SUSY auf dem Gitter

Supersymmetrische
Quantenfeldtheorie
auf dem Gitter
12. Juli 2005
Alexander Ferling

Inhalt
Kapitel 1: Einführung
Kapitel 2: Algebra
Kapitel 3: Das Superfeld
Kapitel 4: Das Wess-Zumino Modell
Kapitel 5: Die Wilson-Wirkung
Kapitel 6: Simulation auf dem Gitter
Kapitel 1: Einführung
Laufende Kopplungen im Standardmodell
…und in einer vereinheitlichten Theorie (GUT)
Abb.: K.Olive, hep-ph/9911307
Kapitel 1: Einführung
SUSY-Yang-Mills-Theorie im Kontinuum
(Der N=1 Fall)
Supersymmetrie:
Erweiterung der in der Quantenfeldtheorie üblichen Poincaré-Invarianz um
eine Innere Symmetrie zwischen Bosonen und Fermionen

2 -graduierte Poincaré-Algebra
Kapitel 2: Algebra
Was ist eigentlich eine
2 -graduierte Algebra?
Unter der Graduierung einer Algebra G mit einer
abelschen Halbgruppe (G,+) versteht man…


 Algebra

Element 

 Element + Element
Vektorraum 
 Zahl Element
Gruppe
 Element
2
Halbgruppe:
• Innere Verknüpfung
a, b  Gh : a  b  Gh
• Assoziativgesetz
a, b, c  Gh : a   b  c    a  b   c
…eine Zerlegung von G in eine
direkte Summe von Vektorräumen
G   Gg
gG
so daß für die Verknüpgung
Gg Gh  Gg  h
gilt
Kapitel 2: Algebra
Im Fall G  2 , Addition Modulo 2
können die Generatoren
als „bosonisch“ bzw. „fermionisch“ identifiziert werden
G0 G0  G0
G0 G1  G1
G1 G0  G1
G1 G1  G0
Lie-Algebra
 i , j    ijk k
Für eine
2-graduierte Algebra fordert man zusätzlich
• Supersymmetrie
xi x j   1 1 x j xi
• Jacobi-Identität
xk
i j
 xl
xm  1
k m
 xl
 xm
xk  1  xm
l k
 xk
xl  1
ml
0
Kapitel 2: Algebra
Die Generatoren der
2 -graduierten
Poincaré-Algebra
Die Liealgebra der Poincarégruppe wird aufgespannt von
den 6 Generatoren der Lorentzgruppe
M   L  
M   M 
und den 4 Generatoren der Translationsgruppe
P

Sie erfährt eine Erweiterung durch die SUSY-Generatoren
Qa
a  1,..., 4 N
Kapitel 2: Algebra
Graduierung

Drehgruppe
(kompakt)


Lorentzgruppe
(nicht kompakt)
Boosts


Translationen
Poincarégruppe

(nicht-halbeinfach)

Poincaré-Supergruppe
(keine Liegruppe)
SUSY-Generatorem
Die Kommutatoren der Super-Poincaré-Algebra
 P  , P 

0
 P  , M  

i  g  P  g  P  
Q, P  

Q, P    0


Q, M  

  Q
Q, M  



 Q

2  P 

2  P 

Q, Q  0
 M  , M    i  g  M   g  M   g M   g M  
Q, Q
Q, Q
Q, Q

Kapitel 3: Das Superfeld
SUSY-Transformationen
Darstellungsraum der SUSY-Transformationen wird aus Feldern gebildet,
deren Definitionsbereich der Superraum ist
• Poincaré-Transformation auf Minkowski-Koordinaten
und Felder im Minkowski-Raum

Translation a  wird durch die Operation
e
ia P
beschrieben.
• SUSY-Transformationen im Superraum
Erweiterung des minkowskischen
Superfeld:
wobei
F
x


, ,  F
4
durch neue, fermionische Dimensionen
x


   ,   ,   : U F
   a   i   i  
x

, ,

Kapitel 3: Das Superfeld
Allgemein wird für die unitäre Transformation angesetzt:

U  exp i a  P    Q   Q
Damit ergibt sich:
P

iQ

iQ


i 

 i    



 i  

wobei
  1,  ,  , 

1
2
3

  1,  1 ,  2 ,  3 

Kapitel 3.1: Die Komponenten des Superfeldes
Entwicklung von
F
F
 x,  ,  
in
 ,

f  x     x     x     M  x 

  N  x     A  x      x 
   x       D  x 

Es wird gefordert, daß

F

ein Lorentzskalar ist.
• 4 komplexe skalare Felder f , M , N , D
• 2 linkshändige Weyl-Spinoren
, 
• 2 rechtshändige Weyl-Spinoren 
• 1 komplexes Vektorfeld
A
Kapitel 3.1: Die Komponenten des Superfeldes
Überführung der reduzible Darstellung in eine
SUSY-kovariante irreduzibe Darstellung
Definiere die kovariante Ableitung
D A :  A  i     
A
DA :  A  i     
A
Dann gilt für
• chirale Superfelder
• antichirale Superfelder
DA  0
DA †  0
Kapitel 3.1: Die Komponenten des Superfeldes



y

x

i



y
,



Das allgemeinste chirale Superfeld hat die Form
mit
Entwicklung von

in  , 
ergibt
  y,     y   2  y     F  y 
   x   i       x  
1
           x 

2
 2  x   i 2       x     F  y 
Teilchengehalt
• 1 linkshändiges Weyl-Spinorfeld


• 1 komplexes skalares Hilfsfeld
F
• 1 komplexes skalares Feld
Kapitel 3.2: Das Vektor-Superfeld
Ein anderer Weg, zur irreduziblen Darstellung zu gelangen: Das Vektor-Superfeld
Bedingung
V V†
Eichtransformation
V  V   V     
Es folgt das gewohnte Verhalten
A  A  A  2  
Diese Eichfreiheit gestattet die sogenannte Wess-Zumino-Eichung
VWZ  x, ,      A  i      i          D
Kapitel 4: Das Wess-Zumino Modell
Ziel: Konstruktion einer SUSY-invarianten Wirkung aus der SUSY-Algebra
Nutze:
i
 D            
2
 F  i 2     
Allgemeines Superfeld
Skalares Superfeld
Mögliche Konstruktion einer Lagrange-Dichte
L  Superfelder D   chirale Superfelder F
1974 vorgeschlagene von Wess & Zumino off-shell-Lagrange-Dichte:


m
g
L :  †  x, ,    x, ,    2  y,  F   3  y,  F   h.c.
D
2
3
Kapitel 4: Das Wess-Zumino Modell
On-Shell Lagrangedichte
L
         m2 



2
i
m


        2   
2
g       mg 
2
     g

2

4
mit Einführung der Hilfsfelder A, B und  mit

1
 A  iB 
2
 
  
 
ergibt sich für die freie Theorie
L 
1
1
1
   A    A  m2 A2      B     B   m2 B 2     i     m 
 2
 2
2
Kapitel 4: Das Wess-Zumino Modell
Das Wess-Zumino Modell beinhaltet
• 1 reelles skalares Feld
A  x  , A  A
• 1 reelles pseudoskalares Feld
B  x  , B  B
  x  ,  C T
• 1 Majorana-Spinorfeld
Die zugehörigen Bewegungsgleichungen lauten
  m A
  m B
 i   m 
 0
 Klein-Gordon 
 Klein-Gordon 
 Dirac 
 i     m
 0
 Dirac 


2
 0
2
 0


Kapitel 4.1: Die Supersymmetrische Lagrange-Dichte
Gesucht: Lagrange-Dichte für ein Superfeld
Eichtransformationen verhält wie
,das sich unter nicht-abelschen
 i x , ,
  x, ,   e    x, , 
  x ,  ,      x,  ,   e
†
†
i†  x , , 
Lösung: Aufnahme eines Vektor-Superfeldes als Eichfeld in die Lagrangesichte
L   †eV  
D
wobei sich dieses Vektorfeld unter Eichtransformation verhält wie
e e
V
 i † V i 
e e
Kapitel 4.1: Die Supersymmetrische Lagrange-Dichte
Definiere den Feldstärketensor:
1
WA    DD  e V DAeV
4
Verhalten unter Eichtransformation:
WA  eiWAei
Die supersymmetrische und eichinvariante Lagrangedichte lautet damit
L 


1
A
A
Tr
W
W

W
W


A F
A
4g 2

F
1
1

  †eV     miji j  gijki jk    h.c.
D
3
2
F
Die weiteren Überlegungen beziehen sich auf den Eichanteil
Kapitel 4.1: Die Supersymmetrische Lagrange-Dichte
Betrachte nur den Eichanteil
L : Tr

A
W
 WA 
F
   h.c.
In euklidischer Formulierung folgt für den Eichanteil
a
1 a a 1 a
1 a a
L  F F      D     D D
4
2
2
Mit dem nicht-abelschen Feldstärketensor
F    A   A   A , A 
und der Definition
D        A ,  



Kapitel 4.1: Die Supersymmetrische Lagrange-Dichte
Mit der Zerlegung

A
F

 aT a
 igAaT a
 igFa T a
geht die Lagrange-Dichte über in
L 
1
Tr F  x  F  x   Tr   x    D  
2
2g
mit den SUSY-invarianten Transformationen
 A  x  
  x 

  x 

2 g   x    

i
  F  x  
g
i
  F  x 
g
Supersymmetrie auf dem Gitter
Die Gitterwirkung besteht aus
Slat  S g  S f
Dyson´s Formel




U  cs   P exp   A  x  dx 


 cs


dc
d
U  cs    A  c  s    U  cs 
ds
ds
U  cx; ,   1  F  x  dx dx
Theorie ist auf einem hyperkubischem Gitter formuliert
 a   x x  a 
4
Kapitel 5: Die Wilson-Wirkung
Auf dem Gitter ist
U  x  e
 aA  x 
U
†

 x  e
 aA  x 
Damit berechnet sich der Feldstärketensor über
U   x   U†  x U †  x  a U   x  a U  x 
der Plaquette
Kapitel 5: Die Wilson-Wirkung
Mit gegebenem U und der Campell-Baker-Hausdorff-Formel erhält man
U   x   1  a F  x  O  a
2
also
3



U   x   exp a 2  F  x  O  a 
Für die Formulierung nach Wilson gilt nun für die Wirkung
S
lat
g
mit
1
 2    4  Tr U   x   U  x   a 4  L
2 g x 1    4
x
a 4    d 4 x für a  0
x
lat
 x
Kapitel 5.1: Der Fermionische Anteil
Im Kontinuum ist der fermionische Teil der Wirkung gegeben durch
L f  x   Tr   x    D    x 
Für die Vorwärts- und Rückwärtsableitung sowie die symmetrische Form gilt
1
f  x  aˆ   f  x  

a
1
lat ,b
  f  x    f  x   f  x  aˆ  
a
1
lat , sym
  f  x    f  x  aˆ   f  x  a ˆ  
2a
lat , f f  x  
Für die kovariante Ableitung der adjungierten Darstellung gilt analog
D
lat , sym

1
f  x   U †  x  f  x  a ˆ U   x   U   x  a ˆ  f  x  a ˆ U †  x  a ˆ  
2a
Kapitel 5.1: der Fermionische Anteil
Problem: „No-go“-Theorem (Nielsen und Ninomiya)
Folge:
2d
statt einem Fermion auf dem Gitter (Fermionendoppler)
Lösung: • Wilson: Addition von Fermionen mit Masse in Höhe des cut-off´s
(führt leider zur Brechung der chiralen Supersymmetrie)
• Kogut-Susskind: Einführung von „Staggered Fermions“
(problermatisch, da nichtlokal)
Wilson seine Fermionen:
S f U ,  ,   

Kapitel 5.1: Der Fermionische Anteil
1
  x   x

2 x

  x  ˆ V  x   r       x     x V  x   r       x  ˆ  



2

T
x
wobei
r 1
1


2
   2m0  8r 
1
mg ,0   1
und das Vektorpotenzial
1
V  x    2Tr U †  x  T aU   x  T b   V*  x    VT  x  
ab
ab
ab
Mit Einführung der Fermion-Matrix läßt sich die Wirkung kürzer darstellen
Qy , x U    yx     y , x  ˆ 1    V  x    y  ˆ 1    VT  y  

Kapitel 5.1: Der Fermionische Anteil
Wir erhalten
Sf 
1
1

x
Q

y

  x  CQx , y   y 






x, y
2 xy
2 xy
Die Fermion-Matrix hat die folgenden Symmetrieeigenschaften
Q†
  5Q 5
CQC
 QT
C 5Q 5C 1 
Q*
Für den Fall der regulären Dirac-Fermionen findet man
 D  , e
S f
  D  , e  Q  det Q
Kapitel 5.2: Pfaffsche Integrale
Mit folgender Konstruktion der Majorana-Felder aus Dirac-Feldern
1 
1
  C T 

2
2 
1
  C T 

2
Die analoge Wirkung lautet
1 2
S f   Q    k Q k
2 k 1 xy
xy
Für das Pfadintegral folgt
2
  D   e
 12  k Q k
k 1

  D   e
 12  Q

2
Um dies zu vereinheitlichen, definiert man die „Pfaffsche Form“
 D   e
mit
 12  Q
  D   e
 Pf M

M  CQ  M
T
 12  M
  det Q
Kapitel 5.3: Propagatoren
Das Erzeugende Funktional ist definiert als

1
Z  J    D U  Pf M U  exp S g   J  x  M
2 x, y

1

 x, y  J  y 

Die Funktionalableitung ergibt dann
T   x1    xn    y1    yn 
T   x1    xn    y1    yn  C n


 n
 2 n ln Z  J 
 2 
C
  J  x1   J  xn   J  y1   J  yn  
n
Für den Gluino-Propagator folgt z.B.
T   x    y 

T   x    y  C
  2 ln Z  J  
 2
C
 J  x J  y  


 x, y 
Q 1 U 
M
1
C
Kapitel 6: Simulation auf dem Gitter
Ziel: Generierung eines Ensembles von Feldkonfigurationen
In Eichtheorien mit Wilson-Fermionen gilt
f U   e
wobei
 Seff
e
 S g U  S f U 
S f U    log det Q U 
Nf
In der Supersymmetrie ist dies problematisch
(die Wahrscheinlichkeitsdichte ist nicht immer positiv)
SYM: Curci-Veneziano-Wirkung
• berechne die positive Quadratwurzel der regulären Determinante
 1
 1
S    1  Re TrU pl   log det Q U 
2
 2
pl 
Kapitel 6: Simulation auf dem Gitter
Das Vorzeichen der Pfaffschen Form wird beim „reweighting“ berücksichtigt
O 
OsignPf M
signPf M


Gesucht: Algorithmus, der „günstig“ gebrochene Potenzen von
Fermionmassen berechnen kann

Two-Step-Multi-Boson Algorithm TSMB
Beruht auf der Polynomialnäherung
det Q
Nf
 det  Q†Q 
Nf
2

1
det Pn  Q†Q 
Kapitel 6: Simulation auf dem Gitter
Dieses Polynom genügt der Relation
lim Pn  x   x

Nf
2
x   ,  
mit
n 
,
geben das Gültigkeitsintervall dieser Approximation an


  min spec  Q†Q 


  max spec  Q†Q 
Darstellung dieses Polynoms als eingliedriges Produkt
 
Pn Q
2
n

 z0  Q 2  z j
j 1
wobei definiert wurde
Q 2  Q †Q

Kapitel 6: Simulation auf dem Gitter
mit der Definition
 j   j  i j  z j
j 0
und
folgt
 
Pn Q
2
n

 z0   Q   j

j 1 

2
n

   z0   Q   *j


j 1
2
j
 Q   
j
Hiermit folgt die Multi-Boson-Darstellung der Fermion-Determinante
n

z0  det  Q  

j 1
*
j

1
 n

Q   j    D   exp  †j  y   Q   *j Q   j   j  x 


 yx
 j 1 xy


Problem: CPU-Power…



Kapitel 6: Simulation auf dem Gitter
Lösung: Two-Step-Approximation
lim Pn1   x  Pn2   x   x
1
2

Nf
2
n2 
Hier hat
P
1
eine recht niedrige Ordnung.

Die Idee der „Noisy Correction“ ist es, einen Zufallsvektor
zu generieren, der mit der normierten Gaussverteilung übereinstimmt
e
  d  e
Der Übergang

U   U 

min 1, A  ; U   U 


2
2
 † Pn  Q U  
2


2
2
 † Pn  Q U  
2
wird mit der Wahrscheinlichkeit
angenommen, wobei





A  ; U   U   exp  † Pn22 Q U     † Pn22 Q U  
2
2
Kapitel 6: Simulation auf dem Gitter
In wenigen Fällen erreichen die Eigenwerte ein unteres Limit, sodass ein
Weiterer Schritt eingeführt werden muss
lim Pn1   x  Pn2   x  Pn3   x   x
1
2
3

Nf
2
n3 
Praktischerweise wird n2 so groß gewählt, dass dieser Schritt
vernachlässigbar ist.
Berechnung des Vorzeichens der Pfaffschen Matrix

det M  det Q   i2
2
i 1


Pf M   i  Pf M   i
2
i 1
2
i 1
Kapitel 6.1: Ausblick
 Welche Aussagen trifft das Gitter über N=1 SYM?
 Erwartrungswerte für Observablen
 Confinement {Sommer scale}
 Massen der gebundenen Zustände
 Ward-Identitäten (Approximationscheck)
 Massless Gluino Limit
 Numerische Methoden (Jackknife/VST)
 ! Analyse-/Simulationsergebnisse !
Literatur
Kalka/Soff - Supersymmetrie
Montvay/Münster – Quantum Fields on a Lattice
T. Galla (Thesis 1999)
S.Luckmann (PhD 2001)
R.Peetz (PhD 2003)
I.Campos et al. hep-lat/9903014
I.Montvay hep-lat/0112007
M.Lüscher hep-lat/9811032
Weitere: Weinberg/Rebhan/Creuz/Smit/Rothe