Besondere Punkte im Dreieck

ABHANDLUNGEN
Besondere Punkte im Dreieck
Von HERMANN BAUER in Ulm
1. Eigenschaften und Anzahl der besonderen Punkte. Unter den vier besonderen
oder "merkwürdigen" Punkten des Dreiecks versteht man bekanntlich den SchwerpunktS, den Umkreismittelpunkt M, den HöhenschnittpunktHund den
Inkreismittelpunkt 0. Jeder dieser Punkte ist der gemeinsame Schnittpunkt von
drei Transversalen. In S schneiden sich die Seitenhalbierenden, in M die Mittelsenkrechten, in H die Höhen und in 0 die Winkelhalbierenden. Hier soll untersucht
werden, ob die Menge dieser vier Punkte eine sinnvolle Ganzheit darstellt, oder ob
sich eine aus der Natur der Sache folgende Erweiterung finden läßt.
Zu diesem Ende wollen wir zunächst die zugehörigen Transversalen ins Auge
fassen und sämtliche bei ihnen vorkommenden Besonderheiten zusammenstellen 1 ).
Es gibt deren genau vier. Betrachten wir eine Ecke des Dreiecks und die gegenüberliegende Seite, so können wir diese besonderen Eigenschaften B folgendermaßen
formulieren 2) :
B1 Die Transversale geht durch die Ecke
B~
Sie halbiert den dort befindlichen Winkela)
Ba Sie steht auf der Seite senkrecht
B4 Sie geht durch die Mitte der Seite
Von diesen Besonderheiten besitzt jede der zu untersuchenden Transversalen im
allgemeinen Dreieck genau zwei, was durch folgendes Schema dargestellt wirq:
Winkelhalbierende
Höhe
Seitenhalbierende
B1. B~ (B~ enthält Bl)
B1, Ba
Mittelsenkrechte
Sind dies alle möglichen Verbindungen 1 Rein kombinatorisch gibt es ja(~) = 6 Paare.
Wie steht es mit den beiden restlichen B~, B4 und B~, Ba 1 Da B~ zugleich B1 beinhaltet, sind die Kombinationen B~, B4 bzw. B~, Ba die Zusammenfügung von je
drei Besonderheiten, die geometrisch im allgemeinen nicht zu verifizieren sind: B~,B4
(Winkelhalbierende durch die Mitte der Gegenseite) und B~, Ba (Winkelhalbierende
senkrecht zur Gegenseite) trifft nur bei speziellen Dreiecken zu. Diese Kopplung von
B~ und B1 ist nicht recht befriedigend, und man kann fragen, ob die beiden Bedingungen nicht voneinander zu trennen sind. Dies gelingt sehr leicht, man braucht unsere
Besonderheit B~ nur folgendermaßen abzuändern:
B 2 • Die Transversale schneidet die beiden die Ecke bildenden Seiten unter gleichem
Winkel.
B2 alleine fordert also nur, daß die Transversale zur Winkelhalbierenden parallel
ist, und erst B1, Bz charakterisiert diese selber.
1) Die Transversalen werden als Geraden aufgefaßt: Va, 'llb, 'llc bezeichnen also Geraden. Auch
unter den Dreiecksseiten sind, wenn nichts anderes gesagt wird, Geraden zu verstehen. "Mitte"
und "Länge" einer Seite sind aber im üblichen Sinne gemeint. Ebenso bezeichnen a, b, c, wie
üblich, die Seitenlä.ngen.
2) Es wird also jeweils nur eine der drei Transversalen betrachtet.
3) Der Sinn des Striches bei B2 ergibt sich aus dem folgenden.
265
Damit ist aber nicht nur der angeführte
Mangel beseitigt, sondern, und daraufkommt
es uns hier an, die Kombination Bz, B4 ist
nun nicht mehr unerfüllbar. Sie bestimmt
eine fünfte Transversale. Diese ist
parallel zur üblichen Winkelhalbierenden und
A
c
B geht durch die Mitte der gegenüberliegenden
Fig. 1. Dreieck mit Seiten-Winkel-HalbieSeite. Wir wollen sie Seiten- Winkel-Halbierenden Va, Vb, Vc
rende nennen (kurz: Halbierende) und mit v
bezeichnen. Der gemeinsame Schnittpunkt ,
(siehe Satz 1) der drei Halbierenden heiße V.
Unser Schema nimmt nun folgende Gestalt an:
Dualität:
Winkelhalbierende
B1, Bz -+ B4, Ba
Mittelsenkrechte
Höhe
B1, Ba -+ B4, Bz
Seiten-Winkel-Halbierende
Seitenhalbierende
B1, B4 -+ B4, B1
Seitenhalbierende
Seiten-Winkel-Halbierende
Bz, B4-+ Ba, B1
Höhe
Mittelsenkrechte
Ba, B4 -+ Bz, B1
Winkelhalbierende
Bz, Ba führt zu keiner Transversalen; hier verbleibt eine Lücke im Schema. Aber es
ist doch eine gewisse Ordnung entstanden, die dem ersten Schema noch abging. B1
und B4 treten je dreimal, Bz und Ba je zweimal auf, d. h. drei der Transversalen gehen
durch eine Ecke, drei durch die Mitte einer Seite, zwei stehen auf einer Seite senkrecht und zwei sind "gleichwinklig" zu zwei Seiten. Hierin zeigt sich eine gewisse
Entsprechung oder Dualität zwischen B1 und B4 und zwischen Bz und Ba. Ersetzt
man in allen Kombinationen unseres Schemas B1 durch B4, Bz durch Ba und umgekehrt, so geht jede Transversale in ihre duale in diesem Sinne über (siehe rechte Seite
des Schemas). Für die Mittelsenkrechte ist es die Winkelhalbierende, für die Höhe die
Halbierende und umgekehrt, während die Seitenhalbierende in sich selber übergeht.
Diese Entsprechungen lassen sich im weiteren noch ausbauen. (Allerdings handelt es
sich dabei keineswegs um eine vollständige Dualität im Sinne der projektiven Geometrie, wo sich zu jedem Satz ein entsprechender finden läßt; doch kann sie recht
fruchtbare Anregungen geben.)
2. Eigenschaften der Seiten-Winkel-Halbierenden und ihres Schnittpunkts.
Satz 1. Die drei Halbierenden eines Dreiecks
schneiden sich in einem Punkt.
Die Halbierenden des Dreiecks .A B 0 sind
c
nämlich zugleich die Winkelhalbierenden
des Dreiecks .A' B' 0' (Fig. 2), dem Mittendreieck.
Satz 2. Jede Halbierende schneidet alle drei
8 Seiten des Dreiecks. Die entstehenden Ab-
A
C'
Fig. 2. Dreieck mit den drei Halbierenden,
ihrem Schnittpunkt V und Mittendreieck
266
schnitte verhalten sich wie die Längen der
Seiten, durch deren Mitte die Halbierende nicht
geht.
Eft>-
J\
\
\
\
J
Beweis: Der erste Teil des Satzes ist sofort klar, da eine
Halbierende zu keiner Dreiecksseite parallel sein kann. Der zweite
folgt aus Fig. 3. Dort sind A * B und AB* parallel zu t'c gezogen.
Dadurch entstehen zwei ähnliche gleichschenklige Dreiecke
LIA*BOund.JAB*O, alsoist
(1)
A*B:AB*=a:b.
Ferner gilt A * B = 2 0' G und AB* = 2 0' I, woraus mit der
vorigen Gleichung zusammen
0' G : 0' I = a : b folgt.
Fig. 3. Schnitt einer
Halbierenden mit
den Dreiecksseiten
Zusätze. a) Es ist in Fig. 3 (bei b > a; für b < a geht der Be-
-
-
-
a+b ,also
2
weis analog) GO= AO- AG= b- - -
GO= lb-;al
(2)
b) Analog zur Außenwinkelhalbierenden gibt es zu jeder Halbierenden eine
äußere Halbierende, die zu jener senkrecht steht und ebenfalls durch die Seitenmitte geht. In Fig. 3 ist die zu Vc gehörige äußere Halbierende v; eingezeichnet. Für
ihre Schnittpunkte mit den Dreiecksseiten gilt entsprechend zu Satz 1
0' K: 0' L = a: b,
was man ganz analog wie (1) beweist. Entsprechend Zusatz a) gilt
(3)
AK= lb-al
2
c) Aus (2) und (3) folgt
KG=a, LI=b.
Somit gilt: Die beiden Schnittpunkte der zu einer Dreiecksseite gehörigen Halbierenden (z.B. v~ und vc) mit einer zweiten Seite (z.B. AO) bestimmen auf dieser einen
Abschnitt von der Länge der dritten Seite (BO für unser Beispiel), dessen Mitte mit
der Seitenmitte (B') zusammenfällt.
Hieraus ergibt sich eine einfache Konstruktionsmethode der Halbierenden, wenn
man die Seitenmitten hat: Um z.B. Kund G zu erhalten, braucht man nur den Halbkreis mit Mittelpunkt B' und Radius B' 0' zu ziehen (Fig. 3).
Fig. 4 zeigt ein Dreieck mit seinen 6 Halbierenden. Wegen Satz 2 und einem bekannten Satz über die Winkelhalbierenden bilden diese 6 Geraden ein Dreieck mit
seinen drei Höhen. Auf jeder der Seiten des LI AB 0 erscheinen durch die Seitenmitte
halbiert die Längen aller drei Seiten. Z. B. ist GI = a, K L = b, AB = c.
c
~
A
+-
C'
Fig. 5. Dreieck mit 0, Sund_ V
8
Fig. 4. Dreieck mit inneren und äußeren
Halbierenden
267
Satz 3. 0, Sund V liegen auf einer Geraden und es ist 0 S
=
2 · VE (Fig. 5).
Der Beweis ergibt sich leicht aus Satz 1. LI A' B' 0' istperspektivähnlich zu LIA BO
im Verhältnis 1 :2. Folglich geht die Verbindungsgerade der Inkreismittelpunkte
durch das Zentrum S und wird dort im Verhältnis 1 :2 geteilt. Es ergibt sich also eine
zweite Euler-Gerade e2 • (Die erste geht bekanntlich durch H, SundMund es ist
MS = tHS.)
Zusatz. Die vier Punkte 0, H, V, M bilden ein Viereck, dessen Diagonalen, die
beiden Euler-Geraden H Mund 0 V, sichinS schneiden und dort im Verhältnis 1:2
geteilt werden (Fig. 6).
Weiter ist
HO!IVM und H0 = 2·VM.
Diese Beziehungen folgen aus der Ähnlichkeit der Dreiecke LI H 0 S und LI M V S im
Verhältnis 2 : 1.
Satz 4. 0" liege auf der zweiten Euler-Geraden e2 und es sei 0" V= 0 V. Man verdoppelt also 0 V. 0" ist der Inkreismittelpunkt des" Verdopplungsdreiecks" LIA" B" 0"
(zu dem LIA B 0 das Mittendreieck ist) ( Fig. 7).
c
e1
A
Fig. 6. Dreieck mit den fünf besonderen
Punkten und den Euler-Geraden
C"
Fig. 7. Dreieck mit Verdopplungsdreieck und
deren Inkreisen
Beweis. LIA" B"O" ist perspektiv ähnlich zu LIABO im Verhältnis 2:1 mit
ZentrumS. Also ist 0" S = 2 · 0 S. Nach Satz 3 ist 0 S = 2 · SV, folglich
0V=OS+SV=3SV und
O''V= O''S -SV = 20S -SV=4SV- SV= 3SV.
Im Sinne der am Ende des ersten Abschnittes erwähnten Dualität entsprechen sich
die beiden Euler-Geraden. Unser Inkreis Ka des Verdopplungsdreiecks entspricht
dem FEUERBACH-Kreis der neun Punkte. Ka hat einige erwähnenswerte Eigenschaften.
Satz 5. Zieht man von den Ecken des Dreiecks ABO jeweils die zweite4) Tangente
an Ka(ta, tb, tc), so erhält man drei Tangentenvierecke (In- oder Ankreisvierecke), die
jeweils von zwei dieser Tangenten und zwei Dreiecksseiten gebildet werden. (Die Tangenten gehen natürlich jeweils von den beiden Ecken aus, in denen sich die beiden Dreiecksseiten nicht schneiden.) Das Dreieck wird also auf drei Arten zu einem Tangentenviereck umgeformt, indem eine Seite, bildlich gesprochen, "geknickt" wird. 5) (Fig. 8).
Wie man entscheidet, ob ein bestimmtes Viereck Inkreis- oder Ankreisviereck ist,
zeigen wir am besten anhand des Vierecks A BE 0 in Fig. 8: Der Berührungskreis
muß erstens im Raum des <f. BA 0 liegen .(also rechts von A), zwej.tens muß er
4) Sie kann mit der ersten Tangente (Seite des LI A" B" 0") zusammenfallen.
S) Fallen zwei der Tangenten zusammen, so entarten die Vierecke zu Dreiecken.
268
die Tangente tb (das gleiche gilt für t0 }
auf der gleichen Seite von E berühren
;:------,-------,::=-"-==-"----'<"-------""?
wie Ka (E darf alsonicht zwischen diesen Berührpunkten liegen). Folglich ist
unser Viereck ein Inkreisviereck, wobei
es natürlich nichts schadet, daß der
Winkel bei E überstumpf ist 6).
Es folgt der Beweis, daß Viereck
ABEO Inkreisviereck ist. (In Klammern fügen wir die Abänderungen für
C"
den Fall hinzu, daß E außerhalb des
Fig. 8. Dreieck mit Tangenten an Kreis Ka
Dreiecks liegt. Der Fall des Ankreisvierecks wird ganz ähnlich bewiesen und
kann anhand des Vierecks A 0 BG aus Fig. 9 vom Leser selber behandelt werden.)
A"'
Mit unserer Behauptung gleichwertig ist bekanntlich die Beziehung
(4)
AO+BE=AB+OE oder BE-OE=c-b.
Da, Db, Dc seien die Berührpunkte der Tangenten ta, tb, t0 , Ta, Tb, Tc die Berührpunkte der Seiten des Verdopplungsdreiecks, dann ist
BE- OE= BDbc+,EDb- OE = BTb c+lEDc- OE
ODe= BTb <+lOTe= (A"Tb- A" B)- (A"Tc- A"O) = c- b.
Eine weitere Eigenschaft der Tangenten ta, tb und t0 erkennt man, wenn man die zu
den Seiten von LI A" B" 0"
parallelen
Tangenten an K a
~G
zieht. Sie bilden ein zu LI A B 0
/I\
I :\
perspektiv ähnliches Dreieck
I I \
I
LIA1 B1 01. Das ÄhnlichkeitsI
\
zentrum Z liegt auf der zweiI
\
ten Euler- Geraden e2 und es
I
\
I
\
ist ZO = 0"0. Hier gilt nun
der folgende Satz:
'\
II
= BTb
c+l
I
1
F/
811 - - - - - ...,._,_K
,
\
Satz 6. AufJ·eder der Geraden
A'' A1A, B1 B, 010, die sich in Z
ttE--------~
_____
schneiden, liegt der Schnittpunkt
-vonzweiender Tangenten ta, tb,
tc. (Auf A 1 A derjenige von tb
und t0 usw.) 7)
Wir beweisen, daß die Gerade A 1 A durch E geht
(Fig. 9): Die beiden Vierecke
A1LSK und ABEO sind
Tangentenvierecke mit paral-
\
- fc
Fig. 9. Dreieck mit Kr~,, neun Tangenten und drei Vierecken mit Tangierungskreisen
6) Es wäre hier besser, statt von Vierecken von Vierseiten zu sprechen.
7) Sind zwei Tangenten parallel, so sind sie es auch zu der Geraden, die durch ihren Schnittpunkt gehen soll. (Schnittpunkt im "Unendlichen".) Fallen sie zusammen, so kann man jeden
ihrer Punkte als ihren Schnittpunkt auffassen.
269
lelen bzw. zusammenfallenden Seiten. Nach den zu Satz 5 angegebenen Kriterien
(für die Entscheidung, ob ein Inkreis oder Ankreisviereck vorliegt) liegen die parallelen Tangenten jeweils auf der gleichen Seite ihres Berührungskreises. Folglich
sind die beiden Viereckeperspektiv ähnlich mit Zentrum E, woraus sich sofort die
Behauptung ergibt.
An den Kreis Kc~, sind nun neun Tangenten gezogen. Man kann diese, wenn man
will, als ein gewisses, wenn auch nicht strenges Analogon zu den neun Punkten des
Feuerbach-Kreises auffassen.
Zu den Sätzen 3 bis 6 ist noch zu bemerken, daß sich leicht ganz entsprechende
Sätze für die Äußeren Halbierendenschnittpunkte, die Ankreise und ihre J\fittelpunkte
aufstellen lassen. Es gibt also noch drei weitere EulerGeraden usw.
Wir wollen diesen Abschnitt mit einer Zusammenstellung der wichtigsten Entsprechungen im Sinne unserer Dualität abschließen.
Die Halbierenden sind parallel zu den Die Höhen sind parallel zu den J\fittelWinkelhalbierenden.
senkrechten.
Zieht man durch die J\fitten der Dreiecks- Zieht man durch die Ecken des Dreiecks
seiten Parallelen zu den Dreiecksseiten, Parallelen zu den Dreiecksseiten, so erso erhält man das J\fittendreieck.
hält man das Verdopplungsdreieck. Seine
Seine Winkelhalbierenden sind die Hal- J\fittelsenkrechten sind die Höhen des
bierenden des (ursprünglichen) Dreiecks. (ursprünglichen) Dreiecks.
H, Sund M liegen auf einer Geraden V, S und 0 liegen auf einer Geraden
(Euler-Gerade) und es ist
(zweite Euler-Gerade), und es ist
HS=2·MS
VS=i·OS
Halbiert man die Strecke M H, so ist der Verdoppelt man die Strecke 0 V (über
erhaltene Punkt M' Umkreismittelpunkt V hinaus), so ist der erhaltene Punkt 0"
des J\fittendreiecka (Kreis der neun Inkreismittelpunkt des VerdopplungsPunkte).
dreiecks.
I
I
I
3. Sehlußbemerkung. Rückblickend glauben wir gezeigt zu haben, daß die Menge
der besonderen Punkte {0, H, S, M} um einen fünften Punkt V erweitert werden
kann und erst dadurch eine sinnvolle Gesamtheit wird. Das gilt sowohl bezüglich der
besonderen Eigenschaften (zweites Schema in Abschnitt 1) als auch bezüglich der
räumlichen Anordnung (Fig. 6).
Betrachtet man Inkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt eines
Dreiecks und die entsprechenden Punkte des J\fitten- und des Verdopplungsdreiecks,
so erhält man ein Schema, das nocheinmal die innere Ordnung der entwickelten Gesamtheit zeigt. Es möge den Abschluß bilden:
Mittendreieck
V S M'
Dreieck
0 S M
Verdopplungsdreieck
0" s H B).
B) Man könnte also H mit M" und V mit 0' bezeichnen.
Aus einer Zeitschrift
i
:·
Erster Versuch einer mathematischen Darstellung der Idee Gottes, dies ist das Thema
einer Arbeit von Abba DEOONCHY an der Sorbonne, Paris.
Kurzmeldung nach "Paris Match" Nr. 957 vom 12. Aug. 1967
WIGAND
270