Integralrechnung_Uebungen_8i_1415

Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
1
Übungen zur Integralrechnung
Das Bestimmte Integrale
1) L: 54,914; 55,086; 55;
Berechne den Inhalt, des vom Graphen von 𝑓 und der 𝑥 - Achse begrenzten Flächenstücks,
welches oberhalb der 𝑥 - Achse liegt. Wähle 𝑛 = 1000.
𝑓(𝑥) =
3
∙ (−𝑥 3 − 2𝑥 2 + 64𝑥 + 128)
100
2) L: 26,960; 27,040; 27;
Berechne den Inhalt, des vom Graphen von 𝑓 und der 𝑥 - Achse begrenzten Flächenstücks.
Wähle 𝑛 = 1200.
𝑓(𝑥) =
1
∙ (𝑥 3 − 6𝑥 2 + 32)
4
3) L: 12,776; 12,824; 12,8;
Berechne den Inhalt, des vom Graphen von 𝑓 und der 𝑥 - Achse begrenzten Flächenstücks.
Wähle 𝑛 = 1000.
𝑓(𝑥) =
3
∙ (𝑥 4 − 32𝑥 2 + 256)
256
4) L: 1,997; 2,003; 2;
Berechne den Inhalt des Flächenstücks über dem Intervall [0; 𝜋].
Wähle 𝑛 = 1000.
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
5) L: 3,1415; 3,1417;
Berechne die Fläche über dem Intervall [0, 1]. Wähle 𝑛 = 1000.
Das exakte Ergebnis ist 𝜋. Das Integral ist mit unseren Methoden nicht integrierbar.
𝑓(𝑥) =
4
1 + 𝑥2
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2
6) L: --Die stetige reelle Funktion 𝑓 mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei
𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3 und 𝑥3 = 6.
Welche der folgenden Aussagen ist/sind zutreffend?
Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an.
3

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 < 2
1
6

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 < 0
1
6

|∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥| < 2
3
3
6
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 > 0
1
3
3
6
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 > 0 und ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 < 0
1

3

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3
7) L: --Nachstehend werden Aussagen zu Funktionen und deren Stammfunktionen angeführt.
Kreuzen die zutreffende(n) Aussage(n) an.
𝑏
Ist 𝐹 eine Stammfunktion von 𝑓, so gilt: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑎
Die Stammfunktion einer Summe von zwei Funktionen 𝑓 und 𝑔 ist (abgesehen
von Integrationskonstanten) gleich der Summe der Stammfunktionen von 𝑓
und 𝑔.

𝑓 ist immer eine Stammfunktion von 𝑓 ′ .

Wenn
𝑑𝐹(𝑥)
= 𝑓(𝑥), dann ist 𝐹 eine Stammfunktion von 𝑓.
𝑥
Für beliebige Funktionen 𝑓 und
∫(𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑔 gilt:
8) L: --Zeichne den Graphen einer Stammfunktion 𝐹 der Funktion 𝑓 in die Abbildung ein.


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4
9) L: --In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Funktion 𝑔 dargestellt.
Zeichne im vorgegebenen Koordinatensystem den Graphen einer Funktion 𝑓 (𝑓 ≠ 𝑔) ein,
die die gleiche Ableitungsfunktion wie die Funktion 𝑔 hat.
10) L: --Es gilt die Aussage:
„Besitzt eine Funktion 𝑓 eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist
nämlich 𝐹 eine Stammfunktion von 𝑓, so ist für jede beliebige reelle Zahl 𝑐 auch die durch
𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐 definierte Funktion 𝐺 eine Stammfunktion von 𝑓.“
(Quelle: Wikipedia)
Die beiden Textfelder sind so zu ergänzen, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Kreuze in der ersten und der zweiten Spalte jeweils den zutreffenden Ausdruck an.
Ist die Funktion 𝐹 eine Stammfunktion der Funktion 𝑓, dann gilt  .
Gilt zudem  , dann ist auch die Funktion 𝐺 eine Stammfunktion von 𝑓.

𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝐺

+ 0 = 𝑓(𝑥)

𝐹(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)

𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 0 = 𝑓 ′ (𝑥)

𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)

𝐺 ′ (𝑥) = 𝐹(𝑥) + 0 = 𝑓 ′ (𝑥)

′ (𝑥)
=𝐹
′ (𝑥)
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11) L: --Der Begriff des bestimmten Integrals soll erklärt werden.
Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Textbausteine so, dass eine korrekte Aussage entsteht.
Ein bestimmtes Integral kann als


einer/eines

gedeutet werden.
Summe


Grenzwertes von Summen

Produkt

Summe von Produkten

Grenzwert

Produktes von Grenzwerten

12) L: --Gegeben sind die Funktionen 𝑓 und 𝑔 und die Konstante 𝑎 ∈ ℝ+ .
Es gilt der Zusammenhang 𝑔′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.
𝑓 ist eine Stammfunktion von 𝑔

𝑔 ist eine Stammfunktion von 𝑓

𝑔 − 𝑎 ist eine Stammfunktion von 𝑓

𝑓 + 𝑎 ist eine Stammfunktion von 𝑔

𝑎 ∙ 𝑔 ist eine Stammfunktion von 𝑓

13) L: --Der Graph der in der nachstehenden Abbildung dargestellten Funktion 𝑓 schließt mit der
𝑥 - Achse im 1. Quadranten ein Flächenstück ein.
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Der Inhalt 𝐴 dieses Flächenstücks kann mit dem Ausdruck
𝑓(𝑥1 ) ∙ ∆𝑥 + 𝑓(𝑥2 ) ∙ ∆𝑥 + 𝑓(𝑥3 ) ∙ ∆𝑥 + 𝑓(𝑥4 ) ∙ ∆𝑥
näherungsweise berechnet werden.
Gib die geometrische Bedeutung der Variablen ∆𝑥 an und beschreibe den Einfluss der Anzahl der Teilintervalle [𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 ] von [0; 𝑎] auf die Genauigkeit des Näherungswertes für
den Flächeninhalt 𝐴.
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Das unbestimmte Integral
1) Berechne folgende Integrale und führe die Probe durch.
a) ∫(8𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4𝑥 − 2) 𝑑𝑥
b) ∫ (9𝑥 5 −
c)
15 4
9
3
𝑥 + 6𝑥 3 − 𝑥 2 − ) 𝑑𝑥
2
2
2
∫(3𝑥 − 2)2 𝑑𝑥
𝐿: 2 ∙ (𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥) + 𝑐
𝐿:
3
∙ (𝑥 6 − 𝑥 5 + 𝑥 4 − 𝑥 3 − 𝑥) + 𝑐
2
𝐿: 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑐
2) Berechne folgende Integrale und führe die Probe durch.
a)
∫
8𝑥 4
+
𝑑𝑥
𝑥6 𝑥3
𝐿: − 2 ∙ (
1
1
+
)+𝑐
𝑥4 𝑥2
b) ∫ 3 ∙ √8𝑥 𝑑𝑥
𝐿: 4 ∙ 𝑥 ∙ √2𝑥 + 𝑐
c)
𝐿: 8 ∙ 𝑥 ∙ √3𝑥 + 𝑐
∫ 6 ∙ √12𝑥 𝑑𝑥
3
d) ∫ 5 ∙ √16𝑥 2 𝑑𝑥
3
e)
∫ 4 ∙ √54𝑥 𝑑𝑥
f)
∫
g)
∫ 3 𝑑𝑥
√𝑥
1
√𝑥
2
𝑑𝑥
3
𝐿: 6 ∙ 𝑥 ∙ √2𝑥 2 + 𝑐
3
𝐿: 9 ∙ 𝑥 ∙ √2𝑥 + 𝑐
𝐿: 2 ∙ √𝑥 + 𝑐
3
𝐿: 3 ∙ √𝑥 2 + 𝑐
3) Berechne folgende Integrale und führe die Probe durch.
a)
∫(3𝑥 + 2)3 𝑑𝑥
b) ∫ 𝑥 ∙ (3𝑥 2 + 2)3 𝑑𝑥
c)
∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥
d) ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 𝑑𝑥
e)
∫
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
1
∙ (3𝑥 + 2)4 + 𝑐
12
1
𝐿:
∙ (3𝑥 2 + 2)4 + 𝑐
24
1
𝐿: ∙ 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) + 𝑐
2
1
𝐿: − ∙ 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑥) + 𝑐
3
𝐿:
𝐿: 𝑙𝑛(𝑠𝑖𝑛(𝑥)) + 𝑐
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4) Berechne folgende Integrale und führe die Probe durch.
a)
∫ 2𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥 2 ) 𝑑𝑥
𝐿: 𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 ) + 𝑐
b) ∫ 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥
𝐿: 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥) + 𝑐
c)
𝐿: 2 ∙ 𝑒 2𝑥+3 + 𝑐
∫ 4 ∙ 𝑒 2𝑥+3 𝑑𝑥
d) ∫ 3 ∙ √2𝑥 + 3 𝑑𝑥
e)
∫
𝑙𝑛(𝑥)
𝑑𝑥
𝑥
𝐿: 2 ∙ (2𝑥 + 3) ∙ √2𝑥 + 3 + 𝑐
1
∙ 𝑙𝑛2 (𝑥) + 𝑐
2
𝐿:
5) Berechne folgende Integrale und führe die Probe durch.
a)
∫
b) ∫
6
√3𝑥 + 2
6𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
√3𝑥 2 + 2
1
𝑑𝑥
c) ∫
√1 − 𝑥
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑑𝑥
d) ∫
√𝑐𝑜𝑠(𝑥)
e)
∫
2
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2
𝐿: 4 ∙ √3𝑥 + 2 + 𝑐
𝐿: 2 ∙ √3𝑥 2 + 2 + 𝑐
−2 ∙ √1 − 𝑥 + 𝑐
−2 ∙ √𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑐
−
2
+𝑐
𝑥−1
6) L: --Gegeben sind Aussagen über die Lösung eines unbestimmten Integrals. Nur eine
Rechnung ist richtig. Die Integrationskonstante wird in allen Fällen mit 𝑐 = 0 angenommen. Kreuze die korrekte Rechnung an.
∫ 3 ∙ (2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = (6𝑥 + 5)2

∫ 3 ∙ (2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 3𝑥 2 + 5𝑥

∫ 3 ∙ (2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = (6𝑥 + 15)2

∫ 3 ∙ (2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 3 ∙ (𝑥 2 + 5)

∫ 3 ∙ (2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 3𝑥 2 + 15

∫ 3 ∙ (2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 6𝑥 2 + 15𝑥

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7) L: --𝑏
In einem bestimmten Integral ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 oder einem unbestimmten Integral ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑𝐹
heißt die zu integrierende Funktion 𝑓 Integrand. Eine Funktion 𝐹 für die gilt 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥), ist
eine Stammfunktion von 𝑓.
Ordne den Graphen der Stammfunktionen die passenden Integranden zu.
A
𝑓(𝑥) = 2𝑥
B
𝑓(𝑥) = 1
C
𝑓(𝑥) = −2𝑥
D
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 4𝑥
E
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2
F
𝑓(𝑥) = −1
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8) L: --Gegeben sind Aussagen über die Lösung eines unbestimmten Integrals. Die Integrationskonstante wird in allen Fällen mit 𝑐 = 0 angenommen.
Kreuze die beiden korrekten Rechnung an.
∫ 6 ∙ (3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = 9𝑥 2 + 18𝑥

∫ 6 ∙ (3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = (3𝑥 2 + 2)2

∫ 6 ∙ (3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = 3𝑥 ∙ (3𝑥 + 4)

∫ 6 ∙ (3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = 2𝑥 ∙ (3𝑥 + 4)

∫ 6 ∙ (3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = (3𝑥 + 2)2

9) L: --Gegeben sind Aussagen über die Lösung eines unbestimmten Integrals. Die Integrationskonstante wird in allen Fällen mit 𝑐 = 0 angenommen.
Kreuze die beiden korrekten Rechnung an.
∫ 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

∫ 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)

∫ 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)

∫ 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) − 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)

∫ 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)

10) L: --Berechne: ∫ 𝑎ℎ3 + 𝑎2 𝑑ℎ
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11) L: --Es sei 𝑓 eine reelle Funktion und 𝑎 eine reelle Zahl.
Kreuze die beiden zutreffenden Gleichungen an.
∫ 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑎 ∙ 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑎) 𝑑𝑥 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫(𝑎 + 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑎 + 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑎) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥 =
𝑓(𝑥)3
+𝑐
3

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12
Flächenberechnungen
1) L: 56; 𝑇 (−
16
3
32
|− 3 ) ; 𝐻 (4|
216
2
572
) ; 𝑊 (− 3 |− 225)
25
Gegeben ist eine Funktion 𝑓.
3
∙ (−𝑥 3 − 2𝑥 2 + 64𝑥 + 128)
100
Berechne den Inhalt, des vom Graphen von 𝑓 und der 𝑥 - Achse begrenzten Flächenstücks.
Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen.
Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen.
Ist die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch.
𝑓(𝑥) =
a)
b)
c)
d)
2) L: 27; 𝑇(4|0); 𝐻(0|8); 𝑊(2|4)
Gegeben ist eine Funktion 𝑓.
1
∙ (𝑥 3 − 6𝑥 2 + 32)
4
Berechne den Inhalt, des vom Graphen von 𝑓 und der 𝑥 - Achse begrenzten Flächenstücks.
Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen.
Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen.
Ist die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch.
𝑓(𝑥) =
a)
b)
c)
d)
3) L:
64
5
4
; 𝑇1,2 (±4|0); 𝐻(0|3); 𝑊1,2 (±2,309| 3)
Gegeben ist eine Funktion 𝑓.
3
∙ (𝑥 4 − 32𝑥 2 + 256)
256
Berechne den Inhalt, des vom Graphen von 𝑓 und der 𝑥 - Achse begrenzten Flächenstücks.
Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen.
Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen.
Ist die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch.
𝑓(𝑥) =
a)
b)
c)
d)
4) L:
64
5
4
; 𝑇1,2 (±4|0); 𝐻(0|3); 𝑊1,2 (±2,309| 3)
Gegeben ist die Funktion 𝑓.
3
∙ (𝑥 4 − 32𝑥 2 + 256)
256
Berechne den Inhalt, des vom Graphen von 𝑓 und der 𝑥 - Achse begrenzten Flächenstücks.
Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen.
Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen.
Ist die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch.
𝑓(𝑥) =
a)
b)
c)
d)
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5) 𝐿: 𝑁1,2 (±𝜋2|0); 𝑁3 (0|0); 𝐻1,2 (±0,955|2,309); 𝑇(0|0); 𝐴 = 4
Gegeben ist eine Funktion 𝑓.
𝑓(𝑥) = 6 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝜋 𝜋
[− 2 ; 2 ]
a) Bestimme die Nullstellen und Extremstellen im gegebenen Intervall.
b) Berechne die Fläche zwischen der Funktion 𝑓 und der 𝑥 – Achse im gegebenen Intervall.
c) Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen im gegebenen Intervall.
d) Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen im gegebenen Intervall.
e) Ist die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch
6) L:
√2
2
Gegeben sind die Funktionen 𝑓 und 𝑔.
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑔(𝑥) = cos(𝑥)
a) Die beiden Funktionen schließen unendlich viele gleichartige Flächenstücke ein.
Berechne den Flächeninhalt eines solchen Flächenstücks.
b) Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen.
c) Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen.
d) Ist die Funktion 𝑓 bzw. 𝑔 achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch?
7) L: 𝑁1 (9|0); 𝑁2,3 (−3|0); 𝑇(−3|0); 𝐻(5|8); 𝑊(1|4); 𝑁1 (−3|0); 𝑁2 (9|0); 𝐴 =
74
3
Gegeben sind die Funktionen 𝑓 und 𝑔.
1
1
∙ (−𝑥 3 + 3𝑥 2 + 45𝑥 + 81)
𝑔(𝑥) = ∙ (−𝑥 2 + 6𝑥 + 27)
32
8
Berechne den Flächeninhalt der von 𝑓 und 𝑔 eingeschlossenen Flächenstücke.
Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen.
Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen.
Ist die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch.
Berechne die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Parabel.
𝑓(𝑥) =
a)
b)
c)
d)
e)
8) L: 16 ∙ √3; 𝐷1 = ℝ; 𝐷2 = [3; ∞]
Gegeben sind die Kurven 𝑘1 und 𝑘2 .
𝑘1 : 𝑦 2 = 8𝑥
𝑘2 : 𝑦 2 = 16 ∙ (𝑥 − 3)
a) Berechne den Flächeninhalt des von den Kurven 𝑘1 und 𝑘2 eingeschlossenen
Flächenstücks.
b) Bestimme die Definitionsmenge der Kurven 𝑘1 und 𝑘2 .
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9) L: 𝑁1 (0|0); 𝑁2 (6|0); 𝐻(2|2 ∙ √2); 𝑇(2|−2 ∙ √2); 𝐴 =
48∙√6
5
14
; 𝐷 = ℝ+
Gegeben ist die Kurve 𝑘.
𝑘: 4𝑦 2 = 𝑥 ∙ (6 − 𝑥)2
a) Berechne die Nullstellen und lokalen Extrempunkte der Kurve 𝑘.
b) Berechne den Inhalt des von der Kurve 𝑘 begrenzten Flächenstücks.
c) Bestimme die Definitionsmenge der Kurven 𝑘.
10) L: 𝑁1,2 (2,292|0); 𝐻(0|4); 𝐴 ≈ 13,162
Gegeben ist die Funktion 𝑓.
1
𝑘: 𝑦 = − ∙ (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ) + 5
2
a) Berechne den Inhalt des vom Graphen von 𝑓 und der 𝑥 – Achse begrenzten Flächenstücks.
b) Ermittle die Monotoniebereiche und lokalen Extremstellen.
c) Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen.
d) Ist die Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch.
11) L: 48; 𝐷1 = ℝ+ ; 𝐷2 = ℝ
Gegeben sind die Kurven 𝑘1 und 𝑘2 .
𝑘1 : 𝑦 2 = 12 ∙ 𝑥
𝑘2 : 12 ∙ 𝑦 = 𝑥 2
a) Berechne den Flächeninhalt des von den Kurven 𝑘1 und 𝑘2 eingeschlossenen
Flächenstücks.
b) Bestimme die Definitionsmenge der Kurven 𝑘1 und 𝑘2 .
12) L: --Gegeben ist der Graph einer Funktion 𝑓.
Gib einen Term an mit dem der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion 𝑓
und der 𝑥 - Achse berechnet werden kann.
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13) L: --Gegeben ist die Funktion 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 2𝑥. Die nachstehende Tabelle zeigt Graphen der
Funktion mit unterschiedlich schraffierten Flächenstücken.
Beurteile, ob die nachstehend angeführten Integrale den Flächeninhalt einer der
markierten Flächen ergeben, und ordne entsprechend zu.
2
A
2 ∙ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
3
B
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
3
2
C
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + |∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥|
1
2
1
D
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0
1
3
E
|∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥|
2
2
F
2
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
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16
14) L: --Die Funktionsgraphen von 𝑓 und 𝑔 schließen ein gemeinsames Flächenstück ein.
Mit welchen der nachstehenden Berechnungsvorschriften kann man den Flächeninhalt
des gekennzeichneten Flächenstücks ermitteln?
Kreuzen die beiden zutreffenden Berechnungsvorschriften an!
6

∫(𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥
−1
6

∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥
−1
6
6
5
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
−1
5
6
−1
6

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
−1
−1
6
6
5
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + | ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥|
−1

5

−1
15) L: --Der Inhalt derjenigen Fläche, die vom Graphen der Funktion 𝑓: 𝑥 → 𝑥 2 , der positiven 𝑥 Achse und der Geraden mit der Gleichung 𝑥 = 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ) eingeschlossen wird, beträgt 72
Flächeneinheiten. Berechne den Wert 𝑎.
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17
16) L: --Gegeben sind die beiden reellen Funktionen 𝑓 und 𝑔 mit den Gleichungen 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 und
𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 8. Im nachstehenden Koordinatensystem sind die Graphen der beiden
Funktionen 𝑓 und 𝑔 dargestellt.
1
1
Schraffiere jene Fläche, deren Größe 𝐴 mit 𝐴 = ∫0 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 berechnet
werden kann.
17) L: --In folgender Abbildung sind die Graphen zweier Funktionen f und g dargestellt.
Die Graphen schneiden sich an den Stellen 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2,5 und 𝑥3 = 4,5.
Gib einen Term an mit dem der Inhalt der von den Funktionen 𝑓 und 𝑔 eingeschlossenen
Flächenstücke berechnet werden kann.
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18) L: --Gegeben ist der Graph einer Funktion 𝑓.
Der Graph von 𝑓 schneidet die 𝑥 - Achse an den Stellen 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 2 und 𝑥3 = 5.
Mit welchem der folgenden Terme kann der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen
von 𝑓 und der 𝑥 - Achse berechnet werden?
Kreuze die zutreffende(n) Antworte(n) an.
5

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0
5
2
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
2

0
2
5
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0

2
2
5
∫|𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0

2
2
5
|∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥| + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0
2

18
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19
19) L: --Die Funktionen 𝑓 und 𝑔 seien in [𝑎; 𝑏] stetig.
Die beiden Textfelder sind so zu ergänzen, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Kreuze in der ersten und der zweiten Spalte jeweils den zutreffenden Ausdruck an.
Wenn  für alle 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏], dann ist  , der Inhalt der Fläche, die von den Graphen
von 𝑓 und 𝑔, sowie den Geraden 𝑥 = 𝑎 und 𝑥 = 𝑏 eingeschlossen wird.

𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) < 0


∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑏
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑎
𝑎
𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑏
20) L: --Die Summe 𝐴 der Inhalte der beiden von den Graphen der Funktionen 𝑓 und 𝑔 eingeschlossenen Flächen soll berechnet werden.
Kreuze die zutreffende(n) Formel(n) an.
Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
20
8

𝐴 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥
1
3
8
𝐴 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 + ∫(𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)) 𝑑𝑥
1

3
8

𝐴 = |∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥|
1
3
8
𝐴 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 − ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥
1
3
3
8
𝐴 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 + |∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥|
1

3

Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
21
Volumen von Rotationskörpern
Paraboloide
8
1) L: 𝑝𝑎𝑟: 𝑦 = 27 𝑥 2 ; 1,9 dl; 5; 4,3 cm
Ein zylindrisches Gefäß mit dem Innendurchmesser 11 cm ist bis zu einer Höhe von 8 cm
mit Wein gefüllt. Der Wein wird in Gläser gegossen. Jedes Glas hat die Form eines
Paraboloids von 6 cm Höhe und einem Öffnungsdurchmesser von 9 cm.
a) Wie groß ist das Fassungsvermögen (in dl) eines Glases?
b) Wie viele Gläser können bis 1 cm unter dem Rand gefüllt werden?
c) Wie hoch steht der Wein in jenem Glas, in das der Rest geleert wird?
3
135
1
720
2) L: 𝑝𝑎𝑟: 𝑦 = 20 𝑥 2 − 4 ; 45,0 l; 56,2%; 37 cm
Ein paraboloidschichtförmiges Fass von 60 cm Höhe mit dem maximalen Durchmesser
von 50 cm und dem minimalen von 30 cm, ist bis zu einer Höhe von 40 cm gefüllt.
a) Wie viel Liter sind dies?
b) Wie viel Prozent des Gesamtfassungsvermögens macht das aus?
c) Wie hoch steht das Wasser, wenn das Fass halbvoll ist?
3) L: 𝑝𝑎𝑟: 𝑦 = 35 𝑥 2 − 7 ; 1257 l; 69,75%; 67 cm
Ein Bottich hat die Gestalt einer Paraboloidsscheibe. Der obere innere Durchmesser misst
160 cm, der untere 120 cm. Die innere Höhe beträgt 80 cm.
a) Wie viel Liter Flüssigkeit fasst der volle Bottich?
b) Zu wie viel ist der Bottich gefüllt, wenn die Flüssigkeit 60 cm hoch steht?
c) Wie hoch steht die Flüssigkeit im Bottich, wenn er 1000 l enthält?
1
1
4) L: 𝑝𝑎𝑟: 𝑦 = 2 𝑥 2 − 2 ; 117,8hl; 34cm; 111,6 hl; 95%
Ein Hausbesitzer verlangt von einem Architekten, dass er in seinem Garten ein paraboloidschichtförmiges Becken mit einem oberen Durchmesser von 4 m, einer Tiefe von 1,5
m und einem Grunddurchmesser von 2 m anfertigt.
a) Wie viel hl Wasser fasst das Becken?
b) Um wie viel cm senkt sich das Wasserniveau, wenn ein Drittel des randvollen Beckens
abgelassen wird?
c) Der Wasserstand des vollen Beckens wird um 5cm abgesenkt. Wie viel hl fasst das Becken noch? Wie viel Prozent des Gesamtinhalts sind dies?
48
5) L: 𝑝𝑎𝑟: 𝑦 = 25 𝑥 2 ; 1,178 dl; 11,056 cm; 7,818 cm
Ein Sektglas (ohne Stiehl) hat die Form eines Paraboloids. Das Glas ist 12 cm hoch und hat
einen Öffnungsdurchmesser von 5 cm.
a) Wie viel dl Wasser fasst das Glas?
b) Wie hoch steht die Flüssigkeit, wenn 1 dl Sekt eingefüllt werden?
c) Bis zu welcher Höhe muss Orangensaft eingefüllt werden, wenn gleich viel Orangensaft und Sekt im Glas sein sollen. Gesamtmenge 1 dl.
Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
22
Hyperboloide
6) L: ℎ𝑦𝑝: 9𝑥 2 − 16𝑦 2 = 14400; 640,4 l; 59 cm
Eine Bodenvase hat die Form eines einschaligen Hyperboloids. Das Gefäß ist 80 cm hoch,
400
der obere Durchmesser beträgt ebenso wie der untere 3 cm, in der Mitte beträgt der
Durchmesser des Gefäßes 80 cm.
a) Berechne das Volumen (in Liter) dieser Vase.
b) Die Vase soll zu zwei Drittel des Volumens mit Wasser gefüllt werden. Wie hoch steht
das Wasser?
7) L: ℎ𝑦𝑝: 16𝑥 2 − 5𝑦 2 = 144; 11451 hl; zw. 4 u. 5; 4,72 m; 8111 hl; 70,8%; 9 m
Der Behälter eines Wasserturms hat die Form eines einschaligen Hyperboloids. Der Bodendurchmesser beträgt 6 ∙ √6 m, in 12 m Höhe ist mit 6 m der kleinste Durchmesser. Die
Gesamthöhe beträgt 18 m. Im Abstand von je 1 m sind Höhenmarken angebracht.
a) Wie viel hl Wasser fasst der Behälter?
b) Wie hoch steht das Wasser, wenn der Behälter halb voll ist? Zwischen welchen Marken
steht das Wasser, wenn der Behälter halbvoll ist?
c) Wie viel Liter fasst der Behälter, wenn der Behälter bis zur halben Höhe gefüllt wird?
Zu wie viel Prozent des maximalen Fassungsvermögens ist er gefüllt?
d) Berechne den Durchmesser in 18 m Höhe.
8) L: ℎ𝑦𝑝: 500𝑥 2 − 28𝑦 2 = 125; 7; 1,2 dl; 0,6 dl
Sektgläser haben die Form eines einschaligen Hyperboloids. Der Achsenschnitt der
Höhlung ist eine halbe Hyperbel mit dem kleinsten Durchmesser von 1 cm und dem Öffnungsdurchmesser von 6 cm. Die innere Höhe beträgt 12,5cm.
a) Wie viele Gläser dieses Typs können mit 0,75 Liter Sekt bis 1 cm unter den Rand gefüllt
werden?
b) Wie viel fasst ein Glas (in dl)?
c) Wie viel Sekt bleibt übrig (in dl)?
9) L: ℎ𝑦𝑝: 4𝑥 2 − 𝑦 2 = 64; 6,2 l; 30 cm
Eine Blumenvase hat die Form eines einschaligen Hyperboloids. Die Gesamthöhe beträgt
40 cm. Der Bodendurchmesser und Öffnungsdurchmesser betragen jeweils 4 ∙ √29 cm. An
der dünnsten Stelle hat die Vase einen Durchmesser von 8 cm.
a) Berechne das Fassungsvermögen der Vase in Liter.
b) Wie hoch steht das Wasser, wenn 4 Liter in die Vase gegossen werden?
Kugeln und Ellipsoide
10) L: 𝑘: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 144; 5,4 l; 74,1%; 9,9 cm; 22,2 cm; 24 cm
Ein Gefäß entsteht dadurch, dass in zwei Drittel der Höhe eine Kugel gekappt wird. Der
Radius der Kugel beträgt 12 cm.
a) Berechne das Fassungsvermögen des Gefäßes in Liter
b) Wie viel Prozent des Volumens der ganzen Kugel sind dies?
c) Das Gefäß wird zu 50% des Fassungsvermögens gefüllt. Wie hoch steht die Flüssigkeit?
d) Wie groß ist der obere Durchmesser, der größte Durchmesser?
Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
23
11) L: 𝑘: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 100; 13cm; 8cm; 2,7 l
Aus einer Kugel (𝑟 = 10 𝑐𝑚) soll durch abkappen der Kugel in einer bestimmten Höhe
eine Schale hergestellt werden deren Fassungsvermögen 3 Liter beträgt.
a) In welcher Höhe muss die Kugel gekappt werden?
b) Wie hoch steht das Wasser in der Schale, wenn 1,5 Liter eingefüllt werden?
c) Wie viel Wasser fasst die Schale, wenn sie bis 1 cm unter den Rand gefüllt wird?
12) L: 𝑒𝑙𝑙: 9𝑥 2 + 16𝑦 2 = 225; 35,2 cl; 3,5 cm; 29 cl
Ein Schälchen hat die Form eines Ellipsoids. Der größte Durchmesser beträgt 10 cm und
seine Höhe 6 cm. Der Öffnungsdurchmesser beträgt 8 cm. Die Schale entsteht durch Rotation um die 𝑦 - Achse.
a) Berechne das Fassungsvermögen (in cl) des Schälchens.
b) Wie hoch steht das Wasser, wenn das Schälchen zur Hälfte seines Volumens gefüllt
wird?
c) Wie viel cl Wasser fasst das Schälchen, wenn es bis 1 cm unter den Rand mit Wasser
gefüllt wird?
13) L: 𝑒𝑙𝑙: 5𝑥 2 + 16𝑦 2 = 14400; 184,3 l; 56,9 cm; 38,2 l
Ein Whiskeyfass hat einen Boden- und Deckeldurchmesser von 40 cm und ist 80 cm hoch.
Der größte Durchmesser beträgt 60 cm. Die Begrenzungskurve ist eine Ellipse, welche um
die 𝑥 - Achse rotiert.
a) Berechne das Fassungsvermögen des Fasses in Liter.
b) Wie hoch steht die Flüssigkeit im stehenden Fass, wenn sich noch drei Viertel des
Volumens im Fass befindet?
c) Wie viel Flüssigkeit befindet sich im stehenden Fass, wenn die Flüssigkeit bis zu einem
Viertel der Höhe hoch steht?
Rotationskörper mit zwei Begrenzungskurven
14) L: 16,323 kg; 7,6 l
Eine Blumenschale hat als äußere Begrenzung die Form eines halben einschaligen Hyperboloids mit der Meridiankurve ℎ𝑦𝑝: 𝑥 2 − 𝑦 2 = 10 und als innere Begrenzung die eines
1
Paraboloids mit der Meridiankurve 𝑝𝑎𝑟: 𝑦 = 40 𝑥 2 + 12. Die Gesamthöhe des Gefäßes beträgt 25 cm.
a) Welche Masse (in kg) hat die Blumenschale, wenn sie aus Beton (𝜌 = 2,5 𝑔⁄𝑐𝑚3 ) gefertigt ist?
b) Die Blumenschale wird bis 2 cm unter den Rand mit Blumenerde gefüllt. Wie viel Liter
Blumenerde werden benötigt?
15) L: 𝑔: 𝑦 = 5𝑥 − 10; 2,3 dl; 81%; 236,8g; 10,8 cm; 11,0 cm
Ein 11 cm hohes Trinkglas hat außen die Form eines Kegelstumpfes mit der Meridiankurve und innen die eines Paraboloids 𝑝𝑎𝑟: 8 ∙ 𝑦 = 5 ∙ 𝑥 2 + 8. Der obere äußere Durchmesser beträgt 8,4 cm, der untere äußere Durchmesser 4 cm. Es wird bis 1 cm unter den
Rand mit einem alkoholischen Getränk gefüllt.
a) Berechne die Füllmenge Glases. Zu wie viel Prozent ist es gefüllt?
b) Berechne die Masse des Glases (𝜌 = 2,5 𝑔⁄𝑐𝑚3 ) in Gramm.
c) Nun werden 5 bzw. 6 Eiswürfel mit der Seitenlänge von 2 cm in das Getränk gegeben.
Wie hoch steht das Getränk jetzt? Rechne auf mm genau.
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Integralrechnung Übungen itm8 1415
24
16) L: 2004g; 4,5 dl
Ein Glasobjekt zur Tischdekoration wird innen von der Parabel 𝑝𝑎𝑟1 : 9𝑦 = 2𝑥 2 + 9 und
außen von der Parabel 𝑝𝑎𝑟2 : 28𝑦 = −9𝑥 2 + 576 begrenzt. Das Objekt ist aus massivem
Glas (𝜌 = 2,5 𝑔⁄𝑐𝑚3 ) gefertigt. Der Öffnungsdurchmesser beträgt 12 cm. Das Objekt ist 9
cm hoch.
a) Berechne die Masse des Dekorationsobjekts in g.
b) Berechne das Fassungsvermögen in dl.
1
1
16) L: 𝑝𝑎𝑟1 : 𝑦 = 32 ∙ 𝑥 2 ; 𝑝𝑎𝑟2 : 𝑦 = − 64 ∙ 𝑥 2 + 3; 302 cm3; 754g
Eine optische Linse entsteht, wenn das Flächenstück zwischen zwei Parabeln um die 𝑦 Achse rotiert. Die eine Parabel hat ihren Scheitel im Koordinatenursprung, die andere im
Punkt 𝑆(0|3), und sie schneiden einander im Punkt 𝑃(8|2). Die Angaben sind in cm.
a) Bestimme die Gleichungen der Parabeln.
b) Berechne das Volumen der Linse.
c) Berechne die Masse der Linse, wenn sie aus Glas gefertigt ist. (𝜌 = 2,5 𝑔⁄𝑐𝑚3 ).
17) L: 191,951 kg; 45,4 l
Ein Taufbecken aus Marmor ( 2,6 g/cm3) hat als äußere Begrenzung die Form eines
halben einschaligen Hyperboloids mit der Meridiankurve ℎ𝑦𝑝: 4𝑥 2 − 16𝑦 2 = 25. Als
innere Begrenzung die eines Paraboloids mit der Meridiankurve 𝑝𝑎𝑟: 10𝑦 = 𝑥 2 + 5. Die
Gesamthöhe beträgt 3 dm.
a) Berechne die Masse des Taufbeckens
b) Wie viel Liter Wasser fasst das Becken, wenn es bis 8 cm unter den Rand gefüllt ist?
18) L: 5,28 dl; 627g
Ein Glasbecher hat außen die Form eines Kegelstumpfes und ist 15 cm hoch. Die äußeren
Kreisdurchmesser sind 10 cm bzw. 6 cm. Die Höhlung hat die Form eines Paraboloids mit
der Meridiankurve 𝑝𝑎𝑟: 2880 ∙ 𝑦 = 1825 ∙ 𝑥 2 + 1152. Berechne die maximale Füllmenge
(in dl) des Bechers und seine Masse in g (𝜌 = 2,6 𝑔⁄𝑐𝑚3 ).
Anwendungen der Integralrechnung
1) L: 3,5s; 2,5s; 40,4m; 17,2 m/s
Balduin lässt von einem 60 m hohen Aussichtsturm einen Stein fallen. Die Fallgeschwindigkeit ist durch die Funktion 𝑣(𝑡) gegeben.
𝑣(𝑡) = −𝑔 ∙ 𝑡
𝑔 = 9,81 𝑚⁄𝑠 2
a) Bestimme die Termdarstellung einer Funktion ℎ, welche die Höhe ℎ(𝑡) in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡 darstellt.
b) Wann trifft der Stein auf den Boden auf?
c) Wann beträgt die Höhe 30 m? Bestimme die Höhe nach 2 s.
d) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit.
e) Zeichne den Graphen der Funktion ℎ(𝑡) und ℎ′ (𝑡).
Interpretiere den Verlauf der Graphen im Kontext.
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25
2) L: 4,1s; 2,0s; 20,4m; 0,6s; 3,5s; 15,9m; 0 m/s
Eine Kugel wird mit 20 m/s lotrecht nach oben geworfen. Die Geschwindigkeit ist durch
die Funktion 𝑣(𝑡) gegeben.
𝑣(𝑡) = 𝑣0 − 𝑔 ∙ 𝑡
𝑣0 … Anfangsgeschwindigkeit [𝑚⁄𝑠], 𝑔 = 9,81 𝑚⁄𝑠 2
a) Bestimme die Termdarstellung einer Funktion ℎ, welche die Höhe ℎ(𝑡) in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡 darstellt.
b) Wann trifft die Kugel auf den Boden auf?
c) Wann erreicht die Kugel ihre maximale Höhe? Wie groß ist die maximale Höhe?
d) Wann beträgt die Höhe 10 m? Bestimme die Höhe nach 3 s.
e) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit. Interpretiere das Ergebnis.
f) Zeichne den Graphen der Funktion ℎ(𝑡) und ℎ′ (𝑡).
Interpretiere den Verlauf der Graphen im Kontext.
3) L: 8,7s; 2,0s; 220,4s; 4,1s; 7,0s; 7,9s; 216m; 143,5m; 22,9m/s
Eine Kugel wird von der in 200m Höhe liegenden Aussichtsplattform eines Fernsehturms
mit 20 m/s lotrecht nach oben geworfen. Die Geschwindigkeit ist durch die Funktion 𝑣(𝑡)
gegeben.
𝑣(𝑡) = 𝑣0 − 𝑔 ∙ 𝑡
𝑣0 … Anfangsgeschwindigkeit [𝑚⁄𝑠], 𝑔 = 9,81 𝑚⁄𝑠 2
a) Bestimme die Termdarstellung einer Funktion ℎ, welche die Höhe ℎ(𝑡) in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡 darstellt.
b) Wann trifft die Kugel auf den Boden auf?
c) Wann erreicht die Kugel ihre maximale Höhe? Wie groß ist die maximale Höhe?
d) Wann passiert die Kugel die Aussichtsplattform?
e) Wann beträgt die Höhe 100 m bzw. 50 m? Bestimme die Höhe nach 3 s und 6 s.
f) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit.
g) Zeichne den Graphen der Funktion ℎ(𝑡) und ℎ′ (𝑡).
Interpretiere den Verlauf der Graphen im Kontext.
4) L: 14,4s; 7,2s; 255m; 1,6s; 12,8s; 168m; 0 m/s;169m
Eine historische Kanone feuert eine Kugel mit 100 m/s unter einem Winkel von 𝛼 = 45°
nach oben. Die Geschwindigkeit ist durch die Funktion 𝑣(𝑡) gegeben.
𝑣(𝑡) = 𝑣0 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛼) − 𝑔 ∙ 𝑡
𝑣0 … Anfangsgeschwindigkeit [𝑚⁄𝑠], 𝑔 = 9,81 𝑚⁄𝑠 2
a) Bestimme die Termdarstellung einer Funktion ℎ, welche die Höhe ℎ(𝑡) in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡 darstellt.
b) Wann trifft die Kugel auf den Boden auf?
c) Wann erreicht die Kugel ihre maximale Höhe? Wie groß ist die maximale Höhe?
d) Wann beträgt die Höhe 100 m? Bestimme die Höhe nach 3 s.
e) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit..
f) Zeichne den Graphen der Funktion ℎ(𝑡) und ℎ′ (𝑡).
Interpretiere den Verlauf der Graphen im Kontext.
Mag. Raimund Hermann
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26
5) L: 4,4s; 24,5 km/h; 12,3 km/h;
Kunigunde kommt gerade im neuen Cabrio, welches ihr Balduin zum Geburtstag geschenkt hat, vom Shopping nach Hause. Sie ist entsetzt. Anstatt wie versprochen den
Rasen zu mähen, liegt Balduin gemütlich in einem Liegestuhl am Pool, liest ein Buch und
genießt einen erfrischenden Cocktail. Kunigunde steigt aus und vor lauter Empörung
über diesen Affront, legt sie keinen Gang ein und zieht die Handbremse kaum an. Das
schlecht gesicherte Cabrio setzt sich auf der geneigten Einfahrt in Bewegung und rollt
hinab. Die Einfahrt ist 15 m lang und hat eine Steigung von 10%. Die Geschwindigkeit ist
durch die Funktion 𝑣(𝑡) gegeben.
𝑣(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑔 ∙ 𝑡
𝛼 … Neigungswinkel, 𝑔 = 9,81 𝑚⁄𝑠 2
a) Bestimme eine Funktion 𝑠, welche den zurückgelegten Weg 𝑠(𝑡) in Abhängigkeit der
Zeit 𝑡 darstellt.
b) Nach wie vielen Sekunden prallt das Cabrio auf das Eingangstor?
c) Mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) prallt das Cabrio auf das Eingangstor?
d) Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit.
e) Zeichne den Graphen der Funktion 𝑠(𝑡) und 𝑠 ′ (𝑡).
Interpretiere den Verlauf der Graphen im Kontext.
6) L: 5,714°; 10%; 28,44s; 50 km/h;
Balduin ist mit seinem Mountainbike unterwegs. Er steht am Beginn einer 395 m langen
Abfahrt und lässt sein Bike losrollen. Am Ende der Abfahrt hat er eine Geschwindigkeit
von 100 km/h erreicht. Cool wie Balduin nun einmal ist, hat er während der Abfahrt
nicht gebremst. Die Geschwindigkeit ist durch die Funktion 𝑣(𝑡) gegeben.
𝑣(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑔 ∙ 𝑡
𝛼 … Neigungswinkel, 𝑔 = 9,81 𝑚⁄𝑠 2
a) Bestimme eine Funktion 𝑠, welche den zurückgelegten Weg 𝑠(𝑡) in Abhängigkeit der
Zeit 𝑡 darstellt.
b) Unter welchem Winkel war die Abfahrt geneigt? Wie groß ist die Steigung in Prozent?
Wie lange dauert die Abfahrt?
c) Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit war Balduin unterwegs?
d) Zeichne den Graphen der Funktion 𝑠(𝑡) und 𝑠 ′ (𝑡).
Interpretiere den Verlauf der Graphen im Kontext.
7) L: 18,028; 3,527; [6,886;37,393]; 30,507; 70,593; 18,028; 7,055; 2,735; 55,007; 173,01;
3,156
Da die meisten Medikamente oral eingenommen werden, befindet sich der Wirkstoff
eines Medikaments zunächst in einem Kompartiment (Verteilungsraum) B (z.B. Mund,
Magen oder Darm), aus dem er eliminiert wird und nach und nach in das Kompartiment
C (z.B. Blut) gelangt. Der Konzentrationsverlauf in C hängt von beiden Prozessen, Invasion
(Aufnahme) aus B und Elimination via Stoffwechsel aus C, gleichzeitig ab. Die Bateman Funktion beschreibt den Konzentrationsverlauf in einem Kompartiment C bei gleichzeitiger Invasion (Aufnahme) und Elimination (Abgabe).
𝑐(𝑡) = 𝑏0 ∙
𝑘1
∙ (𝑒 −𝑘1 ∙𝑡 − 𝑒 −𝑘2 ∙𝑡 )
𝑘2 − 𝑘1
𝑘1 ≠ 𝑘2
𝑏(𝑡) = 𝑏0 ∙ 𝑒 −𝑘1 ∙𝑡
Die Funktion 𝑏(𝑡) beschreibt die Elimination einer bestimmten Wirkstoffmenge aus dem
Kompartiment 𝐵. 𝑏0 ist die Anfangskonzentration im Kompartiment 𝐵 (Verabreichte
Menge), 𝑘1 die Invasions-, 𝑘2 die Eliminationsgeschwindigkeit. Für ein bestimmtes blutdrucksenkendes Medikament gilt: 𝑘1 = 0,0532 ℎ−1 , 𝑘2 = 0,0578 ℎ−1 , 𝑏0 = 10 𝑚𝑔⁄𝑙
Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
27
a) Stelle beide Kurven in einem Diagramm dar [0; 72] . Interpretiere den Verlauf der
Kurven, insbesondere das Monotonieverhalten von 𝑐(𝑡).
b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Konzentration maximal? Wie hoch ist die maximale
Konzentration? Wie hoch muss die minimale toxischer Konzentration mindestens
sein?
c) Das Medikament wirkt so lange die minimale effektive Konzentration von 2,5 mg/l
überschritten ist. Wie lange ist die Wirkungszeit des Medikaments? Wie lange dauert
es bis das Medikament Wirkung zeigt (Latenzzeit)?
d) Der tolerierbare Rückstand des Medikaments beträgt 0,75 mg/l. Wann unterschreitet
die Konzentration diesen Wert (Abklingzeit)?
e) Welchen Einfluss hat eine Verdoppelung der verabreichten Menge auf den Zeitpunkt
der maximalen Konzentration, die maximale Konzentration, die Latenzzeit und Wirkungsdauer? Ist die Erhöhung der Dosis ein probates Mittel zur Erhöhung der Wirkungsdauer?
f) Die Fläche unter der Kurve wird AUC (area under the curve) genannt und ist ein Maß
für die resorbierte Gesamtmenge des Wirkstoffs. Berechne den AUC - Wert.
g) Berechne die mittlere Konzentration während der Wirkungszeit.
4
8) L: 𝑎(𝑡) = −1,5 ∙ 𝑡 2 + 7,5 ∙ 𝑡; 𝑎(2) = 9 𝑚⁄𝑠 2 ; 𝑠(4) = ∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 48; 𝑣1 (𝑡) = 7 ∙ 𝑡
Ein Sportwagen wird von 0 𝑚⁄𝑠 auf 28 𝑚⁄𝑠 (≈ 100 𝑘𝑚⁄ℎ) in ca. vier Sekunden beschleunigt. Die Funktion 𝑣 beschreibt die Geschwindigkeit in Metern/Sekunde während
des Beschleunigungsvorganges in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡 in Sekunden. Die Geschwindigkeit lässt sich durch die Funktionsgleichung 𝑣(𝑡) = −0,5 ∙ 𝑡 3 + 3,75 ∙ 𝑡 2 angeben.
a) Gib die Funktionsgleichung zur Berechnung der momentanen Beschleunigung 𝑎(𝑡)
zum Zeitpunkt t an.
Berechne die momentane Beschleunigung zum Zeitpunkt 𝑡 = 2.
b) Gib einen Ausdruck zur Berechnung des in den ersten vier Sekunden zurückgelegten
Weges an. Ermittle diesen Weg 𝑠(4) (in Metern).
c) Angenommen, dieser Sportwagen beschleunigt - anders als ursprünglich angegeben gleichmäßig in vier Sekunden von von 0 𝑚⁄𝑠 auf 28 𝑚⁄𝑠. Nun wird mit 𝑣1 (𝑡) die Geschwindigkeit des Sportwagens nach 𝑡 Sekunden bezeichnet.
Gib an, welcher funktionale Zusammenhang zwischen 𝑣1 und 𝑡 vorliegt!
Ermittle die Funktionsgleichung für 𝑣1 .
Mag. Raimund Hermann
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28
9) L: 93; 63; 18,6
Herr Schmitz bereitet sich auf sein geliebtes Wannenbad vor und lässt Wasser in die leere
Wanne ein.
Das folgende Diagramm stellt die zeitliche Entwicklung von Zufluss- und Abflussrate dar,
wobei 𝑡 in min und 𝑣(𝑡) in Liter/Minute angeben sind.
a) Beschreibe, wie Herr Schmitz das Wasser in die Wanne einlässt. Berücksichtige dabei
folgende Fragen:
Welche Zufluss- und Abflussraten kommen vor?
Welche Bedeutung haben Bereiche, in denen der Graph unterhalb der Zeitachse verläuft?
Ist es auch möglich, dass Herr Schmitz zu einem Zeitpunkt sowohl den Wasserhahn
aufgedreht hat als auch den Abfluss öffnet?
b) Wie viel Liter waren maximal in der Wanne? Wie viel Liter sind nach 18 min in der
Wanne?
c) Für 𝑡 > 12 min soll 𝑣(𝑡) konstant bleiben. Ab welchem Zeitpunkt ist die Wanne leer?
d) Zeichne den Graphen der Funktion 𝑊, welche die Wassermenge in der Badewanne in
Abhängigkeit von der Zeit angibt.
(Idee: Ursula Schmidt, Freiherr-vom-Stein-Gymnasium Lünen)
Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
29
10) L: 14 m; 49 m; 63 m; 8 m/s2
Kunigunde ist mit ihrem neuen Geländewagen auf der Landstraße unterwegs. Plötzlich
taucht 64 m vor ihr eine Wildente auf. Kunigunde bremst abrupt ab und bringt ihren
Geländewagen zum Stehen.
a) Wie lang war der Reaktionsweg, der Bremsweg und der Anhalteweg?
Überlebt die Wildente, wenn sie keine Anstalten macht die Straße zu verlassen?
b) Zeichne den Graphen der Funktion 𝑠, welche den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit
von der Zeit angibt.
c) Wie groß war die Bremsbeschleunigung?
11) L: 𝑆(25|2); 50
Zwei Seifenkistenautos A und B stehen beim Start am oberen Rand einer schiefen Ebene.
Beide Autos sollten gleichzeitig zum Beginn der Zeitmessung (𝑡 = 0) starten. Leider hat
der Lenker des Autos B zu Beginn Schwierigkeiten und startet etwas später. Die Geschwindigkeiten der beiden Autos lassen sich näherungsweise durch folgende
Gleichungen beschreiben (𝑡 in Sekunden, 𝑣(𝑡) in m/s):
𝑣𝐴 (𝑡) = 0,08 ∙ 𝑡
für 0 ≤ 𝑡 ≤ 50
𝑣𝐵 (𝑡) = 0,1 ∙ 𝑡 − 0,5
für 5 ≤ 𝑡 ≤ 50
a) Zeichne die Graphen der Funktionen 𝑣𝐴 und 𝑣𝐵 .
b) Berechne den Schnittpunkt der Funktionen 𝑣𝐴 und 𝑣𝐵 .
Welche Bedeutung hat der Schnittpunkt im Kontext?
c) Zu welchem Zeitpunkt holt das Seifenkistenauto A das Seifenkistenauto B ein?
1
1
1
1
5
12) L: 40s; 𝑣(𝑡) = 960 ∙ 𝑡 3 − 8 ∙ 𝑡 2 + 5 ∙ 𝑡; 𝑠(𝑡) = 3840 ∙ 𝑡 4 − 24 ∙ 𝑡 3 + 2 ∙ 𝑡 2
66,667 m/s; 240 km/h; 2000m
Ein Sportwagen beschleunigt aus dem Stand (𝑠(0) = 0; 𝑣(0) = 0) mit der abnehmender
Beschleunigung. Seine Beschleunigung t Sekunden nach dem Start lässt mit der Formel
𝑎(𝑡) = 0,003125 ∙ 𝑡 2 − 0,25 ∙ 𝑡 + 5 berechnen. Diese Formel gilt bis zum Erreichen der
Höchstgeschwindigkeit, dann ist 𝑎(𝑡) = 0.
a) Wie lange beschleunigt das Auto?
b) Leite eine Formel für die Geschwindigkeit 𝑣(𝑡) zum Zeitpunkt 𝑡 her.
Berechne die Höchstgeschwindigkeit des Autos (in m/s und km/h)
c) Leite eine Formel für den zurück gelegten Weg 𝑠(𝑡) zum Zeitpunkt 𝑡 her.
Berechne die Weglänge bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit.
Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
30
13) L: 630; 1,2;
Die Wiener U - Bahn - Linie U2 verkehrt zwischen den Stationen Karlsplatz und Aspernstraße. Die Gesamtstrecke der U2 beträgt 12,531 km (Stand 2012).
Quelle: http://www.wienerlinien.at/media/download/2012/Linie_U2_68801.pdf
Zwischen den beiden Stationen Donaumarina und Donaustadtbrücke fährt die U - Bahn
nahezu geradlinig und benötigt für diese 855 m lange Strecke ca. eine Minute.
Betrachtet man die Geschwindigkeit eines Zuges zwischen diesen beiden Stationen, so
lässt sie sich näherungsweise durch drei Funktionen beschreiben. Diese Funktionen sind
im nachstehenden Zeit - Geschwindigkeits - Diagramm dargestellt. Die Zeit 𝑡 ist in
Sekunden, die Geschwindigkeit 𝑣 in 𝑚⁄𝑠 angegeben.
𝑣1 (𝑡) = 0,08 ∙ 𝑡 2
[0;15)
𝑣2 (𝑡) = 18
[15;50)
𝑣3 (𝑡) = −0,14 ∙ (𝑡 − 50)2 + 18
[50; 61,34]
a) Um den Bremsvorgang zu modellieren, wurde die Funktion 𝑣3 verwendet.
Erläutere, in welcher Weise eine Veränderung des Parameters von −0,14 auf −0,2 den
Bremsvorgang beeinflusst.
b) Berechne die mittlere Beschleunigung des Zuges vom Anfahren bis zum Erreichen der
Höchstgeschwindigkeit.
Erkläre, wieso der Verlauf des Graphen des 𝑣 - 𝑡- Diagramms im Intervall [14; 16] nicht
exakt der Realität entsprechen kann.
c) Berechne die Länge desjenigen Weges, den die U-Bahn im Zeitintervall [0; 61,34] zurücklegtZeichne den Graphen der Funktion 𝑠, welche den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von
der Zeit im Intervall [0; 61,34] angibt.
Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
1
1
𝑟1
𝑟2
31
14) L: 𝑊(𝑟) = 𝐺 ∙ 𝑚1 ∙ 𝑚2 ∙ ( − ) ; 4,205 ∙ 108 𝐽
Auf einen im Gravitationsfeld der Erde befindlichen Körper wirkt die Gravitationskraft.
𝑚1 ∙ 𝑚2
𝐹(𝑟) = 𝐺 ∙
𝑟2
𝑟 … Entfernung des Körpers vom Erdmittelpunkt (in 𝑚)
𝑚1 … Masse der Erde (in 𝑘𝑔)
𝑚2 … Masse des Körpers (in 𝑘𝑔)
𝐺 … Gravitationskonstante 𝐺 = 6,67 ∙ 10−11 𝑚3 𝑘𝑔−1 𝑠 −2
a) Gib eine Formel für die Arbeit an, die verrichtet werden muss, um einen Körper der
Masse 𝑚2 aus( der Entfernung 𝑟1 in die Entfernung 𝑟2 zu bringen.
b) Berechne die Arbeit (in Joule), die verrichtet werden muss um einen 1200 kg
schweren Körper von der Erdoberfläche auf eine Höhe von 36 km zu bringen, wenn
der Erdradius mit 6378 km und die Masse der Erde mit 5,97 ∙ 1024 𝑘𝑔 gegeben ist.
15) L: 581,333 l; 14h00; 360 l/h; 16h16;1503 l; 250,667 l/h
Um 13 Uhr enthält ein Regenwassertank 500 Liter Wasser. Regenwasser füllt den Tank
mit einer Zuflussrate 𝑞 mit 𝑞(𝑡) = −30 ∙ 𝑡 4 + 260 ∙ 𝑡 3 − 790 ∙ 𝑡 2 + 920 ∙ 𝑡. Die Zuflussrate
𝑞 wird in Litern pro Stunde gemessen, die Zeitmessung beginnt um 13 Uhr.
a) Zeichne den Graphen der Funktion 𝑞 zwischen 13 und 17 Uhr.
b) Wie viel Liter Wasser fließen zwischen 14 und 16 Uhr in den Tank?
c) Zu welchem Zeitpunkt zwischen 13 und 17 Uhr ist die Zuflussrate maximal? Wie groß
ist die maximale Zuflussrate?
d) Der Tankt fasst höchstens 1400 Liter Wasser. Wann läuft der Tank über?
Wie viel Liter Wasser würden sich um 17 Uhr im Tank befinden?
e) Berechne die durchschnittliche Zuflussrate zwischen 13 und 17 Uhr.
16) L: 2160 W; 1296 kJ
Im gegebenen Diagramm ist die Leistung eines Wasserboilers in Abhängigkeit der Zeit
dargestellt.
a) Wie groß ist die mittlere Leistung in den zehn Minuten.
b) Berechne die Arbeit, die der Boiler in den zehn Minuten verrichtet in Kilojoule.
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32
17) L: 1mg; 4h; 5mg; 8h; 3,943mg; 66,733mg; 2,781mg/h
Nach einer Operation erhält ein Patient eine Infusion. Die Abbildung zeigt die Dosierung
(Zufuhr pro Zeit in mg/h) eines Medikamentes über einen Zeitraum von 24 Stunden.
𝑑(𝑡) = 1 + 2,718 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒 −0,25∙𝑡
a) Wie hoch war die Dosierung zu Beginn?
b) Wann wir die maximale Dosierung erreicht? Wie hoch ist die maximale Dosierung?
c) Zu welchem Zeitpunkt ist die Abnahme der Dosierung am schwächsten?
Wie hoch ist die Dosierung zu diesem Zeitpunkt?
d) Berechne die Menge des verabreichten Medikamentes, wenn die Infusion 24 Stunden
durchgeführt wird.
e) Wie groß ist die durchschnittliche Dosierung des Medikaments in den ersten 24
Stunden?
25
18) L: 𝑘 = 𝑙𝑛 (23) ; 0,608°C/min; 12,702°C; 13,176min
Balduin nimmt ein Bier aus dem Kühlschrank. Zu Beginn hat das Bier eine Temperatur
von 𝑇2 = 5°𝐶. Die Umgebung hat eine Temperatur von 𝑇1 = 20°𝐶. Nach einer Minute hat
das Bier eine Temperatur von 6,2°C. Die Temperatur des Bieres wird durch die Funktion
𝑓 beschrieben.
𝑓(𝑡) = 𝑇1 − (𝑇1 − 𝑇2 ) ∙ 𝑒 −𝑘∙𝑡
a) Berechne die Konstante 𝑘.
b) Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall [0; 20].
Was beschreibt die mittlere Änderungsrate im Kontext?
b) Bestimme die durchschnittliche Temperatur des Bieres im Intervall [0; 20]?
c) Falls das Bier eine Temperatur von 15° C erreicht, stuft Balduin das Bier als lau ein
und mag es nicht mehr. Wie viel Zeit bleibt ihm sein Bier zu trinken?
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19) L: 7d; 10,125cm/d; 126,5cm; 6,75cm/d; 12,570d
Manche einjährige Nutz- und Zierpflanzen wachsen in den ersten Wochen nach der
Pflanzung sehr rasch. Im Folgenden wird nun eine spezielle Bambussorte betrachtet. In
einem Experiment wurde der Wachstumsverlauf dieser Pflanze über einen Zeitraum von
18 Tagen beobachtet und ihre Wachstumsgeschwindigkeit dokumentiert. Im Anschluss
wurde die Wachstumsgeschwindigkeit 𝑣(𝑡) dieser Pflanze in Abhängigkeit von der Zeit 𝑡
durch eine Funktion 𝑣 modelliert.
1
𝑣(𝑡) = 8 ∙ (−𝑡 2 + 18 ∙ 𝑡)
Dabei bezeichnet 𝑡 die Anzahl der Tage seit der Pflanzung und 𝑣(𝑡) die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt 𝑡 in cm/Tag.
a) Für das Wachstum der beobachteten Pflanze ist auch die entsprechende Düngung von
Bedeutung. Im gegebenen Fall wurde die Pflanze zwei Tage vor dem Zeitpunkt des
stärksten Wachstums gedüngt. Ermittle diesen Zeitpunkt durch Rechnung.
Wie schnell wächst die Pflanze zum Zeitpunkt des schnellsten Wachstums?
b) Wie hoch ist die Pflanze am Ende des Beobachtungszeitraumes, wenn sie zum Zeitpunkt der Pflanzung 5 cm hoch war?
c) Wie groß ist die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit im Beobachtungszeitraum?
d) Wann erreicht die Pflanze eine Höhe von einem Meter?
e) Zeichne den Graphen der Funktion ℎ, welche die Höhe der Pflanze in Abhängigkeit der
Zeit angibt, wenn die Pflanze zum Zeitpunkt der Pflanzung 5 cm hoch war.
𝑎
20) 𝐿: 𝑣(𝑡) = −𝑎 ∙ 𝑡 + 𝑣0 ; 𝑠(𝑡) = − 2 ∙ 𝑡 2 + 𝑣0 ∙ 𝑡 + 𝑠𝑅 ; 99,662; 48,642
Ein Geländewagen hat zu spät gebremst und ist über eine Böschung 3 m tief in einen
Rübenacker geflogen. Am Unfallort konnte die Polizei eine Bremsspur von 70 m Länge bis
zum Rand der Böschung vermessen. Die Fahrerin des Geländewagens behauptet nun, sie
sei nur die erlaubten 80 km/h gefahren, als sie die Böschung erkennen konnte und mit
der Vollbremsung begonnen habe. Sie meint daher, sie treffe keine Schuld, weil auch kein
Schild auf die riskante Stelle hingewiesen habe. Laut Hersteller hat der Geländewaagen
eine Bremsverzögerung von 𝑎0 = 8 𝑚⁄𝑠 2 . Der Fahrerin wird eine Reaktionszeit von 0,8
s unterstellt. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.
a) Bestimme ausgehend von einer konstanten Beschleunigung 𝑎(𝑡) = −𝑎0 eine Funktion
𝑣 für die Geschwindigkeit und den zurückgelegten Weg 𝑠 in Abhängigkeit der Zeit. Der
Bremsvorgang beginnt zum Zeitpunkt 𝑡 = 0 .
b) Mit welcher Geschwindigkeit war sie zumindest unterwegs? Wie lange wäre sein
Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 80 km/h?
Mag. Raimund Hermann
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34
21) L: 3,2; 1,6; 5; 10
In den ersten fünf Sekunden seiner Bewegung fährt es mit einer Momentangeschwindigkeit (in m/s), die durch die Funktion 𝑣 mit 𝑣(𝑡) = −0,8 ∙ 𝑡 2 + 8 ∙ 𝑡 (mit 𝑡 in Sekunden)
modelliert werden kann. In den folgenden drei Sekunden sinkt seine Geschwindigkeit. Ab
der achten Sekunde bewegt es sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von 15 𝑚⁄𝑠.
Nach zehn Sekunden Fahrzeit erkennt der Lenker ein Hindernis in 90 m Entfernung und
reagiert eine Sekunde später. Zu diesem Zeitpunkt beginnt er gleichmäßig zu bremsen
und schafft es, rechtzeitig beim Hindernis anzuhalten.
5
a) Interpretiere den Ausdruck ∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 im Hinblick auf die Bewegung des Fahrzeugs.
5
Gib die Bedeutung des Ausdrucks
2
∫0 𝑣(𝑡)−∫0 𝑣(𝑡)
2
im vorliegenden Kontext an.
b) Interpretiere den Wert 𝑣 ′ (3) im Zusammenhang mit der Bewegung des Fahrzeugs.
Die Ableitungsfunktion 𝑣 ′ ist eine lineare Funktion.
Bestimme ihren Anstieg und gib dessen Bedeutung im Hinblick auf die Bewegung des
Fahrzeugs in den ersten fünf Sekunden an.
c) Ermittle nach wie vielen Sekunden das Fahrzeug eine Momentangeschwindigkeit von
20 𝑚⁄𝑠 erreicht.
Beschreibe (verbal und/oder mithilfe einer Skizze) den Geschwindigkeitsverlauf in
den ersten fünf Sekunden.
d) Der Anhalteweg setzt sich aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammen. Berechne die Zeit, die vom Einsetzen der Bremswirkung elf Sekunden nach Beginn der
Bewegung bis zum Stillstand des Fahrzeugs verstreicht.
Stelle den Geschwindigkeitsverlauf ab dem Zeitpunkt 𝑡 = 10 in der angegebenen
Abbildung graphisch dar und kennzeichne den Anhalteweg.
Mag. Raimund Hermann
Integralrechnung Übungen itm8 1415
𝑔
𝑣
𝑣0 2 2𝑣0
2
𝑔
2𝑔
22) L: ℎ′ (𝑡) = −𝑔 ∙ 𝑡 + 𝑣0 ; ℎ(𝑡) = − ∙ 𝑡 2 + 𝑣0 ∙ 𝑡; 0; 0;
;
35
𝑔
Eine kleine Metallkugel wird mit der Geschwindigkeit 𝑣0 senkrecht nach oben geworfen.
Der Luftwiderstand bleibt unberücksichtigt. Der Vorgang wird durch folgende Gleichung
beschrieben:
𝑚 ∙ ℎ′′ (𝑡) = −𝑚 ∙ 𝑔
Die Funktion ℎ gibt die Höhe und die Funktion 𝑣 die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 𝑡 an.
a) Bestimme die Funktionen 𝑣(𝑡) und ℎ(𝑡) mit ℎ(0) = 0.
b) Wann erreicht die Kugel die größte Höhe und wie groß ist dann ihre Höhe?
c) Wann fällt die Kugel wieder auf den Boden? Wie groß ist die Aufprallgeschwindigkeit?
23) L: --Ein Körper bewegt sich auf einer geraden Bahn. Im gegebenen Diagramm ist seine Geschwindigkeit 𝑣(𝑡) in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt.
Kreuze die zutreffenden Aussagen an.
Zum Zeitpunkt 𝑡 = 2 ist der Körper weiter vom Ausgangspunkt entfernt als zum Zeitpunkt 𝑡 = 3

3
∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 ist die Länge des in den ersten drei Minuten zurückgelegten Weges

Der Körper bewegt sich stets in der gleichen Richtung.

In der ersten Minute legt der Körper einen kürzeren Weg zurück als
in der letzten Minute.

Nach vier Minuten ist der Körper gleich weit vom Ausgangsort entfernt wie nach zwei Minuten.

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1
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36
1
24) L: 𝑊(𝑥) = ∙ 𝑘 ∙ 𝑥 2 + ∙ 𝑎 ∙ 𝑥 3
2
3
Wird ein elastisches Band um die Länge 𝑥 > 0 ausgedehnt, so wirkt die Kraft
𝐹(𝑥) = −𝑘 ∙ 𝑥 − 𝑎 ∙ 𝑥 2 entgegen, wobei 𝑎 und 𝑘 konstant sind.
Gib eine Formel für die Arbeit an, die verrichtet werden muss, um das Band von 𝑥1 = 0
bis 𝑥2 zu dehnen.
25) L: --Herr Schmitz bereitet sich auf sein geliebtes Wannenbad vor und lässt Wasser in die leere
Wanne ein.
Das folgende Diagramm stellt die zeitliche Entwicklung von Zufluss- und Abflussrate dar,
wobei 𝑡 in min und 𝑣(𝑡) in Liter/Minute angeben sind.
Kreuze die zutreffenden Aussagen an:
Zum Zeitpunkt 𝑡 = 4 ist und zum Zeitpunkt 𝑡 = 9 befindet sich
gleich viel Wasser in der Badewanne.
9
18

∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 > ∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

Zum Zeitpunkt 𝑡 = 9 ist und zum Zeitpunkt 𝑡 = 12 befindet sich
gleich viel Wasser in der Badewanne.

18
Mit ∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 lässt sich die gesamte im Zeitraum [0; 18] zugeflossene Wassermenge berechnen.
18
∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 > 18


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37
26) L: --Nach einer Operation erhält ein Patient eine Infusion. Die Abbildung zeigt die Dosierung
(Zufuhr pro Zeit in mg/h) eines Medikamentes über einen Zeitraum von 24 Stunden.
Kreuze die zutreffenden Aussagen an:
1
24
Mit 24 ∙ ∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 lässt sich die durchschnittliche Dosierung des
Medikaments in den ersten 24 Stunden berechnen
24
4

∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 < ∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

Zum Zeitpunkt 𝑡 = 8 ist ist die Abnahme der Dosierung schwächer als
zum Zeitpunkt 𝑡 = 10.

24
Mit ∫0 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 lässt sich die Menge des verabreichten Medikamentes
in den ersten 24 Stunden berechnen.

Zum Zeitpunkt 𝑡 = 4 hat der Patient die größte Medikamentenmenge
im Körper

27) L: --Gegeben ist eine Funktion 𝑓 mit 𝑓(𝑥) ≥ 0 für alle 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏].
Die beiden Textfelder sind so zu ergänzen, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht.
Wenn 𝑥 die Zeit und 𝑓(𝑥) die
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥  .


zum Zeitpunkt 𝑥 ist, dann ist
Arbeit


die verrichtete Arbeit im Intervall [𝑎; 𝑏]

Geschwindigkeit

die erbrachte Leistung im Intervall [𝑎; 𝑏]

Kraft

der zurückgelegte Weg im Intervall [𝑎; 𝑏]

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28) L: --Um 13 Uhr enthält ein Regenwassertank 500 Liter Wasser. Regenwasser füllt den Tank
mit einer Zuflussrate 𝑞. Die Zuflussrate 𝑞 wird in Litern pro Stunde gemessen, die Zeitmessung beginnt um 13 Uhr.
Kreuze die zutreffenden Aussagen an:
4
Mit ∫0 𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 lässt sich berechnen, wie viel Liter Wasser sich um 17
Uhr im Tank befinden

Zwischen 13 und 14 Uhr nimmt die Wassermenge im Tank zu, danach
fließt Wasser ab.

𝑥
Mit der Gleichung ∫0 𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 + 500 = 1200 lässt sich berechnen,
wann sich mehr als 1200 Liter Wasser im Tank befinden

4
1
Mit 4 ∙ (∫0 𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 + 500) lässt sich die durchschnittliche Zuflussrate
zwischen 13 und 17 Uhr berechnen.

3
Mit ∫1 𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 lässt sich berechnen, wie viel Liter Wasser zwischen 14
und 16 Uhr in den Tank fließen.

29) L: --Gegeben ist eine Funktion 𝑓 mit 𝑓(𝑥) ≥ 0 für alle 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏].
Die beiden Textfelder sind so zu ergänzen, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht.
Wenn 𝑥 der Ort und 𝑓(𝑥) die
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥  .


am Ort 𝑥 ist, dann ist
Arbeit


die verrichtete Arbeit im Intervall [𝑎; 𝑏]
Geschwindigkeit

die erbrachte Leistung im Intervall [𝑎; 𝑏]

Kraft

der zurückgelegte Weg im Intervall [𝑎; 𝑏]


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30) L: --Die Funktion 𝑟 gibt die Zuflussrate 𝑟(𝑡) in einen Wasserspeicher zum Zeitpunkt 𝑡 an. Die
Zuflussrate wird in 𝑚3 ⁄ℎ und die Zeit in Stunden angegeben.
Kreuze die zutreffenden Aussagen an:
5
Mit ∫0 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 lässt sich berechnen, wie viel Liter Wasser in den ersten
fünf Stunden in den Speicher geflossen ist.

Zum Zeitpunkt 𝑡 = 2,5 befindet sich mehr Wasser im Speicher als zum

Zeitpunkt 𝑡 = 5.
2,5
5
Mit ∫0 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 − ∫2,5 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 lässt sich berechnen, wie viel Liter
Wasser in den ersten fünf Stunden in den Speicher geflossen ist.

Zum Zeitpunkt 𝑡 = 0 und 𝑡 = 5 befindet sich gleich viel Wasser im
Speicher.

Zum Zeitpunkt 𝑡 = 2,5 ist der Speicher leer.

31) L: --Um eine Stahlfeder aus der Ruhelage 𝑥0 = 0 um 𝑥 cm zu dehnen, ist die Kraft 𝐹(𝑥) erforderlich.
8
Gib an, was in diesem Kontext mit dem Ausdruck ∫0 𝐹(𝑥) 𝑑𝑥 berechnet wird.