Die Einführung des abstrakten Körperbegriffs

Die Einführung des abstrakten
Körperbegriffs
Geschichte der Mathematik des
19. Jahrhunderts
Frederic Posala
10.12.2007
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Einführung
Algebraische Wurzeln
Zahlentheoretische Wurzeln
Der Körperbegriff nach Kronecker
Der Körperbegriff nach Dedekind
Vergleich der beiden Definitionen
Der abstrakte Körperbegriff nach Weber
1. Einführung
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Entwicklungsgeschichte des Körperbegriffs
verdeutlicht Übergang zur
Strukturmathematik
Körperbegriff ist besonders geeignet, da sich
die Fülle algebraischer Strukturen aus den
Begriffen Gruppe, Körper und Algebra
entwickelt hat
Körperbegriff besitzt historische Wurzeln in
der Algebra und Zahlentheorie
2. Algebraische Wurzeln
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Problem: Auffinden von Lösungen allgemeiner
Gleichungen fünften und höheren Grades
Joseph Louis Lagrange (1770/71, Réflexions sur la
résolution algebraique des équations)
Definition des Begriffs „ähnliche Funktion“
und folgende Beweise:
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Alle zueinander ähnlichen Funktionen haben gleichen Grad
über dem Grundkörper
Sind y und t ähnlich, so kann man y durch t und die
Koeffizienten der Ausgangsgleichung rational ausdrücken
Auffinden der Ergebnisse durch direkte Ausrechnung
2. Algebraische Wurzeln
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Niels Henrik Abel
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(1827)
„Soient x‘, x‘‘, x‘‘‘ … un nombre fini de quantités
quelconques. On dit que v est une fonction algébrique de
ces quantités, s‘il est possible d‘exprimer v en x‘, x‘‘, x‘‘‘ … à
l‘aide des operations suivantes: 1) par l‘addition; 2) par la
multiplication, soit de quantités dépendant de x‘, x‘‘, x‘‘‘ …,
soit de quantités qui n‘en dépendent pas; 3) par la division;
4) par l‘extraction de racines d‘indices premiers.“
Definition einer „algebraischen Funktion“ in
Bezug auf einen Grundkörper P(x‘, x‘‘, x‘‘‘ …),
P=Körper der rationalen Zahlen
2. Algebraische Wurzeln
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Implizite Vorbildung der Begriffe Grundkörper,
Zerfällungskörper, Normalkörper
Erkenntnis, dass die Eigenschaften einer
Gleichung (irreduzibel, auflösbar, zyklisch,
abelsch) vom zugrunde gelegten Grundkörper
abhängen
2. Algebraische Wurzeln
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Évariste Galois
(1846, Mémoire sur les conditions de
résolubilité des équations par radicaux)
Rückgriff auf bereits bekannte Definitionen
Bereits von Lagrange geahnter
Zusammenhang zwischen Gruppe und Körper
wird definiert.
Bestimmung eines Körpers durch
Gleichungskoeffizienten und eventuell
adjungierte Größen
2. Algebraische Wurzeln
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Fazit:
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Durch implizite Benutzung körpertheoretischer
Schlußweisen wurden Probleme der algebraischen
Gleichungstheorie systematisiert und fassbar
Transformation auf die zugehörige Gruppe
ermöglichte hinreichend allgemeine Lösungen der
Probleme
Algebraische Probleme werden in das Problem der
Untersuchung einer endlichen Gruppe
transformiert
Beginn der strukturellen Algebra
3. Zahlentheoretische Wurzeln
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Leonhard Euler
Untersuchung der Frage, welche Teiler Zahlen
der Form x2+cy2 mit c>0 und ganzrationalen
teilerfremden x,y haben können
Erweiterung des Begriffs der Teilbarkeit auf
die ganzen Zahlen des Körpers P(i).
3. Zahlentheoretische Wurzeln
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Carl Friedrich Gauss
biquadraticorum)
(1805, Theoria residuorum
Gauss definiert fundamentale Begriffe
(Einheit, assoziierte Zahlen, Norm,
konjugierte Zahlen, ganze und rationale
Zahlen) für den Körper P(i) (rationale
komplexe Zahlen)
Beginn einer systematischen Untersuchung
der arithmetischen Eigenschaften beliebiger
algebraischer Zahlkörper
3. Zahlentheoretische Wurzeln
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Ernst Eduard Kummer
Festlegung eines Integritätsbereichs
algebraischer Zahlen
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„Es sei λ eine Primzahl und  eine imaginäre
Wurzel der Gleichung λ=1, so ist die
allgemeinste Form der complexen Zahlen, welche
wir hier untersuchen: φ()=a1+a22+…+aλ-1λ-1;
in welchem Ausdruck die Coëffizienten a1, a2, etc.
ganze Zahlen sind.”
4. Der Körperbegriff nach
Leopold Kronecker
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Kronecker verbindet algebraische (nach Abel)
und arithmetische Untersuchungen (nach
Kummer)
Erkenntnis der zentralen Rolle des
Körperbegriffs für Algebra und Zahlentheorie
in den 1850er Jahren
4. Der Körperbegriff nach
Leopold Kronecker
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Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen
(1853):
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„Die allgemeinste algebraische Function irgend welcher
Größen A, B, C, … zu finden, welche einer Gleichung von
einem gegebenen Grade genügt, deren Coëfficienten
rationale Functionen jener Größen sind.”
Benutzung des Erweiterungskörpers P(A, B,
C, …)
Zusammenfassung aller durcheinander
rational ausdrückbaren algebraischen Größen
zu einer „Gattung“
4. Der Körperbegriff nach
Leopold Kronecker
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Kummer-Festschrift (1881)
Explizite Fassung des Körperbegriffs im Sinne
von Zahl- bzw. Funktionenkörper als
„Rationalitätsbereich“:
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„Der Rationalitätsbereich (R‘, R‘‘, R‘‘‘, …) enthält, wie schon
die Bezeichnung deutlich erkennen lässt, alle diejenigen
Größen, welche rationale Funktionen der Größen R‘, R‘‘, R‘‘‘,
… mit ganzzahligen Coeffizienten sind.“
Explizite Ablehnung des Begriffs „Körper“
4. Der Körperbegriff nach
Leopold Kronecker
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Bezeichnung von P und endlichen
transzendenten Erweiterungen von P als
„natürliche Rationalitätsbereiche“
Bezeichnung der einfachen algebraischen
Erweiterung natürlicher Rationalitätsbereiche
als „Gattungsbereich“
Bezeichnung der Menge aller primitiven
Elemente eines Gattungsbereichs als
„Gattung“ algebraischer Größen und
vollständige Fixierung des Körperbegriffs
5. Der Körperbegriff nach
Richard Dedekind
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X. Supplement (1871)
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„Indem wir versuchen, den Leser in diese neuen Ideen
einzuführen, stellen wir uns auf einen etwas höheren
Standpunkt und beginnen damit, einen Begriff einzuführen,
welcher wohl geeignet scheint, als Grundlage für die höhere
Algebra und die mit ihr zusammenhängenden Teile der
Zahlentheorie zu dienen.“
„Unter einem Körper wollen wir jedes System von unendlich
vielen reellen, oder komplexen Zahlen verstehen, welches in
sich so abgeschlossen und vollständig ist, daß die Addition,
Subtraktion, Multiplikation und Division von je zwei dieser
Zahlen immer wieder eine Zahl desselben Systems
hervorbringt.“
5. Der Körperbegriff nach
Richard Dedekind
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Zunächst nur Betrachtung von Zahlkörpern
Der kleinste Körper sind die rationalen Zahlen
Der größte Körper sind „alle Zahlen“
Bezeichnung der endlichen algebraischen
Erweiterungen des rationalen Zahlkörpers als
„endliche Körper“
Körper die nach Kronecker keine
Rationalitätsbereiche sind, sondern ins
„Größenreich aller algebraischen Zahlen“
gehören, sind definiert
6. Vergleich der beiden
Definitionen
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Dedekind und Kronecker haben den
Körperbegriff unabhängig voneinander
herausgearbeitet
Die Ansichten von beiden zum Aufbau der
Mathematik waren entgegengesetzt
Dedekind wählt einen intensionalen Ansatz,
Kronecker einen extensionalen
6. Vergleich der beiden
Definitionen
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Kronecker strebte nach Arithmetisierung der
Mathematik
Daraus resultierte die Ablehnung transfiniter
Methoden
Er wollte alle Körperelemente in endlich
vielen Schritten aus gewissen
Ausgangsgrößen herstellen
6. Vergleich der beiden
Definitionen
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Bartel Leendert van der Waerden:
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„Wenn wir die beiden großen Zahlentheoretiker Dedekind
und Kronecker miteinander vergleichen, so fällt auf, daß
Dedekind viel mehr begrifflich denkt, im Sinne der heutigen
abstrakten Algebra, daß Kronecker dagegen viel mehr Wert
auf explizite Rechenvorschriften legt“
Bis 1890 herrschten Kroneckers
Begriffsbildungen und Methoden vor, wurden
dann aber von Dedekinds Begriffsbildungen
verdrängt, bzw. integriert
7. Der abstrakte Körperbegriff
nach Heinrich Weber
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Die allgemeinen Grundlagen der Galois‘schen
Gleichungstheorie:
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„Eine Gruppe wird zum Körper, wenn in ihr zwei Arten der
Composition möglich sind, von denen die erste Addition, die
zweite Multiplikation genannt wird. Diese allgemeine
Bestimmung müssen wir aber noch etwas einschränken.“
Forderung nach Kommutativität und
Ausschluss der Null in der multiplikativen
Gruppe
Verbindung der beiden Gruppen durch das
Distributivgesetz
7. Der abstrakte Körperbegriff
nach Heinrich Weber
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Die Erweiterung dieses Begriffs durch Ernst
Steinitz („Algebraische Theorie der Körper“)
führt zum heute gültigen Körperbegriff