Sphärische Trigonometrie

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Modul: Astronomische Referenzsysteme
Sphärische Trigonometrie
Bachelor Geodäsie und Geoinformation
Büro BEY 147b
WWW http://astro.geo.tu-dresden.de
Institut für Planetare Geodäsie, Lohrmann-Observatorium
Technische Universität Dresden, D-01062 Dresden
Bachelor Geodäsie und Geoinformation
Modul: Astronomische Referenzsysteme
• Leistungspunkte: 8, Aufwand: 240 Stunden
• Wintersemester:
–
–
–
–
VO Sphärische Trigonometrie (Soffel, 1 SWS)
ÜO Sphärische Trigonometrie (Tupikova, 1 SWS)
ÜO Fachspezifische Datenverarbeitung (Klioner, 1 SWS)
Prüfung: Trig. und DV, schriftl., 90min
• Sommersemester
– VO Astronomische Referenzsysteme (Soffel, 2 SWS)
– ÜO Astronomische Referenzsysteme (Tupikova, 1 SWS)
– Prüfung: Referenzsysteme, mdl., 20min
• Modulnote: arithmetisches Mittel aus Prüfungen
2
Organisatorisches
Vorlesung:
Di, 3. DS (11:10-12:40), BEY/98,
ungerade KW, 14tägig
Übungen:
Planetarium:
Di, 5. DS (14:50-16:20), BEY/69,
ungerade KW, 14tägig
1 VL-Termin, wird bekannt gegeben
Abschluss:
Klausurarbeit, 90min
3
Inhalt
• Goniometrie und ebene Trigonometrie (Wdh.)
• Grundlagen der sphärischen Trigonometrie
• Berechnungen auf der Erdkugel
• Anwendungen aus sphärischer Astronomie
4
Literatur
• Steinert, K.-G., Sphärische Trigonometrie, Kleine
naturwissenschaftliche Bibliothek, Reihe Mathematik,
Band 8, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1977.
• Sigl, R., Ebene und sphärische Trigonometrie,
Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main
1969, Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1977.
• Dörrie, H., Ebene und sphärische Trigonometrie,
Oldenbourg Verlag, München, 1950.
5
Literatur
(Forts.)
• Kern, H. und J. Rung, Sphärische Trigonometrie,
Bayerische Verlagsanstalt GmbH, 1997.
• Hame, R., Sphärische Trigonometrie, Ehrenwirth
Verlag GmbH, 11. Additum, München (o. Jahrg.).
• Bronstein, I., N. und K. A. Semendjajew,
Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch,
Thun und Frankfurt (Main), 1987.
• …
6
Trigonometrie (allg.)
• urspr.: Dreiecksmessung, d.h. „Lehre von Beziehungen
zwischen Winkeln und Seiten des Dreiecks“
• i.w.S.: funktionale Zusammenhänge von Winkeln,
Strecken und Flächen
 math. Berechnung ebener u. räuml. Gebilde
• Geometrie:
Operation mit algebraischen Fktn.
Trigonometrie: Operation mit transzendenten, hier
trigonometrischen Fktn.
7
Anwendungsbereiche
• wichtig für alle Gebiete der angewandten
Mathematik, insbes. für Geodäsie, Geografie u.
Astronomie
•  „niedere“ Geodäsie (Vermessungskunde):
Untersuchungsgebiet  Ebene  ebene
Trigonometrie
•  „höhere“ Geodäsie (Erdvermessung), sphärische u.
geodätische Astronomie, math. Geografie:
gekrümmte Flächen  sphärische Trigonometrie
8
Winkelmaße: 1. Gradmaß
a) U = U/360
 Richtungsabstand r1r2:
U
 = 1 Grad = 1°
r1
1° = 60' = 3600"
U = Kreisumfang
r = Radius
U
r2

b) U = U/400
 Richtungsabstand r1r2:
 = 1 gon = 1000 mgon
Veraltet:
 = 1 Neugrad
= 1g = 100c = 10000cc
9
Winkelmaße: 2. Bogenmaß
 = Zentriwinkel
r = Radius
b/r =  [rad]
r

b
bei r = 1:
 b =  [rad]
Vollkreis:
α = 2 rad
Veraltet:
arc 
10
Winkelmaße: 3. Zeitmaß
11
Winkelmaße: 3. Zeitmaß
180°
270°
α =360°
=24h
90°
=15°=1h
 1° = 1/15h
= 4m
1' = 1/15m
= 4s
0°
12
Winkelmaße: Zusammenhänge
αrad

2 π rad
Umrechnungsfaktoren
zu
von
[rad]
α
360
[rad]


αgon
400 gon
[°]

α
h
24
h
[gon]
(=180/)
(=200/)
57,295780 63,661977
(=12/)
3,819719
(=200/180) (=12/180)
1,111111 0,066667
[°]
(=/180)
0,017453
[gon]
(=/200) (=180/200)
0,015708 0,900000
[h]
(=/12) (=180/12) (=200/12)
0,261799 15,000000 16,666667

[h]

(=12/200)
0,060000

13
Winkelfunktionen: „Definition“
Sinus:
rechtwinkliges Dreieck:
A

c
B
sinβ 
Gegenkathete

b
c

a
c
Hypothenuse
b
Kosinus:
.

a
C
cos  
Ankathete
Hypothenuse
 Tangens:
tan β 
Gegenkathete
Ankathete
b sin β
 
a cos β
14
Winkelfunktionen: „Definition“
rechtwinkliges Dreieck:
A

c
B
Sekans:
c
sec β 

a
cos β
1
b
Kosekans:
.

a
C
c
cosec β 

b
sin β
1
Kotangens:
cot β 
1
tan β

a
b
15
Winkelergänzungen
•  heißt Komplementwinkel zu , wenn =90°


•  heißt Supplementwinkel zu , wenn =180°


•  heißt Implementwinkel zu , wenn

=360°

16
Funktion-Kofunktion-Relation
Kosinus (lat. complementi sinus)
=
Sinus des Komplementwinkels

b


a
c
und
sinα  cosβ  cos(90  α)
cotα  tan(90  α)
und
tanα  cot(90  α)
secα  cosec(90  α)
und
cosecα  sec(90  α)
cosα  sinβ  sin(90  α)
entsprechend gilt auch:
17
Beziehungen zw. Winkelfunktionen
(bei gleichem Argumentwert)
B
a2 b2 c2

a2  b2
c2
c
a
(Satz des Pythagoras)
a2
2
b2
a
b


   
2
2
c c c  c
sinα
.
C

b
A

2
2
1
cos α
2
sin α  cos α  1
18
Beziehungen zw. Winkelfunktionen
cos α
sin α

sin α 
cos α 
tan α 
cot α 
sec α 
cosec α 


1  sin α
sin α

2

1  sin α

1  sin α
1

1
2
1  tan α

1  sin α
2

2
1  cos α
2
1  cos α
2
1  cot α
tan α
2

1  tan α

1  tan α

2

cosec α
1
2
sec α  1
2
cosec α  1
2

cosec α  1

cosec α  1
1

sec α
2
1  cot α
2
sec α  1

2
1  cot α
2
tan α

sec α
cot α

cosec α
sec α
1  cot α

1
2
1
cot α
cosec α
sec α  1
1
1
1



2
1  cos α
cos α
1

sec α
cot α
1  tan α
1
2
sin α
tan α
1
cos α

sin α

cos α
2
cot α
2
1  cos α

2
tan α

2
sec α  1
2
cosec α

2
cosec α  1

19
Werte der Winkelfunktionen
(graphische Bestimmung)
+a
E
Einheitskreis: r = 1
II
Quadrant
I II III IV
sin
cos
tan
cot
















ep
sin = ap
P
I
r
ap

O b L
p
-b
III
IV
cos = bp
dp
D
+b
tan = dp
cot = ep
-a
20
Periodizität der Winkelfunktionen
Bogenmaß
Gradmaß
sin α  sin(α  k 2 π)
sin α   sin(α   k 360)
cos α  cos(α  k 2 π)
cos α   cos(α   k 360)
tanα  tan(α  k π)
tan α   tan(α   k 180)
cot α  cot(α  k π)
cot α   cot(α   k 180)
P
k  0, 1,2,...

+2
21
Graphen der Winkelfunktionen
-2

0
-
2
1
sin
0
cos
-1
10
tan
0
cot
-10
-5/2 -3/2
-/2
/2
3/2
5/2
22
Funktionswerte trigon. Funktionen
1. Zurückführung des Winkelarguments auf das
Intervall [0, /2], d.h. den I. Quadranten
2. Umrechnung des Winkelarguments in das
Bogenmaß (falls erforderlich)
3. Bestimmung des Funktionswertes (i.d.R. mittels
Reihenentwicklung)
23
Funktionswerte trigon. Funktionen
1. Zurückführung des Winkelarguments  auf [0, /2]
a) wenn  < 0
→ Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften
cos  = cos 
(gerade Fkt.)
sin  = sin 
tan  = tan 
(ungerade Fkt.)
cot  = cot 
b) wenn  > 2
→ Ausnutzung der Periodizität
Subtraktion von k2
24
Funktionswerte trigon. Funktionen
1. Zurückführung des Winkelarguments  auf [0, /2]
c) wenn  > /2
→ Ausnutzung von Symmetrien innerhalb einer
Periode sowie der Fkt.-Kofkt.-Relationen
z.B.:
II. Quadrant:
π

sin   α    cos α
2

III. Quadrant:
sin(π  α)   sin α
IV. Quadrant:
3

sin  π  α    cos α .
2

25
Funktionswerte trigon. Funktionen
2. Umrechnung in Bogenmaß
α rad 
α
180
π
α gon
200 gon
π
α
h
12
h
π
26
Funktionswerte trigon. Funktionen
3. Bestimmung des Funktionswertes
a) Spezielle Funktionswerte
Bogenmaß
0
/6
/4
/3
/2
Gradmaß
0°
30°
45°
60°
90°
sin
1
1
2
1
3
1
2
0
2
2
1
3
0
1
2
1
1
2
tan
3
2
0
2
cos
1
1
3

3
cot

1
3
3
1
0
3
27
Funktionswerte trigon. Funktionen
3. Bestimmung des Funktionswertes
b) Reihenentwicklung
n
f x   
f
( )
ν 0
x 0 
!

(x  x 0 )
 R n (x)
(Taylorformel)
z.B. sin und cos an der Entwicklungsstelle 0 = 0
sin    

3

3!
cos   1 

5

5!
2
2!



7
7!
4
4!



 R 9 ( )
6
6!
 R 8 ( )
28
Additionstheoreme
sin sin
sin(α  β)  sinα cosβ  cosα sinβ

cos sin
1
2

sin cos

cos(α  β)  cos α cos β  sin α sin β
2
cos( 2 α)  cos α  sin α
.
90°-
sin(2 )  2 sin  cos 
2
2
 cos α  (1  cos α)
2
 2 cos α  1
2
 1  2 sin α
cos cos
29
Verwandlungsformeln
(I)
(II)
sin(  )  sin  cos   cos  sin 
sin(  )  sin  cos   cos  sin 
(I)  (II):
(I)  (II):
sin(  )  sin(  )  2 sin  cos 
sin(  )  sin(  )  2 cos  sin 
Mit     x ,     y folgt

xy
2

sin x  sin y  2 sin
sin x  sin y  2 cos
xy
,
xy
.
2
xy
cos
2
xy
2
xy
sin
2
2
30
Berechnung ebener Dreiecke:
Grundformeln
B
Ebener Sinussatz
a
sin 

b
sin 

c
C
hc

sin 
Ebener Kosinussatz
2
2
q
. c=p+q
p
b
a

a

A
2
 b  c  2 bc cos 
31
Sphärische Trigonometrie
tb
R
.
O
a
a

R
tc
32
Kreise und Winkel auf der Kugel
z
Fallunterscheidung:
S
O‘.
I) e = 0
 S…Großkreis (OS)
mit r = R
r
e
.
O
x
R
y
II) 0 < e < R
 S…Kleinkreis
mit 0 < r < R
III) e = R
 S…Tangentialebene
mit r = 0
33
Kreise und Winkel auf der Kugel
P.
d
S
O'
.
charakteristische Größen:
d = Kugeldurchmesser  S
r
.
A
.
A'
O.
P'
.
.B
O' = wahrer Mittelpunkt von S
P, P' = sphärische
Mittelpunkte
P = Nahpol, P' = Fernpol
A, A' = diametrale Punkte
  viele Großkreise durch A, A'
A, B nicht diametral  1 Großkreis
34
Polare Abstände
.
P
p
q
S
x
O' r
d
R

.
O '
/2
Q
, ' = sphärische Abstände
x, y = direkte Abstände
Wegen
sin

x/2
2
y
gilt

x
2
analog:
R

p
x
 2Rp  x 

sin
.
P'


2Rp
2
2R
'
2Rq
sin
2

2R

2Rp
p
2R

q
2R
35
Minimalabstand zweier Punkte
.
.
A
P
O' . r

B
.
O
P'
Kleinkreis:
AB = r  rad = r ° /180°
. R
Großkreis:
AB = R  rad = R ° /180°
.
Behauptung:
Länge von AB wird auf
Großkreisbogen minimal.
36
Minimalabstand zweier Punkte
A
.




O'
.
r

.B
Behauptung:
Länge von AB wird auf
Großkreisbogen minimal .
R
 Großkreisbögen sind geodätische
Linien, d.h. kürzeste Verbindungen
auf der Kugeloberfläche.

.
O
 Entfernung AB allein durch Winkel im
Kugelzentrum   180° bestimmt:
AB
2R


360
 AB 

180
R   R  rad
37
Merke:
 Großkreisbögen = kürzeste Verbindungen
auf der Kugeloberfläche
!
38
Das sphärische Zweieck
Da FZ   und FK = 4R2, gilt:
A'

2 FZ
R
O
.
FZ
R

 rad

FK

2
FZ  2R  rad

A
bzw.
2
FZ  2R 

180
39
Das sphärische Dreieck
C

b
A 
ba
cO
c
a
Betrachtungen ausschließlich
für Eulersche Dreiecke:
 a,b,c,,,  180°

B
40
Das sphärische Dreieck
C
1 Grunddreieck
B'
1 Gegendreieck
A
A'
O
B
3 Scheiteldreiecke
3 Nebendreiecke
8 sph. Dreiecke
C'
41
Das Polardreieck
Def.:  ABC = Polardreieck
APA

A
b
b
 C
c
c
 a
 C
B

PA'
B
a
42
Das Polardreieck
Def.:  ABC = Polardreieck
A

c
B

A b
b
 C
c
 a
B
a
Drehung des Großkreises c
in Punkt A um  - lässt
dessen Pol C entlang a zu
B wandern

 C
a  
b  
c  
Polardreieck von  ABC ist
 ABC, deshalb gilt analog:
a  

  a
  b
  c
43
Grundformeln für sph. Dreiecke
C

sin a
O
.
b

cos a .
.
Q
.
c
. Z
a

A
Dreieck CPZ:
Dreieck CQZ:
sin  
sin  

OQ = cos a

b
P
CZ
a
CZ
OP = cos b
B CQ = sin a
CP = sin b
c
sin  sin b  sin  sin a
CP
sin b
sin 
CZ
CZ
sin a
CQ

sin a

sin 
sin b

sin 
sin c
sphärischer Sinussatz
44
Grundformeln für sph. Dreiecke
C

sin a
O.
b
a

..
Q .
. Z
cos a
c

b

P
a
B
c
A
45
Grundformeln für sph. Dreiecke
.
C
Dreieck PCZ:
cos  
PZ

PC
PZ
sin b
PZ  cos  sin b
.
O
a
b
. .
cos a
Q
c
.. 
P
.
. .Z
Dreieck QCZ:
cos  
QZ
QC

QZ
sin a
QZ  cos  sin a
46
Grundformeln für sph. Dreiecke
.C
O. c
.C
.F .
.Z
G.
. c
OQ  cos a
 OF + FQ
 OF + GZ
OF  cos b cos c
GZ  PZ sin c
 cos  sin b sin c
cos a 
cos b cos c
 sin b sin c cos 
sphärischer Seitenkosinussatz
47
Grundformeln für sph. Dreiecke
C
O. c
.C
.F .
.Z
G.
. c
FG = QZ
 cos  sin a
= FP  GP
FP  cos b sin c
GP  PZ cos c
 cos  sin b cos c
sin a cos   cos b sin c
 sin b cos c cos 
sin a cos   cos c sin b
 sin c cos b cos 
Sinus-Kosinussatz
48
Grundformeln für sph. Dreiecke
Sinus-Kosinussatz:
sin a cos   cos b sin c  cos  sin b cos c
cos  cos c 
cos b sin c

sin b
sin a cos 
(I)
sin b
sphärischer Sinussatz:
sin a
sin 

sin b
sin 

sin a
sin b

sin 
sin 
(II)
(II) in (I) eingesetzt:
cos  cos c 
cos b sin c

sin b
sin  cos 
sin 
cos  cos c  cot b sin c  sin  cot 
Kotangenssatz
49
Grundformeln für sph. Dreiecke
sphärischer Seitenkosinussatz für Polardreieck:
cos a  cos b cos c  sin b sin c cos 
Beziehungen zwischen Stücken des Polarund des Grunddreiecks einsetzen:
cos(    ) 
cos(   ) cos(    )
 sin(   ) sin(    ) cos(   a )
 cos   (  cos )( cos  )  sin  sin  (  cos a )
cos    cos  cos   sin  sin  cos a
Winkelkosinussatz
50
Abgeleitete Formeln:
Halbstückrelationen
Additionstheorem:
cos   2 cos
2

 1  1  2 sin
2
2

(I)
2
Seitenkosinussatz:
cos a  cos b cos c  cos  sin b sin c
cos  
cos a  cos b cos c
(II)
sin b sin c
(I) auf linke Seite von (II) angewendet:
2 sin
sin
2

2
2

2
 1

cos a  cos b cos c
sin b sin c
sin b sin c  cos a  cos b cos c
2 sin b sin c
51
Abgeleitete Formeln:
Halbstückrelationen
sin
2


sin b sin c  cos a  cos b cos c
2
2 sin b sin c
mit Additionstheorem
cos ( b  c)  cos b cos c  sin b sin c
folgt:
sin
2

2

cos ( b  c)  cos a
2 sin b sin c
52
Abgeleitete Formeln:
Halbstückrelationen
sin
2


2
cos ( b  c)  cos a
2 sin b sin c
mit Verwandlungsformel:
x  y
x  y
cos x  cos y  2 sin 
 sin 

 2 
 2 
mit x  b  c und y  a
 ( b  c)  a 
 ( b  c)  a 
cos( b  c)  cos a  2 sin 
 sin 

2
2




folgt:
sin
2

2

b  a  c
a  c  b
sin 
 sin 

2
2




sin b sin c
53
Abgeleitete Formeln:
Halbstückrelationen
sin
2


b  a  c
a  c  b
sin 
 sin 

2
2




2
sin b sin c
mit Hilfsgröße:
s
abc
2
folgt:
sin
2


2
sin
2

2

ba c

a cb

sin 
 s  s  sin 
 s  s
2
2




sin b sin c
  2c

  2b

sin 
 s  sin 
 s
 2

 2

sin b sin c
54
Abgeleitete Formeln:
Halbstückrelationen
sin
2


2

sin
  2c

  2b

sin 
 s  sin 
 s
 2

 2

sin b sin c

2
sin s  c  sin s  b 
sin b sin c
analog aus Add.theorem mit cos2:

cos

2
sin s sin s  a 
sin b sin c
Halbwinkelsätze
und schließlich tan=sin/cos:

tan
2

sin(s  c) sin s  b 
sin s sin s  a 
55
Abgeleitete Formeln:
Halbstückrelationen
aus Additionstheorem für Seite:
cos a  2 cos
2
a
 1  1  2 sin
2
2
a
2
und Winkelkosinussatz umgestellt nach cos a:
cos a 
cos   cos  cos 
sin  sin 
sowie der Hilfsgöße :

 
2
folgen analog Halbseitensätze, z.B.:
a
cos
2

cos(  ) cos(   )
sin  sin 
56
Abgeleitete Formeln:
Delambresche Formelpaare
Additionstheorem:

cos
 cos
2


cos
2
 sin
2


sin
2
2
Einsetzen der Halbwinkelsätze:

cos

2


cos
sin s sin(s  a )
sin s sin(s  b)
sin b sin c
sin c sin a
sin(s  b) sin(s  c)
sin(s  c) sin(s  a )
sin b sin c
sin c sin a
2

2
sin s sin(s  a ) sin(s  b)
2
sin c sin a sin b
2

sin (s  c) sin(s  a ) sin(s  b)
2
sin c sin a sin b
57
Abgeleitete Formeln:
Delambresche Formelpaare

cos
2
sin s sin(s  a ) sin(s  b)

2
2
sin c sin a sin b
2
sin (s  c) sin(s  a ) sin(s  b)

2
sin c sin a sin b
mit Halbwinkelsatz:

sin

sin(s  a ) sin(s  b)
2
sin a sin b
folgt:

cos
2


sin s
sin
sin c
2

sin(s  c)

sin
sin c
2
58
Abgeleitete Formeln:
Delambresche Formelpaare

cos


sin s
sin
2
sin c
2

1

cos
2

sin
sin c

sin(s  c)

sin
sin c
2
[sin s  sin(s  c)]
2
mit Verwandlungsformeln:
sin s  sin (s  c)  2 cos
 2 cos
 2 cos
 2 cos
s  (s  c)
s  (s  c)
sin
2
2s  c
2
c
sin
2
2
2[(a  b  c) / 2]  c
c
sin
2
c
ab
2
sin
2
2
59
Abgeleitete Formeln:
Delambresche Formelpaare

cos


sin s
2
sin c
2

1

cos

2

sin
sin
sin c
sin(s  c)

sin
sin c
2
[sin s  sin(s  c)]
2
mit Verwandlungsformeln:
sin s  sin (s  c)  2 cos
sin s  sin (s  c)  2 sin
ab
c
sin
2
ab
2
c
cos
2
folgt:

cos
2
 
cos
2


2

2
sin
sin c
2
cos
2

sin
sin c
ab
sin
2
ab
sin
2
c
2
c
cos
2
2
60
Abgeleitete Formeln:
Delambresche Formelpaare

cos
2
 
cos


2

2
ab
sin
sin c
2
cos
2

sin
sin c
c
sin
2
ab
sin
2
c
cos
2
2
2
mit Additionstheorem:
sin c  2 sin
c
c
cos
2
folgt:

cos


1
ab
sin
c
2
2
cos
2
cos
2
2
 
cos
2


1
sin
c
sin
2
ab
sin
2
2
61
Abgeleitete Formeln:
Delambresche Formelpaare

cos


1
sin
cos
c
2
ab
2
cos
2
2
 
cos
2


1
sin
c
sin
ab
sin
2
2
2

sin
ab
cos
2

sin
2
ab
sin
2
2
 cos

c
cos
2
2
c
 
 sin cos
2
2
Delambresche
Formelpaare
62
Abgeleitete Formeln:
Nepersche Analogien

sin
ab
cos
2

sin
2
ab
sin
2
2
 cos

c
cos
2
2
c
 
 sin cos
2
2
(I)
(II)
Delambresches Formelpaar dividieren (II)/(I):
 
ab
tan
 tan
2
c
2
cos
2

cos
2
ab
 
tan
cos
2
c
tan
2


Nepersche Analogien
cos
2
2
63
Rechnen mittels
Neperscher Analogien
z.B. gegeben in sphär. Dreieck WSW (, c, )
 
 
ab
tan
 tan
2
c
2
cos
2

xy
xy
2
2
ab
2
ab
2

tan
cos
=x

ab


ab
2
ab
2


=y
2a
2
2b
 tan
c
2
sin
2

sin
2
a
b
2
cos    cos  cos   sin  sin  cos c
64
Die 6 "Grundaufgaben"
Berechnung eines sph. Dreiecks möglich, wenn mind.
drei Stücke gegeben sind  6 Standardfälle
Fall 1 a,b,c
a,,
Fall 4 b,,
c,,
WSW
Fall 2 ,,
WWW
SSS
a,b,
Fall 3 a,c,
b,c,
a,b,
a,b,
Fall 5 a,c,
a,c,
b,c,
WSS
b,c,
SWS
a,,
a,,
Fall 6 b,,
b,,
c,,
SWW
c,,
65
Zweideutige Lösung
eines sphärischen Dreiecks

z.B.: Fall 5 (SSW)
geg.: a, c, 
a
 aus Sinussatz:
sin   sin 
sin a
sin c
c
Mehrdeutige Lösung
möglich, da

c
sin   sin (    )
66
Rechtwinklige sphärische Dreiecke
 = 90°
 cos  = 0, sin  = 1

b
a
 Vereinfachung der


c
Sph. Sinussatz:

sin a
sin 
Grundformeln:

sin c
sin 
sin b
,
sin a  sin  sin c ,
sin 

sin c
sin 
sin b  sin  sin c
Seitenkosinussatz:
cos c  cos a cos b  sin a sin b cos 

cos c  cos a cos b
67
Rechtwinklige sphärische Dreiecke
 = 90°  cos  = 0, sin  = 1
Kotangenssatz:
sin  cot   cot a sin b  cos b cos  ,
sin  cot   cot b sin a  cos a cos 
 cot   cot a sin b  sin b  tan a cot  ,
cot   cot b sin a  sin a  tan b cot 
Sinus-Kosinussatz:
sin a cos   cos c sin b  sin c cos b cos  ,
sin b cos   cos c sin a  sin c cos a cos 
 0  cos c sin b  sin c cos b cos   cos   cot c tan b ,
0  cos c sin a  sin c cos a cos   cos   cot c tan a
68
Rechtwinklige sphärische Dreiecke
 = 90°  cos  = 0, sin  = 1
Winkelkosinussatz:
cos    cos  cos   sin  sin  cos a ,
cos    cos  cos   sin  sin  cos b ,
cos    cos  cos   sin  sin  cos c
 cos   sin  cos a ,
cos   sin  cos b ,
cos  cos   sin  sin  cos c  cos c  cot  cot 
69
Rechtwinklige sphärische Dreiecke
 = 90°  cos  = 0, sin  = 1
Sph. Sinussatz:
sin a  sin  sin c ,
sin b  sin  sin c
Seitenkosinussatz:
cos c  cos a cos b
Kotangenssatz:
sin b  tan a cot  , sin a  tan b cot 
Sinus-Kosinussatz:
cos   cot c tan b , cos   cot c tan a
Winkelkosinussatz:
cos   sin  cos a , cos   sin  cos b ,
cos c  cot  cot 
70
All
All diese Formeln für rechtwinklige sphärische Dreiecke
kann man sich auf geniale Art und Weise merken:
Rechtwinklige sphärische Dreiecke
=90°
Nepersche Regel:
"Der Kosinus irgendeines Stückes ist gleich dem Produkt der Kotangens der beiden anliegenden Stücke
oder gleich dem Produkt der Sinusse der beiden nicht
anliegenden Stücke."
72
Rechtwinklige sphärische Dreiecke:
Nepersche Relationen
Nepersche Regel (Kurzform):
cos = cot (anliegend) • cot (anliegend)
= sin (nicht anliegend) • sin (nicht anliegend)
 10 Formeln im rechtwinkligen Dreieck
für  = 90°:
cos c  cot  cot 
cos c  cos a cos b
cos   cot c tan b
cos   sin  cos a
sin b  cot  tan a
sin b  sin c sin 
sin a  tan b cot 
sin a  sin  sin c
cos   tan a cot c
cos   cos b sin 
73
Rechtseitige sphärische Dreiecke
a
b
c=90°
74
Rechtseitige sphärische Dreiecke
c = 90°  cos c = 0, sin c = 1
Sph. Sinussatz:

sin   sin a sin  ,
sin   sin b sin 
Seitenkosinussatz:
cos    cos  cos 
Kotangenssatz:
sin   tan  cot a , sin   tan  cot b
Sinus-Kosinussatz:
cos a   cot  tan  , cos b   cot  tan 
Winkelkosinussatz:
cos a  sin b cos  , cos b  sin a cos  ,
cos    cot a cot b
75
Rechtseitige sphärische Dreiecke
c=90°
Nepersche Regel:
"Der Kosinus irgendeines Stückes ist gleich dem Produkt der Kotangens der beiden anliegenden Stücke
oder gleich dem Produkt der Sinusse der beiden nicht
anliegenden Stücke."
76
Merke:
Nepersche Regel
 rechtwinkliges bzw. rechtseitiges Dreieck:
Kosinus = Produkt der Kotangens der anliegenden
Stücke, bzw.
= Produkt der Sinusse der nicht anliegenden
Stücke
77
Ungleichungen im sph. Dreieck
Seitenkosinussatz:
cos c  cos a cos b  sin a sin b cos 
im Eulerschen Dreieck gilt: a,b,c ≤ 180°
 sin a sin b  0
weil  > 0° gilt zudem stets: cos  < 1
 cos c  cos a cos b  sin a sin b
cos c  cos(a  b)
wegen -180° < (a-b) < 180° und fallenden cos-Funktionswerten von 0° an sowohl in positiver Richtung bis 180°
als auch negativer Richtung bis -180° folgt
 c ab
78
Ungleichungen im sph. Dreieck
c ab
c ba
Da c stets positiv ist, kann die Betragbildung entfallen
 c  a  b Analog:
a  bc
b  ca
c  ba
a cb
b  a c
Jede Seite ist stets größer gleich
der Differenz der beiden anderen.
bzw.
Die Summe zweier Seiten ist stets
größer gleich der dritten.
79
Ungleichungen im sph. Dreieck
Seitenkosinussatz:
cos c  cos a cos b  sin a sin b cos 
Supplementwinkel:
a  180  a '
a '  180  a
c'  180  c
 '  180  

c  180  c'
  180   '
Einsetzen dieser Winkel in Seitenkosinussatz
  cos c'   cos a ' cos b  sin a ' sin b cos  '
cos c'  cos a ' cos b  sin a ' sin b cos  '
Äquivalente Ableitung führt auf:
 c'  a ' b
c'  b  a '
80
Ungleichungen im sph. Dreieck
(I)
(II)
c'  b  a '
Rücksubstitution der Supplemente
 (I) (180  c)  (180  a )  b
c'  a ' b
 c  a  b
cab
(II)

(180  c)  b  (180  a )
180  c  b  a  180
360  a  b  c
Die Summe aller Seiten ist stets kleiner gleich 360°
81
Ungleichungen im sph. Dreieck
Winkelkosinussatz:
cos    cos  cos   sin  sin  cos c
Supplement ' = 180°     = 180°  ' einsetzen
 cos   cos ' cos   sin ' sin  cos c
Äquivalente Ableitung führt auf:
    '
(I)
(II)
    '
Rücksubstitution:
 (I)   180     (II)
180      
    (180   )
  180    
82
Ungleichungen im sph. Dreieck
(I)
(II)
  180     
Gleichheitsfall, wenn sin ' sin  = 0
Wertebereiche: 0    180  0   '  180
180       
0    180
Gleichheitsfall nur falls  oder  oder beide 180°
 zum Zweieck entartetes sph. Dreieck
 ist einer der Winkel 180°, so sind die anderen beiden
gleich groß
z.B.  = 180°   = , einsetzen in
(I) 180  180  2      0  Widerspruch
Gleichheitsfall für (I) ausgeschlossen
(II)   180  180        0 
83
Ungleichungen im sph. Dreieck
180       
Die Winkelsumme im sphärischen
Dreieck ist stets größer als 180°
  180     
Die Summe zweier Winkel im sphärischen Dreieck
ist stets kleiner gleich dem dritten Winkel zzgl. 180°
84
Merke:
 Die Winkelsumme im sph. Dreieck ist stets > 180° !
85
Ungleichungen im sph. Dreieck


In ABC sei  > 1
In ABH ist 1 = 2
 HA = HB
In ACH ist HA+HC > b
HA+HC = HB+HC = a
a>b
Im sphärischen Dreieck liegt der größeren Seite
der größere Winkel gegenüber
Je nachdem, ob die Summe zweier Seiten >, =, < 180° ist,
wird auch die Summe ihrer Gegenwinkel >, =, < 180° sein
86
Mehrdeutige Lösungen
Ist die Summe zweier Seiten >, =, < 180°, so wird
auch die Summe ihrer Gegenwinkel >, =, < 180°.
Bsp.: Grundaufgabe 5 (geg.: a, b, )
Fall 1:
a  b  180 
    180
  90

  90
  90

  90 o.   90
eindeutige Lsg.
zweideutige Lsg.
Fall 2:
a  b  180 
    180
  90

  90 o.   90
zweideutige Lsg.
  90

  90
eindeutige Lsg.
87
Sphärischer Exzess
bzw.
   

      180 
   
    
sphärischer Exzess
Eulersches Dreieck: , ,   

 max  2 
88
Das sphärische Zweieck
(Wdh.)
Da FZ   und FK = 4R2, gilt:
A'
FZ

FK
R
O
.

 rad
2
FZ
R

2
FZ  2R  rad

A
bzw.
2
FZ  2R 

180
89
Fläche des sphärischen Dreiecks
C'
A'
O = Kugeloberfläche
F = Fläche
FABC = FA'B'C'
B'
M
.


B
A

C
2
Zweiecksflächen:
FAA' = FABC + FBCA'
FBB' = FABC + FACB'
FCC' = FABC + FABC'
FAA '  FBB'  FCC '  2R (     )
, ,  in [rad]
 3FABC  FBCA '  FACB'  FABC'
90
Fläche des sphärischen Dreiecks
2
2R (     )  3FABC  FBCA '  FACB '  FABC '
C'
A'
O  4 R
B'
O
O
.


B
2
A

2
 FABC  FACB'  FAB'C '  FABC'
mit
FAB 'C '  FBCA folgt:
'
C
2
2R (     )  2FABC 

2
FABC  R (     ) 
O
2
O
4
91
Fläche des sphärischen Dreiecks
2
O
2
4
2
4R
FABC  R (     ) 
 R (     ) 
4
2
 R (     )  R
2
2
 R (      )
falls  in Radiant
2
FABC  R 

FABC 
R
2
180
O
720
 

4R
2
720

falls ° in Grad
92
Differentialformeln
(Änderung des sph. Dreiecks)
b
b'


a
c'
a'
c

geg. z.B.:
a' = a + da
b' = b + db
c' = c + dc
ges. z.B.:
' =  + d
' =  + d
' =  + d
93
Differentialformeln
Allgemeines:
Gegeben sei Funktion mehrerer Variablen f(x,y,z)
sowie kleine Änderungen dx, dy, dz
Wie groß ist die zu erwartende Änderung der
Funktionswerte?
Das totale Differential
df 
f
x
dx 
f
y
dy 
f
z
dz
beschreibt die Änderung von f bei kleinen Änderungen
von x, y und z.
94
Differentialformeln
Seitenkosinussatz:
cos a  cos b cos c  sin b sin c cos 
0  cos a  cos b cos c  sin b sin c cos   f
Totales Differential:
df  0 
f
da 
a
  sin ada
f
b
db 
f
c
dc 
f

d
 (sin b cos c  cos b sin c cos  )db
 (cos b sin c  sin b cos c cos  )dc
 (sin b sin c sin  )d
Mit Sinus-Kosinussatz:
sin b cos c  cos b sin c cos   sin a cos 
cos b sin c  sin b cos c cos   sin a cos 

df  0   sin ada  sin a cos db
 sin a cos  dc  sin b sin c sin d
95
Differentialformeln
df  0   sin ada  sin a cos db
 sin a cos  dc  sin b sin c sin d
Mit Sinussatz:
sin 
sin b


sin 

sin  sin b  sin  sin a
sin a
df  0   sin ada  sin a cos db
 sin a cos  dc  sin  sin c sin ad
Division durch sin a:
0  da  cos db  cos  dc  sin  sin cd
Umstellen nach d:
d 
da  cos db  cos  dc
sin  sin c
96
Anwendungen auf der Erdkugel
- Erdfigur A) physische Erdoberfläche:
Trennfläche zw. festem Erdkörper u. Atmosphäre
 zu unregelmäßig für analytische Beschreibung
B) mathematische Erdfigur:
1. Näherung: Kugel
Radius einer Kugel mit Erdvolumen: R = 6.371,22 km
 Großkreislänge: 40.031,56 km
2. Näherung: Rotationsellipsoid
Äquatorradius: RÄ = 6.378,39 km
Polradius:
RP = 6.356,91 km
Abplattung:
(RÄ-RP) / RÄ=1/297
97
Anwendungen auf der Erdkugel
- Erdfigur C) physikalische Erdfigur:
Definition von Niveauflächen  Richtung Schwerkraft,
d.h. Flächen mit konstantem Schwerepotential
 Geoid oder "wahre Erdfigur"
= ruhende Meeresoberfläche
98
Geographische Koordinaten
auf der Erdkugel
geographische Koord. = sphärische Koord. auf Erdkugel
Festlegung d. Lage von P:
Großkreise: H  V0
N
H  V, PV

V
Kleinkreis:
W || H, PW
V0
d
W
 P = P (, )

M
H
0 S
P



Def. für geogr. Koordinaten:
H = Äquator (H  d)
d = mittl. Rotationsachse
V0 = Greenwich-Meridian
  = geogr. Breite (positiv: N)
 = geogr. Länge (positiv: O)
99
Geographische Koordinaten
auf der Erdkugel
2
1

P1 = P1 (1, 1)
P2 = P2 (2, 2)
 = 21
1 P1
P2 
2
100
Geographische Koordinaten
auf der Erdkugel
P1 = P1 (1, 1)
P2 = P2 (2, 2)

k2
k1
P1
s
P2
 = 21
k1, k2 … Kurswinkel
s
… Großkreisbogen
Beispiel:
geg.: P1 (1, 1), P2 (2, 2)
ges.: s
cos s 
cos (90  1 ) cos(90  2 )
 sin (90  1 ) sin (90  2 ) cos 
cos s  sin 1 sin  2  cos 1 cos  2 cos 
101
Anwendungsbeispiel
Ein Flugzeug verlässt Buenos Aires (Länge 58,54°W
Breite 34,82°S) unter einem Kurswinkel von 37,47°.
Nach einem Flug von 11.930 km erreicht es seinen
Zielflughafen. Welche Koordinaten besitzt er?
13,47°O
52,35°N
102
Der Satz von Legendre

'
b
b'
' c'

c
a'
a
' 
Legendresches Dreieck
= kleines sph. Dreieck
mit a,b,c < 1°
Plandreieck
= ebenes Dreieck
mit a'=a, b'=b, c'=c
Bsp.: Erdkugel mit R = 6371 km, Seite c  60 km
 Zentriwinkel  0,5°
 Frage: Sind ', ', ' aus , ,  berechenbar,
d.h. ist eine Approximation eines Legendreschen
Dreiecks durch ein Plandreieck möglich?
103
Der Satz von Legendre
Legendre (1787):
„Jeder Winkel eines kleinen sphär. Dreieckes
vom Exzess  ist um  /3 größer als der entsprechende Winkel des zugehörigen Plandreiecks.“
Behauptung: ' =  -  /3, ' =  -  /3, ' =  -  /3
Beweis:
Es seien geg.
sph. Sinussatz:
nach Vorauss.:
a, b, c im Bogenmaß und
a', b', c' als Längen
sin 

sin 
 sin  sin a  sin  sin c
sin a
sin c
a'
c'
a'
c'
a 
,c
 sin  sin
 sin  sin
R
R
R
R
104
Der Satz von Legendre
sin  sin
a'
 sin  sin
R
c'
R
Entwicklung der sin-Funktion als Potenzreihe:
sin x  x 
x
3

3!
x
5
5!

x
7
 ...
7!
Da a, b, c und damit a', b', c' sehr klein, folgt:
3
3
 a'
 c'
a' 
c' 
  sin 

sin  


3 
3 


6R 
6R 
R
R
2

2


a ' sin  
c' sin  
  c'  sin  

a '  sin  
2
2




6
R
6
R




105
Der Satz von Legendre
2
2


a ' sin  
c' sin  
  c'  sin  

a '  sin  
2
2




6
R
6
R




'
q
a'
b'
p
'
hb'
c'
'
aus Grafik:
hb' = a' sin '
hb' = c' sin '
In 2. Ordnung gilt sin x' = sin x
 hb' = a' sin 
hb' = c' sin 
Einsetzen:
h b 'a ' 
h b 'c ' 


a '  sin  
  c'  sin  

2
2
6R 
6R 


106
Der Satz von Legendre
h b 'a ' 
h b 'c ' 


a '  sin  
  c'  sin  

2
2
6R 
6R 


'
q
a'
b'
p
'
hb'
c'
Einsetzen:
'
aus Grafik:
b' = p + q = c' cos ' + a' cos '
analog durch zyklische Vertauschung
 a' = b' cos ' + c' cos '
c' = a' cos ' + b' cos '
h b'


a '  sin  
( b' cos  ' c' cos ' ) 
2
6R


h b'


 c'  sin  
(a ' cos ' b' cos  ' ) 
2
6R


107
Der Satz von Legendre
h b'


a '  sin  
( b' cos  ' c' cos ' ) 
2
6R


h b'


 c'  sin  
(a ' cos ' b' cos  ' ) 
2
6R


h b ' b' cos  ' h b 'c' cos ' 

a '  sin  


2
2
6R
6R


h b 'a ' cos ' h b ' b' cos  ' 

 c'  sin  


2
2
6R
6R


h b ' b' cos  '  a ' h b 'c' cos '

a '  sin  

2
2
6R
6R


h b ' b' cos  '  c' h b 'a ' cos '

 c'  sin  

2
2
6R
6R


108
Der Satz von Legendre
h b ' b' cos  ' 
h b ' b' cos  ' 


a '  sin  
  c'  sin  

2
2
6R
6R




In 2. Ordnung gilt: cos x = cos x'
h b ' b' cos  
h b ' b' cos  


a '  sin  
  c'  sin  

2
2
6R
6R




'
q
a'
b'
p
'
aus Grafik:
F' 
h b 'p
2
hb'
c'

h b 'q
2

h b' (p  q)
2

h b ' b'
2
' Einsetzen:
F' cos  
F' cos  


a '  sin  
  c'  sin  

2
2
3R
3R




109
Der Satz von Legendre
F' cos  
F' cos  


a '  sin  
  c'  sin  

2
2
3R
3R




In 2. Ordnung gilt für die Flächen:
2
F'  F  R 
Einsetzen:






a '  sin   cos    c'  sin   cos  
3
3




Additionstheorem:




sin      sin  cos  cos  sin
3
3
3

weil /3 klein  cos /3 = 1, sin /3 = /3



sin      sin   cos 
3
3

110
Der Satz von Legendre






a '  sin   cos    c'  sin   cos  
3
3




Additionstheorem:



sin      sin   cos 
3
3

Einsetzen:




a ' sin      c' sin    
3
3


Mit der Legendreschen Behauptung:
'   

, '   
3


3
a ' sin  '  c' sin '
111
Der Satz von Legendre
a ' sin  '  c' sin '
Das ist der Sinussatz der ebenen Trigonometrie
 wahre Aussage
 Legendres Behauptung trifft zu!
Die Winkel des Plandreiecks sind je um
ein Drittel des sphärischen Exzesses kleiner als
die Winkel des Legendreschen Dreiecks.
Das Plandreieck ist eine zulässige Approximation
des Legendreschen Dreiecks.
112
Orthodrome und Loxodrome
2
N
k1
P1
1
k2
P2
s

s = Orthodrome
… Großkreisbogen P1P2
mit Kurswinkel k1  k2
 = Loxodrome
… Linie, die alle Meridiane
unter gleichem Kurswinkel schneidet, d.h.
1 = 2 = const.
113
Loxodrome
„Loxodromenproblem“
Bestimmung der loxodromischen Distanz P1P2
1
1 + d
Z
1 + d
.

P1
.
d
R cos 1 d
R d

S
Annahme: d, d sehr klein
 P1ZS  ebenes Dreieck
 tan  
P1S

R cos 1 d
SZ
1
d 
tan 
cos 1
R d
d
114
Loxodrome
d 
tan 
cos 1
d
Integration entlang  von Anfangs- bis Endpunkt
2
2
 d  
1
2
1
tan 
cos 
2
 d  tan  
1
2
1
d
1
cos 
d

 

 2
 1
 1  tan  ln tan
   ln tan
 

4
4 
 2
 2



 

 2
 1
  tan  ln tan
   ln tan
 

4
4 
 2
 2


115
Loxodrome

 

 2
 1
  tan  ln tan
   ln tan
 

4
4 
 2
 2


Mit der Definition für die isometrische Breite q
 
q  ln tan  
4
2

  tan q 2  q 2 
  tan q
tan  

q
Kurswinkel der Loxodrome
( im Bogenmaß)
116
Loxodrome
1
1 + d
Z
1 + d
.
P1
.

d
R cos 1 d
S
cos  
d 
R d

Aus Grafik:
1
Rd
d
R
cos 
Integration :
P2
   d 
P1


R
cos 
d
R
cos 
R
cos 
2
 d
1
( 2  1 )
Länge der Loxodrome
( im Bogenmaß, /2, 3/2)
117
Loxodrome
Sonderfälle:
=0
… Loxodrome fällt mit Meridian zusammen
 Loxodrome ist Großkreis
 = /2,  = 3/2
… Loxodrome ist Parallelkreis (1 = 2) oder Äquator
… Bogenlänge gemäß Loxodromformel nicht def.,
sondern über Parallelkreislänge  = R  cos 
118
Entfernung auf sehr kurzen
Großkreisbögen
1
2 = 1 + 
P2
2 = 1 + 
.

P1
.
s
R 

R cos 1  S
1
Für sehr kleine Werte , 
ist Näherung mittels
Satz des Pythagoras zulässig:
s
2
2
2
2
2
 R ( )  R cos 1 (  )
sR
2
2
( )  cos 1 (  )
2
2
119
Anwendungen aus der Sphärischen
Astronomie
• handelt von der Bestimmung scheinbarer Bewegungen von
Himmelskörpern infolge täglicher Drehung der Erde durch
wiederholte Positionsbeobachtung
• ist ebenso wie Himmelsmechanik (= Bestimmung der
Bewegungsgesetze von Himmelskörpern) ein
Teilgebiet der mathematischen Astronomie
• ist Grundlage der praktischen Astronomie, wie z.B.
geodätische Astronomie und Nautik:
Orientierung mittels Sternpositionen
 Orts-, Zeit-, Azimutbestimmungen
 mögliches Verfahren für Angaben von absoluter Lage und
Richtung trigonometrischer Netze.
120
Die scheinbare Himmelskugel
RErde  RHimmel
PM
P
M
121
Definition von
Kugelkoordinatensystemen
2. Winkel
z
Ursprung
Händigkeit
P
O
Bezugsebene
x
Nullrichtung


y
1. Winkel
122
Astronomische
Koordinatensysteme
Name
Horizontsystem
Äquatorsystem
1. Art
Äquatorsystem
2. Art
Ursprung
Bezugsebene
Nullrichtung
1. Winkel
2. Winkel
Händigkeit
123
Horizontsystem
lokaler Meridian
lokaler Horizont
Zenit
a
O
S
P
a
N
e
W
Beobachter
• System der
terrestr.
Beobachtungen
• Realisierung durch
Vertikal
Horizontieren
• a … Azimut
• e … Elevation
(alternativ: Zenitdistanz z = 90° - e)
• Koordinaten von
Himmelskörpern
orts- und zeitabhängig wegen
Erdrotation
124
Äquatorsystem 1. Art
lokaler Meridian
• System zur BestimHimmelsäquator
Himmelsmung der lokalen
nordpol
Uhrzeit
h
Rot.achse
N d. Erde • h … Stundenwinkel
P
•  … Deklination
• Stundenwinkel ändert
Stunden- sich gleichförmig mit
kreis
der Zeit
• Koordinaten von
Himmelskörpern
h
=h+12
längen- und zeitGeozentrum
abhängig
h
S

125
Äquatorsystem 2. Art
Himmelsäquator



Frühlingspunkt

• System zur KataloHimmelsgisierung von Himnordpol
melskoordinaten
Rot.achse
d. Erde •  … Rektaszension
P
•  … Deklination
• Koordinaten von
Stunden- Himmelskörpern
kreis
orts- und zeitunabhängig
Geozentrum
126
Äquator, Ekliptik, Frühlingspunkt
Frühling
Sommer
Winter
Herbst
Ekliptik
Äquator

 = 23,5°
127
128
Äquatorsystem 2. Art
Himmelsäquator



Frühlingspunkt

• System zur KataloHimmelsgisierung von Himnordpol
melskoordinaten
Rot.achse
d. Erde •  … Rektaszension
P
•  … Deklination
• Koordinaten von
Stunden- Himmelskörpern
kreis
orts- und zeitunabhängig
Geozentrum
129
130
Astronomische
Koordinatensysteme
Name
Horizontsystem
Ursprung
Beobachter
Äquatorsystem
1. Art
Äquatorsystem
2. Art
Geozentrum
Geozentrum
Bezugsebene lok. Horizont
Äquator
Äquator
Nullrichtung
Norden
Süden
Frühlingspunkt
1. Winkel
Azimut
Stundenwinkel
Rektaszension
2. Winkel
Elevation/Zenitd. Deklination
Deklination
Händigkeit
links
rechts
links
131
Beziehungen zwischen den
Koordinatensystemen
Polaris
90°-
.
.
PN
für Beobachter
sichtbar
Z
e

N
.

M
Horizont
S
für Beobachter
nicht sichtbar
Die Elevation des Polarsterns stellt eine
Näherung der geografischen Breite dar!
132
Beziehungen zwischen den
Koordinatensystemen
.
.
PN
Stern S zum
Zeitpunkt t
(untere Kulmination)
N
Stern S zum
Zeitpunkt t + 12h
(obere Kulmination)


Z
.

M
Zirkumpolarsterne:
•   90°-
• untere Kulmination oberhalb Horizont
Horizont
S
tägl. Rotation
der Erde
133
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck -
90°-
360°-a
P… Nordpol
Z… Zenit des Beobachters
G… Gestirn
PZG = Nautisches Dreieck
P
h
90°-
a
Z
p z

G

S
h…
a…
p…
…
z…
…
Stundenwinkel
Azimut
Parallaktischer Winkel
Deklination d. Gestirns
Zenitdistanz des Gestirns
geogr. Breite d. Beobachters
gelb = Elemente des Horizontsystems
rot = Elemente des Äquatorsystems
grün = gemeinsame Elemente
134
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck P
h P
h
90°-
90°-
360°-a
p
z
Z
0h < h < 12h
180° < a < 360°
a
a
G
Gestirn westl. Meridian
90°-
h
90°- 24 -h
Z
N
W
z
p
G
Gestirn östl. Meridian
O
12h < h < 24h
0° < a < 180°
S
135
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
P
- Nautisches Dreieck –
h=0
Sonderfälle
90°-
90°-
G p
zO
Z
P
für  > :
90°- = 90°- + zO zU = 90°- + 90°-
 = 180° -  - zU
 =  + zO
 = 180° -  - zU
 =  - zO
G
p=0
90°-
zU
a=0
h=0 obere Kulmination untere Kulmination
h P
zO < zU
90°-
90°- 90°-
für  < :
90°- = 90°- + zO
a=0 Z
Z a
 =  - zO
zO
 =  + zO
G p=0
136
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck –
Fall:  < 
Veränderung des Nautischen
Dreiecks aufgrund
der tägl. Rotation
der Erde
137
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck –
Fall:  > 
Veränderung des Nautischen
Dreiecks aufgrund
der tägl. Rotation
der Erde
138
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck –
Äquatorsystem 1. Art (h,)  Horizontsystem (a,z)
P
h
Zenitdistanz z aus Seitenkosinussatz:
90°-
90°- cos z  cos(90  ) cos(90  )
360°-a
1
 sin(90  ) sin(90  ) cos h
Z
z1
G
a
cos z 2  cos(90  ) cos(90  )
h
 sin(90  ) sin(90  ) cos( 24  h )
hP
weil cos h = cos(24h –h)
90°-
cos z  sin  sin   cos  cos  cos h
90°- 24h-h
Z
a
z2
G
139
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck –
Äquatorsystem 1. Art (h,)  Horizontsystem (a,z)
P
h
Azimut a aus Sinus-Kosinussatz:
90°-
90°- cos360  a   [cos(90  ) sin(90  )
360°-a1
1
 sin(90  ) cos(90  ) cos h ] / sin z
Z
z
G
a1
cos a 2  [cos(90  ) sin(90  )
h
 sin(90  ) cos(90  ) cos( 24  h )] / sin z
hP
cos a 0 
90°-
90°- 24h-h
Z
a2
z
G
sin  cos   cos  sin  cos h
sin z
Problem: arccos liefert Winkel zwischen
0° und 180°, Azimutwinkel jedoch zwischen
0° und 360°
140
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck –
Äquatorsystem 1. Art (h,)  Horizontsystem (a,z)
P
h
Azimut a aus Sinus-Kosinussatz:
90°-
90°-
sin  cos   cos  sin  cos h
360°-a1
cos a 
0
Z
z
G
a1
Fallunterscheidung nach Stundenwinkel:
• Gestirn westlich Meridian
0h < h < 12h  180° < a < 360°
 a = 360°  a0
• Gestirn östlich Meridian
12h  h  24h  0°  a  180°
 a = a0
hP
90°-
90°- 24h-h
Z
a2
z
sin z
G
141
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck –
Horizontsystem (a,z)  Äquatorsystem 1. Art (h,)
P
Deklination  aus Seitenkosinussatz:
h
90°-1
90°- cos(90   )  cos(90  ) cos z
360°-a
1
 sin(90  ) sin z cos(360  a )
Z
z
G
a
cos(90   2 )  cos(90  ) cos z
 sin(90  ) sin z cos a
hP
weil cos a = cos(360° – a)
90°- 24h-h
Z
90°-2
sin   sin  cos z  cos  sin z cos a
a
z
G
142
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck –
Horizontsystem (a,z)  Äquatorsystem 1. Art (h,)
P
h1
Stundenwinkel h aus Sinus-Kosinussatz:
90°-
90°- cos h  [cos z sin(90  )
360°-a
1
 sin z cos(90  ) cos 360  a ] / sin(90  )
Z
z
G
a
h
cos( 24  h 2 )  [cos z sin(90  )
 sin z cos(90  ) cos a ] / sin(90  )
h2P
cos h 0 
90°-
90°- 24h-h2
Z
a
z
G
cos z cos   sin z sin  cos a
cos 
Problem: arccos liefert Winkel zwischen
0h und 12h, Stundenwinkel jedoch zwischen
0h und 24h
143
Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen
- Nautisches Dreieck –
Horizontsystem (a,z)  Äquatorsystem 1. Art (h,)
P
h1
Stundenwinkel h aus Sinus-Kosinussatz:
90°-
90°-
cos z cos   sin z sin  cos a
360°-a
cos h 0 
cos 
Z
z
G
a
Fallunterscheidung nach Azimut:
• Gestirn westlich Meridian
180° < a < 360°  0h < h < 12h
 h = h0
• Gestirn östlich Meridian
0°  a  180°  12h  h  24h
 h = 24h  h0
h2P
90°-
90°- 24h-h2
Z
a
z
G
144
Anwendungsbeispiel
Wieviele Stunden scheint die Sonne in Dresden
(=51,031°) zur Sommersonnenwende am 21.06.
(Deklination der Sonne: =23,439°)? Unter welchen
Azimuten ist die Sonne an diesem Tag sichtbar?
Sonnescheindauer: 16h19m
Azimutbereich:
50,766° < a < 309,234°
145
Zeitsysteme
- Sonnenzeit wahre Sonnenzeit
= wahre Ortszeit, WOZ
= seit unterer Kulmination d. Sonne vergangene Zeit
 WOZ = h +12h, h … Stundenwinkel der Sonne
wahrer Sonnentag
= Zeitdauer zwischen zwei Meridiandurchgängen der Sonne
(d.h. "von Mittag zu Mittag")
Problem:
Stundenwinkel der Sonne neben Erdrotation auch durch
Elliptizität der Erdbahn (Geschwindigkeitsschwankungen!)
und Schiefe der Ekliptik beeinflusst.
 Dauer wahrer Sonnentage schwankt um bis zu 30 Sekunden!
146
Zeitsysteme
- Sonnenzeit Lösung des Problems:
mittlere Sonnenzeit
= mittlere Ortszeit, MOZ
= seit unterer Kulmination d. mittleren Sonne vergangene Zeit
 MOZ = h +12h, h … Stundenwinkel der mittleren Sonne
Die mittlere Sonne ist ein fiktiver Körper mit Deklination 0,
den die Erde auf einer Kreisbahn (konstante Geschwindigkeit)
innerhalb eines wahren Sonnenjahres (trop. Jahr) umläuft.
 stabil bis auf (kleine) Schwankungen der Erdrotation
 zivile Zeit ist auf mittlere Sonnenzeit angepasst
147
Zeitsysteme
- Sonnenzeit Zeitgleichung
Differenz von wahrer u. mittlerer Sonnenzeit heißt
Zeitgleichung Eq.T.
Eq.T. = WOZ  MOZ
Eq.T. = h + 12h  (h + 12h)
= h  h
Maximalwerte für Eq.T. : ca. -15min … +15min
148
Zeitsysteme
- Sonnenzeit tatsächliche
Zeitgleichung
+15
min
+10
+5
0
-5
-10
Einfluss der
Ekliptikschiefe
Einfluss der
Erdbahnellipse
-15
1. Jan
1. Mrz
1. Mai
1. Jul
1. Sep
1. Nov
1. Jan
149
Das
Analemma
Die Bewegung der Gestirne
wahre Bewegung
= Bewegung bzgl. inertialem
(= raumfestem) System
scheinbare Bewegung = Bewegung bzgl. eines
terrestrisch fixierten Systems
 beobachtbar ist nur die scheinbare Bewegung !
 zeitliche Fixierung der Bewegungsphasen
erfordert Transformation von scheinbarer
zu wahrer Bewegung
151
Die scheinbare tägliche Bewegung
Abhängigkeit zwischen Stundenwinkel und Zenitdistanz:
cos z  sin  sin   cos  cos  cosh
weil cos h = cos (-h), ist Bahn symmetrisch zum Meridian
Ableitung nach der Zeit t liefert:
 sin z
dz
dt
  cos  cos  sin h
dh
dt

dz
dh

cos  cos  sin h
sin z
Weil cos   0, cos   0 und sin z  0, gilt:
0h < h < 12h  dz/dh > 0, d.h. z wächst, Stern im Westen
12h < h < 24h  dz/dh < 0, d.h. z nimmt ab, Stern im Osten
h = 0h, 12h  dz/dh = 0, d.h. z extremal, Kulmination
152
Auf- und untergehende Gestirne
. .
PN
. .
Z
.
PN

1
Horizont
Z
2 
.
Stern


Horizont
Stern 
1 = - (90° - ) = ( - 90°)
2 = (90° - )


Gestirn unsichtbar für
Gestirn zirkumpolar für
 < ( - 90°)
 > (90° - )
 Gestirne mit Deklinationen im Intervall
( - 90°) <  < (90° - ) gehen auf und unter
153
Auf- und Untergang der Gestirne
P
h
N
Z
360°-a
bei Auf- und Untergang
jeweils z = 90°
 rechtseitiges nautisches
Dreieck
S Gesucht:
G
Zeit hA,U und Azimut aA,U
des Auf- und Untergangs
des Gestirns
154
Auf- und Untergang der Gestirne
P
Auf- und Untergangszeit
Seitenkosinussatz:
Z
cos z 
h
N
sin  sin 
 cos  cos  cos h A , U
360°-a
mit cos z = cos 90° = 0:
S
 cos  cos  cos h A , U  sin  sin 
cos h A , U   tan  tan 
G
weil cos h = cos (h)
doppeldeutige Lösung:
Auf- und Untergangszeit
155
Auf- und Untergang der Gestirne
P
h
N
G
h
h > 6h : WOZ > 18h
h < 18h: WOZ < 6h
Z
360°-a
cos h A , U   tan  tan 
Bsp. I)  > 0,  > 0
 cos hA,U < 0
d.h. 6h < hA,U < 18h
h

h
>
6
U
S
hA < 18h
 Tagbogen > 12h
Bsp. II)  > 0,  < 0
 cos hA,U > 0
 hU < 6h
hA > 18h
 Tagbogen < 12h
156
Auf- und Untergang der Gestirne
P
Auf- und Untergangsazimut
Seitenkosinussatz:
Z
sin  
h
N
 cos  sin z cos a A , U
360°-a
mit cos z = 0, sin z = 1:
S
G
sin  cos z
sin   cos  cos a A , U
cos a A , U 
sin 
cos 
weil cos a = cos ( a)
doppeldeutige Lösung:
Auf- und Untergangsazimut
157
Auf- und Untergang der Gestirne
P
t
N
G
Z
360°-a
cos a A , U 
sin 
cos 
Bsp. I)  > 0,  > 0
 cos aA,U > 0
 0° < aA < 90°
S
270° < aU < 360°
 Auf- und Untergang
nach Norden verschoben
Bsp. I)  > 0,  < 0
 cos aA,U < 0
 90° < aA < 180°
180° < aU < 270°
 Südverschiebung
158
Auf- und Untergang der Sonne
Sonne besitzt variable Deklination: -23,5° < S < +23,5°
wegen Neigung der Ekliptik gegen Äquatorebene
 3 Fälle für scheinbare tägliche Bewegung:
I) S > 0 (21.03.-23.09.)  Nordhalbk.: Frühling, Sommer
Tagbogen > 12h
Auf- und Untergang nach Norden verschoben
II) S = 0 (21.03. und 23.09.)
Tagbogen = 12h (daher Bezeichn. Äquinoktium)
Auf- und Untergang im Ost- bzw. Westpunkt
III) S < 0 (23.09.-21.03.)  Nordhalbk.: Herbst, Winter
Tagbogen < 12h
Auf- und Untergang nach Süden verschoben.
159
Auf- und Untergang der Sonne
• Einfluss der atmosphärischen Refraktion:
durch Lichtbrechung in der Atmosphäre ist das Gestirn
bereits bei z = 90°35' sichtbar
• Einfluss der Ausdehnung des Gestirns:
Koordinaten gültig für Mittelpunkt des Gestirns
• Beispiel Sonne:
– Als Auf- bzw.Untergang der Sonne wird angesehen, wenn
ihr oberer Rand den Horizont berührt
– scheinbarer Radius der Sonne: rS = 16'
 zA,U = 90°35' + 16' = 90°51'
das ist Beginn / Ende der Dämmerung
160
Auf- und Untergang der Sonne
Betrachtung für Abenddämmerung (analog für Morgendämm.)
• Beginn der Dämmerung:
z = 90°51' h
• Ende der bürgerlichen Dämmerung:
zb = 96°30' hb
• Ende der nautischen Dämmerung:
zn = 102°00' hn
• Ende der astronomischen Dämmerung:
za = 108°00' ha
 Dauer der bürgerlichen Dämmerung:
Db = hb – h
Dauer der nautischen Dämmerung:
Dn = hn – h
Dauer der astronomischen Dämmerung: Da = ha – h
Stundenwinkel aus: cos z...
 sin  sin   cos  cos  cos h ...
cos h ... 
cos z...  sin  sin 
cos  cos 
161
Dauer der Dämmerungsphasen
Datum
Bürgerliche
Dämmerung
Nautische
Dämmerung
Astronomisch
e
Dämmerung
21.12.
(S = -23,5°)
43m
1h22m
2h03m
21.03. / 23.09.
(S = 0°)
36m
1h12m
1h52m
21.06.
(S = 23,5°)
52m
1h58m
-
gültig für Dresden (geogr. Breite 51°02')
162
Vorlesung Ende
Sonnenuhren
Grundprinzip:
Schatten eines parallel zur Rotationsachse
orientierten Stabes (Gnomon) zeigt die wahre
Sonnenzeit
Einteilung nach Ausrichtung des Zifferblattes:
• Äquatorialuhr → Zifferblatt || Äquator
• Horizontaluhr → Zifferblatt || Horizont
• Vertikaluhr
→ Zifferblatt  Horizont
164
N
Äquatorialuhr
Äquatorebene d. Teilkugel
e
parallel zum Erdäquator
S
Z
wahre Sonnenzeit:
WOZ = hS + 12h
  hS = 0  12 Uhr,
(Schatten im N-Punkt)
 hS = 15°  13 Uhr, ...
e=
165
Äquatorialuhr
Berlin, Deutschland
166
Äquatorialuhr
Montreal,
Kanada
167
Äquatorialuhr
Willersbau,
TU Dresden
168
Horizontaluhr
24h-h

P
h
Z

N
x
T
x
M
• Sonne sei 24h-h Stunden
vor oberer Kulmination
• Strecke MT ist
Schattenrichtung für
Zeitpunkt WOZ = 12h + h
• Winkel x zwischen SchatS
tenlinie und Mittagslinie
• sph. Dreieck NTP besitzt
rechten Winkel in N
169
Horizontaluhr
h
cos(90  )  cot(90  x ) cot( 24  h )
90°-x
N
90°-

x
Mit 24h
h
h
 h  36  ( h  12 )
h
 36  WOZ
T
24h-h
P 24h-h
h
 12  WOZ
und cot(12h  WOZ) = cot WOZ
sin    tan x cot WOZ
tan x   sin  tan WOZ
WOZ = 7 Uhr, 8 Uhr, ... liefert x
(unabhängig von Deklination der Sonne!)
170
Horizontaluhr
Chapel Hill, NC, USA
171
Horizontaluhr
Sundial Bridge
Redding,
CA, USA
172
Vertikaluhr
Z
a
y
H
y
S
M
y
• Sonne sei 24h-h Stunden
vor oberer Kulmination
P
• Zifferblatt senkrecht zu
24h-h
Horizont
• Winkel a ist Azimut der
N Zifferblattebene
• Winkel y zwischen Vertikal
und Schattenlinie für
Zeitpunkt WOZ = 12h + h
90°-
173
Vertikaluhr
P
Kotangenssatz:
h
90°-
sin a cot( 24  h )  cot y sin(90  )
24h  h
 cos(90  ) cos a
Mit cot( 24h
Z
a
H
cot y 
 h )   cot WOZ
 sin a cot WOZ  sin  cos a
cos 
y
tan y 
cos 
sin  cos a  sin a cot WOZ
für Südwand mit aS = 90° gilt:
tan yS   cos  tan WOZ
174
Vertikaluhr
München, altes Rathaus
175
Vertikaluhr
Taubenheim (Oberl.)
176
Prüfung
09.02.2011
3.DS ASB/28
177
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