1.Mechanik
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1.Mechanik 1.1. Kinematik 1.1.1. Modell der Punktmasse (PM) und Koordinatensysteme (KS) Def. PM: Volumen V = 0 Masse m = endlich groß Dichte ρ = m/V = Folgen: Einheit: [V] = m³ [m] = kg [ρ] = kg/m3 - Ort genau angebbar - Drehung um sich selbst nicht möglich! 1 Ortsangabe erfolgt in einem Koordinatensystem (KS): hier: Kartesisches KS (rechtwinklig) Dimensionalität: a) 1-dim. (Gerade) x-, y-, oder z-Achse b) 2-dim. (Ebene) x-y oder x-z-Achse c) 3-dim. (Raum) x-y-z-Achse Ort des Punktes P(x,y,z) mit Koordinaten (x,y,z) durch Ortsvektor festgelegt: r xi yj zk ( x, y, z ) mit Betrag (Länge) r r x2 y 2 z 2 (Wiederholung Vektorrechnung) a) x<0 b) 0 0 x>0 x z<0 z>0 z x c) k i j Einheitsvektoren: i , j , k oder ex , e y , ez mit i j k 1 und i j k 2 i j i k j k 0 1.1.2. Definition Geschwindigkeit und Beschleunigung 1.1.2.1. Eindimensionale Bewegung der PM [v] = m/s Definition Geschwindigkeit v Durchschnittsgeschwindigkeit: x2 x1 x t2 t1 t t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit x1, x2 – Anfangs- u. Endort Exp.: Geschw. Luftgewehrkugel xt t xt v lim t 0 t x dx v lim x t 0 t dt Momentangeschwindigkeit: Differenzialquotient (Gibt an, wie sich x mit t ändert, Momentangeschwindigkeit) “1.Ableitung von x nach t“ x v hängt oft von der Zeit ab: z.B.: 0 x t1 = Anstieg “tan “ der x-t-Kurve zum Zeitpunkt t1, t1 t Exp.: Momentangeschw. v(t1) ist Tangente an x(t) Kurve 3 bei t1 [a] = m/s2 Definition Beschleunigung v2 v1 v t2 t1 t Durchschnittsbeschleunigung: a Momentanbeschleunigung: a lim t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit v1, v2 – Anfangs- u. Endgeschwindigkeit vt t vt t 0 t v dv d 2x a lim v 2 x t 0 t dt dt (Gibt an, wie sich v mit t ändert, Momentanbeschleunigung) v “1.Ableitung von v nach t“ “2.Ableitung von x nach t“ 0 a hängt oft von der Zeit ab: t1 Exp.: 1-dim allg. Bewegung auf Luftkissenbahn t z.B.: vt1 = Anstieg “tan “ der v-t-Kurve zum Zeitpunkt t1 a(t1) ist Tangente an v(t) Kurve4 bei t1 1.1.2.2. Dreidimensionale Bewegung der PM Durchschnittsgeschwindigkeit: Momentangeschwindigkeit: r2 r1 r v t2 t1 t t , t – Anfangs- u. Endzeit 1 2 r1, r2 – Anfangs- u. Endort r t t r t v lim t 0 t r dr v lim r Differenzialquotient t 0 t dt v t ist Vektortangente an r t 5 Durchschnittsbeschleunigung: v2 v1 v a t2 t1 t t , t – Anfangs- u. Endzeit 1 2 v1,v2 – Anfangs- u. Endgeschwindigkeit Momentanbeschleunigung: v t t v t a lim t 0 t 2 v dv d r a lim v 2 r t 0 t dt dt a t Differenzialquotient ist Vektortangente an v t a t zeigt immer in Richtung des Zentrums der gekrümmten Bahnkurve 6 1.1.3. Beispiele 1.1.3.1. Gleichförmige, geradlinige (1-dim) Bewegung der PM v v0 const dx v0 dt Anfangsbedingung: xt0 x0 Separation der Variablen (x, t) Integration x t t x0 t0 dx v0 dt dx v0 dt xt x0 v0 t t0 xt x0 v0 t t 0 Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung 7 1.1.3.2. Gleichmäßig beschleunigte, geradlinige (1-dim) Bewegung der PM a a0 const dv a0 dt Anfangsbedingung: xt0 x0 , Separation der Variablen (v, t) Integration v t t v0 t0 vt0 v0 , dv a0 dt dv a0 dt vt v0 a0 t t0 vt v0 a0 t t 0 Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten, geradlinigen Bewegung 8 v dx dt Separation der Variablen (x, t) Integration x t dx vt dt t dx vt dt x0 mit vt v0 a0 t t0 t0 t xt x0 v0 a0 t t0 dt t0 1 2 xt x0 v0 t t0 a0 t t0 2 Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten, geradlinigen Bewegung 9 1.1.3.3. Gleichförmige Kreisbewegung - 2-dim. Bewegung der PM 2-dim. Bewegung in x-y Ebene – Kreisbahn Drehachse entlang z-Achse y v t r t PM t z Ortsvektor: r t , r t r const Radius der Kreisbahn PM bewegt sich auf Kreisbogen: st r t st x Definition Winkelgeschwindigkeit: [] = rad s-1 = s-1 d d st / r 1 ds v dt dt r dt r v - Bahngeschwindigkeit, tangentielle Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit ist Vektor entlang Drehachse: 10 y v t PM y t a z t r t st t x xt 0,0, gleichförmige Kreisbewegung: d dt Integration mit r t xt , yt , z 0 r t r cost , sint ,0 const t t 0 0 t0 0 d dt d dt t t xt r cos t yt r sin t Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler v r, v dr v r Bahngeschwindigkeit: v t r sin t , cost ,0 dt v r 0, v 0 d v d v 2 Zentripetalbeaz t r cost , sin t ,0 az v dt dt schleunigung:: 2 v r 2 r a z t r r r az 0 Vektorprodukt (rechte Handregel) gleichförmige Kreisbewegung ist beschleunigte Bewegung Exp.: Schleifscheibe und Vektorprodukt 11 Vektorprodukt (rechte Handregel) v r Exp.: Schleifscheibe und Vektorprodukt r 12 1.2. Dynamik - Kräfte Kraft F [F] = kg m/s2 = N Kräfte sind Ursache für Geschwindigkeitsänderungen, d. h. Änderungen des Bewegungszustandes, einer PM 1.2.1. Kräfte als Vektoren Kräfte sind Vektoren und addieren bzw. subtrahieren sich wie diese: F Fx i Fy j Fz k ( Fx , Fy , Fz ) Kräfteparallelogramm F F1 F2 Bsp.: Segeln F F2 F1 Exp.: Kräftegleichgewicht mit Gewichten F Gleichgewicht: i 0 i F1 F2 F3 0 F1 F2 F3 13 1.2.2. Newtonsche Axiome Newtonsche Axiome sind Grundgleichungen der klassischen Mechanik 1. Axiom - Trägheitsgesetz Eine PM verbleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung, sofern auf sie keine äußeren Kräfte einwirken. Fges Fi 0 a v 0 i Koordinatensysteme (KS) in denen das 1. Axiom gilt, heißen Intertialsysteme. Intertialsysteme: KS ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v 0 v const Exp.: rollende Kugel auf Ebene Exp.: Flasche und Tischtuch 14 2. Axiom - Aktionsprinzip Kraft ist Masse mal Beschleunigung: F ma mit a v Impuls: p mv d mv F mv dt [p] = kg m /s (Charakterisiert Bewegungszustand einer PM) Die zeitliche Änderung des Impulses einer PM ist gleich der wirkenden Kraft: dp F dt Exp.: Impulsänderung auf schiefer Ebene 15 3. Axiom - Reaktionsprinzip Wenn zwei PM miteinander wechselwirken, dann besitzen die Kräfte, welche die PM aufeinander ausüben, den selben Betrag aber entgegengesetzte Richtungen: FAB FBA FAB FBA FAB FBA A FAB FBA Kraft von PM A auf PM B Kraft von PM B auf PM A B Exp.: Rollwagen 16 1.2.3. Spezielle Kräfte 1.2.3.1. Gravitationskraft Anziehende Kraft zwischen zwei PM m1 and m2 FG ,12 m1 r1 r r2 r1 FG ,12 - Kraft von m1 auf m2 m2 FG , 21 - Kraft von m2 auf m1 r2 0 Newtonsches Gravitationsgesetz: Gravitationskonstante: = 6,67259 · 10-11 m3 kg-1 s-2 Newton´s 3. Axiom: mm FG ,12 1 2 2 r2 r1 r2 r1 m1m2 r2 r1 r2 r r FG,12 FG, 21 Gravitationskraft wirkt entlang Verbindungsvektor r r2 r1 zwischen m1 und m2 Gravitationskraft ist „Zentralkraft“ 17 1.2.3.2. Schwerkraft - Gewichtskraft - Spezialfall der Gravitationskraft - Gravitationskraft die Erde auf eine Masse m in der Nähe der Erdoberfläche ausübt mm FG ,12 1 2 2 r r r Fg , g Erdmasse: m1 = ME 5,97 kg, Erdradius: r = RE 6370 103 m 1024 Fg mit mM E m2 = m e 2 z z RE2 1 RE 0 ME RE z RE z 2 z m ez RE 2 RE2 z << R E M Fg 2E mez RE Fg gmez mg mit Fallbeschleunigung: g ME RE2 = 9,81 m/s2 18 Bestimmung von g mit Atwoodscher Fallmaschine T z Exp.: Atwoodsche Fallmaschine - Zugspannung, Zugkraft im Seil - m2 > m1 a T a m1 F1 m1 g T m2 F2 m2 g - Vernachlässigen Reibung sowie Massen des Seils und der Rolle 2. Newtonsches Axiom: m a = F (I) Abwärtsbewegung: -m2 a = -m2 g + T (II) Aufwärtsbewegung: m1 a = T -m1 g (II) – (I): m1 a + m2 a = -m1 g + m2 g g m2 m1 a m2 m1 a<g Fallbewegung kann mit einfachen Mittel untersucht werden 19 1.2.3.3. Federkraft - elastische Kraft die bei Dehnung oder Stauchung einer Feder (z. B. Spiralfeder) auftritt - kann zur Messung anderer Kräfte genutzt werden (Federkraftmesser) FR z0 = 0 z=z Kräftegleichgewicht, F i 0 i z = 2 z Fg z = 3 z z = 4 z FR - Federkraft, rückstellende Kraft FR Fg 0 FR Fg z FR Fg Hook´sche Gesetz: FR K z Fg K z Messung der Gewichtskraft durch Federkraftmesser K - Federkonstante Exp.: Federkraftmesser [K] = kg/s2 = N/m 20 1.2.3.4. Zentripetalkraft gleichförmige Kreisbewegung mit Bewegung ist beschleunigte Zentripetalbeschleunigung az v r 2. Newton´sches Axiom: F ma Zentripetalkraft wirkt in Richtung des Zentrums der Kreisbahn y Fz maz m v m r v t Fz , az PM r t x Exp.: Federkraftmesser mit rotierender Masse Papierscheibe und Kreide Konisches Pendel 21 1.2.3.5. Reibungskräfte 1.2.3.5.1. Haft- und Gleitreibung FR FH ,G ex Fn mg FH ,G H ,G Fn ex FH ,G H ,G Fn x FH ,G - Reibungskraft (H – Haftreibung) (G – Gleitreibung) Fn -Normalkraft, senkrecht zur Unterlage es gilt im allgemeinen H G FH,G H ,G - Reibungskoeffizienten (abhängig von Beschaffenheit der Kontaktflächen) Exp.: Holzblock auf Holz, Messung von Reibungskräften mit Federkraftmesser Schlaufe mit Gewicht auf schräger Achse Ankerspill Video 22 1.2.3.5.2. Reibung in Fluiden Reibungskraft ist Funktion der Geschwindigkeit des Körpers F = f(v) a) Stokes Reibung bei kleinen Geschwindigkeiten Bedingung: laminare Strömung, strömende Schichten (auftretende Wirbel sind stationär) FS v Bsp. Kugel mit Radius r: FS 6r v Stoke´sches Gesetz - Viskosität des Fluids, [] = kg (ms)-1 b) Newton Reibung bei hohen Geschwindigkeiten Bedingung: turbulente Strömung (auftretende Wirbel sind instationär) v - Dichte des Fluids FN cw Av 2 FN v 2 2 v cw - Wert A - Querschnitt des Körpers 23 1.2.3.6. Trägheitskräfte -Trägheitskräfte treten auf, wenn Bewegung einer PM bzgl. eines beschleunigten KS (KS´) beschrieben wird -Trägheitskräfte sind Scheinkräfte KS´ bewegt sich mit Beschleunigung a R bzgl. Inertialsystem KS PM mit Masse m Beschleunigung von m in KS in KS´ a a´ a aR F´ ma´ F ma Kraft auf m F´ F maR F´ F FT FT maR FT ist Trägheitskraft Exp.: Kugel auf Wagen, Brett mit Wagen auf schiefer Ebene 24 Beispiel: beschleunigter Fahrstuhl F´ Fg FT F´ mgez maR ez F´ mg aR ez z aR Fg mgez aR 0,0, aR KS´ F´ Exp.: Poggendorf Waage KS Fg Beispiel: gleichförmige Kreisbewegung Zentripetalkraft: Fz m v m r KS´ rotiert mit PM KS y v t Fz , az PM KS´ r t freier Fall: FT maR aR 0,0, g fallender Körper ist F´ 0 schwerelos F´ Fz FT 0 FT Fz Zentrifugalkraft: FT Fzf mv r m r x Anwendung: Zentrifuge Fzf m Trennung nach Masse 25 Kräftegleichgewicht Fzf ,eff Fg ,eff Fzf m r m 2 r cos mg sin tan 2r g Steighöhe ist nicht von m abhängig Exp.: rotierende Küvette Kräftegleichgewicht Fzf ,eff Fg ,eff tan 2r g 2x 1 2 2 yx x 2 g g dy dx Flüssigkeitsoberfläche ist Parabel 26 1.2.3. Bewegungsgleichung einer PM allg. Bewegungsgleichung: F mr beruht auf 2. Newtonschen Axiom zweifache Integration der Bewegungsgleichung nach der Zeit ergibt Weg-Zeit-Gesetz r t der PM 1 v t Fdt c1 m 1 r t v t dt c2 Fdt´ dt c1dt c2 m Die Integrationskonstanten c1 und c2 sind durch die Anfangsbedingungen der Bewegung bestimmt. z. B.: r t t0 r0 v t t0 v0 27 1.2.3.1. Schiefe Ebene a) keine Reibung, FH,G = 0 x0 Fx x Fn Fg mg l keine Reibung, FR = 0 h Normalkraft: Fn mg cos Hangabtriebskraft: Fx mg sin Anfangsbedingungen: x(t = t0) = x0, v(t = t0) = v0, t0 = 0 1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung: v t 1 t dv m Fx dt g sin dt v0 t0 0 vt v0 g sin t 2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung: x t x0 t0 x t x0 0 1 v t Fdt c1 m rt vt dt c2 dx vt dt dx v0 g sin t dt Exp.: Vergleich Impulsänderung und wirkende Kraft auf schiefer Ebene 1 xt x0 v0t g sin t 2 2 gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung 28 b) mit Gleitreibung, FG x0 Fx x FG Fn mit Reibung, FR = FG > 0 FG G Fn G mg cos h Fg mg Fn mg cos Fx, ges Fx FG Fx, ges mg sin G mg cos mg sin G cos l 1 v t Fdt c1 m 1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung: v t 1 t dv m Fx, gesdt g sin G cos dt v0 t0 0 vt v0 g sin G cos t rt vt dt c2 2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung: x t x0 t0 dx vt dt falls sin G cos 0 d.h. Fx FG 1 xt x0 v0t g sin G cos t 2 2 gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung tan G gleichförmige, geradlinige Bewegung Exp.: schiefe Ebene mit Reibung 29 1.2.3.2. Wurfbewegung Wurf in xz-Ebene z Bewegungsgleichung: Fx , Fy , Fz mx, y, z v0 zmax z0 F mr 0,0,mg mx, y, z vertikale (z) und horizontale (x, y) Bewegung sind unabhängig voneinander Fz Fg mgez xmax x Exp.: Unabhängigkeit der Bewegung Lösung der Bewegungsgleichung für jede Komponente x, y, z durch zweifache Integration nach der Zeit mit Anfangsbedingungen xt v0 cos t gleichförmig Bewegung in x-Richtung v0 v0 cos ,0, v0 sin r0 0,0, z0 yt 0 1 z t z0 v0 sin t gt 2 2 gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung in z-Richtung 30 xt v0 cos t Bahngleichung: einsetzen in t 1 z t z0 v0 sin t gt 2 2 z z0 x tan 2 g x 2 v02 cos 2 xt v0 cos z v0 zmax z0 Wurfparabel, z = f(x2) xmax - Reichweite xmax für z0 = 0 aus z = 0: x 2 g xmax g xmax 0 xmax tan x tan max 2 2 2 v02 cos 2 2 v0 cos xmax 2 2 v02 v0 sin cos sin 2 g g - Höhe zmax für z0 = 0 : dz x tan g 2 0 dx v0 cos 2 maximale Reichweite für = 45° Extremwertaufgabe dz 0 dx v02 sin cos x g zmax v02 sin 2 2g Exp.: Simulation Wurfbewegung 31 Spezialfall: Vertikaler Wurf aus Höhe z0 = h: z 1 z t z0 v0 sin t gt 2 2 = 90° z0 h 1 z t h v0t gt 2 2 Spezialfall: Freier Fall aus Höhe z0 = h mit v0 = 0: h 1 z t h gt 2 2 Fallzeit tf: 1 0 h gt 2f 2 tf g 2 tf 2 2h g Exp.: - Freier Fall, tf = f(h) zur Bestimmung von g - Darstellung h = g/2 tf2 d.h. h = m tf2 ist Gerade mit Anstieg m = g/2 Bestimmung von Anstieg m über lineare Regression und Ermittlung von g aus Anstieg m und g =g/2 32 1.2.3.3. Freier Fall mit Stokes Reibung Kugelfall in Fluid mit Viskosität (Vernachlässigung von Auftrieb) Bewegungsgleichung: FS 6r v FS Rv Reibungskraft: (Stokes) Fg FS mz dv dt R dv g v m dt mg Rv m t v dv R v0 0 g v m dt t0 0 t m R ln 1 v R mg v vt mg mg R 6r R t mg vt 1 e m R x t x0 0 t0 0 dx vt dt R mg m m t xt t e 1 R R vt 0 gt t Anwendung: Kugelfallviskositätsmessung Exp.: Kugelfall in Wasser 33 1.2.3.4. Freier ungedämpfter harmonischer Oszillator Auslenkung der PM mit Masse m erzeugt rückstellende Kraft: x FR x Kxex x=0 FR x Kx FR x 0 -x Bewegungsgleichung: F mx FR x d 2x 02 x 0 2 dt d 2x m 2 Kx dt mit 0 wirkende Kraft oder Beschleunigung proportional und entgegengesetzt zur Verschiebung x der PM sind K m d 2x m 2 Kx 0 dt Bewegungsgln. des freien, ungedämpften harmon. Oszillators harmonische Schwingung (harmon. Oszillator) 34 Lösung von d 2x 2 x 0 (homogene Differentialgleichung 2.Ordnung) : 0 2 dt xt x0 sin0t 0 da einsetzen von x(t) in Bew.-gln. x002 sin 0t 0 x002 sin 0t 0 0 T0 x0 - Amplitude 0 K m x - Kreisfrequenz 0 = 90° [0] = s-1 0 T0 0 2 1 0 m 2 K 0t 0 - Frequenz [0] = Hz = s-1 1 0 2 0 x0 0 = 0 t 0 = -180° -x0 - Schwingungsdauer [T0] = s Anwendung: Molekülschwingungen, Gitterschwingungen - Phase der Schwingung mit Phasenkonstante 0 Exp.: Federschwinger, T0 m1/2 35 1.2.3.5. Mathematisches Pendel Radialkraft spannt Faden mit Zugspannung T Ft mg sin Tangentialkraft verursacht Beschleunigung l Ft st - Kreisbogen Fr mg cos T st Bewegungsgleichung: T m Fr Fg d 2s Ft mg sin m 2 dt d 2s g sin 2 dt mit Kreisbogen s l beschreibt Bahn des Pendelkörpers Grenzfall kleine Auslenkung <<1: d 2 02 0 2 dt Lösung: mit 0 t 0 sin0t 0 g l d 2 g sin 0 2 l dt sin harmonische Schwingung (harmon. Oszillator) Schwingungsdauer: T0 T0 ist unabhängig von m 2 0 2 l g Exp.: math. Pendel, T0 m, 36 T0 l1/2, T0 = f(g) 1.2.3.6. Freier gedämpfter harmonischer Oszillator freier harmonischer Oszillator mit Reibung (Stokes) Reibungskraft: FS Rv Bewegungsgleichung: mx FR x FS kx Rv d 2x dx 2 02 x 0 2 dt dt mit 0 K m und Dämpfungskonstante (homogene Differentialgleichung 2. Ordnung) Lösung für den Fall schwacher Dämpfung < 0: xt Ae t cos ' t Einhüllende: Ae t x Dämpfung gedämpfte Schwingung mit Frequenz ' 02 2 0 Anwendung: Spektroskopie im Zeitbereich (NMR – „Free Induction Decay – FID“, Dämpfung = Relaxation) Exp.: Pendel in Wasser physikalisches Pendel und Magnet 37 R 2m 1.2.3.7. Erzwungene Schwingung gedämpfter harmonischer Oszillator mit periodischer äußerer Kraftanregung F t F0 cost K x Bewegungsgleichung: d 2x dx 2 2 x f cost 0 dt dt 2 mit f F0 m (inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung) Lösung für t , stationäre Lösung: xt x cost Amplitude x ist von Erregerfrequenz abhängig: x Amplitude x hat Maximum bei der Resonanzkurve x Resonanzfrequenz: xmax r r 02 2 2 aus dx 0 d Anwendung: Wechselwirkung Licht – Materie (Absorption, Dispersion) f 2 0 2 2 4 2 2 max. Energieabsorption bei r Exp.: erzwungene Schwingung mit Federschwinger 38 xt x cost frequenzabhängige Amplitude x xmax r f 2 0 2 2 x 4 2 2 r 02 2 2 frequenzabhängige Phasenverschiebung zwischen periodischer Kraftanregung und Oszillator tan 2 02 2 0 Exp.: Spiralfeder, Video Tacoma Bridge 39 1.3. Erhaltungssätze der Mechanik 1.3.1. Energieerhaltung 1.3.1.1. Arbeit und Leistung Arbeit: PM m wird durch Kraft F um Weg r verschoben F verrichtet Arbeit W an PM Arbeit wird immer gegen eine im System vorhandene Kraft (z. Bsp. Schwerkraft, Federkraft) verrichtet wenn F const W Fr Beachte: W ist Skalarprodukt [W ] = kg m2 s-2 W Fr cos = Nm = J F r Wab lim F ri ri Verallgemeinerung: ri 0 i rb Wab F r dr ra ra - Anfangsort rb - Zielort Arbeit W >0, wenn Arbeit an PM verrichtet wird ! 40 Leistung: Leistung P ist die pro Zeiteinheit an PM verrichtete Arbeit P dW dt Falls W zeitunabhängig: [P] = Nm s-1 P W t (W = const) Falls F zeitunabhängig: F const dr dW P F Fv dt dt Beispiel: Fahrradergometer 41 1.3.1.2. Kinetische Energie Erfahrung sagt: Um einen Körper zwischen r 0 und r auf eine Geschwindigkeit v zu beschleunigen, muss man die Arbeit W verrichten. Die Arbeit W ist in Form von kinetischer Energie in dem sich bewegenden Körper gespeichert. 42 1.3.1.3. Potentielle Energie Konzept: Wenn die von der Kraft F geleistete Arbeit Wab nicht vom Weg, sondern nur vom Anfangsort ra und Endort rb abhängt, dann heißt die Kraft F “konservativ“ und wir können eine potentielle Energiedifferenz E pot rb , ra definieren. F dr 0 Keine Reibung! Idee: PM kann diese potentielle Energie wiederum in Arbeit umwandeln, die PM selbst verrichtet Kraft leistet Arbeit an PM Arbeit wird in PM in Form von potentieller Energie gespeichert Definition: rb E pot rb , ra F r dr Wab ra E pot r E pot r E pot r Umkehrung: F r x , y , z Epot ist Maß für die im System (PM) gespeicherte Arbeit 43 1.3.1.4. Energieerhaltungssatz Berechnen die Zeitableitung der potentiellen Energie: ausgehend vom totalen Differential der potentiellen Energie dE pot r t E pot dt x E pot E pot E pot dz dE pot r t dx dy x y z dx E pot dt y dy E pot dt z 2 dE m d r kin Fr mrr 2 dt dt dz dt m 2 Ekin v 2 m 2 r 2 dEkin dE pot 0 dt dt Energieerhaltungssatz der Mechanik: (gilt bei Vernachlässigung der Reibungskräfte) d Ekin E pot 0 dt Ekin E pot E ges const Die Gesamtenergie Eges eines abgeschlossenen Systems (keine Reibung !) ist konstant! 44 1.3.1.5. Energieerhaltungssatz - Beispiele a) schiefe Ebene, keine Reibung z 1 v1 0 m (b) z=h (1) 1) ( 2) 2) Eges Ekin E (pot Ekin E (pot const rb z h E 1pot Fg dr mgdz mgh Ort 1: v2 v 2 (a) m z 0 ra Fg mgez 1 Ekin z=0 Ort 2: m 2 v 0 2 2 E pot 0 Eges mhg 0 0 2 Ekin m 2 v 2 m 2 v const 2 v 2 gh Exp.: schiefe Ebene, v = f(h) 45 b) Federschwinger, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung) ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) ( x 0 ) ( x 0 ) Eges Ekin E pot Ekin E pot Ekin E pot const xt x0 sin0t 0 bei xt x0 : FR FR x x0 E pot x x0 x x0 x02 FR dx Kxdx K 2 x 0 x 0 x02 K 2 bei xt x0 : x x0 E pot bei xt 0 : x 0 E pot 0 x x0 Ekin 0 x x0 Ekin 0 1 Ekin m 2 v x 0 2 Gesamtenergie des harmonischen Oszillators: Eges K 2 1 x0 m02 x02 2 2 m 2 v x 0 2 vx 0 0 x0 Folgt auch für 0 = 0 aus: 0 K m vt 0 x t 0 x00 cos0t 0 x0 46 c) mathematisches Pendel, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0) Eges Ekin E pot Ekin E pot Ekin E pot const 0 l Epot0 0 Ekin h 0 1 o2 o2 mgh mgl 1 cos0 mgl 1 1 mgl 0 2! 2 E pot0 0 0 Ekin m m 2 v 0 gl02 2 2 Folgt aus: t 0 sin 0t v Exp.: Nagelpendel und Eges 0 m gl02 const 2 v 0 0 gl g l ds d l l00 cos0t dt dt v 0 l 0 0 l 0 g 0 gl l 47 1.3.2. Impulserhaltung 1.3.2.1. Impulserhaltungssatz Exp.: Pendelstoß mit mehreren Kugeln Modell „isoliertes System“: Summe aller Kräfte auf alle N Teilchen im System ist null, d. h. F i 0 N keine Kraft wirkt von außerhalb auf System! N d mvi N dpi 0 Fi dt dt i i i i N pi const N Gesamtimpuls der Teilchen in einem abgeschlossenen System ist konstant! i In jeder Raumrichtung bleibt die Summe aller Impulse erhalten! N px,i const i N p y ,i const i N pz ,i const i 48 1.3.2.2. Schwerpunktsatz Definition Schwerpunkt: isoliertes System Schwerpunkt eines isolierten Systems ist der Massenmittelpunkt m r ii N rS i N mi m r ii N i M i Geschwindigkeit des Schwerpunkts: pi dr vS S i const dt M N Schwerpunkt eines isolierten Systems ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit Impuls des Schwerpunkts: N pS MvS pi const i Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems entspricht dem Impuls des Schwerpunktes und ist konstant Exp.: Impulserhaltung (Impulswagen, Wasserrad, Rakete) 49 Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz 4. Streich 50 Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz 4. Streich 51 Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz 4. Streich „Und voll Dankbarkeit so dann zündet er sein Pfeifchen an“ 52 Beispiel: Explosion – Lehrer Lämpel in Wilhelm Busch‘s Max und Moritz Impulserhaltungssatz, Für alle Gegenstände in Meister Lampe‘s Zimmer N pi mi vi const i uBrille uTisch uOfen uLehrer Lämpel - vor Explosion ruhen alle Gegenstände: pi mi vi 0 N i - nach Explosion fliegen alle Gegenstände in verschieden Richtungen davon, aber Gesamtimpuls ist wie vor Explosion: „Rums! Da geht die Pfeife los!“ ' pi mi ui 0 N i 53 Beispiel: Zusammenstoß zweier Scheiben auf glatter Unterlage, p ges 0 ! u2 u1 v1 vor dem Zusammenstoß: p1 p2 m1v1 m2 v2 p ges nach dem Zusammenstoß: p1' p 2' m1u1 m2 u 2 p ges p1 p2 p1' p2' m1v1 m2 v 2 m1u1 m2 u 2 vS v2 cm (center of mass) - Schwerpunkt N p i dr vS S i const dt M 54 1.3.2.3. Stoßprozesse 1.3.2.3.1. Zentraler elastischer Stoß v1 m1 v2 Geschwindigkeiten vor Stoß: v1 v1,0,0 m2 x Geschwindigkeiten nach Stoß: u1 u1,0,0 Es gilt Impuls- und Energieerhaltung Impulserhaltungssatz: m1v1 m2 v2 m1u1 m2 u 2 Energieerhaltungssatz: 1 1 1 1 m1v12 m2v22 m1u12 m2u22 2 2 2 2 Lösung für v2 = 0 (m2 ruht im Laborkoordinatensystem) m m2 u1 1 v1 m1 m2 u2 v2 v2 ,0,0 u2 u2 ,0,0 2m1 v1 m1 m2 55 Beispiele zentraler elastischer Stoß: m1 m2 v1 m1 m2 u1 u2 2m1 v1 m1 m2 u1 = 0, u2 = v1 - m1 = m2, v2 = 0, v1 >0 Exp.: Pendelstöße mit m1 = m2 - m1 < m2, v2 = 0, v1 >0 u1 < 0, 0 < u 2 < v1 - m1 > m2, v2 = 0, v1 >0 0 < u1 < v1, u2 > v1 u1 = -v1, u2 = 0 Exp.: Pendelstöße mit m1 m2 - m2 = v2 = 0, v1 >0 Reflektion an Wand Exp.: Pendelstoß mit Amboss, Astroblaster Modell ideales Gas Stoß von Gasmolekül mit Wand (Fläche A): führt zu Kraft auf Wand Druck der Gasmoleküle auf Fläche A Fx px 2m1v1, x t t N x Fx Nm1v12, x p A V Impulsänderung: px = m1u1,x - m1v1,x = -2 m1v1,x N Moleküle im Volumen V produzieren Nx Stöße pro Zeit t auf Fläche A: Nx N v1, x tA 2 V 56 1.3.2.3.2. Zentraler unelastischer Stoß Energieerhaltungssatz gilt nicht, da Teil der mechanischen Energie in Wärme- und Deformationsenergie umgewandelt wird: 2E m1u12 m2u22 m1v12 m2v22 Exp.: Kugelfall auf Stahl, Messing, Blei Es gilt nur Impulserhaltung N Impulserhaltungssatz: pi const m1v1 m2v2 m1u1 m2u2 i Bei einem perfekten unelastischen Stoß gilt: u u1 u2 m1v1 m2v2 m1 m2 Exp.: unelastische Stöße mit Sandsäcken Crash Test (Video) 57 1.4. Drehbewegung und starrer Körper 1.4.1. Spezielle physikalische Größen der Drehbewegung 1.4.1.1. Kinetische Energie bei Drehbewegung - Rotationsenergie v t Bahngeschwindigkeit: PM r t t v r v 2 2r 2 v , v r Rotationsenergie entspricht kinetische Energie bei Drehbewegung: Ekin Erot Erot 1 2 mv 2 1 2 2 m r 2 58 1.4.1.2. Drehmoment und Drehbewegung F Drehmoment T als Maß für die Effektivität der v t angreifenden Kraft bzgl. der Drehbewegung PM r t t Exp.: Drehmoment und Drehtisch T F, T r , T sin x Drehmoment T r F [T] = Nm T rF sin 59 1.4.1.3. Drehimpuls und Drehimpulserhaltungssatz dp T r F r dt d r p T dt aber d r p dp dp v pr r dt dt dt Lrp Drehimpuls Allg. Bewegungsgleichung für Drehbewegung Drehimpulserhaltungssatz: T 0 Bsp.: Zentralkraft, F || r L const r mv mr r [L] = kg m2 s-1 dL T dt Wenn das angreifende äußere Drehmoment null ist, bleibt der Drehimpuls erhalten Gravitationskraft, Planetenbewegung Coulombkraft, Elektron im H-Atom (Bohr‘s Atommodell) 60 1.4.2. Mechanik des starren Körpers 1.4.2.1. Model starrer Körper z Modell: aufgebaut aus PM mi oder Massenelementen dm mit festen Abständen untereinander ri r j const mk rk N m j rj und Gesamtmasse m ri i i bzw. M dm r dV M y x M mi mit V dm r dV r - Dichte V -Volumen 61 mi ri N Schwerpunkt: z rS i N mi i m j rj rS mi ri i M M r const V 1 1 rS r dm dm r dV r r dV bzw. für homogenen Körper: M M M V 1 rS r dV V V mk rk N m ri i Bewegung des Schwerpunkts: (vgl. mit Schwerpunktsatz in 1.3.2.2.) y x Exp.: Drehmomentkörper Doppelkegel (Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems ( FG 0 ) entspricht dem Impuls des Schwerpunktes und ist konstant) drS M MvS pS dt d 2 rS dpS M FG 2 dt dt Schwerpunkt bewegt sich wie PM mit Masse M unter Einfluss einer äußeren Gesamtkraft Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translationsbewegung des Schwerpunkts und Rotationsbewegung um eine Achse durch den Schwerpunkt 62 1.4.2.2. Rotationsbewegung des starren Körpers Idee: - Verallgemeinerung der für die einzelne PM abgeleiten Gesetze für die Drehbewegung durch Aufsummierung für alle PM mi bzw. Massenelement dm des starren Körpers - Rotationsachse geht durch Schwerpunkt entlang einer Symmetrieachse des starren Körpers 1.4.2.2.1. Drehmoment Drehmoment T r F T r F T rF sin Exp.: folgsame Rolle 63 T r F Exp.: folgsame Rolle F T F T r r 64 1.4.2.2. Rotationsbewegung des starren Körpers Idee: - Verallgemeinerung der für die einzelne PM abgeleiten Gesetze für die Drehbewegung durch Aufsummation für alle PM mi bzw. Massenelement dm des starren Körpers - Rotationsachse geht durch Schwerpunkt entlang einer Symmetrieachse des starren Körpers 1.4.2.2.1. Drehmoment Drehmoment T r F T r F T rF sin Exp.: folgsame Rolle Gleichgewichtsbedingung Ti 0 i Summe aller angreifenden Drehmomente ist Null Exp.: Schwerpunkt Besen Hebel 65 Torque and Wrenches wrench torque wrench torque is controlled or measured by internal mechanism (mechanical or electronic) torque is controlled by length of wrench and force you are applying r= F= = 90° T rF sin Exp.: Video Reifenwechsel 66 1.4.2.2.2. Rotationsenergie und Trägheitsmoment PM Starrer Körper: Aufsummierung aller PM bzw. Massenelemente Erot Erot 1 m 2 r 2 2 1 mi 2 ri 2 2 i const für alle mi, da starrer Körper ri 1 Erot 2 r 2 dm 2 M 1 Erot 2 I 2 mit Trägheitsmoment I r 2 dm mk rk ri mi rj m j [I] = kg m2 M Trägheitsmoment ist abhängig von - Form und Masseverteilung des Körpers als auch von - Lage der Rotationsachse bzgl. des Schwerpunkts und bzgl. der Symmetrieachsen des Körpers 67 68 Anwendung: Zylinder auf schiefer Ebene Vollzylinder: IV 1 MR 2 2 vs z h 0 Energieerhaltungssatz: I M MR 2 Zylindermantel: vs z 0 vs E ges E pot ( z h) E kin, ges z 0 E kin,vS z 0 E rot z 0 vS (z ) rS R E pot ( z h) Ekin,vS z 0 Erot z 0 z Mgh z=h 1 1 Mvs2 I 2 2 2 Erot des starren Körpers Ekin des Schwerpunkts vS ( z 0) z=0 Rollen ohne Rutschen: vS R aus rS R 1 1 vs2 2 Mgh Mvs I 2 2 2 R vS 2Mgh I M 2 R Exp.: Zylinder auf schiefer Ebene Zylindermantel Vollzylinder vS ,V 4 gh 3 > vS ,M gh 69 1.4.2.2.3. Drehimpuls PM Starrer Körper: Aufsummierung aller PM bzw. Massenelemente L r p r mv mr r L mi ri 2 i ri 2 L r dm M L I Erot Bewegungsgleichung: dL T dt d I T dt Drehimpulserhaltung: T 0 L const Exp.: Drehstuhl und Drehimpulserhaltung 2 1 L I 2 2 2I 70 T 0 L I const Stuhl 0 Stuhl Kreisel Stuhl 0 I ii I f f I r 2 dm M Ii I f f i 71 72 1.4.2.2.4. Anwendung – Rotationsspektrum zweiatomiger Moleküle Bsp.: CO, NO, H2, O2, … Exp.: Rotation um freie Achsen (Quader, Zylinder) Modell starrer Rotator: konstante Bindungslänge r0 Rotationsachse durch Schwerpunkt a) Trägheitsmoment Atome als PM C m1 Schwerpunkt: m2 r = rS Trägheitsmoment: N O r r = r0 r=0 rS mi ri i N mi i I mi ri 2 rS i I m1rS2 m2 r0 rS 2 m2 r0 m1 m2 I r02 m1m2 r02 m1 m2 reduzierte Masse: Bsp.: m2 r0 m1 m2 12C16O m1m2 m1 m2 13C16O r0 = 0.115 nm = 0.115 nm I = 15.05 10-47 kg m2 = 15.74 10-47 kg m2 73 b) Rotationsenergie Erot 2 L 2I mit L J J 1 Quantenmechanik: (Quantisierung des Drehimpulses) 2 Erot , J 2 I r02 m1m2 r02 m1 m2 mit Drehimpulsquantenzahl J = 0, 1, 2, … Erot , J 2 J J 1 2I E3 EJ EJ 1 EJ 2 J 1J 2 J J 1 2I 2 J 1 I E2 E1 6 2 J 3, E3 I 3 2 J 2, E2 I 2 J 1, E1 I J 0, E0 0 c) Rotationsspektrum: äquidistante Linien aus Linienabstand 2 I J=0 2 2 I 2 I 1 2 I 2 I 3 4 E = h Frequenzbereich: = 2 GHz – 2 THz 2 I Bestimmung von I und r0 74 1.5. Wellen Exp.: gekoppelter Oszillator Eine Welle ist eine periodische Änderung einer physikalischen Größe, z. Bsp. Auslenkung t , r einer PM gegenüber ihrer Gleichgewichtslage, in Zeit und Raum. z 75 1.5.1. Longitudinale eindimensionale harmonische Welle Auslenkung in ±z Richtung Ausbreitungsrichtung: +z T t , z z0 1 2 t t0 , z 2 kz t Wellenfunktion: (Weg-Zeit-Gesetz) t , z Aez sin t k z z - Amplitude - Wellenlänge [ ] = m - Wellenzahl [kz] = m-1 2 Vorsicht bei Ausbreitung in – z Richtung: t , z Aez sint k z z t k z z - Phase der Welle A kz z Exp.: longitudinale Welle auf Spiralfeder 76 1.5.2. Transversale eindimensionale harmonische Welle Auslenkung in ±x oder ±y Richtung 2 kz t t0 , x oder y Ausbreitungsrichtung: +z t , z z0 T 1 2 z t Wellenfunktion: (Weg-Zeit-Gesetz) Vorsicht bei Ausbreitung in – z Richtung: t , z Aex, y sint k z z t , z Aex, y sin t k z z Exp.: transversale Wellen auf Wellenmaschine Wellenmodell Wellengleichung: (Bewegungsgleichung) (eindimensional) t , z 2 t , z v ph 0 t 2 z 2 2 2 v ph - Phasengeschwindigkeit mit v ph kz 77 1.5.3. Phasengeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit – Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, Bedingung: genauer, Geschwindigkeit mir der sich eine spezielle Phase, t k z z , z. Bsp. ein Maximum der Wellenfunktion bewegt: t k z z const t , z Aex, y sin t k z z d t k z z 0 dt Maximum dz kz 0 dt mit dz v ph dt k z v ph 0 Phasengeschwindigkeit v ph kz Explizite Formel für Phasengeschwindigkeit hängt vom speziellen Typ der Welle und Medium in dem sich die Welle ausbreitet ab! Im allgemeinen gilt: v ph sinkt mit Masse der schwingenden Teilchen v ph wächst mit zunehmenden elastischen, rückstellenden Kräften zwischen den Teilchen 78 1.5.3. Beispiele für Wellentypen und Phasengeschwindigkeit a) Seilwellen Transversalwellen F v ph l m F – Zugkraft im Seil m – Masse des Seils l – Länge des Seils Exp.: Seilwelle b) Elastische Wellen in Festkörpern Longitudinalwellen Transversalwellen v ph E E – Elastizitätsmodul – Dichte v ph G G – Schub- bzw. Torsionsmodul Exp.: Simulation von Wellen im Festkörper Phasengeschwindigkeit einer Longitudinalwelle in Al-Stab c) Schallwellen in Gasen Longitudinalwellen v ph p p – Druck Exp.: Simulation von Schallwelle – Dichte – Adiabatenkoeffizient 79 1.5.4. Überlagerung von Wellen 1.5.4.1. Stehende von Wellen Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz und Wellenzahl aber entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung Welle in +z Richtung: 1 Asin t kz z Welle in -z Richtung: 2 Asin t kz z Superposition: - Phasenunterschied 1 2 Asin t kz z sin t kz z sin sin 2 sin cos 2 2 2 A cos k z z sin t 2 2 Resultat Periodizitäten in Zeit und Raum sind nun entkoppelt! Schwingung sin t mit ortsabhängiger Amplitude 2 2 A cos k z z 2 80 Diskussion: 2 A cos k z z sin t 2 2 Amplitude oszilliert zwischen -A und +A mit Schwingungsdauer 2 T Schwingungsknoten: cos k z z 0 2 z kz z 2 2n 1 1 2n 1 2 n 1 k z 2 2 4 Schwingungsbäuche: cos k z z 1 2 z 1 2n n kz 2 4 2 Knotenabstand: z kz z 2 2 n Anwendung: Resonatoren, LASER 81 Exp.: stehende Wellen Reflektion am freien und festen Ende (Simulation) Seilwelle Wellenmaschine stehende Welle im Hörsaal 82 1.5.4.2. Interferenz von Wellen Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz, gleicher Wellenzahl und gleicher Ausbreitungsrichtung, aber konstanter Phasendifferenz = const 2 A sin t k z z 1 A sin t k z z Superposition: 2 2 1 2 sin sin 2 sin cos 2 2 2 A cos sin t k z z Amplitude ist abhängig von Phasendifferenz 2 destruktive Interferenz: (Auslöschung) konstruktive Interferenz: (Verstärkung) 0 cos 2A cos 2 2 0 1 2n 1 2n 83 betrachte Phasendifferenz als Gangunterschied z = z2 –z1 Quelle 1 z1 Quelle 2 Beobachter z2 z Gangunterschied: 2n 1 destruktive Interferenz: (Auslöschung) z konstruktive Interferenz: (Verstärkung) z n 2 k z z z 2 2n 1 2n Anwendung: Lichtbeugung, Röntgenbeugung, Elektronen- und Neutronenbeugung Exp.: Interferenz von Wasserwellen (Simulation) Interferenz von Schallwellen 84
