Berechnungen von Wurzeln
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Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Berechnungen von Wurzeln Malte Schmidt Proseminar: Implementierung mathematischer Algorithmen 19.12.2013 Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Inhaltsverzeichnis I 1 Geschichte der Wurzelrechnung Griechische Gedankenspiele Babylonische Wurzelgedanken 2 Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Schriftliches Wurzelziehen Ziele von Berechnungen von Wurzeln heutzutage Intervallschachtelung Halley-Verfahren Figurierte Zahlen Methode der Rechenkünstler 3 Wurzeln aus komplexen Zahlen Grafische Lösung Rechnerische Lösung 4 Fazit Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Griechische Gedankenspiele Griechische Gedankenspiele Quadratverdoppelung Seite √ des Quadrates mit doppelter Fläche ( 8) (Platons Menon, 82d-83b, ca 400 v.Chr.) [1] Würfelverdoppelung Seite √ des Würfels mit doppeltem Volumen ( 3 2)(Delisches Problem,400 v.Chr.) [1] Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Griechische Gedankenspiele Quadratverdoppelung Abbildung: Höhensatz [1] Wurzeln aus komplexen Zahlen Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Griechische Gedankenspiele Würfelverdoppelung Abbildung: Zweifache Anwendung des Höhensatzes [1] Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Babylonische Wurzelgedanken Das Heronverfahren Vom Newton- zum Heron-Verfahren xn+1 = xn − f (xn ) f 0 (xn ) (Newton) f (x) = x 2 − a xn+1 x2 − a 1 := xn − n = 2xn 2 a xn + xn (Heron) Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Babylonische Wurzelgedanken Heron-Verfahren für k-te Wurzel Für die k-te Wurzel xn+1 = xn − f (xn ) f 0 (xn ) f (x) = x k − a xn+1 := xn − (k − 1)xnk + a xnk − a = kxnk−1 kxnk−1 (Newton) Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Babylonische Wurzelgedanken Das Heronverfahren Abbildung: Heronverfahren im Zweidimensionalen [1] Abbildung: Heronverfahren im Dreidimensionalen [1] Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Schriftliches Wurzelziehen Schriftliches Wurzelziehen - Beispiel Wurzelberechnung: 387654,3210 Lösung: 622,618... 1 Zweierblöcke 38 76 54, 32 10 2 Erste Stelle 62 <= 38 < 72 − > 6 3 Subtrahieren und Rest 38 − 36 = 2 und Block anhängen = 276 4 Neue Stelle 276 : (20 ∗ 6) = 276 : 120 = 2, 3 − > 2 = b 5 Prüfung (20 ∗ w + b) ∗ b = (20 ∗ 6 + 2) ∗ 2 = 244 ist 244 < 276? dann ist 244 neuer Subtrahend 6 Wiederholen ab Punkt 3 und Kommasetzen bei Blockanzahl vor Komma/2 622,618... Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Ziele von Berechnungen von Wurzeln heutzutage Ziel von Berechnungen von Wurzeln Heutzutage Wurzelberechnung: Möglichst sicher Möglichst genau Möglichst schnell Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Intervallschachtelung Intervallhalbierung Abbildung: Intervallhalbierung (Bisektion) [1] Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Intervallschachtelung Intervallhalbierung % % Genauigkeit z nach i Schritten bei Bisektion clc , clear ; a =8; n =2; l =0; r = a ; x =0; i =0; for z =1:14 while abs (( x .^ n ) - a ) >= 10^ - z x =( l + r )/2; if ( x ^ n ) < a l=x; elseif ( x ^ n ) > a r=x; else end i = i +1; u ( i )= x ; end o ( z )= i ; end q = 1: z ; w = o ( q ); plot (w ,q , ’b ’ ); Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Halley-Verfahren Halley-Verfahren Halley-Verfahren xk+1 = xk − 2·f (xk )f 0 (xk ) 2f 0 (xk )2 −f (xk )f 00 (xk ) Besitzt Konvergenzordnung 3 Abbildung: Edmond Halley (08.11.1656 bis 25.01.1742) [2] Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Halley-Verfahren Wechsel zu MatLab Wurzeln aus komplexen Zahlen Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Figurierte Zahlen Figurierte Zahlen Definition Figurierte Zahlen: Figurierte Zahlen sind Klassen von Zahlen, die sich auf geometrische Figuren beziehen. Quadratzahlen (n2 ) Kubikzahlen (n3 ) Abbildung: [17] Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Methode der Rechenkünstler Methode der Rechenkünstler Zahl 3 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 Zahl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Größenordnung 1.000 8.000 27.000 64.000 125.000 216.000 343.000 512.000 729.000 1.000.000 Zahl 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Wurzeln aus komplexen Zahlen Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Grafische Lösung Wurzel aus komplexen Zahlen Abbildung: Wurzel in der komplexen Zahlenebene Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Grafische Lösung Wurzel aus komplexen Zahlen Abbildung: Wurzeln in der komplexen Zahlenebene Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Rechnerische Lösung Wechsel zu Wolfram Alpha z = 81/3 und z 3 = 8 Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Monte-Carlo-Verfahren % % Monte - Carlo - Verfahren fuer die Wurzel clc , clear a = 387654.321; AnzZufallZahlen = 10^6; y =0; k =2; while ( y +1)^ k < a y = y +1; end x = rand (1 , AnzZufallZahlen ); i =1; j =0; while i < AnzZufallZahlen +1 if ( x ( i )+ y )^ k < a j = j +1; end i = i +1; end wz = y +( j / AnzZufallZahlen ); Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Fazit Wurzelziehen durch Zufallszahlen Aufpassen bei komplexen Wurzeln Schriftliches Wurzelziehen sollte man schriftlich machen. Es gibt bestimmt noch schnellere Verfahren (Konvergenzordnung> 3) Berechnung durch Kettenbrüche Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Danke für Ihre Aufmerksamkeit Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Quellen [1] Albert A. Gaechter, Algorithmus zur Wurzel [2] Wikipedia: Bild von Halley [3] Juergen Koller, Quadratzahlen, Beitrag zu Quadratzahlen [4] Wikipedia:Wurzel(Mathematisch) [5] Wikipedia: Halley-Verfahren [6] Wikipedia: Heron-Verfahren [7] Arndt Brünner, Schriftliches Wurzelziehen Fazit Geschichte der Wurzelrechnung Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen [8] Tino Hempel, Schriftliches Wurzelziehen [9] Wikipedia: Schriftliches Wurzelziehen [10] Prof. Dr. J. Ziegenbalg, Das babylonisch-sumerische Verfahren zum Wurzelziehen, Heron-Verfahren [11] Jörn Loviscach, Youtube: 21.1.1 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen [12] Jörn Loviscach, Youtube: 21.1.2 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen [13] Jörn Loviscach, Youtube: 21.1.3 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen [14] mathpath: Bhaskara-Brounker-Algorithmus [15] math.stackexchange.com: Fragen zu Wurzelberechnung mit Integern Fazit Geschichte der Wurzelrechnung [16] Weitere Methoden zum Berechnen von Wurzeln Wurzeln aus komplexen Zahlen Mathworld.wolfram.com: Quadratwurzelalgorithmus [17] Wikipedia: Bild von Quadratzahlen Die Internetquellen wurden am 26.02.2014 abgerufen. Fazit
