2. SA
Werbung
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik 4 ck – jaksch Freitag, 27. März 2015 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) b) 2. a) b) 3. a) b) 4. a) b) c) Eine quaderförmige Lagerhalle mit der Höhe 6 m soll errichtet werden. Ein Quadratmeter normale Wand kostet 700 €/m2. Die Vorderfront kostet um 80 % mehr als die normale Wand. Die Gesamtkosten für die Wände soll nicht mehr als 2 Mio. Euro betragen. Berechnen Sie die Abmessungen so, dass die Grundfläche maximal wird. Berechnen Sie die Größe der Grundfläche. 700 b 6 · 1,8 + 700 (6 b + 6 · 2 · t) = 2 000 000 b = Error! Z(t) = b t = Error! t Error! = Error! = 0 t = 119 m b = 85 m Ein rechteckiger Teil eines Grundstücks soll eingezäunt werden. Dabei müssen 8 m einer Seite nicht mehr berücksichtigt werden, weil dort das Nachbarhaus steht. Aus finanziellen Gründen darf der Zaun nicht länger als 160 m sein. Berechnen Sie die Abmessungen des Grundstücks so, dass die Fläche möglichst groß ist. 160 = 2x + 2y – 8 x = 84 – y und A = x y = (84 – y) y Error! = 2 (42 – y) = 0 y = 42 und x = 42 Eine Bahnlinie verläuft entlang der x-Achse des Koordinatensystems. Von zwei Ortschaften A (0 / 10) und B (14/4) sollen gerade Verbindungen zu dieser Bahnlinie gezogen werden. Berechnen Sie die Lage des Punktes X auf der Bahnlinie so, dass die Gesamtstrecke AXB möglichst klein ist. Berechnen Sie die Größe der Einmündungswinkel α und β der beiden Strecken AX und BX. s = 100 + x2 + (20 – x)2 + 16 Error! = 0 x = 10 X (10 / 0) tan α = Error! α = 45° tan β = Error! β = 45° Eine Firma stellt zylindrische Dosen mit dem Volumen 800 cm3 her. Die Herstellungskosten für den Mantel sind um 40 % größer als für Boden und Decke. Stellen Sie die Zielfunktion und die Nebenbedingung für dieses Problem auf. (Formel für den Zylinder: V = r2 π h Mantel = 2 r π h Fläche eines Kreises r 2 π ) 2 2 V = 800 = r π h und K = k (2,8 r π + 2 r π h) Ein Produkt hat eine Nachfragefunktion pN(x) = 100 – 2x und eine Angebotsfunktion p A(x) = 3x + 20. x in ME, p in GE/ME. Berechnen Sie den Marktpreis und die Gleichgewichtsmenge. Berechnen Sie den Nachfrageüberhang bei einem Preis, der um 10 % unter dem Marktpreis liegt. 100 – 2x = 3x + 20 x = 16 und p = 68 61,2 = 100 – 2x xN = 19,4 61,2 = 3x + 20 xA(x) = 13,73 Nachfrageüberhang = 5,67 ME. Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion mit den Eigenschaften: Die Marktsättigung beträgt 10 ME, der Höchstpreis (Prohibitivpreis) ist 160 GE/ME und bei einem Preis von 130 GE/ME kann ein Absatz von 5 ME erzielt werden. p(x) = ax2 + bx + c mit p(0) = 160 p(10) = 0 und p(5) = 130 a = –2 , b = 4, c = 160 also p(x) = –2x2 + 4x + 160 Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 5x2 + 100x + 5 000 und die Nachfragefunktion p(x) = 700 – 7x den Cournotpunkt und den maximalen Gewinn. G(x) = (700 – 7x) x – (5x2 + 100x + 5 000) Error! = 24(25 – x) = 0 x = 25 ME p(25) = 525 GE/ME daher C(25 ME / 525 GE/ME) Gmax = 2 500 GE Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 5x2 + 100x + 5 000 und die Nachfragefunktion p(x) = 700 – 7x die langfristige Preisuntergrenze und den maximalen Erlös. Error! = Error! = 0 x = 31,62 ME LPU = k(31,62) = 416,2 GE Berechnen Sie für die Nachfragefunktion p(x) = 700 – 7x die Sättigungsmenge und die Elastizität für den Preis 490 GE/ME. SM = 100 ME 490 = 700 – 7x x = 30 ϵ = Error! = Error! = – 2,33 2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik 4 ck – jaksch Freitag, 27. März 2015 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. a) b) 2. a) b) 3. a) b) 4. a) b) c) Eine quaderförmige Lagerhalle mit der Höhe 6 m soll errichtet werden. Ein Quadratmeter normale Wand kostet 700 €/m2. Die Vorderfront kostet um 60 % mehr als die normale Wand. Die Gesamtkosten für die Wände soll nicht mehr als 2 Mio. Euro betragen. Berechnen Sie die Abmessungen so, dass die Grundfläche maximal wird. Berechnen Sie die Größe der Grundfläche. 700 b 6 · 1,6 + 700 (6 b + 6 · 2 · t) = 2 000 000 b = Error! Z(t) = b t = Error! t Error! = Error! = 0 t = 119 m b = 91 m Ein rechteckiger Teil eines Grundstücks soll eingezäunt werden. Dabei müssen 12 m einer Seite nicht mehr berücksichtigt werden, weil dort das Nachbarhaus steht. Aus finanziellen Gründen darf der Zaun nicht länger als 200 m sein. Berechnen Sie die Abmessungen des Grundstücks so, dass die Fläche möglichst groß ist. 200 = 2x + 2y – 12 x = 106 – y und A = x y = (106 – y) y Error! = 2 (53 – y) = 0 y =53 und x = 53 Eine Bahnlinie verläuft entlang der x-Achse des Koordinatensystems. Von zwei Ortschaften A (0 / 20) und B (28/8) sollen gerade Verbindungen zu dieser Bahnlinie gezogen werden. Berechnen Sie die Lage des Punktes X auf der Bahnlinie so, dass die Gesamtstrecke AXB möglichst klein ist. Berechnen Sie die Größe der Einmündungswinkel α und β der beiden Strecken AX und BX. s = 400 + x2 + (28 – x)2 + 64 Error! = 0 x = 20 X (20 / 0) tan α = Error! α = 45° tan β = Error! β = 45° Eine Firma stellt zylindrische Dosen mit dem Volumen 800 cm3 her. Die Herstellungskosten für den Mantel sind um 60 % größer als für Boden und Decke. Stellen Sie die Zielfunktion und die Nebenbedingung für dieses Problem auf. (Formel für den Zylinder: V = r2 π h Mantel = 2 r π h Fläche eines Kreises r 2 π ) 2 2 V = 800 = r π h und K = k (3,2 r π + 2 r π h) Ein Produkt hat eine Nachfragefunktion pN(x) = 1 000 – 20x und eine Angebotsfunktion p A(x) = 30x + 200. x in ME, p in GE/ME. Berechnen Sie den Marktpreis und die Gleichgewichtsmenge. Berechnen Sie den Nachfrageüberhang bei einem Preis, der um 10 % unter dem Marktpreis liegt. 1000 – 20x = 30x + 200 x = 16 und p = 680 612 = 1000 – 20x xN = 19,4 612 = 30x + 200 xA(x) = 13,73 Nachfrageüberhang = 5,67 ME. Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion mit den Eigenschaften: Die Marktsättigung beträgt 10 ME, der Höchstpreis (Prohibitivpreis) ist 80 GE/ME und bei einem Preis von 65 GE/ME kann ein Absatz von 5 ME erzielt werden. p(x) = ax2 + bx + c mit p(0) = 80 p(10) = 0 und p(5) = 65 a = –1 , b = 2, c = 80 also p(x) = –x2 + 2x + 80 Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 200x + 10 000 und die Nachfragefunktion p(x) = 1 400 – 14x den Cournotpunkt und den maximalen Gewinn. G(x) = (1400 – 14x) x – (10x2 + 200x + 10 000) Error! = 48(25 – x) = 0 x = 25 ME p(25) = 1050 GE/ME daher C(25 ME / 1050 GE/ME) Gmax = 5 000 GE Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 200x + 10 000 und die Nachfragefunktion p(x) = 1 400 – 14x die langfristige Preisuntergrenze und den maximalen Erlös. Error! = Error! = 0 x = 31,62 ME LPU = k(31,62) = 832,4 GE Berechnen Sie für die Nachfragefunktion p(x) = 1400 – 14x die Sättigungsmenge und die Elastizität für den Preis 1 120 GE/ME. SM = 100 ME 1 120 = 1400 – 14x x = 20 ϵ = Error! = Error! = –4 2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik 4 ck – jaksch ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) Freitag, 27. März 2015 Gruppe A 1. 2. 3. 4. a) Eine quaderförmige Lagerhalle mit der Höhe 6 m soll errichtet werden. Ein Quadratmeter normale Wand kostet 700 €/m2. Die Vorderfront kostet um 80 % mehr als die normale Wand. Die Gesamtkosten für die Wände soll nicht mehr als 2 Mio. Euro betragen. Berechnen Sie die Abmessungen so, dass die Grundfläche maximal wird. Berechnen Sie die Größe der Grundfläche. b) Ein rechteckiger Teil eines Grundstücks soll eingezäunt werden. Dabei müssen 8 m einer Seite nicht mehr berücksichtigt werden, weil dort das Nachbarhaus steht. Aus finanziellen Gründen darf der Zaun nicht länger als 160 m sein. Berechnen Sie die Abmessungen des Grundstücks so, dass die Fläche möglichst groß ist. a) Eine Bahnlinie verläuft entlang der x-Achse des Koordinatensystems. Von zwei Ortschaften A (0 / 10) und B (14/4) sollen gerade Verbindungen zu dieser Bahnlinie gezogen werden. Berechnen Sie die Lage des Punktes X auf der Bahnlinie so, dass die Gesamtstrecke AXB möglichst klein ist. Berechnen Sie die Größe der Einmündungswinkel α und β der beiden Strecken AX und BX. b) Eine Firma stellt zylindrische Dosen mit dem Volumen 800 cm3 her. Die Herstellungskosten für den Mantel sind um 40 % größer als für Boden und Decke. Stellen Sie die Zielfunktion und die Nebenbedingung für dieses Problem auf. (Formel für den Zylinder: V = r2 π h Mantel = 2 r π h Fläche eines Kreises r 2 π ) a) Ein Produkt hat eine Nachfragefunktion pN(x) = 100 – 2x und eine Angebotsfunktion p A(x) = 3x + 20. x in ME, p in GE/ME. Berechnen Sie den Marktpreis und die Gleichgewichtsmenge. Berechnen Sie den Nachfrageüberhang bei einem Preis, der um 10 % unter dem Marktpreis liegt. b) Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion mit den Eigenschaften: Die Marktsättigung beträgt 10 ME, der Höchstpreis (Prohibitivpreis) ist 160 GE/ME und bei einem Preis von 130 GE/ME kann ein Absatz von 5 ME erzielt werden. a) Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 5x2 + 100x + 5 000 und die Nachfragefunktion p(x) = 700 – 7x den Cournotpunkt und den maximalen Gewinn. b) Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 5x2 + 100x + 5 000 und die Nachfragefunktion p(x) = 700 – 7x die langfristige Preisuntergrenze und den maximalen Erlös. c) Berechnen Sie für die Nachfragefunktion p(x) = 700 – 7x die Sättigungsmenge und die Elastizität für den Preis 490 GE/ME. 2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik 4 ck – jaksch Freitag, 27. März 2015 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) 1. 2. 3. 4. a) Eine quaderförmige Lagerhalle mit der Höhe 6 m soll errichtet werden. Ein Quadratmeter normale Wand kostet 700 €/m2. Die Vorderfront kostet um 60 % mehr als die normale Wand. Die Gesamtkosten für die Wände soll nicht mehr als 2 Mio. Euro betragen. Berechnen Sie die Abmessungen so, dass die Grundfläche maximal wird. Berechnen Sie die Größe der Grundfläche. b) Ein rechteckiger Teil eines Grundstücks soll eingezäunt werden. Dabei müssen 12 m einer Seite nicht mehr berücksichtigt werden, weil dort das Nachbarhaus steht. Aus finanziellen Gründen darf der Zaun nicht länger als 200 m sein. Berechnen Sie die Abmessungen des Grundstücks so, dass die Fläche möglichst groß ist. a) Eine Bahnlinie verläuft entlang der x-Achse des Koordinatensystems. Von zwei Ortschaften A (0 / 20) und B (28/8) sollen gerade Verbindungen zu dieser Bahnlinie gezogen werden. Berechnen Sie die Lage des Punktes X auf der Bahnlinie so, dass die Gesamtstrecke AXB möglichst klein ist. Berechnen Sie die Größe der Einmündungswinkel α und β der beiden Strecken AX und BX. b) Eine Firma stellt zylindrische Dosen mit dem Volumen 800 cm3 her. Die Herstellungskosten für den Mantel sind um 60 % größer als für Boden und Decke. Stellen Sie die Zielfunktion und die Nebenbedingung für dieses Problem auf. (Formel für den Zylinder: V = r2 π h Mantel = 2 r π h Fläche eines Kreises r 2 π ) a) Ein Produkt hat eine Nachfragefunktion pN(x) = 1 000 – 20x und eine Angebotsfunktion pA(x) = 30x + 200. x in ME, p in GE/ME. Berechnen Sie den Marktpreis und die Gleichgewichtsmenge. Berechnen Sie den Nachfrageüberhang bei einem Preis, der um 10 % unter dem Marktpreis liegt. b) Berechnen Sie die Gleichung einer quadratischen Nachfragefunktion mit den Eigenschaften: Die Marktsättigung beträgt 10 ME, der Höchstpreis (Prohibitivpreis) ist 80 GE/ME und bei einem Preis von 65 GE/ME kann ein Absatz von 5 ME erzielt werden. a) Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 200x + 10 000 und die Nachfragefunktion p(x) = 1 400 – 14x den Cournotpunkt und den maximalen Gewinn. b) Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 200x + 10 000 und die Nachfragefunktion p(x) = 1 400 – 14x die langfristige Preisuntergrenze und den maximalen Erlös. c) Berechnen Sie für die Nachfragefunktion p(x) = 1400 – 14x die Sättigungsmenge und die Elastizität für den Preis 1 120 GE/ME.
