Einführung in die Systemtheorie

info2 Einführung in die Systemtheorie
Definition System:
Ein in sich geschlossenes, geordnetes und
gegliedertes Ganzes; Gesamtheit, Gefüge von
Teilen, die voneinander abhängig sind,
ineinander greifen oder zusammenwirken
z.B. in der Physik
Gesamtheit von Körpern, Feldern u.s.w. die voneinander
abhängig sind und als Ganzes betrachtet werden
z.B. Biologie
z.B. Informationsübertragungssysteme
z.B. Energieübertragungssysteme
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 1
info2 Systeme zur Übertragung von Information
Theorie:
Wissenschaftl., rein gedankliche
Betrachtungsweise, Lehrmeinung
Erkenntnis von gesetzlichen
Zusammenhängen
USA
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Signale und Systeme
Seite 2
info2 Aufgabenstellung Systemanalyse
Systemanalyse:
Für ein gegebenes System wird bei
gegebener Eingangssignalfunktion
x(t) die Ausgangsfunktion y(t)
gesucht
x(t)
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
System
y(t) ?
Seite 3
info2 Aufgabenstellung Systemsynthese
Systemsynthese:
Es ist ein System zu entwerfen,
das für eine gegebene
Eingangssignalfunktion eine
gewünschte
Ausgangssignalfunktion y(t) liefert
x(t)
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
System ?
y(t)
Seite 4
info2 Aufgabenstellung Systemidentifikation
Systemidentifikation:
Es ist für ein vorhandenes System
durch geeignete Wahl der
Eingangsgröße und Messen der
Ausgangsgröße das
Übertragungsverhalten des
Systems zu ermitteln
x(t)
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
System g(t)
y(t)
Seite 5
info2 Bezeichnungsweisen
Übertragungsfunktion G(s)
• Systemeigenschaft im
Frequenzbereich
• H(δ), T(s) in amerikanischer
Literatur
Impulsantwort g(t)
• Systemeigenschaft im Zeitbereich
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 6
info2 Bezeichnungsweisen
Eingangssignal
• x(t) Bezeichnung im Zeitbereich
• X(s) Bezeichnung im
Frequenzbereich
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 7
info2 Bezeichnungsweisen
Ausgangssignal
• y(t) Beschreibung im Zeitbereich
• Y(s) Beschreibung im
Frequenzbereich
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 8
info2 Mathematisches Modell
Das System wird durch ein
mathematisches Modell
beschrieben
•
•
Prof. J. WALTER
bei kontinuierlichen Signalen
 Differentialgleichungen
bei diskreten Signalen
 Differenzengleichungen
info2 Stand: März 2002
Seite 9
info2 Kontinuierliche Signale
•
•
Prof. J. WALTER
Periodisches Signal
 Verwendung der Fourier-Reihe
Allgemeine nichtperiodische Signale
 Fourier-Integral
 Laplace
info2 Stand: März 2002
Seite 10
info2 Diskrete Signale
Verwendung von
• DFT
• FFT
• Z-Transformation
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 11
info2 Beschränkung
Beschränkung zunächst:
• Kontinuierliche Signale
• Lineare zeitinv. Systeme
 Behandlung von nichtlinearen
Systemen durch Linearisierung
numerische Lösung nichtlinearer
DGL
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 12
info2 Systeme
•
•
Prof. J. WALTER
Kausale Systeme
t
Ursache
Wirkung
Stabile Systeme
Keine Selbsterregung
info2 Stand: März 2002
Seite 13
info2 Linearität
Mehrere gleichzeitig auftretende
Eingangssignale durchlaufen das
System unabhängig voneinander und
überlagern sich auf Ausgangsseite
ungestört.
k1x1(t)+k2x2(t)
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
lineares
System
k1y1(t)+k2y2(t)
Seite 14
info2 Zeitinvarianz
Zeitinvarianz:
y(t)
x(t)
t
y(t-t0)
x(t-t0)
t0
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 15
info2
Stabilität
Stabilität:
wenn!
lim {x(t )}  0
t 
dann!
lim { y (t )}  0
t 
Ursache verschwindet  Wirkung geht
auf 0
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 16
info2 Kausalität
aus x(t)=0 für t<t0 folgt
y(t)=0 für t<0
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 17
info2 Signalklassen
•
•
deterministisch-stochastisch
digital-analog
 Abtasttheorem
Voraussetzungen zur Vorlesung
- Zweipoltheorie: E-Technik
- Vierpoltheorie: Info1
- Fourier-Trf.: Info1
- Abtastsatz: Info1
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 18
info2 Beschreibung von Systemen
x(t)
X(s)
Eingang
g(t)
G(s)
System
y(t)
Beschreibung im
Zeitbereich
Y(s)
Beschreibung im
Frequenzbereich
Ausgang
Strukturbild - Strukturplan
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 19
info2 Erweiterung auf mehrere Ein-Ausgangsgrößen
Ursache
x1
y1
Wirkung
Eingangssignal
x2
y2
x3
y3
Ausgangssignal
Erregung
x4
y4
Antwort
X
[A]
Y
Vektor
Matrix
Vektor
Y=[A] X
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 20
info2 Behandlung im Zeit-oder Frequenzbereich möglich
•
Übergang mit Fourier- oder LaplaceTransformation
Bei
( )  ( j )
Fouriertrf.
Frequenz
s    j
komplexe Frequenz
Ermöglicht Auf- und abklingende
Schwingungen zu behandeln
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 21
info2 Fourier-Transformation
F ( ) 


f (t )e  jt dt

1
1
F ( )  f (t ) 
2
Orginalraum(in t)
f(t)
F ( )

j t
F
(

)
e
d


Abbildung
Bildraum (in ω)
Objektfunktion
Resultatfunktion
f(t)
F ( )
F ( )
f(t)
F ( ) im allgemeinen Komplex
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 22
info2 Einseitige Laplacetransformation
Voraussetzung f(t)=0 für t<0

L( s )   f (t )e  st dt  L{ f (t )}
0
s    j
L1{L( s )}  f (t ) 
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
 0  j
1
*  L( s )e st ds
2  j  0  j
Seite 23
info2
Prof. J. WALTER
info2 Stand: März 2002
Seite 24