Document
Werbung
Energiebänder im Festkörper Inhalt Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms • Energie des Bohrschen Atommodells – Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms Quantenmechanik: • Alle Elektronen eines Festkörpers bilden eine quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“ • Daraus resultiert das Bändermodell für – Isolator – Halbleiter – Leiter Kristalline Festkörper Bohrsches Atommodell r4=16r1 r3=9r1 r2=4r1 E1=-0,85 eV E3=-1,5 eV r1 E2=-3,4 eV E1=-13,6 eV Klassisches Modell • Aufbau der Atome nach Bohrs Modell • Aufspaltung der Energieniveaus bei Kopplung an benachbarte Atome (analog dem Doppelpendel) Energie der Elektronen in Bohrs Atommodell Abstand vom Kern 0 0 -2 -4 Bindungsenergie -6 -8 -10 E [eV] -12 -14 2 4 6 8 10 12 14 16 mal 0,0529 [nm] Zwei Atome im Kasten, klassisch 0 2 4 6 8 10 12 14 16 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 -10 -10 -12 -14 -12 -14 Zwei Atome im Kasten, klassisch 0 2 4 6 8 10 12 14 16 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 -10 -10 -12 -14 -12 -14 Quantenmechanisches Modell Die Elektronen von den in einem Festkörper gebundenen Atome werden als ein „gebundener Zustand“ aufgefasst • Anstelle der lokalisierten Atome treten stehende Wellen im „Kasten“ – Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten Kastenlänge • Anstelle der Energie der Elektronen in Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential Zwei Teilchen in einem Kasten, quantenmechanisch x=0 Klassisch: Quantenmechanisch: x=L Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0 x=L Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0 x=L Wellenzahl und Energie • Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ? kn L n 1/m Wellenzahlen „die in den Kasten passen“ 2 2 k n En 2m 2 2 2 2 n En 2m L n2h2 En 2 8mL 1J 1J 1J Energie zu Wellen mit Quantenzahl n Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0 x=L 2 L 1 1 k1 L 1m 1 1/m Wellenlänge Wellenzahl 2 h E1 8mL2 1J Energie Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten x=0 x=L 2 L 1m 2 k2 L 1 1/m 4h E2 8mL2 Wellenlänge Wellenzahl 2 1J Energie Elektronen sind „Fermionen“ Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden • Der Festkörper (zunächst eine lineare Kette) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen • Man beginnt mit der Wellenzahl k1 =π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu • Man erhöhe die Wellenzahl bis kN =N·π/L De Broglie Beziehung zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaft • Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k Beispiel: Kristall mit vier Elementarzellen • Jedem Elektronenpaar (↑↓), z. B. für He Atome, wird genau eine Energie εn zugeordnet 4 41s1s ↑ ↓ 3 31s1s ↑ ↓ 2 21s1s ↑ ↓ 1 11s1s ↑ ↓ Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen • Gitter mit vier Elementarzellen n x F1 F2 F3 F4 2,0 1,5 1,0 Y Axis Title 0,5 0,0 x -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 0 1 2 3 Axis Title • Vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L passen in Xdieses Gitter, d. h. sie zeigen Knoten an den Enden des Kristalls 4 Vier Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen n=1 n=2 n=3 n=4 • Aufenthaltswahrscheinlichkeit für vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L Energie εn der Elektronen von He im Kristall mit vier Elementarzellen Energie εn=n2h2/(8mL2) 4 1s ↑ 3 1s ↑ 2 1s ↑ 1 1s ↑ 25 20 Y Axis Title • Zu jeder Welle mit Wellenzahl k=n·π/L gehört die Energie • εn ~n2 F7 15 10 5 0 0 1 2 3 X Axis Title 4 5 ~n Nummer nImpuls der Wellenzahl Volle Besetzung des 1s Niveaus im He-Kristall Abstand vom Kern 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 mal 0,0529 [nm] -2 -4 Bindungsenergie E [eV] -6 -8 -10 -12 1s -14 Energie Band Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen, z. B. Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen Kristall aus He-Atomen Kristall aus Li-Atomen Wellen zu den Wellenzahlen n=5,6,7,8 n=5 n=6 n=7 n=8 Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen Zuordnung der Wellenzahlen Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei! 4 42s2s ↑ ↓ 3 32s2s ↑ ↓ 2 22s2s ↑ ↓ 1 12s2s ↑ ↓ 4 41s1s ↑ ↓ 3 31s1s ↑ ↓ ↑ und ↓ besetzt 2 21s1s ↑ ↓ 1 11s1s ↑ ↓ Vier freie Wellenzahlen (↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls Abstand vom Kern 0 Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei! 0 2 4 6 8 10 12 14 16 mal 0,0529 [nm] -2 2s -4 -6 Bindungsenergie E [eV] Band -8 -10 Bandlücke -12 ↑ und ↓ besetzt 1s -14 Band Alternative Zuordnung: Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei! 4 42s2s ↑ ↓ 3 32s2s ↑ ↓ 2 22s2s ↑ ↓ 1 12s2s ↑ ↓ 4 41s1s ↑ ↓ 3 31s1s ↑ ↓ ↑ und ↓ besetzt 2 21s1s ↑ ↓ 1 11s1s ↑ ↓ Zwei freie Wellenzahlen (↑↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls Abstand vom Kern 0 Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei! 0 2 4 6 8 10 12 14 16 mal 0,0529 [nm] -2 2s -4 -6 Bindungsenergie E [eV] Band -8 -10 Bandlücke -12 ↑ und ↓ besetzt 1s -14 Band Leiter Freie Plätze im „Band“, elektrische Leiter • Freie Wellenzahlen in einem Band erlauben den Elektronen – Energie und – Impuls (p=ħ·k) aufzunehmen, – das Material ist elektrisch leitfähig • Im Beispiel der Li-Kristall Voll Besetzte Bänder, Nichtleiter Voll besetzt ist ein Band, wenn alle Wellenzahlen vergeben sind • In diesen Bändern können die Elektronen keine Energie und keinen Impuls aufnehmen – Im Beispiel der He-Kristall • diese Materialien sind Nichtleiter Volle Besetzung des 1s Niveaus des He Kristalls Abstand vom Kern 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 mal 0,0529 [nm] -2 -4 Bindungsenergie E [eV] -6 -8 -10 -12 ↑ und ↓ besetzt 1s -14 Energie Band Nichtleiter Kleine Bandlücke: Halbleiter Bei genügend kleiner Bandlücke • Zwischen einem voll besetzten und • dem nächsten, unbesetzten Band genügt eine kleine Energiezufuhr, um das Material vom nichtleitenden in den leitenden Zustand zu überführen • Diese Materialien nennt man Halbleiter Modell eines Halbleiters: Kleine Bandlücke über dem Valenzband Abstand vom Kern 0 0 Leeres Leitungsband -2 ↑ und ↓ besetzt 2s 4 6 8 10 12 14 16 mal 0,0529 [nm] Leitungs Band -4 -6 Bindungsenergie E [eV] 2 Kleine Bandlücke Valenz Band -8 -10 Bandlücke -12 ↑ und ↓ besetzt 1s -14 Band Halbleiter Zusammenfassung Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms • Energie des Bohrschen Atommodells – Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms Quantenmechanik: • Alle Elektronen eines Bandes bilden eine quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“ • Daraus resultiert das Bändermodell für – Isolator – Halbleiter – Leiter Konstanten Formelzeichen Wert SI Einheit e 1,60 10-19 1C Elementarladung 1,05 10-34 1 Js Plancksches Wirkungsquantum h , 6,63 10-34 10-31 me 9,11 0 8,85 10-12 1 kg 1 F/m Anmerkung Masse des Elektrons Elektrische Feldkonstante
