Übungen zu MAPLE (W. Büttner)

Übungen zu MAPLE (W. Büttner)
25) Gegeben sind die Vektoren
 1,2 
 

a    3,5  ,
 2,7 




  5,5 


b   4,9  ,
  1,8 


 1,7 


c    0,2  .
 2,1 



 



 
 
a) Berechnen Sie a  b  c , a ( b  c ) und a ( b c )  ( a b ) c
.
Geben Sie die Lösungen mit 4 signifikanten Stellen aus.
Ergebnisse: 4,147; - 37,02; 58,27.
b) Berechnen Sie die Vektoren

v1


 




 a x ( b x c ) und v 2  ( a x b ) x c .



(Hier bedeutet u x v Vektorprodukt der Vektoren u und v )


Berechnen Sie die Beträge der Vektoren v 1 und v 2 und geben Sie die
Ergebnisse mit 4 signifikanten Stellen aus.
Ergebnisse: v1  57,31; v2  38,13.
Berechnen Sie den Winkel  (in Grad), den beide Vektoren einschließen
und geben Sie ihn mit 3 signifikanten Stellen aus aus.
Ergebnis:   72,2.



c) Der Vektor v1 lässt sich als ‚Linearkombination‘ der Vektoren b und c
schreiben:





a x ( b x c )  k1 b  k 2 c (*)
Damit Gleichung (*) gilt, müssen k1 und k 2 drei Gleichungen erfüllen.
Stellen Sie diese drei Gleichungen mit Hilfe von seq auf und lassen Sie
daraus von MAPLE die Werte von k1 und k 2 berechnen !
Ergebnis: k1  8,41; k 2  28,61.
Machen Sie die Probe mit MAPLE !
26) Gegeben sind die Matrizen
2 4 1

A  
 0 1 2
und
  1 2


B    3 4 .
 5 2


Berechnen Sie
a) die Matrizen A B und B A
b) die Matrix X  ( B A  2 E )T
c) die Determinante det(X )
d) die Inverse X 1 . Probe: Ist X X 1  E ?
T
Hinweise: E bedeutet ‚Einheitsmatrix‘ ; C bedeutet ‚C transponiert‘.
Lösung zu b):
  4  6 10 


X    2  10 22 .
 3
5
7 

27) Gegeben ist die Matrix
  1 1 1


A   1  1 1 .
  1 2 0


a) Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenvektoren von A !

b) Überprüfen Sie mit Maple, ob für jeden Eigenvektor a zum Eigenwert 


die Gleichung A a   a gilt (evtl. mit Verwendung des Befehls op).
c) Berechnen Sie für jeden Eigenwert  die Determinante det( A   E ),
wobei hier E die (3x3)-Einheitsmatrix bedeutet.
Zusatzaufgabe für die besonders schnellen Studenten/innen:
Z6) Gegeben sind die Vektoren
 1
 0
1
 1
 
 
 
 
1
2
2
         2 
 
a1   0  , a2   1  , a3   4  , a4   3  .
 
 
 
 
  2
1
 3
  2
 0 
 4
 2
  2
 
 
 
 
a) Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums V, den diese Vektoren
aufspannen, indem Sie diese zu einer Matrix A zusammenfassen und
dann deren Rang berechnen.
Lösung: Rang(A) = 3.
b) Berechnen Sie mit Maple eine maximale Liste linear unabhängiger
 
Basisvektoren b1 , b2 , ..... von V.

c) Stellen Sie a4 als Linearkombination der Basisvektoren aus (b) dar, d.h.



a4  1 b1  2 b2  ....
und berechnen Sie 1 , 2 , .....
Ergebnis: 1  2, 2  1, 3  1.
Z7) Gegeben sind die beiden Vektoren
 3    1
 
 
v1   0 , v2  1
1
 1
 
 

und die Matrix C, welche den Parameter x enthält:




C 




2
2
2
4
6
4

2
2
2
4
6
4

0


x

1
2 
Für welche reellen Werte von x gelten alle drei folgenden Gleichungen:
 


a) v1 v2  (C v1 ) (C v2 )




b) v1  C v1
c) v2  C v2
Lösung:
x
1
3.
2
?
(Skalarprodukte !)