2.1 Das rechtwinklige Dreieck

84
Trigonometrie
2. 1
Das rechtwinklige
2.1.1
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Dreieck
In den Aufgaben 350, 351, 352 und 353 ist c immer die Hypotenuse.
350.
351.
In einem rechtwinkligen
a) a: c = 3 : 7
c) b: c = 17 : 28
e) a: c = 39 : 31
Berechnen Sie a und
Dreieck ist folgendes Seitenverhältnis bekannt:
b) b: a = 2 : 3
d) a: b = 1 : 38
ß.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel:
a) a = 1.25 rn ,
b = 0.53 m
b) a = 4.2 cm ,
c) a = 8.9 crn ,
ß = 34.8°
d) b = 12.0 cm ,
e) c = 11.04 rn , a = 50.1 °
c = 7.5 cm
ß
=
21.8°
Trigonometrie
85
352.
Geben Sie den absoluten Fehler mit zwei geltenden Ziffern an.
(Beachten Sie: Der Mittelwert x und der Fehler ~x haben dieselbe Anzahl
Dezimalen.)
a) c
(52±1)cm,
a=(76±1)0
a=a±~a=?
b) c
(49.2±1.5) mm , a = (25.8±1.5)0
b = b ± ~b = ?
c) a
(20.1± 0.5) m , b
(12.0±0.5) m
a = a ± ~a = ?
d) a
(82± 1) cm ,
c = (100±1) cm
ß = ß ± ~ß = ?
353.
Im Dreieck ABC gilt:
Bestimmen Sie
a) sin a
354.
355.
tan a = 2.56
b) cos
ß
Bestimmen Sie exakt und ohne Rechner.
a) sin 45°
b) tan 60°
c) tan
ß
c) cos 30°
Beweisen Sie mit Hilfe der Definition der Winkelfunktionen:
a) sin (90° - a) = cos a;
cos (90° - a) = sin a
und tan (90° - a) = ta~ a
sin a
b) tan a = cos a
c) (sin a)2 + (cos a)2 = 1
•
356.
Eine Ebene hat die Steigung 17%. Berechnen Sie den Steigungswinkel.
357.
Ein Punkt P hat vom Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r den Abstand
6.5r. Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Tangenten durch P.
358.
Von einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis c sind bekannt:
hc = 45.3dm, y = 131.5°
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel.
359.
Berechnen Sie in einem Kreis mit dem Durchmesser d
zum Periferiewinkel a = 38.5°.
360.
Von einem Rhombus kennt man:
Seite s = 23.4 crn , Diagonale e = 30.3 cm
Berechnen Sie die andere Diagonale und die Winkel.
361.
Ein gleichschenkliges Trapez mit den Parallelseiten a = 3.46 mund
c = 2.18 m und der Schenkellänge s = 2.56 m ist gegeben.
Berechnen Sie die Höhe und die Basiswinkel.
362.
Berechnen Sie die Länge der Winkelhalbierenden Wa eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Katheten a = 16.6 cm und b = 23.2 cm messen.
350 mm die Sehne
86
363.
Trigonometrie
Berechnen Sie die fehlenden Seiten
und Winkel des Dreiecks ABC:
a) a = 5.5 cm ;
p = 2.7 cm
b) b = 297.0 m;
h = 232.2 m
c) q = 4.15 m ;
h = 5.84 m
d) p = 2.20 dm;
a = 66.30°
e) h = 15.57 m;
ß 33.42°
f) p = 34.3 cm;
q
26.2 cm
g) b= 14.32m;
p
12.74m
A
b
B L----a---~C
364.
Unter welchem Winkel schneiden sich zwei Kreise mit den Radien 9.8 cm und
6.5 crn. wenn ihre gemeinsame Sehne 9 cm misst?
(Der Schnittwinkel zweier Kreise ist gleich dem Schnittwinkel ihrer Tangenten
im Schnittpunkt.)
365.
Unter welchem Winkel schneiden sich die gemeinsamen Tangenten zweier
Kreise mit den Radien r = 4.5 cm und R = 5.5 crn, wenn die Kreismittelpunkte den Abstand 8 cm haben?
366.
Zeichnen Sie ein Rechteck ABCD mit den Seiten AB = 14 cm und BC = 3 cm.
Der Punkt P befinde sich auf der Seite AB im Abstand 2 cm von A , der
Punkt 0 auf der Seite CD im Abstand 2 cm von C.
Spiegeln Sie das Rechteck ABCD an der Geraden PO.
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes, das die beiden Rechtecke
gemeinsam haben.
367.
Von einem Dreieck ABC sind die Höhe hc = 6.3 cm
wy = 6.8 cm und der Winkel y = 70° gegeben.
Berechnen Sie die Seite c sowie die Winkel a und
368.
r
die Winkelhalbierende
ß.
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlinie von 70 dm und
einer Schenkellänge von 55 dm.
Berechnen Sie den Abstand zwischen den Mittelpunkten von In- und Umkreis.
C
369.
Berechnen Sie AC.
A
370.
B
Der Inkreisradius eines Rhombus mit 15 cm Seitenlänge beträgt
Berechnen Sie die Winkel und die Länge der Diagonalen.
6.5 cm.
Trigonometrie
371.
A
B
r-.-----~~------~
87
In der Figur gilt:
-BF : FC = 4 : 1
-
Berechnen Sie y.
c
Aufgaben mit Parametern
372.
Von einem Kreissektor kennt man den Radius r und den Zentriwinkel
Berechnen Sie die Sehne s und die Höhe h des Kreisbogens.
373.
Von einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt A sowie der Winkel a
bekannt.
Berechnen Sie die Länge der beiden Katheten.
374.
Einem Kreissektor mit Radius R und Zentriwinkel a (a< 90°)
beschrieben. Berechnen Sie dessen Radius r.
375.
Von einem gleichschenkligen Trapez sind die beiden Parallelseiten a und c
sowie der Winkel a bekannt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Trapezes.
376.
Der Winkel y = 65.3° an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks wird in
drei gleiche Teilwinkel geteilt. Berechnen Sie die Längen der drei Abschnitte, in
die die Basis c zerlegt wird.
377.
Berechnen Sie in einem allgemeinen Dreieck ABC den Umkreisradius r aus der
Seite c und dem gegenüberliegenden Winkel y.
378.
A
i--..----.•....
---~
B
ist ein Kreis ein-
CD ist Tangente an den Halbkreis mit
Durchmesser AB und Radius r.
AC
=
1.2r
Berechnen Sie
c
E.
E.
88
379.
Trigonometrie
Berechnen Sie jeweils u und v aus den übrigen Grössen,
a)
b)
c)
d)
e)
f)
d
a
380.
Berechnen Sie jeweils u und v aus den übrigen Grossen.
a)
e)
d)
f )
d
v
381.
Beweisen Sie, dass die beiden Dreiecke, die bei der Konstruktion aus zwei
Seiten und dem Gegenwinkel der kleineren Seite entstehen, den gleichen
Umkreisradius haben.
Trigonometrie
89
d
382.
In der Walzenlagerung ist der
Kugeldurchmesser d für n Kugeln
aus D und n zu berechnen.
383.
Der Winkel zwischen den gemeinsamen
a) äusseren
b) inneren
Tangenten zweier Kreise (Z, r Rund Z2' r, wobei R> r) ist y.
(Winkel, der von der Symmetrieachse halbiert wird)
Bestimmen Sie s = Z1 Z2.
Unter welchen Bedingungen ist eine Lösung möglich?
384.
Gegeben:
r;
E
Gesucht: t
385.
Ein rechtwinkliges Dreieck sei durch die Hypotenuse c und den Winkel a gegeben. In dieses Dreieck ist ein Halbkreis gezeichnet, dessen Mittelpunkt auf c
liegt und der die beiden Katheten berührt.
Berechnen Sie den Radius r dieses Halbkreises aus c und a.
386.
Bestimmen Sie <p aus o., m
und n für
a)
•
a=45°
m
b) beliebigen Winkel a.
(0° <a<900)
n
..
387.
•
+
Berechnen Sie in einem regelmässigen n-Eck
a) mit gerader Eckenzahl
b) mit ungerader Eckenzahl
die längste Diagonale aus der Seite s.
90
388.
Trigonometrie
Einem Quadrat mit der Seite a wird ein
zweites einbeschrieben.
Bestimmen Sie die Seitenlänge b des
einbeschriebenen Quadrates aus a und o.,
(Hinweis: Benützen Sie den Tangens)
a
2.1.2
Die Arcusfunktionen
=ca
sin q>
389.
Berechnen Sie jeweils u und
a)
ß
=> q> = are sin (~)
eos q> = ~
=> q> = are eos ( ~ )
tan q> =JL
b
=> q> = are tan ( ~ )
aus den übrigen GrÖssen.
b)
c)
e)
f)
d
a
v
w
Trigonometrie
2.1.3
91
Aufgaben aus der Optik
Brechungvon Licht
reflektierter
Strahl
Brechungsgesetz
von Snellius
optisch dichteres
Meäium
n1·sin<P1= '2,sin<P2
n:
Totalreflexion
Brechzahl
gebrochener
Lichtstrahl
Optisch
dichteres
Medium
Lichtquelle
Totalreflexion:
Kritischer Einfallswinkel
wenn Brechungswinkel
90° erreicht
92
Trigonometrie
p
,,
390.
Eine Lichtquelle L befindet sich
2.8 m vor einem Spiegel.
Damit ein Lichtstrahl den Punkt P
trifft, der 12.2 m vor dem Spiegel
liegt, muss der Lichtstrahl unter
einem Winkel a von 34.2° auf den
Spiegel treffen.
Berechnen Sie LP.
I
El
.,
.•... ,
,
NI
NI
I
Spiegel
Spiegel
391.
An einem Spiegel wird ein Lichtstrahl von A nach B reflektiert.
a
s = AB
Bestimmen Sie <p
a) aus s = 143 dm, a = 18 dm und
b=70 dm
b) allgemein aus a, bund s.
Von der Lichtquelle A (5/12) ausgehend soll ein Strahl an zwei Spiegeln (x- und y-Achse) reflektiert
werden und in B (10/4) auftreffen.
392.
Berechnen Sie a.
x
393.
Unter welchem Winkel a muss ein
Lichtstrahl von A ausgesendet werden, wenn er
a) nach 3-facher Reflexion (an p, q
und r)
b) nach 4-facher Reflexion (an p,
q, rund s)
wieder in A eintreffen soll?
y
6.5
+----~-*---.
q
s
x
r
,
10
Hinweis: Überlegen Sie sich die
Berechnung aufgrund der Konstruktion des Strahlenganges.
Trigonometrie
95
2.1.4 Flächeninhalt eines Dreiecks
In ~
Dreieck gilt:
A = ~ . p . q . sin <p
404.
Der Umfang eines Kreises, dessen Radius 6 cm beträgt, wird durch die
Ecken eines ein beschriebenen Vierecks im Verhältnis 1:2:4:5 geteilt.
Wie gross ist die Fläche dieses Sehnenvierecks?
405.
Der Umfang eines Kreises mit dem Radius r werde in 9 gleiche Teile eingeteilt.
Die Teilungspunkte werden mit A, B, C, ....
, I bezeichnet.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABDG aus r.
406.
Berechnen Sie in einem regelmässigen 10-Eck mit Inkreisradius 90 cm folgende
Grössen: Seitenlänge, Umkreisradius und Flächeninhalt.
407.
Berechnen Sie den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks aus dem Umkreisradius r und dem Basiswinkel von 63 o.
408.
Vom Dreieck ABC kennt man:
a = (12.6±0.5) cm, b = (29.9±0.5) cm, y = (71±2)O
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks:
A = A ± I1A =?
(I1A mit zwei geltenden Ziffern angeben)
409.
Berechnen Sie den Flächeninhalt eines regulären n-Ecks aus der Seitenlänge a
und n.
410.
Die Schenkel eines spitzwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks messen'
je 2 m und der Flächeninhalt 1.5 m2• Wie grass ist die Basis?
Die Wissenschaft der reinen Mathematik in ihrer modernen Entwicklung
darf von sich behaupten, die ureigenste Schöpfung des menschlichen
Geistes zu sein.
Alfred North Whitehead, 1861-1947,
Philosoph und Mathematiker
100
Trigonometrie
2.2
Das allgemeine Dreieck
2.2.1
Definition der Winkelfunktionen für beliebige Winkel
Definition:
sin a
= yp
cos a
= Xp
tan a
=
v»
--xp
sin a
= cos a
427.
Bestimmen Sie die folgenden Funktionswerte grafisch, d.h. durch Messung am
Einheitskreis (ohne Rechner!)
a) sin 140°, cos 140°
b) sin 200°, cos 200°
c) sin 295 0, cos 295 °
428.
Bestimmen Sie sin a , cos a und tan a für
mit Hilfe des Einheitskreises (ohne Rechner!)
429.
Lösen Sie folgende Gleichung mit Rechner und Einheitskreis.
Grundmenge: 0° ::; <p< 360°
a) sin o = 0.574
b) 0.530 = sin <p
c) -0.985 = sin <p
d) sin <p= -0.259
e) sin 75° = -sin rp
f) sin 265° = -sin <p
g) sin(-53°) = sin <p
h) -sin o = sin(-112°)
a = 0°,
90°,
180°,
270°
Trigonometrie
101
430.
Lösen Sie folgende Gleichung mit Rechner und Einheitskreis.
Grundmenge: 0° s, < 360°
a) cos r = 0.559
b) -0.530 = cos r
c) cos r = -cos 39°
d) -cos
r = cos 174°
e) cos (-,) = cos 95 °
f) cos 26 ° = -cos r
g) cos 38° = -cost-rl
h) -cos(-23°)
= cos r
431.
Lösen Sie die Gleichung mit Rechner und Einheitskreis.
a) tan I> = 0.740
b) -0.404
c) -tan I> = tan (-12°)
d) tan (-I»
432.
=
(0° SI><
tan I>
tan 134°
* Lösen Sie folgende Gleichung mit Hilfe des Einheitskreises
a)
b)
c)
d)
e)
f)
sin a = sin x
sin a = sin x
cos a = cos x
-cos x = cos a
tan a = tan x
tan x = tan a
für
für
für
für
für
für
360°)
(0° S x < 360°)
00sas1800
1800sa<
360°
OOsa s 360°
OOsa s3600
0° sas1800
1800s a s3600
433.
Vereinfachen Sie mit Hilfe des Einheitskreises für 00sas900
b) sin (270° +a)
c) tan (1800+a)
a) cos (a + 90°)
0
f) sin (1800+a)
d) sin (360 -a)
e) cos (270° +a)
0
g) sin (a-1800)
h) cos (-180 -a)
434.
Vereinfachen Sie.
a) sin a - cos (90° + a)
c) tan I> + tan (180°-I»
b) sin (90° + a) + cos a
435.
Vereinfachen Sie unter der Voraussetzung, dass a, ß und y die Innenwinkel
eines Dreiecks sind.
a) sin (ß+y) + sin a
b) cos (a+ß) - cos y
436.
Beweisen Sie die Flächenformel
437.
Über allen Seiten eines beliebigen
Dreiecks ABC sind die Quadrate
gezeichnet.
Beweisen Sie, dass die schraffierten
Dreiecke flächengleich sind.
A
= ~ab
sin y
für y > 90°
438.
Beweisen Sie:
Das Dreieck und das Trapez sind flächengleich.
102
2.2.2
Trigonometrie
Sinussatz
439.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten
a) a
12.5 cm;
ß
51.2°;
b) b
17.1cm;
a
31.2°;
c) b
11.6 cm;
ß
78.8°;
d) a
14.3 dm;
a
31 .5°;
und Winkel des Dreiecks ABC.
Y
54.1°
y
102.3°
Y
41.3°
ß
104.2 °
440.
Geben Sie den absoluten Fehler mit zwei geltenden Ziffern an.
(28±2)0
(106±2)0 ;
a) a
(43.0±0.5) cm ;
a
ß
b = b±L'lb = ?
(76±1)0
b) b = (83±2) mm ;
(50±3) mm ;
c
ß
y = y ± L'ly= ? und a = Ci ± L'la = ?
441.
Die Winkel eines Dreiecks verhalten sich wie 1 : 3 : 5.
In welchem Verhältnis stehen die Seitenlängen?
Geben Sie die Lösung in der Form 1 : x : y an.
442.
Berechnen Sie die fehlenden Winkel und die fehlende Seite.
Beachten Sie die Anzahl Lösungen.
a) b
8.5 cm ;
a
8.9 cm ;
a
65.3°
b) a
30.9 cm;
c
19.8 cm ;
y
34.6°
c) b
14.1 dm;
c
26.4 dm;
y
105.3°
d) b
6.50 m ;
a
8.70 m ;
ß
14.0°
e) a
53.50 m;
b
37.65 m ;
ß
24.3°
f) a
6.4 cm ;
c
8.2 cm ;
y
72.0°
443.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC.
ß = 41.0° ; Y = 67.2° ; wJl = 11.4 cm
Trigonometrie
103
444.
Berechnen Sie die Länge der Winkelhalbierenden v-« und wy eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a = 37.5 cm und b = 23.8 cm.
445.
In einem Dreieck ABC ist Folgendes bekannt:
a = 10.5 dm , a: ß : y = 5 : 9 : 10
Berechnen Sie die übrigen Seiten sowie den Umkreisradius.
446.
Ein Grundstück hat die Form eines Vierecks ABCD.
Berechnen Sie aus den folgenden Angaben den Flächeninhalt dieses Grundstückes:
Winkel BDC = 32.1 0, Winkel ADB = 89.3°,
Seite CD = 14 m,
Winkel DCA = 48.3° , Winkel ACB = 92.5°
447.
(1) Welche Aufgabentypen gibt es, wenn man nur Seiten und Winkel
eines Dreiecks zulässt? (Notieren Sie die gegebenen Grössen.)
(2) Welche Aufgabentypen davon lassen sich mit dem Sinussatz lösen?
448.
Beweisen Sie
a) mit Hilfe des Sinussatzes:
b) mit Hilfe des Dreiecks-Flächensatzes:
In jedem Dreieck teilt eine Winkelhalbierende die Gegenseite im Verhältnis der
anliegenden Seiten.
449.
Berechnen Sie den exakten Wert von sin (22.5°).
Tipp: Zur Berechnung eignet sich z.B. ein rechtwinklig-gleichschenkliges
Dreieck.
450.
In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Halbierende des rechten Winkels die
Hypotenuse in die beiden Abschnitte 5 cm und 7 cm.
Wie gross ist der Flächeninhalt des Dreiecks?
104
2.2.3
Trigonometrie
Cosinussatz
Cosinussatz:
451.
. Notieren Sie die
drei Gleichungen
des Cosinussatzes.
452.
Welche Aufgabentypen
kann man mit dem Cosinussatz lösen?
453.
Zeigen Sie: Der Satz des Pythagoras folgt aus dem Cosinussatz.
454.
In der Formel c2 = a2 + b2 - 2ab cos y korrigiert der Summand 2ab cos y
den Unterschied zum rechtwinkligen Dreieck. Zeigen Sie dies an den folgenden
drei Dreiecken: a = 3 cm;
b = 4 cm;
y = 70° , 90° , 110°
455.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und
a) b
36.2 cm ;
a
39.6° ;
b) b
7.85 m ;
y
113.2°;
c) a
9.4 cm;
ß
44.8° ;
d) a
12.1 cm ;
b
9.6 cm ;
e) a
12.80 m ;
b
7.60 m ;
f) a
26.2cm;
b
17.1cm;
456.
In einem Dreieck ist die längste Seite 2.5 mal so lang wie die kürzeste Seite, die
kürzeste ist andererseits das 0.6-fache der mittleren Seite.
Berechnen Sie den grössten Winkel des Dreiecks.
457.
Eine Winkelhalbierende eines Dreiecks ist 6 cm lang, sie teilt die Gegenseite in
zwei Abschnitte mit den Längen 2 cm und 5 cm.
Berechnen Sie je die Länge der beiden übrigen Seiten.
Winkel.
c
44.3 cm
a
9.75 m
c
15.1 cm
c
10.6 cm
c
9.60 m
y
37.3°
Trigonometrie
105
458.
Berechnen Sie die fehlenden
a) a
16.1 cm;
b
b) b
18.2 cm ;
s, =
c) a
8.1 cm;
wß =
d) a
47.35° ;
s, =
Seiten und Winkel des Dreiecks ABC.
15.4 cm;
Sb
14.5 cm
15.9 cm ;
Sc
13.2 cm
10.6 cm;
ß
35.2°
14.00 m ;
c
10.95 m
459.
Berechnen Sie die Länge der Winkelhalbierenden Wa und wy eines Dreiecks
ABC mit a = 13.0 cm, b = 6.5 cm und c = 12.0 cm.
460.
Bei einer Uhr hat der Minutenzeiger, vom Zentrum des Zifferblattes bis zur
Zeigerspitze gemessen, eine Länge von 40 cm. Die entsprechende Länge des
Stundenzeigers beträgt 25 cm.
Berechnen Sie die Entfernung zwischen den beiden Zeigerspitzen um
20.27 Uhr.
461.
In welchem Verhältnis wird der Flächeninhalt des Dreiecks ABC durch die Winkelhalbierende wß geteilt, wenn die Innenwinkel a, ß und y gegeben sind?
462.
Ein Dreieck ABC hat die Seiten a = 5 cm, b = 6.8 cm und c = 7.5 cm.
Die Mittelsenkrechte auf a schneidet die Seite c im Punkt P und die Seite a im
Punkt M.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks PMCA.
463.
Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit den Seiten s = 7.2 cm.
Im Innern des Dreiecks liegt der Punkt P mit den Abständen
AP = 4.7 cm und BP = 5.3cm.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BPC.
464.
Gegeben ist ein Trapez ABCD mit der Parallelseite AB = 11 cm, dem Schenkel
--AD = 5 cm, der Diagonalen AC = 7.5 cm sowie dem Winkel a (bei A) = 65 0.
Berechnen Sie die Länge des Schenkels BC.
465.
In einem Sehnenviereck sind die Seiten a = 5.0 cm, b = 3.2 cm, d = 3.4 cm
sowie der Winkel a = 80° gegeben.
Berechnen Sie die beiden Diagonalen e und f, die Seite c und den Winkel ß.
466. *
Von einem Sehnenviereck kennt man alle Seiten:
a = 6.3 cm, b = 7.3 cm, c = 5.3 cm, d = 4.4 cm
Bestimmen Sie den Radius des Umkreises.
467.
Von einem Sehnenviereck kennt man die Seiten AB = 5 cm und BC
die Diagonale BD = 5 cm sowie den Winkel ADC = 120°.
Berechnen Sie die Seite CD des Sehnenvierecks.
= 4.5 cm,
Trigonometrie
106
R = 62 cm
r = 35 cm
BC = 47cm
468.
Berechnen Sie u.
A
469.
In der Figur kennt man die Grössen
a = DE = 6cm, b = AE = 3cm,
c = BC = 9 crn, U = 20°
Berechnen Sie
ß.
A
470.
B
Gegeben ist das spitzwinklige Dreieck ABC mit den Seiten b
c = 12 cm und dem Winkel ß = 50°.
Berechnen Sie den Radius des Inkreises des Dreiecks AHC.
(H ist der Höhenfusspunkt der Höhe auf die Seite c)
471.
Das Dreieck ABC ist gegeben:
AB = 14 crn, BC = 6 crn. AC = 11 cm
Die Strecke AD halbiert den Winkel CAB,
ebenso halbiert BE denWinkel ABC.
c
Berechnen Sie den Flächeninhalt
des schraffierten Dreiecks.
A
B
472.
10 crn,
Das Dreieck ABC ist gegeben:
AB
24cm
BC
19cm
AC
22cm
Berechnen Sie die Strecke DE.
A
Trigonometrie
107
473.
Ein Dreieck ABC hat einen Umkreisradius r = 7.2 cm.
Das Winkelverhältnis lautet:
a :ß :y = 3 : 4 : 5
Berechnen Sie die Seite c und die Dreiecksfläche.
474.
Vom Dreieck POR kennt man PO = 11.2 crn, PR = 6.6 cm und den Umkreisradius r = 6.2 cm. (M liegt innerhalb des Dreiecks).
Berechnen Sie die Seite OR .
475.
Es gibt zwei Dreiecke mit a = 12.5 rn, b = 8.2 mund
Berechnen Sie den kleineren der beiden Inkreisradien.
476.
Gegeben: AB = 8.0cm,
Berechnen Sie DF.
2.2.4
ß
37°.
a = 45°
Vermischte Aufgaben mit Parameter
477.
Berechnen Sie den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks aus
(1) c, ß und dem Umkreisradius r.
(2) o, ß und a.
478.
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC (CA
den Winkel y gegeben.
Berechnen Sie die Seiten a und c.
479.
Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge a.
Die Seite AB wird über B hinaus um BP = ~a verlängert, ebenso wird
-
-
= CB) ist durch die Schwerlinie
Sa
1
BC um CO = 3~ verlängert.
Berechnen Sie PO aus a. (Lösung exakt angeben!)
480.
Von einem gleichschenkligen Dreieck kennt man die Basis a und den Basiswinkel rp.
Berechnen Sie die Länge der Winkelhalbierenden von <po
und
108
481.
Trigonometrie
Gegeben ist der Radius r des Kreises
und der Winkel a = 45 0.
Der Punkt C halbiert den Radius DM.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des
Dreiecks ABC aus r.
482.
DI--~~_::"-_-~
B
* In der Figur ist AB = BC,
und a = 56°.
D
Berechnen Sie die Strecke PE
aus dem Kreisradius r.
p...::;;----~--~-~483.
* Gegeben ist ein Kreis mit Radius rund
Zentrum M, eine Sehne AC mit den
Sehnenabschnitten
AB
=~
und BC =
~ r.
Die Strecke x = BD bildet mit der
Sehne AC einen Winkel a = 60°.
Berechnen Sie die Strecke x
=
BD.
Aufgaben, die auf ein Gleichungssystem führen können
484.
Berechnen Sie in einem Dreieck ABC die Seite c, wenn folgende Grössen
bekannt sind: a + b = 757.6 cm, a = 58.0°,
ß = 80.6°
485.
Folgende Grössen sind in einem Dreieck ABC bekannt:
b + c = 40 mm, A = 126 rnrn'". a = 140°
Berechnen Sie die Seiten bund c.
486.
Berechnen Sie alle Seiten des Dreiecks ABC mit folgenden Angaben:
a + b + C = 1966 cm , a = 115°,
ß = 22 °
487.
Von einem Dreieck ABC sind gegeben:
a+b=52.0
cm, A = 160· J3 crn". y = 60°
Berechnen Sie die unbekannten Seiten und Winkel.
Trigonometrie
2.3
Aufgaben aus Physik und Technik
2.3.1
Aufgaben aus der Statik
109
488.
Eine Kraft von 5000 N ist in zwei Komponenten zu zerlegen, die mit der gegebenen Kraft Winkel von 34° und 47° bilden.
Wie grass sind die beiden Komponenten?
489.
An einem Punkt greifen zwei Kräfte von 700 N und 300 N an.
Welche Winkel muss eine dritte Kraft von 900 N mit den beiden andern
Kräften bilden, wenn Gleichgewicht herrschen soll?
490.
491.
~
~
~
Drei Kräfte F 1 , F 2 und F 3 halten sich an einem Punkt das Gleichgewicht.
Welche Winkel bilden sie zueinander bei folgenden Angaben:
F, = 200 N , F2 = 130 N und F3 = 110 N.
Berechnen Sie jeweils die Kräfte in den Stäben bzw. Seilen A, B, C, D aus den
Grössen F, a, ß ,y und o.
a)
c)
d)
110
2.3.2
Trigonometrie
Aufgaben aus der Vermessung
492.
Zwischen den Punkten A und B liegt ein Hindernis (Gebäude). Um die Distanz
trotzdem bestimmen zu können, wird ein von beiden Punkten aus sichtbarer
Hilfspunkt C gewählt.
Wie lang ist AB, wenn Folgendes gemessen wurde:
AC = 85.3m, BC = 50.7m, LACB = 64.90
493.
Vermessung: Vorwärtseinschneiden
Von zwei Punkten P und Q müssen deren Distanzen zu einem unzugänglichen
Punkt R (Felswand) ermittelt werden. Folgende Messungen wurden gemacht:
PQ = 76.2 rn , LRPQ = 53.30, LPQR = 44.60
494.
Vermessung: Vorwärtseinschneiden nach zwei Punkten
Es soll von der zugänglichen Strecke a die Länge
einer unzugänglichen Strecke x ermittelt werden.
a
84.3 m
't,
70.3°
\j!,
42.3°
62.3°
\j!2
25.7°
't2
v
't2
X c.-...I....I..
..L....,jL.....;», y
a
495.
Vermessung: Rückwärtseinschneiden
Zwischen den Punkten C und D liegt ein Hindernis. A
Es soll die Distanz CD berechnet werden,
wenn folgende Messresultate vorliegen:
AB
Y,
Y2
0,
02
496.
74.3 m
112.4°
46.0°
79.5°
29.4°
Höhenmessung
Von der horizontalen Standlinie AB aus wird die Höhendifferenz ~h berechnet.
AB = 36.5 m
a = 78.4° ; ß = 57.1 °
Höhenwinkel:
(j>,
38.9°
(j>2 = 34.7°
Kontrollwinkel!
D
B
B
112
2.4
Trigonometrie
Ähnliche Figuren
499.
Berechnen Sie alle Seitenlängen eines Dreiecks ABC aus folgenden Angaben:
a) a: b : c = 5 : 3 : 7,
ha = 5 cm
b) a: b = 5 : 6,
y = 60°, Umkreisradius r = 4.5 m
c) a: b : c = 6 : 8 : 11, Inkreisradius p = 24 mm
d) a: r = 3 : 2 (r: Urnkreisradius], y = 65° r hb = 6 cm
500.
(1) Berechnen Sie das Verhältnis
der beiden Segmentflächen
(A1 : A2) aus dem Winkel <po
(2) Für welchen Winkel <p gilt:
A1 : A2 = 1 : 3
501.
Einem Dreieck ABC mit b = 18 crn, c = 24 cm und a = 38° soll ein ~
seitiges Dreieck so einbeschrieben werden, dass eine Seite parallel zur Seite AB
liegt. Berechnen Sie die Seitenlänge des einbeschriebenen Dreiecks.
502.
Vom Dreieck ABC sind gegeben: a = 10.5 crn, c = 13.8 cm und ß = 32°.
Die Parallele zur Seite c durch den Inkreismittelpunkt schneidet die Seiten a und
b in den Punkten D und E.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks DEC.
503.
Unter welchem Winkel schneiden sich die gemeinsamen Tangenten zweier sich
berührender Kreise, deren Flächeninhalte sich wie 9: 4 verhalten?
504.
BC: CD = 7 : 5
AB ist parallel zu DE.
A
Z
Berechnen Sie c.
505.
BE: ED = 4 : 1
Berechnen Sie
506.
B
~------~------~
ß.
* Von einem Dreieck ABC kennt man die drei Höhen:
ha=4cm,hb=5cm,
hc=6cm
Berechnen Sie die Länge aller Seiten.
Trigonometrie
2.5
Trigonometrische
2.5.1
Argumente im Gradmass
507.
113
Funktionen
Zeichnen Sie jeweils den Graphen im Bereich 0° :s; a:S; 540°
Verwenden Sie pe oder Rechner.
Durch welche geometrische Abbildung geht der Graph aus der Kurve
y = sin o: bzw. y = cos a hervor?
(siehe Aufgabenbuch: FrommenwilerlStuder:
"Mathematik für Mittelschulen - Algebra"
4.Auflage, Seiten 163 und 164)
(1) y
a)
c)
y
y
sin a + d
=
=
oder
y = cos a + d
b)
d)
sin a+ 1.5
cos a+ 1.2
Y = cos a-0.8
y = cos a-0.5
(2) y
a-sin a
e)
y
1.8sin a
f)
y = 0.6cos a
g)
y
-2.1sin
h)
y = -~cos
=
(3) y
i)
k)
oder
a
sin (bu)
oder
y = a-cos a
a
y = cos (b·a)
sin (3a)
-sin (0.8a)
j)
I)
y = sin (0.5a)
m) y
=
=
-cos (~)
n)
y = -cos (1.25a)
(4) y
=
sin (o.+c)
y
q) y
=
=
sin(a+300)
cos(a+500)
0)
y
y
oder
y
=
cos (2a)
y = cos (a+c)
p)
r)
y
=
y =
sin (a-500)
cos (a-1000)
114
Trigonometrie
508.
Zeichnen Sie den Graphen für a ~ 0° (eine ganze Periode).
Zu berechnen sind:
- y-Achsenschnittpunkt
- Periode
kleinste positive Nullstelle
- die Koordinaten des ersten Hoch- und Tiefpunktes
a) y
-sin(0.2a)
b) y
cos(-3a)
c) y
sin(2a) -2
d) y
-0.5·cos a + 2
e) y
2·cos(0.5a)
f)
y
sin(~ +45)
g) y
-0.8·sin[2(a-300)]
h) y
-1.5·cos(a
+ 20°) + 1.5
509.
Zeichnen Sie den Graphen im Bereich 0° s a < 360°.
a) y
1 - cos a
b) y
sirr'o;
c) y
sin2a + cos'rx
d) y = sin a + cos a
e) y
sin a + cos(a + 90°)
510.
Das folgende Diagramm zeigt drei Sinuskurven.
Geben Sie jeweils die Kurvengleichung an.
y
1
0.5
0
1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1- - -"I
-1.5
1
1
1
1
1
1
-1- - - "I
-0.5
- - - - -r - - - --r - - - - -r - - - -
60
120
180
240
- - - -
300
360
Trigonometrie
511.
115
Geben Sie eine zum Graphen passende Funktionsgleichung von der Form
a-sin (ba + c) an.
y
y
..,
1-
I
I
I
-'1
0.5
I
I
O~--~~--~.-~~----~~---t---i~~:
I
I
_~_J
-0.5
I
L_...J
1.
180
240
300
I
I
I
360
y
1
0.5
a (0)
0
-0.5
-1
512.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge tür 00:s; a < 00.
a) cos(4a)
-sin(5a)
b) tan(0.5a) = 2·sin a
c) cos(2a)
-1.5·sin a + 1.5
d) 2sin a -cos a = 1
e) sin(3a)
513.
0.6·cos(3a)
f)
sin o. + 1;00 - 2.2
= 0
Bestimmen Sie die Lösungsmenge tür 00:s; a < 00.
a) sirr'« = -1.2·cos a
b) -sin (2a+500) = I cos n]
c) 1.5·sin(2a) = -2.5cos(3a)
d) cos a + cos(2a) + cos(3a)
0
116
2.5.2
514.
Trigonometrie
Argumente im Bogenmass
Zeichnen Sie den Graphen für 0 s x ~ 3n.
Verwenden Sie pe oder Rechner.
Durch welche geometrische Abbildung geht der Graph aus der Kurve
y = sin x bzw. y = cos x hervor?
(siehe Aufgabenbuch:
FrommenwilerlStuder:
"Mathematik für Mittelschulen - Algebra"
4.Auflage, Seiten 163 und 164)
(1) y
= sin x + d
a) y
c) y
sin x + 1.5
cos x - 1.2
(2) y
a . sin x
e) y
= -2·sin x
(3) y
sintb-x)
i)
k)
b) y
d) y
oder
y
f)
1.3·sin x
g) y
y
oder
O.b-cos x
= _l·cos
x
3
oder
y
costbx)
y
y
sin(0.5x)
cos(2x)
j)
I)
m) y
= -cos(~)
n) y
(4) y
= sin(x + c)
oder
in)
5
q) y = cos (x + 1 2
y
p) y=
n)
a . cos x
y
sin(3x)
0) y = sin (x +
cos x - 0.8
sin x - 0.9
h) y
= -sin(0.8x)
y
y
cos x + d
r)
y=
= -cos(1.25x)
= cos(x+c)
;4n)
cos (x - ~n)
sin (x-
Trigonometrie
515.
117
Zeichnen Sie den Graphen für x ~ 0 (eine ganze Periode).
Zu berechnen sind:
y-Achsenschnittpunkt
Periode
kleinste positive Nullstelle
die Koordinaten des ersten Hoch- und Tiefpunktes
a)
y
sin (tx)
b)
y
cos (-3x)
c)
y
sin(2x)-1.2
d)
y
-O.5·cosx+2
e)
y
sin(x+-,tn)
f)
y
2·cos(O.5x)
g)
y
-O.8.sin[2(x-~n)J
h)
y
-1.5.cos(x+1 2n)
1
516.
Zeichnen Sie den Graphen im Bereich 0:::; x :::;2n
a) y
1 - cos x
b) y
(sin X)2
c) y = (sin X)2 + (cos X)2
d) y = sin x + cos x
517.
Das folgende Diagramm zeigt drei Sinuskurven.
Geben Sie jeweils die Kurvengleichung an.
y
1.5
- - - -.- - - - -,- - - - --
- - -
- - - -
- - - - -- - - - - - - - - -.
I
I
I
1
I
----~----I
I
I
I
I
I
0.5
~- - - -
I
I
I
I
I
I
I
o
X (rad)
-0.5
-1
1t
2
1t
118
518.
Trigonometrie
Geben Sie eine zum Graphen passende Funktionsgieichung von der Form
an.
y = asin (bx+c)
y
1
0.5
o -+-----\,---+---+----'-------\--+----+---'-1
-
.•X
(rad)
1
1
-~
-0.5
1
1
1
---~
-1
1t
21t
1t
2
y
1
0.5
o +----+-:71""'---+---'-----+---'------+---'-1--.
1
-0.5
1
1
1
1
1
1
1
-~-----~
-~-----
-1
--1--------___
1
L
L
~
1t
1t
31t
1
21t
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für x ~ O.
a) sin (x+~)
c) tan ~
=
e) sin (2x)
520.
1
2
2
519.
(rad)
--,-----
1
~
X
=
cos x
11.2 cos x]
= -
1.2 sin x + 0.5
b) tan ~ = sin x + 0.5
2
d) sin x + cos x = 0
f)
tan (0.5x)
=
5 sin x
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für x ~ O.
a) sin(3x) = -1.2·cos(3x) - 0.7
b) 3·sin(0.5x)· cos(0.5x)
c) sin x = -cos(0.25x)
d) cos(3x) = 0.2x
1.3
Trigonometrie
2.5.3
119
Angewandte Aufgaben
521.
Die wissenschaftlich nicht fundierte Theorie der Biorhythmen besagt Folgendes:
Das Leben des Menschen verläuft vom Tag der Geburt an in wellenförmigen
Schwingungen. Dabei gelten folgende Perioden:
- physische Aktivität: 23 Tage
- Gefühlsleben: 28 Tage
- intellektuelle Leistungen (Verstandesleben) : 33 Tage
Bei einer bestimmten Person sind am 1. März alle drei Bereiche auf Null.
a) Beschreiben Sie die physische Aktivität durch eine Funktion der Form
Alt) = Z· sin(at) mit -10 s A s 10. (t in Tagen)
Wie ist der Stand der physischen Aktivität am 25. Mai desselben Jahres?
b) Beschreiben Sie die intellektuelle Leistung durch eine Funktion der
Form l.tt) = Z sin(bt) mit -10 s L s 10. (t in Tagen)
Wie ist der Stand der intellektuellen Leistung am 21. Juni desselben
Jahres?
522.
Die Gezeiten (Ebbe und Flut) verlaufen mit einer Periode von ca. 12.5 Stunden.
Es wird angenommen, dass der Verlauf des Wasserstandes sinusförmig sei.
Der Tidenhub (Höhenunterschied zwischen Höchststand und Tiefststand)
beträgt bei der englischen Hafenstadt Hull 7 m.
a) Beschreiben Sie den Verlauf des Wasserspiegels durch eine Sinusfunktion
H = ftt).
(-3.5m s H s 3.5m)
t: Zeit in Stunden
H: Abweichung in Meter vom mittleren Wasserstand
b) Wie viele Meter über dem Tiefststand steht der Meeresspiegel 7 Stunden
nach dem Höchststand?
523.
A
Eine Kugel schwingt an einer vertikal aufgehängten Feder auf und ab.
Diese Schwingung lässt sich durch eine Sinusfunktion s = fIt) (s: Auslenkung, t: Zeit)
beschreiben, falls man die Reibung vernachlässigt.
Die maximale Auslenkung (Amplitude) sei A
und die Schwingungsdauer T.
-A
Bestimmen Sie die Funktion s = fIt), falls
a) s = 0 m für t = 0 s ist und sich die Kugel nach oben bewegt.
b) s = A = 12 cm für t = 0 s ist und T = 3 s beträgt.
Berechnen Sie die Auslenkung für t = 1.2 s.
Trigonometrie
2.6
Goniometrie
2.6.1
Beziehungen zwischen
121
sin a, cos a und tan a
tan a =
525.
526.
Vereinfachen
Sie unter der Voraussetzung,
sin a
cosa
dass a, ß und y Innenwinkel
Dreiecks sind.
a) sin2y+ cos2(a+ß)
b)
sin2
Vereinfachen
Sie:
a) tan a . cos a
b)
(1+sin <p) (1-sin
--2-ß - 1
d)
e)
sin4y
f)
cos
- cos4y
1
1+tan2(J)
i)
(sinö+cosö)2+
k)
_1_
tan" a
(sinö-cosö)2
+ sin2(1800-~)
<p)
sin2a
1- cos a
1
c)
g)
Cx;r)
tan <p-1
sin <p- cos <p
h)
J1
j)
------
+cos a
.
J1
1
sin y
1-sin y
cos! y
-cos
a
+ 1
Goniometrische Gleichungen
Für die Aufgaben 527 bis 537 gilt die Grundmenge 0°
527.
Für welche
Werte des Parameters
p
= '4
a)
sinx
c)
sinx=%
sx <
p ist die folgende
b)
cosx
360°.
Gleichung
3-p
= -5-
d)*cosx=~:~
e) * sin x = 2p-l
6p
528.
a)
sin (3x)
529.
a)
sin (x-20°)
0.8
b)
cos (100°-x)
c)
sin (10°-x)
1.2
d)
tan (x
b)
= 0
tan (2x) = 3
+ 50°)
= -0.4
= 2.8
lösbar?
eines
122
530.
531.
Trigonometrie
a) sin2x = 0.2
c) cos2(x-500)
10
= -0.36
a) sin x . cos x = 0
sinx
cosx
=
b) sin x - cos x = 0
0
d) sin x (1 +cosx)
c)
e) tanx(1+sinx)
532.
a) 2·cos2x + cos
533.
a) 4·sin2x - 4·sin x + 1
c)
534.
535.
536.
537.
= 0
= 0
X
= 0
o
5·sin2x + sin x = 1
a) sin x + tan x = 0
c) sin x . cos x . tan x
e) cos x - 3·sin x = 0
g) 2·sin2x
7·cos2x
a) 3·sin x
2·cos2x
2
c) 10·cos x+7.5·sinx
a) sin x . cos x = 0.6
c) cos x = 2·tan x
b)
5·sin2x = 3·sin x
b)
cos!
X
d) tan x +
0.25
11
+ 2.1·cos x + 0.2
ta~x
= 3.5
b) tan x + 3'sin x = 0
d) sin x = 5·cos x
f) 4·sin x + 46·cos x = 0
b) sirr'x - cos/x = 0.2
d) sin2x + 1.6·cos x = 0.2
b) sin x + cos x = 0.8
* Für welche Werte des Parameters a hat die Gleichung
mindestens eine Lösung?
o
sin2x + cos x
a
Trigonometrie
2.6.2
538.
123
Additionstheoreme
a) Berechnen und vergleichen
(1) sin 20° + sin 30°
(2) sin 120° - sin 80°
(3) cos 30° + cos 50°
(4) tan 20° + tan 80°
Sie:
und
und
und
und
sin (20° + 30°)
sin (120°-80°)
cos (30° + 50°)
tan (20° + 80°)
b) Für welche der folgenden Funktionen f gilt: f(a) + f(b) = f(a + b},
wobei a und b beliebige Zahlen aus dem Definitionsbereich der entsprechenden Funktion sind?
f,(x)
x2
f2(x)
Ax + B (A, B ER)
10
X
f4(x)
539.
=
x1
fs(x)
Ax
(A ER)
Beweisen Sie das Additionstheorem der
Sinusfunktion mit Hilfe der Gleichung:
ApQS = ApRS + ApQR
p
Q
--------
L..--L--L
S
R
D~
~
B
Berechnen Sie a zuerst mit dem Satz von Pythagoras im Dreieck CBD und anschliessend mit
dem Cosinussatz im Dreieck ABC.
Folgern Sie daraus das Additionstheorem
der Cosinusfunktion.
Tipp: Um die Rechnung zu vereinfachen,
kann man e = 1 wählen.
540.
A
124
541.
Trigonometrie
Beweisen Sie das Additionstheorem für tan (a+ß).
sin(a+ß)
Tipp: Verwenden Sie tan (a + ß) = cos (a + ß)
und dividieren Sie Zähler und
Nenner durch cos a cos ß.
°
542.
543.
544.
Wenden Sie ein geeignetes Additionstheorem an:
a) sin (a + 90°)
b) cos (1800-<p)
d) cos(ß+600)
e) tan(a+45°)
c) sin (1:-45°)
f) tan (600-y)
Berechnen Sie den exakten Wert von
a) sin 75°
b) sin 15°
c) cos 105°
d) tan 15°
Beweisen Sie die folgende Gleichung mit Hilfe eines Additionstheorems:
a) sin (2a) = 2·sin a cos a
b) cos (2a) = cos'rx - sin2a
c) tan (2a) =
2 tan 2a
1 - tan a
Tipp: Setzen Sie 2a = a + a
o
545.
Vereinfachen Sie:
a) sin (60° +a) - sin (600-a)
c) cos (<p-300)
sin <p
-os
b) cos (30° + a) - cos (300-a)
d) cos (a+<p) + cos (a-<p)
546.
a) Drücken Sie sin (3a) durch sin a aus.
Tipp: Ersetzen Sie 3a durch Zn+cc,
b) Drücken Sie cos (3a) durch cos a aus.
547.
Bestimmen Sie x und V aus den Gleichungen
xsin a - v-sin ß = 0
und xcos a + vcos ß
548.
549.
=
G.
Der folgende Term kann als Sinusfunktion a-sin (x + <p) dargestellt werden.
Berechnen Sie a und rp.
a) 3·sin x + 4·cos x
b) 2·sin x - cos x
c) 0.5·sin x + 5·cos x
d) sin x + cos x
Durchläuft ein Lichtstrahl eine Glasplatte der Dicke d, so wird er durch
zweimalige Brechung um die Strecke x
parallel verschoben.
Berechnen Sie x aus dem Einfallswinkel a und der Brechungszahl n.
sin a
n=--sin ß
Trigonometrie
550.
Lösen Sie die folgende Gleichung für
a) sin (x + 100°) = 0.7·sin x
c) tan (x + 20°) = 2·tan x
c
551.
125
0°::; x < 360° .
b) cos (x + 60°)
Gegeben sind:
c = AB = 280 m; 0
AD : DB = 3 : 2
O.4·cos (x-20°)
= 16°; c = 21 °
Berechnen Sie a, b, o., ß.
552.
2.6.3
Ein Dreieck ABC ist gegeben durch
a = 41.2 cm;
h, = 9.8 cm;
a = 115°
Berechnen Sie die Seiten bund c.
Tipp: Berechnen Sie zuerst einen Teilwinkel von a.
Funktionen des doppelten Winkels
=
2· tBn a
1 - tan2a
Beweisen Sie die Gleichung
553.
sin (2a)
=
2·sin cc-cos a
mit Hilfe des gezeichneten Dreiecks.
554.
Der Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Schenkellänge a und
dem Basiswinkel a kann mit der Formel A = ~a2 . sin (2a) berechnet werden.
Leiten Sie diese Formel her.
126
Trigonometrie
555.
Berechnen Sie die Sehnenlänge x aus a
und rp.
556.
Berechnen Sie die Strecke AC aus a
und b.
E
a
A
557.
, ,,,
,,
,,
H
In welcher Entfernung x vom Fusse des
Gebäudes sieht man Gebäude und Turm
unter dem gleichen Winkel?
Die Grösse des Betrachters soll vernachlässigt werden.
,,
,
,,
,,
,
,
"
h
aJ'
,,
Cl
.••~
" ,
~---:---.:~-+-----_.::..C
a) h = 16 m;
H = 28 m
b) allgemein für hund H.
x
558.
Berechnen Sie den exakten Wert von tan a, wenn
559.
Vereinfachen
a) sin (~)
560.
Sie:
. cos (~)
c)
2· cos2(~)
e)
(1 - tan2(~))
Vereinfachen
sin (2a)
a)
sin a
c)
e)
g)
(j)
•
b) 2 . sin (2A.). cos (2A.)
d) cos2(2ß) - sin2(2ß)
-1
. tan Tl
Sie:
b) (sin ß + cos ß)2
cos4y - sin4y
sin
tan (2a)
cos ro
sin2(j) - cos2(j)
2 ·tan a
tan (2a)
d)
f )
cos (25)
cos 5 - sin 5
1 - cos(2<p)
sin(2<p)
3 ist.
Trigonometrie
561.
Lösen Sie die folgende Gleichung:
a) sin x = sin (2x)
für
b) 4· sin xcos x = - 1.2
für
c) sin(2x)· tan x = 1
für
d) sin x = 1 - cos(2x)
für
e) tan x + tan(2x) = 0
für
f)
cos x + cos(2x) = -1 für
g) tan(2x) = 4·tan x
für
h) cos(2x) = 2·cos x
für
2.6.4
127
0° ~ x < 360°
0° ~ x < 360°
0° :0:; x:O:;180°
0° :0:; x :0:; 180°
0°:O:;x:o:;1800
0° :0:; x :0:; 180°
0° :0:; x ~ 180°
0° ~ x < 360°
Transzendente Gleichungen
Hinweis:
Die folgenden Bestimmungsgleichungen können mit Hilfe eines grafikfähigen Rechners oder näherungsweise grafisch (z.B, als Schnittpunkt
von zwei Funktionsgraphen) gelöst werden.
562.
Lösen Sie die folgende Gleichung in der Grundmenge 0 ~ x < 21I.
(Lösungen in rad angeben).
a) cos x = 1.2x
b) x = tan x
c) x - 0.51I = sin x
d) 2x + tan x = 2
e) sin(2x) = x + 0.6·cos x
f) sin x + tan x = 2x
563.
Berechnen Sie den Zentriwinkel tp
(tp< 180°) eines Kreissegmentes aus
dem Radius r und dem Flächeninhalt A.
a)
r
b)
r
12 cm;
2.63 m;
A
A
B
564.
Für den Schwerpunkt Seines Kreissektors gilt:
4·sin (~)
x=
. r
3·tp"
Für welchen Winkel tp liegt der Schwerpunkt auf der Sehne AB?
A