lecture - HERA-B

T. Lohse, M. zur Nedden
SS 07
Physik der Musikinstrumente
Vorbemerkung:
Menschliches
Ohr
Musikinstrument,
schwingendes System
Schalldruckwellen,
Ausbreitung im
Auditorium
Wavelet-Trafo,
Wandlung in
Nervensignale
Beispiele schwingender Systeme:
• Saiten
• Blattfedern
• Membranen
• Platten, Stäbe
• Schalen
• Luft-Hohlraumresonatoren
• Luft-Wellenleiter
Geige, Gittarre, Klavier, ...
Rohr / Zunge in Blasinstrumenten, ...
Pauke, Bongos, Trommelfell, ...
Xylophon, Gitarrendeckel, Triangel, ...
Becken, Glocke, ...
Geigenkörper, Orgelpfeife, ...
Flöte, Trompete, Horn, ...
Physikalische Grundlagen:
• Schwingungen / Wellen in festen / gasförmigen elastischen Medien
• Hydrodynamik
• Lineare und nichtlineare Schwingungen
1. Schwingende Systeme
1.1. Eindimensionale harmonische Schwingung
Bewegungsgleichung:
komplexe Lösung:
x  ω x  0
2
0
x(t)  A  e
iω0 t
 A e
i ω0 t φ 
ω0: Eigenfrequenz
A = |A|·eiφ: komplexe Amplitude
φ: Phase
reelle (physikalische) Lösung:
x(t)  A  cosω0 t  φ   a  cosω0 t   b  sin ω0 t 
a  A  cosφ
b  A  sin φ
Anfangsbedingungen  |A|, φ bzw. a, b
Beispiele:
L
C ˆ 1
m
D
xz
ω2  D
0
z
E pot  Dz
1
2
E kin  mz
2
1
2
Q
I
m
C
xQ
x  I
2
Helmholtz-Resonator:
x  P  Pa
S
c
L
V  SL
Druck P
L ˆ m
Pa  Luftdruck
ρ  Luftdichte
1
ω 
LC
2
0
cVL
ω 
S
2
0
γPa
 Schallgeschwindigkeit
ρ
1
isotherm (i.a. nicht relevant)

C
γ   P  1,4 adiabatisc h (i.a. für Akustik)
 C V
D
1.2. Dämpfung
Bewegungsgleichung:
x  2αx  ω x  0
2
0
α: Dämpfungskonstante
α < ω0: Schwingfall
(musikalischer Normalfall)
α = ω0: aperiodischer
Grenzfall
x(t)  A  e  αt  cosωd t  φ 
ωd  ω  α
2
0
2
 ω0
für α  ω0 
x(t)  A  1  bt  eαt
kriech
α > ω0: Kriechfall
x(t)  a  e  λ  t  b  e  λ  t
λ   α  α 2  ω02
Beispiele:
R
L
z
D
I
m
γ
Q
C
L ˆ m C ˆ 1
D
R ˆ γ
1
xQ 2
ω0 
LC
x  I
R
α
2L
FReibung   γ  z
xz
ω02  D
m
αγ
2m
Musikinstrumente: „Kleine Dämpfung“ α  ω0
 quasi-statische Schwingung / kein Energieverlust während T = 2π / ω
Energieverlust bei kleiner Dämpfung: x(t)  A eα t cosω0 t  φ
E
2
1


t

D
x
2
T
2
2 2α t
x
T
2
T
 const.
x

2
T
E
2  2α t
0
2
1
2
2
1
2
2 2α t
½
   A ωe
1


t

2 A
T
T
cos ω0 t  φ   A e
A e
T
 12 m x 2
De
#Schwingungen in τD: N 
 t
τD
D 2α t
 A
e
m
1
2
2
Dämpfungszeit:
τ D τ D ω0 1 ω0 1



Q
T
2π
2π 2α 2π
1
τD 
2α
ω0
Güte: Q 
2α
Beispiel:
ω0
Güte: Q 
 10
2α
T14% = Q/2π = 4τD
T37% = Q/π = 2τD
Impulsanregung
1.3. Erzwungene Schwingungen
1.3.1. Übersicht
z
D
F(t)
xz
α
γ
m
Bewegungsgleichung:
f(t): externe Anregung
Musikinstrument: f(t) periodisch
Fourierzerlegung: f(t) harmonisch
D
m
F(t)
f(t) 
m
ω 02 
γ
2m
x  2αx  ω x  f(t)
2
0
f(t)  f 0 e
iω t
F0 iω t
 e
m
x  2αx  ω x  f(t)
2
0
Lösung:
x(t) = xh(t) + xs(t)
xh(t):
• Einschwingvorgang
• gedämpft  lim x h t   0
t 
• Lösung der homogenen Gleichung ( f  0 )
• festgelegt durch Anfangsbedingungen
xs(t):
• Asymptotische, stabile Schwingung für t  τ D
• spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
• unabhängig von Anfangsbedingungen
• festgelegt durch ω0, α, f0, ω
1.3.2. Gleichgewichtsschwingung ( t   )
x  2αx  ω x  f 0 e
2
0
 ω
2
iω t

 2iωα  ω x 0  f 0
2
0
x t   x 0 e
d
dt
iω t
 iω 
Komplexe...
Amplitude:
x0 = |x0|·eiφ
Geschwindigkeit: v0 = iω·x0
Beschleunigung: a0 = iω·v0 = – ω2 x0
f0
x0  2
ω0  ω 2  2iωα
ω f0
v0 
2ωα  iω 2  ω02 
ω f0
v0 
2
2
2ωα  i ω  ω0
Definitionen:


(mechanische) Impedanz:
F0
ω ω
Z
 γi
m
v0
ω
2
2
0
Y 1
Admittanz (bzw. Mobilität):
Widerstand (dissipativer Teil):
Reaktanz (reaktiver Teil):
F0  f 0 m
γ  2α m
Z
R  Re Z  γ
X  ImZ  ωm  D
ω
f0
x0  2
2
ω0  ω  2iω α
Definitionen:
Resonanzamplitude:
Gleichgewichtsamplitude:
f0
x R  x 0 ω  ω0  
2iω0 α
f0
π
xR 
φR  
2ω0 α
2
Resonanzverstärkung:
f0
x G  x 0 ω  0  2
ω0
f0
xG  2
φG  0
ω0
xR
xG
ω0

 Q = Güte
2α
Definitionen: Dämpfung in Dezibel (dB)
| x R |2  | x |2 :
 | x |2 
 dB
Dämpfung  10  lg 
2 
 | x R| 
1
3 dB  |x R| 
|x R | ;
2
1
6 dB  |x R|  |x R| ;
2
1
9 dB  |x R| 
|x R | ;
8
1
|x R |  |x R | 2
2
1
2
|x R |  |x R |2
4
1
2
2
|x R |  |x R |
8
2

Bemerkung: Analog für andere Größen (v, a, ...) und andere Bezugspunkte
Resonanzkurve und Phasenschub:
|x 0 |
|x G |
Federdominiert
Resonanzdominiert
20
1/Q
15
3 dB
10
1Q
Q
5
0,25
4
00
φ - φf 0
π -0.25
0,70
1,43
-0.5
Massedominiert
-0.75
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ω
ω0
Resonanzkurve und Phasenschub:
|x 0 |
|x G |
20
1/Q
15
3 dB
10
1Q
Q
5
0,25
4
00
φ - φf 0
π -0.25
0,70
1,43
ω0
Steigung
ω
Steigung
|x0|
-0.5
const.
0 dB/Oktave
 1/ω2
–12 dB/Oktave
|v0|
-0.75
ω
6 dB/Oktave
 1/ω
–6 dB/Oktave
|a0|
 ω-12 12 dB/Oktave
const.
0 dB/Oktave
ω
1 Oktave  Faktor 2 in ω  [ ω , 2ω ] ω0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Darstellungen von Impedanz und Admittanz
2.5
Z
Dm
ω ω
1
Z   γi
m
Y
ω
2
|Z|
1.5
R= Re Z
0.5
2
0
-0.5
Nyquist-Diagramm
2.5
-1.5
Q=4
Dm B
-2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ω ω0
3.5
Dm Y 2.5
0.5
|Y|
ω
1.5
ω0
ω = ω0
ω
Q
G= Re Y
1.5
-0.5
0.5
-0.5
-1.5
-1.5
-2.5
-2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ω ω0
0
1
2
3
4
Dm G
1.3.3. Der Einschwingvorgang
Form:
Anfangsbedingungen (Anregung)
Einschwingdauer: einige τD
Komponenten:
ω
ω0
e
iω0 t
, e
Plötzliche sin-Anregung ab t=0
iω t
von ω+ω0
 Schwebung
mit |ωω0|
Q = 10
0,2
1,2
0,8
2,0
1,0
4,0
1.3.4. Elektrisches Äquivalent
mechanische Parallelschaltung  elektrische Serienschaltung
v1 = vBvA
vA
I1
vB
I 2 = I1
v2 = v1
mechanische Serienschaltung  elektrische Parallelschaltung
vA
v = vCvA = v1+v2
v1 = vBvA v2 = vCvB
vB
I1
vC
I
I
I = I1+I2
I2
Kraft  elektrische Spannung
vm
m
xγ
γ
xD
D
Fm  m v m
ˆ L I L  U L
Fγ  γ x γ
ˆ R I R  U R
FD  D x D
1
ˆ Q C  U C
C
IL
L
IR
R
QC
C + –
Geschwindigkeitsverläufe
Analysiere im Einzelfall:
Kräftegleichgewichte
Beispiel 1:
vFeder = vDämpfer = vMasse
F = FMasse + FDämpfer + FFeder
x
D
γ
F(t)
L ˆ m R ˆ γ
m
Ut  ˆ Ft 
I ˆ x
~
C ˆ 1
D
Beispiel 2:
v = vFeder + vMasse , vFeder = vDämpfer
F = FMasse = FDämpfer + FFeder
xm
m
x
D
F(t)
γ
v
Ft 
~
v Feder
γ v Masse
1
D
m
Beispiel 3:
v = vMasse + vDämpfer , vFeder = vMasse
F = FDämpfer = FMasse + FFeder
xm
x
F(t)
D
γ
m
Ft 
~
v
v Feder
m
1
γ
D
v Dämpfer
1.4. Gekoppelte Schwingungen
Zerlegung:
• stabile Schwingungskonfigurationen: (Eigen-)Moden
• Eine Eigenfrequenz pro Mode
• eine Mode pro Freiheitsgrad
1.4.1. Beispiel: Zwei gekoppelte Schwinger
ma
Da
mb
α a, b 
Db
DK
γb
γa
xb
xa
Ca
La
Ra
Cb
Lb
Bewegungsgleichung:
2m a, b
D a, b  D K
m a, b
DK
ω 
ma
DK
2
ω bK 
mb
2
aK
Rb
CK
Ia
ωa,2 b 
γ a, b
Ib
2
x a  2α a x a  ωa2 x a  ωaK
xb  0
x b  2α b x b  ω2b x b  ω2bK x a  0
2
x a  ωa2 x a  ωaK
xb  0
Musikinstrumente: kleine Dämpfung
 Vereinfachte Diskussion für αa = αb = 0
Ansatz: xa , xb  eiωt  d
dt
x b  ω2b x b  ω2bK x a  0
 iω 
2
 ω 2 x a  ωa2 x a  ωaK
xb  0
ω
ω
2
a
2
b
 ω x a  ω x
 ω2 x b  ω x
2
2
aK b
2
bK a
 ω 2 x b  ω 2b x b  ω 2bK x a  0
ω
2
 ω  ω  ω   ω ω
2
a
2
2
b
Lösung: Zwei Eigenfrequenzen
ω
2
1,2
ω ω


2
2
a
2
b
ω
2
a
ω
4

2 2
b
2
 ωaK
ω2bK
2
aK
2
bK
Diskussion:
ω
2
1,2
ω 2
1.5
ω2
ωb
1 K
ω
2
a
ω
4

2 2
b
2
 ωaK
ω2bK
Kopplung  0 
ωb/ωa  0: ω1ωb , ω2ωa
ωb/ωa  : ω1ωa , ω2ωb
ωa
1
1 K
ω1
0.5
2
b
keine Kopplung  ωa,b K = 0, ω1,2 = ωa,b
ω ω
K  aK bK  0.4
ωa ω b
ωa
ω ω


2
2
a
Minimale Frequenzaufspaltung:
ω1,2  1  K  ωa bei ωa = ωb
0
0
0.5
1
1.5
ωb
ωa
2
1.4.2. Erzwungene gekoppelte Schwingungen
Einfaches Beispiel (Dämpfung vernachlässigt):
D1
m1
x1
x 1
~
1/D1
F0·eiωt
m1
m2
D2
F0
·eiωt
x2
x 2
1/D2
Anwendungen:
m2 als Tilger
Bass-Reflex-Lautsprecher
Gitarre mit fixierten Rippen
Nach Einschwingen:
m2
x1 t   x10  ei ω t
x 2 t   x 20  ei ω t
Dämpfung vernachlässigt  x10 , x 20 reell
D1
m1
m2
x1 t   x10  ei ω t
D2
x 2 t   x 20  ei ω t
x1
x 10
F0
D1
F0
x2
·eiωt
ω1 , ω2 : Resonanzen
x 20
ω A  ω02
F0
D1
D2

m2
- F0
D2
Konfigurationen (Moden): (Richtungen bezüglich F0
ω = ω1 – ε:
ω = ω1 + ε:
ω = ω2 – ε:
ω = ω2 + ε:
ω = ωA:
ω = ωA:
)
Antiresonanz
(x10 = 0, x20 = max)
Theorem:
In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei
aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1
angeregt und im Punkt P2 gemessen.
Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden
• entgegengesetzt
 |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum
• gleichgerichtet
 |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz
ω = ω1 – ε:
ω = ω1 + ε:
ω = ω2 – ε:
ω = ω2 + ε:
ω = ωA:
ω = ωA:
D1
m1
x1
m2
D2
F0
·eiωt
x2
Theorem:
In einem (beliebigen) gekoppelten System seien ω1, ω2 zwei
aufeinanderfolgende Resonanzfrequenzen. Das System werde im Punkt P1
angeregt und im Punkt P2 gemessen.
Sind die Schwingungsamplituden in P2 relativ zu P1 in beiden Moden
• entgegengesetzt
 |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 ein Minimum
• gleichgerichtet
 |x20| durchläuft zwischen ω1, ω2 eine Antiresonanz
Folgerung: P2 = P1  Der Treiberpunkt selbst durchläuft mit wachsender
Frequenz eine Folge abwechselnder Resonanzen und Antiresonanzen.
Treiberpunkt
Beispiel:
2-D-System
Transferpunkt
1.4.3. Charakterisierung des Frequenzgangs

P1: Erreger Ft 
P2: Sensor 

x t  Auslenkung

vt  Geschwindigkeit

a t  Beschleunigung
Wichtiger Spezialfall: P1 = P2
Messverfahren:
 
F, a : Impedanzkopf

v:

x:

a
 t dt
Nahfeld Schallwellen (Mikrophon)
mechanische Schreiber

v
 t dt
holographische Interferometrie
Impedanzkopf
Charakteristische Frequenzgangs-Messgrößen:
x
Nachgiebigkeit (Compliance)
F
v
Mobilität, Admittanz
F
Acceleranz
Steifigkeit
Impedanz
Dynamische Masse
ˆ
ˆ
a
ˆ
F
F
ˆ
x
F
ˆ
v
F
ˆ
a
Q
Kapazität
U
I
Leitwert, Admittanz
U
I
1 / Induktivität
U
U
1 / Kapazität
Q
U
Widerstand, Impedanz
I
U
I Induktivität
P1 = P2: Präfix „Treiber(punkt)-“
P1  P2: Präfix „Transfer-“
Beispiel:
D1
m1
x1
m2
D2
F0
·eiωt
x 1
Treiber-Mobilität: Y11 
F
x 2
Transfer-Mobilität: Y21 
F
x2
Asymptotisches Verhalten:
ωmin: kleinste Resonanzfrequenz
ωmax: größte Resonanzfrequenz
x
F
v
F
a
F
F
x
F
v
F
a
ω < ωmin
0
6
12
0
–6
–12
ω > ωmax
–12
–6
0
12
6
0
Asymptotischer
Bereich
( Einheit: dB / Oktave )
Asymptotisches Verhalten:
ωmin: kleinste Resonanzfrequenz
ωmax: größte Resonanzfrequenz
x
F
v
F
a
F
F
x
F
v
F
a
ω < ωmin
0
6
12
0
–6
–12
ω > ωmax
–12
–6
0
12
6
0
Asymptotischer
Bereich
( Einheit: dB / Oktave )
Beispiel: Transfer-Mobilität einer leicht gedämpften Struktur
mit 4 Schwingungsmoden
Schwingungsrichtung am Messpunkt
relativ zum Treiberpunkt ... bleibt gleich
ω1
klappt um
ω2
ω3
ω4
6 dB / Oktave
Antiresonanz
– 6 dB / Oktave
Darstellung der (i.a. komplexen) charakteristischen Parameter:
z. B. Impedanz: Z = |Z|eiφ = R + i X
|Z|(ω) und φ(ω)
Re Z(ω) und Im Z(ω)
Nyquist-Diagramme ,
Im
z.B. für einzelne Resonanz:
Im
Re
Im
ω
ωR
ω
Re
ωR
ω
Re
ωR
Nachgiebigkeit x / F
Mobilität v / F
Acceleranz a / F
1.5. Nichtlineare Schwingungen
Lineare Systeme:

mx  γ x  D x  F(t)
...
• Superpositionsprinzip
x Lösung zu F
 x + x' Lösung zu F + F'
x' Lösung zu F'
• Eigenfrequenzen unabhängig von Moden-Amplituden
• komplexe Schreibweisen geeignet
Realistische Systeme: Nichtlineare Beiträge
a) Grenzen des Hookeschen Gesetzes
b) Turbulenz
 D  D(x)
 γ  γ(x, x )
c) Bogenkraft auf Saite = f (Saitenposition,Relativgeschwindigkeit)
d) Strömung in Rohrventilen (Blasinstrumente) = f (Druckabfall)
 F  F(x, x , t)
Konsequenzen:
a) ω0 = ω0( x0 )
b) Hysterese-Verhalten in ( x0 , ω0 ) –Diagramm
c) Bifurkationen und chaotisches Verhalten (seltsame Attraktoren)
(d.h., System schwingt sich nicht immer auf periodische Bewegung ein!)
1.5.1. Analytische Methoden
Bewegungsgleichung:
mx  γx, x  x  Dx  F(x, x , t)
D
F  γ x
ω 
, g
m
m
2
0
x  ω x  g(x, x , t)
2
0
a) Spezialfall:
F periodisch, z.B. F = F0·cos(ωt)
 Störungsrechnung bei kleinen Nichtlinearitäten
Ansatz:
x  x 0cosωt  φ 
x   x 0ω sin ωt  φ 
x  x 0ω2cosωt  φ 
F  F0 cosωt 
γ  γx, x   Acosωt   Bsin ωt   
Fourierentwicklung
Einsetzen
mx  γx, x  x  Dx  F(x, x , t)
Koeffizientenvergleich
x0 , φ
b) Allgemeines Verfahren:
x  ω x  g(x, x , t)
g  0 : x t   a  sin ω0 t  φ 
x t   a ω0  cosω0 t  φ 
2
0
x 0 
  a, φ
x 0 
g  0 : x t   a t   sin ω0 t  φt 
x t   a t ω0  cosω0 t  φt 
wobei:
g
a 
 cosω0 t  φt 
ω0
g 1
φ   
 sin ω0 t  φt 
ω0 a t 
Beweis: Einsetzen und Nachrechnen!
x 0 
  a 0, φ0
x 0 
x t   a t   sin ω0 t  φt 
&
x t   a t ω0  cosω0 t  φt 
 noch nichts gewonnen
(Gesetz der konstanten Mühsal)
g
 cosω0 t  φt 
ω0
g 1
φ   
 sin ω0 t  φt 
ω0 a t 
a 
Näherung: x, x -Terme in g „klein“ (inklusive γ)
 a, φ  const. während Periode T  2π ω0
t T 2

d
a t   a t 
dt
Folge:
t T 2
1
1
a t  
a t  dt , φ t  
φt  dt


T t T 2
T t T 2
d
,
φ t   φ t 
dt
d
ωt   ω0 t  φ   ω0  φ ,
dt
t
a t   a 0   dτ a τ 
0
Beispiel: Schwach gedämpfter,
freier, linearer Oszillator
x
D
m
γ
F  0  g   x  2αx
m
γ=2mα
g
cosω0 t  φ 
a 
ω0
2α

x cosω0 t  φ    2α a ω0cos 2 ω0 t  φ    2α a ω0  1
ω0
ω0
ω0
2
g
x
sin ω0 t  φ   2α
sin ω0 t  φ 
φ  
a ω0
a ω0
α a
 2α cosω0 t  φsin ω0 t  φ  0
Also: xt   a 0eα t sin ω0 t  φ 0
Korrekt für α  ω0 !
(vgl. 1.2.)
1.5.2. Der Duffing-Oszillator
(Paradebeispiel für Chaos und seltsame Attraktoren)
Physikalischer Ansatz: D  D + βm x2 (nicht-lineare Feder)
Analytisches Verfahren 
d.h.
g(t)  f(t)  2αx  βx
oft:
3
f(t)  cosωt
• Frequenzgang hängt von KraftAmplitude ab
• Hysterese bei großen Amplituden
Störungsrechnung:
x  ω x  g(t)  f(t)  2αx  βx
2
0
( f (t) = f0·cos(ωt) ,
Ansatz:
α0)
x  a  cosωt  x  a ω2  cosωt 
x 3  a 3  cos 3 ωt   a 3  34  cosωt   14  cos3ωt 
Koeffizientenvergleich der cos(ωt)-Terme:
 aω 2  aω02  f 0  34 β a 3  ωa 
Freier Oszillator ( f0 = 0 ):
ωEigen a   ω  βa
2
0
3
4
2
3
1.5.3. Selbsterregung: Van-der-Pol-Oszillator
Konstanter äußerer Energiefluss (Luftströmung, Bogenstrich, ...)
Musikinstrument  Modulation des Energieflusses
Nichtlineare Rückkopplung  selbstangeregte stabile Schwingung
Physikalischer Ansatz: 2α  α·( 1 – x2 ) (nicht-lineare Dämpfung)
  0 für |x|  1  Wachstum
2
d.h. α  1  x  
  0 für |x|  1  Dämpfung
Van  der  Pol  Oszillator :

x  ω02 x  g(x, x )  α  x  1  x 2

• x  0 ist stets Lösung, aber nicht stabil
• geeignete α  Grenzzyklen
• Grenzzyklen fast harmonisch, mit anharmonischen Beimischungen
Van-der-Pol-Oszillator
4
α  1,5 ω0
3
x
2
1
0
-1
x
-2
-3
-4
0
5
10
15
ω0 t
20
1.5.4. Moden-Stabilisierung
Musikinstrumente sind ...
selbsterregende Multi-Moden-Systeme ...
ω1  ω2
mit annähernd linearem Moden-Verhalten ...
und mit einigermaßen harmonischen Frequenzverhältnissen
(Anharmonizitäten  störende niederfrequente Schwebungen)
Musikinstrumente erfordern periodisches, schwebungsfreies Signal:
Selbstadjustierung der Eigenfrequenzen notwendig
Selbststabilisierung relativer Phasen notwendig
Moden-Einrastung
(mode-locking)
Notwendige Voraussetzung hierfür:
Starke nichtlineare Modenkopplung
ωn , ωm
Amplituden: an , am
Beispiel: Moden:
n·ωm  m·ωn
fast harmonisch:
n, m  I
p q
c
x
Nichtlineare Kopplungsterme:  p,q n x m
p,q
Der Term ...
c m 1,n x mn 1x nm
 c m 1,n a n cosω n t  φ n 
a m cosωm t  φ m n
 a mn 1a nm  cosm  1 ω n t   cosn ω m t   
 a mn 1a nm  cosmω n  n ω m  t   cosω n t     a mn 1a nm  cosω n t   
m 1
1
Der Term ...
... treibt die ωn-Mode
c m, n 1x mn x nm1
 c m, n 1 a n cosω n t  φ n  a m cosω m t  φ m 
m
 a mn a nm1  cosω m t   
n 1
... treibt die ωm-Mode
Wann ist ein Musikinstrument gut ?
(  möglichst schnelles Erreichen eines periodischen Signals )
Inharmonizitäten der natürlichen Frequenzen möglichst klein
Koeffizienten n, m der gekoppelten Moden möglichst klein
1 n
m n 1
(  Kopplungsamplituden  a m
möglichst groß )
a
,
a
n
m
n am
Amplituden der gekoppelten Moden ( an , am ) möglichst groß
Nichtlinearität der Kopplungsfunktion möglichst groß
(  Kopplungskoeffizienten cm1,n , cm,n1 möglichst groß )
Fundamentalmode ( n = 1 ) möglichst stark an nichtlinearer
Kopplung beteiligt
2. Saiten und Stäbe
2.1. Transversale Saitenschwingungen
2.1.1. Wellengleichung
Massendichte:
Spannung:
dm
 const
dx
T = Kraft von Segment zu Segment
unendliche
homogene Saite
μ
Kleine Auslenkung (  lineare Näherung ):
y
 tanθ  sin θ  θ
x

x
y(x,t)
y x  1
dFy
θ(x)
 
dx  ds  cosθ  ds  1  Ο θ 2  ds
dFy  T  θx  dx   T  θx   T
θ
dx
x
2y
2y
2y
 dm 2  μ 2 ds  μ 2 dx
t
t
t
T
θ(x+dx)
dy
T
x
x + dx
2
2y

y
T
2
c
; c
2
2
t
x
μ
„Wellengleichung“
Allgemeine Lösung (nach d´Alembert)
y(x,t) = f1( c t – x )
f1
c
2
2y

y
2
c
2
2
t
x
c
f2
+ f2( c t + x )
= Superposition von rechts/links-laufenden Wellenpaketen
Fouriertransformation  Zerlegung in harmonische (ebene) Wellen
yx, t   Aei ω t k x   Be i ω t  k x  ;
( Re(y) = physikalischer Teil )
wobei:
2π
ω  ωk   c  k  c 
λ
A,B komplex
Dispersionsrelation
( hier linear, ω  k )
Spezialfall: Stehende Wellen
Phasen:
yx, t   Ae i ω t k x   Be i ω t  k x 
A  B a
A  a eiφ A
B  a eiφ B
φ  12 φ A  φ B 

yx, t   a ei ω t e i k x ei φ A  ei k x ei φ B


 a e i ω t  ψ  e i k x e i φ  e i k x e i φ
Reelle Schreibweise:
yx, t  
ψ  12 φ A  φ B 

C  2a ei ψ

C ei ω t cosk x  φ 
C cosωt  ψ  cosk x  φ 
y x, t    C ω sin ωt  ψ  cosk x  φ 
yx, t    ω 2 yx, t 
yx, t  
C cosωt  ψ  cosk x  φ 
y x, t    C ω sin ωt  ψ  cosk x  φ 
yx, t    ω 2 yx, t 
Energie der stehenden Welle:
y
y
y
0
0
0
dE pot    dFy ~y  d~y  μ dx  y ~y d~y  μ ω 2 dx  ~y d~y
 μ ω y dx  μ ω C cos 2  ωt  ψ  cos 2  k x  φ  dx
2
1
2
2
dE kin  dmy 
2
1
2
1
2
2
2
 μ ω C sin 2  ωt  ψ cos 2  k x  φ  dx
1
2
2
2
dE  dE pot  dE kin  μ ω C cos  k x  φ  dx
1
2
2
2
2
Energie des Saitenstücks der Länge L  n  λ2 :
cos k x  φ  λ 
2
2
1
2

EL   ω μ L  C
1
4
2
2
2.1.2. Impedanz
(Verwende komplexe Schreibweise!)
Definition: Charakteristische Impedanz
bzw. Wellenwiderstand
Bemerkung: • Z0 ist reell
T
Z 0   Tμ  μ c
c
(  verlustfreie Saite )
• Charakteristische Admittanz
f
Definition: Eingangsimpedanz Z in 
u
• Geschwindigkeit des EingangsAufhängepunktes:
u(t)
ut   y x  0, t 
• Externe Treiberkraft (kompensiert
Vertikalkomponente vonT)
f t   T  sinθ  T  yx  0, t 
Y0  1 Z0
T
y
θ
x
f(t)
horizontale
Fixierung ( x = 0 )
Beispiel: Nach rechts unendliche Saite  nur rechtslaufende Welle
T
y
u(t)
θ
f
Zin 
u
x
f(t)
horizontale
Fixierung ( x = 0 )
yx, t   a e
i  ω t k x 
ut   y 0, t   iω a e
iωt
f t   T y0, t   iTk a ei ω t
k T
Zin  T   Z0
ω c
Definition:
Abschlussimpedanz
T
y
θ
u(t)
x
f(t)
horizontale
Fixierung ( x = 0 )
f
Zab 
u
Zab  physikalische Eigenschaften der nachgiebigen Aufhängung
(z.B. Elastizität & innere Reibung des Stegs der Geige,
Energietransfer auf Klangkörper der Geige etc.)
Reflexion am Abschlusspunkt:
• einlaufend: a ei ( ωt – kx )
• reflektiert: R·a ei ( ωt +kx )
y(x,t) = a ei ω t ( e – i kx + R·ei kx )
u t   y 0, t   iω a ei ω t 1  R 
f t   T y0, t   i k T a ei ω t 1  R 
f Tk 1  R
1 R
Zab  
 Z0
u ω 1 R
1 R
Reflexionskoeffizient:
Z0  Zab
R
Z0  Zab
• fixiertes Ende: y(0,t) = 0  u = 0  Zab =   R = –1
• offenes Ende:
 f = 0  Zab = 0  R = +1
Beispiel: Eingangsimpedanz der abgeschlossenen Saite
yx, t   Ae i  ω t  k x   Be i  ω t  k x 
B ei k L
B 2i k L
 R
 e
i k L
Ae
A

 y  Ae i ω t e i k x  R e  2i k L ei k x


u t   y 0, t   iω Aei ω t 1  Re 2i k L


Saite: Z0
L
x=0
f t   T y0, t   i k T Aei ω t 1  Re 2i k L

R
Zab
f
1  Re 2i k L
Zin   Z0
u
1  Re 2i k L
• fixiertes Ende: R = –1  Zin = – i Z0 cot ( k L )
(rein reaktiv)
• offenes Ende: R = +1  Zin = i Z0 tan( k L)
(rein reaktiv)
Resonanzen:
Zin = 0  k L = ( n – ½ ) π  λn = 2L / ( n – ½ )
Antiresonanzen: Zin =   k L = n π
 λn = 2L / n
Resonanzen, Antiresonanzen vertauscht
• angepasster Abschluss: R = 0  Zin = Z0 = Zab
2.1.3. Eigenschwingungen der endlichen Saite
a) fixierte / offene Enden
fix - fix
fix - offen
offen - offen
2L
λn 
n
πc
ωn 
n
L
πc
ω1 
L
offen - fix
λn 
harmonisch
2L
n  12
nicht ganz
πc
1
n  2  harmonisch
ωn 
L
πc
klingt eine Oktave tiefer
ω1 
2L
b) Nachgiebiges (verlustfreies) Ende
T
Z0
y
θ
u(t)
x
f(t)
Fixierung
bei x = 0
Zab: horizontale
Halterung ( x = L )

y  ei ω t Ae i k x  Bei k x

  2i A ei ω t sin k x 
y(0,t) 0
 B A
u t   y L, t   2ω Aei ω t sin k L
f t   T yL, t   2i k T Aei ω t cosk L
f
kT
Zab   i
cot k L 
u
ω

Z0
Zab  i Z0 cot k L
i) Massenartiger Abschluss
y
Z0 = μ c
x
L
u(t)
0
m
Saitenmasse: M = μ L
f
u
u  iωu   Zab

m
m
Also:
f  mu
Zab  iωm ˆ iωLind
m
i k cm m
cot k L  

k L  cot k L   k L
M
iμ c μ L
Zab  i Z0 cot k L
ii) Federartiger Abschluss
y
D/2
u(t)
Z0
0
L
i k cm m
cot k L  

k L D/2
iμ c μ L
f
u  y L, t   iω yL, t   iω

D
D
D
Also: cot k L   2


i ω Z0
c k Z0
x
f  DyL, t 
f D
1
Zab  
ˆ
u iω iωC
DL 1
cot k L   

c Z0 k L
m
kL
M
cotk L
10
k2
k1
5
k0
0
-5
D-10
L 1

 0
c Z0 k L
massenartig:
federartig:
k2
k1
0.5
1
1.5
k3
2
2.5
3
kL
π
n   : kn  n π L
 harmonisch
n  0 : kn  n π L
angehobene Frequenz
n   : k n  n  1 2  π L  n π L  harmonisch
n  0:
n  1 2  π
L  k n  n π L abgesenkte Frequenz
2.1.4. Dämpfung
1 1 1 1
  
τ τ1 τ 2 τ 3
a) Luftdämpfung:
 ρr 2
τ1  
 ρr f
f 0
f = Frequenz
ρ = Saitendichte
r = Saitenradius
f 
b) Interne Dämpfung
1 Re E 
τ2 
πf ImE 
E( f, T, ...) = komplexer Elestizitätsmodul
c) Energietransfer zur Halterung (Brücke, Resonator)
1
1
τ3 

2
8μ Lf G
G = Re( Y )
Y = Admittanz der Stützstruktur der Saite
2.1.5. Anregung
a) Einmalige Auslenkung bei t = 0 (allgemeines Verfahren):
Anfangsauslenkung
yx,0 
y x,0 
freie Saitenschwingung
yx, t 
FourierAnalyse
y x, t 
FourierSynthese
Modenamplituden
 Frequenzspektrum
A n t  0
 t  0
A
n
Bn t  0
 t  0
B
n
Zeitentwicklung der
Modenamplituden
 0
A
A n t   A n 0  cosω n t   n  sin ω n t 
ωn
 0
B
Bn t   Bn 0  cosω n t   n  sin ω n t 
ωn
yx,0 
Beispiel: Gezupfte Saite  y x,0   0
h

L
β·L
yx, t    A n cosωn t   sin k n x 
n 1
ωn  k n c 
An
h
nπ c
,
L
2
An
 sin β n π 
 2
n β1  β  π
h
10
10
β = 1/3
1
0.1
0.1
0.01
0.01
0.001
0.001
1
6
11
16
21
26
n
β = 1/10
1
31
1
6
11
16
21
26
n
31
yx,0 
Beispiel: Gezupfte Saite  y x,0   0
h

L
β·L
yx, t    A n cosωn t   sin k n x 
n 1
En ( dB )
ωn  k n c 
nπ c
,
L
2
An
 sin β n π 
 2
E
n β1  β  π
h
E n  21  sin 2 β n π 
n
0
0
β = 1/3
β = 1/10
-10
-10
-20
-20
-30
-30
-40
-40
0
0.5
1
lg(n)
1.5
0
0.5
1
lg(n)
1.5
Bewegung der gezupften Saite:
b) Hammer-Anregung:
V
Idealfall: y x,0   V  δx  βL , yx,0   0
 ω
A
n
n

y x,0 
Δ
L
β·L
~
yx, t    A n sin ω n t   sin k n x 
n 1
nπ c
2V 
~
ωn  k n c 
, An 
 sin β n π 
L
n πc
~ 1
An c
μ V 2Δ 2
En 
 sin 2 β n π 
L
1
β = 1/3
V
β = 1/10
0.1
0.1
0.01
0.01
0.001
0.001
1
6
11
16
21
26
n
31
1
6
11
16
21
26
n
31
b) Hammer-Anregung:
Idealfall: y x,0   V  δx  βL , yx,0   0

Δ
V
β·L
~
yx, t    A n sin ω n t   sin k n x 
y x,0 
L
n 1
nπ c
2V 
~
ωn  k n c 
, An 
 sin β n π 
L
n πc
En ( dB )
10
β = 1/3
20
0
10
-10
0
-20
-10
-30
-20
0
0.5
1
lg(n)
μ V 2Δ 2
En 
 sin 2 β n π 
L
1.5
β = 1/10
0
0.5
1
lg(n)
1.5
Anschlagsdynamik eines harten, spitzen Hammers:
M v  2T
v
c
 t
 vt   V exp   
 τ
T
y
2T
Bremszeit: τ 
Mc

 x  x H  c t 
 ,
yx, t   V τ  1  exp 

cτ



y
Vτ
v(t)
M
T
x
xH
x  x H  ct
1
v(t)
c
T
Weitere Komplikationen:
0.8
• Hammer-Nachgiebigkeit
0.6
• Hammermaße
0.4
• Reflexionen an Einspannung,
Rückwirkung auf Hammer
0.2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x  xH
cτ
Modenspektrum stets flacher (  reicher, voller ) als beim Zupfen
Beim
Anschlag
MHammer « MSaite
MHammer = 0,4/β · MSaite
n = 0,73 MSaite / MHammer
– 6 dB/Oktave
Anregung
beendet
Bemerkung: Fehlende Moden bei Vielfachen von
1
1
, nicht nur von
2β
β
c) Bogen-Anregung: Helmholtz-Bewegung
Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt
Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück
Mehrfachsprünge
möglich
• Streichgeschwindigkeit  Schwingungsamplitude
• Spektrum ähnlich zum Zupfen ( – 6 dB/Oktave )
Mittlere
Auslenkung
Auslenkung
beim Bogen
Ruheposition
der Saite
Zeit
2.2. Saiten und dünne Stäbe: Longitudinalschwingungen
Rückstellkraft bei Dehnung: Molekulare Bindungskräfte  Elastizitätsmodul
(reine Materialeigenschaft, Saitenspannung nicht relevant)
dx
Hookesches Gesetz:
S
Dichte ρ = μ / S
dw
F
w
E
S
x
F(t)
E = Youngsches Modul
Wellengleichung:
2
2w

w
2

c
L
t2
x2
,
cL 
E
ρ
Lösungen, Randbedingungen, ... analog zu transversalen Saitenschwingungen
2.3. Biegewellen von Balken und Stäben
gedehnt
Neutrale
Faser
z
v
Querschnitt S
vNF
Dichte ρ
u
gestaucht
1
v NF    v du dv
S S
x
Neutrale Faser: z ( x , t )
Auslenkung:
Ruhelage: z0 ( x , t )
y ( x , t ) = z ( x , t ) – z0 ( x , t )
F
4y
Rücktreibende Kraft pro Länge:
  ES I  4
x
x
F
2y
dx  dm  2
x
t
dmρ S dx

1
2
I    v- v NF  du dv
S S
E = Young-Modul
2y
E I 4y
  4
Wellengleichung:
2
t
ρ x
Lösung der Wellengleichung:
2y
E I 4y
  4
2
t
ρ x
yx, t   cos ωt  φ    Acosh k x   B sinh k x 
 C cos k x   D sin k x  
Einsetzen:
2y
2


ω
y ,
2
t
4y
4

k
y
4
x
Dispersionsrelation:
EI 2
ωk  
k
ρ
Phasengeschwindigkeit:
ω
EI
vφ  
 k  I cL  k  ω
k
ρ
ω
 2 vφ
Gruppengeschwindigkeit: v g 
k
(nichtlinear)
yx, t   cos ωt  φ    Acosh k x   B sinh k x 
 C cos k x   D sin k x  
 zwei Randbedingungen pro Endpunkt, z.B.:
frei:
unterstützt / eingehängt:
eingeklemmt:
 2 y 3y
 3 0
2
x
x
2y
y 2 0
x
y
y
0
x
Eigenmoden und Eigenfrequenzen:
L
einseitig eigeklemmt
cot k n L 2    tanh k n L 2 
ω1
ω n  2 n  1
1,426
2
2π 2
ωn in Einheiten von 2
L
beidseitig unterstützt
bzw. eingehängt
kn  nπ L
ωn  n 2ω1
• Frequenzverhältnisse nicht exakt harmonisch
• Knotenpositionen nicht äquidistant
• Klanghöhe sehr stark abhängig von Randbedingungen
EI
ρ
beidseitig frei
tan k n L 2    tanh k n L 2 
ω n  2n  1
2
ω1
9,066
2.4. Transversalschwingung steifer Saiten
Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft
2y
2y
4y
μ 2  T 2  ES I 4
t
x
x
eingeklemmte Enden
3
eingehängte Enden
3
ωn
n ω1 0 
2.6
2.6
2.2
2.2
1.8
1.8
1.4
1.4
1
1
0
ωn
n ω1 0 
0.04
0.08
0.12
0.16
π2 
0.2
ES I
T L2
0
0.04
0.08
0.12
0.16
π2 
0.2
ES I
T L2
2.4. Transversalschwingung steifer Saiten
Rückstellkraft = Spannungskraft + elastische Rückstellkraft
2y
2y
4y
μ 2  T 2  ES I 4
t
x
x
eingeklemmte / eingehängte Enden
3
ω 2n
ωn
ES I
Bπ  2
TL
2
2.6
2.2
B=0
1.8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
10
Beeinflussung der Dispersionsrelation:
ω
ω
T
ω
 k  1  αk 2
μ
T
k
μ
GrenzFrequenz
k
2.5. Torsionsschwingungen von Saiten und Stäben
Young-Modul E  Torsionsmodul G
homogenes, isotropes Material:
E
G
21  ν 
Dispersionsrelation linear:
ωk   cT  k
( ν = Poisson-Zahl )
Saiten: • cT typisch 3 ... 8 mal so groß wie c
• starke innere Dämpfung
Abhängigkeit von cT von Querschnittsform:
3. Membranen, Platten und Schalen
Analogien:
1-D-System
2-D-System
ideale Saite
ideale Membran
steife Saite
steife Membran
Stab
Platte
gekrümmter Stab
Schale, Glocke
Knotenpunkt
Knotenlinie
3.1. Membranen
z
Einspannung
y
x
c
T
σ
dm
 const
Massendichte: σ 
dx dy
Spannung:
T ds = Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements
= (konstante) Oberflächenspannung der Membran

Kleine Auslenkung (  lineare Näherung ):  x, y z  1
2-D-Wellengleichung: Koordinatenwahl  Form der Einspannung
(Transversalschwingung)
Rechteckmembran
1  2z  2z  2z
 2 2
2
2
c t
x y
Kreismembran
1  2z 1   z  1  2z
 r   2

2
2
c t
r  r   r  r φ2
Statische Auslenkung:
F    T sin θ ds
 L

F
θ
= 0 für Angriffspunkt
Tds
Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt
Saite
Membran
Schwingungsmoden von Rechteckmembranen:
z
y
Lx
Ly
x
z mn  A e
ω mn
i ω mn t
 nπy 
 mπx 

  sin 
 sin 


L
y
 Lx 


T m2 n 2
π
 2  2
σ
Lx Ly
Quadratische Membran Lx = Ly
 Entartung ωmn = ωnm
 Modenüberlagerung möglich
m=1 n=1
m=2 n=1
m=1 n=2
m=2 n=2
m=3 n=1
m=3 n=2
Schwingungsmoden von Kreismembranen:
z
z mn  A ei ωmn t  eimφ  J m ξ mn r R 
ω mn 
ξ mn
R
x
T
σ
ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm
ξ 01  2,405
2R
y
m=0 n=1
m=1 n=1
m=2 n=1
m=3 n=1
m=0 n=2
m=3 n=2
Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:
3.2. Dünne isotrope Platten
frei / einfach unterstützt / eingespannt
Massendichte:
y
z
dm
ρ
 const
dV
h
x
a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung
„Unendliches“ Medium (rel. zu λ)
E
cL 
ρ 1 ν2


„Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten


E 1 ν2
cL 
ρ 1  ν 1  2ν 
frei / einfach unterstützt / eingespannt
Massendichte:
dm
ρ
 const
dV
z
y
h
x
b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung
(zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben)
„Unendliches“ Medium oder „unedlich
große“, „flache“ Platten (rel. zu λ)
G
cT 
ρ
typisch

60% c L
frei / einfach unterstützt / eingespannt
Massendichte:
ρ
z
y
h
dm
 const
dV
x
c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung
(zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung)
Wellengleichung:
Dispersionsrelation:
 2 z c 2L h 2 2

 z0
2
t
12
c h
ωk   L  k 2
12
ω cL h

k 
Phasengeschwindigkeit:
k
12
ω
v

Gruppengeschwindigkeit: g  k  2 v φ
vφ 

 iω
t
Δ 2z  k 4z
(nichtlinear)
cL h
 ω ω
12
Beispiel: Die dünne Kreisplatte
z(r, φ, t)  ei ω t  ei m φ 
 A J m k r   B I m k r 
z
R
Hyperbolische Besselfunktionen: Im(kr) = i – m Jm(ikr)
20
R2
ω
1,516 c L h 16
12
8
4
0
-4
eingespannt
einfach
unterstützt
frei
h
z
Asymptotisches Spektrum:
π
n 
2R
2
π
cLh
2
ω mn  m  2n  
n 
8 3R 2
k mn  m  2n  
R
Lord Rayleigh (1894): Frequenzzunahme durch Zufügen
eines Knotenrings ist ungefähr identisch mit der durch
Zufügen zweier Knotendiagonalen (Chladnis Gesetz)
Empirischer Ansatz für Kreisplatten, -schalen, -glocken:
ωmn  C  m  2n 
p
  2 , flache Platten
p
  2 , Schalen / Glocken
h
Beispiel: Die dünne Rechteckplatte
z
Ly
h
( i.a. schwieriges Problem )
(x,y) – Kopplung
Lx
 4
4
4 
 4  4  2 2 2  z(x, y)  k 4  z(x, y)
x y 
 x y
• Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran
• Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch
Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,...
Freie Platte:
Messung an freier
Aluminiumplatte
(x,y) – Kopplung bei Lx  Ly:
Modenaustausch
Ringmode
DiagonalMode
(X-Mode)
Lx = const.
Lx / Ly
Fundamentalmoden quadratischer Platten:
frei ( ν = 0,3 )
einfach unterstützt
eingespannt
(1,1)
(0,0)
(0,0)
ω11  3,717
cL h
L2
ω00  5,698
cL h
L2
ω00  10,39
cL h
L2
ω11  22,79
cL h
L2
ω11  31,28
cL h
L2
Moden quadratischer Platten:
frei ( ν = 0,3 )
eingespannt
Modenspektren quadratischer Platten:
12
L2
ω
3,717 c L h
eingespannt
einfach
unterstützt
8
frei ( ν = 0,3 )
4
0
3.3. Dünne Holzplatten
Deckelplatten von Geigen:
• Fasern entlang Plattenlänge
• Jahresringe senkrecht zur Platte
•  Länge / Breite  3 / 1
Fichtenholz
(orthotrop, 9 elastische Parameter)
Qualitative Eigenschaften ähnlich, ... aber
• E  Ex , Ey
• ν2  νxy νyx
Ex
cx 
ρ1  ν xy ν yx 
cy 
Ey
ρ1  ν xy ν yx 
Beispiel: Freie Viola-Deckel
(2,0) – (0,2) X-Mode
Rücken
Front
(2,0) + (0,2) Ring-Mode
Rücken
Dritte wichtige Mode:
(1,1) - Verwindungsmode
Rücken
Front
Front
3.4. Schalen
Sehr komplexes Problem, aber hochrelevant:
• Schalendimension:
• Schalendicke:
• Schalenwölbung:
• Geigen-Frontplatte / gesamter Resonanzkörper
• Kugelschalensegmente (Becken,...)
• Zylinderschalen (Zylinderglocken,...)
• Kirchenglocken
h  a
H  a
Modenklassifizierung (Love, Rayleigh):
• Dehnungsmoden: Längenänderungen in erster Ordnung
Linienmasse  h
ω(h) = const.
Federkonstante  h
• Biegungsmoden: Keine Längenänderungen in erster Ordnung
Schalenmasse  h
ω(h)  h
3
Federkonstante  h
Empirische Modenparametrisierung:
ω m n  A m n  Bm n h 2
a
h
H
Beispiel: Flache sphärische Schale
z(r, φ, t)  ei ω t  ei m φ 
 A J m k r   B I m k r 
Niedrigste Mode:
ka =μ
h  a
H  a
(abhängig von Einspannung)
Spezialfall der flachen Platte ( H = 0 ):
4
ka = μ0
ω
1  μ  48  H 
   4  

2 
ω0
1 ν  μ0  μ0  h 
2

H
a
 20 ,  4
h
H
E H
2
ρ a2
Sehr starke Frequenzzunahme (d.h. Steifigkeitszunahme) mit H 
• gewölbter Geigendeckel benötigt keine innere Verstrebung
• flacher Gitarrendeckel erfordert starke innere Verstrebung
4. Schall in Luft
Gesamtluftdruck:
4.1. Schallwellen
Akustischer Druck: p  δpL  pL
Elastischer Scherungswiderstand
Schallwellen =
longitudinale Druckwellen
Reibungswiderstand
Elastischer Kompressionswiderstand
Wellengleichung:
pL

 2p
2 2
c  p
2
t
Schallgeschwindigkeit c: c 
K
ρ
Kompressionsmodul K: p   K
Dichte ρ: ρ 
dm
dV
dV
V
4.1.1. Schallgeschwindigkeit
Luft ist ideales Gas  pLV = NkT
Luft  zweiatomig  U  52 N k T
1. Hauptsatz
 δU  δQ  pL δV
Cp 
CV 
δQ
δT p
L
δQ
δT V
 γ
Cp
CV

Isothermer Fall ( T = const. ):
Adiabatischer Fall ( δQ = 0 ):
p δp L
δV p



pL
pL
V K
 p L δV  δU  52 N k δT
c
pL
ρ
Für Musikinstrumente nur in
Extremfällen interessant
7
 1,4
5
 52 V δpL  52 p L δV
V
 γ p L  p
K
δV
c
γpL
ρ
Wellengleichung:
NmL
ρ
V
pL V  NkT


 2p
2 2
c  p
2
t
pL kT

ρ mL

γpL
ρ
c
c
γkT
mL
• c2 proportional zur (absoluten) Temperatur
• c unabhängig vom Luftdruck
• mL und somit c abhängig von Luftfeuchtigkeit
Taylorentwicklung um 0°C bei 50% relativer Luftfeuchtigkeit:
m
c  332  1  0,00166 ΔT/ C 
s
4.1.2. Strömungsfeld
 
u  ur, t   Strömungsgeschwindigkeits-Feld
Wellengleichung:

 2p
2 2
c  p
2
t


u
 p
Bewegungsgleichung: ρ
t
p  Potential  Spannung
u  Geschwindigkeit  Strom



i ω t k r 

Lösung (Superposition ebener Wellen): pr , t   pe
ω  c| k |

 i ω t k r 
ur , t   u e
 p 
Folge: u 
ek
(spezifische akustische)
p
ρc
z   ρc
Impedanz
u
Ohmsches
Gesetz
 428 1  0,0017 ΔT C  kg m 2 s 1
Normaldruck
4.1.3. Kugelwellen
Sphärisch symmetrische Quelle 

 2p
2 2
2 1   2 p 
 r

c  pc 2
Wellengleichung:
2
t
r r  r 
Bewegungsgleichung:


u
p 
ρ
 p  
er
t
r
A i k r
B ik r  iωt

e

e

e
Lösung (Kugelwelle): pr, t  
r
r



1  i k r  1 i k r
ik r  1 i k r  iω t 
ω  ck

u r , t  
A
e B
e  e er

cρr 
ik r
ik r

auslaufend
Akustische Impedanz:
ik r

ρ
c
, auslaufend

p  ik r  1
z  
u  ρc i k r , einlaufend
 i k r  1
einlaufend
4.1.4. Druckpegel, Lautstärke, Intensität
Druckpegel (dB)
 p
  dB
L

20
log
Druckpegel: p
10 
 p0 
p0  20μ Pa  2 105 Nm 2
Schmerzgrenze: 120 Phon
Empfindlichkeit des Ohrs:
Kurven konstanter
Lautstärke (in Phon)
Hörschwelle:  0 Phon
Frequenz (Hz)
Intensität an einer Fläche:
dl  u d t

u r , t 
d 2E
d F dl
I

 pu
dA d t
dA d t
dA
Komplexe Schreibweise:
 
I  Re u p  Re  z   u  Re 1 z   p
1
2

1
2
Intensitätspegel:
2
1
2
 I
L I  10 log 10   dB
 I0 
Ebene Wellen: LI  LP
2
I 0  11012 W m 2

u
 
I  Re u p  Re  z   u  Re 1 z   p
1
2

Ebene Welle: p  p 0 e
2
1
2


i ω t k r
u  u0 e 

i ω t k r
z  ρc
1
2
2


2
p
I  12 ρcu 02  0  12 p 0 u 0
2ρc
Kugelwelle:
p  p 0 r  e
i ω t  k r 
u  u 0 r  ei ω t  k r 
 ik r 

z  ρc 
 1  ik r 
A
p 0 r  
r
p 0 r 
u 0 r  
z
p 02
I
2ρc
4.1.5. Reflexion, Brechung, Beugung
a) λ  Randstrukturen  Gesetze der geometrischen Optik
Reflexionsgesetz: α = α'
sin α z1

Brechungsgesetz:
sin β z 2

k1
z1 = c1 ρ1
z2 = c2 ρ2
α
α' 

k2
k3
β
Ebene Wellen gegen ebene Grenzfläche
Reflexionskoeffizient
Amplitude:
sin α  β 
r
sin α  β 
Intensität:
R  r2
Transmissionskoeffizient
t  1 r
T  1 R
b) 10 λ   Randstrukturen  Beugung an Rändern
Frequenz Wellenlänge
20 Hz
17 m
1 kHz
34 cm
15 kHz
2,3 cm
4.1.6. Dämpfung
ω
k   iα
c



 α r ek
, ebene Welle
 pr , t   e

 pr, t   e α r , Kugelwelle
Ursachen:
z.B. Wände von
• Viskosität
Musikinstrumenten
• thermische Verluste
• molekularer Energieaustausch
Beispiel: Dämpfung in Luft (relative Luftfeuchtigkeit > 50%)
α  4 10 7 m 1  f Hz , 100Hz  f  1kHz
α  110 10 m 1  f 2 Hz 2 ,
2kHz  f  100kHz
 α(10kHz)  0,1dB/m  relevant für große Konzertsäle
4.1.7. Hohlraummoden
An der Wand:



u Wand  u Luft  u
p  zW u


 
u
p
ρ
  p  iωρ u  n   p  
t
n
iz W  p
Randbedingung: p 
ρω  n

n

u
Starre Wand
Impedanz: zW
p
Spezialfall der festen Wand: z W   
0
n
Beispiel: Quaderförmiges Auditorium mit festen Wänden

 lπ x   m π y   n πz 
pr , t   A cos
 cos
 cos

a
b
c

 
 

ωl m n
c
l2 m 2 n 2
 πc 2  2  2
a
b
c
b
a
Design von Konzertsälen:
a :b:c = 1:1:1
Gleichmäßige Modendichte
bei niedrigen Frequenzen
Schlechtes Design
a :b:c = 1:2:3
Besseres Design
4.2. Schallabstrahlung
• Kugelstrahler: Wichtiges Modellsystem
• Multipol-Quellen: Konfiguration von Punktquellen,
Abstände klein gegen Wellenlänge
• Überlagerte Punktquellen: Beliebig ausgedehnte
Konfigurationen von Punktquellen
• Ebene Quellen:
 Quellfläche in unendlicher Schallwand
 Unabgeschirmte Quellfläche
 Unendlich große Platten
4.2.1. Kugelstrahler
Definition:
Gutes Modellsystem für pulsierende
Hohlkörper jeder Form!
v a ei ω t
Quellstärke
Q  4 π a 2 va 
a
Abgestrahlte Kugelwelle:
A i k r
pr   e
r
A 
i  i k r
1   e
vr  
ρc r  k r 
iωρQ ei k a
 A
4π 1  ik a
Q
va  
4πa 2
Intensität:
pr 
ρcQ 2 k a  1
Ir  

2ρc 32π 2 a 2 1  k a 2 r 2
2
2
pr 
v a ei ω t

ρ cQ
ka  1
Ir  

2ρc 32π 2 a 2 1  k a 2 r 2
2
2
2
a
Gesamtstrahlungsleistung
ρcQ k a 
P   Ir   r d cosθ dφ 
8πa 2 1  k a 2
2
2
2
v(a) = const
ρc
2
va 
2
Sättigung
P/Fläche
Musikinstrumente
(  möglichst große
Abstrahlfläche günstig )
Punktquelle
k a  1
k a  1
0
0
1
2
3
4
5
6
ka
7
Mechanische Last an schwingender Oberfläche:
F S 4 π a
pa 
ika
Zm 
 S
 ρcS
va 
va 
1 i k a
v a ei ω t
2
X= Im(Zm ):
Reaktivität der
mitschwingenden Luft
R= Re (Zm ):
Dissipation durch Abstrahlung
a
4.2.2. Multipol-Quellen
Quellstärke
v a ei ω t
Q  4 π a 2 va 
a
Abgestrahlte Kugelwelle:
A i k r
pr   e
r
A 
i  i k r
1   e
vr  
ρc r  k r 
Monopol
a  λ 
iωρQ ei k a
iωρQ
a  λ
A


4π 1  ik a
4π
Amplitude unabhängig von Quellgröße a  ,,Punktquelle“
Multipolkonfigurationen:
2

1 A
ρ cQ 2 1 ω 2
I r  

2ρc r
32π 2 r 2 c 2
Monopol: +Q
Dipol:
Quadrupol:
+Q
Q
Punktquelle:
iωρQ
A
4π
4
 ρ cQ 2 δ z 2
ω
2
r, z  4
cos
δz I r  
2
2
32π r
c
+Q
δz
Q δz
+Q
Q δz
Q
+Q
δz
Q δx +Q
6
 ρ cQ 2 δ z 4
ω
4
r, z  6
I r  
cos
2
2
32π r
c
 ρ cQ 2 δ x 2 δ z 2
ω6
2
2
I r  
cos r, x  cos r, z  6
2
2
32π
r
c
• zunehmend komplexe Winkelverteilung
• zunehmend ineffizient bei niedrigen Frequenzen
4.2.3. Überlagerte Punktquellen
Strahlung zweier Punktquellen bei r   d:
+Q
ω 2ρ Q 2 1 
cos 
1


Ir, θ, φ  
 2 

2 k d cosθ
4πc r  sin 2 

 Q
2
Gesamtstrahlungsleistung durch Kugelfäche mit r   d :
2
2
ω
ρ
Q
2


P   I r, θ, φ  r dcosθ dφ 
4 πc
• Komplexes Interferenzmuster
• P unabhängig von r
 sin k d 
1 

kd 

Strahlung zweier Punktquellen
 r  d 
Monopol 2Q
ω 2ρQ 2
P
4πc
 sin k d 
1 

k
d


ω 2ρQ 2
Monopol Q : P0 
8π c
Kohärente
Überlagerung
Monopol 2 Q
Inkohärente
Überlagerung
Dipol Q·d
Strahlung von 2N Punktquellen bei r  2 Nd:
+
+
+
+
+
+
θ
+
–
+
–
+
–
d
iωρQ i k r
p 
e
4π r
π
θ :
2
p+
 sin N k d cosθ 


1


sin
k
d
cos
θ
2


 2 NpQ
δθ  
λ
Nd
 2n π 
 :   2 N p Q
θ n  cos 
 kd 
1
θ
p–
N
iωρQ i k r   1 sin N k d cosθ 
p 
e 

1


4π r
cos
k
d
cos
θ
2


π
θ :
2
 0
 2n  1 π 
 :   2 N p Q
θ n  cos 
 kd 
1
+
+
+
+
+
+
100
p+
θ
λ  6,28 d
I
IQ
N5
50
0
-150
d
-100
-50
0
-50
100
λ  0,31d
N5
50
-100
0
-150
-100
-50
0
-50
-100
50
100
150
50
100
150
+
–
+
–
+
–
5
p–
θ
λ  6,28 d
I
IQ
3
1
-10
d
-5
-1 0
100
λ  0,31d
-5
N5
50
0
-100
5
d < λ/2
-3
-150
N5
-50
0
-50
-100
50
100
150
völlig ineffizient!
Lokale Strömungen
zwischen +Q und Q
10
4.2.4. Linienquellen (  schwingende Saite)
Näherung  starrer dünner Zylinder mit L  
a) Fundamentalmode:
ue
πρ ω a u
Ir, φ   2 
cos 2 φ
4c
r
3
4
2
φ
2π
L
P
π2 ρ 3 4 2
  Ir, φ  r dφ  2  ω a u
L 0
4c
 I, P  a4 ω3 sehr ineffizient !
iωt
2a
cT  c  d 
b) Höhere Moden:
Transversalwelle
auf Saite
+Q
Q
λ
2
Schallwelle
Q
+Q
+Q
Q
d
 zusätzlich Auslöschungseffekt (Kette alternierender Punktquellen)
Noch viel ineffizienter !
4.2.5. Ebene Quelle mit Schallwand
,,Unendliche“ Schallwand
(Abschirmung vom Rückraum)
Starrer ,,Kolben“ oder
elastische Membran
Abstrahlung
zum Auditorium
Effekt der Schallwand:
Effiziente Abstrahlung
auch bei niedrigen
Frequenzen
Praktische Realisierung: (Teil-)Separation des rückwärtigen Luftraums
Kesselpauke
(Timpani)
Cello
Konzertgitarre
Piano
Systeme ohne Schallwand:
Glocke
• Niedrige Effizienz bei niedrigen Frequenzen
• Starke Anregung bei niedrigen Frequenzen
ermöglicht ausgeglichenes Klangspektrum
• Wenig Abstrahlung  sehr langes Nachklingen
Becken
Mathematische Behandlung: Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral
 
i k r  r 

iωρ e
pr   

2π
r

 u  r   dS
dS

r
 iωt
u  r   e
Volumenfluss
(Quellstärke)
Raumwinkel
der Abstrahlung
θ
Elementare
Kugelwellen

r
Relevanter Spezialfall:
Fraunhofer-Beugung: r >> Quellgröße
Beispiel: Starre Kreisplatte mit Radius a (Fraunhofer-Beugung)
Optisches Analogon: Fraunhofer-Beugung an Lochblende
i k r
e
2J1 x 
2
1
pθ   2 iωρu a

,
r
x
Hauptabstrahlungskegel
 3,83 

θ  sin 1 
 ka 
x  k a sin θ
1. Nebenkeule bei –18 dB
 Insignifikant !
x  k a sin θ
Akustischer Widerstand der Luft
Pulsierende Kugel
X=Im(Zm ):
Reaktivität der
mitschwingenden Luft
R= Re (Zm ):
Dissipation durch Abstrahlung
Starre Kreisquelle
in Schallwand
Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand
m=0 n=1
• Qualitativ wie starre Kreisplatte
• Effizienter Strahler
Fundamentalmode
m=0 n=2
• Quantitativ unterschiedlich: u( r' )  J0( k r' )
m = 0 Moden:
• Verbleibende Netto-Monopolkomponente
• Schwache Strahler
m=2 n=1
m=3 n=1
m > 0 Moden:
m=1 n=1
• Keine Monopolkomponente
m=3 n=2
• Völlig ineffiziente Strahler
4.2.6. Unabgeschirmte ebene Quellen
Hohe Frequenz ( ka > 4 ):
fast ungeändertes Verhalten
Unendliche
Schallwand
Niedrige Frequenz ( ka < 4 ):
Abstrahlraumwinkel 2π  4π
 ½ Strahlungswiderstand
 ½ Gesamtstrahlungsleistung (3 dB)
 ¼ Intensität (6 dB)
 Kompensation: Bassreflexwand,
Fussboden, ...
Umschlossener
Rückraum
Starre Platte:
offene Platte
Dipolquelle bei kleinen
Frequenzen
 3 10  2 ρcS k a 4
Rm  
 ρcS
, ka  2
, ka  3
4.2.7. Strahlung von (unendlich) großen Platten
Einfachstes Beispiel: Ebene Biegewelle der Platte
Luft ( Dichte ρ )
Schallgeschwindigkeit:
ω
K
c 
k
ρ
Abstrahlungsbedingung:
λ  λP(ω)
bzw.
k  kP(ω)
bzw.
c  vP(ω)
Platte ( Dicke h, Dichte ρP )
Phasengeschwindigkeit:
ω
vP 

kP
hcL
h2 E
 ω4
 ω
2
ρP 1  ν
12


Strahlungsmuster der Überschallbiegewelle ( vP  c )
(Analogon: Machscher Kegel)
λ k P vP
cos θ 


λP
k
c
h2 E
vP  4
 ω 
2
ρP 1  ν


Abschneide- bzw. Koinzidenzfrequenz:
h2 E
cos θ  4
 ω
2
4
ρP 1  ν c




ρP 1  ν 2 c2
ω  ωc 
h2 E
4.3. Schallwellenleiter ( Pfeifen, Flöten, Hörner)
Klarinette
Französ.
Horn
Flügelhorn
Saxophon
Querflöte
Blockflöte
Orgel
Oboe
r
4.3.1. Unendliche Zylinderrohre
ruhende oder
gleichmäßig
strömende Luft
φ
2a
z
S  πa
Perfekt steife Wand: u r r  a   0

p
 r r a
2
 π q mn r  i ω t  k mn z 
p mn r, φ, z, t   Acosmφ  α  J m 
e
 a 
0 
analog zur
Kreismembran
kr = πqmn /a quantisiert
kz = kmn unbeschränkt
(keine z-Randbedingung)
π q mn  n  1  te Nullstelle von Jm
k 2  k 2r  k 2z
ω  ck
2
k
2
mn
 ω   π q mn 
   

c  a 
2
 π q mn r  i ω t k mn z 
p mn r, φ, z, t   Acosmφ  α  J m 
e
 a 
Wichtiger Spezialfall m = n = 0:
Ebene Welle:
2
 ω  πq 
k 2mn      mn 
c  a 
q00 = 0, J0(0) = 1 
p 00 r, t   p ei ωt  z c 
u 00 r, t   u e
i ωt  z c 
p i ωt  z c 
 e
ρc
Sp i ωt z c 
Volumenfluss: Ur, t    u 00 dS  e
ρc
S
Bemerkung: In allen anderen Moden ist U = 0
(Wellen-)Impedanz
Definition:
p
z   ρc
u
Charakteristische Impedanz
p 00 ρc
Z0 

U
S
2
 π q mn r  i ω t k mn z 
p mn r, φ, z, t   Acosmφ  α  J m 
e
 a 
Kritische Frequenz:
2
 ω  πq 
k 2mn      mn 
c  a 
π q mn c
ωc 
a
ω > ωc:
kmn , z reell
 ungedämpfte Ausbreitung
ω < ωc:
kmn , z imaginär
 gedämpfte Ausbreitung
( keine Wellenleitung )
q00 = 0  ebene (0,0)-Mode wird bei allen Frequenzen geleitet !
2
0
1,84
3,83
3,05 4,20
5,32
5,33
Single-Mode-Leitung:
c
ω  1,84
a
 a  0,29 λ in freier Luft
J0
J1
J2
J3
J4
(0,0)
Single-ModeLeitung
Ebene Welle
(0,0) (0,0) •
•
+
(1,0) (1,0) •
•
(4,0)
(2,0) •
•
(1,1)
(0,1) •
(3,0)
etc.
ωc 
π qmn c
a
 π q mn r  i ω t k mn z 
p mn r, φ, z, t   Acosmφ  α  J m 
e
 a 
Querschnitt
Ebene
FundamentalMode
p

u
1,0
2,0
0,1
ω > ωc
ω < ωc
2
 ω  πq 
k 2mn      mn 
c  a 
Flussmuster im Längsschnitt
2
4.3.2. Wandverluste in unendlichen Zylinderrohren
Verluste in dünnen Randschichten an der Wand:
b) Thermische Verluste
a) Reibungsverluste
δV
δT
a
a
Viskosität η
rV 
a
ωρ

a
δV
η
 252,5 a
m
Thermische
Leitfähigkeit κ
rT 
ω
s
1
1  0,0029  T K  300
2
Zusammenhang:
a
ωρC P

a
δT
κ
 212,6 a
 rT 
η
   C P  Prandtl - Zahl
κ
 rV 
m
ω
s
1
1  0,0031 T K  300
Konsequenz: Z0 reell  Z0 komplex
rV  1 :
Einfluss auf Z0
wichtig für rV  10
Re Z0   ImZ0   rV1
k reell  k komplex:
Phasengeschwindigkeit
sinkt für rV  10
α / f [ m-1 Hz -1 ]
und:
v/c
...
...
k
ω
 iα
v
α  λ-1 für rV  10
Größenordnungen bei Zimmertemperatur ( 20 °C ):
rV 
a
ωρ

a
δV
η
 252,5 a
m
rT 
ω
s
1
1  0,0029  T K  300
 212,6 a
1000
1000
100
100
10
10
1
1
0.1
0.1
1
10
100
1000
Frequenz [ Hz ]
a
ωρC P

a
δT
κ
m
1
ω
s
10
Kritischer
Bereich
1
1  0,0031 T K  300
100
1000
Frequenz [ Hz ]
4.3.3. Endliche Zylinderrohre
Saite: Z0
L
ρc
Z0 
S
R
ZL
( Abschnitt 2.1.2. )
Z0  Z L
Reflexionskoeffizient: R 
Z0  Z L
L
p 00 L, t 
ZL 
UL, t 
p 00 0, t 
1  Re 2i k L
 Z0
Eingangsimpedanz: Zin 
U0, t 
1  Re  2i k L
Z L cosk L   i Z0 sin k L 
 Z0
i Z L sin k L   Z0 cosk L 
Ideal abgeschlossener Rohr: ZL = 
Zin  Z0
Zin  i Z0 cot k L
Z L cosk L   i Z 0 sin k L 
i Z L sin k L   Z0 cosk L 
Z0
Ideal offenes Rohr: ZL = 0
Zin  i Z0 tan k L
Ideal offener Eingang:
ZL    ωn
Z
L
res
in
ZL
0

2n  1π c

n πc
ZL  0  ωn 
L
L
p00
p00
U
U
Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL  0
a) Abschluss durch Schallwand
[ Z0 = ρc/S ]
(vgl. 4.2.5.)
Z0
k  2  Z L  Z0
Vollständige Abstrahlung
L
RL , XL
Schallwand
ZL
Musikinstrumente (Fundamentalmoden)
k  1
k  1  | Z L |  Z0
 8a 
8a

Z L  i Z0 k
 i Z0 tan  k
3π
3
π


Schallwand wirkt wie ein kurzer ideal
offener Zylinder 
L eff  L  Δ SW
8a
Δ SW 
 0,85 a
3π
Realistische offene Rohre: endlicher Außendruck, ZL  0
b) Offener Abschluss
Z0
k  2  Z L  Z0
ZL
Vollständige Abstrahlung
L
Musikinstrumente (Fundamentalmoden)
k  1
k  1  | Z L | Z0
Z L  0,61a i Z0 k  i Z0 tan 0,61k a 
Außenluft wirkt wie ein kurzer ideal
offener Zylinder 
L eff  L  Δ O
Δ O  0,61a
4.3.4. Impedanzkurven realistischer Zylinderrohre
Typische Situation: rV > 10
• Charakteristische Impedanz  Z0 (ungeändert)
• Kleine Dämpfung α:
k
ω
 iα
v
Z L cosk L   i Z0 sin k L 
Zin  Z0
i Z L sin k L   Z0 cosk L 

1,65 10 3 
v  c 1 

 a m f Hz  
α  3 10
-5
Ideal abgeschlossenes Rohr: ZL = 
1  i tanh α L  tan ωL v 
Zin  i Z0 cot k L   Z0
tanh α L   i tan ωL v 
Ideal offenes Rohr: ZL = 0
tanh α L   i tan ωL v 
Zin  i Z0 tan k L   Z0
1  i tanh α L  tan ωL v 
f Hz 
a m
Ideal offenes Rohr: ZL = 0
tanh α L   i tan ωL v 
Zin  i Z0 tan k L   Z0
1  i tanh α L  tan ωL v 
L = 1m
a = 1 cm
α  3 10
-5
f Hz 
a m
(Anti-)Resonanzstruktur
durch Wanddämpfung!
fn 
v
4 L eff f n 
 2n  1
Auswaschung durch
Strahlungsdämpfung!
fn 
v
2 L eff f n 
n
(Anti-)Resonanzen
d L eff
 0  nicht ganz harmonisch
dω
(gestreckt)
2 sinh 2 αLeff 
L = 1m
a = 5 cm
4.3.5. Abstrahlcharakteristik offener Zylinderrohre
Richtungs-Index
 
I 0
DI 
I
4.3.6. Schallwellen in Hörnern
Vereinfachung: gerade, unendlich lang
Wellengleichung für Frequenz ω:
2
 p  k 2p  0
mit
ω
k
c
Randbedingung für ideal steifes Horn:
Französ.
Horn
 
n  p  0 auf Oberfläche
Separierbarkeit/Single-Mode-Leitung: Spezielle Koordinaten
Hornfläche = Koordinatenfläche
 konfokale quadratische Oberflächen (11 Varianten)
Beispiele:
Kreis/Ellipsen/Rechteck-Zylinderrohre
Single-Mode ebene Wellen
Konische Hörner
Single-Mode Kugelwellen
Hyperbolische Hörner
Glatter ZylinderÜbergang
Single-Mode Welle
oblat spheroidal
 zylindrisch   eben
 konisch
  sphärisch
•
Analytische Näherung:
θx 
• Wellenfront: p  const.
• Lokaler Konus: x0 , θ
S
Wellenfront
x
a(x)
x0(x)
• Sphärische Näherung:
x0 , θ nur schwach x-abhängig  S annähernd sphärisch
r  x  x0

2 1  2  1  
   2 r

S

r r r S  x  x
S  2 π 1  cos θ   r 2 
Webster-Gleichung:
Für kleine θ:
1  p 1  2p
S
 2 2
S x x c t
a  θ  x  x 0 
S  πa2
mit
S  π R T2
, R T  Hornradius x 
Sphärische Näherung
Ebene Näherung
•
1  p 1  p
ω
S
 2 2   2 p
S x x c t
c
2
2
θx 
S  πa2
F(x) = Potentialbarriere
θx   1  Fx  
1
R LR T
x
Schrödinge r - Gleichung
 2ψ
2


k
 Fx ψ  0
2
x
ω
k
c
= Hornfunktion
Wellenfront
a(x)
x0(x)
Konstante Intensität I  p2 S
 Ansatz: ψ  S  p
S
1 d 2a
Fx  
a dx 2
RL
Leitung oberhalb Abschneide-Frequenz:
ωC x   k C x  c  Fx   c
RT
4.3.7. Salmon-Hörner (  konstanter Abschneidefrequenz )
•
2
1da
F
 const.
2
a dx
θx 
S
x
a(x)
x0(x)
Lösung:
Wellenfront
a  a 0 cosh m x   T  sinh m x 
m = Hornkonstante
p 0 i ω t i
p e e
a
Wellenleitung  k2 > m2
k 2 m2 x
Wichtige Spezialfälle:
T = 1: a  a 0 exp m x 
T = 0: a  a 0 cosh mx 
1 

T
x

m x 0  a  a 0 1  
x0 


m0 
Hörner = kontinuierliche
Impedanzwandler
 effiziente Abstrahlung
oberhalb ωC
Exponentialhorn
Katenoidalhorn ( glatter Zylinderanschluss )
Konisches Horn mit Apex in x0
( F = 0  kein Frequenzabschnitt )
4.3.8. Endliche konische Hörner
a1 = 0,5 cm
a2 = 5 cm
Zin / Z1
L = 1m
S2
S1
Z1  ρc S1
ZL
Zin / Z0
L
Z0  ρc S
S
ZL
L
L = 1m
a = 5 cm
Abhängigkeit der Resonanzfrequenzen vom Öffnungsverhältnis
( Vereinfachte Darstellung für ZL = 0 )
Beidseitig offene Hörner
( Flöten, Orgel-Rohrpfeifen )
Einseitig geschlossene Hörner
( Rohrblatt- / Lippengetriebene Blasinstrumente )
ω4
ω4
ω3
ω3
ω2
ω2
ω1
ω1
a1 / a2
4.3.9. Besselhörner
a  bx
γ
0x
• γ = 0:
Zylinderrohr
• γ = 1:
konisches Horn mit Apex bei x = 0
• γ > 0:
stark divergente Mündung bei x = 0
( realistische Beschreibung moderner Blasinstrumente )
a  bx
Besselhörner:
γ
0x
Analytische Lösung für γ > 0 (ebene-Wellen-Näherung):
px   x
γ  12
AJ
γ  12
Bessel-Funktion
k x   BN γ k x 
1
2
Neumann-Funktion
Ideal offenes unendliches Besselhorn:
px   A x
γ  12
J γ  1 k x 
2
Besselhornfunktion bei offener Mündung:
F    Horn strahlt nicht ab !
Totalreflexion bei F(x)  k2
Ebene-Welle-Näherung
Freie Abstrahlung für k2 > Fmax
Teilabstrahlung
für k2 < Fmax
Kugelwellen-Näherung
Tunneleffekt
4.3.10. Netzwerkanalyse
Allgemeiner Wellenleiter  ( passiver ) elektrischer Vierpol
x1
x2
p1  px1 
S2
S1
U1  S1  u x1 
Impedanzmatrix:
p 2  px 2 
U 2  S2  u x 2 
 Z11 Z12 

Z
Z

Z
22 
 21
 p1 
 U1 
   Z 
p 
U 
 2
 2
Beispiel: Beidseitig offenes konisches Horn
iρc sin  k L  θ 2 sin θ1
Z11 

S1 sin  k L  θ1  θ 2 
Z 22  
mit
S1
iρc sin  k L  θ1 sin θ 2

S2 sin  k L  θ1  θ 2 
Z12  Z 21  
S2
x
0
iρ c
sin θ1 sin θ 2

S1 S2 sin  k L  θ1  θ 2 
x1
x2
L
θ1,2  arctan k x1,2 
Beobachtung: Z12 = Z21

gilt auch allgemein
Reziprozitäts-Theorem:
Für beliebige (passive) Hörner gilt
Z12  Z21
Transportmatrix:
1  Z11 det Z 
A
Z 21  1
Z 22 
 p1 
 p2 
   A 

U 
 U 
2
 1

1  A11 det A 
Z
A 21  1
A 22 
 p1 
 U1 
   Z 
p 
U 
 2
 2
Bemerkung: Z12  Z21
 det A  1
Behandlung zusammengesetzter Hörner:
p1
U1
p2
Z(1), A(1)
U2
 p1 
 p 
   A 1   2 
U 
 U 
2
 1

Verkettungsregel:
p3
U3
Z(2), A(2)
 p 
 p2 

  A 2    3 
 U 
 U 
3
2


A
 tot 
1
 A A
2 
Beispiel: Ideal offenes konisches Rohr mit Zylinder-Eingang
A
 tot 
Zin  Z11
Harmonisches
Spektrum bei
L1  L2
 Zylinder
fmax von Zin (Trompetenmaße)
A
 tot 
A
Konus
 tot 
 Z
Beispiel: Horn mit Abschlussimpedanz ZL
p1
p2
p1  p2  ZL U1  U2 
U1
U2
ZL
L 
Z ,A
Z
L 
L 
ZL
Horn
Z,A
Z L  , A  L 
1 1

 ZL  
1 1 


A
L 

 1 0


 Z 1 1 
 L

det Z


Z

det
Z
 11

1
ZL

A  tot   A  A L  


Z21  1  Z 22
Z 22 

ZL


Eingangsimpedanz:
 tot 
Zin  Z11
 tot 
A11
  tot 
A 21
 Z11 geschlosse nes Horn Z L   
Z12 Z 21

 Z11 
  det Z
ideal offenes Horn Z L  0
Z 22  Z L 
 Z 22
Beispiel: Ideal abgeschlossenes konisches Horn
Zin  Z11 
mit
iρc sin  k L  θ 2 sin θ1

S1 sin  k L  θ1  θ 2 
θ1,2  arctan k x1,2 
ZL  
S2
S1
x
0
x1
Quasistatischer Grenzfall: k L, k x1,2  1
x2
L
iρc sin  k L  θ 2  sin θ1
iρc 3x12
1 ρc 2
Zin 


 3

3
S1 sin  k L  θ1  θ 2 
kS1 x 2  x1 iω V
Hohlraumform in diesem Grenzfall irrelevant 
1 ρc 2
Zin 
= akustische Impedanz eines Hohlraums
iω V
V
2 = akustische Nachgiebigkeit  elektrische Kapazität
ρc
Beispiel: Ideal offenes konisches Horn
Zin 
ZL  0
det Z iρc sin θ1 sin  k L  θ 2 sin k L  θ1   sin θ1 sin θ 2 


Z 22
S1
sin  k L  θ1  θ 2 sin  k L  θ1 
θ1,2  arctan k x1,2 
mit
S2
S1
x
Quasistatischer Grenzfall:
k x1,2  1
ρL
Zin  iω 
S1 S2
0
x1
x2
L
Spezialfall offenes Zylinderrohr: S1 = S2 = S  ZinZyl  iω 
ρL
S
Allgemein:
1
S
1
ρL
S
Zin  iω  ρL
= akustische Impedanz eines ideal offenen Horns
Horn
= akustische Trägheit  elektrische Induktivität
Horn
Quasistatische Netzwerke: Beispiel 1
S
L
V
Zcav
Zcav
Zpipe
Zpipe
U
pext
Helmholtz-Resonator
getrieben durch äußeres
Schallfeld pext
Zrad
Zrad
pext  Wechselspannungsquelle
U
pext
~
Zrad  komplexer Widerstand
Zpipe  Induktivität
Zcav  Kapazität
Quasistatische Netzwerke: Beispiel 2
S
Helmholtz-Resonator
intern getrieben durch
vibrierende Wand
U0
L
V
Zcav
Zpipe
U
Zrad
Zpipe
U0
Zcav
Zrad
U
U0  Wechselstromquelle
Zrad  komplexer Widerstand
Zpipe  Induktivität
Zcav  Kapazität