Trigonometrie - Luitpold

Trigonometrie
Wenn man die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnen
will, ist es wichtig, auf welchen Winkel sie sich beziehen.
Die Kathete, die direkt am Winkel anliegt, heißt Ankathete (kurz AnKa), die
gegenüberliegende heißt Gegenkathete (kurz GeKa).
Die Hypotenuse wird im Folgenden mit Hyp abgekürzt.
sin α=
GeKa
AnKa
GeKa
, cos α=
, tan α=
Hyp
Hyp
AnKa
Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt
auch:
sin α = cos β und sin β = cosα
Weil α = 90° - β und β = 90° - α gilt, kann man für cosβ auch cos(90° −α) und für
sin α auch sin (90° −β ) schreiben.
In ihrer umgekehrten Form (symbolisiert durch -1) sind die trigonometrischen Funktionen
verwendbar, um den zugehörigen Winkel auszurechnen.
−1 GeKa
−1 AnKa
−1 GeKa
sin (
) = α , cos (
)= α , tan (
)= α
Hyp
Hyp
AnKa
Übersicht über die wichtigsten Werte von sin, cos, tan
(DEG = Gradmaß, RAD = Bogenmaß)
α in DEG
0°
30°
45°
60°
90°
α in RAD
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin
0
1
2
1
√2
2
1
√3
2
1
cos
1
1
√3
2
1
√2
2
1
2
0
0
1
√3
3
1
√3
Nicht
definiert
tan =
sin
cos
Abb. 1
1
Beispielaufgaben - sin, cos, tan
Annahme: Die Dreiecke sind so angelegt, dass γ=90 ° .
Seitenlänge
a
a)
b
c
7m
9m
b) 72dm
c)
α
β
42°
8mm
70°
a) b = 7m; c = 9m
a lässt sich wie in den Aufgaben zum Satz des Pythagoras bestimmen:
a = √ c 2−b2 = √ 92−72 = √ 32 = 4 √ 2 ≈ 5,7
=> a ≈ 5,7m
α und β gesucht. Da a,b und c ein rechtwinkliges Dreieck bilden, lassen sich hier sin,
cos und tan anwenden.
Die Gegenkathete zu α ist a.
GeKa
a
4 √ 2 5,7
sin α=
= =
=
≈ 0,63
Hyp
c
9
9
Oder man rechnet mit den gegebenen Größen b und c. Die Ankathete zu α ist b.
AnKa b
7
cosα=
= = ≈ 0,8
Hyp
c
9
Kehrt man den sin bzw cos um, so erhält man den Wert von α in °:
α = sin−1 (0,63) ≈ 39 ° , α = cos−1 (0,8) ≈ 39 °
=> α ≈ 39° (Mit cos berechneter Wert)
Die exakten Werte ergeben sich nur, wenn man mit exakten Ergebnissen rechnet.
Eventuell unterschiedliche Ergebnisse ergeben sich durch gerundete Werte.
Gleiches gilt für β:
b
7
a
4 √2
5,7
β = sin−1 ( ) = sin−1 ( ) ≈ 51 ° oder β = cos−1( ) cos−1 (
) ≈ cos−1 (
) ≈ 51 °
c
9
c
9
9
=> β ≈ 51° (der mit sin berechnete Wert)
Oder einfacher:
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks sind 180°. Gegeben ist γ=90 ° . Hat man einen
der Winkel ausgerechnet, kann man 180° - γ - (hier) α = β rechnen.
Damit erhält man dasselbe Ergebnis, von einigen Rundungsfehlern einmal abgesehen.
2
Rechnet man α und β getrennt über sin, cos und tan aus, kann es sein, dass dann die
Winkel α und β zusammen mehr als 90° ergeben. Dies ist jedoch kein Fehler, sondern
geht auf die jeweilige Ungenauigkeit des Rechenwegs zurück.
b) a = 72dm; α = 42°
Hier sind nur eine Seite und ein Winkel gegeben. a ist die Gegenkathete zu α. Da
Winkel α gegeben ist, bezieht sich die gesuchte Trigonometrische Funktion auf α.
Man hat also die Wahl zwischen
GeKa
a
AnKa b
GeKa a
sin α =
= , cos α =
=
und tan α =
=
Hyp
c
Hyp
c
AnKa b
Kosinus ist nicht anwendbar, da die Seitenlängen c und b unbekannt sind.
Man beginnt also mit dem Sinus.
a
a
sin α =
→ sin(42 °) = ∣ ⋅c
c
c
sin(42 ° )⋅ c = a ∣ : sin( 42 °)
a
72
c=
=
≈ 107,6
sin( 42° ) sin (42 °)
c ≈ 107,6dm
Über den Tangens kann man b berechnen:
a
a
tan α =
→ tan(42 °) = ∣ ⋅b
b
b
tan( 42 °)⋅b = a ∣ : tan (42 °)
a
72
b=
=
≈ 80
tan(42 °)
tan(42 °)
b ≈ 80dm
Etwas einfacher kann man b auch über den Satz des Pythagoras berechnen, da jetzt
auch c bekannt ist:
b = √ c 2−a2 = √ 107,6 2−72 2 = √ 6393,76 ≈ 80 => b ≈ 80dm
Auch hier können wegen der Rundung kleine Unterschiede auftreten.
Gesucht ist β. Auch hier gibt es viele Möglichkeiten zur Berechnung. Die einfachste
davon ist der Weg über die Innenwinkelsumme.
γ + β + α = 180° ( γ = 90 °) → α + β= 90 °
β = 90 ° − α = 90 ° − 42 ° = 58 °
β = 58°
3
c) c = 8mm; β = 70°
Hierbei kann ähnlich verfahren werden, wie in Aufgabe b). Nur löst man hier nicht nach
c auf, sondern nach a, weil c hier gegeben und a gesucht ist.
a
a
cos β =
→ cos (70 ° ) = ∣ ⋅c
c
c
a = cos(70 ° )⋅c = cos (70 °)⋅8 ≈ 2,7
a ≈ 2,7mm
Zu b kommt man über den Satz des Pythagoras:
b = √ c 2−a2 = √ 82−2,72 = √ 56,71 ≈ 7,5
b ≈ 7,5mm
Um α zu berechnen, kann man vorgehen wie in b):
90° = α + β => α = 90° - β = 90° - 70° = 20°
α = 20°
Seitenlänge a
b
c
α
β
a) 5,7m
7m
9m
37°
53°
b) 72dm
80dm
107,6dm
42°
58°
c) 2,7mm
7,5mm
8mm
20°
70°
Beispielaufgaben aus dem BMT 10
BMT 10, 2010:
Aufgabe 5
1
⋅ √ 3 ⋅a
2
c) Berechnen Sie mit Hilfe der Aussage aus Teilaufgabe 5b den exakten Wert von cos30° .
Aus b) ergibt sich: h =
In b) wurde die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von a bestimmt.
Bei einem gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Winkel 60°. Die Höhe h halbiert den
Winkel bei C, sodass h mit der Grundlinie ein rechtwinkliges Dreieck einschließt. Hier
kann man nun den cos(30°) berechnen.
Die Ankathete von dem 30°-Winkel ist h, die Hypotenuse ist a:
AnKa h √ 3⋅a
3
cos(30 °) =
= =
=√
Hyp
a
2⋅a
2
4
BMT 10, 2011
Aufgabe 4
b) Mit welchen der folgenden Gleichungen lässt sich der Neigungswinkel einer Seitenfläche
gegen die Grundfläche berechnen? Kreuzen Sie an.
□ tan φ =
2h
a
□ tan φ =
a
2h
□ sin φ =
a
h
□ sin φ =
2m
m
□ sin φ =
m
2h
2h
GeKa
1
ist korrekt, weil tan φ =
. Die Ankathete zu φ ist ⋅ a , die
a
AnKa
2
Gegenkathete zu φ ist h. Weil der Bruch der Ankathete im Nenner steht, wird mit dem
Kehrbruch multipliziert und damit steht die 2 im Zähler.
tan φ =
h
GeKa
ist korrekt , weil sin φ =
. Die Gegengathete zu φ ist h, die Hypotenuse
m
Hyp
des Dreiecks ist m.
sin φ =
Die Lösung ist dann:
X tan φ =
2h
a
□ tan φ =
a
a
h
□ sin φ =
X sin φ =
2h
2m
m
□ sin φ =
m
2h
BMT 10, 2015
X
X
X
2
2
2
Zu b) Der Satz des Pythagoras lautet hier: t = s + r . Er muss nur noch aufgelöst
werden.
5