Die Funktionsgleichung - GMS

Die Funktionsgleichung
Stell dir vor, dass du von deinen Eltern ein Handy geschenkt
bekommst.
Da die Gebühren einer Prepaid-Karte oft viel teurer sind als die bei
einem Vertrag, hast du mit deinen Eltern vereinbart, dass du einen
Vertrag abschließen darfst.
Welchen Vertrag du wählst, musst du jedoch alleine entscheiden.
Auf den folgenden 3 Seiten findest du 3 unterschiedliche VertragsAngebote eines Mobilfunkanbieters.
Schau dir die Angebote genau an.
Erstelle zu den Angeboten jeweils eine Wertetabelle.
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die
Punkte.
Die Funktionsgleichung
Tarif 1
Grundgebühr: 10 €
Gespräche unterwegs: 1 € pro Minute
(* Die Anschlussgebühr entfällt bei allen drei Tarifen; bei jedem Tarif
gibt es 100 Frei-SMS)
Minuten
Preis (€)
0
1
3
5
7
9
15
20
Die Funktionsgleichung
Tarif 2
Grundgebühr: 4 €
Gespräche unterwegs: 1,5 € pro Minute
Minuten
Preis (€)
0
1
3
5
7
9
15
20
Die Funktionsgleichung
Tarif 3
Grundgebühr: 0 €
Gespräche unterwegs: 2 € pro Minute
Minuten
Preis (€)
0
1
3
5
7
9
15
20
Die Funktionsgleichung
Wenn du dir nun deine verbundenen Punkte
im Koordinatensystem anschaust, wirst du
feststellen, dass daraus 3 Geraden
entstanden sind.
Definition:
Funktionen, deren Graph eine Gerade ist,
heißen lineare Funktionen.
Die Funktionsgleichung
Du findest in deinem
Koordinatensystem
also drei
lineare Funktionen
vor.
a) y=f(x)= 1x+10
b) y=f(x)= 1,5x+4
c) y=f(x)= 2x+0
Lies die Schnittpunkte
der drei Graphen mit
der y-Achse ab.
Was stellst du fest?
Die Funktionsgleichung
Schnittpunkte mit der y-Achse
a) y=f(x)= 1x+10
S(0/10)
b) y=f(x)= 1,5x+4
S(0/4)
c) y=f(x)= 2x+0
S(0/0)
... und wie wäre das:
d) y=f(x)= mx+b
??
Richtig! S(0/b)
Die Funktionsgleichung
Definition:
Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen
Funktion lautet: y= mx+b
Das b in der Funktionsgleichung gibt an, an welcher
Stelle der Graph die y-Achse schneidet, denn zu x=0
gehört der Funktionswert y=b.
(wenn x=0, dann:
y=m*0+b
y=0+b
y=b
Man nennt b deshalb auch den Achsenabschnitt der
Funktion y=mx+b.
Schreibe die Defintion in dein Heft!
Die Funktionsgleichung
Schauen wir uns die letzte Funktion noch einmal genauer
an: y= 2x+0
b= 0
Hier findet sich etwas Besonderes: Da b=0 ist, ergibt sich ein
Schnittpunkt mit der y-Achse im Punkt S(0/0).
Das heißt, dass die Gerade durch den Ursprung (0/0) des
Koordinatensystems läuft. Deshalb nennt man diese Gerade auch
eine Ursprungsgerade.
(Du kennst solche Ursprungsgeraden auch schon von den
proportionalen Zuordnungen, denn die Graphen proportionaler
Zuordnungen laufen immer durch den Ursprung!)
Die Funktionsgleichung
Schau es dir noch
einmal in der Zeichnung
an:
Die Funktionsgleichung
So, nun hast du viel über die Funktionsgleichung gelernt.
Hast du die Definition aufgeschrieben?
Hast du alles verstanden oder möchtest du es ein 2. Mal
lesen?
Das m in der allgemeinen Funktionsgleichung ist übrigens der
Steigungsfaktor, welcher die Steigung einer Geraden
bestimmt.
Darüber erfährst du im nächsten Abschnitt mehr.
Zuerst solltest du aber die Aufgaben auf den nächsten 2
Seiten lösen!
Die Funktionsgleichung
Aufgabe 1:
Schreibe die gegebenen Funktionsgleichungen linearer Funktionen
ab. Gib anschließend an, was m und was b ist.
Beispiel: y= 3x+4;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
y=
y=
y=
y=
y=
y=
y=
y=
y=
4x+4
-4x+7
-2x- 8
6x+19
-18x- 12
5x+7
9x- 1
x+1
6x- 0
m=3; b=4
Die Funktionsgleichung
Zu guter Letzt: Aufgabe 2
Nachdem du die drei Tarife genauer betrachtet
hast, beantworte nun bitte folgende Fragen:
1. Wann lohnt es sich, den Tarif 1 zu wählen?
2. Wann sollte man Tarif 2 wählen?
3. Für wen lohnt sich der Tarif 3?
4. Für welchen Tarif würdest du dich
entscheiden und warum?