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Arbeitsauftrag 3: Flächenmessung im Gelände
Für einige Vermessungsaufgaben kann das Gauß-Elling-Verfahren benutzt werden, mit dem man
den Flächeninhalt eines Vielecks aus den Koordinaten seiner Eckpunkte berechnen kann. Man geht
dazu wie folgt vor:
Man nummeriert zunächst die Ecken im Uhrzeigersinn durch(beginnend von einer beliebigen
Ecke): 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑃3 (𝑥3 , 𝑦3 ), … , 𝑃𝑛 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ). Der Flächeninhalt der gesuchten Fläche ergibt
sich dann als:
𝐴=
(𝑥2 − 𝑥1 ) ∙ (𝑦1 + 𝑦2 ) + (𝑥3 − 𝑥2 ) ∙ (𝑦2 + 𝑦3 ) + ⋯ + (𝑥1 − 𝑥𝑛 ) ∙ (𝑦𝑛 + 𝑦1 )
2
Das Verfahren hat u.a. den Vorteil, sehr leicht mit einem Tabellenkalkulationsprogramm umsetzbar
zu sein.
Aufgaben
1)
Berechnet für die oben stehende Fläche ABCDE den Flächeninhalt mit dem Gauß-EllingVerfahren, wobei Ihr einmal mit dem Punkt A und einmal mit dem Punkt C als P1 beginnt.
(Zur Kontrolle: Das Ergebnis liegt zwischen 18 und 20 FE).
2)
Wieso funktioniert das Gauß-Elling-Verfahren überhaupt? Wir schauen uns dazu die Formel
von oben etwas genauer an. Wir wählen erneut den Punkt A als P1.
a)
Durch den ersten Teilterm
(𝑥2 − 𝑥1 ) ∙ (𝑦1 + 𝑦2 )
𝐴1 =
2
wird die Fläche eines Vielecks bestimmt, das von der Seite P1P2 und einem Abschnitt
der x-Achse begrenzt wird. Um was für ein Viereck handelt es sich dabei?
b)
Durch den zweiten Teilterm
(𝑥3 − 𝑥2 ) ∙ (𝑦2 + 𝑦3 )
𝐴2 =
2
wird ebenfalls die Fläche eines Vielecks derselben Form bestimmt, das von der Seite
P2P3 und einem Abschnitt der x-Achse begrenzt wird. Allerdings bekommt der Teilterm
A2 ein negatives Vorzeichen. Welche Fläche wird betrachtet, wenn man 𝐴1 + 𝐴2 ausrechnet?
c)
3)
Überlegt weiter: Wann bekommt eine Teilfläche ein positives, wann ein negatives Vorzeichen? Sucht alle berechneten Teilflächen heraus und überlegt, warum sich insgesamt
die Fläche von ABCDE ergibt.
In der beiliegenden GeoGebra-Datei findet Ihr untenstehende Karte der politischen Bezirke
im Land Kärnten.
a)
b)
c)
d)
Wählt zehn Punkte auf den Bezirksgrenzen des Bezirks Wolfsberg, so dass das entstehende Zehneck möglichst genau mit den Bezirksgrenzen übereinstimmt.
Lest aus GeoGebra die Koordinaten der Punkte ab und berechnet mit dem Gauß-EllingVerfahren die Fläche des Bezirks Wolfsberg (Maßstab beachten!).
Überprüft Eure Rechnung aus b), in dem Ihr Euch in GeoGebra die Fläche des Zehnecks
anzeigen lasst (Maßstab beachten!). Vergleicht die Ergebnisse mit denen der anderen
Gruppen.
Überprüft Eure Rechnungen aus b) und c), in dem Ihr die Fläche des Bezirks Wolfsberg
im Internet recherchiert.