Unschärferelation Unschärferelation

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Vorlesung am Freitag, den 6. Mai 2016 fällt aus
Heisenberg-Mikroskop
Heisenberg
Mikroskop
Orts-Impuls Unschärfe
Energie-Zeit Unschärfe
Virtuelle Teilchen
Hawkings Strahlung
Hawkings-Strahlung
Unschärferelation
Heisenberg 1
Elektronenbeugung
Diagnose
Beugung eines Elektronenstrahls an einer Lochblende zeigt, dass Elektronen Materiewellen sind
Heisenberg 2
Thema Unschärferelation
Heisenberg-Mikroskop
g
p
Heisenberg 3
Baseball mit Elektronen
Symptome
Beim Baseball streut Position des Baseballs für den Batter
vergleichbares Experiment
mit Elektronen
Diagnose
- Auftreffposition des Baseballs kann nur ungefähr vorausgesagt werden
- Elektronen-Baseball zeigt ähnliches Verhalten
Heisenberg 4
Akustische Analogie
Unschärferelation
Überlagerung von akustischen Wellen
At   A1 cos2f1t   A2 cos2f 2t 
t0
in phase
konstruktive
Interferenz
t
t
2
destruktive
Interferenz out of phase by 
Diagnose
Überlagerung von Schallwellen nahezu gleicher Frequenz liefert eine sogenannte Schwebung
Heisenberg 5
Superposition der Amplituden
Schwebung
g
A f1 
A f 2  f1 
A f1   A f 2 
Resultat der Überlagerung der beiden Schwingungen
Heisenberg 6
Akustische Analogie
Unschärferelation
Symptome
Um Frequenz Schallwelle zu ermitteln, muss Signal über Zeitspanne wahrgenommen werden
Ton erklingt für eine Sekunde
Phasendifferenz bei t / 2
2f 2
t
t
 2f1

2
2
2
 f 2  f1   t  
2
mit f  f 2  f 1 ergibt sich
Ton erklingt für 0.005 s
f  t  1
Unschärferelation für eine akustische Welle
Unschärferelation für Schallwellen
f

t
Halbwertsbreite
Halbwertsbreite der im Puls
enthaltenen Frequenzen der Dauer des Schallsignals
1
Diagnose
-
Produkt von Frequenzbreite und Länge des Zeitsignals ist ungleich NULL
V l t der
Verlust
d Genauigkeit
G
i k it bei
b i Frequenzbestimmung
F
b ti
bei
b i kürzerem
kü
Ton
T
Frequenz nur exakt bestimmbar bei anhaltendem Ton
Frequenz und Zeitmessung sind nicht unabhängig voneinander
Heisenberg 7
Akustische Unschärfe
Experimentelle Ergebnisse
Zeitbreite Frequenzbreite Unschärfe
t s 
f Hz
H 
ft
0.108
11.35
1.23
0.220
5.37
1.18
0.338
3.06
1.19
0.880
1.34
1.18
1.68
0.73
1.22
3.15
0.43
1.35
Heisenberg 8
Schwebung ins Extrem getrieben
Analog
Teilchen als Wellenpaket
Diagnose
- kohärente Überlagerung vieler Lichtwellenlängen liefert ultrakurzes Lichtpaket
- analog kann man sich ein Teilchen als Wellenpaket vorstellen
Heisenberg 9
Ort vs Impuls
Heisenberg-Mikroskop
g
p
Symptome
Photon geringer Wellenlänge erlaubt genaue Lokalisierung eines Elektrons
E ph  h
c
 ph
Diagnose
- geringe Wellenlänge
ll l
b
bedeutet
d
h
hohe
h Frequenz und
dd
damit h
hohe
h Photonenenergie
h
- hochenergetisches Photon kann MERKLICHEN Impuls auf Elektron übertragen (Compton-Effekt)
- genaue Information über Ort des Teilchens, aber GERINGERE Kenntnis des IMPULSES
Heisenberg 10
Ort vs Impuls
Heisenberg-Mikroskop
g
p
Symptome
- Photon längerer Wellenlänge bedeutet geringeren Impulsübertrag
- Impulsinformation wird genauer
E ph  h
c
 ph
Auflösungsvermögen Mikroskop
Rayleigh  Kriterium
x 
 ph
2
Di
Diagnose
- gröbere Beugungsstruktur VERSCHLECHTERT Lokalisierung des Elektrons (Rayleigh-Kriterium)
- genauere Kenntnis des Impulses des Teilchens, aber GERINGERE Information über ORT
Heisenberg 11
Thema Unschärferelation
Orts-Impuls
p
Unschärfe
Heisenberg 12
Determinismus
Laplacescher
p
Dämon
Symptome
- Ingenieur kennt Ort und Geschwindigkeit aller Teilchen eines Systems zu gegeben Zeitpunkt
- durch Messung aller Größen lässt sich Gesamtenergie Teilchen EXAKT klassisch berechnen
Wasserstand
Klassische Physik
Quantenphysik
Diagnose
In der Quantenphysik kann der Ort und der Impuls eines mikroskopischen Teilchens
NICHT mehr GLEICHZEITIG genau bestimmt werden
Heisenberg 13
Ort vs Impuls
geringe Ortsunschärfe
größere Impulsunschärfe
g
p
geringe Impulsunschärfe
größere Ortsunschärfe
g
Diagnose
Unsicherheit in der experimentellen Messung ergibt Fläche im Ort-Impuls Diagramm
Heisenberg 14
Analyse nach klassischer Optik
Unscharfe Elektronen
ORT
-
Wellencharakter der Materie verursacht Ortsunschärfe
tatsächliche Position Teilchen unklar: Größenordnung
g deBroglie
g
Wellenlänge
g
wiederholte Messung der Position liefert kein genaueres Ergebnis (Statistik)
Ortunschärfe kann verringert werden durch energiereicheres Elektron
Limit für Ortsunschärfe
xobject  object
Abhä i k it von Orts
Abhängigke
O t - und
d Impulsmess
I
l
ung im
i Experiment
E
i
t
xobject pobject  object
h
object
xobject pobject  h
BEIDE physikalischen Größen können nicht GLEICHZEITIG EXAKT gemessen werden
IMPULS
-
Ortsbestimmung erfordert Wechselwirkung (Impulsübertrag)
im Stoß verliert Teilchen Impuls (0<pfinal<pmax)
genauer Impulsverlust kann nicht vorhergesagt werden
wiederholte Messung des Impulses liefert kein genaueres Ergebnis
Impulsunschärfe kann verringert werden durch energieärmeres Elektron
Limit für Impulsunsc
p
härfe
pobject 
h
object
Diagnose
Messung verändert das zu untersuchende System und es kommt zu Informationsverlust
Heisenberg 15
Ort vs Impuls
Massenabhängigkeit
gg
gleicher Impuls
m p  2000  me
geringere Geschwindigkeit bei größerer Masse
xobject v object 
1 
2 mobject
Diagnose
Massivere Teilchen zeichnen sich durch geringere Messunsicherheit aus
Heisenberg 16
The Nobel Prize in Physics 1932 was awarded to Werner Heisenberg
f th
for
the creation
ti
off quantum
t
mechanics,
h i
th
the application
li ti
off which
hi h h
has, iinter
t alia,
li
led to the discovery of the allotropic forms of hydrogen
Heisenberg 17
Ort vs Impuls
Ursache-Wirkung
g futsch
Symptome
Aus Anfangsbedingungen kann Entwicklung physikalischer Größe nicht vorhersagt werden
Heisenbersche Ort - Impuls Unschärferelation
xobject pobject   / 2
quantenphysikalisches Resultat
gängige
g
g ge Notation
o o

h
2
genannt h  quer
John A Wheeler the man who
termed the name Back Hole
Diagnose
- Quantenphysik lässt NUR Wahrscheinlichkeitsaussagen zu
- Wellenpaket zerfließt und kann nicht mehr genau verortet werden
- Basis für philosophische Diskussionen zum Determinismus
Heisenberg 19
Quantum baseball
Diagnose
- Atomwurff aufgeblasen
f bl
auff makroskopische
k
k
h Dimensionen
- Messung (Baseballschläger) verändert das System
- Strike des Batters entscheidet über home-run oder strikeout (möglicherweise)
Heisenberg 20
Heisenberg und Lokalisierung Wellenpaket
Wellenfunktion
Symptome
- Teilchen werden als Wahrscheinlichkeitsamplitude darstellt
- Funktion ist abhängig von Ortskoordinate und Zeitpunkt der Messung
Intensität vs Amplitude bei Wellen
2
opt
opt
I
 x, t   A  x, t 

QM r ,t 
Wellenfunktion eines Teilchens
dieser Wert ist im Experiment NICHT zugänglich
Quadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude für ein Teilchen
2

QM r ,t 
NUR dieser
di
Wer
W t ist
i t experiment
i
tell
ll zugänglich
ä li h (Observabl
(Ob
ble))
Wellenfunktion für Doppelspalt
1  2
Superpositionsprinzip
Doppelspaltexperiment
- nach Doppelspalt überlagern sich Wellenfunktionen
- Elektronen erzeugen Interferenzmuster auf Detektorschirm
Diagnose
- heißt Wellenfunktion und hat Eigenschaften einer Welle
- Wellenfunktion
ll f k i
 ist
i k
komplexe
l
Funktion
ki
- Wahrscheinlichkeit Teilchen an bestimmten Ort zu festgelegter Zeit anzutreffen
proportional zur Intensität (Quadrat der Wellenfunktion)
Heisenberg 21
mit Heisenberg betrachtet
Doppelspalt
pp p
mit Materie
Symptome
- es besteht Ungewissheit durch welchen der Spalte das Teilchen fliegt
- daraus resultiert eine Unsicherheit in der Ortsposition
p
Beugung am Einfachspalt
vs Spaltbreite
Diagnose
- geringerer Spaltabstand
l b
d fführt
h zu verbesserter
b
Lokalisierung
k l
d
des Teilchens
l h
- Unsicherheit im Impuls (hier Ausbreitungsrichtung) vergrößert sich (Heisenberg)
- Lokalisierung Teilchenweg führt zu Verbreiterung Interferenzmaxima
Heisenberg 22
Ort vs Impuls
Ursache-Wirkung
g futsch
Symptome
Orbit des Elektrons um Proton im Wasserstoffatom kann nicht genau verfolgt werden
Messobjekt Elektron erscheint unscharf
auch gutes Messinstrument
hilft da nicht weiter
Diagnose
-
Bahnbegriff klassischer Physik verliert mikroskopisch seinen physikalischen Sinn
Zufall regiert im wahrsten Sinne des Wortes
Wechselwirkung Messapparat und Messobjekt NICHT vernachlässigbar
NICHT Folge von Unzulänglichkeiten eines Messvorgangs
Unschärferelation ist von PRINZIPIELLER Natur
Heisenberg 23
Ort vs Impuls
Ursache-Wirkung
g futsch
Symptome
In Everyday Life ist Heisenbergsche Unschärferelation vernachlässigbar
aurora borealis
auf Saturn
Diagnose
- reflektiertes
fl k
Sonnenlicht
l h übertragt
b
Impuls
l auff Saturn
- Unschärfe in Impuls beeinflusst Bahn des Planeten
- Beitrag vernachlässigbar, da Impuls von Saturn signifikant höher
Heisenberg 24
Berechne Heisenberg für Wasserstoff
Atomunschärfe
Symptome
- Ort des Elektrons kann nicht genau bestimmt werden
- Maß für die Unsicherheit ist Bahnradius des Elektrons, der sogenannte Bohrsche Radius
Impulsunschärfe
pBohr
 me v Bohr 
h
xBohr
Ortsunschä
O
härfe
f
v Bohr
6.63  10  34 Js
m
 16 000
 10
 27
10 m  1.67  10 kg
s
1
Ekin  me v 2Bohr
2
1 eV 1.602 10 19 J oder 1 J  6.2402 1018 eV
19
kin
Heisenbergsche Unschärfe in kinetischer Energie des Elektrons
E
 4.3  10
J  2.67 eV
Ekin 2.67 eV

 0 .2
EBohr 13.2 eV
Diagnose
- Bindungsenergie eines Elektrons im Wasserstoffatom beträgt 13.2 eV
- Unschärferelation liefert nicht merklichen Beitrag zur Energiebilanz (20%)
Heisenberg 25
Unschärfewerte
Kreide
E.Coli
Masse
g 
2
1.6 10-13
Masse
amu
1011
Δx
cm
10 8
10 8
Δp
Δv  Δp/m Heisenbergsche
g  cm/s m/s
Unschärfe
10 19
5 10  20
vernachlässigbar
10 19
5 10 7
vernachlässigbar
Neutron
1.7 10-24
Elektron im Atom 3.1 10-28
1.0
10 12
5 10-4 10 8
10 15
10 19
6 108
108
relevant
relevant
3.1 10-28
5 10-4 10 12
10 15
1012
unrealistisch
Elektron im Kern
Heisenberg 26
Thema Unschärferelation
Energie-Zeit
g
Unschärfe
Heisenberg 27
Heisenberg für Materiewellen
Beats
Impulsraum (k-Raum)
Ortsraum (x-Raum)
monochromatische Welle
zwei Wellen mit leicht
unterschiedlicher Frequenz
kontinuierliche Frequenz
ENGER k-Bereich
kontinuierliche Frequenz
BREITER k-Bereich
Heisenberg 28
Energie-Zeit Unschärfe
Beatfrequenz bei zwei Wellen
tbeat 
Beatfrequenz bei zwei Wellen
beat 
2  1
2


2
tbeat 
Tbeat
1

2
2 beat
2
beat
Einstein und Planck
E   
Zusammenhang Energie und Frequenz
tbeat
2

E
Heisenberg Energie - Zeit Unschärferelation
E   t   
quantenphysikalisches Resultat
genannt h  quer

h
2
Diagnose
Energie und Zeit unterliegen ebenfalls einer Unschärferelation
Heisenberg 29
Heisenberg
Energie
g vs Zeit
Symptome
- man kann Unschärferelation NICHT umgehen, indem man EINE Größe nicht bestimmt
- Natur kennt Lebensdauer eines Systems
y
Heisenberg
Energie - Zeit Unschärferelation
Eobject

j tobject
j
Umrechnung
Eobject : durch Messprozess hervorgerufene Energieunschärfe in Messung
tobject : durch Messprozess hervorgerufene Zeitunschärfe in Messung
1.0 J  6.242  1018 eV
1.0
eV
- 36

1
.
783

10
kg
c2
Diagnose
-
hohe Energieunschärfe bei geringer Lebensdauer eines Teilchen
hohe Energieunschärfe, wenn Lebensdauer eines angeregten Zustandes gering
manche Kerne oder exotische Teilchen haben Lebensdauern von nur 10-25 Sekunden
Energiegehalt eines Teichen beeinflusst Masse eines Teilchens (E=m0c2)
breite Verteilung von Ruhemasse und beim Zerfall freiwerdende Energie werden beobachtet
Heisenberg 30
Heisenberg
Energie
g vs Zeit
In accord with Heisenberg’s uncertainty principle, short-lived particles have uncertain mass.
So the Higgs boson, which gives mass to other particles, is uncertain about its own mass.
New results from the CMS experiment at the CERN LHC have started to tell us how uncertain
U
Umrechnung
h
Higgs
particle
1.0 J  6.242  1018 eV
eV
1.0 2  1.783  10-36 kg
c
aktuelle Messung
Masse Higgs Teilchen
GeV
mHiggs  125.3 2
c
Diagnose
Aus Breite des Peaks für Higgs-Teilchen kann Lebensdauer bestimmt werden
Heisenberg 31
Peter Higgs
geb 1929
g
The Nobel Prize in Physics 2013 was awarded jointly
to François Englert and Peter W. Higgs
y of a mechanism that contributes to our understanding
g
for the theoretical discovery
of the origin of mass of subatomic particles, and which recently was confirmed
through the discovery of the predicted fundamental particle, by the ATLAS and CMS
experiments at CERN's Large Hadron Collider
Heisenberg 32
Thema Unschärferelation
Virtuelle Teilchen
Heisenberg 33
Die Natur schreckt das Leere ab
horror vacui
Symptome
-
quantenphysikalisch ist das Vakuum ein brodelnder See von Teilchen-Antiteilchen Paaren
diese sogenannten virtuellen Teilchen sind äußerst flüchtig
T il h
Teilchen
erstehen
h
aus dem
d
Ni
Nichts,
h existieren
i i
eine
i
k
kurze Z
Zeit
i und
d verschwinden
h i d
wieder
i d
geborgte Energie wird durch Annihilation wieder freigegeben
Unschärferelation relativistisch betrachtet
t 
h
h

E 2m0c 2
Erzeugung von zwei Teilchen wegen Impulserhaltung
Zeitspanne für Elektron - Positronpaar nach Unschärferelation
 34
6.626  10 Js
 21
t 

4
4.04
04

10
s
 34
8
2  3.1  10 kg  3.0  10 m/s
Diagnose
g
- Paarerzeugung wie Elektron-Positron widerspricht nicht Energieerhaltung, Ladungserhaltung..
- Ausschreiben eines Bankschecks ist analoger Prozess im normalen Alltag
- solange der Bankscheck nicht eingelöst ist, wird Bankkonto nicht belastet
Heisenberg 34
Heisenberg
Virtuelle Photonen
Symptome
- Elektrodynamik beschreibt Fernwirkung der Coulombkraft über elektrisches Feld
- Mechanismus wird nicht erklärt
- Unschärferelation
U
hä f
l ti
eröffnet
öff t neue Si
Sichtweise
ht i auff ffundamentale
d
t l W
Wechselwirkungen
h l i k
Heisenberg Energie - Zeit Unschärferelation
Eobject tobject  
elektrostatische Wechselwirkung
Austauschteilchen ist Photon
Diagnose
-
Verletzung Energieerhaltungssatz auf kurzen Zeitskalen erlaubt
Teilchen können aus dem NICHTS entstehen
Vakuumfluktuationen generieren sogenannte VIRTUELLE Teilchen
Austauschteilchen vermitteln die fundamentale Wechselwirkungen
Gravitation, elektrostatische Kraft, schwache und starke Wechselwirkung im Kern
Heisenberg 35
Heisenberg
Virtuelle Photonen
mögliche Zeitunschärfe in der ein virtuelles Photon auftaucht
tobject 

Eobject
Wegstrecke, die virtuelles Photon während seiner Lebensdaer maximal zurücklegt
d object  c  tobject 
c
Eobject
nung
desvirtuelle
virtuellennPhotons
Photonsdurch Elektron
ImpulserhaltungOrtsausdeh
bei Emission
eines
p photon 
E photon
pelectron
c
Eelectron

c
Elektron nimmt Energie des Photons auf
Analyse zeigt, dass Coulombpotenzial richtig wiedergegeben wird
e r   Eelectron 
c
r
Diagnose
- elektrostatisches Potenzial aus Coulomb-Wechselwirkung wird richtig wiedergeben
- Anziehung unterschiedlicher Ladung kann ebenfalls erklärt werden
- im Gegensatz zu klassischer Mechanik erfolgt Wechselwirkung NICHT nicht mehr instantan
Heisenberg 36
Heisenberg 37
Austauschteilchen als Vermittler fundamentaler Wechselwirkung
Standardmodell
Vermittlung von Kräften durch Austauschteilchen
Top Quark–Antitop-Quark Paar in Positron-Elektron Wechselwirkung
Heisenberg 38
Starke Wechselwirkung
Austauschteilchen Pion
Symptome
- Nukleonen wechselwirken über den Austausch von Pionen miteinander
- Austauschprozess ist durch Ausbreitung Information (Lichtgeschwindigkeit) begrenzt
Wechselwirkungszeit nach Heisenberg
tπ 



E
m c 2

Masse des Pions
m  135

MeV
 28

2
.
4

10
kgg
2
c
1
6.63  10  34 Js
tπ 
2
8
2 2.4  10  28 kg
k  3  10 m/s
/


tπ  4.88  10 29 s
Informationsübertragung durch Lichtgeschwindigkeit begrenzt
8
 29
π

x  ct  3  10 m/s  4.88  10
s  1.5 1015 m
Diagnose
- Lebensdauer
b
d
nach
h Heisenberg
b
llimitiert Reichweite
h
d
der Wechselwirkung
h l
k
- starke Wechselwirkung nur im Bereich des Kerns wirksam
- genauere Rechnung liefert Wert von 6x10-16 m
Heisenberg 39
Thema Unschärferelation
Hawking-Strahlung
g
g
Heisenberg 40
Spekulationen zu schwarzen Löchern
John Michell 1783
John Michell, Philophical Transactions of the Royal Society of London 74, 35 (1783)
Heisenberg 41
Vakuumfluktuationen
Hawkings
g Strahlung
g
Symptome
- eigentlich kann keine Strahlung aus schwarzem Loch entweichen
- aber JEDEM schwarzen Loch kann eine Temperatur zugeordnet werden
- thermodynamisch
th
d
i h heißt
h ißt das,
d
dass
d
ein
i schwarzes
h
L
Loch
h th
thermische
i h E
Energie
i abstrahlen
b t hl
muss
Hawking - Temperatur eines schwarzen Lochs
3
c
1
TH 
8GN k B M black hole
Schwarzschildradius eines schwarzen Lochs
RS 
2GN
M black hole
2
c
Diagnose
-
Erzeugung und Vernichtung virtueller Teilchenpaare findet in Nähe Ereignishorizonts statt
eines der beiden erzeugten Teilchen überschreitet Ereignishorizont (nicht beobachtbar)
anderes Teilchen entkommt als reales Teilchen in freien Raum (beobachtbar, Energieverlust)
durch enormen Verlusts an potenzieller Energie nimmt Masse des Schwarzen Loches ab
Energie- und Massestrom aus dem Bereich des schwarzen Lochs
schwarze Löcher geringer Masse haben geringen Schwarzschildradius
Ereignishorizont sind gegenüber schwereren schwarzen Löchern stärker gekrümmt
Stärke der Vakuumfluktuationen wird durch starke Krümmung der Raumzeit begünstigt
schwarze Löcher kleinerer schwarzer Löcher verdampfen schneller
Heisenberg 42
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