Skript - e=2.718 : Gymnasium Kirchenfeld : WR
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WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Blaise Pascal
Theorie und Aufgaben
16.11.15 ⋅ Gymnasium Kirchenfeld ⋅ W R ⋅ qtk/bla
2
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Theorie und Aufgaben
Inhalt
1.
Geschichte der W ahrscheinlichkeitsrechnung ..................................................................... 4
2.
Grundbegriffe .................................................................................................................... 5
3.
Kombinatorik ..................................................................................................................... 8
4.
Wahrscheinlichkeit ........................................................................................................... 13
5.
Zufallsvariable ................................................................................................................. 25
6.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen ...................................................................................... 30
Die Lösungen zu den Aufgaben sind im Internet abrufbar unter der Adresse 2.718.ch
Blaise Pascal
Blaise Pascal wurde am 19. Juni 1623 in Clermont als
Sohn eines königlichen Rates geboren.
Blaise wurde von seinem Vater Etienne unterrichtet,
wobei das Schwergewicht auf der sprachlichen Ausbildung lag. Bücher mit mathematischem Inhalt wurden nicht benutzt, ja sogar versteckt, obwohl sicher
der Vater gerade auf diesem Gebiet durch die Entdeckung gewisser Kurven 4. Ordnung (Pascalsche
Schnecken) einen Namen gemacht hatte.
1654 entstand die Abhandlung über das arithmetische
Dreieck und außerdem eine Zuschrift an die Pariser
mathematische Akademie, in der Pascal die bevorstehende Entdeckung einer Wahrscheinlichkeitsrechnung ankündigte. Den Ausgangspunkt dabei bildete
die Problemstellung, wie der Einsatz eines Glückspiels zwischen zwei gleichwertigen Partnern bei vorzeitigem Abbruch des Spieles aufzuteilen ist. Aus
diesen Überlegungen entstand das Pascalsche Dreieck. Mit diesem Problem beschäftigte sich auch Fermat, womit Pascal und Fermat gemeinsam
den Grundstein zur W ahrscheinlichkeitsrechnung legten, die später von de Moivre, Stirling und
Jacob Bernoulli massgeblich ausgebaut wurde.
1659 erkrankte Pascal schwer, und starb am 19. August 1662 an dieser Krankheit.
3
1.
Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung
15./16. Jh.
Erste Beschäftigungen mit speziellen wahrscheinlichkeitstheoretischen Aufgaben durch Luca Pacioli (1445-ca.1514), Nicolo Tartaglia (um1499-1557), Hieronimo Cardano (1501-1576) und Galileo Galilei (1564-1642).
1654
Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Beschäftigung mit Glücksspielproblemen durch Chevaliere de Méré und dem Mathematiker Blaise Pascal
(1623-1662) Korrespondenz zwischen den Mathematikern Pierre Fermat (16011665) und Blaise Pascal.
Herauskristallisierung der Begriffe Wahrscheinlichkeit und mathematische Erwartung
Anfang
17. Jh.
Beschäftigung Graunts mit der Sterbewahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom
Lebensalter. Aufstellung von Tabellen für Rentenzahlungen durch Johan De
Witt (1625-1672) und Edmund Halley (1656-1742). Nutzung wahrscheinlichkeitstheoretischer Gedanken in der Histographie und der Fehlerrechnung durch
Isaac Newton (1643-1727)
1657
Verfassung des Lehrbuches der W ahrscheinlichkeitsrechnung "De ratiociniis in
ludo aleae" (Über Berechnungen beim Würfelspiel) durch Christian Huygens
(1629-1695)
1713
Erscheinen des Buches "Ars coniectandi" (Kunst des Vermutens) von Jacob
Bernoulli (1654 - 1705)
1718
Publizierung des Buches "The doctrine of chances" von Abraham de Moivre
(1667-1754)
1740
Angabe einer wahrscheinlichkeitstheoretischen Aufgabe durch Th. Simpson
(Simpsonsches Verteilungsgesetz)
Verbindung von theoretischen Problemen der Völkerkunde und des Versicherungswesens mit Fragen der W ahrscheinlichkeitsrechnung durch Leonhard Euler (1707-1783)
Formulierung des "Petersburger Spiel" von Nikolaus Bernoulli (1695-1726)
Mitte
18. Jh.
Aufwerfen der Frage nach der Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Hypothesen, wenn schon Beobachtungsergebnisse vorliegen, durch Daniel Bernoulli
(1700-1782), Lösung hierzu von Thomas Bayes (gest. 1751)
1777
Einführung einer geometrischen W ahrscheinlichkeit durch den französischen
Naturforscher Graf Comte de Buffon (1707-1788)
1812
Entwicklung der Hauptsätze der Wahrscheinlichkeit durch Laplace in seinem
Werk "Théorie analytique des probabilités"
ab Mitte
des 19. Jh.
Russische Gelehrte wie Pafnuti L. Tschebyschew (1821-1894), A.A.Markow und
A.M. Ljapunow fördern die Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Vorbereitungen
durch W.J.Bunjakowski. Erstes russisches Lehrbuch der W ahrscheinlichkeitsrechnung von W .J. Bunjakowski
1933
Nach dem Vorbild des Axiomensystems für die Geometrie des deutschen Mathematikers David Hilbert (1863-1943) wird auch in der W ahrscheinlichkeitsrechnung ein Axiomensystem aufgebaut, das in seiner endgültigen Form
von Andrej N. Kolmogorow formuliert wird
4
2.
Grundbegriffe
Der Ergebnisraum
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment erfüllt folgende Bedingungen
Es hat verschiedene mögliche Ergebnisse.
Sein Ausgang kann nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden.
Ergebnis
Ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperimentes heisst Ergebnis.
Ergebnisraum
Alle Ergebnisse e 1 , e 2 , e 3 , ... eines Zufallsexperimentes bilden zusammen
den Ergebnisraum Ω={ e 1 , e 2 , e 3 , ... }
Ereignis
Ein Ereignis E eines Zufallsexperimentes mit dem Ergebnisraum Ω ist
eine Teilmenge von Ω:
E⊂Ω
Alle Teilmengen von Ω bilden die möglichen Ereignisse eines Zufallsexperimentes.
Es gilt Ω ⊂ Ω,
Es gilt ∅ ⊂ Ω,
Ω ist das sichere Ereignis
∅ ist das unmögliche Ereignis
Gegenereignis
Das Ereignis E = Ω \ E ist das Gegenereignis zum Ereignis E.
Verknüpfungen
Ereignis A oder Ereignis B :
Ereignis A und Ereignis B :
Beispiel
Werfen eines Würfels
Ereignis A: Primzahl werfen
Ereignis B: gerade Zahl werfen
Gegenereignis A : keine Primzahl
Ereignis A ∪ B: Primzahl oder gerade Zahl
Ereignis A ∩ B: Primzahl und gerade Zahl
A ∪ B (Vereinigung der Ereignisse)
A ∩ B (Schnitt der Ereignisse)
Ω
A
B
A
A∪B
A∩B
=
=
=
=
=
=
{,,,,,}
{,, }
{,, }
{,, }
{,,,,}
{}
Aufgaben
2.1
Zwei verschiedene Münzen werden geworfen, jede kann entweder Kopf oder Zahl anzeigen. Gib den Ergebnisraum an.
2.2
Aus den vier Farben rot, gelb, blau und schwarz werden zwei zufällig ausgewählt. Gib alle
Ergebnisse des Ergebnisraumes an. W ie viele Ergebnisse bilden das Ereignis „eine der
gewählten Farben ist rot“.
2.3
Eine Schülerin darf sich aus 5 Büchern A, B, C, D, E drei aussuchen. W ie viele und welche
Möglichkeiten hat sie? Aus welchen Ergebnissen besteht das Ereignis „Buch C wird gewählt“?
2.4
Aus einer Urne mit 5 schwarzen, 3 weissen und 1 roten Kugel werden nacheinander zwei
Kugeln gezogen. Zeichne den Ergebnisbaum und gib den Ergebnisraum an.
2.5
Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich aus 2 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 2 Desserts
eine Mahlzeit zusammenzustellen?
5
Das Baumdiagramm
Ein Ergebnisraum mit mehrstufigen, nicht
allzu vielen Ergebnissen kann in einem
Baumdiagramm dargestellt werden: Ein einzelnes Ergebnis erhält man, indem man von
oben nach unten entlang eines Astes geht.
Die Anzahl der Ast-Enden unten entspricht
der Anzahl Ergebnisse im Ergebnisraum.
G
Z
B
H
T
F
H
B
S
F
H
F
H
F
Z
H
S
F
H
Binomialkoeffizienten
Definitionen n! („n Fakultät“) entspricht dem Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n.
n! = n (n-1) (n-2) ... 3 2 1
Rekursive Definition:
n! = n (n-1)!
und 1! = 1 (es gilt:
„ n tief k “
n
n!
=
k
!
(
n
k
⋅
− k )!
8
8!
Bsp: =
= 56
3
3
!⋅5!
Regel:
n n
Es gilt =
k n − k
8
8
8!
8!
Bsp: =
=
=
3 3!⋅5! 5!⋅3! 5
Aufgabe 2.6
5
= .......
0
5
= .......
1
8
= .......
2
12
6
10
= ....... = ....... = .......
11
3
3
6
5
= .......
2
5
= .......
3
5
= .......
4
0! = 1 )
5
= .......
5
20
18
= ....... = ......
2
6
F
(a + b)n =
n
Es gilt
Beispiele
(a + b) = a + 2ab + b
2
2
3
3
2
n
n
n-1
n
die Zahlen heissen
k
Binomialkoeffizienten
n
∑ k ⋅ an−k bk
Satz 1
k =0
2 2 2
2 2
= a + ab + b
0
1
2
3 3 3 2
3 2 3 3
= a + a b + ab + b
0
1
2
3
2
2
(a + b) = a + 3a b + 3ab +b
3
…
(a + b) = a + na
n n
n n n n-1
n n-2 2
= a + a b + a b + … + b
n
0
1
2
b+…
Satz 2
1
Es gilt
1
n + 1 n n
=
+
k k − 1 k
2
1
3
1
1
Diese Gleichung entspricht
dem Aufbau des
Pascalschen Dreiecks
1
1
6
5
10
6
7
15
21
1
3
4
1
4
10
20
35
1
5
1
15
35
6
21
1
7
1
Das Pascalsche Dreieck enthält die Binomialkoeffizienten
n
Satz 3
1
1
n
∑ k =
Summe einer Zeile im Pascalschen Dreieck:
k =0
........
Aufgaben
2.7
2.8
2.9
n
k
Vereinfache
n − 1
k
Berechne ohne Taschenrechner:
12
5
502!
b)
a)
500!+501!
11
5
n + 2
und gib n an, so dass der Wert des Terms 300 beträgt.
Vereinfache den Term
2
2.10 Wie lautet die ausmultiplizierte Form von ... a)
(x – 1)
7
b)
(y + 2)
6
n
= 4950
2.11 Bestimme n, so dass gilt
n − 2
7
3.
Kombinatorik
Einführung
Problemstellung:
In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, nummeriert
von 1 bis 10. W ie viele Möglichkeiten gibt es,
aus der Urne 3 Kugeln zu ziehen?
Antwort:
(a)
Präzisierungen:
- W ird die gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt oder nicht?
- Spielt die Reihenfolge der gezogenen Kugeln eine Rolle oder nicht?
720
(b)
120
(c)
1000
(d)
220
Je nachdem, wie die Antworten auf die zwei Fragen ausfallen, ergeben sich
vier verschiedene Problemstellungen und entsprechend vier verschiedene
Lösungen für die obige Fragestellung.
Reihenfolge berücksichtigen
(geordnet)
Ja
Nein
Wiederholungen sind möglich
(mit Zurücklegen)
Nein
(a) 720
(b) 120
Ja
(c) 1000
(d) 220
Stichprobe:
Unter einer k-stelligen Stichprobe verstehen wir im Folgenden das zufällige
Herausgreifen von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen.
Produktregel:
Man kann das dreimalige Ziehen einer Kugel als dreistufiges Zufallsexperiment betrachten, bei dem die Anzahl der Möglichkeiten einer Stufe unabhängig ist vom Ergebnis der vorhergehenden Stufen.
Für solche Zufallsexperimente gilt die Produktregel, das heisst, die Anzahl
Möglichkeiten jeder Stufe werden miteinander multipliziert um die Anzahl
Ergebnisse des gesamten Zufallsexperiments zu erhalten.
Permutationen:
Eine Permutation (von lat. permutare „(ver)tauschen“) ist die Veränderung
der Reihenfolge von Elementen einer Menge.
Beilspiele:
Das Mischen von Jasskarten
Der Stellungswechsel der Spieler im Volleyball (rotieren).
Die Anzahl der Permutationen von n Elementen entspricht der Anzahl Möglichkeiten, die n Elemente den n Plätzen zuzuordnen. Für das erste Element
hat man n mögliche Plätzte zur Verfügung, das zweite Element hat noch
(n-1) Möglichkeiten und für jedes weitere Element reduziert sich die Anzahl
der möglichen Positionen um 1.
Unter Anwendung der Produktregel erhält man
n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n! Permutationen
8
Geordnete Stichprobe ohne Wiederholungen (a)
Werden die drei Kugeln nun nacheinander gezogen, ohne die gezogene Kugel jeweils wieder in
die Urne zurück zu legen, so hat man für die erste Kugel 10 Möglichkeiten, für die zweite Kugel
hat man noch 9 Möglichkeiten, weil ja eine Kugel bereits weg ist und für die dritte Kugel bleiben
noch 8 Möglichkeiten. Also insgesamt:
10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 Möglichkeiten.
Allgemein:
Anzahl geordneter, k-stelliger Stichproben ohne Wiederholungen
aus n Elementen:
n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n-(k-1)) =
n!
(n − k )!
(a)
Ungeordnete Stichprobe ohne Wiederholungen (b)
Aus der Urne mit den 10 Kugeln werden drei gezogen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt (Prinzip „Zahlenlotto“). Die Anzahl Möglichkeiten
lässt sich aus der Berechnung für die geordnete Stichprobe herleiten.
Beispielsweise werden die drei Kugeln mit den Zahlen 1, 2 und 3 gezogen.
Bei den geordneten Stichproben kommt diese Zahlen-Kombination genau
6-mal vor, da es für drei Elemente genau 3! = 6 verschiedene Permutationen gibt.
Bei einer ungeordneten Stichprobe werden alle diese 6 Permutationen von
drei Zahlen nur noch einmal gezählt, das heisst, im Vergleich zu der geordneten Stichprobe gibt es nur noch einen Sechstel der Möglichkeiten.
10 ⋅ 9 ⋅ 8
= 120
3 ⋅ 2 ⋅1
Allgemein:
Anzahl ungeordneter, k-stelliger Stichproben ohne Wiederholungen
aus n Elementen:
n
n!
=
(n − k )! ⋅ k! k
(b)
Geordnete Stichprobe mit Wiederholungen (c)
Werden die drei Kugeln nacheinander gezogen und immer wieder zurückgelegt, so hat man für
die erste Kugel 10 Möglichkeiten und für die zweite Kugel wieder 10 Möglichkeiten usw.
Also insgesamt:
10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1‘000 Möglichkeiten.
Allgemein:
Anzahl geordneter, k-stelliger Stichproben mit W iederholungen
aus n Elementen:
n ⋅ n ⋅ n ⋅ ... = n
k
(c)
9
Ungeordnete Stichprobe mit Wiederholungen (d)
Am Beispiel der Kugeln wird die Anzahl Möglichkeiten der ungeordneten Stichprobe von der
geordneten Abgeleitet, indem die verschiedenen Permutationen einer Stichprobe als eine ungeordnete Möglichkeit gezählt werden. Bei der geordneten Auswahl mit zurück Legen hatten wir
insgesamt 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1‘000 Möglichkeiten.
Diese 1000 Möglichkeiten unterteilen wir in 3 Fälle:
Ergebnisse mit drei unterschiedlichen Zahlen:
Davon gibt es gemäss (a) 720 Möglichkeiten, wobei jeweils
3!=6 Permutationen die gleichen drei Zahlen zeigen.
Diese 720 Möglichkeiten reduzieren sich also auf 120, wenn
man von der geordneten zur ungeordneten Stichprobe übergeht
Ergebnisse mit drei gleichen Zahlen:
Bei 10 von den insgesamt 1000 geordneten Möglichkeiten
kommen jeweils drei gleiche Zahlen vor. Diese kommen nicht
in verschiedenen Permutationen vor, also ergibt sich auch
keine Reduktion der Möglichkeiten, wenn man von der geordneten zur ungeordneten Stichprobe übergeht.
Ergebnisse mit zwei gleichen Zahlen und einer unterschiedlichen dritten Zahl:
Davon gibt es im geordneten Fall 270 da die beiden andern
Fälle zusammen 730 der 1000 Möglichkeiten ausmachen. Bei
diesen Stichproben gibt es jeweils 3 verschiedene Reihenfolgen, indem die einzelne Zahl an erster, zweiter oder dritter
Stelle stehen kann.
Beim Übergang von der geordneten zur ungeordneten Stichprobe reduzieren sich die 270 Möglichkeiten auf eine Drittel,
also auf 90 Möglichkeiten
Dies ergibt für die ungeordnete Stichprobe mit Wiederholungen
120 + 10 + 90 = 220 Möglichkeiten
Bei dieser Berechnung, stellt man fest, dass es für k=4 oder noch grösser viel komplizierter
wird, die Anzahl der ungeordneten Stichproben von den geordneten abzuleiten da es viel mehr
verschiedene Fälle zu unterscheiden gilt.
Zur Herleitung einer allgemeinen Formel ist dieses Verfahren daher nicht geeignet. Eine spezielle Art der Registrierung des Ergebnisses ist aber hilfreich.
Aus n Kugeln - nummeriert von 1 bis n - werden k gezogen. Zur Registrierung der gezogenen
Zahl wird eine Reihe von n Fächern, ebenfalls nummeriert von 1 bis n, bereit gestellt. Diese n
Fächer werden durch (n-1) Zwischenwände voneinander getrennt.
Wenn eine Kugel gezogen wird, dann legt man in das Fach mit der entsprechenden Nummer
einen Pingpongball O und die gezogene Kugel wird zurückgelegt. Indem man dies k mal so
macht, ergibt sich eine (n+k-1)-stellige Folge von k-mal das Zeichen "O" und (n-1)-mal für die
Zwischenwände das Zeichen "I" :
10
O I O O I O O O I I ... I O
Jede dieser Folgen mit den Zeichen "O" und "I" entspricht genau einer Möglichkeit, k aus n Kugeln zu ziehen, ungeordnet und mit W iederholungen.
Die Frage lautet also nun: wie viele Möglichkeiten gibt es, k-mal das Zeichen "O" auf den insgesamt (n+k-1) Stellen zu positionieren. Das heisst, man muss aus (n+k-1) Stellen k Stellen auswählen, was einer ungeordneten Wahl ohne W iederholungen entspricht.
Gemäss (b) ergibt dies
n + k - 1
Möglichkeiten.
k
(d)
Zusammenfassung:
Stichprobe von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen
Geordnet, ohne Wiederholungen
Ungeordnet, ohne Wiederholungen
Geordnet, mit Wiederholungen
Ungeordnet, mit Wiederholungen
Anzahl Möglichkeiten
n!
(n − k )!
n
n!
=
(n − k )! ⋅ k! k
n
k
n + k - 1
k
Aufgaben
3.1
Pferdewette: Bei der Dreierwette muss der Zieleinlauf der ersten drei Pferde richtig vorhergesagt werden. W ie viele Tippmöglichkeiten gibt es bei der Dreierwette, wenn insgesamt zehn Pferde an den Start gehen?
3.2
Aus einer Schulklasse mit 18 Schülerinnen und Schüler soll eine Delegation von 3 Personen ausgewählt werden. W ie viele Möglichkeiten gibt es?
3.3
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 7 Spielzeuge auf drei Kinder aufzuteilen, wenn das
jüngste 3 Spielzeuge erhält und die andern
je zwei?
3.4
Ein Zeichen der Blindenschrift besteht aus
6 Plätzen, die entweder leer gelassen oder
mit einem Punkt versehen werden (siehe
Abbildung).
Wie viele solcher Zeichen sind möglich,
wenn pro Zeichen mindestens ein Punkt
gesetzt werden muss?
Wie viele Punkte sind auf den 6 Plätzen
mindestens notwendig, wenn für die nebenstehenden 30 Zeichen möglichst wenige
Punkte verwendet werden sollen.
11
3.5
Eine Münze wird 30mal geworfen und es erscheint 18mal Kopf. W ie viele mögliche W urffolgen gibt es?
3.6
Auf einem Parkplatz sind noch 6 Parkplätze frei. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die
freien Parkplätze den ankommenden Autos zuzuteilen, wenn
a) noch 3 Autos ankommen.
b) noch 6 Autos ankommen.
3.7
Wie viele Sitzordnungen gibt es, wenn sich 7 Personen auf 7 Stühle verteilen,
a) wenn die Stühle nebeneinander in einer Reihe stehen?
b) wenn die Stühle um einen runden Tisch angeordnet sind?
3.8
Wie viele Möglichkeiten gibt es, fünf Mädchen und fünf Knaben so in eine Reihe zu setzen, dass nie zwei Knaben oder zwei Mädchen nebeneinander sitzen?
3.9
Zwei Mannschaften spielen in einem Turnier gegeneinander. Gewonnen hat dabei diejenige Mannschaft, die zuerst zwei Spiele hintereinander oder insgesamt vier Spiele gewonnen hat. W ie viele Möglichkeiten für den Verlauf des Turniers gibt es?
3.10
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 36 Jasskarten an 4 Personen zu verteilen.
3.11
Wie viele unterschiedliche Dominosteine mit Augenzahlen von 0 bis 6 gibt es?
3.12
Bei einem Sonderangebot kann man sich eine Kiste mit zwölf Flaschen aus drei verschiedenen Getränkesorten beliebig zusammenstellen. W ie viele Möglichkeiten gibt es?
3.13
Morsezeichen werden aus Punkten und Strichen zusammengesetzt (siehe Abbildung).
a) Wie viele 3-stellige Morsezeichen sind möglich?
b) Wie viele höchstens 4-stellige Morsezeichen sind möglich?
3.14
Aus einer Gruppe von 8 Männern und 5 Frauen soll ein Komitee gebildet werden, das
sich
aus 3 Männern und 3 Frauen zusammensetzen soll.
a) Wie viele solche Komitees lassen sich bilden?
b) Aus unerfindlichen Gründen weigern sich 2 Männer, zusammen in einem Komitee zu
arbeiten. W ie viele Möglichkeiten bleiben?
3.15
Ein Krankenpfleger muss pro W oche 5 Tage arbeiten, er möchte aber entweder Samstag
oder Sonntag frei haben. W ie viele Möglichkeiten hat er, seine Arbeitstage auf die W oche
zu verteilen?
12
4.
Wahrscheinlichkeit
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Problem:
Ist es günstig darauf zu wetten, dass bei vier Würfen mit einem Würfel mindestens
einmal die Zahl 6 erscheint? (Chevalier de Méré, Blaise Pascal, 17. Jh.)
Dieses Zufallsexperiment entspricht einer geordneten, 4-stelligen Stichprobe aus 6 Elementen
mit Zurücklegen.
Es sind insgesamt
... ⋅ ... ⋅ ... ⋅ ... = ............ Ergebnisse möglich (Ergebnisraum S)
Wie viele Ergebnisse umfasst das Ereignis A, „mindestens eine 6 würfeln“ ?
Genau 1x die Zahl 6:
.................... = ................. Möglichkeiten
Genau 2x die Zahl 6:
.................... = ................. Möglichkeiten
Genau 3x die Zahl 6:
.................... = ................. Möglichkeiten
Genau 4x die Zahl 6:
.................... = ................. Möglichkeiten
Mindestens 1x die Zahl 6
Summe
= ................. Möglichkeiten
Das heisst: In .......... von ........... Ergebnissen kommt die Zahl 6 vor, also ist es
................................... darauf zu W etten, dass bei viermaligem W ürfeln eine 6 erscheint!
Die Wahrscheinlichkeit, bei viermaligem W ürfeln mindestens eine 6 zu werfen beträgt:
P=
..........
=
..............
...........
Die Wahrscheinlichkeit P des Ereignisses A berechnet sich
offenbar wie folgt:
P=
Anzahl Elemente in A
Anzahl Elemente in S
Die so definierte W ahrscheinlichkeit heisst Laplace-Wahrscheinlichkeit
Oft ist es einfacher, das Gegenereignis zu untersuchen: W ie viele Möglichkeiten gibt es, bei
viermaligem W ürfeln keine 6 zu werfen?
Es gibt
.............
=
............. Möglichkeiten. (Nur eine Rechnung!)
Das zu untersuchende Ereignis A hat demnach
........... – ............ = ........ Ergebnisse.
13
Absolute und relative Häufigkeit
Experiment 1:
Ein Reissnagel fällt dir aus der Hand und
liegt nun auf den Boden. Für dieses Zufallsexperiment gibt es zwei Ausgänge, über
deren Eintreten wir im Voraus keine Aussage
machen können:
Der Reissnagel fällt entweder auf den Fuss
oder auf den Kopf.
„Kopf“
„Fuss“
Um den „Zufall“ genauer zu untersuchen werfen wir öfter:
Experiment 2:
Du hast 10 Reissnägel und lässt diese vor
dich auf das Pult fallen. Notiere, wie viele
der Reissnägel auf dem Kopf gelandet sind.
In folgender Tabelle werden die Ausgänge von Experiment 2
festgehalten, indem eingetragen wird, wie viele Reissnägel
geworfen wurden und wie viele dabei jeweils das Ergebnis Kopf
zeigten.
(Bemerkung: es ist dabei egal, ob ein Reissnagel 10mal oder 10 Reissnägel
jeweils einmal geworfen wurden).
n = Anzahl Versuche
10
20
30
50
80
100
150
200
Absolute Häufigkeit:
n K = Anzahl
Versuche
mit Ergebnis „Kopf“
Relative Häufigkeit:
hK=
nK
n
In der letzten Zeile berechnen wir den Quotienten aus der absoluten Häufigkeit und der Anzahl
der Versuche (dieser wird auch Stichprobenumfang genannt). Er beschreibt die relative Häufigkeit des Ausgangs Kopf.
absolute Häufigkeit n i
Definition: Die relative Häufigkeit berechnet sich als h i =
=
Anzahl Versuche
n
Beobachtung:
• Mit zunehmender Versuchsanzahl stabilisiert sich der W ert der relativen Häufigkeit.
• Die relative Häufigkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (zwischen 0% und 100%).
Auch bei anderen Zufallsexperimenten können wir ein ähnliches Verhalten feststellen: Die relativen Häufigkeiten für ein beliebiges Ergebnis stabilisieren sich wenn n grösser wird. Das Zufallsexperiment wird durch diese Gesetzmässigkeit berechenbar!
Richard von Mises schlug in seinem Werk „Grundlagen der W ahrscheinlichkeitsrechnung“ im
Jahre 1919 die intuitive Definition der W ahrscheinlichkeit über den analytischen Grenzwertbegriff vor:
n
P(A ) = lim i
n→ ∞ n
14
Aufgaben zur relativen Häufigkeit
4.1
Die folgende Tabelle zeigt das Protokoll eines Reissnagelwurf-Experiments: (K steht für
das Ergebnis “Kopf“).
Anzahl Versuche
n
20
40
60
80
100
Absolute Häufigkeit
nK
15
25
37
50
62
Relative Häufigkeit
hK
0,75=75%
0,63=63%
0,62=62%
0,63=63%
0,62=62%
Erstelle eine entsprechende Tabell mit n F und h F , wobei F für das Ergebnis “Fuss“
steht.
Addiere bei fester Versuchsanzahl n die relativen Häufigkeiten h K und h F . Versuche das
Ergebnis zu begründen.
4.2
Führe folgendes Experiment durch: Würfle statt mit einem normalen
Würfel mit einem Lego-“Achter“ auf dessen Seitenflächen die Zahlen von
1 bis 6 notiert sind (.
Als Ergebnis notiere jeweils die Augenzahl.
Gib zuerst eine persönliche Schätzung der relativen Häufigkeiten für das
Auftreten der jeweiligen Augenzahl. Was beachtest Du dabei?
5
1
Wirf nun den Legostein 25mal und notiere die absoluten Häufigkeiten. Berechne anschliessend die relativen Häufigkeiten.
Augenzahl
Persönliche
Schätzung
Absolute
Häufigkeit
Relative
Häufigkeit
4.3
1
2
3
4
5
6
Aus den abgebildeten Netzen lassen sich „Spielwürfel“ mit 4, 6 und 8 Seitenflächenerstellen.
(Beim ersten Polyeder wird jeweils die auf dem Tisch aufliegende Fläche als Ergebnis gewertet)
a)
b)
c)
Welche relativen Häufigkeiten erwartest du ungefähr für die Augenzahlen 0, 1 und
2 bei den verschiedenen „Spielwürfeln“, wenn du sehr oft würfelst?
Bei einem Spiel würfelt jeder Teilnehmer so lange, bis er zum ersten Mal eine „2“
geworfen hat. W er am wenigsten W ürfe benötigt, gewinnt. W elchen W ürfel würdest
du für dieses Spiel auswählen? Erläutere deine Entscheidung.
Bei tausend W ürfen mit einem der drei W ürfel hat sich folgendes Ergebnis ergeben:
Augenzahl
absolute Häufigkeit
0
1
2
241
253
506
Welcher Würfel wurde verwendet? Erläutere deine Antwort.
15
Definition der Wahrscheinlichkeit
Die Definition der W ahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit hält mathematischen Ansprüchen nicht stand, denn die relativen Häufigkeiten stellen nur Näherungswerte dar,
deren Genauigkeit unklar ist.
Die klassische Definition der Laplace-W ahrscheinlichkeit, ist nur unter zwei Bedingungen richtig:
- alle Ergebnisse treten mit derselben Wahrscheinlichkeit auf
- die Anzahl der Ergebnisse im Ergebnisraum S und im Ereignis A sind endlich
Allgemein kann die W ahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wie folgt definiert werden:
Die Wahrscheinlichkeit ist eine Funktion, die jedem Ereignis eines Zufallsexperimentes eine
reelle Zahl zuordnet. A → P(A) ∈
Dabei gelten die Axiome von Kolmogorow :
Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow,
Universität Moskau, 1903-1987
1)
2)
3)
P(A) ≥ 0
P(Ω) = 1
A∩B=∅
für alle Ereignisse A
⇒ P(A ∪ B) = P(A)+P(B)
Aus diesen drei Axiomen können die folgenden Sätze hergeleitet werden:
A oder B:
Für zwei beliebige Ereignisse A und B gilt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Gegenereignis: Für ein Ereignis A und das Gegenereignis
A
gilt:
P(A) + P( A ) = 1
Aus der axiomatischen Definition der W ahrscheinlichkeit lässt sich die Laplace-W ahrscheinlichkeit herleiten:
In einem endlichen Ergebnisraum Ω = {e 1 , e 2 , e 3 ,..., e n } mit n Ergebnissen seien p 1 , p 2 , p 3 , ...
p n die W ahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ergebnisse.
Es gilt dann p 1 + p 2 + p 3 +... + p n = 1 und für ein Ereignis A={ e 1 , e 2 , e 3 , ... , e k } gilt:
P(A) = p 1 + p 2 + p 3 +... + p k.
Wenn nun alle Ergebnisse die gleiche W ahrscheinlichkeit haben, gilt p 1 = p 2 = p 3 =... = p n =
und für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A erhält man P(A) = p 1 + p 2 + p 3 +... + p k = k ⋅
oder
P(A) =
1
n
1
n
Anzahl Ergebnisse die zu A gehören
Anzahl "günstiger Fälle "
k
=
=
n Anzahl Ergebnisse im Ergebnisraum Ω Anzahl "möglicher Fälle "
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit oder klassische Wahrscheinlichkeit kann also mit den Mitteln
der Kombinatorik berechnet werden, indem die Anzahl Möglichkeit für das untersuchte Ereignis
A und die Anzahl Möglichkeiten des ganzen Ergebnisraumes bestimmt werden.
16
Pierre-Simon Laplace
Pierre Simon Laplace wurde am 28. März 1749 als Sohn eines
Landwirtes in Beaumont-en-Auge geboren. 1765 trat er in ein
Jesuiten-Kolleg zu Cáen ein. Dort begegnete er zwei offenbar
geschickten Mathematiklehrern, die das Interesse des begabten
Schülers für ihr Fachgebiet weckten.
Seine ersten wissenschaftlichen Publikationen erschienen zwischen 1766 und 1769 über inhaltlich Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dem gleichen Themenkomplex widmete Laplace in den folgenden Jahren eine ganze Reihe von Arbeiten,
in denen er an die Bernoullis, de Moivre, Bayes und d‘Alembert
anknüpfte.
1771 wurde er Lehrer an der Pariser Militärakademie, wo auch
Napoleon I. zu seinen Schülern zählte.
1773 wurde er Mitglied der Pariser Akademie und hatte somit
eine relativ sichere Stellung erworben. 1788 ehelichte er Marie-Charlotte de Courty de Romagnes mit der er zwei Kinder hatte.
1794 wurde er zum Professor für Mathematik an der Ecole Polytechnique berufen. Im selben
Jahr wurde er Vorsitzender der Kommission für Maße und Gewichte.
1799 wurde er Minister des Inneren, danach Senator. 1812 erschien seine "Théorie analytique
des probabilités" (Analytische Theorie der Wahrscheinlichkeiten). Darin bereicherte er die
Wahrscheinlichkeitsrechnung um wichtige analytische Hilfsmittel wie die Theorie der erzeugenden Funktionen und die Methode der rekurrenten Reihen. In dieser Zusammenfassung über das
bisherige Wissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung waren auch das von Jakob Bernoulli entdeckte Gesetz der großen Zahlen und die auf Legendre und Gauss zurückgehende Methode der
kleinsten Quadrate zu finden.
1814 erschein sein "Essai philosophique sur les probabilités".
Am 5. März 1827 starb Laplace in Paris.
Andrej Nikolajevich Kolmogorow
Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow wurde am 25. April 1903 als
Sohn eines Agronomen im russischen Tambow geboren.
Nach dem Schulbesuch arbeitete er kurze Zeit als Schaffner bei
der Eisenbahn. Im Alter von 17 Jahren begann er an der Moskauer Universität zu studieren, wobei er zunächst zwischen
Geschichtswissenschaften und Mathematik schwankte. Doch
schon bald konzentrierte er sich auf die Mathematik.
Vom Jahre 1930 an hatte Kolmogorow eine Professur für Mathematik an der Universität in Moskau inne. Fundamentale Beiträge leistete Kolmogorow vor allem zur Entwicklung der W ahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischen Statistik.
In den 30er Jahren gelang Kolmogorow eine axiomatische Definition des W ahrscheinlichkeitsbegriffs. In der 1933 erschienenen Monographie "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" wird gezeigt, dass für die
Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion) drei Axiome genügen.
Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow war Mitglied zahlreicher ausländischer wissenschaftlicher
Akademien und Gesellschaften (u.a. der London Royal Society, der USA National Society bzw.
der Paris Academy of Science) sowie Ehrendoktor etwa der Universitäten von Berlin, London,
Stockholm und Warschau. Er verstarb 1987 im Alter von 84 Jahren in Moskau.
17
Aufgaben zur Laplace-Wahrscheinlichkeit
4.4
Mit einem Würfel wird zweimal nacheinander gewürfelt. Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A:
Der erste W urf zeigt eine gerade Augenzahl.
B:
Der zweite W urf ist eine 6.
C:
Die Augensumme ist kleiner als 10.
D:
Beide W ürfe ergeben eine gerade Zahl.
E:
Das Produkt der beiden Augenzahlen ergibt 20.
4.5
Aus einer Sendung mit 50 Glühbirnen, von denen 5 defekt sind, werden zufällig 3 Glühbirnen ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse.
A:
Keine der ausgewählten Glühbirnen ist defekt.
B:
Genau eine der ausgewählten Glühbirnen ist defekt.
C:
Mindestens eine der ausgewählten Glühbirnen ist defekt.
4.6
Ein Jasskartenspiel (36 Karten) wird sorgfältig gemischt und gleichmässig an die 4
Spieler ausgeteilt.
Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass einer der 4 Spieler alle vier Bauern hat?
4.7
Eine Klasse hat 24 Schüler, davon sind 16 gute Fussballer. Es werden jetzt zufällig 11
Schüler ausgewählt, um eine Fussballmannschaft zu bilden.
Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass nur gute Fussballer in der Mannschaft sind?
Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass mindestens 10 gute Fussballer in der Mannschaft sind?
4.8
Petra würfelt mit einem Würfel viermal hintereinander.
Berechne die W ahrscheinlichkeit, der folgenden Ereignisse:
A:
Es erscheinen 4 verschiedene Augenzahlen.
B:
Es erscheinen nur ungerade Augenzahlen.
C:
Der vierte W urf ist eine 1.
D:
Es sind alles ungerade Augenzahlen ODER der vierte W urf ist eine 1.
4.9
Auf einem Tennisplatz erscheinen 5 Männer und 7 Frauen. Durch Losentscheid werden zwei Paare für ein Doppel
zusammengestellt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
dass zwei Frauen gegen zwei Männer spielen?
4.10
In einer Klasse mit 8 Schülerinnen und 10 Schülern werden zwei als Vertretung in die Schülerinnen- und Schülerorganisation gewählt. Die Auswahl erfolgt durch das Los
rein zufällig.
Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass
A: zwei Frauen ausgewählt werden?
B: der/die älteste und der/die jüngste ausgewählt werden?
C: die Klassenchefin ausgewählt wird?
4.11
In einem Sack liegen insgesamt 25 Kugeln, rote und
schwarze. Es werden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen.
Wie viele rote Kugeln hat es, wenn die W ahrscheinlichkeit, zwei rote zu erwischen 0,12 beträgt?
4.12
Um beim Schweizer Zahlenlotto den Hauptgewinn zu erreichen müssen sechs Zahlen aus 42 und die Glückzahl
(1-6) richtig getippt werden. Berechne die entsprechende
Wahrscheinlichkeit.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit auf 5, 4, 3, 2, 1 oder
keine Gewinnzahl zu tippen?
4.13
Das Geburtstags-Problem: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von n Personen zwei (oder
mehr) am gleichen Tag Geburtstag haben?
18
Unabhängige Ereignisse
Definition
Zwei Ereignisse A und B heissen genau dann unabhängig, wenn gilt
P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)
Das heisst, die W ahrscheinlichkeit, dass sowohl Ereignis A und Ereignis B eintreten entspricht dem Produkt der W ahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse.
Das heisst auch: Ob das Ereignis A eingetreten ist oder nicht wirkt sich nicht auf
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B aus und umgekehrt.
Beispiel
Ein W ürfel wird zweimal geworfen. Sind die Ereignisse A und B unabhängig?
A:
Augensumme 10
P(A) = ..............
B:
gleiche Augenzahl
P(B) = ..............
P (A∩B) = ..............
Sind die Ereignisse C und D unabhängig?
C:
Der zweite W urf ist 6
P(C) = ..............
D:
Augensumme 7
P(D) = ..............
P (C∩D) = ..............
Wer gewinnt? Untersuche, welcher der nachfolgenden Spielwürfel der „beste“ ist, indem du die
Gewinnwahrscheinlichkeiten berechnest, wenn A gegen B spielt, B gegen C, usw.
A gegen B:
P(A) = .............
P(B) = ...............
A
4
B
5
1
0
B gegen C:
P(B) = .............
P(C) = ...............
0
1
4 4
1
4
C gegen D:
P(C) = .............
P(D) = ...............
C
2
D
3
3
6
D gegen A:
P(D) = .............
P(A) = ...............
2
6 2
2
5 5
3
3 3
3
Aufgaben
4.14
Drei Spieler A, B und C werfen in dieser Reihenfolge abwechselnd eine Münze. Wer
zuerst Kopf wirft, hat gewonnen. Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeiten der drei
Spieler.
4.15
Ein Spieler A wirft 3 Würfel und ein Spieler B wirft 2 Würfel. W ie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Augenzahl 6 bei Spieler A häufiger auftritt als bei B?
4.16
Urne I enthält 5 rot und 3 weisse Kugeln, Urne II 2 rote und 6 weisse. Aus jeder Urne
wird je eine Kugel gezogen. W ie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Kugeln dieselbe Farbe haben?
19
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel 1:
Aus einem Spiel Jasskarten werden nacheinander zwei Karten (ohne Zurücklegen) gezogen. W ie gross ist die W ahrscheinlichkeit, zwei Bauern zu ziehen?
Lösung:
Nach der Produktregel der Kombinatorik gibt es 3635 Möglichkeiten zwei Karten
zu ziehen. Günstig für das betrachtete Ereignis sind dann 43 Möglichkeiten.
Also:
P(E) =
4⋅3
4
3
=
⋅
≈ 0,0095
36 ⋅ 35
36 35
oder:
Ereignis A:
Ereignis B:
«Die erste Karte ist ein Bauer, die zweite ist beliebig»
«Die erste Karte ist beliebig, die zweite Karte ist ein Bauer»
4
Damit gilt: E = A∩B , wobei P( A ) =
36
3
kann interpretiert werden als die Wahrscheinlichkeit im zweiten
Der Faktor
35
Zug einen Bauern zu ziehen, vorausgesetzt auch der erste Zug war ein Bauer.
Bezeichnung:
Die W ahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung dass A eingetreten ist heisst
bedingte W ahrscheinlichkeit und man schreibt P(B|A)
Definition:
Aus der Produktregel
P(A∩B) = P(A) P(B|A) erhalten wir für die
P( A ∩ B)
P(B A ) =
bedingte W ahrscheinlichkeit die Definition:
P( A )
Beispiel 2:
Aus einer Urne, die 4 blaue und 2 rote Kugeln enthält, werden nacheinander
zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) entnommen.
Das folgende Baumdiagramm stellt die möglichen Ergebnisse dar. Notiere zu
den einzelnen Ästen, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten
.....
.....
1B
.....
1R
.....
.....
2B
2R
2B
2R
BB
BR
RB
RR
P(1B∩2B)=......
P(1B∩2R)=......
(1R∩2B)=......
Es ergeben sich die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten:
20
.....
P(2B|1B) = ...........
P(2B|1R) = ...........
P(2R|1B) = ...........
P(2R|1R) = ...........
(1R∩2R)=......
Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm
Mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich gut mit einem Baumdiagramm veranschaulichen
(siehe Kapitel 2: Grundbegriffe). Beschriftet man jeden einzelnen Ast im Baumdiagramm mit
seiner zugehörigen Wahrscheinlichkeit, so kann man am Baumdiagramm auch W ahrscheinlichkeiten für ganze Ereignisse ablesen und berechnen.
Beispiel: Dreifacher Münzwurf
Jedes mögliche Ergebnis (Elementarereignis) wird im Baumdiagramm durch einen Pfad von
oben nach unten veranschaulicht. Das Ergebnis (K,Z,K) entspricht dem hellen Pfad.
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit Hilfe der Pfadregeln berechnen.
1. Pfadregel: P(K,Z,K)= 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
2. Pfadregel: P(“Es fällt keine Seite zweimal hintereinander“)
= P(K,Z,K) + P(Z,K,Z)
= 0.12 + 0.125
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
21
Das Monty-Hall Dilemma
Let's Make A Deal hiess in den Siebzigerjahren eine Gameshow in den
USA. Im Spiel, um das es hier geht, gab Monty Hall, der Spielleiter die
Möglichkeit, einen Preis zu gewinnen, der hinter einer von drei Türen
verborgen war. So befand sich zum Beispiel ein Auto hinter einer der drei
Türen und ein weniger schöner Preis, etwa je eine Ziege, war hinter den
beiden andern Türen. Nachdem die Person aus dem Publikum eine Türe
ausgewählt hatte, öffnete Monty eine der beiden andern Türen, wobei
sicher nicht der Hauptpreis dahinter auftauchte, sondern eine Ziege. An
dieser Stelle hatte der Spieler oder die Spielerin nun die Möglichkeit, die
Wahl nochmals zu überdenken, man konnte auf der ersten Wahl bleiben
oder zur andern, noch geschlossenen Tür wechseln. Anschliessend wurde die gewählte Tür geöffnet und der Gewinn, das Auto oder die Ziege,
übergeben.
Monty Hall
Marilyn vos Savant ist eine amerikanische Zeitungskolumnistin und Autorin mehrerer Bücher,
die sich mit mathematischen und logischen Problemen befassen. Gemäss dem Guinness-Buch
der Rekorde (Ausgabe 1986-1989) hat sie mit einem IQ von 228 den höchsten jemals gemessenen Intelligenzquotienten.
Das grösste öffentliche Aufsehen erregte sie jedoch, als sie 1990 in ihrer in der amerikanischen
Sonntagszeitung „Parade“ veröffentlichten Kolumne „Ask Marilyn“ die von ihr vorgeschlagene
Lösung zu dem so genannten „Ziegenproblem“ publizierte. Obwohl vos Savants Aussage von
der Mehrheit ihrer Leser als unwahr bezeichnet wurde, konnte letzten Endes bewiesen werden,
dass der von ihr erläuterte Lösungsweg zu einem mathematisch korrekten Ergebnis führte.
Ein Leser der Kolumne von Marilyn Vos
Savant in der Zeitschrift Sunday Parade
stellte folgende Frage:
"Suppose you're on a game show, and
you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others,
goats. You pick a door, say No. 1, and the
host, who knows what's behind the other
doors, opens another door, say No. 3,
which has a goat. He then says to you, 'Do
you want to pick door No. 2?' Is it to your
advantage to take the switch?"
Craig F. Whitaker
http://marilynvossavant.com/
22
“Let’s Make a Deal” auf youtube.com
Formel von Bayes
Beispiel:
In einer Urne liegen 3 normale Würfel und ein falscher Würfel mit den Zahlen 1
bis 3 und dreimal die Zahl 6. Es wird ein W ürfel zufällig gezogen und geworfen,
ohne ihn vorher anzuschauen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 6 zu
werfen?
Es werden folgende Ereignisse betrachtet:
A 1 : Es wird ein korrekter W ürfel gezogen
A 2 : Es wird der falsche W ürfel gezogen
B: Es wird eine 6 gewürfelt
Zeichne das zugehörige Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten
Definition:
Die Ereignisse A 1 , A 2 , ... ,A n seien paarweise unvereinbar und
A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n = Ω. Dann erhalten wir für ein beliebiges Ereignis B
die totale Wahrscheinlichkeit:
P(B) = P(A 1 ) ⋅ P(B | A 1 ) + P(A 2 ) ⋅ P(B | A 2 ) + .... + P(A n ) ⋅ P(B | A n )
Beispiel:
Wir betrachten nochmals das vorherige Beispiel mit dem falschen Würfel:
Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass man den falschen W ürfel gezogen hat,
wenn man die Zahl 6 würfelt?
Gesucht ist also die bedingte W ahrscheinlichkeit
P( A 2 ∩ B)
P( A 2 ) ⋅ P(B | A 2 )
=
P( A 2 B) =
P(B)
P( A 1 ) ⋅ P(B | A 1 ) + P( A 2 ) ⋅ P(B | A 2 )
Satz
von Bayes:
Unter den gleichen Voraussetzungen wie bei
obiger Definition gilt die Formel von Bayes:
P( A i B) =
A1
P( A i ) ⋅ P(B A i )
A5
B
A4
P(B)
A2
A3
Zwei Anwendungen der Formel von Bayes
HIV-Test
In der Schweiz sind 0.25% der Bevölkerung mit HIV infiziert. Der Nachweis dieser Infektion kann
mit einem HIV-Screening-Test gemacht werden. Ein solcher Test zeigt bei gesunden Personen
zu 99.5% ein korrektes (negatives) Ergebnis an (Spezifität) und führt bei 99.9% der infizierten
Menschen zu einem positiven Ergebnis (Sensitivität).
a) Bei einer zufällig ausgewählten Person wird der HIV-Screening-Test durchgeführt. W ie gross
ist die W ahrscheinlichkeit, dass der Test eine HIV-Infektion anzeigt?
b) Falls der Test eine HIV-Infektion feststellt, wie gross ist dann die W ahrscheinlichkeit, dass
die getestete Person auch wirklich HIV-infiziert ist?
c) Falls der Test negativ ausfällt, wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Person
trotzdem mit HIV infiziert ist?
Weshalb sollte dieser Test nur mit ärztlicher Betreuung durchgeführt werden?
Wo liegt der Nutzen dieses Tests?
23
Laktose-Intoleranz
In der Schweiz tritt bei 20% der Bevölkerung eine Laktoseintoleranz (Milchzuckerunverträglichkeit) auf. Der Nachweis dieser Unverträglichkeit erfolgt meist mit einem H2-Atemlufttest der bei
gesunden Personen zu 95% ein korrektes Ergebnis anzeigt (Spezifität) und bei 90% der betroffenen Menschen die Unverträglichkeit feststellt (Sensitivität).
a)
Es wird zufällig eine Person ausgewählt und dem H2-Atemlufttest unterzogen. W ie
gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine Laktoseintoleranz anzeigt?
b)
Falls der Test eine Laktoseintoleranz feststellt, wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die getestete Person wirklich an Laktoseintoleranz leidet?
Aufgaben
Bedingte Wahrscheinlichkeit
4.17
Für zwei Ereignisse A und B gelte P(A) = 0.3 und P(B) = 0.7 und P(A∪B) = 0.8 .
Berechne: a) P(A|B)
b) P(B|A)
c) P(A∩B)
d) P( A | B )
4.18
Aus drei Apparaten A, B und C wird zufällig einer ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit,
dass Apparat A funktioniert, beträgt 75%, dass Apparat B funktioniert, 95% und dass
Apparat C funktioniert, 20%. W ie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der gewählte
Apparat funktioniert?
4.19
In einem Gebiet sind 40% der Bevölkerung gegen eine bestimmte Krankheit geimpft.
Die W ahrscheinlichkeit, von der Krankheit befallen zu werden, beträgt bei einer geimpften Person 2,5%, bei einer nicht geimpften Person 15%.
Es wird zufällig eine Person ausgewählt. W ie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass sie
von der Krankheit befallen ist?
Bayes Theorem
4.20
In einem Laden ist eine Alarmanlage eingebaut, die bei Einbruch mit der Wahrscheinlichkeit 0.99 Alarm gibt. Wenn in einer Nacht kein Einbruch zu verzeichnen ist, gibt sie
falschen Alarm mit der Wahrscheinlichkeit 0.005. Die W ahrscheinlichkeit, dass in einer
Nacht ein Einbruch geschieht betrage 0.001.
a) Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass die Anlage heute Nacht Alarm gibt?
b) Die Anlage hat um Mitternacht Alarm ausgelöst, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass gerade ein Einbruch stattfindet?
4.21
Ein Nachtwächter hat acht Schlüssel in seiner Tasche. Wenn er eine Tür aufschliessen
will, geht er wie folgt vor: Wenn er nüchtern ist, dann zieht er nacheinander zufällig einen Schlüssel aus der Tasche, bis er den richtigen gefunden hat, wobei er die falschen
Schlüssel jeweils zur Seite legt. Wenn er betrunken ist, dann geht er genau gleich vor,
legt aber die falschen Schlüssel immer wieder in die Tasche zurück. Der Nachtwächter
ist durchschnittlich an einem von zehn Tagen betrunken.
Im Moment hat er gerade zum siebten Mal vergeblich versucht eine Türe zu öffnen. W ie
gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er betrunken ist?
4.22
Rot-Grün-Blindheit ist immer angeboren und verstärkt oder vermindert sich nicht im
Laufe der Zeit. Von ihr sind etwa 9 % aller Männer und 0,8 % der Frauen betroffen.
Nehmen wir an, eine Population bestehe zu 55% aus Männern und zu 45% aus Frauen.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person RotGrün blind ist?
b) Wie gross ist der Anteil der Männer unter den Rot-Grün blinden Personen.
4.23
Eine Krankheit kommt bei ca. 5% der Bevölkerung vor. Ein Test zur Erkennung der
Krankheit führt bei 99% der Kranken zu einer Reaktion, aber auch bei 2% der Gesunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der die Reaktion eintritt, die Krankheit wirklich hat?
24
5.
Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Definition
Eine Funktion X: Ω →
, die jedem Ergebnis des Ergebnisraumes Ω eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl zuordnet, heisst Zufallsvariable
(oder auch Zufallsgrösse).
Nimmt eine Zufallsvariable X über dem Ergebnisraum Ω die W erte
x 1 , x 2 , ... , x n an, dann wird durch X = x i ein Ereignis beschrieben.
Definition
Nimmt eine Zufallsvariable X über dem Ergebnisraum Ω die W erte
x 1 , x 2 , ... , x n an, dann heisst die Funktion f: x i → P(X = x i )
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen
Beispiel
Zwei Münzen werden geworfen. Alice zahlt Bruno 2 Franken, wenn zweimal Kopf
fällt, Bruno zahlt Alice 1 Franken, wenn einmal Kopf fällt und niemand zahlt bei
keinem Kopf.
Tabelle mit den Ergebnissen
und dem entsprechenden Gewinn für Alice.
Ergebnis
Tabelle mit der zugehörigen
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Gewinn A.
Gewinn A.
Wahrsch.
Ω
X
X
P
xi
P(X=x i )
Erwartungswert
Ist das im obigen Beispiel beschriebene Spiel fair? W elchen Gewinn kann Alice durchschnittlich
pro Spiel erwarten? W ir definieren einen Durchschnittswert, welcher die Gewinne mit den zugehörigen W ahrscheinlichkeiten gewichtet:
Definition
Nimmt die Zufallsvariable X die W erte x 1 , x 2 , ... , x n an, dann heisst die reelle
Zahl
E(X) = x 1 ⋅ P(X= x 1 ) + x 2 ⋅ P(X= x 2 ) + .... + x n ⋅ P(X= x n ) =
n
∑ x i ⋅ P( X = x i )
i =1
Erwartungswert der Zufallsvariablen X (Bezeichnung auch µ X [Mü] )
Beispiel
Bestimme zum obigen Beispiel den Erwartungswert:
E(X)= ............................................................................................................
E(X) = ....................................
25
Aufgaben
5.1
Eine Münze wird viermal hintereinander geworfen. X sei die Anzahl ‘Kopf’. Stelle die
Wahrscheinlichkeitsverteilung grafisch dar. Berechne den Erwartungswert E(X).
5.2
Eine Lebensversicherung über Fr. 50’000.- kostet einen 35-jährigen Versicherten Fr.
400.- Jahresprämie. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein 35-jähriger im folgenden Jahr
stirbt, beträgt 0.003. Mit welcher Gewinnerwartung kann die Versicherung in diesem
Jahr rechnen?
5.3
Am Spieltisch: Ein Wurf mit drei Würfeln kostet 1 Franken. Wenn du drei Sechsen würfelst, dann wird dir der Gewinn von 100 Fr. ausbezahlt. Ist es sinnvoll da zu spielen?
Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wäre?
5.4
Auf 4 Zettel schreibt man die Zahlen 1, 2, 3, 4 und legt sie in eine Urne. Ein Zettel wird
nun nach dem andern gezogen (ohne Zurücklegen). Wird im n-ten Zug die Zahl n gezogen, so erhält man 1 Franken. X sei der dabei total ausbezahlte Betrag. Berechne E(X).
5.5
Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der W ürfe einer Münze an, die benötigt werden,
bis zum ersten Mal Kopf fällt. Bestimme die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion
und den Erwartungswert. Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion grafisch dar.
5.6.
Anna und Bruno werfen eine Münze. Bei Kopf gewinnt Anna, bei Zahl Bruno. Sie hören
auf zu spielen, wenn jemand zweimal hintereinander oder insgesamt dreimal gewonnen
hat. W ie viele Würfe mit der Münze sind zu erwarten.
5.7
Ein Glücksrad ist so gebaut, dass man mit der Wahrscheinlichkeit p gewinnt. Andrea spielt n mal nacheinander. W ie gross ist
die Wahrscheinlichkeit, dass Andrea k mal gewinnt.
a) Gib eine allgemeine Formel an: P(X=k) = ?
b) Berechne die W ahrscheinlichkeit für p = 0.4 , n = 8 , k = 6).
c) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung für n = 8 grafisch dar.
d) Wie viele Gewinne kann Andrea bei n Spielen durchschnittlich
erwarten?
5.8
Im Roulette kommt die rollende Kugel („roulette“) auf einer Zahl von 0 bis 36 zum Stillstand. Hat ein Spieler seinen Einsatz (z.B. 5 Fr.) auf die Zahl gesetzt, auf der die Kugel
liegt, dann erhält er den 36-fachen Einsatz (also 180 Fr.) zurück. Die Spieler können
auf die Zahlen von 1 bis 36 setzen. Welchen Anteil des Einsatzes nimmt die Spielbank
durchschnittlich ein?
Die Zahlen von 1 bis 36 sind halb-halb rot und schwarz
gemalt, die 0 ist grün. W enn ein Spieler auf rot (oder
schwarz) setzt und die Kugel auf einer Zahl der entsprechenden Farbe stillsteht, dann wird der doppelte Einsatz
ausbezahlt. W ie sieht hier die Rechnung für die Spielbank
aus?
26
Varianz und Standardabweichung
Häufig möchte man neben der Angabe des Erwartungswerts auch eine Aussage über die
Abweichung einer Zufallsvariable X von ihrem
Erwartungswert machen.
Da sich die Differenzen (x n – µ) gegenseitig
aufheben betrachtet man ihre Quadrate
2
(x n – µ) und bestimmt deren Erwartungswert.
Damit erhält man ein Mass für die Abweichungen vom Mittelwert, die Varianz.
Var(X) = (x 1 – µ) ⋅ P(X=x 1 ) + (x 2 – µ) ⋅ P(X=x 2 ) + .... + (x n – µ) ⋅ P(X=x n )
2
Varianz
2
2
n
=
∑ ( x i − µ) 2 ⋅ P( X = x i )
i=1
Ihr Nachteil für die Praxis ist, dass sie eine andere Einheit als die W erte der Zufallsvariablen
besitzt. Dieser Nachteil kann behoben werden, indem man aus der Varianz die Quadratwurzel
zieht uns so zur Standardabweichung σ(X) übergeht.
Standardabweichung
σ(X)
=
Var ( X)
Es gilt Var(X) = E((X – µ) ) = E(X ) – µ
2
Satz
2
2
Aufgaben
5.9
Es wird mit zwei W ürfeln gewürfelt und die grössere der beiden Augenzahlen notiert.
a) Bestimme die W ahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen
b) Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung
5.10
Die Zufallsgrösse X stellt den Gewinn des skizzierten Glücksrades dar (α = 45°).
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen
b) Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung
c) Wie gross muss der Spieleinsatz sein, damit das Spiel fair
ist?
2Fr.
3Fr.
α
1Fr.
27
Ungleichung von Tschebyschow
Für die Prägung der Schweizer Münzen ist die „Swissmint“ an
der Bernastrasse 28 (direkt neben dem Gymnasium Kirchenfeld) zuständig. Die Prägung erfolgt auf vorgefertigten Rondellen, welche aus dem Ausland angeliefert werden.
Zwei Stichproben aus zwei verschiedenen RondellenLieferungen für die Herstellung von Fünflibern ergeben folgende Werte für das Gewicht der Rondellen:
Lieferung A
Gewicht (g) 13.10 13.15 13,20 13.25 13.30
Anzahl
100 100 500 200 100
Lieferung B
Gewicht (g) 13.10 13.15 13,20 13.25 13.30
Anzahl
50
300 400 150 100
Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung der beiden Lieferungen:
σ(X) = …………..
E(X) = …………..
σ(Y) = …………..
E(Y) = …………..
Das Beispiel zeigt, dass es sinnvoll ist, die Standardabweichung zweier Zufallsvariablen zu vergleichen.
Aber: W elche Informationen gibt die Standardabweichung, wenn man nur eine Zufallsvariable
betrachtet? Lässt sich etwas aussagen über die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X
einen Wert annimmt, der nahe beim Erwartungswert µ liegt?
µ-c
µ
µ+c
Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass ein Wert x i mindestens um den W ert c vom Erwartungswert abweicht?
A sei die Menge aller Werte der Zufallsvariablen, die vom Erwartungswert weniger als c entfernt
sind:
A = { x i / |x i –µ| < c }
B = { x i / |x i –µ| ≥ c }
Die Menge B umfasst alle übrigen W erte der Zufallsvariablen X:
n
Var(X) =
∑ ( x i − µ) 2 ⋅ P( X = x i )
=
∑ ( x i − µ) 2 ⋅ P( X = x i )
x i∈A
i=1
+
∑ ( x i − µ) 2 ⋅ P( X = x i )
x i∈B
Wird die linke Summe über den Zufallsvariablen aus A weggelassen, ergibt sich die Ungleichung:
Var(X) ≥
∑ ( x i − µ) 2 ⋅ P( X = x i )
x i∈B
für x i ∈ B gilt c ≤ x i –µ , also gilt
Var(X) ≥
∑ c 2 ⋅ P( X = x i )
= c2 ⋅
x i∈B
Var(X) = σ ≥ c ⋅ P(|xi–µ| ≥ c)
2
28
2
∑
x i∈B
P( X = x i ) = c ⋅ P(|x i –µ| ≥ c)
2
Und damit folgt die Ungleichung von Tschebyschow
P( X − µ ≥ c ) ≤
Pafnuti Lwowitsch
Tschebyschow
1821-1894
Die Eidgenössische Münzstätte Swissmint
ist eine selbständige Einheit der Eidgenössischen Finanzverwaltung und beschäftigt gegenwärtig 18 Personen. Ihre
Anfänge reichen zurück bis ins Jahr 1848,
als mit der Gründung des Bundesstaates
die Münzhoheit von den Kantonen an den
Bund überging. In diese Zeit fällt auch die
definitive Einführung des Schweizer Frankens, der heute als eine der härtesten
Währungen der W elt gilt. Seither versorgt
die Swissmint unser Land mit dem nötigen
Kleingeld, das trotz des zunehmenden
bargeldlosen Zahlungsverkehrs seine Position als einfaches und günstiges Zahlungsmittel behauptet.
Aufgaben
5.11
Die Untersuchung einer Lieferung von 6000 Münzenrondellen zur Prägung von
2-Franken-Münzen hat für das Gewicht den Erwartungswert von 8.80 g bei einer Standardabweichung von 0.02 g ergeben. Für die Prägung sind nur Rondellen geeignet, deren Gewicht zwischen 8.70 g und 8.90 g liegt.
Schätze mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow die Wahrscheinlichkeit ab, dass
eine zufällig ausgewählte Rondelle nicht verwendet werden kann.
5.12
Bei der Herstellung von Stahlbolzen mit dem Durchmesser von 4,5 mm ist eine Abweichung von höchstens 0,2 mm tolerierbar. Eine Überprüfung der Produktion ergab für
den Durchmesser einen Erwartungswert von E(X) = 4,5 bei einer Standardabweichung
von 0,08 mm.
Mit welchem Anteil an unbrauchbaren Bolzen muss höchstens gerechnet werden?
29
6.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung
Bernoulli-Experiment
Ein Zufallsexperiment, bei dem man nur ein Ereignis E (Erfolg) und das Gegenereignis E (Misserfolg) betrachtet, heisst Bernoulli-Experiment.
Beispiele:
Beim Würfelspiel:
E: W urf einer 6
E : W urf einer andern Zahl
Bei einer Verlosung:
E: Gewinnlos
E : Niete
Bernoulli-Kette
Wird ein Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander ausgeführt und sind
die einzelnen Versuche voneinander unabhängig, entsteht eine Bernoulli-Kette.
Fragestellung
Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass bei n Versuchen genau k Erfolge
resultieren?
Beispiel
Wie gross ist die W ahrscheinlichkeit, dass bei 6 Würfen mit einem Würfel genau viermal eine 6 erscheint?
Binomial-Verteilung Die W ahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl Erfolge bei n Versuchen eines Bernoulli-Experiments heisst Binomialverteilung:
P(E) = p
n sei die Anzahl Versuche,
k sei die Anzahl Erfolge
n
P(X=k) = ⋅ p k ⋅ (1 − p) n−k
k
Beispiel Binomialverteilung:
Grafik für p = 1/6 und n = 6
Erwartungswert
E(X) = n⋅p
Varianz
Var(X) = n⋅p⋅(1-p)
Standardabweichung
σ(X) =
n ⋅ p ⋅ (1 − p)
Aufgabe 6.1
Aus einem Stapel von 36 Jasskarten wird viermal eine Karte gezogen und jeweils sofort wieder
zurückgelegt. W ie gross sind die Wahrscheinlichkeiten keine, eine, zwei, drei oder vier Herzkarten zu ziehen?
Stelle die W ahrscheinlichkeitsverteilung grafisch dar und berechne den Erwartungswert und die
Varianz.
30
Normalverteilung
Wenn man bei einer Binomialverteilung die Anzahl Versuche n gross
werden lässt, nähert sich die Verteilungsfunktion einer stetigen Funktion
an:
Wir erhalten die Normalverteilung
(Grafik: n = 25, p = 0.5)
Die Normalverteilung ist definiert durch
1
1
f(x) =
σ
2π
1 x −µ
−
2 σ
e
2
∞
Es gilt
∫ f ( x )dx = 1
−∞
Bei einer normalverteilten Zufallsvariablen liegen die W erte zu
68% im Bereich
95% im Bereich
99% im Bereich
(µ – σ) < x < (µ + σ)
(µ – 2σ) < x < (µ + 2σ)
(µ – 3σ) < x < (µ + 3σ)
Die standardisierte Normalverteilung
Wenn man bei der Normalverteilung µ = 0 und σ = 1 setzt, erhält man die standardisierte Normalverteilung und der entsprechende Funktionsgraph heisst „Gausssche Glockenkurve“.
Gib diese standardisierte Normalverteilung an:
f ( x ) = ……………………………………….
Die nachfolgende Tabelle enthält Werte der standardisierten Normalverteilung. Die x-Werte einer beliebigen Normalverteilung können durch die folgende Formel in z-W erte der standardisierten Normalverteilung umgerechnet werden:
x−µ
z=
σ
31
Werte der Standardnormalverteilung
z
Φ( z ) =
∫
−∞
z\*
0,0*
0,1*
0,2*
0,3*
0,4*
0,5*
0,6*
0,7*
0,8*
0,9*
1,0*
1,1*
1,2*
1,3*
1,4*
1,5*
1,6*
1,7*
1,8*
1,9*
2,0*
2,1*
2,2*
2,3*
2,4*
2,5*
2,6*
2,7*
2,8*
2,9*
3,0*
3,1*
3,2*
3,3*
3,4*
3,5*
3,6*
3,7*
3,8*
3,9*
4,0*
1
2π
0
1
− x2
2
⋅e
1
=
2
3
4
5
6
7
8
9
0,50000
0,50399
0,50798
0,51197
0,51595
0,51994
0,52392
0,52790
0,53188
0,53586
0,53983
0,54380
0,54776
0,55172
0,55567
0,55962
0,56356
0,56749
0,57142
0,57535
0,57926
0,58317
0,58706
0,59095
0,59483
0,59871
0,60257
0,60642
0,61026
0,61409
0,61791
0,62172
0,62552
0,62930
0,63307
0,63683
0,64058
0,64431
0,64803
0,65173
0,65542
0,65910
0,66276
0,66640
0,67003
0,67364
0,67724
0,68082
0,68439
0,68793
0,69146
0,69497
0,69847
0,70194
0,70540
0,70884
0,71226
0,71566
0,71904
0,72240
0,72575
0,72907
0,73237
0,73565
0,73891
0,74215
0,74537
0,74857
0,75175
0,75490
0,75804
0,76115
0,76424
0,76730
0,77035
0,77337
0,77637
0,77935
0,78230
0,78524
0,78814
0,79103
0,79389
0,79673
0,79955
0,80234
0,80511
0,80785
0,81057
0,81327
0,81594
0,81859
0,82121
0,82381
0,82639
0,82894
0,83147
0,83398
0,83646
0,83891
0,84134
0,84375
0,84614
0,84849
0,85083
0,85314
0,85543
0,85769
0,85993
0,86214
0,86433
0,86650
0,86864
0,87076
0,87286
0,87493
0,87698
0,87900
0,88100
0,88298
0,88493
0,88686
0,88877
0,89065
0,89251
0,89435
0,89617
0,89796
0,89973
0,90147
0,90320
0,90490
0,90658
0,90824
0,90988
0,91149
0,91309
0,91466
0,91621
0,91774
0,91924
0,92073
0,92220
0,92364
0,92507
0,92647
0,92785
0,92922
0,93056
0,93189
0,93319
0,93448
0,93574
0,93699
0,93822
0,93943
0,94062
0,94179
0,94295
0,94408
0,94520
0,94630
0,94738
0,94845
0,94950
0,95053
0,95154
0,95254
0,95352
0,95449
0,95543
0,95637
0,95728
0,95818
0,95907
0,95994
0,96080
0,96164
0,96246
0,96327
0,96407
0,96485
0,96562
0,96638
0,96712
0,96784
0,96856
0,96926
0,96995
0,97062
0,97128
0,97193
0,97257
0,97320
0,97381
0,97441
0,97500
0,97558
0,97615
0,97670
0,97725
0,97778
0,97831
0,97882
0,97932
0,97982
0,98030
0,98077
0,98124
0,98169
0,98214
0,98257
0,98300
0,98341
0,98382
0,98422
0,98461
0,98500
0,98537
0,98574
0,98610
0,98645
0,98679
0,98713
0,98745
0,98778
0,98809
0,98840
0,98870
0,98899
0,98928
0,98956
0,98983
0,99010
0,99036
0,99061
0,99086
0,99111
0,99134
0,99158
0,99180
0,99202
0,99224
0,99245
0,99266
0,99286
0,99305
0,99324
0,99343
0,99361
0,99379
0,99396
0,99413
0,99430
0,99446
0,99461
0,99477
0,99492
0,99506
0,99520
0,99534
0,99547
0,99560
0,99573
0,99585
0,99598
0,99609
0,99621
0,99632
0,99643
0,99653
0,99664
0,99674
0,99683
0,99693
0,99702
0,99711
0,99720
0,99728
0,99736
0,99744
0,99752
0,99760
0,99767
0,99774
0,99781
0,99788
0,99795
0,99801
0,99807
0,99813
0,99819
0,99825
0,99831
0,99836
0,99841
0,99846
0,99851
0,99856
0,99861
0,99865
0,99869
0,99874
0,99878
0,99882
0,99886
0,99889
0,99893
0,99896
0,99900
0,99903
0,99906
0,99910
0,99913
0,99916
0,99918
0,99921
0,99924
0,99926
0,99929
0,99931
0,99934
0,99936
0,99938
0,99940
0,99942
0,99944
0,99946
0,99948
0,99950
0,99952
0,99953
0,99955
0,99957
0,99958
0,99960
0,99961
0,99962
0,99964
0,99965
0,99966
0,99968
0,99969
0,99970
0,99971
0,99972
0,99973
0,99974
0,99975
0,99976
0,99977
0,99978
0,99978
0,99979
0,99980
0,99981
0,99981
0,99982
0,99983
0,99983
0,99984
0,99985
0,99985
0,99986
0,99986
0,99987
0,99987
0,99988
0,99988
0,99989
0,99989
0,99990
0,99990
0,99990
0,99991
0,99991
0,99992
0,99992
0,99992
0,99992
0,99993
0,99993
0,99993
0,99994
0,99994
0,99994
0,99994
0,99995
0,99995
0,99995
0,99995
0,99995
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99996
0,99997
0,99997
0,99997
0,99997
0,99997
0,99997
0,99997
0,99997
0,99998
0,99998
0,99998
0,99998
Negative W erte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, weil Φ( − z) = 1 − Φ(z)
ist. Das Sternchen * ist ein Platzhalter für die nachfolgenden Kommastellen, die in den Spalten
angegeben sind.
32
Aufgaben
Binomialverteilung
6.2
Eine Binomialverteilung taucht oft bei Qualitätskontrollen auf, da ja genau zwei Ergebnisse interessieren: „fehlerhaft“ und „nicht fehlerhaft“.
Der Konzern „Thermosicherheit“ stellt Thermoschalter in Massenproduktion her. Jeder
Thermoschalter ist mit einer W ahrscheinlichkeit von 10% fehlerhaft. Der Fehler besteht
darin, dass der Thermoschalter erst bei einer zu hohen Temperatur auslöst, also die
Stromzufuhr zu spät unterbricht. Es wird eine Stichprobe von 50 Schaltern aus der laufenden Produktion entnommen. Dabei soll angenommen werden, dass die Anzahl der
fehlerhaften Schalter in der Stichprobe binomialverteilt ist.
a)
b)
Berechne die W ahrscheinlichkeit, dass von den 50 Schaltern genau 5 fehlerhaft sind.
Wie viele fehlerhafte Schalter kann man bei den gegebenen Daten in der Stichprobe
erwarten?
6.3
Ein Jäger trifft sein Ziel mit einer W ahrscheinlichkeit 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er bei zehn Schüssen mehr als sechs Treffer?
6.4
In einem „Nachrichtenkanal“ wird ein Zeichen mit der Wahrscheinlichkeit p richtig übertragen. Eine Nachricht besteht aus acht Zeichen. Mit welcher W ahrscheinlichkeit werden
höchstens zwei Zeichen falsch übertragen? Rechne zuerst allgemein und dann für p =
0,9.
6.5
Bei einem Automaten gewinnt man in 30% aller Spiele. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man a) bei 10 Spielen, b) bei 20 Spielen mindestens achtmal gewinnt?
6.6
Die W ahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bienenvolk einen harten W inter überlebt, ist 0,4.
ein Imker besitzt 6 Völker. Wie groß ist die W ahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 einen
harten W inter überleben?
Normalverteilung
1
σ
1
1 x −µ
−
2 σ
e
2
6.7.
Wir betrachten die Normalverteilung f(x) =
6.8.
Gegeben ist eine Standardnormalverteilung. Bestimme mithilfe der Tabelle folgende
Wahrscheinlichkeiten bzw. Z-Werte
a) P(Z > 2) =
b) P(-1 < Z < +1) =
c) P(Z < A) = 0,5 ;
A=
d) P(-D < Z < +D) = 0,95; D=
6.9
Die Montagezeiten eines Bauteils seien normalverteilt und weichen mit σ = 1 Std. von
der Vorgabezeit ab.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein konkreter Auftrag mit einer Abweichung von ± ½ Std. abgewickelt wird?
b) In welchem zeitlichen Bereich bewegen sich 80% der (symmetrischen) Abweichungen von der Norm?
6.10
Das Körpergewicht einer grossen Gruppe Erwachsener sei normalverteilt mit dem Mittelwert µ = 72kg und der Standardabweichung σ = 6.5kg.
2π
Berechne den Funktionswert an der Stelle x = µ (Maximalwert) und bestimme die Wendestellen.
Wie gross ist der Anteil der Personen mit einem Gewicht...
a) kleiner als 75kg?
b) zwischen 62kg und 82kg
33
6.11
Bei der Befüllung von Zuckertüten durch eine Maschine ist das Gewicht normalverteilt mit
Mittelwert 1000 g und Standardabweichung 6 g. Wie viele Zuckertüten enthalten weniger
als 995g?
6.12
Eine Maschine produziert Nägel. Für die Länge ergibt sich ein Durchschnittswert von 25
mm und eine Standardabweichung von 0,6 mm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden
Nägel produziert, deren Länge um weniger als 1 mm vom Durchschnittswert abweicht?
6.13
Sie wollen als Produzent der Nägel aus der vorherigen Aufgabe ihren Kunden eine Garantie bezüglich der Länge der Nägel geben. Sie möchten allerdings höchstens 1% Reklamationen haben. Welche Garantie würden sie geben?
6.14
Die IQ-Werte werden so definiert, dass sie durch eine Normalverteilung mit Mittelwert
100 und Standardabweichung 15 beschrieben werden können.
a) Cecil hat einen IQ von 108. Wie viele Prozent der Bevölkerung haben einen höheren
IQ als sie?
b) Katrin lässt ihren IQ-Wert mithilfe des HAWIE-Intelligenztests feststellen. In diesem
Intelligenztest sind die IQ-Werte so normiert, dass sie in der Population normalverteilt
sind mit Mittelwert 100 und Standardabweichung von 15. Sie erreicht einen IQ-Wert von
110.
Robert lässt seinen IQ-Wert mithilfe des IST-70 feststellen. In diesem Intelligenztest sind
die IQ-Werte so normiert, dass sie in der Population normalverteilt sind mit Mittelwert
100 und Standardabweichung 10. Er erreicht ebenfalls 110 IQ-Punkte. Kann man nun
sagen, dass die beiden „gleich intelligent“ sind?
Jakob Bernoulli
Schweizer Mathematiker, (1654-1705),
Bernoulli stammte aus einer bedeutenden Gelehrtenfamilie
und nahm auf W unsch seines Vaters das Studium der Theologie auf. Seine besondere Aufmerksamkeit aber galt der
Mathematik. Nach Beendigung des Studiums lehrte er als
Privatdozent im europäischen Ausland und lernte dabei bedeutende W issenschaftler seiner Zeit kennen. 1687 erreichte
ihn die Berufung zum Professor für Mathematik an der Universität Basel. Bernoulli war einer der bedeutenden Mathematiker des 17. Jahrhunderts. Gemeinsam mit seinem Bruder Johann Bernoulli schuf er grundlegende Beiträge zur
Theorie der Differentialgleichungen. Er erzielte wichtige Resultate auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
gab entscheidende Anstöße zur Entwicklung der Variationsrechnung. 1744 wurden seine umfangreichen wissenschaftlichen Abhandlungen als Gesamtwerk herausgegeben. Jakob
Bernoulli starb am 16. August 1705 in Basel.
34
35
36
