Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft

Pareto, Zipf, Mandelbrot:
Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft
1848-1923
1902-1950
1924-
Literatur
•Vilfredo Pareto: Cours d’Economie Politique (Genf, 1896)
•George Kingsley Zipf:
Human Behavior and the Principle of Least Effort
(Reading, MA, 1949)
•Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature
(New York, 1977)
•Mark E.J. Newman:
Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law
Contemporary Physics 46 (2005) 323-351.
Häufigkeitsverteilungen I
Körpergröße
Geschwindigkeit von Autos
M.E.J. Newman (2005)
Die Normalverteilung
Carl Friedrich Gauß, 1777-1855
Häufigkeitsverteilungen II
Städte mit mehr als 10000 Einwohnern
nach: Auerbach (1913); Lotka (1925); Zipf (1949)
Potenzgesetze
•Häufigkeit von “Ereignissen” der Größe X:
P( X )  A X ( 1) ,
X  X min
•Doppellogarithmische Auftragung:
log P  log A  (  1) log X
→ Gerade mit Steigung -(α+1)
•Kumulative Verteilung:


Q( X )  P( x) dx 
X
A

X 
Zipf-Plot
•Ordne N Ereignisse X1,…,XN ihrer Größe nach:
X 1  X 2  ....  X N
•Trage dann Xr gegen den Rang r auf, so gilt für große N
X r  X1 r
1/ 
•Für die Größenverteilung von Städten ist der Exponent
 1
Zipf’sches Gesetz für Worthäufigkeiten
 1
aus:
Per Bak,
How Nature Works
(New York, 1996)
Pareto-Verteilung von grossen Vermögen
Forbes 400, nach Klass et al. (2007)
Verteilung von Einkommen
Chatterjee et al., 2007
Große und kleine Einkommen
A.C. Silva, V.M. Yakovenko 2005
aus: Capital 26/2007
Was haben Potenzgesetze
mit Selbstähnlichkeit
zu tun?
aus: Capital 26/2007
Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz
•Bei einer Potenzverteilung sind relative Häufigkeiten
unabhängig vom Maßstab (=skaleninvariant):
P (bX ) A (bX )  ( 1)
 ( 1)


b
P( X )
A X ( 1)
für jedes X, b
•Die Potenzverteilung ist die einzige Funktion
mit dieser Eigenschaft
•Skaleninvarianz als (statistische) Symmetrie komplexer Systeme
Gutenberg-Richter Gesetz für Erdbeben
B. Gutenberg, R.F. Richter 1944
Richter-Skala:
2
M  log( E / E0 )
3
E: freigesetzte Energie
E0=63 kJ
Aussterben biologischer Arten
Aussterbeereignisse
für Familien mariner
Spezies
M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)
Häufigkeitsverteilung der
Aussterbeereignisse
M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)
Zahl von Kriegsopfern
L.F. Richardson (1960); N.F. Johnson et al. (2006)
1/f-Rauschen
Frequenzspektrum der
Spannungsschwankungen
in einem Widerstand:
S( f )  A f
M.A. Caloyannides (1974)

,  1
1/f-Rauschen in der Musik
„Music mimics the way the world changes in time.“ (R.F. Voss)
Geometrische Skaleninvarianz/Fraktale Geometrie
“Wolken sind keine Kugeln,
Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde
ist nicht glatt – und auch der Blitz
bahnt sich seinen Weg nicht
gerade.”
Benoit B. Mandelbrot
How long is the coast of Britain?
B. B. Mandelbrot, 1967
Maßstabsabhängige Länge: L  Al (1 D) , 1  D  2 fraktale Dimension
Deterministische Fraktale
“Vicsek-Schneeflocke”
Dimension:
log 5
D
 1.46
log 3
Statistische Skaleninvarianz
Simulation der
ballistischen
Abscheidung
unter schrägem
Einfall
JK, P. Meakin (1989)
Diffusion-limited aggregation (DLA)
T.A. Witten, L.M. Sander 1981
Statistische Skaleninvarianz von DLA
P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from equilibrium
Selbstähnlichkeit in der Geologie
Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)
Selbstähnlichkeit in der Geologie
Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)
Further progress in this field depends upon establishing a more
substantial theoretical base in which geometrical form is deduced
from the mechanisms that produce it…Without that underpinning
much of the work on fractals seems somewhat superficial and even
slightly pointless.
Physics Today 1986
Exploring the consequences of self-similarity
was proving full of extraordinary surprises,
helping me to understand the fabric of
Nature. By contrast, the muddled discussion
of the causes of scaling had few charms.
Der kritische Punkt
T. Andrews:
“On the continuity of the
gaseous and liquid states
of matter”
Proc. Roy. Soc. (1869)
Skaleninvarianz nur am kritischen Punkt
T < Tc
T = Tc
T > Tc
aus: H.W. Diehl, Essener Unikate 1999
Skaleninvarianz am kritischen Punkt
Kenneth G. Wilson:
Nobelpreis 1982
“for his theory of critical
phenomena in connection
with phase transitions”
Self-organized criticality
Self-organized criticality
Per Bak (1948-2002)
Das Sandhaufen-Modell
Elaine Wiesenfeld
Das Sandhaufen-Modell
•Klötzchen rutscht abwärts wenn Höhendifferenz > 1
•Dadurch können weitere Klötzchen instabil werden
→ es entsteht eine Lawine
Das Sandhaufen-Modell
•Lawinenverteilung ist ein Potenzgesetz
Experimente mit Langkornreis
Frette et al., Nature 379, 49 (1996)
Schlusswort
„The sandpile theory – self-organized
criticality – is irresistible as a metaphor.”
Al Gore, Earth in the Balance (1992)