Hydrom05

Hydrodynamik (A)
Dynamik ist der Teil der Mechanik, der insbesondere die Änderung des Bewegungszustandes von Körpern - infolge der Einwirkung von Kräften - behandelt.
In der Fluiddynamik (Mechanik der Flüssigkeiten und Gase) wird
angenommen, dass Fluide zwar aus Teilchen bestehen. Sie können aber als sogenanntes Kontinuum behandelt werden, - also
den Raum zusammenhängend ausfüllende Materie. Dabei stellt
die Formänderung den Regelfall dar.
Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung wird die Dynamik nur bezogen auf Flüssigkeiten (insbesondere Wasser) behandelt.
Bewegungen sind generell durch die Existenz von Geschwindigkeiten v und Beschleunigungen a gekennzeichnet.
Wird mit s die Weglänge und mit t die Zeit bezeichnet, ist die
2
dv
d
s
ds
Geschwin- v =
und die Beschleunigung: a =
=
dt
dt 2
digkeit:
dt
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05.1
Die Geschwindigkeit ist eine Funktion der beiden Veränderlichen s und t.
Dann lautet das totale Differential (Zuwuchs der Funktion
v(s,t) um ds in s-Richtung und dt in t-Richtung):
δv
δv
dv =
⋅ ds +
⋅ dt
δs
δt
Die substantielle Beschleunigung ist demnach:
Man nennt
δ v
δ s
δ v
δ t
⋅ v
δ v ds
δ v dt
dv
a =
=
⋅
+
⋅
dt
δ s dt
δ t dt
δv
δv
⋅v +
a =
δs
δt
= konvektive Beschleunigung und
= lokale Beschleunigung.
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05.2
Instationäre Strömungen:
Im allgemeinen in Systemen mit beiden Beschleunigungsarten
(Substantielle Beschleunigungen). Insbesondere ändert sich an
bestimmten Orten die Geschwindigkeit über der Zeit.
Geschwindigkeit v
v ≠ konst .
∂v
Instationäre Strömung:
≠0
∂t
Zeit t
Beispiele: Füll- und Entleerungsvorgänge bei Behältern (Schleusenkammern, Talsperren), Wasserwellenbewegung.
(
Hydromechanik II)
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05.3
Stationäre Strömungen:
Es liegen ausschließlich konvektive Beschleunigungen vor.
Das instationäre Glied ist gleich Null: ∂v
Geschwindigkeit v
∂t
=0
v = konst .
Zeit t
Stationäre Strömung
An einem bestimmten Ort ändert sich die Geschwindigkeit v nicht
über der Zeit t. Die Geschwindigkeit kann sich aber von Ort zu Ort
ändern.
Stationäre Strömungen werden in der Hydromechanik I aus05.4
schließlich behandelt. © 2002 Büsching, F.: Hydromechanik
Kontinuitätsgleichung:
Der füssige
Inhalt einer
“Stromröhre”
wird
“Stromfaden”
genannt.
A1
v1
Bei stationärer Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit
dringt in der Zeiteinheit dt in
ein Kontrollvolumen (zwischen
A1 und A2) das gleiche elementare Volumen dV ein, das
in der gleichen Zeiteinheit
auch wieder austritt:
dV = A1 ⋅ v 1 ⋅ dt = A2 ⋅ v 2 ⋅ dt
A1 ⋅ v 1 = A 2 ⋅ v 2
A2
v2
Der Durchfluss Q (in Volumen
pro Zeiteinheit, z.B. in m3/s) ist
konstant:
Q = A ⋅ v = konst .
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05.5
Anwendung auf kompressible Medien:
Bei kompressibler Flüssigkeit (Gas) tritt an die Stelle des
Volumens die ein- und austretende Masse.
ρ 1 ⋅ A1 ⋅ v 1 = ρ 2 ⋅ A 2 ⋅ v 2
Der Massenstrom QM (z.B. in t/s) bleibt konstant:
QM = ρ ⋅ A ⋅ v = konst.
Dies ist der Satz von der Erhaltung der Masse.
Demnach ist die Kontinuitätsgleichung der Hydromechanik eine
besondere Form dieses Satzes für inkompressible Flüssigkeiten,
die dadurch gekennzeichnet sind, dass
ρ 1 = ρ 2 = ρ = konst .
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05.6
Zweidimensionale Strömung:
y
A
D
dy
B
C
Beliebiges
Strömungsfeld
x
dx
Die Formulierung der Kontinuitätsbedingung für eine ebene (zweidimensionale) Strömung greift auf die Darstellung eines Strömungsfeldes mit Hilfe von Stromlinien zurück.
Unter den oben dargestellten Strömungsbedingungen herrscht
auf den Seiten AB und BC des infinitesimalen Rechteckes ABCD
Einstrom und auf den Seiten
CD und DA Ausstrom.
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05.7
Die Strömungsgeschwindigkeit ändert sich sowohl in x- als
auch in y-Richtung mit dem Ort: (
konvektive Beschleunigung)
y
δv y
⎛
⎞
⎜⎜ v y +
⋅ dy ⎟⎟ ⋅ dx
Ausstrom
δy
⎝
⎠
δv x
⎛
⎞
v
+
⋅
dx
⎜ x
⎟ ⋅ dy
δx
⎝
⎠
v x ⋅ dy
Einstrom
v y ⋅ dx
x
Einstrom
=
Ausstrom
∂v y
∂v x
⋅ dx ⋅ dy
v x ⋅ dy + v y ⋅ dx = v y ⋅ dx +
⋅ dy ⋅ dx + v x ⋅ dy +
∂x
∂y
∂v y
∂v x
1
0=
⋅ dy ⋅ dx +
⋅ dx ⋅ dy ⋅
∂y
∂x
dx ⋅ dy
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05.8
Kontinuitätsgleichung für
zweidimensionale Strömungen:
δ v x δv y
+
=0
δx δ y
In Worten:
Die Summe der Änderungen der
Geschwindigkeitskomponenten
Kontinuitätsgleichung für
dreidimensionale Strömungen: bezüglich der Kordinatenrichtungen (partiellen Ableitungen)
ist gleich Null.
δv
δv x
δv z
y
+
+
=0
δx δ y
δz
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05.9
Allgemeine Aussage der Kontinuitätsgleichung:
Q = A ⋅ v = konst.
Die Strömungsgeschwindigkeit wird umso höher, je kleiner der
Durchströmquerschnitt A ist:
Q
v =
A
Beispiel: Q = 1m3/s = konst.
A1 = 1m2;
v1 = Q/A1 = 1m/s
A2 = 0,1m2;
v2 = Q/A2 = 10m/s
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05.10
Beispiel: Kontinuitätsgleichung
Q = A ⋅ v = konst.
gegeben:
v 0 = 0,5m / s
D1 = 0,5m
v1 = 3m / s
L2 = 1,0m
B2 = 1,0m
B 3 = 1,0 m
v 3 = 0,4 m / s
L
2
=
1 ,0 m
gesucht:
D0 , Q, v2, h3
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05.11
Q = v1 ⋅ A1 = 3 ⋅
π ⋅ 0,52
4
Q = v 0 ⋅ A0 → D0 =
= 0,589 m 3 / s = v 0 ⋅ A0
0,589 ⋅ 4
= 1,225m
π ⋅ 0,5
Q 0,589
v2 =
=
= 0,589m / s
A2
1⋅1
Q
0,589
0,589
v3 =
=
→ h3 =
= 1,473 m
A3
B3 ⋅ h3
1,0 ⋅ 0,4
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05.12
Energiesatz: Satz von der Erhaltung der Energie.
Ableitung des Energiesatzes (synthetisch)
Der Energiesatz folgt als ein sog. intermediäres
Integral (= Zwischenform) aus der NEWTONschen
Grundgleichung.
F = m⋅ a
Für reibungsfreie, stationäre und
zweidimensionale Strömung:
Isaac Newton (1643-1727)
y
p
ds
A
ds
dy α
A
mg.sinα
dx
mg α
α
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p+dp
x
05.13
p
ds
A
A
mg.sinα
mg
α
p+dp
Es wird aus einem beliebig gefomten Stromfaden in der x-y-Ebene
ein infinitesimales Element der
Länge ds herausgeschnitten und
die Kräfte in Bewegungsrichtung
betrachtet.
Die resultierende Kraft ergibt
sich zu
F = m ⋅ g ⋅ sin α − A ⋅ dp
SchwerkraftDruckanteil
anteil
A ist dabei der (beliebige) Durchflussquerschnitt des Stromfadens.
Der (unbekannte) Druck ändere sich auf dem Wege ds um dp.
Der Druckanteil ist bei der Drucksteigerung dp negativ, weil ein
positiver Druckanstieg der Bewegung entgegenwirkt.
(Reibungskräfte etwa an den Begrenzungen entlang ds bleiben
unberücksichtigt !)
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05.14
F = m ⋅ g ⋅ sin α − A ⋅ dp
Es wird zunächst die rechte Seite der Gleichung betrachtet:
Die Masse des herausgeschnittenen Elementes ist
m = ρ ⋅ dV = ρ ⋅ A ⋅ ds
Da eine Betrachtung in der sich mit dem Wege s ändernden Bewegungsrichtung im x-y-Koordinatensystem ungünstig ist,
dx
wird ds ausgedrückt durch
ds =
Es wird
cosα
dx
F = m ⋅a = ρ ⋅ A⋅
⋅ g ⋅ sinα − A ⋅ dp und weiter
cos α
F = m ⋅ a = ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅ g ⋅ tan α − A ⋅ dp
Bei der gewählten Geometrie ist die Steigung der Bahnlinie negativ (stumpfer Komplimentärwinkel zu α), d.h.,
damit ist
dy
tan α = − y ′ = −
dx
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05.15
⎛ dy ⎞
F = m ⋅ a = ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅ g ⋅ ⎜ − ⎟ − A ⋅ dp
⎝ dx ⎠
F = m ⋅ a = − ρ ⋅ A ⋅ g ⋅ dy − A ⋅ dp
Linke Seite der Gleichung:
Mit a = dv/dt wird
dv
F = m ⋅ a = ρ ⋅ A ⋅ ds ⋅
dt
Darin ist ds/dt = v und es wird F = m ⋅ a = ρ ⋅ A ⋅ v ⋅ dv
Linke Seite = rechte Seite:
F = ρ ⋅ A ⋅ v ⋅ dv = − ρ ⋅ A ⋅ g ⋅ dy − A ⋅ dp
1
A⋅ρ ⋅g
v ⋅ dv
dp
= − dy −
g
ρ ⋅g
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05.16
v ⋅ dv
g
dp
= − dy −
ρ ⋅g
Umgestellt und Integration:
∫
1
dy +
ρ ⋅g
∫
1
dp +
g
∫v
⋅ dv = 0
ergibt bei unbestimmter Integration:
p
v 2
y +
+
+ C = 0
ρ ⋅g
2 ⋅g
Energiesatz:
p
v2
y +
+
= C
ρ ⋅g
2 ⋅g
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05.17
Die Integrationskonstante C ist frei wählbar und wird hier durch
die Wahl eines “Bezugshorizontes” y = 0 (als Randbedingung) bestimmt. C = hE ist dann die Höhe des Energiehorizontes über dem
Bezugshorizont. Sie wird als Gesamthöhe hE bezeichnet und ist
für das Gesamtsystem konstant.
Bei bestimmter Integration bezüglich zweier Stellen 1 und 2 des
2
2
Stromfadens wird: 2
1
1
∫ dy
+
1
ρ ⋅g
∫ dp
+
1
g
∫v
⋅ dv = 0
1
1
1 ⎛ v 22 v 12 ⎞
⎟⎟ = 0
(y 2 − y 1 ) +
⋅ (p 2 − p1 ) + ⎜⎜
−
g⎝ 2
ρ ⋅g
2 ⎠
Nach Umstellung lautet die Höhenform des Energiesatzes:
p2
v 22
p1
v 12
y2 +
+
= y1 +
+
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g
Orts- Druck- Geschwinhöhe höhe digkeitshöhe
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05.18
Die Ortshöhe y[m]
repräsentiert die Potentielle Energie (Energie der Lage). Sie ist
die mit einem Vorzeichen behaftete Entfernung des betreffenden
Schwerpunktes des Durchströmquerschnittes vom Bezugshorizont y = 0. Sie bezeichnet die Lage der zentralen Stromlinie.
Die Druckhöhe p/γ = p/ρg [m]
repräsentiert die Druckenergie. Sie erstreckt sich vom Schwerpunkt des Durchströmquerschnittes aus positiv (nach oben) für
Druckspannungen p > pB (= barometrischer Luftdruck) und
negativ für Druckspannungen p < pB , d.h., für Unterdrücke.
Sie bezeichnet die Lage der Drucklinie.
Die Geschwindigkeitshöhe v2/2g [m]
repräsentiert die Kinetische Energie. Sie ist positiv und erstreckt
sich zwischen der Drucklinie und der Energielinie.
Die Gesamthöhe hE [m]
repräsentiert die Summe aller Energieanteile. Sie erstreckt sich
zwischen Bezugshorizont und Energielinie.
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05.19
Beispiel: Reibungsfreie Strömung in einem geneigten Rohr;
Bezugshorizont y = 0 im Schwerpunkt von Querschnitt A1
Energielinie
2
1
v
2⋅g
p1
ρ ⋅g
hE
Energiehorizont
2
2
v
2⋅g
Drucklinie
Druckrohrleitung
p2
ρ ⋅g
v
hE
y2
y=0
1
Druckspannung
2
p1
v12
p2
v 22
hE = y 1 +
+
= y2 +
+
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g
Bezugshorizont
Da D1 = D2,
ist auch
v2/2g = konst.
Wird der frei wählbare Bezugshorizont in den Schwerpunkt eines
Rohrquerschnittes gelegt, wird hier die Ortshöhe gleich Null.
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05.20
Beispiel: Horizontale Rohrströmung mit Durchmesser D reibungsfrei; Bezugshorizont y = 0 in Höhe der Rohrachse.
Energielinie
Energiehorizont
2
v
2⋅g
Drucklinie
hE
hE
p
ρ ⋅g
v
y=0
1
Druckspannung
Druckrohrleitung
Bezugshorizont
2
p1
v12
p2
v 22
hE = y 1 +
+
= y2 +
+
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g
Da D1 = D2,
ist auch
v2/2g = konst.
Wird der frei wählbare Bezugshorizont in die horizontale Rohrachse gelegt, sind beide Ortshöhen gleich Null.
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05.21
Beispiel: Horizontale Freispiegelströmung reibungsfrei;
Bezugshorizont y = 0 in Höhe der Sohle
Energielinie
Energiehorizont
Drucklinie
p(y) = γ.(h - y)
hE
v
v2
2⋅g
y
p = γ .h
Freispiegelgerinne
Randstromlinie
= Wasserspiegel
Stromlinie
hE
y =0
Randstromlinie Sohle = Bezugshorizont
1
2
Für alle Stromlinien ist v(y) = konst. und die hydrostatische Druckspannung p = γ.(h - y). Es wird dann
p v2
v2
y+ +
= y + (h − y ) +
γ 2⋅ g
2⋅ g
Der Energiesatz für Freispiegelv2
h+
= hE = konst .
gerinne vereinfacht sich:
2⋅g
h
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05.22