Vorlesungsmitschrift von MEng. Niro Akbary und

Modul: „Strömung und Transport“
Hydromechanik III Strömung in Umwelt und Technik
&
Numerische Modellierung von Strömungs- und
Transportprozessen
Bearbeitet von:
B.Sc. Niro Akbary,
B.Sc. Marvin Molke
Lehrender:
Prof. Dr. rer. nat.
Manfred Koch
Universität Kassel
Fachbereich 14: Bauingenieur und Umweltingenieurwesen
Institut für Geotechnik und Geohydraulik
Fachgebiet Geohydraulik und Ingenieurhydrologie
Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch
WS 2013/14
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis ................................................................................................................... I
Abbildungsverzeichnis ........................................................................................................... II
Formelverzeichnis ................................................................................................................ IV
1. Vorlesung – Grundlagen und Einführung ........................................................................ 1
1.1.
Definitionen und Einführung in die numerische Modellierung .................................. 1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.2.
2.
Floating Point Operations Per Second ............................................................. 1
Moores law ....................................................................................................... 1
Das Amdahlsche Gesetz .................................................................................. 1
Lösung von fluiddynamischen Problemstellungen: ................................................. 3
Einführung und Grundlagen der Hydromechanik ............................................................ 4
2.1.
2.2
Einführung Gitternetz .............................................................................................. 4
Wiederholung der Grundlagen der Hydromechanik ................................................. 5
2.2.1
Kontinuitätsgleichung ....................................................................................... 5
2.2.2
Instationäre Kontinuität..................................................................................... 5
2.2.3
Bernoulli ........................................................................................................... 5
2.2.4
Gesetz von Hagen Poiseuille ........................................................................... 5
2.2.5
Stokes Gleichung ............................................................................................. 7
2.2.6
Beschreibung von Strömung ............................................................................ 8
2.2.7. Konzept der Substanziellen Ableitung einer Größe (Bspw. ρ, T, v)................... 9
2.7.8
Anmerkung zum Gradient:...............................................................................10
2.2.9. Einführung in die Indexschreibweise ...............................................................12
2.2.10 Zusammenfassung ..........................................................................................12
2.2.11 Stromlinien- und Bahnlinien (Streamlines) ..........................................................13
2.2.12 Rotation einer Strömung = Wirbelstärke .............................................................13
3.
4.
Vektoranalysis – Operatoren und Umrechnungstabellen ...............................................15
Erhaltungssätze.............................................................................................................17
4.1
4.1.1
4.2
4.3
4.4
5.
Massenerhaltung – differentielle Betrachtung .....................................................17
Exkurs: Taylorreihe .........................................................................................18
Reynolds – Transporttheorem.............................................................................19
Wiederholung - Erhaltungssätze .........................................................................20
Gauß´scher Satz.................................................................................................21
Navier Stokes Gleichung zur Beschreibung einer Strömung .........................................22
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
Einführung ..............................................................................................................22
Kräfte, Spannungen und Verzerrungen ..................................................................22
Allgemeine Verschiebung und lagranges beschreibung .........................................23
Cauchy – Momentum – Gleichung .........................................................................26
Von Navier – Cauchy zur navier-stokes gleichung .................................................28
Herleitung von Hagen-Poiseuille aus Der Navier-Stokes Gleichung .......................30
Herleitung der Couette - Strömung aus der Navier-Stokes-Gleichung ....................32
NS – Gleichung für inkompressible Fluide ..............................................................33
Stromfunktion .........................................................................................................34
Reibungsfreie Strömung .........................................................................................35
Bernoulli-Gleichung: im Schwerfeld ........................................................................35
Stoke´scher Satz ....................................................................................................36
I
Skript: „Strömung und Transport“
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
6.
Zusammenfassung .................................................................................................37
Burger´s Gleichung ................................................................................................37
Grenzschichtgleichung ...........................................................................................40
Speziell Lösungen für den reibungsfreien Fall ........................................................40
Dimensionsanalyse und Ähnlichkeit .......................................................................41
Kennzahlen Wärmetransport und Energiegleichung ...............................................42
Zusammenfassung: Gesetze inkompressibler Strömung ........................................46
Strofftransport ............................................................................................................47
6.1
6.2
7.
8.
9.
Mai 16
Advektiver Transport ..............................................................................................47
Adsorption insbesondere für Transport in einem porösen Medium .........................48
Theorie der allgemeinen Differentialgleichungen ...........................................................51
Randbedingungen .........................................................................................................56
Numerische Lösung der Poisson Gleichung ..................................................................59
9.1
9.2
9.3
9.4
Herleitung von Differenzenformeln .........................................................................61
Weitere Anwendungen ...........................................................................................63
Berechnung auf dem FD-Gitter ..............................................................................66
Methoden zur numerischen berechnung ................................................................68
9.4.1
9.4.2
9.4.3
9.4.4
9.4.5
Jakobi-Verfahre ...............................................................................................69
Gauß-Seidl Verfahren .....................................................................................69
SOR-Methode .................................................................................................69
Anwendung: Poisson-gleichung ......................................................................70
Das Toth-Problem ...........................................................................................73
Quellen .................................................................................................................................75
Anhang .................................................................................................................................76
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Abbildung 1: Microprocessor Transistor Counts & Moore's Law ............................................ 1
Abbildung 2 Amdahlsches Gesetz ......................................................................................... 2
Abbildung 3 Vereinfachte Vorgehensweise von Fluiddynamischen Problemstellungen ........ 3
Abbildung 4 Gitternetz aus Simulationsbeispiel ..................................................................... 4
Abbildung 5 Energiehorizont.................................................................................................. 5
Abbildung 6 Hagen Poiseuille Rohr ; Quelle (calctool.org) ..................................................... 6
Abbildung
7:
Luftströmung
über
Tragfläche
von
Flugzeug
Quelle:
(http://www.lehrerfreund.de/xinha/plugins/ImageManager/demo_images/tec/Tragflaechenprof
il_440.png) ............................................................................................................................ 6
Abbildung 8 Dynamische Druck und Staudruck; (Quelle: mgow.ch) ...................................... 7
Abbildung
9
Zwei
Gradientenfelder
(Quelle:
http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/gradient.gif) .......................................................10
Abbildung 10 Gradientenfeld 3D ...........................................................................................10
Abbildung 11: Rotation eines Fluid-Elements (Quelle: https://ecourses.ou.edu/cgibin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=03.5&page=theory) ...............................................14
Abbildung 12: Differentielles Volumenelement .....................................................................17
Abbildung 13: Kontrollvolumen zur Beschreibung des Reynold´s Transport Theorem
[http://www.youtube.com/watch?v=3HMq1O0xI_4]...............................................................19
Abbildung
14:
Massenbilanz
(Quelle:
http://www.thphys.uniheidelberg.de/~mielke/20140715-Hydrodynamik.pdf) ...........................................................21
II
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 15: Spannungen an einem Volumenelement (Quelle: http://www.tf.unikiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_7/backbone/r7_2_1.html) ................................................23
Abbildung 16. Spannung in einem Stab (Quelle: http://www.maschinenbauwissen.de/bilder/skripte/mechanik/schubspannung-15.PNG) ...............................................23
Abbildung 17: Deformation eines Körpers (Quelle: Wikipedia)..............................................24
Abbildung 18: Scherspannung an einem Körper...................................................................25
Abbildung
19:
Beschreibung
von
Zylinderkoordinaten
(Quelle:
http://4.bp.blogspot.com/_9315afs7OMY/TCJZROjDyyI/AAAAAAAAAEY/WA2HV_Pi0bY/s32
0/Zylinderkoordinaten.png) ...................................................................................................30
Abbildung
20:
Hagen-Poisseuille-Strömung
in
einem
Rohr
(Quelle:
https://ecourses.ou.edu/cgi-bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=08.1&page=theory) ....31
Abbildung 21: Strömung in einem kreisförmigen Rohr (Quelle: https://ecourses.ou.edu/cgibin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=08.1&page=theory) ...............................................31
Abbildung
22:
Couette-Strömung
(Quelle:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Laminar_shear.svg/500pxLaminar_shear.svg.png) .......................................................................................................32
Abbildung 23: Couette-Strömung in einem Zylinder (http://www.ieap.uni-kiel.de/plasma/agpfister/taylor/photos/couette.jpg) ...........................................................................................33
Abbildung 24: Geschwindigkeitsfeld einer Strömung ............................................................36
Abbildung 25: Zusammenfassung von Strom- und Bahnlinien ..............................................37
Abbildung 26: Strömung um eine Kugel bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten (Quelle:
http://www.golfbaelle.de/golf_wissen_technik/golf_physik_bilder/golba05.jpg) .....................38
Abbildung 27: Fluktuationen um den Mittelwert einer Geschwindigkeit .................................39
Abbildung 28: Reynolds Dekomposition (Quelle: ..................................................................39
Abbildung
29:
Darstellung
der
laminaren
Grenzschicht
(Quelle:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/Laminar.png/440pxLaminar.png) ........................................................................................................................40
Abbildung
30:
Stromund
Potentiallinien
(Quelle:
https://ecourses.ou.edu/ebook/fluids/ch03/sec035/media/d03524.gif) ..................................41
Abbildung
31:
Beispiel
Transportprozesse
[Quelle:
http://www.unikassel.de/fb14/geohydraulik/Lehre/Hydrogeologie/skript/HKap_7.pdf] .................................48
Abbildung
32:
Transportprozesse
[Quelle:
http://www.cee.mtu.edu/~reh/courses/ce251/251_notes_dir/img504.gif] ..............................48
Abbildung
33:
Arten
von
Adsorptionsthermen
[Quelle:
http://spring.deltah.de/download/SPRING4_Webhilfe/Grafik/isothermen_alle.gif] ............................................49
Abbildung 34: Konzentrationskurven ....................................................................................49
Abbildung 35: Verkleinerung der Konzentration bei chemischen Abbauprozessen ...............50
Abbildung 36: Turbulente Diffusion im Fluss.........................................................................50
Abbildung 37: Charakteristik der hyperbolischen Gleichung, ................................................53
Abbildung 38: Domain of influence and dependence für die parabolische DGL ....................53
Abbildung 39: Elliptische DGL (2D-Fall) ...............................................................................54
Abbildung 40: Translationsströmung ....................................................................................55
Abbildung
41:
Lösung
einer
Pumpe
(Quelle:
http://homepages.hsbremen.de/~kortenfr/Aerodynamik/script/img263.gif) ............................................................55
Abbildung 42: Superposition von linearer Strömung und Quellströmung (Quelle:
http://homepages.hs-bremen.de/~kortenfr/Aerodynamik/script/img263.gif) ..........................55
Abbildung 43: Gebiet mit Rändern ........................................................................................56
Abbildung 44: Temperaturvorgaben an der Ränder als Dirichletrandprobleme .....................56
Abbildung 45: Isolierter Neumannrand .................................................................................57
III
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 46: Randbedingungen in einem Gebiet ................................................................57
Abbildung
47:
Diskritisierungskonzept
[http://www.iam.unibonn.de/~alt/ws2003/FIGURES/DiffMeth/omega-h.jpg] ........................................................60
Abbildung 48: Anwendung der Laplace-Gleichung in einem Gebiet......................................64
Abbildung 49: Die sinh()-Funktion ........................................................................................64
Abbildung 50: Darstellung einer Kasten - Fourierreihe..........................................................65
Abbildung 51: Diskretisierung auf einem Gitter .....................................................................65
Abbildung 52: Berechnungsvorgang mit dem Sweep [Quelle: http://www.unikassel.de/fb14/geohydraulik/koch/paper/2010/N_P_Modeling_Course/Modeling_Course_I.pd
f] ...........................................................................................................................................66
Abbildung
53:
Darstellung
der
Matrix
[Quelle:
http://www3.math.tuberlin.de/ppm/skripte/fdm1.0.pdf] .........................................................................................67
Abbildung 54: Lösung eines Toth Problems .........................................................................71
Abbildung 55: Randbedingungen für das Toth-Problem .......................................................73
Abbildung
56:
Wasserscheide
(Quelle:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Wasserscheide.svg/390pxWasserscheide.svg.png) ......................................................................................................73
FORMELVERZEICHNIS
Formel 1: Gesamtlaufzeit eines Programms .......................................................................... 2
Formel 2: Allg. Gesamtbeschleunigung ................................................................................. 2
Formel 3 Gesamtbeschleunigung in Abhängigkeit der Prozessoranzahl ............................... 3
Formel 4 Anzahl der Flops .................................................................................................... 4
Formel 5 Kontinuitätsgleichung ............................................................................................. 5
Formel 6 Instationäre Grundgleichung ................................................................................... 5
Formel 7 Instationäre Massenbilanz ...................................................................................... 5
Formel 8 Reynoldszahl .......................................................................................................... 5
Formel 9 Hagen Poiseuille Gleichung.................................................................................... 6
Formel 10 Hagen Poiseuille an der Stelle null ....................................................................... 6
Formel 11 Bernoulli-Gleichung .............................................................................................. 6
Formel 12: Berechnung von FStau ........................................................................................... 7
Formel 13: Reibungswiderstand ............................................................................................ 7
Formel 14: Kräftegleichgewicht eines sinkenden Partikels .................................................... 8
Formel 15: Berechnung der Stoke´schen Sinkgeschwindigkeit .............................................. 8
Formel 16: Formulierung des material derivative ................................................................... 9
Formel 17: Cauchy-Gleichung ..............................................................................................22
Formel 18: Hook´sches Gesetz ............................................................................................25
Formel 19: Navier-Stokes Gleichung für kompressible Fluide...............................................29
Formel 20: Navier-Stokes Gleichung für inkompressible Fluide ............................................30
Formel 21: Burger´s Gleichung.............................................................................................38
Formel 22: Euler Gleichung ..................................................................................................38
Formel 23: Vollständige Energiegleichung............................................................................45
Formel 24: Vereinfachte Energiegleichung ...........................................................................46
Formel 25: Massenbilanz für die Konzentration eines Stoffes in einem Fluid ........................48
Formel 26: Beschreibung der Laplace- und Poisson-Gleichungen........................................59
IV
Skript: „Strömung und Transport“
1.
VORLESUNG – GRUNDLAGEN UND EINFÜHRUNG
1.1.
DEFINITIONEN UND EINFÜHRUNG IN DIE NUMERISCHE MODELLIERUNG
1.1.1
FLOATING POINT OPERATIONS PER SECOND
Mai 16
(kurz FLOPS; englisch für Gleitkommaoperationen pro Sekunde) ist ein Maß für die
Leistungsfähigkeit von Computern[1] oder Prozessoren und bezeichnet die Anzahl der
Gleitkommazahl-Operationen (Additionen oder Multiplikationen), die von ihnen pro Sekunde
ausgeführt werden können. Häufig wird als FLOP eine Gleitkommazahlen-Operation
(englisch floating-point operation) bezeichnet, wodurch vereinzelt auch die Variante FLOP/s
auftaucht, beide Varianten sind allerdings gleichbedeutend (Wikipedia)
1.1.2
MOORES LAW
Das Mooresche Gesetz geht auf Gordon Moore, einen Mitbegründer von Intel zurück, der in
den sechziger Jahren prognostizierte, dass sich die Zahl der Transistoren von integrierten
Schaltungen (IC) jährlich verdoppelt. Diese Faustregel, die er aufgrund der rasanten
Entwicklung der Halbleiterindustrie traf, hat er 1975 dahingehend relativiert, dass er die
Verdoppelung der aktiven Komponenten eines Chips auf etwa alle zwei Jahre voraussagte.
Heute geht man davon aus, dass der Zeitraum der Verdoppelung mit 18 Monaten
hinreichend genau erfasst ist. Das Mooresche Gesetz bezieht sich auf die Anzahl der aktiven
Komponenten, trifft aber auch für die Integrationsdichte zu, die sich in den technologischen
Fortschritten ausdrückt. Obwohl es nicht für die Kommunikationstechnik entwickelt wurde,
zeigt sich auch bei den Datenraten ein Entwicklungsverlauf, der im Wesentlichen dem
Mooreschen Gesetz entspricht (http://www.itwissen.info/definition/lexikon/MooreschesGesetz-Moores-law.html)
Abbildung 1: Microprocessor Transistor Counts & Moore's Law
1.1.3
DAS AMDAHLSCHE GESETZ
(benannt 1967 nach Gene Amdahl) ist ein Modell in der Informatik über die Beschleunigung
von
Programmen
durch
parallele
Ausführung.
Nach
Amdahl
wird
der
Geschwindigkeitszuwachs vor allem durch den sequentiellen Anteil des Problems
beschränkt, da sich dessen Ausführungszeit durch Parallelisierung nicht verringern lässt.
1
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 2 Amdahlsches Gesetz
Ein Programm kann nie vollständig parallel ausgeführt werden, da einige Teile wie ProzessInitialisierung oder Speicher-Allokation nur einmalig auf einem Prozessor ablaufen oder der
Ablauf von bestimmten Ergebnissen abhängig ist. Daher zerlegt man den Programmlauf in
Abschnitte, die entweder vollständig sequentiell (auf einem Rechner) oder vollständig parallel
ablaufen (ein Programmteil wird von mehreren Prozessoren bearbeitet) und fasst sie zu
jeweils einer Gruppe zusammen. Sei P der Anteil der Laufzeit der parallelen Teilstücke eines
Programms, dann ist (1 − P) der sequentielle Anteil, und die Gesamtlaufzeit ergibt sich bei
Ausführung auf einem Kern aus der Summe:
Formel 1: Gesamtlaufzeit eines Programms
Angenommen, ein Programm benötigt 20 Stunden auf einem Rechner mit einer CPU, und
eine Stunde davon wird sequentiell ausgeführt (beispielsweise Initialisierungs-Routinen oder
Speicher-Allokation). Die verbleibenden 19 Stunden machen 95 % des Gesamtaufwandes
aus und können auf beliebig viele Prozessoren verteilt werden. Die Gesamtrechenzeit kann
aber selbst mit unendlich vielen Prozessoren nicht unter 1 Stunde fallen, die maximale
Beschleunigung (SpeedUp) ist also Faktor 20.
Seien P der parallele Anteil eines Programms und N die Anzahl der Prozessoren, die zur
Berechnung eingesetzt werden. Dann ist (1 − P) der sequentielle Anteil und (P / N) der
beschleunigte parallele Anteil. Die Gesamtzeit und damit die Gesamtbeschleunigung setzt
sich aus der Summe der einzelnen Glieder zusammen, und daher gilt:
Formel 2: Allg. Gesamtbeschleunigung
2
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Es ist zu beobachten, dass die Beschleunigung bei steigender Prozessoranzahl immer
stärker vom sequentiellen Anteil des Algorithmus und der Prozessorkommunikation abhängt.
Amdahl argumentierte, dass durch Parallelisierung zusätzliche Kosten wie etwa für die
Kommunikation und zur Synchronisierung zwischen den Prozessoren anfallen. Damit
erweitert sich die Ungleichung um einen Faktor o(N), der dies berücksichtigt und daher mit
steigendem N zunimmt.
Formel 3 Gesamtbeschleunigung in Abhängigkeit der Prozessoranzahl
Durch die Einführung des neuen Parameters konvergiert die Kurve nicht mehr gegen 1 / (1 −
P), sondern erreicht ein Maximum, um dahinter wieder abzufallen. Dieser Effekt wird auch in
der Praxis beobachtet: Bei genügend großer Anzahl Prozessoren übersteigt der Aufwand,
das Problem zu übertragen, zu synchronisieren und zurückzusenden, den Rechenaufwand,
der durch die zusätzlichen Kerne abgenommen wird
1.2.
LÖSUNG VON FLUIDDYNAMISCHEN PROBLEMSTELLUNGEN:
Abbildung 3 Vereinfachte Vorgehensweise von Fluiddynamischen Problemstellungen
Allgemeine Ansätze und Methode der numerischen Modellierung von Strömungen:
1. Aufstellung der partiellen Differentialgleichungen (Erhaltungsgleichungen);
2. Diskretisierung auf dem Gitter mit Finite Differenzen, Finite Elemente, Finite Volumen;
3. Lösung der (meistens) linearen algebraischen Gleichungen mittels, z.B. Gauß´schen
Eliminationsverfahren
(Zahl der Flops =2/3*n**3+2*n**2 ~ n**3), (s. Fletcher: Chapter 1)
3
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
2.
EINFÜHRUNG UND GRUNDLAGEN DER HYDROMECHANIK
2.1.
EINFÜHRUNG GITTERNETZ
Abbildung 4 Gitternetz aus Simulationsbeispiel
Berechnung am Beispiel einer rechteckigen Geometrie:
Bsp. T(x,y)  rechteckige Geometrie
M = 20 x 20 = 400
Tij

Lösung
eines
Gleichungssystem
über
Eliminationsverfahren
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….…
……………………………………………………………………………………………………………
…………………….usw……………….
Genaue Analyse und Berechnungsaufwand über die Anzahl der Flops
2
𝑛³ − 2𝑛2 = 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝐹𝑙𝑜𝑝𝑠~𝑛3 !
3
Formel 4 Anzahl der Flops
4
Skript: „Strömung und Transport“
2.2
Mai 16
WIEDERHOLUNG DER GRUNDLAGEN DER HYDROMECHANIK
2.2.1 KONTINUITÄTSGLEICHUNG
Q in = 𝑄𝑜𝑢𝑡 = 𝑣𝑖𝑛 ∗ 𝐴𝑖𝑛 = 𝐴𝑜𝑢𝑡 ∗ 𝑣𝑜𝑢𝑡
Formel 5 Kontinuitätsgleichung
Es gilt weiterhin:
A = |𝐴| ∗ 𝑛⃗
und
|𝑣𝑖𝑛 | ∗ cos(𝜑) ∗ |𝐴𝑖𝑛 | = |𝑣𝑜𝑢𝑡 | ∗ cos(𝜔) ∗ |𝐴𝑜𝑢𝑡 |
2.2.2 INSTATIONÄRE KONTINUITÄT
𝑑𝑆
𝑑𝑉
= 𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑜𝑢𝑡 =
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Formel 6 Instationäre Grundgleichung
Instationäre Massenbilanz
𝑑𝑚
𝑑𝑉
= 𝜌∗
= 𝜌 ∗ 𝑄𝑖𝑛 − 𝜌 ∗ 𝑄𝑜𝑢𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Formel 7 Instationäre Massenbilanz
2.2.3 BERNOULLI
Abbildung 5 Energiehorizont
𝐻=𝑧+
𝑝
𝑣2
+
𝜌𝑔 2𝑔
Einführung der Viskosität mit der Reynoldszahl:
𝑅𝑒 = 𝑣 ∗
𝑑
𝜈
Formel 8 Reynoldszahl
2.2.4 GESETZ VON HAGEN POISEUILLE
Gesetz von Hagen Poiseuille (v = 0 – Schergeschwindigkeit)
5
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 6 Hagen Poiseuille Rohr ; Quelle (calctool.org)
𝑣(𝑟) = −
1
∆𝑝
∗
∗ (𝑅 2 − 𝑟 2 )
4∗µ 𝐿
Formel 9 Hagen Poiseuille Gleichung
Mit v(r=0) gilt
𝑣(0) =
1
∆𝑝
∗
∗ (𝑅 2 )
4∗µ 𝐿
Formel 10 Hagen Poiseuille an der Stelle null
Mit steigender Re-Zahl wird die Grenzschicht dünner
Erinnerung Bernoulli:
Abbildung 7: Luftströmung über Tragfläche von Flugzeug Quelle:
(http://www.lehrerfreund.de/xinha/plugins/ImageManager/demo_images/tec/Tragflaechen
profil_440.png)
𝑝1 𝑣1 2
𝑝2 𝑣2 2
𝑧1 +
+
= 𝑧2 +
+
𝜌𝑔 2𝑔
𝜌𝑔 2𝑔
Formel 11 Bernoulli-Gleichung
1. Verhältnis von Druck und Geschwindigkeit
2. Variable 𝑣 (v-Vektor) und Drücke p
3. Folgerung: In der Strömungsmechanik werden Geschwindigkeiten 𝑣 und Drücke p
gekoppelt betrachtet. Bsp. Staudruck (siehe Abbildung 8)
6
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 8 Dynamische Druck und Staudruck; (Quelle: mgow.ch)
2.2.5 STOKES GLEICHUNG
Stokes – Gleichung des Fluiddynamischen Widerstandes besteht aus 2 Anteilen.
1. Staudruck an der Front (Druckwiderstand – 1/3 Druck)
𝐹𝑠𝑡𝑎𝑢 = ∫ 𝑝 ∗ 𝑑𝐴
𝐴0
Formel 12: Berechnung von FStau
2. Reibung tangential an Oberfläche (2/3)
𝑑𝑣
𝜏 = µ ∗ 𝑑𝑧 und 𝐹𝑅 = ∫ 𝜏 ∗ 𝑑𝐴 heißt Reibungskraft
Reibungswiderstand
𝐹
𝑐𝑤 = 𝜌
2
2∗𝑣 ∗𝐴
Formel 13: Reibungswiderstand
𝐹𝑅 + 𝐹𝐴 = 𝐹𝐺 𝐹𝑅 = 𝐹𝐺 − 𝐹𝐴 lautet das Kräftegleichgewicht
Nach dem Gesetz von Stokes ist die Reibungskraft definiert über 𝐹𝑅 = 6 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟 ∗ 𝜇 ∗ 𝑣
und FA heißt Auftriebskraft
Daraus folgt:
7
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
6 ∗ 𝜋 ∗ 𝑟 ∗ 𝜇 ∗ 𝑣 = 𝑚 ∗ 𝑔 − 𝐹𝐴 = 𝜌𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 ∗ 𝑉𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟 ∗ 𝑔 − 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑 ∗ 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑 ∗ 𝑔
Formel 14: Kräftegleichgewicht eines sinkenden Partikels
Mit Sinkgeschwindigkeit folgt die sogenannte Stoke´sche Sinkgeschwindigkeit
𝑣𝑝 =
2 ∗ 𝑟 2 ∗ 𝑔 ∗ (𝜌𝑝 − 𝜌𝑓 )
9∗𝜇
Formel 15: Berechnung der Stoke´schen Sinkgeschwindigkeit
Ziel: Ziel der numerischen Fluiddynamik ist Beschreibung von 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑢
𝑣 = [𝑣 ]
𝑤
In Navier - Stokes steckt
𝑢
𝑣 = [ 𝑣 ] = 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑤
sowie
𝑝 = 𝑝 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
und Parameter
𝜌 = 𝜌 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡),
µ = µ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
2.2.6 BESCHREIBUNG VON STRÖMUNG
Beschreibung von Strömungen über 2 Betrachtungsweisen:
1. Betrachtung: Euler Betrachtung
a. Standpunkt ist fest
b. Betrachtung der ändernden Geschwindigkeit an einem Ort (Partikel sind fest)
c. Betrachtung
von
𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜌 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑝 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
Betrachte Änderungen der Variablen an diesem Ort als Funktion der Zeit
2. Betrachtung: Lagranges Betrachtung
d. „Fahre mit Partikel“
e. Lokalisierung eines Partikels – (verfolge Tracer in einem Fluss)
8
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
2.2.7. KONZEPT DER SUBSTANZIELLEN ABLEITUNG EINER GRÖßE (BSPW. Ρ, T, V)
z.B. für Dichte  𝜌 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
d𝜌 =
∂𝜌
∂𝑡
∗ 𝑑𝑡 +
∂𝜌
∂𝑥
∗ 𝑑𝑥 +
∂𝜌
∂𝑦
∗ 𝑑𝑦 +
∂𝜌
∂𝑧
∗ 𝑑𝑧
Nach Division durch dt gilt
𝑑𝜌 ∂𝜌 ∂𝜌 𝑑𝑥 ∂𝜌 𝑑𝑦 ∂𝜌 𝑑𝑧
=
+
∗
+
∗
+
∗
𝑑𝑡 ∂𝑡 ∂𝑥 𝑑𝑡 ∂𝑦 𝑑𝑡 ∂𝑧 𝑑𝑡
Daraus folgt:
𝑑𝜌 ∂𝜌 ∂𝜌
∂𝜌
∂𝜌
=
+
∗𝑢+
∗𝑣+
∗𝑤
𝑑𝑡 ∂𝑡 ∂𝑥
∂𝑦
∂𝑧
𝑑𝜌 ∂𝜌
=
+ 𝑣 ∙ ⃗∇𝜌
𝑑𝑡 ∂𝑡
Allgemein für beliebige Größen gilt F(x,y,z,t) = F(x(t), y(t), z(t), t)
𝑑𝐹
𝑑𝑡
=
∂𝐹
∂𝑡
⃗ 𝐹  Skalarprodukt von 2 Vektoren
+𝑣∙ ∇
Formel 16: Formulierung des material derivative
𝑢
𝑣 = [ 𝑣 ],
𝑤
∂F
∂x
∂F
⃗∇𝐹 =
∂y
∂𝐹
[ ∂𝑧 ]
Der Gradient einer skalaren Funktion ist ein Vektor, der senkrecht auf den Isolinien steht
∂f
∂x
∂f
∂f
∂𝑓
∂f
⃗∇𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) =
= 𝑖+
𝑗 + 𝑘⃗
∂y
∂x
∂𝑦
∂z
∂𝑓
[ ∂𝑧 ]
Es folgt Skalarprodukt:
Df ∂f
= + 𝑢 ∙ ⃗∇𝑓
Dt ∂t
9
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
2.7.8 ANMERKUNG ZUM GRADIENT:
Abbildung 9 Zwei Gradientenfelder (Quelle:
http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/gradient.gif)
Anwendung für den 2-D Fall mit dem totalen Differential
∂f
∂𝑓
df = ∂x ∗ 𝑑𝑥 + ∂𝑦 ∗ 𝑑𝑦 = ⃗∇𝑓 ∗ 𝑑𝑟
Abbildung 10 Gradientenfeld 3D
a.
Wanderung entlang einer Höhenlinie (siehe Kartographie), Projektion einer
Höhenlinie
⃗ 𝑓 ∗ 𝑑𝑟Höhenlinie
df = 0 = ∇
Der Gradient auf einer skalaren Funktion ist ein Vektor, der senkrecht auf der Isolinie
df=konst. steht.
⃗ 𝑓 steht senkrecht zur Isolinie
∇
1. Skalar f (Bew. h, T, c…)  Für das Skalar wird ein Vektor geschaffen
⃗ 𝑓  Vektor
∇
Vektor 1. Ordnung
⃗ = ∑31 𝑣𝑖 𝜑𝑖 (Summation bei doppeltem Index)
𝑣 = 𝑢∗𝑖+𝑣∗𝑗+𝑤∗ℎ
Vektor 2. Ordnung
10
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝑣𝑖𝑗
𝑢11
𝑢
= [ 21
𝑢31
𝑣12
𝑣22
𝑣32
𝑤13
𝑤23 ]
𝑤33
Beispiel Fourier – Gesetz
𝑞 = −𝜆 ∗ ∇𝑇
⃗ 𝑓 ∗ 𝑑𝑟 , 𝑑𝑟 beschreibt den Vektor
𝑞 steht senkrecht auf T = konst. Fallunterscheidung von ∇
für das totale Differential. Man unterscheide zwei Fälle a und b.
a. Sonderfall: 𝑑𝑓 = ⃗∇𝑓 ∗ 𝑑𝑟 = 0 = konst
b. Heißt also dr ist nicht Isolinie II. Schräg wandern heißt also in Richtung dr in Richtung
des Einheitsvektors.
⃗ 𝑓 ∗ |𝑑𝑟| ∗ ⃗⃗⃗
𝑑𝑓 = ∇
𝑒𝑟
𝑑𝑓
𝑑𝑟
⃗ 𝑓 ∗ ⃗⃗⃗
⃗ 𝑓| ∗ |𝑒𝑟 | ∗ cos(𝜃) heißt Richtungsableitung
=∇
𝑒𝑟 = |∇
⃗ 𝑓, es gilt also:
Wenn cos(𝜃) = 1, gilt Richtung von∇
𝑑𝑓
⃗ 𝑓|
= 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚 = |∇
𝑑𝑟
Vorgeschmack auf Später  Ziel z.B. Wärmefluss; Aufgabe: Berechne T als Funktion von
x,y,z, T(x,y,z)
Kalt
Heiß
1. Schritt: Berechne T(x,y) auf einem Gitter
2. Produziere Isokarten T = konst. Karte
3. Berechne Gradient von T (senkrecht auf der Isolinie)
Allgemein in der Fluidmechanik: Suche 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) und 𝜌 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), Bestimmung von drei
Komponenten. Nächster Schritt: Änderung der Geschwindigkeit Beschleunigung.
11
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝜕𝑢 ∂𝑢 ∂𝑢 𝑑𝑥 ∂𝑢 𝑑𝑦 ∂𝑢 𝑑𝑧
𝑑𝑢
=
+
∗
+
∗
+
∗
𝜕𝑡 ∂𝑡 ∂𝑥 𝑑𝑡 ∂𝑦 𝑑𝑡 ∂𝑧 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐷𝑣
𝜕𝑣
∂𝑣 ∂𝑣 𝑑𝑥 ∂𝑣 𝑑𝑣 ∂𝑣 𝑑𝑧
𝑑𝑣
𝐷𝑎 =
=
=
=
+
∗
+
∗
+
∗
𝐷𝑡
𝜕𝑡
∂𝑡 ∂𝑥 𝑑𝑡 ∂𝑦 𝑑𝑡 ∂𝑧 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑤
𝜕𝑤 ∂𝑤 ∂𝑤 𝑑𝑥 ∂𝑤 𝑑𝑦 ∂𝑤 𝑑𝑧
=
+
∗
+
∗
+
∗
[ 𝑑𝑡 ]
[ 𝜕𝑡
∂𝑡 ∂𝑥 𝑑𝑡 ∂𝑦 𝑑𝑡 ∂𝑧 𝑑𝑡]
𝜕𝑢
+ 𝑣 ∙ ⃗∇𝑢
𝜕𝑡
𝑑𝑎𝑥
𝐷𝑣
𝜕𝑣
𝐷𝑎 =
= [𝑑𝑎𝑦 ] =
+ 𝑣 ∙ ⃗∇𝑣
𝐷𝑡
𝜕𝑡
𝑑𝑎𝑧
𝜕𝑤
⃗
[ 𝜕𝑡 + 𝑣 ∙ ∇𝑤 ]
Nehme erste Komponente des Vektors
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
⃗𝑢=
+𝑣∙∇
+𝑢∙
+𝑣∗
+𝑤∙
𝜕𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Zusammengefasst gilt:
Dv
⃗
𝜕𝑣
=
+ 𝑣 ∙ ∇𝑣
Dt
𝜕𝑡
∇𝑣 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
[ 𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
,
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑥 ]
Gradient angewendet als Vektor erster Ordnung ergibt Matrix-Vektor 2. Ordnung. Totale
Beschleunigung setzt sich zusammen aus:
𝑣 ∙ ⃗∇𝑣 = (𝑣 ∙ ⃗∇)𝑣 = 𝑣 ∙ (∇𝑣)
konvektive
Beschleunigung
2.2.9. EINFÜHRUNG IN DIE INDEXSCHREIBWEISE
𝑣 = 𝑢𝑖
𝑑𝑢𝑖
𝑑𝑡
=
∇∅ =
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑡
= 𝑢𝑗 ∙ 𝑢𝑖,𝑗
𝜕∅
𝜕𝑥
𝜕∅
𝜕𝑦
𝜕∅
[ 𝜕𝑧 ]
Hinweis: Doppelter Index wird summiert
= ∅,1
2.2.10 ZUSAMMENFASSUNG
12
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Ziel: Bestimmung von 𝑣 für eine Isotherme Strömung bzw. bei Energiezufuhr, dann zusätzlich
T (konvektioneller Teil)
Änderung einer skalaren- (T) oder vektoriellen (v) Funktion „Material Derivative“
𝒅𝜱 =
𝒅𝜱 =
=
𝛛𝜱
𝝏𝒕
𝝏𝜱
𝝏𝒙
𝝏𝜱
𝝏𝒙
∗ 𝒅𝒙 +
∗
𝒅𝒙
+
𝝏𝜱
𝒅𝒕
𝝏𝒚
⃗
𝒅𝒓
+ 𝛁𝜱 ∙
∗ 𝒅𝒚 +
𝝏𝒚
𝝏𝜱 𝒅𝒚
∗
𝒅𝒕
+
𝝏𝜱
∗ 𝒅𝒛 +
𝝏𝒛
𝝏𝜱 𝒅𝒛
𝝏𝒛
∗
𝒅𝒕
+
𝝏𝜱
∗ 𝒅𝒕 I Division durch dt
𝝏𝒕
𝝏𝜱 𝒅𝒕
𝝏𝒕
∗
𝒅𝒕
𝒅𝒕
Daraus folgt:
𝐝𝜱
𝒅𝒕
=
𝛛𝜱
𝝏𝒕
+ 𝐯⃗ ∙ 𝛁𝒗
Partielle
Ableitun
g
Konvektiver
Anteil
(„Übelterm“)
2.2.11 STROMLINIEN- UND BAHNLINIEN (STREAMLINES)
Stromlinien für den Fall, dass Strömung stationär ist
Beachte: Stromlinie identisch mit Bahnlinie
Definitionen:
Bahnlinie: eine Kurve, die ein Fluidelement in der endlichen Zeitdauer dt zurücklegt
(Langzeitaufnahme)
Stromlinie: Ist die Kurve, deren Tangenten in beliebigen Punkten mit der Richtung der
Geschwindigkeitsvektoren der in diesem Punkt befindlichen Fluidelemente übereinstimmen.
Bei stationären Strömungen stimmen Strom- und Bahnlinien überein!
Stromlinie wird charakterisiert durch eine Stromfunktion Ѱ.
Bewegung eines Fluidpartikels:
1. Translation
2. Rotation
3. Scherung
2.2.12 ROTATION EINER STRÖMUNG = WIRBELSTÄRKE
13
Skript: „Strömung und Transport“
𝒊
⃗ = ⃗𝒘
⃗ = ‖𝒘𝒙
𝒗
⃗⃗ × 𝒓
𝒙
𝒋
𝒘𝒚
𝒚
Mai 16
𝒌
𝒘𝒛 ‖ für den Fall das w: (0,0,wz), v: (vx,vy,0), r(x,y,0)
𝒛
Mit der Definition
⃗⃗⃗⃗
⃗ = 𝒓𝒐𝒕(𝒗)
𝒘𝒗𝒐𝒓𝒕𝒊𝒄𝒊𝒕𝒚 = ⃗⃗⃗𝛁 × 𝒗
Abbildung 11: Rotation eines Fluid-Elements (Quelle: https://ecourses.ou.edu/cgibin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=03.5&page=theory)
𝒅𝜶
= 𝑾𝒊𝒏𝒌𝒆𝒍ä𝒏𝒅𝒆𝒓𝒖𝒏𝒈
𝒅𝒕
𝝏𝒗
𝝏𝒗
𝒅𝜶
𝝏𝒗
𝒕𝒂𝒏(𝜶) = ∗ 𝒅𝒕 (kleine Winkel)  𝜶 ≈ ∗ 𝒅𝒕 −→ = = 𝝎𝑨𝑩
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝒅𝒕
𝝏𝒙
Gleiches gilt für die Winkelgeschwindigkeit der 2. Linie
𝝏𝒖
− = 𝝎𝒘𝒄 , das negative Vorzeichen ergibt sich aus der Gegenrotation in positive Richtung
𝝏𝒚
𝟏
𝟐
𝟏 𝝏𝒗
∗ 𝒓𝒐𝒕(𝒗) = 𝝎𝟎 = (
𝟐 𝝏𝒙
−
𝝏𝒖
𝝏𝒚
𝟏
⃗ ×𝒗
⃗)
) = (𝛁
𝟐
Daraus folgt:
⃗ ×𝒗
⃗  Bezeichnung als „Rotation v“
𝟐𝝎𝟎 = 𝛁
Es gilt:
In der Hydrodynamik ist die Vortizität die Rotation der Fluidgeschwindigkeit, die in Richtung
der Rotationsachse beziehungsweise für zweidimensionale Flüsse senkrecht zur Flussebene
orientiert ist. Für Fluide mit einer festen Rotation um eine Achse (beispielsweise einen
rotierenden Zylinder) ist die Wirbelstärke ω gleich der doppelten Winkelgeschwindigkeit ω0
des Fluidelements.
𝝏𝒘 𝝏𝒗
𝝏𝒖 𝝏𝒖
𝝏𝒗 𝝏𝒖
𝟏 𝝏𝒗 𝝏𝒖
𝟏
⃗ ×𝒗
⃗)
(
− )∗𝒊+(
− ) ∗ 𝒋 + ( − ) ∗ ⃗𝒌 = ( − ) = (𝛁
𝝏𝒚 𝝏𝒛
𝝏𝒛 𝝏𝒙
𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝟐 𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝟐
(Herleitung aus dem Satz von Sarrus)
14
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝝏
𝝏𝒙
𝒖
𝝏
× [𝒗]
𝝏𝒚
𝒘
𝝏
[ 𝝏𝒛 ]
Beispiel
⃗ = (𝒖, 𝒗, 𝟎) ebene Rotation
𝒗
𝝏𝒗 𝝏𝒖
⃗
⃗ ×𝒗
⃗ = ( − )𝒌
𝛁
𝝏𝒙 𝝏𝒚
Beweis
⃗𝛁 × 𝒗
⃗ = 𝟐𝝎𝟎 ,mit
⃗𝛁 = 𝝎(−𝒚𝒊 + 𝒙𝒋)
⃗ × 𝒗 = (… … … … … … . ) = 𝟐|𝝎𝟎 |
𝛁
Wenn rot(v) = 0, dann folgt  nicht rotierend
Quellströmung
⃗ = 𝒗(𝒓
⃗ ) = 𝒗𝒐 |𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 |
𝒗
⃗𝛁 × 𝒗
⃗ = 𝟎  keine Rotation
Klassischer starrer Wirbel
⃗𝛁 × 𝒗
⃗ = 𝟐𝝎
Scherströmung
𝒗(−𝒚𝒊, 𝟎, 𝟎) = −𝒚𝒊
⃗ ×𝒗
⃗ ≠𝟎
𝛁
⃗𝛁 × ⃗𝒗| = (𝝏𝒗 − 𝝏𝒖) ⃗𝒌 = -(-1)*k = k
𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒚
Die Quellstärke ist ein Maß für die Quellstärke in einem Fluid. Es gilt:
⃗ ∙𝒗
⃗
𝐝𝐢𝐯(𝐯⃗) = 𝛁
3.
VEKTORANALYSIS – OPERATOREN UND UMRECHNUNGSTABELLEN
⃗𝛁𝜱: Vektor, aber auch ⃗𝛁𝒗
⃗ , aber v ist kein Skalar!
⃗ ×𝒗
⃗ : Vektor
𝛁
⃗ ∙𝒗
⃗ : Skalar
𝛁
Zusätzlich verwenden wir die wichtigsten linearen Operatoren:
⃗ (𝒂𝜱) = 𝒂 ∙ 𝛁𝚽
𝛁
⃗ × (𝒂 ∙ 𝒗
⃗ × 𝐯⃗ , mit a = konst.
⃗ )= 𝒂𝛁
𝛁
⃗ ∙ (𝒂 ∙ 𝒗
⃗ ∙ 𝐯⃗)
⃗ ) = 𝒂 ∙ (𝛁
𝛁
Es gelten außerdem folgende Ansätze
15
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Grundsätzlich gilt, ein Gradientenfeld hat keine Rotation
⃗ ×𝛁
⃗ 𝜱) = 𝟎
(𝛁
Sowie, ein rotierendes Feld ist Quellfrei
⃗ ∙ (𝛁
⃗ ×𝒗
⃗)=𝟎
𝛁
Laplace – Operator
𝝏𝜱
𝝏𝒙
𝝏
𝝏
𝝏
𝝏𝜱
𝝏𝟐 𝜱 𝝏𝟐 𝜱 𝝏𝟐 𝜱
⃗𝛁 ∙ ⃗𝛁𝜱 = ( +
+ )∙
=
+
+
𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒚𝟐
𝝏𝒛𝟐
𝝏𝜱
[ 𝝏𝒛 ]
Es gilt also:
⃗𝛁 ∙ ⃗𝛁𝜱 = 𝛁 𝟐 𝜱 = ∆𝜱 , heißt Laplace-Operator
Vektorebene
Spatprodukt:
⃗ × (𝐁
⃗ × ⃗𝑪) = 𝐁(𝐀𝐂) − 𝐂(𝐀𝐁) = ⃗𝑩
⃗ (𝑨
⃗⃗ ∙ ⃗𝑪) − (𝑨
⃗⃗ ∙ ⃗𝑩
⃗ ) ∙ ⃗𝑪
𝐀
Es folgt also
⃗𝛁²𝐯⃗ = ⃗𝛁(𝛁
⃗ ∙ 𝐯⃗) − ⃗𝛁 × (𝛁
⃗ ∙ 𝐯⃗)
Bei einer Darstellung der Komponenten ergibt sich
16
Skript: „Strömung und Transport“
𝝏𝟐 𝒖
𝛁𝟐𝒖
⌊ 𝛁𝟐𝒗 ⌋ =
𝛁𝟐𝒘
𝝏𝒙𝟐
𝝏𝟐 𝒗
𝝏𝒙𝟐
𝝏𝟐 𝒘
[
𝝏𝒙𝟐
+
+
+
𝝏𝟐 𝒖
𝝏𝒚𝟐
𝝏𝟐 𝒗
𝝏𝒚𝟐
𝝏𝟐 𝒘
𝝏𝒚𝟐
+
+
+
Mai 16
𝝏𝟐 𝒖
𝝏𝒛𝟐
𝝏𝟐 𝒗
𝝏𝒛𝟐
𝝏𝟐 𝒘
𝝏𝒛𝟐 ]
Für uns von besonderer Bedeutung sind
1. 𝛁𝚽
⃗
2. ⃗𝛁 ∙ 𝒗
4. ERHALTUNGSSÄTZE
1. Massenerhaltung
2. Impulserhaltung
3. Energieerhaltung
Es gibt zwei Methoden der Massenerhaltungsbetrachtung
a. Differentielle Betrachtung
b. Integrale Betrachtung über Reynolds-Transport-Theorem
4.1
MASSENERHALTUNG – DIFFERENTIELLE BETRACHTUNG
Abbildung 12: Differentielles Volumenelement
Betrachtung kann stationär bzw. instationär erfolgen
Allgemein gilt:
𝛛𝐦
𝐝𝐭
= 𝐦̇𝐢𝐧 − 𝒎̇𝒐𝒖𝒕 (Masse)
Mit (a) stationär
𝛛𝐦
𝐝𝐭
= 𝟎 = 𝐦̇𝐢𝐧 − 𝒎̇𝒐𝒖𝒕
𝐦̇𝐢𝐧 − 𝒎̇𝒐𝒖𝒕 = |𝝆𝒖𝒅𝒙𝒅𝒚|𝒊𝒏 − |(𝝆𝒖)𝒅𝒙𝒅𝒚|𝒐𝒖𝒕
|(𝝆𝒖)𝒙+𝜟𝒙 𝒅𝒚𝒅𝒛|𝒐𝒖𝒕 = [(𝝆𝒖)𝒙=𝟎 +
𝝏(𝝆𝒖)
𝝏𝒙
] 𝒅𝒚𝒅𝒛 folgt aus einer Taylorreihenentwicklung mit einem
Abbruch nach dem ersten Glied!
17
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
_________________________________________________________________________________
4.1.1 EXKURS: TAYLORREIHE
Allgemeine Formulierung der Taylorreihe lautet:
𝒇(𝒙𝟎 + 𝒅𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 ) +
𝝏𝒇
|
𝝏𝒙 𝒙𝟎
𝒅𝒙 +
𝟏 𝝏𝟐 𝒇
𝟐 𝝏𝒙𝟐
𝒅𝒙𝟐 + ⋯(Abbruch der Taylorreihe nach dem ersten Glied)
_________________________________________________________________________________
𝒎𝒙 𝒊𝒏 − 𝒎𝒙 𝒐𝒖𝒕 = (𝝆𝒖)|𝟎 𝒅𝒚𝒅𝒛 − [(𝝆𝒖)𝒙=𝟎 +
=−
𝝏(𝝆𝒖)
𝝏𝒙
𝝏(𝝆𝒖)
𝝏𝒙
] 𝒅𝒚𝒅𝒛
𝝏𝒙𝝏𝒚𝝏𝒛 daraus folgt in einem dreidimensionalen Raum
𝝏(𝝆𝒗)
𝒎𝒚 𝒊𝒏 − 𝒎𝒚 𝒐𝒖𝒕 = −
𝒎𝒛 𝒊𝒏 − 𝒎𝒛 𝒐𝒖𝒕 = −
𝝏𝒚
𝝏(𝝆𝒘)
𝝏𝒛
𝝏𝒙𝝏𝒚𝝏𝒛
𝝏𝒙𝝏𝒚𝝏𝒛
Die Bilanzierung aller Zu- und Abflüsse ergibt
∑𝟑𝒊=𝟏 𝒎𝒊𝒏 − 𝒎𝒐𝒖𝒕 = − (
𝝏(𝝆𝒖)
𝝏𝒙
𝝏(𝝆𝒗)
+
𝝏𝒚
+
𝝏(𝝆𝒘)
𝝏𝒛
⃗)=𝟎
) 𝒅𝑽 = 𝟎 = ⃗𝛁 ∙ (𝝆𝒗
Auf Grundlage der Inkompressibilität für Fluide gilt 𝝆 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕, sodass gilt
−(
𝝏(𝝆𝒖)
𝝏𝒙
+
𝝏(𝝆𝒗)
+
𝝏𝒚
𝝏(𝝆𝒘)
𝝏𝒛
⃗ ∙ (𝒗
⃗)
)=𝟎=𝛁
stationäre Bilanzgleichung
⃗𝛁 ∙ (𝝆𝒗
⃗ ∙𝒗
⃗ ) = 𝟎 = 𝝆𝛁
⃗ +𝒗
⃗ ∙ ⃗𝛁𝝆
bzw. in anderer Schreibweise
⃗𝛁 ∙ (𝝆𝒗
⃗ ) = 𝟎 = 𝒅𝒊𝒗(𝒗
⃗ ∙ 𝝆) = 𝝆 ∙ 𝒅𝒊𝒗(𝒗
⃗ )+𝒗
⃗ ∙ 𝒈𝒓𝒂𝒅(𝝆) (Product of a Scalar and a Vector)
𝝏𝝆
⃗ (𝝆) = 𝟎 =
mit 𝛁
𝒅𝒙
𝝏𝝆
𝒅𝒚
𝝏𝝆
[𝒅𝒛 ]
Für die Kompressibilität gilt
𝐤=−
𝟏
𝝆𝟎
∗
𝝏𝝆
,
𝝏𝒑
⃗ (𝝆) ist sehr klein somit
mit 𝝏𝝆 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕 für Wasser, für normales Fluid gilt 𝛁
⃗𝒗
⃗ ∙𝒗
⃗ = 𝛁
⃗ = 𝒅𝒊𝒗(𝒗
⃗)=𝟎
𝝆∙𝛁
Erweiterung für instationäre Fälle
𝒅𝒎
𝒅𝒕
= ∑𝟑𝒊=𝟏 𝒎̇𝒊𝒏 − 𝒎̇𝒐𝒖𝒕 = − (
𝝏𝝆𝒅𝑽
𝝏𝒕
𝝏𝝆
𝝏𝒕
𝝏(𝝆𝒖)
𝝏𝒙
+
𝝏(𝝆𝒗)
𝝏𝒚
+
𝝏(𝝆𝒘)
𝝏𝒛
) = −𝛁 ∙ (𝝆𝒗)𝒅𝑽
= −𝛁 ∙ (𝝆𝒗)𝒅𝑽 daraus folgt:
⃗)=
+ ⃗𝛁 ∙ (𝝆𝒗
dabei ist
𝝏𝝆
𝝏𝝆
+
𝝏𝒕
𝝏𝒕
⃗ ∙ ⃗𝒗 = 𝒅𝝆 + 𝝆𝛁
⃗ ∙ ⃗𝒗 = 𝟎
+ ⃗𝒗 ∙ ⃗𝛁𝝆 + 𝝆𝛁
⃗ ∙ ⃗𝛁𝝆 als
𝒗
𝒅𝒕
𝒅𝝆
𝒅𝒕
über den material derivative zusammengefasst.
𝒅𝝆
𝒅𝒕
ist also die
substantielle Ableitung der Dichte nach der Zeit, die sich aus dem instationären Teil
𝝏𝝆
𝝏𝒕
und
18
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
⃗ 𝝆 bildet. Für inkompressible Fluide verschindet die substantielle
⃗ ∙𝛁
den konvektiven Anteil 𝒗
Ableitung mit
𝒅𝝆
𝒅𝒕
= 𝟎. Daraus folgt, dass inkompressible Strömungen quellfrei sind.
⃗ ∙𝒗
⃗ =𝟎
𝛁
4.2
REYNOLDS – TRANSPORTTHEOREM
Abbildung
13:
Kontrollvolumen
zur
Beschreibung
[http://www.youtube.com/watch?v=3HMq1O0xI_4]
des
Reynold´s
Transport
Theorem
Das System besteht aus einem bestimmten Betrag eines Fluids. Zu Beginn, in der linken
Abbildung, nehmen Kontrollvolumen(cv) und System den gleichen Raum ein. Das Volumen
setzt sich nun in der Zeit 𝒕 + 𝜹𝒕 in Bewegung. Das Reynolds Transporttheorem dient der
Beschreibung dieser Systeme.
Bsys ist eine extensive Größe des Systems mit Bezug zurzeit. B ist eine intensive Größe.
Das Transporttheorem besagt nun, dass die zeitliche Veränderung einer extensiven Größe
gleich der Rate .
Das Transporttheorem setzt sich folglich aus zwei Bestandteilen zusammen:
𝛛
∫ 𝝆𝒃𝒅 = Ä𝒏𝒅𝒆𝒓𝒖𝒏𝒈𝒔𝒓𝒂𝒕𝒆 𝒅𝒖𝒓𝒄𝒉 𝒅𝒂𝒔 𝑲𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒍𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏
𝛛𝐭
𝒄𝒗
Der Fluss Zu- und Ausfluss
Es gilt: Anwendung für Masse mit ρ (Dichte)
∭𝑽 𝒅𝒎 = ∭𝑽 𝝆𝒅𝑽
𝒅𝒎
𝒅𝒕
= 𝒎̇𝒊𝒏 − 𝒎̇𝒐𝒖𝒕 mit der Definition: (Zufluss = Positiv, Abfluss = Negativ)
𝝏 ∭ 𝝆𝒅𝑽
𝝏𝒕
𝝏 ∭ 𝝆𝒅𝑽
𝝏𝒕
⃗⃗⃗ 𝒅𝑨𝒊𝒏 − ∬ 𝝆𝒗
⃗ 𝒅𝑨𝒐𝒖𝒕  daraus folgt
= ∬ 𝝆𝒗
⃗𝒏
⃗ 𝒏
= ∬ 𝝆𝒗
⃗ 𝒅𝑨𝒊𝒏 − ∬ 𝝆𝒗
⃗ 𝒅𝑨𝒐𝒖𝒕
Daraus folgt:
𝝏 ∭ 𝝆𝒅𝑽
𝝏𝒕
= − ∯Ώ=𝑨
𝑯ü𝒍𝒍𝒆
𝝆 𝒗 𝒏 𝒅𝑨
Totale zeitliche Änderung einer skalaren Funktion
𝝏 ∭ 𝝆𝒅𝑽
𝝏𝒕
= 𝟎 = ∫Ώ
𝝏𝝆
𝝏𝒕
⃗ 𝒏
𝒅𝑽 + ∫𝝏Ώ 𝝆 𝒗
⃗ 𝒅𝑨 gilt allgemein für skalare Funktionen
19
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Darstellung über Extensive Größen:
𝝏 ∭ 𝝆𝒅𝑽
𝝏𝒕
=
𝒅𝑩𝒔𝒚𝒔
𝒅𝒕
=∫ 𝜷∙
𝝏𝝆
𝝏𝒕
𝒅𝑽 + ∫ 𝝆 ∙ 𝜷 ∙ 𝒗 ∙ 𝒏 ∙ 𝒅𝑨 ,
𝒅𝑩
mit 𝜷 = 𝒅𝒎 = 𝟏 𝒇ü𝒓 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒆 m, für Impuls gilt
𝒅𝑩 = 𝒑 = 𝑰𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔 = 𝒎 𝒗 folgt 
𝒅𝑩
𝒅𝒎
= 𝒗 , für thermische Energie gilt
∆𝑯 = 𝒎 𝒄𝒑 ∆𝑻  𝜷 = 𝒄𝒑 ∆𝑻
4.3
WIEDERHOLUNG - ERHALTUNGSSÄTZE
Erhaltungssätze:
1) Masse m
2) Impuls 𝐼 = 𝑚 ∗ 𝑣
3) Energie 𝐸 = 𝐻𝑇 : (𝑆𝑘𝑎𝑙𝑎𝑟) 𝑚𝑐𝑝 ∗ ∆𝑡
Daraus folgt das Reynolds Transportheorem allgemein für eine tensorielle Größe
Der Reynolds'sche Transportsatz (nach Osborne Reynolds) stellt einen
Zusammenhang zwischen der Euler'schen und der Lagrange'schen
Betrachtungsweise eines zeitabhängigen Kontrollvolumens her. Er wird verwendet,
um grundlegende Erhaltungssätze der Kontinuumsmechanik herzuleiten.
𝑚
(𝐼) ;
𝐸
Bsys: extensive Größe:
1
𝑑𝐵
intensive Größe→ 𝑑𝑚 : ( 𝑣 )
𝑐𝑝∆𝑇
𝑑𝐵𝑆𝑦𝑠
𝑑
𝜕
𝜕
=
∫ ∫ 𝛽 𝜌𝑑𝑉 = ∫ (𝛽𝜌)𝑑𝑉 + ∫ (𝛽𝜌) ∗ 𝑣 ∗ 𝑑𝐴
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Ω(𝑡)
Wieder für Bsys=m=>β=1
𝑑𝐵𝑠𝑦𝑠
𝑑𝑡
Ω0
= 0 ∫Ω
0
𝜕
⃗⃗
⃗ ∗ 𝑑𝐴
𝜚𝑑𝑉 + ∫𝜕Ω 𝜚 ∗ 𝑣
𝜕𝑡
0
𝜕Ω0
=0
Theorem als Verallgemeinerung der Leibniz Regel der Integration
Verallgemeinerung für variable Grenzen
Der Satz von Gauß stellt einen
Zusammenhang zwischen der Divergenz
eines Vektorfeldes und dem durch das
Feld vorgegebenen Fluss durch eine
geschlossene Oberfläche her. Der nach
Gauß benannte Integralsatz folgt als
Spezialfall aus dem Satz von Stokes, der
auch den Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung verallgemeinert.
20
Skript: „Strömung und Transport“
4.4
Mai 16
GAUß´SCHER SATZ
⃗ ∙ 𝑣 𝑑𝑉 = ∯ 𝑣 ∗ 𝑛⃗ 𝑑𝐴
∫Ω ∇
für dV→0
(∇ ∙ 𝑣 ) ∗ 𝑉𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛 = ∮ 𝑣 ∗ 𝑛⃗ 𝑑𝐴 → ⃗∇ ∙ 𝑣 =
⃗ ∗𝑛
⃗ 𝑑𝐴
∯𝑣
𝑉
Gleichung = Quellstärke ; genaue mathematische Herleitung zu komplex und aufwendig
Abbildung 14: Massenbilanz (Quelle: http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~mielke/20140715Hydrodynamik.pdf)
𝑑𝑚 𝑑𝜌
𝑑𝑚
=
∗ 𝑑𝑉 = 𝑚̇𝑖𝑛 − 𝑚̇𝑜𝑢𝑡 𝑓ü𝑟 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛ä𝑟
=0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑣 = 𝑚̇𝑖𝑛 = 𝑚̇𝑜𝑢𝑡 = (∇ ∙ 𝑣 )𝑑𝑉 ( Differenz zwischen Ein- und Ausfluss)
𝑣𝑖𝑛 ∗ 𝑛⃗𝑖𝑛 ∗ 𝑑𝐴 = 𝑣𝑜𝑢𝑡 ∗ 𝑛⃗𝑜𝑢𝑡 ∗ 𝑑𝐴 = −(𝑣𝑖𝑛 ∗ 𝑛⃗𝑖𝑛 + 𝑣𝑜𝑢𝑡 ∗ 𝑛⃗𝑜𝑢𝑡 )𝑑𝐴
⃗ ∙ 𝑣) 𝑑𝑉 = ∯ 𝑣 ∗ 𝑛⃗ 𝑑𝐴 = 0
∫ (∇
𝑉
mit Reynold’s Theorem und Gauß´scher Satz
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝜌
⃗ ∙ (𝜌𝑣) 𝑑𝑉 = ∫ ( + ∇
⃗ ∙ (𝜌𝑣 )) 𝑑𝑉 = 0 →
∫ 𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∯ 𝜌𝑣 ∗ 𝑛⃗ 𝑑𝐴 = ∫ 𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∫(∇
𝑉
𝜕𝑡
Gauss´scher Satz
0
𝜕𝜌
⃗ ∙ (𝜌 ∙ ⃗⃗⃗⃗
=> 𝜕𝑡 + ∇
𝑣) = 0
21
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
⃗ ∙ 𝑣 ) = 0=> für inkompressible Fluide
𝜌(∇
𝜒 = −𝜌
𝜕𝜌
0
𝜕𝑝
1
𝜕𝑉
<=> − 𝑉 (𝜕𝑝)
0
2.Newtonische Axiome: Die Änderung
der Bewegung ist der Einwirkung der
bewegenden Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen
geraden Linie, nach welcher jene Kraft
wirkt.
⃗ ∙ 𝑣) = 0
(∇
= 0 für inkompressible Fluide =>
5.
N AVIER STOKES GLEICHUNG ZUR BESCHREIBUNG EINER STRÖMUNG
5.1
EINFÜHRUNG
Bedingung: Kraft auf Strömung 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 = 𝑚𝑣̇ = 𝑚
⃗
𝑑𝑣
𝑑
𝑑
=> 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 (𝑚 ∗ 𝑣) = 𝑑𝑡 𝐼 =>
⃗
𝑑𝑣
⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑥 2
= 𝑚𝑥̈ = 𝑚 𝑑𝑡 2
𝐾𝑟𝑎𝑓𝑡
⃗𝐹
= 𝑚 => 𝜌 𝑑𝑡 = 𝑉 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓𝑡𝑜𝑡 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝐹
𝑑𝑣
𝑑𝑣
=>𝜌 𝑑𝑡 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑓𝑇𝑜𝑡 => 𝜌 𝑑𝑡 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖
Unterscheide
1) fv:
2) :
Volumenkraft
interne Spannung(Stress)
⃗
𝑑𝑣
=>𝜌 𝑑𝑡 = 𝑓(= 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 − 𝐾𝑟ä𝑓𝑡𝑒) + 𝜎(= 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔)
𝑑𝑣
𝜌 𝑑𝑡 = ⃗∇ ∙ 𝜎 + 𝑓
Netto-Spannung (Kraft)=effektive
Beschleunigung beiträgt
𝑑𝑣
⃗ 𝑣) = ∇
⃗ ∙𝜎+𝑓
⃗ ∙∇
=>𝜌 ( 𝑑𝑡 + 𝑣
Formel 17: Cauchy-Gleichung
5.2
Restkraft/-spannung,
die
zur
Die Cauchy-Gleichung, auch Cauchy-Modell genannt, ist eine
mathematische Beschreibung der Dispersion elektromagnetischer
Wellen in Festkörpern über einen großen Spektralbereich. Sie
kommt meist im Bereich des sichtbaren Lichts zur Anwendung
KRÄFTE, SPANNUNGEN UND VERZERRUNGEN
In Tensor-Schreibweise
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑡
𝜌(
f = σ = N/m2
+ 𝑢𝑗 ∗ 𝑢𝑖,𝑗 ) = 𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑓𝑖 (𝑖 = 1,2,3)
∇∙σ∶
Beispiel für f:
∂
∂N/m2
(𝜎):
∂x
∂x
Schwerkraft : 𝑔
Auftriebskraft: 𝜌𝑔 ∝ ∆𝑇 => 𝜌 = 𝜌0 (1+∝ ∆𝑇)
Druckkraft -> erscheint nicht als Volumenkraft
22
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
⃗
𝐷𝑣
1.Cauchy Gleichung 𝜌 𝑑𝑡 = ∇ ∙ σ + f
⃗ ∙ 𝑣) ist ein Skalar
(∇
⃗ ∙ 𝜎 ist ein Vektor
2.Ziel: Beschreibung des Spannungstensors σ: bzw. ∇
Nettospannung
1: gerade Parameter
-1: ungerade
0‘: wenn 2 Indizes gleich sind
εijk:
Abbildung
15:
Spannungen
an
einem
Volumenelement
kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_7/backbone/r7_2_1.html)
(Quelle:
http://www.tf.uni-
𝑐𝑖 = 𝑎 𝑥 𝑏⃗ = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑎 𝑗 𝑏 𝑘
(𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )𝑒1 + (… …
𝜎11 𝜎12 𝜎13
𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥𝑧
𝜎
( 𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑦𝑧 )
𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧
Fast vollständige Analoge von elastischen Spannung und Deformation in Solid und im Fluid
𝑢 → 𝑣 ≙ 𝑢̇
v=u (Strömungslehre)
Absolute Deformation durch Deformationsrate ersetzen
εik→𝜀̇𝑖𝑘
𝜕𝑢
𝑑𝑥
=
𝜕𝑢̇
=……
𝜕𝑥
Eine Spannung ausgedrückt durch einen Spannungstensor verursacht Deformationen bzw.
Verschiebungen
Abbildung 16. Spannung in einem Stab (Quelle: http://www.maschinenbauwissen.de/bilder/skripte/mechanik/schubspannung-15.PNG)
𝜀𝑥𝑥 =
∆𝑙
𝑙0
heißt Verzerrung
𝜕𝑢
=>𝜀𝑥𝑥 ∶ lim : 𝜕𝑥
∆𝑥→0
5.3
ALLGEMEINE VERSCHIEBUNG UND LAGRANGES BESCHREIBUNG
Allgemeine Verschiebung 𝑢
⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
23
Skript: „Strömung und Transport“
𝑢(𝑋 + 𝑑𝑋) = 𝑢(𝑥) +
Mai 16
𝜕𝑢
𝑑𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥 = 𝑑𝑋 + 𝑑𝑢 = 𝑑𝑋 + ∇𝑢
⃗ ∗ 𝑑𝑋
𝑑𝑥 = (1 + ∇𝑢
⃗ )𝑑𝑋
𝑑𝑥 = 𝐹 ∗ 𝑑𝑋 => 𝐹 ≙
𝑑𝑥
𝑑𝑋
Deformationsgradienten
Vergleiche:
𝑙0 +∆𝑥
𝑙0
=1+
∆𝑥
𝑙0
=1+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
1D-Fall) sowie allgemein gilt (𝑰 + ∇𝑢
⃗)=𝐹
(für
=F
𝜕𝑢/𝜕𝑥
=> ∇𝑢
⃗ = (𝜕𝑢/𝜕𝑦)
𝜕𝑢/𝜕𝑧
Abbildung 17: Deformation eines Körpers (Quelle: Wikipedia)
Wenn ∇𝑢 um eine Komponente ∇𝑢| =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
Berechnung der Magnitude (quadratisch)
Der Abstand zwischen den Punkten P und Q wird über die quadratische Magnitude
bestimmt, es gilt
= ∑3𝑖=1 𝑑𝑋𝑖
𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑋 2 = 𝑑𝑋 ∗ 𝐶 ∗ 𝑑𝑋 → √𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑋 2 = √𝑑𝑋 ∗ 𝐶 ∗ 𝑑𝑋
Die größe FT *F bezeichnet man als Cauchy-Green-Deformationstensor C somit gilt:
Per Defintion ist C ein Tensor 2. Stufe. Der Transponierete Tensor B wird als links CauchyGreen- Deformationstensor oder Fingertensor bezeichnet:
Daraus folgt die Green-St. Venant (Langrangian)
Deformationstensor mit I für dein Einheitstensor.
oder
auch
genannt
Green
(Quelle:https://www.ifm.tuberlin.de/fileadmin/fg49/AbschlussarbeiteundProjekte/messungen/Diplomarbeit_ChengChieh
Wu_Inverse_Analyse_in_nichtlinearer_Rheologie.pdf)
Diese Lagrangesdeformation gilt für große Deformation. Für kleine Deformation (infinitesimal
Strain theory) folgt eine Vernachlässigung des quadratischen Terms!
1
𝐸 = 2 ∗ (∇𝑢𝑇 + ∇𝑢)
Divergenz von =>Skalar
24
Skript: „Strömung und Transport“
In Index
Mai 16
1
1
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝑒𝑖𝑗 = 2 (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖 ): 2 ∗ (𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑥𝑗)
𝑗
𝑖
Deformationstensor der elastischen Theorie
𝜕𝑢1
𝜕𝑥1
1 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2
1 𝜕𝑢1 𝜕𝑢3
(
+
)
(
+
)
2 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1
2 𝜕𝑥3 𝜕𝑥1
𝜕𝑢2
𝜀𝑖𝑗 = ⋮
⋮
𝜕𝑥2
𝜕𝑢3
⋰
⋯
[
𝜕𝑥3
]
𝜖𝑖𝑗 = 𝑆𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝑟 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟; 𝐸𝑖𝑗 : 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 ∶
𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑠𝑐ℎ: 𝐻𝑎𝑢𝑝𝑡𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝜀𝑖𝑗 𝑏𝑒𝑧𝑒𝑖𝑐ℎ𝑛𝑒𝑛 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎ö𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝜀𝑖𝑗 (𝑖 ≠
𝑗) 𝑆𝑐ℎ𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔. 𝜀𝑘𝑙 = 𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 =
∆𝑣
𝑣
Ursache der Deformation sind die Spannungen
σ→ε=0,5 * (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖 ) Hook’sches gesetz
Hook (allgemein)
𝜎 → 𝜀 = 𝐶: 𝜀 => 𝜀 = 𝛿: 𝜎
Allgemeines Hook´sche Gesetz
𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 ∗ 𝜀𝑘𝑙
Reduktion wegen
1. 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖
2. 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑗𝑖
21 (allgemeine elastischen Körper) anisotrop
2 Komponenten (isotropen)
Abbildung 18: Scherspannung an einem Körper
Lamé- Konstanten : λ, μ (Schermodul)
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘 ∗ 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗
Normalspannung Scherspannung
Formel 18: Hook´sches Gesetz
1, 𝑖 = 𝑗
𝜎𝑖𝑗 = {
}
0, 𝑖 ≠ 𝑗
25
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Übertragung
1
1
𝜎21 = 2𝜇 (2 (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗 )) = 2𝜇 ∗ 2 (𝑢1,2 ) = 𝜇 ∗ 𝑢1,2
tan (
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑢
) 𝜎21 ~ tan(𝛼) ~
=𝜇∗
= 𝜇 ∗ 𝑢1,2
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑦
Übung: Auflösen des Hooke’schen Gesetzes nach εij !!
ε=δ:σ
(Spielen mit Indizes)
σii: Normalspannung
𝜎𝑖𝑖 = 𝜆𝜀𝑘𝑘 + 2𝜇𝜀𝑖𝑖 = 2𝜇𝜀𝑖𝑖
𝜎
𝜎
𝑘𝑘
11
𝜎𝑘𝑘 = (3𝜆 + 2𝜇)𝜀𝑘𝑘 →𝜀𝑘𝑘 = 3𝜆+2𝜇
−→ 𝜀11 = 3𝜆+2𝜇
Beweis einiger Formeln
Schalter umlegen u (Verschiebung,) → v (verschiebungsrate,) du/dt
Elastomechanik
𝜀𝑖𝑗 =
1
(𝑢𝑖,𝑗
2
Fluidmechanik
+ 𝑢𝑖,𝑗 )
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗
1
=>
𝜀𝑖𝑗 = 2 (𝑢̇ 𝑖,𝑗 + 𝑢̇ 𝑖,𝑗 )
=>
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗
Schubmodul
5.4
𝑑𝑣
𝜌 𝑑𝑡
Viskosität
CAUCHY – MOMENTUM – GLEICHUNG
𝜎11,1
𝑑𝑣𝑖
𝜎
⃗
= ∇ ∙ 𝜎 + 𝑓𝑣  = 𝜌 𝑑𝑡 = 𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑓𝑖  𝜎𝑖𝑗,𝑗 = [ 21,1
𝜎31,1
𝜎12,2
𝜎21,2
𝜎32,2
𝜎13,3
𝜎21,3 ]
𝜎33,3
Mit
𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) und
𝜕𝑢
⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑣
= ( 𝜕𝑡 + 𝜕𝑡 +
𝜌 𝜕𝑡 = 𝜎𝑗1,𝑗 + 𝑓1  𝜌 𝜕𝑡 =
𝜕𝜎11
𝜕𝑥
+
𝜕𝜎22
𝜕𝑦
𝜕𝑤
)
𝜕𝑡
+
𝜕𝜎33
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜌 𝜕𝑡 = 𝜎𝑗2,𝑗 + 𝑓2
𝜕𝑢
𝜌 𝜕𝑡 = 𝜎𝑗3,𝑗 + 𝑓3
26
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝐹1 = [𝜎11 (∆𝑥) + 𝜎11 (0)]∆𝑦∆𝑧 (Aus Kraft = Spannung x Fläche)
Aus einer Taylorreihenentwicklung folgt
= [𝜎11 (0) +
𝜕𝜎11
∆𝑥
𝜕𝑥
− 𝜎11 (0)] ∆𝑦∆𝑧 =
𝜕𝜎11
∆𝑥∆𝑦∆𝑧
𝜕𝑥
𝐹
 = [∆𝑉1 =
𝜕𝜎11
]
𝜕𝑥1
Für alle drei Raumrichtungen gilt dann:
𝐹
𝜕𝜎
𝜕𝜎
𝜕𝜎
⃗ ∙𝜎
= 1 = 11 + 22 + 33 = ∇
∆𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Der Spannungstensor ist symmetrisch: Hooke´sches Gesetz
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑘𝑘 , für 𝜎𝑖𝑖 folgt
𝜎𝑖𝑖 = 3𝜆𝜀𝑘𝑘 + 2𝜇𝜀𝑘𝑘 = (3𝜆 + 2𝜇)𝜀𝑘𝑘 , mit 𝜀𝑘𝑘 = 𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 =
∆𝑉
𝑉
bzw.
𝜎𝑖𝑖 = 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 = (3𝜆 + 2𝜇)𝜀𝑘𝑘 , sowie 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 = 𝑝 gilt
𝑝 = (3𝜆 + 2𝜇)𝜀𝑘𝑘 ∗
∆𝑉
𝑉
2
Über die Kompressibilität κ kann gezeigt werden das gilt 𝑝 = (𝜆 + 3 𝜇)
∆𝑉
𝑉
= (3𝜆 + 2𝜇)(−𝜅) 𝑝
Nach einer Umformung nach κ ergibt sich
𝜅=
−1
2
3
1
𝜆+ 𝜇
2
−→ 𝐾 = 𝜅 = 𝜆 + 3 𝜇
Nun invertiere Hooke´sches Gesetz:
𝜀𝑖𝑗 =
𝜎𝑖𝑖
2𝜇
−
𝜆
𝜎 𝛿
2𝜇(3𝜆+2𝜇) 𝑘𝑘 𝑖𝑗
𝜀𝑖𝑗 =
𝜎𝑖𝑖
𝐸
− 𝐸 (𝜎𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑗 ) =
𝜈
mit
(1+𝜈)
𝐸
𝜈
𝜎𝑖𝑗 − 𝐸 𝜎𝑘𝑘
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗 folgt 𝜎𝑖𝑖 = 3𝜀𝑘𝑘 + 2𝜇𝜀𝑘𝑘 = (3𝜆 + 2𝜇)𝜀𝑘𝑘 umgeformt ergibt sich
𝜎𝑘𝑘
3𝜆 + 2𝜇
Nach einer äquivalent Umformung des Hook´schen Gesetzes gilt
𝜀𝑘𝑘 =
27
Skript: „Strömung und Transport“
𝜀𝑖𝑗 =
𝜎𝑖𝑗
2𝜇
𝜆
Mai 16
𝜎
𝑘𝑘
− 2𝜇 ∗ 3𝜆+2𝜇
𝛿𝑖𝑗 aus den Umrechnungstabellen (siehe Anhang) kann entnommen
werden das gilt:
𝜇 = 𝑓(𝐸, 𝜈) =
𝐸
2(1+𝜈)
sowie 𝜆 = 𝑓(𝐸, 𝜈) =
𝐸𝜈
(1+𝜈)(1−2𝜈)
VON NAVIER – CAUCHY ZUR NAVIER-STOKES GLEICHUNG
5.5
⃗ ∙ 𝜎 + 𝐹 = 𝜎𝑗𝑖,𝑗 + 𝐹𝑖 = 0 (wegen Symmetrie von σij )
0=∇
--1
𝜀𝑖𝑗 = 2 (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖 )  𝜀𝑖𝑗 =
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑤
[ 𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑧 ]
Wenn 𝑑𝑖𝑣(𝑣 ) = 0 gilt, dann gilt zudem
𝜀𝑘𝑘 = 𝑢𝑘,𝑘 = 𝑑𝑖𝑣(𝑢
⃗ ), so muss auch gelten
𝑑𝑉
𝑉
=0
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝑢𝑘,𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗
Nach einer Ableitung des Terms ergibt sich (Kronecker bewirkt Umbenennung)
𝜎𝑖𝑗,𝑗 = 𝜆𝑢𝑘,𝑘𝑖 + 𝜇(𝑢𝑖,𝑗𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖𝑗 ) Merke: Doppelindex kann beliebig umbenannt werden
𝜎𝑖𝑗,𝑗 = 𝜆𝑢𝑗,𝑗𝑖 𝛿𝑖𝑗 + 𝜇(𝑢𝑖,𝑗𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖𝑗 )
𝜆𝑢𝑗,𝑗𝑖 𝛿𝑖𝑗 + 𝜇 𝑢𝑖,𝑗𝑗 + 𝜇 𝑢𝑗,𝑖𝑗 = (𝜆 + 𝜇)𝑢𝑗,𝑖𝑗 + 𝜇 𝑢𝑖,𝑗𝑗
𝜕2 𝛷
1 𝜕𝑥2
Mit 𝛷𝑗,𝑗𝑖 = 𝜕𝑥
und 𝑢𝑖,𝑗𝑗 = ∇2 𝑢 wegen 𝛷,𝑗𝑗 =
𝜕2 𝛷
𝜕𝑥12
+
𝜕2 𝛷
𝜕𝑥22
+
𝜕2 𝛷
𝜕𝑥32
kann beschrieben werden als
⃗ (∇ ∙ 𝑢
(𝜆 + 𝜇)∇𝑢,𝑖 = (𝜆 + 𝜇) ∙ ∇
⃗)
3 Gleichungen für 𝑢
⃗ = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
Für die Elastostatik gilt also allgemein
⃗ ∙𝜎 =0
𝐹+∇
Übertragen auf ein Fluid gilt mit σ heißt Stress-Strain-Relationship zwischen σ und 𝜀̇, wobei 𝜀̇
als Deformationsrate bezeichnet wird.
𝑑𝑣
𝜌 = ⃗∇ ∙ 𝜎 + 𝑓𝑣
𝑑𝑡
1
𝜀 ≔ 2 (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖 ), mit u = Geschwindigkeit
Die Spannung besteht aus 2 Komponenten
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑘𝑘
1. Normalspannung
(Druck) =
c
𝜎𝑖𝑗
3
28
Skript: „Strömung und Transport“
2. Scherspannung: 𝜎𝑖𝑗
c
Approximativ:
Mai 16
𝜎𝑖𝑗 für (i=j)
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗
Mit
1
⃗ ∙𝑢
𝜏𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗 = 𝜆𝑢𝑘,𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗 , mit 𝜀𝑖𝑗 = 2 (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖 ) −→ 𝑢𝑖,𝑖 = ∇
⃗
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜆𝑢𝑘,𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗 (𝜆𝑢𝑘,𝑘 = 0 = 𝑑𝑖𝑣(𝑣 ) = 0) heißt allgemeiner Stokes – Ansatz.
So gilt für inkompressible Fluide
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗
Das aufgezeigte Verhältnis wird als Stokes Hypothese bezeichnet
2
3
𝜆 = − 𝜇  Warum gilt dieses Verhältnis? ? ?
𝜏𝑖𝑗 = 2𝜇𝜀𝑖𝑗 + 𝜆𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 , es dürfen keine Volumenänderungen auftreten.
𝜏𝑖𝑖 = 2𝜇𝜀𝑖𝑖 + 𝜆𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑖 = 2𝜇𝜀𝑖𝑖 + 𝜆𝜀𝑘𝑘 3 = (2𝜇 + 3𝜆)𝜀𝑘𝑘
2
Wenn 2𝜇 + 3𝜆, dann treten keine Normalspannungen auf 𝜏𝑖𝑖 = 0, gilt also 𝜆 = − 3 𝜇
gilt immer.
2
1
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗 − 3 𝜇 𝑢𝑘.𝑘 𝛿𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 (𝜀𝑖𝑗 − 3 𝜇 𝑢𝑘.𝑘 𝛿𝑖𝑗 )
(Für
kompressible
und
inkompressible Strömung)
Für inkompressible Strömung gilt
𝑢𝑘.𝑘 = 𝑑𝑖𝑣(𝑣 ) = 0
2
3
Durch Einsetzen von 𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗 − 𝜇 𝑢𝑘.𝑘 𝛿𝑖𝑗 ,
vgl. mit Elastomechanik 𝜎𝑖𝑗 = 2𝜇𝜀𝑖𝑗 − 𝜆 𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 (in der Elastostatik fällt der hydrostatische
Druck weg)
Einsetzen in Navier - Cauchy - Momentum Gleichung
𝑑𝑣
⃗ ∙ 𝜎 + 𝑓𝑣
𝜌
=∇
𝑑𝑡
⃗ ∙ 𝜎 + 𝑓𝑣
−𝑝,𝑖 + µ ui,jj + (µ + λ) uj,ij + fi = ∇
Umsetzen der Spannung!
⃗
𝜕𝑣
⃗ (∇
⃗ ∙ 𝑣 ) + ⃗𝑓𝑖
𝜌 ( 𝑑𝑡 + v
⃗ ∙ ∇v
⃗ ) = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑣 + (𝜆 + 𝜇)∇
Formel 19: Navier-Stokes Gleichung für kompressible Fluide
Mit Stoke´scher Hypothese:
1
⃗ 𝑝 + 𝜇∇
⃗ 2𝑢
⃗ (∇
⃗ ∙ 𝑣 ) + 𝑓𝑖 , allgemein für kompressible Strömung
= −∇
⃗ + 𝜇∇
3
⃗ ∙𝑣 =0
Für inkompressible Strömung gilt wegen ∇
29
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
⃗
𝜕𝑣
𝜌 ( 𝑑𝑡 + v
⃗ ∙ ∇v
⃗ ) = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑣 + ⃗𝑓𝑖
Formel 20: Navier-Stokes Gleichung für inkompressible Fluide
Unbekannte sind 𝑣 = (𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑝
Für die x-Komponente:
𝜕𝑢
∂u
∂u
∂u
𝜕𝑝
𝜕2𝑢 𝜕2𝑣 𝜕2𝑤
𝜌( +𝑢
+𝑣
+𝑤 )= −
+ 𝜇 ( 2 + 2 + 2 ) + ⃗𝑓𝑖
𝑑𝑡
∂x
∂y
∂z
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Division durch ρ beschreibt eine andere Form der Navier-Stokes Gleichung
⃗𝑓𝑖
𝜕𝑣
∇𝑝
⃗ ∙ ∇v
⃗) = −
+ 𝜈∇2 𝑣 +
( +v
𝑑𝑡
𝜌
𝜌
Wenn μ=f(x, T)  μ∇2 𝑢 wird zu ∇ ∙ (µ∇u)
Lösung: Nur nummerisch lösbar
Lösung der NS – Gleichung nur für wenige Sonderfälle exakt möglich
1. Möglich mit der Vereinfachung von NS
a. Stationäre Strömung
𝜕
𝑑𝑡
=0
b. Ruhige, laminare, schleichende Strömung (Re bei ca. 10)
⃗ ∙ ∇v
v
⃗ ≈ 0 und stationär 0 = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑣 + 𝑥
Beispiele:
1.
2.
3.
4.
5.
5.6
Poisseuille Flow
Couette-Strömung
Couette-Strömung zw. rotietenden Zylindern
Stoke´sche Flow
Boundary Layer Flow
HERLEITUNG VON HAGEN-POISEUILLE AUS DER NAVIER-STOKES GLEICHUNG
Berechnung der Poisseuille Strömung  Hagen Poisseuille Gesetz, für Zylinder verwende
Zylinderkoordinaten(r,φ,z).
Abbildung 19: Beschreibung von Zylinderkoordinaten (Quelle:
http://4.bp.blogspot.com/_9315afs7OMY/TCJZROjDyyI/AAAAAAAAAEY/WA2HV_Pi0bY/s320/Zylinderkoor
dinaten.png)
1 – D Problem, Strömung zwischen 2 Platten
v = (𝑢, 0,0) mit u = (0, 𝑦, 0) und 𝑥 = (0, 𝑦, 0)
NS – Gleichung: stationär und konvektiver Anteil wird vernachlässigt
30
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 20: Hagen-Poisseuille-Strömung in einem Rohr (Quelle: https://ecourses.ou.edu/cgibin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=08.1&page=theory)
Daraus folgt für dem Fluss zwischen 2 Platten:
0 = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑣
𝜕2 𝑣
𝜕𝑝
∇𝑝 = 𝜇∇2 𝑣 = 𝜕𝑦2 mit ∇𝑝 = 𝑑𝑥 = 𝐶 heißt Druckgradient
𝜕2 𝑣
𝜕𝑦 2
𝐶
= 𝜇 wird im Folgenden Integriert. Nach einem ersten Integrationsschritt folgt
𝜕𝑣 𝐶
= 𝑦 + 𝑐1
𝜕𝑦 𝜇
Nach einem zweiten Integrationsschritt folgt
𝑣=
1 𝑐 2
𝑦
2 𝜇
+ 𝑐1 𝑦 + 𝑐2 mit Randbedingung u auf dem festen Rand u = 0,
mathematisch konkret
𝑢(+ℎ) = 𝑢(−ℎ) = 0, nach Einsetzen der Randbedingungen kann berechnet
werden das gilt 𝑐1 = 0 sowie 𝑐2 =
1 𝜕𝑝
2𝜇 𝜕𝑥
(𝑦 2 − ℎ2 )
Abbildung 21: Strömung in einem kreisförmigen Rohr (Quelle: https://ecourses.ou.edu/cgibin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=08.1&page=theory)
Für Kreisförmige Rohre muss die Berechnung in Zylinderkoordinaten erfolgen
𝑟 = 𝑓(𝑟, 𝛷, 𝑧)
 Sonderfall:
∇2 𝑓:
1 𝜕
𝜕𝑓
(𝜌
𝜌 𝜕𝑝
𝜕𝜌
)
umsetzen auf r wie gehabt gilt
1 𝜕
𝜕𝑢
𝜕𝑝
𝜇 𝑟 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑟 ) = 𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑢
(𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
𝜕𝑝 1
) = 𝜕𝑥 𝜇 𝑟
1. Integrationsschritt
𝜕𝑢
1 𝜕𝑝
𝑟 𝜕𝑟 = 2𝜇 𝜕𝑥 𝑟 2 + 𝐶1
2. Integrationsschritt
1 𝜕𝑝 2
𝑟
𝜕𝑥
𝑢 = 4𝜇
+ 𝐶1 ln(𝑟) + 𝐶2
31
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Daraus folgt
1 𝜕𝑝
𝑢(𝑟) = 4𝜇 𝜕𝑥 (𝑅 2 + 𝑟 2 )
−−−−
5.7
HERLEITUNG DER COUETTE - STRÖMUNG AUS DER NAVIER-STOKES-GLEICHUNG
Abbildung 22: Couette-Strömung (Quelle:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Laminar_shear.svg/500pxLaminar_shear.svg.png)
Couette-Strömung oder Taylor-Couette-Strömung bezeichnet die laminare Strömung einer
inkompressiblen viskosen Flüssigkeit, die sich im Zwischenraum zwischen zwei koaxialen,
relativ zueinander rotierenden Zylindern, bzw. zwischen zwei relativ zueinander bewegten,
unendlich langen und breiten Platten (ebene Couette-Strömung), befindet. Die entstehende
Strömung zwischen den Zylindern ist dabei nicht nur von der Rotationsgeschwindigkeit
abhängig, sondern auch davon, ob der innere oder der äußere Zylinder rotiert. Ist die
Relativgeschwindigkeit der Zylinder gering (s.u.) und der Spalt zwischen den beiden Zylinder
klein gegenüber dem Durchmesser der Zylinder kann die Strömung als ebene CouetteStrömung behandelt werden. Dabei kann eine Platte als feststehend und die andere als
bewegt betrachtet werden. Die Strömung wurde nach Maurice Couette benannt, der Ende
des 19. Jahrhunderts das erste funktionierende Rotationsviskosimeter konstruiert hat
32
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 23: Couette-Strömung in einem Zylinder (http://www.ieap.uni-kiel.de/plasma/agpfister/taylor/photos/couette.jpg)
𝜕𝑝
𝜕2 𝑢
0 = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑢 =- 𝜕𝑥 + 𝜇 𝜕𝑦2 , mit den Randbedingungen u(-h)=0 und u(h)=u0
Gilt:
𝑦
1 𝜕𝑝
𝑢(𝑟) = 𝑢0 ∙ ℎ + 2𝜇 𝜕𝑥 (𝑦 2 − ℎ𝑦)
Poisseuille (Druckströmung)
Scherströmung
NS – GLEICHUNG FÜR INKOMPRESSIBLE FLUIDE
5.8
∇∙𝑣 =0
∂v
+
∂t
ρ(
𝑣 ∙ ∇𝑣) = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑣 + 𝑓 , mit v=v(x,y,z) , u = (u,v,w)
0
[0]=0
𝜌𝑔
Koordinatensysteme
A. Karthesisch: v=v(x,y,z)
B. Zylindersystem: v(r,Φ,z)
a.
Gleichung für
⃗ = (𝒗𝒓 , 𝒗𝜱 , 𝒗𝒛 )
𝒗
⃗ = 𝒗𝒛
Gleichung von 𝒗
Sonderfall: Rotationssymentrisch 𝒗𝒛 = 𝒇(𝒓) ≠ 𝒇(𝜱, 𝒛)
 Hagen-Poiseuille-Gleichung
Andere Beschreibung in Form von Kugelkoordinaten
𝒗 = 𝒗(𝒓, 𝜱, 𝜽)
33
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
i.a.  v=v(r)
𝟏 𝝏
𝒗(𝒓)
𝛁 𝟐 𝒗(𝒓) = 𝒓𝟐 𝝏𝒓 𝒓² ( 𝝏𝒓 )
Es folgt eine Vereinfachung der NS – Gleichung
𝛁 ∙ 𝒗 = 𝟎 , 2-D-Strömung, unter der Annahme gilt:
⃗ berechnet werde kann
Suche eine beliebige Funktion Ѱ (Vektorfeld), sodass daraus 𝒗
⃗ ∙ (𝛁
⃗ × Ѱ) = 𝟎 (Beweis: siehe Wikipedia)
𝒗 = 𝛁 × Ѱ, weiterhin gilt 𝛁
⃗ × Ѱ)
𝐮 = (𝛁
𝒙
⃗ × Ѱ)
𝐯 = (𝛁
𝒛
𝐰=𝟎
Weiterhin gilt:
Ѱ = (𝟎, 𝟎, Ѱ) , 𝐮 =
𝛛Ѱ
,
𝛛𝐲
𝛛Ѱ
⃗ × Ѱ) = (𝝏Ѱ − 𝝏Ѱ)
sowie 𝐯 = − 𝛛𝐱 aus (𝛁
𝝏𝐲
𝝏𝐱
Nach Einsetzen in 𝛁 ∙ 𝒗 = 𝟎  = 𝟎 gilt
𝝏
𝝏𝒙
𝝏Ѱ
𝝏
𝝏Ѱ
( 𝝏𝒚 ) + 𝝏𝒚 (− 𝝏𝒙 ) = 𝟎 (Satz von Schwarz)
Ѱ: Stromfunktion
5.9
STROMFUNKTION
Durchfluss: 𝑞 = v
⃗ ∂n
Sonderfall:
𝑞𝑥 = 𝑢 ∂n
𝑑𝑞𝑥
𝑑𝑛
≈n
𝑑Ѱ
𝑑𝑦
≈u
34
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Für y-Strömung
𝑑Ѱ
𝑑𝑥
≈v
𝑑Ѱ = ∫ 𝑢 𝑑𝑦
𝑑Ѱ = ∫ 𝑣 𝑑𝑥
Es gilt 𝑦1 = Ѱ0 + 𝜕Ѱ
5.10 REIBUNGSFREIE STRÖMUNG
Reibung
∂v
ρ ( ∂t +
= 0 heißt Reibungsfrei
𝑣 ∙ ∇𝑣) = −∇𝑝 + 𝜇∇2 𝑣 + 𝑓
Bedeutung in der Aerodynamik und der Gasdynamik und ∇ ∙ 𝑣 = 0
Mit der Energiegleichung
𝜌
⃗ = (𝑣 + 𝑝)
u
𝐸
∂u
∂t
+ ∇𝑓(𝑢
⃗ ) = 0, mit u ist keine Geschwindigkeit, sondern
∂
stationär  ∂t = 0  Stromfunktion
5.11 BERNOULLI-GLEICHUNG: IM SCHWERFELD
ρ(𝑣 ∙ ∇𝑣) = −∇𝑝 + 𝜌𝑔
Anwendung der Regel der Vektoranalysis
1
v × (∇ × v) = 2 ∇𝑣 2 − 𝑣 ∙ ∇𝑣
1
2
 v ∙ ∇v = ∇𝑣 2 − v × (∇ × v)
Einsetzen:
1
ρ (2 ∇𝑣 2 − v × (∇ × v)) = −∇𝑝 + 𝜌𝑔
1. Sonderfall ∇ × v = 0
𝟏
𝛒 (𝟐 𝛁𝒗𝟐 ) = −𝛁𝒑 + 𝝆𝒈 I Integration über Höhe
𝟐
⃗ (𝝆𝒗 + 𝐩) + 𝝆𝒈 = 𝟎
𝛁
𝟐
𝝆𝒗𝟐
𝟐
+ 𝒑 + 𝝆𝒈𝒉 = 𝟎 , heißt Bernoulli – Gleichung
Allgemeine Voraussetzung, ohne das 𝛁 × 𝐯 = 𝟎 gilt.
Integration entlang einer Stromlinie
(
𝛒𝛁𝒗𝟐
+ 𝛁𝒑 + 𝝆𝒈) 𝒅𝒔 = 𝟎
𝟐
35
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝐯 × (𝛁 × 𝐯)𝒅𝒔 = 𝟎
Allgemein ohne Voraussetzung das 𝛁 × 𝐯 = 𝟎 gilt, Integration entlang einer Stromlinie
Abbildung 24: Geschwindigkeitsfeld einer Strömung
𝛒𝛁𝒗𝟐
𝟐
(
+ 𝛁𝒑 + 𝝆𝒈) 𝒅𝒔 = 𝟎
Integration der Größe
𝛒𝒗𝟐
𝟐
(
+ 𝒑 + 𝝆𝒈𝒛) = 𝒉
Es folgt Reibungsfrei, stationär, wirbelfrei
𝒅𝒊𝒗(𝒗) = 𝟎  𝒖 =
𝝏Ѱ
𝝏Ѱ
− ,
𝝏𝒚
𝝏𝒙
mit Ѱ = Stromfunktion
Aus 2 mach 1 !!!!!
Auflösen ergibt 2 Unbekannte, nun gilt
𝛁 × 𝐯 = 𝟎, wobei gilt 𝛁 × 𝛁𝚽 = 𝟎, gilt allgemein: Beweis
𝒊
𝒋
𝒌
𝝏
|| 𝝏𝒙
𝝏𝜱
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝜱
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒛 ||
𝝏𝜱
𝝏𝒙
= 𝟎 wegen Satz von Schwarz
Ein Rotationsfeld kann immer als ein Gradientenfeld beschrieben werden
5.12 STOKE´SCHER SATZ
∮ ⃗𝑭 𝒅𝒓 = 𝟎
⃗𝑭 = ⃗𝛁𝜱, mit Ф - Potentiale
∮ ⃗𝑭 𝒅𝒓 = ∬ ⃗𝛁 × 𝐅 𝐝𝐀
⃗𝛁 × 𝑭 = 𝟎 = 0 und 𝑭 = ⃗𝛁𝚽  denn es gilt schließlich ⃗𝛁 × ⃗𝛁𝚽 = 𝟎 !!!
∫ 𝒅𝜱 = ∬ 𝛁 × 𝛁𝜱 𝐝𝐀
,in einer Ebene Green´scher Satz
𝝏𝜱 /𝝏𝒙
𝝏𝜱
𝝏𝜱
𝝏²𝜱
𝝏²𝜱
) 𝒅𝑨 = ∬ (𝝏𝒙𝝏𝒚 − 𝝏𝒙𝝏𝒚) 𝒅𝑨
∮ ( 𝝏𝒙 𝒅𝒙 + 𝝏𝒚 𝒅𝒚) = ∬ ⃗𝛁 (
𝝏𝜱 /𝝏𝒙
𝐯⃗ = ⃗𝛁𝜱, Geschwindigkeitpotential
=0 wegen Satz von Schwarz
𝝏²𝜱
𝝏²𝜱
Gilt nämlich 𝝏𝒚𝝏𝒙 = 𝝏𝒙𝝏𝒚
36
Skript: „Strömung und Transport“
𝐯=
𝝏𝜱
𝝏𝒙
𝝏𝜱
𝝏𝒙
𝝏𝜱
[ 𝝏𝒙 ]
Mai 16
, Geschwindigkeitspotential ⃗𝛁 ∙ 𝒗 = ⃗𝛁 ∙ ⃗𝛁𝚽 = ⃗𝛁 𝟐 𝚽 = 𝟎
heißt Laplace-Gleichung für das Geschwindigkeitspotential
𝝏𝚿/𝝏𝐲
𝒗=[
]  wegen 𝛁 ∙ 𝒗 = 𝟎, 𝛁 × Ѱ𝒛 = 𝟎
−𝝏𝚿/𝝏𝐱
Annahme
⃗ ×[
𝛁×𝒗=𝟎𝛁
𝛛𝟐 𝚽
𝛛𝐱²
+
𝛛𝟐 𝚽
𝛛𝐳²
𝝏𝚽/𝝏𝐲
]
−𝝏𝚽/𝝏𝐱
=𝟎
Abbildung 25: Zusammenfassung von Strom- und Bahnlinien
5.13 ZUSAMMENFASSUNG
2. Stromfunktion: 𝛁²Ѱ = 𝟎
3. Potentialfunktion: 𝛁²𝜱 = 𝟎
Es gilt𝛁Ѱ ∙ 𝛁𝜱 = 𝟎, Beweis ist nicht trivial
𝒗=[
𝝏Ѱ/𝝏𝐲
𝝏𝚽/𝝏𝐱
]=[
]  senkrecht aufeinander
−𝝏Ѱ/𝝏𝐱
𝝏𝚽/𝝏𝐲
Große Zahlen von Strömungsproblemen bei denen Reibungseffekte klein sind, sind folgen
der Theorie der Potentialströmung.
Fahrplan eines zur Lösung einfachen Strömungsproblems
Annahmen: 1. Reibungsfrei, stationär, wirbelfrei
a. 𝛁²𝜱 = 𝟎  Ф=Ф(x,y)
b. Konstruktion der Isolinien Ф = konst.
𝝏𝚽/𝝏𝐱
c. Bestimmung von 𝛁𝜱 = 𝒗 = [
]
𝝏𝚽/𝝏𝐲
d. Damit hat man das Geschwindigkeitsfeld
Strömung mit Reibung
𝛛𝐯
𝛒 ( 𝛛𝐭 + 𝒗 ∙ 𝛁𝒗) = −𝛁𝒑 + 𝝁𝛁 𝟐 𝒗 + 𝒇
5.14 BURGER´S GLEICHUNG
Wenn Druckkräfte nicht von Bedeutung sind gilt Burger´s Gleichung: (für 1-D Fall)
37
Skript: „Strömung und Transport“
𝛛𝐮
𝛛𝐮
Mai 16
𝛛²𝐮
𝛒 𝛛𝐭 + 𝒖 𝛛𝐱 = µ 𝛛𝐱²
Formel 21: Burger´s Gleichung
𝛒
𝛛𝐮
𝟏 𝛛𝐮²
+
𝛛𝐭
𝟐 𝛛𝐱
=µ
𝛛²𝐮
𝛛𝐱²
𝟏
𝟐
(folgt aus Kettenregel) 𝛁 ∙ (𝐀𝐀) = (𝐀 ∙ 𝛁𝐀) = µ
𝛛²𝐮
𝛛𝐱²
Wirbelfrei bei Eulergleichung
𝛁 × 𝐯 = 𝑨𝒏𝒏𝒂𝒉𝒎𝒆 𝛁 × (𝛁 × 𝐯) = 𝛁(𝛁 ∙ 𝐯) − 𝛁 ∙ (𝛁𝐯) = 𝛁(𝛁 ∙ 𝐯) − 𝛁²𝐯
𝛛𝐯
𝛒 ( 𝛛𝐭 + 𝒗 ∙ 𝛁𝒗) = −𝛁𝒑 + µ[𝛁(𝛁 ∙ 𝐯) − 𝛁(𝛁 × 𝐯)]  mit div(v) = 0
𝛛𝐯
𝛛𝐭
𝛒(
+ 𝒗 ∙ 𝛁𝒗) = −𝛁𝒑 − µ[𝛁 × (𝛁 × 𝐯)] + 𝒇
b) 𝛁 × 𝐯
𝛛𝐯
𝛒 ( 𝛛𝐭 + 𝒗 ∙ 𝛁𝒗) = −𝛁𝒑
Formel 22: Euler Gleichung
Euler – Gleichung ist nur von theoretischen Wert ! (nicht allgemein)
Strömung für kleine und große Re – Zahlen: Stokes Flow (creep flow / stationär – langsame
Strömung)
Heißt 𝒗 ∙ 𝛁𝒗 = 𝟎 (kleine Zahl mit kleinerer Zahl multipliziert)
𝟎 = −𝛁𝒑 + µ𝛁𝒗  Lösung der Gleichung ergibt z.B. für Strömung um Kugel
Abbildung 26: Strömung um eine Kugel bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten (Quelle:
http://www.golfbaelle.de/golf_wissen_technik/golf_physik_bilder/golba05.jpg)
Strömung für große Re – Zahl (turbulente Strömung)
Fluktuation (chaotisch, bzw. stochastisch), gilt
𝒗 ∙ 𝛁𝒗 = 𝟎 ist nicht zu vernachlässigen.
38
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 27: Fluktuationen um den Mittelwert einer Geschwindigkeit
̅ + 𝒗´ und = 𝒑
̅ + 𝒑´
Beschreibung von 𝒗 = 𝒗
Wenn v´=0, ist die Fluktuation nur um den Mittelwert
Einsetzen in NS – Gleichung für den Mittelwert
𝝏
⃗ , 𝒑 (− , (𝒗´𝟐 )), – heißt Reynolds Spannungstensor
𝒗
𝝏𝒙
𝒊
(siehe: https://www10.informatik.unierlangen.de/Teaching/Courses/SS2008/NuSiF/vorles_RANS.pdf)
Abbildung 28: Reynolds Dekomposition (Quelle:
https://www10.informatik.unierlangen.de/en/Teaching/Courses/SS2009/NuSiF/Turbulenzmodellierung.pdf)
Fluktuationen erzeugen also auch Spannungen.
39
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
5.15 GRENZSCHICHTGLEICHUNG
Abbildung 29: Darstellung der laminaren Grenzschicht (Quelle:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/Laminar.png/440px-Laminar.png)
2-D Fall
𝛁∙𝒗=𝟎
𝛛𝐮
+
𝛛𝐭
𝛒(
𝛛𝐯
𝛛𝐭
𝛒(
𝒖
+𝒖
𝛛𝐮
𝝏𝒗
+ 𝝏𝒚
𝛛𝐱
=𝟎
𝝏𝒖
𝝏𝒖
+𝒗 )
𝝏𝒙
𝝏𝒚
=−
𝛛𝒑
𝝏𝒙
𝝏𝒗
+
𝝏𝒙
=−
𝛛𝒑
+
𝝏𝒙
𝒗
𝝏𝒗
)
𝝏𝒚
𝛛𝟐 𝐮
𝛛𝟐 𝐮
+ 𝟐) +
𝟐
𝛛𝐱
𝛛𝐲
𝒇𝒙
𝛛𝟐 𝐯
𝛛𝐱 𝟐
𝒇𝒚
+ µ(
µ(
+
𝛛𝟐 𝐯
)+
𝛛𝐲 𝟐
Stationär + Reibungseffekt überwiegt
Konvektiver Anteil << Reibungseffekt, Approximation / Grenzschicht mit v =0
𝛛𝐩
𝛛𝐲
= 𝟎, 𝒗 = 𝟎, 𝒖 = 𝒖(𝒚)
𝒖=𝒖
𝝏𝒖
+
𝝏𝒙
𝒗
𝝏𝒗
𝝏𝒚
=−
𝝏𝒑
+
𝝏𝒙
𝝏𝟐 𝒖
𝝏𝟐 𝒖
+
)
𝝏𝒙
𝝏𝒚
µ(
Lösung der Gleichung in der Grenzschicht und dann ankoppeln an die Strömung im
Außenraum
Eigentlich gilt
𝝏𝒖
𝝏𝒙
= 𝟎, aber u ist groß. v eig 0, aber
𝝏𝒖
ist
𝝏𝒚
groß. Deshalb sind keine Terme zu
vernachlässigen
5.16 SPEZIELL LÖSUNGEN FÜR DEN REIBUNGSFREIEN FALL
unter Annahme dass rot(𝑣 ) = 0
Geschwindigkeitspotential:
𝛷 = 𝛷(𝑥, 𝑦)
𝜕𝛷
𝑢
𝜕𝑥
𝑣 = ∇𝛷 = ( ) = (𝜕𝛷)
𝑣
𝜕𝑦
Aus
Stromfunktion:
⃗∇ × 𝑣 = 0 → ⃗∇ × (∇
⃗ 𝛷) = 0
𝛹 ≔> 𝑢
⃗ =
𝜕𝛹
𝜕𝑦
(
)
𝜕𝛹
− 𝜕𝑥
40
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 30: Strom- und Potentiallinien (Quelle:
https://ecourses.ou.edu/ebook/fluids/ch03/sec035/media/d03524.gif)
𝛹 ist entlang der Tangente eine Stromlinie!
⃗ 𝛷∗∇
⃗ 𝛹) = 0 => ∇
⃗ 𝛷⊥∇
⃗ 𝛹
(∇
∇2 𝛷 = 0 (häufiger verwendet)
∇2 𝛹 = 0 (auch möglich)
Lösung 𝛷(𝑥, 𝑦)=>Konstruiere eine Isolinenfläche Φ=Konst.
Konstruiere die Senkrechten 𝛷 ⊥ 𝛹 Ψ=Stromlinien
5.17 DIMENSIONSANALYSE UND ÄHNLICHKEIT
Dimensionslose Kennzahlen:
Modelvorstellung eines fluiddynamischen Modells
Ähnlich:
1. Wenn das Modell geometrische gleiche Form
2. Wenn gewisse Kennzahlen gleich sind
Kennzahlen entwickeln:
schauen, was ist der physikalische Zusammenhang z.B. → Widerstand einer Kugel
F=6*π*v*r*μ (Stoke‘sches Gesetz) → vorherige allgemeine Untersuchung𝐹 = 𝑓(𝑣, 𝜚, 𝜇, 𝑟)
||Tehorem von Buckingham: n-Parameter = 4 ; m = n-r Zahl der unabhängigen
dimensionslosen Parameter
Mit r i.a M,L,T
i.a. = 3
=>m = n – r = 4 – 3 = 1 : 1 Kennzahl
Rang einer Dimensionsmatrix
z.B.
v: L/T = L*T-1
(Geschwindigkeit)
ρ: M/L3 = M * L-3
(Dichte)
2
2
2
-1
-1
μ: Pa * sec : N / m * sec : kg * m * sec / (m * sec ) = kg / (m*sec) = M* L * T
(Viskosität)
Entdimensionalisierung der NS-Gleichung
𝜌
𝐷𝑣
⃗ ∙ (∇v
= −∇𝑝 + ⃗∇(𝜇∇𝑣 ) + 𝜌𝑔 = −∇𝑝 + 𝜇∇
⃗ ) = −∇𝑝 + 𝜇∆𝑣
𝑑𝑡
(für μ=konst) meistens der Fall in der technischen Strömungslehre aber nicht in der
Geodynamik
41
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
2
u‘
𝑑𝑝 𝑑𝑝′ ∗ 𝜌 ∗ 𝑢′
∇𝑝 =
=
𝑑𝑥
𝑑𝑥 ′ ∗ 𝐿′ 2
2
𝜕 𝑣 𝜕 2 (𝑣 ′ ∗ 𝑢′ )
∇2 𝑣 = 2 = 2
𝜕𝑥
𝜕 𝑥 ∗ 𝐿′2
[L‘],[T‘] p‘
𝑣
𝑡
𝐿
𝑝
𝑣 ′ = 𝑢 , 𝑡 ′ = 𝑇′ , 𝐿′ = 𝐿 , 𝑝′ = 𝜌𝑢′
𝑏∗𝑣 ′ ∗𝑢′
𝜌 ∗ 𝑑(𝑡 ′ ∗𝑇) = −∇′ 𝑝′ ∗
𝜌𝑢′
𝐿′
2
+ 𝜇 ∗ ∇2 𝑣 ′ ∗
𝑣′𝑢′
𝐿2
𝐷𝑣 ′
1 ′2
𝑢′ 𝐿′ 𝑢′𝐿′
′
=
−∇𝑝
+
∇
𝑣
𝑚𝑖𝑡
𝑅𝑒
=
𝜇 = 𝜐
𝑑𝑡 ′
𝑅𝑒
𝜌
𝐹𝑟 =
Mit externen gravitativer Kraft: g
𝜕𝑥′
𝜕𝑡
⃗ 𝑣 ′ = −∇𝑝′ +
+ 𝑥′ ∗ ∇
1 2 ′
∇ 𝑣
𝑅𝑒
+
1
𝐹𝑟 2
𝑣
√𝑔∗𝐿
für Strömung mit freier Oberfläche (Gerinne)
Schwerkraft
𝐷𝑣 ′
𝑑𝑡
= ⋯ ..
Extremfälle:
1) Re<<1 => Reibungskraft >> Trägheitskraft
1) Re >> 1 =>Reibungskraft << Trägheitskraft
 𝑅𝑒 =
𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑟𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
Fr>>1: Trägheitskraft >>Schwerkraft
Fr<<1: Trägheitskraft <<Schwerkraft
 𝐹𝑟 =
𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑟𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
5.18 Kennzahlen Wärmetransport und Energiegleichung
Herleitung (Quelle: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~kuzmin/cfdintro/lecture2.pdf)
1)
Isotherme (keine Energiezufuhr)
Re
Fr
Ma: v/c = Schallgeschwindigkeit
𝐾
𝑝
𝑃
𝑐𝑓𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔 = √ 𝜌 und 𝑐𝑔𝑎𝑠 = √𝜌 𝑘 = √𝑘 ∗ 𝜌 = √𝑘 ∗
2) Strömung mit Wärmetransport (Energiezufuhr)
𝑅𝑇
𝑀
Feuer=dQ
=>Energiegleichung: Advektions/Diffusionsgleichung
1.Hauptsatz der Thermodynamik
42
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 + 𝑑𝑊: 𝑑𝐸 => 𝑑𝑈 = 𝑄 − 𝑝𝑑𝑣 =>
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
𝑑𝑊
𝑑𝑡
= 𝑄̇ + 𝑊̇
𝐸̇ = 𝑄̇ + 𝑊̇
𝑣2
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒
+ (𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡. 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 (𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑢𝑒𝑙𝑙):
2
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒
e: thermodynamische Energie
v2/2: Kinetische Energie
𝐸=𝑒+
𝑑𝐸𝑠𝑦𝑠 = 𝑄̇ + 𝑊̇
Reynolds Transport Theorem
𝑑𝐵𝑠𝑦𝑠
𝑑
𝜕
= ∫ 𝜌𝛽𝑑𝑉 = ∫ (𝜌𝛽)𝑑𝑉 + ∯ (𝜌𝛽)𝑣 ∗ 𝑑𝐴
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝑉(𝑡)
Für Masse:
Impuls
B=M
B=I
Energie
B=Esys
𝑑𝐵𝑠𝑦𝑠
𝑑𝑡
= ∫𝑉
𝜕
(𝜌𝑒)𝑑𝑉
𝜕𝑡
𝜕𝑉(𝑡)
+ ∯𝜕𝑉(𝜌𝑒)𝑣 𝑑𝐴
|𝑄̇ + 𝑊̇ | = ⋯
Betrachtung der linken Seite
Wärmeproduktion
𝑄̇ = 𝑊ä𝑟𝑚𝑒𝑧𝑢𝑓𝑢ℎ𝑟 = 𝜌𝑞̇ + −𝜆∇𝑇
Wärmeleitung, Fouriegesetz der Wärmeleitung
𝑊 = 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡̇ = 𝑊𝐵𝑜𝑑𝑦 + 𝑊𝑆𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒
WBody=Innere Arbeit
WSurface=Oberflächenarbeit
𝑑𝐸𝑠𝑦𝑠
𝜌𝐸
̇
=∫
∗ 𝑑𝑉 + ∯ (𝜌𝐸)𝑣 ∗ 𝑑𝐴 = |𝑄̇ + 𝑊̇ | = ∫(𝑞̇ + 𝑤)𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑉
𝜕𝑉(𝑡)
Box: Fourier Gesetz der Wärmeleitung
43
Δ𝑇
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝑄̇ = 𝑊ä𝑟𝑚𝑒𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑟𝑎𝑡𝑒: 𝜌𝑞𝐻 + 𝑊ä𝑟𝑚𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 + 𝜆∇𝑇
𝑑𝐸
𝑑
𝑑𝑆 𝑑𝐹
𝑊̇ = 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡𝑠𝑟𝑎𝑡𝑒 = 𝐿𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔: 𝑃:
= (𝐹 ∗ 𝑠) = 𝑓 ∗ 𝑣 + 𝜎 ∗ 𝑣 = 𝐹 ∗
+
∗𝑆
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝜎 = −𝑝 (𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔) + 𝜏(𝑑𝑒𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔)
1
= 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑣 + 𝜎 ∗ 𝑣 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗 → 𝜀𝑖𝑗 = (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖 )
2
𝜌
𝑃~𝑣 3
𝑃 =𝐹∗𝑣
𝐹𝑅 = 𝑐𝑤 ∗ 2 ∗ 𝐴 ∗ 𝑣 2
Einsetzen von:
⃗ 𝑇 ∗ 𝑛⃗𝑑𝐴 + ∫ 𝜌𝑔 ∗ 𝑣 ∗ 𝑑𝑉 + ∮ 𝑣 ∗ (𝜎 ∙ 𝑛⃗)𝑑𝐴
∗= ∫ 𝜌𝑞𝑑𝑉 + ∮ 𝑘∇
Umwandlung in Volumenintegral
mit Gauss’schen Satz:
⃗ ∙ 𝑣 𝑑𝑉 = ∯ 𝑣 ∙ 𝑛⃗𝑑𝐴
∫∇
𝑉
𝜕𝑉
 Rechte Seite:
⃗ ∙ (𝑘∇
⃗ 𝑇)𝑑𝑉 + ∫ 𝜌𝑔 ∗ 𝑣 𝑑𝑉 + ∫ ∇ ∙ (𝜎 ∙ 𝑣 )𝑑𝑉
∫ 𝜌𝑞𝑑𝑉 + ∫ ∇
⃗ ∙ [(−𝑝𝐼 + 𝜏) ∙ 𝑣 ] => ∇ ∙ (𝜎 ∙ 𝑣 ) = ∇ ∙ (𝑝 ∗ 𝑣) + ∇ ∙ (τ ∗ 𝑣 )
𝜎: −𝑝𝐼 + 𝜏 => ∇
= −∇ ∙ (−p ∙ v) + v ∙ (∇ ∙ 𝜏) + ∇v: τ
Erinnerung:
𝐷𝜌
𝜕𝑡
⃗ 𝑣 = 0 =>
+ 𝜌∇

𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝜌
𝑑𝑡
=0
wenn inkompressibel
⃗ ∙ (𝜌 ∙ 𝑣 ) = 0
+∇
⃗ ∙𝑣 =0
∇
∇ ∗ (−𝑝) ∙ 𝑣 + ∇ ∙ (𝜏 ∙ 𝑣 )
𝑣 ∙ ∇𝜏 + ∇𝑣 : 𝜏 𝑚𝑖𝑡 ∇𝑣 (Vektor Gradient)
𝜕𝜌𝐸
𝜕𝑡
𝑑𝐸
+ ∇ ∙ (𝜌𝐸𝑣 ) = 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒 𝑆𝑒𝑖𝑡𝑒 => 𝜌 𝑑𝑡 nach Rechengesetze
Einsetzen in NS-Gleichung:
44
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝜌
𝜌
=> 𝜌
=>
𝜕(𝜌e)
+
∂t
𝜕
(𝜌e) +
∂t
𝑑𝑣
⃗ ∗ 𝜏 + 𝜌𝑔
= −∇𝑝 + ∇
𝑑𝑡
𝑣2
𝐸=𝑒+
2
𝑑𝐸
d
𝑣2
de
dv
= 𝜌 ∙ (𝑒 + ) = 𝜌 + 𝑣𝜌
𝑑𝑡
dt
2
dt
dt
𝑑𝐸 𝜕(𝜌e)
⃗ 𝜏 + 𝜌𝑔)
=
+ ∇ ∙ ( 𝜌ev) + 𝑣 (−∇𝑝 + ∇
𝑑𝑡
∂t
∇ ∙ ( 𝜌e𝑣 ) = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) ∗ 𝜌q − p(∇ ∙ 𝑣 ) + ∇v: τ
⃗ ∙ (𝜌e𝑣 ) = ⃗⃗⃗⃗
⃗ 𝑇) + 𝜌𝑞 − 𝑝(∇ ∙ 𝑣 ) + ∇𝑣 : 𝜏
∇
∇ ∙ (𝑘∇
Für inkompressible Strömunggilt div(v)=0
1
𝜀 = 2 (∇𝑣 + ∇𝑣 𝑇 )
Formel 23: Vollständige Energiegleichung
1
= ∫ ∇𝑣 : 𝜏 𝑑𝐴 = 𝜀𝑖𝑗 : 2𝜇𝜀𝑖𝑗 𝑑𝐴 = ∫ 𝜀𝑖𝑗 : 𝜀𝑖𝑗 𝑑𝐴
2
𝑑𝑢
1
𝑑𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑣 2
𝑑𝑡
2
∇𝑣 : 𝜀𝑑𝐴 =>Leistung der Scherung/ Deformation die in Fluid aufgebracht wird
→Reibungswärme →Reibungsenergie, die verbraucht wird (wird in der regel vernachlässigt)
𝑤 = ∫ 𝐹𝑑𝑥 = ∫ 𝑚 ∗ 𝑥̈ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑚

𝜕
𝜌e
∂t
⃗ 𝑇) + 𝜌𝑞
+ ⃗∇ ∙ (𝜌e𝑣 ) = ⃗∇ ∙ (𝑘∇
𝜕
𝜌e
∂t
⃗ ∙ 𝑣 ) + 𝑣 ∇ ∙ (𝜌e) = ⃗⃗⃗⃗
⃗ 𝑇) + 𝜌𝑞
+ (𝜌e)(∇
∇ ∙ (𝑘∇

=0
𝜕𝜌e
+
∂t
⃗ (𝜌e) = ∇
⃗ ∙ (𝑘∇
⃗ 𝑇) ∗ 𝜌𝑞 heißt innere Wärmeenergie eines Körpers
𝑣∙∇
Innere Wärmeenergie eines Körpers (für den Fall, dass keine Strömung ist (instationär))
T0→T1
∆𝐸𝐻 = 𝑚 ∗ 𝑐𝑝 ∗ (𝑇1 − 𝑇0 ) = 𝑚 ∗ 𝑐𝑝 ∗ ∆𝑇
=> 𝐸𝐻 = 𝑚 ∗ 𝑐𝑝 ∗ 𝑇 => 𝑒 =
𝐸
= 𝑐𝑝 ∗ 𝑇
𝑚
𝜕(𝜌 ∙ 𝑐𝑝 ∙ 𝑇)
⃗ ∙ (𝑘 ∙ ∇
⃗ 𝑇) + 𝜌𝑞
+ 𝑣 ∙ ∇(𝜌 ∙ 𝑐𝑝 ∙ 𝑇) = ∇
𝜕𝑡
𝜌 = Konstant ; cp = Konstant
=>
Annahme:
𝜌 ∗ 𝑐𝑝 ∗
𝜕𝑇
+ 𝜌 ∗ 𝑐𝑝 ∗ 𝑣 ∗ ∇𝑇 = 𝑘 ∗ ∇2 𝑇 + 𝜌𝑞
𝜕𝑡
Für k=λ=Konstant
45
Skript: „Strömung und Transport“
=> 𝜌 ∗ 𝑐𝑝 ∗
=>
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Mai 16
𝜕𝑇
+ 𝜌 ∗ 𝑐𝑝 ∗ 𝑣 ∗ ∇𝑇 = 𝑙 ∗ ∇2 𝑇 + 𝜌𝑞 ||: (𝜌 ∗ 𝑐𝑝)
𝜕𝑡
𝜕𝑇
𝑘
𝑞
⃗𝑇=
+𝑣∗∇
∗ ∇2 𝑇 +
𝜕𝑡
𝜌 ∗ 𝑐𝑝
𝑐𝑝
⃗ 𝑇 = 𝑎∇2 𝑇 + 𝑞′
+𝑣∗∇
Formel 24: Vereinfachte Energiegleichung
Wärmetransport durch
𝜕𝑇
1)reine Wärmeleitung 𝑣 = 0 , 𝜕𝑡 = 𝑎∇2 + 𝑞
(parabolische DGL)
𝜕𝑇
2)reine Advektion: 𝑣𝑔𝑟𝑜ß : 𝜕𝑡 + 𝑣 ∗ ⃗∇𝑇 = 0 + 𝑞
(hypabolische DGL)
3)allgemeine Advektion + Konvektion
𝜕𝑇
⃗ 𝑇 = 𝑎∇2 𝑇 + 𝑞
+ 𝑣 *∇
𝜕𝑡
5.19 ZUSAMMENFASSUNG: GESETZE INKOMPRESSIBLER STRÖMUNG
1. Masse: ∇ ∙ 𝑣 = 0
∂v
2. Impuls: ρ ( ∂t + 𝑣 ∇𝑣) = −∇𝑝 + µ∇2 𝑣 + 𝑥
3. Energie:
∂T
+
∂t
𝜆
) ∇²𝑇
𝜌𝑐𝑝
𝑣∇𝑇 = (
+ 𝑞𝐻 + 𝑞𝑅
qH heißt Wärmequelle und qR heißt Reibungsterm.
0
( 0 ) = 𝑥 = 𝐴𝑢𝑓𝑡𝑟𝑖𝑒𝑏
𝜌0 𝛼 𝛥𝑇
𝑥 = 𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 + 𝑍𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎𝑙𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡
𝐹
𝑥 = 𝑎𝑐 = 𝑚𝑐 = −2(𝑤
⃗⃗ × 𝑣 ) = 2(𝑤
⃗⃗ × 𝑣 )
4. Zustandsgleichung: Kopplung von Temperatur und Dichte
ρ = 𝜌0 (1 + 𝛼 𝛥𝑇), 𝛥𝑇 = 𝑇1 − 𝑇2 > 0
Für freie Konvektion gibt es eine direkte Kopplung von NS + Energiegleichung über die
konvektive Geschwindigkeit v in der Energiegleichung.
Lösungsweg:
1. T(t=0), vorgegeben)
2. Berechne v in NS – Gleichung mit T(t=0)
3. Update T in Energiegleichung mit neuen v
4. Neues v(t=t1)  x(t=t1) , = 𝜌0 (𝛼 (𝑇1 − 𝑇0 ))
5. Neues v(t=t1)
6. Update in Energiegleichung
……… (wiederhole für alle Zeitschritte t0 bis t….)
b) Erzwungene Konvektion, v ist vorgegeben aus Lösung von NS-Gleichung von x=0, (keine
Kopplung) und dann löse Energiegleichung mit dem erhaltenen v.
Ergänzung:
46
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
a) Wärmetransport
(=Wärmeleitung 𝑞𝐻,𝑑𝑖𝑓𝑓 = −𝜆 ∇𝑇, 𝑞𝐻,𝑎𝑑𝑣𝑒𝑘𝑡𝑖𝑣 = 𝜌 𝑐𝑝 (𝑣 𝑑𝑇)
Konvektion) :
𝑞𝐻,𝑑𝑖𝑓𝑓 + 𝑞𝐻,𝑎𝑑𝑣𝑒𝑘𝑡𝑖𝑣 = 𝑞𝑇 = −𝜆∇𝑇 + 𝜌 𝑐𝑝 𝑣 𝑑𝑇
Es gilt Reynolds – Transport
𝜕𝜌
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑐𝑝 𝑇
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (𝑞𝑇 ) = 0 für Wärme
+ ∇ ∙ (𝜌𝑣) = 0 (Kontinuitätsgleichung)
𝜕𝑇
𝜌 𝑐𝑝 𝜕𝑡 + ∇ ∙ (−𝜆∇𝑇 + 𝜌 𝑐𝑝 (𝑣 𝑑𝑇 )) = 0
daraus folgt
𝜕𝑇
𝜌 𝑐𝑝 𝜕𝑡 + ∇ ∙ (𝜌 𝑐𝑝 (𝑣 𝑑𝑇 )) = ∇ ∙ (𝜆 ∇𝑇)
𝜕𝑇
𝜌 𝑐𝑝 𝜕𝑡 + 𝜌 𝑐𝑝 ∇ ∙ (𝑣 𝑇 ) = (𝜆∇²𝑇)
𝜕𝑇
𝜌 𝑐𝑝 𝜕𝑡 + 𝜌 𝑐𝑝 (v ∙ ∇T + T ∇ ∙ v) = (𝜆∇²𝑇)
𝜕𝑇
𝜌 𝑐𝑝 𝜕𝑡 + 𝜌 𝑐𝑝 v ∇T = (𝜆∇²𝑇)
6.
STROFFTRANSPORT
6.1
Advektiver Transport
beschreibt Ausbreitung einer Konzentration C eines Stoffes in einem anderen Stoff 𝑞𝐷 =
−𝐷 ∇𝑐 (c = kg Stoff pro kg Lösungsmittel), diffusiver Transport immer in Richtung der
geringeren Konzentration.
D = Diffusionskoeffizient [m²/s] : Sehr problematisch.
Diffusiver Transport erfolgt immer in Richtung der geringeren Konzentration.
In H2O ungefähr 10-9 m²/s, bedeutet tD ist sehr groß.
D: [m²/s] = d²/t  tD = d²/D, mit tD = Diffusionszeit
𝑞𝑎𝑑𝑣 = [𝑣 ∙ 𝑐]
Herleitung der Gleichung
𝑞𝑇,𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓 = 𝑞𝐷,𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓 + 𝑞𝑎𝑑𝑣 = −𝐷 ∙ ∇𝑐 + v ∙ 𝑐
𝜕𝑐
𝜕𝑡
+ ∇ ∙ (𝑞𝑇,𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓 ) = 0
𝜕𝑐
𝜕𝑡
+ v ∙ ∇𝑐 = 𝐷∇2 𝑐 + 𝑞𝑠𝑡𝑜𝑓𝑓 , v muss bekannt sein
Stofftransport
Wärmetransport
Rein Mathematisch meistens erzwungener Stofftransport: v hängt nicht von c ab. Für große v
kann Diffusion vernachlässigt werden.
47
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 31: Beispiel Transportprozesse [Quelle: http://www.unikassel.de/fb14/geohydraulik/Lehre/Hydrogeologie/skript/HKap_7.pdf]
Rechteckiger Impuls der Konzentration wird breiter und flacher, aber Integral über
diffundierenden Impuls = konst. = totale Masse
Diffusionseinfluss verbreitert die Kurve
𝑥_𝑚𝑎𝑥
 ∫0
𝑐 𝑑𝑥 = 𝑚𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓 𝑓ü𝑟 𝑡 = 0
𝑥𝑚𝑎𝑥+∆𝑥
 ∫𝑥𝑚𝑎𝑥−∆𝑥 (𝑡 = 𝑡1 ) 𝑑𝑥 = 𝑚𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓
Formel 25: Massenbilanz für die Konzentration eines Stoffes in einem Fluid
6.2
ADSORPTION INSBESONDERE FÜR TRANSPORT IN EINEM PORÖSEN MEDIUM
Abbildung 32: Transportprozesse [Quelle:
http://www.cee.mtu.edu/~reh/courses/ce251/251_notes_dir/img504.gif]
Physik der Adsorption wird beschrieben über eine Isotherme
48
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 33: Arten von Adsorptionsthermen [Quelle: http://spring.deltah.de/download/SPRING4_Webhilfe/Grafik/isothermen_alle.gif]
1. Lineare Isotherme
𝑐𝑆𝑜𝑙𝑖𝑑 = 𝐾𝑑 ∙ 𝑐𝑙𝑖𝑞
2. Freundliche Isotherme
𝑐𝑆𝑜𝑙𝑖𝑑 = 𝐾𝑑 ∙ 𝑐 1/𝑛
3. Langmuir Isotherme
mit n= > oder < 1
𝑎∙𝑐
𝑐𝑆𝑜𝑙𝑖𝑑 = 1+𝑏∙𝑐𝑙𝑖𝑞
𝑙𝑖𝑞
Folge der Adsortion ist eine Retardation der Bewegung der gelösten Teilchen
(zeitliche Verzögerung).
Abbildung 34: Konzentrationskurven
Für eine lineare Isotherme bleibt peak symetrisch. Für eine Nicht-lineare
Isotherme gibt es Nachlauf/Vorlauf.
Bestimmung einer Retentionsgeschwindigkeit: 𝑣𝑅 < 𝑣𝑎𝑑𝑣  𝑅 =
𝑣𝑎𝑑𝑣
,
𝑣𝑅
heißt
Retentionskoeffizient.
4. Chemischer oder biologischer Abbau
𝑐 = 𝑐0 ∙ 𝑒 −𝜆 𝑡 mit 𝑞𝑅𝑒𝑎𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 ≈ −𝑘 ∙ 𝑐 und k=λ = Abbaukonstante
49
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 35: Verkleinerung der Konzentration bei chemischen Abbauprozessen
Alle Transportvorgänge von Stoffen werden beschrieben durch
𝜕𝑐
𝜕𝑡
+ 𝑣 ∙ ∇𝑐 = 𝐷∇2 𝑐 + 𝑞𝑟𝑒𝑎𝑘 + 𝑞𝐴𝑑𝑠
Meistens wird v vorgegeben bzw. wenn nicht gut bekannt, dann wird mit D
„rungespielt“. D unterschliedlich groß, je nach Art des Umfelds in Umweltströmung
(Fluss, See, Ozean) D sehr groß, Eddy Diffusion. D wird angepasst als Folge unserer
Unkenntnis der genauen Strömung, D meistens abhängig von v !
Turbulente Diffusion im Fluss.
Abbildung 36: Turbulente Diffusion im Fluss
Zur Folge der Flukuation gibt es Verwirbelungen
𝑢𝑚 = 𝑢̅,
𝑢 = 𝑢̅ + 𝑢´,
𝑣=0
Stationär
𝜕𝑐
𝜕
𝜕𝑐
𝜕
𝜕𝑐
𝑢
=
(𝐷𝑥 ) +
(𝐷𝑦 )
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦
turbulente Diffusion.
Für Eddy (Taylor) Diffusion: D = ε
Frage: Wie groß ist
𝜀𝑥 , 𝜀𝑦 , 𝜀𝑧
50
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Gefunden:
𝜀𝑥 = 𝐷𝑦 = 𝑑𝑢 ∗ Normierte Geschwindigkeit
𝜀𝑧 = 𝑑 ∙ 𝑢 ∗ , mit d=Dicke und u* = Geschwindigkeit
𝜏
𝑢 ∗= √𝜌
𝜀𝑦
𝑑𝑢∗
−→ 𝜏 = 𝜌 𝑢²
= 0,13  Transversale ca. 1/10 der longitudinalen
Fall des gekoppelten, dichteabhängigen Stofftransports
𝜌 = 𝜌(𝑐), 𝜌 = 𝜌0 ∙ (1 + 𝛽∆𝑐), Koeffizient 𝛽 =
𝜕𝜌 1
∙
𝜕𝑐 𝜌0
 Notwendigkeit der Kopplung der NS – Gleichung mit Strofftransportgleichung für
Ozeanströmung + Temperatureffekt
 Für ordentliche Simulationen von Ozeanströmungen muss Temperatur und
Salzgehalt simuliert werden
o 1. Masse
o 2. Impuls
o 3. Energie
Wenn T steigt, sinkt ρ
o 4. Konzentration Wenn c steigt, steigt ρ
7.
THEORIE DER ALLGEMEINEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1. Gewöhnliche DGL
2. Partielle DGL
Gewöhnliche DGL
𝑦´ = 𝑓(𝑥)𝑏𝑧𝑤. 𝑦´ = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑦´´ + 𝑘𝑦´ + 𝑐𝑦 = 0, (Schwingungsgleichung)
Bsp.
1. Radioaktiver Zerfall
𝑑𝑁
𝑑𝑡
= −𝑘𝑁
2. Barometrische Höhenformel (siehe Hydromechanik I) 𝑁 = 𝑁0 𝑒 −𝑘𝑡
partielle DGL
𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) Allgemeine Funktion im Raum dann für nur 2 abhängige Variablen
z. B. T(x, t)
𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕𝑢² 𝜕𝑢²
𝐹 (𝑢, 𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 , 𝜕𝑥𝜕𝑦 , 𝜕²𝑥 , 𝜕²𝑦) heißt PDE 2. Ordnung
Sonderform lineare PDE
𝑎
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢
+
𝑏
+
𝑐
+𝑑
+𝑒
+ 𝑓𝑢 = 0
2
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑦²
1. b=0, d=0, e=0, f=0
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝑎 𝜕𝑥 2 + 𝑏 𝜕²𝑦 = 0 wenn a = b  𝜕𝑥 2 + 𝑏 𝜕𝑦² = 0 heißt Laplace – Gleichung
Mit µ = (Temperatur T, Konzentration C, Erdpotential φ, Spannung U, pieziometerhöhe h
51
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Es existieren 3 verschiedene Grundarten je nach Relation von a,b,c
1. Elliptisch D>0
2. Parabolisch D=0
3. Hyperbolisch D<0
1.
Laplace Gleichung
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝑎 𝜕𝑥 2 + 𝑏 𝜕²𝑦 = 0, mit a =1, b=0, c=1
2. Parabolische Gleichung (1D-Wärmeleitungsgleichung)
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=𝑎
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥 ²

𝜕𝑇
𝜕𝑡
−𝑎
𝜕2 𝑇
𝜕𝑥 2
= 0, mit t->y, x->x D=ac – b/4 =1 >0
3. Hyperbolische Gleichung
a.
𝑑𝑐
𝑑𝑡
+ 𝑣 ∇𝑇 = 0 Advektion/hyperbolisch
b. Wellengleichung
𝜕2 𝑢
c. 𝑐² 𝜕𝑥 2 =
𝜕2 𝑢
,
𝜕𝑡 2
mit c = Wellengeschwindigkeit
Zusammenfassung:
1. Elliptisch ∇²𝑢 = 0, 𝑏𝑧𝑤. ∇²𝑢 = 𝑄
∂u
= 𝑎∇²𝑢 Wärmeleitungsgleichung
∂t
∂u
Hyperbolisch ∂t + 𝑣 ∙ ∇u = 0, Advektiver Transport
2. Parabolisch
3.
NS – Gleichung
∂u
∂t
+ 𝑢 ∙ ∇u = −∇p + µ∇2 u = 0, elliptisch/hyperbolisch
Es ist auch eine dimensionslose Darstellung der NS – Gleichung möglich
x
x´ = l ,
𝜕𝑢´
𝜕𝑡´
𝑝
𝑝´ = 𝜌𝑢2 ,
𝑡´ =
𝑡
𝑙
𝑛
,
𝑢
𝑢´ = 𝑢∗
1
= 𝑢 ∙ ∇𝑢 = −∇𝑝´ + 𝑅𝑒 ∇²𝑢
Für Re >> 1  NS ist hyperbolisch
Für RE<< 1  „ ---„ elliptisch (schleichend)
𝜕𝑐
𝜕𝑡´
𝜕𝑐
= ∇𝑓(𝑐) = 0 , mit f(c) = fad(c) + fdiff(c) = 𝜕𝑡´ + v ∙ ∇c = 𝐷∇²𝑐
Ergänzung: Wann ist eine Strömung kompressibel, wann ist eine Strömung
inkompressibel?
v = Strömungsgeschwindigkeit, c=Schallgeschwindigkeit
𝐾
𝑝
𝑐 = √ 𝜌 = √𝑘 𝜌 wegen 𝐾 = 𝑘 ∙ 𝑝, mit k = adiabaten Koeffizient (K=Kompressionsmodul)
Wegen adiabatischen Prozess gilt Poisson´sche Gleichung
𝑝 𝑉 𝑘 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.
Man sagt dass für:
Ma < 0,3  Strömung inkompressibel
Ma > 0,3  Strömung kompressibel
52
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Elliptisch: keine Zeitabhängigkeit (u = u(x,y,z))
Parabolisch: u(x,y,z,t)
Hyperbolisch u(x,y,z,t)
Zeitabhängigkeit
Domain of dependence/of influence
sind unterschiedlich für 3 Arten von Strömung
Wie verhält sich die Lösung u(x,y,z,t) an verschiedenen Punkten im Raum als Funktion von t
und der Vorgeschichte.
Betrachtung in
1-D Fall für parabolisch u. hyperbolisch
2-D Fall für elliptsch
1. Hyperbolisch
Betrachte:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
∂u
+ 𝑣 ∙ ∂x = 0 mit 𝑣 =
𝜕𝑥
𝜕𝑡
→𝑥 =𝑣 ∙𝑡
Abbildung 37: Charakteristik der hyperbolischen Gleichung,
2. Parabolisch
𝜕𝑐
𝜕2𝑐
=𝐷 2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
Abbildung 38: Domain of influence and dependence für die parabolische DGL
53
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Diffusionsprozess ist unendlich schnell, dadurch wird der ganze Rau, beeinfluss, von der
Lösung vorher.
Dirakstroß hat z.B. eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit
3. Elliptisch (2D-Fall)
Abbildung 39: Elliptische DGL (2D-Fall)
Übergang von parabolisch zu elliptisch
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝜕2 𝑇
𝜕²𝑇
= 𝑎∇²𝑇 = 𝑎 (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 ) , Sonderfall t gegen unendlich, stationärer Endzustand.
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=0
∇²𝑇 = 0
PDE: Korrekt gestelltes Problem, wenn folgende Kriterien erfüllt werden
1. Existenz einer Lösung
2. Eindeutigkeit
3. Stabilität (Keine Änderung der Randbedingung)
a. Keine Änderung der Lösung
Für Laplace /Poisson Gleichung falls Randbedingung richtig gestellt ist sind die PDE
Kriterien erfüllt
Fundamentallösung T(x,y) falls bekannt -_> kann man einfach andere Lösungen finden
durch mathematische Prozesse, z.B. durch ein Integral!
Wenn PDE linear ist gilt Bspw.
∇²(𝑐𝑇) = 0  T1= c T
Gilt Superpositionsprinzip
T1= Lösung von einem Problem
 ∇2 𝑇1 = 0
T2= Lösung von zweiten Problem
∇2 𝑇2 = 0  (𝑇1 + 𝑇2 ) ist auch Lösung von Laplace Gl. o. Poisson
Beweis:
∇2 𝑇𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 = 0, denn 𝑇𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 = 𝑎 𝑇1 + 𝑏 𝑇2
∇2 (𝑎𝑇1 + 𝑏 𝑇2 ) = 0
54
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Wegen Linearität gilt a∇2 𝑇1 + b∇2 𝑇2 = 0
Superposition Laplace aus NS – Gleichung für
div(v) = 0 𝑢𝑛𝑑 ∇ × 𝑣 = 0 (𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑓𝑟𝑒𝑖)
𝑣=𝑣
⃗⃗⃗  𝑣 = ∇ ∙ (∇𝛷)  (∇²𝛷) = 0
Abbildung 40: Translationsströmung
1. Lösung eine Pumpe
Abbildung 41: Lösung einer Pumpe (Quelle: http://homepages.hsbremen.de/~kortenfr/Aerodynamik/script/img263.gif)
Superposition φ1 (lineare Strömung), φ2 (Quellströmung)
Abbildung 42: Superposition von linearer Strömung und Quellströmung (Quelle: http://homepages.hsbremen.de/~kortenfr/Aerodynamik/script/img263.gif)
55
Skript: „Strömung und Transport“
-
-
Mai 16
Ein Teil der Strömung ist innerhalb, ein anderer Teil ist außerhalb
des Fangbereichs. φT = φ1 + φ2
Einfache Berechnung der Gesamtlösung.
DGL soll nun gelöst werden. Die Lösung erfolgt über Randbedingungen der PDI in einem
Gebiet. Hier erst einmal 2-D.
8.
R ANDBEDINGUNGEN
1. Elliptisch
(∇²𝛷) = 0
Abbildung 43: Gebiet mit Rändern
𝜕2 𝛷
𝜕𝑥 2
+
𝜕²𝛷
𝜕𝑦 2
= 0 , RB / BC Randwertproblem
2. Für Parabolische und Hyperbolische Gleichungen kommt zusätzlich noch zur RB
noch eine Anfangsbedingung mit rein
𝛷(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝛷0 , mit Anfangsrandwertproblem
Arten der RB sind Dirichlet RB
Vorgabe eines Wertes: φ0(x ε𝜕Ώ), für den ganzen Rand Ώ  Dirichlet-Problem
Abbildung 44: Temperaturvorgaben an der Ränder als Dirichletrandprobleme
Neumann RB:
𝜕𝛷
𝜕𝑛
= 𝑔(𝑥) 𝑎𝑢𝑓 𝜕Ώ , für alle x wird der Normalen Vektor vorgegeben.
𝜕𝛷
𝜕𝑛
= 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡.
𝜕𝛷
Sonderfall: 𝜕𝑛 = 0 Φ=konst. Beim Durchgang.
∇ ∙ 𝑞𝐻 = 0 mit ∇(−𝜆∇𝑇) = 0
𝑞𝐻 = −𝜆∇𝑇 mit ∇²𝑇 = 0
Es gibt keinen Wärmefluss durch Rand  Isolierter Rand
56
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 45: Isolierter Neumannrand
𝜕𝛷
𝜕𝑛
= 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑎𝑛𝑑𝑏𝑒𝑑𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑔, wenn nicht isoliert, gilt g(x)
3. Gemischte Randbedigungen (Dirichlet + Neumann)
4. Robin – Cauchy – Randbedigung
𝜕𝛷
𝑎 ∙ 𝛷 + 𝑏 𝜕𝑛 = 𝑔 auf Rand
Für a=b=1
𝜕𝛷
𝜕𝑛
= 𝑔 − 𝛷 (siehe Fourier – Gleichung)
Problem: Lösung der PDE in einem Gebiet Ω
1) Zeitunabhängige PDE: ∇2 𝛷 = 𝑞, ∇2 𝑇 = 𝑞, ∇2 𝑢 = 𝑞 : Poison gl. =Laplace für q=0
2) Zeitabhängige
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 𝑎∇2 𝑇 + 𝑞
𝛷 = 𝛷(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑇 = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
Beschränkung auf max. 2-D
RB:
a) Dirichlet
𝛷 − 𝛷0
gemischt
b) Neumann
c) Robin
𝜕𝛷
𝜕𝑛
𝜕𝛷
𝜕𝑛
=0
cauchy
= 𝑐(𝛷 − 𝛷0 )
Abbildung 46: Randbedingungen in einem Gebiet
zusätzlich Anfangsbedingung 𝛷(𝑥, 𝑦, 𝑡 = 𝑡0 ) = 𝛷 = 𝛷(𝑥, 𝑦) Kann eine Funktion vom Ort sein
meistens aber konst.
Lösungsanasätze:
1. Separation der Variablen 𝛷 = 𝛷(𝑥, 𝑦) = 𝑥(𝑥) ∗ 𝑦(𝑦)Schreibe als Produkt und Berechne
x(y)
x(x)= Funktion von x
y(y)=Funktion von y
Für Laplace o. Poisson: für 1-D Wärmegleichung
T(x,t)=x(x)*T(t)=f(x)*g(t)
siehe part mathe
57
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
𝑄
𝑇)
Beispiel 2-D Laplace Gleichung u(x, y0 ) = (𝜑
𝑐
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
Ansatz: 𝑢(𝑥, 𝑦) = ℎ(𝑥) ∗ 𝑞(𝑦) = 𝑥(𝑥) ∗ 𝑦(𝑦) => 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 = 0
Aufteilen in einem Teil der von x abhängt und einen Teil, der nur von y abhängt
1
=> ℎ ∗
𝜕2 ℎ
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑛
1
λ=Konstant
= 𝜆 = − 𝜑 ∗ 𝜕𝑦 2
Integration
𝜕2 ℎ
𝜕𝑥 2
= 𝜆ℎ =>
𝜕2 ℎ
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝜑
𝜕𝑦 2
= 𝜆𝜑 =>
𝜕2 𝜑
𝜕𝑦 2
− 𝜆ℎ = 0
− 𝜆𝜑 = 0
φ=a*sin(kx) bzw. b*cos(kx)
h‘(x)=c*sinh(kx) wegen sinkot(x)‘‘=sinh(x))
𝑛∗𝜋
)
𝐻
 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑎 ∗ sin(𝑘𝑥 𝑥) ∗ sinh(ℎ𝑦 ∗ 𝑦)
𝜆=(
H: Höhe
𝜕2ℎ
− 𝜆ℎ = 0 => 𝑚𝑖𝑡 ℎ(𝑥) = 𝑐 ∗ sinh(ℎ𝑥)
𝜕𝑥 2
h‘(x)=c*k*cos(k*x)*k
h‘‘(x)=c*k²*sinh(hx)
Einsetzen
c*k2*sinh(hx)-λc*sinh(kx)=0
=>λ= k2=> 𝑘 = √𝜆
Das gleiche für 𝜑(𝑦) = 𝑎 ∗ sin(𝑘𝑦) = 𝑎 ∗ sin(√𝜆𝑦)
2𝑃𝑖
𝑏
Einführung der RB allgemein 𝜑(𝑦) = 𝑎 ∗ sin(𝑘𝑦) = 𝑎 ∗ sin(
∗ 𝑦) wegen 𝜑(𝑦) = 0 für y=0
2𝜋
und y=H z.B. L1=sH, geht => 𝜑(𝑦) = 𝑎 ∗ sin(𝜆𝐻 ∗ 𝑦)
Nehme kleine Perioden; 𝐿2 = 𝐻 ; 𝐿3 =
𝜑𝑛 (𝑦) = 𝑎 ∗
𝜋𝑛
𝑠𝑖𝑛(
𝐻
𝐻
2
; … … ; 𝐿𝑛 =
𝐻
𝑛
𝑚𝑖𝑡 𝑛 = 1 … … 𝑛
∗ 𝑦)
Das gleiche für H(x)
𝜋
ℎ(𝑥) = 𝑏 ∗ sin(𝑛 ∗ 𝐻 (𝑥 − 𝐿))𝑘0
Superposition
𝑛𝜋
𝑛𝜋
(𝑥 − 𝐿)) ∗ sin( ∗ 𝑦)
𝐻
𝐻
Koeffizienten über Bn müssen über Fourie-reihe bestimmt werden!
𝑢(𝑥, 𝑦) = [𝐵𝑛 ∗ sinh (
58
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Bestimmung der Bn mit RB an stelle x=q
𝑛𝜋
𝑢(0, 𝑦) = 𝑢0 = 𝐵𝑛 ∗ sin( ∗ 𝑦)
𝐻
𝑢(0, 𝑦) = 𝑢0 = 𝐵𝑛 ∗ sin(kny)
Über Fouriereihenentwichlung
Bn berechnet aus Fouriereihenentwicklung siehe Hompage
𝑇 = 𝑇0 + 𝑐𝑥~𝑥
𝑢(𝑥, 𝑏) = 𝑥
𝑢(𝑥, 𝑎) = 𝑎
𝑓(𝑥) =
𝑎0
+ ∑ 𝑎𝑛 ∗ sin(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛 ∗ cos(𝑛𝑥)
𝐿
𝜋
1
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) ∗ cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
𝑛≥0
−𝜋
𝜋
1
𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥) ∗ sin(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
𝑛≥1
−𝜋
Anderes Beispiel:
2𝜋
2𝜋
2𝜋
sin(𝑘𝑥) = sin ( 𝑥) = sin ( 𝑥) = sin ( 𝑥)
𝑇𝑥
2𝐿
1
𝑢(𝑥, 𝑦) = sin(𝜋𝑥) ∗ 𝑒 −𝜋𝑦
Lösung:
1) Randbedingungen müssen mit sinus reingepresst werden
 Haben beiden Seiten die gleiche Randbedingung verwende sin !
 Sind die Randbedingungen unterschiedlich verwende hyperbolicus
Beispiel: gemischtes Dirichlet / Neumann RB
Todd‘s Problem in der Grundwasserströmung
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∗ ℎ(𝑧) ≈ 𝐵𝑛 ∗ cos(𝑘𝑥) ∗ cosh(ℎ𝑧)
Mit hn angewiesen diskrete Werte d.h, Wellen
(Steigung der Funktion muss am Rand 0 sein,
deshalb verwende hier Hyperbolikus!)
9.
NUMERISCHE LÖSUNG DER POISSON GLEICHUNG
𝑎∇2 𝑡 = 𝑞, 𝑎 =
Laplace-Gl:
Poison:
𝜆
𝜌𝑐𝑝
∇2 𝑢 = 0
∇2 𝑢 = 𝑞
Formel 26: Beschreibung der Laplace- und Poisson-Gleichungen
Allgemeine Konzepte der Lösung der Zeitabhängigen PDE (Laplace/Poison Gl.)
59
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
FD-Methode (klassische Verfahren) zur Lösung, von sowohl Zeitunabhängigen als auch
zeitunabhängigen PDE Methoden
1) Aufstellen des Problems (Gleichungen mit RB)
2) Aufstellen des Lösungsgebietes
3) Diskretisierung der partiellen Ableitungen auf einen Gitter (xi,yi)
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
+
=> 𝐴𝑢𝑖 = 𝑏
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦²
Aus Differentialgleichung mit einer algebraischen Gleichung für die diskreten Werte ui(xi,yi)
Abbildung 47: Diskritisierungskonzept [http://www.iam.unibonn.de/~alt/ws2003/FIGURES/DiffMeth/omega-h.jpg]
𝑢(𝑥, 𝑦) => 𝑢𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )
 Diskrete Lösung ui auf den Gitterpunkten. Nummerische Lösung ist nur eine
Approximation des Problem wenn Δx, Δy zu groß ist dann ist Lösung ungenau bzw.
Verfahren bricht zusammen
Abhilfe mache ∆𝑥, ∆𝑦 klein
 (𝑥𝑖 ∗ 𝑦𝑗 , (𝑖 = 1 … . 𝑛)(𝑗 = 1 … . . 𝑚)
n, m sehr groß
 𝐴𝑢̇ 𝑖 = 𝑏⃗ wird sehr groß und numerische LSG ist sehr aufwendig wegen Anzahl der
Flops 𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 3 = (𝑛 ∗ 𝑚)3
 2D Fall viel aufwändiger als 1D Fall. 3D Fall äußerst aufwendig
Weiteres Problem
a) Fehler: Diskretisierungsfehler, wegen einsetzten des Differentialkoeffizienten
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦 2
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
+
=>
∆2 𝑢
∆𝑥 2
Zum Differenzenquotienten =
+
∆2 𝑢
∆𝑦 2
=0
Soll klein werden Δx, Δy klein
b) Rechnerpräzenssion geht runter mit kleineren Δx, Δy => hohe Rechner Prozessor
erforderlich
 Nehme 64 bit, bzw. rechner mit Double-Recimb (bis 16 Stellen nach dem Koma) mit
Single Precision: 8 Stellen nach dem K,,a
Ziel Herleitung von einfachen Differenzenformeln
60
Skript: „Strömung und Transport“
𝜕𝑢
𝜕𝑥
∆𝑢
[
→ ∆𝑥
∆2 𝑢
∆2 𝑢
∆𝑥
∆𝑦 2
2 +
Mai 16
= 0]
𝜕 2 𝑢 ∆2 𝑢
→
𝜕𝑥 2 ∆𝑥 2
, mit q=0
Entsprechend für x-Richtung
1D Sonderfall:
U=f(y)
mit q≠0
Bzw. Poisson Gl.
Lösen von 𝑢′′ = 𝑞 mit 𝑢(0) = 3 𝑢𝑛𝑑 𝑢(1) = 3 und q = 2
Mit Index
1) 𝑢′ (𝑥) = 2𝑥 + 𝑎
2) 𝑢(𝑥) =
2𝑥
2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏
Mit unbekannten Konstanten a,b
𝑢(0) = 3 = 𝑏
𝑢(1) = 1 + 𝑎 + 3 = 3
𝑢 = −1
𝑢(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 + 3 = 3 + 𝑥(𝑥 − 1)
9.1
Herleitung von Differenzenformeln
Taylorreihenentwicklung
𝑓(𝑥𝑖 + ∆𝑥) = 𝑓(𝑥𝑖 ) +
𝜕𝑓
1 𝜕2𝑓
| ∗ ∆𝑥 +
| ∗ ∆𝑥 2 + ⋯
𝜕𝑥 𝑥𝑖
2 𝜕𝑥 𝑥𝑖
𝜕𝑓 𝑓(𝑥𝑖 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 1 𝜕 2 𝑓
=
−
∆𝑥 + ⋯
𝜕𝑥𝑖
∆𝑥
2 𝜕𝑥 2
61
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
∆𝑦
~ ∆𝑥 − 0(∆𝑥) + 𝑠𝑒ℎ𝑟 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛 (vernachlässigbar)
𝜕𝑢
𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖
|𝑉𝑜𝑟𝑤ä𝑟𝑡𝑠 ~
+ 𝑜(∆ℎ)
𝜕𝑥
∆𝑥
𝜕𝑢
𝑢0 − 𝑢1−1
|𝐵𝑎𝑐𝑘𝑤𝑜𝑟𝑑 ~
+ 𝑜(∆ℎ)
𝜕𝑥
∆𝑥
𝜕𝑢
𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖−1
|𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 ~
𝜕𝑥
2∆𝑥
Obwohl genauer, wird kaum verwendet weil 2Funktionswerte bekannt sein müssen
Second Order
𝜕2 𝑢
Approximation von 𝜕𝑋 2 →∶
𝑢𝑖+1 = 𝑢𝑖 +
𝑢𝑖−1
𝜕𝑢
𝜕2𝑢
|𝑥𝑖 ∆𝑥 + 2 |∆𝑥 2 + 0(∆𝑥 3 ) + 0(∆𝑥 4 )
𝜕𝑥
𝜕𝑋
𝜕𝑢
∆ 𝜕2𝑢 2
= 𝑢1 −
∆𝑥 + ∗ 2 ∆𝑥 + 0(∆𝑥 3 ) + 0(∆𝑥 4 )
𝜕𝑥
𝐿 𝜕𝑋
𝑢𝑖+1 + 𝑢𝑖−1 = 2𝑢1 + 0 +
𝜕2𝑢
|∆𝑥 2
𝜕𝑥 2
→
𝜕 2 𝑢 𝑢𝑖+1 − 2𝑢𝑖 + 𝑢𝑖−1
=
𝜕𝑥 2
∆𝑥 2
→
𝜕 2 𝑢 𝑢𝑗+1 − 2𝑢𝑗 + 𝑢𝑗−1
=
𝜕𝑦 2
∆𝑦 2
𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢 𝑢𝑖+1,𝑗 − 2𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑖−1,𝑗 𝑢𝑖,𝑗+1 − 2𝑢𝑖,𝑗 − 𝑢𝑖,𝑗−1
+
=
+
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
∆𝑥 2
∆𝑦 2
∆𝑥 = ∆𝑦
Auflösen nach 𝑢𝑖,𝑗 für Δx,Δy=Δh
𝑢𝑖+1,𝑗 − 4𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑖−1,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗−1 + 𝑢𝑖,𝑗+1 = 0
𝑢𝑖𝑗 =
𝑢𝑖+1,𝑗 + 𝑢𝑖−1,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗+1 + 𝑢𝑖,𝑗−1
4
Spk-Steincks
𝑢𝑖+1,𝑗 − 2𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑖−1,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗+1 − 2𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗−1
4𝑢𝑖,𝑗 = −𝑞∆ℎ2 + ⋯
1D-Modellgl.
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
=…
62
Skript: „Strömung und Transport“
1
(𝑢𝑖+1
ℎ2
Mai 16
− 2𝑢𝑖 + 𝑢2−1 ) = 2
1
1)ℎ2 (ℎ2 − 2ℎ1 + ℎ𝑜 ) = 2
1
2) ℎ2 (ℎ3 − 2ℎ2 + ℎ1 ) = 2
….
….
1 Gleichung
1
n) ℎ2 (ℎ𝑛+1 − 2ℎ𝑛 + ℎ𝑛−1 )
−2 1
1 −2 1
1/ℎ2
1 −2 1
1 …
…
(
…
…)
𝑎1
…
∗ (…
…) =
…
2 − ℎ0 /ℎ2
2
2
2
2
−
ℎ
/ℎ2 )
𝑛+1
(
(𝐴) ∗ (𝑢
⃗ ) = (𝑏⃗) ∗ ℎ2
𝐴∗𝑢
⃗ = 𝑏⃗
𝐴 ∗ 𝑥 = 𝑦 2 , 𝑚𝑖𝑡 𝐴(𝑛𝑥𝑛)
Besonders ….
Tridiangonale – Matrix
AT ungleich 0
9.2
WEITERE ANWENDUNGEN
𝑢´´(𝑥) = 𝑅 , gelöst auf Ώ(0,1) mit RB. Mit den RB u(x=0)=u0 und u(x=1)=u1.
Sonderfall: R=2, n0=3, n1=3 wenn R>0: dann eine Senke
R<0: dann eine Quelle
Beispiel: Stokes Gleichung
0 = −∇𝑝 + µ∇2 𝑣 + 𝑓 , für das horizontale Rohr gilt
, in x – Richtung
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
= µ 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧2 , 𝑣 = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
daraus folgt
𝜕2 𝑢
𝜕𝑧 2
1 𝜕𝑝
1 𝜕𝑝
= µ 𝜕𝑥 , mit 𝑢´´(𝑧) = 𝐾 = 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔, denn µ 𝜕𝑥 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. !
3-Punkte Sterencil
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
= 𝑢𝑖−1 − 2𝑢𝑖 + 𝑢𝑖+1 , mit i=1 ….n innere Punkte (Triangonalsystem)
63
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Lösung über Thomas – Algorithmus  Was ist R??
Bsp. Sonderfall
𝜕𝑢2
𝜕𝑥²
= 0 , nach Integration 𝑢(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 , mit a und b aus Randbedingung
𝑢(𝑥) =
𝑢1 −𝑢0
𝑥
𝑥𝑚𝑎𝑥
+ 𝑢0 I linear
2-D Laplace-Gleichung
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝑄
∇𝐻 ²𝑢 = 𝑄 = 𝑎 (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 ) mit 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 = 𝑎 = 𝑅´
1. Laplace Gl. Lösung im Gebiet 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 mit RB auf den 4 Rändern.
Abbildung 48: Anwendung der Laplace-Gleichung in einem Gebiet
a. Dirichlet BC 𝐿𝑥 = 𝐿𝑦 = 1 , analytische Lösung 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥(𝑥)𝑦(𝑦) (seperation der
Variablen)
𝑥(𝑥) = 𝑎𝑛 sin(𝑘𝑥) mit 𝑘 = 𝑛
2𝛱
2𝐿𝑥
=
𝑛𝑅
𝐿𝑥
und
𝑦(𝑦) = sin ℎ(𝑘𝑧 𝑦) 𝑚𝑖𝑡 𝑘𝑧 = 𝑘
𝑛𝛱
𝑦)
𝐿𝑥
= sinh (
Abbildung 49: Die sinh()-Funktion
Es gilt mit unbekannten Koeffizienten bn
𝑛𝛱
𝑛𝛱𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ ( 𝐿𝑥 𝑦)
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝛴 𝑏𝑛 sin (
)
𝐿𝑥
𝑛𝛱 𝑦
𝑠𝑖𝑛ℎ (
𝐿𝑥 )
Mit unbekannten Koeffizienten 𝑏𝑛
Werden bestimmt aus
𝑢(𝑥, ℎ) = 1 mit
𝑛𝛱
𝐿𝑥
𝑢(𝑥, ℎ) = 𝛴 𝑏𝑛 sin (
𝑥)
64
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 50: Darstellung einer Kasten - Fourierreihe
𝑓(𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑∞
𝑛=1[𝑎𝑛 ∗ cos(𝑛𝑤𝑡) + 𝑏𝑛 ∗ sin(nwt)] , mit w Grundmode 𝑤 =
2
𝑇
2
𝑇
2𝜋
,
𝑇
für uns
2𝜋
2𝐿𝑥
 𝑎𝑛 = 𝑇 ∫0 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝑤𝑡) 𝑑𝑡 alle 0, weil f(t) ungerade ist
 𝑏𝑛 = 𝑇 ∫0 𝑓(𝑡) sin(𝑛𝑤𝑡) 𝑑𝑡  Beiträge s
 Es gilt: f(t)=1, für t < T/2, -1 für t > T/2
2
𝑇
2𝜋
2
𝑇
2𝜋
2
𝑇
2𝜋
𝑏1 = 𝑇 ∫0 1 sin ( 𝑇 ) 𝑑𝑡 = 𝑇 ∫02 1 sin ( 𝑇 ) + 𝑇 ∫𝑇 − sin ( 𝑇 ) , mit
2
𝑏1 =
4ℎ
, 𝑏2
𝜋
= 0, 𝑏3 =
𝑓(𝑥) = 1 = ∑
4ℎ
,𝑏
3𝜋 4
= 0, 𝑏𝑛 =
4
sin(𝑛𝑥) , 𝑚𝑖𝑡
𝜋𝑛
4ℎ 1
𝜋 𝑛
𝑛 = 𝐿𝑦
4
𝑢(𝑥, 𝐿𝑦 ) = ∑ 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑥), mit, mit 𝑏𝑛 = 𝜋𝑛 = 1,3,5,7,9 ….
Abbildung 51: Diskretisierung auf einem Gitter
Für ∆𝑥 = ∆𝑦 = ℎ, i=0 …… imax+1, j=0….. jmax+1
𝑢𝑖−1,𝑗 −2𝑢𝑖,𝑗+𝑢𝑖+1,𝑗
𝜕2𝑢
= 2 |≈𝑦=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 =
+ 0(∆𝑥 2 )
𝜕𝑥
∆𝑥²
𝑢𝑖,𝑗−1−2𝑢𝑖,𝑗+𝑢𝑖,𝑗+1
𝜕2𝑢
= 2 |≈𝑦=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 =
+ 0(∆𝑥 2 )
𝜕𝑦
∆𝑦²
65
Skript: „Strömung und Transport“
𝜕2 𝑢
Mai 16
𝜕2 𝑢
= 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 = ∆𝐿𝑥𝑥 + ∆𝐿𝑦𝑦
𝑢𝑖𝑗 =
𝑢𝑖+1,𝑗 +𝑢𝑖−1,𝑗 +𝑢𝑖,𝑗+1 +𝑢𝑖,𝑗−1
4
, 5 Sterne Stenzel heißt also, Wert der Unbekannten ui,j ist
Mittelwert aller 4 Punkte!
9.3
BERECHNUNG AUF DEM FD-GITTER
2D FD Diskretisierung der Laplace/Poissongleichung
Abbildung 52: Berechnungsvorgang mit dem Sweep [Quelle: http://www.unikassel.de/fb14/geohydraulik/koch/paper/2010/N_P_Modeling_Course/Modeling_Course_I.pdf]
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑢
+ 𝜕𝑦2 = 𝑅 (bzw. R=0)
Mit Dirichlet RB
u(0,y)=u1
u(x,y)=u2
u(x,0)=u3
u(x,ymax)=u4
Lösung nur für innere Knoten denn Randknoten sind vorgegeben
𝑢𝑖−1,𝑗 +𝑢𝑖+1,𝑗 −4𝑢𝑖𝑗 +𝑢𝑖,𝑗−1 +𝑢𝑖,𝑗+1
ℎ 2 =∆𝑥 2 =∆𝑦 2
= 𝑅𝑖𝑗
R(x,y) wird ebenfalls diskretisiert
(Multiplikation mit -1)
Annahmen das Δx = Δy ist
ℎ𝑖𝑗 = −𝑅𝑖𝑗 ℎ2
und für R=0 => uij
Lösung 1: direkte Methode lineares Gleichungssystem
𝐴∗𝑢
⃗ = 𝑏⃗
imax=m ; jmax=n
66
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 53: Darstellung der Matrix [Quelle: http://www3.math.tu-berlin.de/ppm/skripte/fdm1.0.pdf]
𝑢1 (𝑥 = 0) − 𝑢3 (𝑦 = 0)
b3=0 für Laplace
A: Pentadiagonale Matrix mit einer Bandbreite
mBand=2m-1
bei horizontaler Nummerierung außerhalb des Bandes sind alle Elemente =0
Problem der Nummerierung
Bandbreite ist hier 3
Hier imax>>jmax
mBand=2m-1=17
mB=2*n-1=2*3-1=5
2 Möglichkeiten der Nummerierung
1) Entlang
des
größeren
Index (lange Seite)
2) Entlang der kleineren Index (kurze Seite
Anzahl der Unbekannten ist gleich!!
Lösen von
MB=2m-1=2*7-1=13
𝐴∗𝑢
⃗ = 𝑏⃗
𝐴∗𝑥 =𝑦
Durch eine Gauss-Elmination:
1)Bringe A auf eine Dreiecksform
𝑎=(
)→(⋮
⋯
⋱
⋯
𝑥1
𝑏1 ′
…
⋮ )( ) = ( … )
𝑥𝑛
𝑏𝑛 ′
𝑢
!Fortran wird Spaltenweise
1 1 3
abgespeichert 2 1 3
3 1 1
2) Rück-Substitution
1
Beispiel 𝐴 = (2
3
1 4 2 7
1 5 1 8
3 6 3 9
3
2
1) , 𝑏 = (2) ; 𝐿ö𝑠𝑒 𝐴 ∗ 𝑥 = 𝑏
1
0
𝑥1
1 2
3
2
(0 −1 −2) (𝑥2 ) = (2) => 𝐺𝑎𝑢ß𝑠𝑐ℎ𝑒𝑠 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑓𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛
0 −3 −8 𝑥3
1
67
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
1. Durch versuche aller Elemente aij(i>1,j=1) suche passendes Pivotelmenet a11
dividiere a21 durch /a11 => -1 Subtrahiere von 2. Zeile das Produkt von (a21/a11)=a11
𝑥1
𝑥1
1 2
3
2
1 2
3
2
𝑥
𝑥
(0 −1 −2) ( 2 ) = ( 0 ) => (0 −1 −2) ( 2 ) = ( 0 )
0 −3 −8 𝑥3
−5
0 0 −2 𝑥3
−6
𝑈 ∗ 𝑥𝑛 = 𝑏′
Aufwand-Zahl der Flops
~1/3 n3 n= Zahl der Operationen für unsere Bandmatrix
m=doppelte Bandbreite
 Flops ~n*m2 << n3
Andere Methoden sind noch effektiver Problem des „fill-in“ bei Gauss Algortihmus ist
ungünstig! Zusätzlich ist die Matrix A symmetrisch  A=AT
 Zahl der Flops nur halb so groß
 Flops ~ 1/6 n3
Gauss: ist gleichbedeutend mit Lu-Zerlegung
A>Lu
L=
(Untere Dreiecksmatrix)
U=
(Obere Dreiecksmatrix)
𝐴 ∗ 𝑥 = 𝑏 ↔ 𝐿𝑢𝑥 = 𝑏
𝑢𝑥 = 𝑦
=> 𝐿 ∗ 𝑦 = 𝑏
Prinzip:
1) Zerlege A in L und u
2) Ly=b => durch Vorwärtseinsetzen
=> y!
3) Rückwärtseinsetzen von
𝑦1
⋱ + + 𝑥1
𝑈𝑥 = 𝑦 => (
⋱ +) ( … ) = ( … )
𝑦𝑛
⋱ 𝑥𝑛
Vorteil für Poisson Gleichung wenn viele rechte Seiten gelöst werden müssen! Dann ist LRZerlegung nur einmal zu machen und Vorwärts- und Rücksubstitution geht schnell.
Iterative Methoden i.a. für sehr große Probleme bei FD/FE- Verfahren effizienter wegen
Ausnutzung der speziellen Randstrukturen der Matrix
Problem: Anzahl der Iteration zur Lösung von Ax = b nicht immer im Voraus bekannt hängt
ab von Startlösung
𝑥 (0) … … … → 𝑥 (1) … … … → 𝑥 (𝑛)
Abbrechen wenn ||𝑛(𝑛+1) − 𝑥 (𝑛) || < 𝜀
Hängt ab von Computergenauigkeit und Problem
9.4
METHODEN ZUR NUMERISCHEN BERECHNUNG
1) Jacobi Verfahren
2) Gaus-Seider Verfahren
3) SGR- Methode
68
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
4) Conjugierte Gradienten!
Lösen der Laplace-Gleichungen mit Dirichlet RB
n=nicht verwechseln mit Iteration
N=n x m innere Knoten
M
𝑢𝑖−1,𝑗 + 𝑢𝑖+1,𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗−1 + 𝑢𝑖,𝑗+1
4
Mittelwert der umgebenden Knotenwerte
= 0 <= 𝑢𝑖,𝑗 =
9.4.1 JAKOBI-VERFAHRE
1) Gebe Startlösung von für innere Knoten
𝑢𝑖,𝑗 𝑛=0 = 𝑢𝑖𝑗 (0) und RB fest und bekannt
𝑢𝑖,𝑗 (1) =
Jacobi:
𝑢𝑖−1,𝑗 (0) +𝑢𝑖+1,𝑗 (0) +𝑢𝑖,𝑗−1 (0) +𝑢𝑖,𝑗+1 (0)
4
𝑢𝑖−1,𝑗 (𝑛+1) +𝑢𝑖+1,𝑗 (𝑛+1) +𝑢𝑖,𝑗−1 (𝑛+1) +𝑢𝑖,𝑗+1 (𝑛+1)
𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1) =
4
Stopp, wenn ||𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1) − 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛) || < 𝜀
|| =Normiert
1.Max-Norm:  𝑚𝑎𝑥 ||𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1) − 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛) || < 𝜀
2
2. Summe
∑(𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1) −𝑢𝑖,𝑗 (𝑛) )
𝑁=𝑖𝑚𝑎𝑥
<𝜀
Schlecht, nur didaktive Bedeutung
9.4.2 GAUß-SEIDL VERFAHREN
Verbessern der Gauss-Seidel Methode im Sweep verwenden den schon in diesen
Itertionszyklus (u‘) vorher neu errechneten Wert.
2: (𝑢𝑖−1,𝑗 )(𝑛+1)
𝑢𝑖−1,𝑗 (𝑛+1) + 𝑢𝑖+1,𝑗 (𝑛+1) + 𝑢𝑖,𝑗−1 (𝑛+1) + 𝑢𝑖,𝑗+1 (𝑛+1)
4
Erhöht die Konvergenzgeschwindigkeit!
𝑢𝑖,𝑗−1 (𝑛+1) = 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1) =
9.4.3 SOR-METHODE
SOR-Methode (Successive Over Relaxation Methode!
Erweiterung von Gauss-Seidel
z.B.
𝑢𝑖−1,𝑗 𝑛+1 → 𝑢𝑖,𝑗 𝑛
𝑑𝑖𝑓𝑓. [𝑢𝑖,𝑗 𝑛+1 → 𝑢𝑖,𝑗 𝑛 ] → 𝑢𝑖,𝑗 𝑛+1 = 𝑢𝑖,𝑗 𝑛 + ∆𝑢𝑖,𝑗
Relaxation:
Underrelaxation (kleine Schritte) (sicher, aber langsam)
Overrelaxation (große Schritte) (unsicher aber schnell)
69
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
0<w<1 (Underrelaxation)
𝑢𝑖,𝑗/𝑒𝑓𝑓 (𝑛+1) = (1 − 𝑤) ∗ 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛) + 𝑤 ∗ 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1)
1) 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑤 = 0, 𝑢𝑖,𝑗/𝑒𝑓𝑓 (𝑛+1) = 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛)
(kein Fortschritt)
2) 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑤 = 1 → 𝑢𝑖,𝑗/𝑒𝑓𝑓 (𝑛+1) = 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1)/Gauss Seidel
3) 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑤 > 1, 𝑢𝑖,𝑗 𝑛 = ⋯ 𝑖. 𝑎 𝑆𝑝𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑛𝑜𝑐ℎ 𝑔𝑟öß𝑒𝑟
Es stellt sich heraus zumindest für einfache Laplace/Poisson Problem wegen gutmütiger
Struktur der Matrix
𝑤 > 1 𝑖. 𝑎. ~𝑤~(1,8 − 2,0) aus Theorie kann man ungefähr das wopt
bestimmen!
9.4.4 ANWENDUNG: POISSON- GLEICHUNG
𝜕𝑝
= 𝜇 ∗ ∇2 𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= −𝜇
𝜕2 𝑢
𝜕𝑦 2
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
+
𝜕2 𝑢
𝜕𝑧 2
𝜕𝑝
1
↔ 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 = 𝑅 = 𝜕𝑥 ∗ 𝜇
Mit u=0 auf Ränder (4Stück
Iterationsschleife: n=1…..n=max
I= Laufindex im Programm
Schleife über x-Richtung
Schleife über y-Richtung
𝑢𝑒𝑓𝑓 (𝑛+1) = 𝑢(𝑛) (1 − 𝑤) + 𝑤𝑛(𝑛+1)
2
∑(𝑢𝑒𝑓𝑓 (𝑛+1) − 𝑢(𝑛) )
….
𝑢(𝑥, 𝑦) ≙ 𝛷(𝑥, 𝑦) → 𝑣𝑥 =
Bsp. Mit Neumann RB
𝜕𝛷
𝜕𝛷
; 𝑣𝑦 =
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Toth’s Problem
70
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Abbildung 54: Lösung eines Toth Problems
K∇𝐻 2 𝑢 = 0
𝐾∇2 ∗ 𝑢 = 𝑄
Laplace
Posson
T: Temperatur
U:c: Konzentration
Φ: Potential
Laplace Diskretisieurng mit FD-Methode auf techteckigem Gitter
𝜕 2 𝑢 𝑢𝑖+1,𝑗 − 2𝑢𝑖𝑗 + 𝑢𝑖−1,𝑗
=
𝜕𝑥 2
∆𝑥 2
𝜕 2 𝑢 𝑢𝑖,𝑗−1 − 2𝑢𝑖𝑗 + 𝑢𝑖,𝑗+1
=
𝜕𝑦 2
∆𝑦 2
Für ∆𝑥 2 = ∆𝑦 2 = ∆ℎ2
 𝑢𝑖,𝑗 =
𝑢𝑖−1,𝑗 +𝑢𝑖+1,𝑗 +𝑢𝑖,𝑗−1 +𝑢𝑖,𝑗+1
4
*∆ℎ2

Zentraler Differenzquotient für 2. Ableitung
Felder 0(∆𝑥 2 ),0(∆𝑦 2 )
Für 1.Ableitung (approximation) nach Taylor-Reihenentwicklung
a) Vorwärts
b) Rückwärts
c) Zentral:
𝜕𝑢 𝑢𝑖+1 −𝑢𝑖
~ ∆𝑥 + (∆𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑢 𝑢𝑖 −𝑢𝑖−1
~
+ (∆𝑥)
(1.Ordnung)
𝜕𝑥
∆𝑥
𝜕𝑢 𝑢𝑖+1 −𝑢𝑖−1
~ 2∆𝑥 + 0(∆𝑥 2 )
(2.Ordnung)
𝜕𝑥
Über Taylorreihenentwicklung
Pentagonal Matrix =>
71
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
Gauss Seidel
𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1) =
𝑢𝑖−1,𝑗 (𝑛+1) + 𝑢𝑖+1,𝑗 (𝑛+1) + 𝑢𝑖,𝑗−1 (𝑛+1) + 𝑢𝑖,𝑗+1 (𝑛+1)
∗ ∆ℎ2
4
Jacobi historisch macht aber keinen Sinn
𝑢𝑥 = 𝑢 = 𝑜 an den Rändern
stationäre NS-Gleichung
⃗ 𝑝 + 𝜇∇2 𝑢
0 = −∇
⃗ + 𝑥 (= 0)
(NS-Gleichung)
𝑢
⃗ = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
x-Richtung
0=−

𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝜕2 𝑢
𝜕𝑝
𝜕 2 𝑢𝑥 𝜕 2 𝑢𝑥 𝜕 2 𝑢𝑥
+ 𝜇( 2 +
+
)
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2
𝜕2 𝑢
= 𝜇 ∗ (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 )

𝑄 = 𝜇 ∗ ∇𝐻 2 𝛷
Poissongleichung
Abbruch Kriterium wenn
||𝑢𝑖,𝑗 (𝑛+1) − 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛) || < 𝜀
||𝑢𝑖,𝑗 𝑛+1 − 𝑢𝑖,𝑗 (𝑛) || < 𝜀
𝜕2 𝑇
(weniger Scharf)
𝜕2 𝑦
Übung Brennstab 𝑎∇𝐻 2 𝑇 = 𝑄 ↔ 𝑎 (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 ) = 𝑄
Mit
𝑇(𝑥, 0) = 0
𝑇(𝑥, 1) = 0
𝑇(0, 𝑦) = 0
𝑇(1, 𝑦) = 0
𝑥 − 𝑥0 2
𝑦 − 𝑦0 2
𝑓 = 𝑘 ∗ exp(
) ∗ exp(
)
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝑥−𝑥0 2
)
𝜎𝑥
𝑘 ∗ exp((
𝑦−𝑦0 2
) ),
𝜎𝑦
+(
mit
𝜎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧 und wenn k=0, dann Quellterm Q=0
72
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
9.4.5 DAS TOTH-PROBLEM
Abbildung 55: Randbedingungen für das Toth-Problem
Fluss wie im Rattenkäfig!!
Wasserscheide
Abbildung 56: Wasserscheide (Quelle:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Wasserscheide.svg/390pxWasserscheide.svg.png)
hier gilt die Symetrie BC  Konkret links=rechts
Zusammenfassung; Temperatur und Konzentration sind direkte Größen, die sich aus der
Laplace-Poisson-Gleichung ergeben. Viele Variablen gehorchen der Laplace-Gleichung.
Einige Größen können nicht direkt bestimmt werden, sondern müssen über Potentiale
bestimmt werden 𝑣 = −∇𝛷. Jedoch ist nicht das Potential Interessant, sondern die Lösung
der Laplace-Gleichung
Program Duct [Quelle: http://www.unikassel.de/fb14/geohydraulik/Lehre/Num_Mod/Material/Duct.for]
Löse:
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
𝜕2 𝑢
= 𝜇 ∗ (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 ), mit 1 = 𝜇 ∗ (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 ), lese Daten in R ein. Vstat=1 heißt Startlösung.
73
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
SOR Methode mit
𝑤=
4
𝜋
𝜋
𝑧 + √4 − (cos (𝑛 − 1) + cos(𝑚 − 1)²
2. Koch Programm löst Laplace-Poisson mit Randbedigungen in beliebigen Ebenen.
1. Löse u=h in Ώ für alle Gitterpunkte
Mit ∇2 𝑢 = 0 und 𝑞𝑥 =
ℎ𝑑𝑛 −ℎ𝑑𝑛2
2
Nach dem folgenden Verfahren
𝜕ℎ
𝑞𝑥 = 𝑣𝑥 = −𝑘𝑓 ∗ 𝜕𝑥
𝜕ℎ
𝑞𝑦 = 𝑣𝑦 = −𝑘𝑓 ∗ 𝜕𝑦
𝑞𝑖𝑗 (𝑖, 𝑗) = 𝑣𝑦 = −𝑘𝑓 ∗
𝑞𝑖𝑗 = 𝑣𝑦 = −𝑘𝑓 ∗
ℎ𝑖+1,𝑗 −ℎ𝑖𝑗
𝛥𝑥
ℎ𝑖,𝑗+1 −ℎ𝑖𝑗
𝛥𝑦
nun löse mit Laplace das Potential für v
𝑣 = 𝑞 = −𝑘∇ℎ
2. h=konst: Isolinie
3. 𝑞 = 𝑣 = −𝑘∇ℎ Geschwindigkeit#
4. Strom- und Bahnlinie
Die Bahnbestimmung (Partikeltracking)
𝑟(𝑡1 ) = 𝑟(𝑡0 ) + 𝑣 ∗ ∆𝑡 mit ∆𝑡 = 𝑡1 − 𝑡0
𝑥(𝑡1 ) = 𝑥(𝑡0 ) + 𝑣𝑥 𝛪𝑡0 ∗ ∆𝑡
𝑦(𝑡1 ) = 𝑦(𝑡0 ) + 𝑣𝑦 𝛪𝑡0 ∗ ∆𝑡
und
Daraus folgt
𝑥(𝑡𝑛 ) = 𝑥(𝑡𝑛−1 ) + 𝑣𝑥 ∗ ∆𝑡
𝑦(𝑡𝑛 ) = 𝑦(𝑡𝑛−1 ) + 𝑣𝑦 ∗ ∆𝑡
Grundsätzlich gilt, dass Δt sehr klein sein muss bzw. genügend klein sein muss,
sodass gilt
𝑣𝑥 ∗ ∆𝑡 < 𝛥𝑥!!!!!!
(CFL-Zahl bzw. CFL Bedingung, Couron-Bedigung)
Bei „Isoropter Durchlässigkeit“ ist die vertikale Geschwindigkeit nicht so hoch wie die
horizontale Geschwindigkeit
𝑘𝑥𝑥 ≫ 𝑘𝑦𝑦
74
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
QUELLEN
75
Skript: „Strömung und Transport“
Mai 16
ANHANG
76