwei Flüssigkeiten
¥1.
¥2.
hhhh
h
30 min
5 min
30 Punkte
5 Punkte
Eine zylindrische Walze mit der Gewichtskraft FG berührt eine Ebene und trennt hierbei zwei
Flüssigkeiten 1 und 2 unterschiedlicher Dichte U1 und U2. Die Flüssigkeitshöhe von Flüssigkeit 1 über der Ebene ist gleich dem halben Zylinderradius, die der Flüssigkeit 2 entspricht
dem Zylinderradius selbst. Gesucht wird die Kraft F an der Berührlinie von Zylinder und
Ebene, wobei hierzu zunächst die beiden Komponenten Fx und Ft zu ermitteln sind.
Abb. 4.8.1 Zylindrische Walze zwischen zwei Flüssigkeiten
Lösung zu 4.8
Aufgabenerläuterung
Bei dieser Aufgabe ist das Zusammenwirken verschiedener Kräfte an der zylindrischen Walze
verantwortlich für die gesuchte Kraft an der Berührlinie zwischen Ebene und Walze. Diese
Kräfte sind neben der schon genannten Walzengewichtskraft die aus den Flüssigkeitsdrücken
von unten auf die gekrümmten Konturen wirkenden Druckkräfte. Sie werden notwendigerweise in ihre Komponenten Fx 1 und Ft 1 sowie Fx 2 und Ft 2 zerlegt und getrennt den Kräftegleichgewichtsbedingungen in x- und t-Richtung zugeführt.
Gegeben:
R,
Gesucht:
1. Fx,
2.
L,
U1 ,
U2 ,
FG,
g
Ft, F
Die Größen und Richtungen von Fx, Ft, F, wenn:
R = 1,219 m ; L = 0,9144 m ; U1
FG
2225 N ;
U2
750 kg / m³
1000 kg / m³ ;
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
Anmerkungen:
109
- Zu beachten ist, dass die t-Achse nach unten positiv definiert ist.
- Der barometrische Druck pB hat auf die Lösung keinen Einfluss, da er
am Walzenumfang homogen verteilt ist und sich seine Auswirkung folglich aufhebt.
- Der Winkel M ist eine Hilfsgröße.
Lösungsschritte:
1. Fx,
Ft, F:
Zunächst ist es erforderlich, an der äußeren Kontur der Walze in Abb. 4.8.2 die vorliegenden
Kräfte respektive ihre Komponenten einzutragen. Des Weiteren müssen dort alle notwendigen
geometrischen Größen festgelegt werden. Dies betrifft die jeweiligen Schwerpunktsabstände
tS, Flächenprojektionen At sowie den Winkel M der sich aus denVorgaben ermitteln lässt.
Da noch keine Angaben über Größe und Richtung der gesuchten Kraft F (mit Fx und Ft) vorliegen, ist der eingezeichnete Fall eine willkürliche Vorgabe. Die wahren Gegebenheiten lassen sich erst für konkrete Daten feststellen (Pkt. 2).
Abb. 4.8.2 Abmessungen und Kräfte
Fx :
Kräftebilanz in x-Richtung:
¦
Fi x
0
Fx Fx 1 Fx 2
oder nach Fx umgestellt :
Fx
Fx 2 Fx1
Die horizontale Komponente der hydraulischen Druckkraft auf gekrümmte Oberflächen
ermittelt sich allgemein aus:
Fx
U g
tS
At
110
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
tS ist hierin der Abstand des Schwerpunktes S der Fläche At von der Flüssigkeitsoberfläche.
At wiederum stellt die Projektion der gekrümmten Fläche in die vertikale Ebene (t-Richtung)
dar. Somit erhält man für Fx 1 :
Fx 1
A t1
t S1
U1 g t S1 A t 1
R
L
2
1 1
R
2 2
Projektion von ABC in die vertikale Ebene (Rechteckfläche)
1
R
4
Schwerpunktsabstand der Fläche A t1
Unter Verwendung dieser Zusammenhänge gelangt man zu Fx 1 wie folgt:
Fx 1
R
4
U1 g
R
L
2
oder
1
U1 g R 2 L
8
Fx 1
Analog hierzu lässt sich die Kraftkomponente Fx 2 auf der rechten Seite der Walze bestimmen:
U2
g
At2
R
L
ts2
R
2
Fx 2
ts2
At2
Projektion von AEC in die vertikale Ebene (Rechteckfläche)
Schwerpunktsabstand der Fläche A t 2
Unter Verwendung dieser Zusammenhänge gelangt man zu Fx 2 wie folgt:
Fx 2
1
* U2 g R 2 L
2
Als Ergebnis für die gesuchte horizontale Komponente Fx der Kraft F findet man:
1
2
Fx
U2
g
R2
L
1
8
U1
Fx
R2
g
1
8
g
R2
L
L
>4
U2 U1 @
Ft :
Kräftebilanz in t-Richtung:
p
¦F
it
0
FG Ft Ft 1 Ft 2
oder nach Ft umgestellt:
Ft
FG Ft 1 Ft 2
Die vertikale Komponente der hydraulischen Druckkraft auf gekrümmte Oberflächen wird
ermittelt nach Ft U g V . Das Volumen V muss hierbei wie folgt unterschieden werden:
-
Wird eine gekrümmte Fläche „von unten“ vom hydrostatischen Druck belastet (linke Seite
in Abb. 4.8.3), dann ist das Volumen zwischen ABC (im wie z.B. hier nichtflüssigkeitsgefüllten Raum) zu verwenden.
-
Wird eine gekrümmte Fläche „von oben“ vom hydrostatischen Druck belastet (rechte Seite in Abb. 4.8.3), dann ist das Volumen zwischen ABC (im flüssigkeitsgefüllten Raum) zu
verwenden.
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
111
Abb. 4.8.3 Zu verwendende Volumina bei verschiedenen Druckkraftrichtungen
Ft1 :
Die vertikale Komponente der hydraulischen Druckkraft auf gekrümmte Oberflächen ermittelt
sich allgemein aus
Ft
U g V
oder im vorliegenden Fall
V1
(AMBC – ABDM) * L
Volumen gemäß Abb. 4.8.2 in Anlehnung an Abb. 4.8.3
L
Walzenlänge
AMBC
Kreissektorfläche
ABDM
Dreiecksfläche
Ft 1
U1
g
V1 .
AMBC:
Mo
3600
Kreissektorfläche
Kreisfläche
Mo
S R2 .
3600
A MBC
S R2
ABDM =
1
MD BD .
2
Mit BD = R sin M und MD
ABDM =
1
R 2 sin M cos M .
2
Aus
A MBC
folgt
ABDM:
R cos M wird
Das Volumen V1 lässt sich nun formulieren zu
V1
§ Mo
·
1
¨¨
S R2 R 2 sin M cos M ¸¸ L .
o
2
© 360
¹
Zum Winkel M gelangt man mit cos M
cos M =
R
2
R
1
oder M
2
60q .
MD
und MB = R sowie MD
MB
R
wie folgt:
2
In die Gleichung für V1 eingesetzt folgt
112
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
·
§ 60o
1
1
¨¨
R 2 sin 60o cos 60o ¸¸ L oder mit cos 60o
S R2 und
o
2
2
¹
© 360
1
sin 60o
3
2
1
1
1
1·
§1
Nach Ausklammern von
V1 ¨
S R2 R2
3
R 2 erhält man
¸ L.
2
2
2¹
12
©6
V1
V1
1
3
ª
R 2 L «2 S 12
2
¬
º
3» .
¼
Die Vertikalkraftkomponente, die von der Flüssigkeit 1 auf die Walze hervorgerufen wird,
lautet:
Ft 1
1
3
ª
U1 g R 2 L «2 S 12
2
¬
º
3»
¼
Ft 2 :
Analog zu Ft1 kann Ft 2 wie folgt entwickelt werden:
U2
Ft 2
g
V2
Das Volumen V2 stellt sich auf der rechten Seite der Walze gemäß Abb. 4.8.3 jetzt als das
Produkt der Viertelkreisfläche multipliziert mit der Walzenlänge L dar, also:
1
4
V2
S R2
L
Die Vertikalkraftkomponente, die von der Flüssigkeit 2 auf die Walze hervorgerufen wird,
lautet:
Ft 2
1
4
U2
g
S
R2
L
Mit den so gefundenen Größen Ft1 und Ft 2 erhält man die gesuchte Vertikalkomponente Ft
von F zu:
Ft
FG 1
3
ª
U1 g R 2 L «2 S 12
2
¬
Ft
FG U2
1
g R2 L
12
F:
Die Gesamtkraft F wird somit:
F=
º 1
3» ¼ 4
Fx2 Ft2
g
>2
S R2
S U1 3
2
L
oder
3 U1 3 S U2
@
4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände
113
2. Daten:
Mit den vorgegebenen Daten dimensionsgerecht verwendet nehmen Fx, Ft und F folgende
Werte an:
Fx
1
8
9,81 1,219 2
0,9144
Fx
Ft
2225 9,81 1,219 2
750 [email protected]
3332 N
ª1
0,9144 «
1000
¬12
Ft
2.3. F =
>4
9720 N
3332 2 ( 9720) 2
F = 10275 N
2S 3 sin 60o 1
4
º
750 S»
¼
(nach unten wirkend, entgegen der
angenommenen Richtung in Abb. 4.8.2 )
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Archimedes hat das Grundprinzip des Auftriebs und des Schwimmens vor mehr als 2200
Jahren entdeckt und formuliert. Man kann dieses Prinzip wie folgt beschreiben. An einem auf
einer Flüssigkeit schwimmender oder in ihr eingetauchter Körper wirkt eine Kraft aufwärts,
die gleich ist der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmasse. Hieraus leiten
sich zahlreiche Anwendungsfälle ab, wie z.B.
-
Volumenbestimmung unregelmäßig geformter Körper,
Dichtebestimmung von Flüssigkeiten usw.
Die Auftriebskraft ist als „resultierende vertikale Druckkraft“ an einem in ein Fluid
eingetauchten Körper zu verstehen. Hierbei wird ursächlich die Verteilung des statischen
Drucks im Fluid wirksam. Die Definition der Auftriebskraft an einem infinitesimalen
Volumenelement dV lautet wie folgt:
dFa
dFt , 2 dFt ,1
Bei diesen Betrachtungen kommen nur die vertikalen Kraftkomponenten dFt der Kraft dF zur
Wirkung, da sich die horizontalen Komponenten über der Oberfläche aufheben.
Abb. 5.0.1 Skizze zur Herleitung der Auftriebskraft Fa
Unter Verwendung der in Abb. 5.0.1 erkennbaren Drücke, Kräfte sowie Komponenten der
Kräfte und Flächen an einem infinitesimalen Volumenelement dV gelangt man zu dFa :
p1
p B U * g * t1
dF1
p t1 * dA1
dFt ,1
dF1 * cos D 1
dA1
p2
pB U * g * t 2
dF2
p t 2 * dA 2
dFt , 2
dF2 * cos D 2
dA 2
dFa
U * g * dA * t 2 t1
oder mit
dV dA * t 2 t1
dFa
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_5,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
dA
cos D1
dA
cos D 2
U * g * dV
116
Die Integration
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Fa
³ dF
a
V
Fa
U * g * ³ dV
liefert
VK
U * g * VK
U
Fluiddichte
VK
Vom Körper verdrängtes Fluidvolumen
Schwimmen:
Ein Körper schwimmt immer dann, wenn Gleichgewicht zwischen Gesamtgewichtskraft FG
des Körpers und der Auftriebskraft Fa herrscht. Man unterscheidet des Weiteren folgende drei
Fälle:
Schwimmen :
Fa
FG
Steigen
:
Fa ! FG
Sinken
:
Fa FG
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
117
Aufgabe 5.1. Boje
¥1.
¥2.
¥3.
h
hh
h
1 min
6 min
3 min
1 Punkte
6 Punkte
3 Punkte
In Abb. 5.1.1 ist eine in Wasser schwimmende, zylindrische Boje zu erkennen, an der zur
Gewichtsvergrößerung ein am unteren Ende erkennbares kugelförmiges Graugussgewicht
befestigt ist. Ermitteln Sie die Eintauchtiefe h der Boje, wenn Bojenmasse m Zyl. ,
Bojendurchmesser D Zyl. , Kugeldurchmesser D Kug. und die Dichte des Kugelwerkstoffs UKug
und des Wassers UW bekannt sind.
Abb. 5.1.1 Schwimmende Boje mit Kugel
Lösung zu 5.1
Aufgabenerläuterung:
Die gesuchte Eintauchtiefe h der Boje ist Bestandteil des von dem zylindrischen Bojenkörper
verdrängten Wasservolumens. Dieses und das der Kugel bewirken Auftriebskräfte, die bei
schwimmendem Zustand im Gleichgewicht mit den Gewichtskräften der Boje und der Kugel
stehen.
Gegeben:
m Zyl. ; D Zyl. ; D Kug. ; U W ; UKug.
Gesucht:
1. Wirksame Kräfte in Abb. 5.1.1. eintragen.
2. h
3. Pkt.1, wenn: m Zyl = 1000 kg; D Zyl = 1,2 m; D Kug = 0,5 m;
U W = 1000
kg
kg
; UKug = 7250
.
m3
m3
118
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Anmerkungen:
- Die Stangenmasse ist in der Zylindermasse enthalten.
- Die Stangenauftriebskraft kann vernachlässigt werden.
S
- Kugelvolumen: V =
D3
6
Lösungsschritte
1. s. Abb. 5.1.1.
2. h:
Der Gleichgewichtszustand des Bojen-Kugelsystems lautet: FG ges.
FG ges. = FG Zyl. FG Kug .
Gesamtgewichtskraft
FA ges. = FA Zyl. FA Kug .
Gesamtauftriebskraft
FG Zyl. = g
m zyl
Zylindergewichtskraft
FG Kug . = g
m Kug
Kugelgewichtskraft
m Kug = U Kug.
VKug.
FA ges.
Kugelmasse
FA Zyl. = g U W
VZyl.
Vom Zylinder verursachte Auftriebskraft
FA Kug . = g UW
VKug..
Von der Kugel verursachte Auftriebskraft
VKug
VZyl
S
D3Kug
6
S
D 2Zyl h
4
Kugelvolumen
Vom Zylinder verdrängtes Wasservolumen
Setzt man diese Zusammenhänge Schritt für Schritt in das oben stehende Kräftegleichgewicht
ein, so erhält man zunächst
g m zyl g U Kug.
m zyl U Kug.
VKug.
VKug.
UW
g UW
VZyl. VKug.
und nach Kürzen
VKug VZyl .
Unter Verwendung der Volumina für VKug und VZyl
S
S
§S
D3Kug U W ¨
D3Kug D 2Zyl
6
4
©6
und nach Division durch U W führt dies zu:
m Zyl UKug S
S
S
D3Kug
D3Kug D 2Zyl h
UW
UW 6
6
4
m Zyl UKug
·
h¸
¹
S
D 3Kug auf die andere
6
Gleichungsseite gebracht werden. Zusammengefasst und umgestellt folgt dann:
m Zyl § UKug
· S
S
D 2Zyl h
D3Kug
¨¨
1¸¸
4
6
UW
U
W
¹
©
Um h aus der Gleichung heraus zu isolieren, muss jetzt
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Wird nun noch durch
h
m Zyl
S
4
D 2Zyl.
UW
S
4
119
D 2Zyl dividiert und gekürzt
§U
·
¨¨ Kug 1¸¸
U
© W
¹
S
D3Kug
6
,
S
D 2Zyl
4
so lautet das Ergebnis:
h
3. h, wenn:
4 m Zyl
S D 2Zyl.
UW
2
3
D3Kug
D 2Zyl
·
§ UKug
¨¨
1¸¸
U
¹
© W
m Zyl = 1000 kg; D Zyl = 1,2 m; D Kug = 0,5 m;
U W = 1000
kg
kg
; UKug = 7250
m3
m3
Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält man folgende
Eintauchtiefe:
h
4 1000
2
S 1,2 2 1000 3
0,53
1,2 2
h
·
§ 7250
1¸
¨
¹
© 1000
1,246 m
120
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Aufgabe 5.2 Dichtebestimmung eines Holzbalkens
¥1.
¥2.
hh
h
12 min
1 min
12
Punkte
1 Punkte
Ein Holzbalken mit der Grund- und Deckfläche A sowie der Höhe H wird in einen
Wasserbehälter gegeben. Seine aus der Wasseroberfläche herausragende Höhe beträgt h1.
Danach wird das Wasser gegen Glyzerin ausgetauscht. Jetzt ragt der Holzbalken um die Höhe
h2 aus der Glyzerinoberfläche. Bei bekannten Dichten UW und UG und den genannten Abmessungen soll die Holzdichte UH ermittelt werden.
Abb. 5.2.1 Schwimmender Holzbalken in Wasser
und in Glyzerin
Lösung zu 5.2
Aufgabenerläuterung
Der Gleichgewichtszustand zwischen Gewichtskraft und hydrostatischer Auftriebskraft
schwimmender oder schwebender Körper in Fluiden ist Grundlage der Aufgabenlösung. Bei
Flüssigkeiten verschiedener Dichte taucht ein und derselbe Körper verschieden tief ein bzw.
ragt unterschiedlich hoch aus den Flüssigkeiten heraus.
Gegeben:
h1 ; h 2 ; UW ; UG ;
Gesucht:
1.
UH
2.
UH , wenn : h1
50 mm; h 2
76 mm ; U W
1000
kg
; UG
m3
Lösungsschritte
1. U H :
Gemäß der Dichtedefinition U
UH
mH
VH
mH
.
VH
FG
g
A H
m
lautet diese für den Holzbalken
V
Holzdichte
Holzmasse
Holzvolumen
1350
kg
m3
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
121
FG
. Die jetzt noch erforderliche Gewichtskraft FG sowie die
g A H
Balkenhöhe H lassen sich mit den bekannten Größen wie folgt bestimmen.
Man erhält somit U H
Abb. 5.2.1 Verdrängungsvolumina in Wasser und in Glyzerin
FG :
FG
Fa W
Gleichgewichtszustand im Wasser
Fa W
g UW
'VW
m W U W 'VW
'VW = H h1 A
Auftriebskraft im Wasser
Verdrängte Wassermasse
Verdrängtes Wasservolumen
Dies liefert mit den genannten Zusammenhängen für die Auftriebskraft die Gleichung
FG
g A UW
Fa W
H h1 .
H:
Um die Balkenhöhe H auf die Vorgabegrößen zurückzuführen, ist es sinnvoll, bei derselben
Gewichtskraft FG die beiden gleich großen aber mit verschiedenen Verdrängungsvolumina
verknüpften Auftriebskräfte Fa W und Fa G gegenüberzustellen.
FG
Fa W
Gleichgewichtszustand in Wasser und Glyzerin
Fa G
Fa W
g UW
'VW
Auftriebskraft in Wasser
Fa G
g
UG
'VG
Auftriebskraft in Glyzerin
m W U W 'VW
'VW = H h1 A
m W U W 'VW
'VG = H h 2 A
Verdrängte Wassermasse
Verdrängtes Wasservolumen
Verdrängte Glyzerinmasse
Verdrängtes Glyzerinvolumen
Diese Zusammenhänge in Fa W
g UW
A
H h1
g UG
Fa G eingesetzt liefert zunächst
A
H h2
und nach Kürzen gleicher Größen
122
UW
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
H h1
UG
H h 2 . Ausmultipliziert U W
H UW
h1
UG
H UG
h2
und nach Größen mit der gesuchten Höhe H unter Beachtung UG ! U W umgeformt führt zu:
H
H
UG U W
UG
UG
h 2 UW
UG U W
h 2 UW
h1
h1 . Nach Division durch UG U W erhält man
.
Die Holzdichte können wir mit der festgestellten Gleichung für FG wie folgt formulieren:
g A U W H h1
. Nach Kürzen gleicher Größen entsteht U H U W
g A H
h ·
§
Die oben ermittelte Balkenhöhe H eingesetzt
oder UH UW ¨1 1 ¸ .
H¹
©
UH
UH
UW
ª
º
h1 UG U W
«1 » = UW
U
U
h
h
G
2
W
1 ¼
¬
UH
2. U H , wenn: h1
50 mm ; h 2
UW
ª
«
«1 «
«
«¬
ª
«
«1 h1
«
h1
«
¬«
§ H h1 ·
¨
¸
© H ¹
º
»
UG U W
» liefert U zu:
H
§
·»
h2
¨¨ UG
U W ¸¸ »
h1
©
¹ ¼»
º
»
UG U W
»
§
·»
h2
¨¨ UG
U W ¸¸ »
h1
©
¹ »¼
76 mm ; U W
1000
kg
; UG
m3
1350
kg
m3
Bei dimensionsgerechtem Gebrauch der gegebenen Größen wird die Holzdichte ermittelt zu:
UH
1000
º
ª
»
«
1350 1000
»
«1 « §¨1350 76 1000 ·¸ »
«¬ ©
50
¹ »¼
UH
667
kg
m3
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
123
Aufgabe 5.3 Eingetauchter Holzstab
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
h
hh
hh
h
3 min
9 min
4 min
2 min
3 Punkte
9 Punkte
4 Punkte
2 Punkte
Gemäß Abb. 5.3.1 taucht ein im Punkt B drehbar gelagerter Holzstab der Länge L und der
Querschnittsfläche A in darunter befindliches, ruhendes Wasser ein. Das Gelenk befindet sich
im Abstand h oberhalb des Wasserspiegels. Aufgrund der Kräfte, die an dem Stab wirken,
sinkt er hierbei um die Teillänge l unter die Wasseroberfläche. Ermitteln Sie diese Teillänge l
und den Winkel D zwischen dem Stab und der Flüssigkeitsspiegel, wenn die geometrischen
Abmessungen L, A und h sowie die Stabdichte UK und die Wasserdichte UFl. bekannt sind.
Abb. 5.3.1 In Wasser eingetauchter Holzstab
Lösung zu 5.3
Aufgabenerläuterung
Beim teilweise im Wasser eingetauchten Holzstab wirkt einerseits die Gewichtskraft FG des
Stabs in Richtung der Fallbeschleunigung und andererseits die Auftriebskraft FA aufgrund der
vom eingetauchten Stabanteil verdrängten Wassermasse. Die Gewichtskraft greift im
Stabschwerpunkt S an und die Auftriebskraft im Punkt C als Mittelpunkt der eingetauchten
Länge l. Die jeweiligen Normalkomponenten ergeben sich aus den zugrunde liegenden
trigonometrischen Zusammenhängen.
Gegeben:
U K ; U FI ; L ; h
124
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Gesucht:
1. Kräfte in den Punkten S und C mit den Normalkomponenten (Abb. 5.3.1)
2.
l
D
4.
Anmerkungen:
Pkt. 2 und 3, wenn: UK
550
kg
; UFI
m3
1000
kg
; L = 2 m ; h = 0,5 m.
m3
- Der Stab ist im Gelenk B reibungsfrei gelagert.
- U K < U FI
Lösungsschritte
1. Kräfte in den Punkten S und C mit den Normalkomponenten:
Abb. 5.3.2 Kräfte und Abmessungen am eingetauchten Holzstab
2. l :
Als Ansatz zur Ermittlung der Eintauchlänge l wird sinnvollerweise der Momentensatz um
das Gelenk B verwendet.
¦T
B
FG
FG
FG
0
L
2
L
l·
§
cos D ¨ L ¸ 0 . Gekürzt und umgeformt entsteht
2¹
©
l·
§
und nach Multiplikation mit 2
¨L ¸
2¹
©
2 Ll .
L
FA
2
cos D
FA
FA
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
FG
mK
mK
UK
VK
A
FA
g m Fl.
g
Gewichtskraft der Stange
VK
Stangenmasse
Stangenvolumen
L
m Fl.
UFl.
VFI
A
125
Auftriebskraft des eingetauchten Stangenanteils
VFI.
Verdrängte Flüssigkeitsmasse des eingetauchten Stangenanteils
Verdrängtes Flüssigkeitsvolumen
l
Mit diesen Zusammenhängen lautet die Gewichtskraft FG
g UFl.
triebskraft FA
g UK
A L und die Auf-
A l . Eingesetzt in die o.g. Ausgangsgleichung führt dies zunächst
zu
g
UK
A
L
L
g
UFl.
A
l
2
Ll ,
und nach Ausmultiplikation des rechten Klammerausdrucks und Division durch U Fl. entsteht
UK
UFl.
2 L l l2 .
L2
Das Vertauschen der Vorzeichen führt im nächsten Schritt zu
l2 2 L l
UK
UFl
L2 .
L2 links und rechts hinzuaddiert
L2 2 L l l 2
L2 UK
U Fl
L2
L2
§
U ·
¨¨1 K ¸¸
U
FI ¹
©
und die linke Seite als binomische Formel geschrieben ergibt den Ausdruck
Ll
Ll
L2
(1 r L
1
2
UK
). Nach dem Wurzelziehen erhält man
UFI
UK
U FI
oder auch l
L#L
1
UK
.
UFI
Da aber die Eintauchlänge kleiner als die Gesamtlänge sein muss, also l < L, ist nur das
negative Vorzeichen vor der Wurzel sinnvoll. Somit folgt
l
LL
1
UK
oder mit L ausgeklammert als Ergebnis
UFI
l
§
U ·
L ¨¨1 1 K ¸¸ .
UFI ¹
©
126
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
D:
h
. Wird hierin das oben ermittelte Ergebnis der
Ll
Eintauchlänge l eingesetzt, so folgt
Gemäß Abb. 5.3.2 wird sin D
sin D =
h
§
L ¨¨ L L
©
1
UK
UFI
·
¸
¸
¹
oder
h
sinD
L
1
UK
U FI
.
Das Ergebnis des gesuchten Winkels D erhält man zu:
D
4. Pkt. 2 und 3, wenn: UK
550
§
¨
¨
arc sin ¨
¨L
¨
©
kg
; UFI
m3
h
1
UK
U FI
1000
·
¸
¸
¸
¸
¸
¹
kg
; L = 2 m ; h = 0,5 m.
m3
Setzt man die gegebenen Größen dimensionsgerecht ein, so folgt
l:
l
§
550 ·
¸
2 ¨¨1 1 1000 ¸¹
©
l
0,658 m
D
D
§
¨
arc sin ¨
¨
¨2
©
·
¸
¸
550 ¸
1
¸
1000 ¹
0,5
D
21,9o
22o
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
127
Aufgabe 5.4. Schwimmender Hohlzylinder
¥1.
¥2.
¥3.
hh
h
h
6 min
3 min
1 min
6 Punkte
3 Punkte
1 Punkte
Ein Hohlzylinder mit dem Außenradius ra , der Länge L und einer Dichte UZyl. soll mit seiner
Wandstärke s derart bemessen werden, dass er gerade bis zur Hälfte im Wasser eintaucht und in
dieser Position schwimmt. Das Eindringen von Wasser an den seitlichen Stirnflächen wird durch
geeignete Maßnahmen verhindert (in der Abb. 5.4.1 nicht erkennbar).
Abb. 5.4.1 Schwimmender Hohlzylinder
Lösung zu 5.4.
Aufgabenerläuterung
Befinden sich beliebige Körper im schwimmenden oder schwebenden Zustand in einem
Fluid, so wirken zwei Kräfte mit entgegengesetzten Richtungen an ihnen: die Gewichtskraft
FG und die „hydraulische“ Auftriebskraft Fa. Diese müssen mit den hier gegebenen Verhältnissen verknüpft werden, um zur gesuchten, auf den Außenradius bezogenen Wandstärke
s
zu gelangen.
ra
Gegeben:
UZyl. ;
Gesucht:
1.
UW ;
ra ;
L
s
ra
2. Wie groß muss für den halb eingetauchten Zylinder die Dichte UZyl
gewählt werden, wenn es sich nicht um einen Hohlzylinder, sondern um
einen Vollzylinder handelt?
3. Pkt. 1 und Pkt. 2, wenn: UZyl = 700
kg
(Holz) ;
m3
UW = 1000
kg
m3
128
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Lösungsschritte
1.
s
:
ra
Das Kräftegleichgewicht lautet:
FG
Fa .
FG
g
Gewichtskraft des Hohlzylinders
m Zyl
m Zyl
U Zyl
VZyl
S r S ri
Masse des Hohlzylinders
VZyl
2
a
Fa g m W
m w U w Vw
1
Vw
S ra2
2
2
L
Volumen des Hohlzylinders
Auftriebskraft am Hohlzylinder
vom Hohlzylinder verdrängte Wassermasse
vom Hohlzylinder verdrängtes Wasservolumen
L
Alle Größen in die Kräftegleichung eingesetzt und durch die Zylinderdichte dividiert
g UZyl
S (ra2 ri ) L
2
führt zunächst zu ra2 ri
1
ri
ra2
2
2
1
g S ra2 L U w
: U Zyl
2
Uw 1 2
ra . Bei einer weiteren Division durch ra2 erhält man
U Zyl 2
UW
. Jetzt nach
U Zyl
1
2
§ ri
¨¨
© ra
2
·
¸¸ umgestellt liefert dies:
¹
§ ri
¨¨
© ra
·
¸¸
¹
2
1
1
2
UW
.
U Zyl
Gemäß Abb. 5.4.1 kann ri ra s gesetzt werden, so dass man nun o.g. Gleichung auch
wie folgt anschreiben kann:
§ ra s ·
¨¨
¸¸
© ra ¹
2
§
s·
¨¨1 ¸¸
ra ¹
©
2
1
1
2
Uw
.
U Zyl
Mit dem Wurzelausdruck aus diesem Zusammenhang folgt zunächst
1
s
ra
r 1
1
2
Uw
U Zyl
sowie die gesuchte Wandstärke separat geschrieben:
s
ra
1# 1
1
2
Uw
U Zyl
Da die Wandstärke logischerweise kleiner als der Außenradius ist, also s < ra , und somit
s
das Verhältnis
< 1, ist nur das negative Vorzeichen vor dem Wurzelausdruck sinnvoll.
ra
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
129
Das Ergebnis lautet folglich:
s
ra
1 1
1
2
Uw
U Zyl
2. Vollzylinder:
s
s
= 1. Setzt man
= 1 in die unter 1. gefundene
ra
ra
Beim Vollzylinder ist s = ra oder
Lösung ein, so resultiert
1 1
1
1
2
Uw
U Zyl
bzw. 0
Quadrieren und Umformen auf das Dichteverhältnis
1
1 Uw
2 U Zyl
. Nach dem
Uw
erhält man die gesuchte
U Zyl
Zylinderdichte UZyl wie folgt:
1
1
2
Uw
=0
U Zyl
oder
Uw
U Zyl
1
2
1
oder
UZyl
1
2
UW
Wegen des notwendigen positiven Radikanden muss weiterhin gelten:
UZyl t
1
2
3. Pkt. 1 und Pkt. 2, wenn: UZyl = 700
UW
kg
kg
(Holz) ; UW = 1000
m3
m3
(Wasser)
Die Auswertung mit den genannten Daten führt zu nachstehendem Ergebnis.
s
:
ra
s
1
1 1
ra
2
UZyl :
UZyl t
1
1000
2
1000
700
s
ra
0,465
UZyl t 500
kg
m3
130
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Aufgabe 5.5. Schwimmender Quader
¥1.
¥2.
¥3.
h
h
h
2 min
5 min
3 min
2 Punkte
5 Punkte
3 Punkte
In Abb. 5.5.1 ist ein quaderförmiger Körper im Längsschnitt und in der Draufsicht zu
erkennen. In den Quader mit der Masse mK wurde eine Längsnut eingearbeitet, die zunächst
leer ist. In diesem Zustand schwimmt der Quader in Wasser und ragt dabei um die Resthöhe h
heraus. Bestimmen Sie die Höhe h. Dann wird Wasser in die Nut eingefüllt und zwar so lange,
bis sich die Quaderoberkante gerade noch in Höhe der Wasseroberfläche befindet. Wie groß
muss die Einfülltiefe t1 des Wassers in der Längsnut sein und wie groß ist das einzufüllende
Wasservolumen V1 ?
Abb. 5.5.1 Quader mit Längsnut
Lösung zu 5.5.
Aufgabenerläuterung
Als Ansatz muss bei beiden Fragestellungen das Kräftegleichgewicht an einem „schwimmenden Körper“ verwendet werden. Bei den hier in Frage kommenden Kräften handelt es
sich um die Gesamtgewichtskraft des Quaders und die entgegengerichtete hydrostatische
Auftriebskraft. Da im Fall des Schwimmens keine Sink- oder Aufwärtsbewegungen
vorliegen, entfallen somit alle geschwindigkeitsabhängigen Kräfte. Der Ansatz ist folglich
relativ einfach zu erstellen.
Gegeben:
B; H; L; a; R;
U W ; mK
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Gesucht:
1.
h Resthöhe
2.
t1 Einfülltiefe
3.
V1 Einfüllvolumen
131
Lösungsschritte
1. h :
Das Kräftegleichgewicht im Fall der leeren Längsnut lautet F G K = Fa .
FG K
Fa
g
Gewichtskraft bei leerer Längsnut
mK
g UW V
V= B L
hydrostatische Auftriebskraft
Hh
vom Körper verdrängtes Flüssigkeitsvolumen
Eingesetzt in die Kräftegleichung g m K g U W B L H h und nach (H –h)
mK
aufgelöst folgt H h
. Hieraus erhält man für h:
UW B L
h=H -
mK
UW B L
2. t 1:
Im Fall des Einfüllens von Wasser in die Längsnut vergrößert sich sowohl die
Gesamtgewichtskraft als auch die Auftriebskraft durch die tiefere Lage des Quaders im
Wasser und folglich ein höheres Verdrängungsvolumen.
Abb. 5.5.2 Quader mit Wasserfüllung in der Längsnut
Bezeichnet man die neue Gesamtgewichtskraft mit FG ges und die veränderte Auftriebskraft mit
Fa 1 , so folgt für das Kräftegleichgewicht im Fall der gefüllten Längsnut F G ges = Fa .
1
Die Gesamtgewichtskraft setzt sich aus dem Anteil des Quaders selbst FG K und dem des
eingefüllten Wassers FG W zusammen zu: F G ges = FG K FG W . Das Kräftegleichgewicht lautet:
FG K FG W
Fa 1
132
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
FG K
g
mK
FG W
g
mW
mW
V1
UW
Gewichtskraft bei leerer Längsnut
Gewichtskraft des eingefüllten Wassers
V1
Masse des eingefüllten Wassers
Volumen des eingefüllten Wassers
Das Volumen V1 setzt sich bei vorliegender Längsnut aus einem quaderförmigen Anteil
a
(2 R ) t1 und zwei Halbzylindern 2
S R2
2
t1 zusammen, also
S R2
t1 oder t1 ausgeklammert V1
2
Für die Wassergewichtskraft erhält man somit FG W g U W t1
V1
a
t1 2
2 R
t1
2 R
2 R
a S R2 .
a S R2
und
als Gesamtgewichtskraft kann man schreiben:
F G ges = g
m K + g UW
t1
2 R
a S R2
In der Auftriebskraft kommt jetzt das komplette, vom Quader verdrängte Wasservolumen zur
Wirkung, also
Fa 1
g UW
B L H.
Die Kräftegleichung ersetzt mit den so gefundenen Gleichungen führt zu
g
m K g UW
t1
a S R2
2 R
g UW
B L
H.
Formt man noch nach der gesuchten Einfülltiefe um,
t1
UW
2 a
R S R2
UW
B L
(B L
t1
2 a
H m K , so lautet t1:
mK
)
UW
R S R2
H
3. V1 :
Das Einfüllvolumen gemäß V1 t1 2 R a S R 2 unter Verwendung von t1 nach
obiger Gleichung
m
B L H K
UW
V1
2 a R S R 2 liefert nachstehendes Ergebnis:
2 a R S R2
V1
B L H
mK
UW
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
133
Aufgabe 5.6 Stahlklotz in Quecksilber
¥1.
¥2.
h
h
4 min
1 min
4 Punkte
1 Punkte
Ein Stahlquader mit dem Volumen V und der Dichte USt. schwimmt in Quecksilber mit der
Dichte UHg. Wie hoch ist der prozentuale Volumenanteil des Quaders VRest./V, der nicht im
Quecksilber eingetaucht ist?
Lösung zu 5.6
Aufgabenerläuterung
Im Fall des Schwimmens eines Körpers in einem Fluid herrscht Gleichgewicht zwischen der
Gewichtskraft des Körpers und der hydrostatischen Auftriebskraft. Hieraus lässt sich bei den
gegebenen Größen die Frage nach dem nicht eingetauchten Volumenanteil lösen.
Gegeben:
USt. ; UHg.
Gesucht:
1.
2.
VRe st .
V
VRe st .
, wenn USt
V
7850
kg
m3
und UHg
13560
kg
m3
Lösungsschritte
1.
VRe st .
:
V
Mit dem Kräftegleichgewicht am Quader FG
FG g mSt
mSt USt V
FA g m Hg
m Hg
UHg
Gewichtskraft des Stahlquaders
Masse des Stahlquaders
Auftriebskraft am Stahlquader
'V
vom Quader verdrängte Quecksilbermasse
'V
folgt:
FA , wobei
vom Quader verdrängtes Quecksilbervolumen
g U Hg
'V = g USt
V.
Das nicht im Quecksilber eingetauchte Restvolumen des Quaders VRe st lautet VRe st = V 'V.
Nach 'V aufgelöst folgt 'V = V VRe st . In oben stehende Gleichung eingefügt folgt dann
UHg
V - VRest
V VRe st
USt
UHg
USt
V
V . Dividiert man noch durch die Dichte U Hg , so erhält man zunächst
oder nach VRe st umgeformt:
134
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
VRe st
V
USt
U Hg
V.
Nachdem auf der rechten Seite V ausgeklammert
§
U ·
V ¨1 St ¸
¨
U Hg ¸¹
©
zum Ergebnis:
und dann noch die Gleichung durch V dividiert wird, führt dies
VRe st
VRe st
V
2.
VRe st .
, wenn USt
V
VRe st
V
7850
kg
m3
§
·
¨1 USt ¸ 100%
¨
UHg ¸¹
©
und UHg
7850 ·
§
¨1 ¸ 100%
13560 ¹
©
VRe st
V
42,1 %
13560
kg
:
m3
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
135
Aufgabe 5.7 TV-Quiz
¥2.
12 min
hh
12 Punkte
In einer TV-Sendung wurde den Zuschauern eine Quizfrage gestellt mit der Aufforderung, sie
spontan zu beantworten. Die Frage hatte folgenden Hintergrund:
Auf der Oberfläche eines mit Wasser gefüllten Beckens gemäß Abb. 5.7.1 schwimmt eine
Luftmatratze, die mit einem schweren Metallklotz beladen ist. Die Flüssigkeitshöhe h1 im
Becken lässt sich an einem transparenten Röhrchen (kommunizierende Rohre) ablesen.
Entfernt man jetzt die gegenüber dem Metallklotz sehr leichte Luftmatratze, so sinkt der Klotz
auf den Beckenboden, und es stellt sich gemäß Abb. 5.7.1 eine neue Wasserhöhe h2 ein. Die
Frage lautet dem zu Folge: Ist die neue Höhe h2 größer oder kleiner als die ursprüngliche
Höhe h1?
Der Autor gibt zu, sich spontan für die größere Variante entschieden zu haben, was aber falsch
war. Bei der TV-Sendung konnte deutlich erkannt werden, dass sich die Flüssigkeitshöhe h2
verkleinerte. Den Autor hat seine Fehleinschätzung zu nachstehendem Beweis veranlasst.
Abb. 5.7.1 Wasserbecken mit und ohne Luftmatratze
Lösung zu 5.7
Aufgabenerläuterung:
Zur Lösungsfindung muss man das im Becken befindliche, unveränderliche Wasservolumen
VW in den beiden Fällen miteinander vergleichen. Der Volumenanteil in den Steigrohren
bleibt unberücksichtigt. VW setzt sich aus jeweils verschiedenen Anteilen zusammen, die
durch die gegebenen bzw. gesuchten Größen bestimmt werden. Hierbei spielt die bei der TVSendung leicht übersehbare Eintauchtiefe der Luftmatratze tLu. eine entscheidende Rolle.
136
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Gegeben:
mK; VW; ABe.; ALu.; tLu.; g; UW ; UK
Gesucht:
h 2 > h1 oder h 2 < h1 ?
Abb. 5.7.2 Wasserbecken mit Abmessungen
Lösungsschritte:
Gemäß Abb. 5.7.2 setzt sich das Wasservolumen VW im Becken für die auf der Oberfläche
schwimmende mit mK belastete Luftmatratze wie folgt zusammen:
h1 A Lu
t Lu
mit
VW
A Be.
A Be.
L Be.
BBe.
Beckenfläche
A Lu .
L Lu.
BLu.
Luftmatratzenfläche
Die Behälterbreite BBe. und Luftmatratzenbreite BLu. muss man sich senkrecht zur Zeichenebene vorstellen. Um die Eintauchtiefe t Lu zu ermitteln, wird das Kräftegleichgewicht im
Fall des „Schwimmens“ angesetzt: FG
Unter der Annahme, dass
Fa
VLu.
Fa
g U W VLu.
A Lu.
g UW
folgt
FG
g m K g m Lu. .
g
mK .
wird durch das von der Matratze verdrängte
t Lu.
A Lu.
m Lu. m K
Fa , wobei FG
Wasservolumen bestimmt. Somit wird
t Lu. .
Mit diesen Zusammenhängen folgt
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
FG
t Lu .
g mK
UW
g UW
A Lu.
t Lu.
137
Fa
und man erhält nach einer Umformung
mK
.
A Lu .
Eingesetzt in die Gleichung für VW
VW
A Be.
h1 A Lu.
VW
A Be.
h1 UW
mK
A Lu .
führt dies zu
mK
.
UW
Das unveränderte Wasservolumen VW im Fall des vollkommen eingetauchten, auf dem
Beckenboden ruhenden Metallklotzes lautet gemäß Abb. 5.7.2
VW
A Be.
mK
. Man erhält eine zweite Gleichung für VW:
UK
h 2 VK wobei VK
mK
.
UK
Durch Gleichsetzen der zwei Gleichungen für VW folgt
m
m
A Be. h1 K A Be. h 2 K .
Durch Umformen nach h2
UW
UK
VW
A Be.
A Be.
h2
h2 A Be.
§m
m ·
h1 ¨¨ K K ¸¸
U
UK ¹
© W
h2
h1 und Division mit A Be. führt dies zum Ergebnis
mK
A Be.
§ 1
1 ·
¸¸ ,
¨¨
© UW UK ¹
§ 1
1 ·
¸¸ > 0. Folglich ist, was zu beweisen war,
da U W UK und damit ¨¨
© UW UK ¹
h 2 h1
!!!
138
Aufgabe 5.8 Tauchbehälter
1.
2.
3.
4.
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
hhh
hhh
hhh
hh
Übungsbeispiel
Ein vereinfacht dargestellter zylindrischer Tauchbehälter ist in Abb. 5.8.1 in drei
verschiedenen Zuständen zu erkennen. Im Zustand 1 befindet er sich mit seinem unten
offenen Querschnitt gerade in Höhe der Wasseroberfläche. In seinem Inneren herrscht dabei
Atmosphärendruck. Infolge des Eigengewichts sinkt er in die als Zustand 2 bezeichnete Lage
und beharrt in ihr. Hierbei wird das eingeschlossene Luftvolumen vom Zustand 1 auf den
Druck pV verdichtet. Das ursprüngliche Volumen V1 verringert sich dabei auf VV. Danach
wird der Behälter durch Aufbringen einer zusätzlichen Kraft soweit nach unten verschoben,
bis sich seine obere Deckfläche im Abstand H unter der Wasseroberfläche befindet. Eine
weitere Kompression der eingeschlossenen Luft ist die Folge und es wird im Zustand 3 der
Druck px bei einem Volumen Vx erreicht. Ermitteln Sie bei bekannten Behälterabmessungen D
und L, Atmosphärendruck pB und Wasserdichte U die im Zustand 2 vorliegenden Teilhöhen
h2, h3 und h1. Des Weiteren soll im Zustand 3 die auf der Innenseite der oberen Deckfläche
wirksame Kraft Fx sowie die Höhe hx bestimmt werden.
Abb. 5.8.1 Tauchbehälter
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
139
Lösung zu 5.8.
Aufgabenerläuterung
Die Lösung der gesuchten Teilaufgaben wird mittels thermischer Zustandsgleichung
(„Gasgesetz“) und den Drücken in verschiedenen Flüssigkeitstiefen (hydrostatische Drücke)
möglich.
Weiterhin ist im Zustand 2 vom Gleichgewicht der Gewichts- und Auftriebskraft am Behälter
Gebrauch zu machen (Schwimmen, Schweben).
Gegeben:
p B ; U ; L ; D ; FG
Gesucht:
1. h 2 ; h 3 ; h1 ;
2. Fx
3. h x
4. Pkte. 1 y 3 , wenn:
Anmerkungen:
kg
; FG = 3000 N ;
m3
L = 2,0 m ; D = 1,0 m; H = 4 m.
pB
105 Pa ; U
1000
- Das Volumen infolge der Behälterwandstärke wird vernachlässigt.
- Bei der Luftverdichtung wird von gleich bleibender Temperatur
ausgegangen (isotherm).
Lösungsschritte
1. h 2 ; h 3 ; h1 :
h2 :
Im Zustand 2 lässt sich die Teilstrecke h2 als Höhe des vom Behälter verdrängten Wasservolumens 'V erkennen. Dieses kann aufgrund des Kräftegleichgewichts am schwimmenden
Körper Fa F 0 oder Fa FG ermittelt werden.
Fa g 'm
'm U 'V
'V A h 2
hydrostatische Auftriebskraft
verdrängte Wassermasse
verdrängtes Wasservolumen
Hieraus entsteht g U A h 2
h2
FG oder mit A
4
FG
.
S g U D2
S
D2
4
140
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
h3 :
Die Teilstrecke h3 ist zunächst in der Gesamthöhe L der Luftsäule des Zustands 1 enthalten.
Weiterhin tritt sie im Zustand 2 aufgrund des hydrostatischen Drucks in der 0 – 0-Ebene in
Erscheinung. Mit der Verknüpfung beider Zusammenhänge lässt sich h3 wie folgt feststellen.
Bei der angenommenen isothermen Verdichtung der Luft vom Zustand 1 zum Zustand 2
gemäß Abb. 5.8.1 erhält man mit der thermischen Zustandsgleichung
p V
pB
m Ri
T:
V1
m Ri T
p V VV . Nach Umformung liefert dies den Druck pV zu
V1
pV pB
. Hierin lauten die Volumina V1 A L sowie VV A h1 h 2 .
VV
A L
bzw. nach Kürzen von A
Somit entsteht p V p B
A ( h1 h 2 )
L
pV pB
.
( h1 h 2 )
Eine zweite Gleichung für pV lässt sich aus den statischen Drücken in der 0 – 0-Ebene
bestimmen:
pB g U h 2 h3
p V g U h 3 und somit p V p B g U h 2 . In die oben
stehende Gleichung für pV eingesetzt und gleichzeitig L = h1 + h2 + h3 verwendet führt
zunächst zu
h1 h 2 h 3
pB U g h 2 pB
oder auch
h1 h 2
º
ª h1 h 2
h3
» bzw.
« h
h1 h 2 ¼
¬ 1 h2
ª
h3 º
Ersetzt man jetzt noch
p B U g h 2 p B «1 ».
h
1 h2 ¼
¬
h1 h 2
L h 3 , so wird nach gleichzeitiger Ausmultiplikation der rechten Seite
h3
h3
pB U g h 2 pB pB
U g h 2 pB
oder
.
L h3
L h3
pB U g
h2
pB
Da wir h3 suchen, muss durch U g dividiert werden
pB
h3
h2
und danach mit dem Klammerausdruck L h 3 multipliziert werden
U g
L h3
pB
h3 .
Das Ausmultiplizieren der linken Seite
h 2 L h 3 =
U g
pB
h2 L h2 h3
h3
und danach das Zusammenfassen von h3 liefert
U g
p
h 3 h2 B
Das Ausklammern von h3 auf der linken Seite
h3 h 2 L .
U g
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
h3
ª
pB º
«h 2 U g »
¬
¼
h2
L
h3
141
ª
p º
und danach die Division durch «h 2 B » ergibt
U
g¼
¬
h2
.
L
ª
pB º
«h 2 U g »
¬
¼
h1 :
Zu h1 gelangt man nach Umstellung von L = h1 + h2 + h3 bei jetzt bekanntem h2 und h3
wie folgt:
h1 L h 2 h 3
2. Fx :
Die gesuchte Kraft Fx ist das Produkt aus Innendruck p x der komprimierten Luft und der
Grundfläche des Körpers Fx p x A . Notwendigerweise muss nun der unbekannte Druck
p x in Verbindung gebracht werden mit dem Zustand x des eingeschlossenen Gases sowie
demjenigen Zustand 1 vor der Verdichtung, den man ja kennt.
px :
Bei der angenommenen isothermen Verdichtung vom Zustand 1 zum Zustand 3 folgt:
pB
V1
m
Ri
T
px
Vx
V1
Man erhält dann für p x p B
sowie nach Einführung der Volumina gemäß Abb. 5.8.1
Vx
A L
V1 A L und Vx A h x den Ausdruck p x p B
und nach Kürzen von A
A hx
L
px pB
.
hx
hx :
Aus den statischen Drücken in der 0 – 0-Ebene des Zustands 3 folgt:
px U g
L hx
p x U g hx
U g hx
hx
p0 y0
pB U g
pB U g H
px pB U g H .
px pB
H
U g
oder
HL
oder
Nach Division durch U g erhält man
hx
px pB U g
U g
H
.
142
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Das Ergebnis in die oben stehende Gleichung für p x eingesetzt führt zu
L U g
.
p x pB
> p x pB U g [email protected]
Multipliziert man den im Nenner stehenden Klammerausdruck mit der Gleichung, so liefert
das zunächst p x >p x p B U g H @ p B U g L oder die linke Seite
ausmultipliziert
p 2x p x
pB U g H
pB U g L .
Um auf die Form einer „binomischen Formel“ a 2 2 a b b 2
a b zu kommen,
1
p B U g H wie folgt zu ergänzen:
wird es erforderlich, den Ausdruck b {
2
2
p 2x p x
1
§
¨ px 2
©
pB U
g
§1
H ¨
©2
·
H ¸
¹
pB U g
pB U
g
·
H¸
¹
2
pB U g L §¨ 1
©2
2
pB U g
pB
U g L
1
4
pB U g
H
2
r pB
U g L
1
4
pB U g H
2
·
H ¸
¹
2
oder nach dem Wurzelziehen
px 1
2
pB U g H
und schließlich
px
1
2
pB U g H pB
U g L
1
4
pB U g H
2
.
Das negative Vorzeichen vor der Wurzel kommt nicht in Betracht, da der Wurzelausdruck
immer größere Werte als der davor stehende Term liefert und negative Drücke ausscheiden.
Mittels Kreisfläche A =
S
4
Fx
D2
S
4
D 2 lautet dann die gesuchte Kraft Fx:
ª1
«
¬2
pB U g
H pB
U g
L
1
4
pB U g
H
2
3. h x :
Wie oben ausgeführt ist U g
hx
px pB U g
H . Den Druck p x eingesetzt
führt zu
U g hx
1
2
pB 1
U g H pB
2
U g L
1
4
pB U g H
2
- pB U g H
oder umgestellt
U g hx
pB
U g L
1
4
pB U g H
2
1
2
pB 1
U g H - pB U g H .
2
º
»
¼
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
143
Dann lässt sich weiter vereinfachen:
U g hx
U g L
pB
1
4
pB U g H
2
1
2
1
2
pB U g H
Nach der Division durch U g gelangt man zum gesuchten Ergebnis
hx
1
pB
U g
U g
L
1
4
pB U g
H2 -
1
2
·
§ pB
¨¨
H ¸¸ .
¹
©U g
kg
; FG = 3000 N ;
m3
L = 2,0 m ; D = 1,0 m; H = 4 m.
4. Pkte. 1 y 3 , wenn: p B
105 Pa ; U
1000
Die dimensionsgerechte Verwendung der gegebenen Daten hat nachstehende Zahlenwerte der
gesuchten Größen zur Folge.
h2 :
h2
3000 4
9,81 1000 S 12
h2
0,3894 m
h3 :
h3
2
0,3894
100000 º
ª
«0,3894 1000 9,81»
¬
¼
h3
0,0736 m
h1
1,537 m
h1 :
h1
2 0,3894 0,0736
Fx :
Fx
S 2
1
4
1
2
100000 1000 $ 9,81 4 100000 1000 9,81 2 Fx
1
4
100000 1000 9,81 4
2
119488 N
hx :
hx
1
1000 9,81
100000 1000
9,81 2 1
4
h x = 1,314 m
100000 1000 9,81 4
2
1
2
§ 100000
·
4¸
¨
© 1000 9,81
¹
144
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Aufgabe 5.9. Schwimmender Vollzylinder
Übungsbeispiel
hhh
h
hh
1.
2.
3.
Ein Vollzylinder der Dichte UK schwimmt in einer Flüssigkeit, die eine Dichte UF aufweist.
Für die in Abb. 5.9.1 dargestellte Lage des Zylinders bezüglich der Flüssigkeitsoberfläche ist
U
ein Dichteverhältnis K 0,5 erforderlich, wie sich aus dem Ergebnis der Aufgabenstellung
UF
feststellen lässt. Hierbei wird zunächst nach dem Winkel D gefragt, wenn die
Zylinderabmessungen R und L sowie die o.g. Dichten bekannt sind. Des Weiteren soll noch
die Eintauchtiefe T des Zylinders in der Flüssigkeit ermittelt werden.
Abb. 5.9.1 Schwimmender Vollzylinder
Lösung zu 5.9
Aufgabenerläuterung
Die Grundlage bei der Lösung der Aufgabenstellung ist das Kräftegleichgewicht zwischen
Zylindergewichtskraft und der am Körper wirkenden hydrostatischen Auftriebskraft. Hierbei
ist das verdrängte Flüssigkeitsvolumen respektive der (berechenbare) Verdrängungsquerschnitt in Verbindung zu bringen mit dem gesuchten Winkel D.
Gegeben:
UF ; UK ; R ; L ;
Gesucht:
1. D
2. T
3. Pkte. y , wenn UF
1000
kg ; U
K
m3
400
kg ; R = 0,25 m ;
m3
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Anmerkungen:
145
- Zylinderlänge L senkrecht zur Zeichenebene
Lösungsschritte
1. D q :
Aus der Proportionalität zwischen Kreissektorfläche A MHB und Kreisfläche A Kreis in Verbindung mit dem Zentriwinkel D q und dem Vollkreiswinkel 360 q erhält man zunächst:
A MHB
Dq
, wobei A Kreis S R 2 ist. Der gesuchte Winkel lautet dann
A Kreis
360q
D q = 360 q
A MHB
.
S R2
Die Sektorfläche A MHB lässt sich nun gemäß Abb. 5.9.1 aus dem Verdrängungsquerschnitt
A AHB und dem Dreiecksquerschnitt A MCB wie folgt formulieren:
2 A MHB = A AHB 2 A MCB
Umgeformt entsteht
1
2
A MHB =
A AHB A MCB .
A AHB :
Den Verdrängungsquerschnitt A AHB liefert das Kräftegleichgewicht F G
gegebenen Größen:
FG m K
m K UK
UK
VK
Fa aus den
Zylindergewichtskraft
Zylindermasse
VK S R 2 L
FG g UK S R 2
Fa g m F
m F UF VF
VF A F L
A F { A AHB
Zylindervolumen
L
hydrostatische Auftriebskraft
verdrängte Flüssigkeitsmasse
verdrängtes Flüssigkeitsvolumen
Querschnittsfläche von VF ({ Kreissegmentfläche)
{ Verdrängungsquerschnitt
Unter Verwendung dieser Zusammenhänge und Kürzen entsprechender Größen in F G
g UF
A AHB
A AHB
S R2
L g UK
UK
.
UF
S R
2
L
gelangt man zu
Fa
146
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
A MCB :
Die noch erforderliche Dreiecksfläche A MCB lautet A MCB =
1
MC BC . Hierin sind
2
MC = ( R – T ) und BC = R sin D und folglich wird
1
A MCB
R T R sin D . Den Klammerausdruck R T kann man jetzt noch mittels
2
RT
R cos D ersetzen. Dies führt zunächst zu
oder umgeformt R T
cos D
R
1
A MCB
R cos D R sin D
bzw. mit 2 sin D cos D = sin(2 D)
2
1
sin 2 D
erhalten wir als Ergebnis für A MCB :
oder sin D cos D =
2
1
A MCB
R 2 sin 2 D .
4
Die gewonnenen Resultate von A AHB und A MCB in A MHB eingefügt
1
UK 1
A MHB
S R2
R 2 sin 2 D und dann A MHB in unserer
2
UF 4
Ausgangsgleichung des gesuchten Winkels D q weiter verarbeitet führt zu
Dq
360q
ª1
«2
¬
S R2
UK 1
R2
UF 4
S R2
º
sin 2 D »
¼ . Kürzt man noch S R 2 im Zähler
und Nenner, so liefert dies uns zunächst D q
360q
§ 1 UK
1
¨¨ ˜
2
4
U
S
F
©
sin 2
Mit nachfolgenden Umstellungen dieser Gleichung
1 U K sin 2 D
˜
2 UF
4 S
oder
sin 2 D
4 S
Dq
1 U
˜ K
360q 2 U F
oder
sin 2 D
Dq
90q
Dq
360q
S2 S
UK
UF
gelangt man zum gesuchten Ergebnis wie folgt:
sin 2 D
ª Dq
U º
= 2 S «
K»
¬180q UF ¼
Die Bestimmung von D macht (bei gegebenem U K und UF ) eine Iteration erforderlich.
·
D ¸¸ .
¹
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
147
2. T :
Wenn D bekannt ist, lässt sich die Eintauchtiefe T wie folgt ermitteln:
RT
R
cos D (s.o.) nach T aufgelöst führt zu T = R - R cos D oder
T=R
3. Pkte. y , wenn UF
>1 cos [email protected] .
kg
1000 3 ; UK
m
400
kg ; R = 0,25 m ;
m3
D:
Durch Umstellen o.g. Gleichung lässt sich die Iteration wie folgt durchführen:
UK
UF
Dq
sin 2 D
2 S
180q
1. Iterationsschritt
D
75q Ÿ
0,40 = 0,41677 - 0,07958
Ÿ 0,4 z 0,3372
2. Iterationsschritt
D
80q Ÿ
0,40 = 0,4444 - 0,05443
Ÿ 0,40 z 0,3900
3. Iterationsschritt
D
81q Ÿ
0,40 = 0,450 - 0,0492
D
81q
T:
T = 0,25 >1 cos [email protected]
T = 0,2109 m
Ÿ 0,40 | 0,4008
148
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Aufgabe 5.10 Verschlusskegel
1.
2.
hhhh
h
Übungsbeispiel
Ein kegelförmiger Körper dient als Verschlussorgan in einem mit Flüssigkeit gefüllten, gegen
Atmosphäre offenen Becken. Er weist die in Abb. 5.10.1 erkennbaren Abmessungen auf und
besitzt eine Dichte UK. Die Flüssigkeitshöhe H über dem Beckenboden sowie die
Flüssigkeitsdichte UF sollen ebenfalls bekannt sein. Welche Kraft F muss aufgebracht werden,
um den Kegel bei Beginn des Öffnungsvorgangs gerade vom Dichtungssitz zu lösen?
Abb. 5.10.1 Verschlusskegel
Lösung zu 5.10
Aufgabenerläuterung
Das Anheben des Kegels aus dem gerade noch wirksamen Schließzustand bedeutet, dass an
dem Dichtungssitz 2 keine Auflagekraft mehr vorhanden ist (Abb. 5.10.1). Neben der
Gewichtskraft und der gesuchten Kraft zum Anheben des Kegels wirken aufgrund
unterschiedlicher Druckverteilungen an der Kegeloberfläche verschiedene Druckkräfte. Als
Berechnungsansatz ist gemäß Abb. 5.10.2 sinnvollerweise das Kräftegleichgewicht in zRichtung zu verwenden.
Gegeben:
R ; h ; H ; UF ; UK ; g
Gesucht:
1. F
2. F, wenn: R = 10 cm ; h = 20 cm ; H = 0,80 m ;
kg
kg
UF = 1000
.
; UK = 7800
3
m
m3
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
Anmerkungen:
- Am Dichtungssitz ist gerade noch keine Strömung vorhanden.
S
- Kegelvolumen: VK
R2 h .
3
Lösungsschritte
1. F :
Gemäß Abb. 5.10.2 lautet das Kräftegleichgewicht in z-Richtung:
n
¦F
i
0
Fp B proj FN Z F Fp1 FG oder nach der gesuchten Kraft F umgeformt
F = FG Fp1 Fp B proj FN Z .
Abb. 5.10.2 Größen des Verschlusskegels und wirksame Kräfte
FG
mK
VK
FG
g mK
UK VK
S
R2 h
3
S
g UK R 2
3
Fp1
p1
A1
S R
p1
Gewichtskraft des Kegels
Kegelmasse
Kegelvolumen
h
Druckkraft auf Kegelgrundfläche
A1
2
p B UF
Kegelgrundfläche
h·
§
g ¨H ¸
2¹
©
Druck auf Kegelgrundfläche
149
150
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
ª
Fp1 = «p B UF
¬
Fp B proj
pB
A proj
S r
h ·º
§
g ¨ H ¸»
2 ¹¼
©
A proj
S R2
Vertikalkraftkomponente in Folge Atmosphärendrucks auf
flüssigkeitsfreie Kegelmantelfläche
2
2
Projektion der flüssigkeitsfreien Kegelmantelfläche in die
Horizontalebene
r2
1
2
Fp B proj
R
h
Radius des Dichtkreises. Wegen tan D
R
1
4
pB
r2
h
2
folgt r2
1
2
R.
S R2
FN z
Vertikalkomponente der Normalkraft in Folge des Drucks auf
die flüssigkeitsbenetzte Kegelmantelfläche. Die Ermittlung lässt
sich aus der an dAx angreifenden elementaren Kraft dFN wie
folgt durchführen:
dFN z
dFN
dFN
dA x
px
proj.
sin D
dA x
dA x sin D
px
dA x
dFN z
px
dA x proj
px
S rx
p1 UF
g
dFN z = p1 UF
Elementare Normalkraft
Projektion des Flächenelements dAx in die Horizontalebene
sin D
dFN z
dA x proj = 2
Vertikalkomponente der elementaren Normalkraft dFN
Fläche als elementarer Kreisring
drx
tx
g
Druck an der Stelle x
tx
2
S rx
drx
Um eine Integration von dFN z vornehmen zu können, muss t x in Verbindung mit rx gebracht
(R rx )
umgeformt nach tx erhält man
tx
R
R rx
. Führt man dann noch tan D
zunächst t x
ein, so liefert dies die gesuchte
h
tan D
h
R rx . In dFN z eingesetzt entsteht
Verknüpfung t x
R
h
º
ª
dFN z = «p1 U F g
R rx » 2 S rx drx .
R
¼
¬
Hierin noch p1 mit oben gefundener Druckgleichung ausgetauscht liefert uns
werden. Dies ist wie folgt möglich. Mit tan D
ª§
dF N Z = «¨¨ p B UF
©
h·
§
g ¨ H ¸ UF
2¹
©
g
h
R
·º
R rx ¸¸ »
¹¼
2
S rx
drx .
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
151
Multipliziert man nun die inneren Klammern aus
ª
dFN Z = «p B U F
¬
g
H UF
h
UF
2
g
UF
g
h UF
g
rx º
R »¼
h
2
S rx
drx ,
h
2
g
und fasst vereinfachend zusammen, so entsteht die integrierbare Gleichung:
ª
dFN = «p B UF
Z
¬
Wenn man rx
h·
§
g ¨ H ¸ UF
2¹
©
º
rx »
¼
h
R
g
2 S rx
drx
drx in die Klammer hinein multipliziert und die drei Teilintegrale in dem
flüssigkeitsbenetzten Bereich zwischen den Grenzen r2 und R bildet, führt dies zu:
R
³ dF
FNZ
S
2
NZ
r2
ªR
«³ pB
«¬ r2
R
rx
drx ³ U F
h·
§
¨H ¸
2¹
©
g
r2
rx
drx R
³U
F
r2
g
h
R
Die drei Teilintegrale in der Klammer lassen sich folgendermaßen bestimmen:
R
³ pB
drx
pB
rx
drx
1
2
pB
R 2 r22
r2
R
³p
B
r2
R
³U
g
h·
§
¨H ¸
2¹
©
rx
drx = UF
F
g
h·
§
¨H ¸
2¹
©
rx
drx =
1
2
UF
g
h
R
rx
2
F
drx
UF
g
h
R
rx3 R
3 r2
g
h
R
rx
2
F
drx
1
3
UF
g
h
R
r2
r2
R
³U
r2
R
³U
r2
1
2
Mit r2
B
rx
r2
R
³U
r2
1
2
pB
§ 2 1
¨R 4
©
g
h·
§
¨H ¸
2¹
©
rx
drx
F
g
h·
§
¨H ¸
2¹
©
rx
drx =
r2
³U
drx
F
R
rx2 R
2 r2
h·
§
g ¨H ¸
2¹
©
R 2 r22
R 3 r23
R (s.o.) folgt dann:
R
³p
h·
§
g ¨H ¸
2¹
©
F
R
³U
rx2 R
2 r2
rx
1
2
·
R2 ¸
¹
UF
3
UF
8
3
8
pB ˜ R 2
h· §
1
§
g ¨ H ¸ ¨ R2 2¹ ©
4
©
h·
§
g ¨ H ¸ R2
2¹
©
·
R2 ¸
¹
rx
2
º
drx »
¼
152
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
R
³ UF
g
h
R
rx2
g
h
R
rx
r2
R
³U
F
r2
2
drx
1
UF
3
drx
7
24
§ 3 R3 ·
¨¨ R ¸
8 ¸¹
©
h
R
g
UF
g
R2
h
Die so gefundenen Integrationsergebnisse in die Gleichung für FN Z eingefügt
ª3
«8
¬
FN Z = 2 S
3
8
R2 pB
3
8
h·
§
g ¨H ¸
2¹
©
UF
7
24
R2 UF
º
h ˜ R 2 » und danach
¼
g
R 2 ausgeklammert hat nachstehendes Ergebnis zur Folge:
ª
R 2 «p B UF
¬
3
8
FN Z = 2 S
h· 7
§
g ¨H ¸ 2 ¹ 24
©
º
g h»
¼
8
UF
3
Die innere Klammer ausmultipliziert
1
7
3
ª
º
FN Z =
UF g h UF g h »
S R 2 «p B UF g H 4
9
2
¬
¼
und gleiche Produkte zusammengefasst
9
14
3
ª
º
FN Z =
UF g h UF g h »
S R 2 «p B UF g H 4
18
18
¬
¼
führt zum Resultat des letzten gesuchten Kraftanteils am Kegel:
FN Z =
3
4
ª
«p B UF
¬
S R2
H
g
5
18
UF
º
h»
¼
g
Alle Kräfte werden jetzt mit den ermittelten Zusammenhängen in der o.g. Bilanzgleichung für
F eingesetzt, was zunächst einen umfangreichen Ausdruck gemäß nachstehender Gleichung
liefert.
S
3
F
S
4
g
R2
UK
R2
pB 3
4
hS
S
ª
«p B U F
¬
R2
ª
R 2 «p B U F
¬
g
Vereinfachend wird nun S R 2
F
S
R2
g
­° 1
®
°̄ 3
UK
ª pB
h«
UF
¬ g
g
H
5
18
h ·º
§
¨ H ¸»
2 ¹¼
©
UF
g
º
h»
¼
g ausgeklammert
h ·º 1
§
¨ H ¸» 2 ¹¼ 4
©
ª pB
UF
«
¬ g
pB 3
g
4
H
5
18
UF
º ½°
h»¾ ,
¼ °¿
danach die inneren Klammerausdrücke ausmultipliziert
F
S
R2
g
­1
®
¯3
UK
h
pB
g
UF
H UF
h 1
2 4
pB
pB 3
g
4
sowie gleichartige Produkte zusammengefasst
1
ª1
F S R2 g «
UK h UF H UF
2
¬3
Als Resultat erhält man dann zunächst
1
12
ª1
F S R2 g «
UK h UF H 4
24
¬3
g
3
4
h
3
4
UF
h
=
7
24
UF
UF
H
H
5
24
UF
UF
h
3
4
5
18
3
4
UF
5
18
½
h¾
¿
UF
º
h » oder
¼
º
h» .
¼
5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern
F
S R2
g
ª1
«¬ 3 U K
h
1
4
UF
153
H
7
24
UF
º
h » . Wird nun noch UF
¼
h vor die
Klammer gesetzt, so liefert dies das gesuchte Endergebnis wie folgt:
F
2. F, wenn:
R
UF
S g UF
R2
h
ª1
«
¬3
UK 1
UF 4
H
7º
»
h 24 ¼
= 10 cm ; h = 20 cm ; H = 0,80 m ;
kg
kg
= 1000
.
; UK = 7800
3
m
m3
Setzt man die gegebenen Größen dimensionsgerecht in die entwickelte Gleichung ein, so folgt
zunächst
7º
ª 1 7800 1 0,8
F S 9,81 1000 0,102 0,20 «
» oder
¬ 3 1000 4 0,2 24 ¼
F = 203,9 N.
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
Die Kontinuitätsgleichung der Strömungsmechanik beruht auf der Massenerhaltung in einem abgegrenzten Fluidraum. Sie stellt eine der fundamentalen Grundlagen der Strömungsmechanik dar und ist bei der Lösung sehr vieler Fragestellungen unerlässlich.
Stromröhre
Bei einem abgegrenzten, ortsfesten Kontrollvolumen strömen über dessen Grenzen in definierten Stromröhrenquerschnitten stationär i-Massenströme in das Kontrollvolumen hinein
bzw. heraus. Die Massenerhaltung im Kontrollraum erfordert dann
n
¦ m
0.
i
i 1
Dies ist die Kontinuitätsgleichung in integraler Form im Fall von Stromröhren, wobei die positiven Vorzeichen für einströmende und die negativen Vorzeichen für ausströmende Fluid und V
c A lässt sich dann auch formulieren:
U V
massen belegt sind. Mit m
n
¦U
ci A i
i
0.
i 1
Im Fall der Stromröhren werden konstante (mittlere) Geschwindigkeiten ci und Dichten Ui
über den Querschnitten Ai vorausgesetzt. Die Richtungszuordnung von ci und Ai ist orthogonal. Damit gestaltet sich die Anwendung dieser Kontinuitätsgleichung relativ einfach. Sie
ist in der beschriebenen Form auch für kompressible Fluide zu verwenden. Bei inkompressiblen Fluiden vereinfacht sich diese Kontinuitätsgleichung auf
n
¦ V
oder
0
i
i 1
n
¦
ci A i
0.
i 1
Betrachtet man einen Kontrollraum mit nur zwei durchströmten Stromröhrenquerschnitten A1
und A2 (Rohrleitung unterschiedlicher Durchmesser), so folgt
1
m
2
m
oder
U1 A1 c1
U2 A 2 c 2
Im Fall inkompressibler Fluide führt dies mit U1 = U2 = U= konstant zu
V
1
V
2
c1 * A1
oder
c2 * A 2 .
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_6,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
156
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
Volumenelement
Für ein infinitesimales Volumenelement dV (oder auch Kontrollelement) lässt sich aufgrund
der Massenerhaltung die Kontinuitätsgleichung bei stationärer Strömung wie folgt herleiten:
w U cy w U cz
w U cx
wx
wy
wz
0
Bei inkompressibler Strömung (U= konstant) vereinfacht sich diese Gleichung zu dem Ausdruck:
wc x wc y wc z
wx
wy
wz
0.
Durchflussgleichung
Unter der allgemeinen Durchflussgleichung versteht man folgende Zusammenhänge:
Massenstrom
m
U A c
Gase und Flüssigkeiten
Volumenstrom
V
c A
nur bei Flüssigkeiten gebräuchlich
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
157
Aufgabe 6.1 Kontinuitätsnachweis
¥1.
h
4 min
4 Punkte
Eine wichtige Grundgleichung der Strömungsmechanik ist das Kontinuitätsgesetz, das in der
vollständigen Form wie folgt hergeleitet wird:
w U cy
wU w U c x
w U cz
wt
wx
wy
wz
0.
wU
= 0) und inkompressiblen (U= konstant) Strömung vereinfacht
wt
sich diese Gleichung zu dem Ausdruck
Bei einer stationären (
wc x wc y wc z
wx
wy
wz
0.
Es soll nachgewiesen werden, ob nachstehende Geschwindigkeitskomponenten cx, cy und cz
bei der angenommenen stationären, inkompressiblen Strömung dieses Gesetz erfüllen.
Lösung zu 6.1
Aufgabenerläuterung
Die vorgegebenen drei Geschwindigkeitskomponenten cx, cy und cz erfüllen dann das Kontinuitätsgesetz, wenn, wie oben erkennbar, die Summe der drei partiellen Ableitungen
wc x wc y
wc z
,
und
den Wert Null ergibt. Die partiellen Ableitungen erhält man, indem wie
wz
wx wy
z.B. im vorliegenden Fall cx nach x differenziert wird und dabei die beiden anderen Variablen
y und z als konstante Größen zu verwenden sind. In analoger Weise verfährt man mit cy und
cz .
Gegeben:
Gesucht:
cx
cy
2 x2 x
x2 4 x
cz
2 x
y z2
y y2
y y2 y z
Nachweis, dass
wc x wc y wc z
wz
wx
wy
Lösungsschritte
wc x
:
wx
wc y
:
wy
wc x
wx
wc y
wy
2 2 xy
4 x 2 y
4 xy
0.
158
wc z
:
wz
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
wc z
wz
y
Somit erhält man
4 x y + 4 x 2
y + y = 0
oder
0 = 0.
Folglich ist der Nachweis erbracht, dass die gegebenen Geschwindigkeitskomponenten die
Kontinuitätsbedingungen erfüllen.
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
159
Aufgabe 6.2 Durchflussgesetz
¥1.
h
7 min
7 Punkte
Mit dem allgemeinen Kontinuitätsgesetz der Strömungsmechanik soll für den Fall der eindi
mensionalen, stationären Rohrströmung die Durchflussgleichung m
konst. ermittelt werden.
Lösung zu 6.2
Aufgabenerläuterung
Als Ansatz bei der Lösung dieser Aufgabe sind zunächst die Besonderheiten des eindimensionalen, stationären Strömungsvorgangs in der Kontinuitätsgleichung zu berücksichtigen. Mit
dem verbleibenden Term lässt sich dann mittels weiterer mathematischer Schritte die Lösung
erarbeiten.
w U cy
wU w U c x
w U cz
0
Gegeben:
Kontinuitätsgesetz
wt
wx
wy
wz
konst.
Gesucht:
Herleitung von m
Anmerkungen:
- Die Geschwindigkeitskomponenten und auch die Dichte hängen im o.g.
allgemeinen Fall von den unabhängigen Variablen x, y, z und t ab, also
c x c x x, y, z, t ; c y c y x , y, z, t ;
cz
cz x, y, z, t ; U
U x, y, z, t .
Lösungsschritte
Die Vorgabe stationärer Strömung beinhaltet, dass o.g. Größen nicht mehr von der Zeit t abwU
0 wird. Man erhält also zunächst
hängen und demzufolge
wt
w U cy
w U cx
w U cz
0.
wx
wy
wz
Berücksichtigt man die zweite Vorgabe der eindimensionalen Strömung, so existieren neben
cx
c x x keine weiteren Geschwindigkeitskomponenten, d.h. cy = 0, cz = 0. Es folgt
w U cy
w U cx
w U cz
wx
wy
wz
Vereinfachend c x x
wU c
wx
0
0.
c x gesetzt gelangt man somit zu
oder präziser formuliert:
w>U x c x
wx
@
d>U x c x
dx
@
0.
160
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
Da in der Klammer ein Produkt k(x) = U x
c x steht, muss bei der Differentiation die
Produktenregel verwendet werden. Diese führt zu:
dk ( x )
dx
d>U x c x
dx
dU
dx
dc
dx
c
dU
U
³
dc
c
dU x
dx
cx dU dc
U
c
³0
und verwenden das Grundintegral
C1 oder auch ln U c
eln U
eC1 { C 2 = konst.
U c
Ux
0 oder vereinfacht geschrieben:
0 und danach durch c U
0 . Integrieren wir nun diese Gleichung gliedweise
zu ln U ln c
c
dc x
dx
0 . Mit dx multipliziert dU c dc U
U
dividiert liefert
³
@
Man stellt also fest, dass U c
1
³x
C1 . Mit eln a
dx
ln x C , so gelangen wir
a folgt im vorliegenden Fall
konst. ist und dies auch nach Multiplikation mit dem Quer-
schnitt A bleibt, wenn auch mit einer anderen Konstanten. Folglich kann man formulieren:
U c A
, so dass letztlich das
konst. Das Produkt c A entspricht dem Volumenstrom V
Ergebnis lautet:
U V
m
konst.
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
161
Aufgabe 6.3. Laminare Rohreinlaufströmung
¥1.
6 min
hh
6 Punkte
Beim Einströmen aus einem sehr großen Behälter in eine Rohrleitung liegt unmittelbar im
Eintrittsquerschnitt, hier an der Stelle 0, eine homogene Geschwindigkeitsverteilung c0 vor.
Hierzu ist eine geeignete Abrundung der Eintrittskantengeometrie erforderlich. Aufgrund von
Schubspannungen bei laminarer Rohrströmung verändert sich dann das ursprüngliche Rechteckprofil entlang der Anlaufstrecke LA und erlangt an deren Ende an der Stelle 1 die bekannte
parabelförmige Kontur mit cmax. in Rohrmitte. Weiter stromabwärts verändert sich das Gec
schwindigkeitsprofil nicht mehr. Ermitteln Sie das Verhältnis max .
c0
Abb. 6.3.1 Laminare Rohreinlaufströmung
Lösung zu 6.3
Aufgabenerläuterung
Aus Kontinuitätsgründen muss durch die Querschnitte an den beiden Stellen 0 und 1 derselbe
Massenstrom und bei Dichtegleichheit auch derselbe Volumenstrom hindurchfließen. Mittels
Durchflussgleichung bei homogener c-Verteilung an der Stelle 0 und einer Integration der an
der Stelle 1 vorliegenden parabelförmigen c-Verteilung ist die Aufgabe lösbar.
Gegeben:
Gesucht:
Anmerkungen:
c0
c max
c0
- Rechteckprofil im Rohreintrittsquerschnitt 0 vorhanden
- Die Geschwindigkeitsverteilung ausgebildeter laminarer Rohrströmung
ª
r2 º
lautet: c(r ) c max «1 2 » .
R ¼
¬
- Es wird eine inkompressible Flüssigkeitsströmung angenommen.
162
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
Lösungsschritte
c A
Die Durchflussgleichung bei homogener c0 -Verteilung liefert an der Stelle 0 V
0
0
2
c S R 2 . An der
mit V
mit A S R . Folglich erhält man hier den Volumenstrom V
0
durch eine Integration des infinitesimalen Volumenstroms dV
beschrieben:
Stelle 1 wird V
V
³ dV . dV wiederum ist das Produkt aus der örtlichen Geschwindigkeit c(r ) und der ihr
A
zugeordneten orthogonalen Fläche dA. Diese infinitesimale Fläche dA lässt sich gemäß Abb.
6.3.1 als Kreisringfläche dA = 2 S r dr angeben. Somit lautet
dV
c( r )
2 S r dr c(r ) . Mit der parabelförmigen c-Verteilung laminarer Rohrströmung
c max
ª
r2 º
«1 R 2 » gelangt man zu dV
¬
¼
2 S r dr c max
plikation von r in den Klammerausdruck entsteht dV
Darstellung von V
³ dV
2 S c max
A
der Integration V
ª r2
«
«2
¬
2 S c max
grenzen eingesetzt, so führt dies zu V
V
2 S c max
ªR2 R2 º
« 2 4 »
¬
¼
2
R
0
2 S c max
ª
r2 º
«1 R 2 » . Nach Multi¬
¼
ª
r3 º
«r R 2 » dr . Diese
¬
¼
R
ªR
º
1
3
« ³ r dr 2 ³ r dr » liefert zunächst nach
R
0
¬0
¼
R
§ 1 r4 · º
¸ » . Werden dann die Integrations ¨¨ 2
4 ¸¹ 0 »
©R
¼
ªR2
R4 º
oder
2 S c max «
2
R 4 »¼
¬ 2
S c max
R2
.
4
Der Volumenstrom an der Stelle 1 kann folglich bestimmt werden mit:
V
S c max
R2
2
Die Ergebnisse der beiden Durchflussgleichungen an den Stellen 0 und 1
R2
S c
V
c0 S R 2 und V
gleichgesetzt und entsprechende Größen gekürzt
max
2
1
R2
.
führt zu c 0 c max
V
c0 S R 2 c max S
2
2
Damit lautet das gesuchte Geschwindigkeitsverhältnis:
c max
c0
2
An Stelle von c0 kann auch, unabhängig vom hier betrachteten Rohreinlauf, die mittlere
Geschwindigkeit c übernommen werden.
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
163
Aufgabe 6.4. Ebener Konfusor
¥1.
¥2.
6
min
3
min
hh
h
6 Punkte
3 Punkte
Einen in Abb. 6.4.1 im Längsschnitt dargestellten Kanal durchströmt eine reale, also rei . Aufgrund eines installierten
bungsbehaftete Flüssigkeit bei konstantem Volumenstrom V
Konfusors findet zwischen den Stellen 1 und 2 eine Geschwindigkeitserhöhung statt. Die Kanalbreite b stelle man sich senkrecht zur Bildebene vor, wobei b im Verhältnis zu den bekannten Kanalhöhen h1 und h2 sehr groß ist. In der Eintrittsebene 1 wird eine Geschwindigkeitsverteilungsmessung vorgenommen. Das Ergebnis c1(z) ist in Abb. 6.4.1 erkennbar. Die Geschwindigkeit weist über der Kanalhöhe eine symmetrische Verteilung auf. Mit zunehmendem
Wandabstand z wächst sie vom Wert an der Wand c1(z = 0) = 0 auf die Maximalgeschwindigkeit in Kanalmitte c max1 (z z1 ) an. Das dargestellte Profil verändert sich über der Kanalbreite
m
§z·
¨¨ ¸¸ darstellen. Der Wand© z1 ¹
.
abstand z wird von der Wand bis Kanalmitte definiert. Ermitteln Sie den Volumenstrom V
b nicht nennenswert. Es lässt sich mit dem Potenzgesetz
c1 (z)
c max1
Abb. 6.4.1 Ebener Konfusor mit Geschwindigkeitsverteilung an der Stelle 1
Lösung zu 6.4
Aufgabenerläuterung
Der Volumenstrom wird als Produkt einer Geschwindigkeit mit der ihr orthogonal zugeordne und bekannter
ten Fläche bestimmt. Hiermit ist es dann z.B. auch möglich, bei gegebenem V
Fläche A die mittlere Geschwindigkeit in einem Kanal zu ermitteln. Im vorliegenden Fall
wird jedoch von einer gemessenen, ungleichmäßigen Geschwindigkeitsverteilung c1(z) ausgegangen, die zur Bestimmung des Volumenstroms heran gezogen wird. Um dies zu ermöglichen, betrachtet man im Abstand z von der Kanalwand ein Flächenelement dA = dz * b mit
der auf dA senkrecht stehenden örtlichen Geschwindigkeit c1(z). Den elementaren Volumen erhält man dann als Produkt von dA und c1(z). Eine Integration von dV
zwischen
strom dV
Wand und Kanalmitte liefert die Hälfte des gesuchten Volumenstroms V .
164
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
Gegeben:
h1 ;
Gesucht:
1.
V
2.
c1; c2
Anmerkungen:
h2 =
3
4
h 1 ; b ; c max1 ;
m
§z·
¨¨ ¸¸ ;
© z1 ¹
c1 (z)
c max1
m
- Aufgrund der großen Kanalbreite b bleiben Einflüsse aus Geschwindigkeitsveränderungen an den seitlichen Begrenzungswänden von untergeordneter Bedeutung.
Lösungsschritte
1. V
:
Mit c1 z bei z und dem elementaren Querschnitt dA = b dz lautet dV
dV
c1 z
b dz
Um eine Integration vornehmen zu können, muss die örtliche Geschwindigkeit c1 z aus dem
gemessenen Verteilungsgesetz in der Weise ersetzt werden, dass neben der integrierbaren
Ortskoordinate z nur noch gegebene, konstante Größen erscheinen. Dies lässt sich wie folgt
lösen. Zunächst formt man das Verteilungsgesetz so um, dass c1 z heraus isoliert wird, also
c1 z
zm
z1m
c max1
oder auch
c1 z
c max1
1
z1m
zm .
eingesetzt erhält man als integrierbare Funktion den Ausdruck:
In dV
dV
b
c max1
1
z 1m
zm
dz
Da der Wandabstand bis Kanalmitte definiert ist, liefert die Integration zwischen z = 0 und
z = z1 natürlich nur den halben gesuchten Volumenstrom, also
V
2
b c max1
1
m
z1
z1
³
z
m
dz
b c max1
0
z m 1
m 1
1
m
z1
z1
. Setzt man noch die Grenzen
0
ein und multipliziert die Gleichung mit 2, so lautet der zu bestimmende Volumenstrom V
V
2
b
c max1
Da gemäß Abb. 6.4.1 z1
V
2 b cmax1
m 1
1
m 1
1
m 1
z1
m
z1
oder
V
2 b cmax1
1
m 1
h1
ist, liefert dies in o.g. Gleichung eingesetzt
2
h1
2
oder als Endresultat
V
h1 b
m 1
c max1 .
z1 .
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
165
2. c1 ; c2 :
c1 :
Die mittleren Geschwindigkeiten folgen nun aus dem jetzt bekannten Volumenstrom und den
jeweiligen Querschnitten A1 bzw. A2.
V
nach oben stehender Gleichung eingesetzt und unter
c1 A1 lautet c1
Mit V
.V
A1
h1 b
1
Verwendung von A1 b h1 führt dies zu c1
c max 1
m 1
b h1
oder als Ergebnis:
c1
1
m 1
c max1
c2 :
Die mittlere Geschwindigkeit im Konfusoraustritt erhält man auf einfache Weise aus dem
Kontinuitätsgesetz V
c2 A 2 c1 A1 . Nach c2 aufgelöst folgt zunächst unter Verwendung von c1 nach oben stehendem Zusammenhang
c2
c1
noch h2 =
A1
A2
3
4
1
m 1
c max1
b h1
b h2
oder
c2
1
m 1
h1 als bekannte Größe eingeführt, so liefert dies c2
oder
c2
4
3
1
m 1
c max 1 .
h1
h2
c max 1 . Wird jetzt
1
m 1
h1
3
4
c max 1
h1
166
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
Aufgabe 6.5 Verteilersystem
¥1.
¥2.
h
h
4 min
3 min
4 Punkte
3 Punkte
An einem Verteilersystem sind gemäß Abb. 6.5.1 vier Rohrleitungen unterschiedlicher Querschnitte angeschlossen. Bei verschiedenen, in diesen Rohrleitungen vorgegebenen Größen soll
die Geschwindigkeit c2 zunächst allgemein und aufgrund konkreter Zahlenwerte auch in ihrer
Richtung ermittelt werden.
Abb. 6.5.1 Verteilersystem
Lösung zu 6.5
Aufgabenerläuterung
Die vorliegende Aufgabe beschäftigt sich mit der Anwendung der Massenstrombilanz in einem System mit mehreren Zu- und Abflüssen. Ebenfalls muss von der Durchflussgleichung
Gebrauch gemacht werden.
Gegeben:
; U= konst.
3 ; V
A1 ; A2 ; c1 ; m
4
Gesucht:
1. c2
2.
Anmerkungen:
c2 in Größe und Richtung, wenn:
A1
200 cm 2 ; A2
V
4
0,030
500 cm 2 ; c1 = 3
m
3
; m
s
40
kg
m3
; U= 1000
s
m3
- Es liegt ein inkompressibles Fluid vor.
- Die Richtung der Leitungen hat keinen Einfluss auf die
Massenstrombilanz.
kg
;
s
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
167
Lösungsschritte
1. c2 :
Die Geschwindigkeit c2 lässt nach Umstellen der Durchflussgleichung an der Stelle 2
V
2
V
c 2 A 2 darstellen durch c 2
. Aufgrund der gegebenen Fläche A2 stellt sich jetzt
2
A2
. Da weder über c2 noch V
eine Angabe genur noch die Frage nach dem Volumenstrom V
2
2
in das System hineinströmt und somit auch c2 diese Richmacht ist, nehmen wir an, dass V
2
tung besitzt. Im Falle eines negativen Resultats für c2 liegt die entgegengesetzte Richtung
vor.
i 0 , wobei einströmende Fluide mit positivem
Die Massenstrombilanz am System lautet 6m
Vorzeichen verknüpft sind, ausströmende dagegen negativ. Im vorliegenden Fall und der ge erhält man:
troffenen Vereinbarung für V
2
1 m
2 m
3 m
4
m
2 führt dies zu
0 . Umgestellt nach m
U V
3 m
1 m
4 . Mit m
m
2
m
U c A und unter Berücksichtigung der
gegebenen Größen liefert dies zunächst
U c2
A2
3 U c1
m
. Dividiert man durch U A , so liegt das Ergebnis
A1 U V
4
2
für c2 wie folgt vor:
c2
3
m
c1
U A2
A1 V
4
A2 A2
2. c2 in Größe und Richtung, wenn:
A1
200 cm 2 ; A2
V
4
0,030
500 cm 2 ; c1 = 3
m
3
; m
s
40
kg
;
s
m3
kg
; U= 1000
s
m3
Unter Beachtung der Dimensionen o.g. Größen erhält man
c2
40
200 0,030
3
1000 0,050
500 0,050
c2 = - 1
m
s
Das negative Vorzeichen weist darauf hin, das die angenommene Richtung von c bzw. c2
aus dem Verteiler heraus mit der ebenfalls in diese Richtung
falsch ist; tatsächlich fließt V
2
weisenden Geschwindigkeit c2.
168
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
Aufgabe 6.6 Messstelle der mittleren Geschwindigkeit
¥1.
¥2.
12 min
2 min
hhh
h
12 Punkte
2 Punkte
Die Geschwindigkeitsverteilung ausgebildeter turbulenter Rohrströmung lässt sich aufgrund
von Messungen in Form eines Potenzgesetzes darstellen. Demzufolge ändert sich die örtliche
Geschwindigkeit c(z) mit zunehmendem Wandabstand z exponentiell. Die Geschwindigkeit
an der Wand ist gleich Null und sie erreicht in Rohrmitte ihren Größtwert c max . Es wird nun
derjenige Wandabstand ZM gesucht, an dem gerade die mittlere Geschwindigkeit c vorliegt,
und man folglich mit einer einzigen Messung den Volumenstrom berechnen kann.
Abb. 6.6.1 Messstelle ZM der mittleren Geschwindigkeit c
Lösung zu 6.6
Aufgabenerläuterung
durch eine Integration der gegebenen GeZur Aufgabenlösung muss der Volumenstrom V
schwindigkeitsverteilung über dem Rohrquerschnitt ermittelt werden. Das Ergebnis dieser Integration wird dann demjenigen Volumenstrom gegenübergestellt, den man aus der Durchflussgleichung mit der hierin enthaltenen mittleren Geschwindigkeit bestimmt. Aus diesem
Vergleich erhält man als Ergebnis einen Zusammenhang zwischen c , c max und m. Die gesuchte Koordinate ZM bringt man hiermit in Verbindung, indem die bekannte Geschwindigkeitsverteilung an der Stelle z = ZM und c(z) = c gebildet und nach ZM aufgelöst wird.
Gegeben:
R; m
Gesucht:
1. ZM
2.
Anmerkungen:
ZM , wenn: Re = 1,1 105 ; m =
- Das Potenzgesetz lautet
c( z )
c max
1
7
m
§z·
¨ ¸ .
©R¹
( sog.
1
- Gesetz )
7
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
169
Lösungsschritte
1. ZM :
V
³ dV
wird mit der Durchflussgleichung des infinitesimalen Volumenstroms
A
dV
cz
dA und der orthogonal zu c(z) angeordneten Kreisringfläche
2 S
dA
dz ermittelt. Somit folgt d V
Rz
c z
2
S
R z
dz .
Hiermit gelangt man zunächst zu der Gleichung
V
R
³ dV
³c z
2 S
A
(R z) dz , in der c(z) noch mit einer integrierbaren Funktion
0
belegt werden muss. Dies gelingt mit dem Potenzgesetz der Geschwindigkeitsverteilung in
Kreisrohren bei voll ausgebildeter, turbulenter Strömung:
m
m
§z·
¨ ¸ , wobei m = f (Re) . Nach c(z) umgeformt erhält man c(z)
©R¹
c( z )
c max
c max
§z·
¨ ¸ .
©R¹
eingesetzt und die Durchflussgleichung
Den Ausdruck in oben stehende Gleichung für V
V
c
c
S R2
S R 2 benutzt liefert
A mit A
R
§z·
¨ ¸
©R¹
³ cmax
2 S
0
m
Rz
dz . Kürzt man S heraus, dividiert durch
m
c max
zm
§z·
R 2 und ersetzt ¨ ¸ mit m , so führt dies zu der nachstehenden integrierbaren
R
©R¹
c
Funktion
R
2
R2
c max
³
zm
Rm
Rz
0
dz . Den Klammerausdruck in die zwei Teilinte-
grale zerlegt, wobei die beiden Glieder noch mit z m multipliziert werden müssen und
1
Rm
vor das Integral zu setzen ist, liefert
c
c max
2
R
c
c max
2
R
2
R
m2
m
ªR
«³ R
¬0
ª
«R
¬
R
dz ³ z z m
zm
R
m
³z
0
0
R
dz ³ z m 1
0
b
Die Integrationsregel
m
³y
a
angewendet führt zunächst zu
dy
1
m 1
º
dz »
¼
oder auch
º
dz » .
¼
b
y m 1
auf oben stehende Gleichung
a
170
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
c
2
c max
R m2
c
2
c max
R
c
ª
«R
«¬
ª
«R
¬«
m2
R
z m 1
m 1
R
R
º
z > m 1 [email protected]
»
> m 1 [email protected] 0 »¼
R
º
z m2
» .
m2 0»
¼
0
R
0
ª R R m 1
R m2
« m 1 m 2
¬
2
c max
z m 1
m 1
m2
oder auch
Mit den Integrationsgrenzen folgt
º
».
¼
Den ersten Term in der Klammer
zusammengefasst führt zu:
c
c max
R
ª R ( m 11)
R ( m 2) º
« m 1 m 2 »
¬
¼
2
R
m2
m2
oder auch
c
c max
ª R m2
R m2 º
« m 1 m 2 »
¬
¼
2
R
m2
im jeweiligen Zähler der beiden Terme ausgeklammert liefert
c
c max
2
R m2
R m2
ª 1
1 º
« m 1 m 2 »
¼
¬
2
ª 1
1 º
« m 1 m 2 ».
¬
¼
Eine weitere Vereinfachung entsteht durch Herstellen eines gemeinsamen Nenners wie folgt:
c
2
c max
º
ª
m2
m 1
oder anders dargestellt
« m 1
m2
m2
m 1 »¼
¬
ª m 2 m 1
2 «
¬ m 1 m 2
c
c max
c
c max
2
m 1
m2
º
c
lautet dann
» . Die endgültige Fassung für c
¼
max
.
Da die Koordinate ZM an der Stelle der mittleren Geschwindigkeit c gesucht wird, setzt man
diese Größen in die bekannten Geschwindigkeitsverteilung
cz
c max
m
§z·
¨ ¸ ein und erhält
©R¹
m
c
§ ZM ·
in beiden Zusammenhängen führt zunächst zu
¨
¸ . Die Gleichheit von
c max
© R ¹
c
c max
m
2
1
§ ZM ·
. Nach Potenzieren mit
ist die gesuchte Stelle ZM, an der
¨
¸ =
m 1 m 2
m
© R ¹
die mittlere Geschwindigkeit c vorliegt, bestimmbar mit
1
ZM
R
ª
ºm
2
« m 1 m 2 » .
¬
¼
Hierin hängt m nur von der aktuellen Re-Zahl ab und ist aufgrund von umfangreichen Messungen für ein breites Anwendungsspektrum bekannt.
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
2. ZM , wenn: Re = 1,1 105 ; m =
ZM
R
ª
º
»
«
2
»
«
« §¨ 1 1·¸ §¨ 1 2 ·¸ »
«¬ © 7
¹ ©7
¹ »¼
ZM
1
7
7
0,2423 R
171
172
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
Aufgabe 6.7 Beregnetes Stadion
¥1.
¥2.
¥3.
hh
h
h
7 min
1 min
2 min
7 Punkte
1 Punkte
2 Punkte
Ein Stadion mit einer Gesamtfläche A wird gleichmäßig beregnet. Die Regentropfen mit angenommener kugelförmiger Gestalt weisen den Durchmesser dTr. auf und fallen mit der Geschwindigkeit cTr. vertikal abwärts. Die Tropfen sollen homogen im Raum verteilt sein. Pro
Volumeneinheit VWü . 1 m3 sind zu jeder Zeit n Tropfen vorhanden. Welcher Wasservolu ;m
menstrom bzw. Massenstrom V
fällt auf die Gesamtfläche und muss dort durch einen
ges.
ges.
Kanal abgeführt werden? Wie groß ist die Höhe HK des Rechteckkanals zu bemessen, wenn
die Kanalbreite BK und die Fließgeschwindigkeit des Wassers cK bekannt sind?
Abb. 6.7.1 Beregnetes Stadion
Lösung zu 6.7
Aufgabenerläuterung
Bei der Ermittlung des anfallenden Volumen- bzw. Massenstroms sind die in der Volumeneinheit VWü. 1 m3 enthaltenen n-Tropfen (Abb. 6.7.1) und das hiermit verbundene Wasservolumen VWa . maßgebend. Dieses Wasservolumen, also die Summe der n-Tropfen, fällt mit
deren Geschwindigkeit cTr durch die Fläche AWü. = 1 m2 zu Boden. Der zu bestimmende Vo
lumenstrom V
Wa . ist dann wiederum bekannt, wenn die Zeit 't des Herausfallens der Tropfen
(und somit von VWa . ) aus dem Volumen VWü. feststeht. 't ist folglich diejenige Zeit, welche
die Tropfen bei der gegebenen Fallgeschwindigkeit cTr. zum Zurücklegen der (Würfel-) Höhe
, der auf die Fläche
H 1 m benötigen. Die Umrechnung des Volumenstroms V
Wa .
2
erfolgt mit der Stadionfläche A.
AWü. = 1 m bezogen ist, zum Gesamtvolumenstrom V
ges.
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
173
Gegeben:
A ; n ; cTr. ; dTr. ; U%.cK
Gesucht:
1.
;m
ges.
V
ges.
2. HK
Tropfen
;
m3
kg
1 mm ; U 1000 3 ;
m
m
1
s
3. Pkt. 1 und 2, wenn : A = 20000 m 2 ; n = 10000
cTr .
4
m
; d Tr .
s
BK = 1 m ; c K
Anmerkungen:
- Annahme einer homogenen Tropfenverteilung und Tropfengröße.
- Annahme einer vertikalen Fallrichtung (Windstille).
- Die aus der Volumeneinheit heraus fallenden Tropfen werden
kontinuierlich durch nachrückende Tropfen ersetzt
Lösungsschritte
;m
ges. :
1. V
ges.
Den Gesamtvolumenstrom
= A V
V
bzw.
ges.
Wa .
bzw. -massenstrom m
ges. bestimmt man wie folgt:
V
ges.
.
ges. U V
m
U A V
ges.
Wa .
Hierin lautet der aus der Volumeneinheit VWü. ausfließende Volumenstrom V
Wa .
VWa .
.
't
n VTr . ,
Das pro Volumeneinheit VWü. vorliegende Wasservolumen VWa . erhält man mit VWa .
S
d 3Tr . zu verwenden ist. Dies führt
wobei aufgrund der angenommenen Kugelform VTr .
6
S
zum Wasservolumen VWa . n
d 3Tr . .
6
Die Zeit 't, welche alle n-Tropfen und folglich auch VWa . zum Zurücklegen des Weges
H = 1 m benötigen, ermittelt man aufgrund der gegebenen Geschwindigkeit cTr. mit
cTr. =
's
't
1
.
cTr .
und 's = H = 1 m zu 't =
Der durch AWü. abfließende Wasserstrom V
Wa . folgt somit der Gleichung
S
V
n d 3Tr . cTr . .
Wa .
6
Dies liefert als gesuchten Gesamtvolumenstrom bzw. -massenstrom
V
ges.
A
S
6
n
d 3Tr .
ges.
m
U A
S
6
n d 3Tr .
cTr .
cTr . .
174
6. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung
2. HK :
Die Höhe HK des Abflusskanals wird mittels Durchflussgleichung V
genden Fall Vges. c K A K mit AK = HK * BK hergeleitet zu:
V
ges.
HK
3. Pkt. 1 und 2, wenn:
cK
BK
Tropfen
;
m3
kg
1 mm ; U 1000 3 ;
m
m
1 .
s
A = 20000 m 2 ; n = 10000
cTr .
4
m
; d Tr .
s
BK = 1 m ; c K
Unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlenwerte ermittelt man:
V
ges.
HK =
20000
S
10000 0,0013
6
4
V
ges.
0,419
ges.
m
419
0,419
1 1
HK = 0,419 m.
m3
s
kg
s
c A oder im vorlie-
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Der Energieerhaltungssatz in einem Kontrollraum besagt, dass die Gesamtenergie eines jeden
Stromfadens gleich bleibt, sofern keine mechanische Energie (Strömungsmaschinen) und/oder
Wärmeenergie (Wärmetauscher) über die Kontrollraumgrenzen transportiert werden. Die
Energiegleichung (Bernoulligleichung) lässt sich sowohl mittels Energiesatz als auch dem
ersten Newtonschen Gesetz herleiten. Aus dem letzteren entsteht die Eulersche
Bewegungsgleichung, deren Integration zur Bernoullischen Energiegleichung führt. Dieses
fundamentale Gesetz kommt bei der Berechnung zahlreicher Aufgaben der Strömungsmechanik zum Einsatz, wo die Frage nach Geschwindigkeits- und Druckgrößen gestellt ist.
Neben den meist bekannten Ortsgrößen z werden jedoch noch Randbedingungen an den
Referenzstellen sowie die Kontinuitätsgleichung benötigt.
Reibungsfreie Strömung
Im Folgenden wird von einer stationären, eindimensionalen Strömung inkompressibler
Fluide ausgegangen. Unter Zugrundelegung des Kräftegleichgewicht an einem Fluidelement
dm, welches sich entlang einer Stromlinie (= Bahnlinie bei stationärer Strömung) bewegt,
lässt sich das erste Newtonsche Gesetz anschreiben mit
n
&
¦ dF
i
&
dm a .
1
Unter der Einwirkung der Druckkräfte und der Schwerkraftkomponente in bzw. entgegen der
Stromlinienrichtung gelangt man zur Bernoullischen Energiegleichung in
-
differentieller Form
dp
g dz c dc
U
-
integraler Form
p
c2
g z
U
2
0
oder in
C .
Dies ist die Bernoullische Gleichung als Energiegleichung formuliert mit
ª Nm º
« kg »
¬
¼
ª Nm º
« kg »
¬
¼
p
U
spez. Druckenergie
g z
spez. potentielle Energie
c2
2
spez. Geschwindigkeitsenergie
C
Integrationskonstante oder Bernoullische Konstante
ª Nm º
« kg »
¬
¼
Die Anwendung der Bernoullischen Gleichung ist streng genommen nur für einzelne
Stromlinien zulässig. Unter Voraussetzung gleich bleibender Geschwindigkeiten über den
Strömungsquerschnitten kann sie aber auch uneingeschränkt bei Stromröhren eingesetzt
werden.
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_7,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
176
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Wenn nicht anders angegeben oder die Aufgabenstellung von ungleichförmigen Geschwindigkeitsverteilungen ausgeht, werden in den folgenden Beispielen mittlere Geschwindigkeiten
( c { c ) zugrunde gelegt und somit die o.g Forderung nach Homogenität von c erfüllt. Die
betreffenden Einflüsse bei tatsächlich vorliegenden inhomogenen c-Verteilungen können
durch geeignete Korrekturbeiwerte berücksichtigt werden.
Eine andere Form der Bernoullischen Gleichung entsteht nach Multiplikation o.g. Energiegleichung mit der Dichte USie ist als Druckgleichung bekannt und lautet:
pU g z
U 2
c
2
p
statischer
Druck
>[email protected]
U g z
potentieller
Druck
>[email protected]
U 2
c
2
dynamischer Druck
>[email protected]
C* ,
wobei
{ p stat
{ p dyn .
oder auch Staudruck
C
*
Integrationskonstante
Häufig formuliert man diese Druckgleichung bei horizontalen Anwendungen bzw. wo
U g z vernachlässigbar ist (Gase) auch wie folgt:
p g { p tot
pg
p g { p tot
pstat . p stat . p dyn.
oder
U 2
c
2
Gesamtdruck (Totaldruck)
>[email protected]
An zwei Stellen 1 und 2 auf einem Stromfaden lauten die Bernoulligleichungen:
- Energiegleichung
p1 c12
g Z1
U 2
- Druckgleichung
p1 p 2 c 22
g Z2
U 2
U 2
c1 U g Z1
2
p2 U 2
c 2 U g Z2
2
Diese Zusammenhänge besagen, dass die Summe aus den jeweiligen drei Energie- oder
Druckgrößen an den Stellen 1 und 2 und jeder anderen Stelle des Stromfadens (-röhre) gleich
bleibt, die einzelnen Terme sich aber ändern können. In welchem Maß dies geschieht, hängt
von den Gegebenheiten der jeweiligen zugrunde liegenden Kontrollräume ab.
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
177
Reibungsbehaftete Strömung
Auch jetzt wird wieder von stationärer, eindimensionaler Strömung inkompressibler
Fluide ausgegangen. Unter Berücksichtigung der Reibungskräfte wird die mechanische
Energie an der Stelle 1 gegenüber der an der Stelle 2 um einen irreversiblen Verlustanteil
p c2
p 2 c 22
g Z2 zur Folge hat.
YV ,1y 2 bzw. p V ,1y2 reduziert, was dann 1 1 g Z1 z
U 2
U 2
Wenn auch jetzt an der Stelle 2 zur Kennzeichnung der veränderten Gegebenheiten gegenüber
dem reibungsfreien Fall eine neue Indizierung der Größen p und c erforderlich wäre, soll es
der Einfachheit halber bei der bisherigen Kennzeichnung bleiben. Die auch häufig mit
„Dissipation“ benannten Verluste finden in den Bernoullischen Gleichungen wie folgt ihren
Niederschlag.
- Energiegleichung
p1 c12
g Z1
U 2
YV ,1y 2
- Druckgleichung
p1 p 2 c 22
g Z2 YV ,1y 2
U 2
Verlustenergie zwischen 1 y 2
U 2
c1 U g Z1
2
p V ,1y 2
p2 U 2
c 2 U g Z 2 p V ,1y 2
2
Druckverlust zwischen 1 y 2
178
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Aufgabe 7.1 Wasserbecken mit zwei parallelen Ausflussrohren
¥1.
¥2.
¥3.
3 min
2 min
6 min
h
h
hh
3 Punkte
2 Punkte
6 Punkte
Ein großes Wasserbecken, dessen Flüssigkeitsspiegel Z0 als konstant anzusehen ist, speist ein
Rohrleitungssystem mit verschiedenen Rohrquerschnitten A1; A 2 ; A 3 . Die Rohre können
durch Ventile geöffnet werden, wodurch ein Ausströmen ins Freie erfolgt. Die Strömung sei
verlustfrei.
1. Wie groß werden bei geöffneten Schiebern und stationären Bedingungen die Ausflussgeschwindigkeiten an den Stellen 1 und 2, wenn die Höhen Z über der Bezugsebene
bekannt sind?
A
2. Wie groß muss das Verhältnis 1 gewählt werden, wenn an den Stellen 1 und 2 jeweils
A2
der gleiche Volumenstrom austreten soll?
3. Wie lautet in diesem Fall der statische Druck an der Stelle 3, wenn neben den bekannten
Höhen Z die Querschnitte A1 und A3 sowie die Flüssigkeitsdichte und der Barometerdruck
gegeben sind?
Abb. 7.1.1 Wasserbecken mit zwei parallelen Ausflüssen
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
179
Lösung zu 7.1
Aufgabenerläuterung
Beim Ausströmen aus einem gegen Atmosphäre offenen, sehr großen Behälter wiederum in
atmosphärische Umgebung kann man bei der Bestimmung der Austrittsgeschwindigkeit von
der Torricellischen Gleichung (Sonderform der Bernoullischen Gleichung) Gebrauch machen.
Das gesuchte Flächenverhältnis lässt sich bei der vorausgesetzten Volumenstromgleichheit an
den Stellen 1 und 2 und den jetzt hier bekannten Geschwindigkeiten mit der Durchflussgleichung herleiten. Bei der Bestimmung des statischen Drucks an der tiefsten Stelle der
Zuleitung zu den Ausflüssen 1 und 2 wird wiederum der Bernoullische Ansatz verwendet.
Hierbei ist zu berücksichtigen, dass an dieser Stelle der Gesamtvolumenstrom die Rohrleitung
durchfließt.
Gegeben:
U ; g ; A1 ; A 3 ; Z0 ; Z1 ; Z2 ; Z3 ;
Gesucht:
1.
2.
3.
Anmerkungen:
c1 ; c 2
A1
, wenn V
1
A2
p3
V
2
- Annahme einer verlustfreien Strömung in allen Leitungen.
- Annahme einer konstanten Flüssigkeitsspiegelhöhe Z0.
Lösungsschritte
1. c1; c2:
Die Torricellische Gleichung lautet allgemein c
2 g 'Z . Hierin ist 'Z der Höhenunterschied zwischen Flüssigkeitsspiegel und Ausflussstelle.
c1 :
c1
2 g
'Z1 ,
wobei 'Z1 = (Z0 - Z1).
Es folgt:
c2 :
c2
2 g
c1
'Z 2 ,
A1
, wenn V
1
A2
Z o Z1
wobei 'Z2 = (Z0 - Z2).
Es folgt:
2.
2 g
c2
2 g
Zo Z 2
:
V
2
und V
lauten: V
c1 A1 und V
c 2 A 2 . Bei
Die Durchflussgleichungen für V
1
2
1
2
und V
erhält man c A = c A . Umgestellt nach dem gesuchten
Gleichheit von V
1
2
1
1
2
2
180
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
A1
c2
und unter Verwendung der unter Pkt. 1 ermittelten GeschwinA2
c1
digkeiten liefert dies zunächst
Flächenverhältnis
A1
A2
2 g
Z0 Z 2
2 g
Z0 Z1
Z0 Z 2
2 g
2 g
Z0 Z1
. Nach dem Kürzen gleicher Größen folgt:
Z0 Z2
Z0 Z1
A1
A2
3. p3 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 3:
p 0 c 02
g
U
2
p 3 c32
g
U
2
Z0
Z3
Mit den hier vorliegenden Gegebenheiten p0
pB
U
p3
g
U
Z3 Z 0 p B und c0
0 erhält man
2
3
c
.
2
Mit der Dichte Umultipliziert und nach dem gesuchten Druck p3 umgestellt liefert dies:
c2
U
p 3 p B U g Z 0 Z3 c32 . Der noch unbekannte Term 3 lässt sich mittels
2
2
V
3
angeben. Benutzt man das Kontinuitätsc3 A 3 oder c3
Durchflussgleichung V
3
A3
V
oder im vorliegenden Fall, da V
vorausgesetzt wird,
gesetz V
V
V
3
1
V
3
,
2 V
1
c3
2 c1
c32
2
2 c12
c32
2
2
2
1
so folgt mit V
1
A1
.
A3
c1
2
A1
2
Mit dem Quadrat
c32
4 c12
§ A1 ·
¨¨ ¸¸
© A3 ¹
Setzen wir nun noch
c12
2 g
Zo Z1 ein, so erhält man
folgt somit
2
§ A1 ·
¨¨
¸¸ .
© A3 ¹
2 g
Zo Z1
§ A1 ·
¨¨ ¸¸
© A3 ¹
2
2
4 g
Zo Z1
§ A1 ·
¨¨ ¸¸ .
© A3 ¹
In die Gleichung des Drucks p3 eingefügt führt dies zu
p3
pB U g
Z 0 Z3 4 U g
p3
Zo Z1
pB U g
§ A1 ·
¨¨ ¸¸
© A3 ¹
2
oder
ª
« Z 0 Z3 4
«¬
Zo Z1
§ A1 ·
¨¨ ¸¸
© A3 ¹
2
º
».
»¼
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
181
Aufgabe 7.2 Vertikale Rohrerweiterung mit U-Rohr
¥1.
¥2.
¥3.
6 min
5 min
4 min
hh
hh
h
6 Punkte
5 Punkte
4 Punkte
In Abb. 7.2.1 ist der Ausschnitt einer vertikalen Rohrleitung zu erkennen, in der eine
Wasserströmung durch eine Rohrerweiterung verzögert wird. Von den Messstellen 1 und 2
führen zwei wassergefüllte Druckmessleitungen zu einem U-Rohrmanometer (Sperrflüssigkeit: Quecksilber „Hg“ ). Bestimmen Sie bei bekannten geometrischen Größen, Fluiddichten
und Volumenstrom den zu erwartenden Druckunterschied zwischen den Stellen 1 und 2 sowie
den Ausschlag der Quecksilbersäule im U-Rohrmanometer.
Abb. 7.2.1 Rohrleitungsausschnitt mit Rohrerweiterung
Lösung zu 7.2
Aufgabenerläuterung
fließt im vorliegenden Fall vertikal abwärts gerichtet zunächst durch
Der Volumenstrom V
ein Rohr kleineren Durchmessers D1 und wird dann mit einer Erweiterung übergeleitet in ein
Rohr größeren Durchmessers D2. Hierdurch kommt es aufgrund des Kontinuitätsgesetzes zu
einer Geschwindigkeitsverkleinerung von c1 auf c2. Unter Beachtung des Bernoullischen
Gesetzes wird bei gleichzeitiger Berücksichtigung des Höhenunterschieds zwischen den
Messstellen 1 und 2 eine entsprechende Veränderung des statischen Drucks 'p hervorgerufen.
182
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Die beiden Drücke werden auf die Schenkel eines U-Rohrmanometers geschaltet, wo sie
neben dem Höheneinfluss eine Verschiebung h der Sperrflüssigkeit (hier Quecksilber „Hg“)
bewirken. Bei der Ermittlung von h empfiehlt es sich, am tiefsten Punkt des U-Rohrs
gedanklich den Druckvergleich der „linken“ Seite mit der „rechten“ Seite vorzunehmen.
Gegeben :
D1 ; D 2 ; Z1 ; Z 2 ; UW ; UHg ; V
Gesucht:
1.
(p 2 p1 )
'p
2. h
3.
'p und h, wenn:
D1 0,20 m ; D 2
kg
1000
;
m3
UW
Anmerkungen:
0,40 m ;
UHg
Z1
4 m;
kg
13560
;
m3
V
Z2
0,3142
2 m;
m3
;
s
- Die Strömung wird verlustfrei angenommen.
, 'p und h idealisierte Größen.
- Aufgrund dieser Annahme sind V
Sie werden wegen einer besseren Übersicht nicht zusätzlich indiziert.
Lösungsschritte
1. p 2 p1
'p :
Den gesuchten Druckunterschied leitet man sich aus der Bernoullischen Gleichung her:
p p1
p1
c2
p2
c2
1 g Z1
2 g Z2 . Umgeformt nach 2
folgt zunächst
UW
2
UW
2
UW
p 2 p1
UW
g
Z1 Z2 c12 c 22
2
und nach Multiplikation mit der Wasserdichte UW
UW
c12 c 22 . Da der Volumenstrom bekannt ist,
2
können die beiden Geschwindigkeiten c1 und c2 mit dem Kontinuitätsgesetz
V
V
und somit c
bzw. c 2
ersetzt werden.
V
c1 A1 V
c2 A 2 V
1
2
1
A1
A2
S
S
Führt man noch die beiden Kreisrohrquerschnitte A1
D12 und A 2
D 22 ein, so
4
4
4 V
4 V
liefert dies c!
bzw. c 2
. Diese beiden neuen Ausdrücke für c1 und c2
2
S D 22
S D1
quadriert und in die Gleichung für p 2 p1 eingesetzt führt zu
2 ª 1
16 V
1 º
U
p 2 p1 = 'p = U W g Z1 Z2 W
« D 4 D 4 » und nach Kürzen
2
2
S
2¼
¬ 1
'p = p 2 p1 = U W
g
Z1 Z2 'p = U W
g
Z1 Z2 U W
8
S2
2
V
ª 1
1 º
« 4 4».
D
D
2¼
¬ 1
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
183
2. h:
Der Vergleich des Drucks auf der „linken“ Seite und „rechten“ Seite am tiefsten Punkt des
U-Rohrmanometers liefert:
p2 UW
g
Z2 b UHg
p2 UW
g
Z2
g b
p1 U W
p1 U W
Z1 U W
g
g
g
>Z1 h U Hg
b h @ UHg
g
g
h b oder
h . Umgeformt nach Größen
mit h folgt zunächst
UHg
g h
g h UW
UHg U W
g h
p 2 p1 U W
p 2 p1 U W
g
g
Z2 UW
g
Z1 oder
Z1 Z2 . Wird jetzt noch mit
1
g (UHg U W )
multipliziert, so führt dies zum gesuchten Ergebnis:
h
(p 2 p1 ) U W g ( Z1 Z 2 )
g (UHg U W )
3. 'p und h bei oben angegebenen Größen.
Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Zahlenwerte erhält man
'p :
'p = 1000 * 9,81
4 2 1000
8
S2
0,31422
1 º
ª 1
« 0,24 0,44 »
¬
¼
'p = 66507 Pa { 0,665 bar
h:
h =
66 507 1000 9,81 4 2
9,81 13 560 1000
h = 0,3805 m.
184
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Aufgabe 7.3 Trichter
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
¥5.
5 min
2 min
1 min
3 min
7 min
h
h
h
hh
h
5 Punkte
2 Punkte
1 Punkte
3 Punkte
7 Punkte
Ein in Abb. 7.3.1 dargestellter trichterförmiger Behälter mit veränderlichen Kreisquerschnitten ist mit Wasser befüllt. Das Wasser strömt an der Stelle 3 in atmosphärische
Umgebung. Bei bekannten geometrischen Abmessungen des Trichters an den Stellen 1, 2 und
3 und ihren Abständen zur Bezugsebene sollen die betreffenden Geschwindigkeiten und
Drücke ermittelt werden. Weiterhin ist der Flüssigkeitsanstieg im offenen Steigrohr an der
Stelle 1 zu bestimmen.
Abb. 7.3.1 Ausfluss aus Trichter
Lösung zu 7.3
Aufgabenerläuterung
Zur Lösung der Fragen nach den Geschwindigkeiten und Drücken kommen die Bernoullische
Gleichung, das Kontinuitätsgesetz und die Durchflussgleichung zur Anwendung. Die Frage
nach der Höhe im Steigrohr löst man mit dem statischen Druck an der Stelle 1 und den Druckanteilen im Steigrohr.
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
185
Gegeben:
Z0 ; Z1 ; Z2 ; Z3 ; D1; D 2 ; D3 ; p B ; U
Gesucht:
1.
2.
3.
4.
5.
Anmerkungen:
c 3 ; c1 ; c 2
p1
p2
h1
c3 ; c1 ; c 2 ; p1 ; p 2 ; h1 , wenn:
Z0
5 m ; Z1
4,2 m ; Z2
D1
11 cm ; D 2
3,8 m ; Z3
4,8 cm ; D3
3,3 m ;
7 cm ; p B
105 Pa ; U
1000
kg
m3
- Annahme verlustfreier Strömung.
- Das Trichtervolumen kann als sehr groß angenommen werden,
so dass c0 | 0 wird.
Lösungsschritte
1. c 3 ; c1 ; c 2
c3:
Es wird zunächst die Geschwindigkeit an der Stelle 3 ermittelt, da sie mit den vorgegebenen
Größen sofort lösbar ist.
Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 3:
p 0 c 02
p 3 c32
g Z0
g Z3
U
2
U
2
Mit den hier vorliegenden besonderen Gegebenheiten p 0
2
3
c
2
g
Z 0 Z3
p3
p B ; c0
0 folgt:
oder
c3
2 g
( Z 0 Z3 ) .
c1 :
Bei nun bekannter Geschwindigkeit c3 lassen sich c1 und c2 mit dem Kontinuitätsgesetz und
der Durchflussgleichung folgendermaßen bestimmen:
A3
umgeformt führt zu c
c3
Das Kontinuitätsgesetz V
c1 A1 V
c3 A 3 V
.
1
1
3
A1
S
S
D32 und A1
D12 eingesetzt liefern
Die Kreisquerschnitte A 3
4
4
c1
c3
D32
.
D12
186
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
c2:
Analog zu c1 folgt mit V
2
c2
A2
c3
A3
den Kreisquerschnitten A 3
S
4
D32 und A 2
S
4
c2
V
3
c3
und somit c
V
2
c3
A3
sowie
A2
D 22 :
D32
D 22
2. p 1 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 1:
p 0 c02
p1 c12
g Z0
g Z1 .
U
2
U
2
Die besonderen Gegebenheiten p 0
aufgelöst führt zunächst zu
p1
U
p B ; c0
pB
g
U
0 in die Gleichung eingesetzt und nach
Z0 Z1 c12
und nach Multiplikation mit der
2
Dichte U zum Ergebnis
p1
Z0 Z1 pB U g
p1
U
U
2
c12 .
3. p 2 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 2:
p 2 c 22
p 0 c 02
g Z0
g Z2 .
2
2
U
U
Die besonderen Gegebenheiten p 0
aufgelöst führt zunächst zu
p2
U
p B ; c0
pB
g
U
0 in die Gleichung eingesetzt und nach
Z0 Z2 c 22
und nach Multiplikation mit der
2
Dichte U zum Ergebnis
p2
pB U g
p2
U
Z0 Z 2 U
2
c 22 .
4. h 1 :
Dem statischen Druck an der Stelle 1 stehen im Steigrohr der barometrische Druck und der
hydrostatische Druck der Wassersäule gegenüber, also
p B U g h 1 oder umgeformt U g h1
p1
1
U g
, so lautet h1 vorläufig h1
p1 p B . Multipliziert man noch mit
p1 p B
. Den Druck p1 mit dem oben ermittelten
U g
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Zusammenhang ersetzt h1
ª
«¬p B U g
1
U g
h1
187
Z0 Z1 Z0 Z1 c12
2 g
U
2
º
c12 - p B » liefert
¼
.
5. c3 ; c1; c 2 ; p1 ; p 2 ; h1 , wenn:
Z0
pB
5 m ; Z1
4,2 m ; Z 2 3,8 m ; Z3
kg
5
10 Pa ; U 1000
.
m3
3,3 m ; D1
11 cm ; D 2
4,8 cm ; D3
Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält man:
5 3,3
c3:
c3
2 9,81
c1 :
c1
§7·
5,78 ¨ ¸
© 11 ¹
c2:
c2
§ 7 ·
5,78 ¨
¸
© 4,8 ¹
2
2,34
100 000 1000 9,81
1000
2
105110 Pa
5 4,2 p1
12,29
2,342
p2 :
p2
100 000 1000 9,81
p2
1000
12,292
2
36 250 Pa
h1
0,521 m
5 3,8 h1 :
h1
5 4,2 2,34 2
2 9,81
m
s
2
p1 :
p1
5,78
m
s
m
s
7 cm
188
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Aufgabe 7.4 Vertikaler Rohrausfluss
¥1.
¥2.
¥3.
hh
hh
h
7 min
3 min
4 min
7 Punkte
3 Punkte
4 Punkte
Am Ende einer senkrechten Rohrleitung strömt Flüssigkeit in die Atmosphäre. Die Lage des
Austritts Z1, der Rohraustrittsdurchmesser d1 und die Austrittsgeschwindigkeit c1 sind
bekannt. Auf welchen Durchmesser d2 verkleinert sich der Strahldurchmesser an der Stelle Z2
und welche Re-Zahl liegt dort vor?
Abb. 7.4.1 Vertikaler Ausfluss aus einer Rohrleitung
Lösung zu 7.4
Aufgabenerläuterung
Der Flüssigkeitsstrahl strömt ab der Stelle 1 ins Freie, ist also dann gleich bleibendem Atmosphärendruck ausgesetzt. Somit wird nach der Bernoullischen Gleichung aufgrund der
Ortshöhenverkleinerung eine Geschwindigkeitsvergrößerung erzeugt, was wiederum gemäß
Kontinuitäts- und Durchflussgleichung eine Querschnittsverkleinerung bewirkt.
Gegeben:
d1; c1; Z1; Z2; g; Q
Gesucht:
1. d 2
2. Re 2
3. d2; Re2 , wenn:
Z1
Anmerkungen:
2,5 m ; Z2
2,0 m ; d1
50 mm ; c1
1
m
;Q
s
1 10 6
- Verluste des Flüssigkeitsstrahls mit der umgebenden Luft werden
vernachlässigt.
m2
s
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
189
Lösungsschritte
1. d 2 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2:
p1 c12
g
2
U
p 2 c 22
g
2
U
Z1
Z2 . Mit dem gleich bleibenden Druck p1
p2
pB
c 22
c2
c12
umgestellt 2
g Z1 Z 2 und dann mit 2 multipliziert wird:
2
2
2
c 22 c12 2 g Z1 Z2 . Mittels Kontinuitätsgesetz und Durchflussgleichung muss nun
V
noch c2 wie folgt ersetzt werden: V
V
c1 A1 c 2 A 2 oder umgeformt
1
2
folgt, wenn nach
c2
c1
A1
. Quadriert erhält man dann c 22
A2
c12
A12
. Eingesetzt in die oben angegebene
A 22
Gleichung für c 22 führt zu
c12
A12
= c12 2 g
A 22
Z1 Z2 .
Nach Gliedern mit c 12 auf der linken Seite sortiert
c12
A12
c12 = 2 g
A 22
Z1 Z 2
und c 12 ausgeklammert liefert dies zunächst
·
§ A12
¨¨ 2 1¸¸ = 2 g Z1 Z 2 . Wird danach die gesamte Gleichung durch c12 dividiert
A
¹
© 2
A2
A12
2 g Z1 Z 2
1
und jetzt das Flächenverhältnis 12 abgetrennt, folgt
2
2
c1
A2
A2
c12
A12
A 22
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
·
¸¸ .
¹
Da man über A2 den Durchmesser d2 erhält, muss die
gesamte Gleichung auf ihre reziproke Form gebracht werden, also:
A 22
A12
A2
1
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
S
d 22
4
·
¸¸
¹
Mit den Kreisquerschnitten A1
.
S
4
d12 und
eingesetzt führt zunächst zu
2
A 22
A12
§S·
¨ ¸
©4¹
2
§S·
¨ ¸
©4¹
d 42
d
4
1
1
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
·
¸¸
¹
oder
d 42
d14
1
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
·
¸¸
¹
.
190
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Multipliziert man dann noch mit d14 und potenziert anschließend mit
1
, so kommt man zum
4
gesuchten Ergebnis:
d2
1
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
d1
4
·
¸¸
¹
.
2. Re 2 :
Mit der Definition der Reynoldszahl bei kreisförmigen Strömungsquerschnitten Re
c2
lautet die gesuchte Reynoldszahl an der Stelle 2 Re 2
bekannt. Die Geschwindigkeit c2 lautet (s.o.) c 2
c2
c1
c2
c1
c1
d2
Q
A1
A2
c d
Q
. Hierin ist d2 gemäß Pkt. 1
c1
S
4
S
4
d12
und somit
d
2
2
d12
. Das Ergebnis für d2 (s.o.) quadriert und eingefügt führt zu
d 22
d12
oder c 2
c1
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
·
¸¸ .
¹
1
§
2 g Z1 Z 2 ·
¸¸
¨¨1 c12
¹
©
c2 d 2
Ersetzt man in Re 2
nun c2 und d2 mit den neuen Zusammenhängen, so erhält man
Q
d12
c1
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
·
¸¸
¹
d1
4
Re 2
·
¸¸
¹
oder
Q
Re 2
3. d2; Re2 , wenn:
1
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
Z1
c1
2,5 m ; Z2
d1
Q
4
§
2 g Z1 Z 2
¨¨1 c12
©
2,0 m ; d1
50 mm ; c1
·
¸¸ .
¹
1
m
;Q
s
1 10 6
m2
s
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Bei dimensionsgerechtem Gebrauch der gegebenen Größen folgt für
d2 :
d2
0,050
4
12
= 0,02757 m
[12 2 9,81 (2,5 2)]
d2
27,57 mm
Re2 :
Re 2
1 0,05
1
4
2 9,81 2,5 2 ·
§
6
¨1 ¸ 10
12
©
¹
Re 2 = 90662
191
192
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Aufgabe 7.5 Hakenrohr
¥1.
¥2.
h
h
5 min
1 min
5 Punkte
1 Punkte
Ein hakenförmig gebogenes Rohr mit dem Querschnitt A ist mit seinem unteren Ende im
Abstand h in eine mit c f bewegte Flüssigkeit eingetaucht. Die Achse dieses unteren Rohrabschnitts verläuft parallel zur Anströmrichtung. Am oberen Ende des Rohrs im Abstand H
von der Flüssigkeitsoberfläche fließt bei genügend großer Zuströmgeschwindigkeit c f ein
ins Freie. Wie groß muss c bemessen werden, um bei den bekannten geoVolumenstrom V
f
ausfließen zu lassen? Des
metrischen Abmessungen einen gewünschten Volumenstrom V
Weiteren wird die Mindestgeschwindigkeit cf gesucht, ab der die Strömung im Rohr gerade
min
einsetzt.
Abb. 7.5.1 Angeströmtes Hakenrohr
Lösung zu 7.5
Aufgabenerläuterung
Bei genügend großer Zuströmgeschwindigkeit cf liegt eine Durchströmung des Hakenrohrs
vor. Die Frage nach dieser Geschwindigkeit lässt sich mittels Bernoullischer Gleichung
entlang der Stromlinie an den Stellen x und 1 sowie mit der Durchflussgleichung lösen.
Gegeben:
U;g;A;H
Gesucht:
1. c f
2.
cf
min
!0
, wenn V
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Anmerkungen:
193
- Annahme verlustfreier Strömung im Rohr.
- Die Stelle x befindet sich genügend weit vor dem Rohreintritt und
die Stelle 1 im Rohraustritt.
Lösungsschritte
1. c f :
! 0 ) an den Stellen x
Bernoullische Gleichung (bei vorhandener Strömung im Rohr, also V
und 1 :
p1 c12
p x c 2x
g Zx
g Z1
2
2
U
U
c 2x
aufgelöst führt dies zu:
2
c 2x
c12 p1 p x
g Z x g Z1
U
U
2
2
Der statische Druck an der Stelle x lautet p x p B U g h und der Druck p1 = pB.
Oben eingesetzt und c x mit cf ersetzt erhält man:
Nach
c f2
2
c12 p B
p
( B g
U
U
2
h) g
( Z1 Z x )
Des Weiteren ist gemäß Abb. 7.5.1 Z1 Z x = H h . Dann wird
cf2
2
c12
g h g (H h )
2
cf2
2
oder
c12
g
2
c f2
:
2
H
Multiplikation mit 2 und anschließendes Wurzelziehen liefert zunächst
c12 2 g H .
cf
Führt man noch die Durchflussgleichung und hieraus c1
cf
V
ein, so lautet das Ergebnis:
A
2
V
2 g H
A2
2. cf :
min
Die Mindestanströmgeschwindigkeit cf , bei der gerade ein Volumenstrom durch das
min
Hakenrohr fließt, erhält man aus der Bedingung c1 > 0 und folglich auch c12 > 0. Mit dem
gefundenen Ausdruck cf2 c12 2 g H , den man nach c12 umformt zu
c12 cf2 2 g H , lässt sich auch formulieren: c f2 2 g H > 0 oder auch
cf2 min > 2 g H . Nach dem Wurzelziehen lautet das gesuchte Ergebnis:
cf min !
2 g H
194
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Aufgabe 7.6 Venturimeter
¥1.
¥2.
hh
h
12 min
2 min
12 Punkte
2 Punkte
Das in Abb. 7.6.1 dargestellte Venturimeter wird zur Messung eines Volumenstroms, im
vorliegenden Fall von Luft verwendet. Seine Wirkung beruht in der Druck- und
Geschwindigkeitsänderung zwischen den Stellen 1 und 2. Hier erfolgt auch die erforderliche
Druckentnahme. Als Druckmessgerät dient z.B. ein mit Wasser befülltes U-Rohrmanometer.
Bei gegebenen Abmessungen des Messgeräts, bekannten Fluiddichten und vorliegendem
Manometerausschlag soll der Volumenstrom ermittelt werden.
Abb. 7.6.1 Horizontales Venturimeter
Lösung zu 7.6
Aufgabenerläuterung
Die Wirkung eines Venturimeters beruht, wie bei den Messdüsen und den Messblenden, auf
der Drosselung des Drucks bei sich verengenden Querschnitten. Diese Drosselung des Drucks
wird mittels Bernoullischer Gleichung erfasst, wobei die gleichzeitige Geschwindigkeitsänderung in umgekehrter Richtung zur Druckänderung verläuft. Unter Zuhilfenahme des
Kontinuitätsgesetzes und der Durchflussgleichung gelingt es, den zu ermittelnden Volumenstrom in Abhängigkeit von der Druckänderung zu beschreiben. Die Zuordnung des Druckunterschieds zum Manometerausschlag gelingt mit einer Gleichgewichtsbetrachtung des
Drucks im U-Rohr.
Gegeben:
D1 ; D 2 ; U W ; UL ; h ; g
Gesucht:
1.
2.
V
, wenn :
V
D1
200 mm; D 2
100 mm; U W
1000
kg
; UL
m3
1,2
kg
;h
m3
800 mm
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Anmerkungen:
195
- Annahme einer verlustfreien, inkompressiblen Strömung bei
horizontaler Anordnung.
, p und h idealisierte Größen.
- Aufgrund dieser Annahme sind V
2
Sie werden wegen einer besseren Übersicht nicht zusätzlich indiziert.
- Index „L“ steht für Luft, Index „W“ steht für Wasser.
Lösungsschritte
:
1. V
Die Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2 angesetzt führt zu
p1 c12
p 2 c 22
g Z1
g Z2 . Bei der horizontalen Lage ist folglich Z1 Z2 .
2
2
UL
UL
Geschwindigkeitsenergiegrößen und Druckenergiegrößen jeweils auf eine Seite gestellt
c2
c 22 c12
p1
p
2 , und dann auf der linken Seite 2 ausgeklammert liefert zunächst
UL UL
2
2
2
c 22
2
ª c12
«1 2
¬
2º
»
c 22 ¼
1
UL
p1 p 2 . Im Klammerausdruck links muss nun noch das
c12
ersetzt werden. Dies gelingt mit dem Kontinuitätsgesetz
c 22
c
A2
A 2 oder umgeformt 1
. Eingefügt in o.g. Gleichung führt
c2
A1
Geschwindigkeitsverhältnis
V
1
V
2
dies zu
c1
c2
ª A 22 º
«1 »
¬ A1 ¼
c 22
2
S
4
und A 2
c 22
2
A1
4
· º
¸¸ »
¹ »¼
1
UL
UL
UL
c 22
2
ª §S
« ¨
«1 © 4
« §S
« ¨
¬ ©4
2
· º
D 22 ¸ »
¹ »
2
· »
D12 ¸ »
¹ ¼
p 1 p 2 . Die Gleichung mit
2
liefert zunächst c22 =
2
p1 p 2 . Die Kreisquerschnitte mit A1
D 22 ersetzt, ergibt
ª
§D
«1 ¨¨ 2
© D1
¬«
c2
1
UL
p1 p 2
ª § D ·4 º
«1 ¨¨ 2 ¸¸ »
«¬ © D1 ¹ »¼
1
UL
p1 p 2
S
4
D12
oder
2
multipliziert
ª § D ·4 º
2
¸ »
«1 ¨¨
D ¸
¬« © 1 ¹ ¼»
, oder wenn die Wurzel gezogen wird:
p1 p 2
. Unter Verwendung der Durchflussgleichung an der Stelle 2
ª § D ·4 º
2
¸ »
«1 ¨¨
D ¸
¬« © 1 ¹ ¼»
196
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
V
2
= c A mit A
V
2
2
2
V
S
4
2
D 22
UL
S
4
D 22 erhält man als vorläufiges Ergebnis
p1 p 2
.
ª § D ·4 º
«1 ¨¨ 2 ¸¸ »
«¬ © D1 ¹ »¼
Der Druckunterschied p1 p 2 muss nun noch mit den Größen des U-Rohrmanometers in
Verbindung gebracht werden. Hierbei wird davon ausgegangen, dass die Luftsäulen in den
Zuleitungen und über den Wassersäulen im Manometer ohne Einfluss sind. Legt man
gedanklich einen horizontalen Schnitt in Höhe der linken Wassersäule durch das U-Rohr, so
folgt p1 p 2 U W g h . Nach p1 p 2 aufgelöst folgt p1 p 2 = U W g h . Diesen
eingefügt, liefert das Resultat
neuen Ausdruck für p1 p 2 in V
V
S
4
D 22
2
UW
UL
g
h
ª § D ·4 º
«1 ¨¨ 2 ¸¸ »
«¬ © D1 ¹ »¼
.
bei den gegebenen Zahlenwerten:
2. V
D1
100 mm; U w
200 mm; D 2
1000
kg
; UL
m3
1,2
kg
;g
m3
9,81
m
; h
s2
:
Bei dimensionsgerechtem Gebrauch der Größen in der Gleichung liefert dies für V
V
S
4
0,10 2
2
1000
1,2
9,81 0,80
ª § 0,1 · 4 º
¸ »
«1 ¨
«¬ © 0,2 ¹ »¼
3
= 0,9277 m
V
s
800 mm
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
197
Aufgabe 7.7 Rohrleitung ohne und mit Diffusor
¥1.
¥2.
¥3.
3 min
2 min
10 min
h
h
hh
3 Punkte
2 Punkte
10 Punkte
Gemäß Abb. 7.7.1 fließt Wasser aus einem offenen Behälter stationär ins Freie. Der Ausfluss
erfolgt durch eine Rohrleitung mit dem Durchmesser d. Der Flüssigkeitsspiegel im Behälter
weist einen gleich bleibenden Abstand H von den Stellen 2 und 3 auf. Es wird angenommen,
an der Stelle 2 ohne
dass die Strömung verlustfrei erfolgt. Wie groß ist der Volumenstrom V
2
Diffusor und welche Größe erreicht V3 an der Stelle 3, wenn der Diffusor mit der Rohrleitung
verbunden wird? Des Weiteren soll das Verhältnis H D / d im Fall des angeschlossenen
Diffusors ermittelt werden, wenn an der Stelle 1 zur Vermeidung des Strömungsabrisses der
dort vorliegende statische Druck den Dampfdruck nicht unterschreiten darf.
Abb. 7.7.1 Wasserbecken mit Rohrleitung
Lösung zu 7.7
Aufgabenerläuterung
Zur Ermittlung des Volumenstroms ist die Durchflussgleichung anzuwenden, da bei beiden zu
und V
die jeweiligen Austrittsgeschwindigkeiten und die durchbestimmenden Größen V
2
3
strömten Querschnitte bekannt sind. Das weiterhin gesuchte Durchmesserverhältnis lässt sich
mittels Kontinuitätsgesetz und der Bernoullischen Gleichung herleiten.
198
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Gegeben:
U; g ; h ; H ; d ; D ; pB ; pDa. ;
Gesucht:
1.
2.
V
2
V
3.
H
Anmerkungen:
ohne angeschlossenen Diffusor
mit angeschlossenem Diffusor
3
D
d
mit angeschlossenem Diffusor, wenn p1 ! p Da . .
- Annahme verlustfreier Strömung in der Rohrleitung und im Diffusor.
- Z0 = konstant, d.h. c0 = 0.
Lösungsschritte
:
1. V
2
an der Stelle 2 erhält man aufgrund der Durchflussgleichung
Den Volumenstrom V
2
V2 c 2 A 2 . Hierin lässt sich die Austrittsgeschwindigkeit c2 bei dem offenen System und
angenommener verlustfreier Strömung einfach mit dem Torricellischen Gesetz bestimmen:
c2
A2
2 g H . Der bei der Stelle 2 weiterhin benötigte Kreisrohrquerschnitt A2 lautet:
S
zu:
d2 .
Beide Größen in die Durchflussgleichung eingefügt liefern V
2
4
S
4
V
2
:
2. V
3
d2
2 g
H
an der Stelle 3 bei jetzt installiertem Diffusor erhält man aufgrund der
Den Volumenstrom V
3
Durchflussgleichung V
c A . Da die Stelle 3 auf derselben Höhe Z3 = Z2 liegt, und
3
3
3
folglich der Abstand H des Flüssigkeitsspiegels gleich bleibt, ist auch die Austritts2 g H . Der am
geschwindigkeit nach Torricelli c3 gleich c2 und somit c3 c 2
S
Diffusoraustritt größere Querschnitt A 3
D 2 ruft – bei gleichen Geschwindigkeiten –
4
hervor:
einen entsprechend größeren Volumenstrom V
3
V
3
3. H
S
4
D2
2 g
H
D
:
d
Die Vermeidung des Strömungsabrisses an der gefährdeten Stelle 1 wird gewährleistet, wenn
der dortige statische Druck immer größer als der Flüssigkeitsdampfdruck ist, also p1 ! p Da .
Einen entscheidenden Einfluss auf p1 hat die an gleicher Stelle vorliegende Geschwindigkeit
c1. Diese lässt sich bei installiertem Diffusor wie folgt ermitteln.
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
199
liegt in gleicher Größe auch an der Stelle 1 vor und somit lautet
Der Volumenstrom V
3
V
3
und den
. Fügt man jetzt das Ergebnis für V
V
c1 A1 oder nach c1 umgeformt c1
3
3
A1
S
D2
2 g H
S
V
2
3
4
Querschnitt A1 A 2
oder
d ein, so führt dies zu c1
S
A1
4
d2
4
D2
c1
2 g H.
d2
Den gesuchten statischen Druck p1 kann man mit der Bernoullischen Gleichung an den
Stellen 0 und 1 wie folgt herleiten:
p
p1 c12
p 0 c02
g Z0
g Z1 . Nach 1 umgeformt und unter Berücksichtigung der
2
2
U
U
U
h führt dies zu
hier vorliegenden besonderen Gegebenheiten p 0 p B ; c0 0 ; Z0 Z1
p B c12
p B c12
p1
p B c12
g Z0 g Z1
g Z0 Z1
g h.
U
U
U
U
2
2
2
Mit der Dichte U multipliziert lautet zunächst der gesuchte Druck p1:
U
p1 p B U g h c12 . Setzen wir hierin nun die oben bestimmte Geschwindigkeit c1
2
ein, benutzen gleichzeitig die Forderung p1 ! p Da
p1
pB U g
h
U
2
§D·
¨ ¸
©d¹
und stellen nach dem Term mit
U
2
§D·
¨ ¸
©d¹
4
H ! p Da
2 g
D
um, so folgt
d
4
2 g H p B p Da U g h .
Nach Multiplikation mit
Potenziert mit
1
§D·
erhält man zunächst: ¨ ¸
U g H
©d¹
1
führt dies zum Ergebnis:
4
H
§D·
¨ ¸
©d¹
4
p B p Da
h
U g H H
4
<
p B p Da
h
.
U g H H
200
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Aufgabe 7.8 Druckbehälter mit einem Zulauf und zwei Abflüssen
¥1.
¥2.
¥3.
hh
hh
h
4 min
5 min
4 min
4 Punkte
5 Punkte
4 Punkte
In Abb. 7.8.1 ist ein Wasserbehälter zu erkennen, in den kontinuierlich ein Gesamtvolumen einfließt und bei dem an den beiden Austrittsstellen zwei verschieden große
strom V
und V
abfließen. Die Flüssigkeitshöhe Z0 im Druckbehälter soll sich
Teilvolumenströme V
1
2
dabei nicht ändern. Für die Ausströmvorgänge in atmosphärische Umgebung wird über dem
Wasserspiegel ein geeigneter statischer Druck p 0 erforderlich.
, der
Bei bekannten Abmessungen der Abflussrohre d, h1 und h2, dem Teilvolumenstrom V
1
Flüssigkeitsdichte U, dem Atmosphärendruck pB und der Fallbeschleunigung g soll zunächst
ermittelt werden.
der Druck p 0 und danach der zweite Teilvolumenstrom V
2
Abb. 7.8.1 Druckbehälter
Lösung zu 7.8
Aufgabenerläuterung
Die Lösung der o.g. zwei Fragen wird im Ansatz jeweils mittels Bernoullischer Gleichung
anzugehen sein, wobei sie getrennt an den Stellen 0 und 1 bei der Ermittlung von p0 bzw. an
-Bestimmung verwendet werden muss. Dies leuchtet schnell
den Stellen 0 und 2 bei der V
2
ein, wenn man sich klar macht, dass im Fall des gesuchten Drucks p0 an den Stellen 0 und 1
und A fest). Mit dem auf diese Weise
alle Größen bis auf p0 bekannt sind (c1 liegt ja mit V
1
ermittelten Druck p0 resultiert dann c2 (und folglich bei gegebenem Querschnitt A der
) aus der Energiegleichheit an den Stellen 0 und 2. Des
gesuchte Teilvolumenstrom V
2
Weiteren wird von der Durchflussgleichung Gebrauch gemacht.
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Gegeben:
; U ; p ;g
d ; h1 ; h 2 ; V
1
B
Gesucht:
1.
201
p0
V
2.
2
3. Pkt.1 y 2 , wenn:
= 1,585
d = 12 mm; h1 = 1,4 m; h 2 = 3,7 m; V
1
l
kg
; U = 1000
;
m3
s
p B = 100000 Pa.
Anmerkungen:
- Annahme verlustfreier Strömung in beiden Rohren.
- Annahme einer konstanten Flüssigkeitsspiegelhöhe Z0.
Lösungsschritte
1. p 0 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 1:
p 0 c02
p1 c12
g Z0
g Z1 .
U
U
2
2
Mit den besonderen Gegebenheiten im vorliegenden Fall p1 p B ; ( Z1 Z0 ) h1 ; c 0 0
erhält man zunächst
p0
p B c12
p0
p B c12
g h1 . Die Geschwindigkeit c1
g ( Z1 Z0 ) oder
U
U
U
U
2
2
V
1
und dem gegebenen Rohrquerlässt sich mittels umgestellter Durchflussgleichung c1
A
2
S
4 V
16 V
1
1
schnitt A
d 2 wie folgt angeben: c1
oder quadriert c12
.
2
2
4
S d
S d4
c12 oben eingesetzt und die Gleichung noch mit der DichteU multipliziert führt zu
p0
pB U
2
2 16
V
1
g h1 U oder zum Ergebnis
S2 d 4
p0
pB 8
S2
U
1
d4
2+ U g h .
V
1
1
:
2. V
2
bei der Stelle 2 liefert die Durchflussgleichung V
Den Volumenstrom V
2
2
c2
A mit
S
S
d 2 zu V
d 2 c 2 . Hierin muss noch die Geschwindig2
4
4
keit c2 aus bekannten Größen an den Stellen 0 und 2 mittels Bernoullischer Gleichung
dem Rohrquerschnitt A
202
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
p 0 c 02
g
U
2
Z0
p 2 c 22
g
U
2
p0
U
Z2 oder
p 2 c 22
g
U
2
( Z2 Z0 ) bestimmt
werden. Setzt man die besonderen Größen an diesen Stellen
c 22
um, so folgt
2
p2
p B ; ( Z2 Z0 )
c 22
2
(p 0 p B )
g h 2 . Nach Multiplikation mit 2 und Wurzelziehen erhält man:
U
h 2 ; c0
0 ein und stellt die Gleichung nach
ª p pB
º
eingefügt
g h 2 » . Diese Geschwindigkeit in die Gleichung für V
2 « 0
2
U
¬
¼
führt zum Ergebnis:
c2
V
2
S
4
d2
ª p pB
º
2 « 0
g h2 »
U
¬
¼
= 1,585
3. Pkt.1 y 2 , wenn: d = 12 mm; h1 = 1,4 m; h 2 = 3,7 m; V
1
l
kg
; U = 1000
;
m3
s
p B = 100000 Pa.
Bei dimensionsgerechter Verwendung des gegebenen Zahlenmaterials folgt:
p0 :
p 0 = 100 000 +
8
S2
1000
1
0,012 4
0,0015852 1000 9,81 1,4
p 0 = 211937 Pa
:
V
2
V
2
S
4
0,012 2
ª (211937 100000)
º
9,81 3,7 »
2 «
1000
¬
¼
3
= 0,001391 m
V
2
s
{ 1,391
l
s
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
203
Aufgabe 7.9 Behälter mit Kreisscheibendiffusor
¥1.
¥2.
3 min
5 min
h
hh
3 Punkte
5 Punkte
Aus einem großen Behälter fließt Wasser zwischen zwei kreisförmigen Scheiben mit dem
Außendurchmesser D2 und dem Abstand h an der Stelle 2 ins Freie. Der von den Scheiben
gebildete zylindrische Raum wird dabei radial von innen nach außen durchströmt. Der
Abfluss erfolgt über die offene Zylindermantelfläche. Die Flüssigkeitsoberfläche im Behälter
soll einen zeitlich unveränderlichen Abstand H zur Bezugsebene aufweisen. Welcher
stellt sich ein, und wie groß wird der Druck px am Radius r?
Volumenstrom V
Abb. 7.9.1 Offener Behälter mit Kreisscheibendiffusor
Lösung zu 7.9
Aufgabenerläuterung
Mittels Bernoullischer Gleichung lässt sich die Austrittsgeschwindigkeit an der Stelle 2
aufgrund der gegebenen Größen bestimmen. Bei ebenfalls bekannter Austrittsfläche gelangt
man unter Verwendung der Durchflussgleichung zum gesuchten Volumenstrom.
Die Ermittlung des statischen Drucks an einem beliebigen Radius im Diffusor erfolgt
ebenfalls mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung, dem Kontinuitätsgesetz sowie der
Durchflussgleichung.
Gegeben:
Gesucht:
H ; h ; R 2 ; pB ; U ; g
1. V
2. px (r)
204
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Anmerkungen:
- Annahme verlustfreier Strömung.
- H = konstant, d.h. c1 = 0 .
- Stelle x genügend weit vom Staupunkt S entfernt, so dass dort gilt:
c x (r ) v
1
.
r
Lösungsschritte
:
1. V
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2:
p1 c12
p 2 c 22
g Z1
g Z2 . Mit den besonderen Gegebenheiten im vorliegenden
U
U
2
2
Fall p1 p B ; c1 0 ; p 2 p B ; Z1 H ; Z2 0 erhält man zunächst
c 22
2
c2
g H
und nach dem Wurzelziehen
2 g H .
c A
V
2
2
A 2 S D2
h
Dies entspricht auch der Torricellischen Gleichung.
Volumenstrom bei 2
Durchströmter Querschnitt bei 2 (offene Mantelfläche)
Mit diesen Zusammenhängen lautet der gesuchte Volumenstrom:
V
S D2
h
2 g H
2. p x r :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und x:
p1 c12
p r
c2 r
g Z1 = x x
g Zx r . Mit den besonderen Gegebenheiten im vor2
U
U
2
c1 0
Z1 H Zx (r ) 0 reduziert sich die Gleichung auf
liegenden Fall p1 p B
px r
c2 r
x
2
U
pB
g
U
H
p x (r )
U
pB
g
U
H
Größen ersetzt werden.
oder umgestellt nach der gesuchten Druckenergie
c 2x r
. Hierin muss noch die Geschwindigkeit c x r mit bekannten
2
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
205
cx r :
Man macht zur Ermittlung von c x r sinnvollerweise von der Kontinuitätsgleichung
cx r A x r
V
c 2 A 2 . Nach c x r umgestellt führt dies bei
Gebrauch, d.h. V
x
2
jetzt bekannter Geschwindigkeit c2 zunächst zu
A2
.
Ax r
A2
2 S R2 h
Ax r
2 S r h
cx r
Die durchströmten zylindrischen Mantelflächen wie folgt ersetzt
c2
durchströmter Querschnitt bei 2
durchströmter Querschnitt bei x
und oben eingefügt liefern als Resultat für c x r :
cx r
c2
2 S R2 h
2 S r h
oder
R 22
.
r2
pB
1
g H
U
2
c 22
px r
U
pB
g
U
2 g
H
1
2
R2
r
p x (r )
verwendet führt zu
U
Diesen Ausdruck für c x r jetzt in
px r
U
cx r = c2
H
Hierin muss nun noch c 22
R 22
r2
2 g H ausgetauscht
und die Glieder mit der Höhe H
ª
pB
R2 º
g H «1 22 » . Nach der Multiplikation mit der
r ¼
U
¬
DichteU kennt man den gesuchten Druck p x r wie folgt:
zusammengefasst werden:
px r
U
px r
pB U g
H
º
ª R 22
« r 2 1»
¼
¬
206
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Aufgabe 7.10 Wasseruhr
¥1.
12 min
hhh
12 Punkte
Im Altertum (z.B. z.Zt. des Pharao Amenophis III um 1400 v. Ch.) wurden u.a. so genannte
Auslaufwasseruhren zur Zeitmessung verwendet. Hierbei war es erforderlich, dass sich beim
Auslaufvorgang des Wassers aus dem offenen Gefäß eine möglichst gleich bleibende
Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels einstellte. So konnte man an den in gleichen
Abständen angebrachten Markierungen die jeweiligen Zeitabschnitte ablesen. In Abb. 7.10.1
ist der Längsschnitt durch eine solche Auslaufwasseruhr zu erkennen. In den Horizontalebenen liegen jeweils Kreisquerschnitte vor. Ermitteln Sie bei vorgegebenem Austrittsquerschnitt und bekannter Sinkgeschwindigkeit die Innenkontur des Gefäßes in der Form
r = f (z).
Abb. 7.10.1 Längsschnitt durch die Wasseruhr
Lösung zu 7.10
Aufgabenerläuterung
Im Unterschied zu zahlreichen Aufgaben mit konstant angenommener Flüssigkeitshöhe im
Behälter soll im vorliegenden Fall von einer gleich bleibenden Sinkgeschwindigkeit des
Flüssigkeitsspiegels ausgegangen werden, d.h. c(Z0) = c(Z1) = c(z) { c. In der
Austrittsöffnung A2 liegen dagegen zu verschiedenen Zeiten unterschiedliche Flüssigkeitshöhen und folglich (Torricellische Gleichung) auch veränderliche Austrittsgeschwindigkeiten
c 2 (z) vor. In Verbindung mit dem konstanten Querschnitt A2 stellen sich entsprechend
veränderliche Volumenströme ein, die auch in den jeweiligen Höhen Z0, Z1, z, … vorliegen.
(z) kann bei der vorausgesetzten gleich bleibenden SinkDieser Veränderlichkeit von V
geschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels c(z) { c nur durch eine geeignete Veränderung des
Querschnitts A(z) Rechnung getragen werden. Somit wird neben dem Kontinuitätsgesetz und
der Durchflussgleichung von der Bernoullischen Gleichung Gebrauch gemacht.
Gegeben:
c ; r2 ; g
Gesucht:
r(z)
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Anmerkungen:
207
- Annahme verlustfreier Strömung.
- Die Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels ist konstant, also
c(Z0) = c(Z1) = c(z) { c.
§ wc ·
- Annahme quasi-stationärer Strömung, d.h. ³ ¨ ¸ ds = 0.
© wt ¹
Lösungsschritte
z = V
z . Mit den
Die Kontinuitätsgesetz z. Zt. t an der Stelle z und der Stelle 2 lautet: V
2
z = c z A z und V
z
c
z
A
erhält
man
dann
zunächst
Durchflussgleichungen V
2
2
2
c z A z = c2 z A 2 . Bei den vorausgesetzten kreisförmigen Querschnitten folgt mit
Az
S r 2 z und A 2 S r2 durch Einfügen in oben stehender Gleichung
c z S r 2 z = c 2 z S r 2 2 . Nach Kürzen entsteht:
2
cz
r 2 z = c2 z
r 22
Die Bernoullische Gleichung z. Zt. t an den Stellen z und 2 betrachtet hat die Form:
c2 z
pz
p 2 c 22 z
g z
g Z2
2
2
U
U
Mit den hier vorliegenden besonderen Gegebenheiten p z
pB ; p2
p B ; Z2
0 folgt
2
2
c z
c2 z
oder umgeformt c 22 z c 2 z
2 g z.
g z
2
2
Ersetzt man nun c2 z aus oben gefundenem Ergebnis der Kontinuitätsgleichung mit
c2 z = c z
c2 z
r2 z
r22
und quadriert folglich c 22 z = c 2 z
r4 z
- c2 z = 2 g
r24
r4 z
, so führt dies zu
r24
z . Nach Ausklammern von c 2 z erhält man:
º
ª r4 z
« r 4 1» = 2 g z
¼
¬ 2
c z ist die konstant vorausgesetzte Sinkgeschwindigkeit. Vereinfachend setzt man c z { c .
c2 z
Dividiert man nun noch die Gleichung durch c 2 z { c 2 , so erhält man zunächst
r4 z
r24
- 1 =
2 g z
. Danach so umgeformt, dass das Radienverhältnis allein steht
c2
2 g z
2 g zº
ª
und dann mit r24 multipliziert liefert r 4 z
.
r24 «1 2
c
c 2 »¼
¬
1
Nach Potenzieren mit dem Exponenten erhält man das gesuchte Ergebnis wie folgt:
4
r4 z
r24
= 1+
rz
r2
4
1
2 g z
c2
208
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Aufgabe 7.11 Ausfluss aus zylindrischem Behälter
¥
hhh
14 min
14 Punkte
Ein flüssigkeitsgefüllter, zylindrischer Behälter weist in seinem Boden eine kreisförmige
Öffnung auf, durch die Flüssigkeit ins Freie ausfließt. Der Austrittsquerschnitt ist gut
abgerundet, so dass keine Strahleinschnürung vorliegt. Zur Zeit t = 0 befindet sich die
Oberfläche in einer Höhe Z0 über der Bezugsebene und sinkt mit der Zeit t > 0 infolge des
Ausströmens ab. Zur Zeit t = t1 erreicht der Flüssigkeitsspiegel die Höhe Z1. Gesucht wird die
Zeit t1, bis die Lage Z1 erreicht ist.
Abb. 7.11.1 Behälter mit absinkendem Flüssigkeitsspiegel
Lösung zu 7.11
Aufgabenerläuterung
Bei vielen Ausströmvorgängen ist der Flüssigkeitsbehälter und das darin befindliche Volumen
sehr groß, so dass die Höhe im Behälter während des Ausfließens näherungsweise konstant
angenommen werden darf. Dies trifft exakt aber nur dann zu, wenn das ausströmende Fluid
durch ein gleich großes kontinuierlich ersetzt wird. Im vorliegenden Fall handelt es sich
jedoch um ein relativ kleines Volumen, bei dem die ausfließende Flüssigkeit zu einer zeitlich
veränderlichen Spiegelhöhe z(t) und zeitlich veränderlichen Geschwindigkeiten cz(t) führt.
Zur Zeit t = 0 als Startpunkt der Zeitzählung befindet sich der Flüssigkeitsspiegel an der Stelle
Z0 und weist dort die Geschwindigkeit c0(t = 0) auf. Zur Zeit t an der Stelle z sind dies dann
cz(t) und z(t). An der Stelle 2 mit Z2 = 0 als Bezugsebene ist zur selben Zeit t die
Geschwindigkeit c2 (t) festzustellen. Unter Annahme einer quasi-stationären Strömung, d.h.
§ wc ·
die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ist klein und folglich der Term ³ ¨ ¸ ds
© wt ¹
vernachlässigbar, kann als Ansatz die Bernoulligleichung der stationären Strömung verwendet
werden.
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
Gegeben:
Z0 t
Gesucht:
t1 (bis der Flüssigkeitsspiegel Z1 erreicht hat)
Anmerkungen:
209
0 ; A0 ; A 2 ; Z1 t1
- Keine Verluste.
- Keine Strahleinschnürung durch Kantenabrundung.
- Alle Größen, die sich mit der Zeit t ändern, müssten entsprechend
gekennzeichnet werden, z.B. c 2 t , z (t) usw. Der Einfachheit halber
wird jedoch nur c 2 , z , usw. verwendet.
Lösungsschritte
Bernoulligleichung zur Zeit t zwischen den Stellen z und 2.
p z c 2z
g
2
U
z
p 2 c 22
g
2
U
Z2 .
Mit den hier vorliegenden Gegebenheiten
c 2z
c 22
g z
.
2
2
Hieraus erhält man durch Multiplikation mit 2 und Umstellung nach den Geschwindigkeiten
pz = p2 = pB und Z2 = 0 vereinfacht sich die Gleichung zu
c 22 c 2z
2 g
z oder c 2z ausgeklammert
c 22
1 @ 2 g z.
c 2z
An den Stellen z und 2 durchströmt aus Kontinuitätsgründen der gleiche Volumenstrom die
c A
Querschnitte Az = A0 und A2. Demzufolge wird mit V
c2 A 2
z
0
c2
A0
.
In oben stehende Gleichung eingesetzt entsteht dann
cz
A2
c 2z
c 2z
c 2z
cz
cz
>
ª§ A · 2
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1» 2 g z
A
»¼
¬«© 2 ¹
2 g z
.
º
ª§ A · 2
0
¸¸ 1»
«¨¨
»¼
«¬© A 2 ¹
2 g z
ª§ A · 2
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
«¬© A 2 ¹
»¼
2 g
ª§ A · 2
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
«¬© A 2 ¹
»¼
z .
oder mit c 2z auf einer Gleichungsseite
Jetzt noch die Wurzel gezogen führt zu
oder auch
210
7. Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme
dz
. Das negative Vorzeichen
dt
resultiert aus der entgegen z-Koordinate gerichteten Geschwindigkeit. Es wird also
Die Geschwindigkeit c z ist aber nichts anderes als c z = -
-
2 g
dz
dt
z.
º
ª§ A · 2
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
»¼
«¬© A 2 ¹
Um eine Integration zu ermöglichen, wird mit
-
2 g
dz
z
dt
multipliziert. Damit gelangt man zu
z
dt .
º
ª§ A · 2
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
»¼
«¬© A 2 ¹
Die Integration muss nun, um die Zeit t1 zu ermitteln, wie folgt durchgeführt werden:
Z1
³
Z0
t1
2 g
dz
z
ª§ A · 2
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
«¬© A 2 ¹
»¼
Z1
³ dt
oder
t 0
³z
1
2
2 g
dz
ª§ A · 2
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
«¬© A 2 ¹
»¼
Z0
t1
³ dt .
t 0
Die Integration gemäß nachstehender Schritte führt zunächst zu:
Z0
1
2
z
1
2
2
z
Z0
Z1
2
>
Z0 Z1
@
2 g
ª§ A ·
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
«¬© A 2 ¹
»¼
2
Z1
t
2 g
t1
t 0
ª§ A · 2
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
«¬© A 2 ¹
»¼
Somit lautet die gesuchte Zeit t1 :
t1
2
2 g
ª§ A · 2
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
«¬© A 2 ¹
»¼
>
t1
Z0 Z1
2
g
@
oder auch
ª§ A · 2
º
«¨¨ 0 ¸¸ 1»
«¬© A 2 ¹
»¼
>
Z0 Z1
@
t1
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
Insbesondere bei Anwendungen auf dem Gebiet der Strömungsmaschinen, aber auch überall
dort, wo Fluide durch andere rotierende Systeme strömen, wird eine modifizierte
Energiegleichung benötigt, die auf die veränderten Gegebenheiten gegenüber ruhenden
Systemen abgestimmt ist.
Die Herleitung der Bernoullischen Energiegleichung für rotierende Systeme erfolgt analog
zum Vorgehen gemäß Kap. 7. Der auch hier benutzte Ansatz des ersten Newtonschen
Gesetzes erfordert im vorliegenden Fall jedoch noch die Berücksichtigung der in Richtung der
Stromlinie wirkenden Fliehkraftkomponente aufgrund der Systemrotation. Des Weiteren wird
die Trägheitskraft mit der im rotierenden System vorhandenen Relativgeschwindigkeit
wirksam.
Reibungsfreie Strömung
Es wird zunächst wieder von stationärer, eindimensionaler Strömung inkompressibler
Fluide ausgegangen. Unter Zugrundelegung des Kräftegleichgewicht an einem Fluidelement
dm, welches sich entlang einer Stromlinie in einem rotierenden System bewegt, gelangt man
zur Bernoullischen Energiegleichung in
-
differentieller Form
dp
w dw r Z2 dr g dz
U
-
integraler Form
p w2 u2
g z
U 2
2
0
oder in
C** .
Dies ist die Bernoullische Gleichung als Energiegleichung formuliert mit:
ª Nm º
« kg »
¬
¼
ª Nm º
« kg »
¬
¼
p
U
spez. Druckenergie
g z
spez. potentielle Energie
w2
2
spez. Geschwindigkeitsenergie der Relativgeschwindigkeit
u2
2
spez. Geschwindigkeitsenergie der Umfangsgeschwindigkeit
C**
Integrationskonstante oder Bernoullische Konstante
ª Nm º
« kg »
¬
¼
ª Nm º
« kg »
¬
¼
An zwei Stellen 1 und 2 auf einem Stromfaden lauten die Bernoulligleichungen dann:
- Energiegleichung
p1 w12 u12
g Z1
U
2
2
- Druckgleichung
p1 p 2 w 22 u 22
g Z2
U
2
2
U
U 2
w12 u1 U g Z1
2
2
p2 U
U 2
w 22 u 2 U g Z2
2
2
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_8,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
212
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
Reibungsbehaftete Strömung
Unter der Voraussetzung stationärer, eindimensionaler Strömung inkompressibler Fluide
kann man unter Berücksichtigung der Reibungskräfte die Bernoullische Gleichung des
rotierenden Systems wie folgt anschreiben.
- Energiegleichung
p1 w12 u12
g Z1
U
2
2
YV ,1y 2
- Druckgleichung
p1 p 2 w 22 u 22
g Z2 YV ,1y 2
U
2
2
Verlustenergie zwischen 1 y 2
U
U 2
w 12 u1 U g Z1
2
2
p V ,1y 2
p2 U
U 2
w 22 u 2 U g Z 2 p V ,1y2
2
2
Druckverlust zwischen 1 y 2
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
213
Aufgabe 8.1 Rohrpumpe
¥1.
¥2.
¥3.
11 min
4 min
10 min
hhh
hhh
hh
11 Punkte
4 Punkte
10 Punkte
Der sehr einfache Fall einer Pumpe ist in Abb. 8.1.1 zu erkennen. Ein Antrieb versetzt das in
Flüssigkeit getauchte, vertikale Rohr mit dem Querschnitt A in Rotation. Das obere Ende des
Rohrs ist um 90° umgebogen, wobei dieser Abschnitt einen Radius R2 bezogen auf die
Drehachse und einen Abstand H zur Flüssigkeitsoberfläche aufweist. Das Rohr sei vollständig
mit Flüssigkeit befüllt. Ab einer Mindestdrehzahl strömt Flüssigkeit an der Stelle 2 ins Freie.
Lösen Sie folgende Fragen:
- Mit welcher Winkelgeschwindigkeit Zmin muss sich das Rohr drehen, um gerade einen Volumenstrom zu befördern?
- Wie groß darf Zmax höchstens werden, damit an der gefährdeten Stelle x die Flüssigkeit
nicht abreißt?
- Welches Antriebsmoment T wird erforderlich?
Abb. 8.1.1 Rohrpumpe
Lösung zu 8.1
Aufgabenerläuterung
Zur Beantwortung der Frage nach der Mindestwinkelgeschwindigkeit Zmin wird es erforderlich, von der Bernoullischen Gleichung rotierender Systeme Gebrauch zu machen, da in
ihr die Umfangsgeschwindigkeiten des Stromfadens und somit auch Zvorzufinden sind. Sie
214
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
! 0 . Die
ist natürlich nur im Fall eines Strömungsvorgangs anwendbar, also wenn V
Begrenzung der Drehzahl nmax und somit auch Zmax wird durch den statischen Druck an der
gefährdeten Stelle in dem Flüssigkeitssystem px vorgegeben. Bedingung ist, dass px immer
den Flüssigkeitsdampfdruck pDa. überschreiten muss, um das Abreißen des Fluidstroms zu
vermeiden. Auch hier liefert die Bernoullische Gleichung rotierender Systeme den
Zusammenhang zwischen Zmax und den gegebenen Größen. Das Antriebsmoment T der
„Rohrpumpe“ lässt sich auf zwei Wegen ermitteln. Zum einen kann der 1. Hauptsatz mit
geeigneten Systemgrenzen benutzt werden. Die zweite Möglichkeit liefert der Impulsmomentensatz an einem sinnvoll gewählten Kontrollraum. Hiervon soll bei der Lösungsfindung Gebrauch gemacht werden.
Gegeben:
H; R 2 ; U ; A ; p B ; p Da ;
Gesucht:
1. Zmin , wenn
2. Zmax , wenn
3. T
Anmerkungen:
! 0 also w > 0
V
p x ! p Da
- Es wird von verlustfreier Rohrströmung ausgegangen.
- Reibungsmomente in den (nicht dargestellten) Lagern werden vernachlässigt genauso wie Widerstandsmomente mit der umgebenden Luft.
- Zx | Z2
- In dem vertikalen Rohrabschnitt ist für einen Stromfaden in der
Drehachse die Umfangsgeschwindigkeit u1 0 , da R 1 0 . Bei der
angenommenen Reibungsfreiheit (keine Schubspannungen) gilt dies
auch für die anderen Stromfäden.
Lösungsschritte
! 0 , also w > 0.
1. Zmin , wenn V
Bei vorhandener Strömung im Rohr lässt sich die Bernoullische Gleichung des rotierenden
Systems an den Stellen 1 und 2 wie folgt ansetzen:
p1 w12 u12
g
2
2
U
Z1
p 2 w 22
u2
2 g
2
2
U
Z2
Mit u1 0 , p 2 p B und mit der Kontinuitätsgleichung V
1
folgt w1 w 2 . Somit resultiert
p1
U
pB
g
U
u 22
2
pB
g
U
w1
A
V
2
w2
A
V
u 22
umgestellt (gesucht wird ja Z 2
p
p
Z 2 Z1 1 . Hierin muss nun noch 1 mit geeigneten Größen ersetzt
U
U
Z 2 Z1 u 22
2
oder nach
werden. Dies wird mit der Energiegleichheit entlang des Stromfadens an den Stellen 0 und 1
ermöglicht:
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
E ruh
E rot
215
(ohne Energiezufuhr oder -abfuhr zwischen den Stellen 0 und 1)
bei 0 bei 1
p 0 c02
g
2
U
Z0
p1 w12
u2
1 g
2
2
U
Mit den Besonderheiten p 0
p1
U
pB
g
U
Z0 Z1 p B ; c0
Z1 .
0 ; u1
0 liefert dies für
p1
:
U
u2
w12
. Diesen Ausdruck in die oben stehende Gleichung für 2
2
2
eingesetzt führt zu:
u 22
2
pB
g
U
u 22
2
w12
U g
2
w12
= H
u 22 2 g H .
Z2 Z1 pB
g
U
Z 2 Z0
Z0 Z1 w12
2
oder nach Multiplikation mit 2 und w 12 auf einer Seite
! 0 muss folglich auch w 2 ! 0 sein oder eben
Bei vorhandenem Volumenstrom V
1, 2
u 22 2 g
R2
H ! 0 . Dies führt mit u 2 min
Zmin !
2 g
R2
Zmin zu u 2 min !
2 g H
bzw.
H oder
Zmin !
1
R2
2 g
H.
2. Zmax , wenn p x ! p Da .
Die Forderung nach p x ! p Da lässt sich mittels Bernoullischer Gleichung des rotierenden
Systems an den Stellen x und 2 wie folgt erfüllen:
p x w 2x u 2x
g Zx
2
2
U
Stellen p 2 p B , u x u1
p 2 w 22
u2
2 g Z2 . Die besonderen Gegebenheiten an den
2
2
U
und
0 , Z x | Z2 sowie V
wx A V
w2 A V
x
2
damit wx = w2 liefern zunächst
px
pB pB U
2
U
2
u 22 .
u 22 ! p Da
px
U
p B u 22
oder nach Multiplikation mit U
2
U
Setzt man jetzt die Forderung p x ! p Da ein, so führt dies zu
oder umgestellt
U
2
u 22 p B p Da . Multipliziert mit
2
folgt
U
p B p Da
. Setzt man noch u 2 max R 2 Zmax als maximal zulässige
U
Umfangsgeschwindigkeit ein, bei der die Forderung p x ! p Da gerade noch erfüllt wird,
u 22 2
216
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
Z2max 2
R 22
Z2max 1
R 22
2
p B p Da
, dividiert dann durch R 22 und zieht die Wurzel,
U
p B p Da
, so erhält man als Ergebnis:
U
Zmax 1
R2
2
p B p Da
U
3. T:
¦T
0 am ortsfesten Kontrollraum (also nicht mitrotierend) gebildet führt zu
T FIu 2
0 mit FI u 2 A R 2 . Das Antriebsmoment wirkt in Z-Richtung, während die
R2
Impulskraft FI 2 und somit auch ihre Umfangskomponente FIu 2 an der Kontrollraumoberfläche
entgegen c2-Richtung bzw. cu2-Richtung (also auf die Oberfläche) gerichtet sind. Die
Gleichung umgestellt ergibt:
T
R2 .
FIu 2
Abb. 8.1.2 Kontrollraum mit Antriebsmoment, Impulskraft und Geschwindigkeitsdreieck
FI 2
c2
m
FIu 2
cu 2
m
U V
Impulskraft bei 2
m
V A w2
cu 2 u 2
Impulskraftkomponente bei 2
Massenstrom im Rohr und bei 2
Volumenstrom im Rohr und bei 2
Aufgrund des rechtwinkligen Geschwindigkeitsdreiecks bei 2
( w2 A u2 )
U A
Mit diesen Zusammenhängen wird FIu 2
w2
u 2 . Ersetzen wir noch w2 aus
u 22 2 g H und fügen die Größen in die
w12 u 22 2 g H (s.o.) oder w 2 w1
Gleichung für T ein, so lautet mit u 2 R 2 Z das Ergebnis
T
U
A
R2
Z R2
Z R2
T
2
2 g H
U A Z R 22
oder:
Z R2
2
2 g H
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
217
Aufgabe 8.2 Rotierendes gerades Rohr
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
¥5.
2 min
5 min
6 min
7 min
6 min
hh
hh
hh
hh
hh
2 Punkte
5 Punkte
6 Punkte
7 Punkte
6 Punkte
Aus einem großen Behälter strömt Flüssigkeit durch eine im Behälterboden angebrachte
Leitung mit dem Querschnitt 2 A in ein mit der Winkelgeschwindigkeit Z rotierendes
Rohrsystem. Das Rohrsystem besteht aus einem vertikalen Abschnitt des Querschnitts 2 A
und zwei radial angeschlossenen, gegenüberliegenden Rohren mit jeweils dem Querschnitt A.
Das Volumen im Behälter ist so groß bemessen, dass die Flüssigkeitshöhe H über der
Bezugsebene als konstant betrachtet werden kann. Die stationäre Rotation wird mit einem
Antrieb am vertikalen Rohr hergestellt. Gesucht werden die Relativgeschwindigkeit w3 an der
Stelle 3, die statischen Drücke an den Stellen 1 und 2 sowie das erforderliche Antriebsmoment T.
Abb. 8.2.1 Flüssigkeitsbehälter und angeschlossenes rotierendes Leitungssystem
Lösung zu 8.2
Aufgabenerläuterung
Bei dem ruhenden Behälter handelt es sich um ein Absolutsystem, dagegen bei dem
rotierenden Rohr um ein Relativsystem. In beiden Fällen ist – ohne Energiezufuhr oder
-abfuhr – die Gesamtenergie entlang eines Stromfadens konstant. Die Fragen nach der
Geschwindigkeit und den Drücken lassen sich folglich mit den betreffenden Bernoullischen
Gleichungen der Relativströmung und Absolutströmung lösen. Hierbei sind die besonderen
218
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
Gegebenheiten des vorliegenden Systems zu berücksichtigen. Des Weiteren werden noch die
Kontinuitätsgleichung und das Durchflussgesetz benötigt.
Um die Rotation der Rohrleitung zu erzeugen, wird das gesuchte, von einem Antrieb erzeugte
Moment T benötigt. Ohne dieses von außen aufgebrachte Moment käme keine Drehbewegung
zustande, da in dem Fall die Flüssigkeit aufgrund der radialen Rohrgeometrie senkrecht zur
Oberfläche ausströmen würde, und infolgedessen die Impulskräfte an der Stelle 3 keine
antreibenden Drehmomente erzeugen könnten.
1. Gegeben:
H ; L ; R3 ; A ; p B ; U ; Z
2. Gesucht:
1. w 3
2. p 2
3. p1
4. T
5. Pkte. 1 y 4 , wenn: H = 10 m; L = 4 m; R 3
A = 10 cm 2 ; U
Anmerkungen:
1000
1,5 m ; Z
kg
; pB
3
m
5
1
s
100 000 Pa
- Z 2 | Z3 0
- Verlustfreie Strömung.
- Kein Reibungsmoment in der Dichtung.
- Reibungskräfte der Rohrleitung mit der Umgebungsluft werden
vernachlässigt.
- Das Geschwindigkeitsdreieck an der Stelle 3 gemäß Abb. 8.2.2 entsteht
&
&
&
aus der Vektoraddition c3 u 3 w 3 . Bei der weiteren Verwendung
sind die Geschwindigkeitsbeträge zu benutzen.
Lösungsschritte
1. w 3 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 3:
p 0 c02
p3 w 32 u 32
g Z0
g Z3 . Mit den hier vorliegenden besonderen
U
2
U
2
2
Gegebenheiten p 0 p3 p B ; Z0 H ; Z3 0 ; c0 0 folgt
w 32
w3
2 g H u 32 und nach dem Wurzelziehen sowie mit u 3
R 32
Z2 2 g
H
oder auch
w3
2 g
H
ª
R 32 Z2 º
«1 ».
2 g H¼
¬
R 3 Z erhält man
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
219
2. p 2 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 2:
p 0 c02
g
U
2
p0
p2
U
Z0
p B ; c0
p 2 w 22 u 22
g
U
2
2
0 ; u2
0 , da R 2
Z2 . Die Besonderheiten an diesen beiden Stellen
0 ; Z0
H ; Z2
0 eingesetzt führt zu
2
2
pB
w
g H
.
U
2
Bei der Ermittlung der noch unbekannten Relativgeschwindigkeit w2 setzt man nun das
Kontinuitätsgesetz zwischen der Stelle 2 und den Stellen 3 (w3 ist bekannt!!) wie folgt an:
2 V
V
2
3
V
2
w3
w2
w2
0 oder V
2
A 2 bzw. V
3
V
3
.
A3
2 V
3
2 A
Somit ist w 32
. Das Durchflussgesetz bei 2 und 3 angewendet
2 V
3
V
2 V
2
3
und
w 3 A 3 liefert zunächst w 2
oder w 2
A2
A2
Mit den Querschnitten A 2
V
3
und w 3
A
2 A und A 3
A folgt demnach
V
3
. Hieraus leitet sich die Gleichheit von w 2
A
2 g H u 32
oder
w 32
2
g H
w 3 ab.
p
u 32
. In das Ergebnis für 2
2
U
eingefügt stellt man fest:
§
p
p B u 32
p2
pB
u2 ·
. Das Ergebnis für p2 nach
g H ¨¨ g H 3 ¸¸ oder 2
U
U
2
U
U
2¹
©
Multiplikation mit U und unter Verwendung von u 3 R 3 Z lautet dann:
p2
pB U
Z
R3
2
2
3. p1 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 1:
p1 c12
g Z1 . Auch hier werden wieder zunächst die gegebenen Größen
U 2
p
an diesen Punkten benutzt p 0 p B ; c0 0 und dann nach 1 umgestellt.
U
p 0 c 02
g Z0
U
2
p1
U
p1
U
p1
pB
g
U
Zo Z1 pB
c2
g L 1
U
2
U 2
pB U g L c1 .
2
c12
.
2
Des Weiteren ist Zo Z1 = L und folglich
oder nach der Multiplikation mit der Dichte U
220
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
Die Absolutgeschwindigkeit c1 an der Stelle 1 ist aufgrund gleichen Querschnitts bei 2 und
auch gleichen Volumenstroms identisch mit der Relativgeschwindigkeit w2, also
c1 = w2 = w3. Somit folgt mit c12
U
w 22
2
p1
pB U g L p1
pB U g L U g H w 22
pB U g L U
Z2 R 32
2
p1
pB w 32
U
2
2 g
H u 32 und u 32
R 32
Z2
R 32 Z2 2 g H
oder umgestellt:
U
Z2 R 32 U g
2
HL
4. T :
Das Antriebsmoment lässt sich aus der Momentenbilanz an der Oberfläche des ruhenden
Kontrollraums ermitteln. Neben dem gesuchten Antriebsmoment T sind noch zwei weitere
Momente wirksam, die aus den Impulskräften an der Außenfläche des Kontrollraums in
Umfangsrichtung, also FI u , in Verbindung mit den betreffenden Hebelarmen, hier R3,
3
entstehen.
Abb. 8.2.2 Kontrollraum mit Antriebsmoment,
Impulskräften und Geschwindigkeits-Dreieck
¦T
T
0
2 FI u3
T 2 FI u
3
R 3 oder umgeformt nach T:
R3 .
Die Impulskraft allgemein FI
c für die an der Stelle 3 vorhandenen Größen angem
schrieben ergibt dort den Ausdruck
2
m
3 c3
FI 3 m
c3 . Am ruhenden, also nicht mitrotierenden Kontrollraum erkennt man
2
als ebenfalls ruhender Beobachter nur die Absolutgeschwindigkeit c3, mit welcher der hier
jeweils halbe Massenstrom ausströmt. Die Umfangskomponente von FI3 lautet somit
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
221
2
m
c u 3 . Gemäß dem Geschwindigkeitsdreieck bei 3 in Abb. 8.2.2 ist wegen des dort
2
vorliegenden rechtwinkligen Dreiecks ( w 3 A u 3 ) c u 3 u 3 . Folglich lautet dann
2
m
FI u 3
u 3 . In die Ausgangsgleichung für T eingesetzt führt dies zu
2
FI u 3
T
2
m
T
w3
2
2
m
2
u3
,
U V
2
U w3
2 g
2
m
R3
V
2
H
R3 .
A2 , A2
w2
2 A u3
u3
Mit den bekannten Zusammenhängen
2 A und w2 = w3 gelangt man zu
R3 ,
wobei
ª
R 32 Z2 º
«1 »
2 g H¼
¬
T
R 3 Z zu verwenden sind:
und u 3
2 U
Z R 32
A
5. Pkte. 1 y 4 , wenn: H = 10 m; L = 4 m; R 3
A = 10 cm 2 ; ; p B
2 g
1,5 m ; Z
5
H
ª
R 32 Z2 º
«1 2 g H »
¬
¼
1
;U
s
100 000 Pa .
Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält man:
w3
2 9,81 10 1,52
52
w3
1000
2
p1
100 000 p2
1000
100 000 2
10
10000
10 4
13015 Pa
52 1,52
p2
2 1000
m
s
52 1,52 1000 9,81
p1
T
15,89
5 1,52
71875 Pa
2 9,81 10
T = 357,6 Nm
ª
1,52 52 º
1
«
2 9,81 10 »¼
¬
1000
kg
m
3
;
222
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
Aufgabe 8.3 Rasensprenger
1.
2.
3.
hh
hhhh
h
Übungsbeispiel
Ein Rasensprenger wird gemäß Abb. 8.3.1 aus einem Behälter mit Wasser gespeist. Das
Wasser fließt durch eine Rohrleitung zum Sprenger, der am Rohrende gelagert und
abgedichtet ist. Hier wird aufgrund der Rotation des Sprengers ein Reibungsmoment TR
wirksam. Das Wasser mit der Dichte U strömt am Austritt der zwei Arme ins Freie und ruft
dabei ein Antriebsmoment hervor. Zwischen den Stellen 1 und 2 des rotierenden Sprengers ist
der Druckunterschied 'p = p2 - p1 = pB - p1 bekannt ebenso wie die Querschnitte A1 und A2
sowie der Radius R2 des Sprengers. Weiterhin soll der Winkel ß2 zwischen
Relativgeschwindigkeit w2 und Radiusrichtung durch 2 gegeben sein. Welche Winkel strömt insgesamt
geschwindigkeit Z weist der Sprenger auf und welcher Volumenstrom V
ins Freie?
Abb. 8.3.1 Rasensprenger
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
223
Lösung zu 8.3
Aufgabenerläuterung
Aufgrund des ins Freie ausströmenden Wassers stellt sich am Rasensprenger eine
Rotationsbewegung ein, die ihre Ursache in den Impulskräften am Austritt der Sprengerarme
hat. In Verbindung mit dem Austrittsradius und den hierzu senkrechten Umfangskomponenten dieser Impulskräfte werden zwei Drehmomente (Drehimpulse) wirksam, die im
stationären Zustand das Reibungsmoment in der Lagerung und Dichtung zu überwinden
haben.
Die erste Frage nach der sich einstellenden Winkelgeschwindigkeit lässt sich mittels
Bernoullischer Gleichung eines rotierenden Systems unter Beachtung der vorliegenden
besonderen Gegebenheiten lösen.
Als Ansatz zur Ermittlung des ausfließenden Gesamtvolumenstroms dient die Momentenbilanz um die Drehachse. Hierbei wird über die Impulskraft der Massenstrom und folglich der
gesuchte Volumenstrom eingeführt. Weiterhin wird dieser noch über die Geschwindigkeitsdreiecke an der Stelle 2 in den Berechnungsgang einfließen.
Der in Abb. 8.3.1 gewählte Kontrollraum ist ortsfest und rotiert folglich nicht mit. Die an
seiner äußeren Oberfläche erkennbaren Wassergeschwindigkeiten (von einem ebenfalls
ruhenden Beobachter aus gesehen) sind somit ausschließlich die Absolutgeschwindigkeiten c.
2 A 2 ; A 2 ; R 2 ; U ; E2 ; 'p ; TR
Gegeben:
A1
Gesucht:
1. Z
2. V
3. Pkte. 1 + 2, wenn:
R2
TR
Anmerkungen:
1,5 cm 2 ; E2 25o ;
kg
0,10 N m ; U 1000 3 ; 'p 1125 Pa
m
0,15 m ; A 2
- Verlustfreie Strömung.
- Das Geschwindigkeitsdreieck an der Stelle 2 gemäß Abb. 8.3.1 entsteht
&
&
&
aus der Vektoraddition c2 u 2 w 2 . Bei der weiteren Verwendung
sind die Geschwindigkeitsbeträge zu benutzen.
- Die Relativgeschwindigkeit w2 folgt der Sprengerarmrichtung.
Lösungsschritte
1. Z:
Bernoullische Gleichung im rotierenden System an den Stellen 1 und 2:
p1 w12 u12
g
U
2
2
Z1
p 2 w 22 u 22
g
U
2
2
Z2
224
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
p B , Z1 | Z 2 sowie u1
Setzt man die hier vorliegenden Gegebenheiten p 2
Stromfaden bei 1 durch die Drehachse gelegt ist und folglich R 1
noch, dass w1
V
A1
V
sowie w 2
2 A2
so vereinfacht sich die Gleichung wie folgt:
Die Wurzel gezogen u 2
1
R2
Z
2
2
p B p1
U
/2
V
A2
u 22
2
0 (da der
0 ist) ein und beachtet
V
und demzufolge w1 = w2 ,
2 A2
p B p1
U
oder
u 22
2
p B p1
.
U
und u2 = R2 Z gesetzt liefert zunächst:
p B p1
U
Da gemäß Aufgabenstellung p 2
'p
p B p1 folgt:
Z
:
2. V
p1 'p d.h. p1 p 2 oder 'p
1
R2
2
p 2 p1
bzw.
'p
U
Die Impulskräfte FI 2 sind entgegen c2-Richtung auf die Außenfläche des ruhenden Kontrollraums gerichtet. Aufgrund der Anordnung wird am Kontrollraumeintritt kein Moment infolge
der dort wirksamen Impulskraft erzeugt. Das Reibmoment der Dichtung und Lagerung TR
wirkt außen am Kontrollraum entgegen Z-Richtung.
Abb. 8.3.2 Kräfte und Momente am Kontrollraum
Momentenbilanz am Kontrollraum:
¦T
0
i
2 FI u 2
R 2 TR
Oben stehende Gleichung nach FI u 2 aufgelöst führt zu
FI u 2 =
1
2
TR
.
R2
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
225
c . Pro Sprengerarm tritt jeweils an der Stelle 2 der
Die Impulskraft lautet allgemein FI = m
m
halbe Massenstrom aus, sodass FI 2 =
c 2 wird. Die erforderliche Umfangskomponente
2
FI u 2 dieser Impulskraft erhält man mittels Umfangskomponente c u 2 von c2 zu
FI u 2 =
m
m
2
cu 2 .
Eingesetzt in die Ausgangsgleichung
U V
gesetzt sowie die Gleichung mit
m
2
cu2 =
1
2
TR
,
R2
1
multipliziert
U
1 TR
.
U R2
c u 2 : Aus dem Geschwindigkeitsdreieck bei 2 gemäß Abb. 8.3.1 erhält man (Beträge der
c
führt zu V
u2
Geschwindigkeiten):
cu 2
sin E 2 u 2
w2
w2 : Die Durchflussgleichung im Arm eines Sprengers
liefert w 2
V
>w 2
ª1
V
«2
¬
1
2
2
V
A2
V
2
w2
A 2 nach w2 umgeformt
V
. Somit lässt sich c u 2 in der Ausgangsgleichung wie folgt ersetzen:
A2
1 V
1 TR
w2
sin E 2 u 2 @ =
.
eingesetzt führt zu
U R2
2 A2
º 1 TR
V
sin E2 u 2 » =
.
Das Ausmultiplizieren der linken Gleichungsseite
A2
¼ U R2
1
2
u
sin E2 V
2
1
U
TR
R2
2 2 V
V
A2 u2
sin E 2
2 2
V
A2 u 2 § A2 u 2 ·
¸¸
¨¨
sin E 2
© sin E 2 ¹
V
und die Multiplikation mit
2 A2
liefert
sin E2
2 TR A 2
. Addiert man links und rechts
U R 2 sin E 2
2
§ A u2 ·
2 TR A 2
¸
¨ 2
U R 2 sin E 2 ¨© sin E 2 ¸¹
§ A2 u2 ·
¨¨
¸¸
© sin E2 ¹
2
2
hinzu, so entsteht
links eine binomische Formel der Art a b , also hier:
2
§
A u2 ·
¸
¨¨ V 2
sin E2 ¸¹
©
2
2
§ A u2 ·
2 TR A 2
¸ . Rechts den Ausdruck
¨¨ 2
U R 2 sin E 2 © sin E 2 ¸¹
die Klammer gesetzt und gleiche Größen gekürzt
§
A u2 ·
¸
¨¨ V 2
sin E2 ¸¹
©
§ A2 u2 ·
¸
¨¨ V sin E2 ¸¹
©
2
2
§ A2 u2 ·
¸¸
¨¨
© sin E2 ¹
§ A2 u2 ·
¸¸
¨¨
© sin E2 ¹
2
2
§
2 TR A 2 sin 2 E2 ·
¨¨1 ¸ liefert zunächst
U R 2 sin E2 A 22 u 22 ¸¹
©
ª
2 TR sin E 2 º
«1 ».
U
R 2 u 22 A 2 ¼
¬
2
§ A2 u2 ·
¨¨
¸¸ vor
© sin E 2 ¹
226
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
Zieht man nun noch die Wurzel, bringt
A2 u2
auf die rechte Gleichungsseite
sin E 2
2 TR sin E 2
A2 u2
A u2
1
r 2
U R 2 u 22 A 2
sin E 2
sin E 2
und beachtet, dass nur das positive Vorzeichen in Frage kommt, da es keinen negativen
V
Volumenstrom geben kann, so erhält man als vorläufiges Ergebnis:
V
A2 u2
sin E 2
ª
2 TR sin E 2 º
«1 1 » . Setzt man jetzt noch das Ergebnis von 1. ein
U
R 2 u 22 A 2 ¼
¬
Z
1
R2
'p
U
V
2
A2
sin E 2
2
oder
Z
R2
u2
2
'p
, so folgt
U
ª
2 TR sin E 2 U º
«1 1 ».
U R 2 A 2 2 'p ¼
¬
'p
U
A2
sin E 2
V
'p
U
2
ª
TR sin E 2 º
«1 1 »
R 2 A 2 'p ¼
¬
3. Pkte. 1 y 2, wenn:
R2
1,5 cm 2 ; E2
0,15 m ; A 2
25o ; TR
0,10 N m ; U 1000
kg
; 'p 1125 Pa
m3
Bei dimensionsgerechter Anwendung der gegebenen Größen berechnet man folgende Werte:
Z:
1125
1000
Z
1
0,15
2
n =
Z
2 S
10
2 S
Z 10
1,59
1
s
oder
1
s
n
95,5
1
min
:
V
V
1,5
10 sin 25
4
2
1125
1000
V
ª
0,10 sin 25 10 4 º
«1 1 »
0,15 1,5 1125 »¼
«¬
0,001402
l
m3
{ 1,402
s
s
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
227
Aufgabe 8.4 Pumpenlaufrad
¥1.
¥2.
15 min
7 min
hhh
hh
15 Punkte
7 Punkte
Das wichtigste Element in Kreiselpumpen ist das mit der Drehzahl n angetriebene Laufrad.
Dieses Laufrad einer Radialpumpe ist in Abb. 8.4.1 in seiner Grundrissdarstellung zu
erkennen. An der Stelle 1 (Laufradeintritt) weist es den Durchmesser D1 und den
Schaufelwinkel ß1 auf, an der Stelle 2 (Laufradaustritt) den Durchmesser D2 und den
Schaufelwinkel ß2. Bei dem Rotationsvorgang transportiert das Laufrad den Volumenstrom V
vom Laufradeintritt zum Laufradaustritt und überträgt dabei die spez. Schaufelarbeit Ysch f an
die Flüssigkeit.
Ein bedeutender Anteil dieser Schaufelarbeit Ysch f ist die so genannte spez. Spaltdruckarbeit
p 2 f p1
. Der hierin enthaltene Spaltdruckunterschied p 2f p1 soll in dieser
U
Aufgabe zunächst allgemein und danach mit konkreten Zahlenwerten ermittelt werden.
YSp.f
Abb. 8.4.1 Radialpumpenlaufrad im Grundriss
Lösung zu 8.4
Aufgabenerläuterung
Bei dem vorliegenden Radialpumpenlaufrad handelt es sich um den klassischen Fall eines
rotierenden Relativsystems. Die Fragestellung nach dem Spaltdruckunterschied p 2f p1
lässt sich somit mittels Bernoullischer Gleichung für rotierende Systeme lösen. Um die
gegebenen Größen verwenden zu können, müssen die Geschwindigkeitsdreiecke an den
228
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
Stellen 1 und 2 (Geschwindigkeitsbeträge!!) in Verbindung gebracht werden mit den Größen
in der betreffenden Bernoullischen Gleichung.
Gegeben:
D 2 ; D1; ß 2 ; ß1; U; n; Ysch f
Gesucht:
1.
p 2 f p1
2.
p 2 f p1 , wenn: D 2
U
Anmerkungen:
0,42 m ; D1
800
kg
; n
m3
0,23 m ; ß 2
33,33
28o ; ß1
17 o ;
1
; Ysch f = 1457
s
- Annahme einer schaufelkongruenten Strömung durch die Laufradkanäle:
Index f
- Annahme einer verlustfreien Strömung.
- Annahme einer drallfreien Zuströmung, d.h. c u 1
0.
- Schaufelarbeit gemäß der Eulerschen Strömungsmaschinenhaupt
gleichung Ysch f u 2 c u 2f r u1 c u1
- Annahme einer vertikalen Wellenanordnung.
Lösungsschritte
1. p 2 f p1 :
Bernoulligleichung des rotierenden Systems an den Stellen 1 und 2:
p 2f
w 22 f u 22
p1 w 12 u 12
g Z1
g Z2
U
U
2
2
2
2
Wegen der vertikalen Wellenanordnung ist Z1 Z 2 . Dies eingesetzt, mit der Dichte U
multipliziert und die Drücke auf die linke Gleichungsseite gebracht führt zu:
U
p 2 f p1 =
u 22 u12 w12 w 22 f .
2
Abb. 8.4.2 Geschwindigkeitsdreiecke an den Stellen 2 und 1 des Laufrads
u2 :
u1 :
u2
u1
Nm
kg
R2 Z
R1 Z
Z
Z
2 S n D2
2 S n D1
2 R2
2 R1
u2
u1
S D2 n
S D1 n
w1 :
Aus dem rechtwinkligen Geschwindigkeitsdreieck an der Stelle 1 folgt cos ß1
u1
.
w1
8. Bernoullische Energiegleichung für rotierende Systeme
229
u1
.
cos ß1
Nach Umstellung auf w1 erhält man w1
w 2f :
In dem rechtwinkligen Teildreieck an der Stelle 2 lautet cos ß 2
u 2 cu 2
f
w 2f
.
Nach Umstellung auf w 2f erhält man
u2
u 2 c u 2f
w 2f
oder auch w 2 f
cos ß 2
mit der Gleichung der spez. Schaufelarbeit Ysch f
diese Gleichung mit
cu 2
Ysch f
f
u 22
u2
·
¸
¸
¹ . Der Quotient c u 2f muss nun noch
u2
c
§
¨1 u 2f
¨
u2
©
cos ß 2
u2
c u 2 ersetzt werden. Multipliziert man
f
1
, so liefert dies den gesuchten Quotienten zu
u 22
u2
. Eingefügt in w 2 f ergibt dies w 2 f
Ysch f º
ª
«1 u 2 »
2 ¼
¬
.
cos ß 2
Alle vier Geschwindigkeiten in die Gleichung für p 2 f p1 eingesetzt ergeben:
p 2f p1
U
2
ª 2
«S
¬
D 22
n 2 S2
D12
n2 S2
n 2 D12
cos 2 ß1
S2
n 2 D 22
cos 2 ß 2
Y
§
¨¨1 2 sch2 f 2
S n
D2
©
·
¸¸
¹
2
º
»
»¼
Nach Ausklammern von S 2 n 2
2
ª
Ysch f
§
· º
D12
D 22
U
¨
¸
»
p 2 f p1 =
1
S 2 n 2 «D 22 D12 2
cos 2 ß1 cos 2 ß 2 ¨©
S2 n 2 D 22 ¸¹ »
«¬
¼
und Ordnen von Größen mit gleichartigen Durchmessern lautet das Ergebnis:
p 2 f p1 =
U
2
S2
n2
2. p 2 f p1 , wenn: D 2
n
33,33
­°
2
®D 2
°̄
ª
1
«1 2
cos
ß1
¬«
0,42 m ; D1
1
; Ysch f = 1457
s
§ 1
·½°
¨¨
1¸¸¾
2
© cos ß1
¹°¿
2
Y
§
· º
¨¨1 2 sch2 f 2 ¸¸ » D12
S n D2 ¹ »
©
¼
0,23 m ; ß 2
28o ; ß1
17 o ; U
800
kg
;
m3
Nm
.
kg
Bei dimensionsgerechter Verwendung des gegebenen Zahlenmaterials entsteht am Laufrad
der Druckunterschied:
>p
2f
p1
@
800
2
S2
33,332
ª
«0,422
«¬
ª
1
«1 2
cos
28o
¬«
p 2 f p1
§
¨1 2
S
©
2
1457
· º
¸ » 0,232
2
2
33,33 0,42 ¹ ¼»
734932 Pa = 7,35 bar
ª 1
ºº
«¬ cos 2 17 o 1»¼ »
»¼
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Die vorliegende Thematik beschränkt sich auf die instationäre, eindimensionale Strömung
inkompressibler Flüssigkeiten. Solche Strömungsvorgänge entstehen beim Hoch- oder Herunterfahren von Strömungsmaschinen in den betreffenden Anlagen, beim Öffnen oder Schließen von Armaturen oder wenn im Fall des Ausströmens aus einem Behälter der Flüssigkeitsspiegel zeitlich ausgeprägt abnimmt. Ebenso gehören Flüssigkeitsschwingungen und der
Druckstoß zu dieser Thematik. Wegen der Komplexität werden in den folgenden Beispielen
vornehmlich Übungsaufgaben vorgestellt und deren detaillierten Lösungen aufgezeigt. Zwei
der Aufgaben können im Rahmen einer Prüfung bearbeitet werden. Bis auf ein Beispiel wird
vereinfachend von jeweils reibungsfreiem Verhalten ausgegangen.
Als instationäre Strömungen betrachtet man solche Fälle, bei denen sich die Strömungsgrößen
nicht nur entlang des Weges s, sondern auch mit der Zeit t ändern können. Hiermit lauten die
Geschwindigkeit c und der Druck p als die betreffenden Strömungsgrößen wie folgt:
c
c (s , t ) ; p
p(s, t )
Aus dem ersten Newtonschen Gesetz am Fluidelement dm lässt sich die Eulersche Bewegungsgleichung der eindimensionalen, instationären Strömung reibungsfreier, inkompressibler Fluide wie folgt herleiten:
1
wc
dp g dz c dc ds
U
wt
0
Die Integration liefert die Bernoullische Gleichung der instationären, eindimensionalen Strömung reibungsfreier, inkompressibler Flüssigkeiten
p
c2
wc
g * z ³ * ds C t .
U
2
wt
An zwei Stellen 1 und 2 eines Stromfadens oder einer Stromröhre erhält man
s
1
p1 c12
wc
g * Z1 ³
ds
U 2
wt
0
s
2
p 2 c 22
wc
g * Z2 ³
ds
U
2
wt
0
oder
p1 c12
g Z1
U 2
s
2
p 2 c 22
wc
g * Z2 ³
ds .
U
2
wt
s1
Wenn auch diese Gleichung mit o.g. Einschränkungen versehen ist, so lassen sich mit ihr
doch zahlreiche Anwendungsfälle lösen.
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_9,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
232
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Aufgabe 9.1 Turbinenfallleitung
¥1.
¥2.
¥3.
20 min
2 min
2 min
hhhh
h
h
20 Punkte
2 Punkte
2 Punkte
In Abb. 9.1.1 ist eine Wasserturbinenanlage schematisch dargestellt. Das Absperrorgan (z.B.
Kugelschieber) vor der Turbine sei zunächst völlig geöffnet und es liegen stationäre Strömungsverhältnisse in der Anlage vor. An der Stelle 2 kennt man in diesem Fall die Geschwindigkeit c 20 . Die Höhe H des Wasserspiegels über Maschinenmitte ist konstant. Ab der Zeit
t = 0 setzt der Schließvorgang des Schiebers ein, der nach der Zeit t = T beendet ist. In dieser
Phase sind die Strömungsgrößen in der Rohrleitung zeitlich veränderlich und folglich instationär. Gesucht wird der statische Druck p2 vor dem Schieber (Stelle 2) während des kompletten Schließvorgangs.
Abb. 9.1.1 Wasserturbinenanlage
Lösung zu 9.1
Aufgabenerläuterung
Ausgangspunkt bei der Fragestellung nach der Zeitabhängigkeit des Drucks p 2 t ist die
Bernoullische Gleichung instationärer Strömung eines im vorliegenden Fall inkompressiblen
Fluids. Vereinfachend wird angenommen, dass die Strömung in der Rohrleitung verlustfrei
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
233
abläuft. Weiterhin benötigt wird die Kontinuitätsgleichung sowie die zeitliche Änderung der
Geschwindigkeit c 2 t .
1
2
p B ; U; g; H; L; T; c 2 0 ; c 2 t
Gegeben :
Gesucht:
p2 t
p2 t
p2 t
1.
2.
3.
ª
§ S t ·º
«1 cos¨ T ¸»
©
¹¼
¬
c20
0
T
Lösungsschritte
1. p 2 t :
Bernoulligleichung instationärer Strömung an der Stelle 0 und der Stelle 2:
p0
g
U
Z0 c 02
2
2
p2 t
c2 t
2 g
U
2
Z2 0
Mit den hier vorliegenden Größen c0
p2 t p2 t pB
c2 t
:
=
g H 2 U
U
U
2
2
³
0
³
wc s, t
wt
0; Z2
wc s, t
wt
ds
0; Z0
H; p0
p B wird
ds .
Nach der Aufspaltung des Integrals in die drei Teilintegrale
wc s, t
³0 wt
1'
2
ds
³
wc 0; 1' s, t
wt
0
1
ds +
³
1c
wc1' ; 1 s, t
wt
2
ds
+
³
1
wc1; 2 s, t
wt
ds
|0
=0
stellt man fest, dass das erste Teilintegral zu Null wird, da die Geschwindigkeit c 0; 1'
und somit auch
wc 0; 1' s, t
wt
wc1' ; 1 s, t
0 ist
. Das zweite Teilintegral nimmt ebenfalls den Wert Null an, obwohl
von Null verschieden ist, aber die beiden Stellen 1’ und 1 sehr dicht nebeneinander
wt
liegen. Folglich wird ds | 0. Das Integral reduziert sich folglich auf
2
³
0
wc s, t
wt
2
ds = ³
1
wc1; 2 (s, t )
wt
ds .
( t ) und des WeiteDie lokale Geschwindigkeit c1; 2 (s, t ) hängt zeitlich vom Volumenstrom V
ren vom wegabhängigen Querschnitt A (s) ab, also c1; 2 ( t , s)
A1
A2
(t)
V
. Da aber hier
A(s)
A konstant ist, wird sich die Geschwindigkeit nur mit der Zeit ändern, also
234
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
c1; 2 (s, t ) { c1; 2 ( t ) . Somit folgt auch
dc1; 2 t
dt
wc1; 2 s, t
wt
{
dc1; 2 t
dt
. Da der Differentialquotient
in gleicher Weise unabhängig vom Weg s ist, kann er im Integral als Konstante ange-
setzt und vor das Integral gezogen werden. Der Einfachheit halber ersetzt man jetzt noch
dc1; 2 t
mit
dt
dc 2 t
, da ja c1(t) = c2(t) = c1; 2 t .
dt
2
³ ds = L
Es folgt mit der Wegintegration
(s.u.)
1
dc t
p2 t pB
c2 t
g H 2 2
=
U
2
U
dt
2
³ ds .
Durch Multiplikation mit Uwird:
1
= L
pB U g
p2 t
U
H
2
dc 2 t
dt
c t L U
2
2
dc 2 t
. Diesen erhält man durch das
dt
ª
1
§ S t ·º
Differenzieren der gegebenen Funktion c 2 t
c 20 «1 cos¨
¸» nach der Zeit t.
2
© T ¹¼
¬
S t
Hierzu ist es erforderlich, die Substitution z
einzuführen. Es entsteht der Ausdruck
T
1
1
dc 2 t
c2 z
c 20 c 20 cos z . Somit lässt sich der gesuchte Differentialquotient
dt
2
2
§ dz ·
§ dc 2 z ·
auch darstellen als Produkt der Differentialquotienten ¨
¸ und ¨ ¸ , also
© dz ¹
© dt ¹
dc 2 t § dc 2 z · § dz ·
=¨
¸ ¨ ¸.
dt
© dz ¹ © dt ¹
Benötigt wird jetzt noch der Differentialquotient
Es ist
dc 2 z
dz
dc 2 t
1
= 2
dt
p2 t
1
2
c20
sin z
S
T
c20
§S t·
sin ¨
¸ . Somit entwickelt man p 2 t zu
© T ¹
pB U g H U
2
1
4
1
2
c20
sin z sowie
dz
dt
2
c 22 0
S
. Folglich wird
T
ª§ 1 ·
ª
§ S t ·º
«1 cos¨ T ¸» - L U «¨ 2 ¸
©
¹
¹¼
©
¬
S
t
c20
§ S t ·º
sin ¨
¸»
© T ¹¼
oder noch zusammengefasst:
p2 t
pB U g
H
U
2
c20
­° 1
®
°̄ 4
2
c 20
ª
§ S t ·º
«1 cos¨ T ¸» S
©
¹¼
¬
L
T
§ S t ·½°
sin ¨
¸¾
© T ¹°¿
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
2. p 2 t
235
0 :
§S 0·
0 in die Gleichung für p 2 t eingesetzt liefert zunächst cos¨
¸ 1 und
© T ¹
§S 0·
sin ¨
¸ 0 . Mit diesen Werten lautet der Druck gerade zu Beginn des Schließvorgangs
© T ¹
U
ª1
º
2
p2 t 0
pB U g H c20 «
c 20 >1 [email protected] 0» oder
2
4
¬
¼
t
p2 t
0
pB U g H U
2
c 22 0 .
Dieses Ergebnis erhält man auch aus der Bernoullischen Gleichung stationärer Strömung zwischen den Stellen 0 und 2, wie sie zur Zeit t = 0 noch vorliegt.
3. p 2 t
T :
Verwendet man t T in der Gleichung für p(t), so hat dies die nachstehenden Teilergebnisse
§S T·
§S T·
cos ¨
¸ cos S 1 und sin ¨
¸ sin S 0 zur Folge. Diese führen zu dem sta© T ¹
© T ¹
tischen Druck p 2 t T , der sich nach dem vollständigen Schließen des Absperrorgans einstellt.
U
ª1
º
2
p2 t T
pB U g H c20 «
c 2 0 >1 [email protected] 0» oder
2
¬4
¼
= 0
p2 t
T
pB U g
H.
Diese Größe entspricht dem statischen Druck an der Stelle 2 bei ruhender Flüssigkeit, was zur
Zeit t = T der Fall ist.
236
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Aufgabe 9.2 Instationär durchströmte Heberleitung
¥1.
¥2.
¥3.
7 min
14 min
10
min
hhh
hhhh
hhhh
7 Punkte
14 Punkte
10 Punkte
In Abb. 9.2.1 ist eine so genannte Heberleitung zu erkennen, mit der aus einem sehr großen,
gegen Atmosphäre offenen Behälter Flüssigkeit abgesaugt wird. Diese strömt unterhalb der
Flüssigkeitsoberfläche aus der Rohrleitung ins Freie. Die Leitung ist zunächst mit einer Armatur verschlossen und vollständig mit Flüssigkeit gefüllt. Dann wird der z.B. Schieber betätigt
bis er vollständig offen ist. Für verschiedene Zeiten (t = 0, t , t o f ) sollen Beschleunigung,
Geschwindigkeit und Druck des Fluids ermittelt werden.
Abb. 9.2.1 Heberleitung
Lösung zu 9.2
Aufgabenerläuterung
Im Unterschied zur Bernoullischen Gleichung der stationären Strömung, wo alle betreffenden
Größen zeitlich unveränderlich sind, wird im vorliegenden Fall die zeitliche Beeinflussung
von Beschleunigung, Geschwindigkeit und Druck der Flüssigkeit unter den gegebenen Voraussetzungen angesprochen. Mit Hilfe des in der Bernoullischen Gleichung instationärer
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
237
§ wc s, t ·
¸ ds lassen sich unter Verwendung der jeweiligen
wt ¹
Randbedingungen geeignete Lösungen finden.
Strömung enthaltenen Terms
Gegeben:
Zo
Gesucht:
1.
2.
3.
h;
³ ¨©
Zx
hx;
U;
g;
L
a2 t 0
c2 t , c2 t o f
px t 0 , px t o f
Anmerkungen:
1. Aufgrund des sehr großen Behältervolumens kann davon ausgegangen
werden, dass der Flüssigkeitsspiegel bei 0 sich nicht zeitlich verändert.
2. Die Strömung in der Heberleitung wird als verlustfrei und inkompressibel angenommen.
dx
3. ³
= artanh x.
1 x 2
ex e x
4. tanh x = x
e e x
Lösungsschritte
1. a 2 t
0 :
a 2 t 0 ist diejenige Beschleunigung der Flüssigkeitssäule, die bei dem gerade einsetzenden Öffnungsvorgang wirksam wird. Zu diesem Zeitpunkt ist die Flüssigkeit gerade noch in
Ruhe, also sind auch alle Geschwindigkeiten Null. Zunächst suchen wir jedoch die Beschleunigung a 2 t , aus der dann der Sonderfall a 2 t 0 bestimmt werden kann. Im Übrigen ist
aus weiter unten aufgeführten Gründen a 2 t = a1 t = a1; 2 t .
Bernoullische Gleichung (instationär) von 0 y 2
§ wc s, t ·
Z2 ³ ¨
¸ ds
wt ¹
0 ©
2
p 0 c 02
p2 t
c2 t
g Z0
2 g
U
U
2
2
Mit den hier vorliegenden Größen
p0
p2
p B ; c0
0 ; Z2
0 ; Z0
h
c 22 ( t )
wc s, t
=
.
g
h
ds
³0 wt
2
Nach der Aufspaltung des Integrals in die drei Teilintegrale
2
erhält man:
wc s, t
³0 wt
1'
2
ds
³
0
wc 0; 1' s, t
wt
=0
1
ds +
³
1c
wc1' ; 1 s, t
wt
2
ds
+
³
1
|0
wc1; 2 s, t
wt
ds
238
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
stellt man fest, dass das erste Teilintegral zu Null wird, da die Geschwindigkeit c 0; 1'
und somit auch
wc 0; 1' s, t
wt
wc1' ; 1 s, t
0 ist
. Das zweite Teilintegral nimmt ebenfalls den Wert Null an, obwohl
von Null verschieden ist, aber die beiden Stellen 1’ und 1 sehr dicht nebeneinander
wt
liegen. Folglich wird ds | 0. Das Integral reduziert sich folglich auf
2
2
wc1; 2 (s, t )
wc s, t
ds . Die lokale Geschwindigkeit c1; 2 (s, t ) hängt zeitlich vom
³0 wt ds = ³1 wt
( t ) und des Weiteren vom wegabhängigen Querschnitt A (s) ab, also
Volumenstrom V
(t)
V
. Da aber hier A1
A(s)
c1; 2 ( t, s)
A2
A konstant ist, wird sich die Geschwindigkeit nur
mit der Zeit ändern, also c1; 2 (s, t ) { c1; 2 ( t ) . Somit folgt auch
wc1; 2 s, t
wt
{
dc1; 2 t
dt
. Da der
dc1; 2 t
in gleicher Weise unabhängig vom Weg s ist, kann er im Integdt
ral als Konstante angesetzt und vor das Integral gezogen werden. Der Einfachheit halber erdc1; 2 t
dc 2 t
setzt man jetzt noch
mit
, da ja c1(t) = c2(t) = c1; 2 t . Es folgt nach der
dt
dt
Differentialquotient
2
Wegintegration
³ ds = L:
1
c 22 ( t )
g h c 22 ( t )
dc 2 t
oder durch L dividiert
=
L
2 L
2
dt
dc 2 t
Die Beschleunigung a 2 t
oben eingesetzt führt zu:
dt
g h c 22 t
a2 t
L
2 L
L
dc 2 t
=g
dt
h
Zu Beginn des Öffnungsvorgangs, wenn also t = 0 ist, liegt gerade noch keine Geschwindigkeit vor, also ist c 2 t 0
0 . Die gesuchte Anfangsbeschleunigung lautet folglich:
a2 t
2. c 2 t ,
c2 t o f ,
Mit a2(t) =
dc 2 t
dt
0
g h
1
L
2 L
c 22 t
g h
L
sowie den Term
g h
auf der rechten Seite
L
ausgeklammert führt dies zu:
dc 2 t
dt
g h
L
§
1
¨¨1 2 g h
©
·
c 22 t ¸¸ .
¹
Multipliziert man mit dt so ergibt dies
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
239
§
·
1
1
2
2
c 22 t
¨¨1 2 g h c 2 t ¸¸ dt . Mit der Substitution x
2
g
h
©
¹
g h
erhält man zunächst dc 2 t
1 x 2 * dt . d c 2 (t) muss nun noch mit dx ersetzt werL
den, um eine geeignete Integration durchführen zu können. Dies ist mit dem Wurzelausdruck
dx
1
1
=
führt
der Substitution x
c 2 t möglich. Die Ableitung
dc 2 ( t )
2 g h
2 g h
g h
L
dc 2 t
2 g h . Dieses Ergebnis und die Substitution x 2 in der Gleichung für
g h
d c 2 (t) verwendet liefert dx
2 g h
1 x 2 * dt . Eine notwendige UmforL
dx
g h
dt . Erweitert man die rechte Seite mit
mung mit (1 – x2) ergibt
1 x2
L
2 g h
zu dc 2 ( t ) = dx
2 g h
dx
, so erhält man
1 x2
2 g h
folgt:
dx
1 x2
dx
³1 x
2
L
g h
2 g
h
2 g h
2 g h
dt und durch Kürzen
2 g h
dt . Die Integration liefert
2 L
2 g h
³ dt .
2 L
Die linke Seite integriert entspricht dem Grundintegral
nächst artanh x =
2 g h
2 L
dx
³1 x
= artanh x. Somit folgt zu-
2
t C . Die Bestimmung der Integrationskonstanten C ist für
die Zeit t = 0 leicht möglich. Bei t = 0 ist c2 t
0Ÿxt
0ŸC
0 . Somit erhält man
an Stelle der Umkehrfunktion artanh die Funktion x = tanh y zu:
ª 2 g h
x = tanh «
¬« 2 L
c2 t
2 g h
º
t » . Die Substitution x
¼»
ª 2 g h
tanh «
¬« 2 L
c2 t
1
2 g h
c 2 t wieder eingesetzt liefert
º
t » . Folglich lautet das Ergebnis:
¼»
2 g h
ª 2 g h
tanh «
¬« 2 L
º
t»
¼»
240
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
c2 t o f :
Verwendet man in oben stehender Gleichung wieder die Substitution x =
2 g h
2 L
t und
ex e x
, so kann dort durch Ausklammern von
ex e x
1 ·
§
1
¨1 x
¸ 1 2x
e ex ¹
©
e
ermittelt werden.
1
1 ·
§
1
1
¨
¸
e2 x
ex ex ¹
©
die Definition der tanh-Funktion tanh x =
ex
x
e im Zähler und Nenner tanh x =
ex
2 g h
t folgt mit t o f auch x o f . Oben eingesetzt
2 L
1
1
0 ist. Daher wird auch
hat dies zur Folge: tanh x = 1, da 2 f
e
f
§ 2 g h
·
tanh ¨
t ¸¸ 1 . Als Ergebnis erhält man:
¨ 2 L
©
¹
c2 t o f
2 g h
Aus der Substitution x =
Dies entspricht auch der Torricellischen Ausflussgleichung bei verlustfreier Strömung.
3. p x t
0 ,
px t o f
Unter diesem Punkt wird jetzt die Frage nach dem statischen Druck an dem höchsten Punkt
der Rohrleitung gestellt. Diese Stelle ist von besonderer Bedeutung, da hier der Druck den
Kleinstwert annimmt und somit auch die Gefahr der Dampfdruckunterschreitung und das Abreißen der Flüssigkeit droht.
px t
0 :
Zunächst bestimmen wir uns allgemein p x t aus der Bernoullische Gleichung (instationär)
von x y 2 und können dann aus dem Ergebnis die Sonderfälle p x t 0 und p x t o f
ableiten.
px t
c2 t
x g
U
2
p 2 c 22 t
g
U
2
Zx
Mit den hier vorliegenden Größen Z 2
Ax A2 A
gleichung zu:
const. Ÿ c 2 t
p
px t
= B g hx U
U
2
³
x
wc x ; 2 s, t
wt
2
Z2 ³
x
0 ; p2
wc x ; 2 s, t
wt
pB ; Zx
ds
h x ; p2
p B und wegen
c x t vereinfacht sich die angeschriebene Bernoulli-
ds
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
241
Da auch jetzt wieder zwischen x und 2 der Rohrquerschnitt A konstant ist, also nicht vom
wc x ; 2 s, t
:
Weg s abhängt, resultiert für den partiellen Differentialquotienten
wt
wc x ; 2 s, t
dc x ; 2 t
=
.
Eingesetzt in obige Gleichung erhält man dann
dt
wt
2
dc t
p
px t
= B g h x x; 2
U
U
dt
³ ds
und
dt
x
p
px t
= B g hx ax t hx .
U
U
px t = pB U g h x a x t h x
2
dc x ; 2 t
oder mit a x t
³ ds
hx
x
Mit U multipliziert lautet die Druckgleichung:
U . Bei dem zur Zeit t = 0 gerade einsetzenden Be0 führt dies dann zum Anfangs-
wegungsvorgang mit der Anfangsbeschleunigung a x t
druck bei x:
px t
0
pB U g h x a x t
px t
0
pB U g
hx g
h
0
g
h
L
(s.o.) folgt
h x ˜ U . Durch Umformen erhält man schließlich:
L
px t
U h x und mit a x t
0
pB U g h x
0
hº
ª
«¬1 L »¼
px t o f :
pB U g
Die o.g. Druckgleichung p x t
rentialquotienten
px t
pB U
dc 2 t
dt
g
g h
L
hx U
hx
§
¨¨1 2
©
g h
L
hx pB U g
hx U g
dt
U verknüpft mit dem Diffe-
·
c 22 t ¸¸ (s.o) führt zu der Druckgleichung
¹
§
·
1
¨¨1 c 22 t ¸¸ .
2
g
h
©
¹
hx
h
L
2 g h ein, dann wird
§
2 g˜h·
¨¨1 ¸.
2 g h ¸¹
©
= 0
px t o f
hx
1
g h
Baut man bei t o f das Ergebnis c 2 t o f
px t o f
dc 2 t
pB U g h x
242
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Aufgabe 9.3 Flüssigkeitsschwingung
Übungsbeispiel
hhhh
In Abb. 9.3.1 ist eine abgebogene, an beiden Enden gegen Atmosphäre offene Leitung zu erkennen, die mit einer Flüssigkeit befüllt ist. Die Steigungen der Leitungsschenkel sind verschieden groß und werden durch die Winkel D und ß dargestellt. Die Länge der Flüssigkeitssäule sei L, die Querschnitte der Leitung sind überall gleich groß. Zunächst befindet sich
das System in Ruhe und die Flüssigkeitsspiegel in der Nulllage. Nach einem ruckartigen Anstoß wird die Flüssigkeit in der Leitung in Bewegung versetzt und verschiebt sich um den
Weg smax. Danach setzt eine entgegengesetzt gerichtete Rückbewegung ein, d.h. es entsteht
ein Schwingungsvorgang. Unter Annahme von Reibungsfreiheit dauert dieser unendlich lange. Gesucht wird die zeitliche Abhängigkeit s(t) des Weges der Flüssigkeitsspiegel.
Abb. 9.3.1 Flüssigkeitsschwingung
Lösung zu 9.3
Aufgabenerläuterung
Nach der Auslenkung um smax aus der Nulllage setzt der Schwingungsvorgang der Flüssigkeitssäule ein. Zur Zeit t = 0 weisen die Menisken den Abstand Z1(t = 0) = Z1(t = 0) zur Bezugsebene auf, zur Zeit t die Abstände Z1(t) bzw. Z2(t). Das, von der Nulllage ausgehend, in
der Zeit t verschobene Volumen im linken und rechten Schenkel V1(t) = V2(t) ist gleich groß
( t ) an jeder Stelle der schwingenden Flüssigkeitsund folglich auch der Volumenstrom V
säule. Im Unterschied zu vielen Fällen mit zeitlich konstanten Ortshöhen Z ändern sich diese
zu verschiedenen Zeitpunkten des vorliegenden Schwingungsvorgangs. Da sich die Flüssigkeitssäule im ruhenden Rohrsystem periodisch hin und her bewegt, handelt es sich um einen
instationären Strömungsvorgang.
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Gegeben:
D; E; g; L; smax
Gesucht:
s(t)
243
Anmerkungen: - Die Strömung sei verlustfrei.
- Für die Lösung wird die Taylor-Reihe allgemein:
y( x )
y( x
0) yc( x 0)
ycc( x 0)
yccc( x 0)
y 4 ( x 0)
*x * x2 * x3 * x 4 ...
1!
2!
3!
4!
und die der sin-Funktion
1
1
sin y( x ) = x * x 3 * x 5 r ...
3!
5!
benötigt.
Lösungsschritte
Bernoullische Gleichung instationärer Strömung zwischen den Stellen 1 und 2:
p1 c12 t
g * Z1 ( t )
U
2
p 2 c 22 t
g * Z2 ( t ) U
2
2
³
1
wc(s, t )
* ds
wt
Mit den hier vorliegenden Besonderheiten an den Stellen 1 und 2
(t) V
(t) V
( t ) (s.o.) ist mit
p1 = p2 = pB und wegen V
1
2
(t)
V
1
c1 ( t ) A1 (s)
c1 ( t )
c2 (t )
(t)
V
2
c( t ) , da A1 (s)
(t)
V
c 2 ( t ) A 2 (s)
A 2 (s)
c( t ) A(s)
A (s) = konstant.
wc(s, t )
* ds g * Z 2 ( t ) Z1 ( t ) = 0.
wt
1
wc(s, t )
dc( t )
wc( t )
=
=
, d.h. an Stelle des partiellen DifWegen c1 ( t ) c 2 ( t ) c( t ) ist
wt
dt
wt
ferentialquotienten kann der Differentialquotient selbst verwendet werden und, da hier vom
Weg unabhängig, vor das Integral gesetzt werden.
2
³
Es wird
dc( t )
dt
2
³ ds g *
Z 2 ( t ) Z1 ( t ) = 0
1
Z2 ( t ) = Z2 ( t
0) 'Z 2 ( t )
Z 2 ( t ) Z1 ( t ) = Z2 ( t
und Z1 ( t ) = Z1 ( t
0) 'Z 2 ( t ) - Z1 ( t
Z 2 ( t ) Z1 ( t ) = 'Z1 ( t ) + 'Z 2 ( t ) .
0) 'Z1 ( t ) . Hieraus folgt
0) 'Z1 ( t )
und somit
244
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Gemäß Abb. 9.3.1 ist 'Z1 ( t ) = s1 ( t ) sin D und 'Z2 ( t ) = s 2 ( t ) sin E . Diese Ergebnisse
oben eingesetzt führen zu
2
dc( t )
dt
³ ds g * > s ( t )
2
sin E s1 ( t ) sin D
@
= 0.
1
Wegen Gleichheit der Volumina V1(t) = V2(t) und aus den geometrischen Zusammenhängen
V1(t) =
A1
sin D
'z1 ( t ) = V2(t) =
A2
sin E
'z 2 ( t ) und A1 = A2 wird
'z1 ( t )
'z 2 ( t )
= s1(t) =
= s2(t). Die zurückgelegten Wege der Flüssigkeitsspiegel sind
sin E
sin D
folglich gleich groß und nur von der Zeit t abhängig, also s1(t) = s2(t) = s (t).
2
Man erhält hiermit
dc( t )
* ³ ds s( t ) * g * >sin D sin [email protected]
dt
1
0 . Setzt man nun noch das
2
dc( t )
* L s( t ) * g * >sin D sin [email protected] 0 .
dt
1
dc( t )
Dividiert durch L und die Beschleunigung a(t) =
mit s( t ) ersetzt, führt zu dem Erdt
gebnis:
g
s( t ) s( t ) * * >sin D sin [email protected] 0
L
Integral
³ ds = L als Säulenlänge ein, so entsteht
g
* >sin D sin [email protected] = k substituiert, dann lässt sich nachstehende DifferentialL
gleichung zur Lösung der Frage nach der zeitlichen Wegabhängigkeit s(t) anschreiben:
Wird jetzt noch
s( t ) s( t ) * k
DGL. 2. Ordnung
0
Bei bekannten Anfangsbedingungen ist die Lösung der DGL mittels Taylor-Reihe möglich.
Diese lautet für den genannten Fall:
s( t )
s( t
0) s ( t
0)
1!
*t s( t
0)
2!
* t2 s( t
0)
3!
* t3 s 4 ( t 0) 4 s 5 ( t 0) 5
*t * t ...
4!
5!
Anfangsbedingungen:
1. Bei t = 0 befinden sich die Flüssigkeitsspiegel in der Nulllage, d.h.
s( t
0)
0.
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
245
2. Im vorliegenden Schwingungssystem erreicht die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsspiegel
s( t 0) beim Durchgang der Nulllage den Maximalwert c max .
s ( t 0) c( t 0) c max
s( t ) k * s( t )
s.o.
s( t 0) k * s( t 0) 0
s( t ) k * s ( t )
s( t 0) k * s ( t 0) = k * c max
s 4 ( t ) k * s( t )
s 4 ( t 0) k * s( t
s 5 ( t ) k * s( t )
s 5 ( t 0) k * s( t
usw.
0) = 0
0)
( k ) * ( k ) * c max
k 2 * c max
Alle geradzahligen Ableitungen werden neben dem Anfangsterm Null und die Reihe lautet
zunächst:
s( t )
k 2 * c max
c max
k * c max
*t * t3 * t 5 r ...
1!
3!
5!
Durch Ausklammern von c max und Erweitern mit
s( t )
c max
1 5
1 3
ª
º
2
«¬ t k * 3! * t k * 5! * t r ...»¼
k
entsteht:
k
*
k
k
1
1
vor die Klammer gebracht und z k 2 * t substituiert
k
3
5
c max ª 1 2
1
1
º
s( t )
k * t * k 2 * t 3 * k 2 * t 5 r ...» hat nachstehendes Ergebnis zur Folge:
«
3!
5!
k ¬
¼
c max ª
1
1
º
s( t )
z * z 3 * z 5 r ...»
3!
5!
k «¬
¼
Der Klammerausdruck entspricht der Taylor-Reihe der Sinusfunktion, also hier
1
1
c max
sin z = z * z 3 * z 5 r ... . Dies führt zu s(z)
sin z . Wird die Substitution
5!
3!
k
wieder zurückgesetzt:
1
c max
* sin( k 2 * t )
s( t )
k
Zur Ermittlung der Maximalgeschwindigkeit c max wird die Sinusfunktion bei ihrem HöchstS
wert betrachtet. Dies ist bei der Fall und folgerichtig setzt man oben ein:
2
S
S
S
k *t
Ÿ t
1
mit sin ( k * t ) sin
2
2
2* k
246
s( t
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
S 1
*
) { s max
2
k
S
c max
* sin ( )
2
k
. smax lautet also s max
c max
k
= 1
Die Lösung des vorliegenden Schwingungsfalls (ohne Reibungseinflüsse) wird mit dem
Gesetz
oder
s( t )
s max * sin( k * t )
s( t )
ª g
º
s max * sin «
* >sin D sin [email protected] * t »
¬ L
¼
beschrieben.
Sonderfall: Gleichschenkliges U-Rohrmit D 90q und E
s( t )
90q
ª g
º
s max * sin «
* >sin 90q sin [email protected] * t »
L
¬
¼
=1
=1
s( t )
§ 2*g
·
s max * sin ¨¨
* t ¸¸
L
©
¹
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Aufgabe 9.4 Leitung mit Verlusten
hhhh
h
1.
2.
247
Übungsbeispiel
An einem offenen Flüssigkeitsbehälter ist, wie in Abb. 9.4.1 zu erkennen, im Abstand H von
der Oberfläche eine horizontale Rohrleitung installiert. Sie weist eine Länge L und einen
Durchmesser D auf. Die Rohreintrittsgeometrie ist scharfkantig ausgeführt. Die am Ende der
Leitung angebrachte, zunächst abgesperrte Verschlussklappe wird z. Zt. t = 0 plötzlich geöffnet, und die Flüssigkeit strömt ins Freie. Der Abstand H über Rohrmitte soll während des
Ausflussvorgangs gleich bleiben, was bei einem sehr großen Behältervolumen vereinfachend
angenommen werden kann. Ermitteln Sie die zeitliche Veränderung der Austrittsgeschwindigkeit unter Berücksichtigung der Strömungsverluste.
Abb. 9.4.1 Geschwindigkeitsänderung am Rohrleitungsende nach Öffnen einer Klappe
Lösung zu 9.4
Aufgabenerläuterung
Der in dieser Aufgabe angesprochene instationäre Ausflussvorgang wird im Ansatz mittels
Bernoullischer Gleichung der verlustbehafteten, instationären Rohrströmung beschrieben. Die
zeitliche Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeit in der Leitung prägt die Abhängigkeit
auch den Verlusten auf. Diese entstehen im vorliegenden Fall aufgrund von Strahleinschnürung am Rohreintritt sowie Reibung im Rohr. Es wird von turbulenter Rohrströmung ausgegangen. Bei einer wie hier sehr rau angenommenen Innenkontur der Leitung hängt die Rohrreibungszahl nicht mehr von der Reynoldszahl ab, die ja ihrerseits über die Geschwindigkeit
auch zeitlich veränderlich ist. Die Strahleinschnürung beim Übergang vom Behälter in die
Leitung verursacht Verluste, die als Eintrittsverluste bezeichnet werden. Die Kantengeometrie
beeinflusst in starkem Maß diese Verluste. Sie erreichen, wie im vorliegenden Fall, einen
Höchstwert bei scharfkantiger Ausführung. Die kennzeichnende Verlustziffer ] Ein ist, wie die
o.g. Rohrreibungszahl O , ebenfalls von der Reynoldszahl unabhängig und wird nur beeinflusst von der genannten Geometrie.
Aufgrund des konstanten Rohrquerschnitts wird die Strömungsgeschwindigkeit zwar an jeder
Stelle der Leitung gleich sein, aber zu verschiedenen Zeiten andere Werte aufweisen.
248
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Gegeben:
H; L; g; ] Ein , O z f Re
Gesucht:
1.
c2 t
2.
c2 t mit: H = 12 m; L = 600 m; D = 0,60 m; , g = 9,81
O
Anmerkungen:
0,03; ] Ein
m
;
s2
0,50
- Z0 = konstant
- Turbulente Rohrströmung.
- O = konstant; ] Ein = konstant
Lösungsschritte
1. c2 t :
Als Ansatz dient die Bernoullischer Gleichung der verlustbehafteten, instationären Rohrströmung entlang des Stromfadens von der Stelle 0 zur Stelle 2 wie folgt:
2
p0 c02
p 2 c 22 t
wc s, t
g Z0
g Z2 YV0 y 2 ( t ) ³
ds
U
2
U
2
wt
0
Mit den Gegebenheiten im vorliegenden Fall
p0
p2
c 22 t
2
0 ; Z0 Z1; 2
p B ; co
2
g H YV0 y 2 ( t ) ³
0
wc s, t
wt
H und nach
ds .
Als Verluste sind die Eintrittsverluste YVEin ( t )
YVR ( t )
O
c 22 t
umgeformt erhält man
2
] Ein
c 22 t
2
und die Rohrreibungsverluste
c 22 t
zu berücksichtigen. Die Summe YV0 y 2 ( t )
2
L
D
auch unter Verwendung der Gesamtverlustziffer ] Rohr
] Ein O
YVEin ( t ) YVR ( t ) kann
L
wie folgt formuliert
D
c 22 t
. YV0 y 2 ( t ) auf die linke Gleichungsseite gebracht und mit
2
2
wc s, t
c 22 t
c 22 t
c2 t
c2 t
ds . Wenn 2
] Rohr
ersetzt führt zu 2
+ ] Rohr
= g H³
2
wt
2
2
2
0
ausgeklammert wird, so erhält man:
werden: YV0 y 2 ( t )
c 22 t
2
] Rohr
2
1 ] Rohr
g
H
³
0
wc s, t
wt
ds
Nach der Aufspaltung des Integrals in die drei Teilintegrale
wc s, t
³0 wt
1'
2
ds =
wc s, t
³0 wt
wc s, t
³' wt
1
1
ds 2
ds ³
1
wc s, t
wt
ds
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
1'
wc s, t
³0 wt
2
³
ds
wc 0; 1' s, t
wt
0
1
³
ds +
wc1' ; 1 s, t
1c
wt
249
2
+
ds
³
wc1; 2 s, t
wt
1
ds
|0
=0
0 ist
stellt man fest, dass das erste Teilintegral zu Null wird, da die Geschwindigkeit c 0; 1'
und somit auch
wc 0; 1' s, t
wt
wc1' ; 1 s, t
. Das zweite Teilintegral nimmt ebenfalls den Wert Null an, obwohl
von Null verschieden ist, aber die beiden Stellen 1’ und 1 sehr dicht nebeneinander
wt
liegen. Folglich wird ds | 0. Das Integral reduziert sich folglich auf
2
2
wc1; 2 (s, t )
wc s, t
ds
=
ds . Die lokale Geschwindigkeit c1; 2 (s, t ) hängt zeitlich vom
³0 wt
³1 wt
( t ) und des Weiteren vom wegabhängigen Querschnitt A (s) ab, also
Volumenstrom V
(t)
V
. Da aber hier A1
A(s)
c1; 2 ( t, s)
A2
A konstant ist, wird sich die Geschwindigkeit nur
mit der Zeit ändern, also c1; 2 (s, t ) { c1; 2 ( t ) . Somit folgt auch
Differentialquotient
wc1; 2 s, t
wt
{
dc1; 2 t
dt
. Da der
dc1; 2 t
in gleicher Weise unabhängig vom Weg s ist, kann er im Integral
dt
als Konstante angesetzt und vor das Integral gezogen werden. Der Einfachheit halber ersetzt
dc1; 2 t
dc 2 t
man jetzt noch
mit
, da ja c1(t) = c2(t) = c1; 2 t . Es folgt nach der Wegindt
dt
2
tegration
³ ds = L
1
c 22 t
2
1 ] Rohr
H
g
dc 2 t
dt
L
dc 2 t
c 22 t
g H 1 ] Rohr
dt
2
2
dc 2 t
g H 1 ] Rohr
c2 t
dt
L
L
2
L
oder nach
dc 2 t
dt
L umgeformt
und durch L dividiert
sowie auf der rechten Gleichungsseite
ausgeklammert führt zum Differentialquotienten
dc 2 t
dt
g H
L
§
1 ] Rohr
¨¨1 2 g H
©
·
c 22 ( t ) ¸¸ .
¹
Zur Lösung dieser Gleichung werden nun 2 Substitutionen wie folgt eingeführt:
1. Substitution: k
dc 2 t
dt
g H
L
1 ] Rohr
.
2 g H
>1 k
@
c 22 ( t ) .
Folglich entsteht
g
H
L
250
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
2. Substitution: k c 22 ( t )
und c2 verwendet, somit z 2
z 2 ( t ) . Der Einfachheit halber wird statt z(t) und c2(t) nur noch z
k c 22 .
dc 2
g H
1 z2
dt
L
dc 2
g H
dt .
2
(1 z )
L
dt
1 z2
Das Differential dc 2 muss nun noch durch dz ersetzt werden. Dies gelingt wie folgt. Aus
1
dc 2
1
z
k c 2 oder c 2 z
wird c2 nach z differenziert. Man erhält
dz
k
k
1
bzw. dc 2
dz . In oben stehende Gleichung eingesetzt lautet diese zunächst
k
dz
g H
dt . Mit k multipliziert und in Integralform geschrieben
L
k 1 z2
dz
³ (1 z
2
k
)
artanh z =
t
k
0Ÿ z
g
H
³ dt .
L
Die Integration hat das vorläufige Ergebnis wie folgt:
g H
t C . Die Integrationskonstante C wird bei t = 0 ermittelt zu
L
0 Ÿ ar tanh 0 0 Ÿ C 0 .
Die Funktion z lautet dann:
z
ª
tanh « k
¬
g H
L
º
t»
¼
Beide Substitutionen wieder zurückgeführt und nach c 2 t aufgelöst
1 ] Rohr
z = k c 2 t und k
2 g H
g H º
1
ª
t»
tanh « k
c2 t
L
k
¬
¼
c2 t
1
1 ] Rohr
2 g H
ª 1 ] Rohr
tanh «
¬ 2 g H
liefern nach einer Erweiterung des tanh mit
c2 t
2 g H
1 ] Rohr
ª 1 ] Rohr
tanh «
¬« 2 g H
g
H
L
º
t»
¼
2 g
H
2 g
H
2 g H
2 g H
g H
L
º
t»
¼»
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
c2 t
ª 1 ] Rohr
2 g H
tanh «
2
g
H L
¬«
2 g H
1 ] Rohr
251
g
H
º
t»
¼»
das Ergebnis:
2 g H
1 ] Rohr
c2 t
ª
tanh « 1 ] Rohr
¬«
º
t»
¼»
2 g H
2 L
Stationäre Bedingungen stellen sich theoretisch erst für t o f ein. Betrachtet man zunächst
den allgemeinen Fall, so kann man mit der Definition des tanh x und x o f
=0
1
x
e
tanh x =
1
ex x
e
ex ª
«¬1 ª
«¬1 ex
ex
1 º
e 2 x »¼
1 º
e 2 x »¼
1 festgestellt werden. Dies gilt auch im vorliegenden
=0
= 1
ª
2 g H
Beispiel mit t o f . Eingesetzt in tanh « 1 ] Rohr
2 L
¬«
ebenfalls den Wert tanh = 1 und als Resultat der Geschwindigkeit bei t
c 2 ( t o f) { c 2 0
2 g H
1 ] Rohr
1
Somit lässt sich auch mit der Umformung
c2 t
c 20
ª 2 g
tanh «
c 20
¬«
H
º
t » erhält man jetzt
¼»
o f:
2 g H
2 L
1 ] Rohr
2 g H
c20
º
t » anschreiben oder umgestellt und verein¼»
facht:
c2 t
c20
ª2 g H
tanh «
¬« c 2 0 2 L
c2 t
c20
º
t»
¼»
ªH
tanh «
¬« L
g
c 20
º
t»
¼»
mit
c 20
2
g
H
1 ] Rohr
.
252
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
2. c2 t mit: H = 12 m; L = 600 m; D = 0,60 m; , g = 9,81
Um
m
; O
s2
0,03; ] Ein
0,50
c2 t
= f(t) zu ermitteln, wird u.a. die Geschwindigkeit c 20 erforderlich. Sie lässt sich bei
c20
verlustbehafteter Strömung wie folgt bestimmen:
2 g H
=
1 ] Rohr
c20
Folglich lautet
m
m
= 2,734
.
s
s
2 9,81 12
600 ·
§
)¸
¨1 (0,50 0,03
0
,60 ¹
©
ªH
tanh «
¬« L
c2 t
c20
g
c 20
º
t » = tanh
¼»
ª 12
« 600
¬
9,81
2,734
º
t » = tanh >0,0718 t @ .
¼
Der Verlauf ist in Abb. 9.4.2 zu erkennen. Im Fall der verlustbehafteten Rohrströmung ist
nach einer Zeit von t = 60 s die Endgeschwindigkeit c 20 zu 99,9 % erreicht. Dagegen wird
sich unter der Annahme der verlustfreien Strömung dieser Wert erst nach 360 s einstellen.
Leitung mit Verlusten
1,00
0,90
Mit Verlusten
H = 12
c20 = 2.734 m/s
0,80
L = 600 m
D = 0.60
0,70
Ohne Verluste
O= 0.03
c2(t)/c20 [ / ]
c20 = 15.344 m/s
0,60
] Ein. = 0.50
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
t [s ]
Abb. 9.4.2 Zeitlicher Verlauf von
c2 t
ohne und mit Rohrleitungsverlusten
c20
340
360
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Aufgabe 9.5 Abgestufte Rohrleitung
hhhh
h
h
1.
2.
3.
253
Übungsbeispiel
Über einen Rohrleitungsstrang mit verschiedenen Durchmesser- und Längenabmessungen
wird gemäß Abb. 9.5.1 aus einem gegen Atmosphäre offenen, sehr großen Reservoir Wasser
ins Freie abgelassen. Ein Absperrorgan (z.B. Schieber) in der Leitung ist zunächst geschlossen. Ab dem Zeitpunkt t = 0 beginnt dann der Öffnungsvorgang des Schiebers, und es stellt
sich ein instationärer Strömungsprozess in dem Rohrsystem ein. Es soll zunächst die zeitliche
Veränderung der Geschwindigkeit c 2 ( t ) an der Stelle 2 hergeleitet werden. An der Stelle 1
und der Stelle 2 werden dann die Anfangsbeschleunigungen a1 (t = 0) bzw. a2 (t = 0) gesucht
sowie bei 2 der Anfangsdruck p2 (t = 0).
Abb. 9.5.1 Rohrleitungsstrang mit verschiedenen Durchmessern
Lösung zu 9.5
Aufgabenerläuterung
Vorliegendes Beispiel behandelt die zeitlichen Veränderungen von Strömungsgrößen in der
Rohrleitung beim Öffnen eines Absperrorgans. Diese werden überlagert durch zusätzliche
Einflüsse aufgrund verschiedener Leitungsabmessungen. Um die zeitlichen Abhängigkeiten
der gefragten Größen festzustellen, muss als Ansatz die Bernoullische Gleichung der instatio-
254
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
nären Strömung verwendet werden. Es erscheint sinnvoll und hilfreich, diese Anwendung
Schritt für Schritt zwischen den Punkten entlang des Stromfadens vorzunehmen, um neben
den anderen Größen die verschiedenen Beschleunigungsterme systematisch aufzulisten und
mit den jeweiligen Gegebenheiten zu betrachten und zu vereinfachen. Des Weiteren kommt
die Kontinuitätsgleichung zum Einsatz, die den Einflüssen aus den Durchmesserunterschieden
Rechnung trägt. Es ist zunächst zwingend erforderlich, die Geschwindigkeit c 2 t zu ermitteln und danach erst die weiteren gefragten Größen.
Gegeben:
U; g; L1 ; L 2 ; Z0 ; Z1' | Z1 ; Z 2 ' | Z 2 ;
Gesucht:
1.
2.
3.
c2 t
a1 t
p2 t
Anmerkungen:
0 ; a2 t
0
D1 ; D 2
0
2
§ D2 ·
¨¨
¸¸ L 2
© D1 ¹
2. Die Strömung wird verlustfrei angenommen.
3. Z0 = konstant
1. Man benutze die Substitution L1
L.
Lösungsschritte
1. c 2 t
Bernoullische Gleichung von der Stelle 0 y 1’:
p 0 c 02
g
2
U
Zo
p1' c12'
g
U
2
1'
Z1' ³
wc 0;1' s, t
wt
0
ds . Mit den hier bei 0 vorliegenden
Größen p 0 p B und c0 0 sowie auch an der Stelle 1’ c1'
wc 0;1'
p
0 lässt sich 1' darstellen zu:
wt
U
1'
wc s, t
p1'
p
= B g Z0 Z1' ³ 0;1'
ds oder
U
U
wt
0
p1'
p
= B g
U
U
0 und daraus resultierend
Z0 Z1'
Bernoullische Gleichung von der Stelle 1’ y 1:
p1' c12'
g
U
2
Z1c
p1 ( t ) c12 t
g
U
2
1
Z1 tigenden Gegebenheiten Z1' | Z1 und c1'
p1'
U
p1 ( t ) c12 t
2
U
1
³
1c
wc1' ;1 s, t
wt
ds .
|0
³
1c
wc1' ;1 s, t
wt
0 folgt
ds . Wegen der hier zu berücksich-
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
Das Integral nimmt den Wert Null an, obwohl
wc1' ;1 s, t
wt
255
von Null verschieden ist, aber die
beiden Stellen 1’ und 1 sehr dicht nebeneinander liegen. Folglich wird ds | 0.
p1'
lautet
U
demnach jetzt
p1'
U
p1 ( t ) c12 t
.
U
2
Bernoullische Gleichung von der Stelle 1 y 2’:
p1 ( t ) c12 ( t )
g
2
U
Z1
p 2' ( t ) c 22 ' t
g
2
U
2'
Z2' ³
wc1; 2' s, t
1
wt
ds
( t ) und des WeiteDie lokale Geschwindigkeit c1; 2 ' (s, t ) hängt zeitlich vom Volumenstrom V
(t)
V
ren vom wegabhängigen Querschnitt A (s) ab, also c1; 2 ' ( t , s)
. Da aber hier
A1; 2 ' (s)
A '2 konstant ist, wird sich die Geschwindigkeit nur mit der Zeit ändern, also
dc t
wc1; 2 ' s, t
{ 1; 2 ' . Da der Differentialquotient
c1; 2 ' (s, t ) { c1; 2 ' ( t ) . Somit folgt auch
dt
wt
dc1; 2 ' t
in gleicher Weise unabhängig vom Weg s ist, kann er im Integral als Konstante andt
gesetzt und vor das Integral gezogen werden. Der Einfachheit halber ersetzt man jetzt noch
dc1; 2 ' t
p (t)
dc t
mit 1 , da ja c1(t) = c2’(t) = c1; 2' t . Der spez. Druck 1
an der Stelle 1
dt
dt
U
kann wie folgt angeschrieben werden:
A1
p1 ( t )
U
p 2' ( t )
g
U
p1 ( t )
U
p2' (t )
dc t
g ( Z1 Z2' ) 1
dt
U
( Z1 Z2 ' ) dc1 t
dt
2'
³ ds oder mit
1
2'
³ ds =
L1
1
L1
Bernoullische Gleichung von der Stelle 2’ y 2:
2
wc s, t
p 2' t
c2 t
p2 t
c2 t
2' +g Z 2'
ds . Wegen der hier zu be 2 g Z 2 ³ 2 '; 2
U
2
2
wt
U
2'
rücksichtigenden Gegebenheiten Z2 ' | Z2 sowie der Feststellung, dass das Integral auch hier
wc ' s, t
von Null verschieden ist, aber die beiden Stellen
den Wert Null annimmt, obwohl 2 ; 2
wt
p t
2’ und 2 sehr dicht nebeneinander liegen (ds | 0), lässt sich die Gleichung nach 2'
U
auflösen zu:
256
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
p2 t
c2 t
c2 t
2 2'
U
2
2
p2' t
U
Bernoullische Gleichung von der Stelle 2 y 3:
p2 t
c2 t
2 +g
U
2
3
p 3 c 32 t
g
U
2
Z2
Z3 ³
wc 2;3 s, t
ds
wt
2
Es ist hier Z3 0 und p 3 p B . Da, wie auch schon oben (zwischen 1 und 2’) erläutert, die
Geschwindigkeiten c 2 ( t ) = c3 ( t ) wegunabhängig und gleich groß sind kann folglich der parwc s, t
dc t
dc t
durch 2;3
= 2
ersetzt werden und, da ebenfalls
tielle Differentialquotient 2;3
dt
wt
dt
wegunabhängig, als Konstante vor dem Integral stehen. Der spez. Druck bei 2 lautet:
p2 t
U
=
p2 t
U
=
pB
g
U
Z2 +
pB
g
U
Z2 +
3
dc 2 t
dt
³ ds .
dc 2 t
dt
L2 .
3
Mit dem Wegintegral
2
³ ds = L2
erhalten wir
2
Alle Ergebnisse zusammengefügt führt zu:
c 22 t
= g
2
Z0 L1
dc1 t
L2
dt
dc 2 t
dt
Mit den Beschleunigungen a1 t
dc1 t
dt
c 22 t
2
L2
g
Z0 a1 t
L1 a 2 t
und a 2 t
dc 2 t
:
dt
sich nur in Abhängigkeit von der Zeit t ändert, gilt dies auch für das
Da der Volumenstrom V
t .
Differential dV
t
Mit V
c1 t
umgeformt:
dc1 t
dc 2 t
c 22 t
=g
2
A1
A2
A1
Z0 L1
c2 t
dc 2 t
dc 2 t
dt
t
A 2 folgt dV
Z0 a 2 t
ª
«L1
¬
A1
dc 2 t
A 2 oder nach dc1 ( t )
§ D 22 ·
¨¨ 2 ¸¸ . In Gleichung 1.6 eingesetzt folgt:
© D1 ¹
§ D 22 ·
¨¨ 2 ¸¸ - L 2
© D1 ¹
a2 t
c 22 t
=g
2
dc1 t
dc 2 t
dt
a2 t
º
D 22
L2 »
2
D1
¼
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
257
2
§ D2 ·
¨¨
¸¸ L 2
© D1 ¹
Substituiert man L1
c 22 t
=g
2
Z0 a 2 t
L.
Vorzeichenumkehr und a 2 t
dc 2 t
dt
L auf einer Gleichungsseite führt zu
2
2
c t
2
g
Z0 dc 2 t
1
=
dt
2 L
2 g
L
L , so erhält man
= a2 t
Z0 c 22 t
§
1
¨¨1 2 g Z0
©
dc 2 t 2 g Z0
=
dt
2 L
Mit der Substitution x 2
1
2 g Z0
·
c 22 t ¸¸ .
¹
c 22 t
folgt zunächst:
g
dc 2 t
Z0
L
1 x2
dt
Um eine Integration vornehmen zu können, muss dc 2 t noch durch dx ersetzt werden. Dies
kann mit dem Wurzelausdruck der Substitution wie folgt geschehen:
1
2 g
x
Z0
1
2 g
dx
dc 2 t
c2 t
Z0
und differenziert
Somit wird dann dc2 t
.
2 g
Z0
dx .
Oben eingesetzt und umgeformt
2 g
Z0
dx
g
Z0
L
g
Z0
L
1 x2
dt
1
(1 x 2 )
2 g
Z0
führt zu:
dx
1 x2
integral
1
2 g
Z0
dt . Die linke Seite integriert entspricht einem Grund-
dx
= artanh x und man erhält nach der Integration das Ergebnis
1 x2
artanh x =
g
Z0
L
1
2 g
Z0
t C.
258
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
0 und folglich x = 0. Dies bestimmt mit artanh 0 = 0 die
Zur Zeit t = 0 ist auch c 2 t 0
Integrationskonstante C = 0. Die Umkehrfunktion artanh x zurückgeführt und die Substitution für x wieder eingesetzt ergibt
x
1
2 g
c2 t
º
ª g Z0
1
tanh «
t»
2 g Z0
«¬ L
»¼
º
ª g Z0
1
tanh «
t» .
2 g Z0
»¼
¬« L
Z0
2 g
Z0
Erweitert man den Klammerausdruck mit
c2 t
oder
c2 t
2 g
ª g Z0
tanh «
¬« L
Z0
2 g
Z0
2 g
Z0
2 g
Z0
2 g
Z0
, so wird
1
2 g
º
t»
¼»
Z0
und letztlich
c2 t
2. a 2 ( t
a2 t
0); a1 t
º
t» .
¼»
0 :
0
L
g
0
0 und somit folgt aus a 2 t
L
g
Z0 c 22 t
2
Z0
a2 t
a1 t
ª 2 g Z0
tanh «
¬« 2 L
Z0
0 :
Zur Zeit t = 0 wird c 2 t
a2 t
2 g
0
g
Z0
.
L
0 :
Aus
dc1 t
dc 2 t
A2
A1
dc1 t
dt
dc 2 t
dt
§ D2 ·
¨¨
¸¸ .
© D1 ¹
§ D2 ·
¨¨
¸¸
© D1 ¹
dc 2 t
2
dividiert durch dt wird zunächst
2
Mit
dc 2 t
dt
a 2 t erhält man dann
2
§ D2 ·
¨¨
¸¸ .
© D1 ¹
a1 t
a2 t
a1 t
0 = a2 t
0
Zur Zeit t = 0 gelangt man zu
§ D2 ·
¨¨
¸¸
© D1 ¹
2
a1 t
oder
0
g
Z0
L
2
§ D2 ·
¨¨
¸¸ .
© D1 ¹
(s.o.):
9. Bernoullische Energiegleichung bei instationärer Strömung
3. p 2 t
0 :
Mit der Gleichung
p2 t 0
U
p2 t
U
pB
g
U
pB
g
U
Z2 + L 2
0 = pB U g
Das Ergebnis lautet dann:
folgt zur Zeit t = 0
dc 2 t 0
dt
Z2 + U g
p2 t
dc 2 t
dt
Z2 + L 2
a2 t
p2 t
259
0
Z0
L
g
Z0
L
(s.o.)
L2 .
0 = pB + U g
Z0
ª L2 Z2 º
«
»
Z0 ¼
¬L
10. Impulssatz
Im Fall von Aufgabestellungen, bei denen Kräfte auf einen Strömungsraum (Kontrollraum)
einwirken, kommt der Impulssatz der Strömungsmechanik zum Einsatz. Dessen Anwendung
macht es erforderlich, einen sinnvollen, ortsfesten Kontrollraum zu verwenden, an dessen
Grenzen die Strömungsgrößen bekannt sind bzw. ermittelt werden sollen. Die Verhältnisse
innerhalb des eingeschlossenen Volumens bleiben dabei völlig unberücksichtigt. Des Weiteren muss bei der Bearbeitung der Aufgaben neben dem Impulssatz häufig noch vom Kontinuitätsgesetz und bisweilen auch von der Bernoullischen Gleichung Gebrauch gemacht werden.
Da die Wahl eines geeigneten Kontrollraums auf die jeweilige Aufgabe abgestimmt werden
muss, wird er vereinfachend in den anschließenden Beispielen bereits vorgegeben.
Im Fall stationärer Strömung lässt sich der Impulssatz an einem ortsfesten Kontrollraum wie
folgt angeben:
&
&
¦ F ¦ (m c)
o
¦F
o
{
¦ (m
Summe aller äußeren Kräfte F an der Oberfläche des Kontrollraums
&
c)
&
Summe aller Impulsströme I
o
* c an den durchflossenen Bereichen
m
der Kontrollraumoberfläche
&
Da der Impulsstrom I die Dimension einer Kraft aufweist, wird er auch häufig durch den Beo
griff Impulskraft FI ersetzt. Bei Verwendung dieser Impulskräfte als ebenfalls äußere
Kräfte an der Kontrollraumoberfläche lautet der Ansatz dann entsprechend dem statischen
Kräftegleichgewicht
n &
¦ Fi 0 .
i 1
Dies ist eine häufig benutzte Vorgehensweise, mit Hilfe des Impulssatzes Lösungen zu vielfältigen Fragen der Strömungsmechanik zu erarbeiten. Als äußere Kräfte kommen je nach Fall
zur Anwendung:
1.
Druckkräfte senkrecht auf die jeweilige belastete Fläche wirkend.
2.
Wandkräfte (als Reaktion der Begrenzungswand) senkrecht auf den Kontrollraum
wirkend, sofern von Reibungskräften an der Oberfläche abgesehen werden kann.
3.
Impulskräfte senkrecht auf die durchströmten Querschnitte des Kontrollraums wir-
kend.
4.
Gewichtskräfte, Fliehkräfte
5.
Schnittkräfte in vom Kontrollraum durchtrennten Bauteilen.
Die bisher ausschließlich benutzte vektorielle Darstellung der Impulsgleichung wird in ihrer
praktischen Anwendung zugänglich, indem die Komponentendarstellung des z.B. kartesischen Koordinatensystems benutzt wird, also
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_10,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
262
10. Impulssatz
n
x-Richtung
&
¦F
ix
0
i 1
n
y-Richtung
&
¦F
iy
0
i 1
n
z-Richtung
&
¦F
iz
0.
i 1
Bei dieser Vorgehensweise werden, nachdem ein geeigneter Kontrollraum festgelegt wurde,
die o.g. Kräfte in den angegebenen bzw. bekannten Wirkungsrichtungen an den Kraftangriffspunkten angetragen. Die Wahl der Richtung von Schnittkräften durchtrennter Bauteile
ist beliebig. Sie ergibt sich zwangsläufig aus den anderen Kräften. Ist ein Körper im Kontrollraum eingeschlossen, so muss dessen Reaktionskraft auf das Fluidvolumen ebenfalls berücksichtigt werden.
10. Impulssatz
263
Aufgabe 10.1 Wandkraft im Krümmer
¥1.
h
7 min
7 Punkte
Der in Abb. 10.1.1 dargestellte horizontale Rohrkrümmer wird von einem Fluid der Dichte U
durchströmt. Der Rohrquerschnitt A ist überall konstant und folglich auch bei angenommener
stationärer Strömung die Geschwindigkeit c. Die aufgrund der Umlenkung des Fluids im
Krümmer entstehenden Verluste verkleinern den statischen Drucks p2 am Austritt gegenüber
dem statischen Drucks p1 am Eintritt. Gesucht wird die Wandkraft FW bei den gegebenen
Größen.
Abb. 10.1.1 Grundriss des Krümmers
Lösung zu 10.1
Aufgabenerläuterung
Das Durchströmen eines Rohrkrümmers bewirkt an der Innenfläche eine Wandkraft FW, die
sowohl auf die Wand selbst als auch in umgekehrter Richtung auf den Kontrollraum gerichtet
ist. Da alle erforderlichen Größen am Ein- und Austrittsquerschnitt als bekannt vorausgesetzt
werden, lässt sich die Wandkraft allein mit dem Impulssatz bestimmen.
Gegeben:
p1 ; p2 ; c ; A ; U
Gesucht :
FW
Anmerkungen:
- Die Gewichtskraft des Fluids wirkt sich in der Grundrissebene nicht aus.
- Reibungskraft zwischen Fluid und Krümmerwand wird vernachlässigt.
- Kontrollraum innen im Krümmer in der Weise anordnen, dass Ein- und
Austrittsquerschnitte A senkrecht zur Geschwindigkeit c verlaufen und
die Mantelfläche an der Krümmerinnenwand anliegt.
264
10. Impulssatz
Lösungsschritte:
Abb. 10.1.2 Kräfte am Kontrollraum
Die Wandkraft FW besitzt bei dem zugrunde gelegten Koordinatensystem die Komponenten
Fw x und Fw y . Sind diese beiden bekannt, führt dies zu FW .
Fw x :
Die Kräftebilanz in x-Richtung liefert
Fw x erhält man: FWx
Fp 2 FI 2 .
¦F
ix
0
Fw x Fp 2 FI 2 . Umgeformt nach
Fp 2
p2
A
Druckkraft auf A am Krümmeraustritt
FI 2
c2
m
Impulskraft auf A am Krümmeraustritt
c1
m
V
c2 c
U V
c A
Gleichheit der Geschwindigkeiten
Massenstrom am Krümmereintritt und -austritt
Volumenstrom am Krümmereintritt und -austritt
Mit diesen Zusammenhängen erhält man die Komponente Fw x zu:
FWx
A U A c2
p2
Fw y :
Die Kräftebilanz in y-Richtung liefert
Umgeformt nach Fw y erhält man: FWy
¦F
iy
0
Fw y Fp1 FI1 .
Fp1 FI1 .
Fp1
p1
A
Druckkraft auf A am Krümmereintritt
FI1
c1
m
Impulskraft auf A am Krümmereintritt
c1
m
V
c2 c
U V
c A
Gleichheit der Geschwindigkeiten
Massenstrom am Krümmereintritt und -austritt
Volumenstrom am Krümmereintritt und -austritt
10. Impulssatz
265
Mit diesen Zusammenhängen erhält man die Komponente Fw y zu:
FWy
p1
AU A
c2
Nach dem Satz von Pythagoras lässt sich im rechtwinkligen Dreieck FW wie folgt angeben:
FW
FW2 x FW2 y . Unter Verwendung o.g. Ergebnisse lautet dann die gesuchte Wandkraft:
FW
A
p1 U c 2
2
p2 U c2
2
266
10. Impulssatz
Aufgabe 10.2 Frei ausblasender Krümmer
¥1.
8 min
h
8 Punkte
Der in Abb. 10.2.1 dargestellte horizontale Rohrkrümmer entlässt Wasser am Austritt in atmosphärische Umgebung. Der Krümmerquerschnitt A ist konstant und folglich auch bei angenommener stationärer Strömung die Geschwindigkeit c. Bei weiterhin bekannten Drücken
p1 und pB soll eine Gleichung zur Bestimmung der Einspannkraft FS an der Stelle 1 hergeleitet
werden.
Abb. 10.2.1 Grundriss des frei ausblasenden Krümmers
Lösung zu 10.2.
Aufgabenerläuterung
Im Unterschied zu Aufgabe 10.1, wo nach der Wandkraft FW eines zwei Rohrleitungen verbindenden Krümmers gefragt wird, soll hier die Kraft an der Verbindungsstelle (Flansch) eines Krümmers mit einem Rohr zur Lösung gebracht werden. Es wirkt auch im vorliegenden
Fall an der Krümmerinnenfläche eine Wandkraft, die aber jetzt nicht gefragt ist. Zur Herleitung wird wieder der Impulssatz zur Anwendung kommen, der alle äußeren Kräfte am Kontrollraum bilanziert. Hierzu gehört auch die Schnittkraft in der Verbindungsstelle.
Gegeben:
p1 ; pB ; c ; A ; U
Gesucht :
FS
Anmerkungen:
- Kontrollraum außen um den Krümmer in der Weise anordnen, dass
Ein-und Austrittsquerschnitte A senkrecht zu den Geschwindigkeiten c
verlaufen und die Verbindungsstelle (Index S) repräsentativ an einer
beliebigen Stelle ( hier Pkt. g ) geschnitten wird.
- Die Druckkräfte aus dem atmosphärischen Druck pB auf den Flächen des
Kontrollraums gemäß Abb. 10.2.2 heben sich gegenseitig auf mit
folgenden Ausnahmen: Auf h y g wirkt der Druck p1 und gegenüber
auf b y d der Druck pB.
10. Impulssatz
267
Lösungsschritte
Abb. 10.2.2 Kräfte am Kontrollraum
Die in Abb. 10.2.2 willkürlich eingezeichnete Schnittkraft FS besitzt bei dem zugrunde gelegten Koordinatensystem die Komponenten FS x und FSy . Sind beide bekannt, führt dies zu
FS .
FS x :
Die Kräftebilanz in x-Richtung liefert
¦F
Umgeformt nach FS x erhält man: FS x
FI 2 .
FI 2
c2
m
c1
m
V
c2 c
U V
c A
ix
0
FS x FI 2 .
Impulskraft auf A am Krümmeraustritt
Gleichheit der Geschwindigkeiten
Massenstrom am Krümmereintritt und -austritt
Volumenstrom am Krümmereintritt und -austritt
Mit diesen Zusammenhängen erhält man die Komponente FS x zu:
FSx
U A c2
FSy :
Die Kräftebilanz in y-Richtung liefert
Umgeformt nach FS y erhält man: FS y
A
¦F
iy
0
FS y Fp y Fp1 FI1 .
Fp1 Fp y FI1 .
Druckkraft auf A zwischen h y g am Krümmereintritt
Fp1
p1
Fp y
pB
FI1
c1
m
Impulskraft auf A am Krümmereintritt
c1
m
V
c2 c
U V
c A
Gleichheit der Geschwindigkeiten
Massenstrom am Krümmereintritt und -austritt
Volumenstrom am Krümmereintritt und -austritt
A
Druckkraft auf A zwischen b y d
268
10. Impulssatz
Mit diesen Zusammenhängen erhält man die Komponente FS y zu:
FS y
p1 p B
A U A c2
Nach dem Satz von Pythagoras lässt sich im rechtwinkligen Dreieck FS wie folgt angeben:
FS
FS2x FS2y . Unter Verwendung o.g Ergebnisse lautet dann die gesuchte Schnittkraft:
FS
U A c2
FS
U A c2
2
2
p1 p B
A U A c2
§
p pB A ·
1¸¸
¨¨1 1
U A c2
©
¹
2
oder U A c 2
ausgeklammert
2
und nach Kürzen und U A c 2 vor die
Wurzel gebracht :
FS
2
U A c2
§ p p
·
1 ¨¨ 1 2B 1¸¸
© U c
¹
2
10. Impulssatz
269
Aufgabe 10.3 Wandkraft in einer Düse
¥1.
hh
18 min
18 Punkte
Auf die Innenwand einer horizontal durchströmten Düse wirkt eine Wandkraft FW. Bei bekannter Fluiddichte U, Querschnittsflächen A1 und A2 sowie Eintrittsdruck p1 und Eintrittsgeschwindigkeit c1 soll diese Wandkraft bei angenommener verlustfreier Strömung ermittelt
werden.
Abb. 10.3.1 Düsengrundriss
Lösung zu 10.3
Aufgabenerläuterung
Das Durchströmen einer Düse bewirkt an ihrer Innenfläche eine Wandkraft FW, die sowohl
auf die Wand selbst als auch in umgekehrter Richtung auf den Kontrollraum gerichtet ist. Da
nach einer strömungsbedingten Kraft gefragt wird, ist es ratsam, als Lösungsansatz die Impulsgleichung an einem sinnvoll anzuordnenden Kontrollraum zu verwenden. Wegen der nur
unvollständig vorgegebenen Größen wird es zur Bestimmung des Drucks und der Geschwindigkeit im Düsenaustritt weiterhin erforderlich, von der Bernoullischen Gleichung und dem
Kontinuitätsgesetz Gebrauch zu machen.
Gegeben:
p1 ; c1 ; A1 ; A2 ; U
Gesucht :
FW
Anmerkungen:
- Die Gewichtskraft des Fluids wirkt sich in der Grundrissebene nicht aus.
- Annahme einer verlustfreien Strömung in der Düse.
- Kontrollraum in der Düse in der Weise anordnen, dass Ein- und Austrittsquerschnitte A1 und A2 senkrecht zur Geschwindigkeit c1 bzw. c2
verlaufen und die Mantelfläche an der Düseninnenwand anliegt.
270
10. Impulssatz
Lösungsschritte
Impulssatz am Kontrollvolumen:
Abb. 10.3.2 Kontrollraum mit wirkenden Kräften
Bei den in Abb. 10.3.2 am Kontrollraum wirkenden Kräften ist die gesuchte Wandkraft an der
Manteloberfläche in allgemeiner Anordnung eingetragen. Man erkennt aber sofort, dass im
vorliegenden Fall keine Kräfte in y-Richtung existieren. Somit wird :
¦F
FWy .
0
iy
Die Kräftebilanz in x-Richtung liefert
¦F
FWx
Fp1 FI1 FWx Fp 2 FI 2 oder nach FWx umgeformt:
0
ix
Fp1 Fp 2 FI 2 FI1
Fp1
p1
A1
Druckkraft auf Eintrittsfläche
Fp 2
p2
A2
Druckkraft auf Austrittsfläche
FI1
c1
m
Impulskraft auf Eintrittsfläche
FI 2
c2
m
U V
Impulskraft auf Austrittsfläche
m
V
c1
A1
c2
A2
Massenstrom durch Eintrittsfläche und Austrittsfläche
Kontinuitätsgesetz
Diese Zusammenhänge in die o.g. Gleichung für FWx eingesetzt führt zunächst zu
FWx
p1
A1 p 2
chungsseite A1
FWx
p1
A2 U
A2
c 22 A1
c12
oder im zweiten Term der rechten Glei-
2
1
c ausgeklammert
A1 p 2
Kontinuitätsgesetzes
A 2 U A1
c 22
c12
c12
ª A2
«A
¬ 1
A12
folgt dann
A 22
º
c 22
1» . Mit dem Quadrat des umgeformten
c12
¼
10. Impulssatz
271
FWx
p1
A1 p 2
A2 U
A1
c12
FWx
p1
A1 p 2
A 2 U A1
c12
ª A 2 A12
º
1»
«A
2
¬ 1 A2
¼
º
ª A1
1» .
«
A
¼
¬ 2
Es fehlt jetzt letztlich nur noch der statische Druck p2 im Düsenaustritt, den man mittels
Bernoullischer Gleichung wie folgt darstellen kann:
p2:
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2 (ohne Verluste):
p1 c12
g
U
2
p 2 c 22
g
U
2
Z1
p2
p
1
= 1 U 2
U
c12 c 22 . Mit der Dichte Umultipliziert und c12 vor den Klammerausdruck
p1 geschrieben liefert p 2
nuitätsgesetz
c 22
c12
U
2
c12
p2
p1 Z 2 . Aufgrund der horizontalen Lage folgt: Z1 = Z2
U
2
§
c2 ·
¨¨1 22 ¸¸ . Bringt man wieder das umgeformte Kontic1 ¹
©
c12
A12
zur Anwendung, dann lautet der gesuchte Druck:
A 22
§
A2 ·
¨¨1 12 ¸¸
A2 ¹
©
Wenn wir diesen Druck nun in die Gleichung für FWx einsetzen, so lässt sich zunächst
schreiben:
§
FWx ¨ p1
¨
©
A1 A 2
§
¨ p1 U
¨
2
©
§
A2 · · ·
¨¨1 12 ¸¸ ¸ ¸ U
A 2 ¹ ¸¹ ¸¹
©
c12
A1
Die Klammern dann ausmultipliziert, gleiche Größen gekürzt
A12
U
U
U
FWx p1 A1 p1 A 2 A 2
c12 A 2
c12
2
2
A 22
FWx
p1
A1 A 2 A 2
und wo vorhanden
FWx
p1
U
2
p1
c12 A12
A2
U
2
c12 2
A12
A2
c12
A1
U
2
A1
+ U A1
A2
c12 + 2 A1
U
2
c12
c12
c12 ausgeklammert führt zu:
A1 A 2 Klammer FWx
U
2
ª A1
º
« A 1»
¬ 2
¼
c12
U
2
c12
§
A2
¨¨ A 2 1 2
A2
©
A1 A 2 U
2
c12
A2
·
A12
- 2 A1 ¸¸ . Zieht man noch A2 vor die
A2
¹
§
A2
¨¨1 12 - 2
A2
©
A1 ·
¸
A 2 ¸¹
272
10. Impulssatz
und ersetzt den Klammerausdruck mit der Binomischen Gleichung
§ A12
¨¨ 2 - 2
© A2
2
·
§A
·
A1
1¸¸ = ¨¨ 1 1¸¸ ,
A
A2
¹
© 2
¹
so resultiert hieraus:
FWx
A1 A 2 p1
U
2
c12
§ A1
·
¨¨
1¸¸
© A2
¹
A2
2
2
§A
·
Eine weitere Vereinfachung lässt sich erreichen, indem ¨¨ 1 1¸¸ ersetzt wird durch
© A2
¹
§ A1 A 2 ·
¨¨
¸¸
© A2 ¹
FWx
p1
2
1
A 22
A1 A 2 :
A1 A 2 2
U
2
c12
A2
A 22
A1 A 2
2
Durch Kürzen und Ausklammern von A1 A 2 führt dies letztlich zum Ergebnis:
FWx
A1 A 2
FWy
0
FW
FWx
§
¨ p1 U
¨
2
©
c12
§ A1
··
¨¨
1¸¸ ¸¸
A
© 2
¹¹
10. Impulssatz
273
Aufgabe 10.4 Kolben in Düse
¥1.
¥2.
hhh
h
20 min
4 min
20 Punkte
4 Punkte
Mittels eines Kolbens wird gemäß Abb. 10.4.1 Flüssigkeit durch eine horizontale Düse in atmosphärische Umgebung gepresst, wobei am Kolben eine Kraft F angreift. Bei bekannter
Fluiddichte U, Querschnittsflächen A1 und A2 sowie Eintrittsgeschwindigkeit c1 und Außendruck pB sollen die Austrittsgeschwindigkeit c2, der Druck p1, die Kraft F und die Haltekraft
FA in den beiden Lagern bei angenommener verlustfreier Strömung ermittelt werden.
Abb. 10.4.1 Grundriss der Düse
Lösung zu 10.4
Aufgabenerläuterung
Das Durchströmen der Düse unter Einwirkung der Kraft F am Kolben ruft die gesuchte Haltekraft FA hervor, die jeweils an beiden Lagern entsteht. Bevor man an die Ermittlung dieser
Kraft geht, müssen jedoch zuvor c2, p1 und F bekannt sein. Bei der Feststellung dieser Größen
macht man von der Bernoullischen Gleichung und dem Kontinuitätsgesetz Gebrauch.
Da bei FA nach einer Kraft gefragt wird, die aufgrund eines Strömungsvorgangs entsteht, ist
es ratsam, als Lösungsansatz die Impulsgleichung an einem sinnvoll anzuordnenden Kontrollraum zu verwenden.
Gegeben:
A1 ; A2 ; c1 ; U
Gesucht:
1. c2 ; p1; F ; FA
2.
c2 ; p1; F ; FA , wenn: A1
U
0,10 m 2 ; A 2
1000
kg
;
m3
pB
0,010 m 2 ; c1
100000 Pa
4
m
;
s
274
10. Impulssatz
Anmerkungen:
- Die Gewichtskraft sei von untergeordneter Bedeutung.
- Annahme einer verlustfreien Strömung in der Düse.
- Kontrollraum in der Weise anordnen, dass Ein- und Austrittsquerschnitte
A1 und A2 senkrecht zur Geschwindigkeit c1 bzw. c2 verlaufen und die
Lager geschnitten werde.
- Annahme von Reibungsfreiheit des Kolbens in der Düse.
Lösungsschritte
1. c2 ; p1; F ; FA
c2 :
Mit der Kontinuitätsgleichung V
1
c2
und V
V
2
c1
A1
A2
c
A wird c1
A1
c 2 A 2 und somit
.
p1 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2 (ohne Verluste):
p1 c12
p 2 c 22
g Z1
g Z2
U
2
U
2
Mit den besonderen Gegebenheiten im vorliegenden Fall Z1 = Z2 und p 2 p B folgt zunächst
p1
p
1
c 22 c12 .
Multipliziert mit U und c12 ausgeklammert liefert
= B 2
U
U
p1
pB V
c1
U
2
A1
c12
§ c 22
·
¨¨ 2 1¸¸ .
© c1
¹
c 22
lässt sich hierin aus der Kontinuitätsgleichung
c12
und der Umformung
c2 A 2
c2
c1
c2
A1
ersetzen mit 22
A2
c1
In der Gleichung für p1 verwendet führt dies zu
p1
pB U 2
c1
2
§ A12 ·
¨¨ 2 1¸¸ .
© A2 ¹
F:
Das Kräftegleichgewicht am Kolben liefert
F + pB
F = A1
A1
p1
A1
oder umgeformt nach der Kraft F:
p1 p B .
ª
U 2
F = A1 «p B c1
2
¬
p1 (s.o.) eingesetzt:
º
·
§A
¨¨
1¸¸ p B »
¹
©A
¼
2
1
2
2
F =
U 2
c1 A1
2
§ A12 ·
¨¨ 2 1¸¸
© A2 ¹
A12
.
A 22
10. Impulssatz
275
FA :
Bei der Bestimmung der Lagerkraft FA kommt man mit dem Impulssatz am Kontrollvolumen
gemäß Abb. 10.4.2 wie folgt zum Ziel. Es sei zunächst angemerkt, dass die Druckkräfte auf
den Flächen des Kontrollraums sich gegenseitig aufheben, mit Ausnahme der Bereiche e y d
und h y k . Auf h y k { A1 wirkt der Druck p1 und gegenüber auf e y d { A1 der Druck pB.
Abb. 10.4.2 Kräfte am Kontrollraum
Die Kräftebilanz in x-Richtung liefert Fp1 FI1 FI 2 Fp x 2 FA
FA erhält man 2 FA
Fp1 Fp x FI 2 FI1
oder
FA
1
2
>F
Fp1
p1
A1
Fp x
pB
A1
FI1
c1
m
Impulskraft auf A1
FI 2
c2
m
U V
Impulskraft auf A2
m
V
FI1
FI 2
p1
0 . Umgeformt nach
@
Fp x FI 2 FI1 .
Druckkraft auf A1 zwischen h y k am Düseneintritt
Druckkraft auf A1 zwischen e y d
Massenstrom am Düseneintritt und -austritt
Volumenstrom am Düseneintritt und -austritt
Impulskraft auf A1
c1 A1 c 2 A 2
c
U V
U A 1 c12
1
c
U V
U A 2 c 22
2
Impulskraft auf A2
Mit diesen Zusammenhängen erhält man FA zu:
FA
FA
FA
1
2
>A
1 ª
«A1
2 ¬
1 ª
«A1
2 ¬
1
p1 p B U
A2
c 22 A1
@
c12 .
·º
§
A12
p1 p B U ¨¨ A 2 c12
A1 c12 ¸¸» .
2
A2
¹¼
©
·º
§A
p1 p B U A1 c12 ¨¨ 1 1¸¸»
¹¼
© A2
Mit c 2
c1
A1 folgt
A2
A1 c12 ausgeklammert
oder
276
FA
FA
10. Impulssatz
1 ª
«A1
2 ¬
1 ª
«A1
2 ¬«
sowie U A1
FA
1
A1
2
p1 p B U A1
§
¨ p B U c12
¨
2
©
c12
2
·º
§
A1
¨¨ 2
2 ¸¸» .
A2
¹¼
©
·
§ A12
·
c2
¨¨ 2 1¸¸ p B ¸ U A1 1
¸
2
© A2
¹
¹
1
c2 ª A 2
A1 º
A1 U 1 « 12 2
1 .
2
2 ¬ A2
A 2 »¼
lautet das Ergebnis:
Mit (a 2 2 a b b 2 )
1
c2
U 1 A1
2
2
FA
2. c2 ; p1; F ; FA , wenn:
1000
kg
; pB
m3
c2 :
0,1
0,01
c2
40
m
s
p1:
p1 = 100 000 +
1000
2
42
§ 0,12
·
¨¨
1¸¸
2
© 0,01
¹
p1
892000 Pa
F:
F =
1000 2
4 0,1
2
§ 0,10 2
·
¨
1¸
¨ 0,012
¸
¹
©
F = 79200 N
FA:
FA
1
42
§ 0,10 ·
1¸
1000
0,1 ¨
2
2
© 0,01 ¹
FA
§ A1
·
¨¨
1¸¸
A
© 2
¹
0,10 m 2 ; A 2
A1
U
4
§
·º
A1
¨¨ 2
2 ¸¸»
© A2
¹»¼
c12
vor die komplette Klammer gesetzt führt zu
2
º
c2 ª A 2
A1
U 1 « 12 1 2
2»
oder
2 ¬ A2
A2
¼
FA
c2
p1 (s.o.) eingesetzt
2
32400 N
2
0,010 m 2 ; c1
100000 Pa
4
m
;
s
(a b) 2
10. Impulssatz
277
Aufgabe 10.5 T-Stück
¥1.
¥2.
h
hh
2 min
12 min
2 Punkte
12 Punkte
Gemäß Abb. 10.5.1 ist an der Stelle 1 einer Rohrleitung ein horizontales T-Stück ange 1 durch den Querflanscht. Ein Fluid konstanter Dicht U strömt mit einem Massenstrom m
2 bzw. m
3
schnitt A1 in das T-Stück. An den Stellen 2 und 3 verlassen die Massenströme m
das T-Stück ins Freie. Alle Querschnitte A1 = A2 = A3 = A sind gleich groß. Ebenso sollen
dieselben Geschwindigkeiten c2 = c3 bei 2 und 3 vorliegen. Ermitteln Sie diese Geschwindigkeiten ebenso wie die im Flansch wirksame Kraft FF.
Abb. 10.5.1 Grundriss des Rohrs mit T-Stück
Lösung zu 10.5
Aufgabenerläuterung
Die Frage nach den gleich großen Geschwindigkeiten c2 und c3 steht in direktem Zusammenhang mit dem Kontinuitätsgesetz. Über die Massenstrombilanz, Dichtegleichheit und die
Durchflussgleichung wird die Lösung ermöglicht. Die zu ermittelnde Flanschkraft FF lässt
sich mittels Impulssatz aus der Kräftebilanz an einem geeigneten Kontrollraum feststellen.
Gegeben:
A; c1; p1; pB; U
Gesucht:
1. c2 ; c3
2. FF
278
10. Impulssatz
Anmerkungen:
- Die Gewichtskraft sei von untergeordneter Bedeutung.
- Kontrollraum außen um das T-Stück in der Weise angeordnet, dass
Ein- und Austrittsquerschnitte A senkrecht zu den Geschwindigkeiten c
verlaufen und der Angriffspunkt der Flanschkraft FF repräsentativ an
einer beliebigen Stelle (hier Pkt. b) geschnitten wird.
- Die Druckkräfte aus dem atmosphärischen Druck pB auf den Flächen des
Kontrollraums gemäß Abb. 10.5.2 heben sich gegenseitig auf mit
Ausnahme der Bereiche b y d und h y g . Auf b y d wirkt der Druck p1
und gegenüber auf h y g der Druck pB.
Lösungsschritte
1. c2 ; c3 :
Kontinuitätsgesetz :
3
0
1 m
2 m
3
m
oder
U V
1
U V
2
U V
3
Massenstrom durch
Massenstrom durch
Massenstrom durch
A1 = A
A2 = A
A3 = A
c1 A1
c2 A 2
c3 A 3
Volumenstrom durch
Volumenstrom durch
Volumenstrom durch
A1 = A
A2 = A
A3 = A
1
m
2
m
3
m
V
1
V
2
V
6m
1
m
2 m
3
m
In dem o.g. Kontinuitätsgesetz verwendet folgt:
U c1
A1
U c2
A 2 U c3
A 3 . Wegen A1 = A2 = A3 = A kürzen sich die
Querschnitte heraus und es resultiert c1 c 2 c 3 . Setzt man nun noch die Annahme
c 2 c 3 ein, so führt dies zu c1 2 c 2 oder als Ergebnis:
c2
c3
1
2
c1
2. FF:
Die Flanschkraft FF lässt sich gemäß dem zugrunde gelegten Koordinatensystem zerlegen in
eine x-Komponente FFx und eine y-Komponente FFy . Hat man beide Anteile aus der Kräftebilanz am Kontrollraum ermittelt, so liegt mittels Pythagoras FF
FF2x FF2y das gesuchte Er-
gebnis vor. Die Druck- und Impulskräfte wirken wie immer auf die Bezugsflächen.
FFx :
Die Kräftebilanz in x-Richtung lautet gemäß Abb. 10.5.2
6 Fx i
0
Fp1 FI1 Fp 3 FI 3 FFx
10. Impulssatz
279
oder nach FFx umgeformt:
FFx
Fp1 Fp 3 FI1 FI 3 . Hierin bedeuten
Abb. 10.5.2 Kräfte am Kontrollraum
Druckkraft auf
A1 = A zwischen b y d
Druckkraft auf
A3 = A zwischen h y g
c1
Impulskraft auf
A1 = A
c3
U V1
U V
3
Impulskraft auf
A3 = A
Massenstrom durch
Massenstrom durch
A1 = A
A3 = A
c1 A1
c3 A 3
Volumenstrom durch
Volumenstrom durch
A1 = A
A3 = A
Fp1
p1
A1
Fp 3
pB
A3
FI1
1
m
FI 3
3
m
1
m
3
m
V1
V
3
p1
pB
A
A
Alle Zusammenhänge in die o.g. Gleichung für FFx eingesetzt führt zunächst zu
FFx
p1
A pB
A U A c12 U A c32 = A
Verwendet man noch das Ergebnis c3
FFx = A
>p
1
pB U
c12 c32
@
FFx = A
1
2
= A
p1 p B U c12 U c32 .
c1 , so folgt für FFx :
ª
§ 2 1
« p1 p B U ¨ c1 4
©
¬
3
ª
«¬ p1 p B 4
º
U c12 » .
¼
·º
c12 ¸» oder
¹¼
280
10. Impulssatz
FFy :
Die Kräftebilanz in y-Richtung lautet gemäß Abb. 10.5.2:
6 Fy i
FI 2
2
m
V
2
FFy FI 2
0
2
m
c2
U V2
c2 A 2
Mit c 2
1
2
oder nach FFy umgeformt FFy
Impulskraft auf
FI 2 .
A2 = A
Massenstrom durch
A2 = A
Volumenstrom durch A2 = A
c1 lässt sich FFy ermitteln zu
FFy =
1
4
U
A
c12 .
FFx und FFy eingesetzt in die Gleichung der Flanschkraft FF liefert das Ergebnis:
FF =
ª
«A
¬
3
ª
«¬ p1 p B 4
2
ºº
§1
U c12 » » ¨
¼¼
©4
FF = A
·
U A c12 ¸
¹
3
ª
«¬ p1 p B 4
2
oder letztlich
2
§1
º
U c12 » ¨
©4
¼
2
·
U c12 ¸ .
¹
10. Impulssatz
281
Aufgabe 10.6 Offener Behälter mit Stützfeder
¥1.
¥2.
¥3.
2 min
6 min
5 min
h
hh
hh
2 Punkte
6 Punkte
5 Punkte
Ein Flüssigkeitsbehälter weist gemäß Abb. 10.6.1 zwei in verschiedenen Höhen h1 und h2 = h3
angebrachte Öffnungen auf, die unterschiedliche Austrittsquerschnitte A1 und A3 besitzen. Der
Behälter stützt sich über eine Feder an einer Wand ab, wobei die Impulskräfte mit der Feder
kompensiert werden. Das Flüssigkeitsvolumen im Behälter wird so groß angenommen, dass
in Folge des Ausströmens an den Stellen 1 und 3 keine nennenswerte Spiegelabsenkung entsteht. Neben den Teilvolumenströmen bei 1 und 3 sowie dem resultierenden Gesamtvolumenstrom sollen der statische Druck an der Stelle 2 und die in der Feder wirksame Kraft ermittelt
werden.
Abb. 10.6.1. Flüssigkeitsbehälter
Lösung zu 10.6
Aufgabenerläuterung
Das zentrale Thema dieser Aufgabe ist der freie Ausfluss aus offenen Behältern. Zur Ermittlung der Volumenströme benötigt man zunächst die Geschwindigkeiten in den betreffenden
Querschnitten. Die Torricellische Gleichung (Sonderfall der Bernoullischen Gleichung) liefert
diese Geschwindigkeitsgrößen, die in Verbindung mit den jeweiligen Querschnitten zu den
gesuchten Volumenströmen führen. Der statische Druck in der eingeengten Stelle 2 lässt sich
mit der Bernoullischen Gleichung, hier am einfachsten an den Stellen 0 und 2 angewendet,
bestimmen. Zur Ermittlung der Federkraft ist es erforderlich, alle äußeren, horizontalen
282
10. Impulssatz
Kräfte, die am eingezeichneten Kontrollraum angreifen, zunächst in der Abb. 10.6.2 einzuzeichnen und in der Kräftegleichung zu berücksichtigen. Die Richtungen der Impulskräfte
werden in den durchströmten Querschnitten des Kontrollraums wie die von Druckkräften behandelt, nämlich auf die Flächen orientiert. Da der Kontrollraum so angeordnet wurde, dass
er die Feder schneidet, ist folglich die Schnittkraft (Federkraft) ebenfalls als äußere Kraft zu
behandeln. Die o.g. horizontale Einschränkung ist deswegen möglich, weil die Federkraft nur
in dieser Richtung wirkt. Aufgrund des atmosphärischen Drucks am ganzen Kontrollraum heben sich Druckkräfte gegenseitig auf.
Gegeben:
U;
Gesucht:
1.
g ; pB ; h1 ; h2 ; A1 ; A2 ; A3
; V
; V
V
1
3
ges.
2.
p2
3.
FF
Anmerkungen:
- Verlustfreie Strömung.
- Keine Reibungskräfte der Rollen und Lager.
- Z0 = konstant
Lösungsschritte
; V
; V
1. V
1
3
ges.
:
V
1
Den Volumenstrom erhält man aus dem Produkt von Geschwindigkeit und dem senkrecht
=c
zugeordnetem Querschnitt, hier V
1
1
c1
2 g
h 1 lautet der Volumenstrom an der Stelle 1:
= A
V
1
1
: dto.
V
3
= c
V
3
3
A1 . Mit der Torricellischen Ausflussgleichung
A 3 und c 3
2 g
2 g
h1
2 g
h3
h3 :
= A
V
3
3
:
V
Ges
Die Addition der beiden Teilvolumenströme verschiedener Größe führt zum Gesamtvolumen-
strom V
Ges
V
:
V
1
2
V
Ges
A1
2 g h1 A 3
2 g h3
10. Impulssatz
283
2. p 2 : Bernoullische Gleichung an den Stellen 0 und 2:
2
p0 c0
g
2
U
p 2 c 22
g
2
U
Z0
Z2
Mit den hier vorliegenden Gegebenheiten an den Stellen 0 und 2
pB
p 2 c 22
g h3
p 0 = pB ; c 0 = 0 ; Z 0 Z 2
h 2; 3 folgt
2
U
U
nach
p2
p2
aufgelöst:
U
U
p2
pB g U h3 p%
g
U
U
2
h3 2
c2 .
oder
c 22
. Multipliziert mit der Dichte U entsteht
2
Hierin muss nun noch die Geschwindigkeit c2 mit
der schon bekannten Geschwindigkeit c3 ersetzt werden. Dies gelingt mit dem Volumenstrom
V
3
c3
A3
c2
oder nach c 2 umgeformt
A2
2
c 2 = c3
A3
A2
Da c 3
2 g
bzw. c 22
h3
§ A3 ·
¨¨
¸¸ .
© A2 ¹
c32
oder c32
2 g h 3 , erhält man die gesuchte Größe c 22 zu:
2
c 22
2 g
h3
§ A3 ·
¨¨
¸¸ . Oben eingesetzt p 2
© A2 ¹
pB g U h3 U
2
2 g
h3
lautet das Ergebnis letztendlich:
p2
pB g U h3
2
§
·
¨1 §¨ A 3 ·¸ ¸
¨A ¸ ¸
¨
© 2¹ ¹
©
3. FF :
Die Kräftebilanz am Kontrollraum gemäß Abb. 10.6.2 in x-Richtung erhalten wir zu
6 Fi x
0
FF FI1 FI 3 oder nach der Federkraft umgeformt FF
Abb. 10.6.2 Kräfte am Kontrollraum
FI1 FI 3 .
§ A3 ·
¨¨
¸¸
© A2 ¹
2
284
10. Impulssatz
1 c1 bzw. FI 3 m
3 c3 . In Verbindung mit den MassenDie Impulskräfte lauten FI1 m
c bzw.
1 U V1 und m
3 U V3 führt dies zunächst zu FI1 U V
strömen m
1
1
F U V c und unter Verwendung von V c A und V
c A entsteht
I3
FI1
3
3
U A1 c12 und FI 3
1
U A3
1
1
3
3
c32 .
Verwenden wir jetzt noch die o.g. Ergebnisse für c12 2 g h1 sowie c32
folgt die gesuchte Federkraft nachstehender Gleichung:
FF
3
2 g U
>A1
h1 A 3
h3 @
2 g h 3 , so
10. Impulssatz
285
Aufgabe 10.7 Mischer
¥1.
¥2.
¥3.
hh
hhh
h
3 min
12 min
2 min
3 Punkte
12 Punkte
2 Punkte
2 mit verschiedenen Geschwindigkeiten c1 und c2 in den Recht 1 und m
Zwei Luftströme m
eckquerschnitten A1 und A2 werden in einen Kanal mit dem Querschnitt A3 geleitet. Dort
stellt sich durch Vermischungsvorgänge der beiden Massenströme nach einer Mischungsstrecke (hier der Kontrollraum) eine Geschwindigkeit c3 ein. Ermitteln Sie diese Geschwindigkeit
c3 und den Druckunterschied (p3 - p1), wenn die Querschnitte A1 und A3 sowie die Geschwindigkeiten c1 und c2 und die Luftdichte U bekannt sind.
Abb. 10.7.1 Impulssatz am Kontrollraum
Lösung zu 10.7
Aufgabenerläuterung
Die zunächst gestellte Frage nach der Geschwindigkeit c3 lässt sich mittels Kontinuitätsgesetz
und den Durchflussgleichungen am Kontrollraum ermitteln. Die gegebenen Geschwindigkeiten und Querschnitte erlauben bei der vorausgesetzten Dichtegleichheit eine einfache Lösung.
Zur Bestimmung des Druckunterschieds (p3 - p1) werden mittels Impulssatz am Kontrollraum
alle äußeren Kräfte bilanziert. Gemäß Abb. 10.7.2 sind dies am gewählten Kontrollraum die
für (p3 - p1) benötigten Druckkräfte und die Impulskräfte. Reibungskräfte entfallen bei der vorausgesetzten Vernachlässigung von Wandschubspannungen.
Gegeben:
A1 = A3/3 ;
Gesucht:
1. c3
c 1 ; c2 ; U
2.
(p3 - p1)
3.
Pkte. 1 und 2 , wenn c1 = 20
m
m
kg
, c2 = 10
, U = 1,2
.
s
s
m3
286
10. Impulssatz
Anmerkungen:
- Wandschubspannungen werden vernachlässigt.
- Die Druckverteilungen p1 = p2 über A1 bzw. A2 sowie p3 über A3 sind
homogen. Dies soll ebenfalls für die Geschwindigkeitsverteilungen
zutreffen.
- Das Fluid (Luft) kann als inkompressibel (U konstant) betrachtet
werden.
- Kontrollraum im Mischer in der Weise anordnen, dass Ein- und Austrittsquerschnitte A1, A2 und A3 senkrecht zu den Geschwindigkeiten c1,
c2 und c3 verlaufen, die Mantelfläche an der Mischerinnenwand anliegt
und der Austrittsquerschnitt A3 am Ende der Mischungsstrecke liegt.
Lösungsschritte
1. c3 :
Kontinuitätsgesetz :
1
m
2
m
3
m
V
1
V
2
V
3
6m
1 m
2 m
3
m
0
U V
1
U V
2
U V
3
Massenstrom durch A1
Massenstrom durch A2
Massenstrom durch A3
c1 A1
c2 A 2
c3 A 3
Volumenstrom durch A1
Volumenstrom durch A2
Volumenstrom durch A3
oder
3
m
In dem o.g. Kontinuitätsgesetz verwendet U c3 A 3 U c1
folgt nach Kürzen der Dichte U und Division durch$:
A1
A2
c2
. Mit A1 =
A3
A3
A2
2
folglich A2 =
=
A 3 bzw.
A3
3
c3
c1
c3
1 m
3
m
A1 U c 2
A2
A
1
1
A 3 bzw. 1 =
und mit A2 = A3 – A1 und
3
3
A3
2
liefert dies als Ergebnis :
3
1
3
c1 2
3
c2
2. (p3 - p1) :
Impulssatz am Kontrollraum gemäß Abb. 10.7.2 anwenden. Druck- und Impulskräfte wirken
immer auf die Bezugsflächen.
Die Kräftebilanz in x-Richtung lautet:
6 Fx i
0
Fp1 Fp 2 FI1 FI 2 Fp 3 FI 3
10. Impulssatz
287
Umgeformt – nach Druckkräften und Impulskräften sortiert – folgt:
Fp 3 Fp1 Fp 2
FI1 FI 2 FI 3
Abb. 10.7.2 Kräfte am Kontrollraum
Fp1
p1
Druckkraft auf A1
A1
p2
A2
Fp 3
p3
A3
Druckkraft auf A3
FI1
1
m
c1
Impulskraft auf A1
FI 2
2
m
c2
Impulskraft auf A2
FI 3
3
m
c3
U V1
U V
2
U V3
Impulskraft auf A3
Massenstrom durch A1
Massenstrom durch A2
Massenstrom durch A3
c1 A1
c2 A 2
c3 A 3
Volumenstrom durch A1
Volumenstrom durch A2
Volumenstrom durch A3
1
m
2
m
3
m
V1
V
2
V
3
p1
Druckkraft auf A2 , da p1 = p2
Fp 2
A2
Diese Zusammenhänge in die o.g. Gleichung eingesetzt führt zunächst zu:
p3
A 3 p1
p3
A 3 p1
A1 p1
A2
A1 A 2
U A1 c12 U A 2
U A1 c12 U A 2
c 22 U A 3
c 22 U A 3
c32 oder
c32 .
Mit A1 A 2 = A3 folgt:
p3 p1
A3
U A1 c12 U A 2
c 22 U A 3
c32
1
A3
1
erhält man den gesuchten Druckunterschied zu
A3
A1
A2
p3 p1
U
c12 U
c 22 U c32 und mit den bekannten Flächenverhältnissen
A3
A3
A1 1
A2
2
sowie
3
A
3
A3
3
Multipliziert mit
288
10. Impulssatz
vereinfacht sich p3 p1
zu p3 p1
2
3
1 2
c1 U
3
U
c 22 U c32 .
Die gefundene Geschwindigkeit c3 quadriert
c32
§1
¨
©3
c1 ·
c2 ¸
¹
2
3
§1
U ¨
©3
p3 p1
2
1
1
c12 2
c1
9
3
2
1
4
c12 c 22 c12 3
9
9
2
3
c1
4
c 22 und in p3 p1 eingesetzt
9
4
·
c2 c 22 ¸
9
¹
c2 sowie U ausgeklammert liefert
§3
U ¨
©9
p3 p1
c12 1
9
6
9
c12 c 22 4
9
c 22 4
9
c1
·
c2 ¸ .
¹
Subtrahiert man nun noch gleiche Größen voneinander und stellt dann
2
vor die Klammer
9
2
4
2
§2
·
U ¨
c12 c 22 c1 c 2 ¸ =
U c12 2 c1 c 2 c 22 , so liegt
9
9
9
9
©
¹
das Ergebnis vor, wobei der Klammerausdruck noch wie folgt ersetzt werden kann:
p3 p1
c12 2 c1
c 2 c 22 = c1 c 2
2
p3 p1
3. Pkte. 1 und 2, wenn c1 = 20
2
9
U
c1 c 2
2
m
m
kg
, c2 = 10
, U = 1,2
.
s
s
m3
Unter Beachtung dimensionsgerechter Größen lassen sich c3 und (p3 - p1) wie folgt
berechnen:
c3 :
c3
1
3
c1 2
3
c2 =
1
3
20 2
10
3
c3
13,33
m
s
(p3 - p1):
p3 p1
2
1,2
9
20 10
2
p3 p1
26,67 Pa
10. Impulssatz
289
Aufgabe 10.8 Wasserstrahlvolumen
¥1.
hh
10 min
10 Punkte
In Abb. 10.8.1 ist der Austritt einer Düse zu erkennen, aus der Wasser senkrecht ins Freie nach
oben schießt. Bei bekannter Düsenaustrittsfläche A1, Austrittsgeschwindigkeit c1 und Strahlabstand H vom Düsenaustritt soll das Volumen V des durch H begrenzten Wasserstrahls ermittelt werden.
Abb. 10.8.1 Wasserstrahl am Düsenaustritt
Lösung zu 10.8
Aufgabenerläuterung
Wenn im vorliegenden Beispiel nach dem im Strahl eingeschlossenen Volumen V gefragt
wird, muss man sich Folgendes klar machen. In diesem kontinuierlich durchströmten Volumen überschreiten zu jeder Zeit die gleiche Zahl von Fluidteilchen die Grenze am Eintritt (in
das Volumen hinein) wie auch die Grenze am Austritt (aus dem Volumen heraus). Dies bedeutet, dass zu jeder beliebigen Zeit zwar nicht dieselben, so aber doch die gleiche Anzahl
Fluidteilchen vorhanden sind. Sie weisen in dem abgegrenzten Raum eine resultierende Masse auf und verursachen demzufolge eine Gewichtskraft FG. Es wird nun erforderlich, diese
Gewichtskraft in Verbindung zu bringen mit den gegebenen Größen gemäß Aufgabenstellung.
Hier hilft u.a. der Impulssatz weiter, der die Kräfte an einem sinnvoll zu wählenden Kontrollvolumen bilanziert. Die Anordnung des Kontrollvolumens sollte in der Weise erfolgen, dass
einerseits seine durchströmten Querschnitte A1 und A2 senkrecht zu den dortigen Geschwindigkeiten stehen und des Weiteren der sog. körpergebundene Teil um den Strahl gelegt wird,
wo die Gewichtskraft wirksam werden kann. Die Bernoullische Gleichung und das Kontinuitätsgesetz kommen ebenfalls zur Anwendung.
Gegeben:
A1 ; c1 ; H ; g
Gesucht:
V
290
10. Impulssatz
Anmerkungen:
- Reibungskräfte mit der umgebenden Luft werden nicht berücksichtigt.
- Die Druckkräfte an der Oberfläche des Kontrollraums heben sich bei
überall gleichem atmosphärischen Umgebungsdruck vollständig auf.
Lösungsschritte
Abb. 10.8.2 Kräftegleichgewicht in z-Richtung am Kontrollraum:
n
n
¦F
0
i
FI1 FI 2 FG . Da das Volumen V als Teil der Gewichtskraft FG gesucht wird,
1
löst man nach FG auf: FG
FI1
FI 2
FG
m
m
V
V
c1
m
Impulskraft an der Stelle 1 auf A1 wirkend
c2
m
g
U
U
c
m
V
V
A
c1
A1
FI1 FI 2 .
Impulskraft an der Stelle 2 auf A2 wirkend
Gewichtskraft des Fluids im eingeschlossenen Volumen
Masse im eingeschlossenen Volumen
Massenstrom durch A1 und A2
Volumenstrom
c2
A2
Kontinuitätsgleichung
Diese Zusammenhänge in die Gleichung der Gewichtskraft eingesetzt führt zu
g U V
U c1
2
A1 U c 22
A2 .
10. Impulssatz
291
Die Dichte U herausgekürzt und durch die Fallbeschleunigung g dividiert liefert zunächst
1
den Ausdruck V
c12 A1 c 22 A 2 oder wenn c1 A1 ausgeklammert wird:
g
>
@
ª
A c 22 º
. Hierin sind c2 und A2 noch mit bekannten Größen zu erc1 2
«
g
A1 c1 »¼
¬
setzen. Hier hilft die Bernoulligleichung an den Stellen 1 und 2 wie folgt weiter:
V
c1
A1
p1 c12
g
U
2
Z1
p 2 c 22
g
U
2
Z2
Mit den besonderen Gegebenheiten p1 p 2 p B sowie Z1 = 0 und Z 2 H erhält man
1
c12 c 22
g Z2 0
g H oder c12 c 22 = 2 g H . Nach c 22 aufgelöst
2
c 22 c12 2 g H und die Wurzel gezogen ersetzt c2 mit c1 und H gemäß:
c2
c12 2 g H
A2
c1
in die oben stehende Gleichung
A1
c2
des gesuchten Volumens V ein, so liefert dies nach Kürzen gleicher Größen:
Führt man die umgeformte Kontinuitätsgleichung
V
c1
A1
g
ª
c1
«c1 c
2
¬
c A1
c 22 º
= 1
»
g
c1 ¼
Unter Verwendung von c 2
>c
1
c2
@
c12 2 g H lautet somit das Ergebnis:
V
c1
A1
g
>c 1
c12 2 g H
@
292
10. Impulssatz
Aufgabe 10.9 Zylinder auf Flüssigkeitsstrahl
¥1.
¥2.
5 min
16
min
h
hhh
5 Punkte
16 Punkte
In Abb. 10.9.1 ist ein zylindrischer Körper im Längsschnitt zu erkennen, dessen unterer Teil
mit einer halbkugelförmigen Aushöhlung versehen ist. Aus einer Düse heraus schießt ein
Wasserstrahl vertikal nach oben in diesen Hohlraum hinein, wird umgelenkt und verlässt entgegen Zuströmrichtung den Zylinder wieder. Die Austrittsgeschwindigkeit aus der Düse (Stelle 1) und der Massenstrom bewirken bei korrekter Dimensionierung, dass der zylindrische
Körper in Schwebe gehalten wird. Zur Erzeugung der genannten Geschwindigkeit wird im
Raum vor dem Düsenaustritt (Stelle 0) der statische Druck p0 erforderlich, dessen Berechnungsgleichung aus nachstehenden gegebenen Größen zu ermitteln ist.
Abb. 10.9.1 Zylindrischer Körper und Düse im Längsschnitt
Lösung zu 10.9
Aufgabenerläuterung
Die Aufgabe befasst sich zentral mit Kräften, die von strömenden Fluiden hervorgerufen
werden und mit anderen äußeren Kräften an einem sinnvoll zu wählenden Kontrollraum reagieren: Impulssatz der Strömungsmechanik. Je nach Aufgabenstellung und gegebenen Größen
des Systems müssen i.A. noch weitere Grundlagen der Strömungsmechanik, wie z.B.
Bernoulligleichung, Kontinuitätsgleichung etc. herangezogen werden.
10. Impulssatz
293
Gegeben:
D0 ; D1; DZyl.; H ; R ; g ; pB
Gesucht:
1. FG
2. p0
Anmerkungen:
;
UZyl ; UW
- Wassergewichtskraft im Kontrollraum bleibt unberücksichtigt.
- Verlustfreie Strömung im Kontrollraum.
- Keine Strahlaufweitung von 1 nach 2.
- Die Höhenunterschiede von Z0, Z1, Z2 = Z3 sind sehr klein.
S
- Das Kugelvolumen lautet: VK
D3 .
6
Lösungsschritte:
1. FG :
FG
V
g
g U Zyl.
m
Gewichtskraft des Hohlzylinders
V
VZyl. VHK
Hohlzylindervolumen
S
D 2Zyl. H ;
Zylindervolumen
VZyl. =
4
1
1 S
VHK.
VK
D3
Halbkugelvolumen. Mit D 2 R gelangt man zu
2 6
2
2
§S
·
S R 3 ¸ . Die gesuchte Gewichtskraft lautet folglich:
V ¨
D 2Zyl. H 4
3
©
¹
FG
g U Zyl.
S § 2
8
·
R3 ¸
¨ D Zyl. H 4 ©
3
¹
2. p0 :
Zunächst wird als Ansatz der Impulssatz mit dem Kräftegleichgewicht am Kontrollraum gemäß Abb. 10.9.2 herangezogen. Grund: In den Impulskräften sind die Geschwindigkeiten c 2
und c 3 enthalten. Diese lassen sich mit dem gesuchten Druck p0 in Verbindung bringen.
n 6Fi z
Fi 2 Fi 3 FG oder
0
FG
Fi 2 Fi3
FI2
c2
m
Impulskraft am Eintritt in den Kontrollraum
FI3
c3
m
Impulskraft am Austritt aus dem Kontrollraum
2
m
UW
V
2
V
3 UW
m
3
V
c
A
2
2
2
c A
V
3
3
3
Massenstrom in den Kontrollraum hinein
Massenstrom aus dem Kontrollraum heraus
Volumenstrom in den Kontrollraum hinein
Volumenstrom aus dem Kontrollraum heraus
Mit diesen Zusammenhängen entsteht :
FG
U W A 2 c 22 UW A 3 c32 .
294
10. Impulssatz
Abb. 10.9.2 Kräfte am Kontrollraum
Die Bernoulligleichung bei 1 und 2 mit Z1 | Z2 und p1 = p2 = pB führt zu
p1 c12
g Z1
UW 2
p 2 c 22
g Z2
UW 2
c12
2
oder
c 22
2
und demnach
c1 = c2 .
Analog hierzu, jetzt jedoch an den Stellen 2 und 3, folgt mit Z2 = Z3 und p2 = p3 = pB
p 2 c 22
g Z2
UW 2
p3 c32
g Z3
UW 2
c 22
2
oder
c32
2
und demnach
c2 = c3 .
Die Geschwindigkeiten sind also im vorliegenden Fall an den Stellen 1, 2 und 3 gleich groß.
Mit der Kontinuitätsgleichung V
1
V
2
V
3
auch fest, dass ebenfalls Flächengleichheit A1
c1
A1
A2
c2
A2
A 3 stellt man dann
c3
A 3 bestehen muss.
In die Kräftegleichung oben eingesetzt erhält man:
FG
U W A 2 c 22 U W A 3 c32
oder
FG
2 U W A1 c12
Die hierin unbekannte Geschwindigkeit c1 muss nun mit gegebenen Größen im Querschnitt 0
in Verbindung gebracht werden. Dies gelingt wiederum mit der Bernoulligleichung, jetzt jedoch an den Stelle 0 und 1:
p0
c2
0 g
UW
2
Z0
p1
c2
1 g
UW
2
Z1 .
Mit p1 = pB und Z0 | Z1 folgt zunächst
p 0 c02
UW 2
p B c12
.
UW 2
Nach Sortieren von
c12 c02
2 2
p0 p B
UW
und dann
c12 § c02 ·
¨1 ¸
2 ¨© c12 ¸¹
p0 p B
.
UW
c2
2
und
p
U
c12
ausgeklammert liefert
2
10. Impulssatz
295
Mittels Kontinuitätsgleichung V
0
V
1
c0
c1
Oben eingesetzt
A1
.
A0
§
p0 pB
A2 ·
¨¨1 12 ¸¸
UW
A
0 ¹
©
2
4
c1 § D1 · p 0 p B
¨1 ¸
2 ¨© D 04 ¸¹
U
c12
2
p0 pB
UW
c12
2
p0 p B
UW
2 U W A1 2
FG
4 UW
(p0 – pB) =
p0 = pB +
S
4
2
1
FG
S D
2
1
c0
ersetzen durch
c1
S
* D 2 gelangt man zu
4
Die Multiplikation mit 2 führt zum benötigten Term c12
Eingesetzt in die Gleichung für FG erhält man zunächst
S
1
.
A1 = * D12 einsetzen und kürzen führt zu
4
§ D14 ·
¨¨1 4 ¸¸
© D0 ¹
p0 pB
1
. Das Umstellen nach (p0 – pB) ergibt
UW
§
D4 ·
¨¨1 14 ¸¸
D0 ¹
©
p0 p B
UW
D12
FG
S D
.
1
.
§ D14 ·
¨¨1 4 ¸¸
© D0 ¹
FG
A1 lässt sich
c1
§ D4 ·
oder nach Division durch ¨¨1 14 ¸¸ zu
© D0 ¹
§
D4 ·
¨¨1 14 ¸¸
D0 ¹
©
2
A0
und mit A =
1
c12
c0
§
D4 ·
¨¨1 14 ¸¸
D0 ¹
©
und schließlich p0 mit
§
D4 ·
¨¨1 14 ¸¸ .
D0 ¹
©
FG gemäß Pkt. 1 verknüpft liefert
S
4
g U Zyl.
p0 = pB +
8
§ 2
¨ D Zyl. H 3
©
S D12
·
R3 ¸
¹
§
D4 ·
¨¨1 14 ¸¸
D0 ¹
©
oder noch vereinfacht:
1
p0 = pB +
4
g U Zyl.
§ 2
¨ D Zyl.
©
H
2
1
D
8
3
·
R3 ¸
¹
§
D4 ·
¨¨1 14 ¸¸
D0 ¹
©
296
10. Impulssatz
Aufgabe 10.10 Schwebender Kegel
¥1.
24 min
hhh
24 Punkte
In einer vertikalen Rohrleitung soll ein kegelförmiger Körper mit dem Volumen VK und der
Dichte UK derart von unten nach oben angeströmt werden, dass er in einem Schwebezustand
beharrt. Die Strömung des Fluids der Dichte U wird als verlustfrei angesehen. Wie groß muss
die Geschwindigkeit c1 gewählt werden, um bei bekannten Abmessungen D und d den
Schwebezustand zu gewährleisten?
Abb. 10.10.1 Vertikale Rohrleitung mit schwebendem Kegel
Lösung zu 10.10
Aufgabenerläuterung
Das Schweben (d.h. die Kegelgeschwindigkeit ist gleich Null) im senkrecht durchströmten
Rohr ist dann sichergestellt, wenn die Kegelgewichtskraft im Zusammenwirken mit den anderen Kräften am eingezeichneten Kontrollraum gerade kompensiert wird. Aufgrund der Annahme verlustfreier Strömung im Rohr und am Körper entfallen Reibungskräfte an den betreffenden Oberflächen sowie die Kegelwiderstandskraft infolge der tatsächlich vorhandenen
Strömungsablösung hinter dem Kegel. Mit den gegebenen Größen ermöglichen der Impulssatz am Kontrollraum, die Bernoullische Energiegleichung sowie die Kontinuitätsgleichung
die Ermittlung der gesuchten Anströmgeschwindigkeit c1.
Gegeben:
d ; D ; VK ; U K ; U ; g
Gesucht:
c1
10. Impulssatz
297
Anmerkungen:
- Annahme verlustfreier Strömung.
- Inkompressibles Fluid.
- Kontrollraumlänge L kann beliebig groß gewählt werden.
- Geschwindigkeiten und Drücke sind homogen über den Querschnitten
verteilt.
Lösungsschritte:
Abb. 10.10.2 Kontrollraum mit Kräften
Die Kräftebilanz in z-Richtung am Kontrollraum liefert zunächst
¦F
Fp1 FI1 Fp 2 FI 2 FG K FG F .
0
iz
Bringt man die beiden Druckkräfte auf die linke Gleichungsseite, so folgt:
Fp1 Fp 2
FI 2 FI1 FG K FG F .
Fp1
p1 A1
Fp 2
p 2 A1
Druckkraft auf Querschnitt an der Stelle 1
!!
Druckkraft auf Querschnitt an der Stelle 2.
Der Druck p2 wirkt unmittelbar hinter dem Körper über A1.
FI1
c1
m
Impulskraft auf Querschnitt
FI 2
c2
m
Impulskraft auf Querschnitt 2
m
V1
V
2
U V
U V
1
2
c1 A1
c2 A 2
Massenstrom durch Querschnitt 1 und Querschnitt 2
Volumenstrom durch Querschnitt 1
Volumenstrom durch Querschnitt 2
298
10. Impulssatz
A2
A1 A
FI1 U A1 c12
Querschnitt 2
Impulskraft auf Querschnitt 1
FI 2
U A 2 c 22
Impulskraft auf Querschnitt 2
FG K
g mK
mK
FG F
U K VK
g mF
Kegelmasse
Fluidgewichtskraft im Kontrollraum
mF
VF
U VF
A1 L VK
Fluidmasse im Kontrollraum
Fluidvolumen im Kontrollraum
Kegelgewichtskraft
Die Fluidgewichtskraft im Kontrollraum erhält man zu
FG F
>A1
g U
L VK @ . Setzt man nun alle so ermittelten Ausdrücke der Kräfte in oben
stehende Kräftebilanz ein
A1
U
p1 p 2
A2
c 22 U
c12 g
A1
>UK
VK U
A1
L VK
@
und dividiert durch den Querschnitt A1, so führt dies zum Druckunterschied p1 p 2 :
p1 p 2
p1 p 2
A2
A1
U
§A
U ¨¨ 2
© A1
c 22 U c12 g
·
c 22 c12 ¸¸ g
¹
ª
«UK
¬
VK
U
A1
§
V ·º
¨¨ L K ¸¸» oder
A1 ¹¼
©
VK
* UK U g U L
A1
Eine zweite Möglichkeit, diesen Druckunterschied p1 p 2 völlig unabhängig vom vorangehenden Weg zu ermitteln, gelingt mit der Bernoullischen Gleichung an den Stellen 1 und 2
bei der vorausgesetzten verlustfreien Strömung:
p 2 c 22
p1 c12
g Z1
g Z2
U
2
U
2
Wieder die Druckglieder auf die linke Gleichungsseite gestellt
p1 p 2
c 22 c12
g Z 2 Z1
U
2
2
und Z 2 Z1 = L gesetzt sowie mit der Dichte U multipliziert liefert p1 p 2 zu:
U
2
p1 p 2
c 22 U
2
c12 U g L
Diese beiden Ergebnisse für p1 p 2 gleichgesetzt hat zur Folge:
ª A2
º
VK
* UK U + g U L
c 22 c12 » + g
«
A1
A
¬ 1
¼
Das Kürzen durch Uund die Geschwindigkeitsglieder auf die linke Seite gebracht ergibt
U
2
c 22 U
2
c12 U g
c 22 c12
A
2
A1
2
2
L =U
c 22 c12 = g
·
VK § U K
* ¨¨
1¸¸ .
A1 © U
¹
10. Impulssatz
299
2
2
Für c12
A2
A1
c12 sowie
2 c12 c12 c 22 2 A 2
2
2
2
A1
c12 c 22
2 2
V
gesetzt und umsortiert
·
VK § U K
*¨
1¸¸
A1 ¨© U
¹
c 2 A 2 und Umstellung c 2
§
¨¨1 2
©
A12
A 22
ª
A12
2
1
«
A 22
¬
c12
2
c 22
= g
2
c 22
2
liefert zunächst
§ 2 A2 ·
·
VK § U K
¨¨1 ¸¸ g
* ¨¨
1¸¸ . c2 muss nun noch mittels Kontinuitätsgleichung
U
A
A
¹
©
1
1
©
¹
c1 A1
c12 c12
2
2
2 A2
A1
c 22 =
A2 ·
¸
A1 ¸¹
g
c1
A1
A2
ersetzt werden. Somit folgt
·
VK § U K
*¨
1¸¸ .
A1 ¨© U
¹
·
VK § U K
A12 º
= g
* ¨¨
1¸¸ ,
2»
A2 ¼
A1 © U
¹
A2
A1
Stellt man links
c12
vor die Klammer
2
ersetzt den nach Kürzen gleicher
Größen in der Klammer verbleibenden Ausdruck als binomische Formel, so führt dies zu
ª A1 º
« A 1»
¬ 2 ¼
2
·
VK § U K
* ¨
1¸¸ . Jetzt werden die kreisförmigen Querschnitte A1, A2
A1 ¨© U
¹
S
S
S
S
2
D , A
d 2 , A 2 A1 d2
D2 d2 .
und A ersetzt mit A1
4
4
4
4
c12
2
g
Nach der Umformung des Klammerausdrucks auf der linken Seite
2
ª S
º
2
2
D
2
»
VK 4 § U K
·
c12 ª D 2
c1 «
D2 d 2 º
4
1»
g
1¸¸
* ¨¨
«S
»
«
2
2
2
2
2
D d ¼
2 «
2 ¬ D d
S D © U
¹
»
D2 d 2
¬4
¼
c12
2
ª D2 D2 d 2 º
« (D 2 d 2 ) »
¼
¬
c12
D2 d 2
=
d4
2
c12 =
8
g
S
fest: c1
2
2
2
º
ª
d2
« (D 2 d 2 ) »
¼
¬
c12
2
2
4
g
S
·
VK § U K
1¸¸ erhält man zunächst
* ¨¨
2
D © U
¹
§U
·
1 4
*
g * V K * ¨¨ K 1¸¸ und nach Multiplikation mit 2
2
D S
© U
¹
D2 d 2
D2 * d 4
D2 d 2
D * d2
2
§U
·
* V K * ¨¨ K 1¸¸ . Nach dem Wurzelziehen liegt das Ergebnis für c1
© U
¹
2
S
g VK
c1
§ UK
·
¨¨
1¸¸
U
©
¹
§ D2
·
¨¨ 2 1¸¸
d
¹
2 ©
D
oder auch
2
g VK
S
·
§ UK
¨¨
1¸¸
U
¹
©
300
10. Impulssatz
Aufgabe 10.11 Körper im Rechteckkanal
¥1.
¥2.
hhh
h
16 min
2 min
16 Punkte
2 Punkte
Gemäß Abb. 10.11.1 sei in dem geschlossenen, von einer Flüssigkeit durchströmten horizontalen Rechteckkanal ein profilierter Körper installiert, der die Kanalhöhe vollkommen ausfüllt. Im hier dargestellten Grundriss ist zu erkennen, dass an der Stelle 1 vor dem Körper eine
homogene Geschwindigkeitsverteilung c1 bei einem Druck p1 vorliegen soll und aufgrund des
versperrenden Körperquerschnitts A an der Stelle 2 die homogene Geschwindigkeitsverteilung
c2 bei einem Druck p2. An der Hinterkante findet ein Strömungsabriss statt, der die anschließende, von Wirbeln durchsetzte „Totwasserzone“ hervorruft. Diese bildet sich stromabwärts
aufgrund von Vermischungsvorgängen wieder zurück, so dass in genügend großem Abstand
wieder eine homogene Geschwindigkeitsverteilung vorliegt. Unter der Annahme von Reibungsfreiheit an den Kanalwänden und am Körper soll bei bekannten Abmessungen A1 und
A sowie vorgegebener Zuströmgeschwindigkeit c1 und FlüssigkeitsdichteU die wirksame Widerstandskraft FW am Körper ermittelt werden. Des Weiteren wird der betreffende Widerstandsbeiwert cW gesucht.
Abb. 10.11.1 Grundriss des Kanals mit dem Körper
Lösung zu 10.11
Aufgabenerläuterung
Die Widerstandskraft an umströmten Körpern wird im Allgemeinen aus der Summe von Reibungswiderstand und Formwiderstand wirksam. Je nach Fall kann sie aber auch nur reibungsbedingter oder nur formbedingter Art sein. In diesem Beispiel soll allein der Formanteil ermittelt werden. Man bedient sich dabei des Impulssatzes, der an einem sinnvoll anzuordnenden
Kontrollraum alle an dessen Flächen wirkenden Kräfte bilanziert. Die Impulskräfte werden an
den durchströmten Querschnitten auf die Flächen wirkend angesetzt. Die Richtung der hier
gesuchten Widerstandskraft ist zunächst unbekannt. Ihre tatsächliche Richtung ergibt sich aus
dem Endergebnis, da die Richtungen der anderen Kräfte vorliegen. Weiterhin wird die
10. Impulssatz
301
Bernoullische Gleichung, die Kontinuitäts- sowie Durchflussgleichung benötigt, um mit den
gegebenen Größen zur Lösung zu kommen.
Gegeben:
c1 ; U ; A1 ; A
Gesucht:
1.
2.
Anmerkungen:
FW Widerstandskraft des Körpers aufgrund von Ablösung und
Verwirbelung.
U 2
cW bei FW c W A
c
2
- Das Kontrollvolumen wird so gewählt, dass der Körper in ihm eingeschlossen ist, die Kanalwände anliegen und die durchströmten Querschnitte senkrecht zu den Geschwindigkeiten angeordnet sind.
- Reibungseinflüsse werden, wie oben schon erwähnt, nicht
berücksichtigt.
Lösungsschritte
1. FW :
Abb. 10.11.2 Kräfte am Kontrollraum
Die Kräftebilanz in x-Richtung liefert gemäß Abb. 10.11.2 für den Kontrollraum zunächst:
¦F
ix
FW
0
FI1 FI 2 FW Fp1 Fp 2 oder nach FW aufgelöst
FI1 FI 2 Fp1 Fp 2
Hierbei ist FW als Wirkung des strömenden Fluids auf den Körper und infolgedessen seine
Reaktion auf den Kontrollraum zu verstehen.
FI 1
m
V1
FI 2
m
c1
m
U V
U V
1
2
c1 A1
c2
m
U V
U V
2
1
Impulskraft auf Querschnitt 1
Massenstrom durch Querschnitt 1
Volumenstrom durch Querschnitt 1
Impulskraft auf Querschnitt 2
Massenstrom durch Querschnitt 2
302
10. Impulssatz
V
c2 A 2
2
A2
A1 A
Fp1 = p1 A1
Volumenstrom durch Querschnitt 2
Querschnitt 2
Druckkraft auf Querschnitt an der Stelle 1
Fp 2 = p 2
Druckkraft auf Querschnitt an der Stelle 2. Der Druck p2 wirkt
A1 !!!
unmittelbar hinter dem Körper über dem gesamten Querschnitt
A1 und nicht etwa allein auf A2.
Eingesetzt in die Gleichung für FW sowie die Impulskräfte und Druckkräfte sortiert
FW
c1 - m
c 2 + p1 A1 - p 2
m
FW
U A1
c12 U A 2
c 22 p1
FW
U A1
c12 U A 2
c 22 A1
A1
A1 p 2
A1
p1 p 2
führt zu oben stehender Gleichung, in der noch der Druckunterschied p1 p 2 unbekannt ist.
Diesen Druckunterschied findet man in der Bernoullischen Gleichung wieder, die an den Stellen 1 und 2 zu formulieren ist. Die Verluste entfallen in diesem Fall, da die Reibung nicht berücksichtigt werden soll, und die Verluste aufgrund der Strömungsablösung und der anschließenden Verwirbelung hinter dem Körper erst ab der Stelle 2 beginnen.
p1 c12
p 2 c 22
g Z1
g Z2 . Die horizontale Lage des Kanals führt zu Z1 Z2 .
2
2
U
U
Stellt man die Gleichung nach dem gesuchten Druckunterschied p1 p 2 um, so folgt:
U
U
p1 p 2
c 22 c12
2
2
In die Ausgangsgleichung für FW eingesetzt und gleichartige Glieder vereinfacht
U
U
FW U A1 c12 U A 2 c 22 A1
c 22 A1
c12 liefert zunächst
2
2
U
U
FW
A1 c12 A1 c 22 U A 2 c 22 .
2
2
U
Klammert man auf der rechten Gleichungsseite
A1 c12 aus, so entsteht ein Zusammen2
hang wie folgt:
ª
U
c2 A
c 22 º
FW
c12 A1 «1 22 2 2
» . Unter Verwendung der Kontinuität
2
c1
A1
c12 ¼
¬
c2
A1
kann man die Geschwindigkeitsc1
A2
terme in der Klammer durch die Flächenverhältnisse ersetzen. Dies führt zu
V
c1
A1
c2
A 2 und ihrer Umformung zu
FW
U
2
c12
A1
ª
A12
«1 A 2 2
2
¬
FW
U
2
c12
A1
ª A12
« A2 2
¬ 2
A2
A1
A12 º
oder
A 22 »¼
º
A1
1» . Der Klammerausdruck ist als binomische Gleichung
A2
¼
10. Impulssatz
303
2
2
§A
·
ªA
º U
auch austauschbar mit ¨¨ 1 1¸¸ und es resultiert FW A1 « 1 1»
c12 .
A
2
A
© 2
¹
¬ 2
¼
A1 A in dieser Gleichung und formen wie folgt um
Benutzen wir nun noch A 2
2
FW
A1
ª A1
º
1»
«
A
A
¬ 1
¼
FW
A1
ª A1 A 1 A º
»
«
¬ A1 A ¼
A1
ª
«
«
«
« A1
¬«
FW
2
º
»
A
»
§
A ·»
¸»
¨¨11 A1 ¸¹ ¼»
©
U
2
c
U
2
c12 = A1
2
1
ª A1
A A º
1
«
»
A
A
A1 A ¼
¬ 1
= A1
ª
º
A
»
«
A
A
¼
¬ 1
2
U
2
2
U
2
c12
c12
2
U
2
A2
c12 = A1
A12
ª
Aº
«1 A »
1¼
¬
2
U
2
c12 ,
so erhält man das Ergebnis:
FW
A
§A·
¨¨ ¸¸
© A1 ¹
ª
Aº
«1 A »
1¼
¬
U
2
2
c12
2. cW :
Die Definition der Widerstandskraft um- oder angeströmter Körper lautet allgemein:
U 2
FW c W A
c . Hierin ist cW der Widerstandsbeiwert und A die Bezugsfläche des Kör2
pers, die häufig als Projektions- oder Schattenfläche eingesetzt wird. Dies ist auch im vorliegenden Beispiel mit A als projizierte Fläche des Körpers der Fall. Weiterhin ist c = c1. Damit
entsteht aus der ermittelten Widerstandskraft und der Definitionsgleichung:
§A·
¨¨ ¸¸
U
U
© A1 ¹
2
c12
( FW = ) c W A
c1 = A
2
2
2
º
ª
A
«1 A »
1¼
¬
Der gesuchte Widerstandsbeiwert, der ausschließlich die Verwirbelungsverluste einschließt,
lautet somit:
§A·
¨¨ ¸¸
© A1 ¹
cW
2
§
A·
¸¸
¨¨1 A1 ¹
©
Sonderfall:
Wenn A A1
cW
0
FW
0
304
10. Impulssatz
Aufgabe 10.12 Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss
hhh
hhh
h
h
1.
2.
3.
4.
Übung
In Abb.10.12.1 sind zwei gleiche Behälter zu erkennen, bei denen Flüssigkeit ins Freie ausströmt. Die Höhe H zwischen Flüssigkeitsspiegel und Ausflussöffnung ist jeweils dieselbe.
Bei Behälter 1 erfolgt das Ausfließen vertikal und bei Behälter 2 horizontal. Beide Flüssigkeitsstrahlen treffen nach einer zurückgelegten Höhe h auf den Teller einer Kraftmesseinrichtung und fließen von dort seitlich ab.
Wie groß werden die messbaren Kräfte F1 in der Kraftmesseinrichtung bei Behälter 1 und F2
in der Kraftmesseinrichtung bei Behälter 2 ?
Abb. 10.12.1 Behälter mit vertikalem sowie horizontalem Ausfluss
Lösung zu 10.12
Aufgabenerläuterung
Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass zwischen beiden zu messenden Kräften kein
Unterschied besteht. Schließlich fließt derselbe Massenstrom mit derselben Geschwindigkeit
auf die Kraftmesseinrichtungen und ruft dort dieselben Impulskräfte hervor. Dass dennoch
verschiedene Kräfte angezeigt werden liegt daran, dass die Messgeräte (z.B. Kraftmessdosen,
Federwaagen o.Ä.) nur die vertikal gerichteten Komponenten erfassen. Im Fall des Behälters
1 ist dies die gesuchte Größe F1 selbst, da der Flüssigkeitsstrahl vertikal auftrifft. Im Fall des
Behälters 2 erfolgt der Ausfluss dagegen horizontal. Der weitere Strahlverlauf entspricht bekanntermaßen dem einer Parabel. Somit kann der Flüssigkeitsstrahl nicht vertikal auf den
10. Impulssatz
305
Teller treffen, sondern nur in einer zur Oberfläche der Messeinrichtung schrägen Richtung.
Die hier wirksame Impulskraft belastet die Fläche in der vorliegenden schrägen Geschwindigkeitsrichtung. Folglich wird die vertikale Kraftkomponente F2 kleiner ausfallen als F1.
In vielen Fällen, wenn nach strömungsbedingten Kräften von Fluiden gefragt wird – wie auch
im vorliegenden Fall – ist die Anwendung des Impulssatzes der Strömungsmechanik von großem Nutzen. Hierbei ist die Wahl eines geeigneten „Kontrollraums“ eine grundlegende Voraussetzung. Unter Verwendung sämtlicher „äußeren Kräfte“ an den Flächen dieses Kontrollraums ist es möglich, mit Hilfe der Kräftebilanz die Basis des Lösungsweges zu formulieren.
Gegeben:
H, h, U, g, A1
Gesucht:
1. F1
2. F2
3. Pkte. 1 und 2 , wenn:
h = 1 m, A1 = 0,002 m 2 ,
m
kg
g = 9,81 2 , U 1000 3 .
s
m
H = 2 m,
Lösungsschritte
1. F1 :
Um die in der Feder der Kraftmesseinrichtung (z.B. Federwaage) wirkende Kraft F1 zu ermitteln, legt man sinnvollerweise einen Kontrollraum um den Teller derart, dass sowohl die Feder als auch der Flüssigkeitsstrahl (Stelle 2) geschnitten werden. Seitlich verläuft der Kontrollraum durch die berührungsfreien Spalte der Waage.
Die Kräftebilanz in z-Richtung lautet, wenn man die Tellergewichtskraft und die Gewichtskraft der auf dem Teller befindlichen Flüssigkeit vernachlässigt (Abb. 10.12.2):
n
n ¦ Fi z
0 F1 FI 2 . Hieraus folgt F1 FI 2
&
&
c und ist wie die Geschwindigkeit eine vektorielle
Die Impulskraft lautet allgemein FI m
1
Größe. An der Stelle 2 erhält man somit
FI2
c2 .
m
F I2
pB
z
c2
pB
x
2
pB
pB
Kontrollraum
F1 = Schnittkraft in der Feder
Abb. 10.12.2 Kräfte am Kontrollraum um Kraftmesseinrichtung bei vertikalem Ausfluss
306
10. Impulssatz
und die Geschwindigkeit c2 lassen sich mit den gegebenen Größen
Der Massenstrom m
ersetzen zu:
:
m
und mit V
=U V
m
Mit c1
2 g
= U c1 A1 .
c1 A1 führt dies zu m
Z0 Z1 =
2 g H (Torricellische Ausflussgleichung verlustfreier
Strömung):
= U A1
m
2 g H
c2 :
Die Geschwindigkeit c2 kann mittels Bernoullischer Gleichung zwischen den Stellen 1 und 2
bestimmt werden, da hier alle Größen bis auf c2 bekannt sind.
p1 c12
g Z1
U
2
c 22
2
p 2 c 22
g Z2 mit p1 = p2 = pB, Z2 = 0 und Z1 = h erhält man
U
2
c12
g h oder nach Multiplikation mit 2: c 22
2
c2 =
c12 2 g h .
Die Impulskraft FI 2
FI 2
c12 2 g h . Dies führt zu
U A1
c 2 lautet dann
m
2 g H * c12 2 g h . Ersetzt man noch c12
2 g H (s.o.),
dann wird
FI 2
U A1
2 g H * 2 g H 2 g h = U A1
2 g H* 2 g
Hh
.
Als Ergebnis für den Behälter 1 erhält man die gesuchte Kraft F1 zu:
F1
2 g A1
H
Hh .
2. F2 :
Wie schon bei Behälter 1 wird auch jetzt ein Kontrollraum um den Waagenteller angeordnet
in der Weise, dass sowohl die Feder als auch der Flüssigkeitsstrahl (Stelle 2) geschnitten werden. Die Impulskraft FI 2 wirkt jetzt aber nicht mehr vertikal, sondern in Richtung des schräg
auftreffenden Flüssigkeitsstrahls. Somit besitzt sie eine senkrechte und eine waagerechte
Komponente. Beide müssen ihre Reaktion in anderen am Teller angreifenden Kräften finden.
Am Waagenteller steht der horizontalen Kraftkomponente FI 2 x die Abstützkraft am Gehäuse
gegenüber, während die vertikale Kraftkomponente FI 2 z durch die Federkraft F2 kompensiert
wird. Aufgrund der Aufgabenstellung interessiert nur die Federkraft F2.
10. Impulssatz
307
F I2
F I2z
pB
c2
pB
F I2 x
2
F Wx
z
Kontrollraum
x
F2
Abb. 10.12.3 Kräfte am Kontrollraum um die Kraftmesseinrichtung bei
horizontalem Ausfluss
Somit folgt aus:
n
n ¦ Fi z
0
F2 FI 2 z und daher F2
FI 2 z .
1
Um FI 2 z aus den bekannten Größen zu ermitteln, benutzt man zunächst
FI22 x FI22 z . Dies führt zu FI 2 z
FI22
c 2 mit c2 =
Hierin ist FI 2 = m
FI 2 = m
2 g
Hh
FI22 FI22 x .
2 g
Hh
(s.o.) und somit
gegeben.
Wenn es gelingt, auch noch FI 2 x mit den bekannten Größen zu formulieren, liegt die Lösung
für F2 fest. Zur Ermittlung von FI 2 x ist es erforderlich, einen weiteren Kontrollraum zu verwenden, dessen Anordnung so beschaffen sein muss, dass er den eintretenden Flüssigkeitsstrahl bei 1 und den austretenden Flüssigkeitsstrahl bei 2 schneidet (Abb. 10.12.4). Als äußere
Kräfte am Kontrollraum wirken die beiden Impulskräfte FI1 und FI 2 – jeweils in den Geschwindigkeitsrichtungen auf den Kontrollraum gerichtet – sowie die Gewichtskraft des Flüssigkeitsstrahls FG. Die Druckkräfte am Kontrollraum heben sich aufgrund gleichen Drucks
gegenseitig auf. Die gesuchte Impulskraftkomponente FI 2 x lässt sich aus dem Kräftegleichgewicht in x-Richtung wie folgt herleiten:
o
¦F
0
ix
Mit FI 1
FI 2 x
FI 1 FI 2 x und somit FI 2 x
c1 und c1 =
m
FI 1 = m
2 g H
2 g H
FI 1
(s.o) lässt sich anschreiben:
308
10. Impulssatz
pB
Kontrollraum
c1
1
F I1
pB
pB
FG
2
F I2 x
pB
z
c2
F I2z
x
F I2
Abb. 10.12.4 Kräfte am Kontrollraum um Flüssigkeitsstrahl bei horizontalem Ausfluss
F2
FI 2 z
F2 = m
FI22 FI22 x =
2 g
= U A1
Mit m
m
2 g
Hh
Hh 2 g H = m
2
m
2 g H
2
2 g h
2 g H erhält man F2 = U A1
2 g H
2 g h .
Das Ergebnis für die Kraft F2 bei Behälter 2 lautet somit:
F2 = 2 g A1
h = 1 m, A1 = 0,002 m 2 , g = 9,81
3. Pkte. 1 und 2, wenn: H = 2 m,
F1 = 2 9,81 1000 0,002
2
2 1
F1 = 96,09 N
F2 = 2 9,81 1000 0,002
H h
2 1
F2 = 55,48 N
m
, U
s2
1000
kg
.
m3
10. Impulssatz
309
Aufgabe 10.13 Rotierendes abgewinkeltes Rohr
¥1.
8 min
hh
8 Punkte
Das in Abb. 10.13.1 dargestellte doppelt abgewinkelte Rohr besteht aus einem vertikalen Abschnitt, der in einen horizontalen Teil der Länge L übergeht. Dieser weist an seinem Ende einen um 90° in der Horizontalebene gekrümmten Abschnitt der Länge a auf. Am vertikalen
Abschnitt versetzt ein Antrieb mit der Drehzahl n das Rohr in eine im Uhrzeigersinn gerichtete stationäre Rotationsbewegung. Die rotierende Rohrleitung wird dabei von einem Fluid
ins Freie ausströmt. Die Relativgedurchströmt, das an der Stelle 1 mit dem Massenstrom m
schwindigkeit des Fluids an der Stelle 1 ist ebenfalls bekannt. Ermitteln Sie bei den genannten
Gegebenheiten das erforderliche Antriebsmoment T.
Abb. 10.13.1 Abgewinkeltes Rohr im Längsschnitt und Grundriss
Lösung zu 10.13
Aufgabenerläuterung
Die Frage nach dem aufzubringenden Moment lässt sich mittels Momentenbilanz an dem
ortsfesten, also nicht mitrotierenden Kontrollraum lösen. Hierbei sind alle an seiner Oberfläche wirksamen Momente, die bei der Aufgabenstellung Einfluss nehmen, zu berücksichtigen.
An der Antriebsseite des Kontrollraums wirkt das gesuchte Moment T in Drehrichtung. An
und der Absolutgeder äußeren Oberfläche verlässt das Fluid mit dem Massenstrom m
schwindigkeit c1 den Kontrollraum. Dies ruft dort die Impulskraft FI1 hervor, die entgegen
c1-Richtung auf die Oberfläche des Kontrollraums weist (Abb. 10.13.2 ). Das hiermit verursachte Moment entsteht aus dem Produkt der Umfangskomponente von FI1 und dem
310
10. Impulssatz
betreffenden Hebelarm. Die benötigten Geschwindigkeitsverhältnisse an der Austrittsstelle 1
sind in Abb. 10.13.1 dargestellt.
Gegeben:
; w1 ;
L; a ; Z ; m
Gesucht:
T
Anmerkungen:
- Reibungskräfte des Rohrs mit der Umgebungsluft werden vernachlässigt.
- Das Geschwindigkeitsdreieck an der Stelle 1 gemäß Abb. 10.13.1 ent&
&
&
steht aus der Vektoraddition c1 u1 w1 . Bei der weiteren Verwendung sind die Geschwindigkeitsbeträge zu benutzen.
Lösungsschritte:
Die Momentensumme um die Drehachse liefert:
¦T
0
T FI u1
R1
oder
T
FI u1
R1 .
Abb. 10.13.2 Kontrollraum mit Antriebsmoment und Impulskraft
Hierin ist FI u1 die Umfangskomponente der Impulskraft FI1 und wirkt somit senkrecht am Radius R1. Die Impulskraft FI 1 ermittelt man mit FI 1
FI u1
c u1 . Das Antriebsmoment lautet dann T
m
c1 und folglich FI u mit
m
1
cu1 R1 .
m
Es wird nun erforderlich, c u1 mit bekannten Größen des Geschwindigkeitsdreiecks und R1
aufgrund geometrischer Zusammenhänge darzustellen. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck
( u1 c u 1 )
gemäß Abb. 10.13.1 folgt zunächst cos D
.
w1
10. Impulssatz
311
Umgeformt nach ( u1 c u1 )
u1 w 1
c u1
T
R1
m
w1
cos D und c u1 auf eine Seite gebracht führt zu
cos D . Eingesetzt in das gesuchte Moment erhält man nun:
u1 w 1
cos D .
L
. Nach dem Satz des
R1
Weiterhin lässt sich cos D geometrisch darstellen mit cos D
L2 a 2 bzw. R 1
Pythagoras folgt R12
L2 a 2 .
R1 Z
Verwendet man dann noch die Umfangsgeschwindigkeit u1
T
R1
m
T
R1
m
T
R12
m
T
m
L2
§
L ·
R
¨¨ R1 Z w1
¸¸ , erweitert den zweiten Term in der Klammer mit 1
R
R1
1 ¹
©
§
L R1 ·
¨¨ R1 Z w1
¸ , klammert R1 dann aus
R1 R1 ¸¹
©
§
L ·
¨¨ Z w1
¸ und ersetzt R12 L2 a 2 , so führt dies zu
2 ¸
R
1 ¹
©
ª
º
L
a 2 «Z w 1
. Den ersten Term in der Klammer nun mit
2
2 »
(L a ) ¼
¬
(L2 a 2 )
erweitert
(L2 a 2 )
T
m
L2 a 2
und danach
T
m
ª
(L2 a 2 )
«Z (L2 a 2 ) w1
¬
º
L
(L2 a 2 ) »¼
1
vor die Klammer gezogen führt zu
(L2 a 2 )
L2 a 2
L2 a 2
Antriebsmoments:
>Z
L2 a 2 w1
T
oder, da R 12 = L2 a 2 und u1
T
m
@
L . Somit lautet dann das Ergebnis des gesuchten
>Z
L2 a 2 w1
R1 Z ,
m
>u1
R 1 w1
[email protected] .
L
@
11. Rohr-, Kanalströmungen
Im Unterschied zu den bisherigen Kapiteln, wo die Strömungsverluste oft vernachlässigt werden bzw. eine untergeordnete Rolle spielen, stehen sie im vorliegenden Kapitel mit ihren Berechnungsmöglichkeiten im Vordergrund. Hierbei ist zwischen der laminaren und turbulenten
Strömungsform zu unterscheiden. Welche der beiden möglichen Formen vorliegt, ist eine
Frage der Reynoldszahl
Trägheitskräfte
Re
,
Zähigkeitskräfte
die sich bei Rohrströmungen herleiten lässt zu
c*D
.
Q
Re
Unterschreitet die Reynoldszahl einen kritischen Wert Re krit , so stellt sich im Rohr laminare
Strömung ein. Bei größeren Re krit -Werten liegt i.A. die turbulente Rohrströmung vor. Der betreffende Re krit -Wert lautet
Re krit. 2320 .
Neben der reinen laminaren und turbulenten Rohrströmung mit ihren Reibungsverlusten
werden im Folgenden auch die Verlustberechnungen aufgeführt, die im Fall von Rohrleitungsbauelementen benötigt werden. Hierbei wird der bei technischen Anwendungen häufigere Fall der turbulenten Strömung in den Vordergrund gestellt.
Laminare Rohrströmung
Bei voll ausgebildeter laminarer Rohrströmung bewegen sich die Fluidteilchen entlang achsparalleler Stromlinien, wobei die Geschwindigkeit entlang jeder Stromlinie konstant ist, von
Stromlinie zu Stromlinie aber verschiedene Werte aufweist. An der Wand mit dem Wert Null
steigt die Geschwindigkeit aufgrund der Haftbedingung bis zum Maximalwert in Rohrmitte
an. Die Fluidreibung zwischen den einzelnen Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeiten
beruht auf dem Newtonschen Reibungsgesetz gemäß Kap. 1. In Einzelfällen gelingt es, theoretische Lösungen (Kap. 16) dieser Strömungsart zu entwickeln. Es werden in den anschließenden Schritten die wichtigsten Gleichungen zur Berechnung laminarer Rohrströmungen
aufgelistet.
( p1 p 2 )
* R2
4*K* L
Geschwindigkeitsverteilung
cr
Mittlere Geschwindigkeit
c
Verlustenergie
YV
O
Rohrreibungszahl
O
64
Re
§
r2 ·
¨¨1 2 ¸¸
© R ¹
Stokes
( p1 p 2 )
* D2
32 * K * L
L
D
c2
2
Hagen-Poisseuille
Bei laminarer Strömung ist Ounabhängig von der Oberflächenrauhigkeit.
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_11,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
314
11. Rohr-, Kanalströmungen
Reynoldszahl
Re
c*D
Q
Druckverlust
pV
U YV
Wandschubspannung
W0
O
* U * c2
8
Turbulente Rohrströmung
Die turbulente Strömung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Geschwindigkeit der einzelnen
Fluidteilchen nicht mehr geradlinig und konstant wie im laminaren Fall ausgebildet ist, sondern sich unregelmäßige Schwankungsbewegungen überlagern. Damit ist die turbulente
Strömung letztlich instationär. Bis heute existieren keine theoretischen Lösungsmöglichkeiten, die turbulente Strömung exakt zu formulieren. Die tatsächlichen Bewegungsabläufe der
turbulenten Strömung sind aus technischer Sicht oft nicht von besonderem Interesse. Es interessiert dagegen meist nur der über eine ausreichend lange Zeit gemittelte Geschwindigkeitswert an verschiedenen Rohrradien. Hieraus lässt sich dann z.B. ein empirisches Geschwindigkeitsverteilungsgesetz formulieren. Die unregelmäßigen Schwankungsbewegungen bewirken,
dass neben der Newtonschen Schubspannung eine weitere „scheinbare Schubspannung“ entsteht, die als Resultat des Impulsaustausches (teilelastische Stöße der Fluidelemente) zu verstehen ist und bis auf einen eng begrenzten Wandbereich deutlich größer ist als die
Newtonschen Schubspannung. Die Verluste der turbulenten Strömung fallen daher erheblich
höher aus als die der laminaren Strömung. Da keine exakten theoretischen Lösungsmöglichkeiten bei der turbulenten Strömung vorliegen, hat man halbempirische (Prandtlsche Mischungswegtheorie) Ansätze und rein empirische (Potenzgesetze) Ansätze zur Beschreibung
der Geschwindigkeitsverteilung und hieraus abgeleiteter Größen, wie z.B. die Rohrreibungsziffer nach „Prandtl-Colebrook“, entwickelt.
Potenzgesetz der c-Verteilung
z
Rr
r·
§
¨1 ¸
© R¹
cr
c max
n
§R r·
¨
¸
© R ¹
n
§z·
¨ ¸
©R¹
n
Wandabstand
n
Exponent der c-Verteilung
Verlustenergie
YV
Rohrreibungszahl
O
O
L
D
c2
2
Darcy
k ·
§
f ¨ Re, S ¸
D¹
©
Diese lässt sich nicht theoretisch herleiten, sondern kann nur im Versuch ermittelt werden.
Die Rohrreibungszahl der turbulenten Rohrströmung hängt von der Reynoldszahl Re und der
k
D
bezogenen Rohrrauhigkeit S oder
ab.
D
kS
k S | (1 y 1,6) * k
Äquivalente Sandrauhigkeit
k
Tatsächliche Rauhigkeit
11. Rohr-, Kanalströmungen
315
Folgende für verschiedene Re -Zahlenbereiche und Oberflächenbeschaffenheiten gültigen
Gesetze der Rohrreibungszahlen sind bekannt:
Glattes Verhalten
0,3164
4
Re
Blasius
O
Nikuradse
O 0,0032 0,221 Re 0, 237
Prandtl-Colebrook
2320 < Re < 105
105 < Re < 108
1
O
2 log Re
1
O
§ 2,51
k ·
2 log ¨¨
0,27 S ¸¸
D¹
© O Re
O 0,8
Re > 2320
Mischgebiet
Raues Verhalten
O
1
ª
§ D ·º
«1,14 2 log ¨¨ ¸¸»
© k S ¹¼
¬
2
Die Rohrreibungszahl O ist in Abhängigkeit von der Re-Zahl und der bezogenen Sandrauhigk
D
keit
oder S als Ergänzung zu o.g. Gleichungen im Anhang (Kap. 17) in einem DiaD
kS
gramm (Abb. 17. 1) dargestellt.
Hydraulischer Durchmesser
Um die Anwendung der Widerstandszahlen auch auf beliebige Querschnitte zu erweitern,
wird der so genannte „Hydraulischer Durchmesser“ d hyd eingeführt. Man benennt ihn in der
Literatur auch öfters mit „Gleichwertigkeitsdurchmesser“. Er leitet sich zu folgendem Ausdruck her:
4 * A UR
d hyd
U UR
A UR
Durchströmter tatsächlicher Querschnitt
U UR
Gesamter fluidbenetzter Umfang
Die Reibungsverluste bei unrunden, d.h. nicht Vollkreisquerschnitten, lassen sich wie folgt
bestimmen:
YV
O*
L c2
*
d hyd 2
316
11. Rohr-, Kanalströmungen
d hyd
Hydraulischer Durchmesser (s.o.)
V
c =
A UR
Mittlere Geschwindigkeit im tatsächlichen Querschnitt
§
k
O = f ¨ Re UR ; S
¨
d hyd
©
c * d hyd
Re UR =
Q
·
¸
¸
¹
Rohrreibungszahl des „Ersatzrohrs“ mit d hyd
Reynoldszahl des „Ersatzrohrs“ mit d hyd
Die Rohrreibungszahl O berechnet sich bei unrunden Querschnitten mittels dieser Gesetze:
0,2236
Re UR
Glattes Verhalten
O
Mischgebiet
s. Kreisrohr
Raues Verhalten
s. Kreisrohr
4
Rohrleitungsbauelemente
Außer geraden Rohrstrecken finden verschiedene Rohrleitungsbauteile in den unterschiedlichsten Anlagen Verwendung. Sehr häufig benötigt werden sie als
- Bauelemente für Richtungsänderungen,
- Bauelemente für Querschnittsänderungen,
- Bauelemente für Volumenstromregelung und
Absperraufgaben.
Dies ist aber nur eine beschränkte Auswahl aus dem gesamten Spektrum. Die verschiedenen
Verluste, die durch diese Bauelemente erzeugt werden, sind auf theoretischem Wege nicht bestimmbar. Man muss sich zu ihrer Ermittlung des Versuchswesens bedienen. Es konnte festgestellt werden, dass die Verlustenergien der betreffenden Rohreinbauten allgemein nachstehendem Gesetz folgen:
c2
.
YV ]
2
]
Verlustziffer des Bauelements
In dieser Verlustziffer sind sämtliche Einflüsse durch geometrische Größen, Oberflächenrauhigkeiten und der Re-Zahl eingebunden. ] wird demnach bei den verschiedenen Bauelementen in unterschiedlicher Weise von den genannten Größen beeinflusst.
Beim Rohr ist z. B.:
]
O*
L
,
D
Geometrie
wobei
O
k ·
§
f ¨ Re; S ¸ .
D¹
©
Rauhigkeit
11. Rohr-, Kanalströmungen
317
Bauelemente für Richtungsänderungen
Diese Bauelemente umfassen z.B. Krümmer oder Bögen, Kniestücke usw. Die neben der
Fluidreibung zusätzlich wirksamen Verluste sind auf Strömungsablösungen (Totraumbildung), Sekundärströmungen (Doppelwirbel) sowie Rückbildungsprozesse zur ausgebildeten
Geschwindigkeitsverteilung in der Nachlaufstrecke zurückzuführen. Die Verluste werden
nach o.g. Gleichung berechnet mit
c2
YVKr ] Kr
.
2
] Kr
Krümmerverlustziffer (Abb. 17. 2)
Bauelemente für Querschnittsänderungen
Die Strömungsverluste in den nachstehenden Bauelementen beruhen auf reibungsbedingten
Vorgängen und häufiger noch auf Verwirbelungen nach Strömungsablösungen, die je nach
Bauelement in unterschiedlichster Intensität zur Wirkung kommen.
Unstetige Erweiterung: Index „u.E.“
Auf c1 bezogen bei A1 A 2
Auf c2 bezogen bei A 2 ! A1
c12
2
YVu . E
] u .E 1 *
] u .E 1
§
A ·
¨¨1 1 ¸¸
A
2 ¹
©
YVu . E
] u .E 2 *
] u .E 2
§ A2
¨¨
1
© A1
2
c22
2
·
¸¸
¹
2
Stetige Erweiterung oder Diffusor: Index „Diff.“
Auf c1 bezogen bei A1 A 2
Auf c2 bezogen bei A 2 ! A1
KDiff .
Diffusorwirkungsgrad
c12
2
YVDiff
] Diff1 *
] Diff1
§ A2 ·
1 KDiff . * ¨¨1 12 ¸¸
© A2 ¹
YVDiff
] Diff 2 *
] Diff 2
§ A2 ·
1 KDiff . * ¨¨ 22 1¸¸
© A1
¹
c22
2
KDiff . | 0,8 y 0,9
318
11. Rohr-, Kanalströmungen
Unstetige Verengung: Index „u.V.“
Auf c1 bezogen bei A1 ! A 2
YVu . V
] u .V1 *
c12
2
2
] u .V1
Auf c2 bezogen bei A 2 A1
D
2
§ 1 · A1
¨ 1¸ * 2
© D ¹ A2
c22
2
YVu . V
] u .V2 *
] u .V2
§1
·
¨ 1¸
©D ¹
2
Kontraktionszahl (Tab. 17. 2)
Stetige Verengung oder Konfusor: Index „Kon.“
Auf c1 bezogen bei A1 ! A 2
Auf c2 bezogen bei A 2 A1
KKon
Konfusorwirkungsgrad
c12
2
YVKon
] Kon 1 *
] Kon1
§ 1
· § A2
·
¨¨
1¸¸ * ¨¨ 12 1¸¸
K
A
¹
© Kon
¹ © 2
YVKon
] Kon 2 *
] Kon 2
§ 1
· § A2 ·
¨¨
1¸¸ * ¨¨1 22 ¸¸
© KKon
¹ © A1 ¹
c22
2
KKon | 0,93 y 0,98
Bauelemente für Volumenstromregelung und Absperraufgaben.
Armaturen haben die Aufgabe, durch Drosselung (Verlusterzeugung) in (und nach) diesen
Elementen den Massen- bzw. Volumenstrom zu regeln. Es gibt im Wesentlichen folgende
Gruppen, die dieser Aufgabe nachkommen:
-
Schieber
-
Ventile
-
Hähne
-
Klappen
11. Rohr-, Kanalströmungen
319
Die Regelfunktion ist auf die veränderliche Verlustziffer ] Sch der Armatur zurückzuführen.
] Sch steigt, ausgehend vom Kleinstwert bei völlig offener Armatur, mit zunehmendem
Schließvorgang an. Die Verluste bestimmen sich nach o.g. Gesetz.
YVSch
] Sch *
c2
2
c
mittlere Geschwindigkeit im unversperrten Flanschquerschnitt
] Sch
Verlustziffer der Armatur abhängig vom Öffnungsverhältnis (Abb. 17. 3)
Eintrittsverlust, Austrittsverlust
Neben den bisher genannten Verlusten in Rohrleitungen und den ausgewählten Bauelementen
werden zusätzliche Verluste wirksam, wenn ein Fluid aus einem sehr großen Raum in eine
Rohrleitung einströmt und der Eintrittsverlust entsteht oder aus einer Rohrleitung in einen
sehr großen Raum ausströmt, wobei es dann zum so genannten Austrittsverlust kommt.
Beim Eintrittsverlust sind Strahlkontraktion mit Verwirbelungen und Vermischungsvorgängen die Entstehungsursache, beim Austrittverlust wird die gesamte Geschwindigkeitsenergie
durch Vermischung mit dem Fluid im ruhenden Raum aufgezehrt.
Eintrittsverlust:
YVEin
] Ein
] Ein *
c2
2
Eintrittverlustziffer
Bei scharfkantiger Eintrittsgeometrie ist
] Ein
0,50 .
Austrittsverlust:
YVAus
] Aus
] Aus *
c2
2
Austrittverlustziffer
Wegen der vollständigen Vernichtung der Geschwindigkeitsenergie (Dissipation) wird
] Aus
1,0 .
320
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.1 Abflussleitungen
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
6 min
2 min
5 min
1 min
hh
h
h
h
6 Punkte
2 Punkte
5 Punkte
1 Punkt
Durch zwei vertikale Rohrleitungen gleicher Länge L aber verschiedener Durchmesser Dx
und Dy fließt Wasser ins Freie. Die Höhe H des Wasserspiegels über den Rohreintrittsquerschnitten ist konstant. Die Rohreintritte sind scharfkantig ausgeführt. Welche Geschwindigkeiten und Volumenströme stellen sich bei den vorliegenden Gegebenheiten ein? Wie groß
wird die Geschwindigkeit in beiden Rohren unter der Annahme „verlustfreier“ Strömung?
Abb. 11.1.1 Offenes Becken mit zwei verschiedenen Abflussleitungen
Lösung zu 11.1
Aufgabenerläuterung:
Die Frage befasst sich zunächst mit der realen verlustbehafteten Rohrströmung. Den Ansatz
zur Lösung liefert die Bernoullische Energiegleichung dieser Strömungsart. Neben anderen
Größen enthält sie auch die hier jeweils gesuchten Geschwindigkeiten cx und cy. Bei den
11. Rohr-, Kanalströmungen
321
vorliegenden Strömungsverlusten sind einmal die so genannten Eintrittsverluste beim Übergang eines Fluids aus einem sehr großen Raum in eine Leitung und zum anderen die Rohrreibungsverluste zu berücksichtigen. Kennzeichnend für alle Verluste sind die betreffenden Verc2
die
lustziffern ] , die durch Multiplikation mit der jeweiligen Geschwindigkeitsenergie
2
Größe der Verluste festlegen. Am Rohreintritt ist aufgrund der vorgegebenen scharfkantigen
L
Geometrie die Eintrittsverlustziffer ] Ein bekannt. Die Rohrverlustziffer ] R O
lässt sich
D
dagegen nur iterativ bestimmen, da die Rohrreibungszahl O wiederum über die Reynoldszahl
mit der gesuchten Geschwindigkeit verknüpft ist. Zur Vereinfachung werden aus diesem
Grund die beiden Rohrreibungszahlen O x und O y vorgegeben.
Gegeben:
D x ; D y ; O x ; O y ; ] Ein ; L ; H ; g
Gesucht:
1. cx , V
x
2. cy , V
y
3. Pkte. 1 und 2, wenn: Dx = 25 mm; Dy = 12,5 mm; L = 1,0 m; H = 1,385 m;
m
O x 0,0295; O y 0,0392; ] Ein 0,50 ; g = 9,81 2 .
s
4. ctheor
Lösungsschritte
:
1. cx , V
x
Als Ansatz dient die Bernoullische Energiegleichung entlang des Stromfadens an den Stellen
0 und 2x :
2
p 0 c 02
p 2 c 2x
g Z0
g Z 2 YV0 y 2 x
U
2
U
2
Mit den Besonderheiten an den Stellen 0 und 2x, nämlich p 0 p 2 p B ; c 0 0; Z2 0
YV0 y 2 x
c 22 x
2
c 22 x
g Z0 YV0 y 2 x . Hierin ist Z0
2
auf der anderen Gleichungsseite wird
lautet die Gleichung zunächst
+ YV0 y 2 x = g * H L .
YV0 y 2 x = YVEin YVR x ,
mit
2
x
2
x
c
c
+
2
2
c 2x
2
§
¨¨ ] Ein O x
©
§
¨¨ 1 ] Ein O x
©
Als Verluste sind zu berücksichtigen
L c 2x
c 2x
sowie YVR x
Ox
2
Dx
2
mit diesen Zusammenhängen oben eingesetzt liefert
wobei YVEin
cx = c 2 x = c 1 x .
YV0 y 2 x
L ·
¸
D x ¸¹
L
Dx
·
¸¸ = g
¹
(H L) und mit
g
] Ein
L H . Klammert man jetzt noch
LH .
c 2x
aus, so folgt
2
322
11. Rohr-, Kanalströmungen
Die Multiplikation mit
2
§
¨¨1 ] Ein O x
©
2 g LH
.
ª
Lº
«1 ] Ein O x D »
x¼
¬
2
führt zu c x
L ·
¸
D x ¸¹
Als Ergebnis der gesuchten Geschwindigkeit erhält man nach dem Wurzelziehen:
LH
2 g
cx
ª
«1 ] Ein O x
¬
Lº
»
Dx ¼
gemäß der allgemeinen Durchflussgleichung V
Der Volumenstrom V
x
wendung von cx und A x
S
4
c
A unter Ver-
D 2x wird dann:
V
x
S
4
D 2x
cx =
S
4
2 g LH
ª
Lº
«1 ] Ein O x D »
x¼
¬
D 2x
:
2. cy , V
y
sofort formuAnalog zu Pkt. 1 lassen sich die Geschwindigkeit cy und der Volumenstrom V
y
lieren, wenn man in o.g. Gleichungen die Größen Ox durch Oy und Dx durch Dy ersetzt.
L, H und ] Ein sind in beiden Fällen gleich groß.
2 g LH
ª
Lº
»
«1 ] Ein O y
D y »¼
¬«
cy
V
y
3. Pkte. 1 und 2., wenn:
S
4
D 2y
cy =
S
4
D 2y
2 g LH
ª
Lº
«1 ] Ein O y
»
D y »¼
«¬
Dx = 25 mm; Dy = 12,5 mm; L = 1,0 m; H = 1,385 m;
m
O x 0,0295; O y 0,0392; ] Ein 0,50 ; g = 9,81 2 .
s
Die dimensionsgerechte Verwendung der gegebenen Größen führt zu folgenden Ergebnissen:
V
x
1 1,385
1,0
1 0,5 0,0295
0,025
2 9,81
cx =
>
S
4
0,0252
4,179
@
0,002051
m
s
m3
s
cx = 4,179
m
s
V
x
l
s
2,051
11. Rohr-, Kanalströmungen
1 1,385
1,0
1 0,5 0,0392
0,0125
2 9,81
cy =
V
y
323
>
S
4
0,0125 2
@
m
s
0,0003899
3,177
cy = 3,177
m3
s
V
y
0,3899
m
s
l
s
4. c theor . :
Im Fall der angenommenen verlustfreien Strömung bei dem vorliegenden offenen System
kann die Torricellische Ausflussgleichung verwendet werden: c theor.
2 g 'Z.
Hierin ist 'Z = (H + L).
Die theoretische Strömungsgeschwindigkeit in beiden Rohren lautet folglich:
c theor.
2 g
HL
und mit den gegebenen Daten
c theor .
6,847
m
.
s
Dies ist ein deutlich größerer Wert (1,6-fach bzw. 2,2-fach) als im Fall der beiden realen
Strömungen. Man erkennt, dass die Annahme der verlustfreien Strömung immer eine Überprüfung benötigt.
324
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.2 Luftleitung
¥1.
hh
15 min
15 Punkte
Durch eine in Abb. 11.2.1 dargestellte horizontale Rohrleitung strömt Luft (inkompressibel).
An zwei im Abstand L entfernten Druckmessstellen 1 und 2 ist jeweils ein U-Rohrmanometer
angeschlossen. Die statischen Drücke p1 bzw. p 2 bewirken eine Verschiebung der Sperrflüssigkeit (Wasser) um 'h1 bzw. 'h 2 in den U-Rohrmanometern.
Bei bekannten geometrischen Rohrabmessungen D und L, Flüssigkeitshöhen 'h1 und 'h 2 in
den U-Rohrmanometern, mittlerer Strömungsgeschwindigkeit c und fluidspezifischen Größen der Luft UL und QL sowie der Sperrflüssigkeit UW sollen die statischen Drücke p1 und p 2
an den Messstellen sowie verschiedene Verlustgrößen YV1y 2 , OStrömungsart und das Rohrrauhigkeitsverhalten ermittelt werden.
Abb. 11.2.1 Luftleitung mit U-Rohrmanometern
Lösung zu 11.2
Aufgabenerläuterung
Die geringe Luftdichte und die gerade Rohrleitung haben zur Folge, dass der statische Druck
über dem Rohrquerschnitt nahezu konstant ist und somit auch in gleicher Größe an den Druckentnahmestellen wirkt. Aufgrund der vorliegenden Luftströmung in der horizontalen geraden Rohrleitung ist der Druckunterschied zwischen den beiden Druckentnahmestellen 1 und 2
ausschließlich auf die Reibungsverluste zwischen diesen Messstellen zurückzuführen.
Zur Ermittlung der statischen Drücke ist es ratsam, jeweils eine Schnittebene 0 – 0 gemäß
Abb. 11.2.1 durch die Manometer zu legen. Die am linken und rechten Schenkel bei 0 – 0
wirksamen Drücke sind im Gleichgewichtszustand zu vergleichen und nach dem gesuchten
Druck aufzulösen. Die Fragen zu verschiedenen reibungsbedingten Verlustgrößen lassen sich
mittels Bernoullischer und Darcyscher Gleichung beantworten.
11. Rohr-, Kanalströmungen
Gegeben:
325
m
; 'h1 = 1,205 m ; 'h 2 = 0,80 m ;
s
kg
m2
; U W 1000 3 ; p B 105 Pa
s
m
D = 100 mm ; L = 100 m ; c = 20
UL = 1,2
kg
;
m3
; O ; Strömungsart ; Rohrrauhigkeitsverhalten
p1 ; p 2 ; YV
Gesucht:
Q L = 15 10 6
1y 2
- Luftdichte UL in U-Rohrmanometer vernachlässigbar.
- Inkompressible Luftströmung.
Anmerkungen:
Lösungsschritte
p1 :
Die Druckgleichheit im Schnitt 0 – 0 des linken U-Rohrmanometers gemäß Abb. 11.2.1 lautet:
p1 UL
p1
g 'h1
pB Uw
g
pB UW
'h1 . Unter Vernachlässigung von UL
g
g 'h1 folgt:
'h1 . Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält
man folglich
p1 = 100 000 + 1000
9,81 1,205
oder
111 821 Pa .
p1
p2 :
Die Druckgleichheit im Schnitt 0 – 0 des rechten U-Rohrmanometers gemäß Abb. 11.2.1 lautet:
p 2 UL
g
p 2 pB UW
man folglich
'h 2
g
p B UW
g
'h 2 . Unter Vernachlässigung von U L
g
'h 2 folgt:
'h 2 . Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält
p 2 = 100 000 + 1000
9,81 0,80
p2
oder
107 848 Pa .
YV1y 2 :
Bei der Ermittlung der Verluste wird die erweiterte Bernoullische Gleichung benötigt. Hierin
sind die gesuchten Verluste in Verbindung zu bringen mit den jetzt bekannten strömungsmechanischen Größen an den Stellen 1 und 2:
p1 c12
g
UL
2
Z1
p 2 c 22
g
UL
2
Z2 YV1y 2
326
11. Rohr-, Kanalströmungen
Mit den im vorliegenden Fall besonderen Gegebenheiten Z1 Z 2 und c1 c 2 erhält man
p p2
. Setzt man hierin dimensionsgerecht die ermittelten Drücke und die LuftYV1y 2 = 1
UL
dichte ein, so berechnen sich die Verluste zu
111 821 107 848
1,2
YV1y 2 =
oder
YV1y 2 = 3310,8
Nm
.
kg
O :
Zur Rohrreibungszahl O gelangt man durch Umformen der Darcyschen Gleichung
L c2
YV1y 2 = O
wie folgt:
D 2
D 2
O YV1y 2
. Mit den gegebenen bzw. berechneten Größen ermittelt man O zu:
L c2
O
0,10
100
3310,8
2
202
oder
O
0,0166
Strömungsart:
Die Frage, ob eine laminare oder turbulente Rohrströmung vorliegt, lässt sich mit der Reynoldschen Zahl beantworten. Als oberer Grenzwert des laminaren Falls ist Re = 2320 bekannt. Liegen größere Werte vor, so ist die Rohrströmung – wenn ein gewisser Übergangsbereich außer Acht gelassen wird – turbulent. Die Reynoldszahl lautet bekanntermaßen:
Re
Re
c
D
Q
. Auch hier wieder dimensionsgerecht die bekannten Größen eingesetzt liefert
20 0,10
106
15
oder
Re
133 333 .
Damit ist eine turbulente Rohrströmung nachgewiesen.
Rohrrauhigkeitsverhalten:
Die Rauhigkeit der Rohrinnenwand wirkt sich dann auf die Verluste aus, wenn die Rauhigkeitserhebungen nicht mehr von der laminaren Unterschicht überdeckt werden. In diesem Fall
kommt neben dem Re-Einfluss aufO noch die Sandrauhigkeit (auf den Innendurchmesser
bezogen) zur Wirkung. Beide Einflussgrößen auf Ofinden sich im Moody-Diagramm (Abb.
17.1) wieder. Unter Benutzung von Re = 133333 und O
0,0166 lässt sich in diesem Diagramm feststellen, dass im vorliegenden Fall „hydraulisch glattes“ Verhalten vorliegt, also alle Rauhigkeitserhebungen in der laminaren Unterschicht eingebettet sind.
11. Rohr-, Kanalströmungen
327
Aufgabe 11.3 Vertikale Rohrleitung
¥1.
¥2.
¥3.
14 min
6 min
7 min
hhh
hh
hh
14 Punkte
6 Punkte
7 Punkte
Eine vertikale Rohrleitung wird gemäß Abb. 11.3.1 von unten nach oben mit Wasser durchströmt. Der betrachtete Rohrleitungsabschnitt zwischen den Stellen 1 und 2 besteht aus drei
geraden Rohrstücken und zwei Rohrkrümmern des Durchmessers D1 sowie einer unstetigen
Querschnittserweiterung von D1 auf D2. Die Stelle 2 ist dort angeordnet, wo das Verwirbelungsgebiet nach der unstetigen Querschnittserweiterung beendet ist, die Strömung also wieder an der Rohrwand anliegt. An den Stellen 1 und 2 hat man Messleitungen installiert, die
mit einem U-Rohrmanometer verbunden sind. Als Sperrflüssigkeit im Manometer dient
Quecksilber, die Flüssigkeit in den Messleitungen ist Wasser. Wie groß wird bei verlustbehafteter Strömung und konstantem Volumenstrom der Druckunterschied p 2 p1 zwischen den
Stellen 1 und 2 und welche Quecksilberhöhe h kann man am Manometer ablesen?
Abb. 11.3.1 Vertikale Rohrleitung
328
11. Rohr-, Kanalströmungen
Lösung zu 11.3
Aufgabenerläuterung
Die hier zu lösende Frage nach dem Druckunterschied zwischen den Stellen 1 und 2 lässt sich
mittels Bernoullischer Gleichung der verlustbehafteten Strömung inkompressibler Fluide beantworten. Daneben wird die Kontinuitätsgleichung Verwendung finden müssen, um die mittleren Geschwindigkeiten aufgrund des gegebenen Volumenstroms und bekannter Kreisrohrquerschnitte zu ersetzen. Die Verlustziffern der durchströmten Rohrleitungselemente lassen
sich den einschlägigen Tabellen bzw. Diagrammen entnehmen. Der Einfachheit halber sind
hier die Zahlenwerte der Verlustziffern für die Rohre (Index „R“) und Krümmer (Index „Kr “)
vorgegeben; die Verlustziffer der unstetigen Erweiterung (Index „u.E.“) errechnet sich leicht
aus den Rohrabmessungen. Bei der Bestimmung des Manometerausschlags h ist es ratsam,
eine Schnittebene 0 – 0 gemäß Abb. 13.1.1 durch das Manometer zu legen. Die am linken und
rechten Schenkel bei 0 – 0 wirksamen Drücke sind im Gleichgewichtszustand zu vergleichen
und nach dem gesuchten Manometerausschlags h aufzulösen.
¦L ;
; ] ; O
Z1; D 2 ; Z2 ; U W ; UHg ; V
Kr
1
Gegeben:
D1 ;
Gesucht:
1. p 2 p1
2. h
3. Pkt. 1 und Pkt. 2, wenn: D1
1
100 mm ;
¦L
1
3,0 m; Z1
4,0 m ; V
D2
200 mm ; Z2
UW
kg
kg
; UHg 13560 3 ;
3
m
m
0,20 ; O1 0,020
] Kr
1,0 m
0,0785
m3
;
s
1000
Lösungsschritte
1. p 2 p1 :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2:
p1
c2
p2
c2
1 g Z1
2 g Z 2 ¦ YQ1 y 2
UW
UW
2
2
p 2 p1
liefert zunächst
Das Auflösen nach
UW
p 2 p1
UW
c12 c 22
g
2
Z 2 Z1 ¦ YQ1 y 2 . Durch Multiplikation mit UW erhält man dann
den gesuchten Druckunterschied zunächst mit
p 2 p1 =
UW
2
c12 c 22 U W
g
Z2 Z1 UW
¦Y
Q1y2
.
1
c12 c 22 mittels Kontinuitätsgleichung V
2
und den Rohrleitungsdurchmessern D1 und D2 wie folgt ersetzt:
Im nächsten Schritt wird
c1
A1
c2
A2
11. Rohr-, Kanalströmungen
c1
V
;
A1
c2
1
2
c12 c 22
eingesetzt liefert
1
2
c12 c 22
1
2
1
2
c12 c 22 =
8
S2
¦Y
V1 y 2
V
;
A2
329
A1
S
4
D12 ;
A2
S
4
D 22 . Diese Zusammenhänge in
§ 1
1 ·
¨¨ 2 2 ¸¸ und unter Verwendung von A1 und A2:
© A1 A 2 ¹
·
§
¸
¨
1
1
2 §¨ 1 1 ·¸ . Somit folgt
¸ 1 16 V
¨
¨ D4 D4 ¸
¨ S2
S2
2 S2
4
4 ¸
2 ¹
© 1
D1
D2 ¸
¨
16
¹
© 16
§ 1
1 ·
¨¨ 4 4 ¸¸ .
D
D
2 ¹
© 1
2
V
2
V
1
2
2
V
:
Die gesamten Verluste lassen sich wie folgt zusammenfassen:
¦Y
= YVR 1y 2 2 YVKr YVu . E
YVR 1y 2
O1
V1 y 2
¦L
c12
2
1
D1
Rohrreibungsverluste (alle Rohre des Durchmessers D1)
c12
2
c12
2
YVKr = ] Kr
YVu . E = ] u .E
Krümmerverluste
Verluste der unstetigen Erweiterung
Die Verlustziffer ] u .E ermittelt man ausschließlich aus den beiden Durchmessern D1 und D2
2
§
D2 ·
¨¨1 12 ¸¸ , sofern als Bezugsgeschwindigkeit c1 gewählt wird. Somit wird
D2 ¹
©
gemäß ] u .E
YVU . E .
§
D2 ·
¨¨1 12 ¸¸
D2 ¹
©
2
c12
.
2
Die gesamten Verluste
¦Y
V1 y 2
werden nach Ausklammern von
dargestellt:
¦ YQ1y2 =
c12
2
2
1
c
2
ª
«O1
«¬
V
c12
2
mit c1
¦L
2
§
D2 · º
2 ] Kr ¨¨1 12 ¸¸ »
D1
D2 ¹ »
©
¼
4 V
ersetzt führt zu
S D12
1
A1
2
V
16
S D14
2
=
8
S2
1
D14
2
V
und folglich
c12
auch folgendermaßen
2
330
11. Rohr-, Kanalströmungen
¦ YQ1y2 =
8 2 1
V
S2
D14
ª
«O1
«¬
¦L
1
D1
Alle so ermittelten Größen für
1
2
§ D2 ·
2 ] Kr ¨¨1 12 ¸¸
© D2 ¹
2
º
».
»¼
¦Y
c12 c 22 und
in die Druckdifferenz eingesetzt
Q1y 2
liefert
UW
ª8
« 2
«S
¬
p 2 p1
UW
p 2 p1
§ 1
1 · 8
¨¨ 4 4 ¸¸ 2
© D1 D 2 ¹ S
2
V
2
V
¦L
§
¨O
¨ 1
©
1
D14
1
D1
2
§
D2 · ·
2 ] Kr ¨¨1 12 ¸¸ ¸ g
D2 ¹ ¸
©
¹
º
Z 2 Z1 »
»
¼
oder
ª
«8
« S2
¬
2
V
ª§ 1
1 ·
1
«¨¨ 4 4 ¸¸ 4
«© D1 D 2 ¹ D1
¬
¦L
§
¨O
¨ 1
©
1
D1
2
§
D 2 · ·º
2 ] Kr ¨¨1 12 ¸¸ ¸» g
D 2 ¹ ¸»
©
¹¼
º
Z 2 Z1 » .
»
¼
2. h:
Die Schnittebene 0 y 0 im U-Rohrmanometer angeordnet liefert :
p0
p 2 UW g
Z 2 Z1 U W g h x U Hg g h
p1 U W g h x U W g h
Rechte Seite
Linke Seite
Nach Gliedern mit h auf einer Gleichungsseite geordnet
U Hg
g
h - UW
g
p1 p 2 U W
h =
Z2 Z1 ,
g
1
g UW
g Z2 Z1
h ausgeklammert und die Gleichung mit
p1 p 2 U W
U Hg U W
g
h
h
§ UHg
·
¨¨
1¸¸
U
© W
¹
multipliziert
führt zunächst zu
p1 p 2
Z2 Z1 .
g UW
Dann mit
1
multipliziert
§ UHg
·
¨¨
1¸¸
© UW
¹
ergibt das Resultat:
h
3. Pkt. 1 und Pkt. 2, wenn:
ª p1 p 2
º
Z2 Z1 »
«
¬ g UW
¼
§ UHg
·
¨¨
1¸¸
© UW
¹
D1 100 mm ;
Z2
4,0 m ; V
UW
1000
] Kr
¦L
1
3,0 m; Z1 1,0 m ; D 2
3
m
;
s
kg
13560 3 ;
m
0,0785
kg
; UHg
m3
0,20 ; O1 0,020
200 mm
11. Rohr-, Kanalströmungen
331
Die Beachtung dimensionsgerechter Verwendung des gegebenen Zahlenmaterials liefert:
p 2 p1 :
p 2 p1
1000
ª
«8
« S2
¬
0,0785 2
ª§ 1
1
«¨¨ 4 0,2 4
«© 0,1
¬
·
1
¸¸ 4
¹ 0,1
p 2 p1 =
ª
«0,02
«¬
3
2
0,10
§
0,12
0,20 ¨¨1 0,2 2
©
·
¸¸
¹
2
ºº
» » 9,81
»¼ »¼
º
4 1»
»
¼
- 60648 Pa
Die negative Druckdifferenz p 2 p1 besagt, dass p1 > p2 . Folglich muss das Ergebnis
lauten:
p1 p 2 = 60648 Pa
h :
ª 60648
º
« 9,81 1000 4 1 »
¼
h = ¬
§ 13560 ·
1¸
¨
© 1000
¹
Die am U-Rohrmanometer ablesbare Höhe h der Quecksilbersäule beträgt somit:
h = 0,253 m { 253 mm
Hg-Säule
332
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.4 Graugussrohre
¥1.
18 min
hhh
18 Punkte
Ein Wasserbecken ist durch eine mit Gefälle verlegte Graugussrohrleitung mit einem zweiten,
durch
tiefer gelegenen Becken verbunden. Aufgrund des Gefälles fließt ein Volumenstrom V
das vollkommen ausgefüllte Rohr, wobei sich die Flüssigkeitsspiegel Z1 und Z2 zeitlich nicht
ändern sollen. Es muss nun das ursprüngliche Rohr mit dem Durchmesser D1 und dem Gefälle
'Z1/L1 durch ein neues Graugussrohr kleineren Durchmessers D2 ersetzt werden. Wie groß ist
das neue Gefälle 'Z2/L2 zu wählen, wenn derselbe Volumenstrom abfließen soll?
Abb. 11.4.1 Wasserbecken mit verlegter Graugussrohrleitung
Lösung zu 11.4
Aufgabenerläuterung
Das Gefälle ist allgemein definiert als die Höhe (oder ein Höhenunterschied 'Z) bezogen auf
die Horizontalprojektion der zugeordneten Länge. Bei kleinen Winkeln, wie im vorliegenden
Fall, kann die Länge L auch selbst verwendet werden. Zur Lösungsfindung dieser Aufgabe ist
es demnach erforderlich, diejenigen Gleichungen der Strömungsmechanik sinnvoll einzusetzen, in denen die betreffenden Größen vorzufinden sind. Hier ist zunächst die Bernoullische
Gleichung zu nennen, aus welcher der Höhenunterschied 'Z entnommen werden kann. Des
Weiteren ist die Länge L Bestandteil der Darcyschen Gleichung, mit der die Reibungsverluste
turbulenter Rohrströmung ermittelt wird.
Gegeben:
Gesucht:
D1 = 500 mm; 'Z1/L1 = 1/1000; O1 = 0,021 ;
D2 = 400 mm; k = 0,40 mm;
2
; Q 1 10 6 m ;
V
V
V
1
2
s
'Z2/L2
Anmerkungen:
- Die Eintrittsverluste in die Rohrleitung können vernachlässigt werden.
- Die Bernoullische Gleichung sollte für die oberste Stromlinie gemäß
Abb. 11.4.1 angewendet werden, auch wenn sich das Ergebnis für andere Stromlinien nicht ändert.
11. Rohr-, Kanalströmungen
333
Lösungsschritte
Die Ermittlung von 'Z erfolgt mittels Bernoullischer Gleichung an den Stelle 1 und 2:
p1 c12
p 2 c 22
g Z1
g Z 2 YV1y2
U
2
U
2
Mit den besonderen Gegebenheiten p1 = p2 = pB und c1 = c2 folgt YV1y 2 = g * (Z1 – Z2), wobei
(Z1 – Z2) 'Z als Höhenunterschied eingeführt wird. Somit entsteht ein Zusammenhang
zwischen 'Z und den Verlusten in der Form YV1y 2 = g * 'Z. Berücksichtigt man die Annahme, dass die Eintrittsverluste in die Rohrleitung von untergeordneter Bedeutung sein sollen,
dann liegen ausschließlich reibungsbedingte Verluste vor also YV1y 2 YVR . Nach Division
durch die Fallbeschleunigung g erhält man 'Z zu:
1
'Z
YVR
g
Die Bezugsgröße L im Gefälle ist Bestandteil der Darcyschen Gleichung zur Ermittlung reibungsbedingter Verluste bei turbulenter Rohrströmung:
L c2
YVR O
D 2
Setzt man diese Verluste in die Gleichung für 'Z ein und dividiert durch die Rohrlänge L,
L c2
1
'=
in nachstehender Form:
'Z
O
so entsteht zunächst das Gefälle
g
L
D 2
'=
L
c2
. Hierin muss nun noch die Rohrgeschwindigkeit c mittels umge2
V
S
formter Durchflussgleichung c =
und dem Rohrquerschnitt A =
D 2 , also mit
4
A
2 16
1
4 V
'=
1 1 V
O
ersetzt werden. Damit gelangt man zu
.
c =
2
g
S D
L
D 2 S2 D 4
1
g
1
D
O
Dies führt zum allgemeinen Gefälle:
'=
L
8
S2
1
g
1
D5
O
2
V
Für die beiden unterschiedlichen Rohrleitungen liefert dies nachstehende Gleichungen:
'=1
L1
8
S2
1
g
2
V
1
O1
D15
'=2
L2
sowie
Da gleich bleibender Volumenstrom gefordert wird V
1
8
S2
1
g
2 = '=1
V
L1
'= 2
D
=
L2
O1
5
1
5
2
D
O2
'=2 D15
= 5
L2
D2
8
S2
1
g
V
2
2
V
2
, kann man jeweils mit
V
umformen und nach
O2
O1
'=1
L1
O2
D52
'=2
auflösen zu:
L2
334
11. Rohr-, Kanalströmungen
Unbekannt in dieser Gleichung ist jetzt nur noch O2. Allgemein kann bei turbulenter
Rohrströmung die Rohrreibungszahl O sowohl von Re als auch von der bezogenen
k
D
abhängen.
Sandrauhigkeit S bzw.
D
kS
kS
:
D2
Die Sandrauhigkeit kS, die den Berechnungsgleichungen für O bzw. dem Moody-Diagramm
zugrunde liegt, steht in folgendem empirischen Zusammenhang mit der tatsächlichen Rauhigkeit k S
1,0 y 1,6 k . Für das zweite Graugussrohr erhält man folglich mit dem Mittelwert
1,3 des Faktorenbereichs:kS = 1,3 * 0,40 = 0,52 mm.Somit führt dies zum Ergebnis
400
D2
=
769 .
0,52
kS
Re2 :
D2
wird die Strömungsgeschwindigkeit c2 erforderlich.
Q
vorliegt. Mit o.g. Gleichung
Diese ist dann bekannt, wenn der Volumenstrom V
V
V
1
2
Zur Ermittlung von Re 2 =
'=1
L1
8
S2
1
g
2
V
1
c2
O1
, die man umformt zu V
1
D15
S
D12
4
'Z1
D1
, lässt
2 g
O1
L1
sich der Volumenstrom berechnen zu
V
1
S
0,52
4
0,001 2 9,81
0,500
0,021
oder
V
1
3
= 0,1342 m .
V
2
s
Die Geschwindigkeit c2 erhält man dann wie folgt :
S
V
4 V
2
2
D 22 liefert c 2
und A2 =
A2
4
S D 22
Die benötigte Re2- Zahl weist folgende Größe auf:
c2
Re 2 =
c2
D2
Q
1,068 0,40
106
1
oder c 2
m
4 0,1342
= 1,068
.
s
S 0,4 2
4,27 * 105
D2
lässt sich O 2 dem Moody-Diagramm (Abb. 17. 1) mit O 2 0,022
kS
entnehmen. Das gesuchte neue Gefälle wird nun bei bekannten O1 und O 2 berechnet zu:
Aus Re 2 und
'= 2 D15
= 5
L2
D2
O2
O1
'=1
0,55
=
L1
0,45
0,022
1
= 0,0032 oder
0,021 1000
'= 2
3,2 m
=
.
L2
1000 m
11. Rohr-, Kanalströmungen
335
Aufgabe 11.5 Benzinleitung
¥1.
hh
20 min
20 Punkte
Ein mit atmosphärischem Druck beaufschlagter Benzintank wird gemäß Abb. 11.5.1 über eine
befüllt. An der Stelle 1 der Rohrleitung wird der staRohrleitung mit einem Volumenstrom V
tische Druck p1 gemessen; an der Stelle 2 im Tank ist er gleich pB. Die beiden Höhen der Stellen 1 und 2, der Abstand L zwischen ihnen wie auch die Oberflächenrauhigkeit k des Rohrs
sind ebenfalls bekannt. Weiterhin liegen die erforderlichen Stoffdaten des Benzins vor. Wie
groß muss der Rohrdurchmesser D bei den gegebenen Größen gewählt werden?
Abb. 11.5.1 Benzintank
Lösung zu 11.5
Aufgabenerläuterung
durchströmten Rohrleitung gefragt wird und
Wenn nach dem Durchmesser D einer von V
Größen wie Drücke, Höhenangaben, Fluiddaten etc. bekannt sind, liegt es nahe, von der
Bernoullischen Gleichung Gebrauch zu machen. Die hier zu berücksichtigenden Geschwinc2
c2
digkeitsenergien
und die Strömungsverluste YV , die proportional
sind, schließen über
2
2
die Durchflussgleichung und den Kreisrohrquerschnitt den gesuchten Durchmesser ein.
Gegeben:
Gesucht:
Z1 = 82,65 m ;
p1
Z2 = 66,66 m ;
p2
k = 0,5
mm ; L
kg
UBe. = 719
; Q Be.
m3
D
Rohrdurchmesser
=
=
=
1,245 105
1 105
965,5
0,406 106
Pa ;
Pa ;
m;
m2
;
s
V
0,10
m3
s
336
11. Rohr-, Kanalströmungen
Anmerkungen:
- An der Stelle 2 soll das Benzin frei in den Tank, also oberhalb der
Flüssigkeitsoberfläche einfließen.
- Es wird von turbulenter Rohrströmung ausgegangen, wobei der Nachweis im Lauf der Berechnung erfolgt.
- Die erforderliche Iteration wird mit O1 = 0,015 gestartet.
Lösungsschritte
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2:
2
p1 c1
g
U
2
Z1
p 2 c 22
g
U
2
Z2 YV1y 2
Mit den Besonderheiten im vorliegenden Fall c1 = c2 und p2 = pB wird
p1 p B
g
U Be.
YV1 y 2
Z1 Z2 .
Die Verluste YV1y 2 sind ausschließlich reibungsbedingter Art bei angenommener turbulenter
Rohrströmung (Nachweis erfolgt später):
O
YVR
c2
2
L
D
Rohrreibungsverluste
Beide voneinander unabhängig gefundenen Gleichungen für YVR miteinander verknüpft:
O
p1 p B
g
U Be.
c2
=
2
L
D
Z1 Z 2
Da der Durchmesser D gesucht wird, muss zunächst noch die mittlere Geschwindigkeit mit
4 V
c A und A S D 2 umgeformt werden zu c
.
tels Durchflussgleichung V
S D2
4
Die Geschwindigkeit so in die oben stehende Gleichung eingesetzt ergibt:
O
L
D
2
16 V
=
S2 D 4 2
O
8
S2
2
L V
1
=
D5
p1 p B
g
U Be.
p1 p B
g
U Be.
2
8 L V
D5
S
2
ª p1 p B
g
«
¬ U Be.
º
Z1 Z 2 »
¼
O.
Z1 Z 2
oder
Z1 Z 2 . Nach D 5 aufgelöst erhält man:
11. Rohr-, Kanalströmungen
Mit
337
1
potenziert führt dies zum Durchmesser:
5
D =
5
S
2
2
8 L V
º
ª p1 p B
g Z1 Z2 »
«
¼
¬ UBe.
5
O
Bei turbulenter Rohrströmung kann die Rohrreibungszahl O von der Reynoldszahl
k
c D
Re
und der bezogenen Rauhigkeit S (bzw. der reziproken bezogenen Rauhigkeit
D
Q Be.
D
) abhängen. In beiden Fällen ist aber der gesuchte Durchmesser D erforderlich, der aber
kS
gerade gesucht wird. Ein Iterationsverfahren hilft, dennoch eine Lösung zu finden. Setzt man
die gegebenen Zahlenwerte in oben stehende Gleichung des Durchmessers D dimensionsgerecht ein, so ergibt sich die Zahlengleichung:
D =
5
S
2
8 965,5 0,102
º
ª 1,245 1,0 105
9,81 82,65 66,66 »
«
719
¼
¬
D = 0,5279
5
5
O
oder
O
1. Iterationsschritt:
Annahme: O1 = 0,015.
D1 = 0,5279
5
0,015
oder
D1 = 0,228
m.
D1
kann man aus Abb. 17. 1 erkennen, um welche Art Oberfläche es sich hankS
delt und auch, welche Rohrreibungszahl vorliegt. Die hierzu erforderliche Sandrauhigkeit kS
1 y 1,6 k und im vorliegenden
ermittelt man aus dem empirischen Zusammenhang k S
Fall zu kS = 1,3 * 0,5 mm = 0,65 mm. Somit lautet dann das Verhältnis
Mit Re1 und
D1
kS
228
0,65
oder
D1
kS
351 .
Zur weiterhin benötigte Reynoldszahl gelangt man mit der Definition Re
die Geschwindigkeit mittels c
c1
Re1
4 0,10
S 0,2282
2,449 0,228
106
0,406
c D
, wobei
Q
4 V
festgestellt wird, im aktuellen Fall also:
S D2
m
s
oder
c1 = 2,449
oder
Re1 1,375 106
338
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aus dem Moody-Diagramm (Abb. 17.1) ist zu erkennen, dass hier völlig raue Oberflächen
vorliegen. Die betreffende neue Rohrreibungszahl entnimmt man entweder dem Diagramm
oder berechnet sie nach
1
O
.
2
ª
º
D
«2 log( k ) 1,14»
S
¬
¼
O2
>2
1
2
log(351) 1,[email protected]
oder
O2
oder
D2 = 0,2539
oder
D2
kS
oder
c 2 = 1,975
oder
Re 2
0,0258
2. Iterationsschritt:
O2 = 0,0258.
D2 = 0,5279
D2
kS
c2
Re 2
5
0,0258
253,9
0,65
4 0,10
S 0,25392
1,975 0,2539
106
0,406
m.
391 .
m
.
s
1,235 106
Aus Abb. 17.1 ist zu erkennen, dass hier weiterhin völlig raue Oberflächen vorliegen.
O3
1
>2 log(391) 1,[email protected]
oder
O3
oder
D3 = 0,2524
oder
D3
kS
oder
c3 = 1,999
oder
Re3 1,242 106
0,0250
3. Iterationsschritt:
O3 = 0,0250
D3 = 0,5279
D3
kS
c3
Re3
5
0,0250
252,4
0,65
4 0,10
S 0,25242
1,999 0,2524
106
0,406
m.
388,4 .
m
.
s
11. Rohr-, Kanalströmungen
339
Aus Abb. 17.1 ist zu erkennen, dass hier weiterhin völlig raue Oberflächen vorliegen.
O4
>2
1
oder
2
log(388,4) 1,[email protected]
O4
0,02504
4. Iterationsschritt:
O4 = 0,02504
D4 = 0,5279
5
0,02504 oder
D4 = 0,2525
m.
Da sich dieser Durchmesser D4 vom vorangegangenen Durchmesser D3 lediglich um 0,04 %
unterscheidet, wird hier das Iterationsverfahren abgebrochen.
Der gesuchte Durchmesser lautet:
D = 0,2525
m
Da Re3 | Re 4 | 1,24 106 > 2320, liegt auch die zunächst angenommene turbulente
Rohrströmung vor.
340
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.6 Abgestufte Rohrleitung
¥1.
¥2.
¥3.
3 min
12 min
4 min
h
hhh
h
3 Punkte
12 Punkte
4 Punkte
Aus einem sehr großen, gegen Atmosphäre offenen Becken fließt Wasser durch eine abgestufte Rohrleitung ins Freie. Die Querschnittsübergänge vom Becken zum Rohr 1 und vom Rohr
1 zum Rohr 2 sind scharfkantig ausgeführt; die Rohrleitung ist horizontal verlegt. Bei dem
Ausströmvorgang kann die Flüssigkeitshöhe H als konstant angenommen werden. Es soll der
Volumenstrom sowohl für den theoretischen Fall verlustfreier Strömung als auch den Realfall
verlustbehafteter Strömung ermittelt werden.
Abb. 11.6.1 Abgestufte Rohrleitung an offenem Becken
Lösung zu 11.6
Aufgabenerläuterung
Bei diesem klassischen Fall eines gegen Atmosphäre offenen Systems ist die Flüssigkeitshöhe
H die treibende Größe des Ausströmvorgangs. Es muss eine Verbindung zwischen H und dem
gesuchten Volumenstrom hergestellt werden. Dies gelingt sowohl bei der verlustfreien als
auch der verlustbehafteten Strömung mittels Bernoulligleichung und der Durchflussgleichung.
Gegeben:
H = 10 m, d1 = 50 mm, L1 = 2 m, O1 = 0,025 (Rohrreibungszahl)
d2 = 25 mm, L2 = 4 m, O2 = 0,020 (Rohrreibungszahl)
] Ein . 0,5 (Eintrittsverlustziffer)
D = 0,625 (Kontraktionszahl)
11. Rohr-, Kanalströmungen
341
(ohne Verluste)
V
th .
2. V (mit Verlusten)
3. Pkt. 1 und Pkt. 2 mit o.g. Zahlenwerten
Gesucht:
1.
Hinweis:
Die Abmessungen in Abb. 11.6.1 sind nicht maßstabsgerecht!
Lösungsschritte
:
1. V
th .
Bernoullische Gleichung an der Stelle 0 und 2 (ohne Verluste):
2
p 0 c 02
p 2 c 2th
g Z0
g Z 2 . Mit den hier vorliegenden besonderen
p
2
p
2
Gegebenheiten p 0 p 2 p B ; c 0 0 ; Z 0 Z 2 H erhält man zunächst
c 22 th
Z0 Z 2
g
2
c 2 th .
2
g
g H und schließlich für die theoretische Ausflussgeschwindigkeit
H
(Torricellische Ausflussgleichung ohne Verluste).
mit
Mittels Durchflussgleichung V
c A liegt der gesuchte Volumenstrom V
th .
S
V
c 2 th A 2 fest. Bei gegebenem Austrittsquerschnitt A 2
d 22 lautet das Ergebnis:
th
4
S
2 g H
V
d 22
th
4
:
2. V
Bernoullische Gleichung an der Stelle 0 und 2 (mit Verlusten):
p 0 c02
p 2 c 22
g Z0
g Z2 YV0 y 2 Die Vorgehensweise im Fall der verlustbehaftep
2
p
2
ten Strömung verläuft analog zu Pkt. 1, nur dass jetzt die Strömungsverluste entlang des
Stromfadens von der Stelle 0 bis zur Stelle 2 zu berücksichtigen sind. Aufgrund der in diesem
Beispiel vorliegenden festen Größen p 0 p 2 p B ; c 0 0 ; Z 0 Z 2 H sind die Verluste YV0 y 2 verantwortlich für die verkleinerte Austrittsgeschwindigkeit c2 gegenüber derjenigen
des verlustfreien Falls c 2 th . .
c 22
2
Zo Z2 YV0 y 2 = g H YV0 y 2 . Hieraus folgt nach Umformung
g
c2
2
H YV0 y 2 )
(g
Torricellische Ausflussgleichung mit Verlusten
Die Verluste, die hier zu berücksichtigen sind, setzen sich folgendermaßen zusammen:
YVEin .
] Ein
c12
2
Eintrittsverluste beim Übergang aus einem sehr großen Behälter in
eine Rohrleitung mit scharfkantiger Eintrittsgeometrie
YVR = O1
1
L1
d1
2
1
c
2
Rohrreibungsverluste im Rohr 1
342
11. Rohr-, Kanalströmungen
YVuV = ] u .V2
c 22
2
Verluste bei unstetiger Querschnittsverengung von d1 auf d2 bei
Bezug auf c 2
YVR = O 2
2
L2
d2
c 22
2
Rohrreibungsverluste im Rohr 2
Die Summe aller Verluste im vorliegenden Fall lautet also
] Ein
YV0 y 2
c12
+ O1
2
L1
d1
c12
] u .V2
2
c 22
+ O2
2
L2
d2
c 22
,
2
und nach Gliedern gleicher Geschwindigkeitsenergien zunächst zusammengefasst
ª
L1 º c 22 ª
L2 º
«] Ein O1 d » 2 «] u .V2 O 2 d » .
1¼
2 ¼
¬
¬
c 22
Klammert man
aus, so entsteht
2
c 2 ª c2 §
L1 · §
L 2 ·º
¸¸ ¨¨ ] u .V2 O 2
¸» .
Y V0 y 2 = 2 « 12 ¨¨ ] Ein O1
c
d
d 2 ¸¹¼
2 ¬ 2 ©
1 ¹
©
c12
muss nun ersetzt werden mit den gegebenen Durchmessern. Dies lässt sich mit dem Konc 22
c A = konst. und A = S d 2 wie folgt
tinuitätsgesetz der inkompressiblen Strömung V
4
S
2
d2 § 2 ·
c1
A2
d
4
c A
¨¨ 22 ¸¸ bzw.
lösen: V
c
A
und
umgestellt
erhält
man
1
1
2
2
S
c2
A1
d1 ¹
2
©
d1
4
Y V0 y 2 =
§ c1 ·
¨¨ ¸¸
© c2 ¹
2
c12
2
§ d 42 ·
¨¨ 4 ¸¸ . Oben eingesetzt gelangt man zum Ergebnis der Verluste in der Form
© d1 ¹
4
L2 § d 2 · ª
L1 º º
c2 ª
».
¨¨ ¸¸ « ] Ein O1
Y V0 y 2 = 2 «] u .V2 O 2
2 «
d 2 © d1 ¹ ¬
d1 »¼ »
¬
¼
c2
Fügt man Y V0 y 2 in das Ergebnis der Bernoullischen Gleichung 2 + Y V0 y 2 = g H ein
2
4
2
2
ª
º
c2 c2
L2 § d 2 · ª
L1 º
«] u .V2 O 2
» = g H
+
¨¨ ¸¸ « ] Ein O1
2
2 «
d 2 © d1 ¹ ¬
d1 »¼ »
¬
¼
c 22
und löst
heraus, so folgt:
2
4
c 22 ª §
L2 · §
L1 · § d 2 · º
¸¸ ¨¨ ] Ein O1
¸¸ ¨¨ ¸¸ » g H .
«1 ¨¨ ] u .V2 O 2
d2 ¹ ©
d1 ¹ © d1 ¹ »
2 « ©
¬
¼
11. Rohr-, Kanalströmungen
343
Durch nachstehende Umformungen
2 g H
4
ª §
L2 · §
L1 · § d 2 · º
¨
¸
¨
¸
¨
¸
«1 ¨ ] u .V2 O 2
»
] Ein O1
d 2 ¸¹ ¨©
d1 ¸¹ ¨© d1 ¸¹ »
«¬ ©
¼
V
2 g H
c2
4
A2
ª §
L2 · §
L1 · § d 2 · º
¸¸ ¨¨ ] Ein O1
¸¸ ¨¨ ¸¸ »
«1 ¨¨ ] u .V2 O 2
d2 ¹ ©
d1 ¹ © d1 ¹ »
«¬ ©
¼
liegt das Ergebnis des gesuchten Volumenstroms bei verlustbehafteter Strömung vor:
c 22
V
S 2
d2
4
ª §
«1 ¨¨ O 2
¬ ©
2 g H
· §
· d4 º
L2
L1
] u .V2 ¸¸ ¨¨ O1
] Ein ¸¸ 24 »
d2
d1
¹ ©
¹ d1 ¼
3. Pkt. 1 und Pkt. 2 mit o.g. Zahlenwerten
:
V
th .
V
th .
S
0,0252
4
2 9,81 10
V
th
0,00688
:
V
l
m3
{ 6,88
s
s
Mit Ausnahme der Verlustziffer ] u .V2 sind alle anderen Größen bei der Ermittlung von V
vorgegeben. ] u .V2 ist aber bekanntermaßen mit der Kontraktionszahl D (Tab. 17.2) verknüpft
2
] u .V2
§1 ·
¨ 1¸ und mit D = 0,625 erhält man die gesuchte Verlustziffer ] u .V2 zu
©D ¹
] u .V2
§1
·
¨ 1¸
©D ¹
2
§ 1
·
1¸
¨
© 0,625 ¹
2
0,36 .
Alle Größen dimensionsgerecht eingesetzt liefern den Volumenstrom im Realfall der verlustbehafteten Strömung zu:
V
S
4
0,0252
2 9,81 10
ª
«1 3,2 0,36 1 0,5
«¬
V
0,00318
§ 25 ·
¨ ¸
© 50 ¹
4
º
»
»¼
m3
l
{ 3,18 .
s
s
Die häufiger angewendete vereinfachende Annahme der verlustfreien Strömung wäre im vorliegenden Fall unangebracht, da ein Fehler im gesuchten Ergebnis von mehr als 100% entstünde.
344
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.7 Grundablassleitung
¥1.
¥2.
¥3.
9 min
12 min
7 min
hhh
hhh
hhh
9 Punkte
12 Punkte
7 Punkte
Am Fuße einer Staumauer ist gemäß Abb. 11.7.1 eine Rohrleitung (Grundablass) angebracht,
mit der das Becken entleert werden oder aber auch bei zu großem Wasserzufluss das Überlaufen der Mauer verhindert werden kann. Letztere Aufgabe soll hier betrachtet werden. Ein in
das Staubecken einfließender konstanter Wasserzustrom muss durch die dargestellte Rohrleitung in ein tiefer gelegenes Ablaufbecken eingeleitet werden, um ein Überschreiten der maximal zulässigen Stauhöhe zu vermeiden. Die Rohrleitung besteht aus geraden Rohrleitungen,
Rohrkrümmern und einer Armatur (z.B. Schieber), die aus baulichen Gründen an der höchsten
Stelle der Leitung installiert worden ist. Bei konstantem Volumenstrom und ebenfalls gleich
bleibenden Wasserspiegeln im Staubecken und Ablaufbecken soll diejenige Regeleinstellung
der Armatur ermittelt werden, mit welcher der Abfluss sichergestellt wird. Des Weiteren ist zu
überprüfen, wie groß der Höhenunterschied zwischen Wasserspiegel im Staubecken und der
Einbauhöhe der Armatur bei dem genannten Abfluss mindestens sein muss, um Kavitation im
engsten Querschnitt der Armatur zu vermeiden.
Abb. 11.7.1 Staumauer mit Rohrleitung
Lösung zu 11.7
Aufgabenerläuterung
Die Frage nach der Regeleinstellung der Armatur, im vorliegenden Fall ein Keilplattenschieber, ist mittels Abb. 11.7.2 zu beantworten. Hier ist die Verlustziffer ] des Schiebers in Abhängigkeit vom Flächenverhältnis ARest/Aoffen dargestellt. Bei völlig geöffneter Armatur, also
ARest/Aoffen = 1,0 liegt die kleinstmögliche Verlustziffer vor. Diese steigt bei Betätigung des
Schiebers, also Verringerung von ARest/Aoffen , gemäß dem Verlauf in Abb. 11.7.2 an, dies
11. Rohr-, Kanalströmungen
345
umso stärker, je kleiner die Restfläche wird. Es muss nun die Aufgabe sein, mittels Bernoullischer Gleichung der verlustbehafteten Strömung an den Stellen OW und UW diejenigen Verlustziffer des Schiebers zu ermitteln, die sich aus den Anlagedaten und dem einzuregelnden
Volumenstrom ergibt. Zu dieser Verlustziffer lässt sich dann in Abb. 11.7.2 die Regelgröße
ARest/Aoffen ablesen. Ist auf diese Weise ARest/Aoffen und somit auch die Restfläche ARest im
engsten Querschnitt des Schiebers an der Stelle x bekannt, so lässt sich mittels Bernoullischer
Gleichung der verlustbehafteten Strömung an den Stellen OW und x der Höhenunterschied
ZOW Z x zwischen Wasserspiegel im Staubecken und Einbauhöhe der Armatur bei genanntem Abfluss und kavitationsfreiem Betrieb berechnen.
Abb. 11.7.2 Schieberverlustziffer
; H ; D ; L ; L ; g ; U; p ; p ; ]
V
1y 2
1y x
B
Da
Kr ; O ; ] Ein ; ] Aus ;
Gegeben:
m3
;H
s
15,5 m; D
L1y 2
33 m ; L1y x
26 m ; g
] Ein
0,50 ; ] Kr
Zahlenwerte: V
pB
Gesucht:
1.
2.
3.
Anmerkungen:
4,0
0,30 ; O
1 105 Pa ; p Da
0,80 m
9,81
m
s2
0,025 ; ] Aus
0,0234 105 Pa ;
] Sch
ZOW Z x
] Sch ; ZOW Zx mit o.g. Zahlenwerten
- ARest = Ax , Aoffen |
- cOW = cUW = 0
S
4
D2
1,0 ; U
1000
kg
m3
346
11. Rohr-, Kanalströmungen
Lösungsschritte
1. ] Sch :
Die gesuchte Verlustziffer ist die Kennziffer der Verluste, die vom Schieber verursacht werden. Diese Verluste sind wiederum Bestandteil der Gesamtverluste, die entlang des Stromfadens zwischen den Stellen OW und UW entstehen. Die Bernoullische Gleichung an den Stellen OW und UW angesetzt berücksichtigt diese Gesamtverluste YVOW y UW wie folgt:
2
p OW c OW
g
U
2
p UW c 2UW
g
U
2
ZOW
Z UW YVOW y UW
Mit den besonderen Gegebenheiten an den Stellen OW und UW, nämlich cOW
und p OW p UW p B liefert dies für YVOW y UW :
YVOW y UW = g
ZOW Z UW
c UW
0
g H
Die Gesamtverluste YVOW y UW setzen sich wie folgt zusammen:
YVOW y UW = YVEin YVR1y 2 4 YVKr YVSch YVAus
c2
2
c2
YVKr = ] Kr
2
L1y 2 c 2
YVR O
D
2
c2
YVSch = ] Sch
2
c2
YVAus = ] Aus
2
YVEin = ] Ein
Verluste am Eintritt in die Rohrleitung durch Strahlkontraktion
Verluste des Rohrkrümmers
Reibungsverluste in allen geraden Rohrleitungsteilen
Verluste des Schiebers
Verluste am Austritt der Rohrleitung durch vollständige Vernichtung
von
c2
im Ablaufbecken
2
Somit lässt sich YVOW y UW auch angeben mit:
YVOW y UW =
c2
2
ª
«¬] Ein ] Aus O
L1y 2
º
4 ] Kr ] Sch »
D
¼
Der so gewonnene Ausdruck für YVOW y UW gleichgesetzt mit dem Ergebnis aus der Bernoullischen Gleichung (s.o.)liefert
c2
2
ª
«¬] Ein ] Aus O
L1y 2
º
4 ] Kr ] Sch » = g * H.
D
¼
11. Rohr-, Kanalströmungen
347
2
, so führt dies zu der Summe aller Verlustziffern
c2
L1y 2
2 g H
auf der linken Gleichungsseite ] Ein ] Aus O
.
4 ] Kr ] Sch =
c2
D
V
S
Wenn nun noch die mittlere Geschwindigkeit c wie folgt ersetzt c
; A
D2
A
4
4 V
und so auf der rechten Seite eingesetzt wird, so erhält man nach Kürzen
c
S D2
L1y 2
2 g H S2 D 4
] Ein ] Aus O
4 ] Kr ] Sch =
2
16 V
D
und Umgruppierung nach der gesuchten Schieberverlustziffer das Ergebnis:
Multipliziert man nun die Gleichung mit
] Sch =
S2
8
g
H
D4
1
§
] ] Aus O
2 ¨© Ein
V
L1y 2
·
4 ] Kr ¸
D
¹
Aus Diagramm ] Sch = f A Re st / A offen erhält man bei bekanntem ] Sch das Öffnungsverhältnis
S
A Re st / A offen . Hieraus lässt sich mit A offen
D 2 die Restfläche ARest berechnen und dem4
zufolge auch die Geschwindigkeit cx an der engsten Stelle x des Schiebers.
2. ZOW Z X :
Da bei x keine Kavitation entstehen soll, bedeutet dies hier: p x t p Da
px lässt sich aus der Bernoulligleichung an den Stellen OW und x wie folgt herleiten:
2
p OW cOW
p x c 2x
g ZOW
g Z x YVOW y x
U
U
2
2
Wenn man jetzt die Besonderheiten an der Stelle OW p OW p B ; c OW 0 berücksichtigt
und die Gleichung mit U multipliziert, liefert dies den statischen Druck px an der engsten Stelle x des Schiebers. Der Druck px muss dort größer als der Dampfdruck des Wassers sein, um
kavitationsfreie Strömung zu gewährleisten. Zunächst erhält man nun für px :
U
p x p B U g ZOW Z x c 2x U YVOW y x
2
und mit der Bedingung p x t p Da dann
U
p x p B U g ZOW Z x c 2x U YVOW y x ! p Da .
2
Nach ZOW Z x aufgelöst, d.h. die Gleichung durch (U g ) dividiert und ZOW Z x auf
einer Gleichungsseite separat dargestellt, führt zu
ZOW Z x !
c 2x
2 g
1
g
YVOW y x p B p Da
.
U g
In oben stehender Gleichung muss noch neben den Verlusten die örtliche Geschwindigkeit cx
mit bekannten Größen ersetzt werden. Man erhält cx im engsten Querschnitt des Schiebers bei
348
11. Rohr-, Kanalströmungen
c A durch Umstellen
teilweise geschlossenem Zustand aus der Durchflussgleichung V
x
x
V
zu cx =
. Unter Verwendung des Querschnitts A x { A Re st oder auch
Ax
Ax
cx
§ A Re st ·
¨¨
¸¸
© A offen ¹
A offen. mit A offen |
V
§S·
2
¨ ¸ D
©4¹
1
§ A Re st ·
¨¨
¸¸
© A offen ¹
S
4
also cx
D 2 wird dann cx bestimmbar wie folgt:
c
§ A Re st ·
¨¨
¸¸
© A offen ¹
=c
§A
·
Das Flächenverhältnis ¨¨ Re st ¸¸ ist bei bekannter Schieberverlustziffer ] Sch Abb. 11.7.2 zu
© A offen ¹
entnehmen.
Die Verluste zwischen den Stellen OW und x lauten: YVOW y x = YVEin YVR1y x 2 YVKr .
(Die Schieberverluste wirken sich größtenteils erst nach dem Schieber aus.)
c2
Verluste am Eintritt in die Rohrleitung durch Strahlkontraktion
YVEin = ] Ein
2
c2
2 YVKr = 2 ] Kr
Verluste der jetzt nur noch 2 Rohrkrümmer
2
L1y x c 2
O
Reibungsverluste der geraden Rohrleitungsteilen von 1 bis x
YVR1 y x
D
2
c2
Die Einzelverluste in YVOW y x eingesetzt und
ausgeklammert führt zu
2
c2 §
L1y x ·
YVOW y x =
¨ ] Ein 2 ] Kr O
¸.
2 ©
D ¹
Die Ergebnissen für cx und YVOW y x in ZOW Z x eingesetzt liefert zunächst
ZOW Zx !
c2
2 g
ZOW Z x !
1
§ A Re st ·
¸¸
¨¨
© A offen ¹
c2
2 g
2
c2
2 g
§
¨ ] Ein 2 ] Kr O
©
§
¨
¨
1
] Ein 2 ] Kr O
¨
2
¨ § A Re st ·
¸¸
¨ ¨¨ A
© © offen ¹
p p Da
L1y x ·
¸ B
D ¹
U g
·
¸
p p Da
L1y x ¸
.
¸ B
U g
D ¸
¸
¹
oder
11. Rohr-, Kanalströmungen
349
3. ] Sch :
] Sch
S2
8
9,81 15,5 0,84
1 §
¨ 0,5 1,0 0,025
42 ©
33
·
4 0,3 ¸
0,8
¹
] Sch = 1,07
Für diese Verlustziffer lässt sich aus Abb. 11.7.2 das Flächenverhältnis
A Re st
= 0,75
A offen
entnehmen und im folgenden Berechnungsschritt einsetzen.
4. ZOW Z x :
4 4
4 V
m
=
wird die mittlere Geschwindigkeit im Rohr c 7,96 .
2
2
S D
s
S 0,8
Hiermit sowie auch den anderen gegebenen bzw. ermittelten Größen gelangt man für
ZOW Z x bei dimensionsgerechter Verwendung zu folgendem Ergebnis:
Mit c
ZOW Z x !
7,96 2
2 9,81
ª 1
« 0,752 0,5 2 0,3 0,025
¬
ZOW Z x
> 1,956 m
26 º 100000 2340
0,8 »¼
1000 9,81
350
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.8 Unstetige Querschnittserweiterung
¥1.
¥2.
hhh
h
12 min
1 min
12 Punkte
1 Punkte
Die in Abb. 11.8.1 dargestellte horizontale unstetige Querschnittserweiterung verbindet
sprungartig eine Rohrleitung mit einer anderen, die einen größeren Strömungsquerschnitt
aufweist. Diesen baulichen Vorteil muss man aber dem Nachteil höherer Strömungsverluste
gegenüberstellen. Die Ermittlung dieser Verluste bzw. Verlustziffer ist das Thema dieser Aufgabe, wobei von bekannten Größen wie Querschnitten in beiden Rohren, Geschwindigkeit im
kleineren Rohr sowie der Fluiddichte ausgegangen wird.
Abb. 11.8.1 Unstetige Querschnittserweiterung
Lösung zu 11.8
Aufgabenerläuterung
Beim Übergang vom kleineren in das größere Rohr kann das Fluid nicht der Wandkontur folgen, sondern strömt direkt an der Erweiterungsstelle zunächst mit nahezu gleicher Geschwindigkeit weiter. Dies hat zur Folge, dass unmittelbar dahinter der gleiche Druck vorliegt wie im
engen Rohr. Weiter stromabwärts legt sich dann der Fluidstrahl durch reibungsbedingte Vermischungsvorgänge des „gesunden“ Kernstroms mit dem Fluid im Verwirbelungsbereich an
der Rohrwand an. Die gesuchten Verluste sollen nur die durch Verwirbelung verursachten
Anteile berücksichtigen. Reibungseinflüsse – wenn auch wirksam – können bei genügend
großen Re-Zahlen vernachlässigt werden. Die erweiterte Bernoullische Gleichung schließt die
gesuchten Verluste mit ein und ist so als Lösungsansatz zu verwenden. Weiter benötigte Gleichungen sind der Impulssatz, das Kontinuitätsgesetz und die Durchflussgleichung.
Gegeben:
c1, A1, A2 , U
Gesucht:
1.
YVu . E 2.
] u .E 11. Rohr-, Kanalströmungen
Anmerkungen:
351
- Der Einfachheit halber wird neben gleichmäßiger Geschwindigkeitsverteilungen an den Stellen 1 und 2 dies ebenfalls von den Druckverteilungen angenommen, was (bei Flüssigkeiten) streng genommen nur in
Horizontalebenen zutrifft.
- Es soll des Weiteren eine horizontale Rohrleitungsanordnung vorliegen.
- Reibungskräfte können vernachlässigt werden.
Lösungsschritte:
1. YVu . E :
Bernoulligleichung mit Verlusten an den Stellen 1 und 2:
p1 c12
g Z1
U 2
p 2 c 22
g Z2 YVu .E , wobei im vorliegenden Fall Z1
U
2
p1 c12
U 2
p 2 c 22
YVu . E .
U 2
p 2 p1
U
c12 c 22
YVu . E
und nach Multiplikation mit der DichteU
2
U
c12 c 22 U YVu . E
2
p 2 p1
Z2 ist.
Umgeformt nach dem spez. Druckunterschied liefert dies
Es muss nun gelingen, diesen Druckunterschied auf einem zweiten Weg, der unabhängig vom
ersten Schritt ist, zu ermitteln. Dies gelingt mit dem Impulssatz am Kontrollraum:
Der Kontrollraum wird so in der Leitung angeordnet, dass er an den Rohrinnenwänden anliegt. An der Stelle 1 wird er ein kurzes Stück in das engere Rohr hineingezogen und im größeren Rohr endet er an der Stelle 2, wo das Verwirbelungsgebiet gerade abschließt und die
Strömung den Querschnitt wieder vollkommen ausfüllt.
Abb. 11.8.2 Kräfte am Kontrollraum
352
11. Rohr-, Kanalströmungen
n
Am Kontrollraum gilt das Kräftegleichgewicht
¦F
ix
0 , wobei die Druck- und Impuls-
1
kräfte immer auf die Flächen gerichtet sind. Aufgrund der vernachlässigbaren Schubspannungen werden keine Reibungskräfte an der Oberfläche des Kontrollraums wirksam.
Fp ,1 Fpc,1 Fp , 2 FI ,1x FI , 2 x
Fp , 2 Fp ,1 Fpc,1
Fp ,1
0 oder nach den Druckkräften umgeformt:
FI ,1x FI , 2 x
Druckkraft auf die Fläche A1
p1
A1
Fp , 2
p2
A2
Druckkraft auf die Fläche A2
Fpc,1
p1
A 2 A1
Druckkraft auf die Fläche (A2 – A1). Hier wirkt unmittelbar
hinter der Erweiterung der Druck p1, da bei Geschwindigkeitsgleichheit und horizontaler Anordnung keine Druckänderung
entsteht (Bernoullisches Prinzip).
Impulskraft auf die Fläche A1
FI1
c1
m
FI2
c2
m
U V
m
Impulskraft auf die Fläche A2
Massenstrom
Unter Verwendung dieser Zusammenhänge in o.g. Kräftebilanz erhält man zunächst
p2
A 2 p1
p 2 p1
A1 p1
U
A2
c1
c
V
2
Kontinuitätsgleichung V
p 2 p1
U
A2
U V
A 2 A1
V
1
c1 c1
c1 c 2
oder
. Ersetzt man nun noch den Volumenstrom mit der
V
c1
A1 c 2
A1
c2
V
2
A2
c2
U
A 2 in der rechten Klammer
c12
A1 c 22
A2
und dividiert dann durch A2 , so führt dies zu:
p 2 p1
§
U ˜ ¨¨ c12
©
·
A1
c 22 ¸¸
A2
¹
Mit diesem zweiten Ergebnis für p 2 p1 in Verbindung mit dem ersten erhält man durch
Gleichsetzen:
§
· U
A1
c12 c 22 U YVu . E oder
U ¨¨ c12
c 22 ¸¸
A
2
2
©
¹
c12
YVu . E
A1
c 22
A2
1
2
c12 c 22 YVu . E . Umgestellt nach den gesuchten Verlusten lauten diese:
A1
c12 c 22
c12
c 22 oder YVu . E
A2
2 2
A1 c 22
c12
c12
.
A2 2
2
11. Rohr-, Kanalströmungen
353
Klammert man auf der rechten Seite
c12
aus , liefert dies zunächst
2
c12 ª
A1 c 22 º
1 2
. Da die Querschnitte bekannt sind, wird es erforderlich, das Ge«
2 ¬
A 2 c12 »¼
schwindigkeitsverhältnis in der Klammer mit dem Kontinuitätsgesetz zu ersetzen. Man erhält
c2
A1
c12 ª
A1 A12 º
1
2
. Oben eingesetzt führt dies zu YVu . E
oder mit der binomi2 «¬
A 2 A 22 »¼
c1
A2
YVu . E
schen Formel a 2 2 a
b b2
ab :
2
ª A1 º
«1 A »
2¼
¬
2
YVu . E
c12
2
YVu .E
2
c12 ª § D1 · º
¸¸ »
«1 ¨¨
2 « © D2 ¹ »
¼
¬
allgemein
2
Kreisrohre
2. ] u .E :
Die Verlustziffer wird wie folgt definiert:
] u .E
YVu . E
c12
2
(auf c1 bezogen)
Setzt man das oben gefundene Ergebnis für YVu . E ein, so erhält man durch Kürzen von
2
] u .E
ª A1 º
«1 A »
2¼
¬
] u .E
ª § D ·2 º
«1 ¨¨ 1 ¸¸ »
«¬ © D 2 ¹ »¼
allgemein
2
Kreisrohre
c12
:
2
354
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.9 Wärmetauscher
¥1.
14 min
hh
14 Punkte
Bei dem in Abb. 11.9.1 dargestellten Rohrbündelwärmeaustauscher strömt das zu kühlende
Fluid durch die Kühlrohre, während das Kühlfluid außen um die Rohre geleitet wird. Hierbei
findet der gewünschte Wärmeaustausch zwischen beiden Fluiden statt. Im vorliegenden Beispiel soll nur das Kühlfluid, hier Luft, beim Umströmen der Rohre betrachtet werden. Mit bekanntem Volumenstrom und Stoffdaten der Kühlluft sowie erforderlichen Hauptabmessungen
des Wärmetauschers ist der Druckverlust auf der Kühlluftseite zu ermitteln.
Abb. 11.9.1 Rohrbündelwärmeaustauscher
Lösung zu 11.9
Aufgabenerläuterung
Um die reibungsbedingten Druckverluste bei der Umströmung der Kühlrohre zu bestimmen,
greift man auf die Grundlagen der Verlustberechnung von Kreisrohren zurück. Wegen der
Abweichungen vom reinen Kreisrohrquerschnitt muss aber eine Umrechnung der tatsächlichen geometrischen Gegebenheiten auf einen virtuellen Kreisquerschnitt vorgenommen werden. Dies erfolgt mit dem „hydraulischen Durchmesser“ oder auch „GleichwertigkeitsdurchA UR
messer“ d hyd. 4
. Genannter Durchmesser ist die Grundlage aller verlustrelevanten
U UR
Größen wie Reynoldszahl Re UR , Rohrreibungszahl O f (Re UR , k S / d hyd. ) und die Verluste
YVR selbst. Lediglich die mittlere Geschwindigkeit c wird mittels tatsächlich durchströmtem
Querschnitt AUR und dem bekannten Volumenstrom berechnet. Im Fall turbulenter Strömung
und rauen Rohrwänden können die Rohrreibungszahlen dem Moody-Diagramm (s. Anhang)
uneingeschränkt entnommen werden. Lediglich glatte Oberflächen sind bei turbulenter Strömung mit einem modifizierten Gesetz von Blasius zu behandeln:
11. Rohr-, Kanalströmungen
2320 Re UR 100000 :
Gegeben:
355
O
0,2236
.
Re UR
4
Di = 303 mm
d a = 30 mm
z = 44
kg
UL = 1,165 3
m
Innendurchmesser des Mantelrohrs
Außendurchmesser des Kühlrohrs
Zahl der Kühlrohre
mittlere Luftdichte
m2
s
3
m
= 0,8333
V
s
L = 4
QL = 16 106
'p V
Gesucht:
Anmerkungen:
mittlere kinematische Zähigkeit
Luftvolumenstrom
wirksame Rohrlänge
als reibungsbedingter Druckverlust bei glatten Oberflächen.
- Es wird angenommen, dass über der Länge L eine homogene
Geschwindigkeit c vorliegt.
- Die Kühlrohre können als „hydraulisch glatt“ betrachtet werden.
- Die Stoffdaten der Kühlluft sind als Mittelwerte zu verwenden; tatsächlich sind sie wegen veränderlicher Temperaturen nicht konstant.
Lösungsschritte
'p V :
Die Druckverluste sind als Produkt der spez. Verlustenergie YVR mit der Dichte Ugegeben,
im vorliegenden Fall also:
'p V
UL
YVR .
Die reibungsbedingten Verluste folgen dem Gesetz
2
L
c
. Zur Ermittlung von YVR und somit von 'p V sind c , dhyd. und O
d hyd 2
zunächst noch unbekannt und müssen schrittweise bestimmt werden.
YVR = O
c:
Aus der Durchflussgleichung V
c
A UR und dem tatsächlichen Strömungsquerschnitt
S
2
A UR , der sich aus dem Kreisquerschnitt des Mantelrohrs
D i abzüglich der Zahl der
4
S
Kreisquerschnitte der Kühlrohre z
d a2 ermitteln lässt, erhält man die gesuchte mittlere
4
Strömungsgeschwindigkeit c .
S
S
2
Mit A UR
Di z
d a2 und den gegebenen Abmessungen dimensionsgerecht ein4
4
S
S
gesetzt AUR =
0,3032 44
0,032 führt dies zu:
4
4
AUR = 0,0410 m 2
356
11. Rohr-, Kanalströmungen
Die mittlere Geschwindigkeit c
c
20,33
V
lautet folglich c
A UR
0,8333
und somit:
0,0410
m
s
d hyd. :
4 A UR
U UR
Da AUR schon bekannt ist, muss jetzt noch der gesamte von der Kühlluft benetzte Umfang
U UR festgestellt werden. Dieser setzt sich aus dem Innenumfang des Mantelrohrs S D i und
dem Außenumfang der z-Kühlrohre z S d a additiv zusammen, also:
d hyd
S Di z S d a oder U UR
U UR
S
Di z d a
Die bekannten Abmessungen eingesetzt liefert U UR = S
U UR
0,303 44 0,030 m oder:
5,099 m
Damit kennt man den hydraulischen „Ersatzdurchmesser“ mit d hyd
0,0322 m .
d hyd
O
4 0,0410
m oder
5,099
f Re UR :
Da hydraulisch glatte Oberflächen vorausgesetzt werden, hängt die gesuchte Rohrreibungsc d
bzw. für vorzahl nur von der Re-Zahl, hier Re UR , ab. Diese lässt sich gemäß Re
Q
c d hyd
wie folgt ermitteln:
liegende Gegebenheiten Re UR
QL
20,33 0,0322
Re UR
106
16
Re UR
40904 .
Mit dem modifizierten Blasius-Gesetz O
0,2236
bei glatten Oberflächen, nicht-kreisRe UR
4
förmigen Strömungsquerschnitten im Bereich 2320 Re UR 100000 steht die Rohrrei0,2236
,
bungszah O jetzt fest: O 4
40904
O 0,0157 .
Die gesuchten Druckverluste errechnen sich mit
L
c2
'p V = UL O
zu
d hyd 2
'p V
1,165 0,0157
4
0,0322
20,332
2
Pa oder
'p V = 469,3 Pa.
11. Rohr-, Kanalströmungen
357
Aufgabe 11.10 Rohrverzweigung
¥1.
19 min
hhh
19
Punkte
durchflossen wird, spaltet sich an der Stelle A in
Eine Rohrleitung, die vom Volumenstrom V
zwei parallele Äste auf. Diese beiden Äste werden an der Stelle B wieder zusammengeführt.
Der Teilstrang 1 weist einen Durchmesser D1 und eine Länge L1, der Teilstrang 2 einen
, die Zähigkeit Q
Durchmesser D2 und eine Länge L2 auf. Weiterhin sind der Volumenstrom V
des Wassers und die Oberflächenrauhigkeit k der verwendeten Betonrohre bekannt. Wie groß
und V
?
werden die Teilvolumenströme V
1
2
Abb. 11.10.1 Rohrleitungen in horizontaler Anordnung
Lösung zu 11.10
Aufgabenerläuterung
Die Lösung zur hier gestellten Frage nach den beiden Teilvolumenströmen ermöglicht das
Kontinuitätsgesetz, die Durchflussgleichung und die Bernoullische Gleichung, die man für
Stromlinie 1 und Stromlinie 2 jeweils am Anfangspunkt A und Endpunkt B ansetzen muss.
3
0,850 m
Gegeben:
V
s
D1 600 mm
L1 2340 m
D 2 400 mm
L 2 3200 m
k = 1,5 mm
(Betonrohre, geglättet, mittelrau)
Gesucht:
; V
V
1
2
358
11. Rohr-, Kanalströmungen
Anmerkungen:
- Horizontale Anordnung mit Z = konst.
- Annahme vollständig rauer Oberflächen.
- Verluste an der Verzweigung und Zusammenführung sowie Krümmerverluste werden vernachlässigt.
- Die Rohrquerschnitte AA und AB sind gleich groß.
Lösungsschritte
Bernoullische Gleichung an den Stellen A und B der Stromlinie 1:
p A c 2A
p B c 2B
g ZA
g Z B YV1
U
2
U
2
Bei der horizontalen Anordnung der Leitungen und gleichen Rohrquerschnitten AA = AB wird
V
p pB
.
ZA ZB ; cA cB
. Als Ergebnis resultiert YV1 = A
A A; B
U
Bernoullische Gleichung an den Stellen A und B der Stromlinie 2:
p pB
p B c 2B
g ZB YV2
(s.o) YV2 = A
U
2
U
pA pB
= YV1 = YV2 oder YV1 = YV2 .
Man erhält als Ergebnis
U
Die Verluste in den beiden parallelen Leitungen sind somit gleich groß. Es handelt sich dabei
aufgrund der getroffenen Annahmen ausschließlich um die reibungsbedingten Anteile. Diese
folgen dem Darcyschen Gesetz.
L1 c12
Leitung 1: YV1 O1
D1 2
p A c 2A
g
U
2
ZA
O2
Leitung 2: YV2
c 22
.
2
L2
D2
Das Gleichsetzen führt zu O1
c12
2
L1
D1
L2
D2
O2
O
c12
= 2
c 22
O1
D1
. Ersetzen wir nun noch mit den
D2
V
4 V
1
1
Durchflussgleichungen und den betreffenden Rohrquerschnitten c1
=
sowie
A1
S D12
V
4 V
2
2
c2
=
und fügen diese Ausdrücke oben ein, so resultiert nach Kürzen gleicher
A2
S D 22
gesucht werden, umgeformt nach
Größen und Multiplikation mit
2 S2 D 4
16 V
1
2
2
2
S D14 16 V
2
2
V
1
2
V
2
O2
O1
L2
L1
O2
O1
§ D1 ·
¨¨
¸¸
© D2 ¹
L2
L1
5
L2
L1
c 22
, oder, da ja die Volumenströme
2
D14
:
D 42
D1
D2
D14
D 42
11. Rohr-, Kanalströmungen
359
Das anschließende Ziehen der Wurzel liefert als Volumenstromverhältnis :
V
1
V2
5
§ D1 · § L 2 ·
O2
und V
auf
¨¨
¸¸ ¨¨ ¸¸
. Die Verringerung der beiden Unbekannten V
1
2
O1
© D 2 ¹ © L1 ¹
V
V
nur noch eine Unbekannte gelingt mit dem Kontinuitätsgesetz wie folgt. Aus V
1
2
V
. Den Volumenstrom V
im Zähler oben ersetzt führt zunächst zu
V
erhält man V
1
V
V
2
V2
2
V
1
V2
1
§ D1 ·
¨¨
¸¸
© D2 ¹
5
ª
« 1 §¨ D1 ·¸ §¨ L 2 ·¸
¨D ¸ ¨L ¸
«
© 2¹ © 1¹
¬
Zum gesuchten Volumenstrom
Gleichungsseite:
V
V2
5
§ L2 ·
¨¨ ¸¸
© L1 ¹
O2
O1
oder auch nach einer Umformung
º
O2 »
.
O1 »
¼
gelangt man durch Umstellen der linken und rechten
V
2
V
2
V
1
V
ª
« 1
«
¬
§ D1 ·
¨¨
¸¸
© D2 ¹
5
§ L2 ·
¨¨ ¸¸
© L1 ¹
º
O2 »
O1 »
¼
V
V
2
Unter Verwendung des gegebenen Zahlenmaterials erhält man die Volumenströme wie folgt.
Es müssen hierzu lediglich noch die beiden Rohrreibungszahlen O1 und O2 festgestellt werden.
Aufgrund der Annahme vollkommen rauer Oberflächen muss zur Ermittlung von O1 und O2
lediglich die jeweilige bezogene Sandrauhigkeit bestimmt werden. Die Sandrauhigkeit folgt
ks = 1 y 1,6 k , wobei k als tatsächliche Oberflächenrauhigkeit mit k = 1,5 mm für beide
Rohre vorgegeben wird. Im vorliegenden Fall erhält man als mittleren Wert der Sandrauhigkeit:
D1 600
D2
400
ks = 1,3 * 1,5 | 2 mm oder als Bezugsgrößen
300 ;
200 .
ks
2
ks
2
Bei vollkommenen rauen Oberflächen lässt sich die Rohrreibungszahl nach dem Gesetz von
„Karman-Nikuradse“ berechnen:
1
O
2
§
·
§ ·
¨ 2 log¨ D ¸ 1,14 ¸
¨k ¸
¨
¸
© S¹
©
¹
Rohr 1:
O1
1
>2 log 300 1,[email protected]
0,0269
Rohr 2:
O2
>2
1
2
log 200 1,[email protected]
0,0303
360
11. Rohr-, Kanalströmungen
ist nun bekannt und errechnet sich zu:
Der Volumenstrom V
2
V
2
0,850
5
ª
600 ·
« 1 §¨
¸
«
© 400 ¹
¬
0.0303 º
»
0,0269 »
¼
3200
2340
V
2
Mit V
1
0,192
m3
s
3
V
= 0,85 - 0,192 = 0,658 m liegt auch V
fest:
V
2
1
s
V
1
0,658
m3
s
11. Rohr-, Kanalströmungen
361
Aufgabe 11.11 Horizontales Kapillarviskosimeter
¥1.
hhh
19 min
19 Punkte
Zur Bestimmung der Zähigkeit (Viskosität) Newtonscher Flüssigkeiten kommen verschiedene
Messgeräte zur Anwendung. Das Kapillarviskosimeter gemäß Abb. 11.11.1 ist eine im Aufbau
einfache Variante, die im vorliegenden Beispiel zur Bestimmung der Viskosität von Wasser
dienen soll. Bei gegebener Flüssigkeitshöhe im Vorratsbehälter, der Kapillarenhöhe über der
Bezugsebene, dem Innendurchmesser und der Länge der Kapillare sowie der Flüssigkeitstemperatur ist die gesuchte Viskosität durch eine einfache Messung derjenigen Flüssigkeitsmasse,
die in einer zugrunde liegenden Ausflusszeit ermittelt werden kann, bekannt. Neben der Viskosität sollen noch die Reynoldszahl, die Rohrreibungszahl und die Wandschubspannung für
diesen Fall ermittelt werden.
Abb. 11.11.1 Horizontales Kapillarviskosimeter
Lösung zu 11.11
Aufgabenerläuterung
Die zunächst gesuchte kinematische Zähigkeit Q liegt der Reynoldszahl Re zugrunde. Re
wiederum bestimmt im Fall laminarer Strömung allein die Rohrreibungszahl O. Diese wirkt
sich in den Reibungsverlusten YVR nach dem Hagen-Poiseuillischen-Gesetz als maßgebliche
Kenngröße aus. Findet man nun noch mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung an den Stellen 1
und 2 eine Möglichkeit, die Reibungsverluste YVR in der Kapillare mit bekannten Anlageund Messgrößen auszudrücken, so gelangt man schließlich zu QDie anderen gesuchten Größen lassen sich danach aus den betreffenden Gleichungen berechnen.
Gegeben:
Gesucht:
H = 72,50 cm ; D = 4,00 mm ; L = 5,00 m
kg
m = 0,3780 kg ; t = 60,0 s ; U 1000 3
m
1. Q kinematische Viskosität
2. Re Reynoldszahl
3. O Rohrreibungszahl
4. W 0 Wandschubspannung
362
11. Rohr-, Kanalströmungen
Anmerkungen:
- Der Kapillareinlauf ist so gut abgerundet, dass keine kontraktionsbedingten Verluste (Einlaufverluste) entstehen.
- Die Ausbildung der Geschwindigkeitsverteilung in der Anlaufstrecke
soll keinen Einfluss auf das Ergebnis haben.
- Die Größe und der Inhalt des Vorratsbehälters sind so bemessen, dass
die entnommene Flüssigkeitsmasse keine nennenswerte Veränderung
von H hervorruft.
Lösungsschritte
1. Q :
Das Hagen-Poiseuillischen-Gesetz der laminaren Rohrströmung lautet:
L c2
YVR O
.
D 2
Die Rohrreibungszahl der laminaren Rohrströmung folgt dem Gesetz O
64
. Mit der ReyRe
c D
lassen sich diese Zusammenhänge zur gesuchten kinematischen VisQ
kosität wie folgt verknüpfen:
noldszahl Re
c2
2
1
32
L
c 2 = 32 L c
c D D
D2
Q
nach der kinematischen Viskosität Q um, so führt dies zu:
YVR
Q
* D2
32 * c * L
YVR
64
Re
L
D
Q . Formen wir das Ergebnis
Neben den Reibungsverlusten YVR muss in der Gleichung noch die mittlere Geschwindigkeit
c im Rohr bestimmt werden. Zunächst jedoch zu den Verlusten:
YVR :
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2:
p1 c12
p 2 c 22
g * Z1
g * Z2 YVR
U
U
2
2
Mit den besonderen Gegebenheiten an diesen Stellen, nämlich p1
sowie c2 c und ( Z1 Z2 ) H gesetzt, folgt:
pB
p 2 , c1
0
c2
2
Setzen wir dieses Ergebnis in die oben entwickelte Gleichung für Q ein, so schreiben wir:
YVR
g*H Q
§
c2 ·
¨¨ g * H ¸¸
2¹
©
* D2
32 * c * L
11. Rohr-, Kanalströmungen
363
c A
Zur noch ausstehenden Geschwindigkeit c lässt sich mittels Durchflussgleichung V
S
und dem Kapillareninnenquerschnitt A
D 2 folgende Gleichung angeben:
4
4 V
m
c
. Der Volumenstrom in Verbindung mit dem Massenstrom lautet V
.
2
S D
U
ist sodann als Ergebnis der jeweiligen Messungen von ausgeströmter
Der Massenstrom m
m
m
einzusetzen, also V
Masse m und Messzeit t, nämlich m
. Dies führt dann
t
U t
zur Geschwindigkeit
4 m
c
.
S U t D2
Man könnte nun diese Gleichung in den Ausdruck für Q einsetzen, was jedoch aus Gründen
der besseren Übersicht hier nicht erfolgen soll. Es werden jetzt die gegebenen Zahlengrößen
in dimensionsgerechter Form verwendet, um zunächst die Geschwindigkeit c und danach Q zu
berechnen.
0,378 * 4
c
60 * 1000 * S * 0,004
2
also:
c
Q
0,501
m
s
§
0,5012 ·
¨¨ 9,81 * 0,725 ¸
2 ¸¹
©
* 0,00402 .
32 * 0,501 * 5,0
Das Ergebnis der gesuchten kinematischen Viskosität lautet somit:
Q
1,395 * 10 6
m2
s
2. Re:
Mit der festgestellten Viskosität und Geschwindigkeit errechnet sich die Re-Zahl zu
Re
0,501 * 0,004
* 106
1,395
oder
Re
1437 : Laminare Rohrströmung, da Re < 2320.
364
11. Rohr-, Kanalströmungen
3. O :
Die Rohrreibungszahl laminarer Strömung folgt aus O
O
64
.
Re
64
. Man erhält
1437
O
0,0445 .
4. W 0 :
Die Wandschubspannung der laminaren Rohrströmung leitet sich her zu:
O
W0
* U * c2 .
8
Mit den ermittelten Größen führt dies zu nachstehendem Ergebnis:
W0
0,0445
* 1000 * 0,5012
8
W0
1,4
N
.
m2
11. Rohr-, Kanalströmungen
365
Aufgabe 11.12 Injektionsspritze
¥1.
¥2.
hhh
hh
16 min
4 min
16 Punkte
4 Punkte
Eine Injektionsspritze besteht gemäß Abb. 11.12.1 aus einem zylindrischen Vorratsbehälter,
der Injektionsnadel und einem Kolben, mit dem die Flüssigkeit durch die Nadel gedrückt
wird. Bei bekannten Größen der Spritze und der Flüssigkeit, hier Wasser, sowie der Kraft, die
konstant über die Kolbenstange auf den Kolben wirkt, soll die Zeit bis zur Entleerung der
Spritze ins Freie ermittelt werden.
Abb. 11.12.1 Injektionsspritze
Lösung zu 11.12
Aufgabenerläuterung
Die vorliegende Aufgabe stellt einen klassischen Fall der Anwendung laminarer Rohrströmung dar. Diese Strömungsform wird hier zunächst angenommen, da die Geschwindigkeit
vorerst noch unbekannt ist. Eine Überprüfung der Annahme wird im Anschluss an die Entleerzeitberechnung erfolgen. Die gesuchte Zeit ist über die Definition des Volumenstroms als
zeitliche Änderung eines Volumens, hier der im Zylinder eingeschlossenen Raum, zu verwenden. Die Durchflussgleichung verknüpft Volumenstrom mit der Geschwindigkeit und
dem Kanülenquerschnitt. Mittels Bernoullischer Gleichung sowie dem Hagen-Poiseuillschen
Gesetz der laminaren Rohrreibung wird die Geschwindigkeit bekannt, was dann zur Entleerzeit führt.
Gegeben:
L 0 ; L1 ; d0 ; d1; K ; U
Gesucht:
1. t
2. t , wenn:
;
F
L0 = 2 cm; d0 = 1 cm ; L1 = 4 cm ; d1 = 0,04 cm
kg
s
U 1000 3 ; K 2 103 N * 2 ; F = 5 N
m
m
366
11. Rohr-, Kanalströmungen
Anmerkungen:
- Es wird von laminarer Strömung in der Kanüle ausgegangen.
- Die Geschwindigkeit c0 ist vernachlässigbar.
- Der Einlauf der Kanüle ist gut abgerundet, sodass keine kontraktionsbedingten Verluste entstehen.
- Der Kolbenstangenquerschnitt ist vernachlässigbar.
- Das Volumen in der Kanüle ist vernachlässigbar.
- Es liegt stationäre Strömung vor.
Lösungsschritte
1. t:
'V
. Das negative Vorzeichen wird
't
:
erforderlich, da sich das Volumen mit zunehmender Zeit verkleinert. Es folgt für V
V0
V 0
V
V
0
( 0 ) oder V
(konstanter Volumenstrom)
(0 t )
t
t
Der Volumenstrom lautet im vorliegenden Fall: V
V0 :
t :
zu Beginn der Kolbenbewegung im Zylinder vorhandenes Flüssigkeitsvolumen
Gesamtzeit bis V = 0
Die gesuchte Zeit erhält man durch Umstellung zu: t
V0
V
S
d 02
4
c1 A1
Mit c 2
c1
L0
c2
Flüssigkeitsvolumen bei t = 0
A2
c und A1
Durchflussgleichung in der Kanüle
S
4
d12 folgt V
c
in die Ausgangsgleichung für t eingesetzt liefert: t
t
d 02
d12
V0
V
S
d12 . Diesen Zusammenhang und V0
4
S
d 02 L 0
4
oder
S
c
d12
4
L0
c
Zur Bestimmung der Entleerzeit t muss nun noch die Geschwindigkeit c in der Kanüle ermittelt werden:
c:
Die Geschwindigkeit c 2 c1 c ist Bestandteil der Bernoullischen Gleichung, die im vorliegenden Fall an den Stellen 0 und 2 verwendet wird.
p 0 c 02
p 2 c 22
g Z0
g Z2 YV0 y 2
2
U
U
2
11. Rohr-, Kanalströmungen
367
Mit den hier zu beachtenden Besonderheiten c 2 c1 c ; p 2 p B ; Z0 = Z1 = Z2
(horizontale Anordnung angenommen) und der Annahme c 0 << lauten die Verluste durch
Umstellung:
p pB c2
= YVR 1y 2
YV0 y 2 = 0
U
2
Als Verluste sind nur Reibungsverluste in der Kanüle zu berücksichtigen, also YV0 y 2 = YVR 1y 2 .
c2
2
L1
d1
YVR 1y 2 = O
Hagen-Poiseuillsches Gesetz bei laminarer Rohrströmung
64
Re
c d1
Re =
Q
O
Rohrreibungszahl bei laminarer Rohrströmung
Reynoldszahl
64 Q
. Diesen Ausdruck in
c d1
das Hagen-Poiseuillsches Gesetz eingefügt führt zu einer zweiten Gleichung der Reibungsverluste YVR 1y 2 .
Die Rohrreibungszahl lässt sich somit auch angeben mit O
YVR 1y 2 =
64 Q
c d1
c2
2
L1
d1
Q
= 32
L1
d12
c
Beide Zusammenhänge für YVR 1y 2 miteinander verknüpft liefern:
32
Q
L1
d12
c =
p0 pB c2
U
2
. Das Ziel ist, die Geschwindigkeit herauszuisolieren.
Hierzu muss zunächst wie folgt umgestellt werden:
c2
+ 32
2
Q
L1
d12
p0 pB
U
c =
Mit dem Faktor 2 multipliziert erhält man
c 2 64 Q
L1
d12
c =
p0 p B
.
U
2
2
§
L1 ·
¸ auf der linken Seite als binomische
Die Gleichung durch Addition von ¨¨ 32 Q
d12 ¸¹
©
2
Gleichung der Art ( a 2 2 a b b 2 ) = a b dargestellt ergibt
c 64 Q
L1
d12
§
¨¨ c 32 Q
©
L1 ·
¸
d12 ¸¹
2
§
c + ¨¨ 32 Q
©
2
2
2
2
L1 ·
¸ =
d12 ¸¹
§
p0 p B
+ ¨¨ 32 Q
U
©
§
p0 pB
+ ¨¨ 32 Q
U
©
2
L1 ·
¸ .
d12 ¸¹
L1 ·
¸
d12 ¸¹
2
oder
368
11. Rohr-, Kanalströmungen
Das Wurzelziehen führt zunächst zu:
L1
r
d12
32 Q
c
§
p0 pB
¨¨ 32 Q
U
©
2
L1 ·
¸
d12 ¸¹
2
.
Der Druck p0 lässt sich jetzt noch mit der Kraft F in Verbindung bringen, die auf den Kolben
einwirkt. Hierzu benutzt man das Kräftegleichgewicht am Kolben:
&
6F
p0
c
pB A0 F p0
F
pB .
A0
A0 .
0
L1
r
d12
32 Q
2
Dividiert durch A0 und nach p0 aufgelöst folgt
Diesen Ausdruck in der Wurzel eingesetzt
·
§
4 F
¨¨ p B p B ¸¸
2
d
S
0
¹ §¨ 32 Q
©
¨
U
©
2
L1 ·
¸ ,
d12 ¸¹
dann die Gleichung mit den Gliedern vertauscht, wobei nur das positive Vorzeichen vor der
K
liefert die
Wurzel sinnvoll ist, und noch die kinematische Zähigkeit ersetzt Q
U
Geschwindigkeit c.
2
c
§ 32 K L1 ·
8 F
¸ 32
¨
S d o2 U ¨© U d12 ¸¹
K
U
L1
.
d12
Mit c in der Ausgangsgleichung der Entleerzeit eingefügt gelangt man schließlich zu:
t
d 02
d12
L0
2
§ 32 K L1 ·
8 F
¸ 32
¨
S d o2 U ¨© U d12 ¸¹
2. t , wenn: L0 = 2 cm; d0 = 1 cm ;
K
2 103 N *
K
U
L1
d12
L1 = 4 cm ; d1 = 0,04 cm ; U
1000
kg
m3
s
; F = 5 N
m2
Bei der Berechnung der Zei mit den vorliegenden Größen muss man ganz besonders auf
eine dimensionsgerechte Verwendung achten:
t
12
0,04 2
0,02
§
¨
¨
¨
¨ S
¨
¨
©
2
·
§
¸
¨
8 5
32 2 0,04
2
¸
¨
32
¨
2
2 ¸
0,01 1000
1000 1000 0,0004
1000 1000
¸
¨
¸
¨
¹
©
t = 3,49 s
·
¸
0,04 ¸
¸
0,0004 2 ¸
¸
¸
¹
11. Rohr-, Kanalströmungen
369
Kontrolle der Annahme laminarer Strömung:
Hierzu muss die Bedingung Re < Rekrit. = 2320 erfüllt sein. Also wird Re mit der jetzt bekannten Geschwindigkeit
2
c =
8 5
32 2 0,04
2 0,04
§
·
¨
¸ - 32
S 0,012 1000 © 1000 1000 0,00042 ¹
1000 1000 0,00042
c = (19,58 - 16) = 3,58
mit Re =
m
s
3,58 0,0004
c d1
1000 1000 .
berechnet zu Re =
Q
2
Man erhält Re = 716. Hieraus folgt der Nachweis laminarer Strömung, da
Re = 716 < Rekrit = 2320.
370
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.13 Wasserkanal
¥1.
18 min
hh
18 Punkte
In Abb. 11.13.1 ist der trapezförmige Querschnitt durch einen künstlichen Wasserkanal zu erkennen. Die eingezeichneten Kanalgrößen, die Oberflächenrauhigkeit, der Volumenstrom und
erforderliche spezifische Wassergrößen sind bekannt. Es soll sich um eine stationäre, gleichförmige Gerinneströmung handeln. Wie groß muss der auf die Rohrlänge bezogene Höhenunterschied sein, um den Volumenstrom kontinuierlich fließen zu lassen?
Abb. 11.13.1 Wasserkanal
Lösung zu 11.13
Aufgabenerläuterung
Der Höhenunterschied 'Z zwischen zwei Punkten 1 und 2 einer beliebigen Stromlinie des
Kanals ist verantwortlich für den Strömungsvorgang im vorliegenden, gegen die Umgebung
offenen Kanal. 'Z deckt dabei die Verluste dieser Kanalströmung ab. Dies lässt sich mit der
Bernoullischen Gleichung einfach belegen. Infolge der direkten Abhängigkeit dieser Verluste
von der Kanallänge L ist es sinnvoll, 'Z auf L zu beziehen. Da hier kein kreisförmiger, vollkommen ausgefüllter Rohrquerschnitt vorliegt, kann man nicht ohne Weiteres von der klassischen Rohrreibungsberechnung Gebrauch machen. Eine Möglichkeit, dennoch diese Grundlagen zu verwenden, besteht in der Ermittlung eines „Ersatzrohrdurchmessers“ dhyd., der auch
häufig als „Gleichwertigkeitsdurchmesser“ bezeichnet wird. Dieses gedachte „Ersatzrohr“ ist
dann vom Fluid vollständig ausgefüllt. dhyd lässt sich aus den Größen des jeweils
11. Rohr-, Kanalströmungen
371
A UR
.
U Ges.
AUR ist hierbei der tatsächlich durchströmte Querschnitt und UUR. der gesamte von der Flüssigkeit an der Wand benetzte Umfang. Die zentrale Aufgabe besteht nun im vorliegenden Fall
darin, die Verluste mit den gegebenen Größen zu ermitteln und hiermit dann den bezogenen
'Z
zu bestimmen.
Höhenunterschied
L
m3
= 5,0
Gegeben:
V
s
durchströmten, z.B. auch nicht kreisförmigen Systems wie folgt ermitteln: dhyd = 4
B
= 3,0
H = 0,80
D = 60
k = 3,5
= 1 106
Q
m
m
°
mm
m2
s
'Z
{ J S (Sohlengefälle)
L
Gesucht:
Anmerkungen:
- Bei der Verwendung der Bernoullischen Gleichung wird von mittleren
Geschwindigkeiten an den Stellen 1 und 2, d.h. homogenen Verteilungen
ausgegangen.
- Im vorausgesetzten Fall der stationären, gleichförmigen Gerinneströmung sind die mittleren Geschwindigkeiten und Flüssigkeitshöhen
entlang L konstant.
Lösungsschritte
Bernoullische Gleichung an den Stellen 1 und 2:
p1 c12
p 2 c 22
g Z1
g Z2 YV1y2
U
2
U
2
Mit hier vorliegenden Besonderheiten an den Stellen 1 und 2, nämlich c1 = c2 sowie
p1 = p2 = pB folgt somit g Z1
g Z2 YV1y 2 oder umgeformt: YV1y2 = g * (Z1 – Z2).
'Z eingeführt schreibt man dann
Mit (Z1 – Z2)
YV1y2 = g * 'Z.
Die reibungsbedingten Verluste in nicht-kreisförmigen Leitungen oder Kanälen werden mit
L
c2
bestimmt.
YV1y 2 O
d hyd. 2
Verknüpft man nun beide voneinander unabhängigen Gleichungen der Verluste YV1y 2 , so führt
dies zu
g * 'Z
O
L
d hyd.
c2
1
multipliziert, liefert den auf die Kanal. Die Gleichung mit
g L
2
372
11. Rohr-, Kanalströmungen
länge bezogene Höhenunterschied (auch Sohlengefälle JS genannt):
'Z
L
1
g
O
1
d hyd
c2
2
Zur zahlenmäßigen Auswertung fehlen nun noch c , dhyd. und ODiese lassen sich folgendermaßen berechnen.
c:
Mit der Durchflussgleichung V
c A , die nach der mittleren Geschwindigkeit umgeformt
wird sowie unter Verwendung des hier effektiv durchströmten Querschnitts AUR erhält man
V
c
.
A UR
Der durchströmte Kanalquerschnitt A UR setzt sich aktuell aus einem Rechteckanteil B * H
1
und zwei Dreiecksanteilen
H H tan D zusammen:
2
1
A UR B H 2
H H tan D . Somit folgt für A UR :
2
A UR B H H 2 tan D
Mit den gegebenen Größen lässt sich AUR berechnen zu A UR
tan 60 0 , also
3,51 m 2 .
A UR
Die mittlere Geschwindigkeit lautet dann c
c
3 0,8 0,82
1,42
5,0 m
und folglich
3,51 s
m
.
s
d hyd :
Zur Berechnung des hydraulischen Durchmessers gemäß d hyd
A UR
muss jetzt noch der
U UR
bestimmt werden. Im vorlie-
4
gesamte von der Flüssigkeit an der Wand benetzte Umfang U UR
genden Fall setzt sich U UR aus der Sohlenbreite B und den beiden Seitenwandlängen S zuH
H
sammen, also U UR B 2 S . Unter Verwendung von cos D
und somit S
S
cos D
ergibt dies:
0,8 ·
H ·
§
§
U UR ¨ B 2
¸ . Die bekannten Zahlenwerte eingesetzt U UR
¸
¨3 2
cos
600 ¹
cos
D
¹
©
©
liefern als Ergebnis: U UR
6,2 m .
4 3,51
Der hydraulische Durchmesser berechnet sich somit zu d hyd
m , also
6,2
d hyd 2,26 m .
Dies ist der Durchmesser des kreisförmigen „Ersatzrohrs“ für vorliegenden Kanal. Die Verlustberechnung erfolgt mit den Grundlagen der Rohrströmung mittels d hyd .
11. Rohr-, Kanalströmungen
373
O
Die Rohrreibungszahl O hängt je nach Fall von der Reynoldszahl Re allein (hydraulisch glatt)
D
oder von der Reynoldszahl Re und dem Rauhigkeitsverhältnis
ab (Übergangsgebiet).
kS
Bei sehr rauen Oberflächen wird O nur noch vom Rauhigkeitsverhältnis
d
allein
kS
bestimmt. Diese Zusammenhänge stehen im Moody-Diagramm (Abb. 17.1) zur Verfügung.
d
Es ist folglich notwendig, jeweils die Größen von Re und
festzustellen, um dann die bekS
treffende Rohrreibungszahl Odem Diagramm zu entnehmen bzw. mit geeigneten Gleichungen
zu berechnen.
Re hyd :
Re hyd =
Re hyd
c d hyd.
Q
.
1,42 2,26
106
1
3,21 106 Turbulente Rohrströmung
d hyd
:
kS
Der Sandrauhigkeitswert kS fällt etwas größer aus als die tatsächliche Rauhigkeit k. Man hat
1 y 1,6 k . Benutzt man den
einen empirischen Zusammenhang wie folgt festgestellt: k S
mittleren Umrechnungsfaktor von 1,3 aus der Toleranzbreite, so folgt für kS:
d
kS 1,3 3,5 mm 4,55 mm . Das bezogene Rauhigkeitsverhältnis hyd nimmt dann den
kS
d hyd
2260
497 an.
Wert
kS
4,55
d
Mit Hilfe von Re hyd 3,21 106 und hyd 497 stellt man in Abb. 17.1 fest, dass im aktukS
ellen Beispiel vollkommen raue Verhältnisse vorliegen. Die Rohrreibungszahl hängt nur von
d hyd
ab und lässt sich Abb. 17.1 wie folgt entnehmen: O 0,0235
kS
'Z
:
L
Unter Verwendung aller Werte für c , dhyd. und Olautet das Ergebnis für
1
1
'Z
=
0,0235
2,26
9,81
L
1,42 2
2
1,07 m Höhenunterschied
'Z
= 0,00107 {
1 km Kanallänge
L
'Z
:
L
374
11. Rohr-, Kanalströmungen
Aufgabe 11.14 Abwasserrohr
Übungsbeispiel
hhhh
Ein mittelmäßig verschlacktes Abwasserrohr (Abb. 11.14.1) wird mit einem bezogenen Hö3
2,365 m durch das
henunterschied 'Z/L = 0,0002 verlegt. Es soll einen Volumenstrom V
s
Rohr abfließen. Die Flüssigkeitshöhe im Rohr beträgt z0 = 0,9 * D, d.h., es ist beim Durchströmen nicht vollständig mit dem Abwasser ausgefüllt. Vorausgesetzt wird der Fall einer stationären, gleichförmigen „Gerinneströmung“. Welcher Rohrinnendurchmesser D wird erforderlich, wenn nur Flüssigkeitsreibungsverluste im Rohr vorliegen sollen?
Schnitt A - A
0,1* D
R
D
z0 = 0,9 * D
AUR
UUR
pB
A
pB
z0
h
L
1
D
pB
h
2
A
Bezugsebene
Abb. 11.14.1 Abwasserohr
U
Q
11. Rohr-, Kanalströmungen
375
Lösung zu 11.14
Aufgabenerläuterung:
Der Höhenunterschied 'Z zwischen zwei Punkten 1 und 2 einer beliebigen Stromlinie ist gemäß Bernoullischer Gleichung verantwortlich für den Strömungsvorgang im vorliegenden
nicht vollkommen gefüllten, gegen die Umgebung offenen Rohr. 'Z deckt dabei die Verluste
der Rohrströmung ab. Infolge der direkten Abhängigkeit dieser Verluste von der Kanallänge
L ist es sinnvoll, 'Z auf L zu beziehen. Da hier kein vollkommen ausgefüllter Rohrquerschnitt vorliegt, kann man nicht ohne Weiteres von der klassischen Rohrreibungsberechnung
Gebrauch machen. Eine Möglichkeit, dennoch diese Grundlagen zu verwenden, besteht in der
Ermittlung eines „Ersatzrohrdurchmessers“ dhyd., der auch häufig als „Gleichwertigkeitsdurchmesser“ bezeichnet wird. Dieses gedachte „Ersatzrohr“ ist dann vom Fluid vollständig
ausgefüllt. dhyd lässt sich aus den Größen des jeweils durchströmten, z.B. auch nicht kreisförA UR
migen Systems wie folgt ermitteln: dhyd = 4
. AUR ist hierbei der tatsächlich durchU UR
strömte Querschnitt und UUR der gesamte von der Flüssigkeit an der Wand benetzte Umfang.
Die zentrale Aufgabe besteht nun im vorliegenden Fall darin, dhyd zu ermitteln und hiermit
dann den gesuchten Innendurchmesser D festzulegen.
Gegeben:
, 'Z/L, Z0, g, U, Q
V
Gesucht:
D
Anmerkungen:
- Bei der Verwendung der Bernoullischen Gleichung wird von mittleren
Geschwindigkeiten an den Stellen 1 und 2, d.h. homogenen Verteilungen
ausgegangen.
- Im vorausgesetzten Fall der stationären, gleichförmigen „Gerinneströmung“ sind die mittleren Geschwindigkeiten und Flüssigkeitshöhen
entlang L konstant.
Lösungsschritte:
Zunächst werden AUR und UUR aus den Vorgaben des durchströmten Rohrs gemäß nachstehender Abb. bestimmt.
AUR:
Gemäß Abb. 11.14.2 lässt sich Folgendes feststellen:
AUR = A Kreis - AABC
A Kreis : Kreisfläche
AABC : Kreissegmentfläche
AABC = AMABC - AMAC
AMABC: Kreissektorfläche
AMAC : Dreieckfläche
AMABC =
2 Tq
A Kreis
360q
oder AMABC =
Tq
A Kreis
180q
oder AMABC = S R 2
Tq
180q
376
11. Rohr-, Kanalströmungen
B
R * cos
C
A
D
0,1* D = 0,2 * R
R
D
0,9 * D
0,4 * D = 0,8 * R
M
0,5 * D = R
R * sin
Abb. 11.14.2 Abmessungen des Kanalquerschnitts
Des Weiteren folgt gemäß Abb.11.14.2 für AMAC :
AMAC = 2
1
R sin T R cos T
2
= R 2 sin T cos T
Für die Kreissegmentfläche erhält man dann AABC = R 2
Mit AABC und A Kreis
AUR = R 2
S
Tq
S sin T cos T
180q
R 2 lautet der gesuchte Querschnitt AUR somit
Tq
S sin T cos T .
180q
Den Winkel T kann man gemäß Abb. 11.14.2 durch die vorgegebenen Größen wie folgt
berechnen:
R * cos T = 0,8 * R . Hieraus erhält man cos T = 0,8 und somit T = 36,87 °.
Dies liefert für sin T = sin 36,87q = 0,6 . Diese Ergebnisse in AUR eingesetzt führt zu
AUR = R 2
S
oder mit R =
D
2
36,87q
S 0,8 0,6
180q
und nach Auswertung AUR = 2,978 * R 2
AUR = 0,7445 * D 2 .
UUR :
Den vom Fluid benetzten Umfang erhält man nach Abb. 11.14.2 folgendermaßen:
UUR = UKreis - UABC
und
UUR
mit U ABC als Kreisbogenlänge liefert mit UKreis = 2 S R
Tq
2 S R
oder
U
S R den benetzten Umfang zu
ABC
90q
360q
·
·
§
§
Tq
36,87q
Tq
¸
¨
¨
= 2 S R S
R
=
R
*
=
R
*
2
2
S
S
S
S ¸¸ .
q
q
q
¸
¨
¨
90
90
90
¹
¹
©
©
U ABC
2 Tq
11. Rohr-, Kanalströmungen
UUR = 4,996 * R
oder mit
377
R=
D
2
UUR = 2,498 * D
Der „Ersatzrohrdurchmesser“ dhyd lautet somit:
dhyd = 4
A UR
0,7445 D 2
= 4
U UR
2,498 D
dhyd = 1,192 * D
In diesem ersten Schritt wurde dhyd allein aus den geometrischen Gegebenheiten der vorliegenden, nicht vollständig gefüllten Rohrleitung ermittelt. Um nun den gesuchten Rohrinnendurchmesser D zu bestimmen, benötigt man eine weitere Gleichung für dhyd. Hier bietet sich
die Bernoullische Energiegleichung entlang des Stromfadens von der Stelle 1 zur Stelle 2 an,
wobei gemäß der getroffenen Annahme nur die Reibungsverluste mit zu berücksichtigen sind.
Da diese Verluste mit dem „Ersatzrohr“ ermittelt werden, lässt sich auf diese Weise die benötigte zweite Gleichung für dhyd wie folgt aufstellen.
Bernoulligleichung von der Stelle 1 zur Stelle 2 gemäß Abb. 11.4.1:
p1 c12
g Z1
U
2
p 2 c 22
g Z2 YV1y2
U
2
Mit c1 = c2 sowie p1 = pB + U* g * h und p2 = pB + U* g * h
folgt somit
pB
g h g Z1
U
und schließlich
YV1y2 = g * (Z1 – Z2)
pB
g h g Z2 YV1y2
U
YV1y2 = g * 'Z.
oder
Für die angenommenen ausschließlich wirksamen Reibungsverluste YV1y2 { YVR bei turbulenter Rohrströmung wird das Gesetz nach Darcy wirksam:
YVR
O
L c2
.
D 2
Im Fall des hier nicht vollständig gefüllten Rohrs muss an Stelle von D der Durchmesser des
„Ersatzrohrs“ dhyd verwendet werden:
YVR
O
L
d hyd.
c2
, wobei
2
c
V
A UR
Die Rohrreibungszahl Okann dem Moody-Diagramm (Abb. 17.1) entnommen werden, wenn
k
die Reynoldszahl Re und das Rauhigkeitsverhältnis S des „Ersatzrohrs“ bekannt sind:
d hyd.
c d hyd.
k
O f (Re, S ) mit Re =
Q
d hyd.
378
11. Rohr-, Kanalströmungen
O
Mit YVR
L
d hyd.
c2
= g * 'Z lässt sich die gesuchte zweite Gleichung für
2
dhyd. durch Umformen wie folgt bestimmen:
dhyd. =
1
2 g
1
'Z
L
O
c2
oder dhyd. =
1
2 g
O
m
,
s2
und den ermittelten Querschnitt AUR = 0,7445 * D 2 , so wird
Verwendet man nun die gegebenen Größen g = 9,81
dhyd. = 459,9 O
1
'Z
L
'Z
L
2
V
A 2UR
= 0,0002
2
V
. Setzt man jetzt das erste Ergebnis für den „Ersatzdurchmesser“
D4
2
V
dhyd = 1,192 * D ein, so entsteht 1,192 * D = 459,9 O
oder D5
D4
Das vorläufige Ergebnis des gesuchten Rohrinnendurchmessers lautet:
2
D = 3,2906 * O V
2.
385,8 O V
1
5
nur
Somit hängt der gesuchte Rohrinnendurchmesser D bei dem gegebenen Volumenstrom V
noch von der Rohrreibungszahl Oab. Diese wird im Normalfall durch die jeweilige Reynoldsc D
k
und das Rauhigkeitsverhältnis S bestimmt. Für den vorliegenden Fall des
zahl Re =
Q
D
nicht vollständig ausgefüllten Rohrs müssen die Gegebenheiten des „Ersatzrohrs“ mit dhyd
c d hyd.
k
eingesetzt werden, also Re =
und S . Da dhyd und somit D aber zunächst unbeQ
d hyd.
kannt sind und demzufolge auch Owird zur Bestimmung von D ein Iterationsverfahren wie
folgt erforderlich. Den Sandrauhigkeitswert kS des Abwasserrohrs entnimmt man den bekannten Tabellen mit kS = 2 mm, und die kinematische Zähigkeit des Wassers Q liegt bei
m2
20 °C Wassertemperatur mit Q 1 10 6
fest.
s
1. Iterationsschritt
Wir gehen von einem willkürlich angenommenen Wert für D mit D1 = 1,0 m aus.
D1 = 1,0 m
dhyd 1 = 1,192 * D1 = 1,192 m
A UR 1 = 0,7445 * D12 = 0,7445 * 1,1922 = 0,7445 m 2
V
2,365
m
= 3,177
c1
=
=
A UR 1
0,7445
s
11. Rohr-, Kanalströmungen
Re1
d hyd1
kS
c1 d hyd1
=
Q
=
379
3,177 1,192
= 3,787 * 106
1 10 6
1192
= 596
2
Aus Abb. 17.1 lässt sich jetzt mit Re1 und
d hyd1
ein Rohrreibungswert
kS
O1 = 0,023 entnehmen. Hiermit kann D2 ermittelt werden zu :
D2
3,2906
2
O1 V
1
5
3,2906
0,023 2,3652
1
5
= 2,183 m
2. Iterationsschritt
D2 = 2,183 m
dhyd 2 = 1,192 * D2 = 1,192 * 2,183 m = 2,603 m
A UR 2 = 0,7445 * D 22 = 0,7445 * 2,1832 = 3,548 m 2
m
V
2,365
c1
= 0,666
=
=
A UR 1
3,548
s
Re 2
d hyd 2
kS
c2 d hyd 2
Q
=
=
0,666 2,603
= 1,735 * 106
1 10 6
2603
= 1301
2
Aus Abb. 17.1 lässt sich jetzt mit Re2 und
d hyd 2
ein Rohrreibungswert
kS
O2 = 0,0189 entnehmen. Hiermit kann D3 ermittelt werden zu:
D3
2
3,2906 O 2 V
1
5
3,2906 0,0189 2,3652
1
5
3. Iterationsschritt
D3 = 2,101 m
dhyd 3 = 1,192 * D3 = 1,192 * 2,101 m = 2,504 m
A UR 3 = 0,7445 * D 32 = 0,7445 * 2,1012 = 3,286 m 2
2,365
V
m
= 0,720
c3
=
=
s
A UR 3
3,286
Re 3
c3 d hyd3
Q
=
0,720 2,504
= 1,80 * 106
1 10 6
= 2,101 m
380
d hyd3
kS
11. Rohr-, Kanalströmungen
=
2504
= 1252
2
Aus Abb. 17.1 lässt sich jetzt mit Re3 und
d hyd3
ein Rohrreibungswert
kS
O3 = 0,0187 entnehmen. Hiermit kann D4 ermittelt werden zu:
D4
2
3,2906 O 3 V
1
5
3,2906 0,0187 2,3652
1
5
= 2,095 m
Hier kann das Iterationsverfahren abgebrochen werden, da zwischen den beiden letzten
Durchmesserwerten D3 und D4 lediglich ein Unterschied 'D/D4 = 0,28 % besteht.
Der gesuchte Rohrinnendurchmesser lautet somit:
D = 2,095 m
12. Grenzschichtströmungen
Prandtl hat erstmals Anfang des 20. Jahrhunderts das Vorhandensein von „Grenzschichten“
an umströmten Körpern theoretisch und experimentell festgestellt. Hiermit konnten bislang
viele offene Fragen der Strömungsmechanik gelöst sowie wichtige technische Anwendungen
und Verbesserungen (z.B. Grenzschichtabsaugungen an Tragflächen zur Auftriebsverbesserung) geschaffen werden. So konnte ebenso eine deutliche Widerstandsreduzierung an Profilen (Kugeln, Zylinder, Tragflächen etc.) mittels „Stolperdrähten“ durch entsprechende Grenzschichtveränderungen erzielt werden. Mit „Potentialströmungen“, d.h. der angenommenen
drehungs- und reibungsfreien Strömung, kann z.B. sehr gut die „Querkraftentstehung“ (Auftrieb) an umströmten Tragflügeln erklärt werden. Die tatsächlich auch vorhandenen „Widerstandskräfte“ lassen sich dagegen mit den reibungsfreien Potentialströmungen nicht belegen.
Aus Messungen weiß man, dass außerhalb der näheren Körperumgebung die tatsächliche
Strömung der Potentialströmung sehr nahe kommt. Nur in unmittelbarer Nähe und nach dem
Körper sind Abweichungen feststellbar. Somit sind zur Ermittlung der Querkräfte die Gegebenheiten der Potentialströmung um den Körper zu verwenden, zur Bestimmung der Widerstandskräfte sind die veränderten Verhältnisse in unmittelbarer Körpernähe bedeutsam. Von
technischen Fluiden weiß man, dass sie neben Druckspannungen (Drücken) auch Schubspannungen übertragen. Diese Schubspannungen (Newtonsche Flüssigkeiten) hängen vom Ge§ dc ·
schwindigkeitsgradient ¨ x ¸ und der dynamischen Viskosität K ab. Wenn auch die Schub© dz ¹
spannungen i.A. gegenüber den Druckspannungen klein und oft unbedeutend sind, so kann
erst mit ihrer Hilfe die Entwicklung der Widerstandskräfte in den wandnahen, reibungsbehafteten Schichten (Grenzschichten) des Körpers begründet werden. Es lassen sich zwei Bereiche
an umströmten Körpern bei tatsächlichen, reibungsbehafteten Strömungen nennen:
1.
2.
Außenströmungen; d.h. hier liegt eine (quasi) „Potentialströmung“ vor, es sind hier
§ dc ·
keine Schubspannungen wirksam ¨ x ¸ 0 .
© dz ¹
Grenzschichtbereich und evtl. Verwirbelungsgebiet (bei abgelöster Grenzschicht).
Aufgrund der Haftbedingung tatsächlicher Fluide steigt innerhalb der Grenzschicht
die Geschwindigkeit vom Wert Null an der Wand auf den Wert der Außenströmung
an:
cf
bei längsangeströmten Platten
ca x
bei längsangeströmten Profilen
Aus Messungen und Theorie weiß man, dass diese Grenzschichten sehr dünn sind, d.h. die
§ dc ·
Grenzschichtdicke G und somit der Geschwindigkeitsgradient ¨ x ¸ >>. Die gebräuch© dz ¹
lichste Definition der Grenzschichtdicke G ist so festgelegt, dass aufgrund des fließenden
Übergangs von Grenzschicht zur Außenströmung die Grenzschichtdicke bei 99 % der Geschwindigkeit c f bzw. c a erreicht sein müssen; also ist G bei c = 0,99 * c f definiert. Grundsätzlich muss unterschieden werden, ob die Grenzschichtausbildung entlang einer ebenen
Platte oder eines profilierten, umströmten Körpers stattfindet. Da beide Grenzschichtentwicklungen verschiedenartig ablaufen und die Ergebnisse nicht miteinander vergleichbar sind, soll
hier nur die Strömung in Plattengrenzschichten mit ihre wichtigsten Ergebnissen vorgestellt
werden.
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_12,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
382
12. Grenzschichtströmungen
Wie bei der Rohrströmung können sich
laminare und
turbulente
Grenzschichten ausbilden. Im Fall der turbulenten Grenzschicht ist immer eine sehr dünne,
laminare (viskose) Unterschicht (viscous sublayer) an der Wand vorhanden, auf der sich dann
die turbulente Grenzschicht aufbaut. Eine laminare Grenzschicht kann ab einer bestimmten
Strecke xKr. (Lauflänge) in die turbulente Grenzschicht übergehen.
Umschlagspunkt von laminarer zur turbulenten Grenzschicht
Wird eine kritische Reynoldszahl unter- oder überschritten, so stellt sich laminare bzw. turbulente Grenzschichtströmung ein. Diese kritische Reynoldszahl lautet:
Re Kr.
c f x Kr .
Q
3 105 y 5 105
Geschwindigkeitsverteilungen in Plattengrenzschichten
Laminare Strömung
In diesem Fall haben sich zwei Ansätze als Näherungslösungen bewährt:
Lineare Verteilung:
c( z )
cf
z
G
Parabelförmige Verteilung:
c( z )
§G z·
1 ¨
¸
cf
© G ¹
0 d z d G
2
0 d z d G
Turbulente Strömung
Die Geschwindigkeitsverteilung dieser Grenzschichtströmung wird empirisch mit einem rein
experimentell ermittelten „Potenzgesetz“ beschrieben. Des Weiteren ist ein halbempirisches
Gesetz bekannt, das auf dem Prandtlschen Mischungswegansatz beruht.
Potenzgesetz:
c( z )
cf
§z·
¨ ¸
©G¹
m
z.B. m = 1/7
Logarithmisches Gesetz:
0 d z d G
1/7-Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung nach Blasius
c( z )
v
§z v ·
¸¸ 5,56
5,85 log ¨¨
© Q ¹
v
W0
U
Schubspannungsgeschwindigkeit
12. Grenzschichtströmungen
383
Grenzschichtdicken
Laminare Grenzschicht
x la
Gla 5
1
§ cf x la. · 2
¨
¸
© Q ¹
xla
Turbulente Grenzschicht
Lauflänge ab Plattenbeginn
x tu
G tu 0,14
1
§ cf x tu . · 7
¨
¸
© Q ¹
xtu
Lauflänge ab Umschlagspunkt
Widerstandskraft FW, Widerstandsbeiwert cW
Zur Bestimmung der Widerstandskraft FW an der Oberfläche einer Plattenseite benutzt man
bei laminarer und turbulenter folgendes Gesetz.
FW
A
B
L
B L
cW A
U
2
c f2
Oberfläche einer Plattenseite
Breite einer Plattenseite quer zu cf
Länge einer Plattenseite in Richtung von cf
Im Einzelnen lautet der Widerstandsbeiwert cW wie folgt:
Laminare Grenzschicht
Wenn die laminare Grenzschicht über der gesamten Plattenlänge L ausgebildet ist, also
Re L
cf L
d Re Kr .
Q
bestimmt man den Widerstandsbeiwert cW aus
cW
1,328
.
Re L
3 105 y 5 105 ,
384
12. Grenzschichtströmungen
Turbulente Grenzschicht, glatte Oberfläche
Unter der Voraussetzung, dass von Beginn an eine turbulente Grenzschicht über einer glatten
Plattenoberfläche vorliegt, lässt sich der Widerstandsbeiwert cW wie folgt ermitteln:
cW
0,0303
Re L
1
7
Die o.g Vorraussetzung lässt sich z.B. durch einen „Stolperdraht“ an der Plattenvorderkante
herbeiführen. Ebenso zulässig ist es, von vollturbulenter Grenzschicht auszugehen, wenn die
x
Abschätzung des auf die Gesamtlänge bezogenen Umschlagspunktes Kr . sehr kleine Werte
L
ergibt, also der Anteil der laminaren Grenzschicht vernachlässigbar ist.
Turbulente Grenzschicht, vollkommen raue Oberfläche
Unter der Voraussetzung, dass von Beginn an die turbulente Grenzschicht (s.o.) über einer
rauen Plattenoberfläche vorliegt, wird kein Einfluss der ReL-Zahl mehr wirksam, sondern nur
k
noch das Rauhigkeitsverhältnis S . cW berechnet sich mit folgendem Gesetz:
L
cW
für
ª
§ k S ·º
«1,89 1,62 log ¨ L ¸»
© ¹¼
¬
2 , 5
§k ·
10 6 d ¨ S ¸ d 10 2 .
©L¹
Turbulente Grenzschicht bei glatter Platte mit laminarer Anlaufstrecke
Für den Fall, dass der Anteil der Plattenlänge, auf der laminare Grenzschicht ausgebildet ist
(also bis zum Umschlagspunkt xKr.), nicht vernachlässigt werden kann, hat Prandtl folgende
Berechnungsmöglichkeit entwickelt:
cW
c Wturbulent c Wturbulent
A
,
Re L
0,0303
ReL
1
7
wobei
(s.o.)
ReKr
3 * 105
5 * 105
A
1050
1700
12. Grenzschichtströmungen
385
Aufgabe 12.1 Laminare Plattengrenzschicht
¥1.
¥2.
¥3.
2 min
3 min
4 min
h
h
h
2 Punkte
3 Punkte
4 Punkte
Eine Rechteckplatte der Länge L und der Breite B wird von Wasser umströmt. Die homogene
Zuströmgeschwindigkeit c f vor der Platte bleibt auch über der Platte (außerhalb des Grenzschichtbereichs) gleichmäßig verteilt. Weiterhin sind die Dichte Uund Viskosität Q des Wassers bekannt.
Zunächst soll festgestellt werden, um welche Art Strömung es sich in der Grenzschicht über
der Plattenlänge L handelt. Die Grenzschichtdicken G sind danach an zwei Stellen der Plattenlänge zu ermitteln. Die Berechnung der Gesamtwiderstandskraft FWGes ist des Weiteren Gegenstand der Aufgabe ebenso wie die WandschubspannungenWW an den genannten zwei Stellen der Plattenlänge.
Lösung zu 12.1
Aufgabenerläuterung
Die Lösung der Fragen wird mit den Grundlagen der Plattengrenzschichtberechnung ermöglicht. Die zentrale Frage hierbei ist zunächst, die Beschaffenheit der Grenzschichtströmung
festzustellen, d.h. ob sie laminar, turbulent oder auch laminar und turbulent ist. Erst dann lassen sich die übrigen Fragen nach Grenzschichtdicken, Widerstandskraft und Wandschubspannungen lösen.
m
kg
m2
; U 998,2 3 ; Q 1 10 6
Gegeben:
L = 0,5 m ; B = 0,2 m ; c f 0,5
m
s
s
Gesucht:
1. Grenzschichtart über
L
Gla ( x la ) bei x la = 0,25 m und x la = 0,50 m
2. Grenzschichtdicke
3. Gesamtwiderstandskraft FWGes
Anmerkungen:
- Der Plattenbeginn ist gut zugeschärft.
Lösungsschritte
1. Grenzschichtart:
Eine laminare Grenzschicht liegt immer dann vor, wenn Re < Re kr 3 105 y 5 105 .
cf L
c f x Kr
3 105 y 5 105
folgt
Mit Re
und Re
Q
Q
c f L cf x Kr
Q
<
multipliziert liefert dies
3 105 y 5 105 . Mit
Q
Q
cf
386
12. Grenzschichtströmungen
Q
= 0,8 m. Die Bedingung vollkommen laminarer Grenzcf
schicht über L ist somit gewährleistet, da L x Kr , also ist die
L = 0,5 m < x Kr
400000
Grenzschicht laminar .
2. Gla ( x la ) :
Aufgrund der laminaren Grenzschicht im gesamten Plattenbereich lassen sich die Grenzschichtdicken Gla ( x la ) an den Stellen x la = 0,25 m und x la = 0,5 m mit den nachstehenden
Gleichungen ermitteln:
Re la
Gla
cf x la
Q
x la
5
Re la
Reynoldszahl
laminare Grenzschichtdicke
Verwendet man diese beiden Zusammenhänge an den benannten Stellen x la = 0,25 m sowie
x la = 0,5 m mit den dimensionsgerechten Zahlenwerten, so folgt:
2.1. Stelle x la = 0,25 m
0,50 0,25
106 = 125000
1
Re la
Gla
0,25
125000
5
Gla
3,54 mm
2.2. Stelle x la = 0,5 m
0,50 0,5
106 = 250000
1
Rela
Gla
5
0,5
250000
Gla
5,00 mm
3. F WGes :
Die gesamte Widerstandskraft setzt sich aus den an beiden Oberflächen wirksamen Einzelkräften zusammen, also:
F WGes = 2
FW
cW
FW .
A
Die Widerstandskraft der überströmten Einzelfläche lautet
U
2
cf2
mit A = B * L (Rechteckfläche). Dies liefert für F WGes :
12. Grenzschichtströmungen
F WGes = 2
F WGes = c W
cW
Re L
Rela
cW
1,328
Re L
cW
B L
U
2
B L U cf2 .
387
cf2
oder
Mit dem Widerstandsbeiwert laminarer Grenzschichten
und der auf die Plattenlänge L bezogenen Reynoldszahl
cf L
ermittelt man folglich zunächst
Q
0,5 0,5
106 250000 und somit den cW-Wert zu
1
1,328
0,00266 .
Die Gesamtwiderstandskraft dimensionsgerecht berechnet
250000
F WGes = 0,00266 0,2 0,5 998,2 0,52
lautet dann:
F WGes = 0,0664 N
388
12. Grenzschichtströmungen
Aufgabe 12.2 Laminare und turbulente Plattengrenzschicht
¥1.
¥2.
¥3.
1 min
4 min
6 min
h
h
hh
1 Punkte
4 Punkte
6 Punkte
Eine glatte Platte wird von Leichtöl umströmt, wobei vor der Platte und im Bereich der Außenströmung eine homogene Geschwindigkeitsverteilung cf vorliegt. Über der Längserstreckung L bildet sich zunächst bis zum Umschlagspunkt „U“ eine laminare und von dort bis
zum Plattenende eine turbulente Grenzschicht aus, die sich auf der viskosen Unterschicht
(viscous sublayer) aufbaut. Bei bekannter Geschwindigkeit cf , Dichte U und Viskosität Q des
Öls soll zunächst die Lage x Kr des Umschlagpunktes U und die Dicke der hier vorliegenden
laminaren Grenzschicht ermittelt werden. Weiterhin wird die Grenzschichtdicke am Plattenende gesucht. Bei ebenfalls gegebenen Plattenabmessungen L und B ist abschließend die Widerstandskraft an einer Oberfläche zu bestimmen.
Abb. 12.2.1 Laminare und turbulente Plattengrenzschicht
Lösung zu 12.2
Aufgabenerläuterung
Im Fall der hier zu lösenden Fragen sind die Gesetzmäßigkeiten sowohl der laminaren als
auch der turbulenten Grenzschichten einzusetzen. Dies betrifft die Grenzschichtdicken und
auch die Widerstandskräfte.
12. Grenzschichtströmungen
389
Gegeben:
L = 3,0 m ; B = 1,0 m ; cf = 2,0
Gesucht:
1.
x Kr , wenn Re Kr
2.
Gla x Kr
m
; Q
s
6 10 6
m2
kg
; U 880
s
m3
400000
; G tu x tu
L x Kr
3. F W
Anmerkungen:
- Die Berechnung der turbulenten Grenzschichtdicke G tu wird ab dem
Umschlagspunkt „U“, also der Stelle x x Kr begonnen. Tatsächlich ist
der Startpunkt etwas vorverlagert, was hier aber nicht berücksichtigt
werden soll.
cf x la
x la
mit Rela
- Laminare Grenzschichtdicke: Gla x la = 5
Q
Rela
- Turbulente Grenzschichtdicke: G tu x tu
=
0,14
Re tu
Re tu
- cW
- c Wtu L
cf
x tu
1
7
mit
x tu
Q
c Wtu L 0,0303
1
K
mit Re L
Re L
. Bei Re Kr
cf L
, K = f ( Re Kr ) und
Q
400000 lautet K = 1403.
(Re L ) 7
Lösungsschritte
1. x Kr :
Die Stelle x Kr , an der die laminare Grenzschichtströmung in die turbulente umschlägt, lässt
sich aufgrund des bekannten Reynoldszahlbereichs ReKr = 3 105 y 5 105 , der diesen Übercf x Kr
Re Q
um
gang kennzeichnet, wie folgt ermitteln. Formt man Re Kr
nach x Kr = Kr
cf
Q
und setzt aus o.g. Bereich einen mittleren Wert Re Kr 400000 und die gegebenen Größen
400000 6
cf sowie Q ein, so führt dies zu x Kr =
oder
2 106
x Kr
1,20 m
Dies entspricht 40% der gesamten Plattenlänge L = 3 m und verdeutlicht, dass bei den betroffenen Größen diese Grenzschicht laminar und turbulent berechnet werden muss.
2. Gla x Kr ; G tu x tu
L x Kr :
390
12. Grenzschichtströmungen
Gla x Kr :
Die Dicke der laminaren Grenzschicht Gla x la ermittelt man mit Gla x la = 5
x la
, wobei
Rela
die Re-Zahl mit der laufenden x-Koordinate vom Plattenursprung aus gebildet wird, also
cf x la
Rela
. Am Ende des laminaren Bereichs an der Stelle xla = xKr führt dies
Q
x Kr
. Die Auswertung von
mit Re Kr 400000 und x Kr 1,20 m zu Gla x Kr = 5
cf x Kr
Q
1,20
oder
Gla x Kr liefert dann G la x Kr = 5
400000
Gla x Kr
0,00949 m { 9,49 mm.
G tu x tu = (L - x Kr ) :
Zur Berechnung der Dicke turbulenter Grenzschichten an längs angeströmten, glatten Platten
soll von der Gleichung Gebrauch gemacht werden, bei der keine Einschränkung des Rec f x tu
0,14 x tu
Gültigkeitsbereichs beachtet werden muss, also G tu x tu =
.
mit Re tu
1
Q
Re 7
tu
Die laufende Koordinate x tu zählt man hier ab dem Umschlagspunkt, also der Stelle xKr. Da
im vorliegenden Fall G tu am Plattenende gesucht wird, muss x tu = (L - x Kr ) in den Gleichungen eingesetzt werden, also
c f (L - x Kr )
0,14
G tu L - x Kr =
(L - x Kr )
mit Re tu
. Es folgt für
1
Q
Re 7
tu
G tu L - x Kr =
G tu L - x Kr
=
0,14 (L - x Kr )
.
1
ª cf (L - x Kr ) º 7
»¼
«¬
Q
0,14 (3,0 - 1,20 )
Die gegebenen bzw. berechneten Größen eingesetzt
1
liefern als Ergebnis
ª 2 (3,0 - 1,20)
º7
106 »
«¬
6
¼
G tu L - x Kr
= 0,0377 m { 37,7 mm.
3. FW (einer Plattenseite):
Wie oben festgestellt, ist im vorliegenden Fall sowohl der laminare als auch der turbulente
Anteil der Widerstandskraft FW zu berücksichtigen. Dies wird in folgender Vorgehensweise
realisiert. Als Ansatz dient der allgemeine Zusammenhang
U 2
FW c W A
cf ,
worin
2
Fläche einer Plattenseite,
A B L
12. Grenzschichtströmungen
K
Re L
c Wtu cW
391
Widerstandsbeiwert bei gemischter Grenzschicht,
Widerstandsbeiwert bei nur turbulenter Grenzschicht über L,
c Wtu
cf L
Q
Re L
Reynoldszahl auf die Plattenlänge L bezogen,
K
Re L
Korrekturglied,
K = f ( ReKr )
Korrekturfaktor (s.o.).
Zur Berechnung des Widerstandsbeiwertes c Wtu L im Fall ausschließlich turbulenter Grenzschicht über der Plattenlänge L wird eine Gleichung benutzt, bei der keine Einschränkung des
Re-Gültigkeitsbereichs zu beachten ist. Diese lautet bei glatten Platten:
0,0303
c Wtu
(Re L )
Re L =
c Wtu
1
7
.
2 3
106
6
0,0303
1
Mit vorliegendem Zahlenmaterial berechnet man
1 106 .
Dies liefert für
0,004210 .
(106 ) 7
Den gesuchten Widerstandsbeiwert bei gemischter Grenzschicht ermittelt man zu
cW
0,004210 1403
1 106
oder
cW
0,002807 .
Unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlen lässt sich die Widerstandskraft angeben mit
FW
0,002807
3 1
880 2
2 oder
2
FW
14,8 N .
392
12. Grenzschichtströmungen
Aufgabe 12.3 Laminare Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht
¥1.
¥2.
¥3.
h
h
h
4 min
0,5 min
0,5 min
4 Punkte
0,5 Punkte
0,5 Punkte
Eine ebene Wand wird von einem Newtonschen Fluid der dyn. Viskosität K überströmt. Die
Geschwindigkeit über der Wand ist homogen verteilt und weist eine Größe c f auf. Innerhalb
der Grenzschicht mit der Dicke h, in der sich die Geschwindigkeit vom Wert an der Wand auf
denjenigen der Außenströmung verändert, liegen laminare Strömungsbedingungen vor. Das
diesbezügliche Geschwindigkeitsprofil lässt sich mit einem bekannten Potenzgesetz beschreiben. Leiten Sie das Gesetz zur Ermittlung der Schubspannungsverteilung W z in der Grenzschicht her. Weiterhin sind die Schubspannungen an der Wand W W und am Übergang der
Grenzschicht zur Außenströmung W(z h ) anzugeben.
Abb. 12.3.1 Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Grenzschichtströmung
Lösung zu 12.3
Aufgabenerläuterung
Die vorliegende Thematik befasst sich mit dem Zusammenwirken der Newtonschen Schubspannung in Verbindung mit einer bekannten Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht.
Gegeben:
cf ; h ;
Gesucht:
1.
Wz
f (z) .
2.
WW
an der Stelle z = 0
3.
W
an der Stelle z = h
Anmerkungen:
- Die laminare Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht gemäß
Abb. 12.3.1 kann mit folgendem Potenzgesetz beschrieben werden:
ª hz 2º
cz
1 «
»
2
cf
¬ h
¼
12. Grenzschichtströmungen
393
Lösungsschritte
1. W z :
dc z
gelangt man zum gesuchten Schubspannungsdz
dc z
konkret angegeben werden kann. Dies
verlauf W z dann, wenn der Differentialquotient
dz
ist im Fall der bekannten Geschwindigkeitsverteilung durch Umstellen sowie Ausmultiplikation und Vereinfachung der inneren Klammer wie folgt möglich.
Mit dem Newtonschen Gesetz W z
K
ª h 2 2 h z z2 º
2»
c f «1 2 h2
h ¼
¬ h
2
§
z z ·
¨¨ 2
2 ¸¸ oder auch
© h h ¹
1
ª
º
c f «1 2 h 2 2 h z z 2 »
h
¬
¼
cz
Somit resultiert c z
cz
cf
z
z2
cf
.
h
h2
2 cf
§
z z2 ·
¸
c f ¨¨1 1 2
h h 2 ¸¹
©
c(z) nach z differenziert liefert bekanntermaßen
dc(z)
dz
2
c
cf
z
2 cf
. Wird dann noch 2 f ausgeklammert, führt dies zu
h
h2
h
dc(z)
dz
2
cf § z ·
¨1 ¸ .
h © h¹
In das Newtonsche Gesetz eingefügt erhalten wir als Ergebnis
Wz
2. W W z
cf § z ·
¨1 ¸ .
h © h¹
2 K
0 :
Die Wandschubspannung W W resultiert aus o.g. Gleichung mit z = 0
WW
2 K
cf § 0 ·
¨1 ¸ oder
h © h¹
WW
3. W z
2 K
cf
.
h
h :
Die Schubspannung am Übergang der Grenzschicht zur Außenströmung mit z = h lautet:
W
2 K
cf § h ·
c
¨1 ¸ 2 K f
h © h¹
h
1 1 = 0
=0
W
0
394
12. Grenzschichtströmungen
Aufgabe 12.4 Turbulente Plattengrenzschicht
¥1.
¥2.
¥3.
hh
h
h
7 min
2 min
1 min
7 Punkte
2 Punkte
1 Punkte
Eine dünne, glatte Platte wird im eingetauchten Zustand horizontal durch Wasser gezogen.
An dieser Platte der Länge L und Breite B wirkt dabei eine Gesamtzugkraft FGes . Neben den
Plattenabmessungen sind die Dichte Uund die Viskosität Q des Wassers bekannt. Wie groß ist
die Plattengeschwindigkeit cf sowie die Grenzschichtdicke G tu am Plattenende, wenn von
turbulenten Grenzschichten ausgegangen wird? Überprüfen Sie des Weiteren, ob die Vernachlässigung des laminaren Grenzschichtbereichs gerechtfertigt ist.
Abb. 12.4.1 Turbulente Grenzschicht bei einer durch Wasser gezogenen Platte
Lösung zu 12.4
Aufgabenerläuterung
Die als bekannt vorausgesetzte Gesamtzugkraft dient zur Überwindung der an den beiden
Oberflächen wirksamen Widerstandskräfte. Diese resultieren aus Schubspannungen in der
turbulent vorausgesetzten Grenzschicht über der Plattenlänge. Folglich sind die diesbezüglichen Gesetze im Fall glatter Oberflächen anzuwenden.
Gegeben:
FGes
8000 N ; L = 24,4 m ; B = 1,2 m ;
U 998
Gesucht:
1.
2.
3.
kg
;
m3
Q 1 10 6
m2
;
s
cf
G tu L
x Kr unter der Annahme Re Kr
400000
12. Grenzschichtströmungen
Anmerkungen:
395
- Anteil der Widerstandskraft in der laminaren Anlaufstrecke ist ohne
Bedeutung.
- cW
Widerstandsbeiwert bei glatten Platten und turbulenter Grenzschicht.
0,0303
Re L
- G tu (L) =
1
7
0,14 L
Re L
1
7
Grenzschichtdicke bei glatten Platten und turbulenter Grenzschicht
Lösungsschritte
1. cf :
Die Widerstandskraft an einer überströmten Platte bestimmt man mit
U 2
FW c W A
cf .
Den hierin benötigten cW-Wert erhält man gemäß
2
0,0303
cW
für turbulente Grenzschichten an glatten Platten und
1
Re L 7
cf L
Re L
der auf die Plattenlänge L bezogenen Reynoldszahl.
Q
A
B L
Oberfläche einer Plattenseite.
Aus dem Kräftegleichgewicht an der gleichförmig bewegten Platte folgt
FGes
2 FW oder FGes
FGes
c W A U cf2 .
2 cW A
U 2
c f . Somit resultiert zunächst
2
Da cW über die Re L -Zahl wiederum mit cf verknüpft ist, sollte
die Gleichung zunächst durch Multiplikation mit
FGes
A
c W cf2
0,0303
§ cf L ·
¨
¸
© Q ¹
1
.
U
c f2
1
7
FGes
A
1
A U
umgestellt werden:
Führt man jetzt die Gleichungen für c W und die ReL-Zahl ein
1
,
U
dividiert dann durch 0,0303 und löst danach den Nenner der
linken Gleichungsseite auf, so liefert dies
cf2
cf
1
7
14
1
§ Q ·7
¨ ¸
©L¹
FGes
1
A U 0,0303
oder
cf7
cf
1
7
1
§ Q ·7
¨ ¸
©L¹
c
13
7
f
1
§ Q ·7
¨ ¸
©L¹
FGes
1
.
A U 0,0303
396
12. Grenzschichtströmungen
Da wir cf suchen, wird nochmals umgestellt zu:
c
13
7
f
1
· § L ·7
§
7
FGes
¨¨ 0,0303 A U ¸¸ ¨ Q ¸ . Das Potenzieren mit 13 liefert das Ergebnis
¹ © ¹
©
7
cf
1
·13 § L ·13
§
FGes
¨¨ 0,0303 A U ¸¸ ¨ Q ¸ .
¹ © ¹
©
Benutzen wir jetzt noch dimensionsgerecht die vorgegebenen Zahlenwerte, so führt dies zu
7
cf
1
8000
§
·13 § 24,4
·13
106 ¸
oder als Endresultat:
¨
¸ ¨
¹
© 0,0303 24,4 1,2 998 ¹ © 1
cf
12,1
m
s
2. G tu L :
Aufgrund der nunmehr bekannten Geschwindigkeit c f und folglich auch Re L -Zahl lässt sich
die Grenzschichtdicke am Plattenende bei xtu = L berechnen aus
G tu x tu =
0,14 x tu
.
Unter Verwendung von xtu = L erhält man
1
§ c f x tu · 7
¸
¨
© Q ¹
0,14 L
G tu L =
.
Mit den betreffenden Zahlenwerten liefert dies
1
§ cf L · 7
¸
¨
© Q ¹
0,14 24,4
G tu L =
.
Ausgewertet steht das Ergebnis mit
1
7
·
§ 12,1 24,4
106 ¸
¨
1
¹
©
G tu L 0,2106 m { 210,6 mm fest.
3. x Kr :
Der Umschlag von laminarer in turbulente Plattengrenzschicht findet im Bereich
cf x Kr
Re Kr 3 105 y 5 105 statt. Hierin ist Re Kr
definiert, wobei x Kr den Abstand
Q
des Umschlagpunktes von der Plattenspitze mit laminarer Grenzschicht angibt. Wählt man
Re Kr
x Kr
400000 und formt nach dem gesuchten Abstand x Kr um, so erhält man
400000 Q
oder mit den bekannten Größen eingesetzt x Kr
cf
400000 1
.
12,1 106
Als Erstreckung der laminaren Grenzschicht von Plattenbeginn aus erhält man
x Kr
0,0331 m { 33,1 mm .
12. Grenzschichtströmungen
397
Aufgabe 12.5 Papierfahne
¥1.
¥2.
¥3.
1 min
6 min
2 min
h
hh
h
1 Punkte
6 Punkte
2 Punkte
Eine versteifte Papierfahne der Länge L und Breite B mit einer am unteren Ende befestigten
Masse m fällt nach Erreichen des Beharrungszustands mit der „konstanten“ Geschwindigkeit
cf in atmosphärischer Umgebung abwärts.
1. Ermitteln Sie die Fallgeschwindigkeit cf , bei der über der Gesamterstreckung L der Fahne gerade noch eine laminare Grenzschicht vorliegt.
2. Wie groß muss die Masse m sein, damit diese Geschwindigkeit erreicht wird? Stellen Sie
hierzu das Kräftegleichgewicht für den stationären Fallzustand auf, wenn die Gewichtskraft der Papierfahne und die Widerstandskraft der Masse vernachlässigbar sind und nur
die Gewichtskraft der Masse sowie die Gesamtwiderstandskraft der Fahne wirken sollen.
3. Welche Grenzschichtdicke G la stellt sich am Fahnenende ein?
Abb. 12.5.1 Papierfahne
Lösung zu 12.5
Aufgabenerläuterung
Hintergrund der Fragestellungen ist die Anwendung der Grundlagen laminarer Plattengrenzschichten.
kg
m2
m
Gegeben:
B = 0,10 m ; L = 0,30 m ; U L 1,2 3 ; Q L 15 10 6
; g = 9,81 2
s
s
m
398
12. Grenzschichtströmungen
Gesucht:
1.
cf
2. m
3. Gla
Anmerkungen:
- Die Masse m ist soweit vor der Fahne angebracht, dass sie keinen Einfluss auf die Grenzschichtentwicklung der Fahne hat.
- Re Kr . 300000 y 500000 beim Umschlag von laminarer zur turbulenten
Plattengrenzschicht.
- Die Versteifung der Fahne soll dafür sorgen, dass keine Flatterbewegungen entstehen und sich eine ausgebildete Grenzschicht einstellt.
Lösungsschritte
1. cf :
Mit der kritischen Reynoldszahl des Grenzschichtumschlags „laminar œ turbulent“
cf
x Kr
400000 (gewählt)
QL
und mit x Kr L für die im vorliegenden Fall am Fahnenende gewünschte Stelle des Umschlagspunktes lässt sich die gesuchte Geschwindigkeit nach Umstellen der Gleichung
Re Kr
cf
cf
Re Kr Q L
L
und Einsetzen der gegebenen Größen
400000 15
0,3 106
ermitteln zu
cf = 20
m
.
s
2. m:
Das Kräftegleichgewicht bei gleich bleibender Fallgeschwindigkeit cf lautet
6Fi
0
FG
FWGes .
FG
m g
FWGes
FW
FWGes FG .
Gewichtskraft der Masse
Gesamtwiderstandskraft an der Fahne (beide Seiten)
2 FW
cW
A=B L
Umgeformt gelangt man zu
A
UL
2
c f2
Widerstandskraft an einer Fahnenfläche
Fahnenfläche (eine Seite)
12. Grenzschichtströmungen
399
Diese Zusammenhänge in die Ausgangsgleichung eingesetzt führen zunächst zu
g m
m
2 cW
UL
g
cW
B L
UL
2
cf2
oder nach Kürzen und Division durch g
B L c f2 .
Der Plattenwiderstandsbeiwert cW bei laminarer Grenzschicht lautet :
cW
1,328
1
Re l
mit
cf L
QL
Re l
1,328
Somit erhält man c W
1
, und mit den vorliegenden Zahlenwerten gelangt man zu
§ cf L · 2
¨¨
¸¸
© QL ¹
1,328
cW
0,00210 . Die gesuchte Masse m lässt sich nun bei dimensions-
1
§ 20 0,3
·2
106 ¸
¨
© 15
¹
gerechter Benutzung des Zahlenmaterials berechnen zu:
m=
1,2
0,00210
9,81
0,10 0,30
m
202
0,00308 kg { 3,08 g
3. Gla ( bei x la = L ) :
Die Dicke der laminaren Grenzschicht am Fahnenende x la L ermittelt man allgemein mit
x la
L
oder hier Gla 5
. Folglich wird
G la 5
1
1
§ cf L · 2
§ c f x la · 2
¨¨
¸¸
¨¨
¸¸
© QL ¹
© QL ¹
Gla
5
0,3
1
§ 20 0,3
·2
106 ¸
¨
© 15
¹
G la = 0,00237 m { 2,37 mm.
400
12. Grenzschichtströmungen
Aufgabe 12.6 Flussschiff
¥1.
¥2.
hh
hh
8 min
6 min
8 Punkte
6 Punkte
Ein Schiff fährt gemäß Abb. 12.6.1 zunächst einen Fluss stromaufwärts und danach stromabwärts. Die Fließgeschwindigkeit u des Flusses ist konstant. Die Schiffsgeschwindigkeit relativ
zur Fließgeschwindigkeit u lautet
stromaufwärts
stromabwärts
w1
w2 .
und
In beiden Fällen soll die Fahrzeit des Schiffes zwischen Ab- und Anlegestelle gleich groß
sein. Berechnen Sie mittels nachstehender Größen die jeweilige Widerstandskraft FW und die
hierfür erforderliche Leistung P.
Abb. 12.6.1 Flussschiff
Lösung zu 12.6
Aufgabenerläuterung
Die Lösung der Fragen wird mit den Grundlagen der Plattengrenzschichtberechnung ermöglicht, da bei der nur geringen Krümmung des Schiffsrumpfes kein diesbezüglicher Einfluss zu
erwarten ist. Die zentrale Frage ist zunächst, die Beschaffenheit der Grenzschichtströmung
festzustellen, d.h. ob sie laminar, turbulent oder auch laminar und turbulent ist. Hierbei spielt
die Geschwindigkeit w des Schiffs im bewegten „Relativsystem“ des Flusses eine zentrale
Rolle. Nach Klärung der Grenzschichtbeschaffenheit lassen sich dann die Fragen nach Widerstandskraft und Leistung beantworten.
Gegeben:
A = 480 m2 ; L = 80 m ; c1
m2
kg
6
;
Q
=
1
10
.
W
m3
s
U W = 998
Gesucht:
c 2 = 20
1.
FW1 ;
P1
2.
FW2 ;
P2
km
km
; u = 3,6
;
h
h
12. Grenzschichtströmungen
Anmerkungen:
401
- Aufgrund einer nur geringfügigen Krümmung des Schiffsrumpfes
können die Gesetze der Plattenreibung angewendet werden.
- Die flüssigkeitsbenetzte Oberfläche sei „hydraulisch glatt, d.h.
k S / L o 0 “.
Lösungsschritte
& & &
Allgemein gilt c1 u1 w1 . D.h. die von einem ruhenden System (hier das Flussufer) aus zu
&
beobachtende Geschwindigkeit c eines Körpers (hier das Schiff), der sich mit der Geschwin&
&
digkeit w relativ zur Systemgeschwindigkeit (hier der Fluss) u bewegt, setzt sich aus der
&
&
Vektoraddition von w und u zusammen. Diese Gegebenheiten sind in Abb. 12.6.1 für beide
Fahrtrichtungen des Schiffes zu erkennen. Die Forderung einer gleich bleibenden Fahrzeit für
die zurückzulegende Fahrtstrecke (im Absolutsystem) beinhaltet, dass für die Hin- und Rückfahrt die Absolutgeschwindigkeit c gleich bleiben muss, also c1 c 2 sein muss.
1. FW1 ; P1 (stromaufwärts)
FW1 :
Zur Widerstandskraft FW1 gelangt man mit der auf die vorliegenden Verhältnisse angepassten
allgemeinen Gleichung über- oder umströmter Körper
U 2
U
oder hier FW1 c W1 A
FW c W A
cf
w12 .
2
2
Die für die Grenzschichtentwicklung und die Widerstandskraft verantwortliche Geschwindig&
keit ist im vorliegenden Fall die Relativgeschwindigkeit w des Schiffs gegenüber der Fließ&
geschwindigkeit u des Flusses. Bei Verwendung der Beträge dieser Größen lassen sich die
für die weiteren Berechnungen benötigten Werte ermitteln.
Im Fall der Fahrt stromaufwärts folgt w1 c1 u . Mit den gegebenen Größen führt dies zu
w1
20 3,6
23,6
km
h
oder
w1
23600 m
3600 s
und somit
w1
6,55
m
.
s
Der noch unbekannte Widerstandsbeiwert c W1 kann erst dann berechnet werden, wenn Klarheit über die Grenzschichtart (laminar ; turbulent ; z.T. laminar und z.T. turbulent) herrscht.
Hier hilft die Lage des Umschlagpunktes x Kr weiter, wo der Wechsel von laminarer zur turbulenten Grenzschichtströmung stattfindet.
cf x Kr
x Kr erhält man mittels Re Kr
3 y 5 105 , wobei Re Kr = 400000 gewählt und
Q
Re Kr Q
c f { w1 gesetzt wird nach einer Umstellung aus x Kr
. Unter Verwendung der
w1
400000 1
0,060 m .
gegebenen Zahlenwerte lautet dann x Kr
6,55 106
Dies bedeutet, dass die Grenzschicht nur über 60 mm Länge laminar ausgebildet ist. Bei insgesamt L = 80 m kann dieser Bereich vernachlässigt werden und die weiteren Berechnungen
erfolgen für eine ausschließlich turbulente Grenzschicht über der gesamten Schiffslänge.
402
12. Grenzschichtströmungen
Im Fall „hydraulisch glatter“ Oberflächen bei turbulenten Plattengrenzschichten lässt sich c W1
0,0303
berechnen, wobei die ReL-Zahl mit cf { w1 und der Länge L definiert
1
Re L 7
6,55 80
w1 L
lautet. Mit vorliegenden Zahlen führt dies zu Re L1
106
ist, also Re L1
1
Q
0,0303
0,0303
und
eingesetzt erhält man c W
oder Re L1 = 5,24 108 . In c W
1
1
Re L 7
5,24 108 7
folglich c W1 = 0,001721. Dies führt unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlenwerte zu
durch c W
der gesuchten Widerstandskraft FW1
FW1
0,001721 480
998
6,552 oder schließlich:
2
17687 N
P1 :
Die Definition der mechanischen Leistung P
zu P1
F
c im vorliegenden Fall angewendet führt
FW1 w 1 . Dann berechnet man P1 zu P1 17687 6,55 oder
PW1 = 115850 W = 115,9 kW.
2. FW2 ; P2 (stromabwärts) :
Analog zu FW1 ; P1 erfolgt nun die Berechnung von FW2 ; P2 . Der wesentliche Unterschied aller
betroffenen Größen stellt sich durch die veränderte Geschwindigkeit w2 ein. Bei der Fahrt
stromabwärts folgt w 2 c 2 u . Mit den gegebenen Größen führt dies zu
w2
20 3,6
16,4
km
h
oder
w2
16400 m
3600 s
und somit
w2
4,55
m
.
s
FW2 :
400000 1
400000 Q
oder x Kr
0,088 m.
4,55 106
w2
Dies bedeutet, dass die Grenzschicht nur über 88 mm Länge laminar ausgebildet ist. Bei insgesamt L = 80 m kann dieser Bereich vernachlässigt werden und die weiteren Berechnungen
erfolgen für eine ausschließlich turbulente Grenzschicht über der gesamten Schiffslänge.
Umschlagspunkt am Schiff stromabwärts x Kr
Re L 2
w2 L
Q
Re L 2
4,55 80
106
1
c W2
Reynoldszahl am Schiff stromabwärts
0,0303
3,64 108
1
7
3,64 108 . Re L 2 in c W
0,0303
Re L
und folglich
c W2 = 0,001813.
1
7
eingesetzt führt zu
12. Grenzschichtströmungen
403
Die Widerstandskraft am Schiff stromabwärts FW2
FW2
0,00179 480
c W2
A
U
2
w 22 erhält man zu
998
4,552 oder
2
FW2
8990 N .
P2 :
P2
FW2
w2
P2
8990 4,55
Mechanische Leistung am Schiff stromabwärts oder hier
P2
40905 W { 40,9 kW
404
12. Grenzschichtströmungen
Aufgabe 12.7 Luftschiff
¥1.
¥2.
¥3.
h
hh
h
3 min
6 min
1 min
3 Punkte
6 Punkte
1 Punkte
Von einem Luftschiff sind die Länge L, die gesamte Oberfläche A und deren Sandrauhigkeit
kS bekannt ebenso wie die Geschwindigkeit cf , die Luftdichte U und Luftviskosität Q. Zunächst ist zu klären, an welcher Stelle x Kr der Umschlag der laminaren in die turbulente
Grenzschicht erfolgt. Hierauf aufbauend sollen die Widerstandskraft FW an der Oberfläche A
und die erforderliche Leistung P zur Bereitstellung von FW ermittelt werden.
Lösung zu 12.7
Aufgabenerläuterung
Detaillierte Berechnungen zu den gesuchten Größen sind erst dann möglich, wenn von der
Beschaffenheit der Grenzschicht über der gesamten Länge des Luftschiffs Klarheit besteht.
Dies ist unter der Voraussetzung nur geringer Krümmung der Außenkontur mit der kritischen
Reynoldszahl Re Kr der Plattengrenzschichtströmung möglich.
Gegeben:
L = 150
A = 15000
kS = 1,5
cf = 100
Q
= 15 * 10-6
U = 1,22
Gesucht:
1.
m
m2
mm
km
h
m2
s
kg
m3
x Kr
2. FW
3. P
Anmerkungen:
- Die anschließenden Berechnungen erfolgen unter der o.g. Voraussetzung
mit den betreffenden Plattengrenzschicht- und Plattenwiderstandsgesetzen.
- Einflüsse der Gondel auf die Grenzschichtausbildung seien von
untergeordneter Bedeutung.
x Kr c f
3 y 5 105
- Re Kr
Q
12. Grenzschichtströmungen
405
Lösungsschritte
1. x Kr :
Der Umschlagspunkt von der laminaren in die turbulente Grenzschicht, d.h. die Stelle xKr
vom vorderen Staupunkt der Platte ( { Luftschiff) aus gezählt, lässt sich durch Umstellen von
x Kr c f
Re Kr Q
Re Kr
nach der gesuchten Stelle x Kr
feststellen. Verwendet man aus
Q
cf
dem o.g. Zahlenbereich Re Kr = 400000 und formt die Geschwindigkeit cf dimensionsgerecht
um zu
km
h
100000 m
3600 s
cf
100
x Kr
4 105 15
27,78 106
27,78
m
, so führt dies zu
s
0,216 m oder
x Kr = 21,6 cm.
Gemessen an der Gesamtlänge L ist folglich der Bereich laminarer Grenzschicht verschwindend klein. Die weiteren Berechnungen werden somit für ausschließlich turbulente Grenzschichten durchgeführt.
2. FW :
Allgemein kann die Widerstandskraft an umströmten Plattenoberflächen oder von Körpern
unterschiedlichster geometrischer Formen mit der Widerstandsgleichung
FW
cW
A
U
2
cf2
A
ermittelt werden. Hierin sind im vorliegenden Fall
die abgewickelte, von c f einseitig überströmte Luftschiffoberfläche,
k ·
§
c W = f ¨ Re L ; S ¸
L¹
©
cf L
Re L
Q
kS
L
der Widerstandsbeiwert der turbulenten Plattengrenzschicht,
die auf die Gesamtlänge L bezogene Reynoldszahl und
die auf die Gesamtlänge L bezogene Sandrauhigkeit.
Bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen erhält man zunächst:
Re L
27,78 150
106
15
2,78 108
sowie
kS
1,5
=
1,0 10 5
L 150000
Im Plattenreibungsdiagramm (Abb. 17.4) stellt man aufgrund der vorliegenden Re-Zahl und
k
des Rauhigkeitsverhältnisses S fest, dass eine „vollkommen raue“ Oberfläche vorliegt. Die
L
diesbezüglichen Widerstandsbeiwerte berechnet man mittels
cW
ª
§ k S ·º
«1,89 1,62 log¨ L ¸»
© ¹¼
¬
2 , 5
, wenn 10 6 kS
10 2 .
L
406
12. Grenzschichtströmungen
Unter Verwendung von
kS
= 1,0 10 5 folgt c W
L
>1,89 1,62
log 1,0 10 5
@
2 , 5
= 0,00317.
Zum Ergebnis von FW gelangt man schließlich wie folgt:
FW
0,00317 15000
1,22
27,782
2
FW
22384 N
3. P :
Die bei der Geschwindigkeit c f zur Bereitstellung von FW benötigte (mechanische) Leistung
bestimmt man aus dem betreffenden Gesetz P
zu P
22384 27,78 oder
P = 622 kW.
FW
c f . Dies führt mit vorliegenden Daten
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Grenzschichtablösung
In Kap. 12 wurde die Plattenströmung ohne Ablösung betrachtet. Da hier c a x c f konst.,
ist somit auch in der „Außenströmung“ der Druck p a x p f konstant. Dieser Druck prägt
sich auch der Grenzschicht auf. Über der Lauflänge (Koordinate x) bildet sich eine laminare,
eine turbulente oder eine laminare und turbulente Grenzschicht auf, die mit x ansteigt. Liegt
dagegen z.B. ein gekrümmtes Profil vor, so wird die Geschwindigkeit c a x der „Außenströmung“ verändert. Dies hat gemäß Bernoullischer Energiegleichung für die Stromfäden einen entsprechend veränderten Druck zur Folge, der in gleicher Weise auch in der Grenzschicht vorliegt. Bei gekrümmten Körpern, wie zum Beispiel
Zylinder, Kugel
Tragflügel,
sonstige Körper
wird durch die Stromlinienverdichtung (bzw. Stromlinienerweiterung) der Druck in der Außenströmung (gemäß Bernoulli) verkleinert bzw. vergrößert. Diese Druckreduzierung bzw.
-erhöhung der Außenströmung ist in gleicher Weise, wie oben gesagt, auch in der Grenzschicht vorhanden. Im Fall des Druckanstiegs bei Geschwindigkeitsverzögerungen in der Außenströmung kann es in der Grenzschicht selbst zur Strömungsablösung kommen. Dies ist auf
die dort kleinere Geschwindigkeit gegenüber der Außenströmung zurückzuführen. Die Geschwindigkeitsenergie in der Grenzschicht ist durch den Druckanstieg am Ablösungspunkt
aufgezehrt, was dort dann zu ihrer Ablösung von der Wand und danach zu einem mit Wirbeln
durchsetzten Bereich führt. In diesem „Totwassergebiet“ erreicht der Druck nicht mehr die
Werte vor dem Körper, und es stellt sich ein aufgrund der Grenzschichtablösung bedingter
Druckunterschied ein. Hierbei sind turbulente Grenzschichten (völligeres Profil) weniger anfällig als die laminaren. Die Einflüsse von Strömungsablösungen auf die Druckverteilungen
von umströmten Körpern können am einfachsten aufgrund von Versuchen festgestellt werden.
Man erhält durch die Schubspannung in der Grenzschicht und des Weiteren durch die Wirkung des Druckunterschieds infolge der Strömungsablösung die gesamte Widerstandskraft
des Körpers zu
FW FWR FWD
.
FWR
Schubspannungswiderstand (Reibung in der Grenzschicht)
FWD
Druckspannungswiderstand (aufgrund von Grenzschichtablösung)
Einen Eindruck über die angenäherte prozentuale Verteilung dieser beiden Widerstandsanteile
bei verschiedenen angeströmten Körpern vermittelt nachstehende Tabelle.
Körper
FWR
7
Tragfläche (Re 10 )
Flugzeug (gesamt)
Pkw
Längs angeströmte Platte
Quer angeströmte Platte
Kugel, Zylinder
| 80 – 95 %
50 %
|
10 %
|
100 %
|
0%
|
10 %
|
FWD
| 5 – 20%
50 %
|
90 %
|
0%
|
100 %
|
90 %
|
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_13,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
408
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Zylinderumströmung (quer angeströmt, hydraulisch glatt, inkompressibles Fluid)
Unter Zugrundelegung reibungsbehafteter Strömung bildet sich ab dem Staupunkt bis zum
Ablösungspunkt eine Grenzschicht an der Zylinderoberfläche aus, die bei Unterschreitung einer Reynoldszahl
Re f d 2 *105
cf D
Q
mit
Re f
cf
Anströmgeschwindigkeit
D
Zylinderdurchmesser
Q
kinematische Viskosität des Fluids
immer laminar ist. Nachteilig erweist sich die laminare Grenzschicht durch ihre frühe Ablösung von der Zylinderoberfläche. Dies bewirkt aufgrund vergrößerter Totwasserzonen und
Druckunterschiede am Zylinder einen hohen Druckspannungswiderstand FWD und somit auch
eine große Gesamtwiderstandkraft und demzufolge auch Widerstandsbeiwert
FW
cW
A
cW A
U
2
cf .
2
Widerstandsbeiwert des quer angeströmten Zylinders
Bezugsfläche, hier Schattenfläche des quer angeströmten
D L
Zylinders
L
Zylinderlänge
U
Fluiddichte
Bei Vergrößerung der Reynoldszahl findet ein Umschlag der laminaren zur turbulenten
Grenzschicht statt, d.h. die laminare Schicht kann sich nur in einem begrenzten Bereich um
den Staupunkt herum halten. Diesen Grenzschichtwechsel hat man beim Zylinder in folgendem Re-Bereich experimentell festgestellt:
2 *105 Re f 5 *105 .
Ab dem Umschlagspunkt von der laminaren zur turbulenten Grenzschicht bleibt diese wegen
ihres höheren kinetischen Energieinhalts bedeutend länger an der Zylinderoberfläche bestehen, bis es zur Ablösung kommt. Der resultierende geringere Druckunterschied am Zylinder,
einhergehend mit einer ebenfalls kleineren Totwasserzone reduzieren die Gesamtwiderstandskraft FW , was entsprechend geringere Widerstandsbeiwerte nach sich zieht.
Das Widerstandsverhalten quer angeströmter Zylinder wurde in umfangreichen experimentellen Untersuchungen ermittelt. Die Ergebnisse sind als Diagramm
cW
f (Ref )
dargestellt und können dem Anhang (Abb. 17.5) entnommen werden.
13. Umströmung von Profilen und Körpern
409
Kugelumströmung (hydraulisch glatt, inkompressibles Fluid)
Die Kugelumströmung (räumliches Problem) verläuft in den prinzipiellen Vorgängen ähnlich
wie die der ebenen Zylinderumströmung. Im Fall sehr kleiner Durchmesser, Geschwindigkeiten und großer Viskositäten, also Re <<, hat „Stokes“ das Gesetz der schleichenden Kugelumströmung auf theoretischer Basis wie folgt hergeleitet:
cW
Ref
24
,
Re f
wenn
Ref 1
cf D
.
Q
cf
Anströmgeschwindigkeit
D
Kugeldurchmesser
Q
kinematische Viskosität des Fluids
Laminare Grenzschicht (unterkritischer Bereich) besteht bis
Re f 2 *105 .
Der Grenzschichtwechsel an der Kugeloberfläche liegt in folgendem Re-Bereich vor:
2 *105 Ref 4 *105 .
Aus den schon genannten Gründen stellt sich auch bei der umströmten Kugel beim Umschlag
der laminaren in die turbulente Grenzschicht eine massive Verkleinerung der Gesamtwiderstandskraft ein, was sich in entsprechender Weise auf den cW-Wert auswirkt. FW ermittelt man
aus
FW
cW
A
U
cW A
U
2
cf .
2
Widerstandsbeiwert der angeströmten Kugel
S
D2
4
Bezugsfläche, hier Schattenfläche der angeströmten Kugel
Fluiddichte
Die aufgrund von Versuchen festgestellten cW-Werte umströmter glatter Kugeln in Abhängigkeit von der Reynoldszahl
cW
f (Ref )
sind ebenfalls im Anhang (Abb. 17.5) dargestellt.
410
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Tragflügelumströmung
Tragflügel werden geometrisch aus Konturen unterschiedlicher Krümmungen an den Oberund Unterseiten geformt. Auch nicht profilierte prismatische Platten oder symmetrische Profile mit Schrägstellung zur Strömungsrichtung wirken als Tragflügel. Die Umströmung oben
genannter Tragflügel oder -flächen ruft sowohl
Auftriebskräfte
Widerstandskräfte
FA
FW
als auch
hervor.
Die Auftriebskräfte bei realer Fluidumströmung an den Tragflächen macht man sich in der
technischen Anwendung auf verschiedene Weise zunutze (Flugzeugtechnik, Strömungsmaschinen). Allen Anwendungen gemeinsam ist, dass FA möglichst groß, dagegen FW möglichst klein sein sollen. Die Entstehung der Auftriebs- oder auch Querkräfte lässt sich aus dem
Zusammenwirken zweier verschiedenartiger Potentialströmungen
Parallelströmung
Zirkulationsströmung
beweisen. Der Nachweis der Widerstandskraft ist erst mit den Kenntnissen der Grenzschichten möglich geworden. Die theoretischen Berechnungsmöglichkeiten sollen hier nicht erörtert
werden. Im Weiteren werden die Ergebnisse der experimentellen Untersuchungen zu den
Auftriebs- und Widerstandskräften an umströmten Tragflächen zusammengestellt und ihre
wichtigsten Abhängigkeiten aufgezeigt.
Auftriebskraft
FA senkrecht zu c f wirkend:
FA
Widerstandskraft
c A A Fl
U 2
cf
2
FW parallel zu c f wirkend:
FW
c W A Fl
U 2
cf
2
Resultierende Kraft
FR =
A Fl
³ L b * db
Lb
A Fl
FA2 FW2
Tragflügelfläche
Flügellänge, Flügeltiefe
L*b
Rechteckflügel
b
Flügelbreite
U
Fluiddichte im Zustrom
cf
Anströmgeschwindigkeit
13. Umströmung von Profilen und Körpern
411
Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte cA und cW als dimensionslose Kennzahlen sind keine
Konstanten. Sie hängen ab von:
cA , cW
cA , cW
cA , cW
cA , cW
cA , cW
f (Profil)
Form
f (G)
Anstellwinkel
f ( Re )
Reynoldszahl
f ( Ma )
k
f( S )
L
Machzahl
bezogene Rauhigkeit
Die optimale Konstellation bei der Forderung nach möglichst großen Auftriebskräften und
dabei gleichzeitig geringsten Widerstandskräften wird mit der günstigsten Gleitzahl H erreicht.
H
tan J
FW
FA
cW
cA
Bei der Darstellung der ausgewerteten Versuchsergebnisse haben sich zwei Varianten als
sinnvoll erwiesen:
Variante 1:
Aufgelöstes Polardiagramm
s. Anhang (Abb. 17.6)
Hier sind bei konstanten Größen Re f , Profil, Rauhigkeit, Ma u.a. die Zusammenhänge
c A f G , c W f G und H f G als prinzipielle Kurvenverläufe zu erkennen.
Variante 2:
s. Anhang (Abb. 17.6)
Polardiagramm
In diesem Fall wird ebenfalls bei konstanten Größen Re f , Profil, Rauhigkeit, Ma u.a. der
prinzipielle Zusammenhang c A
f c W mit den verschiedenen Anstellwinkeln G als Kurven-
punkte gezeigt.
Wenn im „Aufgelösten Polardiagramm“ die günstigste Gleitzahl im Berührpunkt der horizontalen Tangente an den Verlauf H f G zu finden ist, so gewinnt man im „Polardiagramm“
diesen Wert mittels Tangente vom Ursprung an die Polare. Die Einflüsse auf die Polaren
durch Reynoldszahl, Rauhigkeiten, endliche Flügelbreite, Vorturbulenzen und Machzahl
sollen hier nicht besprochen werden. Siehe hierzu die einschlägige Literatur.
Umströmung anderer Körper
Im Vordergrund stehen hier Betrachtungen zu Widerstandskräften FW an beliebig geformten
Körpern. FW setzt sich im Allgemeinen aus einem Oberflächenwiderstand FWR durch Reibungseinflüsse in der Grenzschicht und aus einem Formwiderstand FWD aufgrund des
Druckunterschieds durch Strömungsablösung (Totwassergebiet) zusammen.
FW
FWR FWD
412
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Je nach Körperform sind die zwei Anteile verschieden groß ausgebildet. Bei schlanken Körpern überwiegt FWR , bei stumpfen dagegen FWD . Die praktische Anwendung bevorzugt das
nachstehende Gesetz, in welchem beide Widerstandsanteile erfasst sind, wobei auf die korrekte Bezugsfläche A zu achten ist.
FW
cW A
U 2
cf .
2
cf
U
cW
A
Anströmgeschwindigkeit
Fluiddichte im Zustrom
Widerstandsbeiwert des angeströmten Körpers (s. Tab. 17.3)
Bezugsfläche wie folgt:
Längs angeströmte Platte
A
L B
Tragflügel
A
A Fl
Kugel
A
Quer angeströmter
Zylinder
A
Beliebiger anderer Körper
A
(benetzte Oberfläche)
³ L b * db
S
D2
4
D L
(projizierte Fläche)
(Schattenfläche)
(Schattenfläche)
(Schattenfläche)
Freier Fall mit Strömungswiderstand
Das Thema behandelt Bewegungsgesetze eines Körpers, der von einem angenommenen Ruhezustand aus aufgrund der Erdbeschleunigung in atmosphärischer Umgebung herabfällt. Am
Körper wirken dabei die Gewichtskraft in und die Widerstandskraft entgegen Bewegungsrichtung, wobei von der Auftriebskraft infolge der verdrängten Luftmasse abgesehen wird. Die
beiden genannten Kräfte sind in ihrem Zusammenwirken für die Beschleunigung des Körpers
verantwortlich gemäß ¦ Fi m a . Die Beschleunigung setzt sich theoretisch unendlich lan-
ge fort. In diesem Sonderfall t f herrscht dann Gleichgewicht zwischen Gewichts- und
Widerstandskraft, woraus sich wiederum cf ermitteln lässt. Tatsächlich wird schon nach Erreichen einer definierten Geschwindigkeit cA = 0,99 cf von stationären, also zeitunabhängigen Gegebenheiten ausgegangen. Bei der Herleitung nachfolgender Gesetze geht man von einem konstanten Widerstandsbeiwert c W aus. Bei diesen Gesetzen handelt es sich um folgende Zusammenhänge:
- Endgeschwindigkeit cf
- Geschwindigkeit c(t) in Abhängigkeit von der Fallzeit t
- Zurück gelegter Weg x(t) in Abhängigkeit von der Fallzeit t
Endgeschwindigkeit c f :
cf
m
g
2 m g
U cW A
Körpermasse
Erd-, Fallbeschleunigung
13. Umströmung von Profilen und Körpern
U
cW
A
413
Fluiddichte
Widerstandsbeiwert des Körpers
Schattenfläche des Körpers senkrecht zur Fallrichtung
Geschwindigkeit c(t) in Abhängigkeit von der Fallzeit t:
c( t )
§ g
·
cf tanh ¨¨
t ¸¸
© cf ¹
Zurück gelegter Weg x(t) in Abhängigkeit von der Fallzeit t:
x(t)
ª
§ g
cf2
ln «cosh ¨¨
g
© cf
¬
·º
t ¸¸»
¹¼
414
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Aufgabe 13.1 Sinkende Kugeln
¥1.
¥2.
hh
hh
12 min
11 min
12 Punkte
11 Punkte
Zwei Kugeln unterschiedlicher Dichte sollen mit quasi-konstanter, gleich großer Geschwindigkeit in einer Flüssigkeit nach unten sinken. Gesucht wird zunächst das Durchmesserverhältnis der beiden Kugeln, um die Geschwindigkeitsgleichheit bei gegebenen Stoffdaten der
Kugeln und der Flüssigkeit zu erreichen. Das Verhältnis der Widerstandsbeiwerte ist dabei
bekannt. Weitere wichtige Größen des Sinkvorgangs der Kugeln sind ebenfalls Gegenstand
der Aufgabe.
Abb. 13.1.1 Zwei in einer Flüssigkeit sinkende Kugeln
Lösung zu 13.1
Aufgabenerläuterung:
Der Sinkvorgang eines Körpers ab der Oberfläche einer Flüssigkeit beginnt zunächst mit einer
instationären Beschleunigungsphase, bis eine (nahezu) konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht ist. Hiernach sind keine wesentlichen Beschleunigungskräfte mehr wirksam, und es stehen nur noch Gewichts-, Auftriebs- und Widerstandskraft im Gleichgewicht. Für diese Phase
der „quasi-stationären“ Kugelbewegung durch eine ruhende Flüssigkeit ist die Aufgabenstellung zu verstehen.
c
Gegeben:
D1 ; U1 ; U2 ; UFl. ; W1 ;
c W2
Gesucht :
D1
D2
2. D2 ; cf1
1.
U1
2560
cf 2 ; Re1 ; Re 2 ; c W1 ; c W2 bei nachstehenden Daten:
kg
; U2
m3
D1 = 50 mm ;
c W1
c W2
7800
kg
; UFl.
m3
= 1,22 .
1000
kg
;Q
m3
1 10 6
m2
s
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Anmerkungen:
415
- Bei einem erforderlichen Iterationsvorgang soll der Startwert c W11
1,0
gewählt werden.
Lösungsschritte:
D1
:
D2
1.
Um das gesuchte Durchmesserverhältnis und somit auch den Einzeldurchmesser D2 zu ermitteln, müssen Ansätze für dieses System verwendet werden, in denen direkt oder indirekt die
genannten Größen enthalten sind. Das Kräftegleichgewicht an den gleichmäßig sinkenden
Kugeln liefert hier die erforderlichen Zusammenhänge.
Abb. 13.1.2 Kräfte an einer sinkenden Kugel
Das Kräftegleichgewicht in z-Richtung an den Kugeln liefert gemäß Abb. 13.1.2
n
¦F
n
¦F
iz 1
0
iz2
FG1
g m1
FG 2
g m2
FW1
FG1 FA1
FG 2 FA 2 FW2 oder FW2
FG 2 FA 2
FG1 FA1 FW1
0
oder
Gewichtskraft der Kugel 1
Gewichtskraft der Kugel 2
m1 U1 V1
m 2 U2 V2
FA1 UFl. g V1
Masse der Kugel 1
Masse der Kugel 2
hydrostatische Auftriebskraft an der Kugel 1
UFl. g V2
hydrostatische Auftriebskraft an der Kugel 2
FA 2
V1
V2
S
D13
6
S
D32
6
Volumen der Kugel 1
Volumen der Kugel 2
416
13. Umströmung von Profilen und Körpern
A1
UFl.
cf2 1
2
U Fl. 2
cf2
2
Widerstandskraft an der Kugel 1
FW1
c W1
FW2
c W2 A 2
A1
S
D12
4
Bezugsfläche (Schattenfläche) der Kugel 1
A2
S
D 22
4
Bezugsfläche (Schattenfläche) der Kugel 2
Widerstandskraft an der Kugel 2
Diese Zusammenhänge zunächst für die Kugel 1 in das Kräftegleichgewicht eingesetzt ergibt
c W1
S
UFl. 2
D12
c f1
4
2
g U1
S
S
D13 g UFl
D13
6
6
g
S
D13
6
U1 UFl .
Kürzen und Auflösen liefert für c f2 1
cf2 1
·
§U
4
1
.
g ¨¨ 1 1¸¸ D1
3
U
c
W1
¹
© Fl
Analog hierzu erhält man für Kugel 2
cf2 2
·
§U
4
1
.
g ¨¨ 2 1¸¸ D 2
3
U
c
W2
¹
© Fl
Da cf1
·
§U
4
1
g ¨¨ 1 1¸¸ D1
3
c W1
¹
© UFl
cf 2 und somit auch c f2 1
cf2 2 sein soll, wird
·
§U
4
1
.
g ¨¨ 2 1¸¸ D 2
3
c W2
¹
© U Fl
Nach Kürzen geeigneter Größen und Umstellung zum gesuchten Verhältnis
D1
D2
gelangt man zu
D1
D2
§ U2
·
¨¨
1¸¸
© UFl
¹ c W1 .
§ U1
· c W2
¨¨
1¸¸
© UFl
¹
Unter Verwendung der gegebenen Zahlenwerte ermittelt man
D1
D2
§ 7800 ·
1¸
¨
© 1000 ¹ 1,22
§ 2560 ·
1¸
¨
© 1000 ¹
oder
D1
= 5,32
D2
D1
zu nachstehendem Wert:
D2
13. Umströmung von Profilen und Körpern
2. D2 ; cf1
417
cf 2 ; Re1 ; c W1 ; Re 2 ; c W2
D2 :
Den Durchmesser der kleineren Kugel berechnet man aus D2 =
9,40 mm .
D2
c f1
50
D1
zu
=
5,32
§ D1 ·
¸¸
¨¨
© D2 ¹
cf 2 ; Re1 ; c W1 ; Re 2 ; c W2 :
Zur Feststellung der Sinkgeschwindigkeit cf1
·
§U
4
1
g ¨¨ 1 1¸¸ D1
3
c
U
W1
¹
© Fl
cf2 1
·
§ U1
¨¨
1¸¸
U
¹
© Fl.
4
g D1
3
c f1
cf 2 wird o.g. Gleichung verwendet
und die Wurzel gezogen. Dies liefert
1
.
c W1
Da die gesuchte Geschwindigkeit im vorliegenden Fall nur noch von cW abhängt, cW aber eine Funktion von der Re-Zahl ist, in der wiederum die Geschwindigkeit enthalten ist, wird ein
Iterationsverfahren erforderlich. Hierzu berechnet man sich mit den vorgegebenen Größen
4
§ 2560
·
1¸
9,81 0,05 ¨
3
1000
©
¹
c f1
1
c W1
c f1
1. Iterationsschritt c W1 1
c f1
Re11 =
c f1
D1
1
Q
=
1,0101
1
m
.
c W1 s
1,0 :
1
1,0
1,0101
1
oder
oder
1,0101 0,05
106
1
oder
c f1
1,0101
1
Re11 = 50503
Aus cW = f(Re) gemäß Abb. 17.5 für umströmte Kugeln folgt c W1 2
2. Iterationsschritt c W1 2
c f1
Re12 =
c f1
D1
2
Q
=
0,50 .
0,50 :
1
0,50
1,0101
2
m
s
1,428 0,05
106
1
oder
oder
c f1
1,428
2
m
s
Re12 = 71418
Aus cW = f(Re) gemäß Abb. 17.5 für umströmte Kugeln folgt c W1 3
0,50 .
418
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Es besteht also kein Unterschied zum vorangegangenen Wert. Somit erhält man
cf1
cf 2
1,428
m
s
Re 1 = 71425
c W1
0,50 .
Die restlichen noch unbekannten Größen lassen sich jetzt ebenfalls berechnen:
Re2 =
c W2
cf 2 D 2
Q
c W1
§ c W1
¨
¨ cW
© 2
·
¸
¸
¹
=
=
1,428 0,0094
106
1
0,50
1,22
Re2 = 13423
c W2
0,41
13. Umströmung von Profilen und Körpern
419
Aufgabe 13.2 Quecksilberbehälter
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
18 min
4 min
3 min
4 min
hhh
h
hh
hh
18 Punkte
4 Punkte
3 Punkte
4 Punkte
Ein mit Quecksilber (Hg) gefüllter zylindrischer Stahlbehälter fällt ins Wasser. Der Behälter
ist seitlich mit Deckeln verschlossen (in Abb. 13.2.1 nicht erkennbar). Der Zylinder taucht in
das Wasser ein und sinkt nach unten. Hierbei soll der Bewegungsvorgang ab der in Abb.
13.2.1 dargestellten Nulllage beginnen. Bei bekannten Behälterabmessungen sowie den Dichtewerten des Wassers, Quecksilbers und Stahls soll die stationäre Sinkgeschwindigkeit cf
ermittelt werden. Ebenfalls gesucht wird die Zeit tA und Strecke xA der so genannten Anlaufphase.
Abb. 13.2.1 Gefüllter zylindrischer Stahlbehälter
Lösung zu 13.2
Aufgabenerläuterung
In der in Abb. 13.2.1 benannten Nulllage beginnt vereinbarungsgemäß der Sinkvorgang. Am
Behälter wirken drei Kräfte, deren Resultierende nach Newton die Beschleunigung des Behälters bewirkt. Bei den drei Kräften handelt es sich um die Gewichtskraft FG, die hydrostatische
Auftriebskraft FA und die Widerstandskraft FW aufgrund der Bewegung durch das ruhende
Wasser. Mit zunehmender Sinkgeschwindigkeit wird die Trägheitskraft kleiner. Bei konstanter Masse verringert sich entsprechend die Beschleunigung. Eine konstante Endgeschwindigkeit cf wird aber erst mit t f erreicht. Um eine quasi-stationäre Sinkbewegung zu definieren, wird eine Geschwindigkeit cA = 0,99 * cf festgelegt, die also nur noch um 1 % vom
Endwert cf variiert. Die Restbeschleunigung ist folglich von untergeordneter Bedeutung und
wird vernachlässigt. Unter dieser Voraussetzung stehen dann nur noch die drei genannten
420
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Kräfte im Gleichgewicht. Die Phase vom Beginn der Sinkbewegung bis zum Erreichen der
Geschwindigkeit cA wird als Anlaufphase bezeichnet. Diese schließt mit der Zeit tA, der zurück gelegten Strecke xA und der Geschwindigkeit cA = 0,99 * cf ab.
Gegeben:
1.
U W ; UHg ; Uz ; g ; ra ; s ; c W
UW
2. Daten:
ra
kg
m3
m
50 mm ; s = 10 mm ; cW = 0,33 ; g = 9,81 2
s
1000
kg
; UHg
m3
13560
kg
; UZ
m3
7800
1. cf
2. cf bei den gegebenen Daten
3. tA Anlaufzeit
4. xA Anlaufstrecke
Gesucht:
Anmerkungen:
- Annahme: cW = konstant
- Bewegung beginnt gemäß Abb. 13.2.1 ab der Nulllage.
- x-Koordinate zählt entgegen üblicher Praxis senkrecht nach unten.
- Das Gewicht der seitlichen Deckel wird vernachlässigt.
Gleichungen:
tA =
cf
g
xA =
cf2
g
§c ·
mit
Ar tanh ¨¨ A ¸¸
© cf ¹
ª
§ g t A ·º
¸¸» mit
ln «cosh¨¨
© cf ¹¼
¬
Ar tanh z
ln
1 z
1 z
cosh (z ) =
1
2
§ z 1·
¨e z ¸
e ¹
©
Lösungsschritte
1. cf :
Das Kräftegleichgewicht in der festgelegten x-Richtung am mit cf stationär sinkenden Behälter erkennt man in Abb. 13.2.2. Es lautet wie folgt:
p
¦F
x
0
FG FA FW .
Abb. 13.2.2 Kräfte am sinkenden Behälter
13. Umströmung von Profilen und Körpern
421
Umgeformt nach der Widerstandskraft FW, in der die gesuchte Geschwindigkeit cf enthalten
ist, folgt:
FW = FG - FA
Die Gesamtgewichtskraft FG ist die Summe des reinen Behälteranteils FG Z und des eingefüllten Quecksilbers FG Hg , also:
FG
FG Z FG Hg
FG Z
g mZ
Gewichtskraft des Hohlzylinders
mZ
UZ
VZ
FG Hg
S r r
g m Hg
m Hg
UHg
VHg
S
Masse des Hohlzylinders
Volumen des Hohlzylinders
Quecksilbergewichtskraft
VZ
2
a
2
i
L
VHg
2
i
r
Quecksilbermasse
Quecksilbervolumen
L
Diese Zusammenhänge in die Gesamtgewichtskraft eingesetzt führt zu:
FG
>U
g S L
Z
ra2 ri2 UHg
ri2
@
Die hydrostatische Auftriebskraft FA ermittelt sich aus dem vom Behälter verdrängten Wasservolumen wie folgt:
FA
g UW
VW
S r
2
a
VW
Verdrängtes Wasservolumen
L
Somit erhält man dann FA zu:
FA
g S L UW
ra2
Die Widerstandskraft des herabsinkenden Behälters folgt aus der Gleichung
UW
FW c W A
cf2 .
2
c W = konstant
Widerstandsbeiwert eines mit cf quer angeströmten Zylinders
A 2 ra L
Bezugsfläche eines quer angeströmten Zylinders (Rechteck).
Dies liefert für die Widerstandskraft FW
UW
FW c W 2 ra L
cf2 oder
2
FW c W ra L UW cf2 .
Werden nun alle mit den gegebenen Größen ausgedrückten Gleichungen im Kräftegleichgewicht installiert, so führt dies zunächst zu:
cW
ra
L UW
cf2
g S L
>U
Z
ra2 ri2 UHg
ri2 U W
ra2
@
422
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Jetzt wird c f2 durch Division mit c W
cf2
cW
>U
g S
ra U W
Z
ra2 U Z
U W auf der linken Gleichungsseite isoliert
ra
ri2 U Hg
ri2 U W
@
ra2 dargestellt. Sortiert man
in der Klammer Glieder gleicher Radien
g S
cf2
ra2 U Z U W ri2 U Hg U Z
c W ra U W
1
in die Klammer hinein, so folgt
und multipliziert
ra U W
>
cf2
g S
cW
ª ra2
«
¬ ra
@
§ UZ
· r2
¨¨
1¸¸ i
© UW
¹ ra
§ UHg U Z ·º
¸¸» .
¨¨
© U W U W ¹¼
Der Innenradius wird ersetzt mit ri = ( ra – s) und quadriert ri2
( ra - s) 2
ra2
(1 s 2
) .
ra
Durch Kürzen von ra
cf2
g S
cW
ª
« r2
«a
« ra
«¬
§ UZ
·
¨¨
1¸¸ © UW
¹
cf2
g S
cW
ª
«ra
¬
§ UZ
·
¨¨
1¸¸ ra
© UW
¹
ra2
(1 s 2
)
ra
ra
(1 s 2
)
ra
º
§ U Hg
U Z ·»
¨¨
¸¸» erhält man
© U W U W ¹»
»¼
§ UHg U Z ·º
¨¨
¸¸» .
© U W U W ¹¼
Anschließendes Wurzelziehen führt zum gesuchten Ergebnis:
cf
g S ra
cW
ª§ U Z
·
s
1¸¸ (1 ) 2
«¨¨
U
r
a
¹
© W
§ UHg U Z ·º
¨¨
¸¸»
© U W U W ¹¼
2. cf bei den gegebenen Daten:
Unter dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen kann man c f berechnen zu:
9,81 S 0,05 ª§ 7800
10 2
·
«¨ 1000 1¸ (1 50 )
0,33
¹
©
cf
cf
7,0
§ 13560 7800 ·º
¨
¸»
© 1000 1000 ¹¼
m
s
m
s
3. t A :
ªc º
cf
Ar tanh « » des instationären Bewegungsablaufs beim Fallen
g
¬ cf ¼
oder Sinken eines Körpers wird die Zeit der Anlaufphase tA unter Verwendung der definierten
Endgeschwindigkeit cA = 0,99 * c f ermittelt aus:
Mit der Gleichung t
tA
cf
g
ªc º
Ar tanh « A »
¬ cf ¼
13. Umströmung von Profilen und Körpern
423
Substituiert man der Einfachheit halber z =
wobei z =
tA
cf
g
cA
und verwendet Ar tanh (z) = ln
cf
1 z
,
1 z
cA
= 0,99, so kann man allgemein die Zeit der Anlaufphase tA bestimmen zu:
cf
ln
1 0,99
1 0,99
cf
g
ln 199
cf
g
ln 14,107
= 2,647
tA
2,647
cf
g
m
lautet dann die Zeit, bis zu
s
welcher der Behälter 99% der Endgeschwindigkeit c f erreicht hat:
7,00
t A 2,647
9,81
tA =1,89 s
Mit der oben festgestellten Sinkgeschwindigkeit cf
7,0
3. xA:
Die Strecke x, die ein fallender oder sinkender Körper in Abhängigkeit von der Zeit zurücklegt, folgt dem Gesetz
2
ª
§ g
·º
cf
t ¸¸» . Mit den Größen der Anlaufphase xA und tA ergibt sich
ln «cosh¨¨
x
c
g
© f
¹¼
¬
ª
§ g
·º
ln «cosh¨¨
t A ¸¸» . Setzen wir den oben gefundenen allgemeinen Ausdruck für
c
© f
¹¼
¬
tA ein, so liefert dies zunächst
ª
§ g
cf ·º
cf2
cf2
¸¸»
ln «cosh¨¨ 2,647
ln >cosh 2,647 @ .
xA
g
g
g ¹¼
© cf
¬
xA
cf
g
2
1 § z 1·
¨ e z ¸ und z = 2,647 gesetzt wird mit
2 ©
e ¹
1 § 2,647
1 ·
2,647 ¸ = 7,0913 die Anlaufstrecke
cosh 2,647 =
¨e
2 ©
e
¹
cf2
und somit der allgemeine Ausdruck für xA:
xA = ln 7,0913
g
= 1,9589
c f2
x A 1,9589
g
m
verwendet führt zum Ergebnis
Auch jetzt wieder die bekannte Geschwindigkeit cf 7,0
s
7,02
xA 1,9589
x A 9,79 m .
9,81
Mit cosh (z) =
424
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Aufgabe 13.3 Nebeltröpfchen
¥1.
h
9 min
9 Punkte
Beobachtet man bei Windstille Nebelformationen, so entsteht zunächst der Eindruck eines
zeitlich unveränderlichen Zustands. Dass dem nicht so ist, erfährt man durch eine Langzeitbeobachtung. Hierbei stellt man fest, dass die Tröpfchen sehr, sehr langsam abwärts sinken.
Kennt man nun die Sinkgeschwindigkeit sowie die Lufttemperatur und folglich luft- und wasserspezifischen Größen wie Dichte und Viskosität (Luft), so lässt sich die Größe der Nebeltröpfchen abschätzen. Dies soll in vorliegender Aufgabe geschehen.
Lösung zu 13.3
Aufgabenerläuterung
Im Unterschied zu fallenden Regentropfen oder Hagelkörnern liegt bei der hier vorliegenden
Thematik ein gänzlich anderer Strömungszustand um die „Kugeln“ vor. Diese sehr langsame
Kugelumströmung wurde von Stokes mit Hilfe der „Navier-Stokesschen-Gleichungen“ beschrieben. Sie ist in der Literatur als „Schleichende Strömung“ bekannt. Ein Ergebnis der Untersuchungen von Stokes ist der Widerstandsbeiwert cW von Kugeln bei „Schleichender Strömung“, den er in analytischer Form herleiten konnte. Die Widerstandsbeiwerte schnell fallender kugeliger Körper werden dagegen experimentell ermittelt und in Diagrammform (s. Anhang) dargestellt.
Gegeben:
1. Tröpfchendaten: c f
2. Luftdaten:
Gesucht:
-L
4
m
; UF
h
6 qC ; U L
999,75
1,21
kg
m3
(bei -
kg
; QL
m3
6qC ) ;
16,5 * 10 6
m2
s
Durchmesser D
Anmerkungen:
- Es wird von „Schleichender Kugelumströmung“, d.h. Re 1 ausge24
gangen. In diesem Fall gilt das Stokessche Gesetz: c W
.
Re
Eine spätere Kontrolle der Annahme wird natürlich erforderlich.
- Die Nebeltröpfchenform wird kugelig vorausgesetzt.
Lösungsschritte
Bei dem stationären Sinkvorgang der Nebeltröpfchen in der Luft herrscht Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft des Tröpfchens und der an ihm wirksamen Widerstandskraft:
FG
FG
m
V
FW
g m
UF V
S
D3
6
Kräftegleichgewicht
Gewichtskraft
Tröpfchenmasse
Tröpfchenvolumen
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Fw
cW
A
S
4
A
UL
2
cf2
D2
425
Widerstandskraft
Bezugsfläche, hier Kreisfläche als Projektion der Kugel
Setzt man alle Gleichungen in das Kräftegleichgewicht ein, so gelangt man zu
S
S
UL 2
g*
D3 UF c W
D2
˜ cf
6
4
2
und nach Kürzen und Zusammenfassen der Zahlenwerte
1
1 UL
g
D UF c W
cf2
3
2 2
zum Zwischenergebnis
D
3
4
UL
UF
1
g
c W ˜ c f2 .
Da im Fall der schleichenden Kugelumströmung nach Stokes ein Zusammenhang zwischen
24
cf D
mit Re
Widerstandsbeiwert cW und der Reynoldszahl Re in der Form c w
QL
Re
24 Q L
ersetzen. Dies liefert
besteht, lässt sich cW in oben stehender Gleichung durch c w
cf D
3 U L 1 24 Q L
*D
D
c f2 .
4 UF g cf D
Durch Multiplikation mit D und Zusammenfassen der Zahlenwerte folgt
UL 1
D 2 18
Q L cf .
UF g
Die Wurzel aus dieser Gleichung gezogen führt zu dem gesuchten Ergebnis in allgemeiner
Form:
D
18
UL
UF
1
g
QL
cf
Die gegebenen Zahlenwerte dimensionsgerecht eingesetzt liefern den Nebeltröpfchendurchmesser:
D
18
1,21
999,75
1
16,5
9,81 106
D
§ 4 ·
¨
¸
© 3600 ¹
6,4 10 6 m { 0,0064 mm
426
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Überprüfung der Annahme Re 1 :
Mit dem gefundenen Tröpfchendurchmesser lässt sich die Re-Zahl überprüfen. Man erhält
Re
Re
cf * D
QL
4
* 106 * 6,4
3600
16,5 * 106
0,00043 1 .
Hiermit ist die Bedingung der schleichenden Kugelumströmung nachgewiesen.
13. Umströmung von Profilen und Körpern
427
Aufgabe 13.4 Tragflügelboot
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
h
h
hh
hh
2 min
2 min
6 min
3 min
2 Punkte
2 Punkte
6 Punkte
3 Punkte
Ein Tragflügelboot ist gemäß Abb. 13.4.1 mit einem Bug- und einem Hauptflügel ausgestattet,
deren Abmessungen sowie die jeweils gleichartigen Profilformen gegeben sind. Das Boot
weist eine Gesamtgewichtskraft FGes. auf und bewegt sich mit der Geschwindigkeit cf durch
das Wasser. Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte der Profile sind in Abb. 13.4.2 und Abb.
13.4.3 dargestellt. Nachdem zunächst die am Boot angreifenden vertikalen Kräfte an den
markierten Punkten in ihrer Richtung einzutragen sind, ist dann die Frage nach dem Anstellwinkel der Tragflügel gegenüber der horizontalen Bewegungsrichtung des Bootes zu lösen. Es
ist weiterhin festzustellen, wie groß die hydrostatische Auftriebskraft und das vom Boot und
den Tragflügeln samt Halterungen verdrängte Wasservolumen werden.
Abb. 13.4.1 Tragflügelboot mit Bug- und Hauptflügel
Lösung zu 13.4
Aufgabenerläuterung
Bei der gestellten Aufgabe stehen die an umströmten Tragflügeln angreifenden Auftriebskräfte mit ihren Einflussgrößen im Vordergrund. Die gleichzeitig wirksamen Widerstandskräfte an
den Tragflügeln und dem Boot sind nicht Gegenstand der hier zu lösenden Fragen. Des Weiteren wird die Gesamtkräftebilanz in vertikaler Richtung benötigt, um die hydrostatische Auftriebskraft zu ermitteln. Da diese nach dem archimedischen Prinzip unmittelbar mit dem gesamten verdrängten Wasservolumen aller eingetauchten Körper zusammenhängt, soll dieses
Volumen ebenfalls bestimmt werden.
Gegeben:
Bugflügel:
LB = 1,80 m ;
Hauptflügel: LH = 2,12 m ;
cf
BB
BH
30,0 km/h ; FGes. = 2 500 000 N
= 8,60 m
= 14,50 m
U
1000
kg
m3
428
Gesucht:
13. Umströmung von Profilen und Körpern
1. Richtungen der Gesamtgewichtskraft FGes., der Tragflügelauftriebskräfte
FA B und FA H und der hydrostatischen Auftriebskraft Fa in Abb. 13.4.1.
2. Anstellwinkel Gbei optimaler Gleitzahl Hopt.. Verwenden Sie hierzu die
betreffende Lösung von den in Abb. 13.4.2 dargestellten Varianten.
3. Tragflügelauftriebskräfte FA B und FA H sowie die resultierende Gesamttragflügelauftriebskraft FA Ges. beider Tragflächen.
4. Hydrostatische Auftriebskraft Fa sowie das verdrängte Wasservolumen
'V.
Anmerkungen:
- Die Tragflügelbreiten BB und BH muss man sich senkrecht zur Zeichenebene vorstellen.
- Die Auswirkungen der Umströmung an den Tragflügelenden werden
vernachlässigt.
Lösungsschritte
1. Kräfterichtungen:
Die Richtungen der Kräfte sind in Abb. 13.4.1 eingezeichnet. Die hydrostatische Auftriebkraft
wirkt der Gewichtskraft entgegen. Die Tragflügelauftriebskräfte stehen senkrecht auf den Profilanströmrichtungen. Diese sind im vorliegenden Fall identisch mit der Bewegungsrichtung
des Boots.
2. G
FW
. Der Optimalwert H opt. stellt das Verhältnis
FA
von kleinstmöglicher Widerstandskraft zu größtmöglicher Auftriebskraft dar. Man erhält diesen Optimalwert in dem experimentell ermittelten „Polardiagramm“ c A f (c W ) gemäß
Abb. 17.6 eines jeweiligen Profils, indem man dort vom Nullpunkt aus die Tangente an die
Kurve legt. Von den drei in Abb. 13.4.2 eingezeichneten Varianten liefert die Tangente nachstehende Werte:
Die Gleitzahl H ist wie folgt definiert: H
cA
1,05
und c w
0,013
Der Anstellwinkel G lässt sich bei nun bekanntem Auftriebsbeiwert cA = 1,05 aus Abb.
13.4.3 zu
G = 7,3 °
ablesen.
3. FA B ; FA H ; FA Ges :
Die Auftriebskraft FA von umströmten Profilen wird experimentell ermittelt. Sie hängt gemäß
U
FA c A A
c f2 von der Bezugsfläche A, der FluiddichteU, der Geschwindigkeit cf
2
und dem Auftriebsbeiwert cA ab. Dieser wiederum wird von der Profilgeometrie, dem Anstellwinkel Gder Reynoldszahl Re, der rel. Rauhigkeit kS/L und der Zuström-Machzahl Ma f
beeinflusst. Für das vorliegende Profil soll nur der Anstellwinkel G von Bedeutung sein.
13. Umströmung von Profilen und Körpern
429
FA B : Die Auftriebskraft am Bugtragflügel lautet gemäß genannter Funktion:
FA B
cA B
AB
U
2
cf2
cA B
1,05
Bezugsfläche des Bugflügels:
AB
LB
Bootsgeschwindigkeit:
cf = 30
Die Auftriebskraft am Bugflügel:
FA B
Auftriebsbeiwert des Bugflügels
:
FA B
BB
1,8
8,6
15,48
m2
30 000
km
m
= 8,333
=
h
s
3 600
1000
1,05
15,48
8,3332 N
2
564.375 N
FA H : Die Auftriebskraft am Haupttragflügel lautet gemäß genannter Funktion:
FA H
cA H
AH
U
2
cf2
Auftriebsbeiwert des Hauptflügels :
cA H
1,05
Bezugsfläche des Hauptflügels:
AH
LH
Bootsgeschwindigkeit:
cf = 30
m
s
Die Auftriebskraft am Haupttragflügel:
FA H
N
FA H
BH
2,12 14,5
30 000
km
= 8,333
=
h
3 600
1000
1,05 30,74
8,3332
2
1.120.729 N
FA Ges : Die Gesamtauftriebskraft an beiden Tragflügeln addiert sich aus
FA Ges
FA H FA B
zu:
FA Ges
30,74 m 2
1.685.104
N
430
13. Umströmung von Profilen und Körpern
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1 0
-0,2
-0,3
1,44
1,05
Re > 8 * 106
0,45
0,0108
0,005
0,01
0,024
0,013
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
cW [/]
Abb. 13.4.2 Polardiagramm des Profils
cA = f(G)
1,7
1,6
1,5
cA [/]
cA [/]
cA = f(cW)
1,4
1,3
1,2
1,1
1,05
1
Re > 8 *
6
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-10
-5
-0,1
-0,2
0
5
7,3°
10
G>[email protected]
-0,3
Abb. 13.4.3 Auftriebsbeiwert cA in Abhängigkeit vom Anstellwinkel G des Profils.
15
13. Umströmung von Profilen und Körpern
431
4. Fa ; 'V :
Die hydrostatische Auftriebskraft Fa lässt sich gemäß Abb. 13.4.1 aus dem Kräftegleichgewicht in z-Richtung ¦ Fi z
0 wie folgt bestimmen:
FA Ges Fa FG
Fa
FG FA Ges
0 . Umgestellt nach Fa und mit den gegebenen bzw. berechneten Größen:
2 500 000 1685104
Fa = 814896 N
Das gesamte verdrängte Wasservolumen 'V ermittelt man mit der Gleichung der hydrostatischen Auftriebskraft Fa
'V
Fa
g U
=
g U ' V durch Umstellen nach 'V zu:
814896 ª N s 2 m3
9,81 1000 «¬ m kg
'V
º
m3 »
¼
83 m 3
432
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Aufgabe 13.5 Airbus A380
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
h
h
h
h
3 min
3 min
3 min
3 min
3 Punkte
3 Punkte
3 Punkte
3 Punkte
Vom neuen, weltweit größten Verkehrsflugzeug Airbus A380 sind nachstehend einige wichtige Größen genannt. Gesucht werden die jeweils erforderlichen Auftriebsbeiwerte für Start,
Reiseflug und Landung sowie die Reisefluggeschwindigkeit.
Lösung zu 13.5
Aufgabenerläuterung
Bei der Lösung dieser Aufgabe steht die Anwendung der Auftriebskraft an umströmten Tragflächen im Fokus. Bei den drei Flugphasen soll sich das Flugzeug in horizontaler oder gerade
noch horizontaler Lage befinden, so dass ein Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung zwischen Gewichtskraft nach unten und gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet der Auftriebskraft an den Tragflächen vorliegt.
Anmerkungen:
Gegeben:
- Index St.
- Index R.
- Index L
Start
Reiseflug
Landung
m2
Flügelfläche
mSt. = 560000
kg
Gesamtmasse vor Start
= 386000
kg
Gesamtmasse vor Landung
AF
mL
= 846
Ma R = 0,85
USt;L = 1,225
UR
= 0,365
-R
= - 50
Ri
= 287
N
= 1,4
cSt
= 260
cL
= 270
Machzahl in Reisehöhe
kg
m3
kg
m3
°C
N m
kg K
Luftdichte in Start-, Landebahnhöhe
Luftdichte in Reisehöhe
Temperatur in Reisehöhe
Gaskonstante der Luft
Isentropenexponent
km
h
km
h
Startgeschwindigkeit
Landegeschwindigkeit
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Gesucht:
433
1.
c A St . Auftriebsbeiwert beim Start
2.
3.
c R Reisefluggeschwindigkeit
c A R Auftriebsbeiwert beim Reiseflug
4.
c A L Auftriebsbeiwert bei der Landung
Lösungsschritte
1. c A St . :
Gerade im Augenblick des Abhebens ist FA St
FASt
c ASt
AF
FG St
mSt
g
USt
2
cSt
2
FG St , wobei:
Auftriebskraft beim Start
Gesamtgewichtskraft beim Start
Unter Verwendung dieser Gleichungen im o.g. Kräftegleichgewicht und nach c A St . umgeformt
erhält man c A St
lautet: cSt = 260
2 FG St
AF
USt
cSt2
. Die Startgeschwindigkeit dimensionsgerecht umgeformt
km
260000 m
=
h
3600
s
Start bestimmen zu:
c ASt
72,22
m
. Dann lässt sich der Auftriebsbeiwert beim
s
2 560000 9,81
846 1,225 72,222
c A St
2,03
2. c R :
Die Reisegeschwindigkeit c R ermittelt sich aus der vorgegebenen Machzahl. Diese ist definiert als Verhältnis der Geschwindigkeit c, hier c R , bezogen auf die Schallgeschwindigkeit a,
hier aR. Da die Schallgeschwindigkeit in gasförmigen Fluiden von den Zustandsgrößen des
jeweiligen Gases abhängt, muss dies auch im vorliegenden Fall berücksichtigt werden. Mit
dp
allgemein a
angewandt für ein ideales Gas im Fall einer angenommenen isentropen
dU
N p v oder a
N R i T . Bei den bekannten LuftdaZustandsänderung wird a
ten N und Ri sowie der Temperatur in Reiseflughöhe TR = (273 - -R ) erhält man für die
Schallgeschwindigkeit in Reiseflughöhe a R
aR
ª N m
1,4 287 (273 50) «
«¬ kg K
K
N
Ri
N m
kg
Die Reisefluggeschwindigkeit lautet demnach: c R = Ma R
c R = 254,4
m
km
{ 916
s
h
TR und mit den o.g. Daten
kg m m
s 2 kg
m2 º
m
= 299,3
.
2 »
s »¼
s
a R = 0,85 299,3
m
s
434
13. Umströmung von Profilen und Körpern
3. c A R :
Beim horizontalen Reiseflug berechnet sich der Auftriebsbeiwert analog zu Pkt. 1, es sind jedoch die in Reiseflughöhe vorliegenden Gegebenheiten zu verwenden. Die Gesamtgewichtskraft soll sich infolge des Kerosinverbrauchs nach Erreichen der Reiseflughöhe noch nicht
nennenswert verkleinert haben. Mit
cA R
2 FG R
AF
UR
c
2
R
2 560000 9,81
846 0,365 254,42
wird dann c A R
c A St
0,55 .
4. c A L :
Der Landevorgang, in angenommener Meereshöhe wie der Start, sei durch einen nahezu verm L g ist um
brauchten Kerosinvorrat gekennzeichnet, d.h. die Gesamtgewichtskraft FG L
den Treibstoffanteil kleiner als beim Start. Mit der bekannten Landegeschwindigkeit
cL = 270
wert c A L
cA L
km
270000 m
=
3600
s
h
zu:
2 FG L
AF
UL
c
2
L
75
m
berechnet sich der jetzt erforderliche Auftriebsbeis
2 386000 9,81
846 1,225 752
cA L
1,30
13. Umströmung von Profilen und Körpern
435
Aufgabe 13.6 Spielzeugdrachen
¥1.
¥2.
h
h
3 min
3 min
3 Punkte
3 Punkte
Ein Spielzeugdrachen wird gemäß Abb. 13.6.1 mit der Luftgeschwindigkeit cf angeblasen.
Die Form des Drachens ist eine ebene Rechteckfläche der Größe A. Das Zugseil weist einen
Winkel ß gegenüber der horizontalen Geschwindigkeitsrichtung auf. Am Drachen wirken die
Seilkraft FS, die Auftriebskraft FA senkrecht zur Geschwindigkeit nach oben, die Widerstandskraft FW in Richtung der Geschwindigkeit und die Gewichtskraft FG vertikal nach unten. Zu ermitteln sind die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte cA und cW des Drachens unter
Verwendung der bekannten Größen.
Abb. 13.6.1 Spielzeugdrachen
Lösung zu 13.6
Aufgabenerläuterung
Bei den hier zu bestimmenden cA- und cW-Werten des Spielzeugdrachens, den man als schräg
angeströmte Rechteckfläche betrachten muss, ist das Zusammenwirken aller Kräfte bzw.
Kraftkomponenten sowohl in x-Richtung als auch in z-Richtung als Ansatz zu verwenden.
Die an umströmten Körpern wirksamen Auftriebs- und Widerstandskräfte sind mit den gesuchten Beiwerten verknüpft. Diese lassen sich durch geeignete Berechnungsschritte aus den
Gleichungen auflösen.
Gegeben:
UL = 1,20
FG = 11
FS
A
ß
cf
=
=
=
=
29
0,75
45
32
kg/ m3
N
N
m2
$
km/h
Luftdichte
Gewichtskraft
Seilkraft
Bezugsfläche für c A ; c W
Neigungswinkel des Seils
Windgeschwindigkeit
436
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Gesucht:
1.
2.
cA , cW
c A , c W bei o.g. Daten
Lösungsschritte
1. c A , c W :
cA :
Zur Ermittlung des Auftriebsbeiwertes cA benötigt man die Auftriebskraft FA mit dem darin
enthaltenen Beiwert. Die Auftriebskraft lässt sich aus dem Kräftegleichgewicht am Drachen
in z-Richtung wie folgt feststellen:
n
¦F
0 , d.h. FA FG FS z
z
0 . FSz ist hierin die z-Komponente der Seilkraft FS .
Umgestellt nach der Auftriebskraft folgt FA
FA
cA
A
UL
2
cf
2
FG FS z . Verwendet man jetzt die Gleichung
und ersetzt gemäß Abb. 13.6.1 FSz mit FS z
zunächst schreiben: c A A
UL
2
cf
2
FS sin ß , so kann man
FG FS sin ß . Diese Gleichung durch A
UL
2
cf
2
dividiert liefert den gesuchten Auftriebsbeiwert zu
cA
2
>FG FS sin ß@ .
2
A UL cf
cW :
Der Widerstandsbeiwert c W wird analog zum vorangegangenen Fall hergeleitet, nur wird jetzt
das Kräftegleichgewicht am Drachen in x-Richtung benutzt. Hier wirken zwei Kräfte wie
folgt:
¦F
0
x
d.h. Fw FS x
0 . FS x ist hierin die x-Komponente der Seilkraft FS .
Umgestellt nach der Widerstandskraft folgt Fw
Fw
cw
A
UL
2
2
FS x . Verwendet man jetzt die Gleichung
c f und ersetzt gemäß Abb. 13.6.1 FS x mit FS x
zunächst schreiben: c w A
Diese Gleichung durch A
FS cos ß , so kann man
UL
2
cf FS cos ß
2
UL
2
c f dividiert liefert den gesuchten Widerstandsbeiwert zu
2
cw
2 FS cos ß
.
2
A UL cf
13. Umströmung von Profilen und Körpern
437
2. c A , c W bei o.g. Daten
Um dimensionsgerechte Größen zu verwenden, muss die Geschwindigkeit c f wie folgt umgerechnet werden:
c f = 32
km
32000 m
{
h
3600 s
8,89
m
s
Mit den gegebenen Größen erhält man
cA :
cA
2
>11 29
sin 450
0,75 1,20 8,89 2
cA
@
0,886
und
cW :
cw
2 29 cos 45q
0,75 1,20 8,892
cw
0,577 .
438
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Aufgabe 13.7 Tragflächenschiff
¥1.
¥2.
6 min
2 min
hh
h
6 Punkte
2 Punkte
Der Flügel eines Tragflächenschiffs bewegt sich mit der Geschwindigkeit cf im Abstand t
von der Oberfläche durch das Wasser. Wie groß darf die Geschwindigkeit c x an der kritischen
Stelle x höchstens sein, damit eine Dampfblasenentstehung gerade noch vermieden wird?
Abb. 13.7.1 Flügel eines Tragflächenschiffs
Lösung zu 13.7
Aufgabenerläuterung
Die Frage nach dem Phasenwechsel einer Flüssigkeit in den Dampfzustand (oder auch umgekehrt) berührt ein sehr komplexes Thema, das unter dem Begriff der „Kavitation“ behandelt
wird. Der Phasenwechsel wird immer dann eingeleitet, wenn in einem Flüssigkeitssystem der
örtliche statische Druck den Dampfdruck unterschreitet. Umgekehrt vermeidet man die
Dampfblasenentstehung dadurch, dass durch geeignete Maßnahmen an jeder Stelle des Systems ein größerer Druck als der Dampfdruck vorliegt, also p > pDa. ist. Die gefährdete Stelle
x am Tragflügelprofil in Abb. 13.7.1 ist derjenige Ort an der Oberseite, wo durch die profilbedingte Stromlinienverdichtung die höchste örtliche Geschwindigkeit c x auftritt und eine
entsprechende Druckabsenkung erfolgt. Die Bemessung dieser Geschwindigkeit erfolgt mittels Bernoullischer Gleichung und den hier gegebenen Größen. Die berechnete Geschwindigkeit c x dient dann zur Auslegung des erforderlichen Profils.
Anmerkungen:
- Der Höhenunterschied aufgrund des Tragflügelprofils zwischen den
Stellen 0 und x sei von untergeordneter Bedeutung, also Z0 | Z x .
13. Umströmung von Profilen und Körpern
439
- Das Koordinatensystem wird mit dem Tragflügel mitbewegt, also ein
Relativsystem hergestellt. Die Fahrgeschwindigkeit cf erscheint dann
einem mitfahrenden Beobachter als stationäre Zuströmgeschwindigkeit c 0 sowie in veränderter Größe auch c x als stationäre Geschwindigkeit bei der Stelle x.
- Die Strömungsverluste zwischen den Stellen 0 und x werden
vernachlässigt.
Gegeben:
t ; cf ; pB ; pDa. ; U ; g
Gesucht:
1.
cx
2.
c x bei:
t = 1,5 m; cf = 14
pDa. = 2340 Pa;
U = 1000
m
; pB = 100 000 Pa
s
kg
m3
Lösungsschritte
Wie oben erwähnt wird Kavitation vermieden, wenn an der kritischen Stelle der statische
Druck größer ist als der Flüssigkeitsdampfdruck. Im vorliegenden Fall muss also px > pDa.
hergestellt werden. Den Druck px ersetzt man nun mittels Bernoullischer Gleichung zwischen
den Stellen 0 und x, um eine sinnvolle Verbindung zur gesuchten Geschwindigkeit c x herzustellen:
2
2
p0 c0
px cx
g Z0
g Zx
2
2
U
U
Mit den hier vorliegenden Gegebenheiten und Annahmen Z0 | Z x , c 0 { cf , YV0 y x | 0
und der Umstellung nach
px
U
2
2
c
p 0 cf
- x
2
U
2
px
U
sowie mit der DichteU multipliziert folgt
p0 px
U
2
cf 2
U
2
c 2x .
Die rechte Gleichungsseite in px > pDa. eingesetzt führt zur Ungleichung
p0 U
2
cf 2
U
2
c 2x ! p Da .
Trennt man logischerweise den Term
U
2
c x p0 2
U
2
cf p Da .
2
U
2
2
c x aus der Ungleichung heraus, so resultiert
440
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Der statische Druck an der Stelle 0 lässt sich als Summe aus Umgebungsdruck pB und dem
Druckanteil der Flüssigkeitshöhe t darstellen zu p 0 = p B U g
U
2
cx pB U g
2
t U
2
t . Oben für p0 eingesetzt
c f p Da , linke und rechte Seite mit
2
2
multipliziert und
U
die Wurzel gezogen liefert das Ergebnis:
cx
2. c x bei:
cf 2
2
ª p B p Da
g
«
U
¬
º
t»
¼
t = 1,5 m; cf = 14 m/s; pB = 100 000 Pa; pDa. = 2340 Pa;
c x 14 2 2
ª100000 2340
º
9,81 1,5»
«¬
1000
¼
c x 20,51 m / s
13. Umströmung von Profilen und Körpern
441
Aufgabe 13.8 Angeströmte Platte
¥1.
¥2.
¥3.
2 min
7 min
3 min
h
hh
h
2 Punkte
7 Punkte
3 Punkte
Eine rechteckige Platte mit einer Seitenfläche A wird gemäß Fall 1 in Abb. 13.8.1 senkrecht
zu A mit einer Windgeschwindigkeit cWind angeströmt, wobei die Platte selbst ruht. Im Fall 2
dagegen bewegt sich die Platte mit der Geschwindigkeit cPlatte in der Richtung des durchgezogen dargestellten Geschwindigkeitsvektors. Gleichzeitig ist die Windgeschwindigkeit cWind in
Größe und Richtung unverändert wirksam. Gesucht werden in beiden Fällen die aufgrund des
Seitenwindes an der Platte wirksamen Kräfte. Im Fall 2 sollen auch noch zwei charakteristische Winkel ermittelt werden.
Abb. 13.8.1 Angeströmte Platte
Lösung zu 13.8
Aufgabenerläuterung
Fall 1:
Die Widerstandskraft FW ist hier die einzige wirksame Kraft und belastet die Seitenfläche in
Windrichtung, steht also senkrecht auf A. Grundlage der Berechnung ist die Gleichung der
Widerstandskraft einer quer angeströmten Rechteckplatte.
Fall 2:
In diesem Fall muss zunächst die Geschwindigkeit c f in Größe und Richtung gefunden werden, die sich aus cPlatte und cWind resultierend einstellt. Die Plattengeschwindigkeit cPlatte, in
442
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Abb. 13.8.1 als durchgezogen dargestellter Vektor zu erkennen, kann in der Richtung nur von
einem ruhenden System aus beobachtet werden (instationär). Setzt man das Koordinatensystem oder auch einen Beobachter auf die bewegte Platte (stationär), so erkennt man die Geschwindigkeit cPlatte auf die Platte zugewandt gerichtet (gestrichelt dargestellter Vektor in
Abb. 13.8.1). Dieser Geschwindigkeit überlagert sich noch die Windgeschwindigkeit, so dass
man aus der Vektoraddition von cPlatte und cWind die gesuchte Geschwindigkeit c f erhält
(Abb. 13.8.2). Die Geschwindigkeit c f könnte man von der Platte aus auch als die Geschwindigkeit einer z.B. mit der Luft mittransportierten Feder erkennen. Mit c f liegt jetzt der Fall
einer schräg angeströmten Rechteckplatte A vor, an der zwei verschiedene Kräfte wirksam
werden. Dies sind senkrecht zu c f die Auftriebskraft FA und in Richtung von c f die Widerstandskraft FW. Aus beiden wird dann die resultierende Kraft FR ermittelt. Der Berechnung
von FA und FW liegen die bekannten Gesetzmäßigkeiten umströmter Körper zugrunde. Anstellwinkel G und Gleitwinkel Jlassen sich mit einfachen trigonometrischen Zusammenhängen bestimmen.
Abb. 13.8.2 Platte mit resultierender Geschwindigkeit und Kräften
Gegeben:
A = 55,74 m2 ; UL = 1,22
kg
m
; c Wind = 4,472
m3
s
Fall 1: c W1 = 1,3
Fall 2: c W2 = 0,25 ; c A 2
Gesucht:
1. Fall 1: FW1
2. Fall 2: FW2 ; FA 2 ; FR
3. Fall 2: G ; J
0,60 ; c Platte = 13,42
m
s
13. Umströmung von Profilen und Körpern
443
Lösungsschritte
1. FW1 :
Die Widerstandskraft umströmter Körper lautet allgemein
U
FW
cW A
c 2 . Mit den Größen des Falls 1 bei ruhender Platte kann man schreiben:
2
UL
FW1
c W1 A
c 2Wind
2
1,22
4,4722 ,
Setzt man die gegebenen Größen dimensionsgerecht ein FW = 1,3 55,74
2
so erhält man als Ergebnis
FW1 = 884 N.
2. FW2 ; FA 2 ; FR :
Widerstandskraft und Auftriebskraft an umströmten Körpern allgemein formuliert lauten :
U
FW
cW A
c2
Widerstandskraft
2
U
FA
cA A
c2
Auftriebskraft
2
In Verbindung mit den veränderten Gegebenheiten der bewegten Platte (Fall 2) schreibt man:
FW2
c W2
A
FA 2
cA 2
A
UL
2
UL
2
c f2
c f2
Bis auf die resultierende Zuströmgeschwindigkeit c f sind alle anderen Größen bekannt. c f
als Hypotenuse des rechtwinkligen Geschwindigkeitsdreiecks gemäß Abb. 13.8.2 ausgewertet
führt zu
m
. Somit sind die beiden Kräfte
cf
c 2Platte c 2Wind
13,42 2 4,472 2 = 14,15
s
1,22
1,22
0,25 55,74
14,152 und FA 2 = 0,60 55,74
14,152 bekannt:
FW2
2
2
FW2 = 1702 N
FA 2 = 4085 N
Wertet man die resultierende Kraft FR an der Platte als Hypotenuse des rechtwinkligen Kräftedreiecks gemäß Abb. 13.8.2 aus, so erhält man als Ergebnis:
FR
FW2 FA2
40852 1702 2
FR = 4425 N
444
13. Umströmung von Profilen und Körpern
3. G ; J :
G:
Den Anstellwinkel G als Winkel zwischen Zuströmrichtung und jeweiliger Fläche oder Profil
ermittelt man gemäß Abb. 13.8.2 im Fall der bewegten Platte zu
G
·
§c
arctan¨¨ Wind ¸¸
c
© Platte ¹
arctan
4,472
13,42
G
18,4o .
J:
Der Gleitwinkel J , gemäß Definition in Abb. 13.8.2 lautet:
J
§F ·
arctan ¨¨ W ¸¸
© FA ¹
§ 1702 ·
arctan ¨
¸
© 4085 ¹
J
22,6o
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Aufgabe 13.9 Sprungturm
1.
2.
3.
hhhh
h
h
445
Übungsbeispiel
Ein Springer lässt sich von einem 10-Meter Sprungturm mit einem Fußsprung senkrecht nach
unten fallen. Eine Anfangsbewegung durch Wippen auf dem Sprungbrett liegt nicht vor. Wie
lange dauert es, bis er die Wasseroberfläche erreicht, und mit welcher Geschwindigkeit
kommt er dort an? Körpermasse m, Widerstandsbeiwert cW, Bezugsfläche A und Luftdichte
UL können als bekannt vorausgesetzt werden.
Abb. 13.9.1 Sprungturm
Lösung zu 13.9
Aufgabenerläuterung
Bei jedem freien Fall wirken an dem betreffenden Körper Gewichtskraft, Widerstandskraft
und Trägheitskraft. Die Auftriebskraft aufgrund der vom Körper verdrängten Luftmasse kann
i.A. vernachlässigt werden. Aus dem Kräftegleichgewicht lässt sich herleiten, dass eine dauernde Beschleunigung des Körpers vorliegt, die erst mit t f gleich Null wird. Faktisch ist
jedoch nach Erreichen einer definierten Fallgeschwindigkeit cA = 0,99* cf kein nennenswerter Beschleunigungseinfluss mehr zu erkennen. Ab hier liegen dann „quasi-stationäre“ Bedingungen am Körper vor, d.h. es besteht nur noch Gleichgewicht zwischen Gewichtskraft und
Widerstandskraft. Bis zum Erreichen dieser definierten Fallgeschwindigkeit legt der Körper
eine entsprechende Distanz zurück, für die er eine zugeordnete Zeit benötigt (Anlaufphase).
Ist die Fallhöhe wie im vorliegenden Beispiel relativ klein, so wird es erforderlich, die zeitabhängigen Gesetzmäßigkeiten für den zurückgelegten Weg x(t) und die Geschwindigkeit c(t)
zu verwenden.
446
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Gegeben:
1. Gleichungen:
ª
§ g t ·º
¸¸»
ln «cosh ¨¨
© cf ¹¼
¬
cf2
g
x (t )
ct
§g t·
¸¸
tanh ¨¨
© cf ¹
cf
2. m = 75 kg ; g = 9,81
Gesucht:
m
; cW
s2
1,0 ; A = 0,125 m2 ; U L
1,22
kg
m3
1. t = f (x)
2.
t bei o.g. Daten
3.
c bei o.g. Daten
Anmerkungen:
ez e z
1
; tanh z = z
ez e z
e e z
2
- Die x-Koordinate wird entgegen üblicher Anordnung in Fallrichtung
gezählt.
- cosh z
Lösungsschritte
1. t = f (x):
Da in o.g. Funktion die Weg-Zeitabhängigkeit x(t) bekannt ist, hier aber nach der ZeitWegabhängigkeit t(x) gefragt wird, muss eine geeignete Umformung vorgenommen werden.
Der Einfachheit halber wird anstatt x(t) nur noch x geschrieben.
ª
§ g t ·º
¸¸»
ln «cosh ¨¨
© cf ¹¼
¬
c f2
g
x
ª
§ g
ln «cosh ¨¨
© cf
¬
g
cf2
x
x g
e
2
cf
x g
e
c f2
e
ª
§ g ·º
ln « cosh ¨¨
t ¸¸ »
© c f ¹ »¼
¬«
.
§g t·
¸¸ .
cosh¨¨
© cf ¹
Multipliziert mit
g
cf2
·º
t ¸¸» und dann die linke und rechte Gleichungsseite als e-Funktion
¹¼
gebildet führt zunächst zu
Da allgemein gilt: e ln a
a , erhält man hier
§ g
¨
Zur Vereinfachung wird substituiert z =
Somit lautet die Gleichung :
cosh z = K.
¨ c2
g t
und K = e© f
cf
·
x¸
¸
¹
13. Umströmung von Profilen und Körpern
447
§ z 1·
¨e z ¸
e ¹
entsteht
Unter Verwendung der Definition cosh z = ©
2
§ z 1·
¨e z ¸
e ¹
©
=K,
oder mit 2 multipliziert
2
1
ez z
2 K.
e
Den ersten Summanden mit e z erweitert führt zu
1
ez ez
1
z 2 K
und danach z ausgeklammert ergibt
ez
e
e
1
Mit e z multipliziert gelangt man zu
e2 z 1 2 K .
ez
Die Glieder der e-Funktion auf der linken Gleichungsseite
e2 z 1 2 K ez .
allein liefert
e2 z 2 K ez
e
z 2
1
2 K ez
oder
1 .
Verwenden wir noch die Substitution y = e z, so stellt sich die Gleichung wie folgt dar:
y2 2 K
y
1 .
y 2 K
yK
Addiert wird jetzt K 2 auf der linken und rechten Seite mit dem
Ergebnis:
2
yK
y
2
2
K 1 . Die linke Seite entspricht y K
2
K 2 1.
Nach dem Wurzelziehen erhalten wir zunächst
K r K2 1 .
§ g
·
¨
¸
¨ c2 x ¸
f
¹
·
§ g
¨¨ c t ¸¸
f
¹
e©
e©
r e
Wird nun y, z und K zurück substituiert, entsteht
§g x·
2 ¨¨ 2 ¸¸
© cf ¹
1.
Das Logarithmieren liefert unter Verwendung von ln ea
§ g
¨¨
ln e © c f
·
t ¸¸
¹
=
2
g t
= ln e
cf
§ g
·
¨
¸
¨ c2 x ¸
© f
¹
r e
Jetzt muss abschließend noch mit
§g x·
2 ¨¨ 2 ¸¸
© cf ¹
a zunächst
1.
cf
multipliziert werden, und man bekommt als Ergebnis:
g
c
t = f
g
ln e
§g x·
¨
¸
¨ c2 ¸
© f ¹
r e
§2 g x·
¨
¸
¨ c2 ¸
f
©
¹
1
448
13. Umströmung von Profilen und Körpern
2. t :
Zunächst muss zur Berechnung der Fallzeit t (x = 10 m) die stationäre Endgeschwindigkeit
cf festgestellt werden. Zu ihrer Ermittlung ist das Kräftegleichgewicht am stationär fallenden
Körper anzusetzen. Da Gewichtskraft und Widerstandskraft entgegengesetzt gerichtet sind,
und die Trägheitskraft für den stationären Fallzustand gleich Null ist, lautet die
UL
Kräftegleichung FG FW mit FG = g m und FW c W A
cf2 . Es folgt somit
2
2
UL
multipliziert führt dies zunächst zu
cW A
cf2 g m . Mit
2
c W A UL
2 g m
cf2
.
Nach dem Wurzelziehen erhält man als Ergebnis:
c W A UL
cf
2 g m
c W A UL
Setzt man noch die gegebenen Zahlenwerte der betreffenden Größen ein, so liegt cf mit
km
m
fest.
{ 354
h
s
m
lässt sich die gefragte Fallzeit berechnen zu:
Mit x = 10 m und cf = 98,2
s
§ 2 9 ,81 10 ·
ª 9.81 10
º
¸¸
¨¨
2
98,2
98 , 22
«
t=
e© 98, 2 ¹ 1»
ln e
«
»
9,81
«¬
»¼
cf
2 9,81 75
1,0 0,125 1,22
98,2
t = 1,43 s
Das negative Vorzeichen vor der Wurzel liefert eine negative Zeit, was keinen Sinn macht.
3. c t :
Mit der somit bekannten Fallzeit und den anderen berechneten bzw. gegebenen Größen ist die
Geschwindigkeit nach x = 10 m Fallhöhe mit o.g. Gleichung wie folgt festgelegt:
§ 9,81 1,43 ·
98,2 tanh ¨
¸
© 98,2 ¹
ct
1,43 s
ct
1,43 s
= 98,2
tanh 0,1429
ct
1,43 s
= 98,2
e0,1429 e 0,1429
e0.1429 e 0,1429
ct
13,94
m
s
1,43 s = 13,94
m
km
{ 50,2
s
h
13. Umströmung von Profilen und Körpern
449
Aufgabe 13.10 Fallschirmspringer im freien Fall
¥1.
¥2.
hh
h
6 min
3 min
6 Punkte
3 Punkte
Ein Fallschirmspringer springt aus dem Flugzeug und fliegt zunächst im freien Fall zur Erde.
Die umströmten Konturen des Springers werden mit Ausnahme des Helms (Kugel) als quer
angeströmte Zylinder angenommen. Gesucht wird die quasi-stationäre Geschwindigkeit cf
vor Öffnen des Fallschirms.
Abb. 13.10.1 Fallschirmspringer im freien Fall
Lösung zu 13.10
Aufgabenerläuterung:
Nach Absprung (z.B. im oberen Totpunkt eines Loopings) aus dem Flugzeug wird die Geschwindigkeit des Springers mit der Gesamtmasse m zunächst stetig vergrößert. In dieser
Phase wirken drei Kräfte an ihm: Gewichtskraft, Luftwiderstandskraft und Trägheitskraft.
Nach Abschluss dieser Beschleunigungsphase, also nach Erreichen der gesuchten, nahezu
(quasi) konstanten Fallgeschwindigkeit cf wird die Trägheitskraft verschwindend klein, sodass nur noch die Gewichts- und die Luftwiderstandskraft am fallenden Körper angreifen.
Aus dem Gleichgewicht dieser beiden Kräfte lässt sich die gesuchte Geschwindigkeit ermitteln. Es wird Windstille und konstante Luftdichte angenommen.
Gegeben:
Rumpf: Index R
LR = 0,70 m; DR = 0,45 m;
c WR
0,49
Bein:
Index B
LB = 0,80 m; DB = 0,25 m;
c WB
0,39
Arm:
Index A LA = 0,65 m; DA = 0,15 m;
c WA
0,22
DK = 0,25 m;
c WK
0,145
Kopf : Index K
m = 75 kg;
Gesucht
1. cf
2.
cf mit o.g. Daten.
UL = 1,225 kg/m;
450
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Anmerkungen:
- Die angegebenen Widerstandsbeiwerte sind aus Versuchen bei homogenen Zuströmgeschwindigkeiten ermittelt worden. Diese können im vorliegenden Fall durch gegenseitige Beeinflussungen der Körpergliedmaße
nur mit Einschränkungen angenommen werden. Aus diesem Grund ist
das Ergebnis der Berechnungen nur als Näherungswert zu verstehen.
Lösungsschritte:
1. cf :
Aus dem Kräftegleichgewicht im Fall des mit quasi gleich bleibender Geschwindigkeit cf zur
Erde fallenden Springers folgt (s. Abb. 13.10.1):
n 6F
FW FG
0
oder
FG = m * g
FW = c W
FW
FG
Gewichtskraft
U
*A* L
2
c
2
f
Widerstandskraft FW an umströmten Körper
cW
Widerstandsbeiwert des umströmten Körpers
A
Bezugsfläche
UL
Dichte des strömenden Fluids, hier Luft
cf
Strömungsgeschwindigkeit, hier Fallgeschwindigkeit des
Körpers gegenüber ruhender Luft
Im vorliegenden Fall setzt sich diese Widerstandskraft aus den Anteilen des gesamten umströmten Körpers zusammen, also:
FW = FWK FWR 2 FWB 2 FWA
FWK
AK =
FWR
c WK A K
c f2
S
D 2K
4
UL 2
cf
2
LR
c WB A B
c WA A A
A A = DA LA
Widerstandskraft am Rumpf
Bezugsfläche eines umströmten Zylinders, hier Rumpf
UL 2
cf
2
A B = DB LB
FWA
Widerstandskraft am Kopf
Bezugsfläche einer umströmten Kugel, hier Kopf
c WR A R
A R = DR
FWB
UL
2
mit
Widerstandskraft an einem Bein
Bezugsfläche eines umströmten Zylinders, hier Bein
UL 2
cf
2
Widerstandskraft an einem Arm
Bezugsfläche eines umströmten Zylinders, hier Arm
13. Umströmung von Profilen und Körpern
451
UL 2
c f aus den einzelnen Widerstandskräften und unter Verwen2
dung der betreffenden Bezugsflächen erhält man :
UL 2
S
c f * ( c WK
D 2K + c WR D R L R + 2 c WB D B L B + 2 c WA D A L A ) = m g
2
4
Nach Ausklammern von
Umgestellt nach cf lautet das Ergebnis:
cf =
UL
2 m g
S
§
·
2
D K c WR D R L R 2 c WB D B L B 2 c WA D A L A ¸
¨ c WK
4
©
¹
2. cf mit og. Daten:
Bei dimensionsgerechter Verwendung der genannten Zahlenwerte berechnet man die Fallgeschwindigkeit c f wie folgt:
cf =
2 75 9,81
S
§
·
1,225 ¨ 0,145
0,252 0,49 0,45 0,7 2 0,39 0,25 0,8 2 0,22 0,15 0,65 ¸
4
©
¹
cf = 57,7 m/s bzw. 207,7 km/h.
452
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Aufgabe 13.11 Kugel im Windkanal
¥1.
¥2.
¥3.
8 min
2 min
4 min
hhh
h
h
8 Punkte
2 Punkte
4 Punkte
Gemäß Abb. 13.11.1 wird in einem Windkanal die an einem Seil aufgehängte glatte Kugel
von einem Luftstrom bei homogener Geschwindigkeitsverteilung cf angeblasen. Die Dichte
UL und die kinematische Zähigkeit QL der Luft sind bekannt, ebenso wie die Seillänge L und
der Kugeldurchmesser d. Aufgrund der an der Kugel wirksamen Kräfte kommt es zu einer
Auslenkung um den Winkel M1; 2 bzw. um die horizontale Verschiebung s1;2. Der Index 1 steht
hierin für die unterkritische Kugelumströmung Relam. und der Index 2 für den überkritischen
Fall Returb.. Bei jeweils gemessenen Auslenkungen s1 und s2 sollen die Widerstandsbeiwerte
c W1 bzw. c W2 ermittelt werden.
Abb. 13.11.1 Kugel im Windkanal
Lösung zu 13.11
Aufgabenerläuterung
Zur Lösung der Aufgabe wird zunächst das Zusammenwirken der Gewichtskraft der Kugel
und der an ihr angreifenden Widerstandskraft (Abb. 13.11.2) benötigt. Die Verknüpfung zwischen diesen beiden Kräften lässt sich mit den geometrischen Größen gemäß Abb. 13.11.1
herstellen. Unter Verwendung des allgemeinen Widerstandsgesetzes umströmter Körper im
Fall der betrachteten Kugel und der hier zugrunde liegenden Re-Zahl lassen sich die gesuchten cW-Werte bestimmen.
Gegeben:
d ; L ; s 1 ; s 2 ; m K ; U L ; Q L ; Re lam ; Re turb. ;
Gesucht:
1. c Wlam
2. c Wturb
13. Umströmung von Profilen und Körpern
3.
453
Punkte 1. und 2., wenn: s1 = 12,6 cm ; s 2 11,3 cm; L = 1,5 m;
m K 2,1 kg ; UL
Re lam = 2,0 105 ,
Anmerkungen:
2
kg
6 m
;
15
10
Q
L
m3
s
Re turb. = 4,0 105
1,22
- Die erste Vermutung, dass bei einer Vergrößerung der Re-Zahl von Re lam
auf Re turb. durch Steigerung der Zuströmgeschwindigkeit cf auch ein
Anwachsen der Auslenkung s2 gegenüber s1 zu erwarten ist, trifft nicht
zu. Der Grund hierfür liegt in der bei turbulenten Grenzschichten an
umströmten Kugeln weiter nach hinten verlagerten Ablösungszone. Dies
hat kleinere Druckunterschiede und folglich geringere Widerstandskräfte
an der Kugel zur Folge, was sich im vorliegenden Fall in einer geringen
Verkleinerung von s2 gegenüber s1 auswirkt.
- Bei kleinen Winkeln M kann tan M | sin M gesetzt werden. Dies soll im
vorliegenden Fall zutreffen
Lösungsschritte
Zunächst soll die allgemeine Lösung, also unabhängig, ob laminare oder turbulente Grenzschicht vorliegt, hergeleitet werden.
Abb. 13.11.2 Kräfteplan an der umströmten Kugel
Gemäß dem Kräfteplan in Abb. 13.11.2 lautet tan M =
Abb. 13.11.1 feststellen, dass tan M | sin M =
s
L
FWK
FWK
FG K
FG K
FG K
. Des Weiteren lässt sich in
s
. Durch Gleichsetzen von tan M erhält man
L
. Den Widerstandsbeiwert c W findet man in FW , also wird wie folgt umgestellt:
s
.
L
Hierin sind
FG K = g m K
FWK
FWK
cW AK
die Gewichtskraft der Kugel und
UL 2
cf
2
die Widerstandskraft an der Kugel. In die o.g. Gleichung
eingesetzt führt dies zu
454
13. Umströmung von Profilen und Körpern
cW AK
UL 2
cf
2
g mK
s
.
L
Nach der Multiplikation mit
2
folgt für cW:
A K UL cf2
s
1
. Da die Zuströmgeschwindigkeit cf nicht explizit zur
L A K UL c f2
Verfügung steht, wohl aber die Re-Zahl und die luftspezifischen Größen UL und QL, gelangt
cf d
man über die Definition der Reynoldszahl Re
und deren Umformung nach der beQL
Re Q L
. Die Bezugsfläche in der Kugelwiderstandskraft
nötigten Geschwindigkeit zu cf
d
S 2
ist definiert als kreisförmige „Schattenfläche“ A K
d . Unter Verwendung dieser Zu4
sammenhänge in der Gleichung für cW entsteht zunächst
cW
2 g mK
cW
2 g mK
cW
8
l
g mK
S
UL
s
4 d2
2
L S d UL Re 2 Q 2L
und nach Kürzen von d2 dann
s
1
.
L Re 2 Q 2L
Setzen wir die Sonderfälle c Wlam bei Re lam und s1 bzw. c Wturb bei Re turb und s2 jetzt ein,
so führt dies zu den gesuchten Ergebnissen:
1. c Wlam bei Re lam und s1: c W lam
8
l
g mK
S
UL
s1
L
1
Re
2. c Wturb bei Re turb und s2: c Wturb
8
l
g mK
S
UL
s2
L
1
Re 2turb Q 2L
2
lam
Q 2L
3. Punkte 1. und 2., wenn: d = 8 cm; s1 = 12,6 cm ; s 2 11,3 cm; L = 1,5 m;
m K 2,1 kg ;
UL
Re lam = 2,0 105 ,
2
kg
6 m
;
15
10
Q
L
m3
s
Re turb. = 4,0 105
1,22
Unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlenwerte lassen sich die cW-Werte wie folgt
berechnen:
c Wlam :
c Wlam
8
l
0,126
1 1012
9,81 2,1
2
S
1,22 1,5
2,0 1010 152
c Wlam = 0,40
c Wturb :
c Wturb
8
l
0,113
1012
9,81 2,1
S
1,22 1,5 4,0 2 1010 152
c Wturb = 0,090
13. Umströmung von Profilen und Körpern
455
Aufgabe 13.12 Sandkörner im vertikalen Luftstrom
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
hh
h
h
h
4 min
2 min
3 min
3 min
4 Punkte
2 Punkte
3 Punkte
3 Punkte
In Abb. 13.12.1 ist ein vertikaler, luftdurchströmter Diffusor zu erkennen. Im Luftstrom werden im Querschnitt A1 und A2 jeweils eine Kugel in Schwebe gehalten. Die Geschwindigkeit
A
c1 in A1 ist ebenso bekannt wie das Flächenverhältnis 2 des Diffusors sowie die Dichte der
A1
Luft und der Kugeln UL bzw. UK. Die Widerstandsbeiwerte cW der umströmten Quarzkugeln
können im betreffenden Re-Bereich gleich groß vorausgesetzt werden. Bestimmen Sie die
Korndurchmesser dK im Schwebezustand in den zwei Querschnitten A1 und A2. Weiterhin ist
zu überprüfen, ob die Grenzschichten an den beiden Kugeln jeweils laminar oder turbulent
ausgebildet sind.
Abb. 13.12.1 Sandkörner im vertikalen Luftstrom
Lösung zu 13.12
Aufgabenerläuterung
Die Frage nach den Kugeldurchmessern wird lösbar, wenn man das Kräftegleichgewicht an
den Quarzkörnern im Schwebezustand zugrunde legt, wobei folglich keine Eigenbewegung
der Partikel existiert. Auftriebskräfte an den Körnern können vernachlässigt werden. Die
Grenzschichtbeschaffenheit bis zum Ablösungspunkt an den Oberflächen der Kugeln lässt
sich mit der Re-Zahl beantworten. Kleinere Re-Werte als 200000 weisen auf eine laminare
und größere Re-Werte als 400000 auf eine turbulente Grenzschicht hin.
456
13. Umströmung von Profilen und Körpern
Gegeben:
c1 ;
Gesucht:
1.
A2
; c W1
A1
d K1
2.
dK 2
c W2 ; U L ; U K ; Q L
3. Pkte. 1 und 2, wenn: c1
UL
20
1,2
m A2
;
s A1
kg
; UK
m3
1,25 ; c W1
2650
c W2
kg
; QL
m3
0,40 ;
15 10 6
4. Grenzschichtbeschaffenheit an Kugel 1 und Kugel 2.
Anmerkungen:
- Inkompressible Strömung
- Homogene Geschwindigkeitsverteilungen in A1 und A2
- Kugelförmige Sandkörner mit gleichen cW-Werten
- Laminare Grenzschicht bei Re f < 2 105
Lösungsschritte
1. d K1 :
Das Kräftegleichgewicht am schwebenden Quarzkorn lautet n 6Fi
FG1
FW1
Kräftegleichgewicht
FG1
g * m1
Gewichtskraft des Quarzkorns
m1 UK V1
V1
0
FW1 FG1 oder:
Masse des Quarzkorns
S 3
d K1
6
Volumen der kugelförmigen Quarzkorns
Man erhält die Gewichtskraft zu
S 3
d K1 .
6
U
A1 L c12
2
FG 1
g UK
FW1
c W1
A1
S 2
d K1
4
Widerstandskraft am kugelförmigen Quarzkorn
Bezugsfläche der umströmten Kugel (Schattenfläche)
Man erhält die Widerstandskraft zu
FW1
c W1
S 2
d K1
4
UL 2
c1 .
2
Das Gleichsetzen von FG1 und FW1 nach o.g. Kräftegleichgewicht führt zu
g UK
S 3
d K1
6
c W1
S 2
d K1
4
UL 2
c1
2
oder
m2
s
13. Umströmung von Profilen und Körpern
1
d K1
6
g UK
c W1
1
UL c12 .
8
d K1
457
Multipliziert mit
6
liefert das Ergebnis:
g UK
1 3 UL
c W1 c12
g 4 UK
2. d K 2 :
Analog zu d K1 leitet sich der Durchmesser d K 2 her, also
1 3 UL
c W2 c 22 . Hierin muss noch die Geschwindigkeit c2 aus bekannten Größen
g 4 UK
kons tan t
ersetzt werden. Mit dem Kontinuitätsgesetz bei inkompressibler Strömung V
c
1
c A c A erhält man c2 zu c
. Oben eingesetzt führt dies
und folglich V
2
1
1
2
2
§ A2 ·
¸¸
¨¨
© A1 ¹
dK 2
zum Ergebnis für d K 2 :
dK 2
3. d K1 und d K 2 , wenn:
c1
UL
1 3 UL
c W2
g 4 UK
1
§ A2 ·
¸¸
¨¨
© A1 ¹
2
c12
m A2
;
1,25 ; c W1 c W2
s
A1
kg
kg
1,2 3 ; U K 2650 3 ;
m
m
20
0,40 ;
Werden die gegebenen Größen dimensionsgerecht in die ermittelten Gleichungen eingesetzt,
so liefert dies die nachstehenden Ergebnisse.
d K1 :
d K1
1
3 1,2
0,40 202
9,81 4 2650
d K1
und somit:
0,00554 m { 5,54 mm
dK2 :
dK2
1
1
3 1,2
202
0,40
1,252
9,81 4 2650
dK 2
und somit:
0,00355 m { 3,55 mm
458
13. Umströmung von Profilen und Körpern
4. Grenzschichtbeschaffenheit an Korn 1 und Korn 2:
Mit der Definition der Re-Zahl Re
beiden betreffenden Größen Re K1
c d
im Fall der Kugelumströmung lassen sich die
Q
c1 d K
QL
1
bzw. Re K 2
c2 d K
QL
2
wie folgt berechnen.
Kugel 1:
20 0,00554
106 = 7387
15
Re K1
Re K1 = 7387 < 200000 : laminare Grenzschicht
Kugel 2:
c2
20
c1
= 16
=
§ A 2 · 1,25
¨¨
¸¸
© A1 ¹
Re K 2
m
s
16 0,00355
106 = 3787
15
Re K 2 = 3787 < 200000 : laminare Grenzschicht
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Die bisherigen Kapitel befassen sich ausnahmslos mit Fluiden konstanter Dichte. Dies trifft
auf alle Flüssigkeiten zu, sofern keine extremen Systemdrücke vorliegen. Auch strömende
Gase kann man als inkompressibel einstufen, wenn Machzahlen Ma 0,3 eingehalten werden können. Im Fall der Gas- und Dampfströmungen bei höheren Machzahlen werden Dichteveränderungen aufgrund größerer Drücke und Temperaturen unvermeidlich. Die Gesetze der
dichtebeständigen Strömungen sind dann nicht mehr anwendbar und man muss den neuen
Gegebenheiten mit hierauf angepassten Zusammenhängen Rechnung tragen. Dies ist der Inhalt der sehr umfangreichen und komplexen Thematik „Gasdynamik“, die im vorliegenden
Kapitel nur mit ein paar vereinfachten Beispielen der eindimensionalen, stationären Gasströmung exemplarisch vorgestellt werden soll. Das Zusammenwirken strömungsmechanischer
und thermodynamischer Grundlagen unter Einbeziehung des Kontinuitätsgesetzes führt zu
neuen Gleichungen, die den jeweiligen Aufgabestellungen angepasst werden müssen. Im Einzelnen gehören die folgenden Aufgaben zu folgenden Teilbereichen der Gasdynamik:
-
Machzahl, Schallgeschwindigkeit
Isentrope Stromfadenströmung
Isentrope Lavaldüsenströmung
Isotherme, verlustbehaftete Rohrströmung
Bei den nachfolgenden Berechnungen wird der Term g 'Z im Fall der hier betrachteten
Gasströmungen vernachlässigt, da er vergleichsweise klein ausfällt.
Gleichungen:
N p v
Schallgeschwindigkeit
a
Machzahl
Ma
Isentrope Stromfadenströmung
§ c 22 c12 ·
¨¨ ¸¸
©2 2¹
Lavalgeschwindigkeit
cL
Isotherme Rohrströmung
p12 p 22
c
a
N
N 1
2 N
N 1
aL
º
»
»
»¼
R i TR
§ p1 ·
2 R i T1 ª
Lº
m
«2 ln¨¨ ¸¸ O
»
p
D
A2
© 2¹
¬
¼
Isentrope Zustandsänderung
p vN
konstant
Thermische Zustandsgleichung
p
Ri
Totaltemperatur
T* T Absoluttemperatur
T
v
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
«¬
T
1
c2
2 cp
273 -
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_14,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
460
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Aufgabe 14.1 Umströmter Körper
¥1.
¥2.
¥3.
1 min
7 min
4 min
h
hhh
h
1 Punkte
7 Punkte
4 Punkte
Ein Körper wird gemäß Abb. 14.1.1 von Luft umströmt. Zuströmung und Außenströmung am
Körper verlaufen reibungsfrei, was auch auf die gewählten Stellen 1 und 2 des betrachteten
Stromfadens zutrifft. Im Punkt 1 sind Druck p1, Geschwindigkeit c1 und Dichte U1 bekannt, im
Punkt 2 dagegen nur der Druck p2. Der Isentropenexponent N von Luft liegt ebenfalls vor.
Ermitteln Sie die an den genannten Stellen benötigten Machzahlen.
Abb. 14.1.1 Umströmter Körper
Lösung zu 14.1
Aufgabenerläuterung
Wenn von reibungsfreier Strömung ausgegangen wird und, wie auch hier, keine Wärmezufuhr
und -abfuhr stattfinden soll, liegt eine isentrope Fluidströmung mit ihren spezifischen Gesetzmäßigkeiten vor. Deren Anwendung in Verbindung mit den gegebenen Größen steht im
Mittelpunkt der vorliegenden Fragen.
Gegeben:
p1 ; c1 ; U1 ; p 2 ; N ;
Gesucht:
1. Ma 1
2. Ma 2
3. Pkte. 1 und 2 , wenn:
p1
p2
Anmerkungen:
kg
m
; c1 120
m3
s
0,90 bar ; N 1,40 ;
1,20 bar ; U1
1,40
- Es wird isentrope Strömung zugrunde gelegt.
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
461
Lösungsschritte
1. Ma 1 :
Ma 1
c1
a1
a1
N p1
Machzahl an der Stelle 1
v1
Schallgeschwindigkeit an der Stelle 1. Mit v1
c1
Ma1
N
p1
U1
1
folgt
U1
.
2. Ma 2 :
Ma 2
c2
a2
a2
N p2
a2
N p2
.
U2
Machzahl an der Stelle 2
v2
Schallgeschwindigkeit an der Stelle 2. Mit v 2
1
folgt
U2
Zur Bestimmung von Ma 2 müssen also noch c2 und U 2 hergeleitet werden.
Bei der Ermittlung von c2 geht man im Fall der vorausgesetzten isentropen Körperumströmung von dem hierfür hergeleiteten Gesetz aus:
§ c 22 c12 ·
¨¨ ¸¸
©2 2¹
c 22
2
c
2
2
c2
N
N 1
N
c12
N 1
2
2 N
c N 1
2
1
2 N
c N 1
2
1
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
«¬
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
«¬
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
¬«
º
»
»
»¼
º
».
»
»¼
º
»
»
¼»
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
«¬
Das Umstellen von
c12
führt zu
2
Die Multiplikation mit 2 liefert
und mit der Wurzel hieraus folgt
º
».
»
»¼
Die in der Schallgeschwindigkeit a 2 jetzt noch benötigte Dichte U 2 lässt sich bei isentroper
1
p
dann aus N = konstant
Gasströmung mit dem Ansatz p v N konstant oder mit v
U
U
bestimmen.
462
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
An den Stellen 1 und 2 angewendet folgt:
p1
U1N
p2
.
U 2N
Da U 2 gesucht wird, muss wie folgt umgeformt werden:
U2N
U1N
p2
.
p1
§1·
Potenziert mit ¨ ¸ erhält man
©N¹
U2
U1
§ p2 · N
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
1
und nach Multiplikation mit U1 liefert dies
1
U2
U1
§ p2 · N
¨¨ ¸¸ .
© p1 ¹
Die Schallgeschwindigkeit a2 lautet folglich:
1
1
a2
N
p1N p12
1
oder
pN
N 1
U1
a2
U1 p 2N
1
p2
1
N
1
a2
bzw.
N
p1 N p 2
U1
N 1
N
Das Ergebnis für Ma2 folgt dann dem Zusammenhang
U1
Ma 2
3. Ma1 und Ma 2 , wenn:
p1
p2
ª
«c 2 2 N
« 1
N 1
«¬
N 1
§
p1 ¨ § p 2 · N
¨1 ¨ ¸
U1 ¨ ¨© U1 ¸¹
©
1
N p1 N p 2
N 1
N
·º
¸»
¸»
¸»
¹¼
.
kg
m
; c1 120
m3
s
0,90 bar ; N 1,40 ;
1,20 bar ; U1 1,40
Unter Beachtung dimensionsgerechter Anwendung der gegebenen Größen gelangt man zu:
Ma1
120
120000
1,4
1,4
2 1,4
120 1,4 1
2
Ma 2
Ma1
0,346
1, 4 1
ª
120000 « § 0,90 · 1, 4
1 ¨
¸
« © 1,20 ¹
1,4
¬
§ 1 ·
¸¸
¨¨
§ 1, 4 1 ·
¨¨ 1, 4 ¸¸
¹
120000© 1, 4 ¹ 90000©
1,4
1,40
Ma 2
0,747
º
»
»
¼
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
463
Aufgabe 14.2 Machzahl am Tragflügel
¥1.
hh
16 min
16 Punkte
Bei der Umströmung einer Flugzeugtragfläche liegt unter der Voraussetzung eines mitbewegten Koordinatensystems der in Abb. 14.2.1 erkennbare Strömungsvorgang vor. Zuströmung
und Außenströmung am Profil sollen reibungsfrei erfolgen. Ebenso wird weder Wärmezufuhr
noch -abfuhr angenommen. Dies sind die Voraussetzungen eines isentropen Strömungsvorgangs. Zu ermitteln ist die Machzahl Ma1, wenn diejenige im Zustrom Ma f bekannt ist,
ebenso wie die Geschwindigkeit an der Stelle 1 und der Isentropenexponent N der Luft.
Abb. 14.2.1 Machzahl am Tragflügel
Lösung zu 14.2
Aufgabenerläuterung
Die Erkenntnis, dass in strömenden kompressiblen Fluiden die Schallgeschwindigkeit mit
wachsender Strömungsgeschwindigkeit abnimmt und umgekehrt, steht im Mittelpunkt dieser
Aufgabe. Die betreffenden Gesetzmäßigkeiten sind zur Lösung der Fragestellung mit den gegebenen Größen zu bearbeiten.
Gegeben:
Ma f
Gesucht:
Ma1
Anmerkungen:
0,5 ;
c1
1,7 c f ; N
1,4 ;
- Bei isentropem Strömungsvorgang kann man folgende Gleichung
c2
a12
c 22
a 22
herleiten: 1 2
N 1
2
N 1
- Die Stelle ungestörter Anströmung wird mit dem Index f belegt, die
Stelle beginnender reibungsfreier Außenströmung mit dem Index 1.
464
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Lösungsschritte
Die genannte Gleichung muss zunächst auf die hier vorliegenden Stellen f und 1 abgestimmt
werden. Man kann folglich 1 { f und 2 { 1 setzen. Dies hat zur Folge:
cf2
a2
f
2
N 1
c12
a12
2
N 1
Werden jetzt die Machzahlen als gegebene bzw. gesuchte Größen aufgrund der Definition
c
c1
cf
Ma
eingeführt, so erhält man für a f
. Oben eingesetzt wird
und für a1
a
Ma1
Ma f
cf2
1
2
N 1
1
N 1
c12
Ma12
1
Ma 12
cf2
Ma f2
c12
Ma12
c12
1
2
N 1
1
N 1
c f2
N 1
Ma f2
ª 1
«
2
¬ Ma f
c12
.
Ma12
Umgestellt nach der gesuchten Ma1 -Zahl
c f2
c f2 c12
,
Ma f2
2
2
c12
2
mit N 1 multipliziert
·
§ c f2
¨¨ 2 1¸¸
¹
© c1
und danach durch c12 dividiert liefert
·º
§ c f2
¨¨ 2 1¸¸ » . Das Ergebnis entsteht aus der Wurzel des
¹¼
© c1
c f2
N 1
c12
2
reziproken Ausdrucks wie folgt:
1
Ma1
1
Ma f2
§c
¨¨
©c
2
f
2
1
·
N 1
¸¸ 2
¹
Mit den vorgegebenen Werten erhält man dann:
1
Ma1
1
0,52
2
§ cf ·
1,4 1
¨¨
¸¸ 1
,
7
c
2
f ¹
©
Ma 1
2
ª§ c
º
·
f
¸¸ 1»
«¨¨
«¬© 1,7 c f ¹
»¼
0,893
ª§ cf2
·º
«¨¨ 2 1¸¸»
¹¼
© c1
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
465
Aufgabe 14.3 Isentrope Stromfadenströmung
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
1 min
4 min
4 min
5 min
h
hh
hh
h
1 Punkte
4 Punkte
4 Punkte
5 Punkte
Die Voraussetzungen isentroper Strömung eines Fluids sind, dass weder Wärmeenergie zuoder abgeführt wird, noch Strömungsverluste berücksichtigt werden. Unter diesem Aspekt
soll die nachfolgende Luftströmung entlang eines Stromfadens betrachtet werden. An einer
Stelle 1 des Fadens kennt man Geschwindigkeit c1, Druck p1 und die Dichte U1 sowie des Weiteren an der Stelle 2 die Geschwindigkeit c2. Von bekanntem Isentropenexponenten N und
spez. Gaskonstante Ri der Luft kann ebenfalls ausgegangen werden. Zu ermitteln sind an der
Stelle 1 die Temperatur T1 und danach an der Stelle 2 der Druck p2 sowie die Temperatur T2.
Lösung zu 14.3
Aufgabenerläuterung
Die im Fall isentroper Fluidströmung hergeleiteten spezifischen Gesetzmäßigkeiten sowie die
thermische Zustandsgleichung sind als Grundlagen bei der Lösung der gestellten Fragen einzusetzen. Hierbei müssen die betreffenden Gleichungen auf die gegebenen und gesuchten
Größen abgestimmt werden.
Gegeben:
c1 ; p1 ; U1 ; c2 ; N ; Ri
Gesucht:
1.
T1
2.
p2
3.
T2
4. Pkte. 1 y 3, wenn : c 1 = 30,5
c 2 = 150
Anmerkungen:
m
; p1 3,50 bar ; U1
s
m
;
s
N 1,40 ; R i
287
2,854
kg
;
m3
N m
kg K
- Isentrope Strömung kompressibler Fluide zwischen den Stellen 1 und 2.
466
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Lösungsschritte
1. T1 :
Mit der thermischen Zustandsgleichung p
v
Ri
T und v =
1
wird nach Umstellung
U
p
. An der Stelle 1 erhält man also
U Ri
auf die gesuchte Temperatur T
p1
.
U1 R i
T1
2. p 2 :
Bei Verwendung des bekannten Ansatzes im Fall isentrop angenommener Strömung
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
«¬
§ c 22 c12 ·
¨¨ ¸¸
©2 2¹
N
N 1
N 1
ª
N
§
·
p
«1 ¨ 2 ¸
¨
¸
« © p1 ¹
«¬
º
» = N 1
»
N
¼»
§ p2 ·
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
p2
U1
N 1
N
1
N 1
N
ª
N 1
«1 N
¬
U1
p1
U1
p1
U1
p1
º
»
»
»¼
mit
N 1
N
U1
multipliziert ergibt
p1
§ c 22 c12 ·
¨¨ ¸¸ . Umgeformt nach dem Druckverhältnis
©2 2¹
§ c 22 c12 ·
¨¨ ¸¸
©2 2¹
§ c 22 c12 ·º
¸¸»
¨¨
© 2 ¹¼
und potenziert mit
N
führt dies zu
N 1
N
N 1
oder dem Ergebnis von p2:
p2
p1
ª
N 1
«1 2 N
¬
U1
p1
º
c c »
¼
2
2
2
1
N
N 1
3. T2 :
Analog zu T1 ermittelt man T2 aus T2
p2
. Da die Dichte U2 noch unbekannt ist, muss
U2 R i
auf den Zusammenhang bei isentroper Zustandsänderung p v N konstant oder
p
= konstant zurückgegriffen werden. An den Stellen 1 und 2 liefert dies
UN
p1
N
U1
p2
N
U2
oder
§ U2 ·
¨¨ ¸¸
© U1 ¹
N
1
p2
1
U
gelangt man zu 2
. Potenziert mit
p1
N
U1
1
Daher lautet dann U2
U1
§ p2 · N
¨¨ ¸¸ .
© p1 ¹
§ p2 · N
¨¨ ¸¸ .
© p1 ¹
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
467
Für T2 erhält man als Ergebnis:
§ N 1 ·
¨
¸
¹
1
T2
4. Pkte. 1 y 3, wenn :
c 1 = 30,5
p1N p©2 N
U1 R i
m
; p1 3,50 bar ; U1
s
N 1,40 ; R i
2,854
m
kg
;
; c 2 = 150
3
m
s
N m
.
kg K
287
Unter Beachtung dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen berechnet man:
p2 :
p2
1,4 1
ª
350000 «1 2 1,4
¬
1, 4
2,85
350000
150
2
º 1, 4 1
30,5 »
¼
2
p2
320175 Pa
T1
427,3 K oder -1
T1 :
T1
350000
2,854 ˜ 287
154,1qC
T2 :
T2
350000
1
1, 4
§ 1, 4 1 ·
¨¨
¸¸
© 1, 4 ¹
320175
2,854 287
T2 = 416,58 K
oder -2
143,4qC
468
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Aufgabe 14.4 Isotherme Rohrströmung
¥1.
¥2.
hhh
h
21 min
3 min
21 Punkte
3 Punkte
Bei einer im Erdreich verlegten, nicht isolierten langen Rohrleitung wird die in Folge der
Strömungsverluste entstehende Wärmeenergie nach außen abgeleitet, sodass die Temperatur
im Rohr weitgehend konstant bleibt. An zwei Stellen einer Leitung des Durchmessers D werden die statischen Drücke p1 und p2 sowie die Temperatur -1 -2 gemessen. Die beiden
Messstellen weisen den Abstand L zueinander auf. Vom Fluid (Luft) sind die spez. Gaskon sowie
stante Ri und die kinematische Zähigkeit Q bekannt. Ermitteln Sie den Massenstrom m
die Strömungsgeschwindigkeiten c1 und c2.
Lösung zu 14.4
Aufgabenerläuterung
Die vorliegende Aufgabe befasst sich mit der Anwendung der im Falle isothermer Rohrströmung hergeleiteten Berechnungsgleichung. Diese ist unter Berücksichtigung der vorliegenden
Angaben so umzustellen, dass die gesuchten Größen bestimmbar werden.
wird hierbei ein Iterationsverfahren erforderlich, da in der unbeBei der Ermittlung von m
kannten Rohrreibungszahl O die Strömungsgeschwindigkeit einfließt, die ihrerseits wieder
vom Volumenstrom und folglich vom Massenstrom abhängt.
Gegeben:
p1
5,0 bar ;
p2
3,46 bar ;
-1
-2
18o C
N m
m2
;
Q L 15,1 10 6
kg K
s
D = 150 mm ; L = 150 m ; hydr. glatte Oberfläche
Ri
Gesucht:
1.
287
m
2. c 1 ; c 2
Anmerkungen:
- Das erforderliche Iterationsverfahren soll mit O11
0,020 gestartet
werden.
- Bei hydraulisch glatten Rohren gilt die Gleichung von Nikuradse
O 0,0032 0,221 Re 0, 237 .
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
469
Lösungsschritte
:
1. m
kommt folgende Gleichung isothermer Rohrströmung zur
Zur Ermittlung von m
Anwendung:
2 R 1 T1 ª
§ p1 ·
m
Lº
«2 ln¨¨ ¸¸ O
».
2
A
D¼
© p2 ¹
¬
p12 p 22
führt zu nachstehenden Umformungen. Nach Multiplikation mit
Die Frage nach m
A2
1
ª
§ p1 ·
Lº
«2 ln¨¨ ¸¸ O
»
D¼
© p2 ¹
¬
R i T1
2
m
Ri
2
gelangt man zunächst zu m
A 2 p12 p 22
.
ª
§p ·
Lº
T1 «2 In¨¨ 1 ¸¸ O
»
D¼
© p2 ¹
¬
Nach dem Wurzelziehen sowie mit A=
S
4
D2
lautet das Ergebnis:
m
S
D2
4
p12 p 22
R i T1
1
§p ·
L
2 ln¨¨ 1 ¸¸ O
D
© p2 ¹
Unter Verwendung dimensionsgerechter Zahlenwerte entsteht die Auswertungsfunktion, die
im angesprochenen Iterationsverfahren benötigt wird:
m
S
0,152
4
m
22,071
5000002 3460002
287 291
1
0,7363 1000 O
ª kg º
«¬ s »¼
1
150
§ 5 ·
2 ln¨
¸O
3
,
46
0
,15
¹
©
mit
oder
O 0,0032 0,221 Re 0, 237 .
Zur Ermittlung der jeweils neuen Rohrreibungszahl O wird im Fall glatter Rohroberflächen
die Reynoldszahl benötigt. Diese kann als Berechnungsgleichung mit den gegebenen Größen
wie folgt bestimmt werden:
Re
V
A =
m
c
D
Q
c A
S
4
U V
D2
Reynoldszahl
Volumenstrom
Rohrquerschnittsfläche
Massenstrom
470
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
thermische Zustandsgleichung
p v Ri T
1
v
U
spez. Volumen
Mit diesen Zusammenhängen gelangt man an der Stelle 1 zu
Re1 =
4 287 291 1000000
4 R i T1
.
oder Re1 =
m
m
S D Q p1
S 0,15 15,1 500000
Es folgt somit:
Re1 93896 m
1. Iterationsschritt: O11
1
m
Re11
O12
22,071
1
0,7363 1000 0,020
Re12
O13
0,0032 0,221 455114 0, 237
22,071
Re13
O14
0,0032 0,221 5535440, 237
Re14
O15
ª kg º
«¬ s »¼
3 = 93896 5,994
93896 m
0,0032 0,221 5628580, 237
22,071
1
m
oder
Re11
oder
O12 = 0,01328
4,847
455114
kg
s
oder
2
m
oder
Re12
oder
O13 = 0,01282
oder
3
m
oder
Re13
oder
O14 = 0,012784
oder
4
m
oder
Re14
oder
O15 = 0,012781
5,895
553544
0,01282
1
0,7363 1000 0,0128 2
4. Iterationsschritt: O14
4
m
ª kg º
«¬ s »¼
2 = 93896 5,895
93896 m
22,071
kg
s
oder
0,01328
1
0,7363 1000 0,01328
3. Iterationsschritt: O13
3
m
ª kg º
«¬ s »¼
1 = 93896 4,847
93896 m
2. Iterationsschritt: O12
2
m
0,020 (wie vorgegeben)
5,994
kg
s
562858
0,01278
1
0,7363 1000 0,01278
4 = 93896 6,003
93896 m
0,0032 0,221 563690 0, 237
ª kg º
«¬ s »¼
6,003
kg
s
563690
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
471
4 der gesuchte MasDer Unterschied zwischen O14 und O15 ist vernachlässigbar, so dass mit m
senstrom mit
kg
6,0
m
feststeht.
s
2. c1 ; c 2 :
c1 :
Die Geschwindigkeit c1 lässt sich mit o.g. Zusammenhängen aus
c1 =
4 R i T1
m
S D 2 p1
Man erhält
oder
c1 =
c1
4 287 291
6,0 ermitteln.
S 0,152 500000
56,70
m
.
s
c2 :
Die Geschwindigkeit c 2 ermittelt sich bei konstantem Massenstrom wie folgt:
U1
U1 c1 A U2 c 2 A . Hieraus erhält man c 2
m
c1 . Die Dichte gemäß
U2
p
U
an den Stellen 1 und 2 gebildet und oben eingesetzt führt zu
Ri T
p1
p1
500000
R i T1
c1
c2
c1 . Damit wird c 2
56,7
c2
oder
p2
p2
346000
R i T2
c2
81,94
m
.
s
472
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Aufgabe 14.5 Geschoss
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
h
hh
h
h
1 min
4 min
1 min
4 min
1 Punkte
4 Punkte
1 Punkte
4 Punkte
Ein Geschoss fliegt mit der Geschwindigkeit c1 durch ruhende Luft. Unter Zugrundelegung
eines mit dem Geschoss mitbewegten Koordinatensystems kann der Vorgang auch in der
Weise verstanden werden, dass, wie in Abb. 14.5.1 dargestellt, eine stationäre homogene
Luftzuströmung zum ruhenden Geschoss erfolgt. Betrachtet man die strichpunktiert dargestellte mittlere Stromlinie, so sollen an einer Stelle 1 vor dem Geschoss Geschwindigkeit c1,
Druck p1 und Temperatur -1 bekannt sein. Im Staupunkt 2 dieser Stromlinie wird bekanntermaßen die Geschwindigkeit c2 = 0. Welche Werte erreichen die Machzahl bei 1 sowie der
Druck p2 im Staupunkt und die Totaltemperatur T ?
Abb. 14.5.1 Geschoss
Lösung zu 14.5
Aufgabenerläuterung
Unter den Voraussetzungen reibungsfreier Zuströmung zum Geschoss und nicht vorhandener
Wärmezufuhr oder -abfuhr liegt eine isentrope Fluidströmung mit ihren spezifischen Gesetzmäßigkeiten vor. Deren Anwendung steht bei der Ermittlung der gesuchten Größen in Verbindung mit den gegebenen Größen im Mittelpunkt der vorliegenden Aufgabe.
Gegeben:
p1 ; -1 c1 ; N ; R i ; c p
Gesucht:
1.
2.
Ma1
p2
3. T*
4. Pkt. 1 y 3 , wenn: p1
N
0,9850 bar, -1 15q C ; c1
1,40 ; R i
287
N m
; cp
kg K
320
m
s
1002
N m
kg K
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
473
Lösungsschritte
1. Ma 1 :
Mit der Definition
Ma1
c1
a1
als Machzahl an der Stelle 1 sowie
a1
N p1 v1
der Schallgeschwindigkeit
p1 v1
R i T1
und der thermischen Zustandsgleichung dort gelangt man zu:
c1
N R i T1
Ma1
2. p 2 :
Um p2 zu ermitteln, muss von nachstehender Gleichung isentroper Strömung Gebrauch gemacht werden. Hierbei ist im aktuellen Fall c2 = 0 zu setzen:
c 22 c12
2
N
N 1
N
N 1
c12
2
§ c12 ·
¨¨ ¸¸
© 2¹
§ p2 ·
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
p2
p1
N 1
N
N 1
N
ª c12
«1 2
¬
1
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
«¬
N 1
ª
º
p1 « § p 2 · N »
1 ¨¨ ¸¸
»
U1 « © p1 ¹
¬«
¼»
U1
p1
§p ·
1 ¨¨ 2 ¸¸
© p1 ¹
c12
2
N 1
N
N 1
N
U1 º
»
p1 ¼
N 1
N
º
».
»
»¼
Dies liefert zunächst
.
Multipliziert mit
,
U1
p1
N
N 1
N 1
N
§p ·
dann getrennt nach ¨¨ 2 ¸¸
© p1 ¹
sowie potenziert mit
.
Mit p1 v1
p1
U1
U1
p1
N 1
N
N
führt zu
N 1
R i T1 oder
U1
p1
eingesetzt und noch mit p1 multipliziert gelangt man zum gesuchten Ergebnis:
p2
p1
ª c12
«1 2
¬
N 1
N
1
Ri
º
T1 »¼
N
N 1
1
R i T1
474
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
3. T* :
1
c 2 wird sinnvoller2 cp
weise an der Stelle 1 ermittelt, da hier alle erforderlichen Größen bekannt sind, also:
Die Totaltemperatur der Strömung kompressibler Fluide T* T T1 T*
4. Pkt. 1 y 3 , wenn: p1
Ri
1
2 cp
c12
N
0,9850 bar, -1 15q C ;
287
N m
; cp
kg K
1002
1,40 ;
N m
kg K
Die Berechnung der betreffenden Zahlenwerte liefert unter Berücksichtigung dimensionsgerechter Anwendung der gegebenen Größen folgende Resultate:
Ma 1 : Ma1
320
1,4 287
288
,
wobei
T1
273 15
Ma 1 = 0,9407
p2 :
p2
1, 4
ª 320 2
98500 «1 2
¬
1,4 1
1,4
p2
T*:
T
288 º 1, 4 1
287 288 »¼
1
174233 Pa { 1,742 bar
1
3202
2 1002
T* = 339,1 K { 66 qC
288 K
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
475
Aufgabe 14.6 Gasbehälter mit Kolben
¥1.
¥2.
¥3.
6 min
4 min
3 min
h
hhh
h
6 Punkte
4 Punkte
3 Punkte
Ein sehr großer zylindrischer Gasbehälter wird gegenüber der Atmosphäre von einem Kolben
vollkommen abgedichtet. Der Kolben mit der Masse m erzeugt im Behälter einen homogenen
Druck p1. An der Stelle 2 im Behälterboden strömt das Gas aufgrund des Drucks p1 mit der
Geschwindigkeit c2 ins Freie. Zwischen Kolben und Behälterwand sollen keine Haft- oder
Reibungskräfte wirksam werden. Wie groß wird der Druck p1 und wie groß muss die Kolbenmasse m gewählt werden, um eine gewünschte Austrittsgeschwindigkeit c2 zu erzeugen?
Hierbei ist von einem bekannten Durchmessern D1 auszugehen ebenso wie von der spez.
Gaskonstanten Ri und dem Isentropenexponent N. Die Temperatur an der Stelle 1 liegt mit -1
ebenfalls vor.
Abb. 14.6.1 Gasbehälter mit Kolben
Lösung zu 14.6
Aufgabenerläuterung
Bei der Bestimmung des Drucks ist vom Kräftegleichgewicht am Kolben auszugehen. Wenn
auch der Kolben nur eine vernachlässigbare Sinkgeschwindigkeit aufweisen soll, so ist bei der
Lösung der Frage nach der den Druck p1 erzeugenden Masse dennoch von einem Strömungsprozess von 1 nach 2 auszugehen. Da kein Wärmeaustausch stattfinden soll und Strömungsverluste ausgeschlossen werden, sind die Gesetze der isentropen Strömung anzuwenden.
Gegeben:
D1 ; -1 ; c 2 ; p B ; N ; R i
476
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Gesucht:
1.
p1
2. m
3. Pkte.1 y 2, wenn: N
c2
Anmerkungen:
1,4 ; R i 287
N m
; pB
kg K
m
; D1
s
300 mm
100
100000 Pa ; -1
27q C ;
- Kolben sinkt nicht nennenswert ab: c1 | 0 .
- Keine gewichtskraftbedingte Druckverteilung im eingeschlossenen Gas.
- Haft- oder Reibungskräfte am Kolben sind vernachlässigbar.
Lösungsschritte
1. p1 :
Kräftegleichgewicht am Kolben:
n ¦ Fi z
0
Fp1 FG Fp B .
Hierin sind
Fp1
p1 A1
die Druckkraft auf untere Kolbenfläche,
FG
g m
die Gewichtskraft des Kolbens und
Fp B
p B A1
die Druckkraft auf obere Kolbenfläche.
Diese Zusammenhänge oben eingesetzt und nach dem gesuchten Druck p1 getrennt führt zunächst zu p1
A1
S
4
A1
pB
A1 FG . Nach Division durch A1 und unter Verwendung der Fläche
D12 gelangt man zum Ergebnis:
p1
pB 4 g m
S D12
2. m :
Bei der vorgegebenen Austrittsgeschwindigkeit c 2 , die bei dem isentropen Strömungsvorgang
entscheidend vom Druck p1 und somit wiederum von der gesuchten Kolbenmasse m abhängt,
ist als Ansatz folgender Zusammenhang zu verwenden:
N 1
§
·
¨ § p2 · N ¸
N
c 22 c12
R i T1 ¨1 ¨¨ ¸¸
¸
N 1
2 2
¨ © p1 ¹
¸
©
¹
Mit den hier vorliegenden Gegebenheiten c1 | 0 und p 2 p B folgt:
c 22
2
N
N 1
N 1
§
¨ § pB · N
R i T1 ¨1 ¨¨ ¸¸
¨ © p1 ¹
©
·
¸
¸
¸
¹
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
477
Da die gesuchte Masse m im Druck p1 ( s.o. ) enthalten ist, muss dieser wie folgt aus der
Gleichung heraus isoliert werden.
N 1
1
Multipliziert man die Gleichung mit
und stellt die Seiten um, so entsteht
N
R i T1
§p ·
1 ¨¨ B ¸¸
© p1 ¹
§ pB ·
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
N 1
N
N 1
N
1
c 22
2
N 1
N
1
R i T1
oder
c 22
2
N 1
N
1
.
R i T1
Mit
§ pB ·
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
ª c 22
«1 2
¬
N 1
N
pB
ª c 22
«1 2
¬
N 1
N
p1
1
º
T1 »¼
1
º
T1 »¼
Ri
Ri
pB
p1
ª c
«1 2
¬
2
2
N 1
N
1
Ri
º
T1 »¼
N
N 1
N
N 1
N
N 1
N
potenziert
N 1
und danach mit p1 multipliziert ergibt
,
oder nach p1 umgestellt
Setzen wir jetzt p1
.
pB g m
(s.o.),
A1
so liefert dies
pB g m
A1
g m
A1
pB
ª c
«1 2
¬
N 1
N
2
2
1 º
R i T1 »¼
pB
ª c 22
«1 2
¬
pliziert sowie A1
N 1
N
S
4
1 º
R i T1 »¼
N
N 1
oder
N
N 1
pB .
pB ausgeklammert und mit
A1
multig
D12 gesetzt führt zum Ergebnis:
m =
3. Pkte.1 y 2, wenn: N
c2
pB
S
D12
4
g
1,4 ; R i 287
100
m
; D1
s
ª
«
«
«
« ª c2
« «1 2
2
¬« ¬
1
N 1
N
N m
; pB
kg K
1
Ri
º
T1 »¼
N
N 1
100000 Pa ; -1
º
»
»
1»
»
»
¼»
27q C ;
300 mm ;
Hier muss zunächst die Masse m berechnet werden, die danach zur Bestimmung des Drucks
p1 erforderlich ist. Es ist wie immer auf dimensionsgerechten Gebrauch der gegebenen
Größen zu achten.
478
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
m :
Mit T1 = ( 273 + -1 ) berechnet sich die Masse zu
m=
S
0,30 2
4
ª
«
100000 «
«
9,81 «
ª 1002
« «1 2
¬« ¬
1
1, 4
1,4 1
1,4
m = 43,45 kg.
p1 :
p1
100000 4 9,81 43,45
S 0,302
p1
oder
106030 Pa
287
º 1, 4 1
1
273 27 »¼
º
»
»
1» oder
»
»
¼»
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
479
Aufgabe 14.7 Rohrleitung mit Kegeldiffusor
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
¥5.
¥6.
5 min
4 min
3 min
6 min
3 min
11 min
hh
hh
hh
hhh
hh
hh
5 Punkte
4 Punkte
3 Punkte
6 Punkte
3 Punkte
11 Punkte
Eine Rohrleitung wird gemäß Abb. 14.7.1 von einem Gas (Luft) in der eingezeichneten Richtung durchströmt. Zwischen den beiden Rohrabschnitten unterschiedlicher Durchmesser D1
und D2 ist eine stetige Rohrerweiterung (Kegeldiffusor) installiert. In einem Referenzpunkt 1
vor dem Diffusor sind Durchmesser D1, Druck p1, Temperatur -1 und Machzahl Ma1 bekannt.
Des Weiteren ist das Verhältnis des Drucks in einem anderen Referenzpunkt 2 nach dem Diffusor bezogen auf den Druck vor dem Diffusor gegeben. Isentropenexponent N sowie die
spez. Gaskonstante Ri des Fluids liegen ebenfalls vor. Bei dem Strömungsprozess sollen die
Verluste vernachlässigt werden. Es wird auch davon ausgegangen, dass kein Wärmeaustausch
über die Rohrwände zwischen strömendem Fluid und der Umgebung stattfindet. Gesucht wird
, der durch die Leitung fließt. Ebenso sollen die Geschwindigkeit c2, die
der Massenstrom m
Dichte U2 und die Machzahl Ma2 im Referenzpunkt 2 ermittelt werden. Abschließend ist die
Frage nach der Bemessung des Durchmessers D2 zu klären.
Abb. 14.7.1 Rohrleitung mit Kegeldiffusor
Lösung zu 14.7
Aufgabenerläuterung
Bei dem hier zugrunde gelegten isentropen Strömungsvorgang sind die betreffenden Gesetzmäßigkeiten im Einklang mit den Vorgaben zur Lösung der gefragten Größen anzuwenden.
Vom Kontinuitätsgesetz kompressibler Fluide und der thermischen Zustandsgleichung ist
gleichfalls Gebrauch zu machen.
p
Gegeben:
D1 ; p1 ; -1 ; Ma 1 ; 2 ; N ; R i
p1
Gesucht:
1. m
2. c 2
3. U2
4. Ma2
480
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
5. D2
6. Pkte. 1 y 5, wenn: D1
p2
p1
300 mm ; p1 = 5,30 bar ; -1 =127 qC ; Ma 1 = 0,50;
N m
1,1808 ; N 1,40 ; R i = 287
kg K
Lösungsschritte
:
1. m
U c A = konstant und somit im
Das Kontinuitätsgesetz kompressibler Fluide lautet m
U1 c1 A1 . Die hierin benötigten Größen lassen sich wie folgt
vorliegenden Fall m
bestimmen.
1
p1
liefert hier U1
.
U1 : Die thermische Zustandgleichung p v R i ˜ T mit v =
U
R i T1
c
c1
an der Stelle 1, also Ma1
, und die Schallc1 : Die Definition der Machzahl Ma
a
a1
N R i T respektive a1
geschwindigkeit a
N
Umstellung zu c1 = Ma1
Ri
N R i T1 führen nach einer
T1 .
S
D12 .
4
gelangt man zu
Mit diesen Zusammenhängen in der Gleichung für m
A1: Die Fläche des Kreisquerschnitts bei der Stelle 1 lautet A1
m
S
4
D12
Ma1
N
Ri
m
T1
p1
Ri
T1
oder zu dem Ergebnis
S
D12 Ma1 p1
4
N
R i T1
.
2. c 2 :
Die gesuchte Geschwindigkeit c2 ist Bestandteil der Gleichung, die bei isentropen Strömungen
hergeleitet werden kann zu:
N 1
º
ª
N
§
·
c2
p
c 22 c12
N
».
«
2
¨
¸
R i T1 1 ¨ ¸
Sie wird folglich umgeformt nach 2
»
« © p1 ¹
2 2
N 1
2
»¼
«¬
N 1
ª
º
§ p2 · N »
c 22 c12
N
«
R i T1 1 ¨¨ ¸¸
,
dann mit 2 multipliziert
« © p1 ¹
»
2
2
N 1
¬«
¼»
N 1
º
ª
§p · N »
2 N
und die Wurzel hieraus gezogen
c 22 c12 R i T1 «1 ¨¨ 2 ¸¸
»
« © p1 ¹
N 1
¼»
¬«
c2
2 N
c N 1
2
1
N 1
ª
§ p2 · N
«
R i T1 1 ¨¨ ¸¸
« © p1 ¹
«¬
º
».
»
¼»
Da c1
Ma 1
N
Ri
T1 (s.o.), wird
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
c2
Ma
N R i T1 2
1
2 N
N 1
481
N 1
ª
§ p2 · N
«
R i T1 1 ¨¨ ¸¸
« © p1 ¹
«¬
º
»
»
»¼
oder unter der Wurzel N R i T1 ausgeklammert:
c2
ª
2
N R i T1 «Ma12 «
N 1
«¬
N 1
§
¨ § p2 · N
¨1 ¨¨ ¸¸
¨ © p1 ¹
©
·º
¸»
¸»
¸»
¹¼
3. U2 :
Bei isentroper Zustandsänderung gilt p v N = konstant oder hier mit v
p1
U1N
p2
.
U2N
U2N
U1N
§ p2 ·
¨¨ ¸¸.
© p1 ¹
U2
U1
§ p2 · N
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
1
U
Umgeformt nach der gesuchten Dichte U 2 erhält man zunächst
Potenziert mit
1
liefert dies
N
1
und nach U2 umgestellt:
1
§ p ·N
U 2 U1 ¨¨ 2 ¸¸
© p1 ¹
Zur hierin noch unbekannten Dichte U1 gelangt man mittels thermischer Zustandsgleichung
an der Stelle 1 wie folgt.
p1
p1
.
p1 v1 R i T1 oder
R i T1 bzw. umgeformt liefert U1
R i T1
U1
Eingesetzt in o.g. Gleichung führt zum Ergebnis der gesuchten Dichte an der Stelle 2:
1
U2
p1
R i T1
§ p2 · N
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
4. Ma 2 :
Ma 2
c2
a2
Machzahl an der Stelle 2
Strömungsgeschwindigkeit an der Stelle 2 (s.o.)
c2
a2
N p2
a2
N
p2
U2
v2
Schallgeschwindigkeit an der Stelle 2 mit v 2
1
U2
482
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
§ p2 ·
¨¨ ¸¸ p1 und die Dichte U2
© p1 ¹
Setzt man den Druck p 2
1
p1
R i T1
§ p2 · N
¨¨ ¸¸ ein, so ergibt dies
© p1 ¹
1
a2
§ p2 ·
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
N
p1
R i T1
a2
N Ri
p1
oder nach Kürzen und Zusammenfassen
1
§ p2 · N
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
§p ·
T1 ¨¨ 2 ¸¸
© p1 ¹
N 1
N
.
Die gesuchte Ma2-Zahl lässt sich, nachdem c2 und a2
vorliegen, ermitteln zu:
ª
2
N R i T1 ««Ma12 N 1
¬«
Ma 2
N 1
§
¨ § p2 · N
¨1 ¨¨ ¸¸
¨ © p1 ¹
©
§p ·
N R i T1 ¨¨ 2 ¸¸
© p1 ¹
N 1
N
§ p1 ·
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
Ma 2
·º
¸»
¸»
¸»
¹¼
oder nach Kürzen:
ª
«Ma 2 2
« 1
N 1
«¬
N 1
N
N 1
§
¨ § p2 · N
¨1 ¨¨ ¸¸
¨ © p1 ¹
©
·º
¸»
¸»
¸»
¹¼
5. D 2 :
Aus dem Kontinuitätsgesetz kompressibler Fluide
S
S
) U1 c1 A1 U2 c 2 A 2
(m
mit A1
D12 und A 2
D 22 nach Kürzen
4
4
S
S
U1 c1
D12 U2 c 2
D 22
und umgeformt nach D 22 erhält man
4
4
U c
oder nach dem Wurzelziehen:
D 22 D12 1 1
U2 c2
1
D2
D1
U1
U2
U
Mit dem Dichteverhältnis 1
U2
c1
.
c2
§ p1 · N
¨¨ ¸¸ (s.o.)
© p2 ¹
und den bekannten Geschwindigkeiten c1 und c2 wird der Durchmesser D2 berechnet mit:
1
D2
D1
§ p1 · N
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
c1
c2
Auf die Verwendung der Gleichungen genannter Geschwindigkeiten wird hier wegen einer
besseren Übersicht verzichtet.
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
6. Pkte. 1 y 5, wenn:
483
D1
300 mm ; p1 = 5,30 bar ; -1 =127 qC ; Ma 1 = 0,50;
p2
p1
1,1808 ; N
1,40 ; R i = 287
N m
kg K
Unter Beachtung dimensionsgerechter Verwendung der Zahlenangaben berechnet man die
gesuchten Größen wie folgt:
:
m
m
S
0,30 2 50
4
1,4
530000
287 400
m
kg
s
65,41
c2 :
ª
2 º §¨
1,4 287 400 «0,52 1 1,1808
1,4 1 »¼ ¨©
¬
c2
1, 41
1, 4
·
¸
¸
¹
m
s
c2
33,2
U2
5,199
U2 :
U2
530000
287 400
1,1808
1
1, 4
kg
m3
Ma 2 :
§ 1 ·
¨
¸
© 1,1808 ¹
Ma 2
1, 4 1
1, 4
ª
2
2
«0,50 1,4 1
¬
Ma 2
§1 1,1808
¨
©
1, 4 1
1, 4
·º
¸»
¹¼
0,0809
D2 :
Mit
c1
D2
0,30
0,50
1,4 287 400 = 200,45
m
und c 2
s
1
§ 1 ·1, 4
¨
¸
© 1,1808 ¹
200,45
33,2
D2
0,695 m { 695 mm
33,2
m
(s.o.) wird:
s
484
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Aufgabe 14.8 Luftstrahl mit Pitot-Rohr
¥1.
¥2.
hhh
h
7 min
2 min
7 Punkte
2 Punkte
Aus einem Druckbehälter strömt an der Stelle 1 Luft ins Freie, wobei der Druck p1 und die
Temperatur -1 bekannt sind. Ein kurzes Stück hinter dem Austritt wird ein Pitot-Rohr zur Geschwindigkeitsmessung in den ausströmenden Luftstrahl installiert. Die Spitze der Sonde an
der Stelle 2 ist ihr Staupunkt mit der Eigenschaft, dass dort die Geschwindigkeit c 2 0 wird.
Der im Staupunkt wirksame Druck p2 setzt sich in der Sonde bis in den linken Schenkel eines
angeschlossenen U-Rohrmanometers fort und verschiebt dort die eingefüllte Messflüssigkeit
der Dichte UM um die Höhe 'h. Der rechte Schenkel des Manometers ist zur Atmosphäre hin
geöffnet. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit c1 unter Berücksichtigung der gegebenen Größen. Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Strömung von 1 nach 2 verlustfrei verläuft und kein
Wärmeaustausch stattfindet.
Abb. 14.8.1 Luftstrahl mit Pitot-Rohr
Lösung zu 14.8
Aufgabenerläuterung
Der bei der Geschwindigkeitsmessung im U-Rohr wirkende Druck p2 ist Bestandteil der im
vorliegenden Fall isentroper Strömung bekannten Berechnungsgleichung. Diese muss mit den
hier verfügbaren besonderen Gegebenheiten in der Weise umgeformt werden, dass die gesuchte Geschwindigkeit c1 unter Einbeziehung der Vorgaben erkennbar wird.
Gegeben:
Gesucht:
p B ; -1 ; 'h ; UM ; N ; R i
p1
1.
c1
15q C ; 'h 200 mm;
kg
N m
; UM 13560
287
kg K
m3
2. c 1 , wenn: p B = 1,0 bar ; -1
N
1,4 ; R i
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Anmerkungen:
485
- Die Luftdichte im U-Rohr ist vernachlässigbar gegenüber der Messflüssigkeitsdichte UM .
Lösungsschritte
1. c1 :
Unter Verwendung der Gleichung isentroper Strömung und den Besonderheiten, dass die Geschwindigkeit im Staupunkt des Pitot-Rohrs c 2
querschnitt der Düse p1
p B ist, entsteht zunächst:
N 1
·
§
¨ § p2 · N ¸
R1 T1 ¨1 ¨¨ ¸¸
¸
¸
¨ © pB ¹
¹
©
N 1
·
§
¨ §p · N ¸
c2
N
R 1 T1 ¨1 ¨¨ 2 ¸¸
1
¸.
2
N 1
¸
¨ © pB ¹
¹
©
N 1
·
§
¸
¨§ p · N
c12
N
R i T1 ¨ ¨¨ 2 ¸¸
1¸
2
p
N 1
¸
¨© B ¹
¹
©
N 1
·
§
¸
¨§ p · N
2 N
c12
R i T1 ¨ ¨¨ 2 ¸¸
1¸
p
N 1
¸
¨© B ¹
¹
©
c 22 c12
2 2
c1
0 sowie der statische Druck im Austritts-
N
N 1
2 N
N 1
Ri
Multipliziert mit 1 führt dies zunächst zu
oder nach Multiplikation mit 2
und dann der Wurzel hieraus:
N 1
·
§
¨ § p2 · N
¸
¨
¸
T1 ¨ ¨ ¸
1¸
p
¨© B ¹
¸
¹
©
Der jetzt noch unbekannte Druck p2 lässt sich wie folgt ermitteln. Am U-Rohrmanometer
herrscht in der 0 – 0-Ebene Druckgleichheit, also p 2
p B UM g 'h , wenn wie vereinbart
die Luftdichte im U-Rohr vernachlässigt wird. Oben eingesetzt folgt hiermit
c1
2 N
N 1
Ri
N 1
·
§
¸
¨ § p B UM g 'h · N
¨
¸
T1 ¨ ¨
1¸
¸
p
B
¹
¸
¨©
¹
©
c1
2 N
N 1
Ri
oder weiter vereinfacht
N 1
·
§
¸
¨ § UM g 'h · N
¸¸
T1 ¨ ¨¨1 1¸ .
p
B
¹
¸
¨©
¹
©
486
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
15q C ; 'h
N m
; UM
287
kg K
2. c 1 , wenn: p B = 1,0 bar ; -1
N
1,4 ; R i
200 mm;
kg
13560
m3
Die Berechnung der Geschwindigkeit am Düsenaustritt führt bei dimensionsgerechter Verwendung der gegebenen Größen zu folgendem Ergebnis:
c1
2 1,4
1,4 1
287
273 15
1, 4 1
§
·
¨ § 13560 9,81 0,20 · 1, 4
¸
1
1
¨
¸
¨©
¸
100000
¹
¨
¸
©
¹
c1 = 200,9
m
s
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
487
Aufgabe 14.9 Druckbehälter mit Düse (und Diffusor)
¥1.
¥2.
¥3.
hhh
h
h
9 min
1 min
6 min
9 Punkte
1 Punkte
6 Punkte
Gemäß Abb. 14.9.1 strömt aus einem Druckbehälter Luft durch eine Düse ins Freie. Im Behälter sind der Druck p0 und die Temperatur T0 bekannt, und die Geschwindigkeit an der Stel 1 , wenn reile 0 kann c0 = 0 gesetzt werden. Wie groß ist der austretende Massenstrom m
bungsfreie Strömung vorausgesetzt wird und kein Wärmeaustausch stattfinden soll? Welche
2 , der sich bei sonst gleichen Bedingungen
Größe erreicht des Weiteren der Massenstrom m
einstellt, aber am Düsenaustritt ein Diffusor angeflanscht wird? Neben den schon genannten
Größen sind noch der Düsenaustrittsdurchmesser D1 und der Diffusoraustrittsdurchmesser D2
bekannt, ebenso wie der Isentropenexponent N und die spez. Gaskonstante Ri der Luft.
Abb. 14.9.1 Druckbehälter mit Düse (und Diffusor)
Lösung zu 14.9
Aufgabenerläuterung
Aufgrund der genannten Voraussetzungen liegt in beiden Fällen isentrope Gasströmung vor.
Die diesbezüglichen Gesetzmäßigkeiten unter Berücksichtigung der besonderen Gegebenheiten vorliegenden Beispiels sowie die Kontinuitätsgleichung kompressibler Fluide und die
thermische Zustandsgleichung führen zur Lösung der gestellten Fragen.
Gegeben:
p 0 ; p B ; T0 ; D 1 ; D 2 ; R i ; N ;
Gesucht:
1 (ohne nachgeschalteten Diffusor)
1. m
2 (mit nachgeschaltetem Diffusor)
2. m
3. Pkte. 1 + 2, wenn: p 0 1,60 bar ; p B 1,0 bar ; T0 300 K ;
N m
; N 1,40 ; D1 50 mm ; D 2
R i 287
kg K
100 mm
488
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Lösungsschritte
1 :
1. m
1 im Düsenaustritt wird die Kontinuitätsgleichung bei
Zur Ermittlung des Massenstroms m
kompressiblen Fluiden m1 U1 c1 A1 herangezogen. U1, c1 und A1 lassen sich wie folgt
bestimmen.
U1 : Die Ermittlung der Dichte im Düsenaustritt kann mit dem bei isentropen Vorgängen
1
bekannten Gesetz p v N = konstant durchgeführt werden. Unter Verwendung von v
U
lässt sich dann mit p1 = pB formulieren:
p0 p B
oder nach U1N umgestellt:
U0N U1N
pB
1
U1N U0N
.
Mit
potenziert folgt
p0
N
1
U1
U0
§ pB · N
¨¨ ¸¸ .
© p0 ¹
p0 v0
U0
R i T0
U0 wiederum wird mittels thermischer Zustandsgleichung
p0
U0
ersetzt. Hieraus erhält man
p0
.
R i T0
Dies in U1 eingesetzt liefert die gesuchte Dichte:
1
U1
p0
R i T0
§ pB · N
¨¨ ¸¸
© p0 ¹
c1 : Die noch unbekannte Austrittsgeschwindigkeit an der Stelle 1 lässt sich mit der bei isentropen Strömungsvorgängen bekannten Gleichung ermitteln.
c 22 c12
2 2
N
N 1
R i T1
N 1
ª
N
«1 §¨ p 2 ·¸
¨
¸
« © p1 ¹
«¬
º
» .
»
¼»
Hierbei sind in o.g. Gleichung die Indizes wie folgt auszutauschen:
Index 2 { Index 1
c12 c 02
2 2
N
N 1
und
R i T0
Index 1 { Index 0.
N 1
ª
N
«1 §¨ p1 ·¸
« ¨© p0 ¸¹
«¬
º
» .
»
»¼
Die hier vorliegenden besonderen Gegebenheiten c0
c12
2
N
N 1
R i T0
N 1
ª
N
«1 §¨ p B ·¸
« ¨© p 0 ¸¹
«¬
0 sowie p1
p B führen dann zu
º
» . Multipliziert mit 2 und die Wurzel gezogen ergibt
»
¼»
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
2 N
N 1
c1
R i T0
ª
«1 §¨ p B ·¸
« ¨© p 0 ¸¹
«¬
N 1
N
489
º
».
»
»¼
S
D 12 .
4
1 eingefügt liefern
Diese gefundenen Zusammenhänge in der Gleichung des Massenstroms m
das gesuchte Resultat:
A1 : Im Fall des kreisförmigen Austrittsquerschnitts lautet die Fläche A 1
1
1
m
p0
S
D12
4
R i T0
oder wenn
§ pB · N
¨¨ ¸¸
© p0 ¹
2 N
N 1
R i T0
N 1
ª
N
§
·
p
«1 ¨ B ¸
« ¨© p 0 ¸¹
«¬
º
»
»
»¼
1
unter die Wurzel gebracht wird:
R i T0
1
1
m
§ pB · N
¨¨ ¸¸
© p0 ¹
S
D12 p 0
4
2
N
N 1
1
R i T0
N 1
ª
N
«1 §¨ p B ·¸
« ¨© p0 ¸¹
«¬
º
»
»
»¼
2:
2. m
Bei isentroper Strömung ändert sich im Fall des nachgeschalteten Diffusors an der Austrittsgeschwindigkeit und auch an der Dichte im Austrittsquerschnitt nichts, da der Durchmesser
D in beiden o.g. Gleichungen für c und Ukeinen Einfluss hat. Es ist also c 2 c1 und
2 verändert sich gegenüber m
1 lediglich mit dem neuen
U2 U1 . Der neue Massenstrom m
S
Austrittsquerschnitt A 2
D 22 , also:
4
1
2
m
3. Pkte. 1 y 2, wenn: p 0
§ pB · N
¨¨ ¸¸
© p0 ¹
S
D 22 p0
4
2
1,60 bar ; p B 1,0 bar ; T0
N
N 1
1
R i T0
300 K ; R i
287
N 1
ª
N
«1 §¨ p B ·¸
« ¨© p 0 ¸¹
«¬
N m
; N
kg K
1,40 ;
D1 = 50 mm ; D2 = 100 mm
Das bekannte Zahlenmaterial dimensionsadäquat eingesetzt liefert:
1,4
1,4 1
1, 4 1
ª
1, 4
1
·
§
«1 ¨ ¸
287 300 « © 1,6 ¹
¬
º
»
»
¼
1,4
1,4 1
1, 4 1
ª
1, 4
«1 §¨ 1 ·¸
287 300 « © 1,6 ¹
¬
º
»
»
¼
1
1:
m
1
m
S
§ 1 ·1, 4
0,052 160000 ¨ ¸
4
© 1,6 ¹
1
m
0,718
2
kg
s
1
2:
m
2
m
S
§ 1 ·1, 4
0,10 2 160000 ¨ ¸
4
© 1,6 ¹
2
m
2,870
1
2
kg
s
1
º
»
»
¼»
490
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Aufgabe 14.10 Druckluftbehälter mit Lavaldüse
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
9 min
7 min
2 min
3 min
hh
hh
hh
hh
9 Punkte
7 Punkte
2 Punkte
3 Punkte
Lavaldüsen, wie in Abb. 14.10.1 dargestellt, zeichnen sich dadurch aus, dass nach Erreichen
der Schallgeschwindigkeit im engsten Querschnitt an der Stelle L eine weitere Beschleunigung der Geschwindigkeit bis zum Austritt an der Stelle 2 erfolgt und somit ab dem engsten
Querschnitt eine Überschallströmung vorliegt. An der Stelle 1 im Behälter sind Druck p1,
Temperatur T1 und die Geschwindigkeit c1 = 0 bekannt. Des Weiteren liegen der Druck am
Austritt p2 = pB und der Durchmesser im engsten Querschnitt DL vor. Der Isentropenexponent N und die spez. Gaskonstante Ri der ausströmenden Luft gehören ebenfalls zu den gegebenen Größen. Der Strömungsvorgang von 1 über L nach 2 soll verlustfrei erfolgen und auch
kein Wärmeaustausch zwischen Düse und Umgebung stattfinden. Zu ermitteln sind Geschwindigkeit cL, Druck pL, Dichte UL und Temperatur TL im engsten Querschnitt sowie Geschwindigkeit c2, Dichte U2 und Temperatur T2 im Austrittsschnitt. Weiterhin sollen der Mas und der Austrittsdurchmesser D2 bestimmt werden.
senstrom m
Abb. 14.10.1 Druckluftbehälter mit Lavaldüse
Lösung zu 14.10
Aufgabenerläuterung
Aufgrund der genannten Voraussetzungen liegt isentrope Gasströmung durch die Lavaldüse
vor. Die diesbezüglichen Gesetzmäßigkeiten unter Berücksichtigung der besonderen Gegebenheiten vorliegenden Beispiels sowie die Kontinuitätsgleichung kompressibler Fluide und
die thermische Zustandsgleichung werden bei der Lösung der gestellten Fragen benötigt.
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Gegeben: p1 = 9,0 bar ; -1
Gesucht:
1.
2.
3.
4.
Anmerkungen:
491
230q C ; p B = 1,0 bar ; R i
287
N m
; N 1,4 ; D L
kg K
40 mm
c L ; p L ; UL ; TL ;
c 2 ; U2 ; T2 ;
m
D2
- Annahme isentroper Strömung.
- Index „1 “ : Größen des ruhenden Zustands im Behälter (c1 = 0).
- Index „L“ : Größen im engsten Querschnitt (Laval) bei
Schallgeschwindigkeit.
Lösungsschritte
1. c L ; p L ; UL ; TL :
c L : Die im engsten Querschnitt vorliegende Geschwindigkeit c L ist gleich der dort entste-
henden Schallgeschwindigkeit a L . Diese berechnet sich aus:
cL
2 N
N 1
aL
R i T1 .
273 - als Absoluttemperatur einzusetzen ist, die Geschwindigkeit
sichtigung, dass T
2 1,4
1,4 1
cL
Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man unter Berück-
287 503
oder
cL
410,4
m
.
s
p L : Den bei L entstehen Druck p L berechnet man aus:
N
ª 2 º N1
« N 1 »
¼
¬
pL
p1
pL
ª 2 º 1, 4 1
900000 «
»
¬ 1,4 1 ¼
Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man:
1, 4
pL
475454 Pa
UL : Die bei L resultierende Dichte stellt man mit p v N = konstant sowie v
Stellen 1 und L angewendet folgendermaßen fest:
p1
U1N
pL
.
ULN
Nach UL zunächst umgeformt
1
an den
U
492
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
ULN
U1N
pL
p1
und mit
UL
§p · 1
U1 ¨¨ L ¸¸ N .
© p1 ¹
Die hierin noch unbekannte Dichte U1 im Behälter bestimmt
1
potenziert führt zunächst zu
N
man mittels thermischer Zustandsgleichung p1 v1
p1
U1
U1
U1
U1
R i T1
R i T1 und v1
1
mit
U1
und nach Umstellung zu
p1
.
R i T1
900000
287 503
kg
6,234 3
m
Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man
oder
Damit kennt man UL wie folgt:
1
UL
§ 475454 ·1, 4
6,234 ¨
¸
© 900000 ¹
UL
3,952
kg
m3
TL :
Da die Drücke und Dichten an den Stellen 1 und L sowie auch die Temperatur bei 1 bekannt
sind, wird zur Ermittlung von TL die thermische Zustandsgleichung an den Stellen 1 und L
verwendet.
p1
R i T1 und
U1
Die Auflösung nach
p
U1
TL T1 L
.
p1 UL
475454
TL 503
900000
pL
p1
pL
R i TL nach Ri umgestellt liefert R i
.
UL
U1 T1
UL TL
TL ergibt die gesuchte Temperatur im engsten Querschnitt
Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man
6,234
3,952
oder
TL
419,2 K
{ 146,2q C .
2. c 2 ; U2 ; T2 :
c 2 : Bei isentroper Strömung zwischen den Stellen 1 und 2 kennt man die Gleichung
c 22 c12
2 2
c 22
2
N
N 1
N
N 1
N 1
§
¨ § p2 · N
R i T1 ¨1 ¨¨ ¸¸
¨ © p1 ¹
©
N 1
§
¨ § pB · N
R i T1 ¨1 ¨¨ ¸¸
¨ © p1 ¹
©
·
¸
¸.
¸
¹
·
¸
¸ . Mit den besonderen Gegebenheiten des vorliegen¸
¹
den Falls c1 0 und p 2 p B wird dann
Mit 2 multipliziert und die Wurzel gezogen ergibt
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
N 1
§
¨ § pB · N
R i T1 ¨1 ¨¨ ¸¸
¨ © p1 ¹
©
c2
2 N
N 1
c2
2 1,4
1,4 1
·
¸
¸.
¸
¹
493
Die Zahlenangaben eingesetzt führen zu
1, 4 1
§
¨ § 100000 · 1, 4
287 503 ¨1 ¨
¸
¨ © 900000 ¹
©
oder
c2
·
¸
¸
¸
¹
686,4
m
.
s
U2 : Die Dichte im Austrittsquerschnitt lässt sich analog zu UL bestimmen. Dies führt zu
1
U2
U1
§ p2 · N
¨¨ ¸¸ .
© p1 ¹
Mit den Zahlenangaben erhält man dann
1
U2 = 6,234
§ 100000 ·1, 4
¨
¸
© 900000 ¹
oder
U2
1,298
T2 : Die thermische Zustandsgleichung p v
kg
.
m3
R i T und v =
1
liefern bei Auflösung
U
nach T an der Stelle 2 :
T2
p2
.
U2 R i
Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man
T2
100000
1,298 287
oder
T2
268,4 K
{ 4,6q C .
:
3. m
UL c L A L liefert mit
Die Durchflussgleichung an der Stelle L eingesetzt m
S
AL
D 2L :
4
S
UL c L
m
D 2L .
Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man
4
S
3,952 410,4
oder
m
0,0402
4
kg
2,038
m
.
s
494
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
4. D 2 :
Den Austrittsdurchmesser D 2 der Lavaldüse ermittelt man ebenfalls aus der Durchflussgleichung, jetzt aber logischerweise an der Stelle 2 angesetzt:
m
U c2 A 2 = U c2
S
D 22 . Umgeformt nach dem gesuchten Durchmesser D2 ergibt
4
sich zunächst
S
D 22
4
m
U2 c 2
.
Nach Multiplikation mit
4
und die Wurzel gezogen liefert
S
D2
4 m
.
S U2 c 2
Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man
D2
4 2,038
S 1,298 686,4
oder
D 2 = 0,05397 m { 54 mm.
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Aufgabe 14.11 Ringförmige Lavaldüse
1.
2.
3.
4.
5.
hhhh
hh
h
hhhh
h
495
Übungsbeispiel
Eine Lavaldüse besonderer Art lässt sich in Abb. 14.11.1 erkennen. Hier strömt aus einem
Druckbehälter Luft in eine Rohrleitung kreisförmigen Querschnitts. In dieser Rohrleitung ist
ein rotationssymetrischer Körper installiert, mit dem eine verdrängende Wirkung auf das umströmende Fluid ausgeübt wird. Die Kontur des Körpers ist derart beschaffen, dass der freie
Raum zwischen Rohr und Körper dem einer ringförmigen Lavaldüse entspricht. Im Behälter
ist an der Stelle 1 neben c1 = 0 noch der Druck p1 bekannt. Am Ende dieser „Lavaldüse“ an
der Stelle 2 liegen Druck p2 und Temperatur T2 vor. Als geometrische Größen sind Rohrdurchmesser D und Enddurchmesser D2 des Körpers gegeben. Weiterhin ist von bekanntem
Isentropenexponent N und spez. Gaskonstanten Ri der Luft auszugehen. Bei den Berechnungen wird verlustfreie Strömung angenommen und es darf kein Wärmeaustausch zwischen
dem Fluid und der Umgebung stattfinden. An der Stelle 2 soll zunächst die Machzahl Ma2
zu beantworten. Nach
ermittelt werden. Des Weiteren ist die Frage nach dem Massenstrom m
der anschließenden Bestimmung der Temperatur im Behälter T1 gilt es noch, den Durchmesser DL im engsten Strömungsquerschnitt festzustellen.
Abb. 14.11.1 Ringförmige Lavaldüse
Lösung zu 14.11
Aufgabenerläuterung
Aufgrund der genannten Voraussetzungen liegt isentrope Gasströmung durch die ringförmige
Lavaldüse vor. Die diesbezüglichen Gesetzmäßigkeiten unter Berücksichtigung der besonderen Gegebenheiten vorliegenden Beispiels sowie die Kontinuitätsgleichung kompressibler
Fluide und die thermische Zustandsgleichung werden bei der Lösung der gestellten Fragen
benötigt.
496
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Gegeben:
D ; D 2 ; p1 ; p 2 ; T2 ; N ; R i
Gesucht:
1. Ma 2
2. m
3. T1
4. DL
5. Pkt. 1 y 4 , wenn: D = 200 mm ; D2 = 50 mm ; p1
p2
Anmerkungen:
283 K ; N
0,10 bar ; T2
0,80 bar ;
1,40 ; R i
287
N m
kg K
- Annahme einer isentropen Strömung.
- Die Größen im engsten Strömungsquerschnitt sind mit dem Index „L“
belegt (Laval).
Lösungsschritte
1. Ma 2 :
Die Definition der Machzahl lautet allgemein Ma
c
und somit an der Stelle 2:
a
c2
. Die benötigten Geschwindigkeiten c2 und a2 müssen in den anschließenden
a2
Schritten unter Verwendung der gegebenen Größen ermittelt werden.
Ma 2
c2 : Bei isentropem Strömungsprozess wird folgender Zusammenhang hergeleitet:
c 22 c12
2
N
N 1
º
» . Mit c
1
»
¼»
0
p1 v1
N 1
ª
N
«1 §¨ p 2 ·¸
¸
¨
« © p1 ¹
«¬
º
»,
»
¼»
der Multiplikation mit 2
2 N
N 1
p1 v1
N 1
ª
N
«1 §¨ p 2 ·¸
¸
¨
« © p1 ¹
«¬
º
» ,
»
¼»
dem Austausch von v1
2 N
N 1
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
«¬
c 22
2
N
N 1
c
2
2
c
2
2
c2
p1 v1
N 1
ª
N
«1 §¨ p 2 ·¸
« ¨© p1 ¸¹
«¬
2 N
N 1
º
»
»
»¼
N 1
ª
p1 « § p 2 · N
1 ¨ ¸
U1 « ¨© p1 ¸¹
¬«
1
U1
und schließlich der Wurzel folgt das Ergebnis
º
»,
»
¼»
in welchem die Dichte U1 noch unbekannt ist.
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
497
U1 : Bei vorausgesetzter isentroper Strömung gilt p v N = konstant. Mit v
Anwendung an den Stellen 1 und 2:
p1 p 2
.
U1N U 2N
p1
U1N U 2N
p2
1
wird bei
U
Zunächst nach U1N umgeformt
und weiter mit
1
potenziert führt zu
N
1
U1
§ p1 · N
¨¨ ¸¸ .
© p2 ¹
U2
p v
Ri
Die Dichte U 2 bestimmt man aufgrund
p
U
T oder
Ri
T
an der Stelle 2 mit
p2
U2
R i T2 ,
bzw. umgestellt nach der gesuchten Dichte:
U2
p2
.
R i T2
Diesen Ausdruck in der Dichte U1 verwendet
U1
p2
1
c2
Ri
T2
2 N
N 1
§ p1 · N
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
c2
N 1
ª
N
«1 §¨ p 2 ·¸
« ¨© p1 ¸¹
«¬
p1 R i T2
1
p2
2 N
N 1
und eingefügt in die Gleichung für c2 liefert
§ p1 · N
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
1
N
1
p11 p1
R i T2
p12 p 2 N
§
1·
1 ¸
N¹
N 1
ª
N
«1 §¨ p 2 ·¸
« ¨© p1 ¸¹
«¬
p1¨©
c2
N R i T2
2
N 1
§ p1 ·
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
c2
N 1
º
ª
N R i T2 «§ p1 · N
¨¨ ¸¸
2
1» .
»
«© p 2 ¹
N 1
»¼
¬«
p
§ 1·
¨ 1 ¸
© N¹
2
N 1
N
1
1
§ p ·N p N
Dann ¨¨ 1 ¸¸ = 1 1 gesetzt
© p2 ¹
p2 N
N 1
ª
N
·
§
p
«1 ¨ 2 ¸
¸
¨
« © p1 ¹
«¬
N R i T2
2
N 1
c2
º
».
»
¼»
º
» und die beiden Drücke zusammengefasst
»
»¼
º
»
»
¼»
N 1
ª
N
·
§
p
«1 ¨ 2 ¸
¸
¨
« © p1 ¹
«¬
führt zur gesuchten Geschwindigkeit c2
º
»
»
»¼
oder
a2 :
Die Schallgeschwindigkeit an der Stelle 2 lautet a 2
standsgleichung p v
N p 2 v 2 . Mittels thermischer Zu-
R i T erhält man dann auch a 2
N R i T2 .
498
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
Die Frage nach Ma2 löst sich, indem man nun die Gleichungen für c2 und a2 in die Definition
c2
einsetzt und vereinfacht:
Ma 2
a2
N 1
º
ª
N R i T2 «§ p1 · N
¨¨ ¸¸
2
1»
»
«© p 2 ¹
N 1
»¼
¬«
N R i T2
Ma 2
N 1
º
ª
N R i T2 «§ p1 · N
¨¨ ¸¸
2
1»
»
«© p 2 ¹
N 1
»¼
«¬
N R i T2
Das Resultat lautet dann:
Ma 2
2
N 1
N 1
º
ª
N
»
«§¨ p1 ·¸
1
»
«¨© p 2 ¸¹
«¬
¼»
:
2. m
U c A . An
Den Massenstrom liefert die Durchflussgleichung für kompressible Fluide m
der Stelle 2, wo alle erforderlichen Größen bekannt sind bzw. sich aus vorangegangenen Er U2 c 2 A 2 .
gebnissen ermitteln lassen, lautet der Massenstrom demzufolge m
U2 :
U2
p2
R i T2
(s.o.)
c2 :
N 1
º
ª
N R i T2 «§ p1 · N
¨¨ ¸¸
2
1»
»
«© p 2 ¹
N 1
»¼
¬«
c2
(s.o.)
A2 :
Der freie Strömungsquerschnitt A2 ist als Differenz der beiden Kreisflächen
S
D 22 zu erkennen. Somit folgt A 2
4
strom eingesetzt
m
S
4
D D
2
2
2
S
4
S
D 2 und
4
D 2 D 22 . Diese drei Ergebnisse in den Massen-
N 1
º
ª
1
N R i T2 «§ p1 · N
¨¨ ¸¸
unter die Wurzel
2
1» und
»
«© p 2 ¹
R i T2
N 1
»¼
¬«
p2
R i T2
gebracht liefert:
m
S
4
D D
2
2
2
p2
2
N
N 1
1
R i T2
ª
«§¨ p1 ·¸
«¨© p 2 ¸¹
«¬
N 1
N
º
1»
»
¼»
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
499
3. T1:
Zur Temperatur an der Stelle 1 gelangt man unter Anwendung der thermischen Zustands1
nach T1 umgestellt:
gleichung p v R i T mit v
U
p1
.
Setzt man jetzt
T1
U1 R i
1
U1
p2
R i T2
§ p1 · N
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
(s.o.)
ein, so liefert dies zunächst
p11 p1
p1
T1
p2
R i T2
§ p1 ·
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
1
N
1
N
T2
p12 p 2
Ri
T1
T2
1
N
§ p1 ·
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
.
Gleiche Drücke zusammengefasst ergibt:
N 1
N
4. D L :
Zur Ermittlung von DL werden zwei Ansätze des engsten Strömungsquerschnitts Amin in der
Lavaldüse mit der dort einsetzenden Schallgeschwindigkeit benötigt. Zum einen handelt es
sich um den rein geometrischen Zusammenhang für Amin, der sich aus der Differenz zweier
Kreisflächen A min
S
4
AL
D 2 D 2L darstellen lässt.
Einen weiteren Zusammenhang für Amin leitet man bei isentroper Strömung ab zu
§
¨
m
A min
1
ª N 1 º ¨© 2
N U1 p1 «¬ 2 »¼
N 1
N 1
·
¸¸
¹
.
Die Größen mit dem Index 1 sind die des Ruhezustands, hier die an der Stelle 1 im Druckbehälter. Ersetzt man die Dichte U1
m
A min
T1
A min
T2
R i T1
N p1 p1
§ p1 ·
¨¨ ¸¸
© p2 ¹
m
§
¨
ª N 1 º ¨© 2
«¬ 2 »¼
p1
R i T1
N 1 ·
¸
N 1 ¸¹
, so gelangt man zu
.
Die weiter oben festgestellte Temperatur
N 1
N
§p ·
R i T2 ¨¨ 1 ¸¸
© p2 ¹
N p1 p1
eingefügt
N 1
N
§
¨
ª N 1 º ¨© 2
«¬ 2 »¼
N 1
N 1
·
¸¸
¹
§p ·
und mit ¨¨ 1 ¸¸
© p2 ¹
N 1
N
1
§ p2 ·
¨¨ ¸¸
© p1 ¹
N 1
N
führt zu
500
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
m
A min
N
p11 p11
p1
p2
§ N 1 ·
¸
¨
© N ¹
§ N 1 ·
¸
¨
© N ¹
§
¨
§ N 1 ·
2 ¨
¸
© N ¹
1
N p
§ N 1·
2¨
¸
© N ¹
p2
2 N N 1
N
N 1 ·
¸
N 1 ¸¹
ª N 1 º ¨© 2
«¬ 2 »¼
R i T2
m
A min
§
¨
ª N 1 º ©¨ 2
«¬ 2 »¼
R i T2
§ N 1 ·
¸
¨
© N ¹
. Gleiche Drücke zusammengefasst liefert
N 1 ·
¸
N 1 ¸¹
. Den Exponenten bei p1 mit
N 1
N
ersetzt ergibt:
N 1
m
A min
S
4
Die geometrische Größe A min
R i T2
N
1
p1
N 1
N
N 1
N
D 2 D 2L hiermit verknüpft und nach dem gesuchten
D2 4
A min . Wird die Wurzel gezogen, erhält man:
S
D2 4
A min
S
Durchmesser umgestellt liefert D 2L
DL
mit Amin (s.o.)
5. Pkt. 1 y 4 , wenn: D = 200 mm ; D2 = 50 mm ; p1
T2
p2
ª N 1 º 2 N 1
«¬ 2 »¼
283 K ; N
1,40 ; R i
0,80 bar ; p 2
N m
287
kg K
0,10 bar ;
Die dimensionsgerechte Verwendung der gegebenen Zahlen vorausgesetzt lassen sich die gesuchten Größen wie folgt berechnen.
5.1. Ma2 :
2
1,4 1
Ma 2
1, 4 1
ª
º
1, 4
«§¨ 0,8 ·¸
1»
«© 0,1 ¹
»
¬
¼
Ma 2 = 2,01
:
5.2. m
m
S
4
0, 2 0,05
2
2
10000
m
2
1, 4
1, 4 1
2,463
kg
s
1
287 283
1, 4 1
º
ª
1, 4
0
,
8
·
§
Ǭ
1»
¸
»
«© 0,1 ¹
«¬
¼»
14. Fluidströmungen mit Dichteänderungen
501
3. T1:
T1
§ 0,8 ·
¨
¸
© 0,1 ¹
1, 4 1
1, 4
283
T1 = 512,6 K { 239,6 qC
4. D L :
1, 4 1
A min
2,463
287 283
1,4
1
80000
1, 4 1
1, 4
10000
1, 4 1
1, 4
ª 1,4 1 º 2 1, 4 1
«¬ 2 »¼
A min = 0,01725 m 2
DL
0,22 4
0,01725
S
D L = 0,134 m { 134 mm.
15. Strömungsmaschinen
Die Berechnungen wesentlicher Komponenten von Strömungsmaschinen und den Anlagen, in
denen sie betrieben werden, beruhen u.a. auf den Grundlagen der Strömungsmechanik und
Thermodynamik. Die Anwendung der in den vorangegangenen Kapiteln vorgestellten Grundkenntnisse soll hier anhand einiger weniger Aufgaben demonstriert werden. Neben den schon
benutzen Gesetzmäßigkeiten der Vorkapitel kommt des Weiteren zur Ermittlung des Energiebedarfs in einer Anlage dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik besondere Bedeutung zu. Im
Fall einer flüssigkeitsbetriebenen Pumpenanlage lässt sich folgender Zusammenhang herleiten:
YAnl.
2
p OW p UW cOW
c 2UW
g
U
2
ZOW Z UW YVR
ow y uw
YAnl.
p OW
p UW
Gesamtenergiebedarf in der Anlage
Druck auf dem oberwasserseitigen Flüssigkeitsspiegel
Druck auf dem unterwasserseitigen Flüssigkeitsspiegel
cOW
Geschwindigkeit des oberwasserseitigen Flüssigkeitsspiegels (meist <<)
c UW
ZOW
ZOW
YVRow yuw
Geschwindigkeit des unterwasserseitigen Flüssigkeitsspiegels (meist <<)
Höhenkote des oberwasserseitigen Flüssigkeitsspiegels
Höhenkote des unterwasserseitigen Flüssigkeitsspiegels
Rohrleitungsverluste zwischen Unter- und Oberwasserspiegel
U
Flüssigkeitsdichte
YAnl. muss von der installierten Pumpe in jedem Betriebspunkt ( { Volumenstrom) bereitgestellt werden, wozu sie bei korrekter Auslegung auch in der Lage ist. Zwischen dem Anlagebedarf YAnl. und der von der Pumpe an die Flüssigkeit übertragenen Energie Y besteht immer
Gleichgewicht, also
YAnl. Y .
Diese Pumpenförderenergie Y lässt sich experimentell aus der Differenz der Energiezustände
im Druckstutzen und Saugstutzen wie folgt bestimmen.
Y
pD
pS
cD
cS
ZD
ZS
p D pS c 2D cS2
g
U
2
Z D ZS
Druck im Druckstutzen
Druck im Saugstutzen
Geschwindigkeit im Druckstutzen
Geschwindigkeit im Saugstutzen
Höhenkote des Druckstutzens
Höhenkote des Saugstutzens
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_15,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
504
15. Strömungsmaschinen
Aufgabe 15.1 Wasserförderung in einen Druckbehälter
¥1.
¥2.
¥3.
12 min
4 min
13 min
hhh
h
hhh
12 Punkte
4 Punkte
13 Punkte
Eine U-Pumpe fördert aus einem See Wasser in einen geschlossenen Hochbehälter, in welchem der Systemdruck pSys. herrscht. Von diesem Hochbehälter wird der hinauftransportierte
zu den Verbrauchern weitergeleitet. Somit bleibt der Flüssigkeitsspiegel
Massenstrom m
auch im Behälter konstant. Die Rohrleitungsführung und -abmessungen sind Abb. 15.1.1 zu
entnehmen. Welche spez. Förderarbeit (-energie) Y muss bei gegebenem Massenstrom m
von der Pumpe zur Bewältigung des Wassertransports zur Verfügung gestellt werden? Wie
groß wird des Weiteren der Druckunterschied ( p D pS ) zwischen Saug- und Druckstutzen
max . die
der Pumpe? Zum Schluss soll festgestellt werden, welchen maximalen Massenstrom m
Pumpe gerade noch fördern darf, ohne dass die Strömung an der gefährdeten Stelle (hier S)
abreißt.
Abb. 15.1.1 Wasserförderung in einen Druckbehälter
15. Strömungsmaschinen
505
Lösung zu 15.1
Aufgabenerläuterung
Bei der Lösung des ersten Teils dieser Aufgabe muss auf den spezifischen Energiebedarf
YAnl. der Anlage zurückgegriffen werden. Hierin sind u.a. die Rohrleitungsverluste mittels
strömungsmechanischer Grundlagen zu ermitteln. Der zweite Aufgabenteil lässt sich dann unter Verwendung der spezifischen Pumpenstutzenenergie Y bearbeiten. Diese erhält man als
Energiedifferenz zwischen Druckstutzen D und Saugstutzen S, wobei hier nach dem Druckanteil gefragt wird. Beide spezifischen Energien YAnl. und Y sind in jedem Betriebspunkt gleich.
Die Gefahr, dass die Strömung abreißt, liegt dann vor, wenn an der gefährdeten Stelle der örtliche Druck den Dampfdruck der Flüssigkeit unterschreitet, und ein schlagartiger Phasenwechsel von Flüssigkeit zu Dampf stattfindet (Kavitation).
kg
kg
; p Sys. = 3,5 bar ; p B = 1,0 bar ; pDa. = 0,0234 bar ; U = 1000 3
s
m
O D = 0,028 ; ] Ein = 0,50 ; ] Aus = 1,0 ; ] Kr = 0,25.
= 450
m
Gegeben:
OS
Gesucht:
1. YAnl.
2. ( p D pS )
max .
3. m
Anmerkungen:
- Den in einer flüssigkeitsbetriebenen Anlage erforderlichen spezifischen
Energiebedarf ermittelt man aus:
2
p OW p UW cOW
c 2UW
YAnl.
g ZOW Z UW YVR
ow y uw
U
2
- Die zur Abdeckung dieses Bedarfs von der Pumpe bereitgestellte spezifische Stutzenenergie lautet: Y
p D pS c 2D cS2
g
U
2
Z D ZS
Lösungsschritte
1. YAnl. :
2
p OW p UW cOW
c 2UW
g
U
2
spiegeln vorliegenden Besonderheiten p OW
Gemäß YAnl.
pSys p B
YAnl.
U
g
ZOW Z UW YVRohr
ow y uw
pSys , p UW
und den an den Wasser-
p B und cOW
c UW
0 folgt:
ZOW Z UW YVRohrow yuw .
Bis auf die Rohrleitungsverluste sind alle anderen Größen bekannt. Die Verluste lauten:
YVRohrowyuw = YVRohr + YVRohr
S
YVRohr
=
S
Gesamtrohrleitungsverluste
D
YVEin + YVRe ib .
Saugseitige Rohrleitungsverluste
S
506
15. Strömungsmaschinen
YVRohr = YVRe ib . + YVKr . + YVAus
D
2
S
c
2
= ] Ein
YVEin
Druckseitige Rohrleitungsverluste
D
Eintrittsverluste
YVRe ib . = O S
LS cS2
DS 2
Reibungsverluste saugseitig
YVRe ib . = O D
L D c 2D
DD 2
Reibungsverluste druckseitig
S
D
YVKr . = ] Kr
YVAus = ] Aus
c 2D
2
c 2D
2
Krümmerverluste
Austrittsverluste
Zusammengestellt erhält man für die Gesamtrohrleitungsverluste
YVRohr
ow yuw
cS2
LS cS2
OS
+ OD
2
DS 2
] Ein
LD
DD
c2
c2
c 2D
+ ] Kr D ] Aus D
2
2
2
oder nach Ausklammern der Geschwindigkeitsenergien:
YVRohrow yuw
cS2
2
ª
«] Ein O S
¬
L S º c 2D
»
DS ¼ 2
ª
º
LD
] Kr ] Aus » .
« OD
DD
¬
¼
Die umgeformte Durchflussgleichung c
saugseitig cS
4
m
U S DS2
V
sowie V
A
bzw. druckseitig c D
m
und A
U
4
m
.
U S D 2D
S
D 2 liefern
4
Die Zahlenwerte dimensionsgerecht eingesetzt ergibt dann
cS
450 4
1000 S 0,352
4,68
m
s
450 4
1000 S 0,30 2
bzw. c D
6,37
m
.
s
Wertet man jetzt oben stehende Verlustgleichung aus
YVRohr
ow y uw
4,682 ª
6 º 6,37 2
0,5 0,028
«
2
0,35 »¼
2
¬
YVRohrow y uw = 250,0
113
ª
º
« 0,028 0,3 0,25 1,0 » , so führt dies zu
¬
¼
Nm
.
kg
Gemäß Abb. 15.1.1 lässt sich für ZOW Z UW = 85 m ablesen. Den Anlageenergiebedarf
YAnl.
350000 100000
9,81 85 250,0 berechnet man folglich zu
1000
YAnl. = 1334
Nm
.
kg
15. Strömungsmaschinen
507
2. p D pS :
Der Druckunterschied p D pS ist Bestandteil der spezifischen Pumpenstutzenenergie
p D pS c 2D cS2
g ZD ZS . Wegen der Gleichheit YAnl. = Y und nach Umformung
2
U
zu p D pS liefert dies mit jetzt vollständig bekannten Größen:
U
p D pS
U YAnl. c 2D cS2 U g ZD ZS
2
Y
Da gemäß Abb. 15.1.1 Z D ZS = 2,5 m ist und unter Beachtung dimensionsgerechter
Verwendung der anderen Zahlenwerte
p D pS
1000 1334 1000
2
6,37 2 4,682 1000 9,81 2,5
p D pS
lautet das Ergebnis:
1300038 Pa { 13,0 bar
max . :
3. m
max . ohne die Gefahr des Strömungsabrisses muss unter der VorausDie Bestimmung von m
setzung erfolgen, dass der statische Druck im Saugstutzen gerade noch größer als der Dampfdruck des Wassers ist, also pS min ! p Da . .
max . = U V
m
max .
lässt sich an der Stelle S mittels Durchflussgleichung
V
max .
max . = U cS max . AS darstellen. Zur erforderlichen Geschwindurch m
cS max . AS
digkeit cSmax . gelangt man mittels Bernoullischer Gleichung an den Stellen UW und S wie folgt:
p UW c 2UW
g Z UW
2
U
pS cS2
g ZS YVRohr
S
2
U
Hierin korrespondiert pS min mit cS max . , so dass man auch schreiben kann:
pS min cS2 max .
p UW c 2UW
g Z UW
g ZS YVRohr . Mit c UW 0 und pUW = pB folgt:
S
2
2
U
U
2
pS
pS min cS max .
pB
g Z UW
g ZS YVRohr . Die Gleichung zunächst nach min aufgelöst
S
2
U
U
U
2
cS
pS min p B
g Z UW ZS max . YVRohr , die Verluste YVRohr dann wie oben eingeführt
S
S
2
U
U
YVRohr = YVEin + YVRe ib . ,
jetzt jedoch mit cS max . als Bezugsgeschwindigkeit, liefert
S
YVRohr
S
cS2 max .
S
2
ª
LS º
«] Ein O S
».
D
S¼
¬
Somit entsteht für
508
pS min
U
pS min
15. Strömungsmaschinen
pB
g
U
pB g U
Z UW ZS cS2 max .
2
Z UW ZS cS2 max .
2
ª
LS º
«] Ein O S
»
DS ¼
¬
oder auch
ª
U 2
LS º
cS max . «1 ] Ein O S
».
2
D
S¼
¬
Führt man nun die Bedingung pS min ! p Da . ein, so gelangt man zu
pB g U
Z UW ZS ª
LS º
U 2
cS max . «1 ] Ein OS
» > pDa. .
2
D
S¼
¬
Da nach cS max . gefragt ist, erfolgt die Umformung
ª
LS º
U 2
cS max . «1 ] Ein OS
» p B p Da . g U Z UW ZS .
2
DS ¼
¬
2
Die Multiplikation mit
führt zu
ª
LS º
U «1 ] Ein O S
DS »¼
¬
cS2 max . 2
cS max . p B p Da . g U Z UW ZS
ª
LS º
U «1 ] Ein O S
»
D
S¼
¬
oder nach dem Wurzelziehen
ª p B p Da .
º
g Z UW ZS »
«
U
¼.
2 ¬
ª
LS º
»
«1 ] Ein O S
DS ¼
¬
max . = U AS
m
max . = U cS max . A S lautet dann
m
º
ª p B p Da .
g Z UW ZS »
«
U
¼ , und mit A
2 ¬
S
ª
LS º
1
]
O
Ein
S
«
»
DS ¼
¬
S
max . = U
m
DS2
4
S
DS2 erhält man
4
º
ª p B p Da .
g Z UW ZS »
«
U
¼ .
2 ¬
ª
LS º
«1 ] Ein O S
»
DS ¼
¬
Unter Beachtung dimensionsgerechter Zahlenwerte führt dies zu dem maximal zulässigen
Massenstrom
ª 100000 2340.
º
9,81 5,5»
«¬
S
1000
2
¼
max . = 1000
m
oder
0,35
2
6 º
4
ª
«1 0,5 0,028 0,35 »
¬
¼
max . = 1191
m
kg
.
s
15. Strömungsmaschinen
509
Aufgabe 15.2 Pumpe zwischen Druckkesseln
¥1.
15 min
hh
15 Punkte
Häufig werden Kreiselpumpen in Anlagen der chemischen Industrie, Kraftwerkstechnik, Verfahrenstechnik etc. benötigt, um dort zwischen Kesseln oder Druckbehältern mit unterschiedlichen Systemdrücken Flüssigkeiten verschiedenartiger Eigenschaften zu fördern. Oftmals
verbinden lange Rohrleitungen mit diversen Einbauelementen die Behälter, die auch noch in
voneinander abweichenden Höhen aufgestellt sein können. Beim Transport der Flüssigkeiten
muss die jeweilige Pumpe den Gesamtenergiebedarf der Anlage, der sich aus mehreren Anteilen zusammensetzt, bereitstellen. Dieser Energiebedarf ist für das in Abb. 15.2.1 erkennbare
System zu ermitteln, wobei von bekannten Anlage- und Flüssigkeitsgrößen sowie gegebenem
Massenstrom ausgegangen werden kann.
Abb. 15.2.1 Pumpe zwischen Druckkesseln
Lösung zu 15.2
Aufgabenerläuterung
Der Berechnungsschwerpunkt dieser Aufgabe liegt in der Ermittlung sämtlicher Strömungsverluste der saugseitigen (Index S) und druckseitigen (Index D) Rohrleitung, die als Bestandteile des Gesamtenergiebedarfs zu berücksichtigen sind. Die Indizes OW und UW stehen für
die Stellen „Oberwasser“ bzw. „Unterwasser“ der Flüssigkeitsspiegel und die hier vorliegenden Größen.
510
15. Strömungsmaschinen
Gegeben:
Gesucht:
m
= 125
p UW
Z UW
LS
DS
OS
] Kr
] Ein
=
=
=
=
=
=
=
1,5
2,5
20
0,2
0,025
0,3
0,50
kg
s
bar
m
m
m
;
U
= 998
;
;
;
;
;
;
;
p OW
Z OW
LD
DD
OD
] Sch
] Aus
=
=
=
=
=
=
=
kg
m3
bar
m
m
m
8,0
7,5
40
0,15
0,025
0,3
1,0
YAnl
Anmerkungen:
- Die Flüssigkeitsspiegel sollen sich zeitlich nicht ändern, d.h.
ZOW = konstant, ZUW = konstant und cOW
c UW
0.
- Die von der Anlage benötigte Energie lautet:
YAnl
p OW p UW
c 2 c 2UW
OW
g
U
2
ZOW Z UW YVRohr
UW yOW
Lösungsschritte
1. YAnl :
Unter Beachtung der besonderen Gegebenheiten cOW
p OW p UW
g
U
YAnl
YVRohr
UW yOW
YVEin
ZOW Z UW YVRohr
UW yOW
c UW
0 lautet YAnl dann:
. Zu den Verlusten gelangt man wie folgt:
= YVEin YVRS 2 YVKrS YVSchS YVSch D 2 YVKrD YVR D YVAus
] Ein
YVRS = O S
YVKrS
] Kr
YVSchS
] Sch
YVSch D
] Sch
YVKrD
] Kr
cS2
;
2
LS cS2
DS 2
cS2
;
2
cS2
2
c 2D
2
c 2D
2
Eintrittsverluste in die saugseitige Rohrleitung
Reibungsverluste in der saugseitigen Rohrleitung
Krümmerverluste in der saugseitigen Rohrleitung
Schieberverluste in der saugseitigen Rohrleitung
Schieberverluste in der druckseitigen Rohrleitung
Krümmerverluste in der druckseitigen Rohrleitung
15. Strömungsmaschinen
YVR = O D
D
LD
DD
c 2D
2
] Aus
YVAus
c2D
2
511
Reibungsverluste in der druckseitigen Rohrleitung
Austrittsverluste aus der druckseitigen Rohrleitung
Alle genannten Einzelverluste oben eingesetzt und nach saugseitigen und druckseitigen Anteilen zusammengefasst liefern
YVRohr
UW yOW
=
cS2 ª
LS º c 2D
«] Ein 2 ] Kr ] Sch O S
»
2 ¬
DS ¼ 2
ª
LD º
«] Aus 2 ] Kr ] Sch O D D » .
D¼
¬
Damit stellt sich der Gesamtenergiebedarf dieser Anlage wie folgt dar:
YAnl
p OW p UW
g
U
ZOW Z UW cS2 ª
LS º c 2D ª
LD º
] Aus 2 ] Kr ] Sch O D
«] Ein 2 ] Kr ] Sch OS
»
2 ¬
DS ¼ 2 «¬
D D »¼
Zur konkreten Auswertung müssen zunächst die Strömungsgeschwindigkeiten cS und c D be , Durchflussgleichung V
c A und
U V
kannt sein. Dies gelingt mittels Massenstrom m
S
Kreisquerschnittsfläche A
D 2 an den Stellen S und D:
4
V
4 V
4 m
4 125
m
cS
cS
3,99
2
S 998 0,22
AS S DS S U DS2
s
V
4 V
4 m
4 125
m
cD
cD
7,09
S 998 0,152
A D S D 2D S U D 2D
s
Mit diesen Geschwindigkeiten und den gegebenen Verlustziffern gelangt man zu
YVRohr
UW yOW
2
2
= 3,99 ª«0,5 2 0,3 0,3 0,025 20 º» 7,09 ª«1,0 2 0,3 0,3 0,025
2
oder YVRohr
YAnl =
UW yOW
0,2 ¼
¬
= 246,2
2
¬
40 º
0,15 »¼
Nm
. Die Drücke und Höhenkoten noch eingesetzt liefert
kg
8,0 1,5 105
9,81 7,5 2,5 246,2 und schließlich das Ergebnis:
998
YAnl = 946,6
Nm
kg
512
15. Strömungsmaschinen
Aufgabe 15.3 Axialventilator
¥1.
¥2.
hh
h
13 min
3 min
13 Punkte
3 Punkte
In Abb. 15.3.1 ist ein horizontaler Axialventilator zu erkennen, wie er z.B. in Tunnelbelüftungssystemen zum Einsatz kommt. Die Durchmesser des Gehäuses DGeh. und des Stators
D N sind bekannt, ebenso wie die statischen Drücke in den Querschnitten 1 und D. Aufgrund
der nur geringen Druckänderungen kann von einem inkompressiblen Fluid (Luft) mit der
wird vom Ventilator gefördert?
Dichte U ausgegangen werden. Welcher Volumenstrom V
Abb. 15.3.1 Axialventilator
Lösung zu 15.3
Aufgabenerläuterung
Die Frage nach dem transportierten Volumenstrom lässt sich aufgrund der bekannten Größen
mittels Bernoullischer Gleichung, dem Kontinuitätsgesetz und der Durchflussgleichung beantworten.
Gegeben:
p D ; p1 ; U ; D Geh. ; D N
Gesucht:
1.
V
2.
, wenn: p = 100815 Pa ; p = 100712 Pa ;
V
D
1
U = 1,25
Anmerkungen:
kg
;
m3
D Geh. = 0,85 m ; D N = 0,425 m ;
- Horizontale Anordnung
- Annahme einer verlustfreien Strömung von 1 nach D
- Inkompressible Strömung
15. Strömungsmaschinen
513
Lösungsschritte
:
1. V
c A an der Stelle 1 angewendet liefert V
Die Durchflussgleichung V
lautet der freie Kreisringquerschnitt A1 A Geh. A N mit
S
2
Kreisquerschnitt des Gehäuses
A Geh.
DGeh
.
4
S
4
AN
D 2N
c1 A1 . Hierin
Kreisquerschnitt des Stators.
kann man somit zunächst wie folgt formulieren:
Den Volumenstrom V
V
c1
S
2
2
(DGeh
. DN )
4
Die noch fehlende Geschwindigkeit c1 bestimmt man aus der Bernoullischen Gleichung an
den Stellen 1 und D ohne Verluste (s.o.):
p1 c12
g Z1
2
U
p D c 2D
g ZD . Berücksichtigt man die horizontale Lage Z1
U
2
ZD
und stellt nach Geschwindigkeits- und Druckgrößen um, so führt dies zu
c12 c 2D
2
2
p D p1
,
U
c12
2
§ c 2D ·
¨¨1 2 ¸¸
c1 ¹
©
V
c1 A1
cD
c1
A1
AD
oder nach Ausklammern von
p D p1
.
U
cD A D
und mit A1
A Geh A N
A
1 N .
A Geh
A Geh
S
2
A Geh.
DGeh
und
.
4
2
cD ª § D N · º
¸ ».
«1 ¨
c1 « ¨© D Geh ¸¹ »
¬
¼
2
c12 ª §
D2 · º
«1 ¨¨1 2 N ¸¸ »
2 « © D Geh. ¹ »
¬
¼
c12
2
Die Kontinuitätsgleichung bei inkompressiblen Fluiden
angewendet und nach
cD
c1
cD
umgeformt ergibt zunächst
c1
A Geh. A N
Werden dann noch die Kreisquerschnitte
AN
S
4
D 2N eingesetzt, so folgt
In oben stehender Gleichung verwendet entsteht
p D p1
U
p D p1
.
2
ª §
D 2N · º
U «1 ¨¨1 2 ¸¸ »
«¬ © DGeh. ¹ »¼
c12
auf der linken Seite:
2
2
ª §
D2 · º
oder nach Division durch «1 ¨¨1 2 N ¸¸ »
«¬ © D Geh . ¹ »¼
Nach Multiplikation mit 2 und dem Wurzelziehen
514
15. Strömungsmaschinen
lautet die in der Durchflussgleichung noch benötigte Geschwindigkeit c1:
c1
2
p D p1
U
1
2
ª §
D2 · º
«1 ¨¨1 2 N ¸¸ »
«¬ © DGeh. ¹ »¼
Als Ergebnis des Volumenstroms erhält man:
V
S
4
2
2
DGeh
. DN
2
p D p1
U
, wenn : p = 100815 Pa ; p = 100712 Pa ; U = 1,25
2. V
D
1
1
2
ª §
D2 · º
«1 ¨¨1 2 N ¸¸ »
«¬ © DGeh. ¹ »¼
kg
;
m3
DGeh. = 0,85 m ; D N = 0,425 m ;
Verwendet man die gegebenen Zahlenwerte und achtet auf dimensionsgerechte Größen, so
gelangt man zu:
V
S
4
0,852 0,4252
2
100815 100712
1,25
1
1
ª § 0,4252 · 2 º
¸ »
«1 ¨¨1 0,852 ¸¹ »
«¬ ©
¼
V
8,26
m3
s
oder
15. Strömungsmaschinen
515
Aufgabe 15.4 Pelton-Turbine
¥1.
¥2.
6 min
12 min
hh
hhh
6 Punkte
12 Punkte
beaufschlagten
In Abb. 15.4.1 ist die schematische Darstellung eines vom Massenstrom m
Bechers einer Peltonturbine im Horizontal- und Vertikalschnitt erkennbar. Der Wasserstrahl
trifft dabei horizontal auf den Becher auf. Der Strahldurchmesser am Düsenaustritt soll sich
bis zur Stelle 1 an der Becherschneide nicht ändern. Dort teilt sich der Massenstrom in zwei
gleich große Teilströme auf, die den Becher an der Stelle 2 verlassen. Ermitteln Sie zunächst
, wenn von gegebenen Abmessungen D0 und DDü., bekannten Drücken p0
den Massenstrom m
und pB sowie der Wasserdichte U auszugehen ist. Wie lautet die Gleichung für Tmax., wenn das
Turbinenrad festgebremst wird, d.h. Z = 0 ist (ruhendes System !!), und die Abströmung an
den Stellen 2 unter dem Winkel ß2 erfolgt?
Abb. 15.4.1 Ausschnitt aus einer Pelton-Turbinenbeschaufelung
Lösung zu 15.4
Aufgabenerläuterung
Die Massenstromermittlung erfolgt mittels Bernoullischer Gleichung sowie der Kontinuitätsund Durchflussgleichung. Die Bestimmung des Moments um den Radmittelpunkt macht die
Anwendung der Impulskräfte an einem geeigneten Kontrollraum am Becher erforderlich. Im
Anfahrpunkt der Turbine, wenn also gerade noch Z = 0 ist, muss der überströmte Becher als
ruhendes System betrachtet werden. Die Absolutgeschwindigkeit folgt in diesem Fall an jeder
Stelle der Becherkontur. Es entsteht die maximale Strömungsumlenkung und folglich auch
das größtmögliche Moment.
516
15. Strömungsmaschinen
Gegeben:
p0 ; pB ; D0 ; DDü. ; U ; ß2 ;
Gesucht:
1.
m
2. Tmax. , wenn Z = 0. Tragen Sie hierzu die an den Stellen a, b, c, d des Kontrollraums in Abb. 15.4.2 wirksamen Kräfte ein und ergänzen Sie die im
Punkt c des Bechervertikalschnitts gemäß Abb. 15.4.2 angreifende resultierende Kraft.
Anmerkungen:
- Horizontale Düsenanordnung
- Verlustfreie Strömung in der Düse
- D1 D Dü .
Lösungsschritte
:
1. m
Den gesuchten Massenstrom erhält man wie folgt:
m
U V
Massenstrom
V
c Dü A Dü
S
A Dü
D 2Dü
4
c Dü
Volumenstrom im Düsenaustrittsquerschnitt
Düsenaustrittsquerschnitt
Düsenaustrittsgeschwindigkeit
Zur Düsenaustrittsgeschwindigkeit gelangt man mittels Bernoullischer Gleichung an den
Stellen 0 und Dü:
p 0 c 02
p Dü c 2Dü
g Z0
g ZDü . Bei der horizontalen Lage ist Z0 ZDü .
U
2
U
2
Des Weiteren ist der statische Druck am Düsenaustritt der barometrische Druck pDü = pB.
Geschwindigkeitsenergiegrößen und Druckenergiegrößen jeweils auf eine Seite gestellt
c 2Dü c02 p1 p B
c2
, und dann auf der linken Seite Dü ausgeklammert liefert zunächst
2
2 U
U
2
c 2Dü
2
ª c02
«1 2
¬
2 º
»
c 2Dü ¼
1
U
schwindigkeitsverhältnis
V
0
V
Dü
c0 A 0
führt dies zu
c 2Dü
2
c Dü
p0 p B . Im Klammerausdruck links muss nun noch das Gec02
ersetzt werden. Dies gelingt mit dem Kontinuitätsgesetz
c 2Dü
c
A Dü
A Dü oder umgeformt 0
. Eingefügt in o.g. Gleichung
c Dü
A0
ª A 2Dü º
«1 2 »
A0 ¼
¬
1
U
p0 p B .
15. Strömungsmaschinen
517
S
D 02
4
Die Kreisquerschnitte mit A 0
c 2Dü
2
2
º
ª §S
2 ·
D
¸
¨
»
«
Dü
¹ »
«1 © 4
2
«
· »
§S
D02 ¸ »
¨
«
¹ ¼
©4
¬
Die Gleichung mit
1
U
p0 p B
2
ª §D ·
«1 ¨¨ Dü ¸¸
«¬ © D0 ¹
4
und A Dü
S
D 2Dü ersetzt, ergibt
4
c2
oder Dü
2
ª § D ·4 º
«1 ¨¨ Dü ¸¸ »
«¬ © D0 ¹ »¼
multipliziert liefert c 2Dü =
º
»
»¼
cDü
und wenn die Wurzel gezogen wird:
2
c1
1
U
2 p0 p B
ª § D ·4 º
U «1 ¨¨ Dü ¸¸ »
«¬ © D0 ¹ »¼
p0 p B
U
1
ª § D ·4 º
«1 ¨¨ Dü ¸¸ »
«¬ © D0 ¹ »¼
lässt sich folglich ermitteln aus:
Der Massenstrom m
m
U
S
D 2Dü
4
2
p0 p B
U
p0 p B .
1
ª § D ·4 º
«1 ¨¨ Dü ¸¸ »
«¬ © D0 ¹ »¼
2. Tmax. :
Die bei der Momentenermittlung am Becher ausgeübte Kraft FB ist als Aktionskraft auf die
Becherwand zu verstehen. Dementsprechend wirkt FB in umgekehrter Richtung als Reaktionskraft am Kontrollvolumen. Man erhält gemäß Abb. 15.4.2 das Anfahrmoment Tmax. zu:
Tmax. = FB R .
Bei der Ermittlung der Becherkraft FB benutzt man sinnvollerweise die Kräftebilanz am Kontrollvolumen. Aufgrund des allseitig gleichen Umgebungsdrucks pB heben sich die Druckkräfte an der Kontrollraumoberfläche auf. Neben der gesuchten Becherkraft sind dann lediglich
die an den Stellen 1 und 2 wirksamen Impulskräfte zu berücksichtigen, die auf die Kontrollfläche gerichtet sind. Die Kräftebilanz am Kontrollvolumen in x-Richtung führt zu:
&
6Fi x
0
FI1 2 FI 2 x FB .
Nach FB umgeformt liefert dies
c als Impulskraft in allgemeiner Form wird:
m
FB
FI1 2 FI 2 x .
Mit FI
FI 1
c1
m
Impulskraft an der Stelle a
FI 2
m
c2
2
Impulskraft an den Stellen b und d
FI 2 x
FI 2 cos E2
x-Komponente von FI2
c1
c2
c Dü
Geschwindigkeit an den Stellen 1 und auch a siehe Pkt. 1
Geschwindigkeit an den Stellen 2 und auch b bzw. d
518
15. Strömungsmaschinen
Abb. 15.4.2 Kräfte am Kontrollraum und Becher
Die noch unbekannte Geschwindigkeit c2 lässt sich mittels Bernoullischer Gleichung an den
Stellen 1 und 2 wie folgt feststellen:
p1 c12
g Z1
U
2
p 2 c 22
g Z2 . Die horizontale Strahllage Z1 = Z2 sowie die DruckU
2
c12 c 22
oder c 2
2
2
Setzen wir zunächst die so gefundenen Größen in die Becherkraft ein
gleichheit am Becher p1 = p2 = pB vereinfacht die Gleichung zu
m
c1 cos E2
2
1 cos E2 .
c1 .
FB
c1 2
m
c1 aus, so entsteht
und klammern dann m
FB
c1
m
Für das gesuchte Moment folgt des Weiteren
Tmax
Tmax
Tmax
c1
m
1 cos E2
R.
Mit m
U c1 A Dü
U c1
S
D 2Dü erhält man
4
S
D 2Dü 1 cos E2 R . Jetzt das Ergebnis für c1 eingesetzt liefert
4
S
2 p0 p B
U
D 2Dü 1 cos E2 R oder nach Kürzen und Umstellen:
4
ª §D · º 4
U «1 ¨¨ Dü ¸¸ »
«¬ © D0 ¹ »¼
U c12
Tmax
S
D 2Dü R
2
p0 pB
1 cos E2
ª § D ·4 º
«1 ¨¨ Dü ¸¸ »
«¬ © D0 ¹ »¼
15. Strömungsmaschinen
519
Aufgabe 15.5 Horizontaler Axialspalt
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
8
min
4
min
2
min
5
min
hhh
h
h
h
8 Punkte
4 Punkte
2 Punkte
5 Punkte
In Strömungsmaschinen werden häufig so genannte berührungsfreie Spaltdichtungen zwischen Räumen unterschiedlichen Druckes eingesetzt. Dies ist in den meisten Fällen zwischen
dem rotierenden Laufrad und dem umgebenden ruhenden Gehäuse erforderlich. Aufgrund
des, wenn auch sehr geringen, offenen Spaltquerschnitts sowie des wirksamen Druckunter nicht vermeiden.
schieds 'pSp am Spalt lässt sich ein resultierender Spaltvolumenstrom V
Sp
Dieser ist immer als Verlust zu verzeichnen und sollte folglich möglichst geringe Werte aufweisen. In Abb. 15.5.1 ist als „Variante 1“ der einfachste Fall eines axialen Ringspalts zu er . In den
kennen. Ermitteln Sie hierfür eine Gleichung zur Berechnung des Spaltstroms V
Sp1
Referenzpunkten „Sp.v“ und „Sp.n“ können hierbei die Geschwindigkeiten vernachlässigt
werden. Mit welcher der beiden Varianten 2 oder 3 gemäß Abb. 15.5.1 ist des Weiteren eine
auf V
wirksamere Verkleinerung des Spaltvolumenstroms V
Sp1
Sp 2 bzw. auf VSp 3 zu erzielen,
/V
/V
?
bzw. V
d.h. wie groß wird das jeweilige Verhältnis V
Sp 2
Sp 1
Sp 3
Sp1
Abb. 15.5.1 Horizontaler Axialspalt in drei Varianten
520
15. Strömungsmaschinen
Lösung zu 15.5
Aufgabenerläuterung
Mittels Durchflussgleichung lässt sich der gesuchte Spaltstrom aus Geschwindigkeit im Spalt
und Spaltquerschnittsfläche angeben. Die Spaltgeschwindigkeit ist dabei Bezugsgeschwindigkeit aller am Spalt auftretenden Verluste. Diese wiederum können mittels der erweiterten
Bernoullischen Gleichung an den Stellen „Sp.v“ und „Sp.n“ hergeleitet werden. Die weitere
Frage nach der besseren Wirksamkeit von Variante 2 oder Variante 3 bezüglich einer Spaltstromreduzierung wird durch die hier veränderten Verluste beantwortet.
Gegeben:
'pSp ; U ; DSp ; s ; L ; z ; O ; ] Ein ; ] Aus
Gesucht:
1.
V
Sp1
V
Sp 2
V
Sp1
3.
V
Sp 3
V
Sp1
4. Pkte. 2 und 3, wenn:
Anmerkungen:
L = 30 mm ; s = 0,15 mm ; O = 0,025 ;
] Ein = 0,5 ; ] Aus = 1,0
- DSp = konstant; s = konstant; pSp v pSp n = 'pSp = konstant;
U konstant
- Die Umfangsgeschwindigkeit des mit n rotierenden inneren Spaltbereichs soll keinen Einfluss auf die Spaltströmung haben.
- Annahme, dass cSp v | 0 und cSp n | 0 .
- Die Verluste bei einem axialen Labyrinthspalt (Variante 2) lauten:
YVSp . vySp . n
§
¨ ] Ein z O
¨
©
¦L
· c2
] Aus ¸¸ Sp
2 s
¹ 2
i
Lösungsschritte
: 1. V
Sp1
Die Durchflussgleichung im durchströmten Ringspalt „Variante 1“ angewendet lautet
V
Sp1
cSp1 ASp .
Hierin sind
ASp
S DSp s
Fläche eines Kreisrings,
DSp
mittlerer Durchmesser des Kreisrings,
s
cSp1
Kreisringbreite, hier die Spaltweite und
mittlere Geschwindigkeit im Spalt.
15. Strömungsmaschinen
521
Die benötigte Geschwindigkeit cSp1 ist als Bezugsgeschwindigkeit aller wirksamen Verluste
des Spalts definiert. Hierbei handelt es sich um:
c2
Eintrittsverluste
YVEin ] Ein Sp1
2
2
L cSp1
Reibungsverluste
YVR O
d hyd
2
] Aus
YVAus
2
cSp
1
Austrittsverluste
2
] Ein
Verlustziffer am Spalteintritt
O
Reibungszahl
] Aus
Verlustziffer am Spaltaustritt
d hyd = 2 s
hydraulischer Durchmesser des Ringspalts
Die Gesamtsumme aller Verluste zwischen den Stellen „Sp.v“ und „Sp.n“ lautet
YVSp . vySp . n
YVEin YVR YVAus
YVSp . vySp . n
] Ein
2
cSp
1
2
oder bei Verwendung o.g. Verlustgleichungen
2
cSp
1
L
d hyd
O
2
] Aus
2
cSp
1
2
. Klammert man
2
cSp
1
2
aus, so folgt
2
L
2
§
· c
] Aus ¸ Sp1 . Mit
multipliziert
¨ ] Ein O
L
2 s
·
§
©
¹ 2
]
O
]
¨ Ein
Aus ¸
2 s
¹
©
2
Y
V
2
Sp . v ySp . n
cSp
=
und danach die Wurzel gezogen führt zu
1
L
·
§
] Aus ¸
¨ ] Ein O
2 s
¹
©
YVSp . vySp . n
2 YVSp . vySp . n
cSp1
L
§
·
] Aus ¸
¨ ] Ein O
2 s
©
¹
.
Hierin müssen nun noch die Verluste YVSp . vySp . n mittels
Bernoullischer Gleichung an den Stellen „Sp.v“ und „Sp.n“ ersetzt werden.
pSp.v
U
2
cSp
.v
2
g ZSp.v
pSp.n
U
2
cSp
.n
2
g ZSp.n + YVSp . vySp . n . Mit cSp v | 0 und cSp n | 0 sowie im
Fall des horizontalen Spalts auch ZSp v
pSp.v pSp.n
YVSp . vySp . n
cSp1
U
2
=
'pSp
'pSp
U
U
ZSp n erhält man für die Verluste YVSp . vySp . n
.
Somit lautet die Geschwindigkeit cSp1
1
] Ein O
L
2 s
. Damit kann dann der gesuchte Volumenstrom mit
] Aus
522
15. Strömungsmaschinen
V
Sp1
S DSp s
'pSp
2
1
U
] Ein O
L
2 s
] Aus
angegeben werden.
2.
V
Sp 2
:
V
Sp1
bei „Variante 2“ liefert als Ergebnis
Die analoge Herleitung des Spaltstroms V
Sp 2
V
Sp 2
S DSp s
'pSp
U
2
1
] Ein z O
und damit die Verkleinerung von V
Sp
¦L
. Die Vergrößerung der Verluste
] Aus
2 s
kommt in diesem Fall durch die eingestochenen Nuten
i
zustande und wird durch deren Zahl z berücksichtigt. Die wirksame Reibungslänge
¦L
i
des
Spalts von „Variante 2“ reduziert sich dagegen im Vergleich zu der von „Variante 1“ , was
der gewünschten Verringerung des Spaltstroms entgegen wirkt. Bildet man nun den Quotien und V
und kürzt gleiche Größen heraus
ten aus den beiden Gleichungen für V
Sp1
Sp 2
S DSp s
V
Sp 2
=
V
Sp1
'pSp
U
2
S DSp s
1
'pSp
2
¦L
] Ein z O
i
2 s
] Aus
, so führt dies zum Ergebnis
1
U
] Ein O
V
Sp 2
=
V
Sp1
L
2 s
] Aus
L
] Aus
2 s
.
Li
¦
zO
] Aus
2 s
] Ein O
] Ein
V
Sp
3. 3 :
VSp1
Bei „Variante 3“ wird zur Vergrößerung der Verluste am Spalt dessen Länge gegenüber der
von „Variante 1“ verdoppelt. Dies hat dann nachstehenden Spaltstrom zur Folge:
V
Sp 3
S DSp s
2
'pSp
U
] Ein
1
2 L
O
] Aus
2 s
oder nach Kürzen
15. Strömungsmaschinen
V
Sp 3
S DSp s
2
523
'pSp
1
U
aus den Gleichungen für V
Sp1
S DSp s
V
Sp 3
=
V
Sp1
S DSp s
2
2
.
Auch jetzt wieder den Quotienten
L
] Ein O
] Aus
s
gebildet und gleiche Größen herausgekürzt
und V
Sp 3
'pSp
U
1
L
] Aus
s
] Ein O
'pSp
liefert das Ergebnis
1
U
] Ein O
V
Sp 3
=
V
Sp1
L
2 s
] Aus
L
] Aus
2 s
.
L
O
] Aus
s
] Ein O
] Ein
4. Pkte. 2 und 3, wenn: L = 30 mm ; s = 0,15 mm ; O = 0,025 ; ] Ein = 0,5 ; ] Aus = 1,0
4.1.
V
Sp 2
:
V
Sp1
Unter Beachtung dimensionsgerechter Größen ermittelt man gemäß Abb. 15.5.1 mit
L
¦ Li 3 5 und z = 2:
V
Sp 2
=
V
Sp1
4.2.
30
2 0,15
= 0,894
3 30
1,5 2 0,025
5 2 0,15
1,5 0,025
und
V
Sp 3
:
V
Sp1
V
Sp 3
=
V
Sp1
30
2 0,15
30
1,5 0,025
0,15
1,5 0,025
= 0,784
D.h. für die im vorliegenden Fall zugrunde gelegten Verhältnisse bewirkt die Verdoppelung
der Spaltlänge eine wirksamere ( | 22%) Reduzierung der Spaltverluste als die mittels zweier
Nuten erzeugte ( | 10%) .
524
15. Strömungsmaschinen
Aufgabe 15.6 Leitring
¥1.
¥2.
¥3.
¥4.
¥5.
2 min
7 min
2 min
3 min
4 min
h
hh
hh
hh
h
2 Punkte
7 Punkte
2 Punkte
3 Punkte
4 Punkte
In nachstehender Abb. 15.6.1 ist der Grundriss und der Meridianschnitt eines schaufellosen
Leitrings dargestellt, der bevorzugt in Strömungsmaschinen Verwendung findet. Seine Aufgabe besteht darin, die Eintrittsgeschwindigkeit c1 auf eine deutlich kleinere Austrittsgeschwindigkeit c2 zu verzögern, was mit einem gleichzeitigen Druckanstieg von p1 auf p2 einhergeht. Unter Voraussetzung des Potentialwirbels r c u = konst. bleibt auch im Fall paralleler Wände (b1 = b2 = b = konst.) r c m = konst. Dies führt dazu, dass r c und auch der Winkel D an jeder Stelle der Stromlinie sich nicht ändern. Bei bekannten geometrischen Abmessungen R1, R2, b1 = b2, sowie Eintrittsgeschwindigkeit c1, Fluiddichte U und dem Winkel
gefragt. Des Weiteren soll die Gleichung der
Dwird zunächst nach dem Volumenstrom V
Stromlinienfunktion r f M und der Grundrisswinkel M2 ermittelt werden wie auch die
Druckänderung p 2 p1 .
Abb. 15.6.1 Leitring
Lösung zu 15.6
Aufgabenerläuterung
Die Grundlagen zur Lösungsfindung der anstehenden Fragen 1. und 4. stellen die Durchflussgleichung und die Bernoullische Gleichung dar, wobei wo erforderlich von o.g. Potentialwirbel Gebrauch gemacht werden muss. Die Stromlinienfunktion gemäß Pkt. 2 ist aus den Größen von Einzelheit „A“ in Abb. 15.6.1 unter Verwendung der gegebenen Werte an der Stelle
1 herzuleiten.
15. Strömungsmaschinen
R1 ; R 2 ; D ; c1 ; b1
Gegeben:
Gesucht:
525
b2 ; U
1. V
2. r
f M
3. M2
4. p 2 p1
5. Pkte. 1, 3 und 4, wenn: R1 = 175 mm ; R 2 = 300 mm ; b1 b 2 = 25 mm;
m
kg
c1 = 25
; D = 15 ° ; U = 1000
s
m3
Anmerkungen:
- Der Leitring befindet sich in horizontaler Lage.
- Es wird verlustfreie Strömung angenommen.
Lösungsschritte
:
1. V
c A lösen.
Die Frage nach dem Volumenstrom lässt sich mittels Durchflussgleichung V
Da im vorliegenden Fall die orthogonale Zuordnung von c und A nicht erfüllt ist, muss folglich die auf A senkrecht stehende Komponente c m von c verwendet werden. Im Fall des Ein wie folgt angegeben wertrittsquerschnitts A1 sind alle benötigten Größen bekannt, sodass V
den kann:
V
Volumenstrom durch Eintrittsfläche
c m1 A1
c m1
c1 sin D
A1
2 S R1
Radialkomponente von c1
b1
Zylindrische Eintrittsfläche ( Umfang Breite )
V
2 S R 1 b1 c1 sin D
2. r = r M :
Bei der Herleitung der Stromlinienfunktion macht man sich das in Abb. 15.6.1 dargestellte infinitesimale Dreieck gemäß Einzelheit „A“ zunutze. Hierin stellt man fest:
dr
tan D
mit
r dM
D
dr
r dM
Winkel zwischen Kreistangente und Stromlinientangente
infinitesimales Radiuselement
infinitesimales Umfangselement
526
15. Strömungsmaschinen
Nach der Umformung
dr
r
tan D dM lässt sich die Lösung der gesuchten Funktion mittels
M
r
Integration
r
1
dr
r
R1
³
³ dM
tan D
zwischen Eintritt (R1 ; M1
0 ) und einer beliebigen
M1 0
Stelle der Stromlinie ( r ; M ) in nachstehenden Schritten herleiten.
b
1
³x
b
dx
Grundintegral. Im vorliegenden Fall wird hiermit
ln x a
a
r
ln r R = ln r ln R 1
oder mit ln a ln b
§ r ·
r
ln r R = ln¨¨ ¸¸ .
1
© R1 ¹
Weiterhin ist
1
M
M
³ dM =
tan D
tan D M 0
§a·
ln ¨ ¸
©b¹
oder
M1 0
M
³ dM =
tan D
M tan D . Das vorläufige Ergebnis lautet damit
M1 0
§ r ·
ln¨¨ ¸¸ = M tan D .
© R1 ¹
e
§ r
ln ¨¨
© R1
·
¸¸
¹
eM
tan D
Wendet man weiterhin noch eln a
oder
r
r
= eM
R1
R1 eM
tan D
tan D
a an, so entsteht dann
. Abschließend umgeformt führt dies zu
.
3. M 2 :
§ r ·
Der gesamte Grundrisswinkel M 2 dieser Stromlinie lässt sich aus ln¨¨ ¸¸ = M tan D (s.o.)
© R1 ¹
mit den Größen am Leitringaustritt ermitteln. Verwendet man r R 2 und M M2 , so liefert
§R ·
dies ln¨¨ 2 ¸¸
© R1 ¹
M2 tan D oder nach Umformung
M2
§R ·
1
ln¨¨ 2 ¸¸ .
tan D
© R1 ¹
15. Strömungsmaschinen
527
4. p 2 p1 :
Bei der Bestimmung der Druckänderung zwischen Leitringeintritt und -austritt wird von der
Bernoullischen Energiegleichung Gebrauch gemacht:
p1 c12
p 2 c 22
g Z1
g Z2 .
U 2
U
2
p 2 p1
Die horizontalen Leitringanordnung Z1 Z2 liefert nach Umstellung auf
:
U
p 2 p1
c12 c 22
. Die noch benötigt Austrittsgeschwindigkeit c2 lässt sich aus der AnwenU
2
dung des Potentialwirbels r c = konstant oder hier R 1 c1 R 2 c 2 = konstant ableiten zu
R1
c 2 c1
.
Oben eingesetzt
R2
p 2 p1
U
§
R1 ·
¸
c12 ¨¨ c1
R 2 ¸¹
©
2
2
und c12 ausgeklammert sowie mit U multipliziert ergibt
p 2 p1
2
U 2 ª § R1 · º
¨
¸
=
c1 «1 ¨
¸ ».
2
«¬ © R 2 ¹ »¼
5. Pkte. 1, 3 und 4, wenn: R1 = 175 mm ; R 2 = 300 mm ; b1
D = 15 ° ; U = 1000
b 2 = 25 mm ; c1 = 25
m
;
s
kg
m3
Verwendet man das gegebene Zahlenmaterial unter Beachtung dimensionsgerechter Anwendung, so erhält man nachstehende Resultate.
:
V
M2 :
p 2 p1 :
V
2 S 0,175 0,025 25 sin 15q
V
0,1779
M2
m3
s
1
§ 300 ·
ln¨
¸
tan 15q
© 175 ¹
M2
2,01 oder in Grad:
M2
360q
2,01 115q
2 S
p 2 p1 =
ª § 175 · 2 º
1000
252 «1 ¨
¸ »
2
¬« © 300 ¹ ¼»
p 2 p1 = 206000 Pa = 2,06 bar
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Mitte des 19. Jahrhunderts wurden von Navier und Stokes erstmals Strömungsvorgänge in
allgemeiner Darstellung, d.h. für die dreidimensionale, instationäre Bewegung reibungsbehafteter Fluide formuliert. Dieses Gleichungssystem in Verbindung mit der differentiellen Form
der Kontinuitätsgleichung steht unter
Verwendung der jeweiligen Randbedingungen zur Be&
stimmung der Geschwindigkeit c und des Drucks p im Strömungsraum zur Verfügung. Dies
ist jedoch aufgrund der mathematischen Schwierigkeiten nur in einzelnen Sonderfällen exakt
möglich, und zwar bei Fragen zur laminaren Strömung. Mit den mittlerweile zur Verfügung
stehenden vielfältigen numerischen Näherungsverfahren lassen sich aber auch heute Lösungen im Fall turbulenter Strömungen erarbeiten.
Beschränkt man nun die Navier-Stokes-Gleichungen (NSG) auf die stationäre Strömung inkompressibler Fluide und verwendet das karthesische Koordinatensystem, so stehen mit der
differentiellen Kontinuitätsgleichung vier Differentialgleichung zur Verfügung, konkrete Lösungen der laminaren Fluidströmung zu ermitteln.
x-Richtung:
cx
wc x
wc x
wc x
cy
cz
wx
wy
wz
= fx 1 wp
Q
U wx
§ w 2c x w 2c x w 2c x ·
¨¨ 2 2 2 ¸¸
wy
wz ¹
© wx
cx
wc y
wc y
wc y
cy
cz
wx
wy
wz
= fy 1 wp
Q
U wy
§ w 2c y w 2c y w 2c y ·
¨ 2 2 2 ¸
¨ wx
wy
wz ¸¹
©
cx
wc z
wc z
wc z
cy
cz
wx
wy
wz
=
fz 1 wp
Q
U wz
§ w 2c z w 2c z w 2c z ·
¨¨ 2 2 2 ¸¸
wy
wz ¹
© wx
y-Richtung:
z-Richtung:
Kontinuitätsgleichung:
wc x wc y wc z
wx
wy
wz
0
c x , c y , cz
&
Geschwindigkeitskomponenten von c
fx , f y , fz
Komponenten der bezogenen Massenkraft f
Q
Kinematische Zähigkeit des Fluids
p
örtlicher Druck
U
Fluiddichte
'F
(oft Gewichtskraft)
'm
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5_16,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
530
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Aufgabe 16.1 Strömung entlang geneigter Wand
¥1.
¥2.
hhhh
hh
18 min
4 min
18 Punkte
4 Punkte
Entlang einer um den Winkel D zur Horizontalebene geneigten Wand strömt eine Flüssigkeit
infolge der Schwerkraft abwärts. Die Flüssigkeitshöhe h über der Wand ist konstant und die
Wandbreite wird gegenüber h sehr groß angenommen (B >> h). Die Strömung erfolgt laminar
und sei zeitlich unveränderlich (stationär). Von der Flüssigkeit sind die Dichte U und die kinematische Zähigkeit Q bekannt. Ermitteln Sie die Geschwindigkeitsverteilung cx(z) und
Druckverteilung p(z) .
Abb. 16.1.1 Strömung entlang geneigter Wand
Lösung zu 16.1
Aufgabenerläuterung
Der Strömungsvorgang wird im aktuellen Fall durch die Wirkung der Schwerkraft hervorgerufen. Die Aufgabe befasst sich mit der Anwendung der Navier-Stokeschen-Gleichung, des
Kontinuitätsgesetzes und des Newtonschen Reibungsgesetzes unter den hier vorliegenden Bedingungen. Infolge der Annahme sehr großer Wandbreite entfallen Veränderungen der Strömungsgrößen in y-Richtung.
Gegeben:
- Navier-Stokes-Gleichungen (NSG) der stationären, inkompressiblen Strömung
x-Richtung:
1 wp
fx Q
U wx
y-Richtung:
§ w 2c x w 2c x w 2c x
¨¨ 2 wy 2
wz 2
© wx
1 wp
Q
U wy
§ w 2c y w 2c y w 2c y ·
¨ 2 2 ¸¸
¨ wx
wy 2
wz ¹
©
fy ·
¸¸
¹
cx
cx
wc x
wc x
wc x
cy
cz
wx
wy
wz
wc y
wx
cy
wc y
wy
cz
wc y
wz
16. Navier-Stokes-Gleichungen
531
z-Richtung:
§ w 2c w 2c
w 2c ·
1 wp
wc z
wc z
wc z
Q ¨¨ 2z 2z 2z ¸¸ c x
fz cy
cz
U wz
w
w
w
x
y
z
w
x
w
y
wz
©
¹
- Kontinuitätsgleichung der stationären, inkompressiblen Strömung
wc x wc y wc z
wx
wy
wz
Gesucht:
1.
cx z
2.
p z
Anmerkungen:
0
- Vollausgebildete Strömung, d.h. cx ändert sich nicht in x-Richtung.
- Strömung nur in x-Richtung, d.h. c y 0 ; c z 0 .
- Das Koordinatensystem ist in der Wandebene angeordnet.
- An der Stelle z = h ist die Newtonsche Schubspannung des Fluids
gleich Null.
Lösungsschritte:
Zunächst werden die NSG und die Kontinuitätsgleichung unter den hier vorliegenden Gegebenheiten betrachtet und vereinfacht.
Feststellungen zu den Kräften:
Gemäß Abb. 16.1.1 erkennt man, dass bei der Neigung der Wand um den Winkel D gegenüber der Horizontalebene folgende Zusammenhänge bestehen. Hierbei ist f die auf die Masse
bezogene Schwerkraft, also f = g.
fx
f sin D ; f z
f cos D ; f y
fx
g sin D ; f z
g cos D ;
0
oder
Feststellungen zu den Geschwindigkeiten:
c x ändert sich nur in z-Richtung, also ist c x = c x z und c y
0 sowie c y
wc y
0.
wc z
wc x
0 ,
0 und somit gemäß Kontinuitätsgleichung auch
=0.
wy
wz
wx
Hieraus lässt sich wiederum ableiten, dass ebenfalls
Damit wird
w 2c x
wx 2
0
§ wc ·
w¨ x ¸
wx ¹
{ ©
wx
0.
Wegen cx = cx (z) folgt auch, dass
§ wc ·
w¨¨ x ¸¸
wy ¹
w 2c x
{ ©
2
wy
wy
0
0.
wc x
wy
0 sein muss ebenso wie
532
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Alle weiteren Ableitungen von cy und cz werden zu Null, da c y
0 und c z
0.
wc
dc
Da c x = c x z , kann man x auch durch x ersetzen.
wz
dz
Feststellungen zum Druck:
In vorliegendem System ist der Druck p weder von der y- noch von der x-Richtung abhängig,
also p z p (y ) sowie p z p (x ) . Allein in z-Richtung ist von einer Veränderung auszugehen.
Damit werden die Glieder
wp
wx
0 und
wp
wy
0 . Der partielle Differentialquotient
wp
kann
wz
dp
ersetzt werden.
dz
dann durch
Berücksichtigt man alle so gewonnenen Ergebnisse in den NSG (durchgestrichene Terme),
so resultiert:
x-Richtung:
d 2c x
dz 2
fx Q
y-Richtung:
0
z-Richtung:
0=0
fz 0=0
g cos D 1 dp
U dz
0
oder:
g sin D Q
d 2c x
dz 2
0
1 dp
U dz
0
1. c x z :
Da nur im Ergebnis der x-Richtung die gesuchte Geschwindigkeit – wenn auch in differenzierter Form – vorliegt, wird dieser Zusammenhang wie folgt weiter behandelt. Zunächst umgestellt und durch Q dividiert führt dies zu
§ dc ·
d¨ x ¸
d 2c x
g
g
dz ¹
sin D bzw. ©
Mit dz multipliziert erhält man
sin D .
2
Q
Q
dz
dz
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
§ dc x ·
¸
¹
³ d¨© dz
dc x
dz
g
sin D dz .
Q
g
sin D
Q
Die Integration
³ dz
g
sin D z C1 .
Q
§ g
·
dc x ¨ sin D z C1 ¸ dz
© Q
¹
g
³ dcx Q sin D ³ z dz C1
liefert
Die nochmalige Multiplikation mit dz
und Integration
³ dz
hat als Resultat
16. Navier-Stokes-Gleichungen
cx
533
g
z2
sin D
C1 z C2
Q
2
zur Folge.
Hierin müssen jetzt noch die beiden Integrationskonstanten C1 und C2 festgestellt werden.
Dies wird mit den Randbedingungen der Geschwindigkeitsverteilung wie folgt möglich.
C2 :
An der Stelle z = 0 ist c x
0 . Oben eingesetzt 0
g
sin D 0 C1 0 C 2 führt zu
Q
C2 = 0.
C1 :
Wegen der bei z = h nicht mehr existierenden Newtonschen Flüssigkeitsschubspannung
dc
dc x
dc
g
W( z h ) K
0 wird x = 0. Eingesetzt in x sin D z C1 erhält man
dz
dz
Q
dz
g
g
0 sin D h C1 oder C1 sin D h .
Q
Q
Das Ergebnis der gesuchten Geschwindigkeitsverteilung c x z ermittelt man dann zu
cx z
g
Q
sin D
z2 g
2 Q
oder
sin D h
cx z
g
Q
z
sin D
z
zº
ª
«¬h 2 »¼ .
2. p (z) :
Das in z-Richtung festgestellte Ergebnis der NSG umgeformt nach dem Druckgradient lautet:
1 dp
U dz
dp
g cos D .
Nach Multiplikation mit U und dz
g U cos D dz
³ dp
g U cos D ³ dz
p( z )
g U cos D z C .
und einer Integration
erhält man zunächst
Hierin lässt sich die Integrationskonstante C aus der Randbedingung an der Stelle z = h mit
p(z = h) = pB wie folgt bestimmen:
pB
g U cos D h C nach C aufgelöst ergibt C
p B U g h cos D . Die Lösung der
Frage nach der Druckverteilung p(z) ermittelt man zu
p( z )
p B U cos D
hz .
534
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Aufgabe 16.2 Ebener Spalt
¥1.
¥2.
¥3.
27 min
2 min
5 min
hhhh
h
hhh
27 Punkte
2 Punkte
5 Punkte
den in
Aufgrund der Wirkung von Druckkräften durchströmt ein Flüssigkeitsvolumenstrom V
Abb. 16.2.1 erkennbaren horizontalen Spalt, wobei die Geschwindigkeitsverteilung vollkommen ausgebildet ist. Die Spaltbreite B soll gegenüber der Höhe h sehr groß bemessen sein,
sodass seitliche Randeinflüsse ohne Bedeutung sind und von einer ebenen Strömung auszugehen ist. Diese ist laminar ausgebildet und ändert sich zeitlich nicht. An den markierten Stellen
1 und 2 sind die statischen Drücke p1 und p2 bekannt sowie der Abstand L zwischen ihnen.
Von der inkompressiblen Flüssigkeit sind weiterhin die Dichte U und die Viskosität Q gegeben. Zunächst soll die Gleichung der axialen Geschwindigkeitsverteilung c x z hergeleitet
und der Maximalwert c x max in Spaltmitte angegeben werden. Die Ermittlung des Volumen ist ebenfalls Teil der Aufgabe.
stroms V
Abb. 16.2.1 Ebener Spalt
Lösung zu 16.2
Aufgabenerläuterung
Im Vordergrund des Lösungsweges steht die Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen und
des Kontinuitätsgesetzes, die mit den betreffenden Gegebenheiten und Annahmen des vorliegenden Falls zu bearbeiten sind.
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Gegeben:
535
- h; B ; L ; p1 ; p 2 ; U ; Q ;
- Navier-Stokes-Gleichungen (NSG) der stationären, inkompressiblen Strömung
x-Richtung:
1 wp
fx Q
U wx
y-Richtung:
§ w 2c x w 2c x w 2c x ·
¨¨ 2 2 2 ¸¸
wy
wz ¹
© wx
cx
wc x
cy
wx
1 wp
Q
U wy
§ w 2c y w 2c y w 2c y ·
¨ 2 2 2 ¸
¨ wx
wy
wz ¸¹
©
cx
wc y
wc y
wc y
cy
cz
wx
wy
wz
z-Richtung:
1 wp
Q
fz U wz
§ w 2c z w 2c z w 2c z ·
¨¨ 2 2 2 ¸¸
wy
wz ¹
© wx
cx
wc z
wc z
wc z
cy
cz
.
wx
wy
wz
fy wc x
cz
wy
wc x
wz
- Kontinuitätsgleichung der stationären, inkompressiblen Strömung
wc x wc y wc z
wx
wy
wz
Gesucht:
1.
2.
3.
Anmerkungen:
0.
cx z
c x max
V
- Gewichtskraft wird vernachlässigt
- Stationäre, laminare, inkompressible Strömung
- Ausgebildete Strömung in x-Richtung
- Kein seitlicher Abfluss
Lösungsschritte
Zunächst werden die NSG und die Kontinuitätsgleichung unter den hier vorliegenden Gegebenheiten betrachtet und vereinfacht.
Feststellungen zu den Kräften:
f y 0 ; f x 0 ; Annahme, dass bei engen Spalten die Schwerkraft f = fz vernachlässigt
werden kann.
Feststellungen zu den Geschwindigkeiten:
Axiale Strömung nur in x-Richtung heißt, es existieren keine Komponenten cy und cz, d.h.
wc y
wcz
0,
0 und gemäß Kontinuitätscy = 0 und cz = 0. Somit lauten die Ableitungen
wy
wz
§ wc ·
w¨ x ¸
wc x
wx ¹
gleichung auch
= 0. Dies hat zur Folge, dass auch ©
wx
wx
w 2c x
wx 2
0 ist. Wenn
536
16. Navier-Stokes-Gleichungen
§ wc ·
w¨¨ x ¸¸
wy ¹ w 2c x
wc
c x c x z , dann ist x 0 und folglich wird auch ©
0 . Des Weiteren
wy
wy
wy 2
entfallen wegen cy = 0 und cz = 0 auch alle Ableitungen von c y und c z .
Als Ergebnis der NSG erhält man dann:
1
U
wp
Q
wx
-
1
U
-
1
U
w 2c x
wz 2
w 2c x
wz 2
1 wp
U wx
oder
Q
wp
= 0,
wy
woraus folgt
wp
= 0 oder p z p y .
wy
wp
= 0,
wz
woraus folgt
wp
= 0 oder p z p z .
wz
0
1. c x z :
Die weiteren Betrachtungen bei der Frage nach c x z erfolgen logischerweise mit
Q
w 2c x
wz 2
1 wp
.
U wx
c x z kann der partielle Differentialquotient
Wegen c x
§ wc ·
w¨ x ¸
© wz ¹
wz
w 2c x
und auch
wz 2
wc x
dc x
ersetzt werden mit
wz
dz
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹ .
dz
Wenn p z p y und p z p z , dann hängt p nur von x ab, also p
der partielle Differentialquotient
p x . Folglich kann auch
wp
dp
durch
ersetzt werden.
dx
wx
Hieraus folgt nun in o.g. Gleichung:
Q
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
dz
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
dz
1
K
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
1
K
1
U
dp
.
dx
dp
.
dx
dp
dx
Durch Q dividiert und mit K Q U folgt:
Mit dz multipliziert
dz
und dann integriert
16. Navier-Stokes-Gleichungen
³
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
dc x
dz
1
K
1
K
dc x
³
1 dp
K dx
dp
dx
dp
dx
1 dp
K dx
dc x
1
K
cx z
dp
dx
537
³ dz
ergibt
z C1 .
Wiederum mit dz multipliziert
z dz C1
³z
dz
dz C1
z2
C1
2
³ dz
und dann integriert
führt zu
z C2 .
dp
selbst wieder von x
dx
abhängen. Da aber im vorliegenden Fall c x z nur eine Funktion von z ist und daher nicht
dp
auch von x abhängt, kann
als Teil der Gleichung ebenfalls nicht von x abhängen. Dies
dx
dp
eine Konstante ist. Die noch unbekannten Integrationskonstanten C1 und C 2
heißt, dass
dx
lassen sich mittels nachfolgender Randbedingungen feststellen:
Es wurde festgestellt, dass p p x . Folglich kann auch die Ableitung
dc x
= 0 (senkrechte Tangente an c x z ). Damit erhält man
dz
In Kanalmitte z = 0 ist
dc x
dz
0
1
U
dp
dx
0 C1
An der Kanalwand z
r
und somit C 1 0 .
h
ist c x = 0 (Haftbedingung). Oben eingesetzt gelangt man zu
2
2
0
1 dp 1 § h ·
¨ ¸ 0 C2 oder C 2
K dx 2 © 2 ¹
1
8
1 dp 2
h . Die gesuchte GeschwindigK dx
keitsverteilung lautet mit C1 und C2 zunächst:
cx z
1 dp z 2 1
K dx 2
8
1 1 dp 2
1 dp 2
h ausgeklammert, so folgt
h . Wird 8 K dx
K dx
dp
h 2 dp §
z2 ·
¨¨1 4 2 ¸¸ . Hierin muss
nun noch genauer betrachtet werden:
K
8
dx ©
h ¹
dx
dp
auch wie folgt
Mit p 1 und p 2 als gegebene Drücke an den Stellen x1 und x 2 lässt sich
dx
dp 'p
p 2 p1
darstellen:
, wobei p 1 ! p 2 und x 2 x1 = L.
dx 'x x 2 x1
cx z
538
16. Navier-Stokes-Gleichungen
dp
(p p 2 )
. Somit lautet das Ergebnis für c x z :
1
dx
L
z2 ·
§ (p1 p 2 ) · §
oder schließlich:
¨
¸ ¨¨1 4 2 ¸¸
L
h ¹
©
¹ ©
Dies liefert den Druckgradienten
§
h2 ·
¨¨ ¸¸
© 8 K¹
cx z
cx z
2
h 2 (p1 p 2 ) ª
§z· º
1
4
¨ ¸ »
«
8 K
L
© h ¹ »¼
¬«
2. c x max :
Die maximale Geschwindigkeit wird in Kanalmitte erreicht, also z = 0 mit c x z
0
c x max .
Oben eingesetzt gelangt man zu
c x max
:
3. V
h 2 (p1 p 2 )
.
8 K
L
lässt sich aus der Integration des infinitesimalen VolumenDer gesuchte Volumenstrom V
stroms dV zwischen Kanalmitte und Wand bestimmen. Hierbei erhält man jedoch nur den
halben Wert, sodass eine Verdoppelung erforderlich wird:
V
dV
h/2
2
³ dV
0
cx z
dA
Infinitesimaler Volumenstrom durch dA
Geschwindigkeit an der Stelle z normal zu dA
cx z
dA
V
Infinitesimaler Querschnitt
B dz
h/2
2 B
³c
x
z
dz .
c x z mit o.g. Ergebnis eingesetzt liefert
0
V
V
V
V
V
2
ª
§z· º
1
4
¨ ¸ » dz
³0 ««
© h ¹ »¼
¬
h/2
h/2
º
B h 2 (p1 p 2 ) ª
4
2
« ³ dz 2 ³ z dz » .
4 K
L
h
0
¬0
¼
h/2
3
2
º
B h (p1 p 2 ) ª h / 2 4 z
«z 0 2
».
4 K
L
h
3 0 »
«¬
¼
2
3
B h (p1 p 2 ) ª h 4 h º
« 2
»
4 K
L
¬ 2 h 8 3¼
2 B h2
8 K
(p1 p 2 )
L
h/2
B h 2 (p1 p 2 ) 1
h
4 K
L
3
oder
Die Integration führt zunächst zu
Unter Verwendung der genannten Grenzen
und Zusammenfassung der Klammer
gelangt man zum Ergebnis:
V
B h 3 (p1 p 2 )
12 K
L
16. Navier-Stokes-Gleichungen
539
Aufgabe 16.3 Senkrechter Kanal
1.
2.
3.
hhhh
hhhh
h
Übungsaufgabe
Durch den in Abb. 16.3.1 erkennbaren vertikalen Rechteckkanal fließt aufgrund der Schwer abwärts und verlässt den Kanal an der Stelle 2 in atmokraft ein Flüssigkeitsmassenstrom m
sphärische Umgebung. Die stationäre Strömung durch den Kanal erfolgt laminar und ist inkompressibel. Vom Fluid sind die Dichte Uund die Zähigkeit Q bekannt ebenso wie vom Kanal die Abmessungen B und h. Die Stelle 1 im Kanal, wo der Druck p1 gemessen werden
kann, befindet sich im Abstand L über dem Kanalaustritt (Stelle 2). Gesucht wird die Geschwindigkeitsänderung in z-Richtung, wobei der Druckgradient in x-Richtung als Einflussgröße zu berücksichtigen ist. Mit dieser Geschwindigkeitsverteilung sollen danach die Drücke
an den Stellen x und 1 ermittelt werden.
Abb. 16.3.1 Senkrechter durchströmter Kanal
Lösung zu 16.3
Aufgabenerläuterung
Unter Beachtung der vorliegenden Gegebenheiten ist zunächst mit den Navier-StokesGleichungen und dem Kontinuitätsgesetz das Geschwindigkeitsverteilungsgesetz herzuleiten.
Dieses wird in Verbindung mit dem Massenstrom und einer geeigneten Integration benötigt,
um den gesuchten Druck an der Stelle x und den an der Stelle 1 zu bestimmen.
540
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Gegeben:
; pB ; L ; h , B ; Q ; U
- m
- Navier-Stokes-Gleichungen (NSG) der stationären, inkompressiblen Strömung
x-Richtung:
1 wp
fx Q
U wx
y-Richtung:
§ w 2cx w 2cx w 2cx
¨¨ 2 wy 2
wz 2
© wx
1 wp
Q
U wy
§ w 2c y w 2c y w 2 c y ·
¨ 2 2 ¸¸
¨ wx
wy 2
wz ¹
©
cx
z-Richtung:
1 wp
Q
fz U wz
§ w 2c z w 2c z w 2c z ·
¨¨ 2 2 2 ¸¸
wy
wz ¹
© wx
cx
fy ·
¸¸
¹
cx
wc x
wc x
wc x
cy
cz
wx
wy
wz
wc y
wx
cy
wc y
wy
cz
wc y
wz
wc z
wc z
wc z
cy
cz
wx
wy
wz
- Kontinuitätsgleichung der stationären, inkompressiblen Strömung
wc x wc y wc z
wz
wx
wy
Gesucht:
0
1. c x z
2. p (x)
3. p 1
Anmerkungen:
- Vollausgebildete Strömung, d.h. cx ändert sich nicht in x-Richtung.
- Strömung nur in x-Richtung, d.h. c y 0 ; c z 0 .
- Stationäre, inkompressible, laminare Strömung.
- Zu beachten ist die veränderte Wahl des Koordinatensystems.
- Die Breite B ist groß gegenüber h, d.h. keine Beeinflussungen durch die
seitlichen Kanalflächen.
Lösungsschritte:
Zunächst werden die NSG und die Kontinuitätsgleichung unter den hier vorliegenden Gegebenheiten betrachtet und vereinfacht.
Feststellungen zu den Kräften:
fx
f
g;
fz
0;
fy
0 , wobei f die auf die Masse bezogene Gewichtskraft ist.
Feststellungen zu den Geschwindigkeiten:
Axiale Strömung nur in x-Richtung heißt, es existieren keine Komponenten cy und cz, d.h.
wc y
wc z
cy = 0 und cz = 0. Somit lauten die Ableitungen
0 und
0 sowie gemäß
wy
wz
16. Navier-Stokes-Gleichungen
541
§ wc ·
w¨ x ¸
2
wc x
wx ¹ w c x
Kontinuitätsgleichung auch
0 ist.
= 0. Dies hat zur Folge, dass auch ©
wx
wx 2
wx
§ wc ·
w¨¨ x ¸¸
wy ¹ w 2c x
wc x
0 und folglich wird auch ©
0.
Da c x c x z , ist
wy
wy
wy 2
Des Weiteren entfallen wegen cy = 0 und cz = 0 auch alle Ableitungen von c y und c z .
Als Ergebnis der NSG erhält man dann:
fx 1 wp
w 2c x
Q
U wx
wz 2
0
oder
Q
d 2c x
dz 2
1 wp
g
U wx
-
1
U
wp
= 0,
wy
woraus folgt
wp
= 0 oder p z p y .
wy
-
1
U
wp
= 0,
wz
woraus folgt
wp
= 0 oder
wz
pzp z
1. c x z :
Die weiteren Betrachtungen bei der Frage nach c x z erfolgen logischerweise mit
Q
d 2c x
dz 2
1 wp
g.
U wx
c x z kann der partielle Differentialquotient
Wegen c x
w 2c x
und auch
wz 2
§ wc ·
w¨ x ¸
© wz ¹
wz
wc x
dc
ersetzt werden mit x
wz
dz
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹ .
dz
Wenn p z p y und p z p z , dann hängt p nur von x ab, also p
der partielle Differentialquotient
p x . Folglich kann auch
wp
dp
durch
ersetzt werden.
dx
wx
Hieraus folgt nun in o.g. Gleichung:
§ dc
d¨ x
© dz
Q
dz
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
dz
·
¸
¹
1 dp
g.
U dx
1 § dp
·
¨ U g¸.
K © dx
¹
Durch Q dividiert und mit K Q U folgt:
Mit dz multipliziert
542
16. Navier-Stokes-Gleichungen
1 § dp
·
¨ U g ¸ dz
K © dx
¹
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
1 ª dp
U
K «¬ dx
1 ª dp
º
U g»
=
K «¬ dx
¼
§ dc x ·
³ d¨© dz ¸¹ =
dc x
dz
º
g»
¼
und dann integriert
³ dz
führt zu
z + C1.
Wiederum mit dz multipliziert
dc x =
1 ª dp
º
U g » z dz + C 1 dz
K «¬ dx
¼
und danach integriert
³ dc
1 ª dp
º
U g»
«
K ¬ dx
¼
³z
führt zu
1 ª dp
º
U g»
K «¬ dx
¼
z2
+ C1 z + C2 .
2
x
cx z
=
=
dz + C1
³ dz
dp
selbst wieder von x
dx
abhängen. Da aber im vorliegenden Fall c x z nur eine Funktion von z ist und daher nicht
dp
als Teil der Gleichung ebenfalls nicht von x abhängen. Dies
auch von x abhängt, kann
dx
dp
eine Konstante ist. Die noch unbekannten Integrationskonstanten C 1 und C 2
heißt, dass
dx
lassen sich mittels nachfolgender Randbedingungen feststellen:
Es wurde festgestellt, dass p p x . Folglich kann auch die Ableitung
Bei Stelle z
h
2
ist c x
0,
somit 0
1 ª dp
º
U g»
«
K ¬ dx
¼
h2 h
+
8 2
Bei Stelle z
h
2
ist c x
0,
somit 0
1 ª dp
º
U g»
K «¬ dx
¼
h2 h
C1 C 2 .
2
8
C1 C 2 .
Das Gleichsetzen führt zu
1 ª dp
º
U g»
K «¬ dx
¼
h2 h
+
C1 C 2
8 2
2
h
C1
2
0
1 ª dp
º
U g»
K «¬ dx
¼
C2
1 ª dp
º
U g»
K «¬ dx
¼
h2 h
C1 C 2
2
8
oder
0 . Es wird folglich C 1 0 . Dies oben eingesetzt
h2
C2
8
1 ª dp
º
U g»
K «¬ dx
¼
h2
.
8
und nach C2 umgestellt liefert
Die gesuchte Geschwindigkeitsverteilung lautet
16. Navier-Stokes-Gleichungen
cx z
=
1 ª dp
º
U g»
K «¬ dx
¼
Nach Ausklammern von
cx z =
543
z 2 1 ª dp
º
U g»
2 K «¬ dx
¼
h2
.
8
h 2 ª dp
º
U g » gelangt man zum Ergebnis
8 K «¬ dx
¼
h 2 ª dp
º
U g»
8 K «¬ dx
¼
ª z2 º
«4 h 2 1»
¬
¼
cx z =
oder auch
h2 ª
dp º
U g »
«
8 K ¬
dx ¼
2
ª
§z· º
«1 4 ¨ ¸ » .
© h ¹ »¼
«¬
2. p(x) :
dp
aus der bekannten Geschwindigdx
einer
keitsverteilung c x z herausgelöst werden und mittels gegebenem Massenstrom m
geeigneten Integration zugeführt werden.
Um p(x) bestimmen zu können, muss der Druckgradient
m
= dV
mit V
U V
³ dV
cx z
dA
dz B
Massenstrom
dA
Infinitesimaler Volumenstrom durch dA
Infinitesimale Fläche
Bei der Integration von 0 bis h/2 erfasst man nur den halben Volumenstrom, also wird
V
h/2
2 B
³c
Mit Umultipliziert lautet dann der Massenstrom
dz .
z
x
0
m
U V
h/2
2 U B
³c
x
z
dz . Setzt man nun c x z wie oben angegeben ein
0
h/2
m
2 U B
³
0
2
º
h 2 ª dp
º ª z
U
g
4
1» dz
«
2
»¼
8 K «¬ dx
h
¬
¼
und beachtet, dass
h 2 ª dp
dp
º
U g»
eine Konstante ist, dann kann
8 K «¬ dx
dx
¼
vor das Integral gezogen werden:
m
2 U B
h 2 ª dp
º
U g»
8 K «¬ dx
¼
h/2
ª
³ «¬4
0
z2 º
1 dz
h 2 »¼
oder nach Kürzen
544
m
16. Navier-Stokes-Gleichungen
U B
h 2 ª dp
º
U g»
4 K «¬ dx
¼
Substituieren wir K = U B
h/2
m
ª
³ «¬4
K
0
h/2
³
0
ª z2 º
«4 h 2 1» dz .
¬
¼
h 2 ª dp
º
U g » , so entsteht
4 K «¬ dx
¼
z2 º
1 dz
h 2 »¼
Das Integral alleine führt zu
ª z2 º
«4 h 2 1» dz
¬
¼
h/2
ª
z2 º
1 dz
h 2 »¼
h3 h
3 8 h2 2
³ «¬4
ª
z2 º
1 dz
h 2 »¼
m
1
h K.
3
h/2
³
0
h/2
³ «¬4
0
h/2
0
= 1
m
³
0
z2
4 2 dz h
h/2
³ dz
0
4
1
h.
3
4 z3
3 h2
1
h
h
6
2
h/2
h/2
z0
0
1
h
3
Der Massenstrom lautet damit
K hierin zurücksubstituiert
1
h 2 ª dp
º
h U B
U g»
3
4 K «¬ dx
¼
und das negative Vorzeichen in den Klammerausdruck gebracht liefert
m
dp º
U h3 B ª
«¬U g dx »¼ .
12 K
dp º 12 K m
ª
«¬U g dx »¼ = U h 3 B
Multipliziert mit
oder, da
dp
12 K m
.
=U g
3
dx
U h B
·
§
12 K m
dp = ¨¨ U g ¸ dx .
3
U h B ¸¹
©
dp
gesucht wird, zunächst umgestellt zu
dx
Die Multiplikation mit dx liefert die integrierbare Form
Die Integration zwischen den Stellen x mit p = p(x) und
L mit p = pB
pB
§
³ dp = ¨¨© U
p(x)
g
·
12 K m
¸
U h 3 B ¸¹
L
³ dx
führt zunächst zu
x
·
§
12 K m
p B p(x) = ¨¨ U g ¸
U h 3 B ¸¹
©
12 K
erhält man
U h3 B
Lx .
16. Navier-Stokes-Gleichungen
545
Umgestellt nach dem gesuchten Druck p(x) und noch das negative Vorzeichen aus der Klammer gebracht ergibt
p(x)
§ 12 K m
·
p B ¨¨
U g ¸¸
3
U
h
B
©
¹
Lx .
3. p 1 :
Der Druck p1 an der Stelle x = 0 lässt sich jetzt mit o.g. Gleichung leicht ermitteln zu
p(x
0)
p1
§ 12 K m
·
p B ¨¨
U g ¸¸
3
©U h B
¹
p1
L 0 und folglich
·
§ 12 K m
p B ¨¨
U g ¸¸ L .
3
¹
©U h B
546
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Aufgabe 16.4 Bewegte Platte über ruhender Wand
¥1.
¥2.
19 min
6 min
hhhh
hh
19 Punkte
6 Punkte
Über die in Abb. 16.4.1 erkennbare horizontale Wand strömt eine Flüssigkeit aufgrund eines
von außen aufgeprägten Druckgefälles. Die Flüssigkeitsoberfläche wird von einer Platte begrenzt, die im Gegensatz zur Wand nicht ruht, sondern mit der Geschwindigkeit cP bewegt
wird. Die Breite B soll gegenüber der Höhe h sehr groß bemessen sein, sodass seitliche Randeinflüsse ohne Bedeutung sind und von einer ebenen Strömung auszugehen ist. Diese ist laminar ausgebildet und ändert sich zeitlich nicht. An den markierten Stellen 1 und 2 seien die
statischen Drücke p1 und p2 bekannt sowie der Abstand L zwischen ihnen. Von der inkompressiblen Flüssigkeit sind weiterhin die Dichte U und die Viskosität Q gegeben. Zunächst soll
die Gleichung der axialen Geschwindigkeitsverteilung c x z unter Verwendung des Druckdp
hergeleitet werden. Danach ist c x z bei drei Sonderfällen des genannten
gradienten
dx
Druckgradienten anzugeben.
Abb. 16.4.1 Bewegte Platte über ruhender Wand im Fall p1 > p2 .
Lösung zu 16.4
Aufgabenerläuterung
Im Vordergrund des Lösungsweges steht die Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen und
des Kontinuitätsgesetzes, die mit den betreffenden Gegebenheiten und Annahmen des vorliegenden Falls zu bearbeiten sind. Die aufgrund von Druckkräften und der Schleppwirkung der
Platte entstehenden Geschwindigkeitsverteilungen werden in besonderem Maß von der Richtung des Druckgefälles beeinflusst.
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Gegeben:
547
- h ; L ; p1 ; p 2 ; c P ; U ; Q ;
- Navier-Stokes-Gleichungen (NSG) der stationären, inkompressiblen Strömung
x-Richtung:
1 wp
fx Q
U wx
y-Richtung:
§ w 2c x w 2c x w 2c x ·
¨¨ 2 2 2 ¸¸
wy
wz ¹
© wx
cx
1 wp
Q
U wy
§ w 2c y w 2c y w 2c y ·
¨ 2 2 ¸¸
¨ wx
wy 2
wz ¹
©
cx
fy wc x
wc x
wc x
cy
cz
wx
wy
wz
wc y
wx
cy
wc y
wy
cz
wc y
wz
z-Richtung:
§ w 2c
1 wp
w 2c ·
w 2c
wc z
wc z
wc z
fz Q ¨¨ 2z 2z 2z ¸¸ c x
cy
cz
wx
wy
wz
wz ¹
wy
U wz
© wx
- Kontinuitätsgleichung der stationären, inkompressiblen Strömung
wc x wc y wc z
wz
wx
wy
Gesucht:
1.
cx z
2.
c x (z)
Anmerkungen:
0
dp
dx
bei p 1 ! p 2 ;
bei
c x (z) bei
p 1 p 2 ; c x (z) bei p 1 p 2
- Schwerkraft wird vernachlässigt
- Stationäre, laminare, inkompressible Strömung
- Ausgebildete Strömung in x-Richtung
- Kein seitlicher Abfluss
Lösungsschritte
Zunächst werden die NSG und die Kontinuitätsgleichung unter den hier vorliegenden Gegebenheiten betrachtet und vereinfacht.
Feststellungen zu den Kräften:
fy
0 ; fx
0 ; Annahme, dass bei kleinen Höhen h die Schwerkraft f = fz = 0 ist.
Feststellungen zu den Geschwindigkeiten:
Axiale Strömung nur in x-Richtung heißt, es existieren keine Komponenten cy und cz , d.h.
wc
wcz
0 und gemäß
cy = 0 und cz = 0. Somit lauten die Ableitungen y 0 ,
wy
wz
§ wc ·
w¨ x ¸
wc x
wx ¹
= 0. Dies hat zur Folge, dass auch ©
Kontinuitätsgleichung auch
wx
wx
§ wc ·
w¨¨ x ¸¸
wy ¹ w 2c x
wc
Wenn c x c x z , dann ist x 0 und folglich wird auch ©
wy
wy 2
wy
w 2c x
wx 2
0.
0 ist.
548
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Des Weiteren entfallen wegen cy = 0 und cz = 0 auch sämtliche Ableitungen von c y und c z .
Als Ergebnis der NSG erhält man dann:
1
U
wp
Q
wx
-
1
U
wp
= 0,
wy
w 2c x
wz 2
0
wp
= 0,
wz
dp
1. c x z mit
:
dx
-
1
U
w 2c x
wz 2
1 wp
U wx
oder
Q
woraus folgt
wp
= 0 oder p z p y .
wy
woraus folgt
wp
= 0 oder
wz
pzp z .
Die weiteren Betrachtungen bei der Frage nach c x z erfolgen logischerweise mit
Q
w 2c x
wz 2
1 wp
.
U wx
c x z kann der partielle Differentialquotient
Wegen c x
§ wc ·
w¨ x ¸
© wz ¹
wz
w cx
wz 2
2
und auch
wc x
dc x
ersetzt werden mit
wz
dz
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹ .
dz
Wenn p z p y und p z p z , dann hängt p nur von x ab, also ist p
auch der partielle Differentialquotient
p x . Folglich kann
wp
dp
ersetzt werden. Die o.g. Gleichung
durch
dx
wx
lautet somit:
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
Q
dz
§ dc x ·
d¨
¸
1
© dz ¹
K
dz
§ dc x · 1
d¨
¸
© dz ¹ K
§ dc · 1
d¨ x ¸
© dz ¹ K
dc x
1 dp
dz
K dx
1 dp
dc x
K dx
³
1
U
dp
.
dx
Durch Q dividiert und mit K Q U folgt:
dp
.
dx
dp
dz
dx
dp
dx
Mit dz multipliziert
und dann integriert
³ dz
ergibt
z C1 .
z dz C1
Wiederum mit dz multipliziert
dz
und dann integriert
16. Navier-Stokes-Gleichungen
³ dc
1 dp
K dx
x
1
K
cx z
³z
³ dz
dz C1
z2
C1
2
dp
dx
549
führt zu
z C2 .
dp
selbst wieder von x abhändx
gen. Da aber im vorliegenden Fall c x z nur eine Funktion von z ist und folglich nicht auch
dp
als Teil der Gleichung ebenfalls nicht von x abhängen. Dies heißt,
von x abhängt, kann
dx
dp
dass
eine Konstante ist. Die noch unbekannten Integrationskonstanten C1 und C2 erhält
dx
man aus nachfolgenden Randbedingungen:
Da festgestellt wurde, dass p p x , kann auch die Ableitung
h
ist c x = 0
2
h
ist c x = cP
2
An der Stelle z
An der Stelle z
Haftbedingung an der ruhenden Wand
Haftbedingung an der bewegten Platte
Diese Randbedingungen jeweils in c x (z) eingesetzt liefert
2
1
K
0
§ h·
¨ ¸
© 2¹ C
1
2
dp
dx
§ h·
¨ ¸ C 2 und
© 2¹
2
§h·
¨ ¸
©2¹ C §h· C .
¨ ¸
1
2
2
©2¹
cP
1
K
dp
dx
C2
C1
h 1
2 K
C1
dp
dx
h
1 dp h 2
2
K dx 8
2 C1
h
2
Wenn beide Gleichungen nach C2 umgestellt
1 dp h 2
h
C1
K dx 8
2
h2
8
bzw. C 2
cP 1 dp h 2
h
C1
K dx 8
2
cP
cP und gleichgesetzt
werden, gelangt man zu
oder schließlich dem Ergebnis
C1
1
cP .
h
Mit diesem Ergebnis in der Gleichung für C2
C2
1
h 1 dp h 2
cP
h
2 K dx 8
und nach Kürzen von h ermittelt man
C2
1
1 dp
cP 2
K dx
h2
.
8
550
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Beide Integrationskonstanten C1 und C2 jetzt in c x z eingesetzt führt zunächst zu
1 dp z 2 1
1
1 dp h 2
cP z cP . Nach Zusammenfassen der
K dx 2 h
K dx 8
2
dp
lautet die gesuchte Geschwindigkeitsverteilung wie folgt:
Glieder mit cP bzw.
dx
cx z
2
h2 ª
§ z 1·
§ z · º dp
1
4
cP ¨ ¸ ¨
¸
«
»
8 K ¬«
©h 2¹
© h ¹ ¼» dx
cx z
2. c x (z) bei p 1 ! p 2 ; c x (z) bei p 1 p 2 ; c x (z) bei p 1 p 2 :
p 1 ! p2 :
Mit p 1 und p 2 als gegebene Drücke an den Stellen x1 und x 2 lässt sich
dp
= konstant auch
dx
wie folgt darstellen:
dp
dx
dp
dx
'p
'x
p 2 p1
.
x 2 x1
(p p 2 )
1
.
L
Mit p 1 ! p 2 und x 2 x1 = L gelangt man zu
Oben eingesetzt liefert zunächst
2
h2 ª
§ z 1·
§ z · º § (p p 2 ) ·
cP ¨ ¸ ¸
«1 4 ¨ ¸ » ¨ 1
L
8 K ¬«
©h 2¹
© h ¹ »¼ ©
¹
cx z
oder
cx z
2
2
(p1 p 2 ) ª
§ z 1· h
§z· º
1
4
cP ¨ ¸ ¨ ¸ ».
«
L
© h ¹ »¼
©h 2¹ 8 K
¬«
p 1 p2 :
cx z
2
(p1 p 2 )
§ z 1· h
cP ¨ ¸ L
©h 2¹ 8 K
cx z
p 1 p2 :
Wenn p 2 ! p1 , erhält man
dp
dx
cx z
2
ª
§z· º
«1 4 ¨ ¸ »
© h ¹ »¼
«¬
§ z 1·
cP ¨ ¸
©h 2¹
'p
'x
p 2 p1
p p1
= 2
x 2 x1
L
und somit
2
2
(p 2 p1 ) ª
§ z 1· h
§z· º
cP ¨ ¸ «1 4 ¨ ¸ » .
L
©h 2¹ 8 K
© h ¹ »¼
¬«
16. Navier-Stokes-Gleichungen
551
Aufgabe 16.5 Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten
¥1.
¥2.
24 min
9 min
hhhh
hhh
24 Punkte
9 Punkte
In Abb. 16.5.1 sind zwei um den Winkel D gegenüber der Horizontalebene geneigte Platten
zu erkennen, zwischen denen eine Flüssigkeit aufgrund eines von außen aufgeprägten Druckgefälles hindurchströmt. Beide Platten werden mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten c Po
und c Pu in entgegengesetzten Richtungen bewegt. Die Breite B des Systems soll gegenüber
der Höhe h sehr groß bemessen sein, sodass seitliche Randeinflüsse ohne Bedeutung sind und
von einer ebenen Strömung auszugehen ist. Diese ist laminar ausgebildet und ändert sich zeitlich nicht. Von der inkompressiblen Flüssigkeit sind weiterhin die Dichte U und die Viskosität
Q gegeben. Zunächst soll die Gleichung der Geschwindigkeitsverteilung c x z unter Verdp
hergeleitet werden. Danach wird nach dem Druckunterwendung des Druckgradienten
dx
schied (p 1 p 2 ) zwischen den Stellen 1 und 2 gefragt, wenn der Abstand L zwischen ihnen bekannt ist und keine Schubspannung an der oberen Platte wirksam ist.
Abb. 16.5.1 Zwei geneigte, entgegen gesetzt bewegte Platten
Lösung zu 16.5
Aufgabenerläuterung
Im Vordergrund des Lösungsweges steht die Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen und
des Kontinuitätsgesetzes. Diese sind mit den betreffenden Gegebenheiten und Annahmen des
vorliegenden Falls zu bearbeiten und das aufgrund von Druckkräften, Plattenschleppwirkung
sowie Schwerkraft entstehende Geschwindigkeitsverteilungsgesetz abzuleiten. Hieraus ist danach der gesuchte Druckunterschied zu bestimmen.
552
16. Navier-Stokes-Gleichungen
Gegeben:
- D ; c P0 ; c Pu ; U ; Q ; h, L;
- Navier-Stokes-Gleichungen (NSG) der stationären, inkompressiblen Strömung
x-Richtung:
1 wp
Q
fx U wx
y-Richtung:
§ w 2c x w 2c x w 2c x ·
¨¨ 2 2 2 ¸¸
wy
wz ¹
© wx
cx
1 wp
Q
U wy
§ w 2 c y w 2c y w 2 c y ·
¨ 2 2 ¸¸
¨ wx
wy 2
wz ¹
©
cx
§ w 2c z w 2c z w 2c z ·
¨¨ 2 2 2 ¸¸
wz ¹
wy
© wx
cx
fy z-Richtung:
1 wp
fz Q
U wz
wc x
wc x
wc x
cz
cy
wy
wz
wx
wc y
wx
cy
wc y
wy
cz
wc y
wz
wc z
wc z
wc z
cz
cy
wz
wy
wx
- Kontinuitätsgleichung der stationären, inkompressiblen Strömung
wc x wc y wc z
wz
wx
wy
Gesucht:
1.
2.
Anmerkungen:
0
dp
dx
(p 1 p 2 ), wenn an der oberen Platte die Schubspannung W verschwinden soll.
c x z bei
- Schwerkraftkomponente fz (bei h <<) wird vernachlässigt
- Stationäre, laminare, inkompressible Strömung
- Ausgebildete Strömung in x-Richtung
- Kein seitlicher Abfluss
- Ruhendes Koordinatensystem unmittelbar über der unteren Platte
Lösungsschritte
Zunächst werden die NSG und die Kontinuitätsgleichung unter den hier vorliegenden Gegebenheiten betrachtet und vereinfacht.
Feststellungen zu den Kräften:
fx
f sin D ;
fx
g sin D ;
fy
0 ;
fz = f cos D ,
wobei f = g.
fz = g cos D | 0
(s.o.)
Feststellungen zu den Geschwindigkeiten:
Axiale Strömung nur in x-Richtung heißt, es existieren keine Komponenten cy und cz , d.h.
wc
wc
cy = 0 und cz = 0. Somit lauten die Ableitungen y 0 , z 0 und gemäß
wy
wz
16. Navier-Stokes-Gleichungen
553
§ wc ·
w¨ x ¸
2
wc x
wx ¹ w c x
Kontinuitätsgleichung auch
0 ist.
= 0. Dies hat zur Folge, dass auch ©
wx 2
wx
wx
§ wc ·
w¨¨ x ¸¸
wy ¹ w 2c x
wc x
0 und folglich wird auch ©
0.
Wenn c x c x z , dann ist
wy
wy
wy 2
Des Weiteren entfallen wegen cy = 0 und cz = 0 auch sämtliche Ableitungen von c y und c z .
Als Ergebnis der NSG erhält man zunächst:
f sin D 1
U
1
U
1 wp
w 2c x
Q
U wx
wz 2
0
wp
= 0,
wy
wp
= 0,
wz
Q
oder
woraus folgt
woraus folgt
w 2c x
wz 2
1 wp
g sin D
U wx
wp
= 0 oder p z p y .
wy
wp
= 0 oder p z p z .
wz
1. c x z :
Die weiteren Betrachtungen bei der Frage nach c x z erfolgen logischerweise mit
Q
w 2c x
wz 2
1 wp
g sin D .
U wx
Wegen c x
c x z kann der partielle Differentialquotient
w 2c x
und auch
wz 2
§ dc ·
§ wc ·
w¨ x ¸
d¨ x ¸
© wz ¹ mit © dz ¹ .
wz
dz
wc x
dc
ersetzt werden mit x
wz
dz
Wenn p z p y und p z p z , dann hängt p nur von x ab, also ist p
auch der partielle Differentialquotient
p x . Folglich kann
wp
dp
ersetzt werden. Die o.g. Gleichung
durch
dx
wx
lautet somit:
Q
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
dz
·
§ 1 dp
g sin D ¸¸ .
¨¨
dx
U
¹
©
Durch Q dividiert und mit K
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
dz
1 § dp
·
U g sin D ¸ .
¨
K © dx
¹
Mit dz multipliziert
§ dc ·
d¨ x ¸
© dz ¹
1 § dp
·
U g sin D ¸ dz
¨
K © dx
¹
und dann integriert
Q U folgt:
554
16. Navier-Stokes-Gleichungen
1 § dp
·
U g sin D ¸ ³ dz
¨
K © dx
¹
dc x 1 § dp
·
¨ U g sin D ¸ z C1 .
dz K © dx
¹
1 ª dp
º
dc x
U g sin D » z dz C1 dz
K «¬ dx
¼
1 ª dp
º
³ dcx K «¬ dx U g sin D»¼ ³ z dz C1 ³ dz
1
ª dp
º
U g sin D » z 2 C1 z C 2 .
cx z
2 K «¬ dx
¼
§ dc x ·
³ d¨© dz ¸¹
ergibt
Wiederum mit dz multipliziert
und integriert
führt zu
dp
selbst wieder von x abhändx
gen. Da aber im vorliegenden Fall c x z nur eine Funktion von z ist und folglich nicht auch
dp
als Teil der Gleichung ebenfalls nicht von x abhängen. Dies heißt,
von x abhängt, kann
dx
dp
dass
eine Konstante ist. Die nach benötigten Integrationskonstanten C1 und C 2 lassen
dx
sich aus folgenden Randbedingungen bestimmen:
Da festgestellt wurde, dass p p x , kann auch die Ableitung
An der Stelle z 0 ist c x z
0
c Pu
Haftbedingung an unterer bewegter Platte
An der Stelle z h ist c x z
h
c Po
Haftbedingung an oberer bewegter Platte
Mit der ersten Randbedingung gelangt man zu
1
ª dp
º
c Pu
U g sin D » 0 C1 0 C 2 ,
2 K «¬ dx
¼
Mit der zweiten Randbedingung gelangt man zu
1
ª dp
º
c Po
U g sin D » h 2 C1 h c Pu ,
2 K «¬ dx
¼
1
ª dp
º
U g sin D » h 2
C1 h (c Po c Pu ) 2 K «¬ dx
¼
(c Po c Pu )
1
º
ª dp
C1
U g sin D » h .
h
2 K «¬ dx
¼
also C 2
cP u .
oder nach C1 umgeformt
und durch h dividiert wird dann C1
Die Geschwindigkeitsverteilung lautet dann mit diesen Integrationskonstanten zunächst
1
º
ª dp
U g sin D »
2 K «¬ dx
¼
1
oder nach Ausklammern von
2 K
cx z
cx z
§ (c P c Pu )
1
º ·
ª dp
z 2 ¨¨ o
«¬ dx U g sin D »¼ h ¸¸ z c P u
h
2
K
©
¹
º
ª dp
«¬ dx U g sin D »¼ :
·
§ dp
U g sin D ¸
¨
2 K © dx
¹
1
z 2 h z (c Po c Pu )
z
cP u
h
16. Navier-Stokes-Gleichungen
555
2. ( p1 p 2 ):
Unter der Maßgabe, dass der Druckunterschied ( p1 p 2 ) für den Fall nicht mehr vorhandener
dc
Schubspannung an der oberen Platte gesucht wird, geht man von der Gleichung für x
dz
(s.o.) aus und setzt hierin die gefundene Integrationskonstante C 1 ein:
c P c Pu
1 ª dp
1
º
º
ª dp
U g sin D » h
U g sin D » z o
«
h
2 K «¬ dx
K ¬ dx
¼
¼
dc
1 ª dp
º
Nach Ausklammern von
U g sin D » lautet x :
dz
K «¬ dx
¼
(
c
c
)
dc x 1 ª dp
h
º §
·
P
Pu
U g sin D » ¨ z ¸ o
dz K «¬ dx
2¹
h
¼ ©
dc x
dz
Die Bedingung, dass die Schubspannung an der oberen Platte gerade verschwindet bedeutet:
dc x
An der Stelle z = h wird W z h K
0 . Da K nicht Null sein kann, kann nur
dz
dc x
= 0 werden. Mit diesem Ergebnis folgt aus oben stehender Gleichung
dz
1 ª dp
h · (c P c Pu )
º §
U g sin D » ¨ h ¸ o
0
. Umgestellt zu
«
K ¬ dx
2¹
h
¼ ©
0
h
ª dp
º (c P c Pu )
.
U g sin D » o
2 K «¬ dx
h
¼
h
§ dp
·
U g sin D ¸
¨
2 K © dx
¹
dp
U g sin D
dx
dp
dx
ª2 K
« 2
¬ h
(c Po c Pu )
Zunächst umgestellt
und mit
h
2 K
(c Po c Pu )
h2
2 K
multipliziert führt zu
h
oder
º
c Po c Pu U g ˜ sin D » .
¼
Mit p1 und p 2 als Drücke an den Stellen x1 und x 2 lässt sich
dp
dx
dp
dx
'p
'x
p 2 p1
, wobei p1 ! p 2 und x 2 x1
x 2 x1
dp
auch wie folgt darstellen:
dx
L
(p1 p 2 )
L
Als Resultat für (p1 p 2 ) erhält man durch Gleichsetzen und Umformen:
p1 p 2
ª2 K
L « 2
¬ h
º
c Po c Pu U g ˜ sin D »
¼
17. Anhang: Diagramme und Tabellen
Abb. 17.1 Rohrreibungszahl O in Abhängigkeit von der Reynoldszahl Re
k
und der bezogenen Rauhigkeit S . [14 ]
D
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
558
17. Anhang: Diagramme und Tabellen
Tab. 17.1 Tatsächliche Rauhigkeiten technischer Oberflächen. [14 ]
17. Anhang: Diagramme und Tabellen
559
Abb. 17. 2 Verlustziffern von 90° Krümmern mit glatter und rauer Oberfläche
in Abhängigkeit vom Krümmungsradiusverhältnis R/D. [14 ]
A2
A1
D
0,01
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,60
0,61
0,62
0,65
0,7
0,77
1
Tab. 17. 2 Kontraktionsziffer D bei scharfkantigen unstetigen Querschnittsverengungen
mit A2 < A1. [14 ]
Abb. 17. 3 Qualitativer Verlauf der Verlustziffer einer Armatur (z.B. Schieber) in
Abhängigkeit vom Öffnungsverhältnis a/D.
560
17. Anhang: Diagramme und Tabellen
Abb. 17. 4 Widerstandsbeiwerte cW glatter und rauer Platten in Abhängigkeit
cf L
von der Reynoldszahl Re f
. [14 ]
Q
17. Anhang: Diagramme und Tabellen
561
Abb. 17. 5 Widerstandsbeiwerte cW von quer angeströmten Zylindern und Kreisscheiben
cf D
sowie Kugeln in Abhängigkeit von der Reynoldszahl Re f
. [14 ]
Q
562
17. Anhang: Diagramme und Tabellen
Tab. 17. 3 Widerstandsbeiwerte cW verschiedener angeströmter Körper. [14 ]
17. Anhang: Diagramme und Tabellen
563
Abb. 17.6 Auftriebsbeiwert cA, Widerstandsbeiwert cW, Momentenbeiwert cM und Gleitzahl H
eines Tragflügels im Polardiagramm und im aufgelösten Polardiagramm. [14 ]
Literatur
[1]
Becker, Ernst
Technische Strömungslehre;
B.G. Teubner Verlag; Stuttgart
[2]
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Piltz, Eckart
Übungen zur Technischen Strömungslehre;
B.G. Teubner Verlag; Stuttgart
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Böswirth, Leopold
Technische Strömungslehre;
Vieweg + Teubner Verlag; Wiesbaden
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Hoffmann, Hans-Joachim
Einführung in die Wärmelehre;
Carl Hanser Verlag; München, Wien
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Giles, Ranald V.
Evett, Jack B.
Liu, Cheng
Fluid Mechanics and Hydraulics;
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Strömungslehre in Fragen und Aufgaben;
B.G. Teubner Verlag; Stuttgart
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Kalide, Wolfgang
Einführung in die Technische
Strömungslehre; Carl Hanser Verlag;
München
[8]
Käppeli, Ernst
Aufgabensammlung zur Fluidmechanik;
Teil 2; Verlag Harry Deutsch; Thun und
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Strömungslehre, Gasdynamik;
B.G. Teubner Verlag; Wiesbaden
[ 10 ]
Kümmel, Wolfgang
Technische Strömungsmechanik;
B.G. Teubner Verlag; Wiesbaden
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Merker, Günter P.
Baumgarten, Carsten
Fluid- und Wärmetransport Strömungslehre
B.G. Teubner Verlag; Stuttgart
[ 12 ]
Oertel, Herbert jr.
Böhle, Martin
Dohrmann, Ulrich
Übungsbuch Strömungsmechanik;
Vieweg + Teubner Verlag; Wiesbaden
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Siekmann, H.E.
Strömungslehre;
Springer-Verlag; Berlin, Heidelberg
[ 14 ]
Sigloch, Herbert
Technische Fluidmechanik
Springer-Verlag; Berlin, Heidelberg
[ 15 ]
Strybny, Jann
Ohne Panik Strömungsmechanik!
Vieweg + Teubner Verlag; Wiesbaden
V. Schröder, Prüfungstrainer Strömungsmechanik, DOI 10.1007/978-3-8348-8274-5,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
566
18. Literatur
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Surek, Dominik
Stempin, Silke
Angewandte Strömungsmechanik;
B.G. Teubner Verlag; Wiesbaden
[ 17 ]
Truckenbrodt, Erich
Lehrbuch der angewandten Fluidmechanik;
Springer-Verlag; Berlin, Heidelberg
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Turtur, Claus Wilhelm
Prüfungstrainer Physik; Vieweg + Teubner
Verlag; Wiesbaden
[ 19 ]
Zierep; Jürgen
Bühler, Karl
Grundzüge der Strömungslehre;
Vieweg + Teubner Verlag; Wiesbaden
Herunterladen
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