Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden

Sommersemester 2006
Mehrkriterielle Optimierung mit Metaheuristiken
(Vorlesung)
Prof. Dr. Günter Rudolph
Fachbereich Informatik
Lehrstuhl für Algorithm Engineering (LS XI)
Fachgebiet Computational Intelligence
Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden
1. Ansatz: Gewichtete Summe
wobei
Idee: Vektorielles Problem umwandeln in skalares Problem
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Skalares Ersatzproblem (m = 2)
Umformen ergibt Geradengleichung:
z
→ finde Gerade mit minimalem z,
so dass F gerade noch berührt wird
→ Tangentialpunkte mit F
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wird minimiert bei
Optimierung des
skalaren Problems
zmin
F
w1
w2
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Definition 4.1:
Sei
Menge aller Vektoren, die für gegebene Gewichte wi die gewichtete Summe
minimieren, wobei w 2 int(Cm).
■
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Kapitel 4: Skalarisierungsmethoden
■
Satz 4.1: S(F) µ F*.
d.h. jeder durch Summenbildung mit positiven Gewichten gefundene Zielvektor
ist effizient!
Beweis von Satz 4.1:
Wenn z* 2 S(F), dann existiert w 2 int(Cm), so dass 8 z 2 F:
(*)
Annahme: z*  F*. Dann existiert z 2 F, das z* dominiert: z Á z* bzw.
bzw. (mal wi > 0)

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im Widerspruch zu (*). ■
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2. Ansatz: Referenzpunktmethode
wobei z0 Referenzpunkt.
→ Wie wählt man Referenzpunkt?
Definition 4.2:
Der Zielvektor
heisst idealer Punkt.
■
Anmerkung: Idealer Punkt bei konfliktären Zielen nicht erreichbar.
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min-max-Methode
TschebyscheffMethode
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f2
F
z0
f1
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Erweiterungen:
• weighted metric method → Abweichungsterme je Ziel gewichten
• rotated weighted method → zusätzlich rotieren
rotiert
achsenparallel
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Satz 4.2:
Sei z0 der ideale Punkt eine mehrkriteriellen Problems und 1 ≤ r < 1.
Jede optimale Lösung des skalaren Ersatzproblems
ist Pareto-optimal.
Beweis: (durch Widerspruch)
Ann.: Sei x* optimale Lösung des Ersatzproblems, aber x* nicht Pareto-optimal.
) 9 x 2 X: 8 i: fi(x) ≤ fi(x*) und 9 k: fk(x) < fk(x*).
) 8 i: 0 ≤ fi(x) – zi0 ≤ fi(x*) – zi0 und 9 k: 0 ≤ fk(x) – zi0 ≤ fk(x*) – zi0
) i ( fi(x) – zi0 )r < i ( fi(x*) – zi0 )r ) x* nicht opt. für Ersatzproblem! 
WIDERSPRUCH zur Annahme.
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■
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3. Ansatz: Goal Attainment
wobei wi zu wählende Gewichte
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Anmerkungen:
• bei systematischem Variieren der Gewichte
alle Lösungen auf konvexem Zielbereich auffindbar
• kann nicht alle Lösungen im nicht-konvexen Bereich finden
• kann Lösungen finden, die nicht Pareto-optimal (→ ausfiltern, wenn möglich)
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4. Ansatz: Kompromissmethode ( – constraint method)
wobei i erlaubter Höchstwert für Ziel i
Prozedur:
• systematisches Variieren der i
• liefert Pareto-optimale Lösungen (auch für nicht kegelkonvexes F)
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f2
min!
F
z*
1
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f1
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f2
min!
F
z*
2
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f1
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5. Ansatz: Lexikografische Methode
Idee:
m monokriterielle Probleme, zunehmend angereichert mit Nebenbedingungen
…
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Lösung von (m)
=
multikriterielle
Lösung
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Probleme:
1. Reihenfolge der Ziele muss vorgegeben werden
2. Häufig keine natürliche Priorisierung vorhanden
 willkürliche Reihenfolge
3. Verschiedene Reihenfolgen
 Verschiedene Lösungen!
Fazit:
Ohne natürliche Zielpriorisierung erhält man beliebige Lösung!
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Zusammenfassung bzgl. Skalarisierungsmethoden
1. 9 Lösungen, die diesen Methoden verborgen bleiben
2. bei einmaliger Anwendung nur eine Lösung
zudem: a-priori-Auswahl von Gewichten, Schranken, etc. fragwürdig
3. bei mehrmaliger Anwendung mehrere Lösungen
falls Gewichte, Schranken, etc. systematisch variiert
und dominierte Lösungen ausgefiltert werden
4. stillschweigende Annahme: monokriterielle Optimierung „einfach“
aber: auch monokriterielle Optimierung ist schwierig!
→ multimodale Probleme, lokale Lösungen
→ welche Verfahren?
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