Risikomaße Value-at-Risk

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Portfolioverlustverteilung
Modellierung von Abhängigkeiten bei den Ausfällen: kontinuierliche Bonitätsvariablen
 Neben den gemeinsamen Ausfallwahrscheinlichkeiten lassen sich mit Hilfe der
bivariaten standardisierten Normalverteilung auch gemeinsame
Übergangswahrscheinlichkeiten in beliebige Ratingklassen berechnen.
 Die Integrationsgrenzen über die bivariate Verteilungsfunktion ergeben sich bei einem
Initialrating von BBB für Schuldner 1 und A für Schuldner 2 bei Zugrundelegung der
Übergangswahrscheinlichkeiten aus dem vorletzten Beispiel aus folgendem Schema:
Aktienrendite Schuldner 1
AAA
AA
1,98
Schuldner 1
bleibt in BBB
und
Schuldner 2
in A
A
Aktienrendite Schuldner 2
-1,51
BBB
BB
B
CCC
D
D CCC B BB
BBB
A AA AAA
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
1
Risikomaße
Allgemeines
 Ein Risikomaß  (L ) ist eine Kennzahl, die aus der Verlustverteilung eines Portfolios
abgeleitet wird und das „Risiko“ des Portfolios beschreiben soll.
 Es existieren viele verschiedene Risikomaße.
 Die wichtigsten sind:
 Erwartungswert (erwarteter Verlust)
 Varianz bzw. Standardabweichung (unerwarteter Verlust ULP)
 Value-at-Risk (sowie unerwarteter Verlust UL(a))
 Expected Shortfall
 Der Value-at-Risk sowie der Expected Shortfall sind Maße für das sog. „tail risk“, d.h.
sie beschreiben unter Berücksichtigung eines Konfidenzniveaus extreme
Verlustereignisse im Ausläufer der Verlustverteilung, der hohen Verlustbeträgen
entspricht.
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2
Risikomaße
Erwartungswert und Standardabweichung
 Der erwartete
L Verlust ist formal definiert als
E (L ) 
max
 L f (L
)dL
Lmin
 Der unerwartete Verlust auf Portfolioebene ist definiert über die Varianz der
Portfolioverlustverteilung:
UL2P  var( L ) 
Lmax
2
(
L
E(
L
))
f( L )dL

Lmin
 Kritik: Die Varianz bzw. Standardabweichung erfasst Abweichungen nach oben und
nach unten => Widerspruch zum Begriff des „Risikos“; schlecht bei asymmetrischen
Verteilungen
Erwarteter
Verlust
sP=ULP
Verlust
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Risikomaße
Risikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk
 Implizite Definition:
Sei ein Konfidenzniveau a (0 < a < 1) fixiert.
Dann ist der Value-at-Risk einer Verlustverteilung L implizit definiert als
P(L  VaRL (a ))  a
Der Value-at-Risk ist gerade das a.100%-Quantil der Verteilung der Verlustvariablen
 Explizite Definition:
Sei ein Konfidenzniveau a (0 < a < 1) fixiert.
Dann ist der Value-at-Risk einer Verlustverteilung L explizit definiert als
VaR L (a )  FL-1 (a )
 Bei einer Normalverteilung besteht eine 1:1-Beziehung zwischen ULP und VaR: So gilt
z.B. für a = 95%: 1,65 s = VaR(95%)
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4
.
Risikomaße
Risikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk


Bestimmung VaR(a) für diskrete Verteilungen:
1.
Konstruktion der kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Portfolioverlustverteilung (Verluste
seien positiv)
2.
Bestimmung des kleinsten Verlustbetrags, zu dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit größer
oder gleich a ist. Dieser Verlustbetrag ist der gesuchte VaR(a).
Beispiel: Ein Portfolio besteht aus zwei Krediten an zwei Schuldner A und B in Höhe
von jeweils 1 Mio EUR. Die PD der Schuldner betrage jeweils 3%, der LGD jeweils
100% und die Ausfallkorrelation 50%. Berechnen Sie den VaR des Portfolios zum
Konfidenzniveau 98%.
Lösung:
Zur Bestimmung der Portfolioverlustverteilung sind folgende Ereignisse zu betrachten:
Fall 1: Schuldner A und Schuldner B fallen aus
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert
E(1A 1B) = AB sA sB + PDA PDB = AB ( PDA (1-PDA) PDB (1-PDB) )0,5 + PDA PDB
= 50% x (3% x 97% x 3% x 97%)0,5 + 3% x 3% = 1,545%
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Risikomaße
Risikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk
Fall 2: Schuldner A fällt aus und Schuldner B fällt nicht aus
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert
E(1A (1-1B) = E(1A) – E(1A 1B) = 3% - 1,545% = 1,455%
Fall 3: Schuldner A fällt nicht aus und Schuldner B fällt aus
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert
E((1-1A) 1B) = E(1B) – E(1A 1B) = 3% - 1,545% = 1,455%
Fall 4: Schuldner A fällt nicht aus und Schuldner B fällt nicht aus
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis über den Erwartungswert
E((1-1A) (1-1B)) = 1 - E(1A) - E(1B) + E(1A 1B) = 1 – 3% - 3% + 1,545% = 95,545%
Portfolioverlustverteilung:
Eintrittswahrscheinlichkeit
95,545%
2,910%
1,545%
kumulierte
Eintrittswahrscheinlichkeit
95,545%
98,455%
100,000%
Verlusthöhe
0
1
2
VaR(98%) = kleinster Verlustbetrag mit kumulierter
Eintrittswahrscheinlichkeit größer gleich 98%
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Risikomaße
Risikomaße für das Tail Risk: Value-at-Risk und seine Zerlegung
 Der Value-at-Risk wird für Zwecke des Risikomanagements häufig zerlegt in den
erwarteten und unerwarteten Verlust.
 Der in Zusammenhang mit dem Value-at-Risk definierte unerwartete Verlust hängt vom
Konfidenzniveau ab und ist wie folgt definiert:
Unerwarteter
Verlust zum Konfidenzniveau 99%
Erwarteter
Verlust
VaR(a )  EL  UL(a )
Tail risk
sP=ULP
Verlust
VaR
(99%)
 Achtung: In Literatur und Praxis wird der Begriff des unerwarteten Verlusts für
verschiedene Sachverhalte verwendet:
 ULi: unerwarteter Verlust für den Einzelschuldner
 ULP: unerwarteter Verlust auf Portfolioebene (definiert über Varianz)
 UL(a): unerwarteter Verlust als Teil des VaR zum Konfidenzniveau a
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Risikomaße
Value-at-Risk in der Unternehmenssteuerung
 Wahl des Konfidenzniveaus:
 Höheres Konfidenzniveau  höherer Value-at-Risk
 Höheres Konfidenzniveau impliziert insbesondere bei Simulationsmodellen weniger
Beobachtungen und damit größere Fehler bei der Quantifizierung
 Höheres Konfidenzniveau impliziert größere Unsicherheiten beim Backtesting.
 Die Wahl des Konfidenzniveaus hängt von der mit der VaR-Betrachtung verfolgten
Zielsetzung ab. Dabei können verschiedene Zielsetzungen im Unternehmen
verfolgt werden, die zu einer Verwendung des VaR bei verschiedenen
Konfidenzniveaus führen.
 Häufig Verwendung als Vergleich (Benchmark) innerhalb des Unternehmens
im Rahmen der operativen Steuerung => Konsistenz zwischen Bereichen ist
wichtig, typischerweise eher moderate Konfidenzniveaus, z.B. 90%
 Bestimmung des benötigten ökonomischen Kapitals, um den Konkurs zu
vermeiden => Abhängigkeit vom eigenen Zielrating, strategische Steuerung,
typischerweise sehr hohe Konfidenzniveaus
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Risikomaße
Value-at-Risk in der Unternehmenssteuerung
Erwarteter
Verlust
Beispielhaft: Verwendung der 1-Jahres-PDs von S&P
sP=ULP
Verlust
BBB:
VaR(99,63%)
A:
VaR(99,95%)
AA:
VaR(99,99%)
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Risikomaße
Value-at-Risk: Kritik
 Verhalten der Verlustverteilung oberhalb des VaR wird nicht berücksichtigt
 Extremszenarien fehlen
 Beispiel: VaR(99%)
1%
1%
1%
 Welche Verluste können bei Überschreitung des Value-at-Risk auftreten?
 Verschiedene Verteilungen geben verschiedene Antworten
 Die für die Bank gefährlichen Extremszenarien werden mit dem VaR nicht ausreichend
quantifiziert
VaR ist durch Stress-Tests zu ergänzen!
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Risikomaße
Value-at-Risk: Kritik
 Der Value-at-Risk ist kein „subadditives“ Risikomaß.
 Ein Risikomaß  ist dann subadditiv, wenn für zwei Portfolien P1 und P2 gilt:
 (L P  P )   (L P )   (L P )
1
2
1
2
 Intuitiv spiegeln sich in der Subadditivität Diversifikationseffekte wider.
 Beispiel für das nicht subadditive Verhalten des Risikomaßes VaR:
Zwei Kreditpositionen, die unabhängig voneinander ausfallen können:
Kreditposition 1: EUR 1 Mio, LGD = 100%
Kreditposition 2: EUR 1 Mio, LGD = 100%
Ausfallwahrscheinlichkeit 3%
=> VaR(95%) = 0
Ausfallwahrscheinlichkeit 3%
=> VaR(95%) = 0
Portfolio aus den Kreditpositionen 1 und 2:
kein Ausfall: Wahrscheinlichkeit 94,1%
Mindestens ein Ausfall: Wahrscheinlichkeit 5,9%
=> VaR(95%) = EUR 1 Mio > 0 => keine Subadditivität
 Wie wäre die Situation bei vollständiger Abhängigkeit (z.B. identische Schuldner)?
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Risikomaße
Expected Shortfall (Tail Conditional Expectation)
 Der Expected Shortfall ES(a) zu einem gegebenen Konfidenzniveau ist der
Erwartungswert, der unter der Bedingung gebildet wird, dass der Value-at-Risk bei
diesem Konfidenzniveau überschritten ist.

ES (a )  E (L | L  VaR(a )) 
 aL f (L
) dL
 f (L
) dL
Im diskreten Fall enthält der Nenner die Summe der
Eintrittswahrscheinlichkeiten für Verluste, die größer als
der VaR sind.
VaR( )

VaR(a )
Erwarteter
Verlust
Unerwarteter
Verlust
Der Expected Shortfall ist ein
subadditives Risikomaß.
VaR
(99%)
ES
Verlust
(99%)
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Risikomaße
Expected Shortfall (Tail Conditional Expectation)
 Nachweis der Subadditivität für das Beispiel:
 Schuldner 1:
ES(95%) = (3% x 1 ) Mio Euro / (3%) = 1 Mio Euro.
 Schuldner 2:
ES(95%) = 1 Mio Euro
 Der Expected Shortfall für das Portfolio aus beiden Exposures beträgt
(0,0009 x 2) Mio EUR / (0,0009) = 2 Mio EUR <= (1 + 1) Mio ÉUR => Subadditivität ist erfüllt
ES(95%) für Schuldner 1
ES(95%) für Schuldner 2
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Risikomaße
Beispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung
 In einem Portfolio befinden sich zwei Exposures gegenüber Schuldnern, die unabhängig
voneinander ausfallen.
Exposure von Schuldner 1: EUR 10.500
Ausfallwahrscheinlichkeit 2,5%
Der LGD beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% einen Wert von 75% und mit
einer Wahrscheinlichkeit von 60% einen Wert von 30%.
Exposure von Schuldner 2: EUR 10.000
Ausfallwahrscheinlichkeit 2,0%
Der LGD beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% einen Wert von 80% und mit
einer Wahrscheinlichkeit von 60% einen Wert von 31,5%.
Berechnen Sie die Portfolioverlustverteilung, den erwarteten Verlust des Portfolios sowie
Value-at-Risk, unerwarteten Verlust und Expected Shortfall für die Konfidenzniveaus
99,0% und 99,95%.
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Risikomaße
Beispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung
Wahrscheinlichkeit 1
40,0%
2,5%
40,0%
2,5%
2,5%
60,0%
2,5%
60,0%
40,0%
2,5%
60,0%
2,5%
97,5%
97,5%
97,5%
Eintrittswahrscheinlichkeit
95,550%
2,640%
0,018%
0,980%
0,780%
0,012%
0,012%
0,008%
Wahrscheinlichkeit 2
40,0%
2,0%
60,0%
2,0%
2,0%
40,0%
2,0%
60,0%
98,0%
98,0%
40,0%
2,0%
60,0%
2,0%
98,0%
Summe:
kumulierte
Eintrittswahrscheinlichkeit
95,550%
98,190%
98,208%
99,188%
99,968%
99,980%
99,992%
100,000%
Eintrittswahrscheinlichkeit
0,008%
0,012%
0,012%
0,018%
0,980%
1,470%
0,780%
1,170%
95,550%
100,000%
Verlusthöhe
0
3.150
6.300
7.875
8.000
11.025
11.150
15.875
Summe:
Verlust
10.500 x 0,75 + 10.000 x 0,8 = 15.875
10.500 x 0,75 + 10.000 x 0,315 = 11.025
10.500 x 0,3 + 10.000 x 0,8 = 11.150
10.500 x 0,3 + 10.000 x 0,315 = 6.300
10.500 x 0,75 = 7.875
10.500 x 0,3 = 3.150
10.000 x 0,8 = 8.000
10.000 x 0,315 = 3.150
0
erwarteter
Verlust
0,00
83,16
1,13
77,18
62,40
1,32
1,34
1,27
227,8
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Risikomaße
Beispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung
 Der erwartete Verlust des Portfolios beträgt 227,8 Euro.
 Unerwarteter Portfolioverlust:
Schuldner 1:
Der mittlere LGD beträgt
0,40 x 0,75 + 0,60 x 0,30 = 48%
Die Varianz des LGD beträgt
sL2 = 40% x 0,272 + 60% x 0,182 = 0,0486
Der unerwartete Verlust beträgt damit
UL1  10.500  0,025  0,0486  0,48 2  0,025  0,975  867,8
Schuldner 2:
Der mittlere LGD beträgt
0,40 x 0,80 + 0,60 x 0,315 = 50,9%
Die Varianz des LGD beträgt
sL2 = 40% x 0,2912 + 60% x 0,1942 = 0,056454
Der unerwartete Verlust beträgt damit
UL 2  10.000  0,02  0,056454  0,509 2  0,02  0,98  787,8
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Risikomaße
Beispielhafte Berechnung aus der Verlustverteilung
 VaR(99%) = 7875 Euro.
 UL(99%) = (7875 – 227,8) Euro = 7647,8 Euro.
 ES (99%) = (62,4 + 1,32 + 1,34 + 1,27) / (0,78%+0,012%+0,012%+0,008%) Euro = 8168,7 Euro
 VaR(99,95%) = 8000 Euro.
 UL(99,95%) = (8000 – 227,8) Euro = 7772,2 Euro.
 ES(99,95%) = (1,32 + 1,34 + 1,27) /(0,012%+0,012%+0,008%) Euro = 12281,25 Euro
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
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Kreditrisikomodelle
Kausalmodell oder statistisches Modell?
Strukturelle Modelle
 Modellieren die ökonomische Ursache
des Kreditausfalls über den Firmenwert
(vgl. Kap. Ratings)
Reduzierte Modelle
 Modellieren den Ausfall statistisch (ggfs.
unter Anknüpfung an die Makroökonomie)
 Ausfallkorrelationen werden durch das
mikroökonomische Modell bestimmt
 Ausfallkorrelationen kommen über
gemeinsame (makroökonomische oder
latente) Einflussfaktoren zustande
 Generell anfälliger auf unplausible
Modellannahmen
 Generell anfälliger auf schlechte
Inputdaten
 Beispiele:
 Beispiele:
 CreditMetrics (JP Morgan)
 CreditRisk+ (Credit Suisse)
 PortfolioManager (KMV)
 CreditPortfolioView (McKinsey)
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
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Kreditrisikomodelle
Welche Ereignisse berücksichtigt das Kreditrisikomodell
Default-Mode
 Risiko des Ausfalls der Gegenpartei
 Betrachtetes Verlustereignis: Realisierter
Verlust
 Verlustereignis ist immer relevant
 Immer Modellieren die ökonomische
Ursache des Kreditausfalls über den
Firmenwert (vgl. Kap. Ratings)
 Buchverlust als tatsächlicher Verlust
Mark-to-Market
 Risiko einer Bonitätsverschlechterung
(Ratingverschlechterung) der Gegenpartei
 Betrachtetes Verlustereignis: Buchverlust
bei Marktbewertung
 Bei Marktbewertung ist Verlustereignis
immer relevant; bei Verwendung des
Buchwerts für die GuV (z.B. gemäßigtes
Niederstwertprinzip, Buy-and-Hold) ist
Verlustereignis nur relevant bei
Veräußerung vor Laufzeitende
 Übergang in den Default als eine
mögliche Ratingverschlechterung
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Risiko einer Einzelposition
PD-Rating
Rang
Credit Spread
Migrationswahrscheinlichkeit
Recovery Rate
bei Ausfall
Barwert
Neubewertung
Standardabweichung des Wertes der Einzelposition (abhängig von
den Wertveränderungen aufgrund möglicher Bonitätsverschlechterungen)
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: historische Übergangsmatrix als Input
Initialrating
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
AAA
90,81
0,70
0,09
0,02
0,03
0,00
0,22
0,00
Rating in einem Jahr (Übergangswahrscheinlichkeiten in %)
AA
A
BBB
BB
B
8,33
0,68
0,06
0,12
0,00
90,65
7,79
0,64
0,06
0,14
2,27
91,05
5,52
0,74
0,26
0,33
5,95
86,93
5,30
1,17
0,14
0,67
7,73
80,53
8,84
0,11
0,24
0,43
6,48
83,46
0,00
0,22
1,30
2,38
11,24
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
CCC
0,00
0,02
0,01
0,12
1,00
4,07
64,86
0,00
21
Default
0,00
0,00
0,06
0,18
1,06
5,20
19,79
100,00
Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Mögliche Ratingveränderungen eines Bonds
 Beispiel:
5-Jahres-Kuponbond
Kupon: 6%
Rating: BBB (Senior Unsecured)
Nominalbetrag: 100
Mögliche Ratings des Bonds in einem Jahr:
BBB
AAA
0,02%
AA
0,33%
A
5,95%
BBB
86,93%
BB
5,30%
B
1,17%
CCC
0,12%
Default
0,18%
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Historische Recovery Rates als Input
Seniority Class
Senior Secured
Senior Unsecured
Senior Subordinated
Subordinated
Junior Subordinated
Erwartungswert (%)
Standardabweichung (%)
53,80
26,86
51,13
25,45
38,52
23,81
32,74
20,18
17,09
10,90
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Wertverteilung einer einzigen Position nach einem Jahr
Aktuelles Rating
8 mögliche Zustände
BBB
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Default
0,02%
0,33%
5,95%
86,93%
5,30%
1,17%
0,12%
0,18%
109,35
109,17
108,64
107,53
102,01
98,09
83,63
51,13
in einem Jahr
WahrscheinLichkeiten
Bondwert
(aufgrund
Forward Rate)
E = 107,09
s = 2,99
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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Berücksichtigung von Korrelationen
 Für die Ermittlung der Ausfallkorrelationen werden Korrelationen von Aktienrenditen
herangezogen.
 Die Veränderungen des Aktienrenditen werden als normalverteilt angenommen.
Stochastische Aktienrendite
ZD
ZCCC ZB
ZBB
-2,91
-2,75 -2,18
-1,49
ZBBB
ZA
ZAA
-1,53
2,70
3,54
 Gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit zweier Schuldner
2, 91 2, 91
ZDefault(A) ZDefault(B)
E(1A 1B ) 


 f(x

A
; xB ;η)dx A dxB 
  f(x

A
; xB ;  )dx A dxB

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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Berücksichtigung von Korrelationen
 Wirkung der Korrelation auf die gemeinsame Ausfallwahrscheinlichkeit
  = 0:
0,0018 x 0,0018 = 0,00000324
  = 1:
0,0018
  = 0,5:
0,000122 = 0,066 x 0,18% x 99,82% + 0,18% x 0,18%
 Ausfallkorrelation:
  = 0,5
=>
AB = 0,066
  = 0,915
=>
AB = 0,5
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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Modellübersicht
Benutzerportfolio
Marktvolatilitäten
Exposure-Verteilung
PD-Rating
Rang
Credit Spread
Migrationswahrscheinlichkeit
Recovery Rate
bei Ausfall
Barwert
Neubewertung
Standardabweichung des Wertes der Einzelposition (abhängig von
den Wertveränderungen aufgrund möglicher Bonitätsverschlechterun
gen)
Ratingdaten,
Aktienkurse, Indizes
Modelle
Gemeinsame
Verteilung
Value-at-Risk des Portfolios aufgrund von Kreditrisiken
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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Berechnung des Credit Value-at-Risk mit Monte-Carlo-Simulation
1.
Simulation von N multivariat standardnormalverteilten Zufallsvariablen mit der
richtigen Korrelation
2.
Für jedes der N Instrumente im Portfolio:
1.
Ablesen des Ratings gemäß Z-Werten
2.
Einsetzen der Forward-Bewertung gemäß Rating
3.
Wenn Default: Simulation der Recovery Rate gemäß Seniority aus einer BetaVerteilung mit dem historischen Erwartungswert und der historischen
Standardabweichung
3.
Wiederholung der obigen Schritte (z.B. 10000mal)
4.
Sortieren und Ablesen des Value-at-Risk
Kreditrisikomanagement und Ratingverfahren, WS 2007/2008, Dr. G. Knöchlein
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Kreditrisikomodelle
CreditMetrics: Bemerkungen

Annahme: Korrelation der Aktienrenditen ist gleich Korrelation der
Firmenwertveränderungen (=> Kap. Rating: Firmenwertmodell)

Behandlung des Exposures:

Expected Exposure

Angenommen als extern berechnet

Aufwändige Berechnung

Geeignet vor allem für gehandelte Positionen (Bonds), weniger für Buchkredite
(insbes. Retail)
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Kreditrisikomodelle
CreditRisk+: Modellübersicht
Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit
PD-Rating
Rang
Exposure
Ausfall
wahrscheinlichkeit
Recovery Rate
bei Ausfall
Nettoexposure
Sektorenaufteilung
Für Korrelationen
Erwarteter Verlust des Portfolios
Value-at-Risk des Portfolios
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Kreditrisikomodelle
CreditRisk+: Modellannahmen

Default-Mode Modell

Versicherungsmathematisch (ohne mikroökonomische Moldellierung)

Anzahl der Ausfälle ~ Poisson(l)
λnexp( λ)
P(n) 
;n  0,1,2 
n!



Problem der Overdispersion

Poisson: Erwartungswert = Wurzel aus der Varianz

Empirisch: Erwartungswert < Wurzel aus der Varianz

Poisson unterschätzt deshalb den Value-at-Risk
Erweiterung:

l ist selbst stochastisch: l ~ Gamma

Daraus folgt: Anzahl der Ausfälle ~ Negativ Binomial
Erwartete Recovery wird vom Exposure abgezogen
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Kreditrisikomodelle
CreditRisk+: Berechnung des Value-at-Risk

Analytische Berechnung der Wahrscheinlichkeit, keinen Verlust zu erleiden

Rekursionsbeziehung für n Verluste (Panjer-Rekursion)

Leichte, performante Implementierung möglich

Sektorstruktur für Modellierung systematischer Hintergrundfaktoren

Jeder Kredit wird auf orthogonale Sektoren aufgeteilt gemäß den wirtschaftlichen
Hintergrundfaktoren, die seine Bonität beeinflussen

Sektoren sind systematische Hintergrundfaktoren

1 idiosynkratischer Sektor für das nicht systematische Risiko

Auswirkungen der Sektorkonzentrationen auf Value-at-Risk und
Ausfallkorrelationen
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Kreditrisikomodelle
CreditRisk+: Beispiel für Sektoraufteilung
Kredit X
30%
30%
10%
Europa
Asien
30%
Energie
20%
Ernährung
35%
...
Idiosynkratischer
Sektor
45%
Kredit Y
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Kreditrisikomodelle
CreditRisk+: Auswirkung der Sektoraufteilung

Beispiel: Portfolio von 25 identischen Krediten, 3 Sektoren mit systematischem Risiko
a)
Alle Kredite in einem Sektor
b)
3 Sektoren, alle Kredite sind zu 100% in genau einem Sektor
c)
3 Sektoren, alle Kredite sind in alle drei Sektoren aufgeteilt
a)
b)
c)
Erwartungswert
14,2 Mio
14,2 Mio
14,2 Mio
VaR(99%)
55,3 Mio
49,9 Mio
47,4 Mio
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Kreditrisikomodelle
CreditRisk+: Anmerkungen

Keine Annahmen bezüglich Ausfallursache

Einbezug der Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit

Gut skalierbar

Effiziente analytische Berechnung auf dem Computer

Geringe Datenanforderungen

Modellerweiterung auf stochastische Recovery Rates möglich
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