HA-Formelsammlung

Formelsammlung
Hydromechanik & Aeromechanik
Formelsammlung
Hydromechanik
Aeromechanik
Version 5.0
Simon Haag
Formelsammlung Hydromechanik & Aeromechanik
Formelsammlung Hydromechanik & Aeromechanik
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
Grundbeziehungen der Fluidmechanik ................................................................... 2
Grundbegriffe ...................................................................................................... 2
Kontinuitätsgleichung ........................................................................................... 6
Die Eulerschen Bewegungsgleichungen.................................................................. 8
Bernoulli für reibungsfreie Strömung ..................................................................... 8
Energiequellen und Energieverluste der Bernoulli-Gleichung .................................. 11
Quergleichung ................................................................................................... 12
Potentialströmung.............................................................................................. 13
Bernoulli im rotierenden Koordinatensystem ......................................................... 15
Impulssatz und Drallsatz .................................................................................... 16
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Grundlagen der Strömungsrotationsmaschinen ..................................................... 17
Allgemeine Grundlagen ...................................................................................... 17
Energieumsetzung im Laufrad ............................................................................. 18
Eulersche Beziehungen für Strömungsmaschinen.................................................. 20
Dimensionslose Kennzahlen ................................................................................ 21
Minderleistung, Verluste und Wirkungsgrade realer Maschinen .............................. 22
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Zum Betriebsverhalten von Kreiselpumpen ........................................................... 23
Kennlinien ......................................................................................................... 23
Veränderung der Kennlinien ................................................................................ 24
Systemkennlinie, Betriebspunkt und Veränderung ................................................. 26
Parallel- und Serieschaltung ................................................................................ 27
Saugverhalten, Haltedruckhöhe, NPSH................................................................. 28
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Reibungseffekte in realen Strömungen ................................................................ 31
Viskosität .......................................................................................................... 31
Reynolds- und Froude-Zahl ................................................................................. 31
Laminare und turbulente Strömung ..................................................................... 32
Grenzschicht an umströmten Körpern .................................................................. 32
Reibung zwischen Grenzschicht und umströmten Flächen ...................................... 34
Widerstandskraft an umströmten Körpern ............................................................ 35
Rohrströmung ................................................................................................... 38
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
Grundlagen der Tragflügeltheorie ........................................................................ 42
Begriffe zur Profilgeometrie / Tragflügelgeometrie ................................................ 42
Profilgeometrie .................................................................................................. 43
Kräfte am Profil ................................................................................................. 44
Momente am Profil ............................................................................................. 45
Druckverteilung am Profil ................................................................................... 45
Das Polardiagramm ............................................................................................ 46
5.7.
f
c a  f ( , )  f (Anstellwin kel ,Wölbung ) ........................................................... 47
s
5.8.
Einfluss endlicher Spannweite ............................................................................. 47
6.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Strömung kompressibler Medien ......................................................................... 48
Schallgeschwindigkeit und Schallausbreitung ........................................................ 48
Grundgleichungen der kompressiblen Strömung ................................................... 49
Berechnung der abhängigen Strömungsgrössen ................................................... 50
Ausströmvorgänge ............................................................................................. 50
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1.
Grundbeziehungen der Fluidmechanik
1.1.
Grundbegriffe
Spezifisch:
Absolut:
Kleinbuchstaben
Grossbuchstaben
1.1.1. Fluid




Zusammenhängender Stoff, Kontinuum
Stetig veränderliche Stoffdaten (z.B. Dichte)
Kann nur Druckspannungen übertragen
Zugspannung  0;    Druck

Flüssigkeit, Gas oder Dampf
t0
t1
t3
F

F
A
 1 (t 1 )   2 (t 2 )   3 (t 3 )

F
   f (  )
Fluid fliesst weg
t
A
1.1.2. Beschreibung des Fluids
Für jedes Volumenelement dV gelten:
Thermische
Zustandsgrössen:
Masse:
Andere Grössen:
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Druck
p (x , y , z ) 
dF
dA
(Wirkt in allen Richtungen gleich)
T
(x , y , z )
Temperatur
dm (x , y , z )
dm

Dichte
dV
Fliessfähigkeit
Stoffdaten:
(dyn. Viskosität ; kin. Viskosität )
Kompressibilität (T ; kT)
Oberflächenspannungen 
Wärmekapazität cT ; cV
Wärmeleitfähigkeit 
Temperaturleitzahl
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
w  (w x ,w y ,w z )
Geschwindigkeit
w x (x , y , z , t ) 


w (x , y , z , t )  w y (x , y , z , t ) 
w ( x , y , z , t ) 
 z


im allgemeinen HÖCHSTKOMPLIZIERT!
Vereinfachte Lösung (an der HSR gültig)
Stationärer Fall

0
t
Stoffdaten konst.
  konst .
  konst .
Strömung
 eindimensional (nur X-Richtung)
 ebene Strömung
1.1.3. Dichte und Kompressibilität

dm  kg 
dV  m 3 

1
1
1


d
V
v
spez. Volumen
dm
Kompressibilität = relative Volumenänderung bei Druckänderung

1  v 


 T  k k
v  p T konst
T  0
inkompressibles Fluid
T  0
ideales Fluid
T  0
kompressibles Fluid
bei T = konstant
isothermer Kompressionskoeffizient
Beispiel: Skript P 1-3
Dichte  für Luft Tabelle in Skript P 1-5
Dichte  für Wasser Tabelle in Skript 1-6
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1.1.4. Kubischer Ausdehnungskoeffizient
p = konstant
P   
 
1  v 
1  V 
 
  
v  T  p konst
V  T  p konst
V m3
 m3 

 kg 
v 
Volumenänderung bei Temperaturänderung:
v
T
v0
T0
 dV 
  P V
0
 dT
Bei kleiner Änderung gilt:
v
T
 dV   P V 0   dT
vo
 V V 0   p V 0  T  T 0 
 p  konst .
T0
1.1.5. Viskosität (Zähigkeit)
 Innerer Widerstand gegen Fliessen (dünn- oder dickflüssig)
Dynamische Viskosität (= Proportionalitätsfaktor):
 



y
w
  

y
w
N 
 kg  w  m / s 
 



2 
m 
 m  s  y  m 

Schergefälle
Schergeschwindigkeit
Geschwindigkeitsgradient
Kinematische Viskosität (= Zähigkeit):
 
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

 kg 

m 
 ms 



 s    kg 
 3
m 
2
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
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Einheiten:
CGS-System (cm, gr, sek)
Dynamische Viskosität
Kinematische Viskosität
 Poise  

gr
cm  s
Stokes   cm
2
s
 10 3 kg 
gr 
 kg 

1

 2
  0.1  

  0.1Pas 
 cm  s 
 ms 
10 ms 
Poise   
cPoise   10 3

kg
m s
centi Poise
2

4  m 
  10 

 s 
 s 
Stokes   cm
2
m 2 
1cStokes   10 6 

 s 
SI-Einheiten (kg, m3, s)
Dynamische Viskosität
 kg 
 
 oder  Pa  s 
 ms 
Achtung:  mPa  s    milli  Pa  s 
Kinematische Viskosität
m 2 

 s 
 
!!! ACHTUNG EINHEITEN !!!
Skript P 1-10, Graphisches Viskositäts-Umrechnungsnomogramm
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1.1.6. Oberflächenspannung  von Flüssigkeiten
Im Inneren der Flüssigkeit:
Kohäsion = gegenseitige Anziehung der Teilchen
Auf der Oberfläche:
Adhäsion = Anziehung nur gegen innen mit
Schnittebene
Es resultiert eine Zugkraft:
 
 N   dyn  10 5 N 
N 
 2
 10 3  
Einheiten:  ; 

 m   cm  10 m 
m 
F
l
Zugkraft pro Länge
Kapillarität
Bohl: P 31
1.2.
Beispiel: Skript P 1-11
Kontinuitätsgleichung
1.2.1. Stromlinie und Stromröhre
Stromlinien folgen einem gewissen Zeitpunkt den Geschwindigkeitsvektoren. Eine an
eine Stromlinie gelegte Tangente gibt die Strömungsrichtung in diesem Punkt.
Stromlinien sind knickfrei und schneiden sich nicht!
Aus mehreren Stromlinien resultiert eine Stromröhre. Sie ist umhüllt von den
Mantelstromlinien.
Der Strömungsquerschnitt steht senkrecht zu den Stromlinien.
Mittlere Geschwindigkeit
w 
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V
AStr
m 3 


 2 
m 
2
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1.2.2. Bahnlinie
Die Bahnlinie beschreibt die Bewegung der Materialteilchen.
Bahnlinie
Stromlinie
Bohl: P 81
Skript: P 1-13
Bei stationärer Strömung fallen die Bahnlinien und Stromlinien zusammen!
1.2.3. Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung)
Da kein Teilchen quer zur Stromlinie strömen kann, wird kein Teilchen die
Mantelfläche durchtreten, also muss nur über die beiden Stirnflächen der
Stromröhre bilanziert werden.
Massenbilanz über das Gebiet der Stromröhre:
 m EIN   m A US 
m
t
Bilanzgebiet
Allgemeine Kontinuitätsgleichung:
 EIN  w EIN  AEIN   A US  w A US  AA US 
m
t
Stromröhre
   ein ,   aus
Für stationäre Strömung:
 EIN  w EIN  AEIN   A US  w A US  AA US  0
Für stationäre und inkompressible Strömung:
w EIN  AEIN  w A US  AA US  0

  konst .
Massenstrom:
m   w  A   V
Querschnittsfläche:
A
m
V

w  w
Bohl P 81/82
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Fliessgeschwindigkeit:
w 
m
V

 A A
Beispiel: Skript P 1-14
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1.3.
Die Eulerschen Bewegungsgleichungen
Konvektive
Ableitung
Dw x
 w x
 w x 
 ax  
  w x  
Dt
 x 
 y

 w x 
 w x 
  w y  
 w z  

 z 
 t 

Die konvektive Ableitung gibt am Ort (x, y, z) im Volumenelement
dV die zeitliche Änderung und die Änderung des
Fluidzustandes aufgrund der Strömung an, die am Teilchen
beim Durchströmen erfährt.

 p p p 

f p  grad ( p )  
,
,
 x y z 
 p p p 

,
,
 x y z 
Druckkraft
grad ( p )  
Feldkraft
f f    0, 0, 9

Fernkräfte: Erdfeld, Zentrifugalfeld, Magnetfeld
Allgemeine Gleichung für reibungsfreies Fluid:


Dw

 grad (p )  f f  0
Dt
1.3.1. Navier-Stokes-Gleichungen
Navier-Stokes-Gleichungen für reibungsbehaftetes Fluid
1.4.
kartesisches Koordinatensystem (x-Komponente):
Skript P 1-17
Zylindrisches Koordinatensystem:
Skript Aufgabe 2
Bernoulli für reibungsfreie Strömung
1.4.1. Bernoulli Gleichung
Allgemeine Form:
w 2
2

1

 p  g z  z  
w 2
2

1

 p   g z  z   konst .
Gilt für stationäre, reibungsfreie, inkompressible, 1-dim. Strömung
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1.4.2. Anwendung auf Reibungsfreie Fluide
Beispiel siehe Skript P 1-19
Freistrahl:
2
Fs
pu
Kontinuitätsgleichung
m    2  w 2  A2  Fs  w Fs  AFs
  konst
A2  AF s
daraus folgt: w 2  w F s
Bernoulligleichung
w 22
2

1

 p2  gz  z 2 
w F2s
2

1

 pFs  g z  z Fs
p 2  p F s  p u (für Freistrahl) Begründung: geradlinige Bewegung der Teilchen
Ausflussformel von Torricelli:
w 
d
2  g  (z Spiegel  z  )
d
1   
d



4
z
d
Für d   d  bzw. A  A gilt:
Ausfliessvorgang aus Gefäss mit
inkompressiblem Fluids
w   2  g  (z Spiegel  z  )
Energie/ Leistung:
w Pot  g  z
w kin 
w Druck
w2
2
1
 p

W hy dr  m   w hy dr  m   w Pot  m   w kin  m   w Druck

Spez. Leistung/ Arbeit
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1.4.3. Bernoulli Gleichung (Energie-, Höhen, Druckform)
Energieform:
w 2
2

kin.
Energie
Druckform:

w2 1
 p   g z  z      p   g z  z   konst .




2


pot.
1

spez. Druck energie
w2
 
p  

g
 z   Druck


2

Staudruck od.
dyn. Druck
Höhenform:
Energie
stat. od.
Wanddruck
geodätischer
od. Lagedruck
Totaldruck
w2
p

 z  Höhe
2g  g
1.4.4. Bestimmung der Geschwindigkeit über Druckmessung
Pitot-Rohr
Im allgemeinen, reibungsbehafteten Fall misst das Pitotrohr den
Totaldruck = statischer Druck + dynamischer Druck (= Wanddruck + Staudruck). Es
kann somit nicht auf die Geschwindigkeit geschlossen werden, ausser in offenen
Strömungskanälen. (Gerinnen)
w   2  g  z
z: Höhenunterschied Flüssigkeitsspiegel im U-Rohrmanometer
Prandtl-Rohr
Mit zusätzlicher Wandbohrung wird das Pitot-Rohr zum Prandtl-Rohr oder PrandtlSonde.
Prandtl-Rohre dienen zur Messung der Geschwindigkeit bei bekannter
Strömungsrichtung.
w1 
2

2
 ( p tot  pwand ) 

 p dy n
Bohl P 81-84 / P 241-242
1.4.5. Bernoulli instationär
Energieform:
w 12
2

1

 p1  g z  z 1 
w 22
2

1

2
 p2  gz  z 2 
dw x
 dx
dt
1

Beispiel: Skript P 1-23ff
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1.5.
Energiequellen und Energieverluste der Bernoulli-Gleichung
1.5.1. Ergänzung der Gleichung mit Quellterm und Verlustterm
ePumpe


eVerlust
Energieform:
w 2
2

w2 1
 p   g z  z   e Pumpe     p   g z  z   eV erlust




2

1

Wp
m
Druckform:

w 2
2
 p     g z  z   p Pumpe (zugeführt )   
w 2
2
 p     g z  z   pV erlust
Höhenform:
w 2
w2
1
1

 p   z   H Pumpe ( zugeführt )   
 p   z   HV erlust
2g  g
2g  g
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1.5.2. Berechnung der Druckverluste
 durch Reibungseffekte verursacht
 Ansatz durch Vergleich zu Staudruck
Gerade Rohrstücke:

L
N 
p  2      w 2 
2
d
m 
 = f(w, Stoffdaten, Wandrauhigkeit)
Formstücke (Krümmer, Bogen, Konfusor, Diffusor):
Bohl P 134 ff
Armaturen (Hahn, Ventile):
Bohl P 134 ff
Einläufe, Ausläufe:

N 
p  2      w 2
2
m 
Wert für  Bohl P 134 aus Diagrammen
p tot 
 = f(Geometrie)
immer der Fall
 = f(Strömung)
nicht immer der Fall
 = f(Wandrauhigkeit)
nicht immer der Fall
 p i
Stromröhre
1.6.
Quergleichung
1.6.1. Druckverteilung senkrecht zu den Stromlinien
Quergleichung:
15.05.16
2
w
p
2
  r    
r
r
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1.7.
Potentialströmung
1.7.1. Beschreibung von 2-dim. Strömungsfeldern mit Potentialund Strömungsfunktion

Für reibungsfreie und wirbelfreie Strömungen kann w  grad  geschrieben werden

y
wx 

x
wy 
wx 

y
wy  
 = Potential (phi)

x
 = Stromfunktion (psi)
Bedingung reibungsfrei:
=0
Bedingung wirbelfrei:
=0
Bedeutung:

2


w  w x w y
Zirkulation:
Falls beide Bedingungen erfüllt:
Strömung = Potentialströmung
Darstellung von Strömungen mit „einfacher“ Gleichung
Auftrieb und Widerstand von Flügeln können mit Quergleichung
berechnet werden, wenn Geschwindigkeitsfeld der Umströmung
bekannt.
2
m 2 

 s 
 

w
geschlosse ne
tangential

 ds
Kurv e
Skript P 1-28ff
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1.7.2. Überlagerung von Lösungen der Laplace-Gleichungen
(Singularitäten-Methode)
Siehe Skript P 1-28 ff
Singularitäten = spezielle Elemente
für die Umströmung von komplizierten Profilen (z.B: Flügelprofil), muss die
Verteilung der speziellen Elemente durch Ausprobieren gefunden werden.
Zusammenstellung der Potentiale und der Stromfunktionen
Singularität
Potential 
Stromfunktion 
w x
w y
V
 ln x 2  y 2
2   b
V
y
 arctan
2   b
x
Symbol
Parallelströmung
Quelle
Senke

V
 ln x 2  y 2
2   b
Dipol
M
x
 2
2   b x  y 2
Wirbel

y
 arctan
2   b
x

V
y
 arctan
2   b
x

M
y
 2
2   b x  y 2

2   b
 ln x 2  y 2
x, y
=
Koordinate
V
=
Volumenstrom aus der Quelle bzw. in die Senke [m3/s]
b
=
Höhe der ebenen Strömung (Anstand zwischen zwei parallelen Ebenen)
[m]
M
=
  eines Dipols, wobei 2   dem Abstand zwischen Quelle und
Senke entspricht.

Beim Dipol geht V  0 und   0 , sodass M endlich bleibt

=
Zirkulation
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2 V

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1.8.
Bernoulli im rotierenden Koordinatensystem
Das Koordinatensystem kann ortsfest oder rotierend gewählt werden.
Im ortsfestes Bezugsystem Fluidteilchen haben Absolutgeschwindigkeit
Im rotierenden Koordinatensystem (zu den mitrotierenden Wänden) die
Relativgeschwindigkeit



c

w

u

c w u
Absolutgeschwindigkeit
Relativgeschwindigkeit
Umfangsgeschwindigkeit
Bernoulli-Gleichung für stationären, reibungsfreien Fall im rotierenden
Koordinatensystem
w1
2

2
u1
2
2
 g  z1 
1

 p1 
w2
2
2

u2

u2
2
2
 g  z2 
1

 p2
Im reibungsbehafteten Fall
w1
2
2

u1
2
2
 g  z1 
1

 p1 
w2
2
2
2
2
 g  z2 
1

 p 2  e V erlust
Skript P 1-33ff
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1.9.
Impulssatz und Drallsatz
Impulssatz:



m   w   m   w   F auf F luid in Stromroehre  0
(durch Impulsänderung)



m   w   m   w   F auf Wand (v on F luid)
 0
(durch Impulsände rung)
Impulssatz mit Druckkräften auf Schnittfläche:





m   w   F p ,   m   w   F p ,   Ftot, auf
F luid in Stromroehre
(durch Wand bew irkt)
0
Impulssatz mit Druckkräften auf Schnittfläche und Umgebungsdruck:








Ftot ,aufWand  FRe s  m   w   F p ,  F p ,u ,  m   w   F p ,  F p ,u ,
Skript P 1-35ff
15.05.16
Seite 16
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2.
2.1.
Grundlagen der Strömungsrotationsmaschinen
Allgemeine Grundlagen
Arbeitsmaschine:
Laufrad gibt Energie ans Medium ab
Kraftmaschine:
Nimmt Energie vom Medium auf
Flüssige oder gasförmige Stoffe werden als Medien eingesetzt.
Definition der Begriffe:
Schaufel
Schaufel,
Schaufelgitter, Schaufelkanal
Schaufelgitter
  d  n m 
Umfangsgeschwindigkeit u
u 
Relativgeschwindigkeit des Mediums w
Geschwindigkeit bezogen auf den
mitfahrenden Beobachter
Absolutgeschwindigkeit des Mediums c
Geschwindigkeit bezogen das ruhendes
Koordinatensystem
60
n [1/min]
s
 
Eintritts bzw. Austritts:
- Durchmesser
- Winkel
- Fläche
Schaufelgeometrie
Schaufelkongruente Strömung
Strömung parallel zur Skelettlinie
Stossfreier Eintritt
w1 tangential zu Skelettlinie
Indices
1 = Schaufeleintritt
2 = Schaufelaustritt
Skript P 2-1ff
15.05.16
Seite 17
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Einteilung der Strömungsmaschinen
2.2.
Energieumsetzung im Laufrad
Der Energieumsatz im Laufrad geschieht dadurch, dass die Schaufeln dem Medium
statischen Druck, Geschwindigkeit und Drall übertragen oder entziehen.


P  E 2 E 1
E  p V
15.05.16



E  p V



P  p 2tot V 2  p1tot V 1
Seite 18
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Zur Bestimmung der einzelnen Grössen stehen folgende Beziehungen zur
Verfügung:
Kontinuitätsgleichung
m 1  m 2
Vektorgleichung
Geschwindigkeitsdreieck
Auslegungspunkt


V 1  1  V 2   2



c  u w
Drallfreier Eintritt bei Arbeitsmaschinen (Pumpen)
Drallfreier Austritt bei Kraftmaschinen (Turbinen)

Absolutgeschwindigkeit hat keine Komponente
in Richtung u
cu

Komponenten der
Absolutgeschwindigkeit c
cu
in Umfangsrichtung cu
c
senkrecht zu Umfangsrichtung cm
(Meridionalgeschwindigkeit
cm

Allgemein:
V  c m 1  A1  c m 2  A2
Arbeitsmaschine:
V  c 1  A1  c m 2  A2
Kraftmaschine:
V  c m 1  A1  c 2  A2
Leistung:
P  p tot  V 



1


   g  H V 
1

Energieumsetzung im Laufrad
15.05.16
Seite 19
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2.3.
Eulersche Beziehungen für Strömungsmaschinen
Pumpen
Turbinen
Y th  c u 1  u 1 
cu2  u2
Y th  c u 2  u 2 



 0 drallfrei heraus
A ustritt c u2  0
Y 
Energieums atz p tot

Masse Fluid

Y  g H 
15.05.16
c u1  u1



 0 drallreier Eintritt
(meistens in der Regel)
Eintritt c u1  0
Y = spez. Hydrodynamische Stufenarbeit
p tot

 
J
kg
Skript P 2-3
Seite 20
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2.4.
Dimensionslose Kennzahlen
Verschiedene Laufräder werden bezüglich ihrer charakteristischen Grösse
miteinander vergliechen, da es direkt nicht möglich ist, werden die Grössen in
dimensionslose Kennzahlen umgerechnet.
Von einer radform zu andern gehen möglicherweise die Vergleichbarkeiten verloren,
daher gibt es solche Ansätze:
Benennung
Zeichen Formel
2 Y
2 Y
D  n2  2
Zusammenhang
2 Y
 
u2

 

4 V
  3
D  2  n

    

 
Laufzahl

V
 n
2 
( 2 Y ) 3 / 4
 
1 / 2
 3/ 4
Durchmesserzahl

2 Y

  D  4 2 
2
V
 
1/ 4
1 / 2
Druckzahl
u
2

2

Durchflusszahl
Leistungszahl bei
Turbinen
Leistungszahl bei
Arbeitsmaschinen
!
 
 



Spez. Drehzahl
nq
cm
u
nq  n(min) 
V
H
3/ 4
nq  157.8  
nq = spez. Drehzahl eines realen Rades
 1 geometrisch ähnliches Rad
( aus Eintritt + Austritt sind ähnlich)
3
 2 auslegen auf V  1 ms , H  1m
 3 resultierende Drehzahl = nq
Cordier Diagramm
15.05.16
Seite 21
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2.5.
Minderleistung, Verluste und Wirkungsgrade realer Maschinen
Als Modellvorstellung wird angenommen, dass eine unendlich hohe Anzahl von
Schaufelkanälen und keine Reibung vorhanden sind. In der Realität sind eine
endliche Anzahl Schaufeln und Reibung vorhanden.
Zur Folge hat dies, dass cu kleiner ist, als nach Modellvorstellung. Diese Erscheinung
wird Minderleistung genannt und mit dem Minderleistungsfaktor rechnerisch erfasst.

c ueffektiv
 0.6    0.9
c utheoretisch
Richtwerte für Verlustzahlen und Wirkungsgrade hydraulischer
Turbomaschinen
h
Typ
hydrodynamischer
Wirkungsgrad
m

Wirkungsgrad
über alles
mechanischer
Verlust im
Lager
sp
Spaltverlust
D
R
Radreibungsverlust
DiffusorVerlust
(Saugrohr)
Mit
abnehmender
Förderhöhe
Mit zunehmender Leistung der Anlage
Francis
0.88...0.97
0.8...0.95
0.97...0.995
0.05...0.004
0.02...0.01
0.001...0.01
Kaplan
0.88...0.97
0.8...0.95
0.98...0.995
0.05...0.005
-
0.01...0.07
Freistrahl
0.8...0.94
0.8..0.92
0.97...0.995
-
0.04...0.02
-
0Für Radial- und Axialpumpen gelten näherungsweise die Werte der Francis- bzw.
Kaplan-Turbinen.
15.05.16
Seite 22
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3.
3.1.
Zum Betriebsverhalten von Kreiselpumpen
Kennlinien
Die bestimmenden Grössen eines Laufrades (Drehzahl und Schaufelgeometrie)
sind auf den optimalen Betriebspunkt (bester Wirkungsrad) ausgelegt, für einen
ganz bestimmten Volumenstrom bei einer ganz bestimmten Förderhöhe.
 Praxis: kommen Zustände vor, welche von den Auslegungsdaten abweichen
Förderhöhe

m 3 s

H m   f V 
l
 s
m3
l
h
h
H 


Y  ( u 2  c u 2  u1  c u 1 )
p tot
Y

 g
g
u1  c u1  0
Wenn drallfrei:
Kennlinie einer Pumpe
H
Reale Kennlinie
Auslegungspunkt
H0
Ideale Kennlinie

V0
V
3.1.1. Totaldruckerhöhung
p  Y  
p tot  p stat  p dy n
pdy n 
p stat 

2

2
2
2
 ( c 2  c1 )
2
2
2
2
 ( w 1  u1  w 2  u 2 )

Ptheoretisc h  p tot  V
15.05.16
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3.2.
Veränderung der Kennlinien
Methoden:

Drehzahlvariation

Abdrehen

Laufschaufelverstellung
3.2.1. Affine Veränderung der Kennlinie durch Drehzahlvariation

Drehzahlveränderung von n0 auf n

Drallfreie und stossfreie Zuströmung auf der Eintrittsseite
Geschwindigkeitsdreiecke bei einer Drehzahlveränderung von n0 auf n

c0

c

w0

u

u0

c0

c

cm0

cm

cu

cu 0
ho
U0

V


V
0
cm0
n
u0
n0
u 
h
Volumenstrom:

w
n
n0
cm 
n
 c m0
n0
H
Förderhöhe:
n 
H
  
H0
 n0 
Leistung:
n 
P
  
P0
 n0 
Cu0
cu 
n
cu0
n0
Affintätsparabel
2
n
3
n0

V
Die affinen Punkte liegen alle auf der Affinitätsparabel
Affinitätsparabel:
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H 
H0

V0
2
2
V
Seite 24
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3.2.2. Veränderung der Kennlinie durch Abdrehen des Laufrades

kostengünstig

Irreversible Veränderung des Laufrades
Es gelten folgende empirische Regeln:

V ab

V0
Pab

H ab  D ab

H 0  D 0
D
 P0   ab
 D0






m
4
Index 0: Punkt auf Kennlinie im Diagramm
Index ab: Punkt auf erforderlichen Kennlinie
Vektordiagramme siehe Skript P 3-8
3.2.3. Veränderung der Kennlinie durch Laufschaufel-Verstellung
Bei Axialrädern mit aufwendiger Bauart sind die Schaufeln gesamthaft verstellbar.
Durch Änderung der Schaufeleintritts- und Schaufelaustrittswinkel, ändern die
Geschwindigkeitsdreiecke, allerdings werden auch die Stossverhältnisse am Eintritt
tangiert.
Beispiel siehe Skript P 3-8
15.05.16
Seite 25
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3.3.
Systemkennlinie, Betriebspunkt und Veränderung
Eine Pumpe kann an jedem Punkt ihrer Kennlinie betrieben werden. Der effektive
Betriebspunkt wird durch das System bestimmt. Der gesamte Widerstand (Rohre,
Krümmer, Diffusor, Ventile etc) eines Systems wird durch die Systemkennlinie
oder durch die Rohrparabel dargestellt.
Offenes System
H
Umlaufsystem
Pumpenkennlinie
H
Systemkennlinie
Rohrparabel





V
V
Parabel schneidet y-Achse
ausserhalb des Nullpunktes
Unterschiedliche statische und/oder
geodätische Drücke
Systemkennlinie hat statischen und
dynamischen Anteil



Parabel schneidet 0/0
Fluid zirkuliert in einem Kreislauf
Umlaufssystem besteht nur aus
einem dynamischen Teil
Der Betriebspunkt eines Systems liegt auf dem Schnittpunkt der Rohrparabel und
der Pumpenkennlinie.
Begründung: System kann nur soviel Widerstand produzieren wie die Pumpe beim
entsprechenden Volumenstrom liefert.
H
Pumpenkennlinie
Rohrparabel
Betriebspunkt

V
Entspricht der Betriebspunkt eines gegebenen System und einer gegeben Pumpe
nicht den Anforderungen, durch Verändern der Pumpenkennlinie oder durch
Verändern der Systemkennlinie ein neuer Betriebspunkt gefunden werden.
15.05.16
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BP0
H
n0
n1

V
BP1
Verändern der Pumpenkennlinie: Drehzahländerung von n0 auf n1
Verändern der Rohrparabel:
Drosselung durch Schieber etc.
ACHTUNG: Alle Veränderungen sind immer mit Verlusten verbunden, aber auch der
Einfluss der Betriebspunktveränderung auf den Pumpenwirkungsgrad muss beachtet
werden.
3.4.
Parallel- und Serieschaltung
Parallelschaltung
Rohrparabel
H
Betriebspunkt 2
Kennlinie 2 Pumpen
Betriebspunkt 1
Kennlinie 1 Pumpe

V
System mit überwiegend statischem Rohrparabelanteil  Paralleschaltung
15.05.16
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Serieschaltung
H
Rohrparabel
Betriebspunkt 2
Kennlinie 2 Pumpen
Betriebspunkt 1
Kennlinie 1 Pumpe

V
Systeme mit vorwiegenddynamischen Rohrparabelanteil  Serieschaltung
Element
Parallel
Serie
Klv
über H  const V addieren
über V  const H addieren
BPv
Schnitt von KLv mit Systemkennlinie
BPi jeder Pumpe
bei Verbundbetrieb
Von BPv auf H= const zur
individuellen Pumpen-KL
Wirkungsgrad bei
Verbundbetrieb
Von jeder beteiligten Pumpe gemäss ihrem BPi den
zugehörigen Teilwirkungsgrad bestimmen und wie folgt
verrechnen
V 
3.5.
VV
Vi
 i
Von Bp auf V= const zur
individuellen Pumpen-KL
V 
HV
H
 ii
Saugverhalten, Haltedruckhöhe, NPSH
Kavitation:
Es bilden sich Dampfblasen, die später, wenn der statische Druck
wieder angestiegen ist, implosionsartig verschwinden.
 Geräusche Vibrationen, Leistungsabfall, Erosionsschäden
15.05.16
Seite 28
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3.5.1. Saugverhalten / NPSH
NPSH = Net Positve Suction Head (=Haltedruckhöhe)
NPSH 
p stat abs  p dy n  p Dampf
1

 ( p stat abs   c 12  p Dampf ) 
 g
2
 g
ACHTUNG: Absolutdrücke einsetzen
Saugverhalten oder Kavitationsempfindlichkeit
Skript P 3-11
3.5.2. NPSH der Anlage
NPSH welcher tatsächlich in der Anlage vorhanden ist. Er wird näherungsweise nach
folgender Formel berechnet:
NPSH A 
p ref . S  p D
 HV S  Z S
 g
HV S 
 pVS
g
NPSH3% = Charakteristik bez. Kavitation
SA 
NPSH A nlage
NPSH 3 imBestpunkt
pref.S
Referenzdruck auf Medium, saugseitig
pD
Dampfdruck des Mediums (=f(T))
(absolut)
HVS
Druckverlu st von Refernezstelle des Radeintrit ts
 g
(absolut)
zS
Geodätische Höhendifferenz
NPSH
Haltedruckhöhe
NPSHA
Min. NPSH der Anlage
NPSH3%
Wenn NPSH den Kennwert der Pumpe NPSH3%
erreicht, gehen 3% der Förderhöhe verloren
15.05.16
Seite 29
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pref
NPSHBezugspunkt
p ref  p stat  p dy n    g  h  pv erlust
p stat  p dy n  p ref    g  z  pv erlust
NPSH A 
p Dy n 

2
p ref  p D pv erlust

Z
 g
 g
w 2
Legende:
pv erlust
Druckverlust durch Reibung in der Leitung
z
Höhenunterschied Spiegel-Pumpe
15.05.16
Seite 30
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4.
4.1.
Reibungseffekte in realen Strömungen
Viskosität
Siehe Kapitel 1.1.5
Allgemein gilt:
   ( p ,T )
Für Flüssigkeiten:
  falls T ,   falls p 
Für Gase:
  falls T ,   falls p 
   ( p ,T )
Quellenangabe für Werte für  und :
 für Wasser
 für Wasser
 für Wasser
 für Luft
 für Luft
 für Luft
 für Luft
 für diverse Flüssigkeiten
 für Öle
 für Gase
 für Gase
 für Wasserdampf
4.2.
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
Tafel
12
12
13
14
14
15
16
17
18
19
20
21
Wertetabelle
Wertetabelle
=(t)
Wertetabelle
Wertetabelle
=(p,T)
=(T)
=(T)
=(T)
=(p=1bar,T)
=(p)
=(T)
Reynolds- und Froude-Zahl
Abmessungen Körper 2
c
Abmessungen Körper 1
Geometrische Ähnlichkeit:
Physikalische Ähnlichkeit:
Reynolds-Zahl:
Archimedes-Zahl:
Froud-Zahl:
physikalis che Grösse xy an dV in Original
c
physikalis che Grösse xy an dV in Modell
Re 
 w  L w  L



Ar 
( Teilchen   F luid ) L3
 2 g
Fr 
 F luid
w
Lg

 c geometrie
Feldkräfte und Reibungskräfte
dominieren
z.B. Sinken von Teilchen im
Fluid
Feldkräfte und Trägheitskräfte
haben Einfluss
z.B. Vorgänge mit
Oberflächenwellen
Andere Kennzahlen (Weber-, Ohnesorge- und Euler-Zahl) siehe Skript P 4-3
15.05.16
Seite 31
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Formelsammlung Hydromechanik & Aeromechanik
4.3.
Laminare und turbulente Strömung
Definitionen:

Strömungsgebiete, in welchen die Teilchen keine Zitterbewegung
aufweisen heissen laminar. Alle Teilchen bewegen sich entlang ihrer
Stromlinien.

Strömungsgebiete, in welchen die Teilchen zusätzlich zu ihrer
Hauptströmungsrichtung noch Zitterbewegungen aufweisen, heissen
turbulent. Die Zitterbewegung heisst turbulent, die Intensität der
Zitterbewegung heisst Turbulenzgrad.
Turbulente Strömung:
Wobei gilt: w i 
1

w x

w  w y
w
 z

 w x  w x 
 

  w y  w y 
 w  w  
z 
  z


 w i  dt und w i 
0
1



 w i  dt  0
0
Charakteristisches Mass für den Umschlag von laminarer Strömungsform zu
turbulenter Strömungsform wird der Wert der Re-Zahl ermittelt.
Strömung im Rohr (Rohrströmung) ReUmschlag = 2320
Andere Umschlagsituationen siehe Bohl P 116
4.4.
Grenzschicht an umströmten Körpern
4.4.1. Ebene Platte
An der ebenen Platte baut sich die Grenzschicht von der Vorderkante aus nach
hinten auf. Nach einer gewissen Länge schlägt das laminare Grenzschichtprofil in
eine zweilagige Grenzschichtstruktur um. Es bildet sich eine sehr dünne laminare
Unterschicht und eine dicker turbulente Oberschicht.
Die Grenzschicht
reicht bis zu einem
Wert von:
w lokal
w freieStrömung
 0.99
Grenzschichtaufbau an der ebenen Platte
15.05.16
Seite 32
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Formelsammlung Hydromechanik & Aeromechanik
Aus Messungen wurden folgende Beziehungen hergeleitet:
Umschlagstelle la zwischen laminaren und turbulenten Grenzschichtprofil:
Re krit 
w la
 3.2  105...3  10 6

Dicke der laminaren Grenzschicht in Funktion vom Abstand von der Vorderkante x:
 lam  5 
v x
w
oder
 lam
1
0.5
 5  Re x  5  Re x
x
Dicke der turbulenten Grenzschicht in Funktion vom Abstand der Vorderkante y:
 turb  0.37  5
v y 4
w
 turb
1
0.2
 0.37  5 Re y  0.37  Re x
y
oder
4.4.2. Der umströmte Körper
Auch am umströmten Körper werden die Fluidteilchen in Wandnähe durch
Reibungskräfte abgebremst.
Umströmung eines Keils
Ablösung:
Die Ablösung wird nur durch die Wandreibung
verursacht!
Skript P 4-7
Bohl P 117/118
Umströmung einer Kugel
15.05.16
Seite 33
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Formelsammlung Hydromechanik & Aeromechanik
Die Umströmung eines Zylinders und einer Kugel lassen sich mit dem
Potentialströmungsansatz berechnen. Die Form und Grösse der Ablösung ist von der
Reynoldszahl abhängig.
Schleichende Umströmung der Kugel:
Re D 
(noch keine Ablösung)
Unterkritische Umströmung der Kugel:
(Ablösung erfolgt unmittelbar nach dem dicksten
Querschnitt)
Überkritische Umströmung der Kugel:
(Die Ablösung erfolgt erst in der energiereichen
turbulenten Grenzschicht)
w  D
 10 3
v
10 3  Re D  1.7  10 5...4  10 5
Re D  1.7  10 5...4  10 5
Umströmung eines querangeströmten Kreiszylinders in f(Re) siehe Skript P 4-8.
4.5.
Reibung zwischen Grenzschicht und umströmten Flächen
Wandschubspannungskraft:
F R    Wand  db  dx
B L
Falls Strömung eindimensional:
F R  B   Wand  dx  B    
L
w
y
 dx
Wand
Widerstandskraft in Abhängigkeit mit dem Staupunkt, Plattenoberfläche und einem
Beiwert:
FR  c F 

2
w 2  APlatte
Oberflächen-Widerstands-Beiwert c F ist abhängig von Re und der dimensionslosen
Oberflächenrauhigkeit k/L.
Bohl P 176
Die c F -Werte können gemäss den Formeln von Bohl P 175 ff berechnet werden
oder aus dem Diagramm entnommen werden
Reibleistung:
15.05.16
P  FR  w
Seite 34
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4.6.
Widerstandskraft an umströmten Körpern
4.6.1. Allgemeine Ursache
Skizzen Siehe Skript P 4-11
Gesamtwiderstandskraft:
FWGesamt  Fw ,Oberfläche  Fw ,Form
Oberflächenwiderstand:
Fw ,O berfläche  c F 
Formwiderstand:
Fw ,Form  c D 
FWGesamt  c F 

2
2
w   AO berfl .  c D 

2

2

2
2
w   AO berfl .
2
w   ASpant
2
w   ASpant  c w 

2
2
w   ASpant
meistens wird der Gesamtwiderstandsbeiwert cw angegeben
4.6.2. Umströmung von Zylinder und Kugel
Bei der Umströmung von Kugel und Zylinder zeigt sich, dass der Umschlag von
unterkritischer zur überkritischen Strömung abhängig ist vom Turbulenzgrad des
anströmenden Mediums.
Diagramm siehe Skript P 4-12
15.05.16
Seite 35
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4.6.3. Widerstandsbeiwerte von beliebigen Körpern
cw-Werte siehe Bohl P 308-310
15.05.16
Seite 36
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4.6.4. Die Sinkgeschwindigkeit
In einem Fluid bewegenden Körper wirken immer die gleichen Kräfte:
Gewichtskraft, Auftriebskraft, Widerstandkraft und in Anlaufsituationen
zusätzlich die Trägheitskraft



Festkörper sinkt in Fluid
Tropfen bewegt sich in Fluid
Blase steigt in Fluid hoch
Fw
Kontinuierliche Phase
(Medium um Körper)
FA
Disperse Phase (Körper)
FG
Gewichtskraft:
FG  m d  g   d V d  g
Auftriebskraft:
F A  m k  g   k V d  g
Widerstandskraft:
Fw  c W (Re) 
Im stationären Fall:
 Fi
k
2
 w 2  ASpant
 md  a  0
Sinkgeschwindigkeit Kugel:
 d   k  4  g
D
 

 k
 3 c W (Re)
w Sink  
Re<1
cW 
24
(Stokes’sches Gesetz)
Re
w Sink  ( d   k ) 
g D 2
18  k
1<Re<103
cW muss aus dem Diagramm abgelesen werden
103<Re<2*105
c W  konst  0.4
 d   k  4  g D
 

 1.826 
 k
 3 0.4
w Sink  
15.05.16
Seite 37
 d   k

 k

  g  D

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Formelsammlung Hydromechanik & Aeromechanik
Die Berechnung der Sinkgeschwindigkeit kann nur durch Iteration gelöst werden.
Die Sinkgeschwindigkeit kann durch die Archimedes-Zahl ermittelt werden.
4.7.
D3
d   k
g
k
Archimedes-Zahl:
Ar 
Reynoldszahl:
Re 
Ar-Bereiche:
Zusammenhang Re = f(Ar)
Ar<9
Re 
9<Ar<84000
 Ar 
Re  

 13.9 
Ar>84000
Re  1.73  Ar
vk
2

w D
vk
Ar
Schleichende Umströmung
18
0.7
Übergangsbereich
Laminare Grenzschicht und Ablösung
Rohrströmung
4.7.1. Qualitativer Strömungsvergleich mit und ohne Reibung
Siehe Skript P 4-16ff und Bohl P 152ff
4.7.2. Einlaufstrecke
Siehe Skript P 4-18 und Bohl P 152ff
4.7.3. Laminares Geschwindigkeitsprofil am kreisrunden Rohr
r
R
Aus der Herleitung mit der Gleichung von Navier-Stokes ergibt sich die Gleichung für
das parabolische Geschwindigkeitsprofil:
w (r ) 
15.05.16

p1  p 2
 R2 r 2
4   l

Seite 38
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Durch die Integration w(r) über die Strömungsquerschnittsfläche folgt das Gesetz
von Hagen-Poiseulle:

V   R 4 
(p 1  p 2 )
8   l
w 
mittlere Geschwindigkeit:
p1  p 2
R 2
8   l
Aus dem Volumenstrom folgt die maximale Geschwindigkeit:
w max  w (r  0) 
p1  p 2
R 2
4   l
oder
w max  2  w
lam 
64
Re
Druckfall der laminaren Strömung:
p lam 
64 
l
 w 2 
Re 2
d
4.7.4. Turbulentes Geschwindigkeitsprofil im kreisrunden Rohr
R
turbulentes Geschwindigkeitsprofil im kreisrunden Rohr
Das Geschwindigkeitsprofil kann nicht analytisch abgeleitet werden.
Dicke der laminaren Unterschicht:
 lam 
15.05.16
34.2
(0.5  Re) 0.875
d
Seite 39
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Geschwindigkeitsprofil:
1/n
w (r ) 
r 
 1  
w max 
R
mit dem „hoch-1/7-Gesetz“
Diagramm siehe Skript P 4-20
Zwischen w und w max besteht folgender Zusammenhang:
w
2n

w max (n  1)  (2n  1)
Druckverlust der turbulenten Strömung:
p turb  turb 

2
w 2 
l
d
turb  f (Re, Rohrrauhig keit )
Für das Rohrreibungsdiagramm unterscheidet man folgende vier Fälle:
Kein direkter Energieaustausch zwischen
turbulenter Kernzone und Wand
Zum Teil direkter
Energieaustausch
zwischen turbulenter
Kernzone und Wand
direkter
Energieaustausch
zwischen turbulenter
Kernzone und Wand
Hydraulisch glatt
Übergangsgebiet
Hydraulisch rauh
turb  f (Re)
turb  f (Re, d / k )
turb  f (d / k )
turb Rohrreibungsdiagramm siehe Bohl P 301, Tafel 30
turb Berechnung siehe Bohl P 124/125
k siehe Bohl P 302, Tafel 31
Skript P 4-21
15.05.16
Seite 40
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4.7.5. Nicht-kreisrunde Strömungskanäle
Es gibt unendlich viele Kanalformen, aus diesem Grunde wurde folgendes
Ersatzmodell gebildet:
Man bildet ein Ersatzrohr (ER) mit kreisförmigem Querschnitt, welches pro
Kanallänge denselben Druckabfall aufweist, wie der nicht-kreisförmige Kanal. Der
Durchmesser dieses kreisförmigen Ersatzrohres ist der hydraulische Durchmesser dh.
Erklärung des hydraulischen Durchmessers
dh 
Hydraulischer Ersatzdurchmesser:
A

Kreisrohr
4
Rohr
Offener Kanal
d 2

4

4

4
U
d 2
 d
2
 D d
3s
2

b h
  D  d 
2h b
Seite 41
d
4s 2
s
4s
4s
Weitere Formeln und Diagramme siehe Bohl P 131
15.05.16
4A
dh 
 d
3 2
s
4
Gleichseitiges Dreieck
U
U
s2
Quadrat
4A
4

3 2
s
3
4

s
3s
3
 4
4  D2 d 2 
D  d   
 D d
4 b h
2h  b
Skript P 4-22
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5.
5.1.
Grundlagen der Tragflügeltheorie
Begriffe zur Profilgeometrie / Tragflügelgeometrie
Hinterkante
Nasenpunkt
Profilgeometrie
Definition Profilsehne
Profilkontur oder Profillaufmessung
Anstellwinkel
15.05.16
Seite 42
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Bei beidseitig konvexen Profilen: Verbindung von Nasenpunkt (NP)
und Hinterkante (HK)
Bei konkaven Profilen: Verbindung der Tangente an die
Profilunterseite und Hinterkante
Profilsehne
Die Profilkontur wird folgendermassen beschrieben:
y o  f (x )
y u  f (x )
yo
x
f 
s
s
yu
x
f 
s
s
Profilkontur






Skelettlinie
Geometrischer Ort der Zentren der im Profil eingeschriebenen
Kreise
Profiltiefe
Profillänge l
Profilwölbung
Grösste Wölbung der Skelettlinie
Wölbungsrücklage
Koordinate der Profilwölbung in x-Richtung
Profildicke
max( y o  y u ) x
Dickenrücklage
Siehe Wölbungsrücklage
Nasenpunkt
Siehe oben
Hinterkante
Siehe oben
Anstellwinkel
Siehe oben
5.2.
ACHTUNG: Im Skript als s bezeichnet
Profilgeometrie
Hauptabmessungen eines endlichen Tragflügels
Spannweite / Profilbreite:
Profillänge:
b
l
Seitenverhältnis:

Flügelfläche für Rechteckflügel:
AF l  b  l
Flügelstreckung:

15.05.16
AF l
1
b2
1

Seite 43

b2
AF l
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5.3.
Kräfte am Profil
Bemerkungen:
ca und cw hängen von der Profilform, vom Anstellwinkel, von der
Rauhigkeit der Profiloberfläche und von der Reynoldszahl ab.
Kräfte am Profil
Auftriebskraft FA:
FA  c a 

2
 zu w 
2
w   AFl
ca = Auftriebskoeffizient
Widerstandskraft FW:
FW  c w 

2
// zu w 
2
w   AFl
cw = Widerstandskoeffizient
Resultierende Kraft:
2
F R  F A  FW
2
Normalkraft FN:
F N  F A  cos( )  FW  sin(  )
Tangentialkraft FT:
FT  FW  cos( )  F A  sin(  )
Flächenbel astung 
spez.Widerstand 
15.05.16
FA
AF l
FW
AF l
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5.4.
Momente am Profil
Momente am Profil
Die Lage des Kraftangriffpunktes D wird über das von den Strömungskräften auf
den Tragflügel ausgeübte Drehmoment bestimmt.
M  F 'l
F ' cm 
s 
5.5.

2
2
w   AFl
M cm 

2
2
w   AFl  l
cm
l
ca
Druckverteilung am Profil
Druckverteilung am Profil
Druckkoeffizient
c p (x ) 
p (x )  p 

2
w 
2
Weitere Informationen siehe Bohl P 187
Diagramme für Druckkoeffizienten siehe Skript
15.05.16
Seite 45
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5.6.
Das Polardiagramm
In einem Polardiagramm sind für ein bestimmtes Profil mit einem bestimmten
Seitenverhältnis die dimensionslosen Beiwerte ca, cw und meistens noch cm für
verschiedene Anstellwinkel  dargestellt.
Beispiel eines Polardiagrammes
Gleitwinkel ,Gleitzahl 
tan( )   
Fw c w

Fa
ca
Reynoldszahl
Re 
w  l

Polardiagramm siehe Bohl P 311 (Gö 623)
Polardiagramm siehe Skript (Diverse)
15.05.16
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f
c a  f ( , )  f (Anstellwin kel ,Wölbung )
s
5.7.
ca für ebene Platte
c a  2    sin(  )
ca für Parabelprofil

c a  2      2 

f 

s
Daraus folgt aus verschiedenen Profilen gemessen:

c a  (0.091  1)   []  100 

f 

s
 4  2 
4  f
f
f 

   [] 
c a  
 0.109   []  12.5   0.109   []  115  

l
l
l 

 360 

c a  0.1   [] 
Näherungsformel:
5.8.

f
%
l

Einfluss endlicher Spannweite
Druckunterschied oben und unten führt am Tragflächen-Ende zu Umströmung und
Auftriebsverlust.
2
Auftriebsverlust:
c wi
2
F
c
c
A
 w induziert  a    a  F2


 b
2
AF   u 
2
Auftriebsverlust wird kompensiert durch -Vergrösserung
c a  360
 c
  a   



2  2
 in Grad
Rezeptbuch für b endlich
1. ca aus gegeben Daten bestimmen
2.  berechnen
3. c w für  eff      
4. cwi (induzierter Widerstandkoeffizeint)
5. c w eff  c w  c w i
siehe Skript
15.05.16
Seite 47
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6.
6.1.
Strömung kompressibler Medien
Schallgeschwindigkeit und Schallausbreitung
6.1.1. Schallgeschwindigkeit
Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen:
a  p v   
p 
   R i T

6.1.2. Schallausbreitung, Schallmauer
Schallausbreitung, Schallmauer, Machscher Kegel
Mach-Zahl:
Ma 
w
Objektgeschwindigkei t

a oertliche Schallgesc hwindigkei t
Ma<1
Ma>1
Ma>5
subsonisch
Unterschall
supersonisch Überschall
hypersonisch Hyperschall
Machscher Kegel
sin( ) 
15.05.16
a
1

w Ma
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6.2.
Grundgleichungen der kompressiblen Strömung
Die Grundgleichungen beschreiben die Strömungsfelder in kompressiblen Medien für
den stationären Fall.
15.05.16
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6.3.
Berechnung der abhängigen Strömungsgrössen
2
T  T 
w 
w

2
R
 1

2    R  T   p tot
 
 1
p
 stat

w
2
 p
Ma 

  tot
a
  1  p stat







 1

 1



 1



 1

siehe Skript
6.4.
Ausströmvorgänge
Siehe Bohl P 206ff
6.4.1. Ausströmgeschwindigkeit
w a '  2  h s

 p
 2  c p T i  1   a
p
  i

 p
wa ' 2
v i  p i 1   a
 1
p
  i




 1




 1




  2    1 T i  R i


pi


  2   1  
i


  p a
1   p
  i

 p
 1   a
p
  i



 1




 1









h s  c P  T i T a ,s 
w a ,kritisch  a a
Ausflussgeschwindigkeit mit Geschwindigkeitsbeiwert:
w a   w a '    2  h s  2  h
Wirkungsgrad für Energieumsetzung:
  2
15.05.16
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Die Grösse des Geschwindigkeitsbeiwertes hängt von der Art der Behälteröffnung
ab. Bei gut abgerundeten Düsen ist der Wert sehr hoch, bei scharfkantigen
Rohranschlüssen kleiner.
 hängt von der Widerstandszahl ab:
  1'
Die Widerstandszahl kann anhand der Gleichungen im Bohl P 134ff
Ausführlichere Information siehe Bohl P 206 ff
6.4.2. Austretender Massenstrom
Man unterscheidet generell zwischen unterkritischen und überkritischen
Ausströmung:
Kriterien für unterkritisches bzw. überkritisches Ausströmen:
unterkritisches/ überkritisches Ausströmen
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Unterkritisches Ausströmen:
Bei idealen Gasen:

m th

 p
 Aa  2   i  p i 
  a
 1  pi


2
 
   p a   1 
  



 pi  

Die hintere Wurzel beschreibt die sogenannte Ausflussfunktion:

 p
 
  a
 1  pi


2
 
   p a   1 
  



 pi  

Ausflussfunktion
Daraus folgt:

m th  Aa    2   i  p i
15.05.16
Gleichung 5.21
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Zusammenhang zwischen Druckverhältnis und ausströmenden Massenstrom
Massenstrom mit Reibung und Strahleinschnürung:

m    Aa    2   i  p i
   
 = Geschwindigkeitsbeiwert (siehe Tabelle Bohl P 164)
 = Kontraktionszahl (siehe Tabelle Bohl P 164)
 = Ausflusszahl (siehe Tabelle Bohl P 164)
Bei überkritischem Ausströmen folgt:
 pa

 pi


 2   1



 krit    1 
1
 max

 2   1


 1
 1
Werte für pa/pi siehe Bohl P 211
Weiterführende Informationen siehe Bohl P 206ff
6.4.3. Lavaldüse
Siehe Beispiel im Skript
Siehe Bohl P 214ff
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