Universität Bonn

Instationäre, Inkompressible
Navier – Stokes Gleichungen
Seminar: FEM für die Strömungsmechanik
Prof. M. Griebel
Dr. M. A. Schweitzer
L. M. Köhler
02.02.2007
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
Lösungsansätze zu Instationären, Inkompressiblen NavierStokes Gleichungen mit der Finiten Elemente Methode
Gliederung und Zielsetzung
1. Kapitel: Lösbarkeit
1.1 Formulierung des Problems, Vorbemerkungen, Definition schwacher Lösungen
1.2 Existenz schwacher Lösungen
1.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen
1.4 Regularität schwacher Lösungen
2. Kapitel: Numerische Lösung, Diskretisierung
2.1 Linien Methode, Ɵ-Schema
(Rothe Methode)
2.2 Raum-Zeit Finite Elemente
(discontinuous Galerkin method)
2.3 Transport-Diffusions Algorithmus
2.4 Zusammenfassung, Ausblick, Quellen
Ziel: Lösung durch Nutzung bisher verwendeter Methoden!
Seminar: Finite Elemente für strömungsmechanische Probleme
Lukas Köhler
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
1.1 Ursprung der Navier-Stokes Gleichung
Erhaltung
Da 0 = ∫V(t) ρ(x,t)dx ergibt sich in jedem Punkt für ρ(x,t) (Dichte):
der Masse
∂ρ/∂t + div(ρv) = 0
in Ω x (0, ∞)
Erhaltung
Die zeitlichen Änderung des Impulses ergibt punktweise:
des Impulses
∂/∂t(ρv) + div(ρv⊗v) = ρf + div T
Konstitutive
Unter vers. Voraussetzungen an den Spannungstensor T:
Gleichungen
Allgemeine
Navier-Stokes
T = 2λD(v) + μdiv(v)I – pI
in Ω x (0, ∞)
(Zustandsgleichung)
∂ρ/∂t + div(ρv) = 0
∂/∂t(ρv) + div(ρv⊗v) = ρf + 2λ ∆(v) + (λ + μ) ∇ div(v) – ∇p
Durch das Voraussetzen von Reibungsfreiheit, konstanter Dichte und Temperatur,
stationärer Bewegung, diverser Skalierungen & Linearisierung konnten die
allgemeinen Navier-Stokes Gleichungen auf das Stokes Problem reduziert werden.
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Lukas Köhler
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
1.1 Entwicklung einer Lösungsstrategie
Stokes
Gleichung
Konforme
Elemente
(nicht konforme)
Mehrgitter
für Stokes
Stationäre,
inkompressible
Navier-Stokes
Heute
-∆u + grad p = f
in Ω
div u = 0
in Ω
u=0
auf ∂Ω
Xh⊂ X, Mh⊂ M bezeichnen zu Тh gehörige Finite Element Räume
(Xh,Mh) stabil (inf-sup Bedingung unabhängig von h erfüllt)
⇒ diskrete Navier-Stokes Gleichungen sind eindeutig lösbar
Sequenz von Räumen (Xh,Mh) mit Transferoperatoren
Ph, Rh: Xh → X2h
und Glättern Sh.
Mehrgitterlöser für Stokes
-ν∆u + ∇p + (u · ∇)u = f
in Ω
-div u = 0
in Ω
-u = 0
auf ∂Ω
Sequenz von
Stokes Problemen
Instationäre, inkompressible Navier-Stokes Gleichungen
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Lukas Köhler
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
1.1 Die Instationären, Inkompressiblen Navier - Stokes
Gleichungen
Formulierung, Herleitung, Bedeutung
(1)
∂u/∂t - ν∆u + ∇p + (u · ∇)u = f
in Ω x (0, T)
div u = 0
in Ω x (0, T)
u=0
auf ∂Ω x (0, T)
u(.,0) = u0
in Ω
Annahmen:
Anwendung:
• Vernachlässigung der
Energiegleichung
• ρ konstant
• p wird durch p / ρ ersetzt
• ν := η / ρ (dynamische Viskosität)
• Luftströmungen unterhalb der
Schallgeschwindigkeit
• Wasserströmungen
• Flüssige Metalle (konst. Temp.)
• Nicht bei Überschall / heißer Luft
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Lukas Köhler
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1.1 Vorbemerkungen & Definition Schwacher Lösungen
Notationen:
V := {u ∈ H01(Ω)n | div u = 0}
H := {u ∈ L2(Ω)n | div u = 0 in Ω, u · n = 0 auf ∂Ω}
Bilinearformen:
a(u,v) := ∫Ω ∇u :∇v
(bilinear, koerziv)
b(v,p) := ∫Ω p divv
(bilinear)
N(u,v,w) := ∫Ω [(u · ∇)v] · w (trilinear, N(u,v,v) = 0, N(u,v,w) = -N(u,w,v))
Schwach Stetig:
Ist φ eine Fkt. auf (0,T) mit Werten in X, so heißt φ schwach stetig in t0,
wenn ∀ Folgen (tm)m∈ℕ ⊂ (0,T) mit limm→∞ tm = t0 und jedes ψ ∈ X´= L(X,ℝ)
gilt:
limm→∞ ⟨φ(., tm),ψ⟩X = ⟨φ(., t0),ψ⟩X
Schwache Lösung: Seien T > 0, u ∈ H, f ∈ L2((0,T),V´) und u ∈ L∞((0,T),L2(Ω)n) ⋂ L2((0,T),V).
0
Ferner sei u im L2 - Sinne schwach stetig auf [0,T]. Dann heißt u eine
schwache Lösung von (1), wenn ∀ v ∈ C1((0,T),L2(Ω)n) ⋂ C0([0,T],V) mit
v(.,T) = 0 gilt:
(2)
-∫[0,T] (u, ∂v/∂t) + ν∫[0,T] a(u,v) + ∫[0,T] N(u,u,v) = ∫[0,T] (f,v) +(u0,v(.,0))
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1.2 Existenz Schwacher Lösungen
Existenzsatz
Seien f und u0 wie in der Definition schwacher Lösungen. Dann besitzt (1)
mindestens eine schwache Lösung u. Außerdem gilt ∂u/∂t ∈ L1((0,T),V´).
Beweis
V ⊂ H01 (Ω)n abgeschlossen, somit separabel ⇒ V := clos(Um∈ℕ span{ wj | 0≤j ≤m})
u0,m bezeichne die L2 – Projektion von u0 auf Vm := { wj | 0 ≤ j ≤ m}, betrachte:
∑0≤ i≤ m (wi,wj) ġi,m(t) + ν ∑0≤ i≤ m a(wi,wj) gi,m(t) + ∑0≤ i,j≤ m N(wi,wl,wj) gi,m(t) = (f,wj)
(3)
für 0 ≤ j ≤ m
∑0≤ i≤ m gi,m(0)wi = u0,m
(für bel., aber feste m ∈ ℕ)
(3) Erfüllt die Voraussetzungen von Picard-Lindelöf, besitzt daher eine eindeutige
max. Lsg. (g0,m(t),…,gm,m(t)) auf max. [0,tm] mit 0 < tm ≤ T;
um := ∑0≤ i≤ m gi,m(t) wi
Ist tm < T ⇒ lim t→tm ||um(.,t)||0 = ∞
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1.2 Existenz Schwacher Lösungen - Beweis
Beweis
In (3) multipliziere die j-te Gleichung mit gj,m(t) und summiere über j auf:
⇒ (∂um/∂t, um) + νa(um,um) = (f, um)
∀ u ∈ V, w ∈ H01(Ω)n
⇒ d/dt ||um(.,t)||02 + 2ν|um(.,t)|12 = 2(f, um (.,t))
≤ 2||f||-1 |um(.,t)|1
≤ 1/ν ||f||-12 + ν |um(.,t)|12
⇒ ∀ s ∈ [0,tm] :
||um(.,s)||02 + ν∫[0,s] |um(.,τ)|12 dτ ≤ 1/ν ∫[0,s] ||f(.,τ)||-12 dτ + ||u0||02
⇒ lim sup
t → tm
||um(.,t)||0 < ∞ und daher tm = T.
(um)m∈ℕ ⊂ beschränkter Teilmenge von L∞((0,T),H) ⋂ L2((0,T),V).
Also ∃ u ∈ L∞((0,T),H) ⋂ L2((0,T),V), gegen welches eine Teilfolge (um‘)
schwach in L2((0,T),V), schwach-* in L∞((0,T),H) & stark in L2((0,T),H) konvergiert.
Diese Konvergenz einer Teilfolge (um‘) reicht aus um in (3) den Grenzübergang
m’ → ∞ bei festem j zu vollziehen. Daher erfüllt u die Bed. (2) ∀ wj.
Da Um∈ℕVm dicht in V,folgt die Behauptung.
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QED.
Lukas Köhler
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1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen
Lemma
Für alle n ∈ {2,3} und alle φ ∈ H01(Ω) gilt
|| φ ||L⁴(Ω) ≤ 2(n – 1) / 4 || φ ||0 (4 – n) / 4 | φ |1n / 4
Eindeutigkeitssatz
i) Sei n = 2. Dann besitzen die instationären Navier - Stokes Gleichungen (1)
genau eine schwache Lösung. Außerdem gilt ∂u/∂t ∈ L2((0,T),V´), u ∈ C([0,T],H)
und u(.,t) → u0 in H für t→ 0.
ii) Sei n = 3. Dann gilt für jede schwache Lösung der instationären Navier - Stokes
Gleichungen (1) u ∈ L8/3((0,T),L4(Ω)3), ∂u/∂t ∈ L4/3((0,T),V´). Es gibt höchstens
eine schwache Lösung in L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),H) ⋂ L8((0,T), L4(Ω)3). Eine solche
Lösung ist automatisch in C([0,T],H) und erfüllt u(.,t) → u0 in H für t→ 0.
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Lukas Köhler
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1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen – Beweis (1)
Beweisskizze: allgemeine Bemerkungen; ad i)
Definiere Operatoren A, B auf L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),H)
⟨Au, v⟩ := a(u,v)
⟨B(u), v⟩ := N(u,u,v)
Dann gilt (s. Existenzsatz) ∀ u (schwache Lösung von (1)):
∂u/∂t - νAu +B(u) = f
f.ü. in V‘
u(.,t) → u0
in H‘ für t → 0.
ad i) Regularität: ||B(u)||V’ = supv∈V, |v|=1 N(u,u,v) ≤ ||u||2L⁴(Ω) ≤ √2 ||u||0 |u|1
u ∈ L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),L2(Ω)2) ⇒ Au, B(u) ∈ L2((0,T),V‘) & ∂u/∂t ∈ L2((0,T),V‘)
Eindeutigkeit: sei w := u1 – u2
da w ∈ L2((0,T),V) und ∂w/∂t ∈ L2((0,T),V‘)
⇒ d/dt ||w (.,t)||02 + 2ν|w(.,t)|12 = 2(∂w/∂t , w) + 2ν a(w,w)
≤ 2ν|w(.,t)|12 + 1/ν |u1(.,t)|12 ||w(.,t)||02
⇒ d/dt ( ||w (.,t)||02 exp (-1/ν∫[0,t] |u1(.,s)|12 ds)) ≤ 0
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, da w(.,0) = 0 ⇒ QED.
Lukas Köhler
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1.3 Eindeutigkeit Schwacher Lösungen – Beweis (2)
Beweisskizze: ad ii)
Regularität: ||B(u)||V’ = ||u||2L⁴(Ω) ≤ 2 ||u||01/2 |u|13/2
u ∈ L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),L2(Ω)3) ⇒ Au ∈ L2((0,T),V‘), B(u) ∈ L4/3((0,T),V‘)
& somit ∂u/∂t ∈ L4/3((0,T),V‘). Daher auch u ∈ L8/3((0,T),L4(Ω)3).
Eindeutigkeit: sei w := u1 – u2 & unter bekannten Regularitätsannahmen
⇒ d/dt ||w (.,t)||02 + 2ν|w(.,t)|12 = -2N(w,u1,w) = 2N(w, w, u1)
≤ 2 ||w||L⁴(Ω) |w|1 ||u1||L⁴(Ω)
≤ 4 ||w||01/4 |w|17/4 ||u1||L⁴(Ω)
Young`sche Ungleichung: ab ≤ 7/8 a8/7 + 1/8 b8
∀ a,b ∈ ℝ+
für a := (16/7 ν)7/8 |w|17/4 & b := 4 (16/7 ν)7/8 ||w||01/4 ||u1||L⁴(Ω)
⇒ d/dt ||w (.,t)||02 + 2ν|w(.,t)|12 ≤ 2ν|w(.,t)|12 + 1/7 (7/ 4ν)7 ||w (.,t) ||02 ||u1||8L⁴(Ω)
⇒ d/dt ||w (.,t)||02 ≤ 1/7 (7/ 4ν)7 ||w (.,t) ||02 ||u1||8L⁴(Ω)
Wegen u1 ∈ L8/3((0,T),L4(Ω)3) folgt w = 0.
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⇒ QED.
Lukas Köhler
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1.4 Regularität Schwacher Lösungen
Regularitätssatz
i) Sei n = 2 und f, ∂f/∂t ∈ L2((0,T),V‘), f(.,0) ∈ H und u0 ∈ H2(Ω)2 ⋂ V. Dann gilt für die
eindeutige schwache Lösung der instationären Navier-Stokes Gleichungen
∂u/∂t ∈ L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),H). Ist zusätzlich ∂Ω ∈ C2 und f ∈ L∞((0,T),H), so ist
u ∈ L∞((0,T),H2(Ω)2).
ii) Sei n = 3 und f ∈ L∞((0,T),H), ∂f/∂t ∈ L1((0,T),H) und u0 ∈ H2(Ω)3 ⋂ V.
Definiere
d1 := ||f(.,0)||0 + ν ||u0||2 + ||u0||22
d2 := ||f||L∞((0,T),V‘)
Falls
ν -2d2 + ν-3(1 +d12) (||u0||02 + ν -1 T d2)exp (∫[0,T] ||∂/∂t f(.,s)||0 ds))
hinreichend klein ist, besitzen die instationären Navier-Stokes Gleichungen eine
eindeutige schwache Lösung, und es gilt ∂u/∂t ∈ L2((0,T),V) ⋂ L∞((0,T),H). Ist
zusätzlich ∂Ω ∈ C∞, so ist u ∈ L∞((0,T),H2(Ω)3).
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(ohne Beweis)
Lukas Köhler
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1.4 Druck
Bemerkung 1
Die Regularitätsaussagen des vorausgehenden Satzes für ∂u/∂t sind zu schwach,
um eine Fehlerabschätzung der Ordnung 2 oder höher für Zeitdiskretisierungen
der instationären Navier-Stokes Gleichungen zu erhalten.
Bemerkung 2
u sei schwache Lösung, definiere
U(t) := ∫[0,t] u(.,s)ds
b(t) := ∫[0,t] B(u(.,s))ds
F(t):= ∫[0,t] f(.,s)ds
&
U, b, F ∈ C([0,T],V‘)
Mit (2) folgt:
ν a(U, v) = ⟨g, v⟩
∀v∈V
Mit:
g := F – b – u(.,t) + u0
∈ C([0,T],V‘)
Es ∃ q(.,t) ∈ L2(Ω): ∇q(.,t) = g + ν∆U
∇q ∈ C([0,T],H-1(Ω)), q ∈ C([0,T],L2(Ω))
Dies läßt sich im Distributionssinn bzgl. t ableiten, für p := ∂q/∂t erhält man:
∇p = f – B(u) – ∂u/∂t + ν∆u
Nun folgt p ∈ L2((0,T), L2(Ω)) & somit ist p der gesuchte Druck in (1).
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1.X Das Millenium Problem
Betrachte (1), eine schwache Lösung für (1) ist nur dann physikalisch sinnvoll,
wenn gilt:
i)
p, u ∈ Ω x [0,∞)
ii)
∫ℝn |u(x, t)|2 < C
∀t≥0
Das Millenium Problem:
Sei ν > 0 und n = 3. Sei u0(x) ein glattes, divergenzfreies Vektorfeld, welches die
Bedingung (*) erfüllt. Nehme an, daß f(x,t) identisch null ist. Dann existieren glatte
Funktionen p(x,t), ui(x,t) auf ℝ x [0,∞) welche (1) erfüllen und physikalisch sinnvoll
sind.
(*)
|∂αu0(x) / ∂x| ≤ CαK(1 + |x|)-K
auf ℝn, für irgendwelche α, K
Anmerkung:
In zwei Dimensionen sind diese Probleme schon seit längerem gelöst. Im drei
dimensionale Fall weiß man allerdings, dass wenn man die Forderung [0,∞)
aufgibt und für kleine T auf [0,T) übergeht, dann existieren Lösungen. Unter
günstigen Annahmen läßt sich auch die Existenz von schwachen Lösungen zeigen.
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Lukas Köhler
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2. Diskretisierung der Zeit, Grenzen der Technik
Bsp.: (i, j, k) ∀ i, j, k double
(i, j, k, p) ∀ i, j, k, p double
∼ 24 Gigabyte
1m3
1000
∼ 32 Terabyte
1m3 x 1min
Diskretisierung
der
109
1012
Zeit
1000
1000
Uniformes Gitter zur
Approximation eines
Diskretisierung der Zeit
Kubikmeters mit einer
Schrittweite von 1mm
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in 1000 Schritte:
Komplexität 1012
Lösung durch trade-off
zwischen Rechenzeit
& Speicherkapazität
(num. Lösungsstrategie)
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2. Aufgabenstellung & Numerische Lösungsstrategien
Problem:
Durch Einbeziehung der Zeit in die inkompressiblen Navier-Stokes
Gleichungen erhöht sich die Dimension, eine schwache Lösung
wird nun auf Ω x (0, T) gesucht für Ω ⊂ ℝn, n ∈ {2,3}. Es sind nun
∂u/∂t und (u · ∇)u stabil zu diskretisieren, bzw. zu linearisieren.
Strategie 1:
Linien Methode: Es wird Ω diskretisiert und ein AWP aufgestellt.
Dieses AWP wird schließlich über jedem Zeitschritt betrachtet.
Strategie 2:
Raum Zeit Finite Elemente: Orts- & Zeitvariable werden gleichzeitig
diskretisiert.
Insbesondere: Transport-Diffusions Algorithmus: Linearisierung & Diskretisierung
erfolgen gewissermaßen in einem Schritt.
Ziel:
Einbeziehung der bekannten konformen Methode!
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2.1 Linien Methode – Diskretisierung des Ortes
Vorbem.: Тh sei affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilung von Ω,
weiterhin seien (Xh, Mh) stabile Paare zugehöriger Finite Element
Räume. Setze
Vh := {uh ∈ Xh ⊂ X ⊂ H01(Ω)n | ∫Ω ph div uh = 0 ∀ ph ∈ Mh}
Schritt 1: Diskretes Analogon zur schwachen Formulierung (2):
Finde uh ∈ L2([0,T],Vh), so daß ∀ vh ∈ C1([0,T],Vh) gilt:
(4)
-∫[0,T] (uh, ∂vh/∂t) + ν∫[0,T] a(uh,vh) + ∫[0,T] N(uh,uh,vh)
= ∫[0,T] (f,vh) +(u0,vh(.,0)).
Schritt 2: Sei uh ∈ C1((0,T),Vh) ⋂ C([0,T],Vh), dann ist (4) bzgl. t partiell integrierbar:
(4) ⇔: Finde uh ∈ C1((0,T),Vh) ⋂ C([0,T],Vh) mit
(4*)
Bem.:
uh(.,0) = u0,h
(∂uh/∂t, vh) + 2νa(uh, vh) + N(uh,uh,vh)= (f, vh)
∀ vh ∈ Vh, t ∈ (0,T)
Beachte die unrealistisch starken Regularitätsvoraussetzungen!
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2.1 Linien Methode – Aufstellung des gewöhnlichen AWP
Schritt 3: Definiere Operatoren Ah, Bh : Vh → Vh durch
(Ah uh, vh) := a(uh, vh)
(Bh(uh), vh) := N(uh,uh,vh),
So lässt sich (4*) umschreiben als gewöhnliches nicht lineares AWP:
(5)
uh = Fh(uh) := f – ν Ah uh –Bh(uh)
uh(.,0) = u0,h
Schritt 4: • Dieses AWP lässt sich mit den üblichen Methoden bewältigen.
• Ah hat Kondition O(h-2)
• Bei expliziten Zeitschrittverfahren muss die CFL-Bedingung τ ≤ ch2
für eine Zeitschrittweite τ eingehalten werden.
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2.1 Ɵ-Schema – Diskretisierung der Zeit
Ɵ-Schema: allgemeine Form eines linearen Einschrittverfahrens
Für (5) ergibt sich bei konstanter Zeitschrittweite τ:
uh0= u0,h
1/τ (uhn+1 – uhn) = Ɵ (f n +1 – ν Ah uhn +1 –Bh(uhn +1)
+(1 - Ɵ) (f n – ν Ah uhn –Bh(uhn)
bzw.
uh0= u0,h
uhn +1+ τƟ ν Ah uh n +1 + τƟ Bh(uhn +1) = gn +1
:= uhn + τƟ f n +1
+ τ(1 – Ɵ) (f n – ν Ah uhn –Bh(uhn)
Die Näherung uhn +1 für uh(.,(n+1) τ) ist also Lösung der diskreten stationären
Navier-Stokes Gleichung:
(uhn +1,) + τƟ ν a(uhn +1, vh) + τƟ N(uhn +1, uhn +1, vh) = (gn +1,vh)
∀ vh ∈ Vh
Dieses Problem ist z.B. durch Fixpunktiteration, das Newton-Verfahren zu lösen.
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2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Voraussetzungen
Schritt 1: Unterteile [0,T] durch 0 = t1 < t2 < … < tN < tN = T
τ
τ+1
& setze für 1 ≤ j ≤ Nτ
Jj := [tj, tj+1],
τj :=tj+1 – tj
∀ tj sei Тh affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilungen von Ω.
Vj sei der Raum der diskret divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder.
Vorbem.: Setze für 1 ≤ j ≤ Nτ & Ɵ ∈ [0,1]:
1/τj-1 (t – tj-1) für tj-1 ≤ t ≤ tj
λj(t) := 1/τj (tj+1 – t) für tj ≤ t ≤ tj+1
0
sonst
Bem.:
bj(t) :=
4/τj2 (t – tj)(tj+1 – t)
λjƟ(t):=
λj(t) + 3/2 (Ɵ – 1/2) (bj(t) – bj-1(t))
Die Funktionen bj und λj sind die stetigen, stückweise linearen, nodalen
Basisfunktionen zur Unterteilung von [0,T].
Mit der Simpsonregel: ∫[tj-1,tj] λjƟ(t)dt = (1 – Ɵ) τj-1
∫[tj,tj+1] λjƟ(t)dt = Ɵ τj
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2.2 Raum-Zeit Finite Elemente - Diskretisierung
Vorbem.: S k,-1(V ) :=span{ χ (t) tμ v (x) | 0 ≤ μ ≤ k, 1≤ j≤ N , v ∈ V }
τ
h(τ)
τj
j
τ
j
j
SτƟ;1,0(Vh(τ)):=span{ λjƟ(t) vj(x) | 1 ≤ j ≤ Nτ, vj ∈ Vj}
SτƟ;k,0(Vh(τ)):= SτƟ;1,0(Vh(τ))
⊕ span{ bj(t) tμ wj(x) | 0 ≤ μ ≤ k –2, 1 ≤ j ≤ Nτ, wj ∈ Vj}
Sτk,-1(Vh(τ)) besteht also aus in t unstetigen Funktionen, welche stückweise
Polynome vom Grad ≤ k mit Koeffizienten in Vj sind.
Funktionen in SτƟ;k,0(Vh(τ)) sind global stetig, verschwinden zur Zeit T
Und sind stückweise Polynome vom Grad ≤ k mit Koeffizienten in Vj.
Schritt 2: Die Raum-Zeit Finite Element Diskretisierung lautet:
Finde u h,τ ∈ Sτk,-1(Vh(τ)), so dass ∀ vh,τ ∈ SτƟ;k,0(Vh(τ)) gilt
(6)
-∫[0,T] (uh,τ, ∂vh,τ/∂t) + ν∫[0,T] a(uh,τ,vh,τ) + ∫[0,T] N(uh,τ,uh,τ,vh,τ)
= ∫[0,T] (f, vh,τ) +(u0,vh,τ(.,0))
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2.2 Rückführung auf das Ɵ-Schema
Schritt 1:
(6) ⇔
(7)
∑j {(uh,τ(.,tj + 0) – uh,τ(.,tj – 0), vh,τ(.,tj))
+∫[tj,tj+1] (uh,τ,∂vh,τ/∂t) + ν∫[tj,tj+1] a(uh,τ,vh,τ) + ∫[tj,tj+1] N(uh,τ,uh,τ,vh,τ)}
= ∑j ∫[tj,tj+1] (f,vh,τ)
1 ≤ j ≤ Nτ
Schritt 2: k = 0, uhj := u h,τ auf Jj für 1 ≤ j ≤ Nτ & vh,τ:= λjƟ(t)vj
⇒
uh0 = uh,0
und
(uhj – uhj–1, vj) + Ɵτjν a(uhj,vj) + Ɵτj N(uhj,uhj,vj)
+(1 – Ɵ)τj–1ν a(uhj–1, vj) + (1 – Ɵ)τj–1 N(uh j–1,uh j–1,vj)
= ∫[tj–1,tj+1] λjƟ(t) (f, vj)
∼ Ɵτj (f j, vj) + (1 – Ɵ)τj–1(f j–1, vj)
Schritt 3: In Operatorschreibweise: uh0 = uh,0
uhj + ƟτjνAhuhj + ƟτjBh(uhj) = uhj–1 + τjƟ f j
+ τj–1(1 – Ɵ) (f j–1 – νAhuhj–1 – Bh(uhj–1)
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2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (1)
Bem.: Der nun folgende Algorithmus ist eine Variante der Linien Methode. Die
wesentliche Idee ist die Rückführung des konvektiven Terms (u · ∇)u
und der partiellen Ableitung ∂u/∂t auf die Materialableitung. Das Charakteristikenverfahren nutzt eine Formulierung in Lagrangekoordinaten.
Vorbem.: Тh sei affin äquivalente, zulässige, reguläre Unterteilung von Ω,
weiterhin seinen (Xh, Mh) stabile Paare zugehöriger Finite Element
Räume für Geschwindigkeit & Druck, Vh sei der Raum der diskret
divergenzfreien Geschwindigkeitsfelder.
Xh sei Lagranger`scher Finite Element Raum, d.h. ∃ nodale Basis
(Gitterpunkte xi).
Aus dem Transport-Theorem folgt, daß ∂u/∂t + (u · ∇)u die totale zeitliche
Ableitung entlang den Trajektorien ist, somit den Transport entlang den
Charakteristiken beschreibt.
Die Näherung uhn+1 für uh(.,tn+1) ergibt sich aus uhn für uh(.,tn) wie folgt:
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Lukas Köhler
Instationäre, inkompressible Navier - Stokes Gleichungen
2.3 Transport-Diffusions Algorithmus (2)
Schritt 1: Transport Schritt:
Löse für jeden Gitterpunkt xi das gewöhnliche AWP:
d/dt yi(t) = uhn(yi(t))
für tn < t < tn+1
yi(tn+1) = xi
Schritt 2: Diffusions Schritt:
Löse das diskrete Analogon des Stokes Problems:
1/(tn+1 – tn) (un+1 - u(y(tn),tn) - ν∆un+1 + ∇pn+1 = f(.,tn+1)
div un+1 = 0
un+1 = 0
in Ω
in Ω
auf ∂Ω
Es wird also der Term
∂/∂t uh(xi,tn+1) + (uh(xi,tn+1)·∇)uh(xi,tn+1)
durch den folgenden Differenzenquotienten approximiert:
1/(tn+1 – tn) (uh(xi,tn+1) - uh(yi(tn),tn)
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2.4 Vergleich der verschiedenen Lösungswege
Merkmale
Linien
Methode
Raum Zeit
Vorteile / Nachteile
• Komplexität O(h-3)
+ Geringe Komplexität
• Semidiskret
– Fehleranalyse schwierig
• Zeitpunktbetrachtung
– starke Regularität benötigt
• Nichtlineares AWP
– m Stokes Prob. / Zeitschritt
• Komplexität O(1/∂t h-3)
Finite Elemente • Diskretisierung in Ort & Zeit
• Komplette Historie
+ Fehleranalyse leicht (relativ)
– Sehr hohe Komplexität
• Nichtlineares AWP
TransportDiffusions
Algorithmus
• Komplexität O(h-3)
+ Stabil (große Reynoldszahlen)
• Diskretisierung in Ort & Zeit
+ Geringe Komplexität
• Zeitpunktbetrachtung
+ Ein Stokes Prob. / Zeitschritt
• Lineares AWP
– Aufwendige Implementierung
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2.4 Zusammenfassung, Ausblick
∂u/∂t - ν∆u + ∇p + (u · ∇)u = f
in Ω x (0, T)
div u = 0
in Ω x (0, T)
u=0
auf ∂Ω x (0, T)
u(.,0) = u0
in Ω
1. Verstehen der verschiedenen Herausforderungen durch die
Zeitabhängigkeit der instationären Gleichungen
2. Existenz und Eindeutigkeit unter starken bzw. realitätsfernen
Voraussetzungen an die Regularität
(„worst case“)
3. Entwicklung numerischer Lösungsstrategien durch Varieren
der Reihenfolge der zu diskretisierenden Variabeln
Können jetzt die bekannten Methoden nutzen!
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2.4 Quellen & Referenzen
1. Skript Numerische Strömungsmechanik,
Prof. Dr. R. Verfürth, Ruhr-Universität Bochum
2. Lineare Funktionalanalysis,
Prof. H. W. Alt, Springer
3. Finite Elemente,
Prof. Dr. D. Braess, Springer
4. Dissertation Zeitabhängige gewichtete a posteriori-Fehlerschätzer
Dr. M. Metscher, Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn
5. Numerik partieller Differentialgleichungen,
Prof. Dr. P. Knabner, Prof. L. Angermann, Springer
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Backup 1 – Transport Theorem
Transport Theorem
Sei f : Ω x (0, ∞) → ℝ hinreichend oft differenzierbar.
Dann gilt für jedes Volumen V in Ω:
d/dt ∫V(t) f(x,t) dx = ∫V(t) [ ∂/∂t f(x,t) + div(fv)(x,t) ] dx
Beweis
Siehe Vortrag Dr. M. A. Schweitzer
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