Komplexe Zahlen und Phasoren Die in der Elektrotechnik verwendete Mathematik zur Addition von Widerständen, Strömen oder Gleichspannungen verwendet sogenannte „reelle Zahlen“, die entweder als ganze Zahlen oder als Bruchzahlen verwendet werden. Aber reelle Zahlen sind nicht die einzige Art von Zahlen, die wir brauchen, besonders wenn es um frequenzabhängige sinusförmige Quellen und Vektoren geht. Neben der Verwendung normaler oder reeller Zahlen wurden komplexe Zahlen eingeführt, um komplexe Gleichungen mit Zahlen zu lösen, die die Quadratwurzeln negativer Zahlen sind, √-1. In der Elektrotechnik wird diese Art von Zahl als „imaginäre Zahl“ bezeichnet und um eine imaginäre Zahl von einer reellen Zahl zu unterscheiden, wird der in der Elektrotechnik gebräuchliche Buchstabe „j“ als j-Operator verwendet. So wird der Buchstabe „j“ vor eine reelle Zahl gestellt, um deren imaginäre Zahlenoperation zu kennzeichnen. Beispiele für imaginäre Zahlen sind: j3, j12, j100 usw. Dann besteht eine komplexe Zahl aus zwei verschiedenen, aber sehr verwandten Teilen, einen „Realteil“ plus einen „Imaginärteil“. Komplexe Zahlen stellen Punkte in einer zweidimensionalen komplexen oder sEbene dar, die sich auf zwei verschiedene Achsen beziehen. Die horizontale Achse wird als „reale Achse“ und die vertikale Achse als „imaginäre Achse“ bezeichnet. Die Real- und Imaginärteile einer komplexen Zahl werden mit Re(z) bzw. Im(z) abgekürzt. Komplexe Zahlen, die sich aus reellen (der aktiven Komponente) und imaginären (der reaktiven Komponente) Zahlen zusammensetzen, können addiert, subtrahiert und genauso verwendet werden wie elementare Algebra zur Analyse von DC-Schaltungen dient. Die in der Mathematik verwendeten Regeln und Gesetze für die Addition oder Subtraktion von imaginären Zahlen sind die gleichen wie für reelle Zahlen, j2 + j4 = j6 etc. Der einzige Unterschied besteht in der Multiplikation, da zwei imaginäre Zahlen zusammen eine negative reelle Zahl ergeben. Reelle Zahlen können auch als komplexe Zahl betrachtet werden, jedoch mit einem Null-Imaginärteil mit der Bezeichnung j0. Der j-Operator hat einen Wert genau gleich √-1, so dass die aufeinanderfolgende Multiplikation von „-1„ ⇒ ( j x j ) dazu führt, dass j im folgenden Werte von, -1, -j und +1 hat. Da der j-Operator üblicherweise verwendet wird, um die Drehung eines Vektors gegen den Uhrzeigersinn anzuzeigen, zwingt jede aufeinanderfolgende Multiplikation oder Leistung von j, j2, j3 usw. den Vektor, sich um einen Winkel von 90o gegen den Uhrzeigersinn zu drehen, wie unten gezeigt. Wenn die Multiplikation des Vektors einen -j-Operator ergibt, ist die Phasenverschiebung -90o, d.h. eine Drehung im Uhrzeigersinn. Vektordrehung des j-Operators Durch Multiplizieren einer imaginären Zahl mit j2 wird der Vektor also um 180o gegen den Uhrzeigersinn gedreht, durch Multiplizieren mit j3 um 270o und durch j4 um 360o oder zurück in seine ursprüngliche Position. Durch Multiplikation mit j10 oder j30 wird der Vektor um den entsprechenden Betrag gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Bei jeder weiteren Drehung bleibt die Größe des Vektors immer gleich. In der Elektrotechnik gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine komplexe Zahl grafisch oder mathematisch darzustellen. Ein solcher Weg, der die Cosinus- und Sinusregel verwendet, wird als kartesische oder rechteckige Form bezeichnet. Komplexe Zahlen in rechteckiger Form Im Vorlesung über Phasoren haben wir gesehen, dass eine komplexe Zahl durch einen Realteil und einen Imaginärteil in verallgemeinerter Form dargestellt wird: Dabei ist: Z - ist die komplexe Zahl, die den Vektor darstellt. x - ist der Realteil oder die aktive Komponente y - ist der Imaginärteil oder die Reaktive Komponente. j - wird definiert durch: √-1 In der rechteckigen Form kann eine komplexe Zahl als Punkt auf einer zweidimensionalen Ebene, der sogenannten komplexen oder s-Ebene, dargestellt werden. Z = 6 + j4 stellt also z.B. einen einzelnen Punkt dar, dessen Koordinaten 6 auf der horizontalen realen Achse und 4 auf der vertikalen imaginären Achse darstellen, wie dargestellt. Darstellung komplexer Zahlen in der komplexen oder s-Ebene Da aber sowohl der Real- als auch der Imaginärteil einer komplexen Zahl in der rechteckigen Form entweder eine positive Zahl oder eine negative Zahl sein kann, müssen sich sowohl die reelle als auch die imaginäre Achse sowohl in die positive als auch in die negative Richtung erstrecken. Dadurch entsteht eine komplexe Ebene mit vier Quadranten, das so genannte Argand-Diagramm. Vier-Quadranten-Argand-Diagramm Im Argand-Diagramm stellt die horizontale Achse alle positiven reellen Zahlen rechts von der vertikalen imaginären Achse und alle negativen reellen Zahlen links von der vertikalen imaginären Achse dar. Alle positiven Imaginärzahlen werden oberhalb der horizontalen Achse dargestellt, während alle negativen Imaginärzahlen unterhalb der horizontalen Realachse liegen. Dadurch entsteht eine zweidimensionale komplexe Ebene mit vier verschiedenen Quadranten, die mit QI, QII, QIII und QIV gekennzeichnet sind. Das obige Argand-Diagramm kann auch verwendet werden, um einen rotierenden Phasor als einen Punkt in der komplexen Ebene darzustellen, dessen Radius durch die Größe des Phasors gegeben ist, der alle 2π/ω Sekunden einen vollen Kreis um ihn zieht. Wir können diese Idee weiter ausbauen, um die Definition einer komplexen Zahl sowohl in der polaren als auch in der rechteckigen Form für Rotationen von 90o zu zeigen. Komplexe Zahlen können auch „Null“ Real- oder Imaginärteile haben wie: Z = 6 + j0 oder Z = 0 + j4. In diesem Fall werden die Punkte direkt auf die reale oder imaginäre Achse gezeichnet. Außerdem kann der Winkel einer komplexen Zahl mittels einfacher Trigonometrie berechnet werden, um die Winkel von rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, oder gegen den Uhrzeigersinn um das Argand-Diagramm ausgehend von der positiven realen Achse gemessen werden.Die Winkel zwischen 0 und 90o liegen im ersten Quadranten I ), die Winkel ( θ ) zwischen 90 und 180o im zweiten Quadranten ( II ). Der dritte Quadrant ( III ) enthält Winkel zwischen 180 und 270o, während der vierte und letzte Quadrant ( IV ), der den Vollkreis schließt, die Winkel zwischen 270 und 360o usw. umfasst. In allen vier Quadranten sind die relevanten Winkel zu finden über: tan-1(Imaginärteil ÷ Realteil) Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Die Addition oder Subtraktion von komplexen Zahlen kann entweder mathematisch oder grafisch in rechteckiger Form erfolgen. Für die Addition werden zunächst die Realteile zum Realteil der Summe und dann die Imaginärteile zum Imaginärteil der Summe addiert, wobei dieser Vorgang am Beispiel zweier komplexer Zahlen A und B wie folgt abläuft. Komplexe Addition und Subtraktion Komplexe Zahlen Beispiel Nr.1 Zwei Vektoren sind definiert als A = 4 + j1 bzw. B = 2 + j3. Bestimmen Sie die Summe und die Differenz der beiden Vektoren in rechteckiger Form ( a + jb ) und grafisch als Argand-Diagramm. Mathematische Addition und Subtraktion Addition Subtraktion Grafische Addition und Subtraktion Multiplikation und Division komplexer Zahlen Die Multiplikation von komplexen Zahlen in der rechteckigen Form folgt mehr oder weniger den gleichen Regeln wie bei der normalen Algebra zusammen mit einigen zusätzlichen Regeln für die sukzessive Multiplikation des j-Operators, wobei: j2 = -1. Die Multiplikation unserer beiden Vektoren von oben von A = 4 + j1 und B = 2 + j3 ergibt beispielsweise folgendes Ergebnis. Mathematisch ist die Teilung von komplexen Zahlen in rechteckiger Form etwas schwieriger durchzuführen, da sie die Verwendung der konjugierten Nennerfunktion erfordert, um den Nenner der Gleichung in eine reelle Zahl umzuwandeln. Das nennt man „Rationalisierung“. Dann erfolgt die Aufteilung der komplexen Zahlen am besten mit der „Polarform“, die wir uns später ansehen werden. Als Beispiel in rechteckiger Form lässt sich jedoch der Wert von Vektor A geteilt durch Vektor B finden. Das komplexe Konjugat Das komplexe Konjugat, oder einfach Konjugat einer komplexen Zahl, wird gefunden, indem man das Vorzeichen der komplexen Zahl nur umkehrt, während das Vorzeichen der reellen Zahl gleich bleibt, und um das komplexe Konjugat von z zu identifizieren, wird das Symbol z verwendet. Das Konjugat von z = 6 + j4 ist z = 6 – j4, ebenso das Konjugat von z = 6 – j4 ist z = 6 + j4. Die Punkte im Argand-Diagramm für ein komplexes Konjugat haben die gleiche horizontale Position auf der realen Achse wie die ursprüngliche komplexe Zahl, jedoch entgegengesetzte vertikale Positionen. So können komplexe Konjugate als Spiegelung einer komplexen Zahl betrachtet werden. Das folgende Beispiel zeigt eine komplexe Zahl, 6 + j4 und ihr Konjugat in der komplexen Ebene. Komplexe Zahlen konjugieren Die Summe aus einer komplexen Zahl und ihrem komplexen Konjugat wird immer eine reelle Zahl sein, wie wir oben gesehen haben. Dann ergibt die Addition einer komplexen Zahl und deren Konjugat das Ergebnis nur als reelle Zahl oder aktive Komponente, während ihre Subtraktion nur eine imaginäre Zahl oder reaktive Komponente ergibt. Das Konjugat einer komplexen Zahl ist ein wichtiges Element in der Elektrotechnik zur Bestimmung der Scheinleistung eines Wechselstromkreises in rechteckiger Form. Komplexe Zahlen mit Polarform Im Gegensatz zur rechteckigen Form, die Punkte in der komplexen Ebene darstellt, wird die polare Form einer komplexen Zahl in ihrer Größe und ihrem Winkel geschrieben. So wird ein polarer Formvektor dargestellt als: Z = A ∠±θ, wobei: Z die komplexe Zahl in polarer Form ist, A die Größe oder das Modulo des Vektors ist und θ sein Winkel oder Argument von A ist, das entweder positiv oder negativ sein kann. Die Größe und der Winkel des Punktes bleiben gleich wie bei der obigen rechteckigen Form, diesmal in polarer Form wird die Lage des Punktes in einer „dreieckigen Form“ dargestellt, wie unten gezeigt. Darstellung der Polarform einer komplexen Zahl Da die polare Darstellung eines Punktes auf der Dreiecksform basiert, können wir einfache Geometrie des Dreiecks und insbesondere Trigonometrie und Pythagoras‘ Theorem verwenden, um sowohl die Größe als auch den Winkel der komplexen Zahl zu bestimmen. Wie wir uns aus der Schule erinnern, beschäftigt sich die Trigonometrie mit der Beziehung zwischen den Seiten und den Winkeln von Dreiecken, damit wir die Beziehungen zwischen den Seiten beschreiben können: Mit Hilfe der Trigonometrie wird der Winkel θ von A wie folgt angegeben: In Polarform stellt dann die Länge von A und der Winkel statt eines Punktes die komplexe Zahl dar. Auch in polarer Form hat das Konjugat der komplexen Zahl die gleiche Größe oder Moment, es ist das Vorzeichen des Winkels, der sich ändert, so dass zum Beispiel das Konjugat von 6 ∠30o zu 6 ∠– 30o wird. Umwandlung zwischen rechteckiger und Polarform In der rechteckigen Form können wir einen Vektor in Form seiner rechteckigen Koordinaten ausdrücken, wobei die horizontale Achse seine reale Achse und die vertikale Achse seine imaginäre Achse oder j-Komponente ist. In polarer Form werden diese realen und imaginären Achsen einfach durch „A ∠θ“ dargestellt. In unserem obigen Beispiel kann dann die Beziehung zwischen rechteckiger Form und polarer Form wie folgt definiert werden. Umwandlung der Polarform in eine rechteckige Form, ( P→R ) Rechteckige Form in Polarform umwandeln, ( R→P ) Polarform Multiplikation und Division Die rechteckige Form eignet sich am besten zum Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen, aber die polare Form ist oft besser zum Multiplizieren und Dividieren. Um zwei Vektoren in polarer Form zu multiplizieren, müssen wir zuerst die beiden Module oder Größen multiplizieren und dann ihre Winkel addieren. Multipliziert man 6 ∠30o und 8 ∠– 45o im polarer Form, erhält man: Division in Polarform Um zwei Vektoren in polarer Form zu teilen, müssen wir die beiden Module teilen und dann ihre Winkel wie gezeigt subtrahieren. Glücklicherweise haben die heutigen modernen wissenschaftlichen Taschenrechner mathematische Funktionen eingebaut (siehe Buch), die eine einfache Umwandlung von rechteckiger in polare Form ermöglichen ( R → P ) und zurück von polarer in rechteckige Form ( R → P ). Komplexe Zahlen mit Exponentialform Bisher haben wir komplexe Zahlen in der rechteckigen Form, ( a + jb ) und der polaren Form, ( A ∠±θ ) berücksichtigt. Es gibt aber auch eine dritte Methode zur Darstellung einer komplexen Zahl, die der polaren Form ähnlich ist, die der Länge (Betrag) und dem Phasenwinkel des Sinus entspricht, aber die Basis des natürlichen Logarithmus e = 2.718 281.. verwendet, um den Wert der komplexen Zahl zu finden. Diese dritte Methode wird als Exponentialform bezeichnet. Die Exponentialform verwendet die trigonometrischen Funktionen des Sinus ( sin ) und des Kosinus ( cos ) eines rechtwinkligen Dreiecks, um den komplexen Exponent als Drehpunkt in der komplexen Ebene zu definieren. Die exponentielle Form zur Bestimmung der Position des Punktes basiert auf der Eulerschen Identität, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler: Die Eulersche Identität wird durch das folgende rotierende Phasendiagramm in der komplexen Ebene dargestellt werden. Wir können sehen, dass die Eulersche Identität der obigen polaren Form sehr ähnlich ist und dass sie uns zeigt, dass eine Zahl wie Aejθ, die eine Größe von 1 hat, auch eine komplexe Zahl ist. Wir können nicht nur komplexe Zahlen, die in exponentieller Form vorliegen, leicht in polare Form konvertieren, wie z.B.: 2ej30 = 2∠30, 10ej120 = 10∠120 oder -6ej90 = -6∠90, sondern Eulers Identität gibt uns auch die Möglichkeit, eine komplexe Zahl aus ihrer exponentiellen Form in ihre rechteckige Form zu konvertieren. Die Beziehung zwischen Exponential-, Polarund Rechteckform wird bei der Definition einer komplexen Zahl angegeben als: Komplexe Zahlenformen Phasor-Notation Bisher haben wir verschiedene Möglichkeiten, entweder einen rotierenden Vektor oder einen stationären Vektor mit komplexen Zahlen darzustellen, um einen Punkt auf der komplexen Ebene zu definieren. Die Phasornotation ist der Prozess der Konstruktion einer einzelnen komplexen Zahl, die die Amplitude und den Phasenwinkel der gegebenen sinusförmigen Wellenform hat. Dann überträgt die Phasornotation oder Phasentransformation, wie sie manchmal genannt wird, den Realteil der Sinusfunktion: A(t) = Am cos(ωt ± Φ) aus dem Zeitbereich in den komplexen Zahlenbereich, der auch als Frequenzbereich bezeichnet wird. Zum Beispiel: Bitte beachten Sie, dass die √2 die maximale Amplitude in einen Effektiv- oder Effektivwert mit dem in Bogenmaß angegebenen Phasenwinkel umrechnet ( ω ). Zusammenfassung komplexer Zahlen Komplexe Zahlen bestehen aus zwei verschiedenen Zahlen, einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl. Imaginäre Zahlen werden durch die Verwendung des j-Operators von einer reellen Zahl unterschieden. Eine Zahl mit dem Buchstaben „ j “ davor kennzeichnet sie als imaginäre Zahl in der komplexen Ebene. Per Definition ist der j-Operator j ≡ √-1 Imaginäre Zahlen können wie reelle Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und geteilt werden. Die Multiplikation von „ j “ mit „ j “ ergibt j2 = -1 In der rechteckigen Form wird eine komplexe Zahl durch einen Punkt im Raum auf der komplexen Ebene dargestellt. In der Polarform wird eine komplexe Zahl durch eine Linie dargestellt, deren Länge die Amplitude und der Phasenwinkel ist. In der Exponentialform wird eine komplexe Zahl durch eine Linie und einen entsprechenden Winkel dargestellt, der die Basis des natürlichen Logarithmus verwendet. Eine komplexe Zahl kann auf drei Arten dargestellt werden: Z = x + jy » Rechteckige Form Z = A ∠Φ » Polare Form Z = A ejΦ » Exponentielle Form Die Eulersche Identität kann verwendet werden, um komplexe Zahlen von einer exponentiellen in eine rechteckige Form umzuwandeln.
