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1. Schulaufgabe aus der Mathematik am 29.11.2011
Name, F W 12 F
1.0
Gegeben sind die reellen Funktionen
1
 ( x  4) 2  ( x  a ) mit a  IR.
8
in einem kartesischen Koordinatensystem heißen G f a .
f a ( x) 
f a : x  f a ( x); D f a  IR ,
Die Graphen der Funktionen f a
BE
1.1.0 Zunächst (bis ausschließlich Aufgabe 1.2) sei a =2. Zur Funktion f2 gehört der Funktionsterm
1
1
f 2 ( x )  ( x  4) 2  ( x  2 )
f 2 ( x)  ( x 3  6 x 2  32) .
bzw.
8
8
1.1.1 Geben Sie die Nullstellen der Funktion f2 und deren Vielfachheit an.
2
1.1.2 Ermitteln Sie für den Graphen G f 2 Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte.
6
1.1.3 Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes von G f 2 .
3
1.1.4 Skizzieren Sie den Graphen G f 2 mit Hilfe bisheriger Ergebnisse für – 2,5  x  6 ;
3
Berechnen Sie dazu noch die Werte f 2 (2,5) und f 2 (6) .
1.1.5 Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente an G f 2
4
1.2.0 Nun ist a  IR beliebig! Gegeben sind also die reellen Funktionen
f a ( x) 
f a : x  f a ( x); D f a  IR ,
1.2.1 Zeigen Sie, dass gilt: f a ( x) 
1
 ( x  4) 2  ( x  a ) mit a  IR.
8
1
 [( x 3  (a  8)  x 2  (16  8a)  x  16a)]
8
2
1.2.2 Bestimmen Sie a so, dass der zugehörige Graph bei x = – 2 ein Extremum besitzt, und ermitteln Sie
die Art des Extremums.
2.
Gegeben ist der Graph einer Funktion g´ (siehe
rechts). Tragen Sie eine Skizze der beiden
Graphen von g und g´´ ein.
6
5
y
5
4
Beschriften Sie Ihre Graphen mit Gg und Gg´´,
und verwenden Sie dabei unterschiedliche
Farben.
3
5
2
1
Für g soll gelten: g(0) = 2.
x
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
Stochastik: Rückseite!
-3
-4
30
Stochastik
BE
3.0Eine Optiker bietet zum Ausverkauf Brillengestelle aus irgendeinem Metall (M)
und speziell aus Titan (T) an. Sie sind äußerlich nicht zu unterscheiden.
In der Auslage liegen immer fünf Gestelle zur Auswahl. Die Preise sind gleich.
Er besitzt noch einige Metallgestelle, aber nur noch zwei aus Titan.
Wird irgendein Brillengestell verkauft, so wird es durch ein Metallgestell ersetzt.
Es werden nacheinander drei Brillengestelle verkauft.
3.1 Erstellen Sie ein vollständiges Baumdiagramm und geben Sie alle Elementarereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten an.
3.2 Es werden nun folgende Ereignisse untersucht:
A: Es werden genau zwei M – Gestelle verkauft
B: Es werden mindestens zwei M – Gestelle verkauft
C = { MTM; MTT; TTM }.
3.2.1 Ermitteln Sie P(A) und P(B)
5
3.2.2 Formulieren Sie C mit eigenen Worten im Sachzusammenhang.
2
4.0 Kinder finden auf dem Dachboden Reste eines Stempelkastens. Neben einem
Stempelkissen sind nur noch die beiden Buchstaben „O“ und „Z“ vorhanden.
Mit Hilfe dieser beiden Buchstaben bilden Sie nun „Wörter“ aus drei Buchstaben.
4.1 Geben Sie den feinsten Ergebnisraum an.
3
2
4.2 Die Ereignisse D und F sind wie folgt definiert:
D: Das „Wort“ enthält beide Buchstaben
F: „Z“ wird häufiger verwendet als „O“
4.2.1 Geben Sie die beiden Ereignisse D und F in Mengenschreibweise an
2
4.2.2 Sind D und F vereinbar ? Weshalb?
2
4.2.3 Ermitteln Sie
DF
und
DF
4
20
1. Schulaufgabe aus der Mathematik am 29.11.2011
Lösungen
Name, F W 12 F
1.1.1 x1 / 2  4 doppelt; x3  2 einfach 
1 3
2
1.1.2 f 2 ( x)  ( x  6 x  32) ;
8
1
f 2( x)  (3x 2  12 x) ;
8
1
f ( x)  (6 x  12) ;
8
f ( x) 
3

4
Extrema: f 2( x)  0  3x 2  12 x  0 ; x(3x – 4) = 0; x1 = 0; x2 = 4 
1
3
f (0)  (6  0  12)    0  H ( 0 I 4) 
8
2
1
3
f (4)  (6  4  12)   0  T ( 4 I 0) 
8
2
1.1.3 Wendepunkt(e): f ( x)  0  6 x  12  0 ; x = 2;  f (2) 
f 2 (2,5)  2,64 
y
1.1.4
3
 0   W ( 2 I 2) 
4
4
f 2 (6)  4 
Graph: 
3
2
1.1.5
1
1
f 2(2)  (3  2 2  12  2)
8
f 2(2)  1,5 
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
2 LE nach links  3 hoch  c = 5
{oder ausrechnen}:
t: y = – 1,5 x + 5 
-2
-3
1.2.1
1
f a ( x)   ( x  4) 2  ( x  a ) ;
8
-4
1
f a ( x)   ( x 2  8 x  16) 2  ( x  a ); 
-5
8
f a ( x) 
6
y
g: 3
5
4
1 3 -6 2
1
x  x  2 x  ax 2  ax  2a; 
8
8
3
-7
1.2.2
f a ( x) 
2
3 2 -8
1
x  2 x  2  ax  a; 
8
4
1
!
f a (2)  1,5 -94  2  0,5a  a  0 
-11
also:
a=
5 
-10
-10
-9
-8
x
-7
-6
-5
-4
-3
Da die einfache
-11 Nullstelle bei x0 = – 5 liegt
( bei 4 immer ein TP wegen LK = + 0,125),
kann es sich nur um einen Hochpunkt handeln.
oder ähnliche Argumentationen 
-2
-1
1
-1
g´´: 2
-2
-3
-4
2
3
4
3.1
Struktur:  : Teilwahrscheinlichkeiten: Pfadregel: 
P(A) = 0,592 
P(B) = 0,808 
3.2.1
siehe Farben:
3.2.2
Das zweite Gestell ist aus Titan 
4.1
 = { OOO; OOZ; OZO; ZOO; OZZ; ZOZ; ZZO; ZZZ } 
4.2.1
D = { OOZ; OZO; ZOO; OZZ; ZOZ; ZZO } 
F = { OZZ; ZOZ; ZZO; ZZZ } 
4.2.2
4.2.3
D
D
F
OZZ;ZOZ;
ZZO
ZZZ
OZZ; ZOZ;
ZZO; ZZZ
D  F  {} , also vereinbar 
F
OOZ; OZO;
ZOO
OOO
OOO; OOZ;
OZO; ZOO
D  F =  \ { ZZZ } 
OOZ; OZO;
ZOO; OZZ;
ZOZ; ZZO
OOO; ZZZ

D  F =  \ { ZZZ } 