Sphärische Trigonometrie
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Modul: Astronomische Referenzsysteme Sphärische Trigonometrie Bachelor Geodäsie und Geoinformation Büro BEY 147b WWW http://astro.geo.tu-dresden.de Institut für Planetare Geodäsie, Lohrmann-Observatorium Technische Universität Dresden, D-01062 Dresden Bachelor Geodäsie und Geoinformation Modul: Astronomische Referenzsysteme • Leistungspunkte: 8, Aufwand: 240 Stunden • Wintersemester: – – – – VO Sphärische Trigonometrie (Soffel, 1 SWS) ÜO Sphärische Trigonometrie (Tupikova, 1 SWS) ÜO Fachspezifische Datenverarbeitung (Klioner, 1 SWS) Prüfung: Trig. und DV, schriftl., 90min • Sommersemester – VO Astronomische Referenzsysteme (Soffel, 2 SWS) – ÜO Astronomische Referenzsysteme (Tupikova, 1 SWS) – Prüfung: Referenzsysteme, mdl., 20min • Modulnote: arithmetisches Mittel aus Prüfungen 2 Organisatorisches Vorlesung: Di, 3. DS (11:10-12:40), BEY/98, ungerade KW, 14tägig Übungen: Planetarium: Di, 5. DS (14:50-16:20), BEY/69, ungerade KW, 14tägig 1 VL-Termin, wird bekannt gegeben Abschluss: Klausurarbeit, 90min 3 Inhalt • Goniometrie und ebene Trigonometrie (Wdh.) • Grundlagen der sphärischen Trigonometrie • Berechnungen auf der Erdkugel • Anwendungen aus sphärischer Astronomie 4 Literatur • Steinert, K.-G., Sphärische Trigonometrie, Kleine naturwissenschaftliche Bibliothek, Reihe Mathematik, Band 8, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1977. • Sigl, R., Ebene und sphärische Trigonometrie, Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main 1969, Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1977. • Dörrie, H., Ebene und sphärische Trigonometrie, Oldenbourg Verlag, München, 1950. 5 Literatur (Forts.) • Kern, H. und J. Rung, Sphärische Trigonometrie, Bayerische Verlagsanstalt GmbH, 1997. • Hame, R., Sphärische Trigonometrie, Ehrenwirth Verlag GmbH, 11. Additum, München (o. Jahrg.). • Bronstein, I., N. und K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt (Main), 1987. • … 6 Trigonometrie (allg.) • urspr.: Dreiecksmessung, d.h. „Lehre von Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten des Dreiecks“ • i.w.S.: funktionale Zusammenhänge von Winkeln, Strecken und Flächen math. Berechnung ebener u. räuml. Gebilde • Geometrie: Operation mit algebraischen Fktn. Trigonometrie: Operation mit transzendenten, hier trigonometrischen Fktn. 7 Anwendungsbereiche • wichtig für alle Gebiete der angewandten Mathematik, insbes. für Geodäsie, Geografie u. Astronomie • „niedere“ Geodäsie (Vermessungskunde): Untersuchungsgebiet Ebene ebene Trigonometrie • „höhere“ Geodäsie (Erdvermessung), sphärische u. geodätische Astronomie, math. Geografie: gekrümmte Flächen sphärische Trigonometrie 8 Winkelmaße: 1. Gradmaß a) U = U/360 Richtungsabstand r1r2: U = 1 Grad = 1° r1 1° = 60' = 3600" U = Kreisumfang r = Radius U r2 b) U = U/400 Richtungsabstand r1r2: = 1 gon = 1000 mgon Veraltet: = 1 Neugrad = 1g = 100c = 10000cc 9 Winkelmaße: 2. Bogenmaß = Zentriwinkel r = Radius b/r = [rad] r b bei r = 1: b = [rad] Vollkreis: α = 2 rad Veraltet: arc 10 Winkelmaße: 3. Zeitmaß 11 Winkelmaße: 3. Zeitmaß 180° 270° α =360° =24h 90° =15°=1h 1° = 1/15h = 4m 1' = 1/15m = 4s 0° 12 Winkelmaße: Zusammenhänge αrad 2 π rad Umrechnungsfaktoren zu von [rad] α 360 [rad] αgon 400 gon [°] α h 24 h [gon] (=180/) (=200/) 57,295780 63,661977 (=12/) 3,819719 (=200/180) (=12/180) 1,111111 0,066667 [°] (=/180) 0,017453 [gon] (=/200) (=180/200) 0,015708 0,900000 [h] (=/12) (=180/12) (=200/12) 0,261799 15,000000 16,666667 [h] (=12/200) 0,060000 13 Winkelfunktionen: „Definition“ Sinus: rechtwinkliges Dreieck: A c B sinβ Gegenkathete b c a c Hypothenuse b Kosinus: . a C cos Ankathete Hypothenuse Tangens: tan β Gegenkathete Ankathete b sin β a cos β 14 Winkelfunktionen: „Definition“ rechtwinkliges Dreieck: A c B Sekans: c sec β a cos β 1 b Kosekans: . a C c cosec β b sin β 1 Kotangens: cot β 1 tan β a b 15 Winkelergänzungen • heißt Komplementwinkel zu , wenn =90° • heißt Supplementwinkel zu , wenn =180° • heißt Implementwinkel zu , wenn =360° 16 Funktion-Kofunktion-Relation Kosinus (lat. complementi sinus) = Sinus des Komplementwinkels b a c und sinα cosβ cos(90 α) cotα tan(90 α) und tanα cot(90 α) secα cosec(90 α) und cosecα sec(90 α) cosα sinβ sin(90 α) entsprechend gilt auch: 17 Beziehungen zw. Winkelfunktionen (bei gleichem Argumentwert) B a2 b2 c2 a2 b2 c2 c a (Satz des Pythagoras) a2 2 b2 a b 2 2 c c c c sinα . C b A 2 2 1 cos α 2 sin α cos α 1 18 Beziehungen zw. Winkelfunktionen cos α sin α sin α cos α tan α cot α sec α cosec α 1 sin α sin α 2 1 sin α 1 sin α 1 1 2 1 tan α 1 sin α 2 2 1 cos α 2 1 cos α 2 1 cot α tan α 2 1 tan α 1 tan α 2 cosec α 1 2 sec α 1 2 cosec α 1 2 cosec α 1 cosec α 1 1 sec α 2 1 cot α 2 sec α 1 2 1 cot α 2 tan α sec α cot α cosec α sec α 1 cot α 1 2 1 cot α cosec α sec α 1 1 1 1 2 1 cos α cos α 1 sec α cot α 1 tan α 1 2 sin α tan α 1 cos α sin α cos α 2 cot α 2 1 cos α 2 tan α 2 sec α 1 2 cosec α 2 cosec α 1 19 Werte der Winkelfunktionen (graphische Bestimmung) +a E Einheitskreis: r = 1 II Quadrant I II III IV sin cos tan cot ep sin = ap P I r ap O b L p -b III IV cos = bp dp D +b tan = dp cot = ep -a 20 Periodizität der Winkelfunktionen Bogenmaß Gradmaß sin α sin(α k 2 π) sin α sin(α k 360) cos α cos(α k 2 π) cos α cos(α k 360) tanα tan(α k π) tan α tan(α k 180) cot α cot(α k π) cot α cot(α k 180) P k 0, 1,2,... +2 21 Graphen der Winkelfunktionen -2 0 - 2 1 sin 0 cos -1 10 tan 0 cot -10 -5/2 -3/2 -/2 /2 3/2 5/2 22 Funktionswerte trigon. Funktionen 1. Zurückführung des Winkelarguments auf das Intervall [0, /2], d.h. den I. Quadranten 2. Umrechnung des Winkelarguments in das Bogenmaß (falls erforderlich) 3. Bestimmung des Funktionswertes (i.d.R. mittels Reihenentwicklung) 23 Funktionswerte trigon. Funktionen 1. Zurückführung des Winkelarguments auf [0, /2] a) wenn < 0 → Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften cos = cos (gerade Fkt.) sin = sin tan = tan (ungerade Fkt.) cot = cot b) wenn > 2 → Ausnutzung der Periodizität Subtraktion von k2 24 Funktionswerte trigon. Funktionen 1. Zurückführung des Winkelarguments auf [0, /2] c) wenn > /2 → Ausnutzung von Symmetrien innerhalb einer Periode sowie der Fkt.-Kofkt.-Relationen z.B.: II. Quadrant: π sin α cos α 2 III. Quadrant: sin(π α) sin α IV. Quadrant: 3 sin π α cos α . 2 25 Funktionswerte trigon. Funktionen 2. Umrechnung in Bogenmaß α rad α 180 π α gon 200 gon π α h 12 h π 26 Funktionswerte trigon. Funktionen 3. Bestimmung des Funktionswertes a) Spezielle Funktionswerte Bogenmaß 0 /6 /4 /3 /2 Gradmaß 0° 30° 45° 60° 90° sin 1 1 2 1 3 1 2 0 2 2 1 3 0 1 2 1 1 2 tan 3 2 0 2 cos 1 1 3 3 cot 1 3 3 1 0 3 27 Funktionswerte trigon. Funktionen 3. Bestimmung des Funktionswertes b) Reihenentwicklung n f x f ( ) ν 0 x 0 ! (x x 0 ) R n (x) (Taylorformel) z.B. sin und cos an der Entwicklungsstelle 0 = 0 sin 3 3! cos 1 5 5! 2 2! 7 7! 4 4! R 9 ( ) 6 6! R 8 ( ) 28 Additionstheoreme sin sin sin(α β) sinα cosβ cosα sinβ cos sin 1 2 sin cos cos(α β) cos α cos β sin α sin β 2 cos( 2 α) cos α sin α . 90°- sin(2 ) 2 sin cos 2 2 cos α (1 cos α) 2 2 cos α 1 2 1 2 sin α cos cos 29 Verwandlungsformeln (I) (II) sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin (I) (II): (I) (II): sin( ) sin( ) 2 sin cos sin( ) sin( ) 2 cos sin Mit x , y folgt xy 2 sin x sin y 2 sin sin x sin y 2 cos xy , xy . 2 xy cos 2 xy 2 xy sin 2 2 30 Berechnung ebener Dreiecke: Grundformeln B Ebener Sinussatz a sin b sin c C hc sin Ebener Kosinussatz 2 2 q . c=p+q p b a a A 2 b c 2 bc cos 31 Sphärische Trigonometrie tb R . O a a R tc 32 Kreise und Winkel auf der Kugel z Fallunterscheidung: S O‘. I) e = 0 S…Großkreis (OS) mit r = R r e . O x R y II) 0 < e < R S…Kleinkreis mit 0 < r < R III) e = R S…Tangentialebene mit r = 0 33 Kreise und Winkel auf der Kugel P. d S O' . charakteristische Größen: d = Kugeldurchmesser S r . A . A' O. P' . .B O' = wahrer Mittelpunkt von S P, P' = sphärische Mittelpunkte P = Nahpol, P' = Fernpol A, A' = diametrale Punkte viele Großkreise durch A, A' A, B nicht diametral 1 Großkreis 34 Polare Abstände . P p q S x O' r d R . O ' /2 Q , ' = sphärische Abstände x, y = direkte Abstände Wegen sin x/2 2 y gilt x 2 analog: R p x 2Rp x sin . P' 2Rp 2 2R ' 2Rq sin 2 2R 2Rp p 2R q 2R 35 Minimalabstand zweier Punkte . . A P O' . r B . O P' Kleinkreis: AB = r rad = r ° /180° . R Großkreis: AB = R rad = R ° /180° . Behauptung: Länge von AB wird auf Großkreisbogen minimal. 36 Minimalabstand zweier Punkte A . O' . r .B Behauptung: Länge von AB wird auf Großkreisbogen minimal . R Großkreisbögen sind geodätische Linien, d.h. kürzeste Verbindungen auf der Kugeloberfläche. . O Entfernung AB allein durch Winkel im Kugelzentrum 180° bestimmt: AB 2R 360 AB 180 R R rad 37 Merke: Großkreisbögen = kürzeste Verbindungen auf der Kugeloberfläche ! 38 Das sphärische Zweieck Da FZ und FK = 4R2, gilt: A' 2 FZ R O . FZ R rad FK 2 FZ 2R rad A bzw. 2 FZ 2R 180 39 Das sphärische Dreieck C b A ba cO c a Betrachtungen ausschließlich für Eulersche Dreiecke: a,b,c,,, 180° B 40 Das sphärische Dreieck C 1 Grunddreieck B' 1 Gegendreieck A A' O B 3 Scheiteldreiecke 3 Nebendreiecke 8 sph. Dreiecke C' 41 Das Polardreieck Def.: ABC = Polardreieck APA A b b C c c a C B PA' B a 42 Das Polardreieck Def.: ABC = Polardreieck A c B A b b C c a B a Drehung des Großkreises c in Punkt A um - lässt dessen Pol C entlang a zu B wandern C a b c Polardreieck von ABC ist ABC, deshalb gilt analog: a a b c 43 Grundformeln für sph. Dreiecke C sin a O . b cos a . . Q . c . Z a A Dreieck CPZ: Dreieck CQZ: sin sin OQ = cos a b P CZ a CZ OP = cos b B CQ = sin a CP = sin b c sin sin b sin sin a CP sin b sin CZ CZ sin a CQ sin a sin sin b sin sin c sphärischer Sinussatz 44 Grundformeln für sph. Dreiecke C sin a O. b a .. Q . . Z cos a c b P a B c A 45 Grundformeln für sph. Dreiecke . C Dreieck PCZ: cos PZ PC PZ sin b PZ cos sin b . O a b . . cos a Q c .. P . . .Z Dreieck QCZ: cos QZ QC QZ sin a QZ cos sin a 46 Grundformeln für sph. Dreiecke .C O. c .C .F . .Z G. . c OQ cos a OF + FQ OF + GZ OF cos b cos c GZ PZ sin c cos sin b sin c cos a cos b cos c sin b sin c cos sphärischer Seitenkosinussatz 47 Grundformeln für sph. Dreiecke C O. c .C .F . .Z G. . c FG = QZ cos sin a = FP GP FP cos b sin c GP PZ cos c cos sin b cos c sin a cos cos b sin c sin b cos c cos sin a cos cos c sin b sin c cos b cos Sinus-Kosinussatz 48 Grundformeln für sph. Dreiecke Sinus-Kosinussatz: sin a cos cos b sin c cos sin b cos c cos cos c cos b sin c sin b sin a cos (I) sin b sphärischer Sinussatz: sin a sin sin b sin sin a sin b sin sin (II) (II) in (I) eingesetzt: cos cos c cos b sin c sin b sin cos sin cos cos c cot b sin c sin cot Kotangenssatz 49 Grundformeln für sph. Dreiecke sphärischer Seitenkosinussatz für Polardreieck: cos a cos b cos c sin b sin c cos Beziehungen zwischen Stücken des Polarund des Grunddreiecks einsetzen: cos( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( a ) cos ( cos )( cos ) sin sin ( cos a ) cos cos cos sin sin cos a Winkelkosinussatz 50 Abgeleitete Formeln: Halbstückrelationen Additionstheorem: cos 2 cos 2 1 1 2 sin 2 2 (I) 2 Seitenkosinussatz: cos a cos b cos c cos sin b sin c cos cos a cos b cos c (II) sin b sin c (I) auf linke Seite von (II) angewendet: 2 sin sin 2 2 2 2 1 cos a cos b cos c sin b sin c sin b sin c cos a cos b cos c 2 sin b sin c 51 Abgeleitete Formeln: Halbstückrelationen sin 2 sin b sin c cos a cos b cos c 2 2 sin b sin c mit Additionstheorem cos ( b c) cos b cos c sin b sin c folgt: sin 2 2 cos ( b c) cos a 2 sin b sin c 52 Abgeleitete Formeln: Halbstückrelationen sin 2 2 cos ( b c) cos a 2 sin b sin c mit Verwandlungsformel: x y x y cos x cos y 2 sin sin 2 2 mit x b c und y a ( b c) a ( b c) a cos( b c) cos a 2 sin sin 2 2 folgt: sin 2 2 b a c a c b sin sin 2 2 sin b sin c 53 Abgeleitete Formeln: Halbstückrelationen sin 2 b a c a c b sin sin 2 2 2 sin b sin c mit Hilfsgröße: s abc 2 folgt: sin 2 2 sin 2 2 ba c a cb sin s s sin s s 2 2 sin b sin c 2c 2b sin s sin s 2 2 sin b sin c 54 Abgeleitete Formeln: Halbstückrelationen sin 2 2 sin 2c 2b sin s sin s 2 2 sin b sin c 2 sin s c sin s b sin b sin c analog aus Add.theorem mit cos2: cos 2 sin s sin s a sin b sin c Halbwinkelsätze und schließlich tan=sin/cos: tan 2 sin(s c) sin s b sin s sin s a 55 Abgeleitete Formeln: Halbstückrelationen aus Additionstheorem für Seite: cos a 2 cos 2 a 1 1 2 sin 2 2 a 2 und Winkelkosinussatz umgestellt nach cos a: cos a cos cos cos sin sin sowie der Hilfsgöße : 2 folgen analog Halbseitensätze, z.B.: a cos 2 cos( ) cos( ) sin sin 56 Abgeleitete Formeln: Delambresche Formelpaare Additionstheorem: cos cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 2 Einsetzen der Halbwinkelsätze: cos 2 cos sin s sin(s a ) sin s sin(s b) sin b sin c sin c sin a sin(s b) sin(s c) sin(s c) sin(s a ) sin b sin c sin c sin a 2 2 sin s sin(s a ) sin(s b) 2 sin c sin a sin b 2 sin (s c) sin(s a ) sin(s b) 2 sin c sin a sin b 57 Abgeleitete Formeln: Delambresche Formelpaare cos 2 sin s sin(s a ) sin(s b) 2 2 sin c sin a sin b 2 sin (s c) sin(s a ) sin(s b) 2 sin c sin a sin b mit Halbwinkelsatz: sin sin(s a ) sin(s b) 2 sin a sin b folgt: cos 2 sin s sin sin c 2 sin(s c) sin sin c 2 58 Abgeleitete Formeln: Delambresche Formelpaare cos sin s sin 2 sin c 2 1 cos 2 sin sin c sin(s c) sin sin c 2 [sin s sin(s c)] 2 mit Verwandlungsformeln: sin s sin (s c) 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos s (s c) s (s c) sin 2 2s c 2 c sin 2 2 2[(a b c) / 2] c c sin 2 c ab 2 sin 2 2 59 Abgeleitete Formeln: Delambresche Formelpaare cos sin s 2 sin c 2 1 cos 2 sin sin sin c sin(s c) sin sin c 2 [sin s sin(s c)] 2 mit Verwandlungsformeln: sin s sin (s c) 2 cos sin s sin (s c) 2 sin ab c sin 2 ab 2 c cos 2 folgt: cos 2 cos 2 2 2 sin sin c 2 cos 2 sin sin c ab sin 2 ab sin 2 c 2 c cos 2 2 60 Abgeleitete Formeln: Delambresche Formelpaare cos 2 cos 2 2 ab sin sin c 2 cos 2 sin sin c c sin 2 ab sin 2 c cos 2 2 2 mit Additionstheorem: sin c 2 sin c c cos 2 folgt: cos 1 ab sin c 2 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 1 sin c sin 2 ab sin 2 2 61 Abgeleitete Formeln: Delambresche Formelpaare cos 1 sin cos c 2 ab 2 cos 2 2 cos 2 1 sin c sin ab sin 2 2 2 sin ab cos 2 sin 2 ab sin 2 2 cos c cos 2 2 c sin cos 2 2 Delambresche Formelpaare 62 Abgeleitete Formeln: Nepersche Analogien sin ab cos 2 sin 2 ab sin 2 2 cos c cos 2 2 c sin cos 2 2 (I) (II) Delambresches Formelpaar dividieren (II)/(I): ab tan tan 2 c 2 cos 2 cos 2 ab tan cos 2 c tan 2 Nepersche Analogien cos 2 2 63 Rechnen mittels Neperscher Analogien z.B. gegeben in sphär. Dreieck WSW (, c, ) ab tan tan 2 c 2 cos 2 xy xy 2 2 ab 2 ab 2 tan cos =x ab ab 2 ab 2 =y 2a 2 2b tan c 2 sin 2 sin 2 a b 2 cos cos cos sin sin cos c 64 Die 6 "Grundaufgaben" Berechnung eines sph. Dreiecks möglich, wenn mind. drei Stücke gegeben sind 6 Standardfälle Fall 1 a,b,c a,, Fall 4 b,, c,, WSW Fall 2 ,, WWW SSS a,b, Fall 3 a,c, b,c, a,b, a,b, Fall 5 a,c, a,c, b,c, WSS b,c, SWS a,, a,, Fall 6 b,, b,, c,, SWW c,, 65 Zweideutige Lösung eines sphärischen Dreiecks z.B.: Fall 5 (SSW) geg.: a, c, a aus Sinussatz: sin sin sin a sin c c Mehrdeutige Lösung möglich, da c sin sin ( ) 66 Rechtwinklige sphärische Dreiecke = 90° cos = 0, sin = 1 b a Vereinfachung der c Sph. Sinussatz: sin a sin Grundformeln: sin c sin sin b , sin a sin sin c , sin sin c sin sin b sin sin c Seitenkosinussatz: cos c cos a cos b sin a sin b cos cos c cos a cos b 67 Rechtwinklige sphärische Dreiecke = 90° cos = 0, sin = 1 Kotangenssatz: sin cot cot a sin b cos b cos , sin cot cot b sin a cos a cos cot cot a sin b sin b tan a cot , cot cot b sin a sin a tan b cot Sinus-Kosinussatz: sin a cos cos c sin b sin c cos b cos , sin b cos cos c sin a sin c cos a cos 0 cos c sin b sin c cos b cos cos cot c tan b , 0 cos c sin a sin c cos a cos cos cot c tan a 68 Rechtwinklige sphärische Dreiecke = 90° cos = 0, sin = 1 Winkelkosinussatz: cos cos cos sin sin cos a , cos cos cos sin sin cos b , cos cos cos sin sin cos c cos sin cos a , cos sin cos b , cos cos sin sin cos c cos c cot cot 69 Rechtwinklige sphärische Dreiecke = 90° cos = 0, sin = 1 Sph. Sinussatz: sin a sin sin c , sin b sin sin c Seitenkosinussatz: cos c cos a cos b Kotangenssatz: sin b tan a cot , sin a tan b cot Sinus-Kosinussatz: cos cot c tan b , cos cot c tan a Winkelkosinussatz: cos sin cos a , cos sin cos b , cos c cot cot 70 All All diese Formeln für rechtwinklige sphärische Dreiecke kann man sich auf geniale Art und Weise merken: Rechtwinklige sphärische Dreiecke =90° Nepersche Regel: "Der Kosinus irgendeines Stückes ist gleich dem Produkt der Kotangens der beiden anliegenden Stücke oder gleich dem Produkt der Sinusse der beiden nicht anliegenden Stücke." 72 Rechtwinklige sphärische Dreiecke: Nepersche Relationen Nepersche Regel (Kurzform): cos = cot (anliegend) • cot (anliegend) = sin (nicht anliegend) • sin (nicht anliegend) 10 Formeln im rechtwinkligen Dreieck für = 90°: cos c cot cot cos c cos a cos b cos cot c tan b cos sin cos a sin b cot tan a sin b sin c sin sin a tan b cot sin a sin sin c cos tan a cot c cos cos b sin 73 Rechtseitige sphärische Dreiecke a b c=90° 74 Rechtseitige sphärische Dreiecke c = 90° cos c = 0, sin c = 1 Sph. Sinussatz: sin sin a sin , sin sin b sin Seitenkosinussatz: cos cos cos Kotangenssatz: sin tan cot a , sin tan cot b Sinus-Kosinussatz: cos a cot tan , cos b cot tan Winkelkosinussatz: cos a sin b cos , cos b sin a cos , cos cot a cot b 75 Rechtseitige sphärische Dreiecke c=90° Nepersche Regel: "Der Kosinus irgendeines Stückes ist gleich dem Produkt der Kotangens der beiden anliegenden Stücke oder gleich dem Produkt der Sinusse der beiden nicht anliegenden Stücke." 76 Merke: Nepersche Regel rechtwinkliges bzw. rechtseitiges Dreieck: Kosinus = Produkt der Kotangens der anliegenden Stücke, bzw. = Produkt der Sinusse der nicht anliegenden Stücke 77 Ungleichungen im sph. Dreieck Seitenkosinussatz: cos c cos a cos b sin a sin b cos im Eulerschen Dreieck gilt: a,b,c ≤ 180° sin a sin b 0 weil > 0° gilt zudem stets: cos < 1 cos c cos a cos b sin a sin b cos c cos(a b) wegen -180° < (a-b) < 180° und fallenden cos-Funktionswerten von 0° an sowohl in positiver Richtung bis 180° als auch negativer Richtung bis -180° folgt c ab 78 Ungleichungen im sph. Dreieck c ab c ba Da c stets positiv ist, kann die Betragbildung entfallen c a b Analog: a bc b ca c ba a cb b a c Jede Seite ist stets größer gleich der Differenz der beiden anderen. bzw. Die Summe zweier Seiten ist stets größer gleich der dritten. 79 Ungleichungen im sph. Dreieck Seitenkosinussatz: cos c cos a cos b sin a sin b cos Supplementwinkel: a 180 a ' a ' 180 a c' 180 c ' 180 c 180 c' 180 ' Einsetzen dieser Winkel in Seitenkosinussatz cos c' cos a ' cos b sin a ' sin b cos ' cos c' cos a ' cos b sin a ' sin b cos ' Äquivalente Ableitung führt auf: c' a ' b c' b a ' 80 Ungleichungen im sph. Dreieck (I) (II) c' b a ' Rücksubstitution der Supplemente (I) (180 c) (180 a ) b c' a ' b c a b cab (II) (180 c) b (180 a ) 180 c b a 180 360 a b c Die Summe aller Seiten ist stets kleiner gleich 360° 81 Ungleichungen im sph. Dreieck Winkelkosinussatz: cos cos cos sin sin cos c Supplement ' = 180° = 180° ' einsetzen cos cos ' cos sin ' sin cos c Äquivalente Ableitung führt auf: ' (I) (II) ' Rücksubstitution: (I) 180 (II) 180 (180 ) 180 82 Ungleichungen im sph. Dreieck (I) (II) 180 Gleichheitsfall, wenn sin ' sin = 0 Wertebereiche: 0 180 0 ' 180 180 0 180 Gleichheitsfall nur falls oder oder beide 180° zum Zweieck entartetes sph. Dreieck ist einer der Winkel 180°, so sind die anderen beiden gleich groß z.B. = 180° = , einsetzen in (I) 180 180 2 0 Widerspruch Gleichheitsfall für (I) ausgeschlossen (II) 180 180 0 83 Ungleichungen im sph. Dreieck 180 Die Winkelsumme im sphärischen Dreieck ist stets größer als 180° 180 Die Summe zweier Winkel im sphärischen Dreieck ist stets kleiner gleich dem dritten Winkel zzgl. 180° 84 Merke: Die Winkelsumme im sph. Dreieck ist stets > 180° ! 85 Ungleichungen im sph. Dreieck In ABC sei > 1 In ABH ist 1 = 2 HA = HB In ACH ist HA+HC > b HA+HC = HB+HC = a a>b Im sphärischen Dreieck liegt der größeren Seite der größere Winkel gegenüber Je nachdem, ob die Summe zweier Seiten >, =, < 180° ist, wird auch die Summe ihrer Gegenwinkel >, =, < 180° sein 86 Mehrdeutige Lösungen Ist die Summe zweier Seiten >, =, < 180°, so wird auch die Summe ihrer Gegenwinkel >, =, < 180°. Bsp.: Grundaufgabe 5 (geg.: a, b, ) Fall 1: a b 180 180 90 90 90 90 o. 90 eindeutige Lsg. zweideutige Lsg. Fall 2: a b 180 180 90 90 o. 90 zweideutige Lsg. 90 90 eindeutige Lsg. 87 Sphärischer Exzess bzw. 180 sphärischer Exzess Eulersches Dreieck: , , max 2 88 Das sphärische Zweieck (Wdh.) Da FZ und FK = 4R2, gilt: A' FZ FK R O . rad 2 FZ R 2 FZ 2R rad A bzw. 2 FZ 2R 180 89 Fläche des sphärischen Dreiecks C' A' O = Kugeloberfläche F = Fläche FABC = FA'B'C' B' M . B A C 2 Zweiecksflächen: FAA' = FABC + FBCA' FBB' = FABC + FACB' FCC' = FABC + FABC' FAA ' FBB' FCC ' 2R ( ) , , in [rad] 3FABC FBCA ' FACB' FABC' 90 Fläche des sphärischen Dreiecks 2 2R ( ) 3FABC FBCA ' FACB ' FABC ' C' A' O 4 R B' O O . B 2 A 2 FABC FACB' FAB'C ' FABC' mit FAB 'C ' FBCA folgt: ' C 2 2R ( ) 2FABC 2 FABC R ( ) O 2 O 4 91 Fläche des sphärischen Dreiecks 2 O 2 4 2 4R FABC R ( ) R ( ) 4 2 R ( ) R 2 2 R ( ) falls in Radiant 2 FABC R FABC R 2 180 O 720 4R 2 720 falls ° in Grad 92 Differentialformeln (Änderung des sph. Dreiecks) b b' a c' a' c geg. z.B.: a' = a + da b' = b + db c' = c + dc ges. z.B.: ' = + d ' = + d ' = + d 93 Differentialformeln Allgemeines: Gegeben sei Funktion mehrerer Variablen f(x,y,z) sowie kleine Änderungen dx, dy, dz Wie groß ist die zu erwartende Änderung der Funktionswerte? Das totale Differential df f x dx f y dy f z dz beschreibt die Änderung von f bei kleinen Änderungen von x, y und z. 94 Differentialformeln Seitenkosinussatz: cos a cos b cos c sin b sin c cos 0 cos a cos b cos c sin b sin c cos f Totales Differential: df 0 f da a sin ada f b db f c dc f d (sin b cos c cos b sin c cos )db (cos b sin c sin b cos c cos )dc (sin b sin c sin )d Mit Sinus-Kosinussatz: sin b cos c cos b sin c cos sin a cos cos b sin c sin b cos c cos sin a cos df 0 sin ada sin a cos db sin a cos dc sin b sin c sin d 95 Differentialformeln df 0 sin ada sin a cos db sin a cos dc sin b sin c sin d Mit Sinussatz: sin sin b sin sin sin b sin sin a sin a df 0 sin ada sin a cos db sin a cos dc sin sin c sin ad Division durch sin a: 0 da cos db cos dc sin sin cd Umstellen nach d: d da cos db cos dc sin sin c 96 Anwendungen auf der Erdkugel - Erdfigur A) physische Erdoberfläche: Trennfläche zw. festem Erdkörper u. Atmosphäre zu unregelmäßig für analytische Beschreibung B) mathematische Erdfigur: 1. Näherung: Kugel Radius einer Kugel mit Erdvolumen: R = 6.371,22 km Großkreislänge: 40.031,56 km 2. Näherung: Rotationsellipsoid Äquatorradius: RÄ = 6.378,39 km Polradius: RP = 6.356,91 km Abplattung: (RÄ-RP) / RÄ=1/297 97 Anwendungen auf der Erdkugel - Erdfigur C) physikalische Erdfigur: Definition von Niveauflächen Richtung Schwerkraft, d.h. Flächen mit konstantem Schwerepotential Geoid oder "wahre Erdfigur" = ruhende Meeresoberfläche 98 Geographische Koordinaten auf der Erdkugel geographische Koord. = sphärische Koord. auf Erdkugel Festlegung d. Lage von P: Großkreise: H V0 N H V, PV V Kleinkreis: W || H, PW V0 d W P = P (, ) M H 0 S P Def. für geogr. Koordinaten: H = Äquator (H d) d = mittl. Rotationsachse V0 = Greenwich-Meridian = geogr. Breite (positiv: N) = geogr. Länge (positiv: O) 99 Geographische Koordinaten auf der Erdkugel 2 1 P1 = P1 (1, 1) P2 = P2 (2, 2) = 21 1 P1 P2 2 100 Geographische Koordinaten auf der Erdkugel P1 = P1 (1, 1) P2 = P2 (2, 2) k2 k1 P1 s P2 = 21 k1, k2 … Kurswinkel s … Großkreisbogen Beispiel: geg.: P1 (1, 1), P2 (2, 2) ges.: s cos s cos (90 1 ) cos(90 2 ) sin (90 1 ) sin (90 2 ) cos cos s sin 1 sin 2 cos 1 cos 2 cos 101 Anwendungsbeispiel Ein Flugzeug verlässt Buenos Aires (Länge 58,54°W Breite 34,82°S) unter einem Kurswinkel von 37,47°. Nach einem Flug von 11.930 km erreicht es seinen Zielflughafen. Welche Koordinaten besitzt er? 13,47°O 52,35°N 102 Der Satz von Legendre ' b b' ' c' c a' a ' Legendresches Dreieck = kleines sph. Dreieck mit a,b,c < 1° Plandreieck = ebenes Dreieck mit a'=a, b'=b, c'=c Bsp.: Erdkugel mit R = 6371 km, Seite c 60 km Zentriwinkel 0,5° Frage: Sind ', ', ' aus , , berechenbar, d.h. ist eine Approximation eines Legendreschen Dreiecks durch ein Plandreieck möglich? 103 Der Satz von Legendre Legendre (1787): „Jeder Winkel eines kleinen sphär. Dreieckes vom Exzess ist um /3 größer als der entsprechende Winkel des zugehörigen Plandreiecks.“ Behauptung: ' = - /3, ' = - /3, ' = - /3 Beweis: Es seien geg. sph. Sinussatz: nach Vorauss.: a, b, c im Bogenmaß und a', b', c' als Längen sin sin sin sin a sin sin c sin a sin c a' c' a' c' a ,c sin sin sin sin R R R R 104 Der Satz von Legendre sin sin a' sin sin R c' R Entwicklung der sin-Funktion als Potenzreihe: sin x x x 3 3! x 5 5! x 7 ... 7! Da a, b, c und damit a', b', c' sehr klein, folgt: 3 3 a' c' a' c' sin sin 3 3 6R 6R R R 2 2 a ' sin c' sin c' sin a ' sin 2 2 6 R 6 R 105 Der Satz von Legendre 2 2 a ' sin c' sin c' sin a ' sin 2 2 6 R 6 R ' q a' b' p ' hb' c' ' aus Grafik: hb' = a' sin ' hb' = c' sin ' In 2. Ordnung gilt sin x' = sin x hb' = a' sin hb' = c' sin Einsetzen: h b 'a ' h b 'c ' a ' sin c' sin 2 2 6R 6R 106 Der Satz von Legendre h b 'a ' h b 'c ' a ' sin c' sin 2 2 6R 6R ' q a' b' p ' hb' c' Einsetzen: ' aus Grafik: b' = p + q = c' cos ' + a' cos ' analog durch zyklische Vertauschung a' = b' cos ' + c' cos ' c' = a' cos ' + b' cos ' h b' a ' sin ( b' cos ' c' cos ' ) 2 6R h b' c' sin (a ' cos ' b' cos ' ) 2 6R 107 Der Satz von Legendre h b' a ' sin ( b' cos ' c' cos ' ) 2 6R h b' c' sin (a ' cos ' b' cos ' ) 2 6R h b ' b' cos ' h b 'c' cos ' a ' sin 2 2 6R 6R h b 'a ' cos ' h b ' b' cos ' c' sin 2 2 6R 6R h b ' b' cos ' a ' h b 'c' cos ' a ' sin 2 2 6R 6R h b ' b' cos ' c' h b 'a ' cos ' c' sin 2 2 6R 6R 108 Der Satz von Legendre h b ' b' cos ' h b ' b' cos ' a ' sin c' sin 2 2 6R 6R In 2. Ordnung gilt: cos x = cos x' h b ' b' cos h b ' b' cos a ' sin c' sin 2 2 6R 6R ' q a' b' p ' aus Grafik: F' h b 'p 2 hb' c' h b 'q 2 h b' (p q) 2 h b ' b' 2 ' Einsetzen: F' cos F' cos a ' sin c' sin 2 2 3R 3R 109 Der Satz von Legendre F' cos F' cos a ' sin c' sin 2 2 3R 3R In 2. Ordnung gilt für die Flächen: 2 F' F R Einsetzen: a ' sin cos c' sin cos 3 3 Additionstheorem: sin sin cos cos sin 3 3 3 weil /3 klein cos /3 = 1, sin /3 = /3 sin sin cos 3 3 110 Der Satz von Legendre a ' sin cos c' sin cos 3 3 Additionstheorem: sin sin cos 3 3 Einsetzen: a ' sin c' sin 3 3 Mit der Legendreschen Behauptung: ' , ' 3 3 a ' sin ' c' sin ' 111 Der Satz von Legendre a ' sin ' c' sin ' Das ist der Sinussatz der ebenen Trigonometrie wahre Aussage Legendres Behauptung trifft zu! Die Winkel des Plandreiecks sind je um ein Drittel des sphärischen Exzesses kleiner als die Winkel des Legendreschen Dreiecks. Das Plandreieck ist eine zulässige Approximation des Legendreschen Dreiecks. 112 Orthodrome und Loxodrome 2 N k1 P1 1 k2 P2 s s = Orthodrome … Großkreisbogen P1P2 mit Kurswinkel k1 k2 = Loxodrome … Linie, die alle Meridiane unter gleichem Kurswinkel schneidet, d.h. 1 = 2 = const. 113 Loxodrome „Loxodromenproblem“ Bestimmung der loxodromischen Distanz P1P2 1 1 + d Z 1 + d . P1 . d R cos 1 d R d S Annahme: d, d sehr klein P1ZS ebenes Dreieck tan P1S R cos 1 d SZ 1 d tan cos 1 R d d 114 Loxodrome d tan cos 1 d Integration entlang von Anfangs- bis Endpunkt 2 2 d 1 2 1 tan cos 2 d tan 1 2 1 d 1 cos d 2 1 1 tan ln tan ln tan 4 4 2 2 2 1 tan ln tan ln tan 4 4 2 2 115 Loxodrome 2 1 tan ln tan ln tan 4 4 2 2 Mit der Definition für die isometrische Breite q q ln tan 4 2 tan q 2 q 2 tan q tan q Kurswinkel der Loxodrome ( im Bogenmaß) 116 Loxodrome 1 1 + d Z 1 + d . P1 . d R cos 1 d S cos d R d Aus Grafik: 1 Rd d R cos Integration : P2 d P1 R cos d R cos R cos 2 d 1 ( 2 1 ) Länge der Loxodrome ( im Bogenmaß, /2, 3/2) 117 Loxodrome Sonderfälle: =0 … Loxodrome fällt mit Meridian zusammen Loxodrome ist Großkreis = /2, = 3/2 … Loxodrome ist Parallelkreis (1 = 2) oder Äquator … Bogenlänge gemäß Loxodromformel nicht def., sondern über Parallelkreislänge = R cos 118 Entfernung auf sehr kurzen Großkreisbögen 1 2 = 1 + P2 2 = 1 + . P1 . s R R cos 1 S 1 Für sehr kleine Werte , ist Näherung mittels Satz des Pythagoras zulässig: s 2 2 2 2 2 R ( ) R cos 1 ( ) sR 2 2 ( ) cos 1 ( ) 2 2 119 Anwendungen aus der Sphärischen Astronomie • handelt von der Bestimmung scheinbarer Bewegungen von Himmelskörpern infolge täglicher Drehung der Erde durch wiederholte Positionsbeobachtung • ist ebenso wie Himmelsmechanik (= Bestimmung der Bewegungsgesetze von Himmelskörpern) ein Teilgebiet der mathematischen Astronomie • ist Grundlage der praktischen Astronomie, wie z.B. geodätische Astronomie und Nautik: Orientierung mittels Sternpositionen Orts-, Zeit-, Azimutbestimmungen mögliches Verfahren für Angaben von absoluter Lage und Richtung trigonometrischer Netze. 120 Die scheinbare Himmelskugel RErde RHimmel PM P M 121 Definition von Kugelkoordinatensystemen 2. Winkel z Ursprung Händigkeit P O Bezugsebene x Nullrichtung y 1. Winkel 122 Astronomische Koordinatensysteme Name Horizontsystem Äquatorsystem 1. Art Äquatorsystem 2. Art Ursprung Bezugsebene Nullrichtung 1. Winkel 2. Winkel Händigkeit 123 Horizontsystem lokaler Meridian lokaler Horizont Zenit a O S P a N e W Beobachter • System der terrestr. Beobachtungen • Realisierung durch Vertikal Horizontieren • a … Azimut • e … Elevation (alternativ: Zenitdistanz z = 90° - e) • Koordinaten von Himmelskörpern orts- und zeitabhängig wegen Erdrotation 124 Äquatorsystem 1. Art lokaler Meridian • System zur BestimHimmelsäquator Himmelsmung der lokalen nordpol Uhrzeit h Rot.achse N d. Erde • h … Stundenwinkel P • … Deklination • Stundenwinkel ändert Stunden- sich gleichförmig mit kreis der Zeit • Koordinaten von Himmelskörpern h =h+12 längen- und zeitGeozentrum abhängig h S 125 Äquatorsystem 2. Art Himmelsäquator Frühlingspunkt • System zur KataloHimmelsgisierung von Himnordpol melskoordinaten Rot.achse d. Erde • … Rektaszension P • … Deklination • Koordinaten von Stunden- Himmelskörpern kreis orts- und zeitunabhängig Geozentrum 126 Äquator, Ekliptik, Frühlingspunkt Frühling Sommer Winter Herbst Ekliptik Äquator = 23,5° 127 128 Äquatorsystem 2. Art Himmelsäquator Frühlingspunkt • System zur KataloHimmelsgisierung von Himnordpol melskoordinaten Rot.achse d. Erde • … Rektaszension P • … Deklination • Koordinaten von Stunden- Himmelskörpern kreis orts- und zeitunabhängig Geozentrum 129 130 Astronomische Koordinatensysteme Name Horizontsystem Ursprung Beobachter Äquatorsystem 1. Art Äquatorsystem 2. Art Geozentrum Geozentrum Bezugsebene lok. Horizont Äquator Äquator Nullrichtung Norden Süden Frühlingspunkt 1. Winkel Azimut Stundenwinkel Rektaszension 2. Winkel Elevation/Zenitd. Deklination Deklination Händigkeit links rechts links 131 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen Polaris 90°- . . PN für Beobachter sichtbar Z e N . M Horizont S für Beobachter nicht sichtbar Die Elevation des Polarsterns stellt eine Näherung der geografischen Breite dar! 132 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen . . PN Stern S zum Zeitpunkt t (untere Kulmination) N Stern S zum Zeitpunkt t + 12h (obere Kulmination) Z . M Zirkumpolarsterne: • 90°- • untere Kulmination oberhalb Horizont Horizont S tägl. Rotation der Erde 133 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck - 90°- 360°-a P… Nordpol Z… Zenit des Beobachters G… Gestirn PZG = Nautisches Dreieck P h 90°- a Z p z G S h… a… p… … z… … Stundenwinkel Azimut Parallaktischer Winkel Deklination d. Gestirns Zenitdistanz des Gestirns geogr. Breite d. Beobachters gelb = Elemente des Horizontsystems rot = Elemente des Äquatorsystems grün = gemeinsame Elemente 134 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck P h P h 90°- 90°- 360°-a p z Z 0h < h < 12h 180° < a < 360° a a G Gestirn westl. Meridian 90°- h 90°- 24 -h Z N W z p G Gestirn östl. Meridian O 12h < h < 24h 0° < a < 180° S 135 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen P - Nautisches Dreieck – h=0 Sonderfälle 90°- 90°- G p zO Z P für > : 90°- = 90°- + zO zU = 90°- + 90°- = 180° - - zU = + zO = 180° - - zU = - zO G p=0 90°- zU a=0 h=0 obere Kulmination untere Kulmination h P zO < zU 90°- 90°- 90°- für < : 90°- = 90°- + zO a=0 Z Z a = - zO zO = + zO G p=0 136 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck – Fall: < Veränderung des Nautischen Dreiecks aufgrund der tägl. Rotation der Erde 137 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck – Fall: > Veränderung des Nautischen Dreiecks aufgrund der tägl. Rotation der Erde 138 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck – Äquatorsystem 1. Art (h,) Horizontsystem (a,z) P h Zenitdistanz z aus Seitenkosinussatz: 90°- 90°- cos z cos(90 ) cos(90 ) 360°-a 1 sin(90 ) sin(90 ) cos h Z z1 G a cos z 2 cos(90 ) cos(90 ) h sin(90 ) sin(90 ) cos( 24 h ) hP weil cos h = cos(24h –h) 90°- cos z sin sin cos cos cos h 90°- 24h-h Z a z2 G 139 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck – Äquatorsystem 1. Art (h,) Horizontsystem (a,z) P h Azimut a aus Sinus-Kosinussatz: 90°- 90°- cos360 a [cos(90 ) sin(90 ) 360°-a1 1 sin(90 ) cos(90 ) cos h ] / sin z Z z G a1 cos a 2 [cos(90 ) sin(90 ) h sin(90 ) cos(90 ) cos( 24 h )] / sin z hP cos a 0 90°- 90°- 24h-h Z a2 z G sin cos cos sin cos h sin z Problem: arccos liefert Winkel zwischen 0° und 180°, Azimutwinkel jedoch zwischen 0° und 360° 140 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck – Äquatorsystem 1. Art (h,) Horizontsystem (a,z) P h Azimut a aus Sinus-Kosinussatz: 90°- 90°- sin cos cos sin cos h 360°-a1 cos a 0 Z z G a1 Fallunterscheidung nach Stundenwinkel: • Gestirn westlich Meridian 0h < h < 12h 180° < a < 360° a = 360° a0 • Gestirn östlich Meridian 12h h 24h 0° a 180° a = a0 hP 90°- 90°- 24h-h Z a2 z sin z G 141 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck – Horizontsystem (a,z) Äquatorsystem 1. Art (h,) P Deklination aus Seitenkosinussatz: h 90°-1 90°- cos(90 ) cos(90 ) cos z 360°-a 1 sin(90 ) sin z cos(360 a ) Z z G a cos(90 2 ) cos(90 ) cos z sin(90 ) sin z cos a hP weil cos a = cos(360° – a) 90°- 24h-h Z 90°-2 sin sin cos z cos sin z cos a a z G 142 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck – Horizontsystem (a,z) Äquatorsystem 1. Art (h,) P h1 Stundenwinkel h aus Sinus-Kosinussatz: 90°- 90°- cos h [cos z sin(90 ) 360°-a 1 sin z cos(90 ) cos 360 a ] / sin(90 ) Z z G a h cos( 24 h 2 ) [cos z sin(90 ) sin z cos(90 ) cos a ] / sin(90 ) h2P cos h 0 90°- 90°- 24h-h2 Z a z G cos z cos sin z sin cos a cos Problem: arccos liefert Winkel zwischen 0h und 12h, Stundenwinkel jedoch zwischen 0h und 24h 143 Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen - Nautisches Dreieck – Horizontsystem (a,z) Äquatorsystem 1. Art (h,) P h1 Stundenwinkel h aus Sinus-Kosinussatz: 90°- 90°- cos z cos sin z sin cos a 360°-a cos h 0 cos Z z G a Fallunterscheidung nach Azimut: • Gestirn westlich Meridian 180° < a < 360° 0h < h < 12h h = h0 • Gestirn östlich Meridian 0° a 180° 12h h 24h h = 24h h0 h2P 90°- 90°- 24h-h2 Z a z G 144 Anwendungsbeispiel Wieviele Stunden scheint die Sonne in Dresden (=51,031°) zur Sommersonnenwende am 21.06. (Deklination der Sonne: =23,439°)? Unter welchen Azimuten ist die Sonne an diesem Tag sichtbar? Sonnescheindauer: 16h19m Azimutbereich: 50,766° < a < 309,234° 145 Zeitsysteme - Sonnenzeit wahre Sonnenzeit = wahre Ortszeit, WOZ = seit unterer Kulmination d. Sonne vergangene Zeit WOZ = h +12h, h … Stundenwinkel der Sonne wahrer Sonnentag = Zeitdauer zwischen zwei Meridiandurchgängen der Sonne (d.h. "von Mittag zu Mittag") Problem: Stundenwinkel der Sonne neben Erdrotation auch durch Elliptizität der Erdbahn (Geschwindigkeitsschwankungen!) und Schiefe der Ekliptik beeinflusst. Dauer wahrer Sonnentage schwankt um bis zu 30 Sekunden! 146 Zeitsysteme - Sonnenzeit Lösung des Problems: mittlere Sonnenzeit = mittlere Ortszeit, MOZ = seit unterer Kulmination d. mittleren Sonne vergangene Zeit MOZ = h +12h, h … Stundenwinkel der mittleren Sonne Die mittlere Sonne ist ein fiktiver Körper mit Deklination 0, den die Erde auf einer Kreisbahn (konstante Geschwindigkeit) innerhalb eines wahren Sonnenjahres (trop. Jahr) umläuft. stabil bis auf (kleine) Schwankungen der Erdrotation zivile Zeit ist auf mittlere Sonnenzeit angepasst 147 Zeitsysteme - Sonnenzeit Zeitgleichung Differenz von wahrer u. mittlerer Sonnenzeit heißt Zeitgleichung Eq.T. Eq.T. = WOZ MOZ Eq.T. = h + 12h (h + 12h) = h h Maximalwerte für Eq.T. : ca. -15min … +15min 148 Zeitsysteme - Sonnenzeit tatsächliche Zeitgleichung +15 min +10 +5 0 -5 -10 Einfluss der Ekliptikschiefe Einfluss der Erdbahnellipse -15 1. Jan 1. Mrz 1. Mai 1. Jul 1. Sep 1. Nov 1. Jan 149 Das Analemma Die Bewegung der Gestirne wahre Bewegung = Bewegung bzgl. inertialem (= raumfestem) System scheinbare Bewegung = Bewegung bzgl. eines terrestrisch fixierten Systems beobachtbar ist nur die scheinbare Bewegung ! zeitliche Fixierung der Bewegungsphasen erfordert Transformation von scheinbarer zu wahrer Bewegung 151 Die scheinbare tägliche Bewegung Abhängigkeit zwischen Stundenwinkel und Zenitdistanz: cos z sin sin cos cos cosh weil cos h = cos (-h), ist Bahn symmetrisch zum Meridian Ableitung nach der Zeit t liefert: sin z dz dt cos cos sin h dh dt dz dh cos cos sin h sin z Weil cos 0, cos 0 und sin z 0, gilt: 0h < h < 12h dz/dh > 0, d.h. z wächst, Stern im Westen 12h < h < 24h dz/dh < 0, d.h. z nimmt ab, Stern im Osten h = 0h, 12h dz/dh = 0, d.h. z extremal, Kulmination 152 Auf- und untergehende Gestirne . . PN . . Z . PN 1 Horizont Z 2 . Stern Horizont Stern 1 = - (90° - ) = ( - 90°) 2 = (90° - ) Gestirn unsichtbar für Gestirn zirkumpolar für < ( - 90°) > (90° - ) Gestirne mit Deklinationen im Intervall ( - 90°) < < (90° - ) gehen auf und unter 153 Auf- und Untergang der Gestirne P h N Z 360°-a bei Auf- und Untergang jeweils z = 90° rechtseitiges nautisches Dreieck S Gesucht: G Zeit hA,U und Azimut aA,U des Auf- und Untergangs des Gestirns 154 Auf- und Untergang der Gestirne P Auf- und Untergangszeit Seitenkosinussatz: Z cos z h N sin sin cos cos cos h A , U 360°-a mit cos z = cos 90° = 0: S cos cos cos h A , U sin sin cos h A , U tan tan G weil cos h = cos (h) doppeldeutige Lösung: Auf- und Untergangszeit 155 Auf- und Untergang der Gestirne P h N G h h > 6h : WOZ > 18h h < 18h: WOZ < 6h Z 360°-a cos h A , U tan tan Bsp. I) > 0, > 0 cos hA,U < 0 d.h. 6h < hA,U < 18h h h > 6 U S hA < 18h Tagbogen > 12h Bsp. II) > 0, < 0 cos hA,U > 0 hU < 6h hA > 18h Tagbogen < 12h 156 Auf- und Untergang der Gestirne P Auf- und Untergangsazimut Seitenkosinussatz: Z sin h N cos sin z cos a A , U 360°-a mit cos z = 0, sin z = 1: S G sin cos z sin cos cos a A , U cos a A , U sin cos weil cos a = cos ( a) doppeldeutige Lösung: Auf- und Untergangsazimut 157 Auf- und Untergang der Gestirne P t N G Z 360°-a cos a A , U sin cos Bsp. I) > 0, > 0 cos aA,U > 0 0° < aA < 90° S 270° < aU < 360° Auf- und Untergang nach Norden verschoben Bsp. I) > 0, < 0 cos aA,U < 0 90° < aA < 180° 180° < aU < 270° Südverschiebung 158 Auf- und Untergang der Sonne Sonne besitzt variable Deklination: -23,5° < S < +23,5° wegen Neigung der Ekliptik gegen Äquatorebene 3 Fälle für scheinbare tägliche Bewegung: I) S > 0 (21.03.-23.09.) Nordhalbk.: Frühling, Sommer Tagbogen > 12h Auf- und Untergang nach Norden verschoben II) S = 0 (21.03. und 23.09.) Tagbogen = 12h (daher Bezeichn. Äquinoktium) Auf- und Untergang im Ost- bzw. Westpunkt III) S < 0 (23.09.-21.03.) Nordhalbk.: Herbst, Winter Tagbogen < 12h Auf- und Untergang nach Süden verschoben. 159 Auf- und Untergang der Sonne • Einfluss der atmosphärischen Refraktion: durch Lichtbrechung in der Atmosphäre ist das Gestirn bereits bei z = 90°35' sichtbar • Einfluss der Ausdehnung des Gestirns: Koordinaten gültig für Mittelpunkt des Gestirns • Beispiel Sonne: – Als Auf- bzw.Untergang der Sonne wird angesehen, wenn ihr oberer Rand den Horizont berührt – scheinbarer Radius der Sonne: rS = 16' zA,U = 90°35' + 16' = 90°51' das ist Beginn / Ende der Dämmerung 160 Auf- und Untergang der Sonne Betrachtung für Abenddämmerung (analog für Morgendämm.) • Beginn der Dämmerung: z = 90°51' h • Ende der bürgerlichen Dämmerung: zb = 96°30' hb • Ende der nautischen Dämmerung: zn = 102°00' hn • Ende der astronomischen Dämmerung: za = 108°00' ha Dauer der bürgerlichen Dämmerung: Db = hb – h Dauer der nautischen Dämmerung: Dn = hn – h Dauer der astronomischen Dämmerung: Da = ha – h Stundenwinkel aus: cos z... sin sin cos cos cos h ... cos h ... cos z... sin sin cos cos 161 Dauer der Dämmerungsphasen Datum Bürgerliche Dämmerung Nautische Dämmerung Astronomisch e Dämmerung 21.12. (S = -23,5°) 43m 1h22m 2h03m 21.03. / 23.09. (S = 0°) 36m 1h12m 1h52m 21.06. (S = 23,5°) 52m 1h58m - gültig für Dresden (geogr. Breite 51°02') 162 Vorlesung Ende Sonnenuhren Grundprinzip: Schatten eines parallel zur Rotationsachse orientierten Stabes (Gnomon) zeigt die wahre Sonnenzeit Einteilung nach Ausrichtung des Zifferblattes: • Äquatorialuhr → Zifferblatt || Äquator • Horizontaluhr → Zifferblatt || Horizont • Vertikaluhr → Zifferblatt Horizont 164 N Äquatorialuhr Äquatorebene d. Teilkugel e parallel zum Erdäquator S Z wahre Sonnenzeit: WOZ = hS + 12h hS = 0 12 Uhr, (Schatten im N-Punkt) hS = 15° 13 Uhr, ... e= 165 Äquatorialuhr Berlin, Deutschland 166 Äquatorialuhr Montreal, Kanada 167 Äquatorialuhr Willersbau, TU Dresden 168 Horizontaluhr 24h-h P h Z N x T x M • Sonne sei 24h-h Stunden vor oberer Kulmination • Strecke MT ist Schattenrichtung für Zeitpunkt WOZ = 12h + h • Winkel x zwischen SchatS tenlinie und Mittagslinie • sph. Dreieck NTP besitzt rechten Winkel in N 169 Horizontaluhr h cos(90 ) cot(90 x ) cot( 24 h ) 90°-x N 90°- x Mit 24h h h h 36 ( h 12 ) h 36 WOZ T 24h-h P 24h-h h 12 WOZ und cot(12h WOZ) = cot WOZ sin tan x cot WOZ tan x sin tan WOZ WOZ = 7 Uhr, 8 Uhr, ... liefert x (unabhängig von Deklination der Sonne!) 170 Horizontaluhr Chapel Hill, NC, USA 171 Horizontaluhr Sundial Bridge Redding, CA, USA 172 Vertikaluhr Z a y H y S M y • Sonne sei 24h-h Stunden vor oberer Kulmination P • Zifferblatt senkrecht zu 24h-h Horizont • Winkel a ist Azimut der N Zifferblattebene • Winkel y zwischen Vertikal und Schattenlinie für Zeitpunkt WOZ = 12h + h 90°- 173 Vertikaluhr P Kotangenssatz: h 90°- sin a cot( 24 h ) cot y sin(90 ) 24h h cos(90 ) cos a Mit cot( 24h Z a H cot y h ) cot WOZ sin a cot WOZ sin cos a cos y tan y cos sin cos a sin a cot WOZ für Südwand mit aS = 90° gilt: tan yS cos tan WOZ 174 Vertikaluhr München, altes Rathaus 175 Vertikaluhr Taubenheim (Oberl.) 176 Prüfung 09.02.2011 3.DS ASB/28 177
