Versuch 25 Fresnelsche Formeln und Polarisation

Physikalisches Praktikum
Versuch 25
Fresnelsche Formeln
und Polarisation
Praktikanten:
1
Johannes Dörr
[email protected]
physik.johannesdoerr.de
Gruppe:
14
Datum:
19.09.2006
Katharina Rabe
[email protected]
Assistent:
Sebastian Geburt
Einleitung
Dieser Versuch führt in die Polarisation von Licht ein und gibt uns Auskunft über das Verhalten von polarisiertem
Licht bei der Reflexion bzw. Beugung an der Grenze zwischen zwei Medien. Ein Ziel ist es, aus diesem
Phänomen, mit diesem Versuch den Brewsterwinkel zu bestimmen.
2
2.1
Theorie
Die elektromagnetische Welle
Für das Verständnis von Polarisation muss man zunächst einmal wissen, dass Licht eine Transversalwelle ist,
also dass elektrische und magnetische Feld stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dieses kann man sich
1
sehr gut an den Maxwellschen Gleichungen verdeutlichen:
~ =ρ
div(D)
~ = 0v
div(B)
(1)
~
~ = −Ḃ
rot(E)
(3)
~
~ = jext
~ + Ḋ
rot(H)
(4)
(2)
~ entspricht der dielektrischen Verschiebung D
~ = 0 r E,
~ mit Ausnahme von Vorfaktoren,
Das elektrische Feld E
~ und der magnetischen Flussdichte B
~ = µ0 µr H.
~
dasselbe gilt für das magnetische Feld H
Die Stromdichte ~j ist genauso wie die Ladungsdichte ρ in einem ladungsfreien System null. Nimmt man nun
den Wellenansatz für das elektrische Feld in x-Richtung
~ = E~0 sin(ω(t − x ))
(5)
E
υ
sieht man, dass die Ableitung des elektrischen Felds nach x nicht verschwindet, was die Vorraussetzung für
div(E) = 0 wäre. Somit kann das elektrische Feld in x-Richtung keine Komponente haben und steht damit
senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung x. Analog kann man dieses auch für das magnestische Feld machen.
Also ist unsere elektromagnestische Welle eine Transversalwelle.
2.2
Polarisation
Die Polarisation findet nur bei Transversalwellen statt, bei welchen der Feldvektor, in unserem Fall das elektrische Feld und der Wellenvektor ~k, senkrecht aufeinander stehen. In diesem Fall haben wir noch einen Freiheitsgrad übrig, welcher für die Rotation genutzt werden kann, somit kann der Vektor des elektrischen Feldes
in alle diese Richtungen zeigen und verschiedene Amplituden annehmen. Dieser Vektor läuft bei normalem
~
Licht chaotisch durch die Gegend, solches Licht nennt man ungeordnetes Licht. Ist der Amplitudenvektor A
des Feldes in der Richtung bestimmt, spricht man von Polarisation. Wir unterscheiden drei Arten von Polarisation: die lineare Polarisation, bei welcher der Amplitudenvektor immer in eine feste Richtung zeigt und die
Größe der Auslenkung bei Voranschreiten der Welle seinen Betrag und seine Orientierung periodisch mit einer
vorgegebenen Amplitude ändert. Dann gibt es die elliptische Polarisation; hier rotiert der Amplitudenvektor
um den Wellenvektor und ändert dabei periodisch den Betrag. Die Spitze des Feldvektors beschreibt dabei eine
Ellipse, als Sonderfall dieser Bewegung kann man die zirkulare Polarisation ansehen, in diesem Fall dreht sich
beim Ausbreiten der Welle der Amplitudenvektor mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor
und ändert seinen Betrag dabei nicht.
2.3
Die Brechung des Lichts (Der snelliusche Brechungssatz)
Ein Lichtstrahl breitet sich in einem Medium 1 mit der Geschwindigkeit cn,1 aus. Damit mit diesen
Geschwindigkeiten gut zu handhaben ist, hat man den Brechungsindex n eingeführt, welcher das Verhältnis
der Ausbreitungsgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit angibt.
c0
n=
(6)
cn
Trifft nun der Lichtstrahl auf ein neues Medium, ändert sich der Brechungsindex und somit die Geschwindigkeit
des Lichtstrahls, sodass der Lichtstrahl gebrochen wird. Fällt ein paralleler Lichtstrahl mit der Geschwindigkeit
c1 wie in Abb. 2 auf eine Grenzfläche zu einem neuen Medium in dem er sich mit der Geschwindigkeit c2
fortbewegt, trifft er zunächst auf den Punkt C und erst um die Zeit t = ce1 verschoben auf den Punkt B. In
dieser verstrichenen Zeit ist jedoch das Licht vom Punkt C um die Strecke g = c2 · t weitergewandert. Diese
Gegebenheiten kann man nun in die Dreiecksbeziehungen
e
sin α =
(7)
f
g
sin β =
(8)
f
2
Figure 1: Die Verschiedene Arten der Polarisation (Quelle: Wikipedia)
Figure 2: Brechung an einer Grenzfläche
3
Figure 3: Elektrisches Feld an einer Grenzfläche
einsetzen und erhält dann mit Gl. 6
sin α
e
c1
n1
= =
=
sin β
g
c2
n2
(9)
Somit erhalten wir das Snelliusche Brechungsgesetz
n1 sin α = n2 sin β
(10)
Praktisch sieht es so aus, dass das Licht für n2 > n1 vom Lot der Grenzfläche weg gebrochen wird und für
n1 > n2 das Gegenteilige passiert.
2.4
Fresnelsche Formeln
Das snelliusche Brechungsgesetz gibt uns an, in welche Richtung das Licht gebrochen wird, nun wollen wir uns
~ in einen
um die Intensität des Lichtes kümmern. Dazu zerlegen wir zunächst einmal das elektrische Feld E
~t und einen Anteil normal zur Fläche E~n , sodass gilt:
Anteil tangential zur Grenzfläche E
~ =E
~t + E~n
E
(11)
Beim Übergang von einem Medium in ein anderes muss die tangentiale Komponente stetig sein, sodass sich nur
die normal Komponente ändern kann. Diese Änderung hängt mit der dielektrischen Feldkonstante r zusammen.
Wie aus der Elektrostatik bekannt ist, verringert sie das elekrische Feld um einen Wert von 1r im Vergleich zum
√
Vakuum. Mit n ≈ r gilt nun
⇒
En,1
2
n2
=
= 22
En,2
1
n1
(12)
Aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente kann man nun mit der Annahme, dass die Intensität durch I ∝
√
r · E 2 beschrieben wird (senkenfreie Energiestromdichte) das folgende Gesetz bestimmen.
√
√
1 (Ee2 − Er2 ) cos α = 2 Eg2 cos β
(13)
Das einfallende elektrische Feld wird durch Ee , das refelektierte durch Er und das gebrochene durch Eg
beschrieben. Beginnen wir damit, dass wir nur eine Energiekomponente senkrecht zur Einfallsebene haben,
somit ist dann die Parallelkomponente von E stetig und es gilt
Ee + Er = E g
4
(14)
Teilt man nun die Gl. 13 durch die obige Gleichung, erhält man
√
1 (Ee − Er ) cos α =
√
2 Eg cos β
(15)
Setzt man nun die Beziehungen aus Formel 12 und 10 ein uns eliminiert über die Formel ?? jeweils eine
Komponente des neuen Elektrischen Felds, erhält man:
sin β cos α − sin α cos β
sin β cos α + sin α cos β
sin(α − β
= −Ee
sin(α + β
2 sin β cos α
= Ee
sin(α + β)
Er
= Ee
Eg
So können wir das Reflexionsverhältnis ρ =
Licht bestimmen.
Er
Ee
und die Durchlässigkeit σ =
ρ
=
σ
=
sin(α − β)
sin(α + β)
2 sin β cos α
sin(α + β)
(16)
(17)
(18)
Eg
Ee
für das senkrecht polarisierte
(19)
(20)
Dieses ist der erste Teil der Fresnelschen Formeln. Nun können wir das ganze auch noch für parallel zur
Einfallsebene polarisiertes Licht machen. Dabei ist die parallele Komponenete des elekrischen Feldes stetig,
sodass gilt Ee − Er = Eg . Mit Ausnahme der Änderung des Vorzeichens läuft der Beweis dazu analog und wir
erhalten für den zweiten Teil der Fresnelschen Formeln
ρ =
σ
2.4.1
=
tan(α − β)
tan(α + β)
2 sin β cos α
sin(α + β) cos(α − β)
(21)
(22)
Änderung der Polarisationsrichtung beim schrägen Aufprall
Die Richtung der linearen Polarisation ändert sich über die Gleichung:
tan γr =
Er,s
cos(α − β)
=
tan γe
Er,p
cos(α + β)
(23)
Da für die Reflexion gilt
cos(α − β) ≥ cos(α + β) ⇒ γr ≥ γe ,
wird die Polarisationsrichtung von der Einfallsebene weggedreht. In unserem Versuch haben wir die einfallende
Polarisationsrichtung mit 45◦ festgelegt, sodass tan 45◦ = 1 gilt. Der von uns gemessene Drehwinkel der Polarisation γgem. ist nur die Änderung des wirklichen Drehwinkels, da wir zu Anfang auf einen Wert von null Grad
geeicht haben. Somit vereinfacht sich die obige Gleichung zu
tan(γgem. +
π
cos(α − β)
)=
4
cos(α + β)
Nun können wir noch β durch das snelliussche Brechungsgesetz und n1 = 1 ausdrücken, sodass wir die folgende
Formel erhalten.
π
cos(α − arcsin(sin α/n))
tan(γgem. + ) =
(24)
4
cos(α + arcsin(sin α/n))
5
Figure 4: Änderung der Polarisationsrichtung
Figure 5: Aufbau den Nicolschen Prismas
2.5
2.5.1
Speziallfälle
Der Brewsterwinkel
Wie man aus Gl.21 sehen kann, wird das reflektierende Elektrische Feld null für α + β = 90◦ , somit ist das
Licht vollständig senkrecht zur Einfallsebende polarisiert. Aus der Winkelbedingung und dem snelliuschen
Brechungsgesetz wird folgendes bestimmt:
sin αB
n2
n2
=
⇔ tan αB =
cos αB
n1
n1
(25)
Mit dieser Formel kann man nun sehr schön den Brewsterwinkel für jedes beliebige Problem bekommen.
2.5.2
Totalereflexion
Nach dem Snelliuschen Gesetz gilt sin α = nn12 sin β, da sin β maximal einen Wert von 1 haben kann, muss
sin α ≤ nn21 gelten. Falls dies nicht der Fall ist, kann der Lichtstrahl nicht in das Medium eintreten und er wird
vollständig reflektiert.
2.6
Polarisatoren
Um polarisiertes Licht herzustellen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, es können zum Beispiel Polarisationsfolien aus Dichroismuskristallen vom Licht durchleuchtet werden. Wir benutzen jedoch ein Nicol-Prismaals
Polarisator, welches aus einem Kalkspatkristall besteht. Kalkspat ist wie die meisten Kristalle anisotrop. Dass
heißt, die Amplitude unseres Feldes läuft in verschiedenen Richtungen durch den Kristall mit verschiedenen
Geschwindigkeiten. Wir haben hier ein Kristall, der eine rhomboederne Kristallstrucktur hat und somit eine
kristallographische Hauptachse hat (Achse mit sehr hoher Symmetrie). Diese Achse nennt man auch optische
6
Achse. In Richtung dieser Achse läuft das Licht immer mit der Geschwindigkeit c0 , unabhängig von der Polarisation. Senkrecht zur optischen Achse läuft polarisiertes Licht auch mit c0 , wenn sein magnetischer Vektor
in Richtung der optischen Achse läuft, dieses Licht nennt man ordentliches Licht. Licht mit anderen Polarisationen, außerordentliches Licht, läuft im Kalkspat schneller (ca,0 = 1, 116 · c0 ). Aus diesem Grund haben die
Arten des Lichtes auch verschiedene Brechnungsindizes. Das ordentliche Licht hat einen Wert von n0 = 1, 66
und für das außerordentliche Licht gilt nao = 1, 49. Somit ist Kalkspat ein einachsig-negativer Kristall, da die
Geschwindigkeit des außerordentlichen Lichtes schneller ist als des ordendlichen Lichtes. Beim umgekehrten
Fall hätten wir einen einachsigen-positiven Kristall (bei Kristallen mit mehreren optischen Hauptachsen ändert
sich die Bezeichung natürlich auch). Wird nun unser ungeordnetes Licht senkrecht auf einen Kalkspatkristall
gelenkt, wird das außerordentliche Licht abgelenkt, während das ordentliche Licht grade hindurch geht, so wird
das Licht in zwei verschiedene Strahlen getrennt, auf diese Art und Weise kommt auch die Erscheinung zustande, dass alles doppelt gesehen wird, was man durch einen solchen Kristall hindurch anschaut. Mit dem
Nicol-Prisma wird jedoch einer der beiden Lichtstrahlen aus dem System entfernt. In unserem Fall handelt es
sich um den ordentlichen Lichtstrahl. Dabei wird das ungeordnete Licht auf einen schief angeordneten Kalkspat
gelenkt, sodass das Licht gebrochen wird. Dieser Kristall ist jedoch in der Diagonalen einmal zerschnitten
worden und mit einem Kitt wieder zusammengeklebt worden, der Kitt sollte ein Brechungsindex besitzen, der
etwas kleiner ist als der vom ordentlichen Licht im Kalkspat. Auf diese Schnittfläche fällt jetzt das ordentliche,
gebrochene Licht mit einem sehr großen Winkel ein, sodass eine Totalreflexion zustande kommt, und unser
ordentliches Licht an der Außenstelle unseres Kristalls durch Schwarzfärbung des Randes absorbiert werden
kann. Das außerordentliche Licht wird nicht so stark durch den Kalkspat gebrochen, sodass der Einfallswinkel
auf dem Kidd klein genug ist, um das Licht durch den Kidd mit einer Doppelbrechung gehen zu lassen, sodass
fast keine Reflexion auftritt. Wichtig ist dabei, dass der Brechnungsindex des Kiddes in etwa so groß ist wie
der des außerordentlichen Strahles im Kalkspat. In unserem Versuch haben wir Kanadabalsam verwendet, der
einen Brechnungsindex von n = 1, 54 hat. So haben wir am Ende unseres Nicol-Prisma nur unser außerordentliches Licht über, welches nun in Richtung der optischen Achse linear Polarisiert ist. Es gibt noch weitere
Polarisatoren, wie zum Beispiel das Glan-Thompson-Prisma, bei welchem die Lichtstrahlen senkrecht auf die
Kristalloberfläche auftretten, demnach aber die optische Achse anders verläuft.
3
Durchführung
3.1
Justierung des Strahlengangs
Das Glasprisma wird aus dem Strahlengang entfernt und der Glanzwinkel wird auf 0◦ gestellt. Dann werden
die Linsen so justiert, dass das Lichtbündel als eine scharfe Linie im Okular abbildet.
3.2
Justierung der Polarisationsrichtung
ein kleines Nicol-Prisma wird nun auf den Drehteller gestellt, sodass die Polarisationsebene vertikal zur Einfallsebene liegt. Nun wird der Polarisator so verdreht, dass im Okular Dunkelheit herrscht (ohne Analysator).
Nun wird der Polarisator um weitere 45◦ verdreht.
3.3
Justierung des Glasprisma
Dieses muss sehr genau geschehen und man kann verschiedene Methoden anwenden. (siehe Praktikumsbuch)
3.4
Messungen
1. Reflexionskoeffizient: Der Analysator wird in die Apperatur eingebaut und die Drehung der der Polarisation gemessen. Dazu messen wir den Drehwinkel γ durch Zudrehen des Analysators bis zur Dunkelheit
für Winkel α beginnent bei 90◦ in 2,5◦ Schritten.
7
2. Brewsterwinkel des Prismas: Die Polarisation ist parallel zur Einfallsrichtung zu justieren. Nun wird der
Einfallswinkel gesucht an dem der reflektierende Strahl nicht mehr im Okular zu sehen ist, da das gesamte
Licht gebrochen wird.
4
4.1
Auswertung
Drehung der Schwingungsebene (1.)
Um von den an dem Analysator gemessenen Werten auf den Winkel der Schwingungsebene zu schließen, bestimmten wir zunächst den Wert, der bei einem Einfallswinkel α von 90◦ , also Passieren des Lichtsstrahls ohne
Reflexion am Prisma (also φ = 0), einzustellen ist, damit kein Licht mehr auftritt. In diesem Fall steht der
Analysator orthogonal zur Einfallsebene. Diese Position ist nun der Referenzpunkt für keine Drehungsänderung,
also Drehwinkel γ = 0. Die Werte der nun folgenden Messungen gehen von diesem Referenzpunkt aus, von dem
wirklich abgelesenen Wert wird deshalb der Referenzwert subtrahiert.
Für die Berechnung des Einfallswinkels α gilt entsprechend des Aufbaus: α = 90◦ − 21 φ.
Figure 6: Drehwinkel in Abhängigkeit vom Einfallswinkel
Die lineare Regression liefert die folgende Formel zur Berechnung des Drehwinkels γ in Abhängigkeit des Einfallswinkels α:
γ(α) = −1,472(15)α + 134,1(1,1)
8
4.2
Brechungsindex des Prismas anhand des Drehwinkels (2.)
Auf Grund der anfänglichen Eichung des Polarisators, die bewirkt, dass der Winkel zwischen Einfalls- und
Schwingungsebene des elektrischen Felds 45◦ beträgt, gilt bei dem Drehwinkel von γ = 45◦ , dass keine Parallelkomponente (zur Einfallsebene) des Feldes nach der Refexion am Prisma mehr vorhanden ist. Der Einfallswinkel, bei dem dies der Fall ist, ist, wie Theorie beschrieben, der Brewsterwinkel, bei dem die folgende
Relation gilt:
n2
,
(26)
tan αB =
n1
wobei n1 und n2 die Brechungsindizes der beiden Medien ist, an dessen Trennschicht die Brechung stattfindet.
In unserem Fall ist n1 = 1, da es sich hier um Luft handelt. Den Wert für αB bestimmen wir aus der Gleichung,
die sich durch die lineare Regression ergab (siehe oben):
αB = −
γ − 134,1
1,472
(27)
Dies ergibt: αB = 60,53(97)◦ . Daraus folgt dann für n2 :
n2 = 1,7696(2, 948)
Der Fehler errechnet sich dabei mit Hilfe der Fehlerfortpflanzung:
σn = (1 + tan2 (α)) · σα .
4.3
(28)
Theoretische Berechnung der Drehung der Schwingungsebene (3.)
Figure 7: Drehwinkel in Abhängigkeit vom Einfallswinkel, sowohl für Messung als auch für Berechnung.
9
Wie in der Theorie hergeleitet gilt für den Drehwinkel γ:
π
cos(α − arcsin(sin(α/n)))
tan γ +
=−
.
4
cos(α + arcsin(sin(α/n)))
(29)
Diese Gleichung wird nach γ umgestellt und leifert somit den Drehwinkel in Abhängigkeit von Einfallswinkel α
und dem Brechungsindex.
Tabelle 1 zeigt die Werte für den Drehwinkel sowohl aus der Messung als auch aus der theoretischen Berechnung,
Abb. ??? stellt die Werte grafisch dar.
Es fällt auf, dass die Werte der theoretischen Berechnung unterhalbt der gemessen liegen. Dies deutet in erster
Linie auf einen Fehler der Angabe des Brechungsindex hin. Außerdem führen Fehler bei der Einstellung des
Winkels α zu einem fehlerhaften Messwert (siehe auch Diskussion).
Einfallswinkel
90◦
87,5◦
85◦
82,5◦
80◦
77,5◦
75◦
72,5◦
70◦
67,5◦
65◦
62,5◦
60◦
57,5◦
55◦
52,5◦
50◦
47,5◦
45◦
Drehwinkel
Messung
0◦
5,8◦
9,8◦
13,1◦
16,6◦
19,4◦
22,6◦
26,4◦
31,2◦
36◦
39◦
43,7◦
46,3◦
49,7◦
53,7◦
57,5◦
60,1◦
63,6◦
66,3◦
Berechnung (n=1,51, lt. Skript)
0◦
1,57◦
3,34◦
5,34◦
7,57◦
10,06◦
12,82◦
15,84◦
19,14◦
22,71◦
26,53◦
30,57◦
34,78◦
39,11◦
43,50◦
47,86◦
52,14◦
56,27◦
60,20◦
Table 1: Vergleich der Drehwinkel aus Messung und theoretischer Berechnung
4.4
Brechnungsindex des Prismas anhand des Brewsterwinkels (4.)
Wie in Aufgabenteil 2 verwenden wir hier die Formel:
tan αB =
n2
,
n1
(30)
wobei wir jedoch diesmal unseren gemessenen Wert für den Brewsterwinkel αB einsetzen. Der Mittelwert unserer
5 Werte berechnet sich zu 58,95(30)◦ .
Somit folgt für den Brechnungsindex n2 des Prismas:
n2 = 1,6609(1, 12)
Der Fehler ergibt sich auch hier aus der Fehlerfortpflanzung wie bereits oben beschrieben.
10
5
Diskussion
Die Durchführung des Versuchs gestaltete sich recht leicht, wobei nicht immer komplette Auslöschung zu
beobachten war, sodass wir teilweise das Minimum an Helligkeit abschätzen mussten. Die Justierung des
Prismas im dritten Versuchsteil erwies sich als etwas langwierig, da im Skript kein Hinweis zu finden ist, wie
diese am besten durchgeführt wird. Es ist nur erwähnt, woran sich eine richtige Justierung erkennen lässt.
Schließlich gaben wird uns mit einer halbwegs akzeptablen Einstellung zufrieden.
Die von uns bestimmten Werte des Brechungsindex des Prismas liegen beide oberhalb der im Skript befindlichen
Angabe, untereinander jedoch nahe beieinander. Somit liegt die Vermutung Nahe, dass das von uns verwendete
Prisma nicht den Daten des Skripts entspricht.
Unsere Werte für den Drehwinkel liegen allesamt oberhalb der berechneten Werte, was diese Vermutung ebenfalls
unterstützt, da in die Berechnung der im Skript angegebene Wert für den Brechungsindex verwendet wurde.
11