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Optokommunikation
Skript
Vorlesung und Übung
Inhaltsverzeichnis
1.
2.
3.
Maxwellsche Gleichungen ................................................................................................. 4
1.1
Elektrische und magnetische Felder ............................................................................ 4
1.2
Induktion ...................................................................................................................... 5
1.3
Kreisfrequenz und Wellenzahl .................................................................................... 6
1.4
Elektromagnetische Wellen im Vakuum ..................................................................... 6
1.5
Elektromagnetische Wellen in Materie ....................................................................... 7
1.6
Pointing Vektor.......................................................................................................... 10
1.7
Wellenpakete-Dispersion........................................................................................... 10
Metallische Wellenleiter .................................................................................................. 12
2.1
Metallische Röhre ...................................................................................................... 12
2.2
Wellenausbreitung zwischen 2 Metallflächen ........................................................... 13
Dielektrische Wellenleiter ................................................................................................ 15
3.1
3.1.1
Akzeptanzwinkel, Numerische Apertur und Totalreflektion ............................. 15
3.1.2
Moden................................................................................................................. 16
3.2
4.
Grundlagen ................................................................................................................ 15
Glasfaserarten ............................................................................................................ 19
3.2.1
Stufenprofil......................................................................................................... 19
3.2.2
Gradientenprofil ................................................................................................. 19
3.2.3
Multimode Faser ................................................................................................ 19
3.2.4
Singlemode Faser ............................................................................................... 20
3.2.5
Aufgaben ............................................................................................................ 20
3.3
Dämpfung in Glasfaserwellenleitern ......................................................................... 21
3.4
Dispersion .................................................................................................................. 22
3.4.1
Modendispersion ................................................................................................ 22
3.4.2
Dispersionskoeffizient ........................................................................................ 23
3.4.3
Materialdispersion .............................................................................................. 23
3.4.4
Wellenleiterdispersion ........................................................................................ 24
3.4.5
Profildispersion .................................................................................................. 24
3.4.6
Gesamtdispersion ............................................................................................... 24
3.4.7
Gegenmaßnahmen .............................................................................................. 25
Übertragungssystem ......................................................................................................... 26
4.1
Lichtabsorption und -emission .................................................................................. 26
4.2
Sender ........................................................................................................................ 28
4.2.1
LED .................................................................................................................... 28
4.2.2
LD (Laserdiode) ................................................................................................. 29
2
4.2.3
4.3
Aufgaben ............................................................................................................ 30
Pumpen ...................................................................................................................... 32
4.3.1
Optisches Pumpen .............................................................................................. 32
4.3.2
Elektronisches Pumpen ...................................................................................... 33
4.4
Modulation................................................................................................................. 34
4.4.1
Direkte Modulation ............................................................................................ 34
4.4.2
Indirekte Modulation .......................................................................................... 34
4.4.3
Modulatoren ....................................................................................................... 34
4.5
Verstärker .................................................................................................................. 35
4.5.1
4.6
Erbium-Laser (EDFA, Faserlaser) ..................................................................... 35
Koppler ...................................................................................................................... 35
4.6.1
Richtkoppler ....................................................................................................... 35
4.6.2
Ringkoppler ........................................................................................................ 36
3
1.
Maxwellsche Gleichungen
1.1
Elektrische und magnetische Felder
𝑈 = 𝜑2 − 𝜑1
𝑑𝜑
𝐸⃗ = −
𝑑𝑟
⃗ = 𝜀0 𝜀𝑟 𝐸⃗ = 𝜀0 𝐸⃗ + 𝑃⃗ mit 𝑃⃗ als Polarisierung
Elektrische Flussdichte (Divergenz) 𝐷
⃗ = 𝜌𝑓𝑟𝑒𝑖
∇𝐷
Elektrisches Feld hat Quellen und Senken.
⃗ 𝑑𝐴 = 𝑄𝑔𝑒𝑠
∯𝐷
Quelle
Senke
wenn mehr raus geht als rein
wenn mehr rein geht als raus
φ1 +
+-
+- φ
+- 2
+- ++- +E, D
H, B
Innerhalb Kondensator Polarisation der Materie. Im Leiter selbst nur sehr kleine Feldstärke.
Elektrisches Feld erzeugt magnetisches Feld. Aufbau und Abbau des E-Feldes durch
⃗ ̇ . Keine Teilchen, keine frei beweglichen Ladungsträger, sondern
Verschiebungsstrom 𝐷
Energietransport über eine Art EM-Welle.
⃗ = 𝜇0 𝜇𝑟 𝐻
⃗ = 𝜇0 𝐻
⃗ +𝑀
⃗⃗
𝐵
Meist 𝜇𝑟 = 1, keine Berücksichtigung der magnetischen Materialkonstanten.
⃗ =0
∇𝐵
Keine Quellen und Senken im Magnetfeld.
⃗ 𝑑𝐴 = 0
∯𝐵
4
⃗ = 𝑗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗̇
∇×𝐻
𝑓𝑟𝑒𝑖 + 𝐷
Ein Strom erzeugt ein Magnetfeld.
Gesamtstrom ergibt sich aus elektrischen und Verschiebungsstrom.
⃗ ̇ + 𝐽) 𝑑𝐴 = ∮ 𝐻
⃗ 𝑑𝑠
∮ (𝐷
𝐴𝑞
𝐿𝑔

H

D
Umfang Lg
Fläche Aq
In Glasfaser ist kein elektrischer Strom und somit kein 𝐽:
⃗
⃗̇
∇
⏟
×𝐻
=𝐷
"Rotationsoperator"
⃗ = µ𝐷
⃗̇
∇×𝐵
Fasst Lambertsches Gesetz zusammen.
1.2
Induktion
Magnetisches Feld durch Leiterschleife erzeugt Strom. Genutzt bei Transformator und
Generator.

B
induzierter
i
Strom
Der erzeugte Strom wirkt der Ursache seines Entstehens entgegen → erzeugt Magnetfeld in
entgegengesetzte Richtung.
⃗ ̇ 𝑑𝐴 = ∫ 𝐸⃗ 𝑑𝑠
− ∫𝐵
𝐴𝑞
𝐿𝑔
𝑖 = 𝑗𝑑𝐴 𝑗 = 𝐸⃗ 𝜒 mit χ als spezifische elektrische Leitfähigkeit
⃗̇
∇ × 𝐸⃗ = −𝐵
⃗ Feld induziert 𝐸⃗ Feld. Feldgrößen hängen zusammen. Eine Veränderung
Sich veränderndes 𝐵
der einen, bewirkt Änderung der anderen.
5
1.3
Kreisfrequenz und Wellenzahl
Kreisfrequenz 𝜔 = 2𝜋𝑓 =
Wellenzahl 𝑘 =
𝑐 =𝜆∙𝑓
1.4
2𝜋
2𝜋
𝑇
𝜆
Elektromagnetische Wellen im Vakuum
𝜌 = 0; 𝑗 = 0
⃗ = 𝜀0 𝐸⃗ ; 𝐵
⃗ = 𝜇0 𝐻
⃗
𝐷
⃗ =0
𝜀0 ∇𝐸⃗ = 0; ∇𝐵
⃗̇ ; 𝑑 ∇ × 𝐵
⃗ = 𝜇0 𝜀0 𝐸⃗̈ ; 𝜇0 𝜀0 = 12
∇ × 𝐸⃗ = −𝐵
𝑑𝑡
𝑐
̇
̈
⃗
⃗
⃗
∇ × (∇ × 𝐸 ) = −∇ × B = −µ ε E
a
b
0 0
c
mit der Regel: 𝑎 × (𝑏⃗ × 𝑐) = 𝛼𝑏⃗ + 𝛽𝑐 = 𝑏⃗(𝑎 ∙ 𝑐 ) − 𝑐 (𝑎 ∙ 𝑏⃗)
∇(∇ ∙ 𝐸⃗ ) − 𝐸⃗ (∇2 ) = ∇ (∇⏟
∙ 𝐸⃗ ) − ∆𝐸⃗ = ∆𝐸⃗ = −𝜇0 𝜀0 𝐸⃗̈
𝜕2
0
𝜕
∆= 𝜕𝑟 2 ; ∇= 𝜕𝑟
Wellengleichung
𝜕2
𝛿2
1 𝜕2
(∆ − 𝜇0 𝜀0 2 ) 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) = 0 = ( 2 − 2 2 ) 𝐸⃗ (𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
𝛿𝑥
𝑐0 𝜕𝑡
Vakuum ist das ideale Medium, da keine Verzerrungen und keine Störungen
𝛿
1 𝜕
𝛿
1 𝜕
( −
)( +
) 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) = 0
𝛿𝑟 𝑐0 𝜕𝑡 𝛿𝑟 𝑐0 𝜕𝑡
𝜕
1 𝜕
( +
) 𝑈(𝑥, 𝑡) = 0
𝜕𝑥 𝑐0 𝜕𝑡
Formel 1-1
mögliche Lösung: 𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑐0 𝑡)
𝜕
𝑓(𝑥 − 𝑐0 𝑡) = 𝑓′(𝑥 − 𝑐0 𝑡)
𝜕𝑥
𝜕
𝑓(𝑥 − 𝑐0 𝑡) = −𝑐0 𝑓′
𝜕𝑡
Wenn man beide Ableitungen in Gleichung Formel 1-1 einsetzt, ergibt sich 0 → U ist eine
Lösung dieser Gleichung.
𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑐0 𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑐0 𝑡)
g
f
x
Gleichung für eine Welle: 𝐸⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝜔 ∙ 𝑒 𝑗(𝑘⃗𝑟−𝜔𝑡)
6
Überprüfen, ob diese Gleichung mögliche Lösung der Wellengleichung ist:
𝜕
⃗
𝐸⃗ = 𝐸⃗ 𝑗𝑘
𝜕𝑟
2
𝜕2
⃗ ) = 𝐸⃗ (−𝑘 2 )
⃗ = 𝐸⃗ (𝑗𝑘
𝐸
𝜕𝑟 2
𝜕
𝐸⃗ = 𝐸⃗ ∙ (−𝑗𝜔)
𝜕𝑡
𝜕2
𝐸⃗ = 𝐸⃗ ∙ (−𝑗𝜔)2 = −𝜔2 𝐸⃗
𝜕𝑡 2
1
[−𝑘 2 − 2 (−𝜔2 )] 𝐸(𝑥, 𝑡) = 0
𝑐0
2
𝜔
− 𝑘 2 = 0 → 𝜔2 = 𝑐02 ∙ 𝑘 2
𝑐02
𝜔 = ±𝑐0 𝑘 → Lösung für vorwärts und rückwärts laufende Welle → Dispersionsrelation im
Vakuum
Gruppengeschwindigkeit 𝑣𝑔 =
Phasengeschwindigkeit 𝑣𝑝 =
𝜔
𝜕𝜔
𝜕𝑘
𝑘
vg
vp
1.5
Elektromagnetische Wellen in Materie
⃗ = 𝜀0 𝐸⃗ +
𝐷
𝑃
⏟⃗
𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
Elektronen können auch so stark gebunden sein, dass keine Polarisation möglich ist.
Induzierte Dipole treten bei E-Feld auf: + − Trennung der Ladungen
Durch Polarisation erhöht sich zur Verfügung stehende elektrische Ladung.
𝜀0 𝜒𝑒 𝐸⃗ → 𝜒𝑒 = konstant
𝑃⃗(𝐸⃗ ) =
𝜀0 𝜒𝑒
𝐸⃗ = 𝜀0 ∫ 𝜒𝑒 (𝑡, 𝑡′)𝐸⃗ (𝑡′)𝑑𝑡′ → allgemeiner linearer Fall
⏟
∗
Faltung
{
(1) ⃗
𝜀0 ( 𝜒⏟
𝐸 + 𝜒 (2) 𝐸⃗ + 𝜒 (3) 𝐸⃗ + ⋯ ) → nichtlinearer Fall
Tensor
⃗ = 𝜀0 𝐸⃗ + 𝜀0 𝜒𝑒 ∗ 𝐸⃗ = 𝜀0 (1⏟+ 𝜒𝑒 ∗) 𝐸⃗ = 𝜀0 𝜀𝑟 𝐸⃗ (ohne Faltung)
𝐷
𝜀𝑟
⃗ ̇ = −µ0 𝐻
⃗̇ ; ∇ × 𝐻
⃗ =𝐷
⃗̇; ∇ × 𝐻
⃗̇ = 𝐷
⃗̈
∇ × 𝐸⃗ = −𝐵
⃗ ̇ = −µ0 𝐷
⃗ ̈ = −µ0 𝜀0 (1 + 𝜒𝑒 ∗)𝐸⃗
∇ × (∇ × 𝐸⃗ ) = −µ0 ∇ × 𝐻
7
⃗ ̇ = 𝜀0 𝐸⃗̇ + 𝜀0 𝜒𝑒 ∗ 𝐸⃗̇ = 𝜀0 (1 + 𝜒𝑒 ∗)𝐸⃗̇
𝐷
∇ (∇𝐸
⏟ ⃗ ) − ∆𝐸⃗ = −µ0 𝜀0 (1 + 𝜒𝑒 ∗)𝐸⃗
0
∆𝐸⃗ − µ0 𝜀0 (1 + 𝜒𝑒 ∗)𝐸⃗̈ = 0
𝜕2
[∆ − µ0 𝜀0 (1 + 𝜒𝑒 ∗) 2 ] 𝐸⃗ = 0
𝜕𝑡
Fouriertransformation einer Faltung ist eine Multiplikation.
−𝑘 2 𝐸⃗𝜔,𝑘 − µ0 𝜀0 ⏟
(1 + 𝜒𝑒 (𝜔)) (−𝜔2 )𝐸⃗𝜔,𝑘 = 0
𝜀(𝜔) = 𝜀0 𝜀𝑟 (𝜔)
𝜀𝑟 (𝜔)
[−𝑘 2
⏟
+ 𝜔 µ𝜀] 𝐸⃗𝜔,𝑘 = 0
2
0
𝑘 2 = µ𝜀(𝜔)𝜔2 =
1
𝜔2
𝑐 2 (𝜔)
1
𝜔 → 𝜔 = 𝑐(𝜔)𝑘
𝑐(𝜔)
𝑐0
𝑐0
𝑐(𝜔) =
≈
mit µ𝑟 (𝜔) = 1
√µ𝑟 (𝜔)𝜀𝑟 (𝜔) √𝜀𝑟 (𝜔)
𝑘=±
Im Material ändern sich c (sinkt) und k (steigt, λ sinkt). ω ist konstant.
𝑐0
𝜔 = 𝑐0 𝑘0 =
∙𝑘
⏟0 √𝜀𝑟 (𝜔)
√𝜀𝑟 (𝜔) k in Material
⏟
c in Material
Dispersion durch Frequenzabhängigkeit des Materials (Geschwindigkeit abhängig von
Frequenz).
𝛿 ∗ 𝐸⃗ = ∫ 𝛿(𝑡 − 𝑡′)𝐸⃗ (𝑡′)𝑑𝑡′ = 𝐸⃗ (𝑡)
(𝛿
⏟ + 𝛾) ∗ 𝐸⃗
𝜀𝑟
𝐸⃗ (𝑡) =
⃗𝜔
𝐸
⏟
∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡
ruhender Zeiger
[𝛿(𝑡) + 𝛾(𝑡)] ∗ 𝐸⃗𝜔 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 = 𝐸⃗𝜔 [𝛿(𝑡) + 𝛾(𝑡)] ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 = 𝐸⃗𝜔 [𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝛾 ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ]
𝛾 ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 = ∫ 𝛾(𝑡 − 𝑡′) ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡′ 𝑑𝑡′ = 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ∫ 𝛾(𝑡′) ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡′ 𝑑𝑡′
Fouriertransformation
𝐸⃗𝜔 [𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝛾 ∗ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ] → 𝐸⃗𝜔 [𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝛾(𝜔)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 ] = [1 + 𝛾(𝜔)]𝐸⃗𝜔 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡
⃗ ↔ 𝑟, je nachdem wonach man
Bei Fouriertransformation 𝜔 ↔ 𝑡 oder Wellenzahl 𝑘
transformiert.
⃗ 𝜔 mit 𝐵
⃗ =𝐵
⃗ 𝜔 ∙ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡
∇ × 𝐸⃗𝜔 = 𝑗𝜔𝐵
⃗ 𝜔 = −𝑗µ𝜔𝐷
⃗𝜔
µ∇ × 𝐻
⃗ 𝜔 = 𝜀0 𝜀𝑟 (𝜔) ∙ 𝐸⃗𝜔 𝐵
⃗ 𝜔 = µ0 µ𝑟 (𝜔) ∙ 𝐻
⃗𝜔
𝐷
⃗ 𝜔 = 𝑗𝜔(−𝑗𝜔µ𝜀𝐸⃗𝜔 ) = 𝜔2 µ𝜀𝐸⃗𝜔
∇ × (∇ × 𝐸⃗𝜔 ) = 𝑗𝜔∇ × 𝐵
⃗ 𝜔 = 𝜌𝑓𝑟𝑒𝑖 = 0
∇𝐷
8
2
2
∇ (∇𝐸
⏟ ⃗ 𝜔 ) − ∆𝐸⃗𝜔 = 𝜔 µ𝜀𝐸⃗𝜔 → (∆ + 𝜔 µ𝜀)𝐸⃗𝜔 (𝑟) = 0
0
∆= zweifache Ableitung nach dem Weg
Gleichung gilt für eine Frequenz. Für jede Frequenz neu berechnen. Vorher im Vakuum galt
Gleichung für gesamten Frequenzraum.
Mit der Gleichung: 𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) = 𝐸⃗𝜔 ∙ 𝑒 −𝑗(𝑘⃗∙𝑟−𝜔𝑡) → (−𝑘 2 + 𝜔2 µ𝜀)𝐸⃗𝜔 = 0
𝜀(𝜔) = 𝜀0 𝜀𝑟 (𝜔) µ(𝜔) = µ0 µ𝑟 (𝜔)
𝑘 = 𝜔√𝜀 ∙ µ
𝜔
1
𝑐
𝑐0
Phasengeschwindigkeit: 𝑣𝑝 = 𝑘 = 𝜀µ = 𝜀 0µ = 𝑛(𝜔)
√
√ 𝑟 𝑟
𝑛(𝜔) = Brechzahl von ω abhängig, da auch εr und µr von ω abhängig
𝑘
𝜔=
= 𝑘0 𝑐0 im Vakuum
√µ∙𝜀(𝜔)
𝑘 = 𝑘0 ∙ 𝑛
1 𝜕2
𝐸⃗ (𝑟, 𝑡)
𝑣𝑝2 𝜕𝑡 2
1 𝜕2
⃗ (𝑟, 𝑡) =
⃗ (𝑟, 𝑡)
∆𝐻
𝐻
𝑣𝑝2 𝜕𝑡 2
∆𝐸⃗ (𝑟, 𝑡) =
ω
reale Welle mit
Verzerrungen
ideal vp=vg
k
⃗ = (0; 𝐻𝑦 ; 𝐻𝑧 )
bei TE: 𝐸⃗ = (𝐸𝑥 ; 0; 0) 𝐻
⃗ = (𝐻𝑥 ; 0; 0)
bei TM: 𝐸⃗ = (0; 𝐸𝑦 ; 𝐸𝑧 ) 𝐻
⃗ und 𝐸⃗ immer senkrecht zueinander.
𝐻
km
θm
κ
90°-θm
z
Ex(y)
nm
nk
βm
z
Ex abhängig von y
𝐸⃗ => 𝐸⃗ (𝑥, 𝑦) ∙ 𝑒 𝑗(𝛽𝑧−𝜔𝑡)
Ebene Welle mit räumlich harmonischem Verlauf.
(∆𝐸⃗ (𝑥, 𝑦) − 𝛽 2 𝐸⃗ (𝑥, 𝑦)) 𝑒 𝑗𝛽𝑧 + 𝑘 2 𝐸⃗ (𝑥, 𝑦) ∙ 𝑒 𝑗𝛽𝑧 = 0
∆𝐸⃗ (𝑥, 𝑦) + (𝑘 2 − 𝛽 2 )𝐸⃗ (𝑥, 𝑦) = 0
TE:
𝜕 2 𝐸𝑥 (𝑦)
+ (𝑘 2 − 𝛽 2 )𝐸𝑥 (𝑦) = 0
𝜕𝑥 2
𝛽 = normierte Wellenausbreitung in z
9
𝑘𝑘 = 𝑘0 𝑛𝑘 𝑘𝑚 = 𝑘0 𝑛𝑚
An Grenzfläche tangentiale Komponente. Ex bleibt gleich. 𝐸|| = 𝐸′||
Senkrechte Komponenten nicht gleich:
𝐷⊥1 = 𝐷⊥2 → 𝜀𝑟1 𝐸⊥1 = 𝜀𝑟2 𝐸⊥2
𝜀𝑟 = 𝑛2 wenn µ𝑟 = 1
⃗ ̇ gelangt man zu Hy und Hz.
Über ∇ × 𝐸⃗ = −𝐵
−𝛽
1 𝑑𝐸𝑥 (𝑦)
𝐻𝑦 =
𝐸𝑥 𝐻𝑧 =
𝜔µ0
𝑗𝜔µ0 𝑑𝑦
Ex
H
z
1.6
Pointing Vektor
⃗ ; ⟨𝑆⟩ = ⟨𝐸⃗ × 𝐻
⃗⟩
𝑆 = 𝐸⃗ × 𝐻
𝐿𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔
= 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡ä𝑡
𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒
Komplexer Pointing Vektor
⃗⃗⃗⃗
𝑆𝜔 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝜔 × ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐻𝜔
1
⃗⃗⃗⃗𝜔
⟨𝑆⟩ = Re𝑆
2
1.7
1D:
Wellenpakete-Dispersion
∞
𝑦(𝑥, 𝑡) = ∫
−∞
𝑑𝑘
𝑓(𝑘)𝑒 𝑖(𝜔(𝑘)∙𝑡−𝑘𝑥)
2𝜋
Spezialfall in Vakuum 𝜔(𝑘) = 𝑐0 𝑘0
∞
𝑡 = 0: 𝑦(𝑥, 0) = ∫
∞
−∞
𝑑𝑘
𝑓(𝑘) ∙ 𝑒 −𝑖𝑘𝑥
2𝜋
∞
𝑑𝑘
𝑑𝑘
𝑦(𝑥, 𝑡) = ∫
𝑓(𝑘)𝑒 𝑖(𝑐0 𝑘𝑡−𝑘𝑥) = ∫
𝑓(𝑘)𝑒 𝑖(𝑐0 𝑡−𝑥)𝑘 = 𝑦(𝑥 − 𝑐0 𝑡, 0)
2𝜋
2𝜋
−∞
−∞
Gleichung entspricht ungestörtem Wellenpaket nach rechts mit Geschwindigkeit c0 laufend.
Gleichung erklärt sich, wenn man den Wellenberg (𝑥 − 𝑐0 𝑡) betrachtet. Wenn t größer wird,
muss auch x größer werden, um relativ gleich zum betrachteten Wellenstück von x=0, t=0 zu
bleiben. Ein größeres x bedeutet, dass die Welle mit zunehmender Zeit nach rechts wandert.
10
Taylor-Entwicklung:
𝜕𝜔
1
𝜕2
2
(𝜔(𝑘) ∙ 𝑡 − 𝑘𝑥) = (𝜔0 𝑡 − 𝑘0 𝑥) + (𝑘 − 𝑘0 ) ( 𝑡 − 𝑥) + (𝑘 − 𝑘0 ) ( 2 𝜔) 𝑡 + ⋯
𝜕𝑘
2
𝜕𝑘
∞
𝑦(𝑥, 𝑡) = ∫
−∞
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑒
1
𝑑𝑘
)(𝜔′ 𝑡−𝑥)+ (𝑘−𝑘0 )2 𝜔′′ 𝑡+⋯ ]
2
𝑓(𝑘)𝑒 𝑖[(𝜔0 𝑡−𝑘0 𝑥)+(𝑘−𝑘0
2𝜋
𝑖(𝜔0 𝑡−𝑘0 𝑥)
∞
1 2 ′′
𝑑𝑘
′
∙ ∫
𝑓(𝑘) ∙ 𝑒 𝑖[∆𝑘∙(𝜔 𝑡−𝑥)+2∆𝑘 𝜔 𝑡+⋯ ]
2𝜋
⏟
−∞
𝐴(𝜔 ′ 𝑡−𝑥,𝑎(𝑡))
Erste Ableitung 𝜔′ =
𝜕𝜔
𝜕𝑘
(Gruppengeschwindigkeit) ist für Modulation (Information), 𝜔′′ ist
Störung → verzerrt modulierte Welle. Wenn
𝜕2 𝜔
𝜕𝑘 2
11
= 0 → keine Verzerrungen.
2.
Metallische Wellenleiter
2.1
Metallische Röhre
mit reflektierender Innenseite
y
z
r
x
[∆ + 𝑘 2 ]𝐸⃗ (𝑟, 𝜔) = 0
⃗ = (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 )
𝑘
𝐸⃗ (𝑟, 𝜔) = 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) ∙ 𝑒 𝑖𝑘𝑧 ∙𝑧
𝑟⊥ variiert nur in x und y Richtung
∆=
𝜕2
𝜕2
𝜕2
+
+
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
⏟
∆⊥
𝜕2
[∆⊥ + 2 + 𝑘 2 ] 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) ∙ 𝑒 𝑖𝑘𝑧 ∙𝑧 = 0
𝜕𝑧
∆𝐸⃗ = 𝑒 𝑖𝑘𝑧 ∙𝑧 ∆⊥ 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) + 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) ∙ (−𝑘𝑧2 )𝑒 𝑗𝑘𝑧 ∙𝑧 + 𝑘 2 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) ∙ 𝑒 𝑖𝑘𝑧 ∙𝑧
∆𝐸⃗ = 𝑒 𝑖𝑘𝑧 ∙𝑧 [∆⊥ 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) + 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) ∙ (−𝑘𝑧2 ) + 𝑘 2 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔)] = 0
=> [∆
⏟ ⊥ − 𝑘𝑧2 + 𝑘 2 ] 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) = 0
0
𝑘𝑧 → 𝛽, 𝑘 2 − 𝑘𝑧2 = 𝑘𝑟2 , 𝑘 2 =
𝜔2
𝑐02
[∆⊥ − 𝑘𝑟2 ]𝐸⃗ = 0
∆⊥ 𝐸⃗ = −𝑘𝑟2 𝐸⃗
Eigenwerte von 𝐸⃗ berechnen.
𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑤𝑒𝑟𝑡
1
−𝑘𝑟21
𝐸𝑖𝑔𝑒𝑛𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛
⃗⃗⃗⃗
𝐸1
2
2
−𝑘
𝑟2
⏟
⃗⃗⃗⃗
𝐸2
𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙
Lösungen der Gleichungen sind die Moden. Je Eigenwert eine Lösung.
𝜔 2
𝑘 2 = ( 𝑐 ) = 𝑘𝑟2 + 𝛽 2
𝜔 = 𝑐0 √𝑘𝑟2 + 𝛽 2
12
ω
jede Kurve eine Mode
Kurve nähert sich
dem Grenzfall c0·β
c0 k r3
c0 k r2
c0 k r1
Cut-Off Frequenz
β
Jede Mode hat andere Ausbreitungserscheinungen (Geschwindigkeit). Je höher Frequenz (ω),
desto mehr Moden → schlechter → niedrige Frequenz mit nur einen Mode nutzen.
Modendispersion: Moden kommen unterschiedlich an und stören Detektion.
𝜔2
𝑐02
[∆ + 𝑘 2 ]𝐸⃗ (𝑟, 𝜔) = 𝑒 𝑖𝛽𝑧 (∆⊥ + 𝑘 2 − 𝛽 2 ) ∙ 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) = 0
(𝛽 2 − 𝑘 2 )
∆⊥ 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) =
∙ 𝐸⃗ (𝑟, 𝜔)
⏟
𝐸⃗ (𝑟, 𝜔) = 𝐸⃗ (𝑟⊥ , 𝜔) ∙ 𝑒 𝑗𝑘𝑧 ∙𝑧 𝑘𝑧 = 𝛽 𝑘 2 =
Eigenwerte des Operators ∆⊥
Eigenfunktionen: 𝐸⃗𝑖 (𝑟⊥ , 𝜔)
2.2
Wellenausbreitung zwischen 2 Metallflächen
unendlich ausgedehnte Platten
Wellen breiten sich nicht nur nach vorne aus, sondern werden auch zurückreflektiert. Wellen
müssen sich konstruktiv überlagern.
B
A
λ
θ
d
θ
original Welle
zweifach reflektierte C
Welle
𝐾 ∙ ̅̅̅̅
𝐴𝐶 − 2𝜋 − 𝐾 ∙ ̅̅̅̅
𝐴𝐵 = 2𝜋𝑞 𝑞 = 0,1,2 𝑚 = 𝑞 + 1
̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝐾(𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 ) = 2𝜋(𝑞 + 1) = 2𝜋𝑚
̅̅̅̅ − 𝐴𝐵
̅̅̅̅ = 2𝑑 ∙ sin 𝜃
𝐴𝐶
𝑘2𝑑 ∙ sin 𝜃𝑚 = 2𝜋𝑚
𝜋𝑚
𝑘 ∙ sin 𝜃𝑚 =
= 𝑘𝑦𝑚
𝑑
k
kym
βm
2
𝑘 2 = 𝑘𝑦2𝑚 + 𝛽𝑚
13
2
𝜔2
𝜋
2
2
2
=
𝑘
+
𝛽
=
(
𝑚)
+ 𝛽𝑚
𝑦𝑚
𝑚
𝑑
𝑐02
2
𝜋
2 + ( ∙ 𝑚)
𝜔 = 𝑐0 √𝛽𝑚
𝑑
ω
m2
m  1 2c0
m  0 c0
c0·k0 im Vakuum

d

Cut-Off Frequenz
d
βm
Alles unter Cut-Off Frequenz wird zurückreflektiert.
Gruppengeschwindigkeit
vg
c0
m=1
jede Kurve eine Mode
βm
𝑣𝑔𝑚 =
𝜕𝜔
=
𝜕𝛽𝑚
𝑐0 𝛽𝑚
2
2 + (𝑚 𝜋)
√𝛽𝑚
𝑑
14
3.
Dielektrische Wellenleiter
3.1
Grundlagen
Wellenfronten
Durch optischen Wellenleiter gehen nur Wellen, die hineinpassen. Andere werden reflektiert
und kommen am Anfang wieder hinaus (anderen Eintrittswinkel wählen je nach
Wellenlänge). Zur Übertragung wird Totalreflektion genutzt.
Glasfaser (dielektrischer Wellenleiter) besser als metallische Wellenleiter, wegen geringerer
Dämpfung.
Bei dielektrischen Wellenleitern dringt Feld der Welle ins Material ein wenig ein, bei
metallischen nicht. EM-Wellen treten erst ab sehr hohen Frequenzen (Röntgenstrahlen) ins
Metall ein.
Metallischer
Dielektrischer
Wellenleiter
In dielektrischen Wellenleitern gehen alle Frequenzen durch, keine Cut-Off Frequenz wie bei
metallischen Wellenleitern.
3.1.1
Akzeptanzwinkel, Numerische Apertur und Totalreflektion
nm
nm
β
α
nk
nAußen
φA
φg
nk
sin 𝛼 𝑛𝑚
=
sin 𝛽 𝑛𝑘
Bei Totalreflexion ist 𝛽 = 90° und 𝛼 = 𝜑𝑔 der Grenzwinkel. Für alle Winkel α größer gleich
dem Grenzwinkel ist Totalreflexion möglich.
𝑛𝑚
𝛼 = 𝜑𝑔 = arcsin
𝑛𝑘
Numerische Apertur 𝑁𝐴 = sin 𝜑𝐴
𝜑𝐴 = Akzeptanzwinkel, maximaler Winkel am Eingang. Wenn Eintrittswinkel von Außen zu
groß wird, ist α kleiner als φg und somit keine Totalreflexion möglich.
sin 𝜑𝐴
𝑛𝑘
=
sin 90° − 𝜑𝑔 𝑛𝐴𝑢ß𝑒𝑛
φg einsetzen und lange umformen:
15
2
√𝑛𝑘2 − 𝑛𝑚
𝑛𝐴𝑢ß𝑒𝑛
Für Luft 𝑛𝐴𝑢ß𝑒𝑛 = 𝑛𝐿 = 1.
𝑁𝐴 = sin 𝜑𝐴 =
3.1.2
Moden
Moden sind mögliche Eintrittswinkel mit konstruktiver Interferenz. Keine beliebigen Winkel
möglich. Restliches Licht wird vorne wieder zurückgestrahlt → Energie verschwindet nicht.
B
θθ
B
kk
2θ
A
d=2a
A
θθ
θ
C
C
Strahl muss für konstruktive Überlagerung in Phase mit Wellenfront sein. Bei Reflektion an
Grenzflächen kommt es zur Phasenverschiebung, Verschiebung der Wellenfronten.
Strecke von A bis C:
̅̅̅̅ + 𝐵𝐶
̅̅̅̅ )𝑘𝑘 + 2 Phasensprünge
ohne Auslöschung erwünscht: (𝐴𝐵
= 𝑚 ∙ 2𝜋
⏟
wegen Reflexion
mit Auslöschung unerwünscht: (2𝑚 + 1)𝜋
Berechnung der Strecke:
2𝑎
̅̅̅̅ =
𝐵𝐶
cos 𝜃
̅̅̅̅ = 𝐵𝐶
̅̅̅̅ ∙ cos 2𝜃
𝐴𝐵
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = (cos 2𝜃 + 1)𝐵𝐶
̅̅̅̅ = (cos 2𝜃 + 1)
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
mit: cos 2𝜃 = 2 cos2 𝜃 − 1
̅̅̅̅
̅̅̅̅ = 4𝑎 ∙ cos 𝜃
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
𝜃 → 𝜃𝑚 = Winkel der Mode
2𝑎
cos 𝜃
i)
Vernachlässigung des Phasensprungs an Grenzfläche
𝑘𝑘 ∙ 4𝑎 ∙ cos 𝜃𝑚 = 𝑚 ∙ 2𝜋 𝑚 = 0,1,2, …
𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 𝜆0
𝑚 ∙ 𝜆0
cos 𝜃𝑚 =
=
4𝜋 ∙ 𝑎 ∙ 𝑛𝑘 4𝑎 ∙ 𝑛𝑘
Gilt in diesem speziellen Fall. Zusätzlich auch 𝜃𝑚 ≥ 𝜑𝑔 . Für gute Leitung/ viele Moden
werden benötigt: große Dicke, kleine Wellenlängen, große Brechzahl im Kern.
ii) Mit Betrachtung des Phasensprungs
Fressnel Gleichung für transversal elektrisch polarisierte Welle:
𝑛𝑘 cos 𝜃𝑚 − 𝑛𝑚 cos 𝜃′𝑚
𝑥 − 𝑗𝑦
𝑟𝑇𝐸 =
hat die Form
𝑛𝑘 cos 𝜃𝑚 + 𝑛𝑚 cos 𝜃′𝑚
𝑥 + 𝑗𝑦
θ’m in nm
𝑛𝑘 sin 𝜃𝑚
sin 𝜃′𝑚 =
𝑛𝑚
cos 𝜃′𝑚 = √1 −
𝑛𝑘2
sin2 𝜃𝑚
2
𝑛𝑚
16
𝛷𝑇𝐸 = 2 ∙ arctan
𝑦
𝑥
Fressnel Gleichung für transversal magnetisch polarisierte Welle:
𝑛𝑚 cos 𝜃𝑚 − 𝑛𝑘 cos 𝜃′𝑚
𝑟𝑇𝑀 =
𝑛𝑚 cos 𝜃𝑚 + 𝑛𝑘 cos 𝜃′𝑚
Wir wollen nun 𝜃′𝑚 ersetzen (𝑛𝑚 = 𝑛′ ; 𝑛𝑘 = 𝑛)
𝑛
Brechgesetz: sin 𝜃′𝑚 = 𝑛′ sin 𝜃𝑚
cos 2 𝜃′𝑚 = 1 − sin2 𝜃′𝑚
𝑛 2
cos 𝜃′𝑚 = √1 − ( ) sin2 𝜃𝑚
𝑛′
Wurzel wird negativ bei Totalreflektion
Beispiel: mit 𝑛 = 1,5 und 𝑛′ = 1
𝑛′
𝜑𝑔 = arcsin = 41,8°
𝑛
𝑛 2
cos 𝜃′𝑚 = ±𝑗√( ) sin2 𝜃𝑚 − 1
𝑛′
wir wählen –j… als Lösung
𝑛 ∙ cos 𝜃𝑚 + 𝑗√𝑛2 sin2 𝜃𝑚 − 𝑛′2
𝑟𝑇𝐸 =
= |𝑟𝑇𝐸 | ∙ 𝑒 𝑗𝛷𝑇𝐸
𝑛 ∙ cos 𝜃𝑚 − 𝑗√𝑛2 sin2 𝜃𝑚 − 𝑛′2
√𝑛2 sin2 𝜃𝑚 − 𝑛′2
𝑦 ← Imaginärteil
𝛷𝑇𝐸 = 2 ∙ arctan
= 2 ∙ arctan
𝑥 ← Realteil
𝑛 cos 𝜃𝑚
𝑛
√𝑛2 sin2 𝜃𝑚 − 𝑛′2
𝑛′
𝑟𝑇𝑀 =
= |𝑟𝑇𝑀 | ∙ 𝑒 𝑗𝛷𝑇𝑀
𝑛
2
2
2
𝑛′ ∙ cos 𝜃𝑚 − 𝑗 √𝑛 sin 𝜃𝑚 − 𝑛′
𝑛′
𝑛
√𝑛2 sin2 𝜃𝑚 − 𝑛′2
𝑛′
𝛷𝑇𝑀 = 2 ∙ arctan
𝑛′ cos 𝜃𝑚
𝑛′ ∙ cos 𝜃𝑚 + 𝑗
kaum Phasenverschiebung mit 𝜃𝑚 = 45°: 𝛷𝑇𝐸 = 36,86° 𝛷𝑇𝑀 = 73,74°
starke Phasenverschiebung mit 𝜃𝑚 = 89°: 𝛷𝑇𝐸 = 177,32° 𝛷𝑇𝑀 = 178,8°, Feld dreht sich
fast um
Anmerkung: Es gibt nur Phasenverschiebungen zwischen 0 und 180°. Einfallswinkel 𝜃𝑚 muss
größer sein als 𝜑𝑔 .
Eindringtiefe:
1
∆=
𝑦 ∙ 𝑘0 ∙ 𝑛𝑚
∆ 𝑇𝐸 (45°) = 285𝑛𝑚
∆ 𝑇𝐸 (89°) = 90𝑛𝑚
Durch das Eindringen Verschiebung der Reflexionspunkte.
17
…
2𝑎 ∙ 𝑘𝑘 cos 𝜃𝑚 − 𝑚𝜋 = 𝛷𝑇𝐸 𝑚𝑖𝑡 𝑘𝑘 = 𝑘0 𝑛𝑘
√𝑛2 sin2 𝜃𝑚 − 𝑛′2
𝜋
𝑎 ∙ 𝑘𝑘 cos 𝜃𝑚 − 𝑚 = arctan
2
𝑛 ∙ cos 𝜃𝑚
Nach 𝜃𝑚 auflösen. Numerische oder grafische Lösungsverfahren (vorher auf beiden Seiten
den Tangens nehmen).
mögliche Lösungen für Moden:
𝜃𝑚𝑔 = 1,442; 1,47; 1,498; … für 𝑛 = 1,5; 𝑛′ = 1
Für schwach führende Leitung (𝑛 = 1,5; 𝑛′ = 1,48) gibt es wesentlich weniger Lösungen.
Zu jeder Mode eine bestimmte Feldverteilung.
Normierung:
𝑉=
𝑎 ∙ 𝑘0
⏟
∙
𝑁𝐴
⏟
relative Schichtdicke 𝑛𝑘 cos 𝜑𝑔
𝑉 = Konstante, abhängig vom verwendeten Material
𝛽𝑚 = 𝑘𝑘 sin 𝜃𝑚
2
2
𝑈 = 𝑎 ∙ 𝑘0 ∙ 𝑛𝑘 cos 𝜃𝑚 = 𝑎 ∙ 𝑘0 √𝑛𝑘2 − 𝑛𝑒𝑓𝑓
= 𝑎 ∙ √𝑛𝑘2 𝑘02 − 𝛽𝑚
𝑈 = transversaler Anteil (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung)
𝑉 2 = 𝑈2 + 𝑊 2
2
2 = 𝑎√𝛽 2 − 𝑛2 ∙ 𝑘 2
𝑊 = 𝑎 ∙ 𝑘0 √𝑛𝑒𝑓𝑓
− 𝑛𝑚
𝑚
𝑚
0
𝑊=
sin 𝜃𝑚
𝑘0
→ U, V, W in TE und TM Gleichung einsetzen
𝑛𝑒𝑓𝑓 = 𝑘𝑘
TE-Polarisation:
√sin2 𝜃𝑚 − (
𝜋
𝜋
tan (𝑎𝑘𝑘 cos 𝜃𝑚 − 𝑚 ) = tan (𝑈 − 𝑚 ) =
2
2
2
𝑊 √𝑉 − 𝑈 2
𝑚 gerade
tan 𝑈
}=
=
= 𝑓𝑇𝐸
𝑚 ungerade − cot 𝑈
𝑈
𝑈
Mantel nm
Kern nk
θm
κm (Kappa)
k km
βm
18
cos 𝜃𝑚
𝑛𝑚 2
𝑛𝑘 )
= 𝑓𝑇𝐸 (𝜃)
TM-Polarisation:
𝜋
𝜋
tan (𝑎𝑘𝑘 cos 𝜃𝑚 − 𝑚 ) = tan (𝑈 − 𝑚 ) =
2
2
𝑚 gerade
𝑚 ungerade
a·ky
a·km
θ
√sin2 𝜃𝑚 − (
𝑛𝑚 2
𝑛𝑘 )
𝑛 2
( 𝑛𝑚 ) cos 𝜃𝑚
𝑘
= 𝑓𝑇𝑀 (𝜃)
𝑊
√𝑉 2 − 𝑈 2
tan 𝑈
}=
=
= 𝑓𝑇𝑀
− cot 𝑈
𝑛 2
𝑛 2
( 𝑛𝑚 ) 𝑈
( 𝑛𝑚 ) 𝑈
𝑘
𝑘
Grundmode a  k k
m
andere Modi a  k k
0
a·ky
a m  U
a  m
θg
θm
a·kz
V
a·kz
a·kk
Es muss immer gelten 𝜃𝑚 > 𝜃𝑔 . 𝜃𝑔 ist kleinstmöglicher Winkel, wenn Strahl auf Grenzfläche
trifft.
3.2
Glasfaserarten
3.2.1
Stufenprofil
Kern besitzt einheitliche Brechzahl. Abrupter Übergang vom Kern zum Mantel.
nM
nM < nK
3.2.2
nK
Gradientenprofil
Kern besitzt mehrere Schichten Glas mit nach außen abnehmender Brechzahl. Dadurch
werden Strahlen außen schneller transportiert als innen und Laufzeitunterschiede zwischen
Moden ausgeglichen.
3.2.3
Multimode Faser
Leitet mehrere Moden durch, die sich gegenseitig stören (Modendispersion) und die
Detektion des Signals am Ausgang erschweren. Jede Mode hat eigenen Eintrittswinkel.
Anzahl der möglichen Moden durch Frequenz (Wellenlänge) und Querschnitt bestimmt. Je
höher Frequenz und je größer Querschnitt, desto mehr Moden werden geleitet.
19
Multimode Fasern gibt es sowohl im Stufen- als auch Gradientenprofil. Eignet sich nur für
kurze Strecken, ist aber wegen des größeren Durchmessers und der einfacheren Montage
billiger.
Leistung wird in Bitrate mal Länge = Bitratenlängenprodukt angegeben. Für Multimode
beträgt Produkt etwa 5GHz ∙ km.
3.2.4
Singlemode Faser
Nur als Stufenprofil. Da nur eine Mode geleitet wird, wäre Gradientenprofil überflüssig.
Weniger Dispersion als Multimode. Singlemode durch sehr kleinen Durchmesser (6µm)
erreicht. Dadurch große Strecken (Bitratenlängenprodukt: 𝐵 ∙ 𝐿 = 50𝐺𝐻𝑧 ∙ 𝑘𝑚) möglich.
Teuer durch kleinen Durchmesser (6µm) und sehr genaue Montage.
3.2.5
Aufgaben
3.2.5.1 OWL1
Ein FWL (Faserwellenleiter) für Mehrmodenausbreitung mit Stufenprofil hat eine
Numerische Apertur (NA) zu Luft von 0,3 und einen Brechungsindex im Mantel von 𝑛𝑚 =
1,54.
a)
Wie groß ist der Akzeptanzwinkel φA des FWL in Wasser, wenn dessen
Brechungsindex 𝑛𝑊 = 1,37 ist? Vergleichen sie diesen mit dem üblichen
Akzeptanzwinkel!
In Luft:
2
𝑁𝐴 = 0,3 = √𝑛𝑘2 − 𝑛𝑚
2 = √0,09 + 2,3716 = 1,5689
𝑛𝑘 = √0,32 + 𝑛𝑚
Brechzahl von Glas gewöhnlich zwischen 1,4 und 1,8.
2
√𝑛𝑘2 − 𝑛𝑚
𝜑𝐴𝑊 = arcsin
= 12,649°
𝑛𝑊
𝜑𝐴𝐿 = 17,46°
Akzeptanzwinkel ist etwa 5° kleiner.
Berechnen sie den Grenzwinkel φg an der Grenzfläche Kern-Mantel, ab dem
Totalreflektion auftritt!
𝑛𝑚
𝜑𝑔 = arcsin
= 78,99°
𝑛𝑘
b)
3.2.5.2 OWL2
In einem FWL für Mehrmodenausbreitung mit Stufenprofil breitet sich ein Strahl mit einer
𝑚
Geschwindigkeit von 𝑣𝑝 = 2,01 ∙ 108 𝑠 aus und der Grenzwinkel an der Grenzfläche KernMantel beträgt 80°. Berechnen sie den Akzeptanzwinkel φA des FWL, wenn sich dieser in
Luft befindet!
𝑐0 𝑐0
𝑛𝑘 = =
= 1,49
𝑐𝑘 𝑣𝑝
𝑛𝑚 = 𝑛𝑘 ∙ sin 𝜑𝑔 = 1,467
20
2 = 15°
𝜑𝐴 = arcsin √𝑛𝑘2 − 𝑛𝑚
3.2.5.3 OWL3
Ein planarer Schichtwellenleiter (SWL, Dicke << Breite) mit symmetrischem Aufbau soll
durch einen HeNe-Laser (𝜆𝑃 ≈ 633𝑛𝑚) angeregt werden. Berechnen sie für folgende Fälle
die Zahl der sich ausbreitenden Moden:
a)
Die wellenführende Schicht besteht aus Glas mit konstantem Brechungsindex 𝑛𝑘 = 1,5,
hat eine Dicke 2𝑎 = 𝑑 = 3µ𝑚 und ist von Luft (𝑛𝐿 = 1) umgeben!
𝑛𝐿
𝜑𝑔 = arcsin
= 41,8°
𝑛𝑘
2𝑎 ∙ 𝑘⏟
0 𝑛𝑘 cos 𝜃𝑚 − 𝛷𝑇𝐸 = 𝑚𝜋
𝑘𝑘
2𝑎 ∙ 𝑘𝑘 cos 𝜃𝑚 = 𝑚𝜋 + 𝛷𝑇𝐸
2𝑎 ∙ 𝑘𝑘 cos 𝜃𝑔 ≈ 𝑚𝑚𝑎𝑥 𝜋
Maximale Anzahl der Moden:
4𝑎 ∙ 𝑛𝑘 ∙ cos 𝜑𝑔
𝑚𝑚𝑎𝑥 ≈
= 10,6
𝜆0
𝑀 = Modenzahl = 𝑚𝑚𝑎𝑥 +
⏟
1
= 12
Grundmode
Nicht festgelegt, ob 𝑚𝑚𝑎𝑥 auf- oder abgerundet wird.
Beispiel: 𝑎 = 150µ𝑚 𝑛𝑘 = 1,5 𝑛𝑚 = 1 𝜆 = 633𝑛𝑚
𝑚𝑚𝑎𝑥 = 1059,7
100facher Durchmesser → 100 mal so viele Moden/Wege.
b)
Die gleiche wellenführende Schicht (s.a.) ist auf der Ober- und Unterseite jeweils durch
eine Glasschicht mit 𝑛 = 1,48 begrenzt!
Schwach führender Fall 𝜑𝑔 = 80,63°.
𝑚𝑚𝑎𝑥 ≈ 2,31 → 𝑀 = 3
Je höher λ, desto weniger Moden, bis hin zu Singlemode (𝑚𝑚𝑎𝑥 = 1). Tritt ein:
für a) bei 𝜆0 = 6,7µ𝑚
für b) bei 𝜆0 = 1465𝑛𝑚
3.3
𝑃(𝑧)
𝑃(0)
Dämpfung in Glasfaserwellenleitern
= 10
𝑃(𝑧)
𝛼𝑧
−
10
z=0
z
P(0)
P(z)
≈ 𝑒 −0,23∙𝛼𝑧
𝛼𝑧
log 𝑃(0) = − 10
1
𝑃(0)
1
Dämpfungsfaktor 𝛼 = 𝑧 ∙ 10 log 𝑃(𝑧) , Dimension: [𝛼 = 𝑘𝑚]
21
𝐿 = 10 log
𝑃1
𝑃2
𝑑𝐵
𝑑𝐵
gute Glasfasern z.B. 𝛼 = 0,2 𝑘𝑚
0,2 10km
10
mit z = 10km → P(z) = P(0) ∙ 10−km∙
mit z = 100km → P(z) = 0,01𝑃(0)
= 0,6𝑃(0)
Dämpfung durch Streuung, Absorption, austretende Wellen, Strahlführung.
Streuung: Bei Ungleichmäßigkeiten im Material entstehen neue Wellen in andere Richtungen.
Strahlführung: Bei gekrümmten Wellenleitern werden Wellen in einer Kurve aus dem
Wellenleiter herausgetragen
Dämpfungsminima bei den Wellenlängen 1,55µm, 1,3µm und 0,75-0,9µm. Deshalb sind
diese Wellenlängen besonders interessant bei Nutzung.
3.4
Dispersion
Verzerrung der Informationsimpulse
3.4.1
Modendispersion
Tritt auf, weil Moden unterschiedliche Weglängen und somit Laufzeit haben. Überlagern sich
am Ausgang und erschweren Detektion. Stellt den größten Anteil der Gesamtdispersion bei
Multimode Wellenleitern.
a
θc
Mantel
nm
Kern
nk
θ
t0
θc
b
tc
L
𝑛𝑘 > 𝑛𝑚
𝑛𝑚
𝑛𝑘
𝜃𝑐 = kritischer Winkel bei Totalreflektion
sin 𝜃𝑐 =
𝑡0 = Zeit für geraden Strahl
𝑡𝑐 = Zeit für schrägen Strahl mit kritischem Winkel
𝐿 𝐿
𝑐0
𝑡0 = = 𝑛𝑘 𝑚𝑖𝑡 𝑐 =
𝑐 𝑐0
𝑛𝑘
𝑛𝑚
𝑎 𝑡0
sin 𝜃𝑐 =
= cos 𝜃 = =
𝑛𝑘
𝑏 𝑡𝑐
𝑡0
𝑛𝑘
𝑡𝑐 =
= 𝑡0
cos 𝜃
𝑛𝑚
22
𝜃 = 90° − 𝜃𝑐 ∆𝑛 =
∆𝑡 = 𝑡𝑐 − 𝑡0 = 𝑡0 (
𝑛𝑘 − 𝑛𝑚
𝑛𝑚
𝑛𝑘
𝐿 𝑛𝑘 − 𝑛𝑚
𝐿
− 1) = (
) = ∆𝑛
𝑛𝑚
𝑐0
𝑛𝑚
𝑐0
Je größer Trägerfrequenz (je kleiner Wellenlänge: 850, 1300, 1550nm), desto kleiner
Wellenlängenverschiebung. Je größer modulierende Frequenz (1 – 1000GHz), desto größer
Wellenlängenverschiebung. Große Wellenlängenverschiebungen schlecht, stören eventuell
Nachbarsignalrückerkennung, da Bits ineinander laufen, verschmieren.
3.4.2
Dispersionskoeffizient
δτd
τd
τd+δt
𝜕𝜏𝑑
𝜕𝜏𝑑
𝛿𝜏𝑑 =
𝑑𝜔 =
𝑑𝜆
𝜕𝜔
𝜕𝜆
𝑧
𝜏𝑑 =
𝑣𝑔
𝜕 𝑧
𝜕 𝑧
𝛿𝜏𝑑 =
( ) 𝑑𝜔 =
( ) 𝑑𝜆
𝜕𝜔 𝑣𝑔
𝜕𝜆 𝑣𝑔
𝜕 1
𝜕 1
𝛿𝜏𝑑 = 𝑧 (
) 𝑑𝜔 = 𝑧 (
) 𝑑𝜆
𝜕𝜔 𝑣𝑔
𝜕𝜆 𝑣𝑔
Dispersionskoeffizient:
𝜕 1
𝜕 𝜕𝛽
𝜕2
𝐷𝜔 =
=
=
𝛽(𝜔)
𝜕𝜔 𝑣𝑔 𝜕𝜔 𝜕𝜔 𝜕𝜔 2
𝜕 1
𝜕 𝜕𝛽
𝜕2
𝐷𝜆 =
=
= 2 𝛽(𝜆)
𝜕𝜆 𝑣𝑔 𝜕𝜆 𝜕𝜆 𝜕𝜆
𝑝𝑠
[𝐷𝜆 ] =
Picosekunden pro (Nanometer mal Kilometer)
𝑛𝑚∙𝑘𝑚
𝛿𝜏𝑑 = 𝑧 ∙ 𝐷𝜔 ∙ 𝑑𝜔 = 𝑧 ∙ 𝐷𝜆 ∙ 𝑑𝜆
3.4.3
Materialdispersion
Brechzahl abhängig von Frequenz. Deshalb werden Wellen unterschiedlicher Frequenz
unterschiedlich schnell geleitet. Bits laufen ineinander, verschmieren (wie bei
Modendispersion).
2𝜋
𝜔
𝛽=
𝑛= 𝑛
𝜆0
𝑐0
𝑑𝑛
𝜆 − 𝑛(𝜆0 ) 𝜕𝜆
1
𝜕𝛽
𝜕𝛽 𝜕𝜆0
𝜕 2𝜋 ∙ 𝑛 𝜕𝜆0
𝑑𝜆0 0
0
=
=
=
(
)
= 2𝜋 (
)
𝑣𝑔 𝜕𝜔 𝜕𝜆0 𝜕𝜔 𝜕𝜆0 𝜆0
𝜕𝜔
𝜕𝜔
𝜆20
𝜔 = 𝑘0 𝑐0 =
2𝜋 ∙ 𝑐0
2𝜋 ∙ 𝑐0
→ 𝜆0 =
𝜆0
𝜔
23
𝜕𝜆0
2𝜋 ∙ 𝑐0
2𝜋 ∙ 𝑐0
𝜆20
=−
=
−
=
−
𝜕𝜔
𝜔2
2𝜋𝑐0
2𝜋 ∙ 𝑐0 2
(
)
𝜆0
𝑑𝑛
𝑑𝑛
𝜆 − 𝑛(𝜆0 )
𝑛−
𝜆
1
𝜆20
1
𝑑𝑛
𝑑𝜆0 0
𝑑𝜆0 0
= 2𝜋 (
)
∙
(−
)
=
(−
𝜆
+
𝑛)
=
𝑣𝑔
2𝜋𝑐0
𝑐0
𝑑𝜆0 0
𝑐0
𝜆20
𝑐0
𝑐0
=
𝑑𝑛
𝑁(𝜆0 )
𝑛−
𝜆
𝑑𝜆0 0
𝑐0
𝑐𝑛 =
𝑛
𝑣𝑔𝑛 =
𝐷𝜆𝑚
mit 𝑁(𝜆0 ) = 𝑛 −
𝑑𝑛
𝜆
𝑑𝜆0 0
𝑑𝑛
𝑑 1
𝑑 𝑁(𝜆0 )
𝑑 𝑛 − 𝑑𝜆0 𝜆0
1
𝜆0
=
( )=
=
(
) = (𝑛′ − 𝑛′ − 𝜆0 𝑛′′) = − 𝑛′′
𝑑𝜆0 𝑣𝑔
𝑑𝜆0 𝑐0
𝑑𝜆0
𝑐0
𝑐0
𝑐0
𝐷𝑓𝑚 =
3.4.4
𝜆30
𝑛′′
𝑐0
Wellenleiterdispersion
Welle tritt kurz in Mantel ein (real), statt Totalreflektion (ideal). Auch bei zu engen Kurven
kann Licht aus Wellenleiter austreten. Da Mantel aber viel geringere Brechzahl hat als Kern,
wird Licht darin wesentlich schneller geleitet. Auch die Eindringtiefe hängt von der
Wellenlänge ab. 𝐷𝜆𝑤
Mantel Kern Mantel
W
Intensität für
niedrige Frequenzen
Intensität für
hohe Frequenzen
3.4.5
K
Profildispersion
Enthält Änderung des Brechzahlprofils mit der Frequenz. 𝐷𝜆𝑝
3.4.6
Gesamtdispersion
Für Singlemode gibt es keine Modendispersion:
𝐷𝜆 = 𝐷𝜆𝑚 + 𝐷𝜆𝑤 + 𝐷𝜆𝑝
𝐷𝜔 = 𝐷𝜔𝑚 + 𝐷𝜔𝑤 + 𝐷𝜔𝑝
Bei Multimode ist die Modendispersion so dominant, dass andere vernachlässigbar.
24
3.4.7
Gegenmaßnahmen
Anpassen des Brechzahlprofils des Wellenleiters damit Dispersion Minimum bei
Übertragungsfrequenz.
n
D
λ
0
a
Brechzahlverlauf
über Querschnitt
Wellenleiterdispersion + Materialdispersion = Chromatische Dispersion. Gewöhnlich 0 bei
λ = 1300nm. Durch Gegenmaßnahmen kann man dies ins Dämpfungsminimum bei 1550nm
bringen.
Die Dispersion, die durch die frequenzabhängige Brechzahl der Wellenleiter entsteht, kann
eliminiert werden, indem nach einem Stück Wellenleiter mit bestimmten Brechzahlverhalten
ein anderes mit genau entgegengesetzten Verhalten folgt.
25
4.
Übertragungssystem
Quelle
Sender
Empfänger
Senke
Sender = Elektrisch-Optische Wandler
Empfänger = Optisch-Elektrische Wandler
4.1
Lichtabsorption und -emission
W
W
GaAs
K
direkte
Halbleiter
Absorption
-
Si, Ge
K
indirekte
Halbleiter
spontane
Emission
-
stimulierte
Emission
-
ELeitband
ES  EL  EV
-
-
EValenzband
-
𝐸𝑆 = 𝐸𝑃ℎ𝑜𝑡𝑜𝑛 = 𝑊𝑔 = ℎ𝑓 = ħ𝜔
Aus Bandabstand kann man emittierte Wellenlänge ermitteln.
Wenn man Stromstärke durch Diode ändert, ändern sich auch die Energieniveaus der
einströmenden Elektronen. Je größer I, desto größer Banddifferenz und Energie, desto größer
Frequenz, desto kleiner Wellenlänge. Je größer Temperatur, desto kleiner Banddifferenz und
Energie, desto kleiner Frequenz und desto größer Wellenlänge.
Bei Emission wird nicht nur genau eine einzige Wellenlänge ausgestrahlt, da Elektronen eine
Verteilungsfunktion besitzen.
WLeit
-
-
Verteilungsfunktion der Elektronen
Verteilungsfunktion bei höherem I
WValenz
-
26
spontane Emission:

Licht emittiert durch zufällige Rekombination, Zeitpunkt nicht genau bestimmbar

Absorption des Lichts im Sender wirkt sich störend aus → induzierte Absorption,
Generation eines Elektronen-Loch-Paares

EPhoton bei Silizium etwa 1,12V
induzierte/ stimulierte Emission:

auf schon erregtes Elektron trifft Licht und es wird zweites Photon mit gleicher
Wellenlänge und Phase erzeugt

für bestimmte Wellenlängen Bandabstände variieren, Mischhalbleiter
𝐸0 =
ħ𝜔
2
1
im Grundzustand können keine Emission abgeben werden.
1
𝐸𝑛 = 2 ħ𝜔 + 𝑛ħ𝜔 = (2 + 𝑛) ħ𝜔 𝑛 = 0,1,2, … Emission einer Mode
Amplitude drückt Anzahl der Photonen. Bei Emission
wird Amplitude größer. Bei Absorption kleiner.
Photon ħω
20%
Einfallendes und reflektiertes Licht löschen sich
idealerweise aus und verstärken so durchgehendes Licht
bis auf das 5 fache der Intensität der einfallenden
Strahlung.
80%
80%
20%
𝑁2 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑒 − 𝑖𝑛 𝐸𝐿
} Besetzungszahlen
𝑁1 𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑒 − 𝑖𝑛 𝐸𝑉
𝑛 = 𝑁2 − 𝑁1 Inversion
Q = Anzahl der Photonen
Bilanzgleichungen welche Prozesse Photonenanzahl erhöhen oder verringern.
Absorption:
𝑑𝑄
𝑁
𝑁
= −𝐵12 ∙ 𝑄 ∙ 𝑁1 = 𝑡1 = − 𝑡2 → wenn oben mehr werden, dann müssen unten weniger
𝑑𝑡
werden. Bei Absorption sinkt Q →
Absorption
Emission
-
1,5 ħω
-
E2, N2
𝑑𝑄
𝑑𝑡
< 0.
∆𝐸𝑛 = 𝐸𝑛+1 − 𝐸𝑛 = ħ𝜔 = 𝑃ℎ𝑜𝑡𝑜𝑛
Abgabe nur in ganzen Paketen.
½ ħω
spontane Emission:
𝑑𝑄
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝐴21 ∙ 𝑁2 =
𝑑𝑡
𝑑𝑄
stimulierte Emission:
Gesamt: 𝑄̇ =
E1, N1
-
𝑑𝑡
𝑁2
𝑡
=−
𝑁1
𝑡
= 𝐵21 ∙ 𝑄 ∙ 𝑁2
= −𝐵12 𝑄𝑁1 + 𝐵21 𝑄𝑁2 + 𝐴
⏟
21 𝑁2 − 𝜅 ∙ Q = BQ(N2 − N1 ) + AN2 − 𝜅𝑄
𝐵21 ∙𝑄0
27
B12, B21 = B Einsteinkoeffizienten, gleiche Wahrscheinlichkeit für beide Prozesse
Q0 = Vakuumfluktuation im Grundzustand
κ = Verlust, von Apertur abhängig
Q ist unbekannt
𝑛 = 𝑁2 − 𝑁1 Inversion (wenn = 0, dann oben genauso viele Elektronen wie unten)
Rest bekannt
Bei Laser ist AN2 sehr klein. Bei LED ist AN2 sehr groß.
Durch Verluste würde System irgendwann in Ruhezustand kommen.
Damit (bei Laser) 𝑄̇ > 0 → 𝐵(𝑁2 − 𝑁1 ) − 𝜅 > 0 → 𝐵𝑛 − 𝜅 > 0
Inversion erhöhen → N2 vergrößern (Elektronen hoch bringen), durch:

optisches Pumpen

elektronisches Pumpen
4.2
Sender
An Dioden Rechtecksignal angelegt. Optische Leistung Popt und Intensität 𝛷𝑒 (𝑡) nach Zeit
moduliert. Sendedioden sind in Durchlassrichtung gepolt. Empfangsdioden in Sperrrichtung
gepolt, um die Spannungsänderung über ihnen, verursacht durch den Lichteinfall zu messen.
4.2.1






LED
eingesetzt bei Multimode
breites Spektrum
besteht aus einer n- und einer p-dotierten Zone, zwischen beiden bildet sich eine
Raumladungszone
nicht interferenzfähig (Photonen kommen zufällig, statistische Verteilung), spontane
Emission durch Rekombination in Raumladungszone
verschiedene Moden interferenzfähig, damit nicht so störungsanfällig
weiße Dioden über 3 Dioden (RGB) oder UV-Diode mit Phosphor → Phosphor macht
aus UV sichtbares Licht mit breitem Spektrum
n
p
- - -
Licht
Fermienergie
+++




hohe Konzentration der Ladungsträger in Raumladungszone, dort größte
Strahlungsintensität
Elektronenbewegung in Bahngebiete durch Diffusion, in Raumladungszone durch
elektrisches Feld
Licht sollte vor Absorption die Raumladungszone nach außen verlassen
damit es außerhalb der Raumladungszone zu keiner unerwünschten Rekombination
kommt, erhält RLZ höheren Brechungsindex und somit anderen Bandabstand als in
Bahngebiete
28
W Elektronenenergie
p
RLZ
n
aktive Zone
n Brechungsindex
Flächenstrahler
Kantenstrahler
ganz dünne obere Schicht,
damit Licht durch kommt
4.2.2







LD (Laserdiode)
Eingesetzt bei Singlemode
schmales Spektrum (kohärent, monochromatisches Licht gleicher Polarisation und
Phase)
interferenzfähig da kohärent
anfällig gegen Störungen, die Kohärenz zerstören
extrem hoch dotiert → Inversion, Ferminiveau rutscht in die Bänder
spontan emittierte Photonen wichtig, damit Laser in Gang kommt, sie werden
gesammelt (Rückkopplung der Photonen) bis stimulierte Emission einsetzt
Rückkopplung der Photonen zwischen zwei Spiegel, Reflexionskoeffizient 𝑅 =
(𝑛−1)2
(𝑛+1)2



RLZ
=> 0,3 … 0,4
gefangene Photonen werden durch Filter aus dem Resonator nach außen gelassen
Filter behält nur bestimmte Wellen (stehende Wellen mit bestimmter Wellenlänge, 𝐿 =
𝜆
𝑚 ∙ 2) drin
spontane Photonen würden in Verstärkern stören, deshalb werden sie herausgefiltert
+
Isolator
p-AlGaAs
hier geht Licht raus: 200nm
GaAs aktives Gebiet
n-AlGaAs
5µm
n-GaAs Substrat
200µm

durch geringe Schichtdicke (200nm) starke Beugung, divergentes Profil, mit Kugellinse
versucht man es auszugleichen, bevor Licht in den Wellenleiter geschickt wird
29
4.2.3
Aufgaben
4.2.3.1 LED1
Berechnen sie für eine GaAs-LED die Wellenlänge der größten Strahlungsemission λP bei
Zimmertemperatur (20°C)!
a)
Wie ändert sich λP bei einer Temperaturerhöhung auf 60°C?
𝑑𝑊𝑔
𝑒𝑉
= −0,005 𝐾
40𝐾 = 0,02𝑒𝑉
𝑊𝑔 = 1,43𝑒𝑉 → 𝜆𝑃 = 867𝑛𝑚
𝑑𝑇
b)
Diskutieren sie den Einfluss der Temperaturerhöhung auf die IU-Kennlinie und den
Wirkungsgrad!
𝜆𝑃 40𝐾 = 879𝑛𝑚
Φ
20-50nm
867
λ
20 bis 50nm Änderung bei Temperaturschwankungen
𝑛𝑈
𝐼 = 𝐼𝑆 (𝑇) (𝑒 𝑈𝑇 − 1)
𝑈𝑇 =
𝑘𝑇
𝑒
𝑘 =Bolzmannkonstante
I
U
4.2.3.2 LED2
Im Inneren einer LED mit Doppelheterostruktur (AlGaAs) wird bei einem Flussstrom von
60mA eine optische Leistung von 28,4mW erzeugt.
a)
Berechnen sie die Wellenlänge der größten Strahlungsemission λP, wenn die
Lebensdauern für strahlende und nichtstrahlende Rekombination der Minoritäten gleich
groß sind!
b)
Diskutieren sie den konstruktiven Widerspruch zwischen hohem Quantenwirkungsgrad
und schneller Modulierbarkeit einer solchen LED!
4.2.3.3 LED3
Eine GaAs-Flächenemitterdiode emittiert bei einer Wellenlänge 𝜆𝑃 = 850𝑛𝑚, hat einen
inneren Quantenwirkungsgrad von 60% und wird von einem Flussstrom 𝐼𝐹𝑙 = 60𝑚𝐴
durchflossen. Bestimmen sie die durch Lumineszenz erzeugte innere optische Leistung!
30
𝐼
𝛷𝑒 = ∙ 𝑊𝑃ℎ𝑜𝑡 ∙ 𝜂𝑖 𝜂𝑖 =Wirkungsgrad, 𝑊𝑃ℎ𝑜𝑡 = 2,337 ∙ 10−19 𝑊𝑠
𝑒
𝛷𝑒 = 0,0525𝑚𝑊
𝑚
𝑐0 = 2,997 ∙ 108 𝑠
𝐽
ℎ = 6,626 ∙ 10−34 𝑠
𝑒 = 1,602177 ∙ 10−19 𝐶
Φe
I
4.2.3.4 LD4
Eine GaAs-Injektions-Laserdiode habe unter normalen statischen Betriebsbedingungen einen
Schwellenstrom 𝐼𝑆 = 60𝑚𝐴, einen differentiellen Quantenwirkungsgrad ηd von 50%, wird
von einem Strom 𝐼 = 80𝑚𝐴 durchflossen und emittiert optische Strahlung bei einer
Peakwellenlänge von 𝜆 = 850𝑛𝑚.
a)
Berechnen sie die emittierte optische Leistung!
𝐼𝑆 = 60𝑚𝐴 Schwellstrom
𝐼 = 80𝑚𝐴 fließender Strom
+
+
N Phot
t
Wg
-
𝑁
𝐼−𝐼
Photonen pro Zeit = 𝑃ℎ𝑜𝑡
= 𝑒 𝑆 ∙ 𝜂𝑑
𝑡
Bis IS nur spontane Emission, erst wenn der Strom über IS, werden induzierte Photonen
erzeugt.
𝑁
𝛷𝑒 = 𝑃ℎ𝑜𝑡
∙ 𝑊𝑃ℎ𝑜𝑡
𝑡
𝑊𝑔 = 𝑊𝑃ℎ𝑜𝑡 =
ℎ∙𝑐0
𝜆
= ℎ ∙ 𝑓 = 14,6𝑚𝑊
Φe
ab IS linearer
Anstieg
d e
dI
IS
I
Diskutieren sie den differentiellen Quantenwirkungsgrad ηd und den inneren
Quantenwirkungsgrad ηi!
Wirkungsgrad ist Verhältnis von erzeugten Photonen zu zugeführter Ladung.
b)
31
4.2.3.5 LD5
Eine verstärkungsgeführte GaAs-Laserdiode sei auf einem Arbeitspunkt bei 5mW
Leistungsabgabe bei λ = 850nm eingestellt. Bei der Umgebungstemperatur sei der
Schwellenstrom 𝐼𝑆 = 150𝑚𝐴 und der differentielle Quantenwirkungsgrad ηd betrage 30%
(diodenabhängige Konstante 𝑇0 = 180𝐾).
Wie ändert sich die abgegebene Leistung, wenn sich im Betrieb die Umgebungstemperatur
um 10K erhöht und der Gesamtstrom konstant bleibt?
IS ist stark temperaturabhängig. Photodiode misst Φe und korrigiert I. Strom bestimmen:
𝛷 𝜆∙𝑒
𝐼 = ℎ∙𝑐𝑒 ∙𝜂 + 𝐼𝑆 = 161,4𝑚𝐴
0
𝑑
∆𝑇
𝐼𝑆 (𝑇 + ∆𝑇) = 𝐼𝑆 (𝑇) ∙ 𝑒 𝑇0 = 158𝑚𝐴
𝛷𝑒 (𝑇 + ∆𝑇) = 1,25𝑚𝑊 wenn I konstant, sinkt Φe auf ein Viertel
4.3
Pumpen
4.3.1
Optisches Pumpen
4-Niveau-Laser (vor allem Gaslaser) (es gibt auch 3-Niveau-Laser)
-
-
-
-
Bilanzgeleichung für Elektronen:
𝑛
𝑛̇ = 𝑃 − 2𝐵𝑛𝑄 −
𝜏𝑆𝑝
P = Pumpparameter, Anzahl der Elektronen pro Zeit (daran können wir drehen)
2𝐵𝑛𝑄 =Verluste durch Pumpvorgang (wenn Photonen erzeugt wird, geht Inversion um 2
Stellen runter)
𝑛
=spontane Verluste
𝜏
𝑆𝑝
1
𝜏𝑆𝑝 = 𝜅 =Photonenlebensdauer
1
𝑄̇ = 𝑄 [𝐵 ∙ 𝑛 −
]
𝜏𝑃ℎ
Näherung = Adiabatische Approximation, d.h. 𝑛̇ = 0 immer im Gleichgewicht
𝑛
0 = 𝑃 − 2𝐵𝑛𝑄 − 𝜏 → nach n auflösen
𝑆𝑝
𝑛=
𝑃
1
2𝐵𝑄 + 𝜏
𝑆𝑝
𝑄̇ = 𝑄 [𝐵
𝑃
1
2𝐵𝑄 + 𝜏
−
1
]
𝜏𝑃ℎ
𝑆𝑝
Bei 𝑃 > 0 wächst Photonenzahl Q, aber da Q auch in Nenner, wird Zuwachs immer kleiner,
wächst somit nicht ins Unendliche.
32
𝐵𝑃
1
𝑄̇𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛ä𝑟 = 0 → [
−
]=0
1
𝜏𝑃ℎ
2𝐵𝑄𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛ä𝑟 + 𝜏
𝑆𝑝
𝑄̇𝑆𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛ä𝑟
1
𝐵𝑃 ∙ 𝜏𝑃ℎ − 𝜏
𝜏𝑃ℎ
1
𝑆𝑝
=
=𝑃∙
−
2𝐵
2
2𝐵𝜏𝑆𝑝
QStat
P
Pth 
1

2 B Sp
 Ph
2
P
1
B  Ph  Sp
Pth = Schwellwert für Pumpvorgang (möglichst klein für guten Laser). Für kleines P th große
Lebensdauer τPh, τSp.
4.3.2
Elektronisches Pumpen
n
-
-
-
-
-
-
+
+
-
p
+
+
+
Halbleiter mit n und p dotierten Hälften.
Empfänger:

undotierter Halbleiter

ohne Licht Isolator, mit Licht schwach leitend
Für Ladungsträgertransport entweder Spannung anlegen → abschrägen der Energieniveaus
-
+
+
Oder: p-n Dotierung, dann keine zusätzliche Spannung nötig, bei Solarzelle genutzt
𝐽
Für eine Mode: 𝑃 = 𝑒∙𝑑 mit J = Stromdicht, d = Dicke der RLZ, e = Elementarladung,
𝐴
Dimension [𝑃] = 𝑚3 𝐶, C = Coulomb
𝐽
𝑛
𝑛̇ =
−
− 𝐵𝑛𝑄
𝑒 ∙ 𝑑 𝜏𝑆𝑝
𝑄
𝑄̇ = 𝐵𝑛𝑄 −
𝜏𝑃ℎ
1
𝐽𝑡ℎ
𝑃𝑡ℎ =
=
𝐵𝜏𝑃ℎ ∙ 𝜏𝑆𝑝 𝑒 ∙ 𝑑
33
𝐽𝑡ℎ =
𝑒∙𝑑
𝐵 ∙ 𝜏𝑃ℎ ∙ 𝜏𝑆𝑝
(Doppelhetero-Strukturen, innen stärker dotiert als außen, über verschiedene Materialien
realisiert, Rekombination hauptsächlich in RLZ)
Streifenlaser:
p
p
Photonen können
nur an Stirnfläche
austreten
Isolator
n
4.4
Modulation
4.4.1
Direkte Modulation
Für geringe Modulationsfrequenzen wird direkt I durch Diode moduliert. Direkte Änderung
der Strahlungsleistung. Hauptsächlich eingesetzt bei LED und Übertragungen über
𝐺𝐵𝑖𝑡
Multimodefasern. Datenraten ≤ 1 𝑠 , da LED träge.
LED, (LD)
moduliertes
Signal
iVerstärker
iSignal
LED
modulierendes Signal
4.4.2
LD
Indirekte Modulation
Modulation
Verstärker
Detektor
Signal
Signal
4.4.3
Modulatoren
Für hohe Modulationsfrequenzen (> 1GHz) wird Elektro-Absorptionsmodul benötigt, das die
Leitfähigkeit/ Brechzahl so ändern, dass Signal moduliert raus kommt (≈ 10GHz).
Mach-Zehnder-Interferometer
Auslöschen (reflektieren, Signal kommt vorne wieder raus, geht nicht verloren) oder
Verstärken. Nutzung des Pockets Effekt zur Veränderung des Brechungsindexes.
Signal
Akustischer Modulator
34
LD
Surface Acoustic Waves, Schaltender Strahl
4.5
Verstärker
4.5.1
Erbium-Laser (EDFA, Faserlaser)
1
-
2
Signal
-
3
-
-
dotiert
undotiert
Pumplaser
4
-
Ein Stück Glasfaser (Siliziumdioxid, SiO2) ist mit Erbium (Er3+) dotiert. Durch gezielte
Dotierung werden bestimmte Energieniveaus eingestellt (4 Niveaus), wodurch nur bestimmte
Wellenlängen verstärkt werden (980, 1530nm).
Im ersten Schritt wird ein Elektron auf ein höheres Energieniveau gepumpt. Auf diesem
verweilt es nur kurz (Picosekunden) und fällt anschließend auf ein metastabiles
Zwischenniveau (Verweilzeit mehrere Millisekunden). Kommt nun ein Lichtimpuls passender
Wellenlänge an, wird das Elektron angeregt, ebenfalls einen Impuls mit gleichen
Eigenschaften (kohärent) abzugeben. Somit induzierte Emission zur Verstärkung. Spontane
Emission (Rekombination) ungewollt, sollte vermeidet werden. Ebenso ist das Absorbieren
emittierter Photonen ungewünscht. Abschließend kehrt Elektron wieder in den
Ursprungszustand zurück. Zur Anregung werden Photonen vom Empfänger rückgekoppelt.
Zum dotieren sind alle Elemente der Lanthanoiden (Seltene Erden) geeignet. SiO2
transparentes Wirtsmaterial mit guter Isolation. Bei hohen Leistungen/ Übertragungsraten gibt
es nichtlineare Effekte.
4.6
Koppler
4.6.1
Richtkoppler
λ1
λ1+λ2
λ2
35
Zwei Signale werden auf eine Faser zusammengeführt. Gezieltes Ausnutzen des
Übersprechens. Auch Auskoppeln möglich.
4.6.2
Ringkoppler
ausgekoppelt
Signal
eingekoppelt
Länge des Rings ist Vielfaches der Wellenlänge des Signals.
36