Zusammenfassung Stochastik Klasse 11

Zusammenfassung Stochastik Klasse 11
Die bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) gibt an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit ein Ereignis B eintritt, wenn das Ereignis A schon
eingetreten ist.
PA (B) 
P( A  B)
P( A )
Der allgemeine Multiplikationssatz ist eine Verallgemeinerung der
Pfadregel. Er folgt durch Umstellen der Formel für die bedingte
Wahrscheinlichkeit.
1.
P( A  B)  PA (B)  P( A )  PB ( A )  P(B)
Die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit ist eine Verallgemeinerung
der 2. Pfadregel. Man berechnet die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses B als Summe der zum Ereignis B führenden
Einzelwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.
P(B)  PA1 (B)  P( A1)  PA 2 (B)  P( A 2 )  ...  PA i (B)  P( Ai )
P(B)  P( A1  B)  P( A 2  B)  ...  P( A i  B)
Gilt für zwei Ereignisse A und B (z. B. Ziehen mit Zurücklegen)
PA(B) = P(B) bzw. PB(A) = P(A), so sind die beiden Ereignisse
A und B unabhängig. Andernfalls sind sie abhängig.
Der Satz von Bayes drückt die Abhängigkeit einer bedingten
Wahrscheinlichkeit PB(Ai) bzw. PB(A) von einer nichtbedingten
Wahrscheinlichkeit P(Ai) bzw. P(A) aus. Die Formel nach Bayes folgt
aus den allgemeinen Formeln für die 1. und 2. Pfadregel und der
Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit.
PB ( A i ) 
P( A i )  PA i (B)
bzw. PB ( A ) 
n
 P( Ak )  PA
k 1
k
(B)
P( A  B)
P(B)
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet jedem Ereignis E genau eine
reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] zu, die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses E. ( Schreibweise:
P: E  P(E) )
Zufallsexperimente, bei denen Chancengleichheit für alle
Elementarereignisse ( ̂ Einzelelemente der Ergebnismenge) besteht,
heißen
Laplace-Experimente. Die Wahrscheinlichkeit 1 des sicheren Ereignisses
wird gleichmäßig auf die Elementarereignisse verteilt.
(Beispiel: Würfeln mit einem „gerechten“ Würfel)
Unter der Voraussetzung der Gleichwahrscheinlichkeit eines jeden
Elementarereignisses aus der Ergebnismenge  gilt für die
Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E:
P(E) =
E


Anzahl der für das Ereignis E günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Diese Wahrscheinlichkeitsdefinition wird als klassische bzw. LaplaceWahrscheinlichkeit bezeichnet.
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion P
(1) Für alle Ereignisse E gilt 0  P(E)  1.
(2) P(  )= 1 und
P(  )= 0
(3) Wenn A  B   , dann gilt: P(A  B)  P( A )  P(B) .
(4) Ist E das Gegenereignis zu E, dann gilt: P( E) = 1 –
P(E).
(5) Sind A und B zwei beliebige Ereignisse, so gilt:
P(A  B)  P(A )  P(B)  P(A  B)
Unabhängigkeit von Ereignissen
Rauchen und Sportverein
In einer aktuellen Umfrage an einer Schule ist erfasst worden, wie viele
Schülerinnen und Schüler der 10. bis 12. Klassen regelmäßig rauchen
und Mitglied in Sportvereinen sind. Die absoluten Häufigkeiten sind aus
der folgenden Tabelle zu entnehmen.
Raucher h(R)
Nichtraucher
Mitglied Sportverein
h(S)
40
74
nicht Mitglied
Sportverein h(nS)
62
64
Untersuchen Sie, ob es eine Abhängigkeit zwischen einer Mitgliedschaft
im Sportverein und dem Rauchen gibt.
Sport und Rauchen in einer Stadt
Zur Vorbereitung einer Werbekampagne gegen das Rauchen ist in einer
Stadt ermittelt worden, dass unter den Mitgliedern von Sportvereinen im
Alter von 15 bis 65 Jahren 40% rauchen.
Von allen Einwohnern im gleichen Alter, die nicht in einem Sportverein
sind, wurden 48% Raucher(innen) festgestellt. Bekannt ist, dass jeder
vierte Bewohner der Stadt Mitglied in einem Sportverein ist.
Untersuchen Sie, ob sich die Mitgliedschaft in einem Sportverein günstig
auf das Nichtrauchen auswirkt.
Vierfeldertafel:
Raucher
Mitglied im
nicht Mitglied im
Vergleich der
Sportverein (S)
Sportverein (nS)
Quotienten:
0,40*0,25=0,10
0,48*0,75=0,36
0,46
(R)
Nichtraucher
(nR)
0,10 ? 0,46

0,25 1,00
 0,4  0,46
0,60*0,25=0,15
0,25
0,52*0,75=0,39
0,75
0,54
1,00
Die beiden Merkmale Rauchen und Mitglied in einem Sportverein sind für die
Bewohner der Stadt nicht unabhängig voneinander. Die Größe der Abweichung
der beiden Quotienten gibt möglicherweise einen Hinweis auf die Stärke der
Abweichung an. (Beschreibende Statistik 12/13)
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
1. In einer Urne befinden sich genau 30 Kugeln, und zwar 15 rote neun weiße
und sechs grüne Dieser Urne werden auf „gut Glück" genau sechs Kugeln
gleichzeitig entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit p erfasst man dabei
a) nur rote,
weiße
b) nur weiße,
c) nur grüne
d) zwei grüne und vier
e) von den roten genau drei und von den weißen genau zwei Kugeln?
2. An einem Handballturnier nehmen (genau) 18 Mannschaften teil, aus denen
durch Los zwei Gruppen zu je 9 Mannschaften gebildet werden. Unter den
teilnehmenden Mannschaften befinden sich (genau) fünf Mannschalten der höchsten
Spielklasse.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse
A = {alle Mannschalten der höchsten Spielklasse befinden sich in derselben
Gruppe}
B = {in einer Gruppe befinden sich 2 Mannschaften der höchsten Spielklasse, in
der anderen 3}
3. In einer Lieferung von 50 Teilen befinden sich genau 5 Ausschussteile.
Zwischen Hersteller und Käufer wurde vereinbart, dass die Sendung nur dann
angenommen wird wenn sich in einer (ohne Zurücklegen entnommenen) Stichprobe
von 4 Teilen nicht mehr als ein Ausschussteil befindet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit p wird diese Sendung angenommen7
4. Einer Lostrommel, die genau zehn Lose (zwei Gewinnlose und acht Nieten)
enthält, werden „auf gut Glück“' zwei Lose gleichzeitig entnommen. Geben Sie eine
geeignete Ergebnismenge an. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden
Ereignisse:
A = {es wird kein Gewinnlos gezogen}
B ={es wird genau ein
Gewinnlos gezogen}
5. Bei den acht Teilnehmern eines Informatikkurses hat sich ein Vertreter der
Softwarefirma All Right angesagt, der Raubkopien aufspüren soll. Genau zwei der
Teilnehmer besitzen Raubkopien von All Right. Als sie vom Vertreter befragt werden,
sind natürlich alle acht Teilnehmer ohne eine solche Raubkopie. Daraufhin wählt der
Vertreter ,auf gut Glück -alle hinterlassen bei ihm denselben ehrlichen Eindruck (genau) drei von ihnen aus, um ihre Software zu kontrollieren.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Vertreter (vorausgesetzt, er
übersieht keine Raubkopie) bei dieser Vorgehensweise mindestens einen der
„Räuber" erwischt?
6. Die Seltenflachen eines ungezinkten
den Ziffern 1, 2, 3 und 4 beschriftet.
auf der Fläche, auf der das Tetraeder
Aus den geworfenen Ziffern wird unter
vierstellige Zahl gebildet.
Tetraeders sind (paarweise verschieden) mit
Als Ergebnis eines Wurfes zählt die Ziffer
liegt. Das Tetraeder wird viermal geworfen.
Beachtung der Wurfreihenfolge eine
a) Bestimmen Sie die Anzahl n der verschiedenen Zahlen, die auftreten können.
b) Bestimmen Sie die Anzahl m der möglichen Zahlen, die genau drei gleiche
Ziffern aufweisen.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit p tritt eine Zahl mit vier verschiedenen Ziffern
auf?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit p wird eine Zahl mit genau zwei Dreien gebildet9
Übungsaufgaben I (Ergebnismengen und Ereignisse)
Montagsfahrrad
Die Firma Diamint stellt Fahrräder her. Untersuchungen in der
Montageabteilung haben ergeben, dass an den Tagen Dienstag bis
Freitag montierte Fahrräder mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05
Montagefehler aufweisen, montags montierte Räder mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,15. Es wird an allen Tagen (Montag-Freitag)
die gleiche Stückzahl produziert.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei zufälliger Auswahl
eines Fahrrades aus der Gesamtproduktion ein am Montag produziertes
Fahrrad gezogen wird, welches keine Montagefehler aufweist.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Kauf eines
Fahrrades ein Montagefehler auftritt?
c) An einem aus dieser Produktion stammenden Fahrrad ist eine
fehlerhafte Montage festgestellt worden. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass das Fahrrad montags montiert wurde?
d) Auf welche Wahrscheinlichkeit müsste das Auftreten von
Montagefehler am Montag gesenkt werden, damit die Wahrscheinlichkeit
bei zufälliger Auswahl eines Fahrrades aus der Gesamtproduktion für
einen Montagefehler nicht größer als 0,06 ist?
Lösungsskizze
Ereignisse:
a)
b)
c)
d)
M:= Fahrrad montags produziert;
nM:= Fahrrad nicht montags produziert;
F:= Fahrrad mit Fehlern
nF:= Fahrrad ohne Fehler
p = 0,2*0,85 = 0,17
p = 0,2*0,15+ 0,8*0,05 = 0,07
M
p = 0,03/0,07 = 0,428
nM
0,06 > 0,2*x + 0,8*0,05 ; x<0,1
F
0,03
0,04
0,07
nF
0,17
0,76
0,93
0,2
0,8
Häufigkeiten
Zufallsexperiment:
a) Ein Tetraeder wird 200mal nacheinander geworfen.
b) Ein Tetraeder wird 350mal nacheinander geworfen.
Die Ergebnisse werden jeweils in einer Häufigkeitstabelle erfasst.
Augenzahl 1
2
3
4
Augenzahl 1
2
3
45
52
54
80
91
4
87
Definition:
Tritt ein Ereignis A bei n-maliger Durchführung ein und desselben
Zufallsexperimentes genau Hn(A)-mal ein, so bezeichnet man Hn(A)
H (A )
als die absolute und hn(A)= n
als die relative Häufigkeit des
n
Ereignisses A. Die relative Häufigkeit wird oft auch in Prozent
angegeben.
Empirisches Gesetz der großen Zahl
Die relativen Häufigkeiten hn(A) eines Ereignisses A werden nach
einer hinreichend großen Anzahl n von Durchführungen eines
Zufallsexperimentes stabil.
Eigenschaften von relativen Häufigkeiten
(1) hn (A )  hn (1 )  hn ( 2 )  ...  hn (i ) mit  A  1 ;  2 ;...; i 
(2) 0  h n ( A )  1
(3) hn(  )= 1 und hn(  )= 0
(4) Sind die Ereignisse A und B unvereinbar, so gilt:
hn (A  B)  hn (A )  hn (B) .
(5) Für beliebige Ereignisse A und B gilt:
hn (A  B)  hn (A )  hn (B)  h n (A  B)
Grundbegriffe der Stochastik
Einen Vorgang nennt man Zufallsexperiment, wenn dabei mindestens
zwei Ergebnisse (Ausgänge) möglich sind und es vor Ablauf des
Vorgangs nicht vorhersagbar ist, welches der möglichen Ergebnisse
eintreten wird.
Eine Menge  heißt Ergebnismenge eines Zufallsexperimentes, wenn
jedem möglichen Ergebnis des Zufallsexperimentes genau ein Element 
aus der Menge  zugeordnet wird. Man schreibt
 i (mit  i   ) für die einzelnen Ergebnisse des Zufallsversuches
und   1; 2 ;...; n  für die Ergebnismenge.
Teilmengen der Ergebnismenge werden als Ereignis bezeichnet.
Ein Ereignis A tritt ein, wenn als Versuchsergebnis ein Ergebnis aus A
erzielt wurde.
Ein Ereignis, dass keine Ergebnisse enthält (also nicht eintreten kann)
heißt unmögliches Ereignis. (Symbol:  (leere Menge))
Ereignisse, die genau ein Ergebnis enthalten nennt man
Elementarereignisse.
Das Ereignis
,
welches alle Ergebnisse enthält, heißt das sichere
Ereignis.
Aufgabe:
Erläutern Sie mithilfe des Zufallsexperimentes „Würfeln mit einem
regelmäßigen Würfeln“ die o. g. Begriffe.
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafeln
Zwei unterscheidbare L-Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die
interessierenden Ereignisse seien A={Augensumme ist größer als 8} und
B={Augensumme ist ungerade}.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Augensumme
unter der Bedingung, dass die Augensumme größer als 8 ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme größer 8
unter der Bedingung, dass die Augensumme ungerade ist?
Lösung:
Es handelt sich jeweils um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Man erhält P(A) =
10
18
und P(B) =
. Für die Schnittmenge
36
36
A  B ergibt sich
A  B ={(3+6);(6+3);(4+5);(5+4);(5+6);(6+5)}, d. h.
P( A  B ) =
6
. Die bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) (Teilaufgabe
36
a)) beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine ungerade
Augensumme (Ereignis B), die größer ist als 8, erscheint.
6
P(A  B)
3
PA(B) =
= 36  . Mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% ist
10 5
P(A )
36
unter den Augensummen größer als 8 eine ungerade Zahl.
Berechnen Sie PB(A) (Teilaufgabe b)). Vergleichen Sie beide
Ergebnisse.
Definition:
Wenn A und B zwei beliebige Ereignisse mit P(A)>0 sind, dann
bedeutet PA(B) die durch A bedingte Wahrscheinlichkeit von B. PA(B)
wird berechnet als Quotient der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A  B und A.
PA(B) =
P(A  B)
P(A )
Darstellung in einer Vierfeldertafel
Vierfeldertafeln sind zu zwei Ereignissen und deren jeweiligen
Gegenereignis systematisch aufgebaute Tabellen bzw. Tafeln, die beim
Lösen von stochastischen Problemen (insbesondere zur bedingten
Wahrscheinlichkeit) hilfreich sein können.
A
A
B
P( A  B)  p 1
P(A  B)  p 2
P(B) = p1+p2
B
P(A  B)  p 3
P(A  B)  p 4
P( B ) = p3+p4
P(A) = p1+p3
P( A )= p2+p4
1
In Vierfeldertafeln (siehe Bild) werden in den inneren eigentlichen vier
Feldern die Wahrscheinlichkeiten (oder relativen Häufigkeiten oder
absoluten Häufigkeiten) der paarweise unvereinbaren Ereignisse A  B ,
A  B, A  B und A  B eingetragen. Die Wahrscheinlichkeiten oder
Häufigkeiten der Einzelereignisse sind als Spalten bzw. Zeilensummen an
den Rändern der Tabelle notiert.
A
A
B
6
36
12
36
18
36
B
4
36
14
36
18
36
10
36
26
36
1
Aufgabe:
Auf Grund von Beobachtungen weiß man, dass beim Einschalten einer
Anlage das Bauteil A mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 und das Bauteil
B mit der Wahrscheinlichkeit 0,07 ausfällt. Dass zwar A, aber nicht B
ausfällt, tritt mit der Wahrscheinlichkeit 0,004 ein.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt wenigstens eines dieser beiden
Bauteile beim Einschalten der Anlage aus?
(Hinweis: Erarbeiten Sie eine Vierfeldertafel)
Axiomensystem von Kolmogorov
Der russische Mathematiker A. N. Kolomogorov (1903-1987) fand
1933, dass lediglich drei Regeln (Axiome) für das Rechnen mit
Wahrscheinlichkeiten ausreichen, um alle anderen Rechenregeln daraus
abzuleiten.
Unter Axiomen versteht man (mathematische) Aussagen und Begriffe,
die nicht aus anderen Aussagen bzw. Begriffen ableitbar sind. Axiome
sind wahr und bilden die Grundlage für mathematische Theorien.
Eine Funktion P, die jeder Teilmenge A einer endlichen Ergebnismenge
 eine
reelle Zahl P(A) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung
(bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsmaß), wenn
sie folgenden drei Bedingungen genügt:
Axiom 1 (Nichtnegativität) : P(A) > 0
Axiom 2 (Normiertheit):
P(  )= 1
Axiom 3 (Additivität):
P(A  B)  P( A )  P(B), falls A  B  
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass sich die folgenden Aussagen aus den Axiomen von
Kolmogorov ableiten lassen:
a) P( A ) = 1 – P(A)
b) P(  )= 0
c) P(A) < 1
d) P(A  B)  P(A )  P(B)  P(A  B)