Analysis 3 – Kompendium Vorlesungsnotizen für Ingenieurstudiengänge

Kompendium - Vorlesungsnotizen
Analysis 3
Studienrichtungen Energie- und Umwelttechnik sowie Maschinentechnik
27. August 2026
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Komplexe Zahlen
1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Darstellung von harmonischen Schwingungen im Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . .
1.7 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
3
3
4
2 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . .
2.4 Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
10
10
12
3 Differential- und Integralrechnung
3.1 Funktionen in mehreren Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Der Graph von einer Funktion von zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Höhenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Partielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Partielle Differentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Tangentialebene, Gradient und Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Relative Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Definition des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Berechnung des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Anwendungen des Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Definition des Dreifachintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Berechnung eines Dreifachintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Anwendungen des Dreifachintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
15
15
15
16
16
16
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20
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24
25
4 Vektoranalysis
4.1 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Der Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Die Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
28
28
29
30
iii
iv
INHALTSVERZEICHNIS
4.2.3 Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Zusammengesetzte Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Parametrisierte Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Berechnung von Oberflächenintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Integralsätze von Gauß und Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
32
32
34
35
35
36
36
Kapitel 1
Komplexe Zahlen
1.1 Einführung
Definition
Eine komplexe Zahl z lässt sich so schreiben
z =x+j ·y
(kartesische Form)
Dabei sind x und y reelle Zahlen; x heisst Realteil von z und wird mit Re(z) bezeichnet, y heisst
Imaginärteil von z und wird mit Im(z) bezeichnet.
j ist die sogenannte imaginäre Einheit, für die gilt: j 2 = −1. (Manchmal wird die imaginäre Einheit
auch mit i bezeichnet; in der Technik bevorzugt man die Bezeichnung j , um eine Verwechslung
mit der Stromstärke i zu vermeiden.)
Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet.
Zu einer vorgegebenen komplexen Zahl z = x + j · y definieren wir die zu z konjugiert komplexe
Zahl z ∗ = x − j · y (wird auch mit z̄ bezeichnet).
Die Gausssche Zahlenebene
Die Menge der reellen Zahlen haben wir durch eine
Zahlengerade veranschaulicht. Um die Menge der komplexen Zahlen zu veranschaulichen, brauchen wir eine
Ebene mit zwei Koordinatenachsen. In x-Richtung tragen wir den Realteil ab, in y-Richtung den Imaginärteil.
Definition
Der Betrag einer komplexen Zahl
¯µ z¶¯= x + j · y ist der Betrag des entsprechenden Ortsvektors in der
¯ x ¯ p
¯ = x 2 + y 2.
Gaussschen Zahlenebene: |z| = ¯¯
y ¯
Der Abstand zwischen zwei komplexen
¯µ Zahlen¶¯z 1 = x 1 + j · y 1 und z 2 = x 2 + j · y 2 ist der Betrag des
¯ x2 − x1 ¯ p
¯ = (x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2 .
entsprechenden Verbindungsvektors: ¯¯
y2 − y1 ¯
1
2
KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen
Wenn man in der Menge C rechnet, behandelt man j wie einen Parameter; man muss einzig berücksichtigen, dass gilt: j 2 = −1.
Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure 2 (MLAE2)
Alle bekannten Rechenregeln (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität) gelten auch in C.
Es gelten insbesondere folgende Formeln:
p
z + z⋆
z − z⋆
I m(z) =
|z| = z · z ⋆
2
j
Bestimmen Sie die Lage
dieser Polstellen 2(Typ
A-H gemäss obiger Tabelle): ………
Re(z) =
1.3
Form
5.4 Trigonometrische
Trigonometrische
Form
Die Position einer komplexen Zahl z in der Gaussschen
Die Position einer komplexen Zahl z in der Gaussschen
Zahlenebene ist auch durch Angabe der folgenden beiden
Zahlenebene ist auch durch Angabe der folgenden beiden
Grössen festgelegt:
Grössen festgelegt:
p
2
2
•
Betrag
r
=
|z|
=
• Betrag r = z = x + y
³y´
• Argument ϕ = arg(z), wobei tan(ϕ) =
x
• Argument j = arg( z ) =
q
werden:
x und y können folgendermassen durch r und j ausgedrückt
2
2
x = r · cos (ϕ),
y = r · sin (ϕ)
r=
bzw.
x +y ,
ϕ = atan2
³y´
x
y=
x=
Somit können wir z auch so darstellen:
z = r (cos (ϕ) + j · sin (ϕ))
z = r · cis(ϕ)
oder kurz:
Somit
können wir
so darstellen:
z auch
z=
Diese Darstellung
heisst
trigonometrische
Form.
oder kurz:
Multiplikation
von komplexen
Zahlen in trigonometrischer
Form
Diese Darstellung
heisst trigonometrische
Form.
Gegeben sind zwei komplexe Zahlen
z 1 = r 1 · cis(ϕ1 ) und z 2 = r 2 · cis(ϕ2 )
Beispiel
Dann
gilt:
Bestimmen
Sie die trigonometrische Form der folgenden komplexen Zahlen:
z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · cis(ϕ1 + ϕ2 )
(a)
z1 = - 3 + j
r=
Formel von de Moivre
j=
z1∈=N. Dann gilt:
Gegeben sind eine komplexe Zahl z = r · cis(ϕ) und ein n
(b)
z2 = 2 - 2 j
j=
z n = r n · cis(n · ϕ)
r=
z2 =
Satz
Die Gleichung z n = r ·cis(ϕ) mit n ∈ N∗ und r ̸= 0 hat die folgenden n verschiedenen komz = -4
(c)
r=
plexen3Lösungen
¡ϕ
¢
p
n =
zk = j
r · cis n + 2k · nπ
(d)
für k = 0, 1, . . . , n − 1 z3 =
z4 = -5 j
r=
j=
z =
1.4. EXPONENTIALFORM
3
Definition
Eine komplexe Zahl z heisst n-te Wurzel von a, wenn sie die Gleichung z n = a erfüllt
(a ∈ C, n ∈ N∗ ). Ist a = 1, so nennt man z auch n-te Einheitswurzel.
Satz
Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden in der Gaussschen Zahlenebene ein regelmässiges n-Eck = regelmässiges Polygon.
Fundamentalsatz der Algebra
Ein Polynom n-ten Grades kann in C immer in Linearfaktoren zerlegt werden:
a n · z n + a n−1 · z n−1 + · · · + a 1 · z + a 0 = a n · (z − z 1 ) · (z − z 2 ) · · · · · (z − z n )
wobei die Koeffizienten reell oder komplex sind, d.h. a i ∈ R oder a i ∈ C).
Anders ausgedrückt: Eine algebraische Gleichung n-ten Grades
a n · z n + a n−1 · z n−1 + · · · + a 1 · z + a 0 = 0 (a i ∈ R oder a i ∈ C)
Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure 2 (MLAE2)
hat in der Menge C stets genau n Lösungen (Multiplizitäten eingerechnet).
Das1.4
kennen
wir ja schon von der trigonometrischen Form:
Exponentialform
Die Beträge werden miteinander multipliziert; die Argumente werden addiert.
Die Eulersche Formel stellt einen wichtigen Zusammenhang zwischen der komplexen Ex-
Konjugiert
komplexe Zahlen
ponentialfunktion
und den trigonometrischen Funktionen her:
Schon von der trigonometrischen Form her wissen wir: Um die konjugiert komplexe Zahl zu
e j ϕ Arguments
= cos(ϕ) + j ändern:
· sin(ϕ)
erhalten, müssen wir das Vorzeichen des
(r ×e ) = r × e
Mithilfe der Eulerschen Formel lassen sich komplexe Zahlen so darstellen:
jj *
- jj
z = r · cis(ϕ)
= r · e jϕ
5.6 Darstellung von harmonischen
Schwingungen
im Zeigerdiagramm
Diese Darstellung
heisstes,
Exponentialform.
Ein Zeigerdiagramm
erlaubt
eine Sinus-Schwingung (z.B. eine elektrische
Wechselspannung) als Rotation eines Zeigers darzustellen. Diese Zeigerdiagramme sind
insbesondere dann nützlich, wenn es darum geht, die Überlagerung zweier Sinus1.5 Darstellung von harmonischen Schwingungen im Zeigerdiagramm
Schwingungen mit gleicher Kreisfrequenz zu bestimmen.
Rechts ist die Funktion y (t ) = A × sin(wt + j ) abgebildet, eine Sinus-Schwingung mit Amplitude
A , Periode T = 2p / w und Phase j . Die linke Illustration zeigt einen Zeiger y in der
4
KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
y(t ) = A · e j ·(ωt +ϕ)
Mathematik:
↔
y(t ) = ALineare
· sin(ωtAlgebra
+ ϕ) für Ingenieure 2 (MLAE2)
Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen
Mathematik:
Lineare
Algebra
für Ingenieure 2ω,
(MLAE2)
Wir betrachten nun zwei Sinus-Schwingungen, die
beide die
gleiche
Kreisfrequenz
aber
und
y
(
t
)
=
A
×
sin(
w
t
+
j
)
y
(
t
)
=
A
×
sin(
w
t
+
j
)
unterschiedliche1 Amplituden
A 1 bzw.
Phasen
ϕ1 bzw. ϕ2 haben:
1
1 A 2 und unterschiedliche
2
2
2
Die Überlagerung (Summe)y 1dieser
Schwingungen ist wieder eine Sinus-Schwingung
(t ) = Abeiden
1 · sin(ωt + ϕ1 ) und y 2 (t ) = A 2 · sin(ωt + ϕ2 )
mit der gleichen Kreisfrequenz
y1 (t )w=: A1 × sin(wt + j1 ) und y2 (t ) = A2 × sin(wt + j2 )
Die Überlagerung (Summe) dieser beiden Schwingungen ist wieder eine Sinus-Schwingung
y (t ) = A × sin(wt + j )
Die der
Überlagerung
(Summe) dieser
mit
gleichen Kreisfrequenz
ω: beiden Schwingungen ist wieder eine Sinus-Schwingung
mit der gleichen Kreisfrequenz w :
y(t
y (t)) =
= AA·× sin(ωt
sin(wt ++jϕ))
Aus der Graphik ist ersichtlich, dass i.A. gilt: A ¹ A1 + A2 . Von daher stellt sich die Frage, wie
wir die Amplitude
Phase jdass
deri.A.
Überlagerung
können.
A und
Aus der Graphik
ist die
ersichtlich,
gilt: A ¹ A +bestimmen
stellt sich die Frage, wie
A . Von daher
Aus der Graphik ist ersichtlich, dass i.A. gilt: A ̸= A11 + A2 2 . Von daher stellt sich die Frage, wie
wir die
die Amplitude
Amplitude AAund
unddie
diePhase
Phaseϕjder
derÜberlagerung
Überlagerungbestimmen
bestimmen können.
können.
wir
Es gibt keine Formel, die uns erlaubt, die Summe A1 × sin(wt + j1 ) + A2 × sin(wt + j 2 ) in der
× sin(
wkeine
tkeine
+ j )Formel,
Form AEs
zu schreiben.
betrachten
wir
statt der
dieder
gibt
die
erlaubt,
Summe AA
·sin(ωt
+ϕ Sinus-Funktionen
)+ ·sin(ωt +ϕ ) in
Es
gibt
Formel,
dieuns
uns Deshalb
erlaubt, die
der Form
1
1 × sin(wt + j11) + A22 × sin(w t + j 22)
A·sin(ωt
+ϕ)
zu
schreiben.
Deshalb
betrachten
wir
statt
der
Sinus-Funktionen
die
zugehörigen
= 0:
zugehörigen
zum Zeitpunkt
A × sin(wt + jZeiger
) zu schreiben.
Form komplexen
Deshalbt betrachten
wir statt der Sinus-Funktionen die
komplexen Zeiger zum Zeitpunkt t = 0:
zugehörigen komplexenjj1Zeiger
zum Zeitpunkt
1
y1 y=1 A
A2A×2e· jej2j ϕ2t = 0 :
=1 ×Ae1 · e j ϕund
undy2y=
2=
y = A × e jj1 und y = A × e jj2
1
1
2
Wenn
wiraddieren,
diese addieren,
erhalten
wir
den 2Zeiger
der ÜberlaWenn wir
diese
erhalten
wir den
Zeiger
der Überlagerung
gerung
zum
t =erhalten
0:
Wenn wir
wir den Zeiger der Überlagerung
t =diese
0Zeitpunkt
zum Zeitpunkt
: addieren,
zum Zeitpunkt ty ==0y:1 + y 2 = A 1 · jej j ϕ1 + A 2 ·jje j ϕ2
y = y1 + y2 = A1 × e 1 + Ajj2 × e 2
jj
= y1 Zeiger
+ y2 = wieder
A1 × e 1 +zurück
A2 × e 2in eine SinusNun übersetzen wiryden
Schwingung: Der Betrag von y liefert die Amplitude A der
Nun übersetzen wir den Zeiger wieder zurück in eine SinusÜberlagerung,
y die
Phaseinϕ;eine
dieSinusKreisfreNun übersetzendas
wirArgument
den Zeigervon
wieder
zurück
Schwingung: Der Betrag von y liefert die Amplitude A der
Schwingung:
Der Betrag
liefert
quenz
ω ist gleich
wie beivon
y 1 (t y) und
y 2 (tdie
). Amplitude A der
Überlagerung,
das Argument von y die Phase j ; die Kreisfrequenz
Überlagerung, das Argument von y die Phase j ; die Kreisfrequenz
y1 (bei
t ) und
w ist gleich
beiwie
2 (t ) .y (t ) .
y (t ) yund
w istwie
gleich
1
2
1.7 Fourier-Reihen
Bemerkung
Bemerkung
Theorie
handelt wir
von periodischen
Funktionen.
Diese können durch
Um dieDie
Summe
müssen
in die
kartesische
y1 +der
y2 Fourier-Reihen
y1 und
y2 erst
Um
die Summe
müssen wir
in die
kartesischeForm
Form
y1zu
+ berechnen,
y2 zu berechnen,
y1 und
y2 erst
sogenannte trigonometrische Reihen dargestellt oder angenähert, d.h. approximiert werden.
bringen.
Anschliessend
müssen
wir
das
Ergebnis
wieder
in Exponentialform
schreiben,
damitzubringen.Periodische
Anschliessend
müssen
wir das
Ergebnis
wieder
in
Exponentialform
schreiben,
damit
Funktionen
können
aus
harmonischen
Schwingungen
(in Form
einer Reihe)
wir die Funktionsgleichung
der Überlagerung
ablesen
können.
wir die sammengesetzt
Funktionsgleichung
der Überlagerung
ablesen
können.
werden.
BeispielBeispiel
Berechnen
die Überlagerung
der beiden
Schwingungen
Berechnen
Sie dieSie
Überlagerung
der beiden
Schwingungen
1.7. FOURIER-REIHEN
5
Definition
1. Eine Summe der Form
N
X
p(x) :=
c k e j kx ,
bzw. p(x) :=
k=−N
N
a0 X
+
(a k cos(kx) + b k sin(kx))
2 k=1
heisst ein komplexes, bzw. reelles trigonometrisches Polynom in der Variablen x.
2. Der Grenzwert für N gegen unendlich
p(x) :=
∞
X
c k e j kx
bzw. p(x) :=
k=−∞
∞
a0 X
+
(a k cos(kx) + b k sin(kx))
2 k=1
heisst eine komplexe bzw. reelle trigonometrische Reihe in der Variablen x.
Funktionen mit Periode T > 0
Wenn f : R → R eine T -periodische Funktion ist, so genügt es zur Bestimmung der Schwingungsanteile in der Fourier-Reihe dieser Funktion, f auf einem Intervall der Länge T zu betrachten.
2π
ω=
T
Definition
Sei f : R → R stetig. Dann heisst
ck
=
1
T
Z T
f (x)e − j ωkx dx,
0
(k ∈ Z)
der k-te Fourier-Koeffizient der Funktion f . Die entsprechende reelle Formel lautet
Z
2 T
ak =
f (x) cos(ωk x) dx, (k ≥ 0)
T 0
Z
2 T
f (x) sin(ωk x) dx, (k ≥ 1)
bk =
T 0
Die Fourier-Koeffizienten c k können wir in die reellen Fourier-Koeffizienten umrechnen. Dazu
benutzen wir wiederum die Eulersche Formel und erhalten
a k = 2 · Re(c k )
und
b k = −2 · I m(c k ).
Die T -periodische Funktion f wird als Summe harmonischer Schwingungen dargestellt.
Die Reihe
∞
X
k=−∞
c k e j ωkx
bzw.
∞
a0 X
+
(a k cos(ωkx) + b k sin(ωkx))
2 k=1
mit den Fourierkoeffizienten c k bzw. a k und b k heisst Fourier-Reihe von f .
Die endliche Summe
N
N
X
a0 X
FN =
c k e j ωkx
bzw.
FN =
+
(a k cos(ωkx) + b k sin(ωkx))
2 k=1
k=−N
mit den Fourierkoeffizienten c k bzw. a k und b k nennt man Fourier-Approximation oder
Fourier-Polynom vom Grad N der T -periodischen Funktion f .
6
KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
Bemerkungen
1. Im Fall T = 2π ist ω = 1.
2. Das Integrationsintervall, für das in den obigen Formeln [0, T ] gewählt wurde, kann auch
einen anderen Startpunkt haben, es muss einfach über eine ganze Periode laufen, d.h.
RT
R x +T
man kann in den obigen Formeln 0 . . . ersetzen durch x00 . . .
3. Gerade und ungerade Funktionen: Ähnlich wie bei den Taylorreihen (siehe Analysis 2)
gilt hier, dass
• für gerade Funktionen alle „Sinuskoeffizienten“ verschwinden: b k = 0
• für ungerade Funktionen alle „Cosinuskoeffizienten“ verschwinden: a k = 0
Frequenzspektrum einer periodischen Funktion u(t )
Mit ω = 2π/T bezeichnen wir die Grundfrequenz der T -periodischen Funktion u(t ). Vielfache
der Grundfrequenz k · ω mit k ∈ Z können als Frequenzen der Oberschwingungen auftreten.
Die Anteile dieser Oberschwingungen sind in den Koeffizienten der Fourierreihenentwicklung
von u(t ) abgebildet.
2kπ
T
q
Amplituden der einzelnen Frequenzen A k = a k2 + b k2 = 2|c k |
Frequenzen f k = k · ω =
ak
bk
=
2 · Re(c k )
= −2 · I m(c k )
¾
⇒
q
a k2 + b k2 = 2 ·
q
(Re(c k ))2 + (I m(c k ))2 = 2 · |c k |
Quelle: Wikipedia.de
Kapitel 2
Gewöhnliche Differentialgleichungen
2.1 Einführung
Eine Differentialgleichung ist eine Funktionalgleichung, in der die gesuchte Funktion, ihre Ableitungen und ihre Variablen vorkommen.
y n (x) = f (x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y n−1 )
Sind zu der Differentialgleichung n-ter Ordnung n Bedingungsgleichungen für y, y ′ , . . . y (n−1)
an einer Stelle x 0 ∈ D y gegeben, so sprechen wir von einem Anfangswertproblem (AWP). Im
Folgenden konzentrieren wir uns auf Anfangswertprobleme zu linearen Differentialgleichungen.
2.2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
Definition
Wir wissen bereits aus Analysis 2, eine Differentialgleichung 1. Ordnung heisst linear,
wenn sie die Form
y ′ + f (x) · y = g (x)
hat, wobei f und g Funktionen von x sind.
Die Funktion g (x) wird als Störglied oder Störfunktion bezeichnet.
Defnition
Eine lineare Differentialgleichung heisst homogen, wenn das Störglied
g (x) = 0 ist.
Ansonsten nennt man sie inhomogen.
Betrachtet man eine inhomogene lineare Differentialgleichung
y ′ + f (x) · y = g (x),
dann bezeichnet die zugehörige homogene Differentialgleichung die Gleichung
y h′ + f (x) · y h = 0.
Grundsätzlich sind homogene Differentialgleichungen leichter zu lösen als inhomogene. Unser Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungen besteht deshalb aus zwei Schritten
(detaillierte Beschreibungen folgen in den nächsten Abschnitten):
7
8
KAPITEL 2. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1. Schritt: Lösen der zugehörigen homogenen Gleichung durch Trennung der Variablen
2. Schritt: ’Variation der Konstanten’ oder ’Aufsuchen einer partikulären Lösung’
1. Schritt: Lösen der Zugehörigen Homogenen Differentialgleichung
Zur Erinnerung: In Analysis 2 haben wir separierbare Differentialgleichungen kenngelernt.
Definition
Eine Differentialgleichung 1. Ordnung heisst separierbar, wenn sie sich in der folgenden
Form schreiben lässt:
dy
= y ′ = f (x) · g (y)
dx
Beispiele
• y ′ = (x 2 + sin(x)) · (e y − y + 7) ist eine separierbare Differentialgleichung
• y ′ = x − y + 1 ist nicht separierbar
Lösungsverfahren für separierbare Differentialgleichungen
dy
= f (x) · g (y)
dx
(II) Separation (Trennung) der Variablen:
(I) y ′ =
dy
= f (x) · dx
g (y)
(III) Integration auf beiden Seiten der Gleichung (falls möglich!)
Z
Z
dy
= f (x) dx
g (y)
(IV) Auflösen nach y (falls möglich!)
Eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung lässt sich durch Trennung der Variablen lösen, d.h. sie ist separierbar.
2. Schritt: Lösen der inhomogenen Differentialgleichung
Für den 2. Schritt gibt es zwei verschiedene Lösungsmethoden. Bei beiden Methoden arbeitet
man mit einem Ansatz: man geht davon aus, dass die gesuchte Lösung eine bestimmte Form
hat und bestimmt dann noch die Werte allfälliger Parameter, die im Lösungsansatz vorkommen.
2. Schritt – (i) Variation der Konstanten
Lösungsverfahren ’Variation der Konstanten’ für lineare Differentialgleichungen
(I) Vergleich der gegebenen Differentialgleichung mit der allgemeinen Form
y ′ + f (x) · y = g (x) und Bestimmung von f (x) und g (x).
(☞ Vorzeichen beachten)
2.2. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG
9
(II) Bestimmung der Stammfunktion F (x) von f (x).
(III) Einsetzen in die Formel y h = C ·e −F (x) liefert die Lösung der zugehörigen homogenen
Differentialgleichung.
(IV) Das Ersetzen von C durch eine noch zu bestimmende Funktion K (x) führt zum folgenden Ansatz für die allgemeine Lösung:
y = K (x) · e −F (x)
(V) Die Funktion K (x) lässt sich durch die folgende Formel berechnen.
Z
K (x) = g (x) · e F (x) dx
(☞ Integrationskonstante nicht vergessen!)
(VI) Einsetzen von K (x) in den Ansatz aus (IV) ergibt die allgemeine Lösung.
2. Schritt – (ii) Aufsuchen einer partikulären Lösung
Satz
Wir betrachten eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung:
y ′ + f (x) · y = g (x).
Dann gilt: Die allgemeine Lösung y = y(x) dieser Gleichung lässt sich darstellen als
y(x) = y h (x) + y p (x)
wobei
• y h (x) die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ist, und
• y p (x) eine (beliebige) partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist
Inhomogene Differentialgleichungen lassen sich somit dadurch lösen, dass man sowohl die
allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung als auch eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmt.
Lösungsverfahren
’Aufsuchen
einer
partikulären
Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Lösung’
für
lineare
(I) Vergleich der gegebenen Differentialgleichung mit der allgemeinen Form
y ′ + a · y = g (x) und Bestimmung von a und g (x).
(☞ Vorzeichen beachten)
(II) Einsetzen in die Formel y h = C · e −ax liefert die Lösung der zugehörigen homogenen
Differentialgleichung.
(III) Mithilfe der Tabelle: Bestimmen des Ansatz für die partikuläre Lösung y p .
10
KAPITEL 2. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
(IV) Bestimmen von y p′ , indem man den Ansatz für y p aus (III) ableitet.
(V) Einsetzen von y p (aus (III)) und y p′ (aus (IV)) in die Differentialgleichung.
(VI) Bestimmung der Parameter durch Koeffizientenvergleich. Dies ergibt y p .
(VII) Die allgemeine Lösung ist gegeben durch y = y h + y p .
2.3 Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Definition Eine Differentialgleichung vom Typ
y ′′ + a y ′ + b y = g (x)
heisst lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (a, b ∈ R).
Die Funktion g (x) wird als Störfunktion oder Störglied bezeichnet. Fehlt das Störglied, so
heisst die Differentialgleichung homogen, anssonsten heisst sie inhomogen.
2.3.1 Homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Eigenschaften dieses Typs von Differentialgleichungen
Eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y ′′ + a y ′ + b y = 0,
a, b ∈ R
besitzt folgende Eigenschaften:
(1) Sind y 1 (x) und y 2 (x) zwei Lösungen der Differentialgleichung, so ist auch jede aus ihnen
gebildete Linearkombination
y(x) = C 1 · y 1 (x) +C 2 · y 2 (x)
eine Lösung der Differentialgleichung.
(2) Falls die Koeffizienten a, b reelle Zahlen sind und y(x) = u(x) + j · v(x) eine komplexe Lösung der Differentialgleichung ist, dann sind sowohl der Realteil u(x) als auch der Imaginärteil v(x) jeweils eine (reelle) Lösung der Differentialgleichung.
Satz
Die allgemeine Lösung y(x) einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung
mit konstanten Koeffizienten lässt sich als Linearkombination von zwei linear unabhängigen Lösungen y 1 (x) und y 2 (x) darstellen:
y(x) = C 1 · y 1 (x) +C 2 · y 2 (x)
2.3. LINEARE DGL 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN
11
Zusammenfassung des Lösungsverfahrens
Lösungsverfahren für homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
(I) Charakteristische Gleichung aufstellen:
Zur Dgl y ′′ + a y ′ + b y = 0 führt zur Gleichung λ2 + aλ + b = 0.
(II) Bestimmen der Lösungen λ1 und λ2 der charakteristischen Gleichung.
(III) Aufstellen der allgemeinen Lösung gemäss nachfolgender Tabelle.
Fall
Lösung
Fall 1: λ1 ̸= λ2 (reell)
y = C 1 · e λ1 x +C 2 · e λ2 x
Fall 2: λ1 = λ2 = c (reell)
y = (C 1 · x +C 2 ) · e cx
Fall 3: λ1,2 = α ± j ω (konjugiert komplex)
y = e ax (C 1 · sin(ωx) +C 2 · cos(ωx))
Inhomogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Wie bei Differentialgleichung 1. Ordnung gilt:
y(x) = y0(x) + yp(x)
allg. Lösung
allg. Lösung der
zugehörigen homogenen
Differentialgleichung
beliebige Lösung
d. partikulären
Differentialgleichung
Lösungsverfahren ’Aufsuchen einer partikulären Lösung’
für lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y ′′ + a y ′ + b y = g (x)
Schritt 1:
Lösung y h der zugehörigen homogenen Differentialgleichung bestimmen
Schritt 2:
(I) Bestimmen der Störfunktion g (x).
(II) Aus der Tabelle: Heraussuchen des Ansatz für die partikuläre Lösung y p .
(III) Bestimmen von y p′ und y p′′ durch Ableiten des Ansatzes für y p (aus (II)).
(IV) Einsetzen von y p (aus (II)) und y p′ , y p′′ (aus ((III)) in die Dgl.
(V) Bestimmung der Parameter mithilfe eines Koeffizientenvergleiches. Dies ergibt y p .
(VI) Die allgemeine Lösung lautet y = y h + y p .
Anfangswertprobleme zu linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten las-
12
KAPITEL 2. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
sen sich auch mithilfe der Laplace-Transformation lösen. Diese Lösungsmethode spielt insbesondere in der Regelungstechnik eine wesentliche Rolle.
2.4 Laplace–Transformation
Technische Probleme lassen sich häufig durch zeitabhängige Funktionen beschreiben, die erst
ab einem gewissen Zeitpunkt grösser als 0 werden (z.B. Einschalt-Vorgänge in der Elektro- und
Regelungstechnik). Für solche Funktionen gilt häufig:
f (t ) = 0 für t < 0
Davon gehen wir im Folgenden aus.
Definition
Die Funktion
Z∞
F (s) =
f (t ) · e −st dt
0
hängt nur von der komplexen Variablen s ab und heisst
Laplace-Transformierte der Funktion f (t ). 1
Symbolische Schreibweise: F (s) = L { f (t )}
Bezeichnungen: f (t ): Originalfunktion, F (s): Bildfunktion
Zum Lösen von bestimmte Typen von AWP geht man nach dem folgenden Schema vor:
Bildbereich
algebraische
Gleichung
Lösung
Inverse
LaplaceTransformation
L −1
LaplaceTransformation
L
Originalbereich
AWP
Lösung
Dabei benutzt man verschiedene Eigenschaften der Laplace-Transformation:
Linearität
Für die Laplace-Transformierte einer Linearkombination von zwei Originalfunktionen gilt:
L {c 1 · f 1 (t ) + c 2 · f 2 (t )} = c 1 · L { f 1 (t )} + c 2 · L { f 2 (t )}
1 Unter der Bedingung, dass dieses uneigentliche Integral existiert.
2.4. LAPLACE–TRANSFORMATION
13
Die Laplace-Transformierte einer Polynomfunktion
n
X
f (t ) = a n · t n + a n−1 · t n−1 + · · · + a 1 · t + a 0 =
ak · t k
lässt sich durch die Linearität zurückführen auf
n o
k!
für Re(s) > 0.
L t k = k+1 ,
s
k=0
Verschiebungs-Satz
Die Verschiebung der Originalfunktion f (t ) um a nach rechts entspricht einer Multiplikation der Laplace-Transformierten mit e −as :
L { f (t − a)} = e −as · L { f (t )}
Dämpfungssatz
Die Dämpfung der Originalfunktion f (t ) mit einem Faktor e −at entspricht einer Verschiebung der Laplace-Transformierten um a nach links:
L {e −at · f (t )} = F (s + a)
mit
F (s) = L { f (t )}
Ableitungssatz für die Originalfunktion
Erfüllt die Funktion f (t ) die Bedingung lim f (z) · e −sz = 0, dann gilt für die Laplacez→∞
Transformierte der ersten Ableitung:
L { f ′ (t )} = s · F (s) − f (0) = s · L f (t ) − f (0)
Für die zweite Ableitung gilt eine entsprechende Formel:
L { f ′′ (t )} = s 2 · F (s) − s · f (0) − f ′ (0)
Lösen von AWPs mit Hilfe der Laplace-Transformation
Mit Hilfe der Laplace-Transformation lassen sich AWPs für Differentialgleichungen vom folgenden Typ lösen (a und b sind jeweils reelle Konstanten):
y ′ + a y = g (t )
(1. Ordnung)
bzw.
y ′′ + a y ′ + b y = g (t )
(2. Ordnung)
Wir lösen hier ein solches AWP 1. Ordnung (das Vorgehen im Fall der 2. Ordnung ist analog):
y ′ + a y = g (t ),
gegeben ist der Anfangswert: y(0)
1. Schritt: Laplace-Transformation
Die Differentialgleichung wird gliedweise Laplace-transformiert. Wir verwenden die folgenden Bezeichnungen:
L {y(t )} = Y (s)
und
L {g (t )} = G(s)
Gemäss dem Ableitungssatz gilt dann:
L y ′ + a y = s · Y (s) − y(0) + a · Y (s)
Die vorgegebene Differentialgleichung geht damit über in die algebraische Gleichung:
(s + a) · Y (s) − y(0) = G(s)
14
KAPITEL 2. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
2. Schritt: Lösung im Bildbereich
Wir lösen diese lineare Gleichung nach der Bildfunktion Y (s) auf:
Y (s) =
G(s)+y(0)
s+a
Bemerkung: Es ist hilfreich, Y (s) als Summe von Brüchen darzustellen. Versuchen Sie nicht,
alles auf einen Nenner zu bringen.
3. Schritt: Inverse Laplace-Transformation
Mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation erhalten wir aus der gefundenen Bildfunktion
Y (s) die gesuchte Lösung y(t ) des AWP:
½
¾
−1
−1 G(s) + y(0)
y(t ) = L {Y (s)} = L
s+a
3.1.1 Grundbegriffe
Einleitende Beispiele
(1) Nach der Van der Waalsschen Zustandsgleichung hängt der Gasdruck p für ein reales Gas
folgendermassen von der Temperatur T und dem Volumen V ab:
p = p (T ;V ) =
RT
a
- 2
V -b V
( R : allgemeine Gaskonstante, a, b : Konstanten, die vom betrachteten Gas abhängen.)
(2) Die Wurfweite
W beim
Kapitel
3 schiefen Wurf hängt von der Anfangsgeschwindigkeit v0 und dem
Wurfwinkel a ab:
v2
W = W (v0 ; a ) = 0 × sin(2a )
g
Differential- und Integralrechnung für
( g : Erdbeschleunigung)
Funktionen in mehreren Veränderlichen
(3) Bei einem metallischen Dehnmessstreifen hängt der elektrische Widerstand von drei
Variablen ab:
l
3.1 Funktionen in mehreren
R = R( r ; lVeränderlichen
; q) = r ×
q
3.1.1 Grundbegriffe
( r : spezifischer Widerstand des Materials; l : Länge; q : Querschnitt des Drahtes)
Definition
Definition Eine (skalarwertige) Funktion von n Variablen ist dadurch gegeben, dass jedem n-Tupel
Eine (skalarwertige)
von n Variablen ist dadurch
dass jedem n -Tupel
n
(x 1 , x 2 , . . . , xFunktion
D ⊂ Rgegeben,
(dem Definitionsbereich)
genau eine
n ) aus einer gewissen Teilmenge
n
( x1 ; x2 ;...; xreelle
)
aus
einer
gewissen
Teilmenge
(dem
Definitionsbereich)
genau
eine
D
Ì
R
Zahl f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) zugeordnet wird.
n
f ( x1 ; x2 ;...;nicht,
xn ) zugeordnet
reelle Zahl
wird.
Es überrascht
dass der Unterschied zwischen Funktionen von einer Variablen und Funktionen von mehreren Variablen gross ist. Die meisten neuen Phänomene treten bereits beim
Es überrascht nicht, dass der Unterschied zwischen Funktionen von einer Variablen und
Übergang von einer zu zwei Variablen auf. Wir betrachten daher v.a. diesen Fall.
Funktionen von mehreren Variablen gross ist. Die meisten neuen Phänomene treten bereits
beim Übergang von einer zu zwei Variablen auf. Wir betrachten daher vor allem diesen Fall.
3.1.2 Der Graph von einer Funktion von zwei Variablen
3.1.2 Der Definition
Graph von einer Funktion von zwei Variablen
Definition Der Graph einer Funktion f : D → R mit D ⊂ R2
f(x; y)
die Menge
Der Graphist
einer
Funktion f : D ® R mit D Ì R 2 ist die
©
ª
Menge
G = (x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D
G = {( x; y; f ( x; y )) ( x; y ) Î D}
Der Graph einer Funktion in zwei Veränderlichen kann als Fläche im dreidimensionalen
Der Graph Raum
einer Funktion
Variablen kann als Fläche
aufgefasstzweier
werden.
im dreidimensionalen Raum aufgefasst werden.
(x; y; f(x; y))
y
x
3.1.3 Höhenlinien
(x; y)
65
Eine Möglichkeit, Funktionen von zwei Variablen anschaulich darzustellen, ist das Zeichnen von Höhenlinien (wie auf
einer topographischen Karte):
Man wählt eine Zahl c und bestimmt alle Punkte (x; y), deren
Funktionswert f (x; y) = c ist. Die Menge diese Punkte bildet
für ein festes c im Normalfall eine Kurve in der x y-Ebene,
die Höhenlinie.
15
16
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
3.1.4 Partielle Funktionen
Definition
Aus einer Funktion von zwei Variablen kann man Funktionen von einer Variablen gewinnen, indem man für die andere Variable einen festen Wert einsetzt. Diese neuen Funktionen heissen partielle Funktionen.
ϕ(x) = ϕ y 0 (x) = f (x, y 0 )
„partielle Funktion in Richtung x durch y 0 “
ψ(y) = ψx0 (y) = f (x 0 , y)
„partielle Funktion in Richtung y durch x 0 “
Die partiellen Funktionen hängen natürlich von der Wahl von y 0 bzw. x 0 ab.
3.2 Partielle Differentation
3.2.1 Partielle Ableitungen
Die partiellen Funktionen ϕ und ψ sind Funktionen in einer Variablen; sie können also in der
üblichen Weise abgeleitet werden. So erhalten wir die partiellen Ableitungen.
Die partiellen Ableitungen sind Grenzwerte, wie schon die gewöhnlichen Ableitungen, die ihnen zu Grunde liegen. Solche Grenzwerte existieren aber nicht in jedem Fall.
Definition
Wir betrachten eine Funktion f : D → R von 2 Variablen. Die Funktion f heisst an der
Stelle (x 0 , y 0 ) ∈ D nach x bzw. y partiell differenzierbar, wenn die Grenzwerte
∂f
f (x 0 + ∆x; y 0 ) − f (x 0 , y 0 )
∂f
f (x 0 , y 0 + ∆y) − f (x 0 , y 0 )
(x 0 , y 0 ) = lim
bzw.
(x 0 , y 0 ) = lim
∆x→0
∆y→0
∂x
∆x
∂y
∆y
existieren. Diese Grenzwerte heissen dann partielle Ableitung von f nach x bzw. nach y
an der Stelle (x 0 , y 0 ).
Notationen
Für die partiellen Ableitungen schreibt man:
∂f
f x (x, y) oder
(x, y)
bzw.
∂x
f y (x, y)
oder
Die Notationen für Funktionen in mehr als zwei Variablen sind analog.
Geometrische Interpretation
f x (x 0 , y 0 ) ist die Steigung der Schnittkurve k 1
des Graphen von f mit der Ebene parallel zur
xz-Ebene durch x 0 an der Stell P = (x 0 , y 0 ).
f y (x 0 , y 0 ) ist die Steigung der Schnittkurve
k 2 des Graphen f mit der Ebene parallel zur
y z-Ebene durch x 0 an der Stelle P = (x 0 , y 0 ).
∂f
(x, y)
∂y
3.2. PARTIELLE DIFFERENTATION
17
Höhere partielle Ableitungen
Wir können die partiellen Ableitungen als Funktionen betrachten:
f x : D → R, f y : D → R
Diese Funktionen können wir nun wieder nach x bzw. nach y ableiten (falls die entsprechenden Grenzwerte existieren). Es gibt folgende Möglichkeiten:
• f x nach x ableiten – Ergebnis: f xx (x; y) oder
∂2 f
(x; y)
∂x 2
• f x nach y ableiten – Ergebnis: f x y (x; y) oder
∂2 f
(x; y)
∂x∂y
• f y nach x ableiten – Ergebnis: f y x (x; y) oder
∂2 f
(x; y)
∂y∂x
• f y nach y ableiten – Ergebnis: f y y (x; y) oder
∂2 f
(x; y)
∂y 2
Die erhaltenen Funktionen heissen zweite partielle Ableitungen von f .
Entsprechend sind höhere partielle Ableitungen definiert.
Satz von Schwarz
Hat eine Funktion f von mehreren Variablen partielle Ableitungen von k-ter Ordnung und
sind diese alle stetig, so ist bei den partiellen Ableitungen bis und mit k-ter Ordnung die
Reihenfolge der Differentiationen vertauschbar.
3.2.2 Tangentialebene, Gradient und Richtungsableitung
Wir betrachten eine Funktion f in zwei Variablen. Im Flächenpunkt P = (x 0 , y 0 , z 0 ) errichten
wir die Tangentialebene an den Graphen von f . Sie enthält sämtliche in P an den Graphen von
f angelegten Tangenten.
Die Tangentialebene ist die punktuelle Näherung vom Graph von f (x, y) im Punkt P =
(x 0 , y 0 , z 0 ). Die Funktionsgleichung für die Tangentialebene lautet:
z = f x (x 0 , y 0 ) · (x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 ) · (y − y 0 ) + z 0 .
Steigung in der Richtung eines Vektors ⃗
a
Wir erhalten für die Steigung von P = (x 0 , y 0 , z 0 ) nach Q = (xQ , yQ , zQ ):
µ
¶ µ
¶
a 1 · f x (x 0 , y 0 ) + a 2 · f y (x 0 , y 0 )
Höhendifferenz
a1
xQ − x 0
=
mit ⃗
a=
=
q
a2
yQ − y 0
horizontale Distanz
a 12 + a 22
Vektor in Richtung der Höhenlinie
Steigung, wenn wir von P aus in Richtung der Höhenlinie gehen ist 0.
a 1 · f x (x 0 , y 0 ) + a 2 · f y (x 0 , y 0 )
0=
q
a 12 + a 22
⇔
T
0 = a 1 · f x (x 0 , y 0 ) + a 2 · f y (x 0 , y 0 ) = ⃗
a ·
µ
f x (x 0 , y 0 )
f y (x 0 , y 0 )
¶
18
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Daraus folgt der Richtungsvektor:
¶
µ
− f y (x 0 , y 0 )
⃗
a=
f x (x 0 , y 0 )
bzw.
⃗
a=
f x (x 0 , y 0 )
f y (x 0 , y 0 )
¶
µ
f y (x 0 , y 0 )
− f x (x 0 , y 0 )
¶
Vektor senkrecht zur Höhenlinie
Senkrecht zur Höhenlinie steht der Vektor
⃗
b=
µ
Die Steigung in Richtung ⃗
b ist betragsmässig am grössten. Dieser spezielle Vektor, welcher
angibt, in welcher Richtung es von einem bestimmten Punkt aus am steilsten ist, heisst Gradient.
Definition
Gegeben ist eine partiell differenzierbare Funktion: f : D → R in 2 Variablen.
Dann ist der Gradient von f gegeben durch den Vektor
Ã
!
µ
¶
∂
f
(x;
y)
x
∂x
⃗
∇ f (x; y) = grad f (x; y) =
(⃗
∇=
heisst „Nabla-Operator“)
∂
f y (x; y)
∂y
Der Gradient einer Funktion in drei oder mehr Variablen wird analog definiert.
Eigenschaften des Gradienten
(1) ⃗
∇ f (x 0 ; y 0 ) steht senkrecht auf der Höhenlinie von f durch P ′ = (x 0 ; y 0 ).
(2) Er zeigt in die Richtung, in der der Graph von f an diese Stelle am steilsten ist.
(3) Die zugehörige maximale Steigung ist durch den Betrag des Gradienten gegeben.
Der Gradient befindet sich (wie auch die Höhenlinien) im Definitionsbereich der Funktion
(d.h. „auf der Karte“, nicht „in der Landschaft“).
(a) Graph der Funktion f
(b) Höhenlinien und Gradienten von f
© Christophe Finot
Die Richtungsableitung
Die Richtungsableitung gibt Antwort auf die Frage: Wie gross ist die Steigung in einer vorgegebenen Richtung? Oder anders ausgedrückt: Wie ändert sich der zugehörige Funktionswert,
wenn man sich von einem Punkt P ′ = (x 0 ; y) aus in der Richtung eines Vektors ⃗
a bewegt? Dabei
befinden sich sowohl der Punkt P ′ als auch der Vektor ⃗
a im Definitionsbereich der Funktion
(„auf der Karte“, nicht „in der Landschaft “).
3.2. PARTIELLE DIFFERENTATION
19
Definition
Gegeben sind die Funktion f in n Variablen und ein Vektor ⃗
a ∈ R′′ (also im Definitionsbereich von f ).
Dann ist die Richtungsableitung von f in der Richtung des Vektors ⃗
a ̸=⃗0 definiert durch:
1
∂f
=
· (⃗
∇f )·⃗
a
∂⃗
a |⃗
a|
Bemerkung
Die Richtungsableitung ist eine skalare Grösse. Sie gibt an, um wie viel sich der Funktionswert
von. f pro Längeneinheit ändert, wenn man von P aus in Richtung von ⃗
a geht.
Definition
d z = f x (x 0 ; y 0 ) · d x + f y (x 0 ; y 0 ) · d y heisst totales Differential der Funktion f (x; y).
Es beschreibt die Änderung des Funktionswerts z auf der im Berührungspunkt P = (x 0 ; y 0 ; z 0 )
erreichten Tangentialebene an den Graphen von f .
Grundsätzlich gilt bei ∆x = d x und ∆y = d y, dass ∆z ̸= d z ist. Aber bei kleinen Verschiebungen d x und d y gilt näherungsweiese:
∆z ≈ d z = f x (x 0 ; y 0 ) · d x + f y (x 0 ; y 0 ) · d y
Wir können also in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P die Funktion f (x; y) durch
das totale Differential annähern Linearisierung der Funktion f
f (x, y) ≈ f (x 0 ; y 0 )+ f x (x 0 ; y 0 )·(x − x 0 )+ f y (x 0 ; y 0 )·(y − y 0 ) = f (x 0 ; y 0 )+⃗
∇ f (x 0 ; y 0 )·
µ
x − x0
y − y0
¶
für x und y in der Nähe von x 0 bzw. y 0 .
3.2.3 Relative Extremwerte
Definition
1. Die Funktion z = f (x, y) mit Definitionsbereich D ⊂ R2 hat an der Stelle (x 0 , y 0 ) ein
relatives (lokales) Maximum z 0 = f (x 0 , y 0 ), wenn für alle Punkte (x, y) in einer gewissen Umgebung U von (x 0 , y 0 ) gilt:
f (x, y) ≤ z 0 = f (x 0 , y 0 )
2. Die Funktion z = f (x, y) mit Definitionsbereich D ⊂ R2 hat an der Stelle (x 0 , y 0 ) ein
absolutes (globales) Maximum z 0 = f (x 0 , y 0 ), wenn für alle Punkte (x, y) ∈ D gilt:
f (x, y) ≤ z 0 = f (x 0 , y 0 )
Analog werden das relative und absolute Minimum definiert.
3. Ein Punkt (x 0 , y 0 ) heisst Sattelpunkt, wenn der Graph von f an der Stelle (x 0 , y 0 ) eine horizontale Tangentialebene besitzt und wenn in jeder Umgebung von (x 0 , y 0 )
sowohl Punkte (x, y) mit f (x, y) > f (x 0 , y 0 ) als auch solche mit f (x, y) < f (x 0 , y 0 ) liegen.
20
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Definition
Sei z = f (x, y) eine zweimal differenzierbare Funktion f (x, y) mit Definitionsbereich D ⊂
R2 , sowie (x 0 , y 0 ) ∈ D. Falls
½
f x (x 0 , y 0 ) = 0
f y (x 0 , y 0 ) = 0
gilt, heisst (x 0 , y 0 ) ein kritischer Punkt von f .
Extrema können zudem am Rand des Definitionsbereichs D liegen.
Notwendige Bedingung für ein relatives Extremum
Jede Extremalstelle (x 0 , y 0 ) einer differenzierbaren Funktion f (x, y) mit Definitionsbereich D ⊂ R2 liegt in einer der folgenden Punktmengen:
1. Menge der kritschen Punkte von D.
2. Menge der Randpunkte von D.
Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum
Eine Funktion z = f (x, y) besitzt an der Stelle (x 0 , y 0 ) mit Sicherheit ein relatives Extremum, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(1) f x (x 0 , y 0 ) = 0 und f y (x 0 , y 0 ) = 0
(2) ∆ = f xx (x 0 , y 0 ) · f y y (x 0 , y 0 ) − f x2y (x 0 , y 0 ) > 0
Ist ausserdem f xx (x 0 , y 0 ) < 0, so liegt ein relatives Maximum vor;
gilt hingegen f xx (x 0 , y 0 ) > 0, so handelt es sich um ein relatives Minimum.
Gilt ∆ < 0, so liegt ein Sattelpunkt vor.
Gilt ∆ = 0, so ermöglicht dieses Kriterium keine Entscheidung darüber, ob an der Stelle (x 0 ; y 0 )
ein relatives Extremum vorliegt.
3.3 Mehrfachintegrale
3.3.1 Definition des Doppelintegrals
Definition
Beim Grenzübergang n → ∞ (und somit ∆A k → 0) strebt diese Summe gegen einen Grenzwert, der als 2-dimensionales Bereichsintegral von f (x; y) über (A) oder kurz als Doppelintegral bezeichnet wird:
Ï
f (x; y)d A = lim
n→∞
(A)
n
X
k=1
f (x k ; y k ) · ∆A k
Der Einfachheit halber ist für die beiden folgenden Fälle nur der Bereich ( A) in der xy -Ebene
dargestellt; das Doppelintegral entspricht aber immer noch dem Volumen der Säule über dem
Bereich ( A) , die oben vom Graphen von f ( x; y ) begrenzt ist.
eines Doppelintegrals
3.3. MEHRFACHINTEGRALE
21
Fall 2: Der Bereich ( A) hat eine variable Unter- und Obergrenze.
d x d Koordinaten
b, fu ( x)des
d yDoppelintegrals
d f o ( x)
Es 3.3.2
gilt: a Berechnung
al in kartesischen
Doppelintegral in kartesischen Koordinaten
Wieder integrieren wir zunächst nach y und
In
kartesischen
Koordinaten
lässt sich
das schreiben
Flächenelementals
d A schreiben
dabei
(inneres Integral),
dann
dA
aten lässthalten
sich
dasx fest
Flächenelement
als d x · dwir
y bzw.
d yx· d(äusseres
x.
integrieren
nach
Integral):
³ ³
dx
V Bereich (A)f ist
( x;ein
y ) dy
dx
Fall 1: Der
Rechteck.
x
a
y
f
x
(
)
Es gilt: a ≤ x ≤ b, c u≤ y ≤ d .
Zb Zd
) ist ein Rechteck.
d d . Beispiel
dA
d A = dx dy = dy dx
fo ( x )
b
dy
V=
a
f (x; y)d yd x
b
x=a y=c
fo ( xeine
) x variable
a Fall
0 , 2:
b Der
1 , Bereich
fu ( x) x(A)
x yoder Obergrenze.
, hat
, f ( x; y )Unter2
Es gilt: a ≤ x ≤ b, f u (x) ≤ y ≤ f 0 (x), d.h. y ist
est und von
x abhängig.
c bis d Wir
: müssen also das folgende Doppelintegral berechnen: ³ ³ ( x y) dy dx
1
x
x 0 y x2
Wieder integrieren wir zunächst nach y und
x
halten dabei x x fest (inneres ªIntegral),
y 2 º dann 2 x 2
x4
( x x y(äusseres
) dy « xyIntegral):
x x3 »
Inneres
Integral:
integrieren
wir nach
2 ¼ y x2
2
2
¬
Zy bx2 fZ0 (x)
1
1
4
V=
§ 3 f2 (x; y)d
·x
ª x3 x 4 x5 º
xyd
3
³
) dy
ht der
Äusseres Integral: ³ ¨ ˜ x x ¸ dx
x=a y= f u2(x)
2¹
x 0©
1 1 1
2 4 10
« 2 4 10 »
¬
¼x 0
3
20
Querschnittsfläche
Fall 3: Der Bereich (A) hat eine variable rechte und eine variable linke Grenze
Fall
Der
hat aeine
Es3:
gilt:
g 1Bereich
(y) ≤ x ≤( A
g)2 (y),
≤ yvariable
≤ b, d.h.rechte
x ist und eine variable linke Grenze
das Volumen
Es von
gilt:y gabhängig.
1 ( y ) d x d g 2 ( y ), a d y d b
b
Diesmal müssen wir zuerst nach x integrieDiesmal
ren: müssen wir zuerst nach x integrieren:
y2)(y)
bZb g 2 (gZ
VV =
f (fx(x;
; y )y)d
dx xd
dy y
e diese unendlich
³ ³
y a x g1 ( y )
; y ) dy dx
3,
y=a x=g 1 (y)
a
Allgemeine Regel
Allgemeine Regel
Zunächst wird über die Variable mit veränderlichen Grenzen, dann über die Variable mit festen
Zunächst wird über die Variablen mit veränderlichen Grenzen, dann über die Variablen
Grenzen integriert. Haben beide Variablen feste Grenzen, so kann die Integrationsreihenfolge
mit festen Grenzen integriert. Haben beide Variablen feste Grenzen, so kann die Integraf ( x;freiy )gewählt
x ˜ werden.
y
tionsreihenfolge frei gewählt werden.
Aufgaben 10.2-4
Doppelintegral in Polarkoordinaten
4
3
Î
y dy
dx
gende Doppelintegral
berechnen:
InesIn
Stassen
96
vielenBöhlen,
Fällen23.10.2020
vereinfacht
sich die Berechnung
Doppelintegrals
f (x; y)d A erheblich,
³ ³ x ˜eines
hritten:
(A)
x 2y 1
wenn man statt der kartesischen Koordinaten x, y die Polarkoordinaten y, φ verwendet.
Zwischen kartesischen und Polarkoordinaten besteht der folgende Zusammenhang:
Zwischen kartesischen und Polarkoordinaten besteht der folgende Zusammenhang:
Transformationsgleichungen
22
x
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
r ˜ cos(M )
y r ˜ sin(M )
Transformationsgleichungen
x = r · cos(ϕ)
(r t 0, 0 d M 2S )
y = r · sin(ϕ)
Analysis 3 für EU- und MT-Studierende XXM6.AN3
für ≥ 0 und 0 ≤ ϕ <
2π Kurve lautet in Polarkoordinatendarstellung r
Die Funktionsgleichung
einer
r (M ) .
Die Funktionsgleichung der Kurve lautet in Polarkoordinatendarstellung r = r (ϕ).
Beispiel
Der Integrationsbereich bei Doppelintegralen Das Flächenelement dA bei DoppelinteBerechnen
Sie
in Integrationsbereich
Polarkoordinatendarstellung
sieht so aus:
gralen
in Polarkoordinatendarstellung
sieht
Der
bei Doppelintegralen
Das
Flächenelement
d A bei Doppelintegralen
so Polarkoordinatendarstellung
aus:
in Polarkoordinatendarstellung
sieht so aus:
³³ x ˜ y dA sieht so aus: in
( A)
y
M M2
für den skizzierten Bereich ( A) .
r ra (M )
x˜ y
Zu integrierende Funktion durch r und M ausdrücken:
(A)
Integrationsgrenzen bestimmen: 0 d r d 2, M 0 dM1M d S / 4
r ri (M )
Integral in Polarkoordinaten: ³³ x ˜ y dA
r 2 ˜ sin(M ) ˜ cos(M )
S /4 2
³ ³ r ˜ sin(M ) ˜ cos(M ) dr dM
M
3
0r 0
( A)
x
2
Inneres Integral: ³ r ˜ sin(M ) ˜ cos(M ) dr
3
Entsprechendr lässt
sich das Flächenelement d A in Polarkoordinaten so ausdrücken:
0
dA in Polarkoordinaten so ausdrücken:
Entsprechend lässt sich das Flächenelement
2
ª r4
º d A = r · dϕdr
2 ˜ sin(2M )
« 4 ˜ sin(M ) ˜ cos(M ) » 4 ˜ sin(M ) ˜ cos(M )
¬
¼
dA
r
˜
d
M
˜
dr
0
Der Faktor r spiegelt folgende Tatsache wider: Bei gleichem Öffnungswinkel d ϕ sind FlächenS /4
1/ 2
elemente in grösserer Entfernung vom Ursprung grösser. 2 1/ 2
1
Äusseres Integral: ³ 4 ˜ sin(M ) ˜ cos(M ) dM 4 ˜ ³ z dz ª¬ 2 z º¼
0
r
dM sind
spiegelt
folgende
Tatsache
wider:
Bei
gleichem
Öffnungswinkel
Der
Faktor
M
0
0
Für das Doppelintegral gilt also:
FlächenelementeÏin grösserer Entfernung
Ursprung grösser.
Zϕa rZa (ϕ)vom
dz ¡
¢dz
Substitution:
z
sin(
M
),
cos(
M ), r d· sin(ϕ)
M
10.5-8
f (x; y) d A =
f
r
·
cos(ϕ),
· rM·)d r dAufgaben
ϕ
dM
cos(
Für das Doppelintegral gilt also:
ϕ=ϕi r =r i (ϕ)
(A)
r (M )
M Integral
Beachte:
Das innere
ist immer über r zu bilden, da r = r (ϕ) gilt.
3.3.3
Anwendungen
des Doppelintegrals
³³ f ( x; y) dA
( A)
2
a
³ ³
f (r ˜ cos(M ); r ˜ sin(M )) ˜ r dr dM
M M1 r ri (M )
3.3.3 Flächeninhalt
Anwendungen des Doppelintegrals
3.3.3.1
DerFlächeninhalt
Flächeninhalt A eines Bereiches ( A) lässt sich
durch die Summe von kleinen Flächenstücken 'Ak
InesFlächeninhalt
Stassen Böhlen, 23.10.2020
Der
A eines Bereiches (A) lässt
annähern:
sich berechnen durch: n
'AÏ
Ï A|
k
k 1
A=
(A)1 d A =
(A) d A
¦
'A1
'A2
'A3
'A4
97
'A5
Um den genauen Wert von A zu erhalten, machen
wir den Grenzübergang n o f :
'A6
'A7
'A8
'A10
'A11
'A12
'A9
n
In kartesischen Koordinaten gilt: d A = d xd y bzw.
d yd x, in Polarkoordinaten gilt: d A = r d r d ϕ.
A lim ¦ 'Ak
n of
k 1
Somit haben wir für den Flächeninhalt A folgende Formel:
˜ M 2sin(M ) »¼ (Nr. 229)
2 «¬
2
2
0
S 3S
S
2
2
Hinweis: Skizze ist x/y-Koord.system, nicht r/ij!
3.3. MEHRFACHINTEGRALE
Aufgabe 11.2
23
Schwerpunkt ebener Bereiche
3.3.3.2 Schwerpunkt ebener Bereiche 25 min
Repetition:
Wenn sich ein
der Abstand
Masse m rimvon
Abstand
Wenn sich
ein Massenpunkt
derMassenpunkt
Masse m im
einerr
von
einer
senkrechten
Bezugsachse
befindet,
so
erzeugt
die
senkrechten Bezugsachse befindet, so erzeugt die Gewichtskraft
G mg ein
statisches
Gewichtskraft
G = mg ein
statisches Moment
vom
BetragMoment vom Betrag
Bezugsachse
M rG rmg
M = r G = r mg
Bei einem flächenhaften Körper mit konstanter Dicke h und
konstanter Dichte U , z.B. einer dünnen Scheibe oder Platte ist die
r
m
G = mg
Bei einem
flächenhaften Körper mit konstanter Dicke h und konstanter Dichte ρ, z.B. einer
Ines Stassen Böhlen, 23.10.2020
99
dünnen Scheibe oder Platte ist die Masse aber über einen Bereich (A) verteilt, d.h. der Abstand
zur Bezugsachse ist nicht konstant. Der Schwerpunkt eines Körpers ist derjenige Punkt, für
den gilt: Wäre die gesamte Masse des Körpers in diesem Punkt konzentriert, würde sie ein
gleich grosses statisches Moment M erzeugen wie der reale Körper.
Wir erhalten die folgenden Formeln für die Schwerpunktskoordinaten:
1
xs =
A
Ï
x dA
und
(A)
1
ys =
A
Ï
y dA
(A)
Flächenträgheitsmomente
Die Flächenträgheitsmomente sind ein Mass für die Biege- bzw. Torsionsfestigkeit von gegebenen Querschnitten; sie treten im Zusammenhang mit Biegerproblemen bei Balken und Trägern auf.
Definition
Die axialen Flächenträgheitsmomente I x bzgl. der x-Achse und I y bzgl. der y-Achse sind
gegeben durch:
Ï
Ï
y 2d A
Ix =
und
x 2d A
Iy =
(A)
(A)
Das polare Flächenträgheitsmoment I p bzgl. dem Ursprung ist gegeben durch:
Ï
Ï
2
Ip =
r dA=
(x 2 + y 2 )d A
(A)
(A)
Das polare Flächenträgheitsmoment hat als Bezugsachse die z-Achse (senkrecht zum Querschnitt durch den Ursprung).
Es gilt: I x + I y = I p .
Satz von Steiner
Gegeben ist eine Bezugsachse t parallel zu einer Bezugsachse s durch den Schwerpunkt
des Bereichs (A). Der Abstand der beiden Achsen ist d . Dann gilt:
It = Is + d 2 · A
lim ¦ f ( xk ; yk ; zk ) ˜ 'Vk
n of
k 1
wird (falls er existiert) als dreidimensionales Bereichsintegral von f ( x; y; z ) über (V ) oder
24
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
kurz als Dreifachintegral
bezeichnet.
3.3.4 Definition
des Dreifachintegrals
Schreibweise:
³³³ f ( x; y; z) dV
3.3.5
(V )
Einfache
Integrale können als Fläche unter einer Kurve, Doppelintegrale als Volumen unter
einer Fläche interpretiert werden. Für Dreifachintegrale gibt es keine solche anschauliche Interpretation.eines Dreifachintegrals
Berechnung
Definition
3.3.5.1 Dreifachintegral
der Grenzwert in kartesischen Koordinaten
Wir besprechen hier nur die Integration für eineX
nbestimmte Art von Integrationsbereichen: Wir
lim (V f) (xoben
z k ) · ∆V
unten
durch zwei Funktionen
nehmen an, dass der dreidimensionale Bereich
k ; y k ; und
k
n→∞
k=1
begrenzt ist: z zu ( x; y) („Boden“) und z zo ( x; y) („Deckel“). Die Projektion dieser beiden
wird (falls er existiert) als dreidimensionales Bereichsintegral von f (x; y; z) über (V ) oder
Begrenzungsflächen
in die xy-Ebene führt zu demselben Bereich ( A) , der durch zwei Kurven
kurz als Dreifachintegral bezeichnet.
Ð die Parallelen x a und x b berandet ist.
y fu ( x) undSchreibweise:
y f o ( x) sowie
f (x; y; z)dV
(V )
Achtung: Die Illustration zeigt den Integrationsbereich (V ) ;
Die Funktion f wird über dem Volumen (V ) nach dV integriert.
um den Graphen von f ( x; y; z ) und das entsprechende
Integral darzustellen,
bräuchten
wirDreifachintegrals
noch eine 4.
3.3.5 Berechnung
eines
Dimension…
Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten
Dieser Integrationsbereich wird also durch folgende
Thematisiert
wurde nur die Integration für eine bestimmUngleichungen
beschrieben:
te Art von Integrationsbereichen: Wir nehmen an, dass
a d x d b der dreidimensionale Bereich (V ) oben und unten durch
zwei Funktionen begrenzt ist: z = z (x; y) („Boden“) und
fu ( x) d y d zf o=( xz) (x; y) („Deckel“). Dir Projektion udieser beiden Begreno
zu ( x; y) d z dzungsflächen
zo ( x; y) in die x y-Ebene führt zu demselben Bereich
(A), der durch zwei Kurven y = f u (x) und y = f o (x) sowie die
Parallelen x = a und x = b berandet ist.
Das Volumenelement dV besitzt in der kartesischen Darstellung die Form
Das Volumen dV besitzt in der kartesischen Darstellung die Form eines
eines Quaders
mit den infinitesimal kleinen Seitenlängen dx, dy und dz . Es
Quaders mit den infinitesimal kleinen Seitenlängen d x, d y und d z. Es gilt
gilt also: also:
dV˜ dy
= d˜ dz
x ·dy ·dz
dV dx
Ein Dreifachintegral
Ð
dz
dV
dy
dx
f (x; y; z)dV über dem oben beschriebenen Bereich (V ) lässt sich so
; z)) dV über dem oben beschriebenen Bereich (V ) lässt sich so
Ein Dreifachintegral ³³³ f ( x; y(V
schreiben:
(V )
schreiben:
Zb
Ñ
fZo (x)
f (x; y; z)dV =
b
z oZ(x;y)
fo ( x )
zo ( x ; y )
x=a y= f u (x) z=z u (x;y)
f (x; y; z)d zd yd x
³³³ f ( x; y; z) dV ³ ³ ³ f ( x; y; z) dz dy dx
Dabei wird wie bei den Doppelintegralen von innen nach aussen integriert.
(V )
(V )
x a y fu ( x ) z zu ( x ; y )
Sind die Integrationsgrenzen konstant, so kann die Integrationsreihenfolge geändert werden.
Dabei wird wie bei den Doppelintegralen von innen nach aussen integriert.
Dreifachintegral in Zylinderkoordinaten
Sind die Integrationsgrenzen konstant, so kann die Integrationsreihenfolge geändert werden.
In physikalischen Anwendungen treten häufig Körper mit Rotationssymmetrie auf. Zu ihrer
Beschreibung verwendet man mit Vorteil Zylinderkoordinaten.
Ines Stassen Böhlen, 23.10.2020
105
3.3. MEHRFACHINTEGRALE
25
r ,ϕ: Polarkoordinaten des Projektionspunktes P ′ in der x y-Ebene
z: Höhenkoordinate; entspricht der kartesischen z-Koordinate
Transformationsgleichungen
x = r · cos(ϕ)
y = r · sin(ϕ)
z=z
(r ≥ 0,
0 ≤ ϕ < 2π)
Das Volumenelement dV in Zylinderkoordinaten
wird so ausgedrückt:
dV = r · d r d ϕ d z
Die Mantelfläche eines Rotationskörpers entsteht durch Rotation einer Kurve z = f (x) um die
z-Achse. In Zylinderkoordinaten lässt sich eine solche Rotationsoberfläche besonders einfach
beschreiben:
Man erhält die Gleichung der Rotationsfläche aus der Kurvengleichung, indem man x durch
die Zylinderkoordinate r ersetzt.
3.3.6 Anwendungen des Dreifachintegrals
Volumen und Masse eines Körpers
Das Volumen V eines räumlichen Bereichs (V ) lässt sich durch eine Summe von kleinen Volumenelementen ∆Vk annähern:
n
X
V≈
∆Vk
k=1
Um den genauen Wert von V zu erhalten, machen wir den Grenzübergang n → ∞:
V = lim
n→∞
n
X
∆Vk
k=1
Somit haben wir für das Volumen V folgende Formel:
Ñ
V=
Ñ
1 dV =
(V )
dV
(V )
In kartesischen Koordinaten gilt: dV = d xd yd z, in Zylinderkoordinaten gilt: dV = r d zd r d ϕ.
26
KAPITEL 3. DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
Um die Masse eines Körpers zu bestimmen, müssen wir die Volumenelemente mit der Dichte
ϱ(x; y; z) multiplizieren. Wir rechnen also:
n
X
m = lim
n→∞
ϱ(x k ; y k ; z k ) · ∆Vk
k=1
und erhalten für die Masse m folgende Formel:
Ñ
ϱ(x, y, z) dV
m=
(V )
Schwerpunkt eines Körpers
Analog zum Fall eines flächenhaften Körpers sind die Schwerpunktskoordinaten eines homogenen Körpers gegeben durch:
1
xs = ·
V
1
ys = ·
V
Ñ
xdV,
(V )
Ñ
ydV,
(V )
1
zs = ·
V
Ñ
zdV
(V )
Massenträgheitsmomente
Das Massenträgheistmoment J spielt bei der Rotationsbewegung dieselbe Rolle wie die Masse
m bei der linearen Bewegung (vgl. AN2).
Das Massenträgheitsmoment J eines räumlichen Bereichs (V ) lässt sich durch die Summe der
Beiträge ∆J k von kleinen Volumenelementen ∆Vk annähern:
J≈
n
X
n
X
∆J k =
k=1
k=1
2
r Ak
· ϱ · ∆Vk
(r Ak ist der Abstand des Volumenelements ∆Vk zu der Bezugsachse).
Um den genauen Wert von J zu erhalten, machen wir den Grenzübergang n → ∞:
J = lim
n
X
n→∞
k=1
2
r Ak
· ϱ∆Vk
und erhalten folgende Formel für das Massenträgheitsmoment:
Ñ
J=
(V )
ϱ · r A2 dV
Kapitel 4
Vektoranalysis
4.1 Vektorfelder
4.1.1 Einführung
Der zentrale Begriff in der Vektoranalysis ist der des Feldes. Diese Bezeichnung stammt ursprünglich aus der Physik und bezeichnet eine ortsabhängige Grösse. Im Fall des Vektorfeldes sind es Vektoren, die vom Ort abhängen. Ein Vektorfeld lässt sich durch ein sogenanntes
Richtungsfeld darstellen. Die Länge und die Richtung der Vektoren können sich von Punkt zu
Punkt ändern.
Definition
Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt eines ebenen oder räumlichen Bereichs in eindeutiger
Weise einen Vektor zu.
Ein ebenes Vektorfeld ist also einfach eine Funktion von R2 → R2 ,
ein räumliches Vektorfeld eine Funktion von R3 → R3 (bzw. Teilmengen davon).
27
28
KAPITEL 4. VEKTORANALYSIS
Notation
⃗ (x, y)
F
Ebenes Vektorfeld:
µ
=
F 1 (x, y)
F 2 (x, y)
¶


F 1 (x, y, z)
⃗ (x, y, z) =  F 2 (x, y, z) 
F
F 3 (x, y, z)
Räumliches Vektorfeld:
Definition
Eine Funktion Rn → R (wie im Kapitel 3 besprochen) wird in diesem Zusammenhang auch
als Skalarfeld bezeichnet.
4.1.2 Feldlinien
Eine andere Art, ein Vektorfeld anschaulich darzustellen, ist
das Zeichnen von Feldlinien. Eine Feldlinie ist eine Kurve


µ
¶
x(t )
x(t )
⃗
⃗
r (t ) =
bzw.
r (t ) =  y(t ) 
y(t )
z(t )
mit folgender Eigenschaft:
⃗ (P ) tangential zu
In jedem Punkt P ist der dortige Feldvektor F
den Feldlinien.
Feldlinien haben folgende Eigenschaften:
• Durch jeden Punkt des Vektorfeldes geht genau eine Feldlinie.
• Feldlinien schneiden sich nie.
Mathematische Beschreibung der Feldlinie
Der Tangentialvektor an die Feldlinie⃗
r (t ) ist gegeben durch ⃗
r˙(t ) =
µ
ẋ(t )
ẏ(t )
¶

ẋ(t )
bzw. ⃗
r˙(t ) =  ẏ(t ) .
ż(t )

⃗ (p) parallel dazu. Es gilt also:
Nach Definitiion verläuft der Feldvektor F
2-dimensionaler Fall:
⃗ ,⃗
det(F
r˙) = 0 oder
3-dimensionaler Fall:
⃗ ×⃗
F
r˙ =⃗0 oder
µ
dx
Bemerkung: d⃗
r =
dy
ziert.
¶
⃗ , d⃗
det(F
r)=0
⃗ × d⃗
F
r =⃗0
d⃗
r
erhält man, indem man ⃗
r˙(t ) =
=
dt
Ã
dx
dt
dy
dt
!
formal mit d t multipli-
4.2 Differentialoperatoren
Viele Betrachtungen und Rechnungen vereinfachen sich erheblich, wenn man die Mittel der
Differentialrechnung zur Verfügung hat. Entsprechend nehmen wir an, dass die Skalar- und
4.2. DIFFERENTIALOPERATOREN
29
Vektorfelder immer hinreichend oft differenzierbar sind.
Wir konzentrieren uns im Folgenden auf den dreiminensionalen Fall.
⃗ als Funktion R3 → R3 auffassen, so wird
Wenn wir ein Vektorfeld F
seine Ableitung durch die neun unabhängigen Grössen
∂F i
,
∂x
∂F i
,
∂y
∂F i
∂z
mit i = 1, 2, 3
Der
Nabla-Operator
⃗
∇
ist definiert
durch
charakterisiert. Tatsächlich erhält man aber oft bereits viel Information, indem man nur bestimmte Kombinationen einiger dieser partiellen Ableitungen betrachtet. Um dafür eine einfache Notation zur Verfügung zu haben, führt man bestimmte Differentialoperatoren ein.
Praktisch für das Aufschreiben dieser Differentialoperatoren ist der
Nabla-Operator (s. rechts).


⃗
∇=

∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z




4.2.1 Der Gradient
Wir kennen den Gradienten grad f = ⃗
∇ f schon aus Abschnitt 3.2.2, hier wird f als „Skalar“
aufgefasst und entsprechend jede Komponente des „Vektors“ ⃗
∇ mit f „multipliziert“.


⃗
∇f = 

∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z




· f = 


∂
·f
∂x
∂
·f
∂y
∂
∂z · f


 
=
 

∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z





Der Gradient grad f = ⃗
∇ f des Skalarfeldes f ist ein Vektorfeld.
Dieses Vektorfeld gibt in jedem Punkt die Richtung des steilsten Anstiegs an.
Definition
⃗ , das sich als Gradient eines Skalarfeldes f darstellen lässt (grad f = F
⃗ ),
Ein Vektorfeld F
heisst Potentialfeld, Gradientenfeld oder konservativ. Das entsprechende Skalarfeld f
⃗ genannt.
wird Potential von F
Das Potential kann durch Integration der einzelnen Komponenten des Vektorfeldes bestimmt
werden.
Die Verwendung von Potentialen ist eines der Schlüsselkonzepte in den Naturwissenschaf⃗ aus einem Potential
ten. Insbesondere in der Physik leitet man, wenn möglich, gerne Kräfte F
⃗ = −grad f ab. Ist das für eine spezielle Kraft möglich, so nennt man diese konservativ. Der
F
Ausdruck “konservativ„ kommt daher, dass eine derartige Kraft entlang eines geschlossenen
Weges keine Arbeit leistet. Die Energie eines (ruhenden) Körpers hängt nur von seiner Position ab, nicht von der Weise, wie er dorthin gekommen ist. Die Energie bleibt in diesem Fall
erhalten, wird „konserviert“.
30
KAPITEL 4. VEKTORANALYSIS
4.2.2 Die Divergenz
Der Begriff der Divergenz eines Vektorfeldes lässt sich am Modell einer strömenden Flüssigkeit
veranschaulichen. Die Strömung wird durch das Geschwindigkeitsfeld

v 1 (x, y, z)
⃗
v (x, y, z) =  v 2 (x, y, z) 
v 3 (x, y, z)

beschrieben. In diese Strömung bringen wir einen kleinen Quader mit Kanten der Längen ∆x,
∆y und ∆z parallel zu den Koordinatenachsen. Dabei sind die Quaderflächen für die Flüssigkeit völlig durchlässig (Drahtmodell).
Zunächst interessieren wir uns für den Flüssigkeitsstrom durch die beiden zur xz-Ebene
parallelen Quaderflächen. Beiträge dazu kommen ausschliesslich durch die y-Komponente
des Geschwindigkeitsfeldes ⃗
v zustande.
Analoge Beiträge ergeben sich für die x- und die z-Richtung.
Durch Addition der einzelnen Beiträge in x-, y- und z-Richtung ergibt sich der „Volumengewinn“ an Flüssigkeit pro Volumen- und Zeiteinheit:
∂v 1 ∂v 2 ∂v 3
+
+
= div⃗
v
∂x
∂y
∂z
Diese skalare Grösse nennt man Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes ⃗
v und bezeichnet sie
mit div⃗
v.
Im Volumenelement dV wird somit pro Zeiteinheit das Flüssigkeitsvolumen div⃗
v · dV „erzeugt“ oder „vernichtet“. In unserem Flüssigkeitsmodell können wir div⃗
v folgendermassen
anschaulich deuten:
div⃗
v > 0:
Es tritt mehr Flüssigkeit aus als ein. Im Volumenelement dV befindet sich eine
Quelle, in der Flüssigkeit „erzeugt“ wird.
div⃗
v < 0:
Es tritt mehr Flüssigkeit ein als aus. Im Volumenelement dV befindet sich eine
Senke, in der Flüssigkeit „vernichtet“ wird.
div⃗
v = 0:
Es tritt gleich viel Flüssigkeit aus wie ein. Das Strömungsfeld ist hier quellenfrei.
Formal kann die Divergenz als Skalarprodukt des Nabla-Operators und des Vektorfeldes aufgefasst werden. Entsprechend kommen wir zu folgender allgemeinen Definition:
Defintion
⃗ ist das Skalarfeld
Die Divergenz eines Vektorfeldes F
⃗ =⃗
⃗=
divF
∇·F
∂F 1 ∂F 2
+
im R2
∂x
∂y
bzw.
⃗ =⃗
⃗=
divF
∇·F
∂F 1 ∂F 2 ∂F 3
+
+
im R3 .
∂x
∂y
∂z
⃗ = 0 gilt.
Das Vektorfeld heisst in einem Bereich quellenfrei, wenn dort überall divF
Es gilt also: Die Divergenz ist ein Mass für die Quelldichte eines Vektorfeldes.
! ! ! ¶F ¶F ¶F
! ! ! ¶F ¶F
div F = Ñ × F = 1 + 2 + 3 (im R 3 ) bzw. div F = Ñ × F = 1 + 2 (im R 2 )
¶x ¶y
¶z
¶x ¶y
!
Das Vektorfeld heisst in einem Bereich quellenfrei, wenn dort überall div F = 0 gilt.
4.2. DIFFERENTIALOPERATOREN
Q für die3Quelldichte
Q
Es gilt r
also:=DieLadung
Divergenz=ist ein Mass
eines
Vektorfeldes.
Mit der Ladungsdichte
können
wir
auch schreiben:
=
!
div E =
el
Volumen
4 / 3×p R
3
4p R
31
3
Bemerkung
Bemerkung
Wird ein
Vektorfeld
Feldlinien
beginnen
! durch
Wird
ein Vektorfeld
durch
Feldliniendargestellt,
dargestellt, soso
beginnen
diese
E = und
diese ininden
„Quellen“
und
enden
in „Senken“.
den „Senken“.
Beielektrischen
einem
dendiv
„Quellen“
enden
in den
Bei einem
Feld sind
diesind
positiven
Ladungen die
Quellen und
negativen
die
elektrischen
Feld
die positiven
Ladungen
diedie
Quellen
und
Senken.
die negativen
Senken.
Im Innern der
geladenendie
Kugel
ist also jeder Punkt eine Quelle des elektrischen Feldes.
104
Ines Stassen Böhlen, 22.08.22
4.2.3 Die Rotation
4.2.3 Die Rotation
man die stationre Wasserströmung in einem
Betrachtet Betrachtet
man die stationäre
Wasserströmung in einem Kanal,
Kanal, so ist die Strömungsgeschwindigkeit in der Kaso ist die Strömungsgeschwindigkeit
in der Kanalmitte am
nalmitte am grössten, nimmt jedoch (durch Reibungsgrössten, nimmt
Reibungskräfte
zum
kräfte jedoch
bedingt)(durch
zum Ufer
hin ab. Kleine,bedingt)
in die Strömung
Ufer hin ab.gebrachte
Kleine, in
die Strömung
Kugeln
rotieren ingebrachte
Ufernähe Kugeln
in Folge rotieren
des Gein Ufernäheschwindigkeitsgefälles
in Folge des Geschwindigkeitsgefälles
um
ihre
um ihre Achsen und veranschauliAchsen undchen
veranschaulichen
diedortigen
Bewegung
der dortigen
so die Bewegungso
der
Wasserteilchen.
Diese Rotation lässt sich in durch die sogenannte Rotation des Geschwindigkeitsfeldes beWasserteilchen.
schreiben.
Die Richtung
Vektors ist durch
die Drehachse
der rotierenden Kugeln gegeDiese Rotation
lässt sich
in durchdieses
die sogenannte
„Rotation
des Geschwindigkeitsfeldes“
ben,
während
der dieses
Betrag des
Vektors
Massdie
für die
Stärke der
Flüssigkeitswirbel
dient. Dabei
beschreiben.
Die
Richtung
Vektors
istals
durch
Drehachse
der
rotierenden Kugeln
geht es immer nur um lokale Dreheigenschaften (die Rotation der kleinen Kugeln).
gegeben, während der Betrag des Vektors als Mass für die Stärke der Flüssigkeitswirbel dient.
Dabei geht esDefintion
immer nur um lokale Dreheigenschaften (die Rotation der kleinen Kugeln).
⃗ (x, y, z) ∈ R3 ist das Skalarfeld
Die Rotation eines Vektorfeldes F


∂F 3
∂F 2
−
∂z

 ∂y
Ines Stassen Böhlen, 22.08.22
 ∂F1 ∂F3  ⃗ ⃗
⃗
rotF =  ∂z − ∂x  = ∇ × F


∂F 1
∂F 2
−
∂x
∂y
105
⃗ =⃗0 gilt.
Das Vektorfeld heisst in einem Bereich wirbelfrei, wenn dort überall rotF
⃗
⃗
⃗ = rotF
⃗ , heisst
Ein Vektorfeld E , das sich als Rotation eines Vektorfeldes F darstellen lässt, E
Wirbelfeld.
Es gilt also: Die Rotation ist ein Mass für die Wirbeldichte eines Vektorfeldes.
Bemerkung
⃗ (x, y) bestimmen, so muss man dieses durch
Will man die Rotation für ein ebenes Vektorfeld F
3
Ergänzen einer z-Komponente 0 in den R „einbetten“:


F 1 (x, y)
⃗ =  F 2 (x, y) 
F
0
⃗ )3 =
Nur die z-Komponente der Rotation (rotF
∂F 2 ∂F 1
−
kann dann ungleich 0 sein.
∂x
∂y
4.2.4 Zusammengesetzte Differentialoperatoren
Wir können diese Differentialoperatoren auch kombinieren:
Skalarfeld f
Dabei gilt:
grad
−→
⃗ =⃗
Vektorfeld F
∇f
rot
−→
⃗ = rotF
⃗
Vektorfeld E
div
−→
⃗
Skalarfeld divF
Satz (ohne Beweis)
!
Umgekehrt ist jedes quellenfreie Vektorfeld F ein Wirbelfeld:
32
!
!
! KAPITEL
! 4. VEKTORANALYSIS
div F = 0 Þ Es gibt ein Vektorfeld E mit F = rot E
Satz
Umgekehrt ist in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G jedes wirbelfreie Vektorfeld
⃗ ) = 0 für jedes Vektorfeld F
⃗ , d.h. Wirbelfelder sind stets quellenfrei.
! div(rotF
F ein Potentialfeld:
rot(grad f ) =⃗0 für jedes
f , d.h. Potentialfelder sind
!
! Skalarfeld
! stets wirbelfrei.
rot F = 0 Þ Es gibt ein Skalarfeld f mit F = grad f
Definition
Definition
Ein Gebiet heisst einfach zusammenhängend,
Ein
Gebiet
einfach
zusammenhängend,
wenn
sichheisst
jede im
Gebiet
liegende geschlossene
wenn
sich
jede
im
Gebiet
liegende
Kurve auf
Kurve auf einen Punkt zusammenziehen lässt
einen
Punkt zusammenziehen lässt (wie ein
(wie ein Lasso).
Lasso).
einfach zunicht einfach zusammenhängend sammenhängend
Satz (ohne Beweis)
InStassen
einemBöhlen,
einfach
zusammenhängenden Gebiet
Ines
22.08.22
108
⃗ einAnalysis
3 für EU- und MT-Studierende XXM6.AN3
• ist jedes quellenfreie Vektorfeld E
Wirbelfeld:
⃗ =0
divE
⃗ mit E
⃗ = rotF
⃗.
⇒ Es gibt ein Vektorfeld F
⃗ ein Potentialfeld:
• ist jedes wirbelfreie Vektorfeld F
4.3 Kurvenintegrale
⃗ =⃗0
rotF
4.3.1 Parametrisierte Kurven
⃗ = grad f .
⇒ Es gibt ein Skalarfeld f mit F
In Analysis 2 4.3
habenKurvenintegrale
wir bereits die Parametrisierung von Kurven in der Ebene angeschaut.
Auch im Raum lassen sich Kurven durch sogenannte Parametrisierungen beschreiben. Am
4.3.1sich
Parametrisierte
Kurvent stehe für die Zeit. Durch
besten stellt man
vor, der Parameter
Kurven in der Ebene und im Raum lassen sich imæ Allgemeinen
durch sogenannte Parametrix(t ) ö
! Amæ besten
! sich çvor, der
x(t ) ö stellt man
sierungen beschreiben.
Parameter

 t stehe für die Zeit. Durch
r (t ) = ç
µ÷ bzw.
¶ r (t ) = y (t ) ÷
x(t
)
ç rt )(t÷) =  y(t ) 
è y (t ) ø x(t )
⃗
r (t ) =
bzw. è z (⃗
ø
y(t )
z(t )
st der Ortsvektor zum Zeitpunkt t gegeben. Und dann muss man noch angeben, von wann bis
ist der Ortsvektor zum Zeitpunkt t gegeben. Nun muss man noch angeben, von wann bis wann
wann die Zeit die
läuft:
ist die
Parametrisierung!
1 £t £
2 t–≤fertig
Zeittläuft:
t 1t≤
t 2 - fertig
ist die
Parametrisierung.
ein und
dieselbe
Kurve in verschiedenen
Geschwindigkeiten
und Richtungen durchMan kann ein Man
und kann
dieselbe
Kurve
in verschiedenen
Geschwindigkeiten
und Richtungen
laufen;
entsprechend
gibt
es
für
ein
und
dieselbe
Kurve
verschiedene
Parametrisierungen.
durchlaufen; entsprechend gibt es für ein und dieselbe Kurve verschiedene Parametrisierungen.
Hier drei Typen von Parametrisierungen, die in diesem Abschnitt verwendet werden:
Hier drei Typen
von Parametrisierungen, die wir in diesem Abschnitt verwenden werden:
Gerade Verbindungslinie zwischen zwei Punkten
Gerade Verbindungslinie zwischen zwei Punkten
Eine gerade Verbindungslinie
zwischen
zwei Punkten
P 2 sich
Eine gerade Verbindungslinie
zwischen zwei
Punkten
lässt
P1 und PP12und
lässt sich immer nach dem folgenden Schema parametrisieren:
mmer nach dem
folgenden Schema parametrisieren:
" ⃗r (t") =⃗r (P 1 ) +!!!!
t ·"P 1 P 2
mit 0 ≤ t ≤ 1
r (t ) = r ( P1 ) + t × P1P2 mit 0 £ t £ 1
Kurve, die durch eine Funktionsgleichung beschrieben wird
immer
folgenden
Schema
parametrisieren:
er
nach nach
dem dem
folgenden
Schema
parametrisieren:
" !!!!"
" r" ("t ) = r" ( P ) !!!!
t 2× P1mit
P2 mit
r (t ) =
r ( P1 ) + t1 × P+1P
0 £ t0££1t £ 1
4.3. KURVENINTEGRALE
33
Kurve,
die durch
Funktionsgleichung
beschrieben
wird
ve,
die durch
eine eine
Funktionsgleichung
beschrieben
wird
Kurve, die durch Funktionsgleichung beschrieben wird
eine Kurve
Funktionsgleichung
beschrieben
nWenn
eine Kurve
durchdurch
eine eine
Funktionsgleichung
beschrieben
ist, ist,
x gleich:
wir Parameter
den Parameter
x gleich:
t mitt mit
ensetzen
wir den
) =xt(t ) = t
Wenn eine Kurve durch eine Funktionsgleichung beschrieben ist, setzen wir den Parameter t mit x gleich:
x(t ) = t
=
y (t ) y=(t )und
y(t ) =
Wollen
wirStück
das Stück
des Graphen
von
Punkt
Punkt
P1 zum
f vom
len
wir das
des
Punkt
zum
Punkt
P1 Punkt
f vom
Wollen
wirGraphen
das Stückvon
des Graphen
von
f vom
P 1 zum
xP-Koordinate
läuft t von der
-Koordinate
von P1 bis zur
P2 parametrisieren,
Punkt
P 2so
parametrisieren,
so xläuft
t von der
1 bis zur x-Koordinate
x -Koordinate
arametrisieren,
so läuft
vonx-Koordinate
vonvon
P bis zur von
P .P2 .von P 2 .
t von der x -Koordinate
1
2
Kreis/Kreisbogen
mit Mittelpunkt
im Ursprung
Kreis/Kreisbogen
mit Mittelpunkt
im Ursprung
is/Kreisbogen mit Mittelpunkt im Ursprung
Wenn wir einen Kreis oder Kreisbogen mit Radius r und Mittelpunkt
n wir einen Kreis
oder
mit Radius
r und Mittelpunkt
wir Kreisbogen
einen wollen,
Kreis oder
Kreisbogen
Radius
im Ursprung Wenn
parametrisieren
wählen
wir ammit
besten
als r und
Ursprung parametrisieren
wollen,
wählen
wir am besten
als wählen wir
Mittelpunkt
im
Ursprung
parametrisieren
wollen,
Parameter den Winkel j , der mit der positiven x -Achse
am besten
alsmit
Parameter
den Winkel
ϕ, der mit der positimeter den Winkel
der positiven
j , der
x -Achse
eingeschlossen
(anstelle
der Zeit t ).
Dann
können
- und
venwird
x-Achse
eingeschlossen
wird
(anstelle
derwir
Zeitdie
t ). xDann
x
eschlossen
wird
(anstelle
der
Zeit
).
Dann
können
wir
die
und
t
y -Koordinaten
eineswir
Punktes
auf dem
Kreis(bogen)
aus j auf dem
können
die x- und
y-Koordinaten
einesso
Punktes
j
Koordinaten eines
Punktes
auf
dem
Kreis(bogen)
so
aus
berechnen: Kreis(bogen) so aus ϕ berechnen
chnen:
x(j ) =
j) =
x(ϕ) =
und
y(ϕ) =
y (j ) =ϕ ist durch Anfangs- und Endwinkel gegeben; für einen ganzen
Der Bereich für den Parameter
y
(
j
)
=
Kreis gilt beispielsweise: 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Der Bereich für den Parameter j ist durch Anfangs- und Endwinkel gegeben; für einen ganzen
j
Bereich
füretwa:
den
Parameter
Berechnung
0 £ j £ des
2p Kurvenintegrals
Kreis gilt
. ist durch Anfangs- und Endwinkel gegeben; für einen ganzen
£ jder
£ 2Berechnung
p.
s gilt etwa: 0Bei
des Kurvenintegrals nutzen wir aus, dass die Kurve C durch eine Parametrisierung ⃗
r (t ) beschrieben ist. Die Kurve C besteht also aus allen Punkten (x(t ), y(t ), z(t )) für
109
Ines Stassen Böhlen,
⃗ eingesetzt werden. Um das Wegt 1 ≤ t13.11.21
≤ t 2 . Folglich müssen diese Punkte in das Vektorfeld F
109
Stassen Böhlen, 13.11.21
element d⃗
r durch t auszudrücken gehen wir folgendermassen vor: Der Tangentenvektor ⃗
r˙ ist
die Ableitung von ⃗
r =⃗
r (t ) nach t :
d⃗
r
⃗
r˙ =
dt
Wir multiplizieren beide Seiten dieses Ausdrucks formal mit dem Differential d t und erhalten:


ẋ(t )
d⃗
r =⃗
r˙ d t =  ẏ(t )  d t
ż(t )
Mithilfe dieser Substitution verwandeln wir das Kurvenintegral in ein gewöhnliches Integral:
Entsprechend definieren wir für Vektorfelder im Allgemeinen (nicht nur für Kraftfelder):
Definition
⃗ (x, y, z) und eine Kurve (ein Weg) C , die durch
Gegeben sind ein räumlichen Vektorfeld F
34
KAPITEL 4. VEKTORANALYSIS
eine Parametrisierung ⃗
r (t ) mit t 1 ≤ t ≤ t 2 beschrieben ist. Dann heisst das Integral
Z
⃗ d⃗
F
r=
Zt2
⃗ (⃗
r˙(t ) d t
r (t )) · ⃗
F
t1
C
⃗ (x, y, z)
das Kurvenintegral (auch: Linienintegral oder Wegintegral) des Vektorfeldes F
längs der Kurve C .
Bemerkungen
⃗ (x, y) und eine ebe(1) Die obige Definition gilt sinngemäss auch für ein ebenes Vektorfeld F
ne Kurve ⃗
r (t ).
(2) Für ein Kurvenintegral längs einer Igeschlossenen Kurve C (gleicher Anfangs- und End⃗ d⃗
F
r.
punkt) verwenden wir das Symbol
C
(3) Die Kurve C in umgekehrter Richtung durchlaufen, bezeichnet man mit −C . Es gilt:
Z
Z
⃗
⃗ d⃗
F d⃗
r =− F
r
C
−C
(4) Ist der Endpunkt einer Kurve C 1 der Anfangspunkt einer Kurve C 2 , so kann man den
zusammengesetzten Weg C 1 +C 2 bilden, und es gilt:
Z
Z
Z
⃗
⃗
⃗ d⃗
F d⃗
r + F d⃗
r=
F
r
C1
C2
C 1 +C 2
4.3.2 Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals
Im Allgemeinen hängt der Wert eines Kurvenintegrals nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt
ab, sondern auch vom gewählten Verbindungsweg.
Satz (ohne Beweis)
⃗ : G → R3 in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G ⊆ R3 sind
Für ein Vektorfeld F
die folgenden Eigenschaften gleichwertig:
⃗ ist
Das Vektorfeld F
Z
(1) wegunabhängig: Das Integral
⃗ d⃗
⃗ selbst) nur von AnfangsF
r hängt (ausser von F
C
und Endpunkt des Weges C in G ab.
⃗ längs jedes geschlossenen Weges C ist gleich Null:
(2) konservativ: Das Integral über F
I
C
⃗ d⃗
F
r =0
(3) ein Potentialfeld: Es gibt in G ein Potential f (x, y, z) mit
(4) wirbelfrei: D.h. es gilt:
⃗ =⃗0
rotF
bzw.
∂F 1 ∂F 2
=
,
∂y
∂x
⃗ = grad f .
F
∂F 1 ∂F 3
∂F 2 ∂F 3
=
und
=
∂z
∂x
∂z
∂y
4.4. OBERFLÄCHENINTEGRALE
35
⃗ : G → R2 in einem
Diese Äquivalenz in den Eigenschaften lässt sich analog für ein Vektorfeld F
2
einfach zusammenhängenden Gebiet G ⊆ R formulieren.
Satz (ohne Beweis)
⃗ = grad f und eine Kurve C mit AnIn einem Gebiet G betrachten wir ein Potentialfeld F
fangspunkt P 1 und Endpunkt P 2 . Dann ist der Wert des Kurvenintegrals gleich der Potentialdifferenz:
Z
⃗ d⃗
F
r = f (P 2 ) − f (P 1 )
C
Möglichkeiten für die Berechnung von Kurvenintegralen:
⃗ ein Potentialfeld ist, indem wir Bedingung (4) überprüfen.
1. Wir stellen fest, ob F
2. Ist dies der Fall, so können wir
(a) die Kurve C durch eine einfachere Kurve mit gleichem Anfangs- und Endpunkt ersetzen
oder
(b) versuchen, das Potential f zu berechnen. Haben wir f bestimmt, so ist das Integral
einfach gleich der Potentialdifferenz.
4.4 Oberflächenintegrale
4.4.1 Einführung
Der Begriff des Oberflächenintegrals eines Vektorfeldes kann wiederum am Modell einer strömenden Flüssigkeit veranschaulicht werden. Die Strömung wird durch das Geschwindigkeitsfeld ⃗
ν(x, y, z) beschrieben. Das Ziel ist, den Fluss Φ durch eine durchlässige Fläche A zu bestimmen, d.h. das Volumen, das pro Zeiteinheit durch A fliesst.
Definition
⃗ (x, y, z) durch die (orientierte) Fläche A ist gegeben durch:
Der Fluss Φ des Vektorfeldes F
Ï
Ï
⃗
⃗
⃗·N
⃗ )d A
Φ=
F ·d A =
(F
(A)
(A)
⃗ ist dabei ein normierter Normalenvektor des Flächenelements d A.
N
Dieses Integral wird als Oberflächenintegral bezeichnet.
Bemerkungen
⃗ fest(1) Die Orientierung der Fläche ist durch die Richtung des Normalenvektors d ⃗
A bzw. N
gelegt. Man hat vereinbart, dass der Normalenvektor bei einer geschlossenen Fläche (z.B.
der Oberfläche einer Kugel, eines Zylinders oder eines Quaders) nach aussen zeigt.
(2) Für das Oberflächenintegral über eine geschlossene Oberfläche verwenden wir das Symbol
Ó
⃗ ·d⃗
F
A
(A)
36
KAPITEL 4. VEKTORANALYSIS
4.4.2 Berechnung von Oberflächenintegralen
Bei der Berechnung von Oberflächenintegralen geht man so vor:
1. Man wählt geeignete Koordinaten (kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten).
⃗ , berechnet das Skalarprodukt F
⃗·N
⃗ und drückt es
2. Man bestimmt den Normalenvektor N
durch zwei der gewählten Koordinaten aus.
3. Das Flächenelement d A muss ebenfalls durch die beiden Koordinaten ausgedrückt werden.
4. Dann müssen die Integrationsgrenzen für das erhaltene Doppelintegral festgelegt werden.
5. Nun wird das Doppelintegral ausgerechnet.
4.5 Integralsätze von Gauß und Stokes
In diesem Abschnitt geht es um Zusammenhänge zwischen Kurven-, Oberflächen- und Volumenintegralen. Allgemein gilt:
Integralsatz von Gauß
⃗ (x, y, z) und einen räumlichen Bereich V mit
Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F
der geschlossenen Oberfläche A gilt:
Ó
Ñ
⃗
⃗
⃗ dV
F dA=
div F
(A)
(V )
Der Integralsatz von Stokes erlaubt es, ein Kurvenintegral durch ein Oberflächenintegral zu
ersetzen und umgekehrt.
Integralsatz von Stokes
⃗ (x, y, z) und eine Fläche A, die von der geFür ein stetig differenzierbares Vektorfeld F
schlossenen Kurve C berandet wird, gilt:
I
Ï
⃗
⃗d⃗
F d⃗
r=
rotF
A
C
A
Dabei ist die Randkurve C so orientiert, dass sie mit dem Normalenvektor der Fläche eine
Rechtsschraube bildet.