ET 05

Hochschule für Technik und Architektur Bern
Abteilung Elektrotechnik und Elektronik
BFH Bereich Elektro- und Kommunikationstechnik
Elektrotechnik Grundlagen
Kapitel 5
Kapazität C und Induktivität L
2003
Kurt Steudler
(/ET_05.doc)
STR – ING
Elektrotechnik
5-2
_____________________________________________________________________
Inhaltsverzeichnis
5
Kapazität C und Induktivität L ............................................................ 3
5.1
Zusammenhang zwischen Strom und Spannung .................................. 3
5.2
Das Verhalten von C und L auf nichtsinusförmige Signale .................... 4
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
5.2.7
5.3
Das Verhalten von C und L auf sinusförmige Signale ......................... 15
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.4
Bauformen der Induktivität............................................................................... 22
Ersatzschaltbild für L ....................................................................................... 23
Anhang ................................................................................................ 23
5.6.1
5.6.2
5.7
Bauformen des Kondensators ......................................................................... 20
Ersatzschaltbild für C....................................................................................... 21
Das Bauelement L ............................................................................... 22
5.5.1
5.5.2
5.6
Sinusförmiges Signal....................................................................................... 15
Zeigerdarstellung für sinusförmiges Signal ..................................................... 16
Das Verhalten von C auf sinusförmige Signale............................................... 18
Das Verhalten von L auf sinusförmige Signale ............................................... 19
Zusammenstellung der Impedanzen ............................................................... 20
Das Bauelement C............................................................................... 20
5.4.1
5.4.2
5.5
Die Sprungantwort der Kapazität C................................................................... 4
Die Sprungantwort der Induktivität L ................................................................. 5
Folgerungen und Sätze ..................................................................................... 6
Der Stromkreis mit R und C............................................................................... 6
Der Stromkreis mit R und L ............................................................................... 9
Aufgaben zum Stromkreis R, L und C............................................................. 12
Integrier- und Differenzierglieder ..................................................................... 12
Blasenkammer................................................................................................. 23
NMR................................................................................................................. 25
Verzeichnisse ...................................................................................... 26
Literaturverzeichnis und Software
L 5-1
L 5-2
L 5-3
L 5-4
L 5-5
L 5-6
Dabrowski G., Bauelemente der Elektronik, AT Verlag, Aarau/Schweiz, 1972.
Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1996, ISBN 3-519-46400-4.
Gren Joachim und Krause Joachim, Metzler Physik, Verlag Schroedel, Hannover, 1998,
ISBN 3-507-10700-7.
®
MATHCAD 2000. Mathematiksoftware, die sich für numerische Rechnungen und
Laborauswertungen eignet.
Sattelberg Kurt, Vom Elektron zur Elektronik, Eine Geschichte der Elektrizität, AT
Verlag, Aarau/Schweiz, 1982, ISBN 3-855-02144-9.
Tabellenbuch Informations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen,
Bad Homburg vor der Höhe, 1998, ISBN 3-441-92102-x
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Kurt Steudler
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str
STR – ING
Elektrotechnik
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5
Kapazität C und Induktivität L
Aus der Gleichstromtechnik sind folgende Bauelemente bekannt: Widerstand R,
ideale Spannungsquelle und ideale Stromquelle.
Zusätzlich führen wir die Bauelemente Kapazität (Kondensator) C und Induktivität
L ein.
Kapazität
Kondensator
Induktivität
(Spule)
C
L
Symbol
Bezeichnung
Dimension
Tabelle 5-1
5.1
1
2
F
Farad
H
Henry
Symbol, Bezeichnung und Dimension von L und C
Zusammenhang zwischen Strom und Spannung
Für die Bauelemente C und L gilt allgemein
Kapazität
1
u(t ) = ⋅ ∫ i( t) ⋅ dt
C
du(t )
i(t ) = C ⋅
dt
3, 4
Induktivität
di(t )
u( t) = L ⋅
dt
1
i( t) = ⋅ ∫ u(t ) ⋅ dt
L
(5-1)
Tabelle 5-2
Formelsatz zu L und C
Wir befassen uns mit der Anwendung dieser grundlegenden Zusammenhänge
5
zwischen Spannung und Strom.
Die beiden Elemente C und L sind dual in ihrem Verhalten. Diese Dualität drückt
sich in den Symmetrien im Formelsatz (5-1) aus.
Aus den Beziehungen zwischen Spannung und Strom ergeben sich die Dimensionen zu
1
2
3
4
5
Michael FARADAY, 22.9.1791-25.81867, brit. Physiker und Chemiker, entdeckt das Benzol, die Gesetze
der elektromagn.Induktion, den Faraday'schen Käfig, die Elektrolyse, den Diamagnetismus und so weiter.
Joseph HENRY, 17.12.1797-13.5.1878, amerikanischer Physiker. Entscheidender Beitrag zur Morsetelegraphie, entdeckt die Selbstinduktion (1830).
Eine Herleitung erfolgt im Kapitel 8 Elektrisches Feld und Magnetisches Feld.
Die Spannung u(t) und der Strom i(t) sind zeitabhängige Grössen.
Integro – differenzielle Beziehungen.
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[C] = A ⋅ s = Cb = F
Farad
V
V
[L ] = V ⋅ s = H
A
5.2
und
(5-2)
Henry
Das Verhalten von C und L auf nichtsinusförmige Signale
5.2.1 Die Sprungantwort der Kapazität C
0 ; − ∞ < t ≤ t 0
i(t ) = 
I ; t 0 ≤ t < ∞
Es sei
iC(t)
I
t0
Fig. 5-1
t
Stromsprung an C
Wie verläuft die Spannung an der Kapazität C ?
Mit uC ( t) =
1
⋅ iC (t ) ⋅ dt wird
C ∫
a)
im Zeitbereich - ∞ < t ≤ t0 :
b)
im Zeitbereich t0 ≤ t < ∞ :
1
1
⋅ ∫ 0 ⋅ dt = ⋅ A + K 1
C
C
1
I
uC (t ) = ⋅ ∫ I ⋅ dt = ⋅ t + K 2
C
C
uC ( t ) =
6
(5-3)
uC(t)
t0
Fig. 5-2
t
Sprungantwort von C
Die Sprungantwort kann mit der nachfolgenden Schaltung bewirkt werden. Dabei
wird der Schalter S zur Zeit t0 von der Stellung 1 in die Stellung 2 gebracht.
6
Die Integrationskonstante K ergibt sich aus den Randbedingungen.
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2
I
Fig. 5-3
S
1
C
uC
Schaltung zur Sprungantwort des Kondensators C
5.2.2 Die Sprungantwort der Induktivität L
0
u( t) = 
U
Es sei
; − ∞ < t ≤ t0
;
t0 ≤ t < ∞
uC(t)
U
t0
Fig. 5-4
t
Spannungssprung an L
Wie verläuft der Strom in der Induktivität L ?
Mit iL (t) =
1
⋅ uL (t) ⋅ dt wird
L ∫
c)
im Zeitbereich - ∞ < t ≤ t0 :
d)
im Zeitbereich t0 ≤ t < ∞ :
1
1
⋅ ∫ 0 ⋅ dt = ⋅ A + K 1
L
L
1
U
iL (t) = ⋅ ∫ U ⋅ dt = ⋅ t + K 2
L
L
iL (t) =
7
(5-4)
iL(t)
t0
Fig. 5-5
t
Sprungantwort von L
Die Sprungantwort kann mit der nachfolgenden Schaltung bewirkt werden. Dabei
wird der Schalter S zur Zeit t0 von der Stellung 2 in die Stellung 1 gebracht.
7
Die Integrationskonstante K ergibt sich aus den Randbedingungen.
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2
S
iL
1
U
Fig. 5-6
L
Schaltung zur Sprungantwort der Induktivität L
5.2.3 Folgerungen und Sätze
Die Herleitung nach 5.2.1 besagt, dass – trotz einer endlichen, sprunghaften Änderung des Stromes – die Spannung uC am Kondensator im ersten Moment unverändert bleibt und dann langsam ansteigt.
SATZ
An einem Kondensator kann sich die Spannung nicht sprunghaft ändern.
Bei einer plötzlichen Stromänderung verhält sich der Kondensator im ersten
Moment wie eine Spannungsquelle.
Die Herleitung nach 5.2.2 besagt, dass – trotz einer endlichen, sprunghaften Änderung der Spannung – der Strom iL durch die Induktivität im ersten Moment unverändert bleibt und dann langsam ansteigt.
SATZ
In einer Induktivität kann sich der Strom nicht sprunghaft ändern.
Bei einer plötzlichen Spannungsänderung verhält sich die Induktivität im ersten Moment wie eine Stromquelle.
5.2.4 Der Stromkreis mit R und C
A
R
ue(t)
Fig. 5-7
5.2.4.1
C
iC(t)
M
uC(t)
Stromkreis mit R und C
Verlauf von uC(t)
Es sei
0
ue ( t ) = 
U
; − ∞ < t ≤ t0
;
t0 ≤ t < ∞
Im Knoten A gilt:
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du (t )
u e ( t ) − uC ( t )
= C⋅ C
dt
R
Daraus wird allgemein
1
1
∫ ue (t) − uC (t) ⋅ duC (t) = R ⋅ C ⋅ ∫ 1⋅ dt
ue(t)
U
t0
Fig. 5-8
t
Spannungssprung auf R und C
Für den Zeitbereich - ∞ < t ≤ t0 wird mit der Randbedingung uC(t0) = 0 die Spannung am Kondensator uC(t) = 0.
Für den Zeitbereich t0 ≤ t < ∞ wird mit ue(t) = U :
1
1
∫ U − uC (t) ⋅ duC (t) = R ⋅ C ⋅ ∫ 1⋅ dt
Daraus ergibt sich mit der Abkürzung τ = R⋅C die Lösung für uC(t) zu :
uC (t ) = U ⋅ (1 − e
−
t − t0
τ
)
(5-5)
Die Abkürzung τ = R⋅C nennen wir Zeitkonstante. Dimension [τ] = s.
U
uC(t)
0,63 U
0
Fig. 5-9
1-e-x - Form
t0
t0+τ
t
Ladekurve an C
Die Funktion uC(t) erreicht den Endwert U nach unendlich langer Zeit. Die Abweichung zum Endwert U ist nach 4 τ < 2% und nach 5 τ < 7 ‰ . Für praktische Anwendungen gehen wir davon aus, dass der Endwert nach der Zeit 5 τ erreicht ist.
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5.2.4.2
Verlauf von iC(t)
Entlang der Masche M gilt
iC ( t) ⋅ R +
1
⋅ iC (t ) ⋅ dt − ue ( t) = 0
C ∫
Differenziert nach der Zeit wird
diC (t)
du (t)
1
⋅ R + ⋅ iC ( t) = e
dt
C
dt
due (t )
8
=0
und somit wegen
dt
di (t )
1
∫ iCC(t) = − RC ⋅ ∫ 1⋅ dt
(5-6)
Für den Zeitbereich - ∞ < t ≤ t0 wird mit der Randbedingung iC(t0) = 0 der Strom
durch den Kondensator iC(t) = 0.
Für den Zeitbereich t0 ≤ t < ∞ wird
t
ln {iC ( t)} = − + K 1
τ
⇒
iC ( t ) = K 2 ⋅ e
−
t
τ
t
0
U
und wegen uC (t 0 ) = 0 ⇒ iC ( t 0 ) = = I wird K 2 = I ⋅ e τ und damit
R
U −
iC ( t) = ⋅ e
R
I
t − t0
τ
iC(t)
= I⋅ e
−
t − t0
τ
(5-7)
U
R
e-x - Form
0,37 I
0
Fig. 5-10
8
t0
t0+τ
t
Stromverhalten in C
ue(t) ist vor und nach dem Sprung konstant, das heisst zeitunabhängig.
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5.2.4.3
Realisierung mit Schalter
S
2
R
ue(t)
1
U
Fig. 5-11
A
C
iC(t)
M
uC(t)
Realisierung mit Schalter auf R und C
Der Schalter S wird zur Zeit t0 von der Stellung 1 in die Stellung 2 gebracht.
Wird der Schalter zur Zeit t1 von der Stellung 2 in die Stellung 1 zurückgelegt, ergeben sich für das Verhalten der Spannung die e-x – Form und für das Verhalten
des Stromes die – e-x – Form. Mit t1 – t0 > 5 τ werden
uC ( t ) = U ⋅ e
iC ( t) = −
U
R
t − t1
−
⋅e τ
−
t − t1
τ
=
(5-8)
t − t1
−
−I⋅ e τ
(5-9)
5.2.5 Der Stromkreis mit R und L
A
L
R
ue(t)
Fig. 5-12
5.2.5.1
iL(t)
M
uL(t)
Stromkreis mit R und L
Verlauf von uL(t)
0
ue ( t ) = 
U
Es sei
; − ∞ < t ≤ t0
t0 ≤ t < ∞
;
ue(t)
U
t0
Fig. 5-13
t
Spannungssprung auf R und L
Im Knoten A gilt:
ue (t ) − uL (t) 1
= ⋅ ∫ uL ( t) ⋅ dt
R
L
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Differenziert nach der Zeit wird
due (t ) duL ( t) 1
L
−
= ⋅ uL ( t) , worin τ =
τ
dt
dt
R
Die Abkürzung τ = L/R nennen wir Zeitkonstante. Dimension [τ] = s.
Da ue(t) entweder 0 oder U, das heisst in der Zeit konstant ist, wird
es gilt allgemein
du ( t)
1
L
∫ uLL(t) = − τ ⋅ ∫ 1⋅ dt , worin τ = R
due ( t)
= 0 und
dt
(5-10)
Für den Zeitbereich - ∞ < t ≤ t0 wird mit der Randbedingung uL(t0) = 0 die Spannung an der Induktivität uL(t) = 0.
Für den Zeitbereich t0 ≤ t < ∞ wird mit ue(t) = U :
1
ln {uL ( t)} = − ⋅ t + K 1
τ
uL ( t) = K 2 ⋅ e
−
Mit der Randbedingung ue(t0) = U wird K 2 =
t −t0
uL ( t) = U ⋅ e τ
−
U
,
τ=
t
τ
t0
U⋅e τ
und daraus
L
R
(5-11)
uL(t)
e-x - Form
0,37 U
0
Fig. 5-14
< 0,007 U
t0
t0+τ
t0+5τ
t
Spannungsverhalten an L
Die Funktion uL(t) erreicht den Endwert 0 nach unendlich langer Zeit. Die Abweichung zum Endwert 0 ist nach 4 τ < 2% und nach 5 τ < 7 ‰ . Für praktische Anwendungen gehen wir davon aus, dass der Endwert nach der Zeit 5 τ erreicht ist.
5.2.5.2
Verlauf von iL(t)
Entlang der Masche M gilt
R ⋅ iL ( t) + L ⋅
diL (t )
− ue ( t ) = 0
dt
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Daraus wird allgemein
R⋅∫
1
1
⋅ diL ( t) = ⋅ ∫ 1⋅ dt
ue (t) − R ⋅ iL ( t)
τ
Für den Zeitbereich - ∞ < t ≤ t0 wird mit der Randbedingung iL(t0) = 0 der Strom
durch die Induktivität iL(t) = 0.
Für den Zeitbereich t0 ≤ t < ∞ wird mit ue(t) = U :
1
1
R⋅∫
⋅ duC (t) = ⋅ ∫ 1⋅ dt
U − R ⋅ iL ( t)
τ
Daraus ergibt sich mit der Abkürzung τ = L/R die Lösung für iC(t) zu :
−
U
iC (t ) = ⋅ (1 − e
R
t−t0
τ
) = I ⋅ (1 − e
−
t −t0
τ
0,63 U
1-e-x - Form
0
5.2.5.3
(5-12)
uL(t)
I
Fig. 5-15
)
t0
t
t0+τ
Stromverhalten in L
Realisierung mit Schalter
2
1
U
Fig. 5-16
S
A
R
ue(t)
L
M
iL(t)
uL(t)
Realisierung mit Schalter auf R und L
Der Schalter S wird zur Zeit t0 von der Stellung 1 in die Stellung 2 gebracht.
Wird der Schalter zur Zeit t1 von der Stellung 2 in die Stellung 1 zurückgelegt, ergeben sich für das Verhalten der Spannung die - e-x – Form und für das Verhalten
des Stromes die e-x – Form. Mit t1 – t0 > 5 τ werden
uL ( t) = − U ⋅ e
iC ( t) =
U
R
t − t1
−
⋅e τ
−
t − t1
τ
t − t1
−
=I⋅ e τ
(5-13)
(5-14)
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5.2.6 Aufgaben zum Stromkreis R, L und C
0 ; − ∞ < t ≤ 0
Es sei i(t ) = 
I ; 0 ≤ t < ∞
A
i(t)
R
C
iC(t)
M
Fig. 5-17
uC(t)
Quelle wirkend auf C
0 ; − ∞ < t ≤ 0
Es sei i(t ) = 
I ; 0 ≤ t < ∞
A
i(t)
R
iL(t)
L
M
Fig. 5-18
Wie verlaufen uC(t) und iC(t) ? Zuerst
iC(t) herleiten.
uL(t)
Wie verlaufen uL(t) und iL(t) ? Zuerst
iL(t) herleiten.
Quelle wirkend auf L
5.2.7 Integrier- und Differenzierglieder
Es sei
R
ue(t)
Fig. 5-19
C
iC(t)
uC(t)
T

U ; 0 < t ≤ n
ue ( t ) = 
0 ; T ≤ t < T

n
Wie verläuft uC(t)?
Rechtecksignal wirkend auf R und C
An C stellt sich folgender Spannungsverlauf ein:
Fig. 5-20


Modulo T


9
Spannung an C bei Rechteckspeisung
Wie gross werden U1 und U2 ?
9
Das Verhältnis von T zu T/n nennen wir Tastverhältnis V. (T/n zu T stellt den Tastgrad g dar).
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Es gelten die Funktionen
u1(t ) = (U − U1) ⋅ (1 − e
u2 (t ) = (U − U2 ) ⋅ e
−
−
t
τ)+U
1
; τ = RC
T
n
τ
t−
Daraus ergeben sich zwei Bestimmungsgleichungen mit den Unbekannten U1 und
U2:
T
−
T
T
u1( ) = (U − U1) ⋅ (1 − e n⋅ τ ) + U1 = U − U2 = u2 ( )
n
n
u2 (T ) = (U − U2 ) ⋅ e
mit den Lösungen
−
(n −1)⋅ T
n⋅ τ
= U1 = u1(T)
1 T
− (1− )⋅
n
τ
e
U1
1−
= 1−
U
−
1− e
−
U2
1− e
= 1−
U
−
1− e
T
τ
(5-15)
T
n⋅ τ
T
τ
n −1
⋅ T wird uC(t) nahezu eine Dreieckspannung. Die Eingangsspannung
n
wird integriert.
Für τ >>
R
ue(t)
Fig. 5-21
C
ua(t)
L
ue(t)
R
ua(t)
Integrierglieder
u(t)
ue(t)
ua(t)
t
0
Fig. 5-22
Integration
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Elektrotechnik
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C
R
ue(t)
Fig. 5-23
R
ue(t)
ua(t)
L
ua(t)
Differenzierglieder
u(t)
ue(t)
ua(t)
t
0
Fig. 5-24
Reale Differenziation
+∞
u(t)
+∞
+∞
ue(t)
ua(t)
t
0
-∞
Fig. 5-25
-∞
-∞
-∞
Ideale Differenziation
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5.3
Das Verhalten von C und L auf sinusförmige Signale
Für die folgenden Betrachtungen sind Quellen vorausgesetzt, die sinusförmiges
10
Signal generieren.
u(t) = U⋅sin(ω⋅t)
Fig. 5-26
i(t) = I⋅sin(ω⋅t)
Ideale Quellen für sinusförmiges Signal
5.3.1 Sinusförmiges Signal
Das sinusförmige Signal wurde bereits im Kapitel 4 eingeführt.
u 1 ( t)
U.sin( ω .t )
u 2 ( t)
0.8 .U.sin( ω .t
φ)
u 3 ( t)
1.1 .U.sin( ω .t
ψ)
10
5
u 1( t )
u 2( t )
0
u 3( t )
5
10
0.5
Fig. 5-27
0
0.5
t
1
1.5
Sinusförmiges Signal [Mit L 5-4]
In der Wechselstromtechnik ist es üblich, für sinusförmiges Signal die Zeigerdarstellung anzuwenden. Dabei sind Zeiger komplexe Grössen in der GAUSS‘ schen
11
Zahlenebene.
10
11
Als Symbole für zeitabhängige Signale werden kleine arabische Buchstaben gesetzt
Karl Friedrich GAUSS, Mathematiker und Astronom, 30.4.1777 - 23.2.1855, Prof. und Leiter der
Sternwarte Göttingen. 1801: "Disquisitiones arithmeticae". Erster Telegraph mit WEBER. Gausssches Masssystem (absolutes System, cgs).
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Elektrotechnik
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5.3.2 Zeigerdarstellung für sinusförmiges Signal
Wir betrachten einen Zeiger A, der mit α(t) = ω⋅t rotiert:
a(t ) = A ⋅ e j⋅ ωt
(5-16)
a(t)
Im
2π
A
α
ω⋅t
Re
t
α1
t1
T
Fig. 5-28
Zeiger- und Zeitdarstellung
12
Der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierende Zeiger A kann mit seinem Imaginärteil oder seinem Realteil auf eine Zeitachse projiziert werden. Diese
Projektion zeigt ein sinusförmiges Signal.
Zwischen Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Zeit besteht an jeder Stelle ein fester
Zusammenhang
α1 2 ⋅ π
2⋅ π
= ω ⋅ t1
=
⇒ α1 = t1 ⋅
t1
T
T
und es wird
2⋅π
ω=
= 2⋅ π⋅f
(5-17)
T
Darin bedeuten
T
Periodendauer
[T] = s
13 14
f
Frequenz
[f] = Hz (= s-1) ,
ω
Kreisfrequenz
[ω] = s-1
Das sinusförmige Signal a(t) lässt sich mit einem rotierenden Zeiger A vollständig
beschreiben und es gelten die Regeln der Rechnung mit komplexen Zahlen.
12
13
14
Winkelgeschwindigkeit = dα(t)/dt = ω. Winkelbeschleunigung = d α(t)/dt = 0.
2
2
-1
Die Frequenz wird in Hertz angegeben, die Winkelgeschwindigkeit = Kreisfrequenz in s .
Benannt nach Heinrich HERTZ, 22.2.1857 - 1.1.1894, der 1886 die elektromagnetischen Wellen entdeckt. Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe und der Universität Bonn.
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Die Zeigerdarstellung a(t) = A⋅ejωt enthält alle Informationen der Darstellung entlang einer Zeitachse t.
Die Zeigerdarstellung als symbolische Darstellung sinusförmiger Signale ist mathematisch einfach zu handhaben und benötigt als Angaben nur Zeigerlänge und
Winkel.
Spannung, Strom und Leistung lassen sich im Zeigerbereich einfach darstellen
Zeigerbereich
Spannung
u( t) = û ⋅ e j⋅( ωt + ϕ) = û ⋅ e jϕ ⋅ e j⋅ ωt
Zeitbereich
u( t) = û ⋅ sin(ωt + ϕ)
û ⋅ e jϕ wird Festzeiger genannt
e j⋅ ωt heisst Drehfaktor
Strom
i( t) = î ⋅ e j⋅( ωt + ψ ) = î ⋅ e jψ ⋅ e j⋅ ωt
i(t ) = î ⋅ sin(ωt + ψ)
î ⋅ e jϕ wird Festzeiger genannt
e j⋅ ωt heisst Drehfaktor
Tabelle 5-3
Zeigerdarstellung für Spannung und Strom
In vielen Anwendungen wird nur mit dem Festzeiger gerechnet.
Für die Zeigerlänge û, î wird oft auch U, I geschrieben.
Für Widerstände R gilt auch bei sinusförmigem Signal das OHM‘ sche Gesetz
î
u(t ) û ⋅ e j⋅ ωt û
=
=
=G
(5-18)
=
R
und
û
i(t ) î ⋅ e j⋅ ωt
î
iR(t)
~
Fig. 5-29
û⋅sinωt
R
uR(t)
R und sinusförmiges Signal
Für die Bauelemente C und L gelten die Zusammenhänge nach Formelsatz (5 –
1).
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5.3.3 Das Verhalten von C auf sinusförmige Signale
iC(t)
û⋅sinωt
~
Fig. 5-30
C
uC(t)
C und sinusförmiges Signal
Mit uC = û ⋅ e j⋅ ωt und iC ( t) = C ⋅
ZC =
duC ( t)
de j⋅ ωt
= C ⋅û⋅
= jω ⋅ C ⋅ û ⋅ e j⋅ ωt
dt
dt
uC ( t )
1
=
= j ⋅ XC
iC ( t) j ⋅ ωC
wird
(5-19)
Das Verhältnis ZC zwischen Spannung und Strom wird imaginär. ZC nennen wir
Impedanz der Kapazität C. Der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom wird
π
− j⋅
π
1
mit = − j = e 2 zu ϕ = − .
2
j
Die Impedanz des Kondensators – auch Kapazitanz genannt - ist abhängig von
der Kreisfrequenz ω und damit von der Frequenz f.
Im
j
Re
XC
ω
1
-1
ωC
Fig. 5-31
Impedanzverhalten von C
Im
iC
Re
.
uC
Fig. 5-32
Zwischen der Spannung uC am Kondensator C und dem Strom iC durch C
besteht der Phasenwinkel ϕ = 90°.
Der Strom und die Spannung sind als
Festzeiger eingetragen
Der Strom durch C eilt der Spannung
an C vor.
Spannungs- und Stromzeiger an C
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Elektrotechnik
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5.3.4 Das Verhalten von L auf sinusförmige Signale
iL(t)
î⋅sinωt
Fig. 5-33
L
uL(t)
L und sinusförmiges Signal
Mit iL = î ⋅ e j⋅ ωt und uL (t ) = L ⋅
ZL =
diL (t )
de j⋅ ωt
=L⋅î⋅
= jω ⋅ L ⋅ î ⋅ e j⋅ ωt
dt
dt
wird
uL ( t)
= j ⋅ ωL = j ⋅ X L
iL(t )
(5-20)
Das Verhältnis ZL zwischen Spannung und Strom wird imaginär. ZL nennen wir
Impedanz der Induktivität L. Der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom
π
2
π
.
2
Die Impedanz der Induktivität – auch Induktanz genannt - ist abhängig von der
Kreisfrequenz ω und damit von der Frequenz f.
wird mit j = e
j⋅
zu ϕ =
Im
XL
ωL
j
Fig. 5-34
1
Re
Impedanzverhalten von L
Im
uL
Re
.
iL
Fig. 5-35
ω
Zwischen der Spannung uL an der Induktivität L und dem Strom iL durch L
besteht der Phasenwinkel ϕ = - 90°.
Der Strom und die Spannung sind als
Festzeiger eingetragen
Der Strom durch L eilt der Spannung
an L nach.
Spannungs- und Stromzeiger an L
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5.3.5 Zusammenstellung der Impedanzen
u
i
i
u
Tabelle 5-4
5.4
Verbraucher
R
Widerstand
Speicherelement Speicherelement
L
C
R
Leitwert
G
Induktanz
Kapazitanz
j ⋅ ωL
1
j ⋅ ωC
1
j ⋅ ωL
j ⋅ ωC
Zusammenstellung Widerstand und Impedanz
Das Bauelement C
5.4.1 Bauformen des Kondensators
a)
Fig. 5-36
Leidener Flasche: Die 1745 von Ewald
Jürgen von KLEIST und 1746 von
MUSSCHENBROEK erfundene Leidener oder Kleist‘ sche Flasche ist die älteste Form des Kondensators. Ein zylindrisches Glasgefäss ist innen und
aussen mit einer Metallfolie beklebt.
b)
Drehkondensatoren: Ein beweglicher
Plattensatz (Rotor) kann in einen feststehenden Plattensatz (Stator) hineingedreht werden. Der Rotor ist mit der
Masse verbunden, der Stator dazu isoliert aufgebaut. 10pF bis 1000pF.
c)
Blockkondensator: Aluminiumstreifen
und Kunststofffolie werden geschichtet
und gewickelt. Bei Metallfilmkondensatoren wird die Metallschicht auf die
Kunststofffolie aufgedampft.
d)
Keramikkondensatoren: Das Dielektrikum ist eine keramische Masse, die mit
Metallbelägen aus Silber oder Nickel
versehen ist.
e)
Elektrolykondensatoren bestehen aus
einer Aluminiumfolie Als Anode (Pluspol), einer darauf elektrolytisch aufgebrachten Oxydschicht als Dielektrikum
und einem Elektrolyten als Kathode
(Minuspol).
f)
Superkondensatoren (Gold Caps) mit
Aktivkohle als Träger des Elektrolyten.
Sehr hohe Kapazität (einige 1000 F).
Kann Akkumulatoren ersetzen und ist
schnell ladbar.
Bauformen von Kondensatoren. (Aus [L 5-3], S. 200)
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Fig. 5-37
SMD oder Chip Kondensator (Bild Philips)
5.4.2 Ersatzschaltbild für C
Das Bauelement Kondensator C ist nicht ideal. Damit für den praktischen Einsatz
eine Beschreibung möglich wird, arbeiten wir mit einem Ersatzschaltbild.
L
R1
R2
ideales C
Fig. 5-38
Ersatzschaltbild für C
Im tiefen Frequenzbereich bis etwa 1 MHz dürfen – ausser bei Elektrolyten - die
parasitären Elemente L, R1 und R2 weggelassen werden.
15
In den Schemata für theoretische Betrachtungen gilt das Symbol für ideales C.
In praktischen Anwendungen steht hinter jedem C – Symbol das gegebene Ersatzschaltbild.
Die Leidener Flasche, von VOLTA später Kondensator genannt, wird von Kleist gefunden.
Ewald Jürgen VON KLEIST, - 1748, ist Jurist
und Gutsbesitzer, der sich in Mussestunden mit
elektrischen Experimenten beschäftigt.
Pieter VAN MUSSCHENBROEK, , Physiker und
Mathematiker an der Universität Leiden findet
die „Leidener“ – Flasche ein Jahr nach und unabhängig von KLEIST.
Leidener – Flaschen sind für viele Jahre die
einzige Ladungsquelle für elektrische Experimente.
Fig. 5-39
15
Batterie Leidener Flaschen. 18tes Jhd. (Aus [L 5-5], S.31)
Stromlaufplänen. Schema = Stromlaufplan. Engl.: Schematic diagram, Scheme.
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5.5
Das Bauelement L
5.5.1 Bauformen der Induktivität
Induktivitäten sind gewickelte Spulen, deren
Kern aus „Luft“ oder einem ferromagnetischen
Material besteht. Als „Luft“ gelten auch tragende
Körper aus dia- oder paramagnetischem Isolations - Material wie Kunststoffe und Papiere.
Ferromagnetische Materialien wie Weicheisenbleche, Ferrite dienen der Erhöhung des L –
Wertes und der Führung des mit einer Spule
verknüpften magnetischen Feldes.
Ferrite sind Verbindungen aus Eisenoxid mit
Oxyden anderer Metalle. Die fein gemahlenen
Oxyde werden in Formen gepresst und wie Keramik gebrannt (Metallkeramik).
Fig. 5-40
Induktivitäten. (Aus [L 5-1], S.95)
Fig. 5-41
Ferrit - Ringkern und Weicheisenbleche. (Aus [L 5-1], S.95,99)
Fig. 5-42
Ferrit – Schalenkerne. (Aus [L 5-1],S.100)
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5.5.2 Ersatzschaltbild für L
Das Bauelement Kondensator L ist nicht ideal. Damit für den praktischen Einsatz
eine Beschreibung möglich wird, arbeiten wir mit einem Ersatzschaltbild.
C
R
ideales L
Fig. 5-43
Einfaches Ersatzschaltbild für L
In den Schemata für theoretische Betrachtungen gilt das Symbol für ideales L. In
praktischen Anwendungen steht hinter jedem L – Symbol das gegebene Ersatzschaltbild.
5.6
Anhang
5.6.1 Blasenkammer
Sie wurde 1952 von dem amerikanischen Physiker Donald Glaser erfunden und
ähnelt in ihrer Funktionsweise der Nebelkammer. In einer Blasenkammer wird eine
Flüssigkeit unter Druck bei einer Temperatur knapp unter dem Siedepunkt gehalten. Der Druck wird unmittelbar vor dem Eintreffen von Teilchen plötzlich verringert. Durch den Druckabfall wird die Siedetemperatur verringert; jedoch kann die
Flüssigkeit nicht augenblicklich sieden, sondern erst, wenn Verunreinigungen oder
Störungen vorliegen. Letztere werden z.B. durch ein hoch energetisches Teilchen
hervorgerufen, und es entstehen entlang dessen Flugbahn durch die Flüssigkeit
feine Bläschen. Wenn man direkt nach dem Durchflug des Teilchens die Kammer
photographiert, erhält man aufgrund der Bläschen ein Abbild der Teilchenbahn.
Ähnlich wie die Nebelkammer kann man auch die Blasenkammer in einem Magnetfeld betreiben, um die Energien geladener Teilchen zu bestimmen. Viele Blasenkammern werden inzwischen mit supraleitenden Magneten anstelle der gewöhnlichen versehen. Mit Hilfe von Blasenkammern, die mit flüssigem Wasserstoff
gefüllt sind, kann man die Wechselwirkungen zwischen beschleunigten Teilchen
und den Wasserstoffkernen untersuchen.
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In der Blasenkammer des Brookhaven National Laboratory auf Long Island in New York wurde
1964 von 33 Physikern das Omega-Hyperon entdeckt, ein Elementarteilchen aus der Familie der
Baryonen. Brookhaven Nat. Lab./Science Source/Photo Researchers, Inc.
Bahnspuren der in die Blasenkammer eingeschossenen elektrischen Teilchen werden mit einem
Scanner aufgezeichnet. Aus der Bahnlänge und -krümmung lassen sich Ladung, Energie und Impuls berechnen. Parker/Science Source/Photo Researchers, Inc.
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5.6.2 NMR
Bruker BioSpin systems, accessories and software embrace a full range of applications. We offer the most comprehensive set of technology platforms including
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5.7
Verzeichnisse
Figurenverzeichnis
Fig. 5-1
Fig. 5-2
Fig. 5-3
Fig. 5-4
Fig. 5-5
Fig. 5-6
Fig. 5-7
Fig. 5-8
Fig. 5-9
Fig. 5-10
Fig. 5-11
Fig. 5-12
Fig. 5-13
Fig. 5-14
Fig. 5-15
Fig. 5-16
Fig. 5-17
Fig. 5-18
Fig. 5-19
Fig. 5-20
Fig. 5-21
Fig. 5-22
Fig. 5-23
Fig. 5-24
Fig. 5-25
Fig. 5-26
Fig. 5-27
Fig. 5-28
Fig. 5-29
Fig. 5-30
Fig. 5-31
Fig. 5-32
Fig. 5-33
Fig. 5-34
Fig. 5-35
Fig. 5-36
Fig. 5-37
Fig. 5-38
Fig. 5-39
Fig. 5-40
Fig. 5-41
Fig. 5-42
Fig. 5-43
Stromsprung an C.......................................................................................................... 4
Sprungantwort von C ..................................................................................................... 4
Schaltung zur Sprungantwort des Kondensators C....................................................... 5
Spannungssprung an L.................................................................................................. 5
Sprungantwort von L...................................................................................................... 5
Schaltung zur Sprungantwort der Induktivität L ............................................................. 6
Stromkreis mit R und C.................................................................................................. 6
Spannungssprung auf R und C ..................................................................................... 7
Ladekurve an C.............................................................................................................. 7
Stromverhalten in C ....................................................................................................... 8
Realisierung mit Schalter auf R und C........................................................................... 9
Stromkreis mit R und L .................................................................................................. 9
Spannungssprung auf R und L ...................................................................................... 9
Spannungsverhalten an L ............................................................................................ 10
Stromverhalten in L...................................................................................................... 11
Realisierung mit Schalter auf R und L ......................................................................... 11
Quelle wirkend auf C.................................................................................................... 12
Quelle wirkend auf L .................................................................................................... 12
Rechtecksignal wirkend auf R und C........................................................................... 12
Spannung an C bei Rechteckspeisung........................................................................ 12
Integrierglieder ............................................................................................................. 13
Integration .................................................................................................................... 13
Differenzierglieder........................................................................................................ 14
Reale Differenziation.................................................................................................... 14
Ideale Differenziation ................................................................................................... 14
Ideale Quellen für sinusförmiges Signal ...................................................................... 15
Sinusförmiges Signal ................................................................................................... 15
Zeiger- und Zeitdarstellung .......................................................................................... 16
R und sinusförmiges Signal ......................................................................................... 17
C und sinusförmiges Signal ......................................................................................... 18
Impedanzverhalten von C ............................................................................................ 18
Spannungs- und Stromzeiger an C ............................................................................. 18
L und sinusförmiges Signal.......................................................................................... 19
Impedanzverhalten von L............................................................................................. 19
Spannungs- und Stromzeiger an L .............................................................................. 19
Bauformen von Kondensatoren. (Aus [L 5-3], S. 200)................................................. 20
SMD oder Chip Kondensator (Bild Philips)................................................................. 21
Ersatzschaltbild für C ................................................................................................... 21
Batterie Leidener Flaschen. 18tes Jhd. (Aus [L 5-5], S.31)......................................... 21
Induktivitäten. (Aus [L 5-1], S.95) ................................................................................ 22
Ferrit - Ringkern und Weicheisenbleche. (Aus [L 5-1], S.95,99) ................................. 22
Ferrit – Schalenkerne. (Aus [L 5-1],S.100) .................................................................. 22
Einfaches Ersatzschaltbild für L................................................................................... 23
Tabellenverzeichnis
Tabelle 5-1
Tabelle 5-2
Tabelle 5-3
Tabelle 5-4
Symbol, Bezeichnung und Dimension von L und C ...................................................... 3
Formelsatz zu L und C................................................................................................... 3
Zeigerdarstellung für Spannung und Strom................................................................. 17
Zusammenstellung Widerstand und Impedanz ........................................................... 20
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