Ulei

Hochschule für Technik und Architektur Bern
Abteilung Elektrotechnik und Elektronik
BFH Bereich Elektro- und Kommunikationstechnik
Übertragungstechnik
Leitungsgebundene Übertragung
2004
Kurt Steudler
(\ULEI.DOC)
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 2
______________________________________________________________________
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung und Problemstellung ........................................................... 5
2
Theoretische Grundlagen der Leitung ................................................... 7
2.1
Telegraphengleichung ........................................................................... 7
2.2
Stationärer Fall mit sinusförmiger Anregung.......................................... 9
2.3
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ................................................ 12
3
Leitungskonstanten............................................................................... 15
3.1
Primäre Leitungskonstanten ................................................................ 15
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.2
Sekundäre Leitungskonstanten ........................................................... 21
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.3
4
Widerstandsbelag R' ....................................................................................... 15
Induktivitätsbelag L'......................................................................................... 16
Kapazitätsbelag C' .......................................................................................... 19
Ableitungsbelag G' .......................................................................................... 20
Leitungstypen.................................................................................................. 21
Wellenimpedanz.............................................................................................. 21
Dämpfungsbelag und Phasenbelag................................................................ 22
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ........................................................... 24
Leitungen der Planartechnik ................................................................ 25
Leitungsanpassung ............................................................................... 27
4.1
Leitung mit Fehlanpassung.................................................................. 27
4.2
Reflexionsfaktor, Impedanztransformation und Rückflussdämpfung ... 28
4.3
Mehrfachreflexion ................................................................................ 29
4.4
Eingangsimpedanz der Leitung ........................................................... 30
4.5
Stehende Welle ................................................................................... 31
4.6
Transportierte Leistung........................................................................ 34
5
Berechnungsverfahren und Hilfsmittel................................................ 36
5.1
Smith Diagramm.................................................................................. 36
5.1.1
5.1.2
5.2
Zweitor-Parameter............................................................................... 38
5.2.1
5.2.2
5.3
A - Parameter.................................................................................................. 38
Leitungssimulation .......................................................................................... 39
Bergeron Diagramm ............................................................................ 40
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.3.6
5.3.7
5.3.8
6
Herleitung zur Smith-Chart ............................................................................. 36
Einsatz der Smith-Chart .................................................................................. 37
Geltungsbereich der Leitungstheorie .............................................................. 40
U - I - Diagramme............................................................................................ 41
Arbeitspunkteinstellungen ............................................................................... 41
Wellenausbreitung .......................................................................................... 41
Das Diagramm ................................................................................................ 43
Modellierung der Leitung................................................................................. 43
Smith – Chart für Übungen ............................................................................. 45
Zu Bergeron für Übungen ............................................................................... 46
Anhang ................................................................................................... 48
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 3
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6.1
Technische Daten für Koaxialkabel (DG3AWL)................................... 48
6.2
Ergänzende Artikel .............................................................................. 52
6.2.1
6.2.2
6.2.3
Impulsreflektometer......................................................................................... 52
Vorgänge auf HF - Leitungen.......................................................................... 54
Stehwellenmessung ........................................................................................ 57
Literaturverzeichnis und Software
L 1-1
L 1-2
L 1-3
L 1-4
L 1-5
L 1-6
L 1-7
L 1-8
L 1-9
L 1-10
Beuth Klaus, Hanbuth Richard und Kurz Günter, Nachrichtentechnik, Vogel Buchverlag,
Würzburg, 1996, 1. Auflage, ISBN 3-8023-1401-8. Einführender Überblick für technisch Interessierte.
Fricke Hans, Lamberts Kurt, Patzelt Ernst, Grundlagen der elektrischen Nachrichtenübertragung, Teubner Stuttgart, 1979, ISBN 3-519-06416-2
Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1996, ISBN 3-519-46400-4.
Herter, Röcker: Nachrichtentechnik. München: Carl Hauser Verlag, Kurze Zusammenfassung der wichtigsten Elemente der Modulation.
®
MATHCAD 2000. Mathematiksoftware, die sich für numerische Rechnungen und Laborauswertungen eignet.
Meinke H., Gundlach Friedrich Wilhelm, Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, Studienausgabe in 3 Bänden, Springer Verlag Berlin – Heidelberg – New York, 1986, 4. Auflage,
ISBN 3-540-15394-2.
Scheithauer Rainer, Signale und Systeme, B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1998, ISBN
3-519-06425-1
Tabellenbuch Informations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen, Bad
Homburg vor der Höhe, 1998, ISBN 3-441-92102-x.
Tietze Ulrich, Schenk Christoph, Halbleiter – Schaltungstechnik, Springer Verlag Berlin –
Heidelberg – New York, 1974, 3. Auflage, ISBN 3-540-06667-5.
Zinke Otto, Brunswig Heinrich, Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Springer Verlag Berlin –
Heidelberg – New York, 1986, 3. Auflage, ISBN 3-540-15858-8.
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
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Übertragungstechnik
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Figurenverzeichnis
Fig. 1-1
Fig. 1-2
Fig. 1-3
Fig. 1-4
Fig. 2-1
Fig. 2-2
Fig. 2-3
Fig. 2-4
Fig. 2-5
Fig. 3-1
Fig. 3-2
Fig. 3-3
Fig. 3-4
Fig. 3-5
Fig. 3-6
Fig. 3-7
Fig. 3-8
Fig. 3-9
Fig. 3-10
Fig. 4-1
Fig. 4-2
Fig. 4-3
Fig. 4-4
Fig. 4-5
Fig. 4-6
Fig. 4-7
Fig. 5-1
Fig. 5-2
Fig. 5-3
Fig. 5-4
Fig. 5-5
Fig. 5-6
Fig. 5-7
Fig. 5-8
Fig. 5-9
Einfache Leitungsarten .................................................................................................. 5
Elektrisches und magnetisches Feld der Zweidrahtleitung ........................................... 5
Elektrisches und magnetisches Feld des Koaxialkabels ............................................... 6
Elektrisches und magnetisches Feld der Zweidrahtleitung ........................................... 6
Kurzes Leitungsstück..................................................................................................... 7
Leitung ......................................................................................................................... 10
Verlauf von u(x,t) (Realteil) für t = 0............................................................................. 12
Verlauf von u(x,t) (Realteil) für t = t1 ............................................................................ 12
Trägersignal und Hüllkurve bei zwei benachbarten Frequenzen ω 1und ω 2 ................. 14
Frequenzabhängigkeit des Widerstandsbelages R’ .................................................... 16
Koaxialkabel................................................................................................................. 16
Parallele Doppeldrahtleitung........................................................................................ 18
Verlustwinkel des Dielektrikums ................................................................................... 20
Kabeltyp und Freileitungstyp........................................................................................ 21
Betrag und Phase der Wellenimpedanz in Funktion von ω. ........................................ 22
Dämpfungsverlauf und Phasenbelag als Funktion der Frequenz.................................. 24
Mikrostrip...................................................................................................................... 26
Stripline ........................................................................................................................ 26
Gekoppelte Mikrostrip .................................................................................................. 26
Leitung mit Diskontinuität............................................................................................. 27
Leitung ......................................................................................................................... 28
Mehrfachreflexionen .................................................................................................... 29
Stehende Welle für α = 0 und offenes Leitungsende .................................................... 32
Gegeneinander rotierende, ortsabhängige Spannungszeiger..................................... 32
Spannung entlang der Leitung bei unterschiedlichem Reflexionsfaktor...................... 33
Stehende Welle für Spannung und Strom entlang der Leitung ................................... 33
Beispiele für Abbildungen in der Smith-Chart ............................................................... 37
SPICE-Modell der verlustlosen Leitung ....................................................................... 39
Einfache U - I - Kennlinie ............................................................................................. 41
Quellenkennlinie mit Schalter ...................................................................................... 41
Arbeitspunkteinstellung................................................................................................. 41
Konstruktion der hinlaufenden Welle ........................................................................... 42
Konstruktion der rücklaufenden Welle ......................................................................... 42
Konstruktion der rücklaufenden Welle ......................................................................... 43
Beispiel zum Bergeron Diagramm ............................................................................... 43
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
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STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 5
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1
Einführung und Problemstellung
Die leitungsgebundene Übertragungstechnik befasst sich mit der Übertragung von
elektrischen Signalen über elektrische Leitungen. In einem ersten Teil werden die
theoretischen Grundlagen erarbeitet und in einem zweiten Teil verschiedene Verfahren zur Berechnung der Leitungseigenschaften behandelt.
Es wird dabei ein Schwergewicht auf einfache Leitungen wie Koaxialleitung und
parallele Doppeldrahtleitung gelegt. Im Interesse auf eine breite Anwendungsmöglichkeit der Theorie - auch auf nicht hochfrequente Anwendungen - werden Hinweise auf andere Verfahren und Methoden gegeben.
parallele Doppeldrahtleitung
Koaxialkabel
Fig. 1-1
Einfache Leitungsarten
parallele Doppeldrahtleitung
E
H
S
Fig. 1-2
Elektrisches und magnetisches Feld der Zweidrahtleitung
Die nachfolgende Theorie basiert auf der Annahme, dass es sich auf den Leitun1
gen um transversale elektromagnetische Wellen (TEM - Wellen) handelt. Dies
kann in der Praxis oftmals vorausgesetzt werden, ohne sich grosse Fehler einzuhandeln.
1
Bei diesen TEM - Wellen stehen die Vektoren E und H senkrecht zueinander und liegen in einer
Ebene, die normal zur Ausbreitungsrichtung steht. Die TEM - Wellen haben keine Feldkomponenten
in der Fortpflanzungsrichtung. Der Vektor S = E x H wird Poynting Vektor genannt.
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
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Übertragungstechnik
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2
Auf weitere Spezialfälle wie zum Beispiel Hohlleitungen und so weiter kann im
Rahmen dieser Grundlagenvorlesung nicht eingegangen werden.
3.5
2
Im( z( r( n ) , φ ) )
Im( z1( r1 , φ1( n ) ) )
0
2
3.5
3.5
Fig. 1-3
2
0
2
Re( z( r( n ) , φ ) ) , Re( z1( r1 , φ1( n ) ) )
3.5
Elektrisches und magnetisches Feld des Koaxialkabels
Das Feld eines Koaxialkabels lässt sich über eine konforme Abbildung in das Feld
einer Zweidrahtleitung überführen.
Das Feld des Koaxialkabels befinde sich in der z - Ebene. Für das Feld in der Zwei3
drahtleitung in der w - Ebene wird:
w = p ⋅ tanh(ln z) =
a 2 − D 2 z2 − 1
⋅ 2
2
z +1
1-1
1.25
1
0.5
Im( w( r( n ) , φ ) )
Im( w1( r1 , φ1( n ) ) )
0
Im( w( r( n ) , φ ) )
0.5
1
1.25
1
1.25
Fig. 1-4
2
3
0.5
0
0.5
Re( w( r( n ) , φ ) ) , Re( w1( r1 , φ1( n ) ) ) , Re( w( r( n ) , φ ) )
1
1.25
Elektrisches und magnetisches Feld der Zweidrahtleitung
Bei Frequenzen, deren Wellenlänge klein ist gegenüber den Leitungsabmessungen, liegen andere
Wellentypen und nicht mehr TEM - Wellen vor
Vgl. Kapitel 3
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
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Übertragungstechnik
LEI - 7
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2
Theoretische Grundlagen der Leitung
Für die folgenden Berechnungen wird angenommen, dass die Leitung längs ihrer
Ausdehnung homogen ist (zumindest für Teilstücke, die wesentlich kürzer sind, als
die verwendete Wellenlänge).
Von homogenen Leitungen sprechen wir, wenn die gleichbleibenden Abmessungen
und das einheitliche Dielektrikum der Leitungen normal zur Ausbreitungsrichtung
stehen. Zudem weist eine homogene Leitung auf ihrer ganzen Länge konstanten
Leiterquerschnitt, gleiches Leitermaterial, konstanten Leiterabstand und eine gleichförmige Isolation auf.
2.1
Telegraphengleichung
Für die theoretische Betrachtung denkt man sich die Leitung in kleine identische
Stücke aufgeteilt, bestehend aus Längs- und Querelementen.
i
dR
dL
i - di
di
du
u
dG
dx
Fig. 2-1
dC
•
u - du
•
Kurzes Leitungsstück
die differentiellen Elemente können ausgedrückt werden durch:
dR/dx = R'
dL/dx = L'
dC/dx = C'
dG/dx = G'
R'
L’
C'
G'
[Ω/m]
[H/m]
[F/m]
[S/m]
Widerstandsbelag
Induktivitätsbelag
Kapazitätsbelag
Ableitungsbelag
Widers tan d von Hin − und Rückleitung
Leitungslänge
Induktivität der L' schleife bei Kurzschluss am Ende
Induktivitätsbelag =
Leitungslänge
Kapazität zwischen beiden Leitern bei Leerlauf
Kapazitätsbelag
=
Leitungslänge
Ableitung (Leitwert) zwischen beiden Leitern
Ableitungsbelag =
Leitungslänge
Widerstandsbelag =
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Leitungsgebundene Übertragung
str
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Übertragungstechnik
LEI - 8
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Es wird angenommen, dass diese Beläge zeitlich und örtlich konstant sind. Ein Leitungsstück der Länge dx weist dann z.B. einen Serienwiderstand von dR = R'dx auf.
An den Längselementen erzeugt der Strom i den Spannungsabfall
du = dR i + dL
di
di
= R ′ dx i + L ′dx
dt
dt
2-1
und in den Querelementen fliesst der Strom
di = dG(u − du) + dC
d(u − du)
du
= G ′ dx u + C ′dx
dt
dt
2-2
Bemerkung: genauer müsste in (2-2) rechts an der Stelle von u die Grösse u−du
stehen; für genügend kleine dx darf aber du vernachlässigt werden (dx⋅du ist ein
Beitrag zweiter Ordnung).
Die Spannung u und der Strom i sind im allgemeinen Funktionen der Zeit t und des
Ortes x, also u(x,t) und i(x,t). Deshalb treten an Stelle der gewöhnlichen Differentialquotienten die partiellen Ableitungen.
∂u
∂i
= R′ i + L ′
∂x
∂t
∂i
∂u
= G′u + C ′
∂x
∂t
2-3
Diese zwei Gleichungen stellen ein gekoppeltes System von zwei partiellen Differentialgleichungen dar. Sie können auf eine Gleichung reduziert werden, wenn z.B.
die erste Gleichung nach x differenziert wird
∂i
∂2 i
= R′
+ L′
∂x
∂x∂t
∂ x2
∂2 u
2-4
und anschliessend der erste Term rechts durch die zweite Gleichung aus (2-3) und
der zweite Term durch die Ableitung der zweiten Gleichung nach der Zeit ersetzt
werden.
 ∂u
∂u 
∂2 u

 G′

+
+
R
G
u
C
L
=
+
C
′
′
′
′
′



∂t
∂t 
∂ t2 
∂ x2

∂2u
2-5
Durch zusammenfassen der Terme erhält man die sogenannte Telegraphengleichung.
∂u
∂2u
∂2u
L
C
+ (R′ C ′ +L ′G ′ )
+ R′ G ′ u
=
′
′
2
2
∂t
∂x
∂t
2-6
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
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Übertragungstechnik
LEI - 9
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Auf analoge Weise lässt sich aus (2) auch eine Gleichung für den Strom herleiten,
sie heisst:
∂i
∂2i
∂2i
=
L
C
+ (R′ C ′ +L ′G ′ )
+ R′ G ′ i
2-7
′
′
2
2
∂t
∂x
∂t
Die Telegraphengleichung kann in ihrer allgemeinsten Form nicht geschlossen gelöst werden. Es existieren aber Lösungen für verschiedene wichtige Spezialfälle,
weil unter bestimmten Randbedingungen die Telegraphengleichung vereinfacht
werden kann (verlustloser Fall, stationärer Fall, Einschwingvorgang mit spezieller
Anregung usw.).
2.2
Stationärer Fall mit sinusförmiger Anregung
Mit dem Produktansatz u(x,t) = U(x)⋅u(t) = U(x)⋅ejωt eingesetzt in (2-6) findet man
d2 U(x ) jωt = L′C′( − 2)
jωt
ω U(x )e + (L′G′ + R ′C′)jωU( x ) e jωt + R ′G′U(x ) e jωt
2 e
dx
2-8
Da ejωt ≠ 0 ist (für alle t) darf durch diese Grösse dividiert werden
d2 U(x ) = U(x ) ⋅ (R ′ + jωL′) ⋅ (G′ + jωC′)
dx 2
2-9
Diese gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung hat als Lösungen die Exponentialfunktionen
- γx
Uh e
, Ur eγx
2-10
deren Superposition die allgemeine Lösung darstellt
U(x) = Uh e- γx + Ur eγx = Uh (x ) + Ur ( x )
2-11
Durch Einsetzen des Ansatzes in (2-9) und Koeffizientenvergleich kann die Konstante bestimmt werden
R'  
G' 

γ 2 = (R ′ + jωL ′)(G ′ + jωC ′) = ( jω ) 2 ⋅ L' C'⋅ 1 − j
 1 − j


ωL'  
ωC' 
γ = α + jβ =
2-12
(R ′ + jωL ′)(G ′ + jωC ′)
4
Die komplexe Grösse γ heisst Übertragungsbelag mit den Komponenten
α
4
Dämpfungsmass
Dämpfungsbelag (altes Mass: [Neper/m])
Der Übertragungsbelag wird auch Übertragungsmass, Fortpflanzungskonstante oder Ausbreitungskonstante genannt.
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str
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Übertragungstechnik
LEI - 10
______________________________________________________________________
β
Phasenmass
[rad/m]
Phasenbelag
Der Ansatz u(x,t) = U(x) ejωt für die Spannung führt auch auf eine harmonische
Stromfunktion I(x) ejωt. Die Ortsfunktion I(x) kann durch einsetzen von (2-11) und
I(x)ejωt in die erste Gleichung von (2-3) bestimmt werden.
( − γ Uh e - γx + γ Ur e γx ) e jωt = − R ′I(x ) e jωt − L′jωI(x ) e jωt
I(x) =
γ
(Uh e - γx − Ur e γx )
′
′
R + jωL
I( x ) =
G' + jωC'
(Uhe − γx −Ur e γx )
R' + jωL'
2-13
5
Wir definieren die Konstante Z0 als Wellenimpedanz der Leitung. Die Wellenimpedanz Z0 ist eine der Leitung zugeordnete, feste Grösse.
R'
L'
ωL'
⋅
G'
C'
1− j
ωC'
2-14
(Uh e - γx − Ur e γx ) = Ih (x) − Ir (x)
2-15
R ′ + jωL ′
=
G ′ + jωC ′
Z0 =
1− j
Für I(x) findet man somit:
I(x) =
1
Z0
Die vier Konstanten Uh, Ur, Ih und Ir sind durch die Randbedingungen , d.h. im vorliegenden Fall durch die Spannungen und Ströme am Leitungsanfang (x = 0) und
am Leitungsende (x = l) bestimmt.
ZG
I1 •
•
Z1→
U
U1
←Z2
Z0
•
x=0
Fig. 2-2
I2
U2
•
x=l
ZL
x
Leitung
Für x = 0 gelten (vorläufig ohne Berücksichtigung der Abschlüsse) zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten Uh und Ur :
5
Die Wellenimpedanz wird auch Wellenwiderstand, Leitungswellenwiderstand oder Leitungsimpedanz
genannt.
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str
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______________________________________________________________________
U(x = 0) = Uh + Ur = U1
I(x = 0) =
1
(Uh − Ur ) = I1
Z0
1
⇒ Uh = (U1 + Z 0 I1)
2
1
⇒ Ur = (U1 − Z 0 I1)
2
2-16
Damit werden:
1
1
(U1 + Z 0 I1) e − γx + (U1 − Z 0 I1) e γx
2
2
1 U1
1 U1
I(x) =
(
+ I1) e − γx − (
− I ) e γx
2 Z0
2 Z0 1
U(x) =
2-17
und durch Zusammenfassung je der Terme mit U1 und I1 ergeben sich, unter Anwendung von
ey − e− y
ey + e−y
sinh(y) =
und cosh(y) =
2-18
2
2
die Spannungs- und Stromfunktion, ausgedrückt durch die Werte am Eingang:
U(x) = U1cosh( γx) − Z0 I1sinh( γx)
I(x) = − U1 sinh( γx) + I1cosh( γx)
Z0
2-19
Das analoge Resultat, gegeben durch die Werte am Ausgang der Leitung, lautet:
U(x) = U2 cosh( γ ( l − x)) + Z 0 I2 sinh( γ ( l − x))
I(x) =
U2
sinh( γ ( l − x)) + I2 cosh( γ ( l − x))
Z0
2-20
Stimmen Z1 und Z2 mit der Wellenimpedanz Z0 überein (Impedanzanpassung), so
gilt für den Leitungsanfang x=0:
U1 = Z0 ⋅I1 => Uh = U1 und Ur = 0
Am Leitungsende (x = l) wird entsprechend
U2 = Z0 ⋅I2 => Uh = U2 und Ur = 0
Im Falle der angepassten Leitung (ZG = ZL = Wellenimpedanz Z0) existiert auf der
am Eingang gespeisten Leitung nur eine hinlaufende Welle Uh. Im allgemeinen Fall,
wenn ZG und ZL ungleich der Wellenimpedanz Z0 sind, entstehen rücklaufende Wellen Ur ≠ 0. Am Anfang und am Ende der Leitung reflektieren Wellen, die hin und her
laufen. Die Randbedingungen, sowie Z1 und Z2 sind durch die Leitungsabschlüsse
6
bestimmt.
6
Vgl. Kapitel 4
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str
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2.3
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
7
Für die Herleitung der Ausbreitungsgeschwindigkeit mit sinusförmiger Anregung sei
u(x, t) = Uh ( x) e jωt
2-21
Mit einer der Lösungen aus (2-10) ergibt sich ein gedämpfter Verlauf entlang der
Leitung
2-22
e- γx = e-( α+jβ)x
der mit (2-21) kombiniert wird zu u(x,t) als Funktion des Ortes x und der Zeit t:
u(x, t) = Uh e jωt e -( α + jβ)x
2-23
= Uh e - αx e j( ωt - βx)
Dies ergibt den Verlauf für den Zeitpunkt t = 0 für u(x):
1
1
Re( u ( x) )
0
1
1
0
0
Fig. 2-3
20
40
60
80
x
100
100
Verlauf von u(x,t) (Realteil) für t = 0
Ein erster Nulldurchgang u(x) = 0 für den betrachteten Realteil Uhe- α xcos(ωt - βx)
zur Zeit t = 0 ist nur möglich, wenn für x0 gilt
π
ω ⋅ 0 − β x0 =
2
2-24
π
x0 = −
2β
Für den Zeitpunkt t = t1 gilt für u(x):
1
1
Re( u( xb) )
0
1
1
0
0
Fig. 2-4
7
8
8
20
40
60
xb
80
100
100
Verlauf von u(x,t) (Realteil) für t = t1
ZG = Z0 = ZL .
Vorstellung: Legen Sie vor sich ein 30 Meter langes Seil aus. Schwenken Sie das Seil am einen Ende (bei x = 0) auf und ab. Betrachten Sie das entstehende Bild von der Seite zu verschiedenen Zeitpunkten.
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Für den späteren Zeitpunkt t1 gilt demnach für den ersten Nulldurchgang, der nach
x1 gewandert ist:
π
ω t1 − β x 1 =
2
1
π
2-25
x1 = (ωt1 − )
β
2
ω t1
x1 − x 0 =
β
und somit wird die gesuchte Ausbreitungsgeschwindigkeit vP für ein sinusförmiges Signal (die sogenannte Phasengeschwindigkeit = Geschwindigkeit der Phase):
vp =
x1− x 0 = ω = λ ⋅ f
t1
β
2-26
Mit der Länge einer gegebenen Leitung lässt sich somit eine Phasenlaufzeit definieren:
l l ⋅β
l
2-27
=
=
tp =
ω
λ⋅f
vp
Die Gruppengeschwindigkeit vg gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich ein
Wellenpaket auf der Leitung fortpflanzt. Das Wellenpaket sei durch die Überlagerung zweier Schwingungen gegeben. Von Interesse ist die Geschwindigkeit, mit
welcher sich die Umhüllende fortpflanzt.
Ausgehend von den beiden anregenden Signale:
u1(x,t) = U sin(ω 1 t − β1 x)
2-28
u 2 (x,t) = U sin(ω 2 t − β 2 x)
ergibt die Überlagerung:
u1 + u 2 = 2U cos
(ω 1 − ω 2)t − (β1 − β 2)x
2
sin
(ω 1 + ω 2)t − (β1 + β 2)x
Unter den Annahmen:
∆ω = | ω 1 − ω 2 | << ω 1
∆β = |β1 − β 2 | << β1
2
2-29
2-30
beschreibt (2-29) einen Träger der Frequenz ( ω 1+ω 2 )/2, welcher eine, durch die
Hüllkurve
(ω 1 − ω 2)t − (β1 − β 2)x
cos
2-31
2
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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Leitungsgebundene Übertragung
str
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______________________________________________________________________
gegebene Amplitude aufweist.
1
u( t )
1
0
1
1
0
0
Fig. 2-5
0.2
0.4
0.6
0.8
t
1
1
Trägersignal und Hüllkurve bei zwei benachbarten Frequenzen ω 1und ω 2
Das Trägersignal und die Hüllkurve breiten sich mit der Geschwindigkeit
+ ω2 2 ⋅ ω1
v Träger = v = ω1
≈
und v Hüll = v H =
T
β1 + β 2 2 ⋅ β1
aus. Der Grenzübergang ∆ω → 0 führt auf
ω
v T → vp =
β
dω
df
= 2π
vH → v g =
dβ
dβ
ω1 − ω2 ∆ω
=
β1 − β 2 ∆β
2-32
9
2-33
Die Gruppengeschwindigkeit vg gibt an, mit welcher Geschwindigkeit sich eine
Wellengruppe (von benachbarten Frequenzen) fortpflanzt.
Davon wird die Gruppenlaufzeit tg abgeleitet
tg =
l
vg
=l
l dβ
dβ
=
⋅
dω 2π df
2-34
Sie gibt die Zeit an, die ein Wellenpaket zum Durchlaufen der Distanz l benötigt.
Weisen alle Komponenten eines Wellenpaketes dieselbe Laufzeit auf, so treffen sie
gleichzeitig an der Empfangsstelle ein und ihre Hüllkurve (Form) bleibt unverändert
oder unverzerrt. Andernfalls treten Laufzeitverzerrungen auf und man bezeichnet
das Medium (das Kabel) als dispersiv.
9
Es ist dann ω1 ≈ ω2 entsprechend ω.
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______________________________________________________________________
3
Leitungskonstanten
3.1
Primäre Leitungskonstanten
Die Leitungskonstanten (-beläge) R', L', C' und G' werden als primäre Leitungskonstanten bezeichnet, weil sie sich direkt aus den Abmessungen und den Materialeigenschaften der Leitung bestimmen lassen.
Die genaue Berechnung der Leitungsbeläge erfordert die Lösung der MAXWELL‘
schen Gleichungen unter Berücksichtigung der Randbedingungen des jeweiligen
Leitungsquerschnittes. Wir wollen dies für einfache Koaxial- und parallele Doppeldrahtleitungen nachvollziehen.
3.1.1 Widerstandsbelag R'
Für tiefe Frequenzen kann der Gleichstromwiderstand eines Leiters berechnet werden:
ρ
ρ4
= 2
3-1
R'DC =
A
d π
Bei hohen Frequenzen muss die Stromverdrängung berücksichtigt werden. Sie ver10
grössert R', da im inneren des Leiters die Stromdichte abnimmt.
Für eine Annäherung rechnet man mit der äquivalenten Eindringtiefe des Stromes
(Skineffekt) und rechnet den Widerstandsbelag für ein Rohr mit der Eindringtiefe
als Wandstärke.
11
Mit der Eindringtiefe δ aus
J( x )= J ⋅ e
−
j⋅ω⋅µ
⋅x
ρ
und J(δ) = J ⋅ e −1 = J( x = δ)
δ =
ρ
=
π⋅µ ⋅f
wird
3-2
2⋅ρ
µ ⋅ω
mit
µ = µ 0 ⋅µr
 Vs 
µ 0 = 4 π ⋅ 10 -7 

 Am 
worin
3-3
wird somit der Widerstandsbelag für einen kreisrunden Leiter:
10
11
Fliesst ein Wechselstrom durch eine Leiter, so ist der gesamte Raum innerhalb und ausserhalb des
Leiters mit einem magnetischen Wechselfeld erfüllt, das Spannungen im Leiter induziert. Die so hervorgerufenen Ströme (Wirbelstrom) überlagern sich den ursprünglichen Strömen so, dass die Stromdichte im Leiter an dessen Oberfläche am grössten wird (Stromverdrängung).
Die Stromdichte J(x) ist eine komplexe Grösse.
Die Eindringtiefe heisst auch Eindringmass oder korrekt „äquivalente Leitschichtdicke“.
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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______________________________________________________________________
R ' AC =
ρ
ρ
≅
=
π ⋅d⋅δ
A
ρ
ρ
π⋅d
π ⋅µ ⋅f
1 ρ⋅µ ⋅f
d
π
=
3-4
Bei hohen Frequenzen ist der Widerstandsbelag proportional zu der Wurzel aus der
Frequenz. Für kleinere Frequenzen geht der Wert des Widerstandsbelages in den
Gleichstromwert über.
10
10
Ohm pro Meter
1
0.1
Rdc( f , x)
Rac( f , x)
0.01
1 10
10
4
1 10
3
4
1
1
Fig. 3-1
10
100
3
4
5
6
7
8
9
1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10
f( x)
9
10
Frequenz
Frequenzabhängigkeit des Widerstandsbelages R’
Koaxialkabel
Da
d
ρ
ρ
=
d ⋅Da π
Aa
ρ
ρ4
=
R'DCi =
Ai
π D i2
Di
R'DCa =
1 ρµ f
R' ACa ≈
π
Da
R' ACi ≈
3-5
1 ρµ f
π
Di
D
Fig. 3-2
Koaxialkabel
3.1.2 Induktivitätsbelag L'
Der Induktivitätsbelag setzt sich aus dem inneren und dem äusseren Induktivitätsbelag zusammen und wird aus dem quasistationären, magnetischen Feld unter Berücksichtigung der Stromverdrängung berechnet.
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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______________________________________________________________________
Der innere Induktivitätsbelag L'i rührt vom magnetischen Feld im Inneren des Leiters her. Dieser innere Induktivitätsbelag ist für tiefe Frequenzen bis zu der sogenannten Grenzfrequenz des Skin - Effektes fδ konstant, nachher umgekehrt proportional zur Frequenz und kann in praktischen Anwendungen oft vernachlässigt werden.
Die Grenzfrequenz des Skin - Effektes fδ ergibt sich aus der Bedingung δ = r, das
heisst wenn die äquivalente Leitschichtdicke und der Leiterradius übereinstimmen.
4ρ
ρ
fδ =
=
3-6
µr 2 π µd2 π
Der innere Induktivitätsbelag folgt nacheinander:
µi
L'DCi( = tiefeFrequenzen) =
8π
12
µi ρ
1
L' ACi( =hoheFrequenzen) =
2 πd π ⋅ f
3-7
Der äussere Induktivitätsbelag L'a rührt vom magnetischen Fluss ausserhalb des
Leiters (d.h. im Dielektrikum zwischen den Leitern) her.
Dieser zweite Anteil ist nur durch die Geometrie der durch die Hin- und Rückleiter
gebildeten Schleife bestimmt und ist von der Stromverdrängung unabhängig und
somit frequenzunabhängig.
Wir können diese Induktivität bestimmen, indem wir den magnetischen Fluss zwischen den Leitern einer Koaxialleitung, ausgehenden von der magnetischen Feldstärke
I
3-8
H(r) =
2πr
mit
r r
Φ = ∫ B ⋅ dA oder Φ' = ∫ B ⋅ dr
3-9
aufintegrieren zu
13
r
a
µ ⋅ I dr
µ ⋅I  r a
⋅∫
=
⋅ ln 
φ ′ = L ′ I = µ ∫ H(r)dr =
2π
r
2π  r i 
3-10
ri
und auflösen nach dem Induktivitätsbelag zwischen den Leitern
L'a =
12
13
  µ


µ
⋅ ln  r a  =
⋅ ln  Da 
2π  r i  2π  Di 
3-11
Die Angabe von Induktivitätsbelägen setzt eine Leitung mit Rückleitung voraus.
Dies unter linearen Verhältnissen ⇔ µr = konstant.
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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______________________________________________________________________
Für das Koaxialkabel gilt damit
1  1
1  µ ⋅ρ
 +

L′ = L'a + L'i worin L'i =
2π  Di Da  π ⋅ f
µ
D 
ω → ∞ ⇒ L′ ≈ L'a = a ⋅ ln  a 
mit
2π  Di 
3-12
Die Berechnung für eine parallele Doppeldrahtleitung können wir durch eine konforme Kreisabbildung aus dem Koaxialkabel finden. Die Abbildungsvorschrift für das
14
Durchmesserverhältnis des Koaxialkabel lautet:
2
a
ra
Da
 a
=
=
+   −1
 D
D
ri
Di
3-13
somit wird der äussere Induktivitätsbelag für die parallele Doppeldrahtleitung:
2


µ a
a

L'a = ⋅ ln  +   − 1
π D
D

 


3-14
Der gesamte Induktivitätsbelag für die parallele Doppeldrahtleitung kann vereinfacht
werden zu
µ  2a 
⋅ ln 
π D
L ′ = 2 ⋅ L 'i + L ' a
L' a (a >> D) ≈
a
µ  2a 
ω → ∞ ⇒ L ′ ≈ L'a =
⋅ ln 
π D
D
3-15
Fig. 3-3
Parallele Doppeldrahtleitung
Wir können als prinzipielle Eigenschaft festhalten:
Bei hohen Frequenzen ist der Induktivitätsbelag frequenzunabhängig.
14
Kreis in der z - Ebene: w = p ⋅ tanh(ln z) =
a 2 − D 2 z2 − 1
⋅ 2
2
z +1
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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3.1.3 Kapazitätsbelag C'
C' wird aus dem elektrostatischen Feld als Kapazität pro Längeneinheit der Leiteranordnung berechnet. Ausgehend vom Zusammenhang Q' = C'⋅U und dem Verlauf der elektrischen Feldstärke E(r) zwischen den Leitern eines Koaxialkabels
E(r) =
Q′
2π ⋅ r ⋅ ε
D = ε ⋅E =
aus
dQ
Q
=
dA
A
3-16
können wir die Potentialdifferenz zwischen den beiden Leitern bestimmen mit
ra
U = − ∫ E(r)dr = −
ri
Q′
⋅ (ln(r i) − ln(r a))
2πε
3-17
Somit wird der Kapazitätsbelag für eine Koaxialleitung
C′ =
2πε
2πε
=
ra
Da
ln
ln
ri
Di
3-18
C' ist frequenzunabhängig, jedoch abhängig:
von der Geometrie der Leiteroberfläche
von der gegenseitigen Lage der Leiter und
von der Dielektrizitätskonstante ε des Isolators.
Der Kapazitätsbelag ist immer frequenzunabhängig
Durch eine konforme Kreisabbildung finden wir auch hier die Formeln für den Kapazitätsbelag der parallelen Doppeldrahtleitung:
C′ =
π⋅ε


2
a
a

ln  +   − 1
D

D


π⋅ε
C′(a >> D) ≈
2a
ln
D
ε = ε0 εr mit : ε0 = 8,854 pF/m
3-19
Für verschiedene Isolationsmaterialien können die folgenden Werte eingesetzt werden:
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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______________________________________________________________________
Stoff
εr
Stoff
Hartgummi
3 .. 4
Anilinharz
Hartpapier
21,5
Azeton
Harzöl
2,7
Asphalt
Hölzer
5
Bakelit
Kautschuk
>1000
Bariumtitanat
Luft
9
Basalt
Marmor
2,25
Benzol
Papier
2,8
Bernstein
Paraffin
16,5
Diamant
Pertinax
2,6
Ebonit
Petroleum
16
Eis bei –20°C
Phenolharz
3,7
Epoxiharz
Plexiglas
5 .. 7
Glas, gewöhnlich
Polyethylen PE
5 .. 8
Glimmer
Polypropylen PP
2,7
Gummi
Tabelle 3-1 Dielektrizitätszahlen, Permittivitätszahlen
εr
Stoff
εr
2,8
5 .. 6
2
1 .. 7
2,4
1,0006
8,3
1,333
2,1..2,2
4,8
2,1
4 .. 6
3
2,2..2,3
Polystyrol PS
Polyvinylchlorid,hart
= PVC, weich
Porzellan
2,4 .. 3
3,2..3,5
4 .. 5,5
6
15
Teflon ®, PTFE
Quarz
Quarzglas
Rizinusöl
Schellack
Terpentinöl
Toluol
Transformatorenöl
Wasser (destilliert)
Zellulose
16
2,1
3,8 .. 5
4,2..4,4
4,6
3,1
2,3
2,35
2,3
81
6,6
3.1.4 Ableitungsbelag G'
G' wird aus dem elektrostatischen Feld unter Berücksichtigung der Leitfähigkeit und
der dielektrischen Verluste des Wechselfeldes berechnet.
G′
tan(δ G) =
ωC ′
3-20
G ′ = ω tan(δ G)C ′ ~ ω
Parallele Doppeldrahtleitung
Im
G ′ = ω ⋅ tan(δ G)
jωC’
δG’
Re
G’
Fig. 3-4
πε
2a
ln
D
3-21
Koaxialkabel
G ′ = ω ⋅ tan(δ G)
Verlustwinkel des Dielektrikums
2πε
Da
ln
Di
3-22
Der Ableitungsbelag ist proportional zur Frequenz.
15
16
PTFE: Polytetrafluorethylen, Teflon®
2,0 .. 2,1
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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______________________________________________________________________
3.2
Sekundäre Leitungskonstanten
Die sekundären Leitungskonstanten lassen sich leicht in Funktion der primären Leitungskonstanten L', C', R' und G' ausdrücken. In der Praxis sind jedoch meistens
Näherungen und Vereinfachungen zulässig, welche leicht die charakteristischen Eigenschaften der verschiedenen Leitungstypen erkennen lassen.
3.2.1 Leitungstypen
Man unterscheidet zwei grundlegende Verhalten - entsprechend den zwei Typen:
Dispersive Leitungen:
R' >> ωL' und
G' << ωC'
Die zweite Ungleichung ist bereits bei Frequenzen oberhalb 1 Hz erfüllt. Das Kabel
zeigt kapazitives Verhalten, seine Wellenimpedanz hat eine kapazitive Komponente.
Verlustlose Leitungen:
R' << ωL'
und
G' << ωC'
Bei steigender Frequenz kehrt die erste Ungleichung der dispersiven Leitung um.
Bei genügend hoher Frequenz ist für alle Leitungsbauarten der induktive Spannungsabfall grösser als der Abfall an R'.
ωL’=R’/4
ωL’=2R’
ωL’<R’/4
dispersiv
Kabeltyp
ωL’>2R’
verlustlos
Übergangsgebiet
etwa eine Dekade
Freileitungstyp
ω
Fig. 3-5
Kabeltyp und Freileitungstyp
Historisch gesehen wurde das dispersive Verhalten zuerst bei Kabeln, das verlustlose Verhalten bei Freileitungen beobachtet. Darum wird in der Literatur zum Teil
auch von der Leitung nach Kabeltyp oder Freileitungstyp gesprochen.
3.2.2 Wellenimpedanz
Die allgemeine Formel für die Wellenimpedanz kann für die einzelnen Leitungstypen
vereinfacht werden (Näherung).
Dispersive Leitung:
R ′ + jωL ′
≈
Z0 =
G ′ + jωC ′
R′
=
jωC ′
π
R′
⋅ e- j 4 =
ωC ′
R'
⋅ (1 − j)
ωC'⋅2
3-23
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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______________________________________________________________________
Verlustlose Leitung:
R ′ + jωL ′
≈
G ′ + jωC ′
Z0 =
ωL ′
=
ωC ′
L′
= R0
C′
3-24
Die Wellenimpedanz der verlustlosen Leitung ist frequenzunabhängig und reell.
Man spricht darum auch vom Wellenwiderstand R0.
Somit kann der Wellenwiderstand R0 für einfache Leitungen ausgerechnet werden:
Parallele Doppeldrahtleitung:
R0 =
µ
2a
ε
⋅ ln
π
D
3-25
Koaxialkabel:
µ
ε Da
⋅ln
R0 =
2π
Di
|Z0|
|Z0|≈
3-26
R'
ωC'
R0 ≈
reell
komplex
ω
ϕ(Z0)
−π/4
Kabeltyp
Dispersive Ltg
ωL' ≤
Fig. 3-6
L'
C'
R'
4
Freileitungstyp
Verlustlose Ltg.
Übergangsgebiet
ω
ωL ' ≥ 2R '
Betrag und Phase der Wellenimpedanz in Funktion von ω.
3.2.3 Dämpfungsbelag und Phasenbelag
Für die Abschätzung des Verhaltens des Dämpfungsbelages α und des Phasenbe─────────────────────────────────────────────────────────────────
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lages β müssen wir zuerst die komplexe, trigonometrische Form dieser Beläge
bestimmen.
Durch Definition der Verlustwinkel
δR : Verlustwinkel des Leiterwiderstandes
δG : Verlustwinkel des Dielektrikums zwischen den Leitern (vgl. Kapitel 3.1.4).
finden wir
R ′ + jωL ′ =
π
ωL ′
e j( 2 − δR)
cos(δ R)
3-27
π
ωC ′
G ′ + jωC ′ =
e j( 2 − δG)
cos(δ G)
Der Übertragungsbelag wird zu
γ =
(R ′ + jωL ′)(G ′ + jωC ′) =
ω L ′C ′
cos(δ G) cos(δ R)
1
e j 2 ( π − δR − δG)
3-28
und damit der Real- und der Imaginärteil
α =
β =
ω L ′C ′
 δR + δ G 
sin


2 
cos(δ G) cos(δ R)
3-29
ω L ′C ′
 δR + δ G 
cos


2 
cos(δ G) cos(δ R)
Für dispersive Leitungen finden wir den Verlauf des Dämpfungsbelages und des
Phasenbelages relativ einfach:
γ = α + jβ =
(R ′ + jωL ′)(G ′ + jωC ′) ≈
α = β =
jωR′ C ′ = (1+ j)
ωR ′ C ′
2
ωR′ C ′
2
3-30
Bei der verlustlosen Leitung wird in einer ersten Näherung
γ = α + jβ =
(R′ + jωL ′)(G ′ + jωC ′) ≈ jω L ′C ′ = jβ
β = ω L ′C ′
3-31
α = 0
Daher rührt auch der Name: verlustlose Leitung. In vielen Fällen darf die Dämpfung
in der Praxis auch vernachlässigt werden. Trotzdem tritt in einer physikalischen Leitung immer eine Dämpfung auf, auch wenn sie nur sehr gering ist. Eine Abschätzung erhalten wir, wenn wir die eingeführten Verlustwinkel als sehr klein betrachten
und mit
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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cos x ≅ 1 und sin x ≅ x ,
aus (3-29) vereinfachen:
x<<1
G′ R0
R′
R′ C ′ G′ L ′
δ +δ 
+
+
=
α = ω L ′C ′  R G  =

2R 0
2 C′
2
2 L′
2 
3-32
β = ω L ′C ′
Der Dämpfungsbelag ist konstant d.h. unabhängig von der Frequenz und der Phasenbelag bleibt proportional mit der Frequenz.
α
R'⋅G'
ω L' C'
ωR' C'
2
β
Kabeltyp
G' R 0
R'
+
2R 0
2
ωR' C'
2
Übergangsgebiet
ω
Fig. 3-7
Freileitungstyp
ω
Dämpfungsverlauf und Phasenbelag als Funktion der Frequenz
3.2.4 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Auch die Phasengeschwindigkeit kann für die einzelnen Leitungstypen durch einsetzen der gefundenen Werte für den Phasenbelag vereinfacht werden.
Verlustlose Leitung:
Phasengeschwindigkeit = Gruppengeschwindigkeit
ω
1
1
=
= vg
vp = =
β
µ⋅ε
L′C′
Phasenlaufzeit = Gruppenlaufzeit
t p = l ⋅ L ′C ′
3-33
3-34
Wenn beim Koaxialkabel oder bei der Zweidrahtleitung die Werte für C' und L' einsetzt werden, können die geometrischen Dimensionen gekürzt werden. Die Phasengeschwindigkeit ist nur noch von den Materialkonstanten abhängig. Oftmals wird
die Phasengeschwindigkeit bei einer verlustlosen Leitung als Faktor zur Lichtgeschwindigkeit c, als Verkürzungsfaktor kv angegeben. Es gilt:
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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1
vp =
1
c =
µ0 ε0
µ 0 µr ε 0 εr
kv =
;
1
3-35
µr εr
vp = c ⋅ k v = λ ⋅ f
Bei der verlustlosen Leitung ist die Phasengeschwindigkeit eine Konstante
aus den Materialeigenschaften.
Dispersive Leitung:
γ = α + jβ = (R′ + jωL′)(G′ + jωC′) ≈ jωR ′C′ = (1 + j)
ωR′C′
α=β=
2
ωR′C′
2
2ω
ω
und v P = =
R' C'
β
3-36
Die Phasengeschwindigkeit vP einer dispersiven Leitung ist proportional zu
der Wurzel aus der Frequenz.
Da die Phasengeschwindigkeit bei der verlustlosen Leitung frequenzunabhängig ist,
ist auch die Gruppengeschwindigkeit identisch mit der Phasengeschwindigkeit.
Dies ist anders bei der dispersiven Leitung:
Gruppengeschwindigkeit (Dispersive Leitung, Kabeltyp)
vg =
dω d  2 β2  2 ⋅ 2β
ω ⋅ R ′ ⋅ C′
4
=
=
=
dβ dβ  R ′C′  R ′C′ R ′C′
2
3-37
2ω
π⋅f
=4
vg = 2
R ′ ⋅ C′
R ′ ⋅ C′
Gruppenlaufzeit (Dispersive Leitung, Kabeltyp)
tg = l ⋅
3.3
dβ l R ′ ⋅ C′ l R′ ⋅ C′
=
=
dω 2
2ω
4 π⋅f
3-38
Leitungen der Planartechnik
In der Schaltungstechnik spielen heute „planare“ Schaltungen mit Leiterbahnen auf
der Oberfläche von Trägermaterialen (Substraten) aus Kunststoffen, Halbleitern und
Keramik eine wichtige Rolle.
Die planaren Leitungen sind bequem für die Herstellung. Ihre Berechnung auf der
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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Grundlage der Feldtheorie ist aber eher schwierig und mit guter Näherung nur mit
numerischen Methoden durchführbar. Die Schwierigkeit liegt vor allem beim inhomogenen Dielektrikum.
17
Für eine typische Printanordnung, nämlich den Mikrostrip können die nachstehenden Daten verwendet werden. Stripline und gekoppelter Mikrostrip sind zusätzlich dargestellt.
Wellenimpedanz, effektiv wirksame Dielektrizitätskonstante εre und relative Ausbreitungsgeschwindigkeit vr des Mikrostrip.
Z0 =
F ⋅ h
1
+
ln
 w
εre

60
worin F1 = 6 + (2π − 6) ⋅ e
und ε re =
t
εr
2
 2h 
1 +    [Ω]
 w 

 30,66⋅h 
−

 w 
w
h
t
Fig. 3-8
0,7528
− 0,555
εr + 1 εr − 1
h
+
 1 + 10 ⋅ 
w
2
2 
w
≥1
bei t ≈ 0 und
h
Mikrostrip
Die relative Ausbreitungsgeschwindigkeit vr
(relativ zu c) wird zu
1
vr =
ε re
3-39
b
b
h
b
c
εr
Fig. 3-9
h
c
Stripline
c
k
εr
c
Fig. 3-10
Gekoppelte Mikrostrip
Kommentar: Niedrige Induktivitäten und Wellenwiderstände werden durch breite
Leiter in kleinem Abstand zur Rückleiterebene erreicht.
17
Weitere Angaben finden sich in E. Hammerstad, O. Jensen, Accurate Models for Microstrip Computer Aided Design, IEEE Microwave Symposium 1980, S. 407-409 und in R.P. Owens, Accurate analytical ... , The Radio and Electronic Engineer, 46, No.7, July 76, S.360-364.
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 27
______________________________________________________________________
4
Leitungsanpassung
4.1
Leitung mit Fehlanpassung
Als einführendes Beispiel wird eine Leitung mit einer Diskontinuität betrachtet. Der
Eingang und der Ausgang der Leitung sind je mit der Wellenimpedanz abgeschlossen. Die Randbedingungen für die Lösung der Leitungsgleichungen müssen nun so
gewählt werden, dass die Lösung beidseitig der Stossstellen erfüllt ist und gleichzeitig die Kontinuitätsbedingungen (4-1) an der Stossstelle eingehalten sind.
ZG=Z1 Leitung 1
•
Z1→
U
Ih1 Ir1
Uh1
•
Leitung 2
•
Z2→
ZL=Z2
Ur1
•
Ih2
Uh2
•
•
Stossstelle
Fig. 4-1
Leitung mit Diskontinuität
Die Kontinuitätsbedingungen an der Stossstelle lauten:
Uh1 + Ur1 = Uh2
und
Ih1 − Ir1 = Ih2
4-1
Weiter gelten:
Z1 ⋅ Ih1 = Uh1 , Z 2 ⋅ Ih2 = Uh2
und Z1 ⋅ Ir1 = Ur1
Daraus wird der Reflexionsfaktor r an der Stossstelle:
r
=
Ur1
Z 2 − Z1
=
Uh1
Z 2 + Z1
4-2
18
4-3
welcher im allgemeinen eine komplexe Grösse darstellt.
Die Spezialfälle Kurzschluss (Z2 = 0), Leerlauf (Z2 → ∞) und Anpassung der Leitung (Z1 = Z2) ergeben die Reflexionsfaktoren:
Kurzschluss
Leerlauf
Anpassung
18
r = −1
r= 1
r= 0
Der Reflexionsfaktor r ergibt sich aus (4-1) mit dem Ansatz Z2 = Uh2 / Ih2. r wird auch Reflexionskoeffizient genannt.
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Übertragungstechnik
LEI - 28
______________________________________________________________________
4.2
Reflexionsfaktor, Impedanztransformation und Rückflussdämpfung
Der Reflexionsfaktor r ist definiert als
r =
I (x ) Ur ⋅ e jωt ⋅ e γx Ur 2γx
Ur (x )
=
⋅e
=−r
=
Ih ( x ) Uh ⋅ e jωt ⋅ e − γx Uh
Uh (x )
4-4
Der Reflexionsfaktor r ist ortsabhängig r = r(x) und komplex r = |r |⋅ejϕ .
An der nachstehenden Fig. werden die Zusammenhänge dargestellt.
ZG = Z0
I1
•
•
I2
Z1→
U
U1
Z0
•
x=0
Fig. 4-2
U2
ZL
•
x=l
x
Leitung
Am Leitungsende x = l gilt
Uh ⋅ e − γl + Ur ⋅ e γl =U2 = ZL ⋅ I2
Uh ⋅ e − γl − Ur ⋅ e γl =Z 0 ⋅ I2
4-5
Aus Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen wird
Ir (l) Ur ⋅ e γl Ur 2 γl ZL − Z 0
Ur (l)
=−
=
=
⋅e =
r x = l =r2 =
Ih (l) Uh ⋅ e − γl Uh
ZL + Z 0
Uh (l)
4-6
Am Leitungsanfang mit x = 0 muss gelten
r x = 0 =r1 =
I (0) U ⋅ e γ 0 Ur ZL − Z 0 − 2γl
Ur (0)
=−r = r
= =
⋅e
Ih (0) Uh ⋅ e − γ 0 Uh ZL + Z 0
Uh (0)
4-7
und mit r = |r |⋅ejϕ wird
r 1 = r2 ⋅ e
−2 γ l
= r2 ⋅ e jϕ ⋅ e −2γl = r2 ⋅ e −2αl ⋅ e j(ϕ − 2βl)
4-8
Der Abschlusswiderstand ZL ist vom Leitungsanfang (x = 0) her „sichtbar“. Er wird
über die Leitung transformiert zu Z1. Es gilt
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LEI - 29
______________________________________________________________________
Z0
⋅ tanh γl
ZL + Z 0 tanh γl
U1
ZL
= Z0 ⋅
= ZL ⋅
Z1 =
Z
I1
Z 0 + ZL tanh γl
1 + L ⋅ tanh γl
Z0
1+
4-9
Die Rückflussdämpfung (Returnloss RL) ergibt sich aus dem Leistungsverhältnis
von Ph zu Pr:
P
RL =10 ⋅ lg r
Ph
4.3
P
oder 10 ⋅ lg h
Pr
4-10
Mehrfachreflexion
Treten zwei oder mehr Stossstellen in einem Leitungsabschnitt auf, so werden die
Wellen mehrfach reflektiert. Als illustratives Beispiel sei die Leitung mit Fehlanpassung am Ein- und Ausgang betrachtet (ZG ≠ Z0 ≠ ZL).
x
Uh1
Ur1
t
Uh2
Ur2
Uh3
Ur3
1
Fig. 4-3
2
Mehrfachreflexionen
Die Werte für die einzelnen Komponenten lauten
Uh1(0) = U
19
Z0
ZG + Z0
Ur1(0) = Uh1(0) ⋅ r 2 ⋅ e − 2γl
Uh2 (0) = Ur1(0) ⋅ r 1...usw
4-11
Nach jeder Doppelreflexion erscheint die hinlaufende Welle mit dem komplexen
Faktor r1r2e-2γl multipliziert.
19
Zu Beginn (t = 0) „sieht“ die Quelle die Wellenimpedanz Z0. Sie „weiss“ noch nicht, dass sie am Leitungsende reflektiert wird.
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Übertragungstechnik
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______________________________________________________________________
Die Überlagerung aller Komponenten ergibt für den Eingang
U1 = U
(
)
Z0
1+ r 2 e − 2 γl + r 1r 2 e − 2γl + r 1r 22 e − 4 γl +...
ZG + Z0
)(
(
)
Z0
1+ r 2 e − 2γl 1+ r 1r 2 e − 2 γl + r 12 r 22 e − 4 γl +...
U1 = U
ZG + Z0
Darin kann die Summe der unendlichen Reihe mit
∞
1
= ∑ qn = 1 + q + q2 + q3 + K
1 - q n= 0
4-12
4-13
bestimmt werden und die Eingangsspannung wird zu
U1 = U
(
)
1
Z0
1+ r 2 e − 2γl
ZG + Z0
1- r 1r 2 e − 2γl
4-14
Das Signal am Ausgang kann analog berechnet werden und man findet:
U2 = U
4.4
Z 0 ⋅ (1 + r 2) e − γl
Z G + Z 0 1 - r 1 ⋅ r 2 e − 2γl
4-15
Eingangsimpedanz der Leitung
Die Eingangsimpedanz einer Leitung hängt von der Wellenimpedanz der Leitung,
ihren Übertragungseigenschaften, ihrer Länge und der Impedanz am Ausgang ab.
Sie ist definiert als Quotient aus der Spannung und dem Strom am Eingang.
Z1 =
U1(0)
U2 cosh( γl) + Z 0 I2 sinh( γl)
=
(U2 / Z 0) sinh( γl) + I2 cosh( γl)
I1(0)
Z
1+ 0 tanh( γl)
ZL
Z1 = Z L ⋅
Z
1+ L tanh( γl)
Z0
4-16
Nach der obenstehenden Formel kann die Eingangsimpedanz als transformierte
Abschlussimpedanz interpretiert werden. Der Leitung kann eine kaschierende Eigenschaft zugeschrieben werden, die mit grösser werdender Länge zunimmt
(Dämpfung). Zwei Spezialfälle sind z.B. die Leitung der Länge 0 und die unendlich
lange Leitung.
l = 0 ----------------> Z1 = ZL
l → ∞ ----------------> Z1 = Z0
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Neben diesen Spezialfällen existieren, insbesondere für den Fall vernachlässigbarer
Dämpfung bei einer kurzen Leitung, beliebige komplexe Werte (inkl. plus/minus Unendlich). Diese Eigenschaften werden vor allem zur Transformation von Impedanzen (Anpassung) bei Anwendungen im Hochfrequenzbereich eingesetzt.
Wenn α = 0 gilt, wird γl = jβl. Damit folgt für die Eingangsimpedanz
Z0
j tan βl
ZL
Z1 = ZL
ZL
1+
j tan βl
Z0
1+
4-17
Von besonderem Interesse sind Leitungsstücke der Länge l = λ/4. Dann gilt
wegen λ =
v ω 2π
:
= =
f βf β
2
20
4-18
Z0
Z1 =
ZL
4.5
Stehende Welle
Auf einer Leitung, welche nicht ideal abgeschlossen ist, entsteht eine reflektierte
Welle, die i.a. nicht vernachlässigt werden darf. Sie steht in einer starren Phasenbeziehung zur hinlaufenden Welle und die Superposition beider Komponenten führt
auf eine Umhüllende, die nur vom Ort abhängt, die sogenannte stehende Welle.
U(x) = U2 cosh[γ ⋅ (l − x)] + Z 0 I2 sinh[γ ⋅ (l − x)]
I(x) = U2 sinh[γ ⋅ (l − x)] + I2 cosh[γ ⋅ (l − x)]
Z0
4-19
Einen einfachen Fall stellt die verlustlose, an ihrem Ende durch einen Kurzschluss
(oder Leerlauf) abgeschlossene Leitung dar. Es gelten für die Lösung der Wellengleichung die Vereinfachungen
keine Dämpfung:
offene Leitung:
α = 0 ; γ = jβ
I2 = 0
(Leerlauf)
und man erhält (I2 = U2/Z2):
U(x) = U2 cosh[γ ⋅ (l − x)] + Z 0 I2 sinh[γ ⋅ (l − x)]
U(x) = U2 cosh[jβ ⋅ (l − x)]
U(x) = U2 cos[β ⋅ (l − x)]
4-20
Der letzte Ausdruck stellt die Ortsfunktion der Umhüllenden dar.
20
Leitungsstücke l ≠ λ/4 wirken kapazitiv oder induktiv. Sie werden als L oder C eingesetzt.
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1
u ( x)
1
0.5
0
0
0
0
Fig. 4-4
2
4
6
8
10
10
x
Stehende Welle für α = 0 und offenes Leitungsende
21
Allgemeiner gelten
U(x) = Uh e − γx + Ur e γx = Uh ( x ) + Ur (x )
und
1
I(x) =
(Uh e − γx − Ur e γx ) = Ih (x) − Ir (x)
Z0
4-21
4-22
U(x) lässt sich wegen
U(x) = Uh ⋅ e − αx ⋅ e − jβx + Ur ⋅ e αx ⋅ e jβx
4-23
als Summe zweier Zeiger darstellen, die in entgegengesetzter Richtung mit β rotieren und im Betrag einerseits ab- und andererseits zunehmen.
120
90
10
10
60
8
6
150
30
4
2
Uh( y )
Ur( y )
0
180
0
210
0
330
240
300
270
arg ( Uh ( y ) ) , arg ( Ur( y ) )
Fig. 4-5
Gegeneinander rotierende, ortsabhängige Spannungszeiger
Entlang des Weges x wird die Summe der gegenläufigen Zeiger gebildet. Die am
Ort x herrschende Spannung ergibt sich aus dem Betrag des Summenzeigers. Der
Strom an der Stelle x lässt sich in gleicher Weise ermitteln.
21
Siehe auch Kapitel 2
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Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
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LEI - 33
______________________________________________________________________
U( r , x) := Uh ( x) + Ur ( r , x)
15
U( 1 , x)
10
U( 0.7, x)
U( 0.4, x)
U( 0.1, x)
5
0
0
20
40
60
80
100
x
Fig. 4-6
Spannung entlang der Leitung bei unterschiedlichem Reflexionsfaktor
20
20
U( y )
10
I( y )
0
0
0
0
Fig. 4-7
20
40
60
y
80
100
100
Stehende Welle für Spannung und Strom entlang der Leitung
Aus den Orten für Umax und Umin lässt sich die Wellenlänge λ ermitteln. Aus der Zeigerdarstellung ist ersichtlich, dass sich die Extrema dann einstellen, wenn die beiden Zeiger deckungsgleich oder entgegengesetzt zueinander stehen. Um von einem Maximum zu einem Minimum zu gelangen müssen sich beide Zeiger um je den
Winkel π/4 drehen.
Ein Spannungsminimum stelle sich am Ort x1 und ein Spannungsmaximum am Ort
x2 ein. Damit muss gelten
π
= β ⋅ ( x 2 − x1) und
2
ω
2π
v = = f ⋅λ → β =
β
λ
βx2 − βx1 =
wegen
x2 − x1 =
wird
4-24
λ
4
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In der Messtechnik wird die Stehende Welle benützt, um Impedanzen zu messen
und die Anpassung zu überprüfen. Unter anderem wird mit einer Sonde in einer sogenannten Lecherleitung oder auch einer Slot-Line die Spannung in Funktion des
Ortes gemessen. Die Amplitudenvariation gibt ein Mass für den Betrag der angeschlossenen Impedanz, die relative Phase in Bezug auf diejenige eines Kurzschlusses ermöglicht die Bestimmung der Komponenten (Real- und Imaginärteil).
22
Es sei das Stehwellenverhältnis s
1
U
s = max = VSWR = SWR =
m
Umin
4-25
Aufgrund der gemachten Überlegung lässt sich schreiben
Umin = U1h ⋅ e − αx 1 − U1r ⋅ e αx 1
und
Umax = U1h ⋅ e − αx 2 + U1r ⋅ e αx 2 und daraus
U
s = max ≈
Umin
1+
U1r
⋅ e 2αx 2
U1h
4-26
1 + r ⋅ e 2αx 2
⋅e
=
λ

U1r
2αx 1
2α  x 2 − 
1−
⋅e
4
1− r ⋅ e 
U1h
−α
λ
4
Bei geringem Dämpfungsbelag α ≈ 0 werden αλ/2 ≈ 0 und αλ/4 ≈ 0 . An der be23
trachteten Stelle dürfen wir schreiben
s ≈
1+ r
s=
1− r
1+ r
4-27
1− r
und
r ≈
4.6
s −1
s +1
r =
s −1
s +1
4-28
Transportierte Leistung
Über eine Leitung wird Wirkleistung transportiert:
24
P = UMax ⋅ IMin = UMin ⋅ IMax =
P = s⋅
22
23
24
2
UMin
Z0
2
=
1 UMax
⋅
s Z0
4-29
VSWR = Voltage Standing Wave Ratio. s wird auch etwa „Welligkeitsfaktor“ und m „Anpassungsfaktor“ oder „matching factor“ genannt.
Gemeint ist |r| an der betrachteten Stelle, dem betrachteten Ort.
U und I sind Effektivwerte.
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str
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______________________________________________________________________
Weiter gelten
P = Ph + Pr
r =
Pr
Ph
und
und r
2
P
= r
Ph
4-30
an jeder Stelle der Leitung.
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Leitungsgebundene Übertragung
str
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LEI - 36
______________________________________________________________________
5
Berechnungsverfahren und Hilfsmittel
In der Praxis werden zur Unterstützung der Beurteilung einer elektrischen Leitung
verschiedene Verfahren und Hilfsmittel eingesetzt. Wir wollen hier exemplarisch drei
verschiedene Verfahren etwas näher betrachten:
- Das Smith-Diagramm (Smith-Chart) aus der Hochfrequenztechnik
- Das Bergeron-Diagramm aus der Digitalen-Übertragungstechnik
- Das Leitungsmodell aus der SPICE Simulation
5.1
Smith Diagramm
Die Darstellung der Impedanz in der GAUSSschen Ebene ist für die Praxis wenig
geeignet. Beispielsweise ist die relative Genauigkeit abhängig vom Betrag der Impedanz. Dabei sind für viele Anwendungen nur die relative Abweichungen von der
Normimpedanz eines Systemes von Interesse, die mit dem Reflexionskoeffizienten
charakterisiert werden kann. Deshalb wurde eine Darstellung konstruiert, welche
25
diese Forderungen berücksichtigt, das Smith-Diagramm .
5.1.1 Herleitung zur Smith-Chart
Ausgehend von der bekannten Formel
U
Z + Z 0 tanh γl
Z1 = 1 = Z 0 ⋅ L
I1
Z 0 + ZL tanh γl
5-1
erhalten wir mit Einsetzen der Definition von tanh
Z1 = Z 0
e γl + r2 e − γl
e γl − r2 e − γl
5-2
Dies vereinfacht sich mit der Definition w = r e-2γl zu
1+ w
Z1
=
= x + jy
1− w
Z0
5-3
und die Umkehrung
Z1
− 1
Z0
w =
= u + jv
Z1
+ 1
Z0
25
5-4
Phillip H. Smith 1905-1987 publizierte seine graphische Methode zur Berechnung von Leitungen
erstmals 1939 in der Zeitschrift "Electronics". Diese Graphik ist heute noch die Vorlage für die meisten Smith-Diagramme.
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
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Übertragungstechnik
LEI - 37
______________________________________________________________________
Das Prinzip des Smith Diagrammes besteht nun in einer konformen Abbildung der
z-Ebene (Z1/Z0 = x + jy) auf die w-Ebene (w = u + jv).
Innerhalb des Kreises der w-Ebene findet sich das Bild der rechten Hälfte der zEbene (positive Realteile). Die geometrischen Orte für konstante Werte des Real-,
resp. Imaginärteil sind in der z-Ebene Gerade und in der w-Ebene Kreise.
max
20
0 , 0.1 .. max
n
a) Reelle Achse:
z( n)
n
b) Imaginäre Achse:
w R( n )
z( n)
1
z( n)
1
z( n)
j .( n
10 )
w I( n )
z( n)
1
z( n)
1
1
1
1
1
1
Im w R( n )
1
1
Im w I( n )
0
1
0
1
1
1
1
1
0
Re w R( n )
1
1
c) Parallele zur imaginären Achse
z( n)
1
j .( n
10 ) w C ( n )
z( n)
1
z( n)
1
z( n)
( n)
j
w Z( n )
z( n)
1
z( n)
1
1
1
1
Im w Z( n )
0
0.5
0
1
1
0
1
Re w C( n )
Fig. 5-1
1
d) Parallele zur reellen Achse
0.5
Im w C( n )
0
Re w I( n )
1
0
Re w Z( n )
1
Beispiele für Abbildungen in der Smith-Chart
5.1.2 Einsatz der Smith-Chart
Das Smith-Diagramm kann auf verschiedene Arten eingesetzt werden und sich als
Nützlich erweisen. Hier ein paar Beispiele:
a) Bestimmen des Reflexionsfaktors:
1.
2.
3.
Gegebene Abschlussimpedanz auf die Wellenimpedanz normieren.
Normierte Impedanz auf der gebogenen Skala eintragen.
Abstand zum Ursprung der Bildfunktion entspricht dem Reflexionsfaktor:
- Winkel am Umfang ablesen
- Betrag auf der Skala bestimmen
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
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Übertragungstechnik
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______________________________________________________________________
b) Eingangsimpedanz einer Leitung bestimmen:
1.
2.
3.
4.
Gegebene Abschlussimpedanz normieren und eintragen.
Durch diesen Punkt einen Kreis mit Zentrum im Ursprung der Bildfunktion
bilden.
Der Abschluss ist um den entsprechenden Faktor der Wellenlänge auf diesem Kreis zu verdrehen. Drehrichtung rechtsherum beachten.
Der gefundene Punkt ist herauszulesen und mit der Wellenimpedanz zu multiplizieren.
c) Amplituden der Stehwellen bestimmen:
1.
2.
5.2
Gegebene Abschlussimpedanz normieren, eintragen und Leitungskreis
zeichnen.
Der Abstand des Ursprunges der Originalfunktion zum Kreis ist immer proportional zur Spannung auf der Leitung. Somit kann der Ort und der Wert der
Spannungsmaxima und Minima auf der Leitung bestimmt werden.
Zweitor-Parameter
5.2.1 A - Parameter
In der Leitungssimulation wird eine Leitung als Zweitor betrachtet. Die Leitungsformeln
U(x) = U2 cosh( γ ( l − x)) + Z 0 I2 sinh( γ ( l − x))
I(x) =
U2
sinh( γ ( l − x)) + I2 cosh( γ ( l − x))
Z0
mit der Definition der A-Parameter (Vorzeichen
26
5-5
beachten!!):
U1 = A 11⋅ U2 + A 12 ⋅ I2
I1 = A 21⋅ U2 + A 22 ⋅ I2
5-6
cosh( γl) Z 0 sinh( γl)


A =  sinh( γl)
cosh( γl) 


Z0
5-7
führt zu
26
Damit A-Parameter Zweitore problemlos hintereinander geschaltet werden können wird hier der
Ausgangsstrom I2 im Gegensatz zu anderen Definitionen als aus dem Zweitor hinausgehend definiert.
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
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Übertragungstechnik
LEI - 39
______________________________________________________________________
Für die verlustlose Leitung mit α = 0 und γ = jβ wird
cos(βl) j Z 0 sin(βl)


A =  j sin(βl)
cos(βl) 


Z0
5-8
Mit der Spezifikation der Laufzeit tl oder der Leitungslänge in Wellenlängen und
der dazugehörenden Frequenz, kann βl bestimmt werden:
β⋅l
l
l
=
=
5-9
tl =
ω
λ ⋅f
vp
5.2.2 Leitungssimulation
In SPICE kann eine verlustlose Leitung simuliert werden.
a1
U1
I1
Tname
b1
I2
Z0
a2
U2
b2
tl
Fig. 5-2
SPICE-Modell der verlustlosen Leitung
In SPICE kann eine verlustlose Leitung simuliert werden. Sie hat die folgende Ele27
mentanweisung:
Tname a1 a2 b1 b2 Z0 = wz < TD = wd > oder < F = wf > < NL = wl >
Dem mit T beginnenden Namenfeld folgen vier Knotenfelder: a1 und a2 sind die
Knotennummern am Leitungsanfang, b1 und b2 sind die Knotennummern am Leitungsende. wz ist der Wert des Wellenwiderstandes Z0 der Leitung in Ohm.
Die geometrische Leitungslänge lT muss in einer von zwei Formen berücksichtigt
werden:
Entweder man gibt die Laufzeit TD (transmission Delay) mit ihrem Wert wd in Sekunden an, oder man programmiert die auf die Wellenlänge λ bezogene Leitungslänge (normalized length) NL = lT/λ bei der Frequenz F : wF ist der Frequenzwert in
Hz und w1 der Wert der dimensionslosen normierten Leitungslänge.
Zwischen den drei Grössen besteht der Zusammenhang TD = NL/F. Wenn eine
Frequenz ohne NL spezifiziert wird, nimmt SPICE den Ersatzwert wl = 1/4 an, entsprechend einer λ/4 - Leitung.
27
Transmission Lines finden sich auch in der Library „analog.slb“ als Part „T“ oder „TLOSSY“
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
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Übertragungstechnik
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______________________________________________________________________
Beispiele:
TK 1 2 3 4 Z0=50 TD=50N
TK 1 2 3 4 Z0=50 F=30MEG NL=1.5
TK 1 2 3 4 Z0=50 F=5MEG
In neueren PSPICE Ausgaben lässt sich TLOSSY als „Part“ abrufen.
5.3
Bergeron Diagramm
In der digitalen Übertragungstechnik werden immer schnellere Signale mit immer
steileren Flanken eingesetzt. In der Regel können dabei die Leitungen als verlustlos
und nicht dispersiv betrachtet werden. Aber trotzdem müssen die anderen Leitungseigenschaften wie Reflexion und Abschlüsse berücksichtigt werden. Das BergeronVerfahren erlaubt eine rasche graphische Abschätzung des Leitungsverhalten bei
digitalen Signalen.
5.3.1 Geltungsbereich der Leitungstheorie
Wann muss die Leitungstheorie zur Beurteilung von elektrischen Verbindungen herangezogen werden?
Massgebend ist das Verhältnis der Anstiegszeit trise der übertragenen Signale zur
Signallaufzeit tl auf der Leitung.
Für tr < 5 tl muss das Übertragungsverhalten nach leitungstheoretischen Gesichtspunkten behandelt werden.
Zur Illustration dieser Aussage seien die kurzgeschlossene und die leerlaufende Leitung auf den folgenden Seiten näher betrachtet.
Rechnet man die Grenze tr = 5 tl in Leitungslänge um, so ergibt sich folgende kritische Leitungslänge, oberhalb welcher der Einfluss der verteilten Leitungseigenschaften zu berücksichtigen ist
v ⋅ tr k ⋅ c
1
l≥
=
⋅ tr
; k=
5
5
εr ⋅ µr
l krit =
6
εr µr
⋅ tr
5-10
l = Länge in cm
t r = Signalanstiegszeit in ns
ε r , µ r = Materialkonstanten des Füllmaterials
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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Leitungsgebundene Übertragung
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Übertragungstechnik
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______________________________________________________________________
5.3.2 U - I - Diagramme
Quelle und Last einer Leitung können als Eintore dargestellt werden. Für Eintore (linear und nicht linear) kann eine U-I-Kennlinie erstellt werden:
Wenn ein Eintor Schalter (nichtlinear, diskret) enthält, wird für jeden Schalterzustand
eine Kennlinie erstellt.
•
I
R
U
R1
U
I
S offen
Ul
R
U
S
U
S zu
R2
I
Fig. 5-3
I
•
Einfache U - I - Kennlinie
Fig. 5-4
Quellenkennlinie mit Schalter
5.3.3 Arbeitspunkteinstellungen
Werden zwei Eintore zusammengeschaltet, so stellt sich der Schnittpunkt der Kennlinien als Arbeitspunkt ein. dabei ist auf eine eindeutige Richtung der Bezeichnungen der Ströme und Spannungen zu achten: bei beiden Eintoren müssen die Bezeichnungen gleichgerichtet sein!
Hat ein Eintor zwei Kennlinien (enthält z.B. Schalter) treten zwei Arbeitspunkte auf.
In der Regel kann man jedem Arbeitspunkt eine Schalterstellung zuordnen.
•
R1
I
S offen
U
RL
S
Ul
U
RL
•
S zu
•
R2
I
•
Fig. 5-5
Arbeitspunkteinstellung
Soweit die Statischen Definitionen und Festlegung der Arbeitspunkte. Die Frage
stellt sich nun: Wie gehen der Strom und die Spannung am Ende und Anfang einer
Leitung von einem Arbeitspunkt zum anderen?
5.3.4 Wellenausbreitung
Zwei Eintore werden mit einer Leitung, gekennzeichnet mit einem bestimmten Wellenwiderstand R0 und einer Laufzeit tl verbunden.
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 42
______________________________________________________________________
Das Bergeron-Diagramm ist die Erkenntnis, dass sich die Amplituden einer hinlaufenden Welle mit einer Linie R0 , ausgehend von der Quell-Kennlinie zur LastKennlinie bestimmen lässt. Ebenso kann eine rücklaufende Welle mit einer Linie -R0
bestimmt werden. Somit kann Schrittweise für jede Laufzeit die Amplituden der hinund zurücklaufenden Amplituden und Gesamtamplituden bestimmt werden.
Zeitbereich 0 < t < tl
Wellenausbreitung von der Quelle zur Last.
Die Leitung ist an den Klemmen der Quelle von einem Widerstand der Grösse des
Wellenwiderstandes nicht unterscheidbar. Die Grösse dieser Welle lässt sich graphisch bestimmen.
RG
S
•
I
Ul
Leitung
•
U
R0
S zu
RL
U
•
I
•
•
Fig. 5-6
Konstruktion der hinlaufenden Welle
Zeitbereich t > tl
Reflexion am Abschluss: Es wird zusätzlich eine rücklaufende Welle erzeugt. Mit der
Verzögerung td = 2 tl kommt eine Welle, die zur hinlaufenden Welle proportional ist
zur Quelle zurück. Auch diese rücklaufende Welle kann graphisch bestimmt werden.
RG
Ul
S
I
•
Leitung
•
U
R0
S zu
RL
U
•
RL
•
•
Fig. 5-7
•
I
−R0
Konstruktion der rücklaufenden Welle
Zeitbereich t > 2 tl
Die rücklaufende Welle wird an der Quelle reflektiert und überlagert sich mit der ersten hinlaufenden Welle. Auch dieser Teil kann graphisch bestimmt werden.
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str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 43
______________________________________________________________________
RG
S
Ul
I
•
Leitung
U
R0
S zu
•
RL
U
•
RL
I
−R0
•
•
Fig. 5-8
•
Konstruktion der rücklaufenden Welle
5.3.5 Das Diagramm
Das Bergeron Diagramm ist die Erweiterung der vorangehenden Konstruktionen auf
beliebig viele Reflexionsvorgänge an Quelle und Last für Schrittanregungen. Der
Bergeron-Strahl mit Winkel ±R0 gegenüber der I - Achse startet im ausgehenden
Arbeitspunkt und endet im End-Arbeitspunkt auf der Lastgerade, der dem eingeschwungenen Zustand entspricht.
Es werden die Spannungstreppenwerte an den jeweiligen U - I Kennlinien RG, RL
abgelesen.
S=zu
U
R0
U
RL
•
I
1
2
3
4
−R0
5 t
tl
Fig. 5-9
Beispiel zum
Bergeron DiagrammEin Wesentlicher
Vorteil der Bergeron Konstruktion gegenüber den
analytischen Lösungen des Reflexionsproblemes ist die Erweiterbarkeit auf allgemeine Quellen und Lastcharakteristiken. Quelle und Last können nichtlinear sein; es
werden dann anstelle der Quellen und Lastgeraden Ortskurven der Spannungsabhängigkeit des Quellen- bzw. Laststroms eingesetzt.
Achtung:
Vorzeichen von Strom und Spannung im gewählten Pfeilsystem beachten.
Das Bergeron Verfahren ist auch auf negative Schritte (hoch -> tief) anwendbar.
5.3.6 Modellierung der Leitung
Wann wird eine Leitung als Induktivität und wann als Kapazität modelliert?
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 44
______________________________________________________________________
Das Verhältnis von Abschlusswiderstand/Wellenwiderstand entscheidet über den
Typus der Schrittantwort.
Danach verhält sich eine Leitung, die beidseitig mit einem (im Verhältnis zum Wellenwiderstand) niederohmigen Abschluss betrieben wird, wie eine Längsinduktivität,
während sie im umgekehrten Fall hochohmiger Abschlüsse wie eine Quer-Kapazität
wirkt. Der Nachweis kann mit Hilfe von Bergeron-Diagrammen geführt werden.
RG > R0
RG = R0
RG < R0
RL>R0
"Kapazitiver" Charakter der Leitung
1-malige Reflexion am
Abschluss
td durch Oszillationen
begrenzt
RL=R0
Keine Reflexion
keine Reflexion
keine Reflexion
RL<R0
td durch Oszillationen
begrenzt
1-malige Reflexion am
Abschluss
"Induktiver" Charakter
der Leitung
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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Leitungsgebundene Übertragung
str
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Übertragungstechnik
LEI - 45
______________________________________________________________________
5.3.7 Smith – Chart für Übungen
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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str
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LEI - 46
______________________________________________________________________
5.3.8 Zu Bergeron für Übungen
ZG
I1 •
U
•
U1
U2
I2
ZL
•
•
x=0
x
x=l
tr = 0
t/tl
0
1
2
3
4
5
6
7
tr = tl
t/tl
0
1
2
3
4
5
6
7
tr = 6tl
t/tl
0
1
2
3
4
5
6
7
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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Leitungsgebundene Übertragung
str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 47
______________________________________________________________________
ZG
I1 •
U
•
U1
U2
I2
ZL
•
•
x=0
x
x=l
tr = 0
t/tl
0
1
2
3
4
5
6
7
tr = 2tl
t/tl
0
1
2
3
4
5
6
7
tr = 6tl
t/tl
0
1
2
3
4
5
6
7
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str
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______________________________________________________________________
6
Anhang
6.1
Technische Daten für Koaxialkabel
(DG3AWL)
Daempfung in dB / 100 m
-----------Typ
f/MHz: 10
30
50 100 145
--------------------------------------RG-11 AU
2,2 4,0
7,5
RG-55
16,0
RG-58 CU
4,6 8,0 11,0 16,3 20,0
RG-142 AU
7,0 9,0
14,0 15,0
RG-174 U
12,0 17,0
29,0 34,0
RG-188 AU
12,0 17,0
28,0 32,0
RG-196 AU
22,0 27,0
43,0
RG-213 U
2,0 3,6 4,3 6,3 8,2
RG-213 US-100
1,8 2,45 3,2
5,9
RG-214 US
1,8 3,2 3,9 5,7 7,6
RG-223 U
4,0 7,0
13,0 18,5
RG-316 U
12,0 17,0
28,0 32,0
H100
2,1 2,8
4,9
H155
3,1 3,4 6,5 9,4 11,2
H500
1,3
2,9 4,1
H2000
1,0 2,0 2,7
4,8
Aircom-plus
0,9
3,3 4,5
Aircell-7
3,7 4,8 6,9 7,9
CF1/4"Cu2Y
2,5
5,5
CF3/8"Cu2Y
1,6
3,8
CF1/2"Cu2Y
1,2
3,0
CF5/8"Cu2Y
1,0
2,5
TU-165
TU-300
TU-545
4/S-60
2,0 4,0
7,0
60-7-2
2,0
7,0
---------------------------------------
200
400
435
11,0
29,0
24,0 36,0 40,0
20,0 28,0 30,0
45,0 55,0 60,0
40,0
58,0
62,0 95,0
9,5 14,5 15,0
10,1
9,0 13,0 13,5
20,0 30,0 34,0
40,0
58,0
8,8
19,8
8,7
8,5
7,4 7,5
14,1
9,0
6,5
5,6
4,0
29,0 41,0
17,0 25,0
9,0 14,0
10,0
500 1296 2320 3000 5000
19,0
52,0
90,0
49,0
110
113
77,0
140
72,0
175
165
47,0
35,0
70,0
68,0
102
17,0 26,0
21,1
15,0 23,5
38,0 60,0 85,0
68,0 113 165
16,0 23,0
21,9 34,9
17,4 24,1
15,7 21,8
14,5 21,5
26,1
18,0
13,0 16,0
10,0
7,2 10,0
60,0
90,0
180
95,0
220
268
300
55,0
127
272
128
325
89,0
45,0
100 151
268
34,8
25,0 34,1
120
75
45
19,0
17,0
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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Leitungsgebundene Übertragung
str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 49
______________________________________________________________________
maximale Leistung in Watt bei:
--------------Typ
f/MHz: 10
30
50 100 145 200
---------------------------------------
400
435
RG-11 AU
420 300
RG-55
Belastbarkeit wie RG-223 U
RG-58 CU
550
240 125 100
90
RG-142 AU
3200
1500
850
RG-174 U
200
95
57
42
RG-188 AU
550
380
260
RG-196 AU
85
57
RG-213 U
2000
800 420 300 290
RG-213 US-100 2000
800 440 420 400
RG-214 US
2000
800 440 420 400
RG-223 U
950
300
200
RG-316 U
550
380
260
H100
2100
1000
530
H155
Belastbarkeit wie RG-58 CU
H500
Belastbarkeit wie H100
H2000
7600
1600
Aircom-plus
Belastbarkeit wie H100
Aircell-7
2960
850
CF1/4"Cu2Y
2700
1200
750
CF3/8"Cu2Y
4700
2800
1200
CF1/2"Cu2Y
6400
2800
1600
CF5/8"Cu2Y
9000
4000
2300
TU-165
170 110
TU-300
660 450
TU-545
1700 1200
----------------------------------------
500 1296 2320 3000 5000
95
49
460
30
130
31
320
18
90
100
220 140
220 140
100
68
130
90
300
190
400
680
850
1350
30
20
175
13
75
18
95
65
70
70
40
75
520
950
32
150
370
─────────────────────────────────────────────────────────────────
Kurt Steudler
Leitungsgebundene Übertragung
str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 50
______________________________________________________________________
sonstige Angaben:
-------WellenWiderstand
widerAbmessungen
BiegeDC/1000m
Typ
stand pF/m Vk
Diel. Schirm. inn./Diel./aus. radius kg% inn./auss.
---------------------------------------RG-11 AU
75
67 0,66 PE
60dB 1,2 7,3 10,3
RG-55 (+/-2%)53,3 94 0,66 PE
100% 0,9 3,0
5,3
RG-58 CU
50 101 0,66 PE
60dB 0,9 2,95 5,0
RG-142 AU
50
95 0,7 PTFE
80dB 0,95 2,95 4,95
RG-174 U
50 101 0,66 PE
55dB 0,50
2,5
RG-188 AU
50
95 0,7 PTFE
0,51
2,7
RG-196 AU
50
95 0,7 PTFE
0,3
1,9
RG-213 U
50 101 0,66 PE
60dB 2,25 7,25 10,3
RG-213 US-100 50 101 0,66 PE
60dB 2,25 7,25 10,3
RG-214 US
50 101 0,66 PE
80dB 2,25 7,25 10,8
RG-223 U
50 101 0,66 PE
80dB 0,9 2,95 5,3
RG-316 U
50
95 0,7 PE
0,51
2,5
H100
50
0,84 PE/Luft 100% 2,5 6,9
9,8
H155
50 100 0,79 PE/Cell 100% 2,5 3,9
5,4
H500
50
82 0,81 PE/Cell 80db 2,5 7,0
9,8
H2000
50
80 0,83
10,3
Aircom-plus
50
84 0,84 PE/Luft 100% 2,7 7,2 10,3
Aircell-7
50
74 0,83 PE/Luft 100% 1,85 5,0
7,3
CF1/4"
50
Schaumst100%
8,0
CF3/8"
50
Luft
100%
15,0
CF1/2"
50
Schaumst100%
15,9
CF5/8"
50
Luft
100%
23,0
TU-165
50
95 0,7 PTFE
100% 0,51
2,19
TU-300
50
95 0,7 PTFE
100% 0,93
3,58
TU-545
50
95 0,7 PTFE
100% 1,63
6,35
4/S-60
60
75 0,77 PE-Cell 50dB 1,4 4,9
7,0
60-7-2
60
85 0,66 PE
1,5 6,6
8,8
----------------------------------------
50mm
30mm
25mm
13,9
5,0
4,0
100mm 15,3
90mm 15,5
150mm
35mm
75mm
100mm
25mm
60mm
22
4,1
39 13,5
6 4,1
6 4,1
6
DC/100m
11,0
3,9 1,5 1,7
10,7
15,0
7,2 ,86 ,85
59
12 11
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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Leitungsgebundene Übertragung
str
STR - ING
Übertragungstechnik
LEI - 51
______________________________________________________________________
sonstige Angaben:
-------Typ
Innenleiter
Schirm
---------------------------------------RG-11 AU
7x0,4 Cu, extrudiert
RG-55
1x0,9 Cu, verzinnt
RG-58 CU
19x0,18 Cu, extrudiert
RG-142 AU
1x0,99 St/Cu, versilb.
RG-174 U
7x0,16 St/Cu, ausgegl.
RG-188 AU
7x0,17 St/Cu, versilb.
RG-196 AU
7x0,1 St/Cu, versilb.
RG-213 U
7x0,75 Cu, ausgeglueht
RG-213 US-100 7x0,75 Cu, ausgeglueht
RG-214 US
7x0,75 Cu, versilbert
RG-223 U
1x0,9 Cu, versilbert
RG-316 U
7x0,17 St/Cu, versilb.
H100
1x2,5 Cu, blank-weich
H155
19x0,28 Cu, blank-weich
H500
1x2,5 Cu, blank-weich
Aircom-plus
1x2,7 Cu, blank-weich
Aircell-7
19x0,37 Cu, blank-weich
CF1/4"Cu2Y
1x
CF3/8"Cu2Y
1x
CF1/2"Cu2Y
1x
CF5/8"Cu2Y
1x
TU-165
1x0,51 Cu, versilbert
TU-300
1x0,93 Cu, versilbert
TU-545
1x1,63 Cu, versilbert
4/S-60
1x1,4 Cu, versilbert
60-7-2
1x1,5 Cu, ausgeglueht
Cu, ausgeglueht
75 Ohm !
Cu, verzinnt
doppelt geschirmt
Cu, verzinnt
Cu, versilbert
doppelt geschirmt
Cu, verzinnt
Cu, versilbert
Cu, versilbert
Cu, ausgeglueht
MIL
Cu-Folie+Cu-Geflecht MIL-C-17
Cu, versilbert
doppelt geschirmt
Cu, versilbert
doppelt geschirmt
Cu, versilbert
Cu-Folie+Cu-Geflecht blank
Alu-Folie + verz. Cu-Geflecht
Cu-Folie+Cu-Geflecht blank
Cu-Folie+Cu-Geflecht blank
Cu-Folie+Cu-Geflecht blank
Cell-Flex
Cell-Flex
Cell-Flex
Cell-Flex
Cu, Rohr, blank
Semi-Rigid
Cu, Rohr, blank
Semi-Rigid
Cu, Rohr, extrudiert Semi-Rigid
Cu,
60 Ohm !
Cu, ausgeglueht
60 Ohm !
---------------------------------------Angaben ohne Gewaehr
----------------------------------------
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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str
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______________________________________________________________________
6.2
Ergänzende Artikel
6.2.1 Impulsreflektometer
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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str
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______________________________________________________________________
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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______________________________________________________________________
6.2.2 Vorgänge auf HF - Leitungen
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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─────────────────────────────────────────────────────────────────
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─────────────────────────────────────────────────────────────────
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______________________________________________________________________
6.2.3 Stehwellenmessung
─────────────────────────────────────────────────────────────────
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─────────────────────────────────────────────────────────────────
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─────────────────────────────────────────────────────────────────
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