Netzwerke und Schaltungen II Übertragungsfunktionen

Netzwerke und Schaltungen II
Professur für Leistungselektronik
und Messtechnik
Übung Nr. 9
Prof. Dr. J.W. Kolar
Name, Vorname
Testat
Besprechung: 02.05.08
Abgabe:
09.05.08
Übertragungsfunktionen und Laplacetransformation
Aufgabe 1: Einheitssprungantwort eines RC-Netzwerks
Gegeben ist die in Fig. 1 (a) dargestellte Schaltung mit den zwei Widerständen und den zwei Kondensatoren.
a)
Berechnen Sie die Übertragungsfunktion F(s) = U2(s) / U1(s) der Ersatzschaltung in Fig. 1 (b). Vereinfachen
b)
Berechnen Sie die Antwortspannung u2(t) des Netzwerks bei einer Anregung mit der Einheitssprungfunktion
Sie die Schaltung dazu zunächst mit Hilfe der Dreieck-Stern-Umwandlung zu einem T-Ersatzschaltbild.
u1(t) = σ(t). Nutzen Sie dabei eine Partialbruchzerlegung der Funktion U2(s) um die Rücktransformation in
den Zeitbereich mit der bekannten Korrespondenz 1 /(1 + Ts )
1 / T ⋅ e −t / T durchzuführen.
(a)
(b)
Fig.1: Schaltung (a) und equivalentes Ersatzschaltbild (b)
Aufgabe 2: Kompensierter Spannungsteiler
An einem Oszilloskop mit Eingangswiderstand Ri = 1 MΩ und Eingangskapazität Ci = 10 pF soll ein Tastkopf mit
dem Teilerverhältnis U2 / U1 = 1:10 genutzt werden. Der Tastkopf besteht, wie in Fig. 2 (a) dargestellt, aus der
Parallelschaltung des Vorwiderstandes RV mit dem einstellbaren Kondensator CV und einer Koaxialleitung der
Länge l = 1 m, die einen Kapazitätsbelag von C’ = 30 pF/m aufweist. Der Wert des Kondensators CV soll so bestimmt werden, dass sich beim gegebenen Teilerverhältnis eine unverzerrte Übertragung ergibt.
a)
Berechnen Sie die Übertragungsfunktion F(s) = U2(s) / U1(s) der Schaltung.
b)
Unter welcher Voraussetzung wird die Übertragungsfunktion unabhänig von der Kreisfrequenz ω der Eingangsspannung U1(s) = U1(jω)? Berechnen Sie für diesen Fall und dem Teilerverhältnis 1:10 den nötigen
Wert des Vorwiderstandes RV und den ideal einzustellenden Wert des Kondensators CV,k.
c)
Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der Ausgangsspannung u2(t) bei einen rechteckförmigen Eingangsimpuls der Amplitude Û1 = 1 V und der Pulsbreite TP = 100 μs, wie in Fig. 2 (b) dargestellt, im Falle einer Unterkompensation (CV = 0.25·CV,k) und im Falle einer Überkompensation (CV = 4·CV,k) des Spannungsteilers.
Untersuchen Sie dazu vereinfacht das Verhalten der Teilerschaltung zum Zeitpunkt t = 0+ kurz nach dem
Einschalten des Eingangsimpulses und zu den Zeitpunkten t = TP bzw. t → ∞. Gehen Sie davon aus, dass
die Kondensatoren zum Zeitpunkt t = 0- vollständig entladen sind und sich das Netzwerk zu den Zeitpunkten
t = TP und t → ∞ in einem stationären Zustand befindet.
CV
l
I1(s)
U1(s)
RV
Oszilloskop
Ri
Ci
U2(s)
CK
(a)
(b)
Fig. 2: Tastkopfschaltung (a) und Zeitverlauf der Eingangsspannung u1(t) (b)
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Netzwerke und Schaltungen II
Professur für Leistungselektronik
und Messtechnik
Übung Nr. 9
Prof. Dr. J.W. Kolar
Aufgabe 3: Selbstentladung eines Hochspannungskabels
l
t=0
CK
u(t)
U0
uC(t)
RK
Fig. 3: Leerlaufendes Hochspannungskabel an der Gleichspannungsquelle U0
Ein Hochspannungskabel (Fig. 3) der Länge l = 10 km weist einen Kapazitätsbelag von C’ = 0.30 μF/km und einen Isolationswiderstand von R’ = 400 MΩ·km auf. Das Kabel wird im Leerlauf an der Gleichspannungsquelle U0
= 10 kV betrieben. Zum Zeitpunkt t = 0 wird das Hochspannungskabel von der Quelle getrennt und die Kabelkapazität CK entlädt sich über den Isolationswiderstand RK des Kabels.
a)
Geben Sie mit Hilfe des Differentiationssatzes für den Bildbereich der Laplace-Transformation ein Ersatzschaltbild der Schaltung aus Fig. 3 an, das den Anfangszustand der Kondensatorspannung uC(t) zum Zeitpunkt t = 0- kurz vor dem Öffnen des Schalters berücksichtigt.
b)
Berechen Sie für t > 0 mit den Rechenregeln der komplexen Wechselstromrechnung ausgehend vom Ersatzschaltbild zunächst die Kondensatorspannung UC(s) im Bildbereich der Laplacetransformation und
transformieren diese anschliessend zurück in den Zeitbereich um uC(t) zu erhalten.
c)
Wie lange dauert es, bis die Spannung uC(t) am Kondensator auf 500 V abgesunken ist? Skizzieren Sie den
Zeitverlauf der Kondensatorspannung im Zeitintervall 0 < t < 400 s.
Aufgabe 4: Ausschwingvorgang im RL-Netzwerk
t=0
i1(t)
U0
i2(t)
R2
R1
ua(t)
L
Fig. 4: RL-Netzwerk an geschalteter Quellspannung U0
Gegeben ist das RL-Netzwerk in Fig. 4. Für t < 0 sei der Schalter geschlossen und die Gleichspannung U0 =100V
liegt am RL-Netzwerk bestehend aus R1 = 100 Ω, R2 = 400 Ω und L = 50 H an. Das System befindet sich in einem
stationärem Zustand, bis der Schalter zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet wird.
a)
Geben Sie den Strom i2(t) = iL0 für t < 0 als Funktion der Quellspannung U0 an. Zeichnen Sie ein Ersatzschaltbild der Schaltung aus Fig. 4, das den Anfangswert des Stroms durch die Induktivität L zum Zeitpunkt
t = 0 kurz vor dem Öffnen des Schalters berücksichtigt.
b)
Berechnen Sie die Ströme I1(s) und I2(s) sowie die Spannung Ua(s) im Bildbereich der Laplacetransformation für t > 0. Geben Sie die korrespondierenden Zeitfunktionen i1(t), i2(t) und ua(t) an und skizzieren
Sie diese für -100 ms < t < 300 ms. Welche Überspannung ua(t=0+) tritt am Ausgang der Schaltung auf?
c)
Welche Energie W1 wird für t > 0 im Widerstand R1 in Wärme umgesetzt? Lösen Sie dazu das Integral über
die gefundenen Zeitfunktionen i1(t) und ua(t) für 0 < t < ∞. Welcher Zusammenhang besteht zu der zum Zeitpunkt t = 0 in der Induktivität L gespeicherten Energie WL = ½L·iL02 ?
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