Vorlesung - Max-Planck-Institut für Astronomie

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
15.10
22.10
29.10
05.11
12.11
19.11
26.11
03.12
10.12
Einführung: Überblick & Geschichte (H.B.)
Grundlagen: Koordinaten, Sternpositionen, Erde/Mond (C.F.)
Grundlagen: Teleskope und Instrumentierung (H.B.)
Grundlagen: Zeitmessung, Strahlung (C.F.)
Planetensystem(e) & Keplergesetze (H.B.)
Sonne & Sterne: Typen, Klassifikation, HR-Diagramm (C.F.)
Sternaufbau und Sternentwicklung (C.F.)
Sternentstehung, Akkretionsscheiben & Jets (H.B.)
Kompakte Objekte: Schw. Löcher, Neutronensterne,
Weiße Zwerge (C.F., Teil 1)
17.12 Interstellare Materie: Chemie & Materiekreislauf (H.B.)
24.12 - Weihnachten
31.12 - Sylvester
07.01 Mehrfachsysteme & Sternhaufen, Dynamik (C.F.)
14.01 Exoplaneten & Astrobiologie (H.B.)
21.01 Die Milchstraße (H.B.)
28.01 Zusammenfassung (C.F. & H.B.)
04.02 Prüfung ???
Vorlesung am 10.12.2009
9. Kompakte Objekte
9.1. Überblick
9.2. Weiße Zwerge
9.3. Neutronensterne, Pulsare
9.4. Zustandsgleichung, Entartung
9.5. Kühlung weißer Zwerge
9.6. Allg. Relativitätstheorie, Neutronensternmodelle
9.7. Schwarze Löcher
Achtung: Stoff ab Folie 53 wird nachgeholt, bitte
entsprechende Übungsaufgaben weglassen
Christian Fendt, Max Planck Institute for Astronomy
7.4 Sternentwicklung ­ Übersicht Quelle: Wiki, Sternentwicklung
9.0 Kompakte Objekte ­ Entstehung Endstadium masse-armer Sterne:
Sternwinde, HeliumSchalen-Brennen
und thermische Energie blasen
äußere Schalen weg
-> Massenverlust
-> Planetarischen Nebel:
heißer Kern ionisiert Material,
regt es zum Leuchten an
-> Kern entwickelt sich zum
Weißen Zwerg
( Weißer Zwerg in Binärsystem kann
Masse aufsammeln -> Supernova Typ I )
Endstadium Sterne > 8 MO :
.
-> Zwiebelschalenbrennen bis zum Si
-> Eisenkern von 1.3-2.5 MO
-> Kollaps Zentralbereich (Fallzeit: 0.1s)
-> Neutrinos
-> Supernova Typ II
Kapitel 9.1.: Kompakte Objekte ­ Überblick
Literatur:
Shapiro & Teukolsky: Black Holes, White Dwarfs & Neutron Stars,
Wiley Interscience, 1983
Kawaler, Novikov & Srinivasan: Stellar Remnants, Springer, 1995
Michel: Theory of neutron star magnetospheres, U. Chicago press, 1991
Hansen & Liebert: Cool White Dwarfs, Ann. Rev. Astr. Astroph. 2003, 41
Camenzind: Compact Objects, Vorlesungsskript, Uni Heidelberg 2001
Compact Objects in Astrophysics, Springer 2007
9.1 Kompakte Objekte ­ Geschichte “Astrophysikalische” Nobelpreise an Themen in Verbindung mit
kompakten Objekten ....
Albert Einstein (1921):
“for his services to theoretical physics ....”
Subrahmanyan Chandrasekhar (1983, with Fowler):
“for his theoretical studies ... structure ... evolution
of stars...”
Antony Hewish (1974, with Ryle):
“for his .... discovery of pulsars”
Russell Hulse & Joseph Taylor (1993): “for the
discovery of a new type of pulsar ... study of
gravitation”
Riccardo Giacconi (2002, with Davis & Koshiba):
“for pioneering contributions ... discovery of cosmic
X-ray sources”
9.1 Kompakte Objekte ­ Überblick Stellare kompakte Objekte
Endstadium der stellaren Entwicklung:
-> Verbrauch des Kernbrennstoffs
-> Verlust des thermischen Drucks -> Kollaps
Weisser Zwerg: Druck-GG mit entarteten Elektronen
Neutronenstern: Druck-GG mit entarteten Neutronen
(-> Atomkern mit 1057 Neutronen)
Quark-Stern: Neutronen dissoziieren zu Quarks (Stern-Stabilität?)
Schwarzes Loch: kontinuierlicher Kollaps, Entweichgeschw. > c, Horizont
9.1 Kompakte Objekte ­ Überblick Stellare kompakte Objekte:
“klein” und “dicht”
-> Kompaktheit
(compactness parameter)
= 2GM/Rc2
= Potential an der Oberfläche, Mass für relativistischer Effekte:
Masse (M/MO) Radius (R/RO) <Dichte>
Sonne:
Weisser Zwerg:
Neutronenstern:
Schwarzes Loch:
1
<1
~1-3
>3
1
~ 0.01
~10-5
2GM/c2
1 g/cm3
< 107 g/cm3
< 1015 g/cm3
~M/R3
GM/Rc2
10-6
~10-4
~0.1
~1
9.1 Kompakte Objekte ­ Überblick Relativistische Effekte
Ausgesandtes -> beobachtetes Signal:
-> hohe Geschwindigkeit (speziell-relativ.):
- Dopplereffekt, Zeit/Längen-Dilatation
- Frequenz/Energie-Verschiebung
- hohe Temperatur (relativistisches Gas)
-> starke Gravitation (allgemein-relativ.):
Scheibe um Schwarzes Loch
(Wehrse, Uni-Heidelberg)
- Horizont, Raumkrümmung
- “frame-dragging”, “Rotation des Raumes”
- Rotverschiebung (Energie/Frequenz-Verschiebung)
-> Animationen: Annäherung an kompakte Objekte:
-> Photonenwege, Rötung (antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/rjn_bht.html)
-> Visualisierung Akkretionsscheibe
(www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/ngg/BlackHoles/)
9.1 Kompakte Objekte ­ Überblick Superschwere schwarze Löcher:
Frühstadium der Galaxienentwicklung:
Aktive galaktische Kerne (AGN):
Strahlungsausbrüche, Akkretion, Jets
-> “Standardmodell”:
- Schwarzes Loch <1010 MO
mit Akkretionsscheibe
- Emission von Materieknoten
- Magnetfelder treiben Jetströmung
- “Unified model”: Blickrichtung
definiert Objektklasse:
BL Lac Objekte, Seyfert I/IIGalaxien, Radio-laute/leise Galaxien
Bsp: Cyg A ( 3C405) bei 170 Mpc
-> Radioauflösung 0.00015''=0.1pc
(~ Synchrotron ~ Magnetfelder)
-> Jet: < 0.7c, < 0.1Mpc
Kapitel 9.2.: Weiße Zwerge (WZ)
9.2 Weiße Zwerge ­ Sirius 1838: F.W. Bessel findet Sirius-Begleiter
1862: A. Clark (Linsenhersteller) bestimmt
Sirius B – Leuchtkraft:
-> 10000 x schwächer als Sirius A:
-> Sirius A, Sp A1V: T ~ 9910 K,
M = 2.3 MO , L = 23.5 LO
-> Sirius B, Sp DA2: T ~ 27000 K,
M = 1.0 MO, L = 0.03 LO
=> mit L = 4 π R2 σ T4
Radius von Sirius B: R = 0.008 RO
-> Erdgröße, Periode 50 a
Sirius A & B , A. Clark (Lick Observatory) ,
Separation 11'' , 8-te Magnitude
9.2 Weiße Zwerge ­ Geschichte
- 1925 Adams: Messung der Gravitationsrotverschiebung
- 1926: drei WZ bekannt
- 1926: Eddington: '' likely that ..failure of gas law due to finite size of molecules will occur at these high densities ... do not suppose that WD behave like perfect gas''
- 1926 (Aug.): Dirac formuliert Fermi-Dirac-Statistik
- 1926 (Dez.): Fowler wendet FD-Statistik auf
WZ an: Druck entarteter Elektronen
verhindert gravitativen Kollaps
- 1930: Chandrasekhar: speziell relat. Effekte
in der Zustandsgleichung entarteter
Elektronen:
=>> Maximalmasse weißer
Zwerge ~ 1.4 MO
9.2 Weiße Zwerge ­ Parameter -> Erdgröße & Sonnenmasse !!
-> Dichte: 1.5 x 106 g/ccm
(100000 x Gold; Blei: 11 g/cm3)
-> Oberflächenbeschleunigung:
a = GM/R2 = 3 x 106 m/s2 ( ~300000g)
-> Entweichgeschwindigkeit:
ve = ( 2GM/R )1/2 = 0.02 c
-> Gravitationsrotverschiebung:
GMm/R = α mc2, α = 2x 10-4
(~ 0.1 nm bei 500 nm;
entspricht 60km/s Dopplergeschwindigkeit)
-> innerer Aufbau, Natur der Sternmaterie ??
-> zur Zeit der Entdeckung völlig unverstanden ...
9.2 Weiße Zwerge ­ Quellen
Weiße Zwerge in astronomischen Quellen:
Einzelsterne / Binärsterne (z.B. Sirius) /
Kataklysmische Systeme (DQ/AM Herculis-Sterne) / Novae
Weiße Zwerge
als Einzelsterne:
Einzelsterne
9.2 Weiße Zwerge ­ Spektraltypen
Weiße Zwerge als Einzelsterne:
-> 6% aller Sterne in Sonnennachbarschaft sind WZ
-> Spektrum: heisse (junge?) / kühle (alte?) WZ
-> Spektraltypen:
DA: 75%, nur Balmerlinien, kein HeI, keine Metalle
-> 5600K - 80000K
DC: nur Kontinuum, keine Linien: < 12000K
DB: HeI Linien, kein H, keine Metalle: <25000K
(DB-Lücke: keine He-reiche WZ mit 25000<T<45000; Grund unklar)
DO: HeII Linien: 45000 - 100000K
DZ: nur Metallinien (CaII, Fe, O), kein H, kein He
DQ: Kohlenstoff-Linien
-> Untertypen, gemischte Typen (DAB, DBAZ)
-> Spektrum bestimmt durch chemische Zusammensetzung, Temperatur
-> chemische Entwicklung der WZ (-Atmosphäre)
9.2 Weiße Zwerge ­ Spektraltypen
Weiße Zwerge als
Einzelsterne:
Spektren: NGC 6397
(Möhler et al. 1999)
9.2 Weiße Zwerge ­ Kataklysmische
Kataklysmische Variable (CV, Cataclysmic Variables):
-> Binärsystem: weißer Zwerg (~massereich) und HR-Stern (~massearm)
-> Roche Volumen
(Roche lobe):
definiert gravitative
Bindung der
stellaren
Komponenten
-> Massenstrom durch
Lagrangepunkt L1
(''Roche overflow'')
-> Drehimpulserhaltung
-> Akkretionsscheibe
-> WZ Magnetfeld
bestimmt
Scheibengröße
9.2 Weiße Zwerge ­ Kataklysmische
Roche-Volumen:
1 2 2 2 GM 1 GM 2
U=−   x  y −
−
,
2
r1
r2
=
Roche-Volumen definiert Oberfläche
gleichen effektiven Potentials U
(d.h. Gravtitation + Zentrifugalkraft;
im mit-rotierenden System)

GM
a3
-> a: große Halbachse;
: Winkelgeschwindigkeit des Systems;
r1, r2: Abstand von M1,M2;
x,y: Abstand von Massenzentrum)
-> Lagrange (Librations-) Punkte:
Orte an denen Summe
der Kräfte = 0,
L1, L2, L3 quasi-stabil, L4, L5 stabil
www.wissenschaft-online.de/astrowissen
9.2 Weiße Zwerge ­ Kataklysmische
Kataklysmische Variable: Roche-Volumen:
..... Oberfläche gleichen effektiven Potentials
-> Zeitliche Entwicklung der Roche-Volumen bei stellarem Masseverlust:
9.2 Weiße Zwerge ­ Kataklysmische
Kataklysmische Variable:
magnetische weiße Zwerge (~100 bekannt):
-> Magnetfeld bis 500 MG detektiert durch:
-
zirkulare Polarisation der Linien: <1 MG
Polarisation des Kontinuums: <10 MG
Zeemann-Aufspaltung Balmer Linie: 10-100 MG
extreme Verformung des Spektrums (Kont. & Linien): 100-1000 MG
-> Magnetfeldstruktur: Dipolfeld, z.T. versetzt (“offset”)
-> Dipolare Akkretion entlang Magnetfeld -> '' hot spots'' in Polnähe
-> Beobachtung der Akkretionsströmung im x-v Diagramm
-> Systeme mit Akkretionsscheibe: DQ Herculis Sterne
-> Magnetische Kopplung bei sehr starken Feldern: AM Herculis Sterne
-> keine Scheibe
-> WZ-Magnetfeld in Begleiter “verankert”
-> gebundene Rotation/Bahnbewegung
9.2 Weiße Zwerge ­ Veränderliche
Novae: Binär-System aus HR-Stern und WZ:
-> nukleare Reaktion (Explosion, Ausbruch) des akkretierten Materials
auf der WZ-Oberfläche
Pulsierende weiße Zwerge:
-> Perioden ~Minuten,
10% Helligkeitsänderung
-> wichtige Informationen
zum inneren Aufbau
weißer Zwerge
-> Asterioseismologie !!!
p-mode Oszillationen ---->
(Böhmer et al., 1999)
Fourier-Spektrum
Kapitel 9.3.: Neutronensterne (NS)
9.3 Neutronensterne - 1920: Rutherford postuliert Neutron
- 1932: Landau: Struktur kompakter Sterne
-> Grenzmasse 1.5 MO, R~3 km
(einfache Zustandsgleichung)
- 1932: Chadwick: Nachweis des Neutrons
- 1934: Baade & Zwicky: Vorhersage von NS:
''... With all reserve we advance the view that
supernovae represent transitions from ordinary stars into neutron stars, with their final stages consist of extremely closely packed neutrons ... ''
- 1939: Chandrasekhar: Kollaps zum NS für M > 1.4 MO
''... If the degenerate cores attain sufficiently high densities ... the protons and electrons will combine to form neutrons. This would ... resulting in the
collaps of the star to a neutron core ... ''
- 1939: Oppenheimer & Volkoff: NS-Modelle -> Chandrasekhar-Grenzmasse
aus Landau Abschätzung für Neutronengas: 6 MO
-> Lösung Einstein'scher Feldgleichungen, TOV-Gleichung:
Mmax = 0.7 MO, R = 9.6 km, ρc= 5x1015 g/cm3 ,
heute: Mmax ~1.5-3.6 MO (gravitative Masse)
9.3 Neutronensterne ­ Beobachtung
==>> Pulsare !!!! ==>> Crab-Nebel
-> 1854: Lassell: Diffuse Strahlung des
Crab-Nebels, keine Sterne
-> 1916: Sliphar: Expansion ~1000 km/s
-> 1928: Hubble: Verbindung ? mit Supernova 1054 v.C. (bestätigt Oort 1942)
-> 1942: Baade: beschleunigte Expansion:
-> Energiequelle nach SN-Explosion
-> 1949: Bolton: Crab-Radioemission
-> 1952: Shklovski postuliert: optische & Radio-Strahlung ist Synchrotron-Strahlung
-> Magnetfeld, relativistische Elektronen, Polarisation
-> 1964: Woltjer & Ginzburg: B ~1012 G ( Stern )
-> 1967: Pacini / 1968 Gold: Energiequelle ist schnell rotierender magnetischer NS
-> 1967: Bell & Hewish: Entdeckung ''pulsierender Radioquelle'' (PULSAR):
periodisches (1.337 s) extraterrestrisches Signal, =19:19:36, +21:47:16
-> 1968: Staelin & Reifenstein: Crab-Pulsationsperiode 33ms -> Neutronenstern
9.3 Neutronensterne ­ Pulsare Entdeckung der Pulsare:
-> Comella et al. 1969: Crab-Radiopulse: 33 ms
-> Cocke et al. 1969: optische Pulse von Crab
Crab-Nebel beobachtet mit dem VLT
Crab-Radiopulse (Arecibo),
Comella et al.: Mittlere Pulsform:
von 18000, 21000, 53000 Pulsen
9.3 Neutronensterne ­ Pulsare
Pulsprofil (Stair 2003):
B0950+08, 253 ms-Pulsar,
-> 100 Einzelpulse +
-> Integriertes Profile
(5 min = 1200 Einzelpulse)
-> reproduzierbares
''Standardprofil'' für
jeden Pulsar bei
jeder Frequenz
Heute etwa 2000 Pulsare
bekannt
9.3 Neutronensterne ­ Pulsare
Radiopulse: Audio-Beispiele:
1) PSR B0329+54: “normaler” Pulsar, Periode 0.71 s,
~1.4 Rotationen/s
2) PSR B0833-45: “Vela Pulsar”, Vela-Supernova vor 10000 Jahren,
Periode 89 ms, 11 Rotationen/s
3) PSR B0531+21: ”Crab Pulsar”, jüngster
bekannter Pulsar, Supernova beobachtet
von Chinesen 1054 v.Chr (sichtbar am
Tag), 30 Rotationen/s
4) PSR J0437-4715: alter ms-Pulsar,
nachträglich beschleunigt,
174 Rotationen/s
------------------->
5) PSR B1937+21: 2.-schnellster Pulsar,
Periode 0.00155780644887275 s = 642
Rotationen/s , Oberflächenrotation 1/7 c.
6) 22 Pulsare im Sternenhaufen 47 Tucanae im
südlichen Himmel (Parkes Radioteleskop)
9.3 Neutronensterne ­ Pulsare HST Aufnahmen von RX J185635-3754
Isolierter Neutronenstern:
- nicht aktiv
- 10 km Radius
- 700000 K Temperatur
- 25.6 mag Helligkeit
- 390000 km/h Geschw.
(+ VLT-Spektren)
9.3 Pulsare ­ Dipolstrahlung
Abbremsung des Pulsars durch Dipolstrahlung
-> Alter / Magnetfeldstärke des Pulsars
Modell: Pulsar besitzt inkliniertes magnetisches Dipolfeld (''oblique rotator'')
-> Dipolfeld:
1
2
∣∣= B p R3, polare FeldstärkeB p , magnetisches Moment 
-> zeitliche Variation:
1
cos  te 2 sin  sin  t 

=
B p R3  e rot cos e 1 sin 

2
2
B2p R6 4 sin 2 
2 d2
dE

=− 3
=−
-> Energieverlust:
2
dt
3 c dt
6 c3
-> Rotationsenergie des Sterns: E= 1 I 2 ,  dE =I  d 
2
dt
dt
-> Energieverlust aus Rotationsenergie: dE/dt <0 -> dΩ/dt < 0, Abbremsung
∣ ∣
-> charakteristisches Alter:
-> Integration (dΩ/dt):
3
6Ic

T ≡−
= 2 6 2
d / dt 0 B p R sin  20



2
2  t=0 t
t = t=0  1
2
T
0
−1 /2

9.3 Pulsare ­ Dipolstrahlung

2

0
T
T
-> Pulsar-Alter: = 0,  t = 1− 2
,  t≃
für 0 ≪t =0 
2
2
  t =0 
-> Beispiel: Crab (1972): T ~2486 yr -> t ~1243yr, wahres Alter 1972-1054=918yr
-> Energien:
 M =1.4M o , R=12km , I =1.4×10 45 g cm 2 
E=2.5×10 49 erg , dE / dt=6.4×10 38 erg s−1
-> paßt zu beobachteten Werten des Gesamt-Enenergieverlustes
(Energie des Radiopulses viel geringer ~ 10^31 erg/s)
-> Magnetfeldstärke Dipolfeld:
--> Crab:
B p ~ P dP / dt
B p =5.2×10 12 G
2
-> Zerfall des Magnetfeldes: t d ~  L
,  L : char. Länge , : Leifähigkeit 
2
c
6
Crab: t d ~10 yr ≫t
-> Abbremsung/Energieverlust durch Dipolstrahlung und Gravitationswellen (Crab)
dE G

4

TG
0
d
32 G 2 2 6
=I 
=−
I   ,  t=
1− 2
≃ 621 yr
5
dt
dt
5 c
4
  t=0 
: Radiendifferenz 2 a−b/ ab; Quadrupolstrahlung 
9.3 Pulsare ­ Periode­Alter­Beziehung
P-dP/dt -Diagramm:
- Millisekundenpulsare
- ''Normale'' Pulsare
- Binärpulsare
-> Altersunterschiede:
t=
1
P
2 dP / dt
-> Magnetfeldstärken:

Bp~ P
dP
dt
-> Orbitale Exzentrität:
klein (''Kreise''),
groß (''Ellipsen'')
-> Pulsare in SupernovaÜberresten (''Sterne'')
-> Entwicklungswege (?) im Diagramm
Lorimer (2001)
9.3 Pulsare ­ Emissionsmechanismus Emissionsmechanismus: hochenergetische Teilchen
in starkem Magnetfeld: Details noch unverstanden:
Anforderungen an Emissionsmodell:
1.) Emission in gebündeltem Strahl fester Orientierung
zum Neutronenstern Strahlöffnung < 10° konstant
über weites Frequenzband & viele Perioden
2.) Emissionsmechanismus für weites Frequenzband (optisch, Radio)
3.) Leuchtkraft im Radio, Optischen, Röntgen muß
reproduziert werden
4.) Starke lineare Radiopolarisation, unabhängig
von Frequenz, stabil
Zwei konkurrierende Hauptmodelle:
a) ''polar cap''-Modell: Strahlungskegel entlang
dipolarer Magnetosphäre
b) ''light cylinder''-Modell: Strahlungskegel
tangential zum Licht-Zylinder R ≡c / 
L
und senkrecht zur Rotationsachse
9.3 Neutronensterne ­ Binär­Pulsare Binärpulsare: Doppelsternsystem mit (mind.) einem Pulsar
-> Allg. relativistische Effekte: Periheldrehung, Gravitationswellen,
Gravitationsrotverschiebung
-> Spez. relativistische Effekte: Dopplereffekt 2.Ordn.
-> Test der Allgemeinen Relativitätstheorie bei engen Systemen:
Quadrupolformel für Gravitationswellen bis auf 15% Messfehler erfüllt
Beispiel PSR 1913+16 (Hulse & Taylor 1975):
-> Periodizitäten in Pulsarfrequenz durch Dopplereffekt
-> Pulsar + unsichtbare Komponente, Bahnbewegung, P ~7.75 h -> v~300km/s
-> Bestimmung der Systemparameter PSR 1913+16 (1982):
PP [s] = 0.0590299952709(20), dPP/dt [10-18] = 8.628(20), d2PP/dt2[10-30/s] = - 58(1200)
P [s] = 27906.98161(3), dP/dt [10-12] = - 2.30(22)
ω [deg] = 178.8656(15), dω/dt [deg/yr] = 4.2261(7), M1+M2 [MO] = 2.8278(7) (Problem G)
a sin(i) / c [s] = 2.34186(24), e = 0.617139(5), astron ~ 1.1 RO, apastron ~ 4.8 RO,
-> Orbit schrumpft um 3.1 mm / Orbit -> verbleibende “Lebenszeit”: 300 Mio Jhr
“Andere” Binärsysteme:
5 Doppel-Neutronensterne (3 in der Galaxis)
~ 50 mit anderen Begleitern (braune Zw.,WZ), PSR B1257+12 mit drei Planeten!
9.3 Neutronensterne ­ Binär­Pulsare Binärpulsare:
- Periheldrehung
- Gravitationswellen (Orbit)
250 Mio Jahre
heute
9.3 Neutronensterne ­ Binär­Pulsare Binärpulsare:
- Massenverteilung NS: M ~ Mcritical
- Massenaustausch im Vorgängersystem
9.3 Neutronensterne ­ Röntgenpulsare = Binärsysteme mit periodischer Röntgenemission
-> Entdeckt 1962 (Giacconi et al):
Scorpius X-1
(weitere ~100 bekannt,
insb. Her X-1)
-> Röntgenpulsare mit NS:
- “high mass”: HMXB:
NS + massive star (O,B)
- “low mass”: LMXB:
NS + Zwergstern
-> Modelle:
HMXB: X-ray aus Akkretionssäule
im Dipolfeld eines
Neutronensterns
LMXB: X-ray aus
Akkretionsscheibe
-> vergl. z.B. mit Cyg X-1:
-> Kandidat für schwarzes
Loch (Röntgenemission aus
Akkretionsscheibe)
9.3 Neutronensterne Eigenschaften/Parameter:
-> Masse <3 MO, R~ 10 km
-> Oberflächengravitation ~1011g
-> Entweichgeschwindigkeit ~0.5 c
-> Temperatur ~106 K
-> Magnetfeld <1012 G
-> Rotation: Periode bis > 1 ms
Aktivität:
- singuläre Sterne:
-> nicht aktiv
- Radio- / optische Pulse:
Synchrotron
- Dipolstrahlung, Abbremsung:
-> dP/dt ~ 10-15 s/s
- Binärsysteme:
- Akkretion(Scheibe), Röntgenpulse,
LMXBs, HMXBs
- Gravitationswellen (enge Systeme)
Kapitel 9.4: Zustandsgleichung ­ entartete Materie
9.4 Zustandgleichung
Zustandsgleichung
Definition: verknüpft thermodynamische Zustandsgrößen :
Druck P, Temperatur T, Teilchendichte n,
Entropie S, innere Energie u, chemisches Potential µ ...
-> Verschiedene Komponenten:
Elektronen, Neutronen, Ionen (Protonen, Metalle):
-> Konzentrationen Yi = ni / n
-> Drücke: Pe , ...
-> Dichten: ne , ...
-> Chemisches Potential:
i≡
[ ]
∂u
∂ ni
S ,V
= Energieänderung bei
chem. Reaktionen (Teilchenaustausch) wobei:  i i dY i =0
-> Mittleres molekulares Gewicht:
-> pro Elektron: e ≃2 /1X H 
~ 2 für 12C und 16O
mu
1
≡ Y  i Y i 
  e
mB
(Chandrasekhar ~2.5)
(Achtung Definitionen)
9.4 Zustandgleichung ­ Phasenraum
Kinetische Gastheorie:
-> Dichte im Phasenraum
beschreibt System aus Teilchen:
dD
−3
=g
h
f x , p , t
3
3
d x d p
-> Verteilungsfunktion f
3
-> Volumen der Phasenraumzelle h
-> statistisches Gewicht g = 2S+1 (Masseteilchen), g = 2 (Photonen) ....
-> Teilchendichte n:
n 
r , t =∫
-> Energiedichte u:
u=∫ E
Ruhemasse m:
-> Druck: P=
dD
3
d
p
3
3
d xd p
dD
3
d
p
3
3
d xd p
E 2 = p2 c 2 m2 c 4
1
dD
3
p
v
d
p
∫
3
3
3
d xd p
2
Geschwindigkeit v: v= p c / E
9.4 Zustandgleichung ­ Entartung
Ideales Gas im Gleichgewicht:
f  E=
1
exp E−/ kT ±1
Fermionen: + (Fermi-Dirac-Statistik)
Bosonen: -- (Bose-Einstein-Statistik)
-> kleine Dichten / hohe Temperaturen:
E −

-> Maxwell-Verteilung, f(E) << 1: f  E≃exp 
kT
Entartung: Materie in extremem Zustand (z.B. extreme Dichte)
-> QM Effekte wichtig -> Pauli-Prinzip
-> Verhalten nicht mehr das eines “normalen” idealen Gases
-> für vollständig entartete Fermionen T ~ 0:
-> Fermi-Energie: =E F
f  E =1, E ≤E F 
f  E=0, E E F 
-> Fermi-Impuls pF:
E 2F = p2F c 2m2e c 4
/kT ∞
9.4 Zustandgleichung ­ Fermionen
Fermionen - Bosonen:
Fermionen:
f  E=
1
exp E−/ kT ±1
-> Teilchen mit halbzahligem Spin (½ h/2, 3/2 h/2, ...)
-> Leptonen (z.B. Elektron), Neutrinos, Quarks,
Baryonen (Protonen, Neutronen)
-> Pauli-Prinzip: Zwei Fermionen können nicht gleichzeitig am
gleichen Ort einen identischen Quantenzustand annehmen
-> z.B. können nicht alle Elektronen in den gleichen
Grundzustand fallen
-> paarweises Auffüllen der Besetzungsniveaus
-> Besetzungs-Statistik folgt Fermi-Dirac-Statistik
Bosonen:
-> Teilchen mit ganzzahligem Spin, folgen der Bose-Einstein-Statistik
-> Eichbosonen (z.B. Photon, W/Z, Gluon), Atomkerne mit gerader
Nukleonenzahl (z.B. Deuterium, bestehend aus zwei Fermionen)
9.4 Zustandgleichung ­ Entartung
Ideales Gas im Gleichgewicht:
-> “relativity parameter”:
x=
pF
me c
-> Elektronendruck:
4
8  me c
1 2 p
p2 c2
2 3
P e=
4  p d p= 3 ∫0
2 2
2 4 1/ 2
3h
 p c m e c 
3 h3
F
5
x 4 dx
∫0 1x 2 1 /2
x
=1.42180×10 25   x  dyne cm −2
  x =
1
2
8

1x 2 
2 3
x −x ln  x 1x 2 
3
-> Dichte (Ruhemasse):
 0=e m u n e =0.974×106 e x 3 g cm−3
x=1.009×10
−2
1 /3
 0 / e 
-> Ideale Zustandsgleichung für entartete Elektronen: P(ρ) über x

9.4 Zustandgleichung ­ Entartung
Ideale Zustandsgleichung entarteter Elektronen:
Grenzfälle: x >> 1, x << 1,
x=
pF
me c
-> Entwicklung von Φ (x)
-> Darstellung von P(ρ) als Polytrope

P=K

0
(1) Nichtrelativistische Elektronen:
ρ0 << 106 g/cm3,
-> Γ = 5/3,
x << 1,
Φ (x) =x5/15π2
/3
K=1.0036×10 13 −5
cgs
e
(2) Extrem relativistische Elektronen:
ρ0 >> 106 g/cm3,
--> Γ = 4/3,
x >> 1,
Φ (x) =x4/12π2
/3
K=1.2435×10 15 −4
cgs
e
9.4 Zustandgleichung ­ Entartung
Ideale Zustandsgleichung anderer entarteter Teilchen:
-> Skalierung mit Masse mi
-> statistisches Gewicht gi
z.B. für Neutronen (Neutronenstern...) -> Grenzfälle: x >> 1, x << 1
(1) Nichtrelativistische Neutronen:
ρ0 << 6x 1015 g/cm3, x << 1
-> Γ = 5/3,
9
K=5.3802×10 cgs
(2) Extrem relativistische Neutronen:
ρ0 >> 6x 1015 g/cm3, x >> 1
15
-> Γ = 4/3, K=1.2293×10 cgs
9.4 Chandrasekhar­Grenzmasse
n
= c 
r =a 
=11/ n
Masse-Radius-Beziehung
für entartetes Elektronengas:
-> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3
a=
-> löse hydrostatisches Gleichgewicht:


2
1 d r dP
=− 4  G  r 
2
r dr  dr
-> durch Substitution:
M =4  R
Γ = 5/3, kleine Dichte
R=1.12 ×10

4

−1/ 6
6
10 g cm
R
M =0.70
10 4 km
−3
−3
2
km
MO

 
R=3.35×10
−5
 
e
 n1 K
4 G
−5/ 6
  
e
2

n
 n −1


 3−n 
 1−n 
1
2
 1∣'  1∣
Γ = 4/3, hohe Dichte
2
n=3, 1=6.89 ... , 1∣' 1 ∣=2.01 ...
n=3/ 2 , 1=3.65 .. , 12∣ '  1 ∣=2.71 ..
c

 n1 K 
1 /2
4G
 =0 for    1
 3−n 
 1−n 

 1/ n −1
c
M =1.447
e
2
−1/ 3
c
4
6
10 g cm
−2
Mo
−3
−2 /3
  
e
2
km
9.4 Chandrasekhar­Grenzmasse
Masse-Radius-Beziehung
für entartetes Elektronengas

M
R
=0.7
4
MO
10 km
−3
−5
 
e
2
Hamada & Salpeter 1961
−2
 
e
M
=1.447
MO
2
9.4 Chandrasekhar­Grenzmasse
Masse-Radius-Beziehung
für entartetes Elektronengas
Hamada & Salpeter 1961

M
R
=0.7
4
MO
10 km
−3
−5
 
e
2
−2
 
e
M
=1.447
MO
2
9.4 Zustandgleichung ­ Masse­Radius der WZ
Vergleich mit der Beobachtung:
Masse & Radius für weiße Zwerge:
-> WZ optisch sichtbar (~ Kühlzeiten)
-> Positionierung im HR-Diagramm:
L=4  R2  T 4eff
-> WZ mit fester Masse ~1 MO
(-> d.h. Radius ~109 cm)
-> Linie im HRD: L ~Teff4
-> alle WZ im engen Bereich
-> WZ-Massen: schwierig bestimmbar
(Begleiter erforderlich)
-> WZ-Radien: Modellatmosphäre:
(Entfernung D aus Parallaxe)
F  / F  0= R2 / D 2
-> Test der Masse-Radius-Beziehung:
Gravitationsrotverschiebung:
M / Mo
  GM
−1
≃
=0.6362
km s
2

R/ Ro
Rc
-> WD Massen & Radien, optisch (~1977):
Masse[ M o ]
Radius [ Ro ] Redshift [ km / s ]
Sirus B 1.053±.028 0.0074±.0006
89±16
40 Eri B 0.48±.02
0.0124±.0005 23.9±1.3
Stein 2051 0.50±.05 0.0115±.0012 ? ?
-> Verbesserung z.B. durch HIPPARCOS
(-> Parallaxenbestimmung)
9.4 Zustandgleichung ­ Masse­Radius der WZ
Vergleich mit der Beobachtung:
Masse & Radius für weiße Zwerge:
-> HIPPARCOS (Provencal et al.2003):
- Feldsterne (Redshift)
- visuelle Doppelsterne
9.4 Zustandgleichung ­ Masse­Radius der WZ
Vergleich mit der Beobachtung: Masse & Radius für weiße Zwerge:
-> HIPPARCOS (Provencal et al.2003):
Feldsterne (Redshift)
9.4 Landau­Grenzmasse
Ableitung der Chandrasekhar-Grenzmasse nach Landau (1932)
-> auf WD und NS anwendbar:
-> Annahme: N Fermionen, Radius R -> Teilchendichte n = N/V ~N/R3
-> Pauli-Prinzip: Volumen pro Fermion ~1/n
-> Heisenberg'sche Unschärfe-Relation: Impuls pro Fermion ~ n1/3 (h/2π)
-> Fermi-Energie relativistischer Teilchen(EF> mc2):
1 /3
h
hcN
E F = pF c~
n1 /3 c~
2
2R
-> Gravitative Energie pro Fermion:
E G ~−
G M mB
(Masse: durch Baryonen,
Druck: durch Elektronen oder Baryonen)
R
, M=N mB
9.4 Landau­Grenzmasse
Ableitung der Chandrasekhar-Grenzmasse nach Landau (1932)
-> auf WD und NS anwendbar:
2
Stabiles Gleichgewicht
1 /3
G
N
m
1
hc N
B
bei minimaler totaler Energie: E=E F E G ~
−
~
2 R
R
R
1) für E > 0 (N klein) -> E fällt bei steigendem R
-> damit fällt EF ~ pF ~ 1/R -> Elektronen werden nicht-relativistisch
-> damit wird EG > EF für steigenden R
-> damit kann E < 0 mit E -> 0 für endlichen R
-> stabiles GG bei endlichem Radius 
2) für E < 0 (N groß): E fällt, keine Rückkopplung bei fallendem R
-> kein GG, Kollaps!
-> Maximale Anzahl / Masse im GG durch E = 0 :
N max ~

hc
2 G m 2B

3/ 2
57
~2×10 ,
M max ~N max mB ~1.5 M o
-> GG -Radiusbestimmt durch Einsetzen relativ. Entartung EF> mc2 :
R~5×10 8
m
m
cm~3×10 5
cm
me
mn
R≤
h
2  mc

hc
2  Gm 2B
Kapitel 9.5: Kühlung weißer Zwerge
9.5 Weiße Zwerge ­ Kühlung Kühlungszeiten -> emittierte Strahlung
Aufbau weißer Zwerge:
1. Sterninneres: Fermi-Gas aus Elektronen:
hohe Leitfähigkeit: gleichförmige Temperatur
2. Dünne Atmospäre:
nicht-entartet, ideales Gas:
-> im LTE (lokales thermisches GG)
-> diffusiver Strahlungstransport
-> Grenze zum entarteten Sterninneren: T deg , deg
−8
3 /2
−3
idealer Gasdruck = Entartungsdruck ->  deg=2.4×10 e T deg g cm
-> Innentemperatur Tdeg des weißen Zwergs aus L, M, Z, X bestimmbar:
M 3.5
Aus hydrostatischem GG T(r), P(r): L=2× 106
T deg erg s−1
Mo
L≃10
−2
−10
−3
6
7
3
L o  T deg ≃10 −10 K , deg ≤10 g cm
−3
≪ c
-> Höhe H der Atmosphäre: intergration T(r) -Profil, ersetze T durch
R−r deg
6
7
−2
T deg ≃10 −10 K 
≤10 , H ≡ R−r deg ≃50 km
R
9.5 Weiße Zwerge ­ Kühlung
Kühlungszeiten -> emittierte Strahlung
L=2× 10
6
M 3.5
−1
T deg erg s
Mo
Neue Modelle (Chabrier et al. 2000):
-> kühle WZ: T ~1500K
-> reine H-Atmosphäre
-> relativistisches Plasma
(Ionen/Elektronen)
-> Quanteneffekte
-> Randbedingungen zw. Kern
und Atmosphäre
-> neue Atmosphären-Modelle
(H2-H2-Dipol-Absorption)
-> Verzögerung d. Kühlung durch
Kristallisation, chemische
Fragmentierung: 1.0 -1.5 Gyr
-> Knick durch Konvektion bei
kleinen T (-> Verz. -> Beschl.)
Kerntemperatur~Leuchtkraft
(Chabrier et al. 2000:
0.6 MO WZ with H, He mass fractions
10-4, 10-2, pure H atmosphere.
9.5 Weiße Zwerge ­ Kühlung
Energiequellen für Strahlung weißer Zwerge:
Gravitative Kontraktion -> kein Beitrag, da Stern entartet
Neutrino-Emission -> nur in frühen Phasen (hohe Temperaturen)
Thermische Elektronen -> kein Beitrag, niedrige Elektronenzustände besetzt
Thermische Ionenenergie: spezifische Wärme pro Ion: cV
3
M
3
-> thermische Energie des Sterns: U = k B T
, c v = k B (monoatomisch)
2
A mu 2
->
48
7
U≃10 erg für T =T deg=10 K
-> Kühlrate ~dU/dt ~ Leuchtkraft L = CMT7/2 mit CMO ~ 2x106 erg/s:
3 kBT M
L
-> Kühlzeit =
~
5 A mu L
M
−5 / 7
 
~ 109 yr für L ~ 0.001 LO
-> Kühlung kalter weißer Zwerge: Kristallisation: bei Temperaturen T < Tg
-> spezifische Wärme durch Vibration der kristallinen Ionen
-> Kühlung kältester (also alter) weißer Zwerge:
-> bei tiefsten Temperaturen: quantenmechanische Effekte im Gitter
Kapitel 9.6: Allgemeine Relativitätstheorie
9.6 Allgemeine Relativitätstheorie
Starke Gravitation / Massenkonzentration
-> Schwarze Löcher
-> Innere Struktur der Neutronensterne
Überblick: ART
-> relativistische Theorie der Gravitation:
-> Newton'sche Gravitation:
Feldtheorie mit skalarem Feld Φ als Lösung von
-> Gravitationsbeschleunigung −∇  2
∇ = 4  G 0
-> Relativistisch: Energie und Masse äquivalent
-> alle Energieformen als Quellen des Gravitationfelds
-> Energiedichte der Gravitation (newtonsch) ~ ∇  2
-> Allgemein:
F  g~G T
F: nichtlinearer Differential-Operator, g: Gravitationsfeld, T: Energieterm
-> Einstein: geometrische Theorie der Gravitation:
-> spezielle RT: Raumzeit als Basis für Physik, Ereignisse mit Abstand
ds 2=−c 2 dt 2dx 2 dy 2 dz 2
-> Lorentz-invariant (unabhängig vom Koordinatensystem)
9.6 Allgemeine Relativitätstheorie
-> Einstein: geometrische Theorie der Gravitation:
-> metrischer Tensor für SRT:
2

ds =  dx dx
  = diag −1,1,1,1 ,

x 0 =ct , x 1= x , x 2 = y , x 3= z
(Minkowski Metrik, vollständige Beschreibung der Raumzeit in SRT)
-> andere Koordinaten (keine Inertialsysteme), z.B. Polarkoordinaten:


∂x ∂x



2



x =x  y  ,  ds =g    y  dy dy , mit g   = 
 
∂y ∂y
-> evtl. komplizierter Ausdruck, aber flache Metrik in SRT:
Transformation in pseudo-euklidische Form existiert
2
-> metrischer Tensor für ART -->


ds =g    x  dx dx

-> gekrümmte Raumzeit: nicht auf pseudo-euklidische Raumzeit reduzierbar
-> Raumzeitintervall invariant:



-> Transformation y  x

mit
∂y ∂y
g  = 
 g ' 
∂x ∂x
-> Raumzeitintervall entlang Weltlinie ~ Eigenzeit:
ds 2=−c 2 d 2
9.6 Allgemeine Relativitätstheorie
Physikalische Interpretation:
-> verwende lokales Inertialsystem:
2
[
2
]

ds =   O∣x∣  dx dx

(Taylor ...)
-> (lokales) orthonormales Koordinatensystem -> gleiche Geometrie wie in SRT
-> Äquivalenzprinzip: Alle nichtgravitativen physikalischen Gesetze sind im
lokalen Inertialsystem der ART die gleichen wie in SRT
-> Äquivalenz von schwerer und träger Masse (Einsteins Aufzug):
-> Gravitation im frei fallenden System (d.h. lokal) nicht beobachtbar
-> lokales Inertialsystem = System des frei fallenden Beobachters
-> Formulierung nichtgravitativer Gesetze im Gravitationsfeld:
1. physikalisches Gesetz in SRT, z.B. Energie/Impulserhaltung: ∇  T   = 0
2. Äquivalenz-Prinzip -> Impulserhaltung lokal in ART gültig
3. Differentialgeometrie -> allgemeine Form der Ableitung: ''kovariant''
( Einheitsvektoren nicht konstant, siehe sphärischen Koordinaten )
-> Einstein-Gleichungen: G  =
Einstein Tensor G

8
c
4
GT  
: Differentialoperator auf g   , Quellterm Energ./Imp.-Tensor
9.6 Allgemeine Relativitätstheorie
Metrik=Lösung der Einsteingleichung: Beispiele:
1) Minkowski (flache Metrik): kartesische Koordinaten:  
2
2
2
2
2
-> ds =−c dt dx dy dz
2
00 =−1, 11=1,  22=1, 33=1
2
2
2
2
2) Sphärische symmetrische Raumzeit: ds =−gtt dt 2 gtr dt drg rr dr r d 
2
-> eliminiere (dr dt) durch neue Zeitkoordinate t´ und integrierendem Faktor H(t,r)
-> Metrik:
2
2
2
2
ds =−exp 2  dt exp 2 dr r d 
2
a) Randbedingung: für r ∞  lim  r =lim r =0
d.h. asymptotisch flach (Minkowski)
b) Volumenänderung bei Zeit t durch exp  r 
c) Gravitationsrotverschiebung:
Rotverschiebung:
 r ≡exp r 
 R −E  r R 
GM o
zG =
=
−1≃ 2
E
 r E 
c rE
Zeitmessung in Einheiten der Eigenzeit ds/c bei
d) Newton'sche Entwicklung:
  r =1
r R ∞
GM o
 r 
....=1−
c2
c2 r
9.6 Allgemeine Relativitätstheorie
Metrik: Beispiele:
2) Sphärische symmetrische Raumzeit:
-> Metrik:
ds 2=−exp 2  dt 2 exp 2 dr 2 r 2 d 2
5) Gravitation ~ Masse innerhalb des Radius (Birkhoff's Theorem):
einziges statisches sphärisch-symmetrisches Vakuumgravitationsfeld:
Schwarzschildmetrik:
−1
2

ds =− 1−
2 GM
c2 r
 
2
dt  1−
2GM
c2 r

2
2
dr r d 
2
- Definition für M !! Aus Entwicklung für große Radien r >> M: M = Masse)
6) Interpretation der Koordinaten:
- Radius r: konstant auf Kugel um r=0, definiert Kugeloberfläche 4 π r2,
Kugelumfang:
2
∮= / 2 ds=∫0
r d =2 r
-> Achtung: Distanz zwischen Radiuspunkten:
r2
∫r  grr ≠r 2 −r 1
1
- Zeit t (statisch) normiert auf Minkowski für r>>M
3) Geometrische Einheiten: c = G = 1 -> z.B. Zeit: 1s = 3x1010 cm;
Faktor: G/c2
Kapitel 9.7.: Neutronensternmodelle
9.7 Neutronensternmodelle
Aufbau der Neutronensterne:
Masse über Chandrasekhar-Grenzmasse:
Kollaps zum Neutronenstern -> nukleare Reaktion: p+e- -> n +
Neutronen sind Fermionen -> Entartungsdruck ...
Hydrostatische Gleichungen mit ART:
TOV-(Tolman, Oppenheimer, Volkoff)- Gleichungen mit Zustandsgleichung:
1) einfaches Neutronen-Fermi-Gas (Oppenheimer & Volkoff):
-> maximale Masse:
15
M max =0.7 M O , R=9.6 km , c =5×10 g /cm
3
2) Chandrasekhar-Grenzmasse für Neutronensterne (newton'sche Polytrope):
->
M max =5.73 M O , c =∞ ,  =4 / 3
-> relativistische Effekte: 1) neg.Bindungsenergie der Gravitation -> TOV
(5.73 ~Ruhemasse der Neutronen)
2) maximale Masse bei endlicher Zentraldichte
und nicht extrem-relativistischen Neutronen
3) Realistische Zustandsgleichungen:
-> “harte” (“stiff”): höhere Grenzmassen, kleinere Zentraldichten,
größere Radien, dickere Kruste
9.7 Neutronensternmodelle
Übersicht Zustandsgleichungen :
1) ideales Neutronengas (Oppenheimer & Volkoff 1939):
0∞
nur Neutronen, nicht-wechselwirkend, Dichten
2) Elektronen, Kerne, Neutronen im GG (Baym et al.1971):
Massengleichung für Kerne, Dichten
4.3×10 115×1014 g/ cm3
3) Neutronen, Reid-Wechselwirkung (Reid 1971), Dichten
7×10 14 g /cm3
4) Bethe-Johnson (1974): modifizierte Reid-WW:
14
16
3
Teilchen: n , p ,  , ±, 0 ,±, 0
Dichten: 1.7×10
3.2×10
g
/cm
5) Pion-Kondensationen:
n  p−. , n − p=e m =139.6 MeV
-> Maximalmassen der Neutronensterne
für verschiedene Zustands-Gleichungen:
Zustands−Gl.
Reid Pion
Reid
Bethe−Johns
Tensor−WW
rel.mean field
M max / M O
1.5
1.6
1.9
2.0
2.7
9.7 Neutronensternmodelle
Neutronensternaufbau:
stark abhängig vom Modell
der Zustandsgleichung
“weich”
“hart”
9.7 Neutronensternmodelle
Neutronensternaufbau: stark abhängig vom Modell der Zustandsgleichung:
-> Innere Schichtung:
1) Oberflächenschicht, Zustangsgleichung durch
Temperatur und Magnetfelder beeinflußt
2) Äußere Kruste, feste Schicht, Coulomb-Gitter
schwerer Kerne, rel. Elektronengas
10
g
6
cm
3
g
11 g
10
4.3×10
3
3
cm
cm
6
3) Innere Kruste, Gitter neutronenreicher Kerne,
11 g
14 g
4.3×10
2×10
3
3
superfluides Neutronengas, Elektronengas
cm
4) Neutronenflüssigkeit, superfluide Neutronen,
z.T. superfluide Protonen, Elektronen
2×10 14
5) Kernregion, noch unverstanden, vielleicht nicht
existent in manchen Sternen, vielleicht PionenKondensationen, vielleicht festes Neutronengitter,
vielleicht Quarkmaterie
g
cm
3
cm
 kern
kern
Kapitel 9.8.: Schwarze Löcher (SL)
9.8 Schwarze Löcher ­ Überblick
Was passiert wenn Grenzmasse des Neutronensterns überschritten wird?
ART: -> Kollaps --> Gravitation verhindert Lichtemission: Horizont, Schw.Loch
-> Schwarzes Loch: Region der Raumzeit, die nicht mit dem umgebenden
Universum kommunizieren kann
-> Grenze des SL: ''Oberfläche'', Ereignishorizont, ''event horizon''
-> Was passiert mit Masse im SL?
-> unbekannt! -> Kollaps kann nicht aufgehalten werden
-> Massedichten > 1017 g/cm3 für Sonnenmasse
-> Extrapolation der Einsteingleichungen
-> zentrale Singularität, kausal vom Außenraum entkoppelt
-> Quantengravitation? Verhindert sie Singularität ?? -> noch unbekannt ...
-> Beschreibung Schwarzer Löcher:
-> Einsteingleichungen: verschiedenste Anfangsbedingungen für Kollaps ...
Aber: Allgemeinste Lösung analytisch bekannt, einfach
-> nur 3 Parameter: Masse M, Drehimpuls J, Ladung Q,
''no hair''-Theorem (Wheeler)
-> alle Informationen über Anfangszustand werden
abgestrahlt (EM, Gravitationswellen)
9.8 Schwarze Löcher ­ Schwarzschildlösung
Lösung der Einsteingleichungen (G=c=1): einfachster Fall Q = J = 0
-> Schwarzschild-Lösung:
2

ds =− 1−
 
2M 2
2M
dt  1−
r
r
−1

2
2
2
2
2
dr r d  r sin  d 
2
-> statischer Beobachter (an festem Ort)
2M 2
2
2
dt
-> definiert Eigenzeit: d  =−ds = 1−

r

nur definiert für r>2M -> Schwarzschildradius, Horizont, '' static limit ''
-> statischer Beobachter unmöglich innerhalb Horizont
-> Bewegung von Testteilchen:
-> Bewegung entlang Geodäten der Raumzeit
-> z.B. Bewegung in Äquatorialebene: Erhaltungsgleichungen für 4-Impuls p:
d
p≡r
=constant ≡l
Drehimpuls des Teilchens:
d
2M dt
Energie bei r = unendlich:
− pt ≡ 1−
=constant≡E
r d
2


9.8 Schwarze Löcher ­ Überblick
Testteilchen mit Ruhemasse m (E'= E/m , l' = l/m )
-> Bewegungsgleichungen:
2
 

 
2M
dr
l '2
2
=E ' − 1−
1 2 ≡E ' 2 −V r 
d
r
r
2
 
d
l'
= 2,
d
r
z.B. Radialer Einfall (φ konstant) ->
2
 
dt
E'
=
d
1−2M /r

2M
dr
2
=− E ' −1
d
r
-> im Grenzfall großer Radien:
-> E<1: Teilchen fällt aus Ruhe bei r=R
-> E=1: Teilchen fällt aus Ruhe bei r=unendlich
-> E>1: Teilchen fällt aus unendlich mit endlicher Geschw.
-> Integration der Bewegungs-Gleichung -> Fallzeiten:
-> Eigenzeit endlich für Fall von r=R nach r=2M
-> Eigenzeit von r=R nach r=0 ist π(R3 / 8M)1/2
-> Koordinatenzeit (Eigenzeit für Beobachter bei unendlich)
für Fall nach r=2M ist unendlich!
9.8 Schwarze Löcher ­ Potential

 
2M
l '2
V r ≡ 1−
1 2
Testteilchen mit Ruhemasse m: effektives Potential:
r
r
-> kreisförmige Bahnen existieren für ∂V / ∂ r =0, dr / d =0 , also bis r=3M
2
2
-> stabil für ∂ V /∂r 0 , also bis r=6M
(from Sean Carroll)
9.8 Schwarze Löcher ­ Kerr­Lösung
Schwarzes Loch mit Drehimpuls J ; Q = 0
-> Kerr-Lösung der Einsteingleichungen, stationär (G=c=1):


2
2Mr
4a Mr sin 

ds =− 1−
dt 2 −
dt d  dr 2  d  2



2

2
2

2 Mr a sin 
 r a 
sin 2  d  2

J
a≡ , ≡r 2 −2Mra2 , ≡r 2 a 2 cos 2 
M
2
2
-> Horizont definiert durch =0 , r h =M M 2 −a 2 , also a < M
-> Stationäre Beobachter: (r, φ) fest, Rotation mit =
-> Bedingung zeitähnlicher Beobachter (c2 dt2 > dr2):
-> Bewegung mit
-> bei
min max
r 0= M  M −a cos 
-> min =0
2
2
2
min / max =
 g tt =0 ,
2
d
dt

2
−g t ± g t  −gtt g 
g 
2
2
r −2Mra cos =0
Statisches Limit: keine statischen Beobachter für
r hr r 0
9.8 Schwarze Löcher ­ Geschichte
- 1783: John Michell: “Dark stars” : Körper mit 500 MO Entweichgeschwindigkeit > c
- 1795: Laplace: Newton'sche Korpuskulartheorie + Gravitation: ve = (2GM/r)1/2 = c
- 1915: Einstein: Allgemeine Relativitätstheorie (ART)
- 1916: K.Schwarzschild: Lösung der Einsteingleichungen für sphärische Masse:
-> Schwarzschild-Metrik
-> Einstein: “I had not expected that the exact solution
to the problem could be formulated”
- 1935: (Chandrasekhar -) Eddington:
“... when garvity becomes strong enough to hold the radiation ... I think .. there should be a law in Nature to prevent the star from behaving in this absurd way”
- 1939: Oppenheimer & Snyder:
-> Kollapsrechnung in ART: 1. Berechnung der Entstehung eines SL
- 1963: Kerr: Lösung der Feld-Gleichungen für rotierendes Loch: Kerr-Metrik
- 1968: Wheeler: “Black Hole”, no-hair theorem
=> Suche nach Schwarzen Löchern? -> indirekte Beobachtung:
-> tiefer Potentialtopf -> heisses Gas, hohe Geschwindigkeiten
- 1963: Quasare, - 1962: Kompakte Röntgenquellen, - 1968: Pulsare
- 1970er: Binärsystem Cygnus X-1, - 1990er: Mikro-Quasare
9.8 Schwarze Löcher ­ Beobachtung X-ray variability
Kompakte Röntgenquellen:
z.B. Cyg X-1
-> 1965: Entdeckt als RöntgenQuelle, damals Herkunft,
Entstehung unklar
-> 1972: Entdeckt als Radio-Quelle
-> Optische Identifikation mit
HDE 226868 (OB Überriese)
-> Zusätzlich rasche Variabilität in X:
-> sehr kleine X-Quelle -> BH, NS
Optical periodicity (5.6d)
Optical star,
radio emission
-> Optische/X- Variabilität, periodisch:
-> Binärsystem mit Minimalmassen:
M2 > 2.9 MO , M1 > 9 MO
X-ray map, error box
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
15.10 Einführung: Überblick & Geschichte (H.B.)
22.10 Grundlagen: Koordinaten, Sternpositionen, Erde/Mond (C.F.)
29.10 Grundlagen: Teleskope und Instrumentierung (H.B.)
05.11 Grundlagen: Zeitmessung, Strahlung (C.F.)
12.11 Planetensystem(e) & Keplergesetze (H.B.)
19.11 Sonne & Sterne: Typen, Klassifikation, HR-Diagramm (C.F.)
26.11 Sternaufbau und Sternentwicklung (C.F.)
03.12 Sternentstehung, Akkretionsscheiben & Jets (H.B.)
10.12 Kompakte Objekte: Schw. Löcher, Neutronensterne, Weiße Zwerge (C.F.)
17.12 Interstellare Materie: Chemie & Materiekreislauf (H.B.)
24.12 - Weihnachten
31.12 - Sylvester
07.01 Mehrfachsysteme & Sternhaufen, Dynamik (C.F.)
14.01 Exoplaneten & Astrobiologie (H.B.)
21.01 Die Milchstraße (H.B.)
28.01 Zusammenfassung (C.F. & H.B.)
04.02 Prüfung ???