Wasserstoff-Atom und H2-Molekül

E-Lern- und Lehrmedium:
Quantenchemie und Chemie farbiger
Stoffe
Chemische Bindung: WasserstoffAtom und H2-Molekül
Vorname Name Autor/-in
16.05.2016
1
Übersicht
1. Wasserstoff-Atom
2. H2-Molekül
Günter Baars
2
1. Wasserstoff-Atom
Das Atom ist also, mathematisch gesehen, gleich einem Schwingungssystem. Nun kann bekanntlich ein Schwingungssystem
(eine schwingende Saite, eine Schallröhre, eine Radioantenne
usw.) im allgemeinen nur der Sitz bestimmter Schwingungen
sein, derjenigen nämlich, welche seinen "Eigenfrequenzen" entsprechen. Auch das Atom hat seine Eigenfrequenzen und kann
nur der Sitz von Wellen sein, die gleiche Perioden haben. Aus
diesem Grunde existiert für das Atom eine unstetige Folge von
möglichen stabilen Zuständen, wie Schrödinger in seinen
schönen Arbeiten im einzelnen gezeigt hat.
Louis de Broglie
Günter Baars
3
1. Wasserstoff-Atom
Wellenfunktion für das Elektron im Wasserstoff-Atom
(Grundzustand):
ψ1s 
Günter Baars
1
πa 30

e
r
a0
4
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung des Funktionswerts 1s = 0,01 im
Abstand r1 vom Atomkern in der Zeichenebene
durch Drehung der r-Achse um jeweils 22,5°
Günter Baars
5
1. Wasserstoff-Atom
Geometrischer Ort aller Punkte mit dem Funktionswert  = 0,01 im Abstand r1 vom Atomkern (räumliche Darstellung)
Günter Baars
6
1. Wasserstoff-Atom
Günter Baars
7
1. Wasserstoff-Atom
1
Wellenfunktion für den 1s-Zustand:
ψ1s 
Kinetische Energie des Elektrons:
1
e2
T1s 

4πε 0 2a 0
Potentielle Energie des Elektrons:
1 e2
V1s  

4πε 0 a 0
πa
3
0
e

r
a0
Gesamtenergie des H-Atoms:
1 e2
1
e2
1
e2
E1s  
 



4πε 0 a 0 4πε 0 2a 0
4πε 0 2a 0
Günter Baars
8
1. Wasserstoff-Atom
Gesamtenergie:
Mittlere kinetische Energie:
Mittlere potentielle Energie:
1
e2
E1s  

 21,79  10 19 J  13,586 eV
4πε 0 2a 0
T 1s
1
e2


 21,79  10 19 J  13.586 eV
4πε 0 2a 0
V 1s
1 e2


 2  21,79  10 19 J  27,172 eV
4πε 0 a 0
Mittlere Geschwindigkeit des Elektrons (berechnet aus
der kinetischen Energie des Elektrons):
v
Günter Baars
2 T
 2,22  10 6 m  s 1
m
9
1. Wasserstoff-Atom
Virialtheorem: E  T
Günter Baars
V  2 T T  E
10
1. Wasserstoff-Atom
Drei Volumenelemente dV in unterschiedlichen Raumrichtungen und Abständen vom Atomkern
Günter Baars
11
1. Wasserstoff-Atom
1
ψ 1s  dV  dW  3  e
πa 0
2

2r
a0
 dV
Grafische Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 21sdV
Günter Baars
12
1. Wasserstoff-Atom
Computerdarstellung der Elektronendichte 21s
Günter Baars
13
1. Wasserstoff-Atom
Wolkendarstellung der Elektronendichte
21s
Günter Baars
Schnitt durch zwei Kugelschalen mit dem
Durchmesser dr im Abstand r1 bzw. r2 vom
Atomkern
14
1. Wasserstoff-Atom
1
dW  3 e
πa 0

2r
a0
 4πr 2  dr
Grafische Darstellung der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit 21s4r2dr des Elektrons im Grundzustand eines
Wasserstoff-Atoms
Günter Baars
15
1. Wasserstoff-Atom
Günter Baars
Grafische Darstellung der Wellenfunktion 1s
Geometrischer Ort aller Punkte mit dem
Funktionswert  = 0,01
Grafische Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 21sdV
Grafische Darstellung der radialen
Aufenthaltswahrscheinlichkeit 21s4r2dr des
Elektrons
16
1. Wasserstoff-Atom
Wellenfunktion 2s
1
2
 1 
 1 

ψ2s     2  
 4π 
 2a 0 
3
2

r   2a 0
  e
 1 
 2a 0 
r
Grafische Darstellung der
Wellenfunktion 2s
Günter Baars
17
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung des Funktionswerts 12s = 0,01 in den
Abständen r1, r2 und r3 in der Zeichenebene durch
Drehung des Koordinatensystems
Günter Baars
18
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung des Funktionswerts 12s = 0,01 in
den Abständen r1, r2 und r3 vom Atomkern in der
Zeichenebene durch Drehung des Koordinatensystems um jeweils 22,5°
Günter Baars
19
1. Wasserstoff-Atom
Geometrischer Ort aller Punkte mit
dem Funktionswert 12s = 0,01 in
den Abständen r1, r2 und r3 vom
Atomkern (räumliche Darstellung)
Günter Baars
Knotenfläche der 2s-Wellenfunktion als
Kugeloberfläche
20
1. Wasserstoff-Atom
1
e2 1
E 2s  


4πε 0 2a 0 4
1
e2
E1s  

 21,79  10 19 J  13,586 eV
4π  ε 0 2a 0
Günter Baars
Gesamtenergie im Grundzustand:
E1s = -21,7910-19 J [-13,586 eV]
Gesamtenergie im ersten angeregten
Zustand:
E2s = -5,4510-19 J [-3,40 eV]
21
1. Wasserstoff-Atom
 1   1
ψ 2 2s  dV  dW  4     
 4 π   2a 0
3
 
r
  1 
  2a 0
2
r

  e a 0  dV

Grafische Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22sdV
Günter Baars
22
1. Wasserstoff-Atom
Wolkendarstellung der Elektronendichte 22s
Günter Baars
Computerdarstellung der ElektronenDichte 22s
23
1. Wasserstoff-Atom
 1   1
2
2
ψ 2s  4r  dr  dW  4     
 4 π   2a 0
3
 
r
  1 
  2a 0
2
r

  e a 0  4 πr 2  dr

Grafische Darstellung der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22s 4r2dr des Elektrons im
ersten angeregten Zustand eines WasserstoffAtoms
Günter Baars
24
1. Wasserstoff-Atom
Günter Baars
Grafische Darstellung der
Wellenfunktion 2s
Geometrischer Ort aller Punkte mit
dem Funktionswert 12s = 0,01
Grafische Darstellung der Aufenthalts
wahrscheinlichkeit 22sdV
Grafische Darstellung der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22s 4r2dr
25
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung der Winkelfunktionen Sinus und
Kosinus mit dem Einheitskreis
Vorzeichen der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus in
den vier Winkelfeldern
Günter Baars
26
1. Wasserstoff-Atom
Angabe der Lage eines Punkts P durch
kartesische sowie Polarkoordinaten
Günter Baars
27
1. Wasserstoff-Atom
1
2
3
2
r
1
2
3
2
r
2  1   r   2a 0
 3 
  
  e
ψ2px     sin   cos  
 
3  2a 0   2a 0 
 4 
2  1
 3 
ψ2p y     sin   sin  
 
3  2a 0
 4 
1
2
2  1
 3 
ψ2p z     cos  
 
3  2a 0
 4 
3
2
  r   2a 0
  
  e
  2a 0 
r
  r   2a 0
  
  e
  2a 0 
Wellenfunktionen 2px, 2py und 2pz
Günter Baars
28
1. Wasserstoff-Atom
Unendlich ausgedehnte Knotenebene der 2pxWellenfunktion
Günter Baars
29
1. Wasserstoff-Atom
1
2
3
2
2  1   r 
 3 
  
  e
ψ2p x     1   1 
 
4

2
a
2
a
3  0  0
 

1
2
3
2
r
2  1   r   2a 0
 3 
  
  e
ψ2p z      1 
 
4

2
a
2
a
3  0  0
 
r
2a 0
1
2
2  1
 3 
ψ2p y     1   1 

3  2a 0
 4 
3
2
r
  r   2a 0
  
  e
2
a
  0
Grafische Darstellung der Wellenfunktionen 2px, 2py und 2pz entlang den Koordinatenachsen
Günter Baars
30
1. Wasserstoff-Atom
Für  = 0° bzw. 180° gilt (cos 0° = 1; cos 180° = -1):
1
2
3
2
r
2  1   r   2a 0
 3 
  
  e
ψ2p z      1 
 
3  2a 0   2a 0 
 4 
Verlauf der Funktionswerte 2pz auf der z-Achse in Abhängigkeit von r und
den Winkeln  = 0° und  = 180°
Günter Baars
31
1. Wasserstoff-Atom
Für  = 30° bzw. 210° gilt (cos 30° = 0,8; cos 210° = -0,8):
1
2
2  1
 3 
ψ2p z      0,8 
 
3  2a 0
 4 
3
2
  r
  
  2a 0
r
  2a 0
  e

Verlauf der Funktionswerte 2pz, 30° bzw. 210° von der z-Achse entfernt und damit in
Abhängigkeit von r und den Winkeln  = 30° und  = 210°
Günter Baars
32
1. Wasserstoff-Atom
Für  = 60° bzw. 240° gilt (cos 60° = 0,5; cos 240° = -0,5):
1
2
2  1
 3 
ψ2p z      0,5 
 
3  2a 0
 4 
3
2
  r
  
  2a 0
r
  2a 0
  e

Verlauf der Funktionswerte 2pz, 60° bzw. 240° von der z-Achse entfernt und damit in
Abhängigkeit von r und den Winkeln  = 60° und  = 240°
Günter Baars
33
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung des geometrischen Orts aller Punkte mit dem Funktionswert 2pz =
0,1 in der Zeichenebene
Räumliche Darstellung der geometrischen Örter aller Punkte mit dem Funktionswert
2p = 0,01
Günter Baars
34
1. Wasserstoff-Atom
Wellenfunktion 2p: Funktionswert ±0,01
Günter Baars
35
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung des Funktionswerts 2p = 0,01
durch Drehung des Koordinatensystems um
jeweils 22,5°
Günter Baars
36
1. Wasserstoff-Atom
Linien gleicher Amplituden einer Wasserstoff 2px-Wellenfunktion (die 2pyund 2pz-Wellenfunktionen zeigen den gleichen Verlauf)
Günter Baars
37
1. Wasserstoff-Atom
2
3


  e a 0  dV

3


  e a 0  dV

 1
 
 2a 0
  r
  
  2a 0
 2   1
 3 
ψ 2 2p y  dV  dW     sin 2 θ  sin 2   
  
 4π 
 3   2a 0
  r
  
  2a 0
 2 
 3 
ψ 2 2p x  dV  dW     sin 2 θ  cos 2 φ  

 4π 
 3
2
2
 2   1
 3 
ψ 2 2p z  dV  dW     cos 2 θ  
  
 4π 
 3   2a 0
3
  r
  
  2a 0
2
2
r
2
r
r


  e a 0  dV

Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Wellenfunktionen 2p
Günter Baars
38
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22pzdV auf der z-Achse für  = 0°
bzw. 180°  cos = 1
Günter Baars
39
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22pzdV, 30° von der z-Achse entfernt
für  = 30° bzw. 150°  cos = 0,75
Günter Baars
40
1. Wasserstoff-Atom
Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22pzdV, 60° von der z-Achse entfernt
für  = 60° bzw. 120°  cos = 0,25
Günter Baars
41
1. Wasserstoff-Atom
Wolkendarstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten 22pxdV, 22pzdV und 22pzdV
Computerdarstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit
für 22pdV
Günter Baars
42
1. Wasserstoff-Atom
2
2
r
2
r
 r
 
 2a 0


  e a 0  4r 2  dr

2
  r
  
  2a 0


  e a 0  4r 2  dr

2
 2   1
 3 
ψ 2p z  4r  dr  dW     cos 2 θ  
  
3
 4π 

  2a 0
2
2



 2   1
 3 
ψ 2p y  4r  dr  dW     sin 2 θ  sin 2   
  
3
 4π 

  2a 0
2
3
2
 2   1
 3 
ψ 2 2p x  4r 2  dr  dW     sin 2 θ  cos 2   
  
 4π 
 3   2a 0



3
 r
 
 2a 0
3
2
r


  e a 0  4r 2  dr

Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Wellenfunktionen 2p
Günter Baars
43
1. Wasserstoff-Atom
Wolkendarstellung der Elektronendichte 22p mit dem Querschnitt zweier Kugelschalen des
Durchmessers dr
Günter Baars
Grafische Darstellung der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit 22p4r2dr
44
1. Wasserstoff-Atom
Günter Baars
45
1. Wasserstoff-Atom
Hauptquantenzahlen, Anzahl
Funktionen und Knotenflächen
für das Wasserstoff-Atom
Günter Baars
46
1. Wasserstoff-Atom
Grafische Darstellung der Wellenfunktionen 1s, 2s, 3s, 3p sowie die davon abgeleiteten
radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
Günter Baars
47
1. Wasserstoff-Atom
Räumliche Darstellung der Wellenfunktionen 2s, 2p, 3s, 3p, 3d für den
Funktionswert  = 0,01. Jeder Punkt auf der Oberfläche der Figuren besitzt den
gleichen Funktionswert . Rot steht für positive, blau für negative Funktionswerte
Günter Baars
48
1. Wasserstoff-Atom
Links: Kugeloberfläche als Knotenfläche der 2sWellenfunktion; rechts: zwei Kugeloberflächen als
Knotenflächen der 3s-Funktion
Links: Eine (unendlich ausgedehnte) Knotenebene der 2px-Wellenfunktion; rechts: zwei
Knoten-flächen einer 3px-Wellenfunktion: eine
Kugel-oberfläche und eine (unendlich ausgedehnte) Knotenebene
Links: Zwei (unendlich ausgedehnte) Knotenebenen der 3dxy-Funktion; rechts: zwei (unendlich ausgedehnte) Knotenflächen als zwei
Kegeloberflächen der 3dz2-Funktion
Günter Baars
49
2. H2-Molekül
Konstruktive Interferenz von zwei 1s-Wellenfunktionen (2 Wasserstoff-Atome) zu einer Molekülwellenfunktion (Wasserstoff-Molekül)
Günter Baars
50
2. H2-Molekül
Grafische Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen in einem Wasserstoff-Molekül
Günter Baars
51
2. H2-Molekül
Wolkendarstellung der Elektronendichte im Wasserstoff-Molekül
(Grundzustand)
Günter Baars
Computerdarstellung der Elektronendichteverteilung im Wasserstoff-Molekül
52
2. H2-Molekül
Energie eines Systems aus zwei Wasserstoff-Atomen
(Wasserstoff-Molekül) in Abhängigkeit ihres Abstands
Günter Baars
53
2. H2-Molekül
Destruktive Interferenz von zwei 1s-Atomwellenfunktionen zu einer Molekülwellenfunktion
Günter Baars
54
2. H2-Molekül
Elektronendichte im angeregten Zustand eines Wasserstoff-Moleküls
Günter Baars
55
2. H2-Molekül
Schematische Darstellung (Orbitalenergieschema) der konstruktiven und destruktiven Überlagerung von zwei Atomorbitalen
(AO) zu einem bindenden und einem antibindenden Molekülorbital (MO)
Günter Baars
56