y - Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie

Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
 Ökonomische Theorie leitet Beziehungen zwischen
unterschiedlichen ökonomischen Variablen ab
 Ziel der Ökonometrie: Verifizierung und Quantifizierung der
abgeleiteten theoretischen Beziehung
 Beispiel: Wodurch und in welchem Ausmaß werden individuelle
Löhne bestimmt?
 durch Ausbildung, Berufserfahrung?
 durch das Geschlecht ?
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Alexander Spermann
WS 2007/2008
Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
 Beispiel: y = Lohn x = Schuljahre
 Ökonomische Theorie lässt positive Beziehung zwischen beiden
Variablen vermuten
 allgemein:
 z.B. lineare Beziehung
y = f(x)
y= + x
(Ökonomisches Modell)
Quelle: Dougherty
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Alexander Spermann
WS 2007/2008
Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
 reale Beobachtungen
werden kaum auf einer
Gerade liegen
x ist eine nicht-stochastische
exogene Variable
 yi =  + xi + ui (Ökonometrisches Modell); i = 1,..., n (= 4)
 y = abhängige Variable,
x = erklärende Variable
 u = Störterm (error term), erfasst zufällige sowie nicht
beobachtbare Einflussfaktoren, die auf y wirken
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Alexander Spermann
WS 2007/2008
Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
- die Gauss-Markov Bedingungen
Der Annahmen der Methode der kleinsten Quadrate liegen folgende
Gauss-Markov Bedingungen zugrunde:
1. Bedingung:
Durchschnittswert der Störterme gleich Null
2. Bedingung:
Störterme
Homoskedastizität = gleiche Varianz der
3. Bedingung:
den
Keine Autokorrelation (autocorrelation) zwischen
Störtermen
4. Bedingung:
erklärenden
4
Der Störterm soll unabhängig verteilt von den
Variablen sein
Alexander Spermann
WS 2007/2008
Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
Ökonometr. Modell:
yi 
  xi



 ui zufällige Komponente
nicht zufällige
Komponente

u Zufallsvariable  y ebenfalls Zufallsvariable

E(y) = E( +  x + u) = E( +  x) + E(u) =  +  x
 lineare Beziehung zwischen E(y) und x

y = E(y) + u

Var(y) = E(y - E(y))2 = E(y -  -  x)2 = E(u)2 = Var(u)
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Alexander Spermann
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung –
1. Gauss-Markov (GM) Bedingung
1. Gauss-Markov Bedingung:
E(ui lxi) = 0
Durchschnittswert der Störterme gleich Null
E( y i )    xi
Quelle: Gujarati
Intuition:
Die positiven Störterm-Werte gleichen die negativen ui-Werte aus, so
dass der Durchschnittswert bezogen auf y Null ist.
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Alexander Spermann
WS 2007/2008
Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung –
2. Gauss-Markov Bedingung (1)
2. Gauss-Markov Bedingung:
Homoskedastizität oder gleiche
Var(ui|xi) = E[ui -E(ui)]²
= E(ui)² wegen GM1
= ², z.B. ² = 5
Varianz der Störterme.
E( y i )    xi
Quelle: Gujarati
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Alexander Spermann
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung –
2. Gauss-Markov Bedingung (2)
Zum Vergleich: Heteroskedastizität:
konst.
Var(ui|xi) = i² , d.h. Var ≠
E( y i )    xi
Quelle: Gujarati
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Alexander Spermann
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung –
3. Gauss-Markov Bedingung
Cov(ui,uj) = E[ui -E(ui)] E[uj -
3. Gauss-Markov Bedingung:
E(uj)]
= E[ui uj]
Keine Autokorrelation zwischen den Störtermen
=0
wegen GM1
i ≠j
Beispiel:
Positive
Autokorrelation
Negative
Autokorrelation
keine
Autokorrelation
Quelle: Gujarati
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Alexander Spermann
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung –
4. Gauss-Markov Bedingung
4. Gauss-Markov Bedingung:
Kovarianz Null zwischen u und x : Cov(x, u) = 0.
Intuition:
Störterm und erklärende Variablen sind in verschiedenen Perioden
(Zeitreihe) bzw. über verschiedene Individuen (Querschnitt)
unabhängig voneinander. Der Störterm fängt alle fehlenden Variablen
auf.
Besonderheit:
GM4 ist automatisch erfüllt, wenn x keine Zufallsvariable, d.h. nicht
zufällig oder nicht stochastisch ist, oder GM1 gilt.
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Alexander Spermann
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung –
GM und Zentrales Grenzwerttheorem
Annahme der Normalverteilung (normality assumption) der Störterme
f (u )ui:
i
n sehr groß
n groß
n klein
0

ui
Zentrales Grenzwerttheorem (central limit theorem):
 die theoretische Rechtfertigung für die Annahme der Normalverteilung von ui.
 Aussage zur Angleichung an Normalverteilung mit steigendem n:
„Wenn eine Zufallsvariable X den Durchschnittswert  und die Varianz 2 hat,
dann wird die Verteilung der Stichprobe von X normal, wenn die Anzahl der
Observationen n zunimmt.“  gilt auch für die Verteilung der Störterme ui
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Alexander Spermann
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
Ökonometrisches Modell:
yi =  +  xi + ui , i = 1,..., n
Ziel: Schätzwerte a und b für „wahre“ Parameter  und 
geschätzte Werte sind dann:
ŷi=a+bxi
a und b sind die Schätzer für
Quelle: Dougherty
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Alexander Spermann
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
1. ei  y i  yˆ i
2. ei  y i  a  bx i
3. S  e12  e22  e32  e42
OLS = Ordinary Least Squares
= Methode der kleinsten Quadrate
 Minimiere S (Ableiten nach a und
b) !
ŷi=a+bxi = Kleinstquadratvorhersagen
ei
= Kleinstquadratresiduen
Quelle: Dougherty
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
Kleinstquadrat- oder OLS-Schätzer:
aOLS und bOLS sind Schätzer für die wahren Parameter  und 
n
 ( y i  y )( xi  x )
bOLS  i 1
n
 ( xi  x )

2
Stichprobe nkovarianz Cov(x, y)
2
Stichprobe nvarianz s xx
i 1
aOLS  y  b  x
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung
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Sitzung 2
Einfache Regressionsgleichung –
Streudiagramm
Streudiagramm (scatterplot) für:
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Sitzung 2
Interpretation der Koeffizienten in
empirischen Schätzgleichungen
Lineares Modell: y =  +  x + u
y

x
 gibt an, um wie viel Einheiten sich y verändert , wenn x
sich um eine Einheit verändert
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Sitzung 2
Interpretation der Koeffizienten in
empirischen Schätzgleichungen
Logarithmisches Modell: ln( y) =  +  ln(x) + u
 ln y
y / y


 ln x
x / x
 gibt an, um wie viel Prozent sich y verändert , wenn x sich
um ein Prozent verändert
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Sitzung 2
Interpretation der Koeffizienten in
empirischen Schätzgleichungen
Semi-Logarithmisches Modell: ln(y) =  +  x + u
 ln y
y / y


x
x
 gibt an, um wie viel Prozent sich y verändert , wenn x sich
um eine Einheit verändert
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Sitzung 2
Interpretation der Koeffizienten in
empirischen Schätzgleichungen
Lohngleichungen werden üblicherweise als semi-logarithmisches
Modell spezifiziert:
ln(y)= ln(y0) + ß ·x + ... + u
x = Schuljahre
ß wird dann als Ertragsrate eines weiteren Schuljahres bzw.
Berufserfahrungsjahres interpretiert
(ß = „return to education“)
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Sitzung 2
Bestimmtheitsmaß R2
(=Goodness of Fit)
1. aus ei  y i  yˆ i  y i  yˆ i  ei
2.  ( yi  y ) 2   ( yˆ i  yˆ ) 2   (ei  e ) 2
 
erklärter Anteil
der Varianz
2
3. syy

21
unerklärter Anteil
der Varianz
sy2ˆyˆ
4. TSS
 
ESS

Total
sum of
squares
Explained
sum of
squares


2
see
RSS



Re sidual
sum of
squares
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Sitzung 2
Bestimmtheitsmaß R2
2
R 
s y2ˆyˆ
2
s yy
 1
2
see
2
s yy
ESS exp lained sum of squares
R 


TSS
total sum of squares
2
 ( yˆ i  yˆ )²
 ( y i  y )²
TSS = ESS + RSS
ESS
RSS
22
}
TSS
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Sitzung 2
Bestimmtheitsmaß R2 = 0
Zwischen den
Variablen Y und X
herrscht keine
Beziehung:
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Sitzung 2
Bestimmtheitsmaß R2 = 1
Alle Beobachtungen
von Y und X
liegen auf der
Regressionsgeraden,
folglich werden diese
vollständig von dem
Modell erklärt:
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