Ideen zur Anwendung des Center Standortproblems im Unterricht
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Anwendung der Standortplanung im Unterricht der Mittelstufe Im folgenden werden einige Vorschläge zur Gestaltung von Unterrichtseinheiten zur Standortplanung beschrieben. Natürlich sind dies keine Rezeptanweisungen zur Garantie eines Lernerfolgs, sondern lediglich Ideen und Anregungen zur Bearbeitung der Themen in der Schule. Die Art des Umgangs mit diesen Inhalten bleibt natürlich jedem Lehrer selbst überlassen. Zunächst erfolgt eine Zusammenfassung der Lehrplaninhalte der Klassen sieben bis zehn, die bei den Themen der Standortplanung Anwendung finden. Danach wird zu jedem Teilkapitel der Standortplanung ein Vorschlag zur groben Strukturierung eines Lernprozesses beschrieben. Dabei wird darauf hingewiesen, für welche Klassenstufen das entsprechende Thema geeignet sein kann. Die Eignung der Themen für jede Klasse ist natürlich auch vom Lehrer selbst abzuwägen. Zusätzlich wird jeweils eine Zeiteinschätzung für die Erarbeitung des entsprechenden Lernschritts gegeben und anschließend werden die behandelten Lehrplaninhalte und weitere allgemeinen Ziele des Mathematikunterrichts zusammengefasst. Da teilweise zwischen einzelnen Klassenstufen differenziert werden muss, wird an manchen Stellen angegeben, auf welche Inhalte bei kleineren Klassen zu verzichten ist bzw. welche Erweiterung bei höheren Klassen möglich ist. Beim Thema Standortplanung enthaltene Lehrplaninhalte (es wird Bezug auf die Lehrpläne vom Saarland und von Hessen genommen): 7.Klasse: Koordinatensystem: Darstellung und Bewegung von Figuren (Hessen) Betrag einer Zahl (Hessen) Konstruktion von Dreiecken und Vierecken (Hessen) Dreiecke und Mittelsenkrechten (Hessen) Fermat-Punkte: beim Rechteck, beim Dreieck (fakultativ, Saarland) Konstruktion von Figuren mittels Geometrieprogrammen (Hessen) Mathematisches Erkunden der Alltagswelt (Saarland) Funktionsbegriff: Funktion als spezielle Zuordnung, Funktionswert, Funktionsgleichung, Funktionsgraph (Saarland) Lineare Funktionen: Erkennen und Aufstellen von Größenbeziehungen der Form y = m * x + n, Graph (Saarland) Funktionen der Form y = m * x + n: Steigungsbegriff; y-Achsenabschnitt n; Aufstellen der Funktionsgleichung aus Punkt und Steigung, aus zwei Punkten, aus dem Graph (Saarland) Besondere Linien und Punkte im Dreieck: Umkreismittelpunkt: Lage beim spitz- bzw. stumpfwinkligen Dreieck (Saarland) 8.Klasse: Lineare Funktionen: Darstellung durch Graph und Tabelle, Funktionsgleichung, Nullstelle, Steigungsdreieck, Achsenabschnitt (Hessen) Geraden und Punkte: Gerade durch zwei Punkte, Steigung, Schnittpunkte zweier Geraden berechnen (Hessen) Dreiecke: Mittelsenkrechte (Umkreis) (Hessen) Beweisen am Beispiel von Dreiecken und Vierecken (Hessen) Einsatz interaktiver Geometrieprogramme (Hessen) Anwendungsbeispiele zu Linearen Funktionen aus dem Alltag (Saarland) Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variabeln (Saarland) Quadratwurzelterme (Saarland) Satz von Pythagoras (Saarland) Haus der Vierecke: Fermat-Punkt (Saarland) 9.Klasse: Lineare Gleichungssysteme: Systeme von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen (Hessen) Quadratwurzeln: Begriff der Quadratwurzel, Rechnen mit Quadratwurzeln Satz des Pythagoras (Hessen) Formulieren eines Lösungsalgorithmus (fakultativ, Saarland) 10.Klasse: Algorithmen (Hessen) Ideen zur Anwendung des Center Standortproblems im Unterricht Unterrichtseinheit zur Vorstellung des Center Standortproblems (geeignet für Klassenstufe 7 – 10) (Zeiteinschätzung: 45 min) Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Die Schüler sollen zunächst mit der allgemeinen Problemstellung (Suchen eines Standorts für die Basis eines Notfallhubschraubers) vertraut gemacht werden; mögliche Materialien: Unfallbericht aus der Zeitung, Karte mit eingezeichneten Unfallorten. Daraufhin könnten sich die Lernenden selbst weitere Alltagssituationen mit analoger Problemstellung überlegen (z.B. Planung eines Feuerwehrhauses, Standortwahl einer Rettungsdienststelle usw.) Anschließend sollte die mathematische Modellierung des Problems erarbeitet werden; als Übung empfiehlt sich, die Schüler selbständig gegebene Einsatzorte bzw. festgelegte Hubschrauberstandorte in ein Koordinatensystem eintragen und die Entfernung von Punkten bestimmen zu lassen. Weiterhin sollte der Zielfunktionswert anhand mehrerer Beispiele berechnet werden. Zusatz: man kann den Schülern in einem Beispiel mehrere Alternativstandorte anbieten und anschließen eine Diskussion über die Qualität der Standorte durchführen. Vereinfachung für die 7. und 8. Klasse: Die Zielfunktion sollte als Beispiel eines Funktionsbegriffs eingeführt werden, allerdings in einer für die Schüler verständlichen Art (also eventuell ohne den Term für die euklidische Entfernung). Wurden Quadratwurzelterme noch nicht behandelt, kann auf die exakte Formulierung der euklidischen Entfernung, sowie auf die Herleitung dieses Terms mit Hilfe des Satzes von Pythagoras verzichtet werden. Alternativ kann die Entfernung zweier Punkte näherungsweise im Koordinatensystem abgelesen werden. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: Verständnis von einfachen Modellierungsprozessen Mathematisches Erkunden der Alltagswelt (7. Klasse) Umgang mit dem Koordinatensystem (7.Klasse) Quadratwurzelterme (8. bzw. 9. Klasse) Satz von Pythagoras (8. bzw. 9. Klasse) Unterrichtseinheit zur geometrischen Lösung von Center Standortproblemen bei zwei gegebenen Einsatzorten (geeignet für Klassenstufe 7 – 10) (Zeiteinschätzung: 45 min) Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Zunächst sollte den Schülern ein konkretes Beispiel vorgelegt werden, anhand dessen sie selbst Vermutungen über den optimalen Standort anstellen können (dies kann zum Beispiel auch in Gruppenarbeit erfolgen). Die Bestimmung des optimalen Standortes als Mittelpunkt der Verbindungsstrecke sollte dann erarbeitet werden (bei Durchführung einer Gruppenarbeit eventuell durch Ergebnispräsentation oder einfach in Form eines Unterrichtsgesprächs); die Konstruktion der Mittelsenkrechten kann bereits bekannt sein oder anhand dieses Themas zusätzlich eingeführt werden. Danach sollte eine allgemeine Konstruktionsbeschreibung zur Lösung dieses Standortproblems angefertigt und festgehalten werden (die Schüler können praktisch Algorithmus 1 mit den Ihnen bekannten Geometriebegriffen in ihren eigenen Worten formulieren). Der Zielfunktionswert muss ebenfalls für jedes Beispiel bestimmt werden. Danach können zur Vertiefung der Inhalte mehrere Beispiele behandelt werden; Vorschlag: die Schüler können sich selbst Aufgaben für ihre Mitschüler ausdenken und deren korrekte Lösung auch selbständig kontrollieren (z. B. in Gruppen oder Partnerarbeit). Die Konstruktion des optimalen Standorts der Hubschrauberbasis kann auch mittels eines Geometrieprogramms erfolgen. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: Umgang mit dem Koordinatensystem (7. Klasse) Dreiecke und Mittelsenkrechten (7. Klasse) Formulierung von Konstruktionsbeschreibungen (Geometrieunterricht ab der 7. Klasse) Einsatz interaktiver Geometrieprogramme (7. und 8. Klasse) Eventuell Förderung des Sozialverhaltens durch Gruppenarbeit Unterrichtseinheit zur geometrischen Lösung von Center Standortproblemen bei drei gegebenen Einsatzorten (geeignet für Klassenstufe 7 – 10) (Zeiteinschätzung: 45 – 90 min) Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit (ähnlich zur vorherigen Unterrichtseinheit): Zunächst sollten die Lernenden mit einem konkreten Beispiel konfrontiert werden, bei dem die drei Einsatzorte ein spitzwinkliges Dreieck bilden. Den Schülern sollte wieder Zeit zur selbständigen Problemlösung eingeräumt werden (eventuell durch Gruppenarbeit). Die Bestimmung des optimalen Standortes als Umkreismittelpunkt sollte danach erarbeitet werden (bei Durchführung einer Gruppenarbeit eventuell durch Ergebnispräsentation oder einfach in Form eines Unterrichtsgesprächs); die Konstruktion des Umkreismittelpunktes kann schon bekannt sein oder anhand dieses Themas eingeführt werden. Danach sollte eine allgemeine Konstruktionsbeschreibung zur Lösung dieses Standortproblems angefertigt werden; die Schüler sollten in eigenen Worten formulieren, wie man den Umkreismittelpunkt konstruiert und warum er dem optimalen Standort entspricht. Der Zielfunktionswert sollte am Ende bestimmt werden. Danach können zur Vertiefung der Inhalte mehrere Beispiele behandelt werden; Vorschlag: die Schüler können sich selbst Aufgaben für ihre Mitschüler ausdenken und deren korrekte Lösung auch selbständig kontrollieren (z. B. in Gruppen oder Partnerarbeit). Anschließend sollte den Lernenden ein Beispiel mit drei Einbauplätzen, die ein stumpfwinkliges Dreieck bilden, präsentiert werden. Die Schüler sollen sich zunächst selbständig Gedanken darüber machen, ob der Umkreismittelpunkt ebenfalls dem optimalen Standort entspricht oder ob eventuell ein besserer Standort existiert; als Hilfestellung könnte man selbst Standorte vorgeben, um die Optimalität des Umkreismittelpunktes durch Berechnen des Zielfunktionswertes zu widerlegen. Danach könnte man den Lernenden den Tipp geben, dass sie nur die Endpunkte der Hypothenuse als Einsatzorte berücksichtigen sollen und zwar im Hinblick auf die Fragestellung wie der optimale Standort für diese beiden Punkte aussieht. Die Lösung dieses Problems, sowie eine zugehörige Konstruktionsbeschreibung sollten erarbeitet und festgehalten werden. Die Konstruktionen können erneut mittels eines Geometrieprogramms erfolgen. Vereinfachung für die 7. Klasse: Es kann auch auf den Begriff des Umkreismittelpunktes verzichtet werden. Dabei kann man die Schüler die Schnittpunkte zweier Mittelsenkrechten geometrisch bestimmen lassen. Danach kann man einfach durch Bestimmung der Entfernungen nachprüfen, dass der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt ist. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: Umgang mit dem Koordinatensystem (7. Klasse) Dreiecke und Mittelsenkrechten (7. Klasse) Formulierung von Konstruktionsbeschreibungen (Geometrieunterricht ab der 7.Klasse) Einsatz interaktiver Geometrieprogramme (7. und 8. Klasse) Besondere Linien und Punkte im Dreieck: Umkreismittelpunkt: Lage beim spitz- bzw. stumpfwinkligen Dreieck (7. bzw. 8. Klasse) Eventuell Förderung des Sozialverhaltens durch Gruppenarbeit Unterrichtseinheit zum Beweis der Lösungsverfahren für zwei und drei Einsatzorte (geeignet für Klassenstufe 8 – 10) (Zeiteinschätzung: 45 min) Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Als Einstieg bietet sich eine Wiederholung der bereits gewonnenen Ergebnisse zur Lösung von Standortproblemen an. Hierzu kann der optimale Center Standort für jeweils ein Beispiel (zwei Einsatzorte, drei Einsatzorte als spitzwinkliges Dreieck und drei Einsatzorte als stumpfwinkliges Dreieck) geometrisch ermittelt werden. Dies erleichtert vielleicht auch das Verständnis der Argumentationsweise des Beweises. Die Ergebnisse können dann noch mal zusammenfassend festgehalten werden (ähnlich zur Form von Satz 1). Danach sollte die Argumentation des Beweises zum Nachweis der Optimalität an einem konkreten Beispiel mit den Schülern erläutert werden (die allgemeine Erörterung kann zu Verständnisschwierigkeiten führen); als Hilfestellung kann man konkrete nichtoptimale Standorte (Nachprüfen durch Bestimmung des Zielfunktionswertes) mit der Fragestellung angeben, warum der jeweilige Alternativstandort nicht optimal ist; damit lässt sich vielleicht besser auf die Eigenschaften des optimalen Standortes schließen. Zur Erarbeitung der Argumentationsweise bietet sich Gruppenarbeit an, da in dieser Sozialform regere Diskussionen stattfinden und viele Schüler ihre Ansicht ausdrücken können; vielleicht kann bei Einteilung der Gruppen darauf geachtet werden, dass sich in jeder Gruppe ein etwas stärkerer Schüler befindet. Anschließend kann man neue Beispiele wählen, auf welche die eben erarbeitete Argumentation zur Festigung des Verständnisses übertragen wird. Vereinfachung für alle Klassenstufen: Der Nachweis der Optimalität muss nicht unbedingt mathematisch durch Formeln ausgedrückt werden (s. Teilkapitel: Beweis der Lösungsverfahren für zwei und drei Einsatzorte). Alternativ genügt es, die Beweisideen mit den Worten der Schüler zu formulieren Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: s. Inhalte zur geometrischen Lösung von Center Standortproblemen mit zwei und drei Einsatzorten Förderung des Sozialverhaltens durch Gruppenarbeit Beweisen am Beispiel von Dreiecken und Vierecken (8. Klasse) Unterrichtseinheit zur geometrischen Lösung von Center Standortproblemen mit beliebig vielen Einsatzorten (geeignet für Klassenstufe 7 – 10) (Zeiteinschätzung: 90 min) Bemerkung: Die Lösung dieses Problems erfolgt dadurch, dass zunächst die Center Standortprobleme für alle Paare und Tripel von Einsatzorten gelöst werden. Es werden also keine neuen Inhalte behandelt, sondern das Gelernte wird verallgemeinert und auf eine neue Situation übertragen. Die Kernaussage dieser Unterrichtseinheit sollte also sein, dass man sich zur Lösung eines umfangreichen Problems kein neues Verfahren überlegt, sondern die Ergebnisse anwendet, die man sich für Spezialfälle erarbeitet hat. Dadurch werden die Lernenden darin geschult, das Erlernte anzuwenden und auf einen neuen Sachverhalt zu übertragen. Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Zu Beginn des Unterrichts muss garantiert sein, dass die Lernenden mit der Lösung von Center Standortproblemen bei zwei und drei gegebenen Einsatzorten vertraut sind; man müsste also eine Wiederholung zu diesen Themen durchführen und eventuell noch ein paar Übungsaufgaben bearbeiten. Möglichkeit zur Übertragung auf mehrere Einsatzorte: Man könnte zunächst von einem den Schülern bereits bekannten Beispiel mit drei Einsatzorten ausgehen und zu diesem Beispiel einen zusätzlichen Einsatzort hinzufügen; danach könnte man sich zuerst fragen, auf welche Weise sich der vorherig bestimmte optimale Standort ändern müsste und warum dieser für die vier Einsatzorte nicht mehr optimal ist. Man sollte den Lernenden aber zuerst die Möglichkeit einräumen, sich eigene Gedanken über die Lösung zu machen (eventuell in Form von Gruppenarbeit); bei Problemen könnte man den Tipp geben, dass nur bekannte Inhalte verwendet werden sollen. Als weiterer Hinweis könnte man zum Beispiel wieder einen der ersten drei Einsatzorte streichen und die Lernenden fragen, wie sie das Problem jetzt lösen würden; dies könnte man mehrmals durchführen, so dass man verschiedene Kombinationen von Einsatzorten und somit verschiedene Center Standortprobleme erhält (s. Vorschlag eines Übungsblattes zur Erarbeitung). Nach Erarbeitung der Lösung sollte die allgemeine Vorgehensweise auf jeden Fall mit den Worten der Schüler kurz zusammengefasst und festgehalten werden. Dabei ist darauf zu achten, dass auch die Kernidee des Verfahrens (s. Bemerkung) formuliert wird. Zur Vertiefung könnte man ein neues Beispiel mit vier oder fünf Einsatzorten behandeln; als Zusatz können sich die Schüler dann auch selbst überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, Paare und Tripel zu bilden. Weiterhin könnte man sich auch klar machen, welche Teilaufgaben vielleicht nicht behandelt werden müssen, da die Lösung auf keinen Fall dem optimalen Standort des Ausgangsproblems entspricht. Zur Behandlung von weiteren Beispielen bietet sich der Einsatz von interaktiven Geometrieprogrammen an. Vorschlag eines Übungsblattes zur Übertragung auf M Einsatzorte (nur Grundideen zu den Aufgabenstellungen): Center Standortproblem mit vier Einsatzorten Ex1, Ex2, Ex3 und Ex4 präsentieren. Dazu sind folgende Fragestellungen denkbar: Löse das Problem ohne den Einsatzort Ex1 zu berücksichtigen. Löse das Problem ohne den Einsatzort Ex2 zu berücksichtigen. Löse das Problem ohne die Einsatzorte Ex1 und Ex2 zu berücksichtigen. Löse das Problem ohne die Einsatzorte Ex3 und Ex4 zu berücksichtigen. Für welche Kombination von Einsatzorten lässt sich das zugehörige Center Standortproblem mit den bisher bekannten Mitteln noch lösen? Bestimme den optimalen Standort der Hubschrauberbasis für alle lösbaren Teilprobleme. Kann man von der Lösung der Teilprobleme auf die Lösung des Ausgangsproblems schließen? Vereinfachung für alle Klassenstufen: Man könnte den Lernenden auch vorgeben, wie das Problem zu lösen ist, also ihnen den Lösungsalgorithmus präsentieren, anhand dessen sie Beispiele selbständig lösen sollen. Meiner Meinung nach besteht aber durchaus eine Chance, dass die Schüler mit geeigneten Fragestellungen selbst auf die Idee kommen, das Problem für zwei und drei Einsatzorte zu lösen und hiervon den besten Standort zu wählen. Es ist auf jeden Fall motivierender und interessanter, wenn die Lernenden die Lösungsidee selbst entdecken können. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: s. Lösung von Standortproblemen bei zwei und drei gegebenen Einsatzorten Förderung des Sozialverhaltens durch Gruppenarbeit Formulieren eines Lösungsalgorithmus (9. Klasse) Algorithmen (10. Klasse) Das Gelernte wird auf eine Situation mit mehreren Einsatzorten übertragen und somit zur Lösung von realistischeren Problemen eingesetzt. Es wird die Grundidee der Mathematik vermittelt, sich bei komplexeren Problemen zunächst bereits bekannten Lösungsmethoden zu bedienen. Unterrichtseinheit zur rechnerischen Lösung von Center Standortproblemen mit beliebig vielen Einsatzorten (geeignet für Klassenstufe 8 – 10, für 7. Klasse nur geeignet, falls das Erstellen von Gleichungen linearer Funktionen thematisiert werden soll oder bereits bekannt ist) (Zeiteinschätzung: 90 min) Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Voraussetzung: Soll gleich mit der Berechnung der Standorte begonnen werden, sollte den Schülern die Lösung der zugehörigen Standortprobleme geometrisch bekannt sein; man kann natürlich auch alternativ auf die geometrischen Konstruktionen verzichten und direkt die Koordinaten der optimalen Standorte berechnen. Tipp: Da in diesem Themengebiet viele Inhalte zu linearen Funktionen und Geraden benötigt werden, bietet sich die Erarbeitung am Ende dieses Themenblocks als Vertiefung bzw. realistische Anwendung an. Da die allgemeinen Terme zur Bestimmung der optimalen Standorte recht umfangreich werden, empfiehlt es sich, die Berechnung direkt an einem konkreten Beispiel durchzuführen (Tipp: Man sollte ein Beispiel wählen, bei dem die Koordinaten aus der Konstruktionszeichnung nicht eindeutig abgelesen werden können, um die Berechnung zu motivieren); dabei sollte mit einem Beispiel mit zwei Einsatzorten begonnen werden, da die Koordinaten des Streckenmittelpunktes auch zur Berechnung des Umkreismittelpunktes benötigt werden. Den Schülern könnten mehrere Punktepaare präsentiert werden; sie könnten dazu aufgefordert werden, zunächst den Streckenmittelpunkt der Paare geometrisch zu bestimmen und dessen Koordinaten abzulesen; durch einen Vergleich aller Koordinaten kann die allgemeine rechnerische Bestimmung des Streckenmittelpunktes durch Halbierung der Summe der Koordinaten erarbeitet werden. Zur kompletten Lösung des Standortproblems muss noch der zugehörige Zielfunktionswert bestimmt werden. Als nächstes sollten die Lernenden mit einem Beispiel mit drei Einbauplätzen konfrontiert werden; aus Zeitgründen kann man zum vorherigen Beispiel einfach einen weiteren Einsatzort hinzufügen. In einem nächsten Schritt sollte die Gleichung der linearen Funktion durch zwei Einsatzorte erarbeitet werden. Damit kann man dann auf die Steigung der Mittelsenkrechte schließen und mit Hilfe des gegebenen Streckenmittelpunktes die Gleichung der Mittelsenkrechten bestimmen (diese Vorgehensweise sollte den Schülern aus dem Unterricht zu linearen Funktionen bekannt sein). Wurde die Gleichung der ersten Mittelsenkrechte gemeinsam erarbeitet, sollten die Schüler in Partner- oder Einzellarbeit die Gleichung einer weiteren Mittelsenkrechten selbständig bestimmen. Zur Bestimmung des Geradenschnittpunkts muss anschließend ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variabeln gelöst werden (dies sollte den Lernenden aus vorherigen Unterrichtseinheiten bekannt sein). Zur Vertiefung und Lösungskontrolle kann die Gleichung der dritten Mittelsenkrechten und deren Schnittpunkt mit einer bereits bekannten Geraden ebenfalls bestimmt werden. Abschließend sollte stets auf den Zielfunktionswert des Ausgangsproblems hingewiesen werden. Als Abschluss kann man analog zum allgemeinen geometrischen Problem die Übertragung auf Probleme mit beliebig vielen Einsatzorten durchführen. Vereinfachung für die 7. und 8. Klasse: Die Zielfunktionswerte können erneut durch Ablesen der Entfernungen im Koordinatensystem bestimmt werden. Falls die Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten noch nicht behandelt wurde, besteht die Möglichkeit zunächst die Gleichungen der Mittelsenkrechten aufzustellen; die zugehörigen Geraden kann man dann ins Koordinatensystem einzeichnen und deren Schnittpunkt einfach ablesen. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: Dreiecke und Mittelsenkrechten (7. Klasse) Lineare Funktionen: Erkennen und Aufstellen von Größenbeziehungen der Form y = m * x + n, Graph (7. Klasse) Funktionen der Form y = m * x + n: Steigungsbegriff; y-Achsenabschnitt n; Aufstellen der Funktionsgleichung aus Punkt und Steigung, aus zwei Punkten, aus dem Graph (7. Klasse) Lineare Funktionen: Darstellung durch Graph und Tabelle, Funktionsgleichung, Nullstelle, Steigungsdreieck, Achsenabschnitt (Hessen) Geraden und Punkte: Gerade durch zwei Punkte, Steigung, Schnittpunkte zweier Geraden berechnen (8. Klasse) Dreiecke: Mittelsenkrechte (Umkreis) (8. Klasse) Anwendungsbeispiele zu linearen Funktionen aus dem Alltag (8. Klasse) Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variabeln (8. Klasse) Lineare Gleichungssysteme: Systeme von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen (9. Klasse) Unterrichtseinheit zu Restriktiven Center Standortproblemen (geeignet für Klassenstufe 9 – 10) (Zeiteinschätzung: 90 min) Bemerkung: Es kann im allgemeinen nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler selbständig die Lösung von Restriktiven Center Standortproblemen entwickeln können. Allerdings müsste die Vorgehensweise (s. Algorithmus 4) für Lernende der 9. und 10. Klasse nachvollziehbar sein. Den Schülern könnte deswegen vielleicht zugetraut werden, dass sie sich mit Hilfe des Lernprogramms oder anderen Hilfsmitteln die Lösung dieses Problems in Gruppenarbeit selbst erarbeiten. Es sollte auch darauf geachtet werden, dass die Idee des Lösungsalgorithmus von den Lernenden verstanden wird. Das bedeutet, man sollte deutlich machen, dass ein Aufblähen der Kreise einer Vergrößerung des Zielfunktionswertes entspricht. Da die Zielfunktion jedoch minimiert wird, werden die Radien der Kreise so lange vergrößert bis diese den Rand des verbotenen Gebietes von Innen berühren. Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Vorraussetzung: Da zunächst die Lösung des unrestriktiven Problems bestimmt wird, sollten die Schüler mit der geometrischen Lösung von Center Standortproblemen vertraut sein. Zu Beginn der Stunde sollte deshalb eine Wiederholung dieser Inhalte durchgeführt werden. Dies kann anhand eines Beispiels oder einfach nur mündlich erfolgen (abhängig davon wie intensiv mit diesen Themen bereits gearbeitet wurde). Zunächst muss den Schülern das allgemeine Problem vorgestellt werden; dabei kann man sich gemeinsam verschiedene Interpretationen für die gegebenen Restriktionen überlegen (See, Naturschutzgebiet, usw.). Als nächstes sollte auch die mathematisch Modellierung der verbotenen Gebiete anhand eines Beispiels dargestellt werden (die Restriktion ist durch Angabe der Eckpunkte und deren direkte Verbindungsstrecken eindeutig bestimmt). Nachdem die allgemeine und mathematische Problemstellung geklärt ist, könnten sich die Schüler in Gruppen aufteilen, in denen sie sich die Vorgehensweise zur Lösung von Restriktiven Center Standortproblemen gemeinsam erarbeiten. Hierzu sollte ihnen eine Beispielaufgabe, sowie eine ausführliche Beschreibung der Vorgehensweise präsentiert werden (zum besseren Verständnis können die einzelnen Schritte aus Algorithmus 4 noch genauer erläutert werden). Zusätzlich gestellte Fragen können dabei als Hilfestellung bei der Erarbeitung dienen (s. Vorschlag eines Übungsblattes zur Erarbeitung). Weiterhin könnten den Lernenden Materialen wie Schulbücher oder das Internet zur Verfügung gestellt werden, damit sie sich gegebenenfalls über noch unklare Begriffe wie „Lotfußpunkt“ informieren können. Danach sollten die einzelnen Gruppen die Lösung der ihnen gestellten Aufgabe vor der Klasse präsentieren (vielleicht kann jede Gruppe eine andere Aufgabe erhalten, damit nicht immer dasselbe präsentiert wird; eventuell besteht hier auch die Möglichkeit zur Differenzierung des Schwierigkeitsgrades bei Gruppen verschiedener Leistungsstärke). In einem folgenden Unterrichtsgespräch sollte die Lösungsidee dieses Algorithmus auf jeden Fall mit den Schülern erörtert und mit den Worten der Lernenden festgehalten werden. Zur Vertiefung können weitere Beispiele behandelt werden. Vorschlag eines Übungsblattes zur Lösung von Restriktiven Center Standortproblemen (nur Grundideen zu den Aufgabenstellungen): Zu Lösen ist ein Center Standortproblem mit drei Einsatzorten. Dazu sind zwei Restriktionen durch Angabe der Eckpunkte der Polyeder gegeben. Die erste Restriktion sollte das Ausgangsproblem nicht beeinflussen, während der optimale Standort innerhalb des zweiten verbotenen Gebietes liegen sollte. Die Schüler könnten nun mit folgenden Fragestellungen konfrontiert werden: Löse zunächst das unrestriktive Center Standortproblem. Zeichne danach die drei Einsatzorte, den optimalen Standort und die Restriktionen in zwei verschiedene Koordinatensysteme. Welche der beiden Restriktionen hat Einfluss auf die Lösung des Problems? Bestimme für dieses Problem einen Alternativstandort mit Hilfe der gegebenen Lösungsvorschrift. Bestimme den Zielfunktionswert des restriktiven Center Standortproblems. Wieso werden ausgerechnet die Punkte der angegebenen Kandidatenmenge als neue Standorte in Betracht gezogen? Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: Modellierungsprozess zur genaueren Beschreibung der Realität Förderung des Sozialverhaltens durch Gruppenarbeit Konstruktion von Mittelsenkrechten und Lotfußpunkten Schnittpunkte von Geraden (Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Rand von R) (7. und 8. Klasse) Formulieren eines Lösungsalgorithmus (9. Klasse) Algorithmen (10. Klasse) Ideen zur Anwendung des Median Standortproblems im Unterricht Bemerkung: Hierbei ist zu erwähnen, dass manche Themengebiete wie die rechnerische Bestimmung des Fermat-Punktes mit Hilfe von Vektoren, die Lösung von Median Standortproblemen mit quadratischer euklidischer Entfernung mittels Kurvendiskussion, sowie die Bestimmung der Median Zielfunktion mit Rechteckentfernung (Auflösen von Beträgen durch Fallunterscheidung) der Oberstufe vorbehalten bleiben müssen. Bei manchen Teilkapiteln ist es jedoch möglich, einen Teil der Inhalte vereinfacht zu behandeln, was an der entsprechenden Stelle beschrieben wird. Unterrichtseinheit zur Vorstellung des Median Standortproblems (geeignet für Klassenstufe 7 – 10) (Zeiteinschätzung: 45 min) Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Die Schüler sollen zunächst mit der allgemeinen Problemstellung (Suchen eines Standorts für den Bauteilbehälter) vertraut gemacht werden; mögliche Materialien: Filme über Fertigungsverfahren in Betrieben, bei denen Roboter eingesetzt werden. Daraufhin können sich die Lernenden eventuell selbst weitere Alltagssituationen mit analoger Problemstellung überlegen (z.B. Planung eines Kaufhauslagers, das an Kunden in der Umgebung ausliefert usw.) Anschließend sollen die mathematische Modellierung des Problems erarbeitet werden; als Übung empfiehlt es sich, die Schüler selbständig gegebene Einbauplätze bzw. festgelegte Bauteilbehälter in ein Koordinatensystem eintragen zu lassen. Weiterhin kann der Zielfunktionswert anhand mehrerer Beispiele berechnet werden. Zusatz: man kann den Lernenden in einem Beispiel mehrere Alternativstandorte anbieten und eine Diskussion über die Qualität der Standorte durchführen Vereinfachung für die 7. und 8. Klasse: Die Zielfunktion sollte als Beispiel eines Funktionsbegriffs eingeführt werden, allerdings in einer für die Schüler verständlichen Art (also eventuell ohne den Term für die euklidische Entfernung) Wurden Quadratwurzelterme noch nicht behandelt kann auf die exakte Formulierung der euklidischen Entfernung, sowie auf die Herleitung dieses Terms mit Hilfe des Satzes von Pythagoras verzichtet werden. Alternativ kann die Entfernungen zweier Punkte näherungsweise im Koordinatensystem abgelesen werden. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: Verständnis von einfachen Modellierungsprozessen Mathematisches Erkunden der Alltagswelt (7. Klasse) Umgang mit dem Koordinatensystem (7.Klasse) Quadratwurzelterme (8. bzw. 9. Klasse) Satz von Pythagoras (8. bzw. 9. Klasse) Unterrichtseinheit zur geometrischen Lösung des Median Problems für drei Einbauplätze mit euklidischer Entfernung (geeignet für Klassenstufe 7 – 10) (Zeiteinschätzung: 90 min) Bemerkung: Es kann im allgemeinen nicht davon ausgegangen werden, dass die Schüler von selbst auf die Bestimmung des Fermat-Punktes kommen. Allerdings dürfte das Verständnis der Konstruktion dieses Punktes kein Problem darstellen. Den Schülern könnte deswegen vielleicht zugetraut werden, dass sie sich mit Hilfe des Lernprogramms oder anderen Hilfsmitteln die Lösung dieses Problems in Gruppenarbeit selbst erarbeiten Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Nachdem das allgemeine Problem den Schülern bekannt ist, könnte ihnen Material zur selbständigen Erarbeitung der Lösung in Gruppen zur Verfügung gestellt werden. Es ist zum Beispiel möglich, ihnen die Konstruktion des Fermat-Punktes mit Hilfe einer Power Point Präsentation an einem Beispiel vorzuführen. Alternativ könnte man ihnen auch eine Konstruktionsbeschreibung vorlegen, mit deren Anweisungen der Punkt konstruiert werden kann. Die erste Methode hat den Vorteil, dass die Schüler ihre eigene Konstruktionsbeschreibung formulieren können. Nachdem sich die Schüler die Bestimmung des Fermat-Punktes erarbeitet haben (und eventuell eine eigene Konstruktionsbeschreibung formuliert haben) wird an jede Gruppe der Auftrag gestellt, sich ein eigenes Platinenbestückungsproblem zu überlegen und die Lösung in einer Präsentation vorzuführen. Zu jedem Beispiel sollte der Zielfunktionswert berechnet werden, wobei die euklidischen Entfernungen auch einfach abgemessen werden können. Anschließend sollte noch darauf eingegangen werden, dass der Fermat-Punkt tatsächlich dem optimalen Standort entspricht. Da die allgemeine Argumentationsweise allerdings komplex ist, sollte dies anhand der eben präsentierten Beispiele nachgewiesen werden. Hierzu könnte sich jede Gruppe einen Alternativstandort für die jeweiligen anderen Gruppen überlegen. Jede Gruppe muss dann den Zielfunktionswert jedes Alternativstandortes mit dem Zielfunktionswert des Fermat-Punktes vergleichen und die Ergebnisse erneut den anderen Gruppen präsentieren. Dabei kann festgestellt werden, dass der Zielfunktionswert jedes anderen Punktes den Zielfunktionswert des Fermat-Punktes übersteigt. Danach können zur Vertiefung der Inhalte mehrere Beispiele behandelt werden; Vorschlag: die Schüler können sich selbst Aufgaben für ihre Mitschüler ausdenken. Die Konstruktion der optimalen Standorte der Bauteilbehälter kann auch mittels eines Geometrieprogramms erfolgen. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: Förderung des Sozialverhaltens durch Gruppenarbeit Fermat-Punkte: beim Rechteck, beim Dreieck (fakultativ, 7. Klasse) Konstruktion von Dreiecken und Vierecken (7. Klasse) Haus der Vierecke: Fermat-Punkt (8. Klasse) Geraden und Punkte: Gerade durch zwei Punkte (7. und 8. Klasse) Einsatz interaktiver Geometrieprogramme (7. und 8. Klasse) Formulierung von Konstruktionsbeschreibungen (Geometrieunterricht ab der 7. Klasse) Unterrichtseinheit zur rechnerischen Lösung des Median Problems für drei Einbauplätze mit euklidischer Entfernung (geeignet für Klassenstufe 8 – 10, für 7. Klasse nur geeignet, falls das Erstellen von Gleichungen linearer Funktionen thematisiert werden soll oder bereits bekannt ist) (Zeiteinschätzung: 45 - 90 min) Bemerkung: Der noch fehlende Eckpunkt der gleichseitigen Dreiecke wird mit Hilfe von Vektoren berechnet, weshalb in der Mittelstufe darauf verzichtet werden muss. Um das Thema dennoch behandeln zu können, werden die Koordinaten dieser Punkte nach der geometrischen Bestimmung abgelesen. Damit können näherungsweise die Gleichungen der Simson-Linien aufgestellt und die Koordinaten des Fermat-Punktes als Schnittpunkt dieser Geraden berechnet werden. Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Als Voraussetzung zur rechnerischen Bestimmung der Koordinaten des Fermat-Punktes sollte den Schülern dessen geometrische Konstruktion bekannt sein (s. vorherige Unterrichtseinheit). Die Berechnung der Koordinaten kann sich direkt daran anschließen. Tipp: Da in diesem Themengebiet viele Inhalte zu linearen Funktionen und Geraden benötigt werden, bietet sich die Erarbeitung am Ende dieses Themenblocks als Vertiefung bzw. realistische Anwendung an. Zur Wiederholung sollte den Schülern ein Beispiel eines Platinenbestückungsproblems vorgelegt werden, anhand dessen sie sich noch einmal klar machen können, auf welche Art und Weise man diesen Punkt erhält (Tipp: Man sollte ein Beispiel wählen, bei dem die Koordinaten nicht eindeutig abgelesen werden können, um die Berechnung zu motivieren). Nun sollten die Koordinaten aller drei noch fehlenden Eckpunkte der gleichseitigen Dreiecke geometrisch bestimmt und notiert werden. Da den Schülern die Herleitung der Gleichung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte bekannt ist, sollte man ihnen jetzt auf jeden Fall Zeit zur selbständigen Lösungserarbeitung einräumen; sie sollten erkennen, dass durch die drei Eckpunkte jeweils zwei Punkte jeder Simson-Linie gegeben sind, wodurch ihnen die Erstellung der Gleichung der linearen Funktion möglich ist (für die Erarbeitung dieses Ergebnisses bietet sich ein Unterrichtsgespräch oder Partnerarbeit an). Nachdem die Herleitung der Gleichung einer Simson-Linie gemeinsam erarbeitet und festgehalten wurde, sollten die Lernenden in Einzel- oder Partnerarbeit die Gleichungen der weiteren Simson-Linien selbständig herleiten. Zur Schnittpunktbestimmung muss nun ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gelöst werden, was den Schülern auch aus vorherigen Unterrichtseinheiten bekannt sein sollte. Abschließend sollte der Zielfunktionswert des zugehörigen Median Standortproblems bestimmt werden. Zur Vertiefung können weitere Beispiele behandelt werden, wobei darauf zu achten ist, dass das Ablesen der Koordinaten der noch fehlenden Eckpunkte keine Schwierigkeiten bereitet, wobei die Koordinaten des Fermat-Punktes in der Zeichnung nicht eindeutig zu erkennen sein sollten. Vereinfachung für die 7. und 8. Klasse: Da die Schüler mit Vektorrechnung nicht vertraut sind, werden die Eckpunkte der gleichseitigen Dreiecke geometrisch bestimmt. Die Zielfunktionswerte können erneut durch Ablesen der Entfernungen im Koordinatensystem bestimmt werden. Falls die Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten noch nicht behandelt wurde, besteht die Möglichkeit zunächst die Gleichungen der Simson-Linien aufzustellen; die zugehörigen Geraden kann man dann ins Koordinatensystem einzeichnen und deren Schnittpunkt einfach ablesen. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: s. Unterrichtseinheit zur geometrischen Lösung des Median Problems für drei Einbauplätze mit euklidischer Entfernung Lineare Funktionen: Erkennen und Aufstellen von Größenbeziehungen der Form y = m * x + n, Graph (7. Klasse) Funktionen der Form y = m * x + n: Steigungsbegriff; y-Achsenabschnitt n; Aufstellen der Funktionsgleichung aus Punkt und Steigung, aus zwei Punkten, aus dem Graph (7. Klasse) Lineare Funktionen: Darstellung durch Graph und Tabelle, Funktionsgleichung, Nullstelle, Steigungsdreieck, Achsenabschnitt (Hessen) Geraden und Punkte: Gerade durch zwei Punkte, Steigung, Schnittpunkte zweier Geraden berechnen (8. Klasse) Anwendungsbeispiele zu linearen Funktionen aus dem Alltag (8. Klasse) Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variabeln (8. Klasse) Lineare Gleichungssysteme: Systeme von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen (9. Klasse) Unterrichtseinheit zu Median Standortproblemen mit Rechteckentfernung (geeignet für Klassenstufe 7 – 10) (Zeiteinschätzung: 90 min) Bemerkung: In der Mittelstufe muss wohl in den meisten Fällen auf die Lösung des Median Standortproblems mittels Bestimmung des Minimums der stückweise linearen Funktion verzichtet werden. Dennoch ist es möglich, die Rechteckentfernung einzuführen und mit den Schülern Kreise und Mittelsenkrechten bzgl. dieser Entfernung zu behandeln. Vorschlag zum groben Verlauf der Unterrichtseinheit: Die Schüler müssen zunächst mit dem allgemeinen Platinenbestückungsproblem vertraut gemacht werden. Danach sollte man darauf hin weisen, dass hierzu auch Roboter eingesetzt werden, die sich nur in Richtung der Koordinatenachsen bewegen können; somit haben die Schüler stets einen reellen Bezug zur Rechteckentfernung. Für das Verständnis kann es auch nützlich sein, wenn man den Lernenden zusätzlich das Zustandekommen der Rechteckentfernung durch Bewegung in einem rechtwinkligen Straßennetz präsentiert; hierzu kann man ihnen Straßenkarten von Manhattan oder Mannheim vorlegen, an denen man sieht, dass Wege nur in Richtung der Achsen zurückgelegt werden können. Es ist ratsam vor Einführung der allgemeinen Formel, Rechteckentfernungen an gegebenen Beispielen gemeinsam mit den Schülern zu messen; hierzu kann man z. B. Punkte in die Karte von Manhattan einzeichnen und einen geeigneten Maßstab vorgeben. Die Rechteckentfernungen können dann abgemessen bzw. berechnet werden. Anschließend sollte die Übertragung der Situation in ein Koordinatensystem, also die Modellierung des Problems erfolgen; hierzu kann die Interpretation als Platinenbestückungsproblem oder als Bewegung in einem speziellen Straßennetz gewählt werden. Die Schüler sollten gegebene Punkte (Einbauplätze und Behälterstandort oder Firmen und Postamtstandort) in ein Koordinatensystem eintragen und die entsprechenden Rechteckentfernungen bestimmen (zum Beispiel in Partnerarbeit). Nun kann die allgemeine Formel für die Rechteckentfernung erarbeitet werden, wobei es wohl in unteren Klassenstufen der Unterstützung des Lehrers bedarf (in starken Klassen könnten die Schüler die allgemeine Formel auch in Gruppen selbständig erarbeiten). Mit dieser Formel sollte auch die Zielfunktion mit dieser neuen Entfernung gemeinsam mit den Schülern formuliert werden. Zur Vertiefung kann man nun den Lernenden mehrere Punktepaare vorlegen, für welche die Rechteckentfernung berechnet wird. Weiterhin kann man zum Beispiel ein Platinenbestückungsproblem mit gegebenem Behälterstandort präsentieren, für den die Zielfunktion zu bestimmen ist. Nachdem diese Grundlagen verstanden wurden, könnte zur Bestimmung von Kreisen und Mittelsenkrechten eine Gruppenarbeit durchgeführt werden (s. Vorschlag für ein Übungsblatt). Die Schüler sollen anhand des Koordinatensystems und der erarbeiteten Formel für die Rechteckentfernung einen Kreis um einen gegebenen Punkt und die Mittelsenkrechte zur Verbindungsstrecke zweier Punkte zeichnen. Die Ergebnisse werden sie sicher verblüffen, da ihnen bis jetzt keine eckigen Kreise bzw. geknickten Mittelsenkrechten bekannt sind. Die Ergebnisse der Gruppenarbeit sollten vor der Klasse präsentiert werden. Vorschlag eines Übungsblattes zur Bestimmung von Kreisen und Mittelsenkrechten bzgl. Rechteckentfernung (nur Grundideen zu den Aufgabenstellungen): In Manhattan sind die Standortkoordinaten von vier großen Firmen und eines Postamts gegeben. Zeichne alle Gebäude als Punkte in ein Koordinatensystem ein. Bestimme die Rechteckentfernung zwischen den Firmen und dem Postamt. Wenn das Postamt nur für einen Umkreis von 200 Meilen verantwortlich ist, welche Firmen bekommen ihre Post dann von diesem Postamt aus zugestellt (Information: Ein Zentimeter entspricht 100 Meilen)? An einem anderen Standort wird ein weiteres Postamt errichtet. Es muss nun geklärt werden, welche Gebäude von welchem Postamt ihre Post bekommen. Dazu soll natürlich jedes Gebäude von der Post bedient werden, die ihm am nächsten liegt. Es soll also eine Trennlinie gefunden werden, die Manhattan in zwei Bezirke bezüglich der Postämter aufteilt. Zur Findung dieser Trennlinie sind folgende Fragen zu beantworten: Bestimme für jede Firma dasjenige Postamt, das ihr am nächsten liegt. Gibt es Standorte (also Punkte im Koordinatensystem), die gleich weit von beiden Postämtern entfernt sind? Welche Trennlinie erweist sich dann als sinnvoll für Manhattan? Von welchem Postamt werden die gegebenen Firmen schließlich beliefert? (Tipp: Für die Beantwortung der Fragen kann es hilfreich sein, die durch das Karopapier vorgegebenen Kästchen zu beachten!) Vereinfachung für alle Klassenstufen: Auf die Durchführung von Fallunterscheidungen zur Auflösung der Beträge und zur Angabe der Gleichungen der linearen Funktionen kann verzichtet werden. Die Schüler können die Kreise und Mittelsenkrechten auch durch abzählen im Koordinatensystem bestimmen. Bei der Angabe der Formel für die Rechteckentfernung kann auf den Betrag verzichtet werden; man kann die zu bildende Summe der jeweiligen Differenzen für jede vorkommende Größenbeziehung der x1- und x2Koordinaten einzeln angeben. Behandelte Lehrplaninhalte und weitere Ziele des Mathematikunterrichts: Mathematisches Erkunden der Alltagswelt (7. Klasse) Förderung des Sozialverhaltens durch Gruppenarbeit Betrag einer Zahl (7. Klasse) Koordinatensystem: Darstellung und Bewegung von Figuren (7. Klasse) Geometrische Interpretation von Kreisen und Mittelsenkrechten Rechteckentfernung als weitere Entfernungsmessung Kreise und Mittelsenkrechten bezüglich einer anderen Entfernungsmessung Einführung in einfache Modellierungsprozesse
