Kapitel 1 - Mikroökonomische Methodik [ Exogene Variable : durch Einflüsse hervorbestimmt, die nicht im Modell diskutiert werden Endogene Variable: durch Kräfte hervorbestimmt, die im Modell beschrieben werden ] Grundprinzipien der VWL: Optimierungsprinzip der Wirtschaftssubjekte: Mitteloptimierung: mit vorgegebenen Mitteln das bestmöglichste Ergebnis erzielen Zieloptimierung: ein vorgegebenes Ziel mit möglichst minimalen Aufwand erreichen Gleichgewichtsprinzip hinsichtlich des Funktionierens des Marktes: Die Preise passen sich solange an, bis Nachgefragte Menge gleich angebotener Menge Nachfragekurve: = eine Kurve, die die nachgefragte Menge zum Preis in Beziehung setzt = wieviel die WS zu jedem Preis nachfragen [ Vorbehaltspreis / Reservationspreis eines WS = maximale Zahlungsbereitschaft = der höchste Preis der beim Kauf eines Gutes gerade noch akzeptabel ist = der Preis, bei dem das WS indifferent zwischen Kauf und Nichtkauf des Gutes ist ] Verlauf der Nachfragekurve bei begrenzter Anzahl an Nachfragern = Treppenfunktion Reservationssp reis 500 490 470 Nachfragekurve 0 1 2 Anzahl der Wohnungen 3 Verlauf der Nachfragekurve bei vielen Nachfragern = glatt, da die Stufen zwischen den Preisen bei vielen Nachfragern klein werden Reservationspreis Nachfragekurve Anzahl der Wohnungen 1 Angebotskurve: = wieviel die WS zu jedem Preis anbieten wollen Kurzfristige Angebotskurve = z.B: unabhängig vom Preis wird immer diesselbe Anzahl an Wohnungen vermietet, nämlich alle zu diesem Zeitpunkt verfügbaren Wohnungen [ Konstante Anzahl an Wohnungen = S ] Reservationsp reis Angebot S Anzahl der Wohnungen Gleichgewichtsverhalten des Marktes: Angebots- und Nachfragekurve werden in dieselbe Graphik gezeichnet; der Schnittpunkt beider Kurven ist der Gleichgewichtspreis p*, bei dem Angebots- und Nachfragemenge gleich groß sind. Reservationsp reis Angebot p* Nachfrage S 2 Anzahl der Wohnungen Komparative Statik = die Analyse der Veränderung von Gleichgewichtspreis und -menge bei Veränderung der zugrundeliegenden Bedingungen. Angebot wird erhöht Gleichgewichtspreis fällt Angebot wird gesenkt Gleichgewichtspreis steigt Reservationspreis altes neues Angebot Angebot p* alt p* neu Nachfrage S´ S Anzahl der Wohnungen Mietwohnungen werden in Eigentumswohnungen umgewandelt: Vermutung: Miete steigt aufgrund Verringerung des Angebots Aber: einige Mieter erwerben eine Eigentumswohnung, d.h. die Nachfrage nach Mietwohnungen verringert sich auch Fazit: die Auswirkungen einer Änderung einer der exogenen Variablen ist sowohl das Angebot als auch die Nachfrage zu berücksichtigen! Der alte Gleichgewichtspreis ist gleich dem neuen, wenn sich Angebot und Nachfrage im gleichen Ausmaß verschieben. Reservationspreis neues altes Angebot Angebot p Nalt Nneu S´ S Anzahl der Wohnungen Pareto-Effizienz = zur Beurteilung verschiedener Arten der Ressourcenallokation pareto-effiziente Allokation = wenn es keine andere Möglichkeit gibt, eine Person besser zu stellen, ohne irgendeine andere zu benachteiligen. pareto-ineffiziente Allokation = wenn irgendeine Möglichkeit gefunden werden kann, zumindest eine Person besser zu stellen, ohne jemand anderen zu benachteiligen 3 Kapitel 2 – Theorie des Haushaltes [ Konsumbündel X = eine vollständige, d.h. dass alle für die Konsumentscheidung relevanten Waren und Dienstleistungen enthalten sein müssen Vereinfachter Fall: es gibt nur zwei Güter: Gut 1 = x1 und Gut 2 = x2 Konsumbündel X = (x1,x2) [im Falle von mehr als zwei betrachteten Gütern schreibt man: X=(x1,x2,...,xn)] Warenkörbe/Güterbündel/Konsumpläne = graphische Darstellung aller Kombinationen dieser beiden Güter x2 X x1 Güterraum = alle Kombinationen der beiden Güter Konsummenge = der Teilraum der Gütermenge, der das Überleben des Konsumenten sicherstellt = schraffierte Fläche] 4 Präferenzrelation = Art der Bewertung unterschiedlicher Warenkörbe Notation für Präferenzrelationen: Betrachten wir einmal die beiden Güterbündel x = (x1 ,x2 ) und y = ( y1 , y2 ) im Vergleich zueinander: Wenn der Konsument das Güterbündel x =(x1 ,x2 ) dem Güterbündel y =( y1 , y2 ) gegenüber ... ... strikt bevorzugt: ( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ). ... als gleich gut bewertet / Der Konsument ist indifferent zwischen x und y: ( x1 ,x2 ) ( y1 , y2 ). ... schwach präferiert / als mindestens so gut bewertet: ( x1 ,x2 ) ( y1 , y2 ). Diese Relationen hängen wie folgt zusammen: ( x1 ,x2 ) ( y1 , y2 ) und ( y1 , y2 ) ( x1 ,x2 ) ( x1 ,x2 ) ( y1 , y2 ). Eigenschaften von Präferenzrelationen: 1. Vollständigkeit Ein Konsument kann alle Güterbündel im paarweisen Vergleich bewerten. Für alle x und y gilt: x y oder y x. Hierbei enthalten: Reflexivität: x x. Die Reflexivität erscheint zunächst irrational – dies auch begründet; allerdings kann man bei Kindern häufig noch beobachten, dass zwei Kleinkinder genau das Gleiche zum Spielen geschenkt bekommen, dem anderen seines aber trotzdem neidet, weil dieses besser sei. 2. Transitivität Für die drei Güterbündel x, y, z gilt: Wenn x y und y z dann gilt auch x z. Dies ist eine Annahme an das Rationalverhalten. Was würde man von jemanden halten, der Äpfel lieber mag als Birnen, Birnen lieber als Orangen, aber Orangen lieber als Äpfel, also intransitive Präferenzen hätte? In diesem Fall gibt es kein bestes Güterbündel. 3. Monotonie Es wird angenommen, dass wir es nicht mit Schlechten zu tun haben. Ein Güterbündel, das von mindestens einem Gut mehr enthält (und von keinem anderen weniger) wird präferiert: ( x1 ,x2 ) ( y1 , y2 ). Die Monotonie führt dazu, daß die Kurven eine negative Steigung haben. x2 Bessere Güterbündel x1 ,x2 Schlechtere Güterbündel x1 5 4. Konvexität Diese Annahme besagt, daß Mischungen von Güterbündeln besser (d.h. zumindest so gut oder strikt bevorzugt ) sind als Extreme. Betrachten wir zwei indifferente Güterbündel ( = auf derselben I-Kurve ): x = (x1 ,x2 ) und y = ( y1, y2) mit (x1 ,x2 ) ( y1, y2). 1 1 1 1 €€ €€ €€ €€ €€ €€ €€ €€ Bildet man eine Mischung aus x und y, z.B.: ( 2 x1 + 2 y1, 2 x2 + 2 y2) oder allgemein für konvex: (tx1 + (1-t) y1, tx2 + (1-t) y2 ) (x1 ,x2 ) mit t [0,1] (tx1 + (1-t) y1, tx2 + (1-t) y2 ) ( y1, y2); (tx1 + (1-t) y1, tx2 + (1-t) y2 ) (x1 ,x2 ) und für streng konvex: mit t [0,1] (tx1 + (1-t) y1, tx2 + (1-t) y2 ) ( y1, y2); Konvexe Präferenzen: die Verbindungslinie zweier beliebiger Punkte liegt zur Gänze innerhalb der Menge. Konvexe Präferenzen können Flachstellen aufweisen. Streng konvexe Präferenzen: das Durchschnittsbündel wird den beiden extremen Bündeln streng bevorzugt. Streng konvexe Präferenzen müssen runde Indifferenzkurven aufweisen . y x æ tx + H L 1- t y y x streng konvex y HL t x + 1- t y æ x æ æ y x konvex ( rechts: perfekte Substitute ) aber nicht streng konvex x tx 1 t y y nicht-konvex ( d.h. ich mag z.B. Eiscreme und Fisch – aber nicht miteinander! In diesem Fall sind die Extreme besser. ) 6 Indifferenzkurven = graphische Darstellung von Präferenzen Eigenschaften von Indifferenzkurven: Stetigkeit : Die Indifferenzkurve durch ein Konsumbündel besteht aus allen Güterbündeln, zwischen denen der Konsument in bezug auf das gegebene Güterbündel indifferent ist: x~u Essen kg Woche wæ zæ besser als x xæ schlechter als x uæ væ yæ Wohnen m2 Woche Indifferenzkurven, die verschiedene Präferenzniveaus darstellen, können sich nicht schneiden, würden sie das, so wären X, Y und Z indifferent zueinander und könnten daher nicht auf verschiedenen Indifferenzkurven liegen. x2 x æ æ z y x1 Den einzelnen Indifferenzkurven verschiedener Güterbündel können reelle Zahlen zugeordnet werden. Wie genau diese Zahlen lauten, spielt keine Rolle, entscheidend ist nur, dass höhere Indifferenzkurven auch höhere Zahlen erhalten. x2 I4 I3 I2 I1 7 x1 Typen von Indifferenzkurven bei zwei Gütern: Perfekte Substitute: Zwei Güter sind perfekte Substitute, wenn der Konsument bereit ist, ein Gut für das andere zu einem konstanten Verhältnis zu tauschen. Einfachster Fall: 1:1 Hierbei ist es dem Konsumenten gleichgültig, ob er eine Mischung der beiden Güterbündel oder die Extrempunkte erhält ( Konsument benötigt zehn Stifte, egal ob schwarz oder blau; er kann zehn schwarze oder zehn blaue oder auch eine Mischung fünf zu fünf / drei zu sieben / ... wählen ) Diese Indifferenzkurven haben immer eine konstante Steigung und schneiden die Koordinatenachsen blaue Stifte rote Stifte Perfekte Komplemente: Perfekte Komplemente sind Güter, die immer in konstantem Verhältnis miteinander konsumiert werden – in diesem Sinne ergänzen sich diese Güter. Mehr von einem Gut, ohne dass auch gleichzeitig mehr von dem anderen konsumiert wird, ist für den Konsumenten nicht von Nutzen. Die Indifferenzkurve ist L-förmig, mit der Ecke des L´s dort, wo die Anzahl bzw. das Verhältnis der beiden Güter zueinander passend ist. ( z.B. eine Tasse Kaffe, zwei Stück Zucker; zwei Tassen Kaffee, vier Stück Zucker; unpassend wären für diesen Konsumenten eine Tasse Kaffe und vier Stück Zucker ) Zucker Kaffee Schlechtes Gut = eine Ware, die der Konsument nicht mag der Konsument mag keine Sardellen, aber Wurst; gibt man diesem Konsumenten mehr Sardellen, um so mehr Wurst muß man ihm als Entschädigung hinzugeben Daher steigt die Indifferenzkurve nach rechts oben ( positive Steigung ), wobei die Richtung zunehmender Präferenzen nach rechts unten zielt. x2 x1 8 Neutrales Gut = wenn der Konsument eines der Güter weder mag noch verabscheut ihm ist in diesem Fall egal ob oder wieviel er von x2 besitzt, solange er das erwünschte x1 nicht missen muß – daher sind diese Indifferenzkurven vertikale Gerade x2 x1 Sättigung = insgesamt bestes Bündel für den Konsument = Sättigungs – oder Blisspunkt hier sind Mischungen aus zwei Güterbündeln grundsätzlich besser, denn verbindet man zwei beliebige Güterbündel miteinander, so liegt die Verbindungslinie stets näher am Blisspoint als die Ausgangspunkte. x2 æ x1 Typen von Indifferenzkurven bei drei Gütern: hierbei handelt es sich nicht mehr um Kurven sondern um Flächen 9 Die Grenzrate der Substitution / GRS x2 Dx2 x1 Dx 1 Hier wäre der Konsument bereit, für die Menge x1 , die Menge x2 aufzugeben, denn er bleibt ja auf der gleichen Indifferenzkurve. Das Verhältnis oder die Rate, mit der der Konsument zu tauschen bereit ist, kann also geschrieben werden als: D x2 €€€€€€€€ €€€€ €€ € D x1 . Diese Rate ist aber offensichtlich abhängig davon, wie groß x1 gewählt wird. Es wäre schön, wenn man diese Rate, mit der ein Konsument zu tauschen bereit ist, unabhängig von x1 angeben könnte. Dies erreicht man dadurch, daß man x1 gegen 0 streben läßt. In diesem Fall ist diese Tauschrate, also die Rate, mit der ein Konsument bereit ist, x1 gegen x2 zu substituieren, durch die Steigung der Indifferenzkurve gegeben. x2 X Dx2 x1 Dx1 Die MRS ist eine negative Zahl, da monotone Präferenzen eine negativ geneigte I-Kurve implizieren. Offensichtlich ist die Steigung einer Indifferenzkurve aber auch davon abhängig, an welcher Stelle wir diese Steigung betrachten. x2 x x´ x´´ x1 Offensichtlich gilt also: Sind die Präferenzen streng konvex, dann nimmt die Grenzrate der Substitution mit x1 ( siehe obige Graphik ). Bei linearen Präferenzen ist die GRS konstant bei –1 (perfekte Substitution). Bei neutralen Gütern ist die GRS überall unendlich. Bei perfekten Komplementen ist die GRS entweder 0 oder unendlich 10 ab Nutzenfunktionen Es wurde bereits darauf hingewiesen, daß man Indifferenzkurven Zahlen zuordnen kann, so daß präferierte Güterbündel höhere Zahlen erhalten, und indifferente Güterbündel die gleiche Zahl. Dieses Konzept kann verallgemeinert werden zum Konzept der Nutzenfunktion. Eine Nutzenfunktion ist eine numerische Darstellung einer Präferenzordnung. Ein Güterbündel (x1 ,x2 ) wird gegenüber ( y1 , y2 ) strikt präferiert, genau dann, wenn der Nutzen von (x1 ,x2 ) größer ist als der Nutzen von ( y1 , y2 ). Symbolisch: (x1 ,x2 ) ( y1 , y2 ) wenn und nur wenn u(x1 ,x2 ) > u( y1 , y2 ). Wie wir gesehen haben, spielt nur die Reihenfolge der Zahlen (höhere Zahlen präferierte Güterbündel), nicht aber deren absolute Größe, eine Rolle. Daher kann man auch alle Nutzenwerte mit... ... einer beliebigen Zahl addieren, ... einer positiven Zahl multiplizieren, ... einer ungeraden Zahl multiplitieren ... ,ohne die Reihenfolge zu ändern. Es gibt also für eine gegebene Präferenzordnung keine eindeutige Nutzendarstellung. Genauer: Jede positiv monotone Transformation einer Nutzenfunktion ist selbst wieder eine Nutzenfunktion, die die gleichen Präferenzen darstellt. Dabei heißt "positiv montone Transformation" eine Funktion f (u(·)), die die Reihenfolge der Zahlen unverändert läßt. Eine monotone Transformation hat immer eine positive Änderungsrate, die Graphik hat also immer eine positive Steigung. 11 Beispiele für Nutzenfunktionen Im ersten Teil dieses Kapitels wurden einige Beispiele für Präferenzen samt den zugehörigen I-Kurven beschrieben. Man kann diese Präferenzen auch durch Nutzenfunktionen darstellen. Für jeden unterschiedlichen Wert der Konstanten u erhält man eine andere Indifferenzkurve. Cobb-Douglas Funktion Leontief Funktion 2 1.5 1.5 1 0.5 0 1 0.5 0 2 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0 0 0.5 0.5 1 1.5 0 2 u ( x1 ,x2 ) = x1 x2 1 1.5 2 für perfekte Komplemente u (x1 ,x2 ) = min ( ax1 ,bx2 ) Minimum, welches von beiden Gütern benötigt wird (z.B. ein linker und rechter Schuh ) a und b = positive Zahlen, die das Verhältnis angeben in welchem die Güter konsumiert werden a und b = positive Zahlen, welche die Präferenzen d. Konsumenten beschreiben Lineare Funktion CES Funktion 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 0 0 1 3 0.5 2.5 0 0 2 0 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 2 für perfekte Substitute u ( x 1 , x 2 ) = a x 1 + bx 2 a und b = positive Zahlen = der „Wert“ der Güter 1 und 2 für den Konsumenten 12 0 0.5 2 u (x1 ,x2 ) = [ ax1 + bx2 ] für 1 und = 0 Die CES-Funktion enthält alle drei Funktionen: für 1 = Lineare Funktion für - = Leontif-Funktion für 0 = Cobb-Douglas-Funktion Man kann nun auf der Oberfläche alle diejeingen Güterbündel markieren, die den gleichen Nutzen stiften. Man erhält also sogenannte Isohöhenlinien. Graphisch können diese wie folge dargestellt werden: Isohöhenlinien x2 1.5 1 2 0.5 0 2 1.5 y 1 0.5 0 0 0.5 1 x1 1.5 2 Die Grenzrate der Substitution kann auch mathematisch hergeleitet werden. der Nutzen auf Indifferenzkurven ist konstant – die Nutzenänderung gleich null: HL HL H HL L Wenn wir jetzt das totale Differential dieser Nutzenfunktion betrachten,ergibt sich: ¶ u x1 , x2 ¶ u x1 , x2 €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€ €€ € €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€ €€ € ¶ x1 ¶ x2 du = dx1 + dx 2 = 0 ¶u x1 ,x2 ¶x 1 d x2 €€€€€€€€ €€ €€€€€€€€ €€ €€ €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€ d x 1 = - ¶u x1 ,x2 ¶x 2 Die Grenzrate der Substitution ist also gleich dem umgekehrten Verhältnis des Grenznutzens. 13 Kapitel 3 – Nutzenmaximierung und Nachfrage eines Haushaltes Die Budgetmenge Der Konsument ist in seinen Möglichkeiten im allgemeinen durch sein Einkommen bzw. Vermögen beschränkt. Er kann sich eben nicht jedes Güterbündel leisten. Um nun zu verstehen, was "leisten können" bedeutet, müssen die Preise der Güter eingeführt werden. Die Preise der Güter werden durch reelle Zahlen p1 , p2 ,..., pn Damit können wir nun den Wert eines Güterbündels beschreiben: ausgedrückt. p1 x1 + p2 x2 n oder allgemein: p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn = p1x2mitp1x1 p = ( p1 , p2 ,..., pn ) und p2 pn S pi xi = px x = ( x1 , x2 ,..., xn ). i= 1 Das Budget eines Konsumenten ist gegeben durch m, dann ist die Menge der Güterbündel, die sich der Konsument leisten kann, d.h. deren Wert das Einkommen nicht übersteigt, gegeben durch p1 x1 + p2 x2 m p1 x1 oder allgemein durch x2 + ... + pn xn p 1m p1 x1 Die Menge dieser Güterbündel, die sich ein Haushalt leisten kann, ist beschrieben durch seine Budgetmenge / Budget: B = {x X | p1 x1 + .... + pn xn m } Im Falle von zwei Gütern kann man die Budgetmenge graphisch wie folgt darstellen: x2 m €€€€ €€ €€ € æ p2 Budgetmenge m €€€€ €€ €€ € p1 æ x1 Den Rand der Budgetmenge, die sogenannte Budgetgerade ist jene Menge der Güterbündel, die genau m kosten, also jene Güterbündel, die m zur Gänze ausschöpfen: p1 x1 + p2 x2 = m Die p1 Budgetgerade kann man wie folgt ermitteln: x2 aus, dann kann m m €€€€€€€€ €€ €€€€€€€€ €€ p p x 1 2 1 man sich hiervon Einheiten leisten bzw. im Falle von , Einheiten. 1) Ermittlung der Randpunkte auf den Achsen: Gibt man m gesamt für 2) Verbinden dieser beiden Punkte durch eine Gerade. Die Steigung der Budgetgeraden mißt das Verhältnis, zu dem der Konsument bereit ist, Gut 1 für Gut 2 zu substituieren. Die Steigung der Budgetgeraden ist gleich dem (negativen) Preisverhältnis. Die Steigung der Budgetgeraden kann man wie folgt feststellen: p1 x1 + p2 x2 = m muß erfüllt sein p1 ( x1 + x1 ) + p2 ( x2 + x2 )= m muß erfüllt sein (1) (2) (1) = (2) liefert p1 x1 + p2 x2 p1 dx2 €€€€€€€€ €€€€ € €€€€€€€€ €€ p2 dx1 [ = Opportunitätskosten von Gut 1 ] 0= 14 Änderungen der Budgetgeraden 1) Einkommensänderug: a) Einkommenserhöhung ( bei konstanten Preisen ): Parallelverschiebung der Budgetgeraden nach außen, keine Änderung der Steigung, da das Preisverhältnis das gleiche geblieben ist – man kann sich nun nur mehr leisten b) Einkommenssenkung ( bei konstanten Preisen ): Parallelverschiebung der Budgetgeraden nach innen, keine Änderung der Steigung, da das Preisverhältnis das gleiche geblieben ist – man kann sich nun nur weniger leisten x 2 m m m´ p1 x1 2) Preisänderung: a) Preiserhöhung für Gut 1 ( bei konstantem p2 und m ): b) Wenn man sein gesamtes Einkommen für das Gut 2 ausgibt, dann spielt die Preisänderung für das Gut 1 keine Rolle. Der Haushalt kann sich weiterhin dieselbe Menge von Gut 2 leisten wie vor der Preiserhöhung, der Ordinatenabschnitt bleibt unverändert Allerdings ändert sich die Menge, die der Haushalt von Gut 1 kaufen kann – der Abszissenabschnitt verschiebt sich nach innen. Analog gilt eine ähnliche Aussage auch für eine Preisänderung für Gut 2. x2 m €€€€ €€ €€ € p2 p´1 > p1 m €€€€ €€ €€ € p´1 x1 m €€€€ €€ €€ € p1 c ) Werden beide Güterpreise um den gleichen Betrag t erhöht oder gesenkt, dann bleibt das Preisverhältnis gleich, aber die Budgetgerade verschiebt sich nach innen bzw. außen: p1 p1 15 t p1 x1 + t p1 x1 + p2 x2 p2 x2 m = m/t = Mengenrabatt / Rationierung / Transportkosten - Angenommen, ab einer bestimmten Menge von Gut 1 ( x1 ) kann man zusätzliche Einheiten des Gutes zu einem geringeren Preis kaufen (Mengenrabatt). Ab diesem Punkt ändert sich das Preisverhältnis und damit die Steigung der Budgetgeraden. x2 10 8 6 4 æ 2 2 È x 1 4 6 8 x1 Budgetgerade bei Mengenrabatt Ähnlich "geknickte" Budgetgeraden entstehen u.a. bei Rationierungen (d.h., wenn man nur eine maximale Menge eines Gutes konsumieren darf). x2 x1 Budgetgerade bei Rationierung von Gut x1 Bei Gut 2 kommen neben den normalen Kosten zusätzlich noch Transportkosten hinzu, diese ergeben im Schaubild isolierte Punkte: 16 Optimale Entscheidung = das beste Bündel, das sich der Konsument leisten kann Wir haben nun zum einen die Präferenzen (bzw. Nutzenfunktionen) eines Haushaltes und zum anderen die Menge der Güter charakterisiert, die der Haushalt sich leisten kann. Mit diesen beiden Konzepten kann nun die optimale Entscheidung eines Haushaltes analysiert werden. Tragen wir einmal die Budgetmenge zusammen mit einigen Indifferenzkurven in ein Diagramm ein: x2 x *2 x* x*1 x1 Der Haushalt möchte sein Nutzenmaximum, muß aber dabei berücksichtigen, daß er nur Güterbündel innerhalb der Budgetmenge wählen darf - bei monotonen Präferenzen auf der Budgetgeraden. Aber nicht jedes Güterbündel auf dem Rand der Budgetmenge ist optimal. Das beste Güterbündel ist dasjenige, das von der höchsten Indifferenzkurve gerade noch erreicht wird. Dies ist der Punkt der Budgetmenge, der von einer Indifferenzkurve tangiert wird und mit optimaler Entscheidung (x1*,x2*) bezeichnet wird. Hier ist die Steigung der Indifferenzkurve gleich der Steigung der Budgetgeraden. Dies gilt aber nur für streng konvexe Präferenzen immer; die Tangentialbedingung muss nicht in allen Fällen gelten ( Ausnahmen siehe Seiten ff ). Man könnte nun (für alle Preis-Einkommenskombinationen) die nutzenmaximierenden Mengen der Güter notieren. Man würde also erhalten: x1 ( p1 , p2 ,m) und x2 ( p1 , p2 ,m) . Diese Funktionen bezeichnet man als Nachfragefunktionen, bisweilen auch Marshallsche Nachfragefunktionen. Also ist die Nachfragefunktion jene Funktion, welche die optimale Entscheidung – die nachgefragten Mengen – zu den verschiedenen Werten von Preisen und Einkommen in Beziehung setzt. Formal erhält man diese Nachfragefunktionen, indem man die Bedingungen erster Ordnung heranzieht und nach x1 und x2 als Funktion der Parameter p1 , p2 und m auflöst. Dies werden wir anhand eines Beispiels durchführen. Vorher betrachten wir aber, ebenfalls als Beispiele, die Situation vollkommener Substitute und vollkommener Komplemente. In diesen Fällen kann man die Nachfragefunktion ohne Rechnen, d.h. nur durch einige Überlegungen herleiten. 17 Ausnahmen: Konvexe, aber nicht streng konvexe Präferenzen: a ) Vollkommene Substitute: 1) Randoptimum: Hier liegt der optimale Punkt dort, wo der Konsum eines Gutes gleich Null ist. x2 x2 10æ 10 8 8 6 6 I 4 4 2 B B I 2 2 4 æ 6 8 10 x1 2 4 æ 6 8 10 x1 Durch Überlegen hergeleitet: Im Fall p1 < p2 ist die Steigung der Budgetgeraden flacher als die Steigung der Indifferenzkurve. Der Konsument wird sein gesamtes Einkommen für Gut 1 ausgeben. m €€€€€€€€ €€ € Im Fall p1 = p2 wird er indifferent sein zwischen Mengen von Gut 1 zwischen 0 und p1 (unterstellt, er gibt jeweils den Rest seines Budgets für Gut 2 aus). Hier ist jede Mengenkombination der beiden Güter optimal, welche die Budgetbeschränkung erfüllt. Im Fall p1 > p2 wird der Konsument sein gesamtes Einkommen für Gut 2 ausgeben. m p 1 , falls p2; p1 x1 ( p1 , p2 ,m) = { Formal hergeleitet: H L HL HL HL m p 1 0, , falls p2; p1 p 0, falls p . 0, falls p1 > p2. Hier lautet die Bedingung für eine optimale Lösung: ¶u x , x 1 €€€€ 2€€ €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€ €€ ¶x1 1 €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€€€€€€€€€ €€ € €€€€€€€€ €€ ¶u x€€€€€€€€ 1, x€€€€ 2€€ €€€€€€€€€€€€€€€€ €€ 2 ¶x2 p p Eine solche Lösung erhält man mit Hilfe der Kuhn-Tucker-Bedingungen. Diese besagen: ¶u x1 , x2 €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€ €€€€€€€€ €€ € - p1 ¶x 1 und ¶u x1 , x2 €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€ €€€€€€€€ €€ € - p1 ¶x 1 18 0 0 wenn x1 > 0. 2 ) Kontinuum an Lösungen: Steigung der Indifferenzkurve gleich der Steigung der Budgetgeraden Hier gibt es überabzählbar unendlich viele Lösungen keine optimale Entscheidung möglich x2 10 8 6 I, B 4 2 2 4 6 8 10 x1 b ) Perfekte Komplemente: Hier hat die Indifferenzkurve bei der Optimalen Entscheidung einen Knick und es gibt keine Tangente an diesen Punkt. x2 æ x x1 Hier sieht man, daß der Konsument immer Güterbündel auf der Diagonalen wählen wird, egal wie die Preise sind, d.h. er wird immer die gleiche Menge beider Güter kaufen. Diese Menge x ist mit = x1 = x2 bezeichnet. Es gilt also: p1 x1 + p2 x2 = m m €€€€€€€€€€€€€€€€ €€€€€€€€ €€ €€ x x1 x2 p + p 1 2 = = = Da beide Güter immer zusammen konsumiert werden, ist es gleichsam so, als würde der Konsument nur ein Gut (x) zum Preis von p1 + p2 kaufen. Nichtkonvexe Präferenzen: x2 xæ æ x¢ x1 Hier können multiple Optima auftreten. 19 Konkave Präferenzen Die optimale Entscheidung ist der Randpunkt Z und nicht der innere Berührungspunkt X, da Z auf einer höheren Indifferenzkurve liegt. Bild 5.8 Buch S. 76 Papa scannen Betrachten wir zum Schluß den Fall, in dem die Präferenz eines Konsumenten durch die Cobb-Douglas Präferenzen beschrieben werden kann. Hier kann man die Nachfragefunktion leider nicht durch Überlegung herleiten, sondern muß sie aus dem Nutzenmaximierungsproblem errechnen: 20 21