Skalarprodukt mit einem Einheitsvektor Projektion a e a cos a b Addition in Komponenten a x b x a x b x a b a y b y a y b y a z bz a z bz Multiplikation mit Skalar a x a x a a y a y a z a z Skalarprodukt a x b x a b a y b y a x bx a y b y a z bz a z bz Vektorprodukt a x b x a y b z a z b y a b a y b y a z bx a x bz a z bz a x b y a y bx 1.3 Ebene Kräftesysteme Kraft : Betrag Vektor Richtung gebundener Vektor Wirkungsli nie Statische Äquivalenz Ebenes Kräftesystem Ziel: Zusammenfassen zu einer statisch äquivalenten Kraft Reduktion der Aufgabe: 2 Kräfte zu einer statisch äquivalenten Kraft zusammenfassen. Fall 1: Kräfte haben denselben Angriffspunkt F1 F2 F2 F1 Fall 2: Kräfte mit verschiedenen Angriffspunkten F2 F1 F2 F2 F1 F1 Fall 3: Parallele Kräfte F2 F0 F0 F2 F1 F2 F1 F0 F1 F0 Fall 4: Ausnahmefall „Kräftepaar“ oder „Kräftdipol“ F0 F1 Ein ebenes Kräftesystem ist statisch äquivalent - entweder zu einer Einzelkraft F0 F1 F1 - oder zu einem Kräftdipol F0 ( F0 F1 ) 1.4 Kräftedipol und statisches Moment Transformation eines Kräftedipols a' F ' a F a a’ F a' F ' aF statisches Moment F’ 1.5 Räumliche Kräftesysteme Räumliches Kräftesystem i.a. statisch äquivalent zu - einer Einzelkraft - und einem Kräftedipol, repräsentiert durch seinen Momentenvektor „Verpflanzung“ einer Kraft in einen anderen Angriffspunkt F in P F in P, F in O, F in O F in O, F in P,F in O F P r F Kräftedipol repräsentiert durch Momentenvektor M r F O F Räumliches Kräftesystem FK FK Kräftesystem, bestehend aus n Kräften FK mit Angriffspunkten PK ist statisch äquivalent zu - der Einzelkraft r O FK K PK n F k 1 K in O und - dem Momentenvektor n MK M M K , M K rK FK k 1 rK OPK F greift in O an, ist aber unabhängig von der Wahl von O -M hat keinen Angriffspunkt, hängt aber von der Wahl von O ab -- 1.6 Gleichgewicht des starren Körpers Gleichgewicht: Körper ist in Ruhe und bleibt in Ruhe. n Statisch Äquivalent: F FK in O k 1 n und : M rK FK , rK OPK k 1 Gleichgewichtsbedingungen für starren Körper n F „Kräftegleichgewicht“: n r „Momentengleichgewicht“: k 1 0 K k 1 K FK 0 , rK OPK , O beliebig wählbar In Komponenten n F Kräfte: k 1 XK n r Momente: k 1 YK n r k 1 ZK n r k 1 XK 0, n F k 1 YK n 0 , FZK 0 k 1 FZK rZK FYK 0 FXK rXK FZK 0 FYK rYK FXK 0 gilt für die (x,y)-Ebene Beispiel x l G1 G2 Schnittbild/Feinschnitt F O’ x O l G2 G1 Gleichgewicht der Kräfte: →:0 ↑ : F - G1 - G2 = 0 der Momente O : Fx – Gsl =0 daraus lässt sich folgendes ablesen für einen anderen Bezugspunkt O’ F = G1 + G2 O’: G1x – G2 (l – x) = 0 (G1 + G2) x = G2l G2 l x G1 G2 x G2 l G2 l F G1 G2 Momente einer Kraft M r F F O r P a M rF sin Fa a = „Hebelarm“ (Bei ebenen Problemen) Erstarrungsprinzip Befindet sich ein mechanisches System unter dem Einfluss eines Kräftesystems im Gleichgewicht, so erfüllt es dieselben Gleichgewichtsbedingungen wie ein starrer Körper. Das System darf im Gleichgewicht als erstarrt angesehen werden. Schnittprinzp Ist ein mechanisches System im Gleichgewicht, so ist auch jedes Teilsystem im Gleichgewicht. Das an das Teilsystem angreifende Kräftesystem besteht aus: - den äußeren Kräften, die an dem Teilsystem angreifen und - den Schnittkräften, die der Rest des Systems auf das Teilsystem ausübt. Gegenwirkungsprinzip Üben zwei Körper (oder Teile eines Körpers) Kräfte aufeinander aus, so haben diese dieselbe Wirkungslinie und sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Schnittbild Gleichgewichtsbedingungen Kräfte → (1) F2 cos F 0 l ↑ h cos F2 Momente h A A G l sin 2 (2) (1) F1 l sin cos 2h l F G sin cos 2 2h F2 G F1 G F2 sin G (1 1 h G sin F2 (3) 2 cos F Sofort ausrechnen aus (3) F2 sin F1 G 0 (2) l sin 2 cos ) 2h Bedingung für (1) F1 0 l sin 2 cos 0 2h l 1 sin 2 cos 2h l sin 2 cos 1 2h 2h l 2 sin cos 1 Gleichgewichtsaufgaben 1. System abgrenzen 2. Alle Kräfte einzeichnen, die auf das System einwirken 3. Orthogonale Richtungen für das Kräftegleichgewicht und Bezugspunkt für das Momentengleichgewicht festlegen. 4. Gleichgewichtsbedingungen formulieren 5. Nach den unbekannten Kräften auflösen. 2. Gewichtskraft und Schwerpunkt 2.1 Verteilte Kräfte Gegensatz: konzentrierte Kraft, Einzelkraft Volumenkraft B Vi Vi Teilvolumina f i Vi fi Kraft pro Volumen N m 3 ri Anzahl Gesamtkraft F f i Vi i Gesamtmoment M 0 ri f i Vi Grenzübergang Vi 0 gleichmäßig i F f dv B M 0 r f dV B B dV Volumenelement dV F f dV B f dV Volumenkraftdichte f