Variationen Permutationen Kombinationen

Variationen – Permutationen – Kombinationen
Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen
von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert die mühsame
Zählarbeit von Anzahl der Günstigen bzw. Möglichen.
1. Variationsregel (Anzahl der Variationen)
Wenn jedes von k sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen bei jedem Versuch
auftreten kann, ergeben sich bei n Versuchen kn verschiedene Ereignisabfolgen.
Beispiel 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel bei 5 Würfen 5 Mal die
Sechs zu würfeln?
Gedankengang: Die einzelnen Ereignisse (1, 2, 3, 4, 5 und 6) sind einander ausschließend
und gleich wahrscheinlich.
Ergebnis: Anwenden der 1. Variationsregel: Es gibt kn = 65 = 7776 mögliche Variationen.
1
= 0, 000129 auf.
Das eine günstige Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
7776
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0129%.
Anmerkung: Analog erhält man das Ergebnis durch folgenden Rechengang:
5
1
  = 0, 000129
6
(Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse)
Beispiel 2: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Fragebogen mit dichotomen
(zweikategoriellem) Antwortformat und 10 Fragen die Antwortfolge
„Ja“ „Ja“ „Ja“ „Nein“ „Ja“ „Nein“ „Nein“ „Ja“ „Nein“ Ja“
zu erhalten?
Gedankengang: Die zwei möglichen Ergeinisse „Ja“ „Nein“ sind einander ausschließend und
treten (theoretisch) mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
Ergebnis: Anwenden der 1. Variationsregel: Es gibt kn = 210 = 1024 mögliche Variationen.
1
= 0, 000977 auf.
Das eine günstige Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
1024
Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0977%.
10
1
Anmerkung: Analoger Rechenvorgang:   = 0, 000977
2
Anmerkung: Natürlich treten auch alle anderen 210 = 1024 möglichen Antwortmuster mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit auf.
2. Variationsregel (Anzahl der Variationen)
Werden n voneinander unabhängige (ev. verschiedene) Zufallsexperimente
durchgeführt und besteht das
1. Zufallsexperiment aus k1 möglichen (Elementar)-Ereignissen und das
2. Zufallsexperiment aus k2 möglichen (Elementar)-Ereignissen
......
n. Zufallsexperiment aus kn möglichen (Elementar)-Ereignissen
dann sind k1 ⋅ k2 ⋅ ....... ⋅ kn die möglichen verschiedenen Ereignisvariationen.
Beispiel 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit einer Münze „Zahl“ mit einem Würfel
„Zwei“ und aus 32 Karten die „Herz As“ zu ziehen?
Gedankengang: 3 voneinander unabhängige Zufallsexperimente
1. Zufallsexperiment (Münze) besteht aus k1 = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen
2. Zufallsexperiment (Würfel) besteht aus k2 = 6 möglichen (Elementar)-Ereignissen
3. Zufallsexperiment (Karten) besteht aus k2 = 32 möglichen (Elementar)-Ereignissen
Aus k1 ⋅ k2 ⋅ k3 = 2 ⋅ 6 ⋅ 32 = 384 resultieren die möglichen verschiedenen Ereignisabläufe.
Ergebnis: Das eine günstige Ereignis („Zahl“ und „Zwei“ und „Herz As“) kann unter 384
1
möglichen Ereignissen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
= 0, 0026 bzw. 0,26%
384
Anmerkung: Analog erhält man das Ergebnis durch folgenden Rechengang:
1 1 1
⋅ ⋅ = 0, 0026
2 6 32
(Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse)
Beispiel 2: Eine Maus läuft durch ein Labyrinth mit insgesamt 4 Weggabelungen. Es gibt nur
einen richtigen Weg bis ans Ziel. Bei der ersten Weggabelung gibt es 2 bei der zweiten 4 bei
der dritten 2 und bei der vierten 3 mögliche Wege.
Gedankengang:
1. Zufallsexperiment (1. Weggabelung) besteht aus k1 = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen
2. Zufallsexperiment (2. Weggabelung) besteht aus k2 = 4 möglichen (Elementar)-Ereignissen
3. Zufallsexperiment (3. Weggabelung) besteht aus k2 = 2 möglichen (Elementar)-Ereignissen
4. Zufallsexperiment (4. Weggabelung) besteht aus k2 = 3 möglichen (Elementar)-Ereignissen
Aus k1 ⋅ k2 ⋅ k3 ⋅ k4 = 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 48 resultieren die möglichen verschiedenen Ereignisabläufe.
Ergebnis: Das eine günstige Ereignis (richtiger Weg bei allen 4 Weggabelungen bis ans Ziel)
kann unter 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 48 möglichen Ereignissen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
1
= 0, 0208 bzw. 2,08%.
48
Anmerkung: das gleiche Ergebnis erhält man mittels Entscheidungsbaum bzw.
Multiplikationstheorem der Wahrscheinlichkeitsrechnung für unabhängige Ereignisse.
Da unabhängige Ereignisse folgt:
1 1 1 1 1
⋅ ⋅ ⋅ =
= 0, 0208
2 4 2 3 48
1. Permutationsregel (Anzahl der Reihenfolgen)
ohne Wiederholung / Zurücklegen
n verschiedene Objekte können in n ! = n(n − 1)(n − 2)......2 ⋅1 („n Fakultät“)
verschiedenen Reihenfolgen angeordnet werden.
Beispiel 1: Aus einer Urne sollen 5 Kugeln hintereinander entnommen werden. Die Kugeln
haben Nummern von 1 bis 5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass die Kugeln exakt nach
der Reihenfolge ihres Zahlenwertes gezogen werden, beginnend mit der Eins?
Gedankengang: Ziehen ohne Zurücklegen bei 5 einander ausschließenden
Zufallsexperimenten:
1. Zufallsexperiment (1. Ziehung) aus 5 möglichen Kugeln
2. Zufallsexperiment (2. Ziehung) aus 4 möglichen Kugeln
3. Zufallsexperiment (3. Ziehung) aus 3 möglichen Kugeln
4. Zufallsexperiment (4. Ziehung) aus 2 möglichen Kugeln
5. Zufallsexperiment (5. Ziehung) aus 1 möglichen Kugel
Die Anzahl der Möglichkeiten bei 5 Kugeln ist demnach
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = n(n − 1)(n − 2) ⋅ 2 ⋅1 = n ! = 120
Ergebnis: Das eine günstige Ereignis (Ziehung der einen richtigen Reihenfolge) kann unter
1
120 möglichen Reihenfolgen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
= 0, 00833 bzw.
120
0,833%.
2. Permutationsregel mit Wiederholung / Zurücklegen bzw.
1. Kombinationsregel (Anzahl der Kombinationen)
Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig aus und lässt man hierbei die
n
n!
mögliche
Reihenfolge außer acht, ergeben sich für k Objekte   =
 k  k !( n − k )!
Kombinationen / Reihenfolgen.
Beispiel 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einen Lotto-Sechser zu erzielen?
Gedankengang: k = 6 richtige Zahlen aus n = 45 möglichen Zahlen, wobei die Reihenfolge
nicht relevant ist.
 45 
45!
Ergebnis:   =
= 8145060 sind die möglichen Kombinationen von 6 aus 45
 6  6!(45 − 6)!
Zahlen mit beliebiger Reihenfolge.
Das eine günstige Ereignis (Ziehung der 6 richtigen Zahlen) kann unter 8145060 möglichen
1
Kombinationen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
= 0, 000000123 bzw.
8145060
0,0000123%.
Beispiel 2: Wie viele verschiedene Mannschaften zu je 5 SpielerInnen lassen sich aus n = 23
SchülerInnen aufstellen?
Gedankengang: k = 5 SpielerInnen aus n = 23 möglichen Personen, wobei die Reihenfolge
nicht relevant ist.
 23 
23!
Ergebnis:   =
= 33649 sind die möglichen Kombinationen von 5 aus 23
 5  5!(23 − 5)!
Personen mit beliebiger Reihenfolge.
Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Zuteilung ist also
1
= 0, 0000297 bzw.
33649
0,00297%.
2. Kombinationsregel
Wählt man aus n verschiedenen Objekten k zufällig - mit einer bestimmten
n!
mögliche Kombinationen der
Reihenfolge - aus, ergeben sich für k Objekte
(n − k ) !
Objekte k.
Im Gegensatz zur ersten Kombinationsregel wird hier die Reihenfolge berücksichtigt!
Beispiel:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit aus 32 Karten der Reihe nach „Herz As“ „Herz König“
„Herz Dame“ und „Herz Bube“ zu ziehen?
Gedankengang:
Die Reihenfolge spielt eine Rolle und aus n = 32 möglichen Karten werden k = 4 günstige
gezogen.
Ergebnis:
32!
= 863040 mögliche Kombinationen stehen zur Verfügung.
(32 − 4)!
Das eine günstige Ereignis (Ziehung der 4 Karten in richtiger Reihenfolge) kann unter 863040
1
möglichen Kombinationen auftreten. Die Wahrscheinlichkeit ist also
= 0, 00000116
863040
bzw. 0,000116%.
3. Kombinationsregel
Sollen n Objekte in k Gruppen der größe n1, n2,......nk, eingeteilt werden
n!
(wobei n1 + n2 + ... + nk = n), ergeben sich
mögliche Kombinationen.
n1 !⋅ n2 !⋅ ... ⋅ nk !
Beispiel: Ein Hotel hat für 10 Personen zwei 3-Bett-Zimmer und ein 4-Bett-Zimmer. Wie
viele verschiedene Raumzuweisungen sind bei den 10 Personen möglich?
Gedankengang: 10 Personen sollen in Zimmer 1 mit n = 3, Zimmer 2 mit n = 3 und Zimmer
3 mit n = 4 Betten eingeteilt werden.
10!
= 4200
3!⋅ 3!⋅ 4!
Es sind 4200 verschiedene Raumzuweisungen möglich, wobei die Wahrscheinlichkeit für eine
1
bestimmte Raumzuweisung
= 0, 000238 bzw. 0,0238% beträgt.
4200
Ergebnis: Die möglichen Kombinationen ergeben sich durch