Physik 2
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Modul Physik II:
Thermodynamik und
Elektromagnetismus
Prof. Dr. G. Münster, Prof. Dr. H. Zacharias
SS 2010
Kurzskriptum
zusammengestellt von M. Bengfort
Dieses Kurzskriptum beinhaltet eine knappe Zusammenstellung von Inhalten der Vorlesung Physik II. Hinweise auf Fehler sind willkommen.
SS 2010
2
Inhaltsverzeichnis
1 Thermodynamik
1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kinetische Gastheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie . . .
1.2.2 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Maxwell-Boltzmann-Verteilung . . . . . . . . .
1.3 Wärmemenge und spezifische Wärme . . . . . . . . . .
1.3.1 Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Hauptsätze der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Thermodynamische Potenziale . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Innere Energie als thermodynamisches Potenzial
1.5.2 Legendre-Transformation . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Maxwell-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Thermodynamische Systeme mit verschiedenen Phasen
1.6.1 Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Joule-Thomson-Effekt . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Wärmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Wärmeisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Elektromagnetismus
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum . . . . . . . . . .
2.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Maxwell’sche Gleichungen der Elektrostatik
2.1.6 Punktladungen und δ-Funktion . . . . . . .
2.1.7 Einfache elektrostatische Probleme . . . . .
2.1.8 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 Der Kondensator . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . .
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld . . . . . . . . . . .
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36
Inhaltsverzeichnis
2.3
2.4
2.5
2.2.1 Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik in Materie . . . .
2.2.2 Molekulare Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Grundproblem und Randwertprobleme der Elektrostatik
Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Ladungstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Ohm’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes .
2.3.5 Elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Gleichstrom-Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . .
2.4.3 Vektorpotenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Magnetische Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Materie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitlich veränderliche Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Faraday’sches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Maxwell-Gleichungen und Feldenergie . . . . . . . . . . .
3 Ergänzungen
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50
51
51
53
55
55
55
57
59
4
1 Thermodynamik
1.1 Grundbegriffe
Zustand: augenblickliche Beschaffenheit eines physikalischen Systems
Zustandsgrößen: ai
extensiv (mengenproportional): V , N , n, M
intensiv (mengenunabhängig): p, T , ρ = M
V
Systeme :
geschlossen: kein Teilchenaustausch
isoliert:
keine Kontakte
offen:
beliebige Kontakte
Kontakte :
thermischer Kontakt
(Austausch einer Wärmemenge ∆Q; infinitesimal: δQ)
→ thermisches Gleichgewicht: T1 = T2
Arbeitsaustausch: Arbeit, die am System verrichtet wird; für Gase: δW = −pdV
Teilchenaustausch: δN
Wärmekontakt:
Thermodynamischer Zustand: festgelegt durch Angabe der Zustandsgrößen
Gas: {ai } = {p, V, T }
dai
= 0 ∀ ai
dt
Zustandsgleichung: Zusammenhang zwischen ai
ideales Gas: pV = N kT
N : Teilchenzahl
k = 1, 38 · 10−23 KJ : Boltzmannkonstante
thermodynamisches Gleichgewicht:
pV − N kT = 0
F (ai ) = F (p, V, T ) = 0
ideales Gas: Zustandsraum 3-dimensional, Koordinaten p, V, T
Zustandsfläche F : 2-dimensional
Molvolumen: Vm = 22, 41 l (T = 273, 15 K, p = 101325 Pa)
NA = 6, 022 · 1023 Teilchen
Mol
ideales Gas (bezogen auf 1 Mol): pV = RT
R = NA k = 8, 31JK−1 Mol−1
allgemeine Gaskonstante
1.2 Kinetische Gastheorie
Arbeit: dW = −F ds = −pA ·
= −p dV
dV
A
Wärmekapazität: δQ = CdT
spezifische Wärmen: cV =
1
C ,
M V
cp =
⇒W =−
R V2
V1
p dV
1
C
M p
⇒ δQ = M cp dT ,
bzw. δQ = M cV dT
Zustandsänderungen, Prozesse :
quasistatisch:
reversibel:
irreversibel:
adiabatisch:
isotherm:
so langsam, dass Gleichgewichtszustände durchgeführt werden
umkehrbar (System + Umgebung)
nicht umkehrbar
δQ = 0
dT = 0
1.2 Kinetische Gastheorie
Ziel: Begründung der Gasgleichung aus der Bewegung der Moleküle
Voraussetzungen:
• Gas besteht aus Molekülen/Atomen
• elastische Stöße
• vernachlässigbare Wechselwirkung
• ungeordnete Bewegung
1.2.1 Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
einatomiges Gas in Volumen V, ρN =
N
V
Impulsübertrag pro Stoß an Wand: 2 · px (Reflexion)
Zahl der Stöße in ∆t:
1
ρ
2 N
Kraft= Impulsübertrag
:
Zeit
F = ρN vx px A
Druck:
p=
F
A
· vx · A
= ρN hvx px i = ρN hvy py i = ρN hvz pz i = ρN 13 h~v · p~i
⇒ pV = 31 N h~p · ~v i
⇒ Grundgleichung:
2
pV = N hEkin i
3
1.2.2 Temperatur
kinetische Gastheorie:
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1
3
hEkin i = mv 2 = kT
2
2
6
1.2 Kinetische Gastheorie
Maßstäbe für die Temperatur: Thermometer
→ temperaturabhängige, physikalische Effekte
Effekte z.B.:
Volumenänderungen mit T :
V (T ) = V0 (1 + γV TC )
p (T ) = p0 (1 + γp TC )
hier: T = absolute Temperatur, TC = Temperatur auf der Celsius-Skala
p0 V0 = N kT0 , pV = N kT
⇒ p = p0 VV0 · TT0 (V = V0 : Volumen wurde konstant gehalten)
y p = p0 TT0
T = T0 (1 + γp TC )
T0
TC
T = T0 + 273,15
y T0 = 273, 15 und
TC = T − 273, 15
Längenausdehnung mit T :
l (T ) = l0 (1 + αTC )
α = α (T ) (nur etwa 10 − 20%/100K
isotrope Körper: αx = αy = αz
Volumenänderung:
V (T ) = V0 (1 + αTC )3
V (T ) ≈ V0 (1 + 3αC T )
⇒ γ ≈ 3α für isotrope Festkörper
Temperaturskalen
1. Celsius-Skala
Fixpunkte:
Tripel-Punkt des Wassers: 0.01°C
Siedepunkt des Wassers bei 1 bar: 100°C
2. Fahrenheit-Skala
Fixpunkte:
Schmelzpunkt von Ammoniumchlorid/Wasser: 0°F
Körpertemperatur des Menschen: 100°F=37,7°C
ˆ
3. Kelvin
Fixpunkt: 0°K =
ˆ − 273, 15°C
Skalenweite identisch mit Celsius-Skala
Umrechnung: TC = 59 (TF − 32) °C, TF =
9
T
5 C
+ 32 °F
1.2.3 Maxwell-Boltzmann-Verteilung
p(~r, ~v ) Wahrscheinlichkeitsdichte, dass sich ein Teichen mit Geschwindigkeit ~v am Ort ~r
befindet.
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7
1.3 Wärmemenge und spezifische Wärme
Abbildung 1.1: Dewar-Gefäß zur thermischen Isolierung
Maxwell-Boltzmann-Verteilung
1 E
p(~r, ~v ) = e− kT ,
ξ
mitE =
m 2
v + V (~r)
2
speziell: Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung (V (~r) = 0)
mv 2
Z
F (~v ) = c · e− 2kT ;
m
⇒ F (~v ) =
2πkT
3
2
F (~v )d3 v = 1
mv 2
e− 2kT
Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung
Z
F (~v )d v =
3
Z∞
4πv 2 F (~v )dv
0
⇒ Verteilung von v: f (v) = 4πv 2 F (~v )
m
f (v) = 4π
2πkT
3
2
mv 2
v 2 e− 2kT
1.3 Wärmemenge und spezifische Wärme
Wärmemenge:
∆Q = c · m∆T
m: Masse des Körpers, c: spezifische Wärme (Materialkonstante)
Wärmekapazität: C = c · m
Wärmekapazitäten werden mit Kalorimetern (Abb.: 1.1) gemessen.
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8
1.3 Wärmemenge und spezifische Wärme
Zwei Körper unterschiedlicher Temperatur, welche in Kontakt stehen, streben einem thermodyn. Gleichgewicht zu
T1 < T2 → T1 < T < T2
spezifische Wärme des Körpers:
ck =
(mw cw + CDewar )(T − Tw )
mk (Tk − T )
(mk ,mw : Masse des Körpers bzw. des Wassers; Tk ,Tw : Temperatur des Körpers bzw. des
Wassers)
für Wasser wurde definiert: cw = 1 kcal kg−1 K−1 = 4, 182 kJ kg−1 K−1
−T
− m1 c1 (ermittelt durch Mischen von Wasser unterschiedlicher TemCDewar = c2 m2 TT2−T
1
peratur T1 , T2 )
1.3.1 Freiheitsgrade
ideales Gas:
innere Energie U = 21 N kT · f (siehe kin. Gastheorie)
atomares Gas (z.B. He, Ne,...): ftrans = 3 (Translation)
molekulares Gas:
Rotation, Schwingung
2
Rotation:
lineare Moleküle: Erot = L2I ⇒ frot = 2
nichtlineares Molekül (z.B. H2 O): frot = 3
Schwingung: n-atomige Moleküle: 3n − ftrans − frot = fvib
innere Energie der Schwingung: Uvib = 2 · 12 N kT · fvib
insgesamt: fef f = ftrans + frot + 2fvib ⇒ U = 12 N kT · fef f
dU
dT
!
V
1
= CV = N k · fef f
2
Cp = 12 (fef f + 2)R
Adiabatenindex des Gases:
κ≡
Cp
fef f + 2
=
CV
fef f
Spezifische Wärme von Festkörpern
Schwingungsfreiheitsgrade: fvib = 3
3
N kT trägt zu U bei, wenn alle Schwingungen im System angeregt sind.
2
quasi-kontinuierliche Verteilung von Energieniveaus ⇒PHONONEN
verschiedene Näherungen zur Beschreibung der Schwingungsanregung: Einstein, Debye,. . .
⇒ Festkörperphysik
bei hohen T :
Es ergibt sich für die spezifische Wärme das Dulong-Petit Gesetz:
CV = 3N k = 3R (für 1 Mol)
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1.4 Hauptsätze der Thermodynamik
CV ist temperaturunabhängig bei hohen T .
bei tiefen T :
aus dem Debye-Modell mit ωmax = ωD erhält man für die innere Energie
ΘD
U = 9N kT
T
ΘD
3 ZT
0
z3
dz
ez − 1
~ω
mit der Debye-Temperatur: ΘD = ~ωkD und
z = kT
R
4
Für T → 0 gilt · · · = π15 . Mit CV = ∂U
folgt:
∂T
V
T
12
CV (T → 0) ∼ π 4 N k
5
ΘD
3
Die Debye-Temperatur ΘD ist eine Materialkonstante
1.4 Hauptsätze der Thermodynamik
1.4.1 Erster Hauptsatz
Wärme als Energieform
Zustandsänderungen hier: quasistatisch (Durchlaufen von Gleichgewichtszuständen), i.A.
reversibel
geschlossenes System (N = 0)
1. Wärmeaustausch ∆U = ∆Q
2. Arbeit ∆U = ∆W
Erster Hauptsatz
∆U = ∆Q + ∆W
differenziell: dU = δQ + δW
spez. für Gase: dU = δQ − pdV
Bemerkung: Arbeit und Wärme sind keine Zustandsfunktionen→ δ
Mechanisches Wärmeäquivalent: 1 cal ≡ 4,1868 J (1 calIT )
Molwärmen des idealen Gases
• V = const. → ∆U = ∆Q = CV ∆T
ideales Gas: U hängt nur von T ab. (Exp. von Gay-Lussac)
U ∼ RT ⇒ dU = CV dT gilt für alle Prozesse
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1.4 Hauptsätze der Thermodynamik
• p = const. → ∆Q = Cp ∆T (def.)
mit 1.HS gilt: ∆Q = ∆U + p∆V = CV ∆T + p∆V = CV ∆T + nR∆T ≡ Cp ∆T
⇒ Cp = CV + nR bzw. Cp = CV + N k
speziell für 1 Mol:
Cp,m = CV,m + R
adiabatische Zustandsänderung:
dQ = 0
dU = CV dT = −p · dV
ideales Gas: p · V = N kT
N k = Cp − CV
dV
dT
= −N k
T
V
C
ln
T
=
−N
k
ln
V + const.
V
CV
Nk
ln T · V
= const.
CV
T CV · V Cp −CV
= const.
Adiabatengleichungen:
T · V κ−1 = const.
p · V κ = const.
Zustandsänderungen des idealen Gases
• adiabatisch(isentropisch): ∆Q = 0
⇒ pV κ = const. bzw. T V κ−1 = const.
∆W = ∆U = CV (T2 − T1 ) = CnRV (p2 V2 − p1 V1 )
• isotherm: T = const. → pV = const. (Boyle-Mariotte’sches Gesetz)
U = const.
R
R
dV = −nRT ln VV21
∆W = − pdV = − VV12 nRT
V
∆Q = −∆W = nRT ln VV12
• isobar: p = const. → ∆W = −p(V2 − V1 ), ∆Q ≡ Cp (T2 − T1 ) =
• isochor: V = const. → ∆W = 0, ∆Q ≡ CV (T2 − T1 ) =
CV
V
nR
Cp
p(V2
nR
− V1 )
(p2 − p1 )
1.4.2 Zweiter Hauptsatz
Carnot-Prozess
Kreisprozess: Anfangszustand=Endzustand
(periodisch arbeitende Maschine)
H
∆U = 0, ∆W = − pdV = im p-V -Diagram eingeschlossene Fläche
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1.4 Hauptsätze der Thermodynamik
Abbildung 1.2: p-V -Diagramm des Carnot-Prozesses
Carnot-Prozess: spezieller reversibler Kreisprozess; Arbeitssubstanz: ideales Gas
• a→b: isotherme Expansion; Q1 = nRT1 ln VVab > 0 (aufgenommene Wärme |Q1 |)
• b→c: adiabatische Expansion; Q2 = 0, T1 Vbκ−1 = T2 Vcκ−1
• c→d: isotherme Kompression; Q3 = nRT2 ln VVdc < 0 (abgegebene Wärme |Q3 |)
• d→a: adiabatische Kompression; Q4 = 0, T2 Vdκ−1 = T1 Vaκ−1
Nebenrechnung:
T1 Vaκ−1
T2 Vdκ−1
=
T2 Vcκ−1
T1 Vbκ−1
Vc
Vb
⇒
=
Vd
Va
Vb
<0
⇒ Q3 = −nRT2 ln
Va
Bilanz: ∆U = 0; W = −Q = −Q1 − Q3 = −nR(T1 − T2 ) ln VVab < 0
Wirkungsgrad:
W
|Q3 |
=1−
; 0≤η<1
Q1
Q1
T1 − T2
T2
Carnot’scher Wirkungsgrad: ηc =
=1−
T1
T1
allgemein:
Leistungszahl: =
η≡−
1
η
Zweiter Hauptsatz
Nach Thomson:
Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nichts anderes bewirkt, als
einem Wärmereservoir Wärme zu entziehen und vollständig in Wärme umzuwandeln.
(Unmöglichkeit eines perpetuum mobile 2.Art)
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12
1.4 Hauptsätze der Thermodynamik
Nach Clausius:
Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nichts anderes bewirkt, als
einem kälteren Wärmereservoir Wärme zu entziehen und diese einem heißeren
Wärmereservoir zuzuführen.
Die beiden Formulierungen sind äquivalent.
Reversibler Wirkungsgrad
Kreisprozess:
Umkehrung=Wärmepumpe
Carnot’scher Satz (1824)
Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine, die zwischen zwei Reservoirs
mit den Temperaturen T1 > T2 arbeitet, kann nicht größer sein als derjenige
einer reversibel arbeitenden Wärmekraftmaschine. (ηx ≤ ηrev )
Korollar:
Alle reversibel arbeitenden Wärmekraftmaschinen besitzen den gleichen universellen Wirkungsgrad ηc = 1 − TT12 .
Thermodynamische Temperaturskala
benutze ηc zur Definition einer universellen, substanzunabhängigen Temperaturskala.
W. Thomson (Lord Kelvin) 1824-1907
Def.: TT12 durch ηc ≡ 1 − TT12
absolute Skala: Festlegung durch H2 O am Tripelpunkt: T = 273, 16 K
Thermodynamische Maschinen
• Kolbenmaschinen
• Strömungsmaschinen
• Wärmekraftmaschinen
Kühlmaschine: k = QWzu
Wärmepumpe: w = |QWab | (Nutzen)
Beispiel
Otto-Motor (Kolbenmaschine):
• 1-2): adiabatische Kompression; Kompressionsverhältnis:
V1
V2
∼ 8 − 12
• 2-3): isochore Wärmezufuhr; Zünden des Treibstoffes
SS 2010
13
1.4 Hauptsätze der Thermodynamik
• 3-4): adiabatische Expansion
• 4-1): isochore Druckerniedrigung; Ausstoß von Abgasen
Wirkungsgrad: ηOtto = 1 −
V2
V1
κ−1
< ηc da nicht reversibel
Stirling-Motor (Heißluftmotor):
• 2 Isothermen, 2 Isochoren
• Wirkungsgrad nahezu der eines Carnot-Prozesses (nur mit Wärmerückgewinnung)
Entropie
Im Carnot-Prozess gilt: QT11 + QT22 = 0 (Bezeichnung wie in obiger Abbildung; Q2 hieß
weiter oben Q3 )
Q2
≤ 1 − TT21
Für beliebige Wärmekraftmaschinen gilt: η = 1 + Q
1
⇒ QT11 + QT22 ≤ 0
Verallgemeinerung:
• für beliebige, quasistatische Kreisprozesse gilt: δQ
≤0
T
(Kreisprozess wird durch viele Carnot-Prozesse approximiert)
H
•
H δQ
T
= 0 für reversible Kreisprozesse
reversible Prozesse
Seien C1 und
C zwei Rverschiedene Wege im p-V -Diagramm vom Punkt A zum Punkt B.
R B 2δQ
B
δQ
(Das Integral ist wegunabhängig)
Dann gilt: A,C1 T = A,C
2 T
Definition der Entropie (Clausius, 1865):
Sei X0 ein fest gewählter Zustand. Für einen beliebigen Zustand X gilt:
S(X) =
ZX
X0
δQrev
T
wobei das Integral über einen reversiblen Prozess geht. (S ist eine Zustandsfunktion)
Eigenschaften:
• S ist extensiv
• Für einen beliebigen Prozess von X nach Y gilt: XY δQ
≤ S(Y ) − S(X) (’=’ für
T
reversible Prozesse)
Man schreibt als weitere Formulierung des 2. Hauptsatzes:
R
δQ
≤ dS
T
• Für thermisch isolierte Systeme kann die Entropie niemals abnehmen.
• Der zweite Hauptsatz zeichnet eine Zeitrichtung aus.
SS 2010
14
1.4 Hauptsätze der Thermodynamik
• Die Entropie eines isolierten Systems ist maximal im Gleichgewichtszustand.
• Entropie im Carnot-Prozess
S1 = QT11 ; S2 = QT22 < 0; S1 + S2 = 0
Entropie des idealen Gases
pV = nRT
klassisches ideales Gas: U = CV · T + U0 , CV und U0 sind const.
Variablen: T, V
dU = δQ − p dV
δQ = dU + p dV
= CV dT + p dV
dS =
δQ
T
p
dT
+ dV
T
T
dT
dV
= CV
+ nR
T
V
= CV
S (T, V ) = S (T0 , V0 ) +
ZV
V0
T
nR 0 Z CV
dV +
dT 0
V0
T0
T0
V
T
= S (T0 , V0 ) + nR ln
+ CV ln
V0
T0
Statische Interpretation der Entropie
Boltzmann: S = kB ln W
mit: W = Anzahl der Mikrozustände
Makrozustand ↔ thermodynamischer Zustand mit wenigen Variablen
Mikrozustand ↔ atomare Beschreibung mit vielen Variablen ∼ 1024
ein Makrozustand ↔ sehr viele Mikrozustände (Anzahl≡ W extrem groß)
ln W handhabbar
S groß: ungeordnet
S klein: geordnet
Beispiel: Gas im Volumen V1 bzw. V2 = 2V1 , N Teilchen,
W2
W2
≈ 2N ⇒ S2 − S1 = kB (ln W2 − ln W1 ) = kB ln
≈ kN ln 2 = nR ln 2,
W1
W1
gemäß obigem Ausdruck für S(T, V ): S2 − S1 = nR ln VV = nR ln 2, stimmt überein
2
SS 2010
15
1.5 Thermodynamische Potenziale
1.5 Thermodynamische Potenziale
1.5.1 Innere Energie als thermodynamisches Potenzial
1. HS + 2. HS, reversibel
dU = T dS − p dV
Grundrelation für Gase
allg.: dU = T dS + δA + j µj dNj
betrachte U als Funktion von S, V (N fest)
Funktionen der Art f (x, y) → df = ∂f
dx +
∂x
P
⇒
∂U
∂S
∂f
dy
∂y
!
∂U
∂V
= T,
V,N
!
= −p
S,N
d.h.: gegeben U (S, V ) → p, T als Ableitungen →Zustandsgleichung
Alle Informationen stecken in U (S, V ) abhängig von den natürlichen Variablen.
Wahl anderer Variablen möglich? ⇒thermodynamische Potenziale
1.5.2 Legendre-Transformation
Allgemein
f (x)
f 0 (x) = u (x)
Verwende u
F (u) = f (x (u))?
Beziehung f 8 F
Beispiel
f (x) = x2
0
f (x) = 2x = u (x)
anstelle von x?
x (u) = u2
F (u) = 14 u2
nicht eindeutig
Gesucht: eineindeutige, umkehrbare Transformation, bei der die Variable x durch die
Variable u = f 0 (x) ersetzt wird.
Lösung: Legendre-Transformation
g(u) = f (x(u)) − u · x(u) = f (x) −
df
·x
dx
dg
df dx
dx
=
−x−u
= −x
du
dx du
du
⇒ dg = d(f − ux) = df − x du − u dx = −x du
|{z}
u dx
Umkehrung: f (x) = g(u) −
dg
·u
du
Nutze Legendre-Transformation:
SS 2010
16
1.5 Thermodynamische Potenziale
Freie Energie F (T, V, N ):
F = U − TS
dF = dU − T dS − SdT = −pdV − SdT
∂F
∂T
!
∂F
∂V
!
= −S
V,N
= −p
T,N
Enthalpie H(S, p, N ):
H = U + pV
dH = T dS + V dp
∂H
∂S
!
∂H
∂p
!
=T
p,N
=V
S,N
Freie Enthalpie bzw. Gibbs’sches Potential G(T, p, N ):
G = U − T S + pV
dG = −SdT + V dp
∂G
∂T
!
∂G
∂p
!
= −S
p,N
=V
T,N
Entropie S(U, V, N ):
1
p
dU + dV
T
T
!
∂S
1
=
∂U V,N
T
dS =
∂S
∂V
SS 2010
!
=
U,N
p
T
17
1.5 Thermodynamische Potenziale
Abbildung 1.3: Thermodynamisches Viereck
Physikalische Bedeutung:
i) Freie Energie:
Grundrelation −δW ≤ −dU + T dS
für isotherme Prozesse: −∆W ≤ −∆F
(−∆W ist die vom System geleistete Arbeit)
⇒ Die Differenz der freien Energie −∆F ist die maximale Arbeit,
die ein System bei isothermer Zustandsänderung abgeben kann.
Folgerung: für mechanisch isoliertes System (∆W = 0) mit konstanter Temperatur
⇒ F kann nicht zunehmen: ∆F ≤ 0 für T , V , N =const.
Im Gleichgewicht nimmt F bei T , V , N =const. ein Minimum an.
ii) Freie Enthalpie:
für T , p, N =const.: dG = d(F + pV ) ≤ 0
Für ein solches System nimmt G im Gleichgewicht ein Minimum an.
Extremaleigenschaften:
1. thermisch abgeschlossen: S(U, V, N ) maximal
2. mechanisch isoliert, isotherm (T , V , N =const.): F (T, V, N ) minimal
3. isobar, isotherm: G(T, p, N ) minimal
4. mechanisch isoliert, isentropisch (S, V , N =const.): U (S, V, N ) minimal
5. isobar, isentropisch (S, p, N =const.): H(S, p, N ) minimal
1.5.3 Maxwell-Relationen
∂U
= T,
∂S
SS 2010
∂U
= −p ;
∂V
∂ 2U
∂ 2U
=
∂V ∂S
∂S∂V
18
1.6 Thermodynamische Systeme mit verschiedenen Phasen
⇒ Beziehungen zwischen Antwortkoeffizienten:
−
∂T
∂V
!
∂S
∂V
!
∂S
∂p
!
∂T
∂p
!
S,N
!
∂p
=−
∂S
=
T,N
=
T,N
=
S,N
V,N
∂p
∂T
!
∂V
∂T
!
∂V
∂S
!
V,N
p,N
p,N
Anwendung auf folgende Antwortkoeffizienten:
• CV = T
• κT = − V1
• α=
1
V
• β=
1
p
∂S
;
∂T V
∂V
∂T
∂p
∂T
Cp = T
∂S
∂T p
∂V
∂p
(Ausdehnungskoeff.)
p
V
T
; κS = − V1
∂V
∂p
S
(Kompressibilität)
(Spannungskoeff.)
Relationen:
pβκT
= 1 (Grüneisen-Beziehung)
1.
α
α2
2. Cp − CV = T V
κT
Cp
κT
3.
=
CV
κS
Zum Beweis nutze folgende Rechenregel für partielle Ableitungen:
für Variablen
!
! x, y und
! z, die durch f (x, y, z) = 0 verknüpft sind, gilt
∂x
∂y
∂z
= −1
∂y z ∂z x ∂x y
1.6 Thermodynamische Systeme mit verschiedenen
Phasen
1.6.1 Reale Gase
Bisher vernachlässigt:
1. Wechselwirkung der Teilchen untereinander
2. endliches Volumen der Teilchen
Diese Größen sind von der Gasart abhängig.
SS 2010
19
1.6 Thermodynamische Systeme mit verschiedenen Phasen
Zu 1.: Elektrostatische Wechselwirkung der Atome untereinander:
Atome können als elektrische Dipole im elektrischen Feld anderer Atome betrachtet werden. (positiver Kern, negative Elektronenhülle)
Betrachte zwei Atome:
potentielle Energie: Vpot = −µ2 E = −αE 2 ; µi : Dipolmoment des i-ten Atoms, α: Polari1 2µ1
sierbarkeit, E = 4π
3 : elektrisches Feld
0 r
⇒ Van der Waals Anziehung ∼ r16
repulsive Wechselwirkung bei überlappenden Elektronenhüllen ∼ r112
Lennard-Jones Potenzial:
aLJ
bLJ
V (r) = 12 − 6
r
r
aLJ ,bLJ sind Teilcheneigenschaften
„Binnendruck“ pbi aus der attraktiven Wechselwirkung
pbi ∼ ρ2 ∼ V12
⇒ pideal → p + pbi → p + Va2
Zu 2. Eigenvolumen:
Betrachte Atome als „harte Kugeln“: Volumen welches bei Vorhandensein eines Moleküls
nicht mehr besetzt werden kann: b = N · 4 · Vmolekül
⇒ Videal → V − b
Zustandsgleichung realer Gase (van der Waals’sche Gleichung):
!
a
p + 2 (Vm − b) = RT
Vm
a, b sind stoffspezifische Konstanten
(pVm ) nimmt daher mit p linear ab.
Bei hohen T : B → b
→ p(Vm − b) = RT kritischer Punkt (Pk ,Tk ,Vk ) von Stoffart abhängig
∂p
mit b = 13 Vmk und a = 89 RTk Vmk (folgt aus ∂V
= 0 und
T
verallgemeinerte van der Waals-Gleichung:
∂2p
∂V 2 T
= 0) folgt die
p
3
V
T
+ V 2 3 − 1 = 8
pk ( Vk )
Vk
Tk
1.6.2 Phasenumwandlungen
Phase: Räumlich begrenztes Gebiet mit den selben System-Eigenschaften.
Phasenübergang ist mit Energieaufwand verbunden (reversibel).
Beispiel:
spezifische Schmelzwärme von Eis: ∆HS =
Schmelzenthalpie ∆HS
Verdampfungsenthalpie ∆HV
SS 2010
Q
M
=
zugefügte Wärmemenge
Masse des geschmolzenen Eises
= 335 Jg
20
1.7 Wärmetransport
1.6.3 Joule-Thomson-Effekt
Technische Anwendung: Gasverflüssigung
U2 − U1
U1 + p1 V1
H1
⇒ dH
= p1 V1 − p2 V2
= U 2 + p2 V 2
= H2
= T dS + V dp = 0
dH = T
∂S
∂T
!
dT + T
p
= Cp dT − T
⇒
∂T
∂p
!
=
T
∂V
∂T
H
p
Cp
−V
∂S
∂p
∂V
∂T
=: µJT
!
dp + V dp
T
!
dp + V dp
p
Joule-Thomson Koeffizient
Für ein ideales Gas (pV = RT ) folgt: µJT = 0
Für ein reales Gas (pV = RT + Bp) folgt mit B = b −
a
:
RT
µJT =
2a
RT
−b
Cp
• µJT > 0: ∆p < 0 ⇒ ∆T < 0 bei Druckabnahme erniedrigt sich T
• µJT < 0: ∆p < 0 ⇒ ∆T > 0
µJT ist temperaturabhängig; oberhalb einer Inversionstemperatur Ti =
sich das Gas bevor es sich abkühlt. (T < Ti → µJT > 0)
2a
Rb
erwärmt
1.7 Wärmetransport
• Konvektion
• Strahlung
• Wärmeleitung
SS 2010
21
1.7 Wärmetransport
1.7.1 Wärmeleitungsgleichung
∆T = T2 − T1 6= 0
Wärmestrom Q̇ = dQ
durch Querschnitt A
dt
Nach langer Zeit erreicht das System einen stationären Zustand.
Fourier’sches Gesetz (1822)
∆T
Q̇ = −λA
L
W
λ ist die Wärmeleitfähigkeit des Materials (λ[ mK ]).
Verallgemeinerungen
dT
dx
Q̇
dT
• Wärmestromdichte q :=
= −λ
A
dx
• räumlich (für isotrope Körper)
• nichtstationär: Q̇ = −λA
~q = −λ∇T
Ausbreitung der Wärme
dQ
= −∇ · ~q
dV dt
dT
= −∇ · ~q
dt
Mit ~q = −λ∇T und λ = const. folgt die Wärmeleitungsgleichung:
mit dQ = cV · mdT = cV · ρdV dT folgt:
cV ρ
dT
= λT ∆T
dt
(1.1)
∆ := ∇ · ∇ Laplace-Operator.
λT := cVλ ρ Temperaturleitzahl
Lösung der Wärmeleitungsgleichung:
T (~r, t) ist gesucht → Anfangswertproblem: gegeben T (~r, 0) und Randwerte.
Eigenschaften:
• Unstetigkeiten glätten sich (für t > 0 ist die Funktion T (x) stetig und bel. oft
differenzierbar)
• bei zeitunabhängigen Randwerten: Konvergenz gegen eine stationäre Lösung.
SS 2010
22
1.7 Wärmetransport
Lösungsmöglichkeiten der Gleichung:
• numerisch
• Green’sche Funktionen
• Dim=1: Fourier-Reihen
Beispiel: Wärmeleitung in einem Stab (1-dimensional)
T (x, t), 0 ≤ x ≤ L, Randwerte: T (0, t) = T1 , T (L, t) = T2
stationäre Lösung der Gl. 1.1 : Ts (x) = T1 + Lx (T2 − T1 )
allgemeine Lösung durch Fourier-Reihen:
T (x, t) = Ts (x) + f (x, t)
∂f
∂ 2f
für f (x, t) gilt dann
= λT 2
∂t
∂x
Randwerte: f (0, t) = 0, f (L, t) = 0, Anfangswert: f (x, 0) = f0 (x)
∞
X
nπx
L
n=1
∞
∞
X
X dbn (t)
nπx
nπ 2
nπx
sin
bn
sin
= −λT
⇒
dt
L
L
L
n=1
n=1
2
dbn
nπ
⇒
= −bn λT
dt
L
−λT ( nπ
)2 t
L
⇒ bn (t) = bn (0) e
f (x, t) =
⇒ T (x, t) = Ts (x) +
∞
X
nπ 2
t
bn (0) e−λT ( L )
n=1
sin
bn (t) sin
nπx
L
L
2Z
nπx
bn (0) ist durch Anfangswerte bestimmt: bn (0) =
f0 (x) sin
dx
L
L
0
Für t → ∞ folgt T (x, t) → Ts (x).
1.7.2 Wärmeleitung
Festkörper
Mechanismen der Wärmeleitung
• Schwingungen der Teilchen: Phononen
• bei Metallen: Elektronen (bei T ∼ 300 K bei Metallen nahezu ausschließlich durch
Elektronen)
Beide Prozesse sind stark temperaturabhängig.
Wiedemann-Franz-Gesetz:
λ
= a(T )
σ
σ ist die elektrische Leitfähigkeit. a(T ) variiert nicht mehr als Faktor 2.
SS 2010
23
1.7 Wärmetransport
Bei tiefen Temperaturen sind Phononen dominant (ebenso bei Nichtleitern).
Phononen-Wärmeleitung ist bei geordneten Festkörpern hoch bei tiefen T . Bei polykristallinen Materialien ist sie gering.
Flüssigkeiten
geringe Wärmeleitfähigkeit
Gase
innere Energie U = 12 fef f kT
Wärmeleitung durch Stöße.
mittlere freie Weglänge Λ.
Gas zwischen zwei Wänden unterschiedlicher Temperatur T1 und T2 . Teilchendichte n;
dΩ = sin ϑdϑdϕ isotrope Winkelverteilung.
Für Λ > d gilt:
pro Zeiteinheit treffen auf dA auf:
∞
Z
d
dΩ Z
N (ϑ, v) = ndA cos ϑ
vf (v)dv
dt
4π
0
dN
1
= nvdA
dt
4π
π/2
Z
Z2π
o
0
cos ϑ sin ϑdϑ
s
dϕ ,
v=
8kT
πm
dN
1
⇒
= nvdA
dt
4
SS 2010
24
1.7 Wärmetransport
2
1
= dN
im Gleichgewicht: dN
dt
dt
1
Innere Energie: U1,2 = 2 fef f kT1,2
Wärmemenge auf dA:
dQ
dQ2 dQ1
dN2
dN1
=
−
=
U2 −
U1
dt
dt
dt
dt
dt
dQ
1
= nvfef f kA(T2 − T1 )
dt
8
fef f (Molekül) > fef f (Atom)
solange Λ > d, ist dQ
unabhängig von d.
dt
Für Λ d gilt:
Wärmetransport ähnelt einem Diffusionsprozess. U, v ändern sich mit x.
dn
, ∆x = Λ cos ϑ
dx
dU
dΩ
dU
dQ = dN 2∆x
= n cos ϑ v dt dA 2Λ cos ϑ
dx
4π
dx
1
dU
dQ
= Λnv
dA
→
dt
3
dx
d2 Q
dT
=λ
dtdA
dx
1 fef f kv
1
(unabhängig von n)
λ = fef f kvnΛ =
6
6 σ
n = nx ± ∆x
1.7.3 Wärmestrahlung
Planck’sches Strahlungsgesetz
w(ν) =
8πhν 3
1
hν
3
c e kT − 1
Strahlungsleistung: Stefan-Boltzmann-Gesetz
dQ
= σAT 4
dt
σ = 5, 67 · 10−8 mW
2 K4
1.7.4 Wärmeisolierung
Wärmeverlust von Häusern
dQ
∆T
Ti − Ta
= −λA
= −λA
; d=Wanddicke
dt
∆x
d
dQ
λ
= − A∆T = −kA∆T ; k = λd , Wert in der Bauphysik, k[ mW
2K ]
dt
d
1
1
1
=
+
+ ...
kges
k1 k2
SS 2010
25
2 Elektromagnetismus
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
2.1.1 Grundbegriffe
positive Ladungen: Protonen (Baryonen; 3 Quarks (uud))
negative Ladungen: Elektronen (Leptonen; Elementarteilchen)
(Lebensdauer: > 1032 Jahre)
neutrale Ladungen: Neutronen (udd) (Mittlere Lebensdauer freier Neutronen ∼ 15 min)
Leptonen Ruhemasse in MeV
e− ,e+
0, 511
−
+
105, 6
µ ,µ
− +
τ ,τ
1784
Baryonen
p+ (uud)
938,3
n(udd)
939,6
Gleichartige Ladungen stoßen sich ab; ungleiche Ladungen sind attraktiv.
Quark
up (u)
down (d)
strange (s)
charm (c)
bottom (b)
top (t)
Ladung in e0
2
3
− 31
− 31
2
3
− 31
2
3
Ruhemasse
5 MeV
10 MeV
100 MeV
1.5 GeV
4.7 GeV
180 GeV
Ladung ist eine Erhaltungsgröße.
2.1.2 Maßsysteme
SI-System
Coulomb: 1C=1As
Elementarladung: e = 1, 60217733 · 10−19 C
Kraftwirkung von Ladungen→Coulomb-Gesetz:
Q1 Q2
1 Q1 Q2
F~C = f 3 ~r =
~r
r
4π0 r3
(2.1)
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
analog zum Gravitationsgesetz, Zentralkraft
2
im SI-System: f = 8, 98 · 109 Nm
C2
As
Dielektrizitätskonstante des Vakuums: 0 = 8.854 · 10−12 Vm
1
(in der Optik: Lichtgeschwindigkeit c = √0 µ0 ; µ: Permeabilitätskonstante)
Elektrostatisches cgs-System:
Proportionalitätskonstante f = 1
⇒ |F~C | = Q1r2Q2 [dyn]
√
Einheit für die Ladung Q: 1esu = 1cm dyn
Ladung von 1C = 3 · 109 esu
2.1.3 Das elektrische Feld
Mit (2.1) folgt für das elektrische Feld ( Q1 ≡ Q, Q2 ≡ q):
~
~ := FC = 1 Q ~r
E
q
4π0 r3
"
N
As
#
(2.2)
mehrere Quellen→ Superposition
~ r) =
E(~
1 X ~r − r~i
qi
4π0 i |~r − r~i |3
Kontinuierliche Ladungsverteilung: dq = ρ(~r )dV
~ r) =
E(~
0
1 Z
~r − ~r
0
0
ρ(~r )
0 3 dV
4π0
|~r − ~r |
Das elektrische Feld vermittelt die Kraftwirkung von Ladungen aufeinander.
Feldlinien geben Richtung und Stärke der Kraft an.
2.1.4 Elektrisches Potential
Arbeit: W =
P
R2
P1
P
R2
~ s
F~ · d~s = q Ed~
P1
Sei Q Ladung bei ~r = ~0 und q eine bewegte Probeladung:
r2
Z
dr
1
1
1
1
qQ
=
qQ( − )
W =
2
4π0 r r
4π0
r1 r2
1
Bei gleichsinnigen Ladungen: Arbeitsgewinn bei Entfernung voneinander.
Bei ungleichsinnigen Ladungen: Arbeit muss bei Entfernung voneinander geleistet werden.
Konservative Felder: Jedem Raumpunkt des Feldes kann eine eindeutige Funktion zugeordnet werden:
∞
Φ(P ) =
Z
~ · d~s
E
elektrostatisches Potential
(2.3)
P
SS 2010
27
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
mit Φ(∞) = 0.
→ q · Φ(P ) = W (P )
~ = −grad Φ = −∇Φ
⇒E
(2.4)
Elektrische Spannung zwischen zwei Punkten in einem elektrischen Feld: U =
P
R2
~ · d~s
E
P1
Ladung q in einer Potenzialdifferenz U : → Änderung der potentiellen Energie:
∆Epot
∆Epot
Nm
= qU → U =
V=
q
As
Elektron mit Elementarladung; Potentaildifferenz U=1V
∆Epot = 1, 602 · 10−19 C · 1V = 1, 602 · 10−19 J := 1eV „Elektronenvolt“ (Energieeinheit)
Gauß’sches Gesetz
1. Punktladung bei ~r = ~0; Kugel mit Radius r:
~ durch die Kugeloberfläche
gesamter Fluss von E
I
I
1 I 1
1 1 I
q
1 ~r ~
~ · df~ = q 1
·
d
f
=
q
df
=
q
df
=
E
4π0 r2 r
4π0 r2
4π0 r2
0
df~ ist ein nach außen gerichtetes Oberflächenelement.
2. Ladung außerhalb einer geschlossenen Fläche:
Gauß’scher Integralsatz:
I
Z
~
~
~ dV
E · df = ∇ · E
~ =0
Für r 6= 0 gilt ∇ · E
I
(2.5)
~ · df~ = 0
E
3. beliebige geschlossene Fläche F , Ladung innerhalb:
Sei K eine kleine Kugel um die Punktladung
I
~ · df~ =
E
K
F
4. Ergebnis:
H
F
~ · df~ =
E
(q
0
0
I
~ · df~ = q
E
0
Ladung innerhalb
Ladung außerhalb
5. mehrere Ladungen, Superposition
P
Q=
qi
innerh. von F
Gauß’sches Gesetz der Elektrostatik:
I
F
SS 2010
~ · df~ = Q
E
0
(2.6)
28
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
2.1.5 Maxwell’sche Gleichungen der Elektrostatik
Ladungsverteilung
ρ(~r ), Volumen V mit Oberfläche F
R
Q = ρ(~r )dV
V
mit 2.5 und 2.6 folgt die
1. Maxwell’sche Gleichung
~ =
∇·E
ρ
0
(2.7)
~ = −∇Φ und ∇ × (∇Φ) = ~0 folgt die
Mit E
2. Maxwell’sche Gleichung der Elektrostatik:
~ = ~0
∇×E
(2.8)
Grundproblem der Elektrostatik:
~ r)
gegeben ρ(~r ), finde E(~
~ = ~0 ⇒ −∇ · ∇Φ = −∆Φ =
~ = ρ, ∇×E
Voraussetzungen: ∇ · E
0
zu lösen: Poisson-Gleichung: ∆Φ = − ρ0
ρ
0
0
ρ(~
r )
1
ohne Randbedingungen: Φ(~r ) = 4π
dV 0
|~
r−~
r 0|
0
mit Randbedingungen werden andere Methoden verwendet. (siehe Kap.2.2.3)
R
2.1.6 Punktladungen und δ-Funktion
ρ(~r ) für Punktladungen:
• ρ(~r ) = 0 für ~r 6= ~0
•
R
ρ(~r )dV = q
Lösung des Problems: Dirac’sche δ-Funktion
1 i=k
0 i=
6 k
(
zur Erinnerung:
P
i∈Z
Kronecker-δ: δik =
i, k ∈ Z
fi δik = fk
Analog:
R
f (x)δ(x − y)dx = f (y)
Aber: es gibt keine solche Funktion δ(x − y)!
lineares Funktional:
Abb.: G : f → G[f ] ∈ C
linear: G[αf1 R+ βf2 ] = αG[f1 ] + βG[f2 ]; α, β ∈ C
Bsp.: G[f ] = g(x)f (x)dx; g(x) fest, reguläre Distribution
Def.: δy [f
] := f (y), nicht regulär
R
δy [f ] ≡ R δ(x − y)f (x)dx
Symbol δ(x−y) . . . dx lineares Funktional. δ(x − y) ist nur unter dem Integral definiert.
SS 2010
29
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
δ-Funktion als Limes von Funktionsfolgen:
x2
1
e− 22
δ (x) = √
2π2
Z
δ (x)dx = 1
δ (x) −−−−→ 0, für x 6= 0
lim→0
Es gilt: lim
→0
Z
f (x)δ (x)dx = f (0)
Schreibe: lim δ (x) = δ(x)
→0
Achtung: Der Limes ist außerhalb eines Integrals zu nehmen!
Rechenregeln
1. xδ(x) = 0
2. δ(ax) =
1
δ(x);
|a|
3. δ(g(x)) =
a∈R
P
i;g(xi )=0
− xi )
1
δ(x
|g 0 (xi )|
0 x<0
1 x>0
(
4. δ(x) =
d
Θ(x)
dx
mit der Heaviside’schen Stufenfunktion Θ(x) =
Θ(0) ist unbestimmt, Konvention Θ(0) =
1
2
5. Die Ableitung δ 0 (x) ist definiert.
Z
δ (n) (x)f (x)dx = (−1)n f (n) (0)
δ(x) ist beliebig oft differenzierbar
δ(x) ist gerade (δ(−x) = δ(x))
δ 0 (x) ist ungerade (δ 0 (−x) = −δ 0 (x))
usw.
dreidimensionale δ-Funktion
δ (3) (~r ) = δ(x)δ(y)δ(z)
Z
δ (3) (~r − ~r0 )f (~r )dV = f (~r0 )
Punktförmige Verteilungen einer Masse oder Ladung:
ρ(~r ) = 0
~r 6= ~r0
ρ(~r ) = Qδ(~r − ~r0 ) R
ρ(~r )dV = Q
(
Punktladung bei ~r0 = ~0
1 1
Poisson-Gleichung ∆Φ(~r ) = − 10 ρ(~r ) mit Φ(~r ) = Q 4π
0 r
1
⇒ ∆ = −4πδ (3) (~r )
r
SS 2010
30
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
2.1.7 Einfache elektrostatische Probleme
elektrischer Dipol
charakterisiert durch |Q| und Abstand d~
Dipolmoment:
p~ := |Q| · d~ [As · m]
Das Gesamtfeld ist eine lineare Überlagerung der Einzelfelder
Q
1 Q
−
ΦD (~r ) =
1
~
~
4π0 |~r − d| |~r + 1 d|
2
2
mit
1
~
|~
r± d2 |
≈
1
r
1±
1~
rd~
2 r2
folgt
ΦD = Q
1 ~rd~
1 |~p| · cos ϑ
=
3
4π0 r
4π0
r2
Das Potenzial ist
• ∼
1
r2
• rotationssymmetrisch um die Dipolachse d~
• bei z = 0: Φ = 0
Mit Gleichung 2.4 und ∇ =
∂ 1 ∂
,
, 1 ∂
∂r r ∂ϑ r sin θ ∂ϕ
(Kugelkoordinaten, siehe 3) folgt:
1 p cos ϑ
4π0 r3
1 p sin ϑ
Eϑ =
4π0 r3
Eϕ = 0
Er =
SS 2010
31
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
1. elektrischer Dipol: im äußerem elektrischen Feld:
~ = p~ × E,
~ D⊥~
~ p, E
~
D
~
Wpot = −~p · E
~
Minimum bei p~ k E
im inhomogenen äußerem Feld wirkende Kräfte auf den Dipol:
~ − QE(~
~ r + d)
~ r ) = Q(d~ · ∇)E
~ = (~p · ∇)E
~
F~ = QE(~
~ 6= 0
inhomogenes elektr. Feld: ∇E
2. elektrischer Quadrupol:
Potential des Quadrupols durch Überlagerung von Dipolpotentialen:
1
1
1
d~ · ~r
ΦQ (~r ) = ΦD (~r + ~a) − ΦD (~r − ~a) = ~a · ∇ΦD = Q
~a · ∇ 3
2
2
4π0
r
3. Multipol-Entwicklung:
n
Potenzial von beliebigen Ladungsverteilungen lässt sich in rri entwickeln.
Φ(~r ) =
1 X Qi
1 Z
ρi
=
d3 ri
4π0 i |~r − ~ri |
4π0 |~r − ~ri |
V
Taylor-Entwicklung:
und x =
2~
r·~
ri
r2
+
ri2
r2
1
|~
r−~
ri |
=
1q
r
1
r2
2~
r ·~
r
1− 2 i + i2
r
r
mit f (x) =
√1
1−x
= 1 + 12 x + 38 x2 + . . .
folgt:
1
1 X
1X
Qi + 3
Qi ~ri · ~r
4π0 r i
r i
"
Φ(~r ) =
i
1 1X h 2
+ 5
Qi (3xi − ri2 )x2 + (3yi2 − ri2 )y 2 + (3zi2 − ri2 )z 2 + 2(3xi yi xy + 3xi zi xz + 3yi zi yz)
r 2 i
#
Entwicklung bis zur 3. Ordnung
1.Term: Coulomb-Term
2.Term: Dipol-Potential
3.Term: Quadrupol-Potential
es folgen Oktupol-Potenzial ∼ r17 , Hexadekupol-Potenzial ∼
SS 2010
1
r9
32
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
neutrales Sytem (Atom, Molekül): i Qi = 0
Atome: 2.Term im Zeitmittel = 0, bei Momentaufnahme 6= 0 → van der Waals-Wechselwirkung.
heteronukleare Moleküle: (HCl, CO, NH3 , H2 O, . . . )→ permanentes Dipolmoment. Quadrupolterm gibt Abweichung von der Kugelsymmetrie an:
Quadrupol-Term:
P
X
Qi (3x2i − ri2 ) =: QMxx
i
X
Qi (3yi2 − ri2 ) =: QMyy
i
X
Qi (3zi2 − ri2 ) =: QMzz
i
X
Qi 3xi yi =: QMxy = QMyx
i
X
Qi 3xi zi =: QMxz = QMxz
i
Qi 3yi yi =: QMyz = QMzy
X
i
Mxx Mxy Mxz
Quadrupol-Tensor: QM = Q Myx Myy Myz
Mzx Mzy Mzz
M ist symmetrisch, Spur(M ) = 0
1 1 2
2
2
[M
Q
M
x
+
M
y
+
M
z
+
2
xy
+
M
xz
+
M
yz]
⇒ ΦQ =
xx
yy
zz
xy
xz
yz
8π0 r5
2.1.8 Influenz
Metallkugel im elektrischen Feld: Die Elektronen bewegen sich so lange bis im inneren
~ = 0 gilt.
der Kugel E
~
E⊥Oberfläche
im Leiter sind positive und negative Ladungsträger getrennt.
2.1.9 Der Kondensator
Q = CU
C: Kapazität des Kondensators
h
1 Coulomb
Volt
i
=: 1Farad [F]
1. der Plattenkondensator:
SS 2010
33
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
Laplace-Gleichung
∂ 2Φ
=0
∂x2
→ Φ(x) = ax + b
U
mit Φ1 = b und Φ2 = a · d + Φ1 folgt a = −
d
U
Φ(x) = − x + Φ1
d
Für das elektrische Feld gilt:
~ = −∇Φ = U x̂
E
d
Das Feld ist homogen und konstant.
folgt:
Mit der Flächenladungsdichte σ = Q
A
~ = σ x̂ = Q x̂
E
0
0 A
U
Q
E=
=
d
0 A
A
Q
= 0 = C
→
U
d
2. der Kugelkondensator:
Für r < a gilt:
~ = ~0
E
Φ(r < a) = const.
1 Q
Φi =
4π0 a
Für a < r < b gilt
1 Q
r̂
4π0 r2
1 Q
Φ(a < r < b) =
4π0 r
~ =
E
SS 2010
34
2.1 Elektrostatisches Feld im Vakuum
Für r > b gilt:
Qges = Q1 + Q2 = 0
~ = ~0
→E
1 Q
Φa =
4π0 b
Die Spannung zwischen den Kugeln ergibt sich wie folgt:
U=
1 1
1 b−a
1
Q( − ) =
4π0 a b
4π0 ab
Für die Kapazität folgt dementsprechend:
C = 4π0
ab
a−b
3. Kombination von Kondensatoren
P
Parallelschaltung: Cges = i Ci
P
1
Reihenschaltung: Cges
= i C1i
2.1.10 Energie des elektrischen Feldes
Plattenkondensator
Aufladung: Transport kleiner Ladungen ∆Q
∆Q
Arbeit: ∆W = ∆Q · U = Qd
0A
insgesamt: W =
d
0 A
RQ
0
Q0 dQ0 =
Q2 d
20 A
= 12 QU =
1 Q2
2 C
⇒ Energiedichte: w =
= 12 0 E 2 Ad
W
1
= 0 E 2
V
2
Energie in einer Konfiguration von Punktladungen q1 ,q2 ,. . . ,qN .
1. q1 : Arbeit um Ladung an den Ort r~1 zu transportieren: W1 = 0
q1
1
Potenzial der ersten Ladung: Φ1 (~r ) = 4π
r−r~1 |
0 |~
2. q2 : Es muss Arbeit verrichtet werden um die Ladung in die Nähe der ersten Ladung
zu bringen: W2 = q2 · Φ1 (~
r2 )
q1
q2
1
Potenzial beider Ladungen: Φ2 (~r ) = 4π
+
|~
r−r~1 |
|~
r−r~2 |
0
..
.
Summe:
W =
1 1
4π0 2
N
P
i,k=1;i6=k
qi qk
|~
ri −r~k |
0
1 1 Z Z ρ(~r )ρ(~r )
Für Ladungsverteilung ρ(~r ): W =
dV dV 0
0
4π0 2
|~r − ~r |
SS 2010
=
ˆ
Q2
2C
35
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld
(Achtung bei Punktladungen!)
mit Φ(~r ) =
1
4π0
R ρ(~r 0 )
|~
r−~
r 0|
dV 0 folgt:
1Z
ρ(~r )Φ(~r )dV
W =
2
=
ˆ
1
QU
2
~ = −∇Φ und ∆Φ = − ρ folgt:
mit E
0
W =−
0 Z
0 Z
0 I
Φ(~r )∆Φ(~r )dV =
(∇Φ) · (∇Φ)dV −
(Φ∇Φ)df~
2
2
2
R
0 Z ~ 2
1
0 E 2 V
E dV
=
ˆ
2
2
1 Z ~2
Energie: U = 0 E
dV
2
−−−−−→ W =
limR→∞
Wechselwirkungsenergie und Selbstenergie
2 lokalisierte getrennte Ladungsverteilungen ρ1 und ρ2 .
~ r ) = E~1 (~r ) + E~2 (~r ). Mit 2.7 und 2.8 folgt:
ρ(~r ) = ρ1 (~r ) + ρ2 (~r ) und E(~
Z
0 Z ~ 2
0 Z ~ 2
E1 dV +
E2 dV + 0 E~1 E~2 dV
U=
2
2
Erster Term: Selbstenergie US1
Zweiter Term: Selbstenergie US2
Dritter Term: Wechselwirkungsenergie U12
Für Punktladungen gilt:
√
q1 q2
1
4π0 |~
r1 − r~2 |
2 ∞
q
1
=− 1
=∞ 8π0 r 0
U12 =
aber: (setze r~1 = ~0) US1
siehe N Punktladungen: Selbstenergien der Punktladungen werden fortgelassen. (Renormierung)
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld
Dielektrika ändern die Spannung an einem Kondensator. Die Kapazität C ist von der
Dielektrizitätskonstante (auch Permittivität genannt) abhängig.
C = r 0
A
= r · CV akuum
d
r > 1 ist eine Materialkonstante.
Das elektrische Feld bewirkt eine Trennung der Ladungsschwerpunkte der Moleküle des
SS 2010
36
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld
Dielektrikums: S + , S − sind getrennt (induzierter Dipol).→ Polarisation der Materie
elektrisches Feld:
~ =
|E|
1 1Q
4π0 d2
induziertes Dipolmoment:
Polarisation p~ind = q · d~
äußere Kraft auf die Ladungen
~ → p~ = α0 E
~
F~ = q E
α: Polarisierbarkeit (mikroskopische Eigenschaft)
Kugelsymmetrische Teilchen (Atome): α isotrop
Bsp.: HCl: α ist ein Tensor
αk 0
0
α⊥
0
α=
0
0
0 α⊥
Q
Flächenladungsdichte: σpol = Apol
P
P~ = V1 i p~i ; |P~ | = nqd, n= Teilchendichte
auf den Kondensatorplatten Evak = σ0
~ Diel | = 1 (σ − σP ol )
im Dielektrikum |E
0
~ Diel = E
~ V ak −
E
1 ~
P
0
im Dielektrikum ist die elektrische Feldstärke geringer.
~ =: 0 χE;
~ χ := nα dielektrische Suszeptibilität (makroskoPolarisation: P~ = nα0 E
pische Eigenschaft)
1
1
Evak = Evak
EDiel =
1+χ
⇒ = 1 + χ = 1 + nα
2.2.1 Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik in Materie
Dipol (entgegengesetzte Ladungen im jeweiligen Abstand a/2 vom Ursprung):
~a
~a
Φ(~r ) = Φ1 (~r − ) − Φ1 (~r + ),
2
2
SS 2010
Φ1 (~r ) =
1 q
4π0 r
37
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld
Dipolmoment: p = q · a, p~ = q~a
a sehr klein, idealisierter Dipol: a → 0; p~ = const.
~a
~a
Φ1 (~r − ) = Φ1 (~r ) − · ∇Φ1 (~r ) + O(a2 )
2
2
~a
~a
Φ1 (~r + ) = Φ1 (~r ) + · ∇Φ1 (~r ) + O(a2 )
2
2
⇒ Dipol: Φ(~r ) = −~a · ∇Φ1 (~r ) + . . .
1
1
=−
q ~a · ∇( ) + . . .
4π0
r
1
1 p~ · ~r
1
1
p~ · ∇( ) =
lim a → 0 : Φ(~r ) = −
∼ 2
3
4π0
r
4π0 r
r
"
#
3(~p · ~r)~r
p~
1
~ = −∇Φ = 1
E
− 3 ∼ 3
5
4π0
r
r
r
Kondensator im Dielektrikum
größer als im Vakuum.
E kleiner, U kleiner, C = Q
U
Betrachte Volumen V :
Dichte der Dipole: P~ = Dipolmoment
Volumen
P = σp Flächenladungsdichte an der Oberfläche
df~: Flächenelement mit Orientierung nach außen.
dQp = −P~ · f~ Ladungsüberschuss im Inneren
H
R
Qp = − P~ · df~ = ∇ · P~ dV
Ladungsdichte
der Polarisationsladungen: ρp
R
Qp = ρp dV
⇒ ρp = −∇ · P~
ρp : Polarisationsladungen
ρf : „freie Ladungen“, äußere Ladungen, z.B. auf Kondensatorplatten
ρf (~r ) ≡ ρ(~r ) , ρtotal = ρ + ρp
~ = ρ + ρp = ρ − ∇P~
0 ∇E
~ + P~ ) = ρ
⇒ ∇ · (0 E
~ := 0 E
~ + P~
Definition: D
„dielektrische Verschiebung“
Maxwell-Gleichungen:
~ = ∇ · (r 0 E)
~ =ρ
⇒∇·D
~ = ~0
∇×E
Energie einer Konfiguration freier Ladungen im Dielektrikum:
1Z
W =
ρΦdV
2
SS 2010
mit ρ: freie Ladung
38
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld
W =
1Z
1Z ~
1Z ~ ~
~
(∇ · D)ΦdV
=−
D · ∇ΦdV =
D · EdV
2
2
2
1~ ~
⇒w= E
·D
2
1
~2
speziell: w = r 0 E
2
2
d
Bsp.: Plattenkondensator: W = 12 r 0 E 2 Ad = 12 Q
< Wr =1
r 0 A
1
1~
2
~
~
Bemerkung: w = 2 0 E + 2 P · E
Erster Term: Energiedichte des elektrischen Feldes.
Zweiter Term: „mechanische“ Energie, die zur Polarisation der Dipole aufgebracht wird.
Verhalten der Felder an Grenzflächen
~ (1) und E
~ (1) bzw. r = 2 , D
~ (2) und
Grenzfläche von homogenen Bereich mit r = 1 , D
(2)
~
E
~ =ρ=0 ; ∇×E
~ = ~0
Annahme ρ = 0 (keine freien Ladungen) ⇒ ∇ · D
~
D:
H
~ · df~ = 0
Gauß’scher Satz → D
Gauß’sches Kästchen um die Grenzschicht. Dicke ∆x → 0, Fläche A
H
~ · df~ = D
~ (2) · ~nA − D
~ (1) · ~nA = 0 (für ∆x → 0)
D
⇒ D(2) = D(1)
~ ist stetig.
Normalkomponente von D
Bemerkung: Falls freie Flächenladungen an der Grenzfläche vorhanden sind, gilt
Dn(2) − Dn(1) = σ
~
E:
H
~ · d~r = 0
Statz von Stokes→ E
Stokes’sche Fläche: Kanten l, ∆x → 0
SS 2010
39
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld
H
~ · d~r = E
~ (2) · ~tl − E
~ (1)~tl (für ∆x → 0)
0= E
(1)
⇒ Et
(2)
= Et
~ ist stetig.
Tangentialkomponente von E
⇒ Brechung der Feldlinien
Bsp: Feld einer polarisierten Kugel im Vakuum
Polarisation: P~ = const im Inneren der Kugel
R3
Dipolmoment: p~ = P~ 4π
3
Ansatz:
3(~p · ~r)~r
p~
− 3 , |~r| > R
5
r
r
~ i = const., |~r| < R
innen: E
~a = 1
außen: Dipolfeld E
4π0
!
(2.9)
(2.10)
Grenzbedingungen:
1. Ea,t = Ei,t , für |~r| = R
2. Da,n = Di,n , für |~r| = R
Zu 1):
~ a × ~r = E
~ i × ~r
äquivalent: E
bei |~r| = R. Nach Einsetzen in 2.9 folgt:
~ i = − 1 P~
⇒E
30
Zu 2):
mit ~n =
~
r
r
~ a · ~r =! 0 E
~ i · ~r + P~ · ~r Einsetzen in 2.9 ⇒ Ansatz stimmt!
folgt: 0 E
2.2.2 Molekulare Polarisierbarkeit
polare Moleküle: permanentes Dipolmoment z.B. H2 O, NCl; NH3 , . . .
→ Orientierungspolarisation, Verschiebungspolarisation
SS 2010
40
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld
unpolare Moleküle z.B.: H2 , O2 , CO2 , CCl4 ,. . .
→ nur Verschiebungspolarisation (wird im folgenden betrachtet)
~
Polarisation im äußeren Feld: p~ = α0 E;
α: molekulare Polarisierbarkeit
#Moleküle
n =Teilchendichte= Volumen
~
P~ = nαo E
~ = 0 E
~ + P~ = (1 + nα)0 E
~ = r 0 E
~
D
⇒ r = 1 + nα
Für große Dichten bzw. Flüssigkeiten passt diese Formel nicht mehr.
~ =E
~L + E
~K
E
~L
Molekül spürt ein effektives Feld E
1
~ K = − P~ (s.o.)
E
30
~ r + 2 , |E
~ L | > |E|
~
~L = E
~ + 1 P~ = E
⇒E
30
3
~ L = nα0 r +2 E
~
P~ = nα0 E
3
Clausius-Mossotti:
⇒ nα = 3
r − 1
< r − 1
r + 2
2.2.3 Grundproblem und Randwertprobleme der Elektrostatik
~ r ) = −∇Φ
Grundproblem der Elektrostatik: gegeben sei ρ(~r ), finde E(~
ohne Dielektrika: löse ∆Φ(~r ) = − 10 ρ(~r )
• unendlicher Raum, keine leitenden Flächen:
0
1 Z ρ(~r )
Φ(~r ) =
dV 0
4π0 |~r − ~r 0 |
Lösung: Green’sche Funktion:
0
G(~r, ~r ) = −
0
1
4π|~r − ~r 0 |
0
Es gilt ∆G(~r, ~r ) = δ (3) (~r − ~r )
→ Φ(~r ) = −
SS 2010
Z
0
G(~r, ~r )
ρ(~r ) 0
dV
0
1
; ∆Φ(~r ) = − ρ(~r )
0
41
2.2 Dielektrika im elektrischen Feld
• mit leitenden Flächen→ Randwertproblem:
~
E⊥F
→ Φ(~r ) ist konstant auf Fläche F .
Dirichlet-Randbedingung: Φ(~r ) auf Fläche F gegeben, F = ∂V , Lösung eindeutig
allgemeine Methode: Green’sche Funktion
Spezialfälle: Methode der Bildladung:
– Punktladung vor Metallplatte
Φ+ (~r ) =
1
q
4π0 |~r − ~r0 |
Bildladung (gedachte Ladung): Φ− (~r ) =
0
~r0 ist Spiegelpunkt von ~r0
1
⇒ Φ(~r ) = q
4π0
−q
1
0
4π0 |~
r−~
r0 |
1
1
−
0
|~r − ~r0 | |~r − ~r0 |
!
für x ≥ 0
0
auf der Fläche F gilt |~r − ~r0 | = |~r − ~r0 | ⇒ Φ(~r ) = 0
Mit
dem Gauß’schen Satz folgt für die Flächenladung σ auf F : σ = 0 E mit
R
σdf = −q
– Punktladung vor Metallkugel
SS 2010
42
2.3 Elektrischer Strom
0
Ansatz: Bildladung q 0 bei r = r0
1
Φ(~r ) =
4π0
q
q0
+
0
|~r − ~r0 | |~r − ~r0 |
0
Es soll gelten: Φ(~r ) = 0 bei |~r| = R ⇒ Wähle r0 =
q 0 = − rR0 q
!
R2
r0
(reziproker Radius),
2.3 Elektrischer Strom
2.3.1 Ladungstransport
• Elektronenleiter: Metalle, Halbleiter
• Ionen: negativ, positiv (Elektrolyten (Akku), Nervenzellem)
• Mischformen: Ionen und Elektronen (Gasentladungslampen, Plasma)
Mikroskopische Beschreibung:
Stromstärke: I := dQ
[A] i
dt h
dI
~
Stromdichte: |j| := dA mA2
I=
Z
~
~j · dA
im Volumenelement seien n Ladungen q mit der Geschwindigkeit ~v .
~ · ~v
→ Stromstärke: I = nq A
→ Stromdichte: ~j = nq~v
Mit der Ladungsdichte ρel := nq folgt:
~j = ρel~v
Gasentladung: ~j = ρ+~v + ρ−~v − + ρel~vel
Elektronen werden von einer Quelle innerhalb der Fläche S emittiert.
I=
I
S
SS 2010
Z
~ = − dQ = − d ρdV
~j · dA
dt
dt
43
2.3 Elektrischer Strom
Mit dem Gauß’schen Satz folgt die Kontinuitätsgleichung:
∂
∇ · ~j(~r, t) = − ρel (~r, t)
∂t
2.3.2 Elektrische Leitfähigkeit
T = 0K: Keine Wechselwirkung zwischen e− und A+ (Atomrümpfe im Leiter).
T > 0K: Atomrümpfe vibrieren um die Gleichgewichtsposition. Mittlere Geschwindigkeit
von Atomen, Molekülen aus der Boltzmannvertielung:
s
h|~v |i =
8kT
πme
Elektronen: Fermi-Verteilung beschreibt deren Geschwindigkeit. Pauli-Prinzip erlaubt Besetzung eines Energiezustands mit genau einem Teilchen.
Fermi-Verteilung:
1
N (E)dE ∼ 2
2π
2m
t21
!3
2
3
E 2 f0 (E)dE
mit: f0 (E) =
1
e
E−EF
kT
+1
Dabei ist EF die Fermi-Energie. Diese ist materialabhängig.
ohne äußeres elektrisches Feld:
Ei~vi = 0; h~v i = 0
→ ~j = neh~v i = 0
Λ
Stoßzeit τs = hvi
, Λ: Mittlere, freie Weglänge
SS 2010
44
2.3 Elektrischer Strom
~
mit äußerem elektrischen Feld E:
~
F
~
~
F = −eE → h∆~v i = m τs ; h∆~v i h~v i
~vD := h∆~v i Driftgeschwindigkeit
Für die Stromdichte folgt
Dabei ist σel :=
u=
σel
ne
h
m2
i
VS
ne2 τs
m
h
A
Vm
i
2
~ = σel E
~
~j = ne τs E
m
die elektrische Leitfähigkeit.
ist die Beweglichkeit der Elektronen. Es folgt:
~
~vD = uE
2.3.3 Ohm’sches Gesetz
Stromstärke
I=
Z
~ = jA mit ~j = σ E
~ und U = E · L
~j · dA
A
U
σU =
L"
R#
L V
L
= ρel
=Ω
⇒R=
σA
A A
I=
ρel : spez. Widerstand
Anwendungen
• Spannungsteiler:
Ua = U0 Lx
• Aufladen eines Kondensators:
SS 2010
45
2.3 Elektrischer Strom
t = 0: Schalter wird geschlossen
U (t = 0) = 0
I(t) = R11 (U0 − U (t)) mit U (t) =
U0
− Q(t)
I(t) = R
RC
1
dI(t)
1
=
−
I(t)
dt
R1 C
ln I = − R1t C mit I(t = 0) = I0
Q(t)
C
− R tC
I(t) = I0 e
1
− R tC
; U (t) = U0 (1 − e
1
)
• Entladen eines Kondensators:
= −C dU
= R12 U (t)
I(t) = − dQ
dt
dt
dU
= − R21C dt
U
ln U = − R2t C + const
U (t = 0) = U0
− t
− t
U (t) = U0 e R2 C ; I(t) = I0 e R2 C
2.3.4 Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes
a)Metalle:
Für T > ΘD ist ρel ∼ T
Für T ΘD ist ρel ∼ T 5
ρel = ρP h (T ) + ρst
ρ(T ) = ρ0 (1 + αT + βT 2 )
βT α
ρ(T ) = ρ0 (1 − αT )
b)Halbleiter:
tiefe Temperaturen = Isolator
hohe Temperaturen = Metalle
Bandlücke EG bei Halbleitern ∼ 0, 5 bis 1.5 eV. Bei Isolatoren deutlich größer.
∆E
Dichte der Halbleiter n(T ) = n0 e− kT
Halbleiter zeigen negative Temperaturkoeffizienten α = ρ10 dρ
<0
dt
SS 2010
46
2.3 Elektrischer Strom
c) Supraleiter:
Bei Supraleitern verschwindet der elektrische Widerstand bei geringen Temperaturen
(Tc < 30K)ρel = 0
Quecksilber: < 4K: ρ = 0
10% der Elektronen tragen zu Supraleitung bei.
2.3.5 Elektrische Leistung
Arbeit: W = Q(Φ1 − Φ2 ) = QU
= U dQ
= U I [W=VA]
Leistung: P = dW
dt
dt
2
U
Widerstand: R = I ⇒ P = RI 2 = UR
2.3.6 Gleichstrom-Netzwerk
1.Kirchhoff’sche Regel: Knotenregel
X
Ik = 0
k
Die Summe aller Ströme, welche in einen Knoten hinein- bzw. heraus fließen, muss 0
ergeben.
2.Kirchhoff’sche Regel: Maschenregel
1. Reihenschaltung von Widerständen Rk :
!
U0 =
X
k
2. Parallelschaltung:
SS 2010
U=
X
Rk I = Rges I
k
X 1
1
=
Rges
k Rk
47
2.4 Magnetostatik
2.4 Magnetostatik
2.4.1 Magnetfelder
magnetischer Nord- und Südpol
Unterschiede zum elektrischen Dipolfeld:
• es gibt keine magnetischen Monopole
• magnetische Feldlinien sind immer geschlossen
magnetische Feldstärke
p1 p2
Kraft F~ = f 2 ~r12
r
h
i
Vs
1
; mit µ0 = 4π · 10−7 Am
p1 ,p2 : magnetische Polstärke [Vs]; f = 4πµ
: magnetische Per0
meabilitätskonstante
h i
~
~ A : magnetische Feldstärke (alt)
analog zum elektrischen Feld: limp2 →0 pF2 = H
m
~ := µ0 H
~
B
Vs
Wb
N
= 1 2 = 1 2 ; T: Tesla; Wb: Weber
A·m
m
m
−4
1G = 10 T
Einheit von B: 1T = 1
früher: Gauß
B: magnetische Feldstärke
H: magnetische Erregung
2.4.2 Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik
nur magnetische Dipole: einzelne magnetische Pole bzw. Ladungen werden nicht gefunden.
~ r, )
Magnetfeld: B(~
~ = ρ folgt:
In Analogie zu ∇ · E
0
1. Maxwell’sche Gleichung der Magnetostatik
~ =0
∇·B
SS 2010
48
2.4 Magnetostatik
Magnetfeld eines langen geraden Leiters:
~ ∼ I~ × ~a; |B|
~ ∼ I
experimentell: B
R
H
~ · d~r für einen Kreis um den Leiter.
betrachte H B
~ · d~r = B 2πR ∼ I (aber unabhängig von R)
~ k d~r → B
B
H
~ · d~r = µ0 I; µ0 = 4π · 10−7 N2 (bzw. Ns )
setze: B
Am
A
Verallgemeinerung: Ampère’sches Durchflutungsgesetz:
I
~ · d~r = µ0 I
B
für beliebige geschlossene Wege um einen stromführenden Leiter.
In der Magnetostatik gilt: ρ, ~j sind zeitunabhängig. Aus der Kontinuitätsgleichung folgt
dann:
∇ · ~j = 0.
H
~ · d~r = µ0 R ~j · df~ für jede Fläche F .
B
F
∂F
Mit dem Satz von Stokes folgt die
2. Maxwell’sche Gleichung der Magnetostatik:
~ = µ0~j
∇×B
(2.11)
Grundproblem der Magnetostatik:
gegeben sei ~j(~r, ), stationär,
~ r, )
finde B(~
Lösung: Formel von Biot-Savart
• für idealisierte Stromleiter
„ stückchenweise“:
µ0 I d~s × ~r
4π r3
hierin ist d~s ein „Stückchen“ des Leiters, und ~r der Verbindungsvektor vom Leiter~ betrachtet wird.
Stückchen zum Ort, an dem B
~ =
dB
SS 2010
49
2.4 Magnetostatik
als Integral über den Leiter:
~ r , ) = − µ0 I
B(~
4π
Z
0
(~r − ~r ) × d~r
|~r − ~r 0 |3
0
• für Stromverteilungen:
betrachte Leiterelement:
Ids = j df ds = jdV → Id~s = ~jdV
0
0
µ0 Z ~j(~r ) × (~r − ~r )
~
dV
B(~r, ) =
4π
|~r − ~r 0 |3
0
2.4.3 Vektorpotenzial
~ = 0 für jedes Vektorfeld A(~
~ r, ).
Es gilt: ∇ · (∇ × A)
~
~
~ so dass B
~ = ∇× A.
~
Umgekehrt: für ein Vektorfeld B mit ∇· B = 0 gibt es ein Vektorfeld A,
Für das Magnetfeld schreiben wir daher
~ = ∇ × A.
~
B
~ heißt Vektorpotenzial und ist nicht eindeutig festgelegt:
A
Eichtransformationen:
~→A
~0 = A
~ + ∇f
A
0
~ =∇×A
~ + ∇ × (∇f ) = ∇ × A
~=B
~
dann: ∇ × A
~
Eichungen: weitere einschränkende Bedingungen an A.
~ = 0.
z.B. Coulomb-Eichung: ∇ · A
Aus 2.11 folgt:
~ = µ0~j
∇ × (∇ × A)
~ − ∆A
~ = µ0~j (ohne Beweis)
⇒ ∇(∇ · A)
Coulomb-Eichung:
vgl. Poisson-Gl. Elektrostat.
→
~ = −µ0~j
⇒ ∆A
Z ~ 0
j(~r )
0
~ r , ) = µ0
A(~
0 dV
4π |~r − ~r |
Für das Magnetfeld folgt:
0
Z
Z ~ 0
~ 0
~ =∇×A
~ = µ0 ∇ × j(~r )0 dV 0 = µ0 j(~r ) × (~r0 − ~r ) dV 0
B
4π
|~r − ~r |
4π
|~r − ~r |3
√
Dies ist die Formel von Biot-Savart.
SS 2010
50
2.4 Magnetostatik
2.4.4 Magnetische Momente
Kleiner (atomarer) geschlossener Stromkreis I (Breite a, Länge b; in x-y-Ebene)
Z ~ 0
j(~r )
~ = µ0
~jdV = Id~r
dV 0 ,
A
4π |~r − ~r 0 |
0
µ0 I I
d~r
~
A(~r, ) =
4π
|~r − ~r 0 |
siehe Multipolentwicklung:
1
|~
r−~
r 0|
~ r, ) =
⇒ A(~
Mit
H
=
1
r
+
~
r·~
r
r3
0
+ ...
µ0 I 1 I
1 I
0
0
0
d~r + 3 (~r · ~r )d~r + . . .
4π r
r
H
0
0
0
d~r = 0 und (~r · ~r )d~r = ab · ~ez × ~r ≡ F~ × ~r folgt:
~
~ r, ) = µ0 I F × ~r + . . . wobei F~ : Flächenvektor.
A(~
4π r3
Terme höherer Ordnung können für a,b r vernachlässigt werden.
Definition: magnetisches Moment
m
~ = I F~ ; |m|
~ = Iab
~ × ~r
~ r , ) = µ0 m
A(~
4π r3
Allgemeiner:
⇒
~ = µ0
B
4π
~
3(m
~ · ~r )~r m
− 3
5
r
r
!
:
Dipolfeld
• für ebene Stromkreise m
~ = I · F~
R
• generell: m
~ = 12 (~r × ~j(~r ))dV (aus Multipolentwicklung)
Für ein System von Punktladungen:
~j = ρ~v = qn~v , n: Teilchendichte
~j =
q
ρ ~v
M M
mit ρM : Massendichte und M : Teilchenmasse
q Z
q ~
⇒m
~ =
ρM (~r )~r × ~v dV =
·L
2M
2M
~ Gesamtdrehimpuls und q : „gyromagnetisches Verhältnis“
mit L:
2M
(stimmt nicht für Elektronenspin!)
2.4.5 Bewegte Ladungen im Magnetfeld
Kraftrichtung steht senkrecht auf der Magnetfeldrichtung und der Bewegungsrichtung der
Ladung
~
F~ = q ~v × B
Kraftwirkung in elektrischen und magnetischen Feldern auf Ladungen:
~ + ~v × B
~
F~ = q E
SS 2010
(Lorentzkraft)
51
2.4 Magnetostatik
Lorentzkraft
Zyklotron-Bewegung:
Betrag der Lorentzkraft: |F~ | = evBz
2
Zentrifugalkraft: F = m vr
⇒r=
mit v =
q
1 m
v
Bz e
2eU
m
s
1 2mU
⇒r=
Bz
e
e
2U
→
= 2 2
m
r Bz
a) Stromdurchflossener Leiter
Stromdichte ~j = nq~vD = −en~vD
Strom: I = j · A
Lorentzkraft auf Leiterstück der Länge dL:
~
dF = nqAdL(~vD × B)
~
dF = ~j × BdV
F~ =
Z
~
(~j × B)dV
Kraft auf einen geraden Leiter in einem homogenen Magnetfeld:
~ × B)
~
dF~ = I · (dL
b) Parallele Leiter
Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters:
~ = µ0 I~eφ
B
2πr
~ ×B
~
Lorentzkraft: dF~ = IdL
~ vD
parallele Drähte: B⊥~
Kraft pro Längeneinheit:
Für
F
L
F
µ0 1 2
= IB =
I
L
2π r
= 2 · 10−7 N, Abstand der Leiter: r = 1m ⇒ I := 1A
Hall-Effekt
~ Die LorBetrachte einen stromdurchflossenen Leiter mit ~j = −ne e~vD im Magnetfeld B.
~ auf die Elektronen bewirkt ein Coulomb-Feld F~C = nq E
~H.
entzkraft F~L = nq(~vD × B)
Im Kräftegleichgewicht gilt:
~ H = ~j × B
~
enE
SS 2010
52
2.4 Magnetostatik
~ H folgt:
Mit der Hall-Spannung UH := ~b · E
UH =
~b · (~j × B)
~
~
= RH · ~b · (~j × B)
ne
~b ist die senkrecht auf B
~ und ~j stehende Breite des Leiters.
1
RH := ne : Hall-Konstante
2.4.6 Materie im Magnetfeld
magnetische Feldstärke
B = µr B0
µr : relative Permeabilität (Materialkonstante)
B0 = µ0 H → B = µr µ0 H
Äußeres Magnetfeld ruft in Materie eine magnetische Polarisation hervor. Ursache: magnetische Momente der Atome p~m
X
~ := 1
p~mi
M
V i
Magnetisierung der Materie
"
A
m
#
~ = µ0 (H
~ +M
~)
→B
~ = χm H
~ mit χm : magnetische Suszeptibilität
Für nicht zu große Feldstärken gilt M
~ = µ0 (H
~ + χm H)
~
→B
→ µr = 1 + χ m
für
χm
χm
χm
die meisten Stoffe gilt: |χm | 1.
< 0: diamagnetisch
> 0: paramagnetisch
> 0; |χm | 1: ferromagnetisch
Anschauliche Deutung:
Elektron umkreist Atomkern im Radius r.
ω
Kreisstrom im Atom: I = q 2π
magnetisches Moment des Kreisstroms: pm = I · A = 12 qr2 ω
~ folgt:
mit me r2 ω
~ = me (~r × ~v ) = L
p~m =
q ~
e ~
L=−
L
2me
2me
Magnetisches Moment ist dem Drehimpuls entgegengesetzt.
~ =
Quantenmechanisch: |L|
q
L(L + 1) · ~
→ pm = −
SS 2010
e~ q
L(L + 1)
2me
53
2.4 Magnetostatik
µB :=
e~
2me
= 9.274 · 10−24 TJ :
Bohr’sches Magneton
Elektronenbahnen:
~ = 0: s-Elektronen: keine Magnetisierung möglich
|L|
~ = 1: p-Elektronen
|L|
~ = 2: d-Elektronen
|L|
~ = 3: f-Elektronen
|L|
Diamagnetismus
Stoffe ohne permanente magnetische Dipolmomente. Das Magnetfeld in der Probe ist
~ = µ0 (1 + χm )H;
~ χm < 0.
kleiner als das äußere Feld: B
Bei inhomogenen Feldern bewegt sich das Material in Gebiete kleinerer Feldstärken.
Paramagnetismus
Stoffe mit permanentem magnetischen Dipolmoment.
Im äußeren Magnetfeld werden p~mi teilweise ausgerichtet.
~
~ = N |~pm | 1 p~m · B ~eB
M
3 kT
~
χ m = µ0 M
~ B
1 p2 N
1
→ χ m = µ0 m ∼
3
kT
T
Ferromagnetismus
Stoffe mit ungefüllter d- oder f-Schale.
Nur in der kondensierten Phase. Besonders hohe Magnetisierung durch kollektive Wechselwirkung der Atome. (siehe Festkörperphysik!)
Für T > TC : (TC : Curie-Temperatur)
χm =
SS 2010
C
T − TC
54
2.5 Zeitlich veränderliche Felder
Antiferromagnetismus
„zusammengesetzte“ Substanzen wie NiO oder Cr2 O3 .
Zwei ferromagnetische Untergitter kompensieren sich gegenseitig. χm ist leicht positiv.
Mit der Grenztemperatur TN (Néel-Temperatur) gilt:
χm =
C
T + TN
2.5 Zeitlich veränderliche Felder
2.5.1 Faraday’sches Induktionsgesetz
Die Änderung eines Magnetfeldes induziert in einer Leiterschleife eine Spannung Uind .
Diese ist abhängig von:
• der Richtung des Magnetfeldes
• der Richtung der Änderung des Magnetfeldes
• der Anzahl der Windungen der Leiterschleife
• der Änderung der Fläche der Leiterschleife
Der magnetische Fluss durch die Leiterschleife ändert sich zeitlich. Es gilt:
Uind = −
d
d Z ~
B · df~
Φm = −
dt
dt
A
Uind =
I
∂A
~ · d~r =
E
Z
A
~ · df~ = − d
(∇ × E)
dt
Z
~ · df~
B
A
~ =−∂B
~
⇒∇×E
∂t
~ ist nach wie vor B
~ = ∇ × A.
~ Für E
~ folgt:
Für B
~ = −∇Φ − ∂ A
~
E
∂t
Eichtransformationen:
~0 = A
~ + ∇f ⇒ B
~0 =B
~
A
0
0
∂
~ = −∇(Φ 0 +
Φ = Φ − ∂t f ⇒ E
∂
f)
∂t
−
∂ ~
A
∂t
~
=E
2.5.2 Induktivitäten
Gegeben sei eine stromdurchflossene Spule welche die Fläche A1 mit dem Umfang C1
~ Eine Zweite Spule (A2
einschließt. Im Innern der Spule wirke das Magnetische Feld B.
(2)
bzw. C2 ) wird in das Magnetfeld gebracht. Gesucht ist die induzierte Spannung Uind in
dieser Spule.
SS 2010
55
2.5 Zeitlich veränderliche Felder
(2)
Uind
d
= − Φm,2 ,
dt
Φm,2 =
Z
~ × df~ =
B
A2
Z
I
~ · df~ =
(∇ × A)
A2
~ · d~r
A
∂A2
~j(~r 0 )
dV
|~r − ~r 0 |
0
~ r, t) = µ0
A(~
4π
~jdV → Id~r
µ0 I1 (t) I
1
0
~
hier: A(~r, t) =
r
0 d~
4π
|~r − ~r |
Z
C1
µ0 I1 (t) I I
1
0
→ Φm,2 (t) =
r · d~r ≡ L21 I1 (t)
0 d~
4π
|~r − ~r |
C1 C2
mit L21
0
µ0 I I d~r · d~r
; L21 = L12 : geometrische Konstante „Gegeninduktivität"
=
4π
|~r − ~r 0 |
C1 C2
(2)
Uind = −L21
d
I1 (t)
dt
Selbstinduktivität: Induktion einer Spannung im gleichen Stromkreis.
Bsp.: lange Spule: Φm = µr µ0 Nl A · I
Uind = −N Φ̇ ≡ −LI˙
2
Selbstinduktivität: L = µr µ0 Nl A
Allgemein mit Leiterschleifen Ci , i = 1, 2, . . . , n: Φm,i =
⇒ Φm,i (t) =
n
X
(i)
Ci
Lij Ij (t); Uind = −
n
~ r; A(~
~ r) = P
A·d~
n
X
j=1
µ0 Ij
4π
H
Cj
0
d~
r
|~
r−~
r 0|
Lij I˙j (t)
j=1
j=1
Gegeninduktivitäten: Lij = Lji , i 6= j
RR ~
H
~
0
0
j(~
r )·j(~
r )
µ0
Selbstinduktivitäten: Lii = 4π
dV dV Die Berechnung oft einfacher durch di|~
r−~
r 0|
P
rekte Benutzung von Φm,i = j Lij Ij
Wechselstrom und Induktivitäten
Spule mit Induktivität L in einem Stromkreis mit angelegter Wechselspannung
Ue (t) = U0 cos ωt.
Spannungsabfall an der Spule: Uind = −LI˙
U0
Ue (t) − LI˙ = 0 ⇒ I(t) = ωL
cos (ωt − π2 ) (Strom ist um − π2 phasenverschoben)
„induktiver Widerstand“: ωL
komplexe Schreibweise: Ue (t) = U0 eiωt ; I(t) = I0 ei(ωt−φ)
Physikalisch relevant sind jeweils die Realteile.
U0
Einsetzen führt auf I0 = ωL
; φ = π2 .
π
Komplexer Widerstand: Z = UI = i ωL = ωLei 2
SS 2010
56
2.5 Zeitlich veränderliche Felder
2.5.3 Maxwell-Gleichungen und Feldenergie
~ = ρ
∇·E
0
~
∇·B =0
~ =−∂B
~
∇×E
∂t
~
~ = µ0~j + µ0 0 ∂ E
∇×B
∂t
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Der zweiter Term in Gleichung (2.15) ist der Maxwell’sche Verschiebungsstrom.
+ ∇ · ~j = 0
Er rettet die Kontinuitätsgleichung: ∂ρ
∂t
Feldenergie
elektrisches Feld:
0 ~ 2
E (ohne Dielektrikum)
2
1~ ~
= E
· D (mit Dielektrikum)
2
we =
magnetisches Feld:
1 ~2
B (ohne Dielektrikum)
2µ0
1~ ~
= B
· H (mit Dielektrikum)
2
wm =
Begründung: Energieerhaltung: an Ladung geleistete Arbeit des Feldes: dW = F~ · d~r
~ + ~v × B)
~ · ~v = q E
~ · ~v
Leistung P = dW
= F~ · ~v = q(E
dt
Für eine Ladungsverteilung ρ, ~j = ρ~v
Leistung
~ · ~v = ~j · E
~
→ Leistungsdichte: f = Volumen
= ρE
~ =E
~ · (∇ × B)
~ − µ0 0 E
~ · ( ∂ E)
~
Aus 2.15 folgt: µ0~j · E
∂t
~ × B)
~ =B
~ · (∇ × E)
~ −E
~ · (∇ × B).
~
Allgemein gilt: ∇ · (E
~ × B)
~ = −B
~ · ( ∂ B)
~ −E
~ · (∇ × B)
~
Mit 2.14 folgt: ∇ · (E
∂t
~ = − 1 ∇ · (E
~ × B)
~ − 0 ∂ E
~2 − 1 ∂ B
~2
⇒ ~j · E
µ0
2 ∂t
2µ0 ∂t
Definitionen:
~= 1E
~ ×B
~ : Poynting-Vektor
S
µ0
0 ~ 2
1 ~2
w= E
+
B : Energiedichte
2
2µ0
~ + ∂ w = −~j · E
~
⇒∇·S
∂t
SS 2010
Poynting’scher Satz
57
2.5 Zeitlich veränderliche Felder
Interpretation:
ohne Ladungsträger, ~j = ~0:
~ + ∂w = 0
∇·S
∂t
Kontinuitätsgleichung für die Energiedichte w ↔ Energieerhaltung
~ Energiestromdichte
S:
mit Ladungsträgern, ~j 6= ~0:
Felder leisten Arbeit an den Ladungen;
~
Verlust an Feldenergie =
ˆ ~j · E
Integrale
Form:
R
R
W = w · dV (Energie des Feldes), P = f · dV
→ dtd W = −P
~ = ~0)
magn. Feldenergie(hier: E
R
R
~ 2 dV = 1 B
~ · (∇ × A)dV
~
=
Wm = 2µ1 0 B
2µ0
R
R
~ · µ0~j dV = 1 ~j · A
~ dV
→ Wm = 1 A
2µ0
~ r) =
Mit A(~
1
2µ0
R
~ × B)
~ +A
~ · (∇ × B)
~ dV
∇ · (A
2
0
r )
µ0 R ~j(~
4π
|~
r−~
r
0
0
dV folgt dann:
|
0
µ0 Z ~j(~r ) · ~j(~r )
Wm =
dV dV
8π
|~r − ~r 0 |
Für zwei Leiterschleifen (~jdV → Id~r) folgt: Wm =
speziell bei einzelnem Leiter: Wm = 12 LI 2 .
d
Wm = LI I˙ = −Uind · I = Ue · I
dt
SS 2010
(Leistung)
µ0
8π
H H d~
ri ·dr~j
II
i,j Ci Cj |~
ri −r~j | i j
P
0
=
1
2
P
i,j
Lij Ii Ij ,
58
3 Ergänzungen
∇, ∆ in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ)
lokale Basisvektoren: ~eui =
∂~
r
∂ui
∂~
| ∂ur |
i
, |~eui | = 1
~r = (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ)
∂~
r
= (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ) = ~er
∂r
∂~
r
∂~
r
= (r cos ϑ cos ϕ, r cos ϑ sin ϕ, −r sin ϑ), | ∂ϑ
| = r → ~eϑ = (cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, − sin ϑ)
∂ϑ
∂~
r
∂~
r
= (−r sin ϑ sin ϕ, r sin ϑ cos ϕ, 0), | ∂ϑ | = r sin ϑ → ~eϕ = (− sin ϑ, cos ϕ, 0)
∂ϕ
~er , ~eϑ , ~eϕ orthogonal.
∂~
∂f
r
= ~er · ∇f
f (~r ) →
∂r ∂r
∂~
∂f
r
= ~eϑ · ∇f
∂ϑ ∂ϑ ∂~
∂f
r
= ~eϕ · ∇f
∂ϕ
∂ϕ
1 ∂
1
∂
∂
+ ~eϑ
+ ~eϕ
∇ = ~er
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
Divergenz:
~ = Ar~er + Aϑ~eϑ + Aϕ~eϕ
Sei A
1
∂
∂
~ = 1 ∂ (r2 Ar ) + 1
∇·A
(sin ϑAϑ ) +
Aϕ
2
r ∂r
r sin ϑ ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
Rotation:
1
∂
∂
(sin ϑAϕ ) −
Aϑ ~er
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϕ
"
#
1
∂
∂
+
Ar − sin ϑ (rAϕ ) ~eϑ
r sin ϑ ∂ϕ
∂r
"
#
1 ∂
∂
+
(rAϑ ) −
Ar ~eϕ
r ∂r
∂ϑ
"
#
~=
∇×A
Laplace (∆ = ∇ · ∇):
∆f =
1 ∂ 2∂
1
∂
∂
1
∂2
(r
f
)
+
(sin
ϑ
f
)
+
f
r2 ∂r ∂r
r2 sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r2 sin2 ϑ ∂ϕ2
!
1 ∂2
1
∂2
1 ∂
1 ∂2
=
(rf ) + 2
f+
f+
f
r ∂r2
r ∂ϑ2
tan ϑ ∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
