Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

Koordinatensysteme und
Transformationen
P1
P1
Inhalt
• Koordinatensysteme
– Beschreibung von Positionen (Punkten) in 2D und 3D
– Mathematische Basis für computergraphische Algorithmen
• Transformationen
– Mathematische Beschreibung geometrischer Veränderungen
von Objekten
– Einfache arithmetische Operationen
– Repräsentation durch Matrizen
– 2D und 3D
• Projektionen
– Übergang von nD nach (n-1)D – hier 3D nach 2D
– Grundlage für Kameramodelle in der Computergraphik
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2
Einführung
Motivation:
Koordinatensysteme und Transformationen für die Abbildung von 3D-Modellen entsprechend
einer Kameraposition
Beispiele:
– Weltkoordinaten → Kamerakoordinaten (3D-Modelle und Kamera in
einheitliches Koordinatensystem überführen)
– Projektion auf die Bildebene (Kamerakoordinaten →
Bildkoordinaten)
• Grundlagen:
Geometrie und lineare Algebra
• Ausgangspunkt: Beschreibung von Objekten durch
Mengen von Eckpunkten und
Kanten (Polygone bzw. Polyeder)
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3
Einführung
Skalare, Punkte und „Vektoren“
• Jeder Vektor (a,b,c) kann eindeutig in eine
Linearkombination der Elemente der Basis des
Vektorraumes zerlegt werden:
– (a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)
– Skalare a, b und c sind die kartesischen Koordinaten des
Vektors im System der Einheitsvektoren des euklidischen
Koordinatensystems.
– Die kartesischen Koordinaten eines Vektors sind die
Projektionen dieses Vektors auf die Koordinatenachsen.
• Skalare sind reelle/komplexe Zahlen. Bei Transformationen repräsentieren sie z.B. Drehwinkel und Skalierungsfaktoren.
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Einführung
Skalare, Vektoren und Matrizen
• Skalare
– 0-dimensional
• Vektoren – 1-dimensional, n Komponenten
• Matrizen – 2-dimensional, nxm Elemente
Zusammenhang:
• Komponenten eines Vektors bzw. Elemente einer
Matrix sind Skalare.
• Zeilen bzw. Spalten einer Matrix sind Vektoren.
Warum Matrizen?
Beschreibung von Transformationen (Trafo-Matrizen)
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5
Einführung
Implementierung:
Graphikbibliotheken enthalten oft vordefinierte Strukturen bzw.
Klassen für Punkte, Vektoren und Matrizen.
Diese enthalten Methoden zum „Rechnen“ mit Vektoren.
Beispiele:
• Überladen von Operatoren zur Addition, Subtraktion
• Bestimmung von Kreuz- und Skalarprodukt
• Bestimmung der Größe eines Vektors
OpenGL:
typedef GLfloat point3[3];
point3 vertices [8] = {{-1.0, -1.0, -1.0}, {-1.0, 1.0,
-1.0}, …};
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6
Einführung
• Vektorraum: enthält Vektoren und Skalare. In einem
Vektorraum sind Operationen definiert, die Vektoren v
und Skalare s verknüpfen.
Multiplikation:
f(v x s) → v
Addition:
f(v1,v2) → v
• Affiner Raum ist ein Vektorraum, der um Punkte p
erweitert wird. Punkte können subtrahiert werden.
Subtraktion: f (p1, p2) → v
• Euklidischer Raum ist ein affiner Raum, in dem
skalare Werte quantifiziert werden, wobei das
euklidische Abstandsmaß benutzt wird. In der CG
nutzen wir vorrangig euklidische Räume.
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7
Einführung
Identische Vektoren
Addition von Vektoren
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Koordinatensysteme
z
c(0,0,1)
(a,b,c)
a(1,0,0)
x
b(0,1,0)
y
Interpretation:
• Ein Vektor hat keine Position.
• Ausgehend von einem festen
Punkt (z.B. o) definiert ein
Vektor einen Punkt.
• Vektor (a,b,c) kann als Punkt
im Raum dargestellt werden,
der dem Endpunkt eines
Vektors (a, b, c) ausgehend
vom Koordinatenursprung
(0,0,0) entspricht.
• Äquivalentes gilt für
andersdimensionale
Vektorräume n
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Koordinatensysteme
• Eine Menge (o, e1, e2, ..., en) bestehend aus einem
Punkt o  An und der Basis (e1, e2, ...,en) von An heißt
Koordinatensystem.
• Für jeden Punkt p  An ist v  op Ortsvektor von p
• Komponenten von v heißen Koordinaten bezüglich
(e1, e2, ..., en) d.h. p besitzt die Koordinaten
op  v  x1e1  x 2e2    x nen
(x1, x2, ..., xn):
• Punkt o heißt Koordinatenursprung
 
 
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Koordinatensysteme in der CG
• zweidimensional
y
x
• dreidimensional
X- Richtung des Daumens
Y- Zeigefinger
Z- Mittelfinger
Die beiden Koordinatensysteme sind spiegelbildlich
und nicht durch Drehung
ineinander zu überführen.
y
y
x
z
rechtshändiges
Koordinatensystem
z
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x
linkshändiges
Koordinatensystem
11
Koordinatensysteme und
Transformationen
2. Transformationen in 2D
Transformationen in 2D
• Fragestellung:
– Wie werden Bewegungen beschrieben? Wie berechnet man
die Position von Objekten nach Bewegungen?
• Bewegungen = Transformationen
–
–
–
–
–
Veränderung der Position von Punkten
Verschiebung
= Translation
Größenveränderungen
= Skalierung
Drehung
= Rotation
Weitere affine Transformationen:
• Spiegelung
• Scherung
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Transformationen in 2D: Translation
(x‘,y‘)
dy
• Punkt (x,y) wird auf gerade
Linie nach (x‘, y‘) verschoben.
• Beschreibung der Translation
durch einen Vektor (dx,dy), der
die Verschiebungsweite in xund y-Richtung angibt
 x    x   dx 
       
 y    y   dy 
(x,y)
dx
• Addition des Verschiebungsvektors
• Noch eine Interpretation von
Vektoren: Beschreiben den
Weg bzw. die Linie von P1 zu P2
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Transformationen in 2D: Skalierung
(x‘,y‘)
(x,y)
Uniforme Skalierung
• Zentrum der Skalierung ist o,
Skalierung erfolgt in alle
Richtungen uniform mit dem
skalaren Faktor a.
• Ortsvektor zu (x,y) wird auf
das a-fache verlängert, um
(x‘,y‘) zu erhalten
 x 
 x   ax 
   a     
 y 
 y   ay 
• Multiplikation mit dem
Skalierungsfaktor
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Transformationen in 2D: Skalierung
Nicht-uniforme Skalierung
• Zentrum der Skalierung ist o,
Skalierung erfolgt in x-Richtung
mit dem Faktor a, in y-Richtung
mit b (Skalierungsvektor (a, b)T)
•
(x‘,y‘)
(x,y)
•
Ortsvektor zu (x,y) wird auf das
a-fache in x-Richtung und das
b-fache in y-Richtung
verlängert.
 x    ax 
    
 y    ßy 
Multiplikation mit
entsprechenden
Skalierungsfaktoren
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16
Transformationen in 2D: Rotation
• Rotationszentrum ist o.
• Punkt (x,y) wird um den Winkel
a um o gedreht, so dass sich
der Punkt (x‘,y‘) ergibt.
• Positive Werte von a ergeben
eine Drehung entgegen dem
Uhrzeigersinn.
(x‘,y‘)
(x,y)
a
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Transformationen in 2D: Rotation
• Herleitung der Berechnungsvorschrift:
Entfernung r vom Ursprung zu (x,y) bzw. (x‘,y‘) bleibt
unverändert. Nutzung von Additionstheoremen für
Winkelfunktionen.
y
(I)
x   r cos(a  f )
 r cos f cos a  r sin f sin a
(IV) y   r sin(a  f )
 r cos f sin a  r sin f cos a
(x‘,y‘)
(III)
r
a
x r cos f (II) y  r sin f
r
f
r cos(a + f
(I) In (III) und (II) in (IV) einsetzen:
(x,y)
r cosf
x
x  x cos a  y sin a
y  x sin a  y cos a
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Transformationen in 2D: Rotation
• Berechnungsvorschrift
x  x cos a  y sin a
y  x sin a  y cos a
• Kann als Matrix-Vektormultiplikation ausgedrückt
werden:  x    cos a  sin a  x 
   
 y    sin a
 
cos a  y 
• Rotationen um negative Winkel erfolgen mit dem
Uhrzeigersinn; ausnutzen: cos(-a)=cos(a) und
sin(-a)=-sin(a)
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Transformationen in 2D: Zwischenergebnis
•
•
•
•
•
Translation:
Addition des Verschiebungsvektors
Skalierung:
Multiplikation des Skalierungsfaktors
Rotation:
Matrixmultiplikation
Keine einheitliche Behandlung!
Schwierig bei zusammengesetzten Transformationen!
• Einheitliche Repräsentation von Transformationen
gesucht → Homogene Koordinaten
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Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
• Ein Koordinatensystem wird in ein homogenes
Koordinatensystem überführt, indem eine zusätzliche
Dimension eingeführt wird: n  n+1 Dimensionen.
• Ein Punkt (x, y) wird in homogenen Koordinaten durch
das Tripel (x·w, y·w, w) repräsentiert, mit w0.
• Normalisierte Darstellung: w = 1  (x, y, 1)
• Jeder Punkt hat unendlich viele äquivalente
Repräsentationen in homogenen Koordinaten.
• Achtung: Homogene Koordinaten von 2D-Punkten nicht
mit „normalen“ 3D-Koordinaten verwechseln!
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Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Vorteile:
• Repräsentation aller Punkte in homogenen Koordinaten
ermöglicht einheitliche Behandlung der Transformationen
wx  


wy   
w 


• Fragen:
?
x 
 
 y 
1
 
– Was steht für das Fragezeichen?
– Welche Operation ist *?
• Antwort:
– Transformationen werden als Matrizen repräsentiert
– Verknüpfung durch Multiplikation
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Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
• Translation
– Vorher:
– Jetzt:
Addition eines Vektors
Multiplikation mit einer Translationsmatrix
 1 0 dx 


0
1
dy


0 0 1 



 x    1 0 dx  x 
  
 

y

0
1
dy
  
 y 
 1   0 0 1  1 
  
 
• Skalierung
– Vorher:
– Jetzt:
 sx

0
0

komponentenweise Multiplikation mit Skalierungsfaktoren
Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix
0
sy
0
0

0
1 

 x    sx
  
 y    0
1  0
  
0
sy
0
0  x 
 
0  y 
1  1 
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23
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
• Rotation
– Vorher:
– Jetzt:
 cos a

 sin a
 0

komplexe Gleichung oder Matrixmultiplikation
Multiplikation mit einer Rotationsmatrix
 sin a
cos a
0
0

0
1 

 x    cos a
  
 y     sin a
1  0
  
 sin a
cos a
0
0  x 
 
0  y 
1  1 
• Allgemeine 2D-Transformationsmatrix
a b c 


d e f 
0 0 1


Skalierung
Rotation
Translation
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Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Inverse Transformationen:
• Frage: Wie macht man Transformationen rückgängig
(was sind die inversen Transformationen)?
• Für elementare Transformationen einfach:
– Translation:
Verschiebung um den negativen
Verschiebungsvektor T-1(dx, dy) = T(-dx, -dy)
– Skalierung:
Skalierung mit dem reziproken
Skalierungsfaktor S-1(a) = S(1/a)
– Rotation:
Rotation um den negativen Rotationswinkel.
Da aber Rotationsmatrizen orthogonal sind, gilt R-1 = RT.
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Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Zusammengesetzte Transformationen
• Nacheinanderausführung zweier Translationen
 x    1 0 dx 2  1 0 dx 1  x 
  

 

y

0
1
dy
0
1
dy
  
2 
1  y 
 1   0 0 1  0 0 1  1 
  

 

 x    1 0 dx 1  dx 2  x 
  
 

y

0
1
dy

dx
  
1
2  y 
 1  0 0
 1 
1
  
 
– Translation ist additiv, d.h. Ergebnis ist eine Verschiebung
um die Summe beider Vektoren
• Nacheinanderausführung zweier Skalierungen
 x    sx 2
  
 y    0
1  0
  
0
sy 2
0
0  sx 1 0 0  x 

 
0  0 sy 1 0  y 
1  0
0 1  1 

 x    sx 1  sx 2
  
0
 y   
1 
0
  
0
sy 1  sy 2
0
0  x 
 
0  y 
1  1 
– Skalierung ist multiplikativ, d.h. Ergebnis ist eine Skalierung
um das Produkt der beiden Faktoren.
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26
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
• Nacheinanderausführung zweier Rotationen
 x    cos a 2
  
 y     sin a 2
1  0
  
 sin a 2
cos a 2
0
0  cos a1

0  sin a1
1  0
 sin a1 0  x 
 
cos a1 0  y 
0
1  1 
– Rotation ist additiv.
• Allgemein: Homogene Koordinaten
– Ermöglichen Vereinheitlichung und Kombination aller
geometrischen Transformationen
• Schreibweise
– Transformationen werden in der Reihenfolge T1, T2, ..., Tn
ausgeführt  P‘=Tn·...·T2·T1·P
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27
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Zusammensetzen von Transformationen
• Rotation eines Punktes um einen beliebigen Punkt P1
in der Ebene
• Ausführung in drei Schritten
1. Translation, so dass P1 im Ursprung liegt
2. Rotation um den Ursprung
3. Rück-Translation von P1
P1
P1
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Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Zusammensetzen von Transformationen
• Zerlegung von komplizierten Transformationen in
elementare Transformationen
• Repräsentation der Gesamt-Transformation durch
eine Matrix möglich
P   T (x 1 , y 1 )  R (a ) T (x 1 ,y 1 )P
 1 0 x 1  cos a  sin a 0  1 0  x 1  x 



 
  0 1 y 1  sin a cos a 0  0 1  y 1  y 
 0 0 1  0
0
1  0 0
1  1 


 cos a  sin a x 1 (1  cos a )  y 1 sin a  x 

 
  sin a cos a y 1 (1  cos a )  x 1 sin a  y 
 0
 1 
0
1

 
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Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Zusammensetzen von Transformationen:
• Aber: Matrixmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ!
• Das bedeutet: Reihenfolge der Transformationen ist
ausschlaggebend für das Ergebnis
• also: Tn...T2T1P  T1T2...TnP  T2Tn...T1P wenn die Ti
voneinander verschiedene Transformationen sind
• Allerdings in einigen Fällen besteht Kommutativität:
– Nacheinanderausführung von Translationen
– Nacheinanderausführung von Skalierungen
– Nacheinanderausführung von Rotationen
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30
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Weitere Transformationen:
• Spiegelung
– an der x-Achse
– an der y-Achse
– wird implementiert als
Skalierung mit dem Faktor
-1
0
0
 (1)


T   0 (1) 0 
 0

0
1


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31
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Weitere Transformationen:
• Scherung
– Versatz parallel zur x-Achse,
proportional zur y-Position
(bzw. umgekehrt)
– in x-Richtung
(x,y)
(x‘,y‘)
1 a 0 


T  0 1 0
0 0 1 


– in y-Richtung
 1 0 0


T  b 1 0 
 0 0 1


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32
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Affine Transformationen
• Jede Sequenz von Rotation, Translation und
Skalierung erhält die Parallelität von Linien, aber
nicht Längen und Winkel.
• Solche Transformationen heißen affine
Transformationen.
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33
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
Affine Abbildungen sind:
– Geradentreu.
Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade.
– Parallelentreu.
Parallele Geraden haben parallele Bildgeraden.
– Teilverhältnistreu. Dem Teilverhältnis auf einer Geraden entspricht das
Teilverhältnis auf der Bildgeraden.
– Bsp: Wenn Punkt C Strecke AB im Verhältnis 1:2 teilt, dann liegt C´auf
A´B´und teilt A´B´im gleichen Verhältnis.
Affine Abbildungen sind:
– nicht verhältnistreu in Bezug auf Teilflächen
– Bsp: Wenn ein Punkt D das Dreieck ABC in drei gleich große Dreieck
ABD, ACD und BCD teilt, dann ist das Verhältnis der Flächen von
A´B´D´zu A´C´D´zu B´C´D´im allgemeinen nicht 1:1:1.
C
– nicht längentreu
D
– nicht winkeltreu
– nicht flächentreu.
A
B
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34
Koordinatensysteme und
Transformationen
3. Transformationen in 3D
3D Transformationen
• Vorgehensweise gleich zu 2D
• Repräsentation in homogenen Koordinaten (4D)
x 
 
y 
z 
 
x 
 
y 
 
z
 
1
 
• Transformationsmatrizen demzufolge 44-Matrizen
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36
3D Transformationen: Matrizen
• Translation
– Addition eines Translationsvektors bzw. Multiplikation mit
einer Translationsmatrix
1

0
T 
0

0

0 0 dx 

1 0 dy 
0 1 dz 

0 0 1 
• Skalierung
– Multiplikation mit Skalierungsfaktoren bzw. Multiplikation mit
einer Skalierungsmatrix
uniforme Skalierung,
 sx 0 0 0 


wenn sx=sy=sz, sonst
 0 sy 0 0 
S 
Nicht-uniforme Skalierung
0
0 sz 0 

0

0
0

1 
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37
3D Transformationen: Matrizen
• Rotation
– Rotationen um die verschiedenen Koordinatenachsen
müssen betrachtet werden.
– 3 verschiedene Rotationsmatrizen (Rotation um positive
Winkel in rechtshändigem Koordinatensystem)
0
1

 0 cos a
Rx  
0 sin a

0
0

0
 sin a
cos a
0
0

0
0

1 
 cos a

 sin a
Rz  
0

 0

 cos a

 0
Ry  
 sin a

 0

 sin a 0 0 

cos a 0 0 
0
1 0

0
0 1 
0
sin a
1
0
0 cos a
0
0
0

0
0

1 
– Achse, um die gedreht wird, bleibt „Einheitsvektor“ in der
Matrix
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38
3D Transformationen: Matrizen
Warum unterschiedliche Vorzeichen bei den Winkeln
(Sinus)?
Gegenüber der 2D-Herleitung,
Spiegelung an der x-Achse
 (x, -y)  (sin α = - sin (- α), cos (- α) = cos α
y
x
x
z
rechtshändiges
Koordinatensystem
z
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39
3D Transformationen: Matrizen
• Überführung rechtshändiges in linkshändiges
Koordinatensystem (Spiegelung)
T r l
1

0

0

0

0
0
0

1 0 0
0 1 0

0 0 1 
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme
40
3D Transformationen: Matrizen
Zusammensetzen von Transformationen
• auch über Multiplikation der Matrizen
• generelle Transformationsmatrix in 3D
a

e
T 
i

m

b c d

f g h
j k l 

n o p 
Skalierung
Rotation
Translation
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme
41
3D Transformationen: Matrizen
Matrizen werden in der CG benötigt für Transformationen der Szene in
Kamerakoordinaten und Projektionen.
Realisierung in OpenGL:
In OpenGL wird die Spezifikation dieser Matrizen (4x4, homogene
Koordinaten) unterstützt; alle Matrizen werden einheitlich
gehandhabt.
Der glMatrixMode spezifiziert, auf welche Matrix sich die
folgenden Kommandos beziehen.
glLoadIdentity ()
glLoadMatrixf (matrixPointer)
glMultMatrixf (matrixPointer)
glPushMatrix(), glPopMatrix()
setzt Matrix auf die Einheitswerte
lädt die Matrix mit dem angegebenen Feld (1D, 16 Werte)
multipliziert aktuelle Matrix mit der
angegebenen
Matrix auf einem Stack ablegen
bzw. vom Stack holen.
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42
3D Transformationen: Matrizen
Realisierung in OpenGL:
glTranslatef (v1, v2, v3) multipliziert aktuelle Matrix mit einer
Translationsmatrix
glRotatef (ang, ref1, ref2, ref3) multipliziert aktuelle Matrix
mit einer Rotationsmatrix. Rotation um
(ref1; ref2; ref3) und den Winkel „ang“.
Beispiel:
glPushMatrix();
// aktuelle Matrix auf dem Stack sichern
glMatrixMode (GL_MODEL_VIEW);
// Welche Matrix?
glLoadIdentity();
// Initialisierung
glTranslatef (4.0, 5.0, 3.0);
// Translation
glRotatef
(45.0,1.0, 0.0, 0.0);// Rotation um x-Achse
glTranslatef (-4.0, -5.0, -3.0);
// Rücktranslation
glPopMatrix();
// Matrix rekonstruieren
Reihenfolge: Alle Manipulationen der Matrizen sind postmultiplikativ.
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Koordinatentransformationen
• Bisher: Transformation von Punkten in neue Punkte bei
konstantem Koordinatensystem („geometrische
Transformationen“)
• Äquivalente Sichtweise: Wechsel des Koordinatensystems bei
konstantem geometrischen Objekten („Koordinatentransformationen“)
• Allgemein gilt:
– Geometrische Transformationen und entsprechende
Koordinatentransformationen sind invers zueinander!
• Computergraphik:
– Geometrische Objekte oft in lokalem „bequemem“
Koordinatensystem definiert („Objekt-Koordinatensystem“)
– Koordinatentransformation in Weltkoordinaten gibt Lage des
Objekts in der Szene wider.
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Zusammenfassung Transformationen
• Geometrische Transformationen sind lineare
Abbildungen vom n in den n
– für uns von besonderem Interesse 2  2 und 3  3
• Für Computergraphik relevant:
–
–
–
–
Translation
Skalierung
Rotation
Scherung, Spiegelung
• Einheitliche Behandlung der Transformationen durch
Übergang zu homogenen Koordinaten und zur
Darstellung der Transformationen durch Matrizen
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Zusammenfassung Transformationen
• Zusammengesetzte Transformationen durch
Hintereinanderausführen von elementaren
Transformationen, entspricht Multiplikation der Matrizen.
• Transformation der Objekte oder des Koordinatensystems
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