mathe2-theorieII

Mathematik 2 für Informatiker
Written by Thomas Zwanzinger
20.06.2002
3 Differential und Integralrechnung in mehreren Variablen
3.1. Der Euklidische Raum
Der Betrag eines Vektors aus Rn ist gegeben durch:
| X | x12  x22  ...  xn2
Weiters gilt der Euklidische Abstand
d ( X ,Y )  ( x1  y1 ) 2  ( x2  y2 ) 2  ...  ( xn  yn ) 2
Konvergenz im Euklidischen Raum:
Def.: Eine Folge (Xk) im Rn ist eine Abbildung von N Rn mit Xk = (x1(k), ..., xn(k))  Rn, k 
N, Die i-ten Komponenten xi(k), k = 1,2,...,n bilden eine Folge reeller Zahlen, genannt die i-te
Komponentenfolge.
Unmittelbar durch Spezialisierung der Begriffsbildung aus der Theorie der metrischen Räume
definiert man: Die Folge (Xk) im Rn heißt konvergent mit dem Grenzwert a  Rn (in Zeichen:
lim Xk = a) , wenn es zu jedem  > 0 ein N() gibt mit:
|Xk-a| <  für alle k>=N(), d.h. in jeder -Umgebung von a liegen fast alle Glieder der Folge.
Satz: Ist Xk = (x1(k), ..., xn(k)) und a = (a1, a2, ..., an) so gilt: limk Xk = a genau dann, wenn
limk xi(k) = ai für i = 1,...,n .
Es gelten die üblichen Rechenregeln für konvergente Folgen.
Satz: k=1 bis  Xk heißt unendliche Reihe. Diese ist konvergent mit der Summe s = (s1,...,sn)
 Rn genau dann, wenn jede Komponentenreihe k=1 bis  xi(k) konvergent ist mit der Summe si
(i = 1,...,n)
3.2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit
Ganz allgemein versteht man unter einen reelen Funktion f in mehreren Variablen eine
Abbildung f: M  Rn mit M Teilmenge aus Rn.
F(x1,..,xn) = a1x1 + … + anxn ai  R (i = 1,…,n)
Grenzwerte von Funktionen in mehreren Variablen:
Sei f: M  Rn R gegeben und s ein Häufungspunkt von M. A  R heißt Grenzwert von f in
s (symbolisch: lim f(x) = A) , wenn für jede Folge (Xn) mit Xn in M, Xn  s und limn Xn = s
gilt:
limn f(Xn) = A, d.h. wenn es zu jedem  > 0 ein  > 0 gibt mit:
für alle X  M mit 0 < |X-s| <  gilt |f(x)-A| < .
Stetigkeit: 2 Fälle:
(i)
Sei f: M  Rn  R gegeben und s  M. Ist s ein Häufungspunkt von M, so heißt f
stetig in s, wenn lim xs f(x) = f(s) ist (d.h. wenn der Grenzwert von f in s mit dem
Funktionswert von f in s übereinstimmt).
(ii)
Ist s nicht Häufungspunkt, so gibt es eine Kugel um s, die außer s keinen Punkt
von M enthält. Man vereinbart, dass f in solchen isolierten Punkten immer als
stetig angesehen wird.
(Anmerkung: auf Formulierung in epsilon-Sprache wird verzichtet.)
3.3 totales Differenzial für Funktionen f: M  Rn R
Def.: Eine Funktion f: M  Rn R heißt in X0  M total differenzierbar, wenn es ein
lineares Funktional L auf dem Rn und eine Funktion : M  R gibt mit:
(i) f(X) = f(X0) + L(X-X0) + (X) , X  M
( X )
0
(ii) lim
X  X 0 | X  X |
0
( Ein lineares Funktional ist eine lineare Abbildung eines Vektorraums V über R (in unserem
Fall V = Rn ) in den Skalarkörper R.)
 gibt den „Fehler“ für das approximierte lineare Funktional in X0 an.
Die Ordnung oder Güte der Approximation wird durch die Bedingung (ii) festgelegt: nähert
man sich X0, so geht der Fehler schneller gegen Null als der Abstand von X0, d.h.
f ( X )  f ( X 0 )  L( X  X 0 )
lim
0
X  X 0
| X  X0 |
Def.: Das lineare Funktional L heißt totales Differential von F: M  Rn R im Punkt
X0M.
Im allgemeinen ist die Ermittlung des totalen Differentials schwierig. In wichtigen Fällen
kann man es mittels sogenannter partieller Ableitungen bestimmen:
(0)
(0)
Def.: Sei f: MRn R und X0 = ( x1 ,..., x n )  M gegeben. F heißt in X0 partiell differenzierbar
nach der i-ten Variablen xi (i{1,...,n}), wenn die einstellige reelle Funktion gi , definiert
(0)
(0)
( 0)
(0)
(0)
durch gi(xi) := f ( x1 ,. xi 1 xi xi 1 .., x n ) im Punkt x i nach der Variablen xi differenzierbar ist.
(0)
gi’( x i ) heißt dann partielle Ableitung nach xi von f in X0. Man schreibt dafür
f
( X 0 ) oder f xi .
xi
(Halte alle Variablen bis auf die, nach der du ableitest fest und differenziere dann
gewöhnlich.)
Satz: ist f in X0 total differenzierbar, so ist f in X0 stetig und alle partiellen Ableitungen von f
in X0 existieren. Das totale Differenzial L von f in X0 ist dann gegeben durch:
f
f
( X 0 ) y1  ... 
( X 0 ) yn .
(y1,...,yn)  L(y1,...,yn) =
x1
x n
Satz :
(i)
Existieren die partiellen Ableitungen von f nach allen Variablen in der offenen
Menge M und sind sie dort stetig, so ist f in M total differenzierbar.
(ii)
Existieren die partiellen Ableitungen von f nach allen Variablen in der offenen
Menge M und sind sie dort beschränkt, so ist f stetig in M.
Es kann auch gemischt total differenziert werden, falls all diese partiellen Ableitungen
2 f
(X0) )
existieren. ( Bsp.:
x j xi
Sind alle partiellen Ableitungen bis einschließlich zur Ordnung k >= 2 nicht nur existent,
sondern auch stetig in M, so sind die gesuchten partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k
unabhängig von der Reihenfolge der Differentiation.
3.4. Implizite Funktionen
Def.: Ist die Zuordnungsvorschrift einer reellen Funktion F durch einen Ausdruck y = f(x)
gegeben, so spricht man von einer expliziten Darstellung der Funktion f(x). Eine Funktion
f:[a,b]  R heißt implizit definiert durch die Gleichung F(x,y) = 0 (F(x,y) für einen
geeigneten Definitionsbereich und eindeutig lösbar  x) , wenn für alle x[a,b] gilt F(x,f(x))
= 0.
Hauptsatz über implizite Funktionen: Sei M eine offene Teilmenge von R2 und F:MR2
R eine stetige Funktion. Ist F(x0, y0) = 0 für einen Punkt (x0,y0)  M und gilt: Fx und Fy sind
in einer Umgebung von (x0,y0) vorhanden, stetig und Fy(x0,y0) 0. Dann gibt es eine
Umgebung U von x0 und eine Umgebung V von y0 so, dass durch die Gleichung F(x, y) = 0
eine stetige Funktion f: U  V implizit dargestellt wird, für die y0 = f(x0) gilt.
Satz: Seien die Voraussetzungen des Hauptsatzes erfüllt. Dann ist die durch F(x, y) = 0
implizit gegebene Funktion y = f(x) in x0 differenzierbar und es gilt:
F (x , y )
dy
( x0 )   x 0 0
dx
Fy (x 0 , y 0 )
3.5. Extremwerte und Nebenbedingungen
Def.: Sei f: MRn  R eine auf einer offenen Menge M definierte Funktion und X0  M. X0
heißt Stelle eines relativen (oder lokalen) Maximums von f, wenn es eine Umgebung U(X0)
 M gibt mit: f(X) <= f(X0)  X  U(X0). (Analog dazu Minimum)
Satz: Sei X0  M Stelle eines relativen Extremums von f. Besitzt f partielle Ableitungen in
f
( X 0 )  0 , i = 1,...,n
X0, so gilt:
xi
Def.: Gilt fxi (X) = 0, i = 1,...,n so heißt X stationäre Stelle von f. Dies ist aber keine
hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum.
Satz: Sei f: MR2  R auf einer offenen Menge definiert und besitzt f dort stetige partielle
Ableitungen bis einschließlich 2. Ordnung. Ist X0 = (x0, y0)  M eine stationäre Stelle von f
so gilt:
(i)
fxx(X0)fyy(X0) – f2xy(X0) > 0, so ist X0 Stelle eines relativen Extremums. Ist fxx (X0)
> 0, so liegt ein relatives Minimum vor, ist fxx (X0) < 0, so liegt ein relatives
Maximum vor.
(ii)
Ist fxx(X0)fyy(X0) – f2xy(X0) < 0, so liegt in X0 kein lokales Extremum.
(iii)
Ist fxx(X0)fyy(X0) – f2xy(X0) = 0, so sind beide Fälle möglich.
Verfahren der Lagrangeschen Multiplikatoren:
Wir suchen also die Stellen relativer Extrema einer Funktion f: MRn  R unter den r
Nebenbedingungen i(x1,...,xn) = 0, i = 1,..,r . Wir setzen voraus, dass r < n und dass die
Funktionen i auf der offenen Menge M definiert sind. Weiters sollen f und i , i= 1,..,r
stetige partielle Ableitungen nach allen Variablen xj , j = 1,...,n besitzen. Wir nehmen weiters
an, dass die Funktion f in einem Punkt P = (y1,...,yn)  M unter den Nebenbedingungen i =
0, i = 1,...,n ein relatives Extremum besitzt.
Unter diesen Voraussetzungen gibt es reelle Zahlen 1, .. ,n , so dass im Punkt P folgende
Gleichungen gelten:


f
 1 1  ...  r r  0
x1
x1
x1


f
 1 1  ...  r r  0
x 2
x 2
x 2
..........................................

 r
f
 1 1  ...  r
0
x n
x n
x n
Diese n Gleichungen bilden zusammen mit den r Nebenbedingungen ein Gleichungssystem
aus dem man die erte der n+r Unbekannten y1,...,yn, 1,...,r berechnen kann. Jeder Punkt P,
bei dem ein relatives Extremum von f unter den r Nebenbedingungen auftritt, ist unter den
Lösungen (y1,...,yn) dieses Gleichungssystems. Die Hilfsvariablen 1,...,r heißen
Lagrangesche Multiplikatoren.
In der Praxis:
Schritt 1: bilde folgende n-Stellige Funktion  = f + 1i + ... + rr , leitet dieses  nach den
n Variablen x1,...,xn der Reihe nach partiell ab und setzt die gefundenen Ableitungen gleich 0.
Schritt 2: Aus diesen Gleichungen und den r Nebenbedingungen bestimmt man sämtliche
Lösungen.
Ergebnis: Lösungen und stellen der relativen Extrema von f unter den gegeben
Nebenbedingungen.
4. Differenzialgleichungen
4.1. Grundlagen
Def.: Sei F eine (n+2)-stellige (reelle) Funktion. Dann heißt eine Gleichung der Form F(x, y,
y’, ..., y(n)) = 0 eine gewöhnliche Differenzialgleichung (y(x) eine differenzierbare reelle
Funktion in einer Variablen). yl nennt man Lösung auf einem Bereich B, wenn gilt: F(x, y1(x),
y1’(x), ..., y1(n)) = 0 für alle x  R.
Unter dem lösen einer Differenzialgleichung versteht man das Aufsuchen aller Funktionen y
= f(x), die der Differenzialgleichung genügen. Die DGL heißt gewöhnlich, da y(x) als
Funktion in einer Variablen angenommen wurde.
Die höchste Ableitung, die in der DGL vorkommt, bestimmt die Ordnung der DGL.
In vielen Fällen ist F(...) ein Polynom in y(x), y’(x),...,y(n)(x) . Man nennt den Grad dieses
Polynoms den Grad der gewöhnlichen Differentialgleichung.
Eine DGL der Form y’ = F(x, y) mit einer offenen Menge MR2 heißt explizite gewöhn.
DGL 1.Ordnung.
Ist die DGL der Form F(x, y, y’) = 0, so ist die DGL in impliziter Form gegeben.
Geometrische Darstellung durch Isoklienenmethode:
Y’ = F(x,y) ordnet jedem x,y eine Richtung zu; (x, y, F(x,y)) heißt Linienelement der DGL.
Die Gesamtheit aller Linienfelder heißt Richtungsfeld. Anschaulich gesprochen sind nun die
lösungen der DGL jene Funktionen, die in das Richtungsfeld „passen“.
Unter einer Isokline versteht man eine Kurve im Richtungsfeld, längs der y = F(x,y) konstant
ist. Sie ist implizit durch F(x,y) –k = 0 gegeben.
Eulersche Polygonzugverfahren:
Die spezielle Lösung y(x) sei durch die Anfangsbedingung y(x0) festgelegt, d.h. wir suchen
eine Lösungskurve y(x), die durch den Punkt (x0, y0) geht. Man wählt ein kleines x (<0 für
rechts, < 0 für links ) Dann ist x1 = x0 + x. und der zugehörige Wert y1 ist gegeben durch y1
= y0 + F(x0, y0) x. Dies wird iteriert.
Existenzsatz von Peano: Ist F(x,y) stetig auf der offen Menge M  R2, so gibt es durch jeden
Punkt (x0, y0)  R mindestens eine Lösung der DGL y’ = F(x,y).
Def.: Eine Funktion F: MR2  R erfüllt auf M eine Lipschitzbedingung bezüglich der
Variablen y mit der Lipschitzkonstanten L, wenn gilt: |F(x, y1) - F(x, y2)| <= L|y1-y2| für alle
(x, y1), (x, y2) .
Satz: Sei M offen und enthalte die Menge M mit je zwei Punkten ihre Verbindungsstrecke.
Besitzt F in M eine beschränkte partielle Ableitung nach y, so erfüllt F eine
Lipschitzbedingung für y in M.
4.2. Typen von DGL 1.Ordnung
A. DGL mit getrennten Variablen
y’ = F(x, y) mit F(x,y) = P(x) * Q(x) gegeben; P stetig in I, Q stetig auf J; Q(y)  0 yI.
Setzte Q1 = 1 / Q und erhalte Q1(y)y’ = P(x) .
Jede Lösung der Gleichung Q1(y)y’ = P(x) erfüllt die Beziehung  Q1(y)y' dy  P(x)dx und
umgekehrt. Man sucht alse eine Stammfunktion G von Q1(y), eine Stammfunktion H von
P(x), und man erhält die allgemeine Lösung der gegebenen DGL implizit durch G(y) = H(x) +
C.
4.3. Lineare Differenzialgleichungen 1.Ordnung
Def.: Unter einer linearen Differenzialgleichung 1.Ordnung versteht man eine Gleichung
der Form y’ + p(x)y = q(x) , wobei p und q stetige Funktionen auf einem Intervall I  R
bezeichnet. q(x) heißt auch Störfunktion.
Sie heißt homogen wenn q(x) = 0 für alle x  I ; gilt dies nicht, so heißt diese Gleichung
inhomogen.
Bestimmung der allgemeinen Lösung:
- betrachte homogene Lösung y’ + p(x)y = 0
- diese können wir lösen, denn sie ist eine Differenzialgleichung mit getrennten
dy
Variablen:
  p( x )dx y0
y
log | y |    p ( x )dx  C
-
 p ( x ) dx
y( x)  eC  e 
 p ( x ) dx
yh ( x)  C  e 
CR
-
Die allgemeine Lösung der Gleichung ist gegeben durch y = yh + yp wobei yp eine
partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen DGL 1. Ordnung ist.
Verfahren zur bestimmung der partikulären Lösung:
„Variation der Konstanten“ :
Ansatz: für P(x) :=
 p( x)dx  C
schreibt man:
yp = C(x) * e-P(x) mit einer geeigneten differenzierbaren Funktion C(x) (Variieren der
Konstanten)
Um festzulegen, wie C(x) aussieht setzt man in yp in die inhomogene Gleichung ein:
C ( x )   exp( P( x )) q( x )dx existiert weil stetig ( Anm. : Vorzeichen wechsel bei P( x ) )
C ( x ) Q ( x )  D
Q ( x ) spezielle solche Stammfunktion
D  0 Da wir nur eine solche Stammfunktion benötigen
y  y p  y h  Q ( x ) exp((  P( x ))  C  exp(  P( x ))
4.4. lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Def.: Unter eine linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung (nN fest) versteht man
eine Gleichung folgender Form:
p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + … + pn-1(x)y’ + pn(x)y = q(x)
Dabei sind p0...pn , q(x) stetige Funktionen p0(x)0 auf I;
Für beliebige lineare DGL n-ter Ordnung gibt es kein allgemeines einfaches
Lösungsverfahren. Ein solches existiert, wenn die Koeffizientenfunktionen alle konstant sind.
Def.:
y(n) + c1y(n-1) + … + cn-1y’ + cny = q(x)
ci  R i = 1 … n q stetig auf I
heißt lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Allgemeines Lösungverfahren:
Betrachten zunächst homogenes Lösungsverfahren q(x) = 0 auf ganz I.
Exponentialsatz (man sucht die Lösungen der Form y = ex )
ex(n + c1n-1 + … + cn-1 + cn) = 0
xR
n
n-1
<->  + c1 + … + cn-1 + cn = 0
Diese Gleichung nennt man charakteristische Gleichung der gegebenen DGL.
Ist  eine reelle Nullstelle des charakteristeischen Polynoms, so ist ex eine Lösung der
homogenen Gleichung.
Verschiedene Möglichkeiten von Nullstellen im Polynom:
1. Fall: Alle Nullstellen sind verschieden und reell
Jede homogene Lösung der DGL ist Linearkombination dieser n Lösungen:
y  1e 1x   2 e 2 x  ...   n e n x
Man sagt: Die Funktionen eix
die homogene Gleichung
1  R, i  1...n
1 <= i <= n bildet ein Fundamentalsystem von Lösungen für
2.Fall: Alle Lösungen des char. Polynoms sind reell, aber die Vielfachheiten sind größer als
1.
Es gilt: ist  eine Nullstelle des char. Polynoms der Vielfachheit s, so sind ex , xex, ..., xs-1ex
s verschiede Lösungen der Gleichung. Die Gesamtheit aller n verschiedener Lösungen bilden
wieder ein Fundamentalsystem.
3.Fall: Die char. Gleichung hat auch komplexe Lösungen.
Man beachte, dass eine Nullstelle  = a + ib auch seine konjugiert komplexe Lösung  „quer“
mit der selben Vielfachheit enthält.
In diesem Fall sind : eaxcos(bx), xeaxcos(bx), ... (je nach Vielfachheit) und eaxsin(bx),
xeaxsin(bx) usw. Lösungen der homogenen Gleichung.
Zusammen mit den reellen Lösungen liegt nun das Fundamentalsystem der homogenen DGL
vor.
Satz: Kennt man die allgemeine Lösung yh der zugehörigen homogenen Gleichung und yp
eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung, so ist die allgemeine Lösung der
gegebenen inhomogenen linearen DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gegeben
durch y = yp + yh .
Verfahren zur bestimmung der partikulären Lösung:
Methode der Variation der Konstanten
Allgemeine Lösung der hom. Gleichung yh sei gegeben durch : i=1 bis n ci yi (x) ci  R
Ansatz: yp (x) = i=1 bis n ci(x)yi (x)
y’p (x) = i=1 bis n c’i(x)yi (x) + i=1 bis n ci(x)y’i (x)
Man hält die Bedingung i=1 bis n c’i(x)yi (x) = 0 fest und diff. Noch einmal
y’’p (x) = i=1 bis n c’i(x)yi (x) + i=1 bis n ci(x)y’’i (x) usw….
Mit Einbeziehung der homogenen Gleichung und den Annahmen i=1 bis n c’i(x)yi (n-1)(x) = 0
erhält man ein lineares Gleichungssystem mit n Bedingungen:
i=1 bis n c’i(x)yi (k-1)(x) = 0 k = 1 ...n-1
i=1 bis n c’i(x)yi (n-1)(x) = q(x)
Sind y1, … ,yn linear Unabhängig, so ist dieses System stehts lösbar und man erhält daraus yp.
Unbestimmter Ansatz:
Hat die Störfunktion q(x) eine spezielle Form, dann gibt es geeignete Ansätze, die zu einer
Lösung führen, hier 2 Beispiele (Anmerkung: dies sind alle, die im Skriptum stehen)
a) Sei q(x) = ex P(x) mit   R , P(x) ein Polynom m-ten Grades.
Ist  eine s-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so gibt es eine spezielle
Lösung yp(x) der Form yp(x) = xsexQ(x), wobei Q(x) ein Polynom vom Grad m ist. Man
setzt diese Lösung mit unbestimmten Koeffizienten an, setzt sie in die DGL ein und erhält
die Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich. Weiters gilt: Ist q = q1 + q2 und yi (i =
1,2,..) eine Lösung der Gleichung, deren rechte Seite qi (i=1,2) ist, so ist y1 + y2 eine
Lösung der Gleichung mit der rechten Seite gleich q.
b) Sei q(x) = eux (Acos(vx) + Bsin(vx)) A, B, u, v  R
Ist  = u +vi eines-fache Nullstelle des char. Polynoms, so gibt es eine spezielle Lösung
der Form yp(x) = xseux (Ccos(vx) + Dsin(vx)) .
Dabei ist es wichtig, auch für A oder B gleich Null den Ansatz mit C und D zu
verwenden.
Laplace-Transformation
Idee: Durch eine Funktionaltransformation (sie ordnet jeder Funktion eines Funktionsraumes
eine andere Funktion zu) wird die gegebene Differentialgleichung in eine Gleichung
transformiert die leichter lösbar ist. Lösung der transformierten Gleichung ergibt durch
Rücktransformation eine Lösung der gegebenen DGL.
Def.: Sei f für alle t >= 0 , tR definiert. Ist das (uneigentliche) Integral

F ( s)  e st f (t )dt, s  R für s > a konvergent, so heißt F(s) , s > a die Laplace
0
Transformierte von f(t). Die Laplace-Transformierte von f wird üblicherweise mit L(f)
bezeichnet.
Satz: Sei f in jedem Intervall [0,A] (A  R+) stückweise stetig und beschränkt. Gibt es eine
Konstante K, a, T mit |f(t)| <= Keat für t >=T>0 , so existiert die Laplace Transformierte L(f)
= F(s) von f für s > a. (d.h. f ist höchstens exponentieller Ordnung für t   )
Satz: L ist ein linearer Operator d.h. im gemeinsamen Existenzintervall der LaplaceTransformierten gilt:
L(c1f1 + c2f2) = c1L(f1) + c2L(f2), c1, c2  R
Auf diese Weise wandelt man die gegeb. Funktion in die Laplace Transformierte um.
(Liste der Transformationen im Skriptum)
Satz: Seien f, f’, f’’, ... , f(n-1) stetig und f(n) stückweise stetig in jedem Intervall [0,A], AR,
A>0 . Ferner seien f, f’, f’’, ... , f(n-1) von höchstens exponentieller Ordnung für t . Dann
existiert L(f(n)) for alle genügend großen s und es gilt:
L(f(n)) = SnL(f) – sn-1f(0) -…- sfn-2)(0) – f(n-1)(0) .
Die Laplace Transformation ist umkehrbar.
5. Einige Methoden der höheren Kombinatorik
5.1. Differenzengleichungen
Wir erinnern uns: eine reelle Zahlenfolge (an) (nN oder N0) kann man auf verschiedene
Arten angeben. Eine Möglichkeit ist es, sie mit Hilfe von k Anfangswerten a1,...,ak und einer
rekursiven Formel, die festlegt, wie an in Relation zu den vorhergegangen an-1 bis an-k aussieht,
festzulegen.
Def.: Man nennt eine rekursive Relation, durch die eine Folge implizit angegeben wird, eine
Differenzengleichung für diese Folge.
Ist eine Folge implizit definiert, so will man oft die explizite Darstellung erfahren. Dies ist
nicht in allen Fällen machbar.
Def.: unter einer linearen Differenzengleichung versteht man eine rekursive Relation der
Form:
C0(n)an + C1(n)an-1 + ... + Cr(n)an-r = g(n), n > r
G und ci , i = 1,..,r , sind Funktionen von N in R (bzw. N0) .
Die ci heißen Koeffizienten der Gleichung und g ihre Störfunktion. Ist g(n) = 0 für alle n 
N, so heißt die Gleichung homogen, andernfalls inhomogen.
Wir betrachten weiters Fälle mit konstanten Koeffizienten.
Def.: Gilt in c0an + c1an + ... + cran-r = g(n) , n > r , dass c00 und cr0 , so besitzt die lineare
DifGL mit konst. Koeffizienten die Ordnung r.
Unter einer Lösung solcher Gleichung versteht man eine Funktion f: N  R mit : c0f(n) +
c1f(n-1) + ... + crf(n-r) = g(n) für alle n > r.
Sind f1 und f2 Lösungen der Gleichung, so sind auch af1 + bf2 a,b  E eine Lösung der
Gleichung. f1 – f2 ist Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.
Analog zu Differenzialgleichungen mit konst. Koeffizienten muss auch hier die allgemeine
Lösung gefunden werden, wobei abermals gilt : f = fp + fh (hom. DifGL + part. DifGL)
Lösung der homogenen Gleichung :
Lösungsansatz: f(n) = n mit   0 (da sonst triviale Lösung) .
Daraus erhalten wir wieder die charakteristische Gleichung:
c0r + c1r-1 +...+ cr = 0
Ist 1 eine Lösung der char. Gleichung, so ist f(n):= 1n eine Lösung der hom. DifGL.
Satz: Sind alle Lösungen der char. Gleichung verschieden und reell, so ist die allgemeine
Lösung fh der hom. DifGL gegeben durch:
Fh(n) = A11n + A22n +…+ Arrn n >= 1
Dabei sind A1,...,An beliebige reelle Zahlen. Diese können durch die Anfangsbedingungen
eindeutig bestimmt werden. (Gleichungssystem mit n Variablen und n Anfangsbedingungen).
Besitzt das char. Polynom auch komplexe Nullstellen so ersetzt man die Lösungen (a+bi)n
und (a-bi)n (konj. Komplex) durch:
pncos(n) und pnsin(n)
b
wobei p:= a 2  b 2 und tan  = a0
a
Sei 1 s-fache Nullstelle des char. Polynoms, so gilt:
1n , n1n, ... , ns-11n sind Lösungen der hom. DifGL.
Bestimmung der speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung:
Dies ist allgemein ein schwieriges Problem. Mit einem unbestimmten Ansatz bestimmen,
wenn g(n) = Can (exponentielle Störfunktion).
(Mehr sollte dazu nicht wichtig sein. Viel Glück zur Prüfung)