Lernpfad "Differentialrechnung"

Differentialrechnung:
Große Anwendungsgebiete der Differentialrechnung sind Kurvendiskussionen und
Extremwertaufgaben.
Zunächst müssen wir uns jedoch mit der Frage beschäftigen, wie die Steigung einer Tangente
in einem Punkt P einer Funktion ermittelt werden kann. Es wäre ziemlich kompliziert, wenn
die Steigung (= 1. Ableitung an einer Stelle x) jedes Mal mühsam berechnet werden müsste,
aber glücklicherweise gibt es Ableitungsregeln (die Sie üblicherweise auch in Ihrer Formelsammlung finden).
Nachfolgend finden Sie einige Websites für den Einstieg ins Thema:
www.mathe-online.at/clips/ bietet ein Videoclip zum Thema „Die Grundidee des
Differenzierens“ – das ganze dauert 24 Minuten; jeder Schritt wird langsam erklärt.
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/diff1.htm ... Vom Differenzen- zum
Differentialquotient; wie die 1. Ableitung und die Steigung zusammenhängen; Ableitungsregeln und weitere Links mit Übungsbeispielen
www.mathe-profis.de/index.php?page=klasse_11/ableitungen ... Erklärung der Ableitungsregeln.
www.mathe-online.at/galerie/diff1/diff1.html ... Das Applet „Zur Definition der Ableitung“
zeigt am Beispiel einer Funktion, wie Ableitung und Steigung zusammen hängen.
www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/abl-bsp.htm#gaPo … Beispiele von Ableitungen
verschiedener Funktionen nach der Potenz-, Produkt-, Ketten- und Quotientenregel sowie von
trigonometrischen Funktionen
www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html ... ein Multiple-Choice-Test zum Thema
„Polynome differenzieren“
www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/tangent.htm ... Viele Beispiele, wie bei
Polynomfunktionen (=ganzrationale Funktion) die Tangente in einem Punkt P der Funktion
aufgestellt werden kann.
Nun geht es weiter mit Kurvendiskussionen:
Kurvendiskussionen von Polynomfunktionen (=ganzrationale Funktionen)
Auf folgenden Websites findet sich das gleiche Thema auf unterschiedliche Art aufbereitet:
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/kd.htm gibt einen Überblick
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm bietet ein Musterbeispiel einer
Kurvendiskussion einer Polynomfunktion f: f(x) = 1/4·(x³ - 3x² - 9x + 27).
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/kurvendisk.htm ... Die Polynomfunktion
f: R  R, f(x) = x³/4 - 3x² + 9x wird diskutiert.
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/diffueb2.htm ... Hier finden Sie viele
Übungsaufgaben + Lösungen.
www.mathe-profis.de/index.php?page=klasse_11/kurvendiskussion ... Eine andere Website,
die Kurvendiskussionen von ganzrationalen Funktionen Schritt für Schritt erklärt (sehr
anschaulich; nur das Wechseln von einer Seite auf die nächste ist manchmal ein bisschen
mühsam).
Auf www.luckyfix.de/ findet sich unter weiteren Aufgaben „Kurvendiskussionen 1“ und
„Kurvendiskussionen 2“. Wer die Kärtchen richtig zuordnet, erhält ein Bild! Leider muss
wieder von vorne begonnen werden, wenn nicht alle Kärtchen richtig zugeordnet wurden.
Also schnell auf das Bild schauen, welche Kärtchen noch nicht richtig liegen!
f ( xn )
f ' ( xn )
Was tun, wenn z.B. die Nullstelle einer Funktion gesucht ist, dies aber zu einer Gleichung
führt, die ich nicht lösen kann? Beispiel: y=x5-2x²-1. Hier kommt ein Verfahren ins Spiel, mit
dem ich die Lösung näherungsweise berechnen kann!
Das Newton’sche Näherungsverfahren – Formel: xn+1= xn -
www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/didaktikseminar/Gruppe4/index.html ... Lesen Sie
sich die Problemstellung und die Theorie durch.
Als Übungsbeispiel empfehlen wir Ihnen die Polynomfunktion y=x5-2x²-1, da Sie dafür die
Ableitungsregel kennen. Um einen Startwert xn zu finden, der in die Formel eingesetzt wird,
können Sie bei Polynomfunktionen (die ja stetig sind) schauen, wo es bei der Funktion zu
einem Vorzeichenwechsel bei den y-Werten kommt. Die Funktion y=x5-2x²-1 hat z.B. bei
x=1 den y-Wert -2 und bei x=2 den y-Wert +23  zwischen 1 und 2 muss eine Nullstelle
sein. Für x1 könnte daher in die obige Formel x=1,5 eingesetzt werden (auf der Website
www.mathebank.de/tiki-index.php?page=Newton-Verfahren wird als Anfangswert 2 eingesetzt und das Beispiel durchgerechnet).
(Info: Das Verfahren kann auch bei anderen als Polynomfunktionen angewandt werden!)
Bisher waren die Polynomfunktionen gegeben und alles Mögliche zu berechnen (z.B.: Nullstellen, Extrema,…). Es kann auch sein, dass Infos über die Funktion gegeben sind (z.B.
ihr Extremwert,…) und die Funktionsgleichung gesucht ist. Solche Beispiele werden
umgekehrte Kurvendiskussionen oder Steckbriefaufgaben genannt. Die Funktionen, die
dabei gesucht sein können, könnten auch Bruchfunktionen sein. Aber wir beginnen mit:
Umgekehrte Kurvendiskussion bei Polynomfunktionen (=uKD)
Auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/kd_umkehr.htm wird eine uKD Schritt für
Schritt durchgeführt und ein weiterer Link führt zu Übungsaufgaben (mit Lösung).
Als Vorübung bietet sich www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/steckbr3.htm an.
www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj2/bausteine/bst1-2.htm .. Hier
ist ein Beispiel gegeben und Sie können es Schritt für Schritt lösen. Wenn Sie nicht weiter
wissen, können Sie eine Hilfe anklicken.
www.mathesite.de/pdf/steck.pdf ... Diese Seite erleichtert das Finden der Gleichungen, weil
farbig markiert ist, welcher Hinweis zu welcher Gleichung führen könnte.
www.mathe-profis.de/index.php?page=klasse_11/polynomrekonstruktion ... Noch eine
Website, die sich dem Thema (recht ausführlich) widmet.
Doch nun zurück zum Diskutieren einer Funktion. Im nächsten Kapitel geht es um
Bruchfunktionen
Kurvendiskussion einer Bruchfunktion (=gebrochen-rationalen Funktionen)
Auf www.mathesite.de/pdf/kdgeb.pdf ist eine vorgerechnet!
Genaueres auf www.mathe-profis.de/index.php?page=klasse_12/kurvendiskussion. Vor allem
das Kapitel „Verhalten für x gegen Unendlich“ ist interessant (da dort das Finden der
Asymptoten der 2. Art genau erklärt wird).
Leider ist eine kleine Vertauschung der Seiten passiert:
05 von „Polstellen, Lücken“ sollte als 01 bei „Ableitungen“ stehen
01 von „Ableitungen“ sollte als 01 bei „Definitionsmenge“ stehen
02 von „Definitionsmenge“ sollte als 01 bei „Symmetrie“ stehen
02 von „Symmetrie“ sollte bei „Polstellen, Lücken“ stehen
Wer sich mit dem Suchen/Finden von Asymptoten von Bruchfunktionen auskennt, kann die
beiden Puzzles auf www.2bw.eu/workroom/inhalte/Asymptoten1artPuzzle.htm und
www.2bw.eu/workroom/inhalte/Asymptoten2artPuzzle.htm probieren!
Umgekehrte Kurvendiskussionen von Bruchfunktionen gehen nach dem gleichen Prinzip
wie bei Polynomfunktionen. Die gegebenen Informationen müssen in Gleichungen umgesetzt
und das Gleichungssystem gelöst werden, um die Funktionsgleichung zu finden. Bloß das
Differenzieren der Funktion ist etwas komplizierter, da die Quotientenregel angewandt
werden muss.
Da es nun gleich mit Kurvendiskussionen von Exponential- und Logarithmusfunktionen
weiter geht (gehört zum Stoff der 8. Klasse), zur Erinnerung eine Seite, auf der diese
Funktionen definiert und gezeichnet sind:
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/funktionen5.htm
Zum Thema „Logarithmus“ finden Sie auch einige Informationen auf der Seite
http://www.2bw.eu/workroom/inhalte/lernpfad_basics.htm beim Stichwort „Logarithmen“.
Kurvendiskussionen von Exponentialfunktionen
Im Zusammenhang mit Kurvendiskussionen finden sich v.a. Beispiele, von Funktionen, bei
x3
denen ex vorkommt, also z.B. y=x.ex oder y=(x+2).e-0,5x oder y= x oder y=x³.ex
e
Wichtig zum Berechnen von Extremwerten, Wendepunkten,… ist es zu wissen, was die
Ableitung von ex ist.
y= ex  y’= ex
Das ist die am leichtesten zu merkende Ableitung, allerdings kann das Ableiten komplizierter
werden, wenn die Funktionen komplizierter sind und daher ev. noch die Produkt-, Quotientenoder Kettenregel angewandt werden muss. Dazu ein paar vorgerechnete Beispiele:
 y’ = 1.ex + x. ex
y=x.ex
-0,5x
y=(x+2).e
 y’ = 1. e
-0,5x
+ (x+2).e
[Produktregel!]
-0,5x
.(-0,5)
[Produkt- und Kettenregel!]
y=
x3
ex
 y’ =
1.e x  ( x  3).e x
(e x )²
[Quotientenregel!]
 y’ = 3x².ex + x³.ex
y=x³.ex
[Produktregel!]
http://cl1.fh-lueneburg.de:7776/mathe-1/aufgabe/kurvendiskussion.html ... Hier ist die
Funktion f(x)=ex x(x-1) gegeben. Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte werden
vorgerechnet, wenn die gesuchten Punkte auf der Zeichnung angeklickt werden. Probieren Sie
doch als Vorübung, die 1. und die 2. Ableitung der Funktion zu bilden bevor Sie sich das
Beispiel anschauen. Leichter ist die Berechnung, wenn Sie die Funktion zu f(x)= ex.(x²-x)
umformen. Hier können Sie Ihre Lösung der Vorübung kontrollieren.
Auf www.thomas-unkelbach.de/m/a/elf/elf_ef_a01.pdf und www.thomasunkelbach.de/m/a/elf/elf_ef_a02.pdf finden Sie weitere durchgerechnete Beispiele.
Kurvendiskussionen von Logarithmusfunktionen
Im Zusammenhang mit Kurvendiskussionen finden sich v.a. Beispiele, von Funktionen, bei
ln x
denen lnx vorkommt, also z.B. y=x².lnx oder y=(lnx)² oder y=
oder y=(x+1).lnx
2x
Wichtig zum Berechnen von Extremwerten, Wendepunkten,… ist es zu wissen, was die
Ableitung von lnx ist.
y= lnx  y’=
1
x
Das ist nicht sehr kompliziert, allerdings kann das Ableiten komplizierter werden, wenn die
Funktionen komplizierter sind und daher ev. noch die Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel
angewandt werden muss. Dazu ein paar vorgerechnete Beispiele:
1
x
y= x².lnx
 y’ = 2x.lnx + x².
y=(lnx)²
 y’ = 2.(lnx).
ln x
y=
2x
1
.(2  x)  ln x.(1)
 y’ = x
(2  x)²
y=(x+1).lnx
 y’ = 1.lnx + (x+1).
[Produktregel!]
1
x
[Kettenregel: äußere mal innere Ableitung]
1
x
[Quotientenregel!]
[Produktregel!]
Gehen Sie zu http://mone.denninger.at/cimu/uz/Klasse8/diffExpLog.pdf und schauen Sie sich
auf Seite 11, 12 die Kurvendiskussionen von f(x) = x·lnx an.
Regel von l’Hospital
Zur Berechnung von Grenzwerten von Funktionen kann – wenn die Voraussetzungen erfüllt
sind – folgende Regel hilfreich sein:
Der Grenzwert des Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen an der Stelle x0, an der
Zähler und Nenner den Grenzwert 0 oder   haben, ist gleich dem Quotienten der
Ableitungen an der Stellet x0.
f ( x)
f ' ( x)
Also mit anderen Worten: Unter den obigen Voraussetzungen gilt lim
,
 lim
x  x0 g ( x)
x  x0 g ' ( x )
wobei außerdem g’(x0)0 sein muss.
Beispiel: Angenommen wir wollen wissen, wohin die Funktion y=
ln x
2x
strebt, wenn x gegen Unendlich geht. Mathematisch geht es also
ln x
um lim
! Wenn ich die Regel von l’Hospital anwenden möchte, muss
x  2  x
ich die Voraussetzungen überprüfen:
lnx strebt für x  gegen , 2 – x strebt für x  gegen -.
Die Voraussetzung ist also erfüllt  Ich bilde die Ableitungen von Zähler
1
1 1

0
und Nenner: lim x  lim
x   1
x  x

An der obigen Zeichnung der Funktion ist gut zu erkennen, dass meine Berechnung passt:
Je mehr ich mit meinen x-Werten nach rechts (also gegen Unendlich) gehe, desto mehr nähern
sich die y-Werte der x-Achse an (werden also 0).
Probieren Sie nun selbst bei den folgenden Beispielen zu überlegen, ob die Voraussetzungen
für die Regel von l’Hospital erfüllt sind und, wenn ja, berechnen Sie den Grenzwert. Achten
Sie darauf, dass x zwei Mal gegen  strebt, ein Mal aber gegen 1 (ist erlaubt!):
x
x   ln x
Beispiel 1: lim
Beispiel 2: lim
x 1
x
x 1
ex
x  x ²
Beispiel 3: lim
Hier kommen Sie zu den Lösungen.
Die Regel von l’Hospital kann u.U. auch bei Funktionen angewendet werden,
die zunächst ungeeignet erscheinen. Nehmen wir z.B. die Funktion y=x·lnx
von weiter oben. Die Funktion ist für 0 nicht definiert (der lnx ist ja nur für
x>0 definiert). Wenn ich daher wissen will, was lim x.lnx ergibt, kann ich die
x0
Funktion in einen Bruch „umwandeln“ und die Frage so formulieren: Was
ln x
ergibt lim
? Die Voraussetzungen für das Anwenden der Regel von
x 0 1
x
l’Hospital sind erfüllt, da Zähler und Nenner gegen - bzw. + streben 
1
ln x
x²
lim
 lim x  lim
 lim ( x)  0 . Zum x-Wert 0 gehört also der y-Wert 0 !
x 0 1
x 0
1 x 0  x x  0

x
x²
Zum Abschluss des Kapitels Kurvendiskussionen sei noch auf folgende Funktionsplotter
verwiesen (damit können Sie z.B. Aufgaben, die Sie selbst durchgerechnet haben,
kontrollieren):
 www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm ... Funktionsplotter inkl. Berechnung von
Nullstellen, Extremwerten und Einzeichnen der 1. Ableitung
 www.mathe-trainer.com  Werkzeuge  Funktionsplotter … Hier werden auch
Tangenten in Punkten berechnet (Sie müssen nur für x einen Wert einsetzen), sowie die 1.
und 2. Ableitung (allerdings müssen Sie sich für die Verwendung registrieren lassen)
 Auf www.emath.de/Lernsoftware/Lernsoftware-Analysis-Programm.shtml gibt es einen
Funktionenplotter, der Extremwerte und Wendepunkte berechnet, als Freeware.
Heißer Tipp: Auf http://www.thkoehler.de/midnightblue/m_kdb.htm können Sie Funktionen
eingeben (und das Intervall, in dem die x-Werte liegen sollen) und das Programm rechnet die
Kurvendiskussion vor (inklusive Nullstellen, 1., 2. und 3. Ableitung, Extremwerte, Wendepunkte und –tangenten, Wertetabelle, Definitionsmenge, Asymptoten, , Zeichnung,…). Das
Programm berechnet auch noch Integrale, Flächen und Bogenlängen – das gehört dann zum
Lernpfad Integralrechnung.
Nun geht es mit dem zweiten, wichtigen Kapitel der Differentialrechnung weiter,
nämlich mit den Extremwertaufgaben
Hier geht es um Textbeispiele, in denen etwas minimal oder maximal werden soll. Da wir aus
dem Bereich Kurvendiskussionen schon wissen, dass Extremwerte mit der 1. Ableitung
berechnet werden und mit der 2. Ableitung kontrolliert wird, ob es sich um ein Minimum oder
ein Maximum handelt, ist leicht nachvollziehbar, wie bei den Extremwertaufgaben die
Differentialrechnung hereinspielt.
Als Einstieg empfehle ich folgende Aufgabe:
In ein rechtwinkeliges Dreieck (Katheten 3 und 4) soll ein Rechteck eingeschrieben werden.
Wie sind seine Abmessungen zu wählen, damit seine Fläche maximal ist?
Schauen Sie sich dazu die graphische Darstellung und die durchgerechnete Lösung auf
www.mathe-online.at/galerie/anwdiff/anwdiff.html#es - „Schema einer Extremwertaufgabe“
an.
Als nächstes gehen Sie zur Seite http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/extrem.htm,
die einen sehr guten Überblick gibt. Außerdem sind ein paar Beispiele durchgerechnet. Die
auf dieser Seite angeführten Links erlauben Ihnen, sich noch etwas mehr in das Thema zu
vertiefen.
Auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/extrem_ueb.htm finden Sie 10 Übungsbeispiele + Ergebnisse. Falls Sie Schwierigkeiten beim Finden der Haupt- und Nebenbedingungen haben, klicken Sie hier.
Viele weitere (zum Teil recht anspruchsvolle) Beispiele inkl. Lösungen finden Sie auf
http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/smart/gym/j11/kurdis/kurdis.html  Extremwertaufgaben
Zum Abschluss dieses Mal ZWEI Lernzielüberprüfungen:
Lernzielüberprüfung „Kurvendiskussionen“:
Sie haben für die Beispiele 3 Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung
verwenden.
1. Bilden Sie jeweils die 1. Ableitung der nachfolgenden Funktionen:
a) y=4x³ – 5x² – 3
b) y=
1
x²  7 x 2  5
2
c) y=(x³ – 2x).(2x – 3)
3x
x²  4
e) y=
1
x²
f) y= x ²  1
d) y=
2. Welche Punkte der Kurve f(x)= 3x³ – 11x haben eine Tangente mit Anstieg -2?
3. Gegeben ist die Funktion f: y = 
1
.( x ³  3 x ²  9 x  5)
16
Gesucht: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkt + Wendetangente, Zeichnung
2 x²  2
. Berechnen Sie Definitionsmenge, Nullstellen, den Extremwert der
x²  4
Funktion und die Asymptoten der 1. und 2. Art an! Skizzieren Sie die Funktion.
4. Gegeben: y =
5. f(x)= ¼ x³ – 3x + 2 Geben Sie eine Nullstelle mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens auf zwei Nachkommastellen genau an.
6. Die Parabel einer Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung. Ihre Wendetangente bei
x=2 lautet g(x)= –2x+8.
Lösen Sie zwei der folgenden 3 Beispiele [je 8 P.]:
7. Berechnen Sie den Extremwert der Funktion y=
e x1
und geben Sie das Definitionsgebiet an!
x²
8. Bestimmen Sie die Nullstellen und den Extremwert der Funktion y= 4.lnx – 2.(lnx)² !
x3  a
9. Der Graph der Funktion y=
hat bei E(2/2) einen Extremwert. Gesucht ist die
b.x
Funktionsgleichung.
Auswertung:
Bsp. 
1a
1b
1c - f
2
3
4
5
6
7-9
Ges.
Punkte 
1
2
Je 3
6
18
13
6
13
16
87
Notenschlüssel:
VIEL ERFOLG ! ! !
Ab 44 Punkten ……….. Bestanden
44 – 54 Punkte ……….
Genügend
66 – 76 Punkte ……….
Gut
55 – 65 Punkte ……….
Befriedigend
77 – 87 Punkte ……….
Sehr Gut
Die Lösungen finden Sie hier !
Lernzielüberprüfung „Extremwertaufgaben“:
Sie haben für die Beispiele 2 Stunden Zeit, dürfen Taschenrechner und Formelsammlung
verwenden.
1. Aus einem Baumstamm, dessen Querschnitt ein Kreis mit Durchmesser d=40cm soll
ein Balken mit größtmöglichen rechteckigen Querschnitt geschnitten werden.
Berechnen Sie die Abmessungen des Rechtecks.
2. Gegeben ist ein Kegel, dessen Grundfläche den Radius 4 cm hat, und der 10 cm hoch
ist. In diesen Kegel soll ein Zylinder einbeschrieben werden, der a) das maximale
Volumen und b) die maximale Oberfläche hat. Bestimmen Sie zu a) und b) jeweils die
Höhe des Zylinders!
3. Eine Fertigsuppen-Firma verkauft ihre Produkte in Konservendosen mit 750 ml Inhalt.
Um die Herstellungskosten minimal zu halten, muss für die Dose möglichst wenig
Material gebraucht werden. Wie sind dann Durchmesser und Höhe der Dose zu
wählen?
4. Unter der Parabel der Funktion y = -x2 + 4 soll Rechteck mit maximaler Fläche eingeschrieben werden, das von der x-Achse begrenzt wird. Welchen Flächeninhalt hat das
Rechteck?
Die Beispiele 2, 3 sind aus http://www.mathesite.de/pdf/extr.pdf.
Das Beispiel 4 ist aus http://www.mathesite.de/pdf/extrer.pdf.
Auswertung:
Bsp. 
1
2a
2b
3
4
Ges.
Punkte 
13
13
13
13
15
67
Notenschlüssel:
VIEL ERFOLG ! ! !
Ab 34 Punkten ……….. Bestanden
34 – 42 Punkte ……….
Genügend
43 – 51 Punkte ……….
Befriedigend
52 – 59 Punkte ……….
Gut
60 – 67 Punkte ……….
Sehr Gut
Die Lösungen finden Sie hier !
LÖSUNGEN:
Berechnung der 1. und 2. Ableitung von f(x)= ex.(x²-x)
f(x)= ex.(x²-x)
f ’(x) = ex.(x²-x) + ex.(2x-1) = ex.(x²-x+2x-1) = ex.(x²+x-1)
f ’’(x) = ex.(x²+x-1) + ex.(2x+1) = ex.(x²+x-1+2x+1) = ex.(x²+3x)
Zurück
Regel von l’Hospital
x
x   ln x
Beispiel 1: lim
Bei x strebt der Zähler x gegen  und der Nenner lnx ebenfalls 
Voraussetzung ist erfüllt und ich kann Zähler und Nenner ableiten 
x
1
 lim  lim x  
x  ln x
x  1
x 
x
lim
Mit Worten ausgedrückt: Wenn x gegen Unendlich geht, geht y ebenfalls gegen Unendlich.
Zeichnung erstellt mit www.hutschdorf.de/flash/plotter.htm.
Beispiel 2: lim
x 1
x
x 1
Bei x1 ist der Zähler 1 und der Nenner strebt gegen 0
Voraussetzung ist NICHT erfüllt. Ich kann die Regel daher nicht
anwenden.
Wenn ich die Antwort trotzdem wissen will, kann ich überlegen, dass
bei x1 der Zähler gegen 1 und der Nenner gegen 0 strebt. 1/0 strebt
gegen Unendlich. Das heißt also: Wenn x gegen 1 geht, geht y gegen
Unendlich. Zeichnung erstellt mit www.hutschdorf.de/flash/plotter.htm.
ex
x  x ²
Beispiel 3: lim
Bei x strebt der Zähler ex gegen  und der Nenner x² ebenfalls 
Voraussetzung ist erfüllt und ich kann Zähler und Nenner ableiten 
ex
ex
 lim
Da Zähler und Nenner noch immer gegen  streben,
x  x ²
x  2 x
kann ich die Regel von l’Hospitel noch mal anwenden:
lim
ex
ex
 lim

x  2 x
x  2
lim
Mit Worten ausgedrückt: Wenn x gegen Unendlich geht, geht y ebenfalls gegen Unendlich.
Das ist auch aus der mit www.hutschdorf.de/flash/plotter.htm erstellten Zeichnung ersichtlich.
Zurück
Haupt- und Nebenbedingungen der Beispiele auf
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/extrem_ueb.htm
1) Ich nenne die beiden gesuchten Zahlen a und b.
NB: a + b = 10
HB: a² + b²  Minimum
2) Die Seitenlängen des Rechtecks heißen a und b.
NB: 2a + 2b = 1 (Meter)
HB: Fläche A = a.b  Maximum
3) Die Seitenlängen des Rechtecks heißen a und b.
NB: (Strahlensatz!) 4 : 3 = b : (6 : a/2)
HB: Fläche A = a.b  Maximum
4) Ein quadratisches Prisma ist ein Quader mit einem Quadrat als Grundfläche  die
Seitenkanten des Quaders heißen a, a und h.
NB: Volumen V = a².h = 1 (dm³)
HB: Oberfläche O = 2a² + 4.a.h  Minimum
5) Der Zylinder hat einen Radius r und eine Höhe h.
NB: Volumen V = r²..h = 250 (cm³)
HB: Oberfläche O = 2r². + 2.r..h  Minimum
6) Der oben offene Zylinder hat einen Radius r und eine Höhe h.
NB: Volumen V = r²..h = 250 (cm³)
HB: Oberfläche O ohne eine Kreisfläche = r². + 2.r..h  Minimum
7) a) Der Zylinder hat einen Radius r und eine Höhe h.
NB: r, h des Zylinders und der Durchmesser des Kreises (=2.R=24) bilden ein
rechtwinkliges Dreieck  Pythagoräischer Lehrsatz  h² + (2r)² = 24²
HB: Mantel M = 2.r..h  Maximum
7) b) Der Kegel hat einen Radius r und eine Höhe h.
NB: Aus dem Höhensatz ergibt sich r² = h.x, wobei außerdem gilt: x = 2R-h ist
 r² = 24h – h²
HB: Volumen V =
r ². .h
 Maximum
3
8) Der Kegel hat einen Radius r und eine Höhe h.
NB: r² + h² = R²  r² + h² = 144
HB: Volumen V =
r ². .h
 Maximum
3
9) Die Abmessungen des (oben offenen) Quaders seien a, b und die Höhe h.
NB: a = 40 – 2x, b = 25 – 2x, h = x, wobei x die Seitenlänge des Quadrats ist, das ich
an den Ecken ausschneide
HB: Volumen V = a.b.h  Maximum
10) Der Zylinder hat einen Radius r und eine Höhe h, die Halbkugel hat ebenfalls den
Radius r.
NB: Volumen V (setzt sich aus dem V eines Zylinders und dem V einer Halbkugel
2.r ³.
zusammen) = r²..h +
= 45(dm³)
3
HB: Oberfläche O (setzt sich aus der O eines oben offenen Zylinders und der O einer
Halbkugel zusammen) = r². + 2.r..h + 2.r².  Maximum
Zurück
Lösungen der Lernzielüberprüfung „Kurvendiskussionen“:
1. Bilden Sie jeweils die 1. Ableitung der nachfolgenden Funktionen:
 y ’ = 12x² – 10x
a) y=4x³ – 5x² – 3
b) y=
1
x²  7 x 2  5
2
 y ’ = x +14.x -3
 Produktregel ! y ’ = (3x² – 2).(2x – 3) + (x³ – 2x).2=
c) y=(x³ – 2x).(2x – 3)
6x³ – 4x – 9x² + 6 + 2x³ – 4x = 8x³ – 9x² – 8x + 6
Oder erst ausmultiplizieren und dann differenzieren
y=(x³ – 2x).(2x – 3) = 2x4 – 3x³ – 4x² + 6
 y ’ = 8x³ – 9x² – 8x + 6
d) y=
3x
x²  4
 Quotientenregel ! y ’ =
3.( x ²  4)  3x.2 x  3x ²  12

( x ²  4)²
( x ²  4)²
e) y=
1
x²
 Quotientenregel ! y ’ =
0.x ²  1.2 x  2 x  2
 4 
x³
x4
x
f) y= x ²  1  ( x ²  1)
1
2
1
1

 Kettenregel ! y ’ = .x ²  1 2 .2 x 
2
x
x²  1
2. Welche Punkte der Kurve f(x)= 3x³ – 11x haben eine Tangente mit Anstieg -2?
k = f ’(x)  Ich bilde f ’(x) = 9x² - 11 und setze den Ausdruck = -2  9x² - 11 = -2
 x² = 1  x1 = 1 und x2 = -1.
Nun berechne ich zu den x-Werten die zugehörigen y-Werte: f(1)=-8 und f(-1)=8.
Die Punkte P(1/-8) und Q(-1/8) haben Tangenten mit einem Anstieg -2.
1
.( x ³  3 x ²  9 x  5)
16
Gesucht: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkt + Wendetangente, Zeichnung
3. Gegeben ist die Funktion f: y = 
Nullstellen: 
1
.( x ³  3 x ²  9 x  5) = 0  x³ –3x² – 9x – 5 = 0
16
Es gibt einen Satz (gilt nur, wenn die Gleichung normiert ist und nur ganzzahlige
Koeffizienten hat), der sagt, dass diese Gleichung, wenn sie ganzzahlige Lösungen hat,
nur Lösungen haben kann, die Teiler des absoluten Gliedes sind. Die Gleichung ist
normiert (vor dem x mit der höchsten Potenz, hier x³, steht ein 1), die Koeffizienten sind
ganzzahlig (1, -3, -9, -5)  wenn die Gleichung ganzzahlige Lösungen hat, müssen sie
Teiler von 5 sein. Ich probiere daher die Zahlen 1, -1, 5, -5 durch und schaue, ob eine der
Zahlen eine Lösung der Gleichung ist. Am besten mache ich das mit dem Horner’schen
Schema, da ich dann über das Restpoynom die anderen Lösungen leicht finden kann:
x
1
-3
-9
-5
 Koeffizienten
1
1
-2
-11
-16
Ich erhalte den y-Wert -16
-1
1
-4
-5
0
Ich erhalte den y-Wert 0 
Bei -1 habe ich eine Nullstelle gefunden  N(-1/0).
Aus dem Restpolynom berechne ich die weiteren Nullstellen:
1.x² – 4x – 5 = 0 Diese quadratische Gleichung ergibt gelöst x1 = -1 und x2 = 5  Ich habe
eine neue Nullstelle N(5/0) gefunden und mit N(-1/0) eine doppelte Nullstelle.
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/horner.htm
Extremwerte: y’ = 
1
1
.(3 x 2  6 x  9) y’’ =  .(6 x  6)
16
16
y’ = 0  3x² – 6x – 9 = 0 Diese quadratische Gleichung ergibt vereinfacht x² – 2x – 3 = 0
und gelöst x1 = -1 und x2 = 3.
Da y’’ an der Stelle x=-1 größer als 0 ist
 Tiefpunkt. Den y-Wert kenne ich
schon, da der Tiefpunkt gleichzeitig
Nullstelle ist T(-1/0).
Da y’’ an der Stelle x=3 kleiner als 0 ist
 Hochpunkt.
Nun berechne ich noch den y-Wert des
Hochpunktes, indem ich in die gegebene
1
Funktion y =  .( x ³  3 x ²  9 x  5) für
16
x=3 einsetze  y=2  Hochpunkt H(3/2)
Zeichnung erstellt mit www.hutschdorf.de/flash/plotter.htm
1
.(6 x  6) = 0  x=1 y’’’ = -6/16, also ungleich 0  Ich habe
16
einen Wendepunkt gefunden; seine y-Koordinate berechne ich indem ich in die gegebene
1
Funktion y =  .( x ³  3 x ²  9 x  5) für x=1 einsetze  y=1  Wendepunkt W(1/1)
16
Wendepunkt: y’’ = 
Um die Wendetangente angeben zu können, brauche ich ihre Steigung. Diese berechne
ich, indem ich den x-Wert von W (also x=1) in die 1. Ableitung einsetze 
f’(1) = 
1
 12 3
.(3.12  6.1  9) 
  k=3/4 = 0,75
16
 16 4
Nun setze ich W(1/1) und k=0,75 in t: y = k.x + d ein  1 = 1.0,75 + d  d=0,25 
Wendetangente t: y = 0,75.x + 0,25
2 x²  2
. Berechnen Sie Definitionsmenge, Nullstellen, den Extremwert der
x²  4
Funktion und die Asymptoten der 1. und 2. Art an! Skizzieren Sie die Funktion.
4. Gegeben: y =
D=R\{-2, 2} Ich muss jene Zahlen ausschließen, die dazu führen, dass der Nenner 0 ist!
Die Asymptoten der 1. Art lauten daher: x=-2 und x=2
Nullstellen: 2x² – 2 = 0  x² = 1  N1(1/0), N2 (-1/0)
Extrema: y’ =
y’’ =
4 x.( x ²  4)  (2 x ²  2).2 x
 12 x

2
( x ²  4)
( x ²  4) 2
 12.( x ²  4) 2  (12 x).2.( x ²  4).2 x 36 x ²  48

( x ²  4) 4
( x ²  4) 3
y’ = 0  -12x = 0  x = 0
Da y’’ an der Stelle x kleiner als 0 ist  Hochpunkt
Nun berechne ich noch den y-Wert des
Hochpunktes, indem ich in die gegebene
2 x²  2
Funktion y =
für x=0 einsetze 
x²  4
y=0,5  Hochpunkt H(0/0,5)
Um die Asymptote der 2. Art zu
berechnen, überlege ich, was mit y passiert,
wenn x 
2 x²  2
 2  Die Asymptote der 2.
x²  4
Art lautet y=2. Zur Berechnung der Asymptote, wenn der Grad (=höchste Potenz) des
Nenners = dem Grad des Zählers s. www.matheprofis.de/mathe.php?page=klasse_12/kurvendiskussion/16
lim
x 
Eine Zeichnung der Funktion finden Sie, wenn Sie (2*x^2-2)/(x^2-4) auf der Website
www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm eingeben (dort können Sie sich auch eine
Wertetabelle ausgeben lassen).
5. f(x)= ¼ x³ – 3x + 2 Geben Sie eine Nullstelle mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens auf zwei Nachkommastellen genau an.
¼ x³ – 3x + 2 = 0 .4
Nullstellen 
x³ - 12x + 8 = 0
Es gibt einen Satz, der sagt, dass diese Gleichung, wenn sie ganzzahlige Lösungen hat,
nur Lösungen haben kann, die Teiler des absoluten Gliedes (hier also von 8) sind.
x
y
-8
-408
-4
-8
-2
24
-1
19
1
-3
2
-8
4
24
8
424
Wenn ich für x der Reihe nach -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4 und 8
einsetze, merke ich, dass ich nie 0 erhalte  es gibt keine
ganzzahligen Lösungen.
Da die Funktion aber stetig ist (also ohne abzusetzen
gezeichnet werden kann) und bei den y-Werten
Vorzeichenwechsel stattfinden, weiß ich, dass eine Nullstelle
zwischen -4 und -2 liegen muss, eine zwischen -1 und 1 und
eine zwischen 2 und 4.
Für die Nullstelle zwischen -4 und -2 setze ich in die
Newton-Formel als Anfangswert x1=-3 ein. Die anderen
Nullstellen würde ich analog berechnen (z.B. mit Beginnwert
x= 0 bzw. x=3).
Die Formel für das Newton’sche Näherungsverfahren (NNV) lautet: xn+1= xn f’ lautet 3x² -12  x2= -3 -
f ( xn )
f ' ( xn )

17
f (3)
= -3 =-4,1 3
f ' ( 3)
15

Nun setze ich x2=-4,1 3 in die Formel ein  x3=-3,8… Die nächste Näherung ergibt
x4=-3,759… und dann x5=-3,75877… Mit N1(-3,76/0) liege ich daher schon sehr genau.
Die anderen zwei Nullstellen mit dem NNV berechnet lauten N2(0,69/0) und N3(3,06/0).
6. Die Parabel einer Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung. Ihre Wendetangente bei
x=2 lautet g(x)= –2x+8.
y = x³ - 6x² + 10x Die durchgerechnete Lösung finden Sie auf der zweiten Seite von
www.mathesite.de/pdf/stecker.pdf.
e x1
7. Berechnen Sie den Extremwert der Funktion y=
und geben Sie das Definitionsgebiet an!
x²
Definitionsgebiet D=R/{0}
Extremwertberechnung:
f ’(x) =
e x 1 .x ²  e x 1 .2 x e x 1 .x  2.e x 1 e x 1 .( x  2)


x4
x3
x3
Zur Berechnung des Extremwertes setze ich f ’(x) = 0

e x 1 .( x  2)
0
x3
ex+1.(x – 2 ) = 0
x=2
.x³
da ex+1 0, kommt nur eine
Lösung in Frage
Zeichnung erstellt mit www.hutschdorf.de/flash/plotter.htm
Um zu bestimmen, ob ein Extremwert vorliegt und wenn ja, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt,
setze ich in die 2. Ableitung (ist relativ kompliziert, da ich innerhalb der Quotientenregel
die Produktregel anwenden muss) für x=2 ein:
[e x 1 .( x  2)  e x 1 ].x ³  e x 1 .( x  2).3x ² e x 1 .x ²[( x  2  1).x  ( x  2).3]


x6
x6
e x 1 .[ x ²  x  3x  6] e x 1 .[ x ²  4 x  6]

x4
x4
e 21 .(2²  4.2  6)
 2,5 >0  Es liegt ein Tiefpunkt vor.
f ’’ (2) =
24
e x1
Seinen y-Wert berechne ich, indem ich in y=
für x=2 einsetze
x²
e3
 y= 5,021
4
f " (x) 
 T(2/5,021)
8. Bestimmen Sie die Nullstellen und den Extremwert der Funktion y= 4.lnx – 2.(lnx)² !
Nullstellenberechnung: f(x) = 0
 4.lnx – 2.(lnx)² = 0
2.lnx.(2 – lnx) = 0
ich hebe 2.lnx heraus
ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist 
2.lnx = 0 bzw. 2 – lnx = 0 kommen als Lösung in Frage.
lnx = 0  x = 1 … 1. Lösung  N(1/0)
lnx = 2  x = e² … 2. Lösung  N(e²/0) = N(7,4/0)
Extremwertberechnung:
f ’(x) = 4.
1
1
1
 4. ln x.  4. .(1  ln x)
x
x
x
Zur Berechnung der Extremwerte setze ich f ’(x)
=0
1
4. .(1  ln x)  0
x
.x:4
1 – lnx = 0  lnx = 1  x = e
Zeichnung erstellt mit www.hutschdorf.de/flash/plotter.htm
Um zu bestimmen, ob ein Extremwert vorliegt und wenn ja, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt,
setze ich in die 2. Ableitung (Produkt- und Quotientenregel anwenden!) für x=e ein:
f ’’(x) = 4.
1
1
1
4
4
.(1  ln x)  4. .( )   .(1  ln x  1)   . ln x
x²
x
x
x²
x²
f ’’(e) = 
4
. ln e  0,5 < 0  Hochpunkt
e²
Seinen y-Wert berechne ich, indem ich in y= 4.lnx – 2.(lnx)² für x=e einsetze
 y = 4.lne – 2.(lne)² = 4 – 2 = 2
9. Der Graph der Funktion y=
 H(e/2)=H(2,7/2)
x3  a
hat bei E(2/2) einen Extremwert. Gesucht ist die
b.x
Funktionsgleichung.
I) E(2/2) ist ein Punkt der Funktion  f(2) = 2  1. Gleichung: 2 =
8a
b.2
3x 2 .bx  ( x ³  a).b
II) E ist Extremwert  f’(2)=0 Die 1. Ableitung lautet
. Wenn ich in
(b.x)²
24b  8b  ab
die 1. Ableitung für x=2 einsetze und das ganze = 0 setze 
=0
4b ²
Zusammengefasst ergibt das die 2. Gleichung: 16 – a = 0  a=16. Wenn ich a=16 in die
1. Gleichung einsetze und b berechne, erhalte ich b=6
 Die gesuchte Funktion lautet: y=
x 3  16
6.x
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Lösungen der Lernzielüberprüfung „Extremwertaufgaben“:
1. Aus einem Baumstamm, dessen Querschnitt ein Kreis mit
Durchmesser d=40cm soll ein Balken mit größtmöglichen
rechteckigen Querschnitt geschnitten werden. Berechnen
Sie die Abmessungen des Rechtecks.
HB: A = a.b  Maximum
NB mittels Pythagoräischem Lehrsatz: a² + b² = 1600
 a = 1600  b²
NB  HB:
A = 1600  b² . b
[Ich darf quadrieren  das Ableiten ist einfacher]
A² = (1600-b²).b² = 1600b² - b4
f(b) = 1600b² - b4
f ’(b) = 1600.2.b – 4.b3 = 3200.b – 4.b3
f ’’(b) = 3200 – 12b²
f ’(b) = 0 
3200.b – 4.b3 = 0  4b(800 – b²) = 0 [ein Produkt ist 0, wenn der eine
oder der andere Faktor 0 ist]
 800 – b² = 0  b =
800
oder 4.b = 0 (kommt aber nicht in Frage, da b > 0 sein muss)
Nun gilt es zu überprüfen, ob bei b =
800 ein Maximum vorliegt:
f ’’ ( 800 ) = -6400 < 0  Maximum
Nun berechne ich noch a = 1600  b² = = 1600  800 = =
a=b=
800
800 cm  28,28 cm  Es handelt sich um ein Quadrat.
[Das Überprüfen der Randwerte b= 0 bzw. b=40 ergibt jeweils A=0, also kein Maximum]
2. Gegeben ist ein Kegel, dessen Grundfläche den
Radius 4 cm hat, und der 10 cm hoch ist. In
diesen Kegel soll ein Zylinder einbeschrieben
werden, der a) das maximale Volumen und b)
die maximale Oberfläche hat. Bestimmen Sie zu
a) und b) jeweils die Höhe des Zylinders!
Ich nenne den Radius des Zylinders R und die
Höhe des Zylinders H.
NB mittels Strahlensatz: h : r = H : (r – R)
 10 : 4 = H : (4 – R)
 4.H = 10. (4 – R)
 4.H = 40 – 4.R
 H = 10 – 2,5R
a) HB: V = R²..H  Maximum
b) HB: O = 2.R². + 2.R..H
NB  HB: V = R²..(10-2,5R)
NB  HB: O = 2.R². + 2.R.. (10 – 2,5R)
Konstante wie  oder 2 kann ich weglassen, wenn ich die Zielfunktion aufstelle.
f(R) = 10R² – 2,5R³
f(R) = 10R – 1,5R²
f ’ (R) = 20R – 7,5R²
f ’ (R) = 10 – 3R
f ’’ (R) = 20 – 15R
f ’ (R) = 0
f ’’ (R) = -3
 20R – 7,5R² = 0
f ’ (R) = 0
 10 – 3R = 0
.
 R = 0 (kommt nicht in Frage) bzw.
 R = 10/3 = 3, 3
.
R = 20/7,5 = 2, 6  2,7
Nun gilt es zu überprüfen, ob bei R ein Maximum vorliegt:
.
f ’’ (R) = -3 < 0  Maximum
f ’’ ( 2, 6 ) = -20 < 0  Maximum
Nun berechne ich noch H = 10 – 2,5R:
.
.
.
H = 10 – 2,5. 2, 6 = 3, 3  H  3,3 cm
.
H = 10 – 2,5. 3, 3 = 1, 6  H  1,7 cm
3. Eine Fertigsuppen-Firma verkauft ihre Produkte in Konservendosen mit 750 ml Inhalt.
Um die Herstellungskosten minimal zu halten, muss für die Dose möglichst wenig
Material gebraucht werden. Wie sind dann Durchmesser und Höhe der Dose zu wählen?
HB: O = 2.r². + 2.r..h  Minimum
NB: V = r²..h
750 ml = 750 cm³
NB  HB:
O = 2.r². + 2.r..
 750 = r²..h
h=
750
r ².
750
r ².
750
r
750
f ’(r) = 2.r. –
r²
1500
f ’’(r) = 2. +
r³
750
2.r. –
=0
r=
r²
f(r) = r². +
f ’(r) = 0 
3
750
 4,9
2
Nun gilt es zu überprüfen, ob bei r = 4,9 ein Minimum vorliegt:
f ’’ (4,9) = 19,… > 0  Minimum
Nun berechne ich noch h =
750
 9,85
r ².
 h = d  9,85cm  Es handelt sich um einen gleichseitigen Zylinder.
4. Unter der Parabel der Funktion y = -x² + 4 soll ein Rechteck mit maximaler Fläche eingeschrieben werden, das von der x-Achse begrenzt wird. Welchen Flächeninhalt hat das
Rechteck?
Skizze:
4
3
2
y
1
-4
-3
-2
-1
-1
2x
1
2
3
4
HB: A = 2x · y
NB: P(x/y)par  y = -x2 + 4
NB  HB:
A = 2x · (-x2 + 4) = -2x3 + 8x
f (x) = -2x3 + 8x
f '(x) = -6x2 + 8
f '' (x) = -12x
f ' (x) = 0 
-6x² + 8 = 0
6x² = 8 
x1, 2  
Nun gilt es zu überprüfen, ob bei x =
f ’’ (
4
3
4
ein Maximum vorliegt:
3
4
) = -13,… < 0  Maximum
3
Nun berechne ich noch die y-Koordinate y = -x2 + 4
.
4
y=-(
)² + 4 = 2, 6
3
4 .
A  2. .2, 6
3
 Der Flächeninhalt beträgt ca. 6,158 AE.
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Ende des Lernpfades „Differentialrechnung“.
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