Vorlesung 16

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Einführung in die Physik I
Wärmelehre/Thermodynamik
Wintersemester 2007
Vladimir Dyakonov
#16 am 02.02.2007
Folien im PDF Format unter:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/EP6/teaching.html
Raum E143, Tel. 888-5875, eMail: dyakonov@physik.uni-wuerzburg.de
10.11 Wärmestrahlung
Strahlungsleistung des schwarzen Körpers
Emission des schwarzen Körpers kann durch spektrale Energiedichte
ρ(ν,T)dν beschrieben werden. (Energie des Strahlungsfeldes pro
Volumen und pro Frequenzintervall)
6000 K
ρ (υ , T )dυ = 8πhυ 3 / c 3
1
e
hυ / kT
−1
dυ
Planck’sches Strahlungsgesetz
5000 K
4000 K
3000 K
h ist das Planck´sche Wirkungsquantum
h = 6.626 10-34 Js
.
.
1014 Hz
1
10.11 Wärmestrahlung
Strahlungsleistung des schwarzen Körpers
Fragen: 1.Wie viel Licht wird bei einer bestimmten Frequenz emittiert ?
2. Wie viel Lichtenergie wird insgesamt abgestrahlt?
Man betrachte einen kubusförmigen Hohlraum des Volumens V, welcher EMHohlraumstrahlung im thermischen Gleichgewicht enthält.
Es können sich nur stehende Wellen ausbilden (d.h. zwischen 2 gegenüberliegende
Hohlraumflächen passt jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen).
10.11 Wärmestrahlung
Strahlungsleistung des schwarzen Körpers
Welche Eigenmoden besitzt der Resonator ?
je kürzer die Wellenlänge umso höher die Frequenz (Energie)
Farbe des Lichtes ändert sich von rot über gelb, grün nach blau
2
10.11 Wärmestrahlung
Strahlungsleistung des schwarzen Körpers
Es sind also nur bestimmte diskrete Schwingungszustände (=Moden) erlaubt; die
gesamte Hohlraumstrahlung setzt sich aus diesen stehenden Wellen zusammen.
Im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν gibt es insgesamt
8πν 2
Vdν
c3
erlaubte Schwingungszustände.
10.11 Wärmestrahlung
Strahlungsleistung des schwarzen Körpers
Die Anzahl erlaubter Schwingungszustände nimmt bei höheren Frequenzen zu, weil
es für Wellen mit kürzerer Wellenlänge mehr Möglichkeiten gibt, sich so in den Hohlraum
einzupassen.
Die Zustandsdichte, das heißt die Anzahl erlaubter Schwingungszustände im
Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν und pro Volumeneinheit, ist
8πν 2
dν
c3
Nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik zu erwarten, dass im
thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T im Mittel jeder dieser Oszillatoren die
kinetische Energie kT/2 und die potentielle Energie kT/2, also insgesamt die Energie kT
trägt.
Die Energiedichte der Hohlraumstrahlung im Frequenzintervall zwischen ν und ν + dν
wäre demnach
ρ (v, T )dv =
8πν 2
kTdν
c3
Dies ist das Strahlungsgesetz nach Rayleigh-Jeans.
3
10.11 Wärmestrahlung
Strahlungsleistung des schwarzen Körpers
Nach der von Planck eingeführten Quantenhypothese kann ein Oszillator der Frequenz ν
jedoch nur ganzzahlige Vielfache der Energie hν aufnehmen
Schwingungszustände, deren Mindestenergie hν deutlich über der thermisch zur
Verfügung gestellten Energie kT liegen, können nicht angeregt werden
Schwingungszustände, deren Mindestenergie wenig über kT liegt, können mit gewisser
Wahrscheinlichkeit angeregt werden, so dass von ihnen ein bestimmter Bruchteil zur
gesamten Hohlraumstrahlung beiträgt.
Lediglich Schwingungszustände mit niedriger Mindestenergie hν, also kleineren
Frequenzen, können die angebotene thermische Energie vollständig aufnehmen und
werden (im Mittel) mit Sicherheit angeregt.
Die statistische Thermodynamik zeigt, dass unter diesen Bedingungen ein
Schwingungszustand der Frequenz ν im Mittel die Energie
hν
e
trägt.
hv
( )
kT
−1
10.11 Wärmetransport
Grenzfälle des Planck‘schen Strahlungsgesetzes
ρ (υ , T )dυ = 8πhυ 3 / c 3
1
e
hυ / kT
−1
dυ
Planck’sches Strahlungsgesetz
1. Grenzfall: hν << kT:
e x ≈1+ x, (x << 1)
2. Grenzfall: hν >> kT: ex >> 1
hν
8πν 2
ρ (ν ) dν ≈ 3 kT dν
c
8π hν 3 − kT
ρ (ν ) dν ≈
⋅e
dν
c3
Bei kleinen Frequenzen ist das Plancksche
Strahlungsgesetz gut genähert durch das
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Bei hohen Frequenzen nimmt die Energiedichte exponentiell mit der Frequenz
ab
4
10.11 Wärmestrahlung
Emissionsmaximum
Das Maximum der emittierten Strahlung verschiebt
sich mit steigender Temperatur zu höheren Frequenzen
(zu kürzeren Wellenlängen).
Berechnung des Frequenzmaximums
liefert das Wiensche Verschiebungsgesetz
ν max = 5.88 ⋅ 1010 Hz
⋅T
K
Verschiebung
6000 K
5000 K
4000 K
Wilhelm Wien (1864–1928)
3000 K
1900 – 1920: Professor für Physik,
Würzburg, Nobelpreis 1911
1014 Hz
10.11 Wärmestrahlung
Gesamtemission des „Schwarzen Strahlers“
Mit steigender Temperatur wächst die Fläche unter der Kurve im Planckschen
Strahlungsgesetz stark an.
Integration über alle Frequenzen liefert die emittierte Gesamtleistungsdichte:
⎡ W ⎤
⎢ m 2 ⎥;
⎣
⎦
σ = 5 . 670 51 ⋅ 10 − 8
P = σ T
Stefan-Boltzmann-Gesetz:
4
[
m
W
2
K
4
]
Abgestrahlte Leistung
nimmt mit der 4. Potenz der
Temperatur zu.
6000 K
3000 K
3000 K
1014 Hz
1014 Hz
5
10.11 Wärmestrahlung
Strahlungsleistung des schwarzen Körpers
Emission des schwarzen Körpers kann durch spektrale Energiedichte
ρ(ν,T)dν beschrieben werden. (Energie des Strahlungsfeldes pro
Volumen und pro Frequenzintervall)
6000 K
ρ (υ , T )dυ = 8πhυ 3 / c 3
1
e
hυ / kT
−1
dυ
Planck’sches Strahlungsgesetz
5000 K
4000 K
3000 K
h ist das Planck´sche Wirkungsquantum
h = 6.626
10-34
Js
.
.
1014 Hz
10.11 Wärmestrahlung
Infrarotthermographie
Infrarotbereich
6
10.11 Wärmestrahlung
Versuch: Messung der Wärmestrahlung mit der Thermosäule
• Bei der Thermosäule wird über eine Absorberfläche Strahlung in Wärme umgewandelt.
• In unmittelbarem Kontakt zur Absorberfläche sind Thermoelementepaare angeordnet.
• Die Erwärmung des Absorber führt zur Ausgabe einer Thermospannung.
• Der Absorber sollte geringen thermischen Widerstand haben, um die Wärme ohne Verluste
weiter zu leiten.
(Wärmeleistung)
10.12 Thermodynamische Potentiale
Thermodynamisches Gleichgewicht
Ein System ist im Gleichgewicht, wenn sich zeitlich nichts mehr ändert.
Def: Ein abgeschlossenes System ist im thermodynamischen Gleichgewicht,
wenn seine Entropie maximal ist.
Das System befindet sich in seinem wahrscheinlichsten Zustand.
Abgesehen von Fluktuationen geht das System nicht von alleine in einen
sehr viel unwahrscheinlicheren Zustand (wäre eine Abnahme der Entropie).
Zwei in Verbindung stehende Systeme:
S1
S2
Die Entropie des Gesamtsystems ist:
S = S1 + S 2
7
Beide System sind im Gleichgewicht miteinander, wenn
d S = d S1 + d S 2 = 0
Im Maximum ist die Änderung Null
Solange kein Gleichgewicht herrscht laufen Prozesse von selbst ab, bei denen
d S = d S1 + d S 2 ≥ 0
Prozesse in Richtung Maximum der Entropie
Mit dem 1. Hauptsatz
dU = δ Q + δ W
erhält man
dU − T d S = δ W
Das ist die maximale Arbeit, die ein System um Ungleichgewicht leisten kann.
Man definiert die Freie Energie
F =U −T S
71
Die Freie Energie ist ein s.g. Thermodynamisches Potential
man definiert weitere Potentiale:
Enthalpie:
H = U + pV
Gibbs-freie Enthalpie:
G = U + pV − T S
Auch die Innere Energie U ist ein thermodynamisches Potential.
Mit diesen Definitionen lassen sich Gleichgewichtsbedingungen unter
verschiedenen Bedingungen angeben:
72
8
T = const, V = const. Gleichgewicht herrscht, wenn:
d F = dU − T d S = 0
Minimum der freien Energie
T = const, p = const. Gleichgewicht herrscht, wenn
dG = dU + p dV − T d S = 0
Minimum der Gibbs freien Enthalpie
p = const und adiabatisch. Gleichgewicht herrscht, wenn
d H = dU + p dV = 0
Minimum der Enthalpie
V = const und adiabatisch. Gleichgewicht herrscht, wenn
dU = 0
Minimum der inneren Energie
Diese Bedingungen haben weitreichende Aussagekraft: Chemische
Reaktionen laufen z.B. spontan ab wenn dG > 0 (freie Reaktionsenthalpie)
chemisches Gleichgewicht herrscht dann, wenn dG = 0
73
Jedes System strebt zwei „Zielen“ entgegen:
1.) Minimum der Energie
2.) Maximum der Entropie
Minimum der pot. Energie
Maximum der Entropie
Tatsächliche Verteilung:
Minimum der Freien Energie
Dem Wettstreit zwischen beiden Bestrebungen trägt die Freie Energie
Rechnung (bei konstanter Temperatur und konstantem Volumen).
F =U −TS
Wenn F minimal ist, sind beide Bestrebungen ausgewogen gut erfüllt.
Bei niedriger Temperatur spielt die Energie die Hauptrolle,
mit zunehmender Temperatur wird die Entropie immer wichtiger.
74
9
Solange ein System noch nicht im Gleichgewicht ist laufen Prozesse ab,
bei denen sich die Entropie erhöht.
Für reversible Prozesse gilt:
T dS = δ Q
Für irreversible Prozesse gilt:
T dS ≥ δ Q
Mit der Definition der Freien Energie folgt:
d F ≤ dU −δ Q
Und mit dem ersten Hauptsatz:
d F ≤ dU − δ Q = δ W
Wenn δW negativ ist, d.h. das System Arbeit leistet, ergibt sich:
− δ W ≤ −d F
Bei reversiblen Vorgängen leistet das System genau die Arbeit δW = dF
bei irreversiblen Vorgängen leistet das System weniger Arbeit.
75
10
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