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KOMPLEXE RECHNUNG I (Grundoperationen)
95.1 Grundlagen und Einführung
Zahlenmengen
Aus der bisher betriebenen Mathematik sind folgende Zahlenmengen bekannt:
= {1, 2, 3 . . .
}
;
Menge der natürlichen Zahlen
= {. . . -3, -2, -1, 0, 1, 2 . . .
p
; p, q = {x │ x =
q
}
;
Menge der ganzen Zahlen
}
;
Menge der rationalen Zahlen
}
;
Menge der reellen Zahlen
= { , π, e,
2 ,...
Die Mengen bezeichnen wir als abzählbar unendliche Mengen. Dagegen wird die Menge als überabzählbar unendliche Menge bezeichnet.
Der Körper der reellen Zahlen
Auf der Menge der reellen Zahlen definieren wir die beiden Operationen Addition und Multiplikation. Wenn die beiden Operationen die nachfolgenden Eigenschaften aufweisen, nennen wir diese mathematische Struktur den Körper der
reellen Zahlen.
Addition
Multiplikation
Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c)
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
Neutrales Element
a+0=a
a⋅1=a
Inverses Element
a + (-a) = 0
a⋅a =1
Kommutativgesetz
a+b=b+a
a⋅b=b⋅a
Distributivgesetz
a ⋅ (b + c) =
-1
a⋅b+a⋅c
2
Lösen der Gleichung x + 1 = 0
2
Im Körper der reellen Zahlen führt das lösen der Gleichung x + 1 = 0 auf das
Problem, eine reelle Zahl x zu finden, die mit sich selber multipliziert den Wert
1
-1 ergibt. C.F. GAUSS löste das Problem durch die Einführung
1
Carl Friedrich GAUSS, Mathematiker und Astronom, 30.4.1777 - 23.2.1855, Prof. und Leiter der Sternwarte Göttingen. 1801: "Disquisitiones arithmeticae". Erster Telegraph mit WEBER. Gauss' sches Masssystem (absolutes System, cgs).
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der imaginären Einheit j :
2
j ⋅ j = −1
(95-1)
Diese imaginäre Einheit gehört nicht zu den reellen Zahlen. Trotzdem soll
sie die gewohnten Rechenregeln erfüllen.
Eine Zahl y ⋅ j mit y ist nach GAUSS eine imaginäre Zahl. Die Menge
der so gebildeten Zahlen ist gleich mächtig, wie die Menge der reellen Zahlen.
95.2 Definition der komplexen Zahlenmenge
Aus der Menge der reellen Zahlen und der gleich mächtigen Menge der imaginären
Zahlen wird je ein Element zu einem Zahlenpaar zusammengefasst:
z = (x , y⋅j) ; x,y Die Menge der so gebildeten Zahlenpaare bezeichnen wir als Menge der komplexen
Zahlen :
= { z │ z = (x, y⋅j) ; x, y Beispiele:
z1 = (-5, 2j)
z2 = (p, -qj)
z3 = (4,1)
}
3
2
z4 = (-Ω , j [1 + Ω ])
Darstellung der komplexen Zahl in der GAUSS’ schen Zahlenebene
Die reellen Zahlen und die imaginären Zahlen können je für sich als Zahlengeraden dargestellt werden. Schneiden sich die beiden Geraden im Ursprung 0
π
unter einem Winkel von 90° ( ), dann bilden sie eine Ebene, die wir GAUSS
2
sche Zahlenebene nennen. Als Abszisse wählen wir die Zahlengerade der
reellen Zahlen und als Ordinate die Zahlengerade der imaginären Zahlen. In
der so gebildeten Zahlenebene ist jeder komplexen Zahl z umkehrbar eindeutig ein Punkt zugeordnet:
2
3
Für die imaginäre Einheit wird in der Mathematik üblicherweise der Buchstabe i benutzt. Im Fachgebiet
der Elektrotechnik hat sich weltweit der Buchstabe j eingebürgert, um Verwechslungen mit dem Strom
i zu vermeiden. (DIN 1302).
Oft werden komplexe Zahlen, geschrieben als geordnetes Zahlenpaar, ohne die imaginäre Einheit j
geführt. In Anwendungen der Elektrotechnik ist es üblich, die imaginäre Einheit j dem Imaginärteil y
voranzustellen; y kann ein formaler Ausdruck sein.
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yj
3j
2j
1j
z1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-2j
z2
-3j
Fig. 95-1
Imaginäre Achse
z3
x
1 2 3 4 5 6
Reelle Achse
GAUSS sche Zahlenebene
Mathematische Darstellungsarten
Kartesische Darstellung
II
yj
bj
Im
I
z
2j
1j
x
-2 -1
-2j
-3j
III
Fig. 95-2
P
1 2 3 4 5
a
Re
IV
Kartesische Darstellung
Komplexe Zahlen werden zweckmässig in der GAUSS - Ebene mit kartesischen Koordinaten dargestellt. Der Punkt P ist somit durch die Koordinaten
P(a,b) festgelegt:
z = a + j⋅ b
(95-2)
Dabei werden die Komponentend a als Realteil und b als Imaginärteil der
komplexen Zahl z bezeichnet:
a = Re(z)
b = Im(z)
( a und b sind Elemente der reellen Zahlen: a,b )
Ziehen wir aus dem Ursprung 0 eine Strecke zum Punkt P und versehen diese
4
bei P mit einem Pfeil, dann sprechen wir von einem Zeiger.
Zeigerdarstellung
Als Zeiger gilt der Pfeil, der vom Ursprung 0 zum Punkt P = P(a,b) zeigt.
Der Betrag │z│ einer komplexen Zahl z ist die Länge des beschriebenen Zeigers.
4
Der Begriff Zeiger ist im Fachbereich Elektrotechnik üblich, um Verwechslungen zu vermeiden. Mathematiker sprechen hier von Vektoren (mit speziellen Eigenschaften).
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II
yj
bj
Im
P
|z|
2j
1j
ϕ
-2 -1
-2j
III
-3j
Fig. 95-3
I
x
a
1 2 3 4 5
Re
IV
Zeigerdarstellung
Der Winkel ϕ zwischen der positiven reellen Achse und dem Zeiger z wird
linksherum (im Gegenuhrzeigersinn) positiv und rechtsherum (im Uhrzeigersinn) negativ gezählt.
Die beiden Achsen Re (reelle Achse) und Im (imaginäre Achse) teilen die
GAUSS - Ebene - links herum gezählt - in die vier Quadranten I, II, III und IV.
(Figuren Fig. 95-2 und Fig. 95-3).
Aus der Figur Fig. 95-3 lassen sich folgende Beziehungen ablesen:
│z│ =
a 2 + b2
a = │z│⋅cos( ϕ )
(95-3)
b
ϕ = arctan( )
a
b = │z│⋅sin( ϕ )
Mit diesen Beziehungen ergibt sich die Zeigerdarstellung als:
z = z ⋅ [cos(ϕ) + j ⋅ sin(ϕ)]
(95-4)
Vorzeichen der Komponenten und des Winkels:
Quadrant
I
II
III
IV
Realteil a
positiv
negativ
negativ
positiv
Imaginärteil b
positiv
positiv
negativ
negativ
π
2
π
< ϕ <π
2
Winkel
ϕ
0<
ϕ <
π
2
3π
π< ϕ <
2
-π <
ϕ <-
π
< ϕ <0
2
3π
< ϕ < 2π
2
-
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Die EULERsche Relation
5
Es gelten die Reihen-Entwicklungen nach TAYLOR:
e
x=
∞
k
∑ xk!
k=0
sin(x) =
∞
x (2k +1)
∑ (-1) (2k + 1)!
k =0
k
6
cos(x) =
∞
∑ (-1)
k
k =0
x 2k
(2k)!
Mit diesen Reihen lässt sich die EULER’ sche Relation herleiten:
e j⋅ϕ = cos(ϕ) + j ⋅ sin(ϕ)
(95-5)
Aufgabe: Leiten Sie die EULER - Relation her.
Mit der EULER’ schen Relation lässt sich die Zeigerdarstellung elegant ausdrücken als:
z = z ⋅ej⋅ϕ
(95-6)
Beispiele zu e j ⋅ ϕ :
ej⋅0 = 1
π
2 ⋅ej⋅ 4 = 1 + j
π
ej⋅ 2 = j
e ± j ⋅ π = -1
π
e- j ⋅ 2 = -j
e j ⋅ 7 = 0,754 + j⋅0,657
Die Periodizität von e j ⋅ ϕ lässt sich folgendermassen ausdrücken:
e j ⋅ ϕ = e j ⋅ (ϕ + k ⋅ 2π) ; k *
Die konjugiert komplexe Zahl z oder z einer komplexen Zahl z
7
*
Unter der konjugiert komplexen Zahl z einer komplexen Zahl z verstehen wir
jene Zahl, deren Imaginärteil an der reellen Achse gespiegelt worden ist:
5
6
7
Leonhard EULER, Mathematiker, Physiker und Astronom, 15.4.1707- 18.9.1783, Professor in
St.Petersburg.
Brook TAYLOR, 18.8.1685 - 29.12.1731, britischer Mathematiker.
*
Wir bevorzugen die Schreibweise z für eine konjugiert komplexe Zahl.
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yj
z1
Im
3j
2j
1j
z2*
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-2j
z2
-3j
Fig. 95-4
x
1 2 3 4 5 6
Re
z1*
Konjugiert komplexe Zahl
Beispiele:
*
2
2
z⋅ z = a + b
a=
1
*
⋅(z + z )
2
b=
1
*
⋅(z - z )
2j
Aufgabe: Beweisen Sie die gemachten Aussagen.
Grundoperationen mit komplexen Zahlen
95.3 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
n komplexe Zahlen werden so addiert, dass die Summe der n Realteile den
Realteil der Summe und die Summe der n Imaginärteile den Imaginärteil der
Summe bilden:
n
zS =
∑ zk
;
zk = ak + j⋅bk
k=0
n
zS =
∑ ak
k=0
+
j⋅
n
∑ bk
(95-7)
k=0
_____________________________
Zwei komplexe Zahlen so voneinander subtrahiert, dass je die beiden Realteile
und die beiden Imaginärteile voneinander weggezählt werden:
z1 = a1 + j⋅b1 ;
z2 = a2 + j⋅b2
z1 - z2 = (a1 - a2) + j⋅(b1 - b2)
______________________________
(95-8)
Beispiele:
Mit
z 1 = 4 + j⋅ 3
z1 + z 2 = 6 - j ⋅ 3
z2 = 2 - j⋅6
z3 = -3 + j⋅5 werden
z1 + z3 = 1 + j⋅8 z1 + z2 + z3 = 3 + j⋅2
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z1 - z2 = 2 + j⋅9
z2 - z1 = -2 - j⋅9 = -(z1 - z2)
yj
Imaginäre Achse
3j
2j
1j
z1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-2j
-3j
Fig. 95-5
z1 + z2
x
1 2 3 4 5 6
z2
Reelle Achse
Grafische Addition
yj
z1 – z2
3j
2j
1j
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-2j
-3j
Fig. 95-6
Im
z1
z2
x
1 2 3 4 5 6
z2 – z1
Re
Grafische Subtraktion
95.4 Multiplikation komplexer Zahlen
Multiplikation in der kartesischen Darstellung
Zwei komplexe Zahlen werden miteinander multipliziert, indem das Produkt
der Imaginärteile vom Produkt der Realteile subtrahiert den Realteil des Produktes ergeben und der Imaginärteil des Produktes sich bildet aus der Summe
der beiden Produkte von Realteil und Imaginärteil:
z2 = a2 + j⋅b2
Es seien
z1 = a1 + j⋅b1 ;
Damit wird
z1⋅z2 = (z1 = a1 + j⋅b1) ⋅ (z2 = a2 + j⋅b2)
= a1⋅a2 + j⋅a1⋅b2 + j⋅b1⋅a2 + j⋅j⋅b1⋅b2
z1⋅z2 = (a1⋅a2 - b1⋅b2) + j⋅(a1⋅b2 + b1⋅a2)
_____________________________________
Beispiel:
z1 = 4 + j⋅ 3
;
(95-9)
z2 = -2 + j
z1⋅z2 = (-8 - 3) + j⋅(4 - 6) = -11 - j⋅2
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Multiplikation in der Zeigerdarstellung
Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem die Beträge der einzelnen Zahlen
multipliziert und die Winkel addiert werden:
= z1⋅z2⋅z3⋅ . . . ⋅zk . . . ⋅zn-1⋅zn
z
n
=
∏
zk
8
k=0
n
z
=
∏
 n



j⋅
ϕk 


│zk│ ⋅ e  k =0 
∑
(95-10)
k=0
__________________________
2π
z1 = 2⋅ e j⋅ 3
Beispiel:
2π
;
z2 = 4 + j⋅4 = │z2│⋅ e j⋅ϕ 2
π
11π
z1⋅z2 = 2⋅4⋅ 2 ⋅ e j⋅( 3 + 4 ) = 11,314⋅ e j⋅( 12 )
Grafische Interpretation der Multiplikation
Multiplikation von z mit einer reellen Zahl p:
yj Im
3j
2j
1j
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-2j
-3j
Fig. 95-7
p·z
p⋅z = p⋅(a + j⋅b)
z
x
1 2 3 4 5 6
Re
j·z
3j
2j
1j
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-2j
-3j
8
= p⋅a + j⋅p⋅b
Multiplikation mit einer Konstanten
Multiplikation von z mit der imaginären Einheit j:
yj Im
Fig. 95-8
z = a + j⋅ b
z
1 2 3 4 5 6
x
Re
z = a + j⋅ b
j⋅z = j⋅(a + j⋅b)
= j ⋅ a + j⋅ j ⋅ b
= -b + j⋅a
Drehung des Zeigers um 90°
Multiplikation mit der imaginären Einheit j
Das Produktzeichen PI wird analog dem Summenzeichen SIGMA verwendet. Statt der Summe wird
das Produkt von n Faktoren gebildet.
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Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1⋅z2 :
yj Im
z1 ⋅ z2
ϕ+ψ
z2
ψ
z1
x
ϕ
Re
1
z1 = │z1│⋅ e j⋅ϕ
z2 = │z2│⋅ e j⋅ψ
z1⋅z2 =
│z1│⋅│z2│⋅ e j⋅(ϕ+ ψ)
Drehen des Zeigers z2 um ψ
und strecken um den Faktor
│z2│.
Fig. 95-9
Multiplikation zweier komplexer Zahlen
95.5 Division komplexer Zahlen
Division in kartesischer Darstellung
Gegeben seine die beiden komplexen Zahlen z1 = a1 + j⋅b1 und z2 = a2 +
+ j ⋅ b1
j⋅b2. Gesucht ist die Division z = z1 = a1
= A + j⋅B.
z2 a2 + j ⋅ b2
Damit z eine komplexe Zahl A + j⋅B wird, muss der Nenner reell sein. Das wird
*
erreicht durch erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl z2 :
⋅ * (a + j ⋅ b1) ⋅ (a 2 - j ⋅ b2)
z = z1 = z1 z 2 = 1
z 2 z 2 ⋅ z *2 (a 2 + j ⋅ b 2) ⋅ (a 2 - j ⋅ b 2)
(
+
) + j ⋅ (b1a 2 - a1b 2)
z = z1 = a1a 2 b1b2
2
2
z2
a 2 + b2
___________________________________
Beispiel:
z1 = -4 + j⋅3
;
(95-11)
z2 = 2 – j
-2
(-8 - 3) + j ⋅ (4 - 6) - 11
z = z2 =
=
+ j⋅
2
2
25
25
z1
4 +3
Division in der Zeigerdarstellung
Gegeben seien die beiden komplexen Zahlen z1 = │z1│⋅ e j⋅ϕ und z2 =
│z2│⋅ e j⋅ψ . Der Quotient z aus den beiden komplexen Zahlen ergibt sich folgendermassen:
z ⋅ e j⋅ϕ
z = z1 = 1
z 2 z 2 ⋅ e j⋅ψ
z
z = z1 = 1 ⋅ e j⋅(ϕ - ψ)
z2 z2
___________________
(95-12)
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Der Quotient zweier komplexer Zahlen wird so gebildet, dass die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert werden.
π
z1 = 3⋅ e j⋅ 3
Beispiel:
z2 = 6⋅ e j⋅1,75π .
;
π 7
17
3
1
z = z1 = ⋅ e j⋅( 3 - 4 π) = ⋅ e- j⋅ 12 π
2
z2 6
BEHAUPTUNGEN
Beweisen oder widerlegen Sie die nachstehenden Behauptungen:
z1
1.
= z1
z2
z2
3.
z⋅z = │z│
5.
Zu
6.
Der Winkel ψ = arctan
7.
(z1 + z2) = z1 + z2
9.
z = z * ⇔ z ∈(
11.
Es gilt:
cos ϕ = e
12.
Es gilt:
sin ϕ = e
*
z1
2.
z1 + z 2 = z1 + z 2
4.
│z│ = z⋅z
2
*
mit z1 = a + j⋅b und z2 = c + j⋅d gehört der Winkel tan ϕ =
z2
*
*
ac + bd
bc - ad
a + j⋅b
ac + bd
z
gehört zur komplexen Zahl z = 1 =
bc - ad
z2 c + j ⋅ d
*
*
*
*
(z1⋅z2) = z1 ⋅z2
8.
*
z - z ist eine reelle Zahl
10.
j⋅ϕ + -j⋅ϕ
2
e
j⋅ϕ + -j⋅ϕ
e
2⋅ j
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