Kombinatorik aus der Schule

Kombinatorik
Wiederholung
Definition (Wiederholung):
Mit Wiederholung:
Ohne Wiederholung:
Auswahl/Ziehung von Elementen bei der das gewählte/gezogene Element
sofort wieder der Gesamtmenge zugefügt wird.
Auswahl/Ziehung von Elementen bei der das gewählte/gezogene Element
nicht wieder der Gesamtmenge zugefügt wird.
Permutation
Definition (Permutation):
Jede mögliche Anordnung von n Elementen, in der alle Elemente verwendet werden, heißt
Permutation dieser Elemente.
Permutation ohne Wiederholung:
Satz (Permutation ohne Wiederholung):
Von n paarweise verschiedenen Elementen gibt es n! Permutationen (also Anordnungsmöglichkeiten).
Beispiele:
1.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 4 Asse eines Kartenspiels (Karo, Herz, Pik, Kreuz – also sind alle
untereinander verschieden) anzuordnen?
Lösung:
→ Permutation ohne Wiederholung: = 4! = 24
(Oder: Man wähle ein As aus (4 Möglichkeiten), dann ein weiteres (3 Möglichkeiten), dann
noch eins (2 Möglichkeiten) und füge das letzte hinzu.
= 4 · 3 · 2 · 1 = 4! = 24)
2.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 5 Menschen (die sind sicherlich verschieden) an einen Tisch zu setzen?
Lösung:
→ Permutation ohne Wiederholung: = 5! = 120
Permutation mit Wiederholung:
Satz (Permutation mit Wiederholung):
Gegeben seien n Elemente in r Gruppen, wobei sich die Elemente einer Gruppe nicht unterscheiden,
Elemente verschiedener Gruppen aber verschieden sind. Die Anzahl der Elemente in den Gruppen sei i 1,
i2,... , ir (i1 + i2 + ··· + ir = n).
Zu diesen Elementen gibt es
n!
i1! i2 ! ir !
Permutationen (Anordnungsmöglichkeiten).
Beispiel:
3.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Zug aus 2 Speisewagen, 3 Schlafwagen und 7 Personenwagen
zusammenzustellen?
Lösung:
→ Permutation mit Wiederholung:
n = 2 + 3 + 7 = 12
Man erstellt die Gruppen 1 (2 Speisewagen), Gruppe 2 (3 Schlafwagen) und die Gruppe 3 (7
Personenwagen). Somit sind alle Elemente einer Gruppen gleich, alle Elemente verschiedener
Gruppen verschieden.
Also: r = 3
Und: i1 = 2, i2 = 3, i3 = 7
Somit ergibt sich nach der Formel:
12!
 210
2! 3! 7!
(Oder: 12 Elemente kann man auf 12! verschiedenen Möglichkeiten anordnen. Da man die 2
Speisewagen, die 3 Schlafwagen und die 7 Personenwagen aber nicht von einander
unterscheiden kann, ist die Anordnung der Speisewagen (2!), der Schlafwagen (3!) und der
Personenwagen (7!) jeweils untereinander egal:
12!
 210
2! 3! 7!
4.
Wie viele Möglichkeiten gibt es aus den Zahlen 1 bis 4 jeweils 7-stellige Zahlen zu bilden, in denen 2mal
die 1, 3mal die 2 und je einmal die 3 und die 4 vorkommen.
Lösung:
→ Permutation mit Wiederholung:
7!
 420
2! 3! 1! 1!
Kombination:
Definition (Kombination):
Jede mögliche Anordnung (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n Elementen heißt
Kombination dieser Elemente (Kombination von n Elementen zur k-ten Klasse).
Kombination ohne Wiederholung:
Satz (Kombination ohne Wiederholung):
Aus n verschiedenen Elementen können k Stück (k [ n) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und
ohne zwischenzeitliches Zurücklegen auf
n
n  (n  1)    (n  k  1)
n!
  

1 2  k
 k  k!  (n  k )!
verschiedene Arten ausgewählt werden.
Beispiel:
5.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 Fotos (die alle verschieden sind) 3 auszuwählen?
Lösung:
Reihenfolge, in der die Fotos ausgewählt werden ist egal → keine Berücksichtigung der
Reihenfolge → Kombination.
Jedes Foto wird nur einmal ausgewählt → ohne Wiederholung.
→ Kombination ohne Wiederholung:
n = 5, k = 3
 5
5!
  
 10
 3  3!  (5  3)!
6.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 10 Menschen 4 auszuwählen?
Lösung:
→ Kombination ohne Wiederholung:
n = 10, k = 4
10 
10!
  
 210
 4  4!  (10  4)!
Kombination mit Wiederholung:
Satz (Kombination mit Wiederholung):
Aus n verschiedenen Elementen werde k-mal hintereinander eines ausgewählt und vor dem nächsten
Zug wieder zurückgelegt. Dann gibt es ohne Berücksichtigung der Reihenfolge insgesamt
 n  k  1


k


verschiedene Auswahlmöglichkeiten.
Beispiel:
7.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 gleiche Kuchen auf 10 Menschen zu verteilen, wobei jeder auch
mehrere Kuchen bekommen kann.
Lösung:
Man wählt aus den 10 Menschen jeweils einen aus, der einen Kuchen bekommt. Da die Kuchen
gleich sind, ist auch die Reihenfolge der Auswahl beliebig → Reihenfolge beliebig →
Kombination.
Da jeder auch mehrere Kuchen bekommen kann → mit Wiederholung (der Mensch, der gerade
ausgewählt wurde, wird wieder in die Gesamtmenge der möglichen Gewinner für das nächste
Stück Kuchen zurückgelegt).
→ Kombination mit Wiederholung:
n = 10, k = 4
10  4  1 13 

     715
4

 4
Variation
Definition (Variation):
Jede mögliche Anordnung (mit Berücksichtigung der Reihenfolge) aus je k von n Elementen heißt
Variation dieser Elemente (Variation von n Elementen zur k-ten Klasse).
Variation ohne Wiederholung:
Satz (Variation ohne Wiederholung):
Aus n verschiedenen Elementen können k Stück (k [ n) mit Berücksichtigung der Reihenfolge und
ohne zwischenzeitliches Zurücklegen auf
 n
n!
   k! 
 n  (n  1)    (n  k  1)
(n  k )!
k 
verschiedene Arten ausgewählt werden.
Beispiele:
8.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 100 Sportlern 3 auszuwählen, wobei der erste den ersten Preis
(Goldmedaille), der zweite den zweiten Preis (Silbermedaille) und der dritte den dritten Preis
(Bronzemedaille) bekommt.
Lösung:
Da die 3 ausgewählte jeweils einen anderen Preis bekommen, ist die Reihenfolge, in der sie
ausgewählt werden nicht egal → mit Berücksichtigung der Reihenfolge → Variation.
Jeder bekommt nur maximal einen Preis (Medaille) → ohne Wiederholung.
→ Variation ohne Wiederholung:
n = 100, k = 3
100!
 100  99  98  970200
(100  3)!
(Anschaulich kann man sich die Formel auch so erklären:
Man wähle aus den Sportlern einen aus, der den ersten Preis bekommt (100 Möglichkeiten),
danach einen anderen für den zweiten Preis (99 Möglichkeiten) und dann noch einen für den
dritten Preis (98 Möglichkeiten):
 100  99  98  970200
9.
Analog zu Aufgabe 7 aber diesmal zählt nur der Medaillengewinn, das heißt der erste, zweite bzw. dritte
Preis ist egal.
Lösung:
→ Reihenfolge egal → Kombination
Weiterhin bekommt jeder maximal eine Medaille → ohne Wiederholung
→ Kombination ohne Wiederholung:
n = 100, k = 3
100 
100  99  98
100!

 

 161700
3!
 3  3!  (10  3)!
Variation mit Wiederholung:
Satz (Variation mit Wiederholung):
Aus n verschiedenen Elementen werde k-mal hintereinander eines ausgewählt und vor dem nächsten
Zug wieder zur Grundmenge zurückgelegt. Dann gibt es unter Berücksichtigung der Reihenfolge
insgesamt nk verschiedene Auswahlmöglichkeiten.
Beispiel:
10. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 unterschiedliche Preise an 10 Kinder zu verteilen, wobei jeder auch
mehrere bekommen kann.
Lösung:
Man wählt die Preisträger aus. Da die Preise unterschiedlich sind bekommt beispielsweise das
erste ausgewählte Kind den ersten Preis, das zweite den zweiten etc. → mit Berücksichtigung
der Reihenfolgen → Variation
Da alle auch mehrere Preise bekommen können, wird jedes ausgewählte Kind wieder in die
Gesamtmenge vor dem nächsten Zug zurückgefügt → mit Wiederholung.
→ Variation mit Wiederholung:
n = 10, k = 4
= 104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000
11. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus den Ziffern 1 bis 4 jeweils 6-stellige Zahlen zu bilden, wobei jede
Ziffer beliebig oft vorkommen darf.
Lösung:
→ Variation mit Wiederholung:
= 46 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4096
Übersicht:
Ziehung
Mit Wiederholung
Ohne Wiederholung
Mit Beachtung der
Reihenfolge
nk
n!
( n  k )!
Variation
Ohne Beachtung der
Reihenfolge
 n  k  1


k


n
n!
  
 k  k!  (n  k )!
Kombination
Zusammenfassendes Beispiel:
Gegeben seien 3 Kinder und 2 Tafeln Schokolade (n = 3, k = 2).
a)
Kombination ohne Wiederholung:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 2 Tafeln Schokolade auf die 3 Kinder aufzuteilen, wenn jedes Kind
nur maximal eine Tafel bekommen darf und die beiden Tafeln Schokolade nicht von einander
unterscheidbar sind.
Lösung:
Anschaulich:  - Kind bekommt Schokolade
Kind 1
Kind 2




Kind 3


Rechnerisch:
Reihenfolge egal, da beide Tafeln Schokolade nicht unterscheidbar (egal welches
Kind die erste Tafel (als erstes ausgewählt) und welches die zweite Tafel (als zweites
ausgewählt) bekommt)
→ Kombination
Ohne Wiederholung, da jedes Kind nur maximal eine Tafel bekommen darf:
 n   3
3!
     
3
 k   2  2!  (3  2)!
b)
Kombination mit Wiederholung:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 2 Tafeln Schokolade auf die 3 Kinder aufzuteilen, wenn jedes Kind
beliebig viele Tafeln bekommen darf und die beiden Tafeln Schokolade nicht von einander
unterscheidbar sind.
Lösung:
Anschaulich:  - Kind bekommt Schokolade
Kind 1
Kind 2




Kind 3





Rechnerisch:
Reihenfolge egal, da beide Tafeln Schokolade nicht unterscheidbar (egal welches
Kind die erste Tafel (als erstes ausgewählt) und welches die zweite Tafel (als zweites
ausgewählt) bekommt)
→ Kombination
Mit Wiederholung, da jedes Kind auch mehrere Tafeln bekommen darf:
 n  k  1  3  2  1  4 

  
     6
k
2

 
  2
c)
Variation ohne Wiederholung:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 2 Tafeln Schokolade auf die 3 Kinder aufzuteilen, wenn jedes Kind
maximal eine Tafel bekommen darf und die beiden Tafeln Schokolade von einander unterscheidbar sind
(z. B.: verschiedene Sorten wie Nuss-Schokolade und Marzipan).
Lösung:
Anschaulich:
 - Kind bekommt Nuss-Schokolade
 - Kind bekommt Marzipan-Schokolade
Kind 1
Kind 2




Kind 3








Rechnerisch:
Reihenfolge wichtig, da beide Tafeln Schokolade von einander unterscheidbar
(wichtig welches Kind die erste Tafel (als erstes ausgewählt) und welches die zweite
Tafel (als zweites ausgewählt) bekommt)
→ Variation
Ohne Wiederholung, da jedes Kind nur maximal eine Tafel bekommen darf:
n!
3!

6
(n  k )! (3  2)!
d)
Variation mit Wiederholung:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 2 Tafeln Schokolade auf die 3 Kinder aufzuteilen, wenn jedes Kind
beliebig viele Tafeln bekommen darf und die beiden Tafeln Schokolade von einander unterscheidbar
sind (z. B.: verschiedene Sorten wie Nuss-Schokolade und Marzipan).
Lösung:
Anschaulich:
 - Kind bekommt Nuss-Schokolade
 - Kind bekommt Marzipan-Schokolade
Kind 1




Kind 2
Kind 3











Rechnerisch:
Reihenfolge wichtig, da beide Tafeln Schokolade von einander unterscheidbar
(wichtig welches Kind die erste Tafel (als erstes ausgewählt) und welches die zweite
Tafel (als zweites ausgewählt) bekommt)
→ Variation
Mit Wiederholung, da jedes Kind auch mehrere Tafeln bekommen darf:
nk = 3 2 = 9
Urnenmodelle:
Urnenmodell I (ohne Wiederholung):
Satz:
Eine Urne enthalte N Kugeln, von denen M rot und N-M weiß sind. Daraus werde zufällig und ohne
zwischenzeitliches Zurücklegen n Kugeln gezogen. Das Ereignis: „Unter den n ausgewählten Kugeln
befinden sich genau k rote“ besitzt die Wahrscheinlichkeit
 M  N  M 
 

N
n

k
 

N
 
n
Beispiel:
12. Gegeben seinen 10 Kugeln, von denen 3 rot und 7 weiß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von 4
zufällig gezogenen Kugeln 2 rot und 2 weiß sind. Dabei werden die gezogenen Kugel nicht wieder
zurückgelegt.
Lösung:
→ Urnenmodell I
 3
 
2
Anzahl der Möglichkeiten aus den 3 roten genau 2 zu ziehen:  
7
 
2
Anzahl der Möglichkeiten aus den 7 weißen genau 2 zu ziehen:  
10 
 
4
Anzahl der Möglichkeiten aus den insg. 10 Kugeln genau 4 zu ziehen:  
 3  7 
  
 2  2   0,3
10 
 
4
Also ergibt sich insgesamt:  
13. Gegeben seinen 100 Lose, von denen 2 Hauptgewinne, 8 Einzelgewinne und 90 Nieten sind.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich unter 10 zufällig gezogenen Losen genau 1
Hauptgewinn, 2 Einzelgewinne und 7 Nieten sind.
Lösung:
→ Urnenmodell I
 2
 
1
Anzahl der Möglichkeiten aus den 2 Hauptgewinnen genau 1 zu ziehen:  
8
 
2
Anzahl der Möglichkeiten aus den 8 Einzelgewinnen genau 2 zu ziehen:  
 90 
 
7
Anzahl der Möglichkeiten aus den 90 Nieten genau 7 zu ziehen:  
100 


10

Anzahl der Möglichkeiten aus den insg. 100 Losen genau 10 zu ziehen: 
 2  8  90 
   
 1  2  7   0,02417
100 


10


Also ergibt sich insgesamt:
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich unter 15 zufällig gezogenen Losen genau 3
Einzelgewinne und 12 Nieten sind.
Lösung:
→ Urnenmodell I
 2
   1
0
Anz. der Möglichkeiten aus den 2 Hauptgewinnen genau 0 zu ziehen:  
8
 
3
Anzahl der Möglichkeiten aus den 8 Einzelgewinnen genau 3 zu ziehen:  
 90 
 
12
Anzahl der Möglichkeiten aus den 90 Nieten genau 12 zu ziehen:  
100 


15


Anzahl der Möglichkeiten aus den insg. 100 Losen genau 15 zu ziehen:
 2  8  90   8  90 
      
 0  3  12    3  12   0,06054
100 
100 




15
15




Also ergibt sich insgesamt:
Urnenmodell II (mit Wiederholung):
Satz:
Eine Urne enthalte N Kugeln, von denen M rot und N-M weiß sind. Daraus werde zufällig n Kugeln
gezogen. Jede Kugel werde vor dem nächsten Zug zurückgelegt. Das Ereignis: „Unter den n
ausgewählten Kugeln befinden sich genau k rote“ besitzt die Wahrscheinlichkeit
n  M  
M
      1  
N
k   N  
k
nk
Beispiel:
14. Gegeben seien 100 Kugel, von denen 40 rot und 60 weiß sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß
unter 8 zufällig gezogenen Kugeln genau 2 rote und 6 weiße sind. Dabei wird jede Kugel die gezogen wird
vor dem nächsten Zug zurückgelegt?
Lösung:
→ Urnenmodell II
 40 


Wahrscheinlichkeit, daß eine rote Kugel gezogen wird:  100 
2
 40 


Wahrscheinlichkeit, daß 2 rote Kugel gezogen werden:  100 
 60 


Wahrscheinlichkeit, daß eine weiße Kugel gezogen wird:  100 
6
 60 


Wahrscheinlichkeit, daß 6 weiße Kugel gezogen werden:  100 
Anzahl der Möglichkeiten die gezogenen 2 roten und die 6 weißen Kugel (also insg. 8 Kugeln)
8 8
    
2
6
anzuordnen:    
2
 8   40 
   

2
100 
Also ergibt sich insg.   
6
 60 

  0,2090
 100 
15. Ein Würfel werde 4mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau 2mal die 4 gewürfelt
wird?
Lösung:
→ Urnenmodell II
1
 
Wahrscheinlichkeit, daß eine 4 gewürfelt wird:  6 
5
 
Wahrscheinlichkeit, daß eine keine 4 gewürfelt wird:  6 
 4
 
2
Anzahl der Möglichkeiten, unter 4 gewürfelten Augenzahlen genau 2mal die 4 zu haben:  
2
2
 4  1   5 
         0,1157
2
6
6
Also ergibt sich insg.      
16. 75 % einer großen Gruppe von Arbeitern gehören zur Gewerkschaft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
daß unter 10 zufällig ausgewählten Menschen genau 7 von der Gewerkschaft sind?
Lösung:
Eigentlich ist hier das Urnenmodell I anzuwenden, da die Menschen nicht zweimal ausgewählt
werden können (also ohne Wiederholung). Da aber hier von einer großen Gruppe von
Menschen die Rede ist, ändert sich die Wahrscheinlichkeit kaum, wenn man einen auswählt (es
sind unter den restlichen Menschen immer noch 75 % von der Gewerkschaft, egal wer
ausgewählt wurde). Deshalb kann man das Urnenmodell II (mit Wiederholung) aus sehr gute
Näherung angewendet werden.
Wahrscheinlichkeit, daß jemand von der Gewerkschaft ausgewählt wird: 0,75 .
Wahrscheinlichkeit, daß 7 von der Gewerkschaft ausgewählt werden: 0,757.
Wahrscheinlichkeit, daß jemand nicht von der Gewerkschaft ausgewählt wird: 0,25.
Wahrscheinlichkeit, daß 3 Menschen ausgewählt werden, die nicht von der Gewerkschaft sind:
0,253.
10  10 
    
3
7
Anordnung von 7 Gewerkschaftern und 3 anderen Menschen:     .
10 
   0,757  0,253  0,2503
3
Insgesamt ergibt sich:  
17. Analog zu Aufgabe 16 jetzt aber mit Urnenmodell I (ohne Zurücklegen) und 100 Arbeitern (75 von der
Gewerkschaft, 25 die nicht von der Gewerkschaft sind).
Lösung:
 75  25 
  
 7  3   0,2637
100 


 10 